CLASE 0: EL LENGUAJE CONJUNTISTA. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.
PROBLEMAS DE CONTEO.
- AQUÍ ESTAMOS OTRA VEZ…
Esta clase y la siguiente estarán destinadas a los conjuntos.
Son algo así como una unidad básica de la matemática. Todo se relaciona con
ellos de una u otra forma, de modo que poder interpretar el lenguaje conjuntista y
expresarse con él, les facilitará mucho las cosas.
Por supuesto, leíste todo el anexo teórico correspondiente antes de leer estas
clases.
Lo importante: lograr que la notación conjuntista se
vuelva cotidiana, lograr darnos cuenta rápidamente qué
se pretende simbolizar.
Por eso es especialmente importante enunciar en lenguaje coloquial, interpretar la
expresión simbólica.
Por ejemplo: A = {x Q / x > 0}
“A es el conjunto de números racionales
(fraccionarios), que son mayores que 0”
Una vez identificado coloquialmente el conjunto, una vez interpretado, podemos
decidir si un elemento le pertenece o no, si otro conjunto está incluido en él o no,
etc.
En este caso, podemos afirmar entre otras cosas:
1) 2/3 A
- 2/3 A
7 A
3 A
2) Si B = {x N / x > 4} , entonces B A
3) C / 0 C C A , o sea : “Cualquier conjunto que contenga al cero, no
está incluido en A”, o bien: “ Para todo conjunto C, si 0 es elemento de C ,
entonces C no está incluido en A”.
4)
U=Q
EJEMPLOS VARIOS:
1) Expresar por extensión o por extensión según corresponda:
a) A = {x ∈ N / |𝑥| = 3}
A = {3}
b) B = {x ∈ Z / |𝑥| = 3 }
universal!!!
B = {-3, 3} , observá la importancia del
c) C = {x ∈ Z / 2x + 1 = 7}
C = {3}
d) D = {x ∈ Z / 2x + 1 > 7}
D = {x ∈ Z / x > 3} = {4, 5, 6, …}
Observá que D no puede expresarse por extensión!!!
2) Siendo A = {1, 2, {2,3}, ∅ } , analizá el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
a) 1 ∈ A
b) 3 ∈ A
c) {2,3} ∈ A
d) {1, 2} ⊂ A
e) {2, 3} ⊂ A
f) ∅ ∈ A
g) ∅ ⊂ A
h) {∅} ⊂ A
Para poder resolver este ejercicio, lo primero que conviene hacer es analizar
cuántos elementos tiene el conjunto A, y cuáles son:
Tiene 4 elementos.
En el anexo teórico te recomendamos pensar el conjunto como una compra de
supermercado: al pasar por la caja tendrás en tu chango: el número 1, el
número 2, un paquete con los números 2 y 3 (estaban en promoción), y una
bolsa vacía.
Empecemos el análisis:
a) 1 es un elemento de A, de modo que la proposición dada es V.
b) ¿es 3 uno de los 4 elementos de A? NO!!! Por lo tanto, 3 no puede
relacionarse con A mediante pertenencia, la proposición es F. (cuando
comprás un paquete de galletitas, cada galletita no representa un
elemento de tu compra: pasás por la caja el paquete entero, una vez)
c) ¿es el “paquete” (conjunto {2, 3}) un elemento de tu conjunto: Sí, la
proposición es V.
d) ¿Cómo analizar la inclusión? Por la definición, un conjunto está incluido en
otro cuando todos los elementos del primero, pertenecen al segundo. Para
analizar la inclusión hay que “abrir” , en este caso el conjunto {1, 2} y
analizar si cada uno de sus elementos (el 1 y el 2) son elementos de A,
como eso se verifica, la proposición es V.
e) ¿qué pasa ahora? Al abrir el conjunto {2, 3} y mirar, vemos el 3, que no
es elemento de A! de modo que la inclusión no se cumple. La proposición
es F.
f) El vacío (una bolsa vacía) es uno de los 4 elementos de A: la proposición
es V.
g) Cuidado ahora la justificación: esta proposición es verdadera por
propiedad: el conjunto vacío está incluido en todos los conjuntos (ver
demostración en anexo teórico)
h) También verdadera. Con otra justificación: al “abrir” la bolsa del conjunto
{∅} tenemos un elemento de A.
3) Realizá las operaciones indicadas y representá mediante los diagramas de
Venn correspondientes (te dejamos esos gráficos para pensar…) , siendo:
U = {x ∈ Z / -3 ≤ x < 4} ∪ {7, 9 }
A = {x ∈ U/ x > -1 } − {7}
B = {x ∈ U / |𝑥 | = 3 ∨ |𝑥| = 2}
C = { - 2, -1, 3, 9}
a) A ∪ 𝐵
f) A ∪ 𝐵 ∪ 𝐶
b) A ∩ B
g) A ∩ 𝐶̅
c) A – C
h) A ∪ 𝐶̅
d) B – (A ∪ C) e) A ∆ B
i) A∩ 𝐵 ∩ 𝐶 j) 𝐵 ∩ ̅̅̅̅̅̅̅
𝐴∪𝐶
Podemos empezar haciendo un gráfico de Venn que nos ayude a identificar la
ubicación de los elementos:
U
B
A
-3
0
2
1
3
-2
9
7
-1
C
Aclaración: en cada uno de los siguientes gráficos seguiremos la misma
disposición de los conjuntos, para que identifiques qué zona ha sido
sombreada en cada caso.
a) A∪ 𝐵 = {0, 1, 2, 3, −3, −2, 9}, todos los elementos de A o de B
b) A∩ 𝐵 = {2, 3} , los elementos que están en A y B
c) A – C = {0, 1, 2} , los elementos de A que no están en C
d) B – (A ∪ C)= {-3} , los elementos de B que no están en A∪ 𝐶
𝑒) 𝐴 △ 𝐵 = {0, 1, 9, -3, -2}, los elementos de la unión que no están en la
intersección.
La unión de la zona amarilla con la celeste (excluyendo la zona verde)
constituye la diferencia simétrica.
𝑓) 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = {0, 1, 2, 3, -3, -2, -1, 9} = U – {7}
𝑔) 𝐴 ∩ 𝐶̅ = A ∩ {0, 1, 2, - 3, 7}= {0, 1, 2}
Observá: A ∩ 𝐶̅ = A – C !!!
h)A ∪ 𝐶̅ = A U {0, 1, 2, - 3, 7} = A U {-3, 7}
i) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {3}, simultáneamente en los 3!!!
̅̅̅̅̅̅̅
j)B ∩ 𝐴
∪ 𝐶 = B ∩ {-3, 7} =
̅̅̅̅̅̅ = B - C
Observar: B ∩ 𝐴𝑈𝐶
{-3}
