Analisis de Desiciones para la Optimización- Material Didáctico - FEBRERO 2024 (Definitivo)

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL
ESTADO PORTADA
DE HIDALGO
Instituto de Ciencias
Económico Administrativas
Área Académica: Administración
Tema: Graficación con GeoGebra aplicada en Problemas
de Programación Lineal.
Profesor:
Mtro. Luis Alvaro Guerra Rangel
INTERIOR 1
Periodo: Enero-Junio-2024
Programa Educativo: Licenciatura en Administración
Tema: Graficación con GeoGebra
aplicada
en
Problemas
de
Programación Lineal (PPL)
• Resumen:
El tipo más común de aplicación de la
programación lineal abarca el problema general de
asignar de la mejor manera posible —es decir, de
forma óptima— recursos limitados aINTERIOR
actividades
1 que
compiten entre sí por ellos utilizando un método
grafico para resolverlo. Es decir, este problema
consiste en elegir el nivel de ciertas actividades que
compiten por recursos escasos necesarios para
realizarlas. (Hillier, 2015).
Palabras clave:
Programación lineal, Optimización,
Escasos, Asignación, Competir.
Recursos
Topic: Graphing with GeoGebra
applied to linear programming
problems.
Summary:
The most common type of application of linear
programming covers the general problem of
allocating in the best possible way - that is,
optimally - limited resources to INTERIOR
activities1 that
compete with each other for them using a graphical
method to solve it. That is, this problem consists of
choosing the level of certain activities that compete
for scarce resources necessary to carry them out.
(Hillier, 2015).
Keywords:
Linear
programming,
Optimization,
Resources, Allocation, Compete.
Scarce
Objetivo General
Determinar el modelo general de programación
lineal y sus supuestos básicos y generar una
solución
mediante
el
método
gráfico
denominado GeoGebra (GeoGebra, 2024); es
decir, definir la necesidad de asignar recursos a
INTERIORde
1 los
las actividades mediante la elección
niveles de estas.
Objetivo Específico
● Que es un Problema de Programación Lineal
●
●
●
●
(PPL).
Que es una Variables de Decisión del
problema.
Que es la función objetivo del problema.
Que son las restricciones del problema.
INTERIOR 1
Determinar una solución mediante el método
gráfico denominado GeoGebra (GeoGebra,
2024).
Introducción
La programación lineal utiliza un modelo matemático
para describir un problema. El adjetivo lineal significa
que todas las funciones matemáticas del modelo
deben ser funciones lineales. En este caso, la palabra
programación no se refiere aquí a términos
computacionales; en esencia esINTERIOR
sinónimo
de
1
planeación. Por lo tanto, la programación lineal
involucra la planeación de actividades para obtener un
resultado óptimo; esto es, el resultado que mejor
alcance la meta especificada —de acuerdo con el
modelo matemático— entre todas las alternativas
factibles utilizando la herramienta gráfica (Hillier,
2015).
Contenido
●
Definición del problema de PPL.
●
Definición de variables de decisión y
función objetivo.
Definición de restricciones.
Diseño de la solución del problema
con GeoGebra (GeoGebra,
2024). 1
INTERIOR
Solución del problema de PPL.
Conclusiones.
●
●
●
●
Desarrollo del tema
Definición del problema de PPL
Como parte inicial se establece un problema de Programación lineal (PPL), de
la siguiente forma:
Vidrios Nacionales S.A. de C.V., produce artículos de vidrio de alta calidad,
entre ellos ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres plantas. Los marcos y
molduras de aluminio se hacen en laINTERIOR
planta 1,
los de madera en la planta 2; la
1
3 produce el vidrio y ensambla los productos. se dejará libre una parte de la
capacidad de producción para emprender la fabricación de dos productos
nuevos cuyas ventas potenciales son muy prometedoras:
Producto 1: una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio
Producto 2: una ventana corrediza con marco de madera de 4 pies por 6.
Desarrollo del tema
Definición del problema de PPL
El producto 1 requiere parte de la capacidad de producción en las plantas 1 y 3 y
nada en la planta 2. El producto 2 solo necesita trabajo en las plantas 2 y 3. La
división de comercialización ha concluido que la compañía puede vender todos
los productos que se puedan fabricar en las plantas. Sin embargo, como ambos
productos competirían por la misma capacidad de producción en la planta 3, no
está claro cuál mezcla de productos sería la más rentable (Hillier, 2015).
INTERIOR 1
Definición del problema:
Determinar cuál es la tasa de producción deben tener cada producto con el fin de
maximizar las utilidades totales, sujetas a las restricciones impuestas por las
capacidades de producción limitadas disponibles en las tres plantas. (Cada
producto se fabricará en lotes de 20 unidades, de manera que la tasa de
producción está definida como el número de lotes que se producen a la semana).
Se permite cualquier combinación de tasas de producción que satisfaga estas
restricciones, incluso no fabricar uno de los productos y elaborar todo lo que sea
posible del otro. En la Tabla 1, Tiempos de producción por planta, se muestran
los datos del problema:
Desarrollo del tema
Definición del problema de PPL
Tabla 1.
Tempos de producción por planta.
Planta
1
2
3
Ganancia por lote
Tiempo de producción por lote, hora
Producto
INTERIOR 1
1
2
1
0
0
2
3
2
$3,000
$5,000
Nota: Esta tabla muestra los tiempos de producción por lote, hora de cada planta..
