Subido por walter.alexander.cortez

1 VectorMagyDir3D

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Vectores en R3
Tema: gráfica, módulo y dirección de un vector en tres dimensiones.
Ejercicio
Objetivo: dados dos puntos, graficar el vector definido por los puntos y calcular su magnitud y dirección
tipo
Conocimientos previos: vectores en plano
Calcule la magnitud y dirección del vector ⃑V = ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
P1 P2 , siendo:
⃑
(0,0,0)
𝑃1
𝑦 𝑃2 (2,3,4). Grafique V
Fórmula
Sean
𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y 𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 )
⃑ un
dos puntos en el espacio y V
vector desde P1 hasta P2
Se define el vector ⃑V
como:
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
𝑃1 𝑃2 = ⃑⃑𝑉 = 𝛥𝑥𝑖 + 𝛥𝑦𝑗 + 𝛥𝑧𝑘
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
𝑃1 𝑃2 = ⃑⃑𝑉 = V𝒙 𝑖 + V𝒚 𝑗 + V𝒙 𝑘
Entonces, la magnitud ‖⃑⃑𝑉‖ del vector ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
𝑃1 𝑃2 es:
Donde i, j y k son los vectores
unitarios
en
los
ejes
coordenados
Y las direcciones θ𝑥 , θ𝑦 𝑦 θ𝑧 son:
2
⃑ ‖ = (𝑉𝒙 )2 + (𝑉𝒚 )2 + (𝑉𝒛 )2
‖𝑉
⃑ ‖ = √(𝑉𝒙 )2 + (𝑉𝒚 )2 + (𝑉𝒛 )2
‖𝑉
Z
P2
v𝑧
⃑
V
መ
𝐤
𝐣Ƹ
P1
v𝑥
v𝑦
Se definen los ángulos
θ𝑥 : ángulo del vector V con
respecto al eje x
θ𝑦 : ángulo del vector V con
respecto al eje y
θ𝑧 : ángulo del vector V con
respecto al eje z
Proceso
Y
𝐢Ƹ
X
𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑥 =
𝑉𝒙
𝑉𝒙
⟹ 𝜃𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (
)
⃑‖
⃑‖
‖𝑉
‖𝑉
𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑦 =
𝑉𝒚
𝑉𝒚
⟹ 𝜃𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (
)
⃑
⃑‖
‖𝑉 ‖
‖𝑉
𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑧 =
𝑉𝒛
𝑉𝒛
⟹ 𝜃𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (
)
⃑‖
⃑‖
‖𝑉
‖𝑉
1. Se calcula la magnitud del vector
2
2
2
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
‖P
1 P2 ‖ = √(𝑥2 − 𝑥1 ) + (𝑦2 − 𝑦1 ) + (𝑦2 − 𝑦1 )
= √(2 − 0)2 + (3 − 0)2 + (4 − 0)2 = √4 + 9 + 16 = √29
2. Se calcula los ángulos respectivos del vector
𝜃𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (
2
√29
𝜃𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (
) = 68.2° ,
3
√29
⃑ ‖ = √𝟐𝟗 , 𝛉𝒙 = 𝟔𝟖. 𝟐° ,
‖V
Solución
𝜃𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (
) = 56.1° ,
𝛉𝒚 = 𝟓𝟔. 𝟏°
y
4
√29
) = 42°
𝛉𝒛 = 𝟒𝟐°
3. Se grafica el vector
a) Avanzar 2 unidades en X
a)
c) Avanzar 4 unidades en
Z
b) Avanzar 3 unidades en Y
b)
Z
4
c)
Z
4
d)
Z
4
d) Unir con flecha P1 con
P2
Z
4
P2
P2
2
P1
X
2
2
3
2
P1
Y
P1
Y
3
X
2
2
Y
P1
3
X
2
Walter Cortez Blanco
⃑V
Y
3
X
2
Desafío de hoy
Dados los puntos P1 , P2 , … . , P5, se pide:
a) módulo del vector indicado
b)
gráfica (papel milimétrico)
𝑃1 (0,0,0),
1. ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
𝑃1 𝑃2
2. ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
𝑃1 𝑃3
𝑃2 (4,4,4),
𝑃3 (2,8,0),
𝑃4 (−6, −2,7),
3. ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
𝑃3 𝑃2
Walter Cortez Blanco
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
4. −𝑃
2 𝑃3
𝑃5 (2, −4,1)
5. ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
𝑃5 𝑃3
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