Guía Pensamiento Matemática II

1
CONTENIDO
Pensamiento Matemático II ........................................................................................... 7
DATOS DEL ALUMNO ..................................................................................................... 7
Ubicación de la UAC .................................................................................................... 21
SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 1 ..................................................................................... 24
¿Cuándo voy a usar esto? ............................................................................................ 24
Propósito de la SA 1 ..................................................................................................... 25
APRENDIZAJES DE TRAYECTORIA ................................................................................. 26
Situación de Aprendizaje 1........................................................................................... 27
Instrumento de Evaluación Situación Didáctica 1 ......................................................... 28
Evaluación Diagnóstica SA1 ......................................................................................... 30
Elementos, símbolos matemáticos, representaciones matemáticas. ............................. 32
Reglas dentro del lenguaje de las matemáticas............................................................ 36
El algebra que podemos ver ......................................................................................... 37
Término algebraico. .................................................................................................... 38
Reducción de expresiones algebraicas. ........................................................................ 42
Resumen grafico.......................................................................................................... 46
PM2-SA1-LC01 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 01: TAREA 01: Reducción de
expresiones algebraicas............................................................................................... 50
Del Lenguaje Común al Lenguaje Algebraico ................................................................ 51
El lenguaje algebraico presente en la vida cotidiana. ................................................... 56
Ecuaciones .................................................................................................................. 59
PARA SABER MÁS, ....................................................................................................... 61
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita....................................... 61
Solución de ejercicios de incógnita de un lado de la igualdad. ...................................... 61
Solución de ejercicios de incógnita de ambos lados de la igualdad ............................... 62
Desigualdades matemáticas: clave para decisiones inteligentes................................... 63
2
Modelado de inecuaciones o desigualdades matemáticas aplicadas ............................ 64
PARA SABER MÁS ........................................................................................................ 65
Propiedades de las desigualdades................................................................................ 65
PARA SABER MÁS ........................................................................................................ 66
Resolución de inecuaciones o desigualdades matemáticas ........................................... 66
PARA SABER MÁS ........................................................................................................ 67
Resolución del problema contextualizado anteriormente. ............................................ 67
PM2-SA1-LC02 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 02: Modelos algebraicos ................. 70
CUESTIONARIO TIPO PLANEA SA 1 ............................................................................... 71
PM2-SA2-MA01 Mapa de aprendizaje para evaluar las progresiones de la SA 1 ........... 73
Referencias SA 1 .......................................................................................................... 74
SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 2 ..................................................................................... 75
“El que parte y reparte s…” .......................................................................................... 75
Propósito de la SA 2 ..................................................................................................... 76
APRENDIZAJES DE TRAYECTORIA ................................................................................. 77
Situación de Aprendizaje 2........................................................................................... 79
Instrumento de Evaluación Situación Didáctica 2 ......................................................... 81
Evaluación Diagnóstica SA2 ......................................................................................... 83
Algoritmo de la división ............................................................................................... 85
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ........................................................................................ 86
Descomposición de factores primos ............................................................................. 88
PM2-SA2-ACT04 ................................................................................................................. 90
Definición del Máximo Común Divisor: (M.C.D) ............................................................ 92
Definición del Mínimo Común Múltiplo: (M.C.M) ......................................................... 93
PM2-SA2-TAREA03 ............................................................................................................. 94
PM2-SA2-LC03 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 03: Problemario: MCD y MCM ......... 95
Números reales ........................................................................................................... 96
PM2-SA2 ACT05 .................................................................................................................. 97
Porcentajes ................................................................................................................. 98
Razón .......................................................................................................................... 98
3
Proporción .................................................................................................................. 99
Proporción directa ..................................................................................................... 100
Aplicación en situaciones de contextos ...................................................................... 102
Proporción Inversa .................................................................................................... 102
Repartos Proporcionales ............................................................................................ 105
Reparto Proporcional Directo simple.......................................................................... 106
Reparto Proporcional Inverso Simple ......................................................................... 107
PM2-SA2 ACT06 ................................................................................................................ 109
PM2-SA2-TAREA04 ........................................................................................................... 110
PM2-SA2-LC04 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 04: Problemario: Porcentajes,
Proporcionalidad Directa e Indirecta y Reparto Proporcional ..................................... 112
El interés ................................................................................................................... 113
Tipos de interés: ........................................................................................................ 114
PM2-SA2-TAREA05 ........................................................................................................... 120
PM2-SA2-LC05 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 05: Problemario: interés simple y
compuesto ................................................................................................................ 122
CUESTIONARIO TIPO PLANEA SA 2 ............................................................................. 123
PM2-SA2-MA02 Mapa de aprendizaje para evaluar las progresiones de la SA 2 ......... 125
Referencias SA 2 ........................................................................................................ 126
SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 3 ................................................................................... 127
“Mi solicitud” ............................................................................................................ 127
Propósito de la SA 3 ................................................................................................... 128
APRENDIZAJES DE TRAYECTORIA ............................................................................... 129
Situación de Aprendizaje 3......................................................................................... 130
Instrumento de Evaluación Situación Didáctica 3 ....................................................... 132
Evaluación Diagnóstica SA3 ....................................................................................... 134
Perímetros y áreas..................................................................................................... 137
Teorema de Napoleón ............................................................................................... 141
Teorema de Pitágoras. .............................................................................................. 143
Congruencia y Semejanza. ......................................................................................... 143
4
PM2-SA3-TAREA06 ........................................................................................................... 151
PM2-SA3-LC06 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 06: Problemario ............................ 152
Plano cartesiano........................................................................................................ 153
¿Cómo localizar puntos en el plano cartesiano? ......................................................... 154
Punto, recta y segmento de recta. ............................................................................. 157
Distancia entre dos puntos. ....................................................................................... 158
Fórmula de Herón. ..................................................................................................... 160
¡Para saber más! ....................................................................................................... 163
CUESTIONARIO TIPO PLANEA SA 3 ............................................................................. 164
PM2-SA2-MA03 Mapa de aprendizaje para evaluar las progresiones de la SA 3 ......... 167
Referencias SA 3 ........................................................................................................ 168
SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 4 ................................................................................... 169
Propósito de la SD 4................................................................................................... 170
APRENDIZAJES DE TRAYECTORIA ............................................................................... 171
Situación Didáctica 4 ................................................................................................. 173
Evaluación Diagnóstica SA4 ....................................................................................... 178
Relaciones y funciones ............................................................................................... 181
Funciones Polinomiales.............................................................................................. 183
Formas de representar una función............................................................................ 184
Funciones lineales f(x)=mx+b y cuadráticas f(x)=x^2+bx+c .......................................... 187
PM2-SA4-TAREA07 ........................................................................................................... 195
PM2-SA4-LC07 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 07: Problemario: Funciones lineales y
cuadráticas ............................................................................................................... 196
Sistemas de ecuaciones de 2 ecuaciones con 2 incógnitas ........................................... 197
Sistemas de ecuaciones de 3 ecuaciones con 3 incógnitas ........................................... 203
PM2-SA4-TAREA08 ........................................................................................................... 206
PM2-SA4-LC08 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 08: Problemario: Sistemas de
ecuaciones lineales .................................................................................................... 207
Inecuaciones ............................................................................................................. 208
PM2-SA2 ACT04 ................................................................................................................ 212
5
PM2-SA4-TAREA09 ........................................................................................................... 223
PM2-SA4-LC09 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 09: Problemario: Teorema
fundamental de la programación lineal ..................................................................... 224
CUESTIONARIO TIPO PLANEA SA 4 ............................................................................. 226
PM2-SA4-MA04 Mapa de aprendizaje para evaluar las progresiones de la SA 4 ......... 228
Referencias SA 4 ........................................................................................................ 229
HIMNO COLEGIO ....................................................................................................... 230
PORRA INSTITUCIONAL .............................................................................................. 231
COBACHITO ............................................................................................................... 232
Haz clic sobre mí, te
enlazaré a la página de
COBATAB para que
descargues todas tus guías
y consultes lo necesario
para este nuevo inicio.
¡ÉXITO!
6
Pensamiento Matemático II
DATOS DEL ALUMNO
Nombre: ______________________________________________Plantel: __________
2do Semestre Grupo: ______
Turno: _________________
No olvides los días de las clases de Probabilidad y estadística I
No olvides tus clases de Pensamiento Matemático II, anota para tener
presente, ¡MUCHO ÉXITO!
Clases en
el día
LUNES
MARTES
MIÉRCOLES JUEVES
VIERNES
1ª Clase
2ª Clase
3ª Clase
4ª Clase
5ª Clase
6ª Clase
7ª Clase
IMPORTANTE:
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_________________________
7
Directorio de COLEGIO DE BACHILLERES DE TABASCO
MTRO. ERASMO MARTÍNEZ RODRÍGUEZ
Director General
MTRA. SONIA LÓPEZ IZQUIERDO
Directora Académica
DRA. GISELLE OLIVARES MORALES
Subdirectora de Planeación Académica
MTRA. ALEJANDRINA LASTRA COLORADO
Jefe del Departamento de Programas de Estudio
UAC: PENSAMIENTO MATEMÁTICO II
Edición: 2023
En la realización del presente material, participaron:
Asesor Académico: LORENZO MENDOZA GÓMEZ P-5
Docentes Participantes:
Docente
Abisai
Abraham de Jesús
Adriana
Adriana
Araceli
Aversain
Beatriz Estefanía
Daniel
Diana Beatriz
*Diana Emily
Enny Dolores
Felipe
Centro
Carrillo
Corona
Reyes
Soberano
Chablé
Juárez
Salado
Pérez
Aguilar
Peregrino
Morales
Basulto
Zentella
Maldonado
Ramos
Morales
Hernández
Custodio
Hernández
Acosta
Domínguez
Jiménez
López
Hernández
Plantel 32
Plantel 2
Plantel 42
EMSaD 2
Plantel 33
Plantel 2
Plantel 8
Plantel 7
Plantel 3
Plantel 3
Plantel 22
Plantel 2
8
Gabriel
Gerardo
Guillermo
Hernán
Ignacio
Javier
*Jesús Enrique
José de la Luz
Ulín
Jiménez
Balderas
Gómez
Magaña
Molina
Garcés
García
Martínez
Pérez
Díaz
Rodríguez
Hernández
Morales
Rodríguez
Hernández
Plantel 5
Plantel 30
Juan Alberto
Jiménez
Hernández
Plantel 5
*Kevin Ramón
Bravo
Escolástico
Lorenzo
*Luis Felipe
Luis Miguel
Manolo
Marcela
Marcos Alberto
*Moisés
Nancy
Mendoza
Córdova
Ruiz
Martínez
Mendoza
Landero
Jiménez
Arias
Gómez
Carrasco
Rodríguez
Fajardo
Sánchez
De la Cruz
Jiménez
Chablé
*Ramón Augusto
Raúl
Román
*Román Antonio
*Seydi Guadalupe
Sonia Iris
Susana
Wilber Gabriel
Escobar
Hernández
Vicente
Chablé
de la O
Castillo
Suárez
Morales
Priego
Payró
Hernández
Olán
Colomé
Hernández
Pérez
de los Santos
Yahaira Esther
José de Jesús
García
Winzig
Torres
Vázquez
Plantel 2
Plantel 5
Plantel 6
Plantel 2
Plantel 35
Plantel 28
Plantel 2
Plantel 1
Plantel 4
Plantel 5
Plantel 5
Plantel 2
Plantel 30
Plantel 21
Plantel 6
Plantel 2
Plantel 6
Plantel 5
Plantel 2
Plantel 29
Plantel 9
EMSaD 59
Plantel 28
Plantel 34
Este material fue elaborado bajo la
coordinación y supervisión del
Departamento de Programas de Estudio
de la Dirección Académica del Colegio
de Bachilleres del Estado de Tabasco,
concluyendo su edición en el mes de
diciembre del año 2023.
@ Derechos en proceso de registro.
Queda prohibida la reproducción total o
parcial de este material por cualquier
medio electrónico o mecánico, para
fines ajenos a los establecidos por el
COBATAB.
Para uso de la Comunidad del Colegio
de Bachilleres de Tabasco (COBATAB)
www.cobatab.edu.mx
Plantel 4
Moderador: DR. REYLE MAR SARAO
Proyecto Transversal:
∙ Mtro. Fernando Yrys Hernández
Jefe Departamento de Laboratorios
* Asesor de equipo
9
Presentación
La Dirección General del Colegio de Bachilleres de Tabasco siguiendo las orientaciones pedagógicas
de la NEM, a través de la participación de docentes del área de matemáticas adscritos a diferentes
planteles, valorando la experiencia de la enseñanza dentro del área las matemáticas, ha
desarrollado la presente guía didáctica estatal en correspondencia a la UAC de Pensamiento
matemático II y pretende que los estudiantes de nuestro COBATAB posean claridad en la
manipulación algebraica.
En ella se señalan los aspectos curriculares propios de la UAC, como son las progresiones que lo
conforman, los aprendizajes de trayectoria a las cuales aportan, las categorías que guían el
desarrollo y las subcategorías que establecen sus elementos transversales y como se distribuyeron
para generar bloques de progresiones relacionados y fundamentados.
De acuerdo con los bloques de progresiones conformados desde la experiencia docente, los
aprendizajes de trayectoria y el enunciado de cada progresión individual, se desarrolló un andamiaje
temático, el cual se articula en cada bloque por medio de una situación de aprendizaje (SA) en la
que intervienen los contenidos temáticos como guía para resolver una problemática
contextualizada. Para el desarrollo de la UAC Pensamiento matemático II se han establecido 4
bloques de progresiones, con sus correspondientes situaciones de aprendizajes, acompañadas de
sus instrumentos de evaluación, fundamentados en las metas de aprendizaje de cada progresión,
para contribuir al desarrollo de los aprendizajes de trayectoria de este recurso sociocognitivo.
La NEM propone la enseñanza del pensamiento matemático a través de la intuición y métodos
heurísticos que tiendan a formalizarse progresivamente y empleando metodologías activas se
trabaje en el MCCEMS el desarrollo del pensamiento matemático de las y los estudiantes. Por ello
esta guía propone también 9 tareas evaluables, a lo largo del semestre, como parte del desarrollo
de un proceso formativo de asimilación de conceptos y habilidades, dichas tareas también están
acompañadas con su respectivo instrumento de evaluación. Es importante mencionar que las tareas
establecidas para cada bloque son parte esencial del proceso de enseñanza aprendizaje, y se da la
oportunidad de que cada docente modifique el enfoque de acuerdo con su contexto, pero cuidando
siempre que se aborden y evalúen las metas de aprendizaje, para dar paso a la presentación,
socialización y evaluación del producto que brinde la solución a la situación de aprendizaje.
10
En la planeación didáctica estatal se proponen los tipos de evaluaciones en las diversas tareas y
situaciones de aprendizaje, pero el docente tiene la libertad de elegir entre autoevaluar, coevaluar
y/o heteroevaluar de acuerdo con los momentos del proceso de enseñanza-aprendizaje y del
contexto de su grupo(s), lo importante es ejercer la práctica de evaluar; pues fortalece el proceso
socio formativo en el aprendizaje de los estudiantes. Al final de cada sección que abarca cada bloque
de progresiones, sus respectivas situaciones de aprendizaje y tareas se incluye un mapa de
aprendizaje; esto para realizar una autoevaluación que permite a cada estudiante y al docente
mismo conocer el nivel de logro en los aprendizajes de trayectoria establecidos para concientizar su
progreso en su ruta de desarrollo educativo. Por último, no puede omitirse señalar que para facilitar
el desarrollo de estrategias de trabajo en algunos contenidos en el aula y fuera de ella, se insertan
códigos QR e imágenes con sus respectivo enlace o dirección electrónica, dándole la versatilidad
que se requiere para el desarrollo del aprendizaje autónomo en las horas de estudio independiente.
Este trabajo está alineado a la Planeación Didáctica Estatal de la Unidad de Aprendizaje Curricular
de Pensamiento Matemático II , en el que de acuerdo con sus habilidades cada docente puede
realizar las adaptaciones necesarias (en las evaluaciones diagnosticas, tareas y cuestionarios) de
acuerdo con su contexto escolar y de grupos, mediante la fundamentación de las adaptaciones en
aras de un mejor aprendizaje para sus grupos.
Como complemento podrás encontrar en el siguiente sitio el conjunto de los documentos rectores
del nuevo Marco Curricular Común de la Educación Media Superior de la Nueva Escuela Mexicana:
https://educacionmediasuperior.sep.gob.mx/propuestaMCCEMS
Así mismo, los docentes que participaron en la elaboración de esta guía ponen a su disposición
diversos recursos que esperamos faciliten el proceso de transición hacia el modelo educativo de la
NEM y fortalezcan el desarrollo de su tarea educativa en esta Unidad de Aprendizaje Curricular.
ATENTAMENTE
Docentes Participantes
11
Fundamentación
En el desarrollo de las políticas públicas en materia de educación en nuestro país se emite el acuerdo
número 17/08/22 por el que se implementa y regula el nuevo Marco Curricular Común de la
Educación Media Superior (MCCEMS) de la Nueva Escuela Mexicana (NEM), el cual Tiene como
propósito principal desarrollar una base de habilidades, de conocimientos y de cultura para
adolescentes y jóvenes, que les permita aprender a aprender de por vida. El Pensamiento
Matemático se incluye dentro del nuevo Marco Curricular Común de la Educación Media Superior
como un recurso sociocognitivo, con la finalidad de lograr una formación humana e integral para
todas y todos los jóvenes de México. Se concibe de manera amplia: la matemática deja de ser
únicamente un conjunto de algoritmos que muchas veces son aplicados de manera mecánica y
descontextualizada, para convertirse en un medio a través del cual el estudiantado pueda trabajar
en la adquisición y mejoramiento de habilidades y destrezas del pensamiento tales como observar,
intuir, conjeturar, argumentar, la capacidad para modelar y entender, a través del lenguaje
matemático, algunos fenómenos sociales, naturales e incluso de su vida personal.
El recurso de pensamiento matemático se encuentra articulada en 3 Unidades de Aprendizaje
Curricular (UAC) que se consideran como la serie o conjunto de aprendizajes que integran una
unidad completa que tiene valor curricular porque ha sido objeto de un proceso de evaluación,
acreditación y/o certificación. Estas UAC son las siguientes: Pensamiento matemático 1, la cual se
aborda en primer semestre e incluye progresiones que se relacionan con el pensamiento
probabilístico y estadístico, Pensamiento matemático 2, la cual se aborda en segundo semestre y
aborda progresiones correspondientes al pensamiento aritmético, algebraico y geométrico, por
último, Pensamiento matemático 3, la cual se aborda en el tercer semestre y aborda progresiones
correspondientes a algunos elementos del pensamiento variacional.
12
Progresiones de aprendizaje, metas, categorías y subcategorías
Compara, considerando sus aprendizajes de trayectoria, el lenguaje natural con el lenguaje
matemático para observar que este último requiere de precisión y rigurosidad.
1
2
3
METAS
CATEGORÍAS
SUBCATEGORÍAS
M1 Describe situaciones o
fenómenos
empleando
C4 Interacción y lenguaje S1 Registro escrito, simbólico,
rigurosamente el lenguaje
matemático
algebraico e iconográfico
matemático y el lenguaje
natural.
Revisa algunos elementos de la sintaxis del lenguaje algebraico considerando que en el álgebra
buscamos la expresión adecuada al problema que se pretende resolver (utilizamos la expresión
simplificada, la expresión desarrollada de un número, la expresión factorizada, productos
notables, según nos convenga).
METAS
CATEGORÍAS
SUBCATEGORÍAS
M1 Ejecuta cálculos y
algoritmos para resolver
S1 Elementos aritméticoC1 Procedural
problemas matemáticos, de
algebraicos.
las ciencias y de su entorno.
M2 Socializa con sus pares sus
conjeturas, descubrimientos o
C4 Interacción y lenguaje S1 Registro escrito, simbólico,
procesos en la solución de un
matemático
algebraico e iconográfico.
problema tanto teórico como
de su entorno.
Examina situaciones que puedan modelarse utilizando lenguaje algebraico y resuelve problemas
en los que se requiere hacer una transliteración entre expresiones del lenguaje natural y
expresiones del lenguaje simbólico del algebra
METAS
CATEGORÍAS
SUBCATEGORÍAS
M2 Analiza los resultados
obtenidos
al
aplicar
procedimientos algorítmicos
S1 Elementos aritméticopropios del Pensamiento C1 Procedural.
algebraicos.
Matemático en la resolución
de problemáticas teóricas y de
su contexto.
M2 Construye un modelo
matemático, identificando las
variables de interés, con la
C3 Solución de problemas y
finalidad de explicar una
S1 Uso de modelos.
modelación.
situación o fenómeno y/o
resolver un problema tanto
teórico como de su entorno.
13
S1 Registro escrito, simbólico,
M1 Describe situaciones o
algebraico e iconográfico.
fenómenos
empleando
C4 Interacción y lenguaje S2
Negociación
de
rigurosamente el lenguaje
matemático.
significados.
matemático y el lenguaje
S3 Ambiente matemático de
natural.
comunicación.
4
5
Explica algunas relaciones entre números enteros utilizando conceptos como el de divisibilidad,
el de número primo o propiedades generales sobre este conjunto numérico, apoyándose del uso
adecuado del lenguaje algebraico.
METAS
CATEGORÍAS
SUBCATEGORÍAS
M2 Desarrolla la percepción y
S1 Capacidad para observar y
la intuición para generar
C2 Procesos de intuición y conjeturar.
conjeturas ante situaciones
razonamiento.
S2 Pensamiento intuitivo.
que requieren explicación o
S3 Pensamiento formal.
interpretación.
M2 Socializa con sus pares sus
S2
Negociación
de
conjeturas, descubrimientos o
C4 Interacción y lenguaje significados.
procesos en la solución de un
matemático.
S3 Ambiente matemático de
problema tanto teórico como
comunicación.
de su entorno.
Conceptualiza el máximo común divisor (M.C.D.) y mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos
números enteros y los aplica en la resolución de problemas.
METAS
M1 Ejecuta cálculos y
algoritmos para resolver
problemas matemáticos, de
las ciencias y de su entorno.
CATEGORÍAS
M3
Comprueba
los
C1 Procedural
procedimientos usados en la
resolución de problemas
utilizando diversos métodos,
empleando
recursos
tecnológicos o la interacción
con sus pares.
M3 Aplica procedimientos,
técnicas
y
lenguaje
matemático para la solución C3 Solución de problemas y
de problemas propios del modelación.
Pensamiento Matemático, de
Áreas
de
Conocimiento,
SUBCATEGORÍAS
S1 Elementos
algebraicos.
aritmético-
S3 Estrategias heurísticas y
ejecución de procedimientos
no rutinarios
14
Recursos
Sociocognitivos,
Recursos Socioemocionales y
de su entorno.
6
7
Revisa desde una perspectiva histórica al conjunto de los números reales, comenzando con la
consideración de números decimales positivos hasta llegar a la presentación de la estructura de
campo ordenado de los números reales.
METAS
CATEGORÍAS
SUBCATEGORÍAS
M3
Comprueba
los
procedimientos usados en la
resolución de problemas
S1 Elemento
aritméticoutilizando diversos métodos, C1 Procedural.
algebraicos.
empleando
recursos
tecnológicos o la interacción
con sus pares
M1 Observa y obtiene
información de una situación o
S1 Capacidad para observar y
fenómeno para establecer C2 Procesos de intuición y
conjeturar.
estrategias o formas de razonamiento.
S2 Pensamiento intuitivo.
visualización que ayuden a
entenderlo.
Resuelve situaciones-problema significativas para el estudiantado que involucren el estudio de
proporcionalidad tanto directa como inversa, así como también el estudio de porcentajes,
empleando la estructura algebraica de los números reales.
METAS
CATEGORÍAS
SUBCATEGORÍAS
M3
Compara
hechos,
opiniones o afirmaciones para
organizarlos en formas lógicas C2 Procesos de intuición y S2 Pensamiento intuitivo. S3
útiles en la solución de razonamiento
Pensamiento formal.
problemas y explicación de
situaciones y fenómenos.
M4 Construye y plantea
posibles
soluciones
a
problemas de Áreas de
S3 Estrategias heurísticas y
Conocimiento,
Recursos C3 Solución de problemas y
ejecución de procedimientos
Sociocognitivos,
Recursos modelación.
no rutinarios.
Socioemocionales y de su
entorno, empleando técnicas
y lenguaje matemático.
15
8
9
Discute la conformación de un proyecto de vida considerando elementos básicos de la
matemática financiera tales como interés simple y compuesto, ahorros y deudas a través de la
aplicación de la estructura algebraica de los números reales y con la finalidad de promover la
toma de decisiones más razonadas
METAS
CATEGORÍAS
SUBCATEGORÍAS
M2 Construye un modelo
matemático, identificando las
variables de interés, con la
C3 Solución de problemas y
finalidad de explicar una
S2 Construcción de modelos.
modelación
situación o fenómeno y/o
resolver un problema tanto
teórico como de su entorno.
M1 Describe situaciones o
fenómenos
empleando
rigurosamente el lenguaje
matemático y el lenguaje
natural.
C4 Interacción y lenguaje S3 Ambiente matemático de
matemático
comunicación.
M2 Socializa con sus pares sus
conjeturas, descubrimientos o
procesos en la solución de un
problema tanto teórico como
de su entorno.
Conceptualiza el área de una superficie y deduce fórmulas para calcular áreas de figuras
geométricas simples como rectángulos, triángulos, trapecios, etc., utilizando principios y
propiedades básicas de geometría sintética.
METAS
CATEGORÍAS
SUBCATEGORÍAS
M2 Analiza los resultados
obtenidos
al
aplicar
procedimientos algorítmicos
propios del Pensamiento C1 Procedural.
S2 Elementos geométricos.
Matemático en la resolución
de problemáticas teóricas y de
su contexto.
M2 Desarrolla la percepción y
la intuición para generar
conjeturas ante situaciones
S1 Capacidad para observar y
que requieren explicación o C2 Procesos de intuición y conjeturar.
interpretación.
razonamiento.
S2 Pensamiento intuitivo
S3 Pensamiento formal.
M4 Argumenta a favor o en
contra de afirmaciones acerca
16
de situaciones, fenómenos o
problemas propios de la
matemática, de las ciencias o
de su contexto.
10
11
Revisa el teorema del triángulo de Napoleón, considerándolo como un problema-meta en el que
se aplican resultados de la geometría euclidiana como: Teorema de Pitágoras, criterios de
congruencia y semejanza de triángulos, caracterizaciones de cuadriláteros concíclicos, entre
otros.
METAS
CATEGORÍAS
SUBCATEGORÍAS
M1 Observa y obtiene
información de una situación o
fenómeno para establecer
estrategias o formas de
visualización que ayuden a
S1 Capacidad para observar y
entenderlo.
conjeturar.
C2 Procesos de intuición y
S2 Pensamiento intuitivo.
razonamiento
M4 Argumenta a favor o en
S3 Pensamiento formal.
contra de afirmaciones acerca
de situaciones, fenómenos o
problemas propios de la
matemática, de las ciencias o
de su contexto.
M2 Socializa con sus pares sus
conjeturas, descubrimientos o
procesos en la solución de un
problema tanto teórico como
de su entorno.
S1 Registro escrito, simbólico,
C4 Interacción y lenguaje algebraico e iconográfico.
M3
Organiza
los matemático.
S3 Ambiente matemático de
procedimientos empleados en
comunicación.
la solución de un problema a
través
de
argumentos
formales para someterlo a
debate o a evaluación.
Emplea un sistema de coordenadas y algunos elementos básicos de geometría analítica como la
distancia entre dos puntos en el plano para calcular áreas de figuras geométricas básicas y
compara estos resultados con los cálculos obtenidos empleando principios básicos de geometría
sintética.
METAS
CATEGORÍAS
SUBCATEGORÍAS
M2 Analiza los resultados
obtenidos
al
aplicar
C1 Procedural
S2 Elementos geométricos
procedimientos algorítmicos
propios del Pensamiento
17
Matemático en la resolución
de problemáticas teóricas y de
su contexto.
M1 Selecciona un modelo
matemático por la pertinencia
de sus variables y relaciones
C3 Solución de problemas y
para explicar una situación,
S1 Uso de modelos
modelación.
fenómeno o resolver un
problema tanto teórico como
de su contexto.
12
Modela situaciones y resuelve problemas significativos para el estudiantado tanto de manera
algebraica como geométrica al aplicar propiedades básicas de funciones lineales, cuadráticas y
polinomiales.
METAS
CATEGORÍAS
SUBCATEGORÍAS
M2 Construye un modelo
matemático, identificando las
S2 Construcción de modelos.
variables de interés, con la
C3 Solución de problemas y S3 Estrategias heurísticas y
finalidad de explicar una
modelación.
ejecución de procedimientos
situación o fenómeno y/o
no rutinarios.
resolver un problema tanto
teórico como de su entorno.
13
Resuelve problemáticas provenientes de las áreas del conocimiento que involucren la resolución
de sistemas de ecuaciones lineales y considera una interpretación geométrica de estos sistemas.
14
METAS
CATEGORÍAS
M3 Aplica procedimientos,
técnicas
y
lenguaje
matemático para la solución
de problemas propios del
C3 Solución de problemas y
Pensamiento Matemático, de
modelación.
Áreas
de
Conocimiento,
Recursos
Sociocognitivos,
Recursos Socioemocionales y
de su entorno.
SUBCATEGORÍAS
S1 Uso de modelo.
S3 Estrategias heurísticas y
ejecución de procedimientos
no rutinarios.
Modela situaciones y resuelve problemas en los que se busca optimizar valores aplicando el
teorema fundamental de la programación lineal y combinando elementos del lenguaje algebraico
que conciernen al estudio de desigualdades y sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
METAS
CATEGORÍAS
SUBCATEGORÍAS
M4 Argumenta a favor o en
S1 Capacidad para observar y
C2 Procesos de intuición y
contra de afirmaciones acerca
conjeturar.
razonamiento
de situaciones, fenómenos o
S2 Pensamiento intuitivo.
18
problemas propios de la
matemática, de las ciencias o
de su contexto.
M4 Construye y plantea
posibles
soluciones
a
problemas de Áreas de
Conocimiento,
Recursos
Sociocognitivos,
Recursos
Socioemocionales y de su
entorno, empleando técnicas
y lenguaje matemático.
M3
Organiza
los
procedimientos empleados en
la solución de un problema a
través
de
argumentos
formales para someterlo a
debate o a evaluación.
S3 Pensamiento formal.
S1 Uso de modelo.
C3 Solución de problemas y S3 Estrategias heurísticas y
modelación.
ejecución de procedimientos
no rutinarios.
S1
Registro
simbólico,
algebraico e iconográfico.
C4 Interacción y lenguaje S2
Negociación
de
matemático
significados.
S3 Ambiente matemático de
comunicación
19
Enfoque de la Unidad de Aprendizaje Curricular
En el programa de Pensamiento Matemático II se abordan 14 progresiones de aprendizaje
que tienen impacto en el logro de las metas de aprendizaje clasificadas utilizando las cuatro
categorías y empleando algunas de sus subcategorías. Las metas de aprendizaje de
Pensamiento Matemático refieren a lo que se espera que el estudiantado aprenda durante
la trayectoria de la UAC
Cada progresión de aprendizaje articula los contenidos y habilidades del Pensamiento
Matemático que deberán abordarse a lo largo del semestre y buscarse desarrollar en el
estudiantado. Las categorías y subcategorías orientan la práctica docente hacia el
favorecimiento de este tipo de pensamiento en las y los estudiantes. Cada progresión tiene
asociada una o más metas de aprendizajes, las cuales no tienen por qué leerse como una
camisa de fuerza sino como una sugerencia orientadora, por eje rector de una práctica
exitosa se tiene que buscar un equilibrado trabajo en cada una de las cuatro categorías del
pensamiento matemático a lo largo del semestre.
Las progresiones de aprendizaje de Pensamiento Matemático cuentan con anotaciones
didácticas, las cuales son sugerencias para su abordaje. En el caso de Pensamiento
Matemático II, de las anotaciones didácticas se deduce el enfoque adecuado para trabajar
el pensamiento aritmético, algebraico y geométrico. Busca en los estudiantes que, a través
del estudio de propiedades aritméticas de los números enteros y reales, y de propiedades
geométricas de diversos objetos matemáticos, trabaje en sus habilidades de observación,
sus habilidades para conjeturar y argumentar, para lograr así obtener una intuición educada
además de capacidades discursivas que resultan fundamentales en diversos rubros
profesionales y de la vida personal.
20
Ubicación de la UAC
1er Semestre
2do Semestre
3er Semestre
4to Semestre
5to Semestre
6to Semestre
Componente de
formación
propedéutica
(matemáticas)
Componente de
formación
propedéutica
Ecosistemas:
interacciones,
energía.
Organismos:
estructuras
y procesos.
Pensamiento
Matemático I
Pensamiento
Matemático II
Pensamiento
Matemático III
Temas Selectos de
Matemáticas I
La materia y sus
interacciones
Reacciones
químicas
La conservación
de la energía y su
interacción
Humanidades I
Humanidades II
Humanidades III
La energía en los
procesos de la
vida
Componente de
formación
propedéutica
(Humanidades)
Inglés I
Inglés II
Inglés III
Lengua
y
comunicación I
Lengua
y
comunicación II
Lengua
y
comunicación III
Cultura
digital
Informática I
Cultura
digital
Informática II
Ciencias sociales I
Ciencias sociales II
Inglés IV
Componente de
formación
propedéutica
Ciencias sociales
III
Componente de
formación
propedéutica
(Química, física.
biología)
Conciencia
histórica
I:
Perspectivas del
mundo antiguo a
la modernidad
Recurso socioemocional
Módulo
Módulo
Componente de
formación
propedéutica
(Inglés V)
Componente de
formación
propedéutica
Componente de
formación
propedéutica
Componente de
formación
propedéutica
(Geografía)
Conciencia
histórica II: El
mundo moderno,
el expansionismo
Módulo
Componente de
formación
propedéutica
(Ecología y medio
ambiente)
Conciencia
histórica III: La
realidad actual en
perspectiva
histórica
Módulo
21
Recursos didácticos
Para dar respuesta a la pregunta ¿en qué recursos me apoyo para trabajar las progresiones de
aprendizaje?, se sugiere el uso de simuladores, applets, programas de geometría dinámica, no sin
olvidar que el uso de esta tecnología puede remplazarse cuando sea necesario con materiales más
convencionales. Incluso, puede sacarse ventaja a los grupos numerosos para hacer simulaciones de
eventos aleatorios de forma colaborativa.
En el abordaje de las progresiones de la unidad de aprendizaje, es importante recordar que los
ambientes de aprendizaje pueden ser variados:
a) Aula: virtual o física.
b) Escuela: laboratorio, taller u otro.
c) Comunidad: casa, localidad o región.
En el caso de Pensamiento Matemático II, se recomienda estudiar las propiedades aritméticas y
geométricas a través de mosaicos deductivos, en los cuales se asumen algunos resultados
para poder continuar con el desarrollo deductivo, con la condición de que éstos puedan ser
revisados con mayor detenimiento en una etapa posterior de aprendizaje
Instrumentos de evaluación
Con el fin de mostrar el saber que subyace en los aprendizajes de trayectoria y/o metas de
aprendizaje permiten establecer una estrategia de evaluación, por tanto, contienen elementos
observables que deben ser considerados en la evaluación tales como:
▪
La participación
▪
Las actividades generativas
▪
Las actividades de análisis
Para ello se consideran instrumentos que pueden agruparse principalmente en (Díaz-Barriga, 2014)
Técnicas de observación
• Guía de observación: Las técnicas de observación permiten evaluar los procesos de
aprendizaje en el momento que se producen, La guía de observación es un instrumento
22
que se basa en una lista de indicadores que pueden redactarse ya sea como afirmaciones
o bien como preguntas, que orientan el trabajo de observación dentro del aula,
señalando los aspectos que son relevantes al observar. Esta guía puede utilizarse para
observar las respuestas de los alumnos en una actividad, durante una semana de trabajo,
una secuencia didáctica completa.
Técnicas para el análisis del desempeño
•
Rúbricas: Son guías que describen las características específicas de lo que se pretende
evaluar (productos, tareas, proyectos, exposiciones, entre otras) precisando los niveles
de rendimiento que permiten evidenciar según las categorías
aprendizaje logradas en
y las metas de
cada estudiante, valorar su ejecución y facilitar la
retroalimentación.
•
Portafolios: permiten mostrar el crecimiento gradual y los aprendizajes logrados con
relación al programa de estudios, centrándose en la calidad o nivel de competencia
alcanzado y no en una mera colección al azar de trabajos sin relación. Estos establecen
criterios y estándares para elaborar diversos instrumentos para la evaluación del
aprendizaje ponderando aspectos cualitativos de lo cuantitativo.
•
Listas de cotejo: Es una lista de palabras, frases u oraciones que señalan con precisión
las tareas, las acciones, los procesos y las actitudes que se desean evaluar
Los trabajos que pueden integrar en un portafolio y que pueden ser evaluados a través de rúbricas
son: ensayos, videos, series de problemas resueltos, trabajos artísticos, trabajos colectivos,
comentarios a lecturas realizadas, autorreflexiones, reportes de laboratorio, hojas de trabajo,
guiones, entre otros, los cuales deben responder a una lógica de planeación o proyecto.
Con base a lo anterior, los programas de estudio de Dirección General del Bachillerato deben incluir
elementos que enriquecen la labor formativa tales como la transversalidad, las habilidades
socioemocionales y la interdisciplinariedad trabajadas de manera colegiada y permanentemente en
el aula, consideran a la evaluación formativa como eje central al promover una reflexión sobre el
progreso del desarrollo de competencias
23
SITUACIÓN DE
APRENDIZAJE 1
¿Cuándo voy a usar esto?
24
Propósito de la SA 1
PROGRESIONES
1, 2, 3
En equipos de 5 estudiantes, elaborar una infografía donde se modele algebraicamente
5 situaciones en el contexto del desarrollo del huerto escolar, identificando las variables
y operaciones presentes en el enunciado de la situación en el lenguaje natural y sus
correspondencias en el lenguaje algebraico y presentarlo ante el grupo para su
socialización.
25
APRENDIZAJES DE TRAYECTORIA
•
Valora la aplicación de procedimientos automáticos y algorítmicos, así como la
interpretación de sus resultados, para anticipar, encontrar y validar soluciones a problemas
matemáticos, de áreas del conocimiento y de su vida personal.
•
Modela y propone soluciones a problemas tanto teóricos como de su entorno, empleando
lenguaje y técnicas matemáticas.
•
Explica el planteamiento de posibles soluciones a problemas y la descripción de situaciones
en el contexto que les dio origen empleando lenguaje matemático y lo comunica a sus pares
para analizar su pertinencia.
PROGRESIONES
1. Compara, considerando sus
aprendizajes de trayectoria, el
lenguaje natural con el lenguaje
matemático para observar que
este último requiere de
precisión y rigurosidad.
2. Revisa algunos elementos de la
sintaxis del lenguaje algebraico
considerando que en el álgebra
buscamos
la
expresión
adecuada al problema que se
pretende resolver (utilizamos la
expresión
simplificada,
la
expresión desarrollada de un
número,
la
expresión
factorizada,
productos
notables, según nos convenga).
3. Examina situaciones que
puedan modelarse utilizando
lenguaje algebraico y resuelve
problemas en los que se
requiere
hacer
una
transliteración
entre
expresiones
del
lenguaje
natural y expresiones del
lenguaje simbólico del algebra
Conocimientos (Conceptuales)
•
Elementos,
símbolos
matemáticos,
representaciones matemáticas.
o Constantes, variables literales y sus
convenciones.
o Símbolos
de
igualdades
y
desigualdades.
Símbolos de operaciones, símbolos de agrupación.
• Termino algebraico y sus elementos.
o Signo, coeficiente, literal y exponente.
• Expresión algebraica y sus elementos.
o Clasificación de las expresiones
algebraicas.
▪ Monomios.
▪ Binomios
▪ Polinomios.
o Reducción de expresiones algebraicas.
▪ Termino semejante.
Suma y resta de términos semejantes.
• Traducir del lenguaje natural al algebraico.
o Definir y representar variables.
o Definir y representar operaciones.
• Representación de situaciones mediante
ecuaciones e inecuaciones.
o Ecuación.
▪ Definición.
▪ Elementos
(operaciones,
términos, igualdad)
▪ Ejemplos.
o Inecuación.
▪ Definición y propiedades.
▪ Elementos
(operaciones,
términos, igualdad)
▪ Ejemplos
26
Situación de Aprendizaje 1
Estrategia
Didáctica:
Infografía
Título:
¿Cuándo voy a usar esto?
Contexto:
En el estudio de las matemáticas, particularmente en álgebra, algunos
estudiantes experimentan desmotivación debido a la falta de conexión entre
los conceptos aprendidos en esta disciplina y su aplicación práctica. Esta
desconexión entre los temas abordados en el aula y la realidad puede dar la
impresión de que los conocimientos adquiridos son aplicables solo en un
contexto abstracto, lo que finalmente resulta en una apatía hacia los temas y al
final en un bajo rendimiento académico.
Ante esta situación, los docentes y estudiantes del curso de Pensamiento
Matemático 2, en el Colegio de Bachilleres de Tabasco, han decidido tomar
cartas en el asunto y desean cerrar la brecha que existe entre los conocimientos
de álgebra y el entorno que les rodea, tanto en su escuela como en su
comunidad. Y para lograrlo, buscan responder a una interrogante clásica:
¿cuándo voy a usar esto? En este contexto, se abordará el tema de modelos
algebraicos, que implica la identificación de variables clave, datos y relaciones
en situaciones reales para representarlas mediante ecuaciones y expresiones
algebraicas.
Esto permitirá a los estudiantes comprender cómo esta rama de las
matemáticas se aplica en su contexto inmediato. Así mismo se ha decidido
que se apliquen estos conocimientos en el desarrollo del programa
institucional del huerto escolar, por lo cual se modelaran múltiples de las
situaciones que se experimentan en el desarrollo de este.
Conflicto
cognitivo:
1. ¿Cuáles son las diferencias del lenguaje que usamos diariamente con
el lenguaje de las matemáticas?
2. ¿Cómo se pueden traducir las situaciones relacionadas con el huerto
escolar a un lenguaje matemático?
3. ¿Qué elementos se deben incluir al traducir una situación a una
expresión algebraica?
4. ¿Qué es un modelo matemático y como puedo generar uno?
27
Instrumento de Evaluación Situación Didáctica 1
PM2-SA1-RU01 Rubrica para evaluar la Situación de Aprendizaje 1
COLEGIO DE BACHILLERES DE TABASCO PLANTEL No. ______