Tiempo de
disponible a la
horas
4
12
18
Desarrollo del tema
Definición de variables de decisión y
función objetivo
Para formular el modelo matemático de programación lineal de este problema,
se define:
x = número de lotes del producto 1 que se fabrican por semana
y = número de lotes del producto 2INTERIOR
que se fabrican
por semana
1
Z = ganancia semanal total (en miles de dólares) que generan estos dos
productos
Por lo tanto, x e y son las variables de decisión del modelo:
Z=3x+5y
Desarrollo del tema
Definición de restricciones
Sujeto a las restricciones:
r1) x ≤ 4
r2) y ≤ 12
r3) 3 x + 2y ≤ 18
x≥0, y≥ 0
En la Figura 1, se muestra la graficación en GeoGebra de la restricción 1, r1.
En la Figura 2, se muestra la graficación
en 1GeoGebra de la restricción 2, r2.
INTERIOR
En la Figura 3, se muestra la graficación en GeoGebra de la restricción 3, r3.
r1) x ≤ 4
x=4
r2) y ≤ 12
y = 12 2= 6
r3) 3 x + 5 y ≤ 18
x=18/3= 6
y= 15/5= 3
Desarrollo del tema
Diseño de la solución del problema con
GeoGebra
Figura 1.
Graficación de la restricción 1:
INTERIOR 1
Fuente: Elaboración propia.
Desarrollo del tema
Diseño de la solución del problema con
GeoGebra
Figura 2.
Graficación de la restricción 2
INTERIOR 1
Fuente: Elaboración propia.
Desarrollo del tema
Diseño de la solución del problema con
GeoGebra
Figura 3.
Graficación de la restricción 3
INTERIOR 1
Fuente: Elaboración propia.
Desarrollo del tema
Diseño de la solución del problema con
GeoGebra
En la Figura 4, se muestra la graficación en GeoGebra de los puntos de
intersección y del área factible:
A =(0,0)
B= (4,0)
C = (4,3)
D = (2,6)
E= (0,6)
INTERIOR 1
Desarrollo del tema
Diseño de la solución del problema con
GeoGebra
Figura 4.
Graficación de puntos de intersección y área factible:
INTERIOR 1
Fuente: Elaboración propia.
Desarrollo del tema
Solución del problema de PPL
El paso final es seleccionar, dentro de esta región factible, el punto que maximiza
el valor de Z = 3 x + 5 y. Para descubrir cómo realizar este paso de manera
eficiente se pueden intentar algunos valores por prueba y error. Por ejemplo,
probar, Z =10 = 3 x + 5 y para ver si existe algún valor de (x , y) dentro de la
región permisible que dé un valor de 10 para Z. Debe intentarse ahora un valor
arbitrario más grande, por ejemplo, Z =20 = 3 x + 5 y.
INTERIOR 1
Estas observaciones implican que el procedimiento de prueba y error para
construir las rectas de la Figura 5 involucra solo dibujar una familia de rectas
paralelas que contengan al menos un punto en la región factible y elegir la que
corresponda al mayor valor de Z. La Figura 5 muestra que esta recta pasa por el
punto (2, 6), lo cual indica que la solución óptima es x=2 e y =6. La ecuación de
esta recta es 3 x + 5 y = 3(2) + 5(6) = 36 = Z, lo cual indica que el valor óptimo
de Z es Z = 36.
Desarrollo del tema
Solución del problema de PPL
Así con las sustituciones del punto que maximiza el valor de Z = 3 x + 5 y
tenemos:
Z =10 = 3 x + 5 y
x= 10/3 = 3.33
y= 10/5 = 2
INTERIOR 1
Z =20 = 3 x + 5 y
x= 20/3 = 6.66
y= 20/5 = 4
Z =36 = 3 x + 5 y
x= 36/3 = 12
y= 36/5 = 7.2
Desarrollo del tema
Solución del problema de PPL
Figura 5.
Graficación del punto que muestra el mayor valor de Z.
INTERIOR 1
Fuente: Elaboración propia. (https://www.geogebra.org/m/xafrkyna)
Desarrollo del tema
Solución del problema de PPL
Se utilizó este procedimiento para encontrar que la
solución óptima deseada es x=2 e y=6, con Z=36.
Esta solución indica que Vidrios Nacionales S.A.
de C.V, debe fabricar los productos 1 y 2 a una
INTERIOR 1
tasa de 2 y 6 lotes por semana, respectivamente,
con una ganancia total resultante de 36 000
dólares semanales. No existe otra mezcla de los
dos productos que sea tan redituable, de acuerdo
con el modelo (Hillier, 2015).
Conclusiones
La programación lineal es una técnica poderosa
para tratar con problemas de asignación de
recursos, problemas de equilibrio beneficio-costo y
problemas de requerimientos fijos, al igual que
INTERIOR 1 sea
otros problemas cuya formulación matemática
similar. Se ha convertido en una herramienta
estándar de gran importancia para muchas
organizaciones industriales y de negocios (Hillier,
2015), y apoyado con graficación GeoGebra que
es un software dinámico de matemáticas.
Bibliografía
●
Hillier, F.S. (2015). Investigación de operaciones (10ª ed.). McGraw-Hill
CONTRAPORTADA
Interamericana.
●
GeoGebra,
6.0
(2018).
https://www.geogebra.org/classic
Classic
GeoGebra.
Recuperado
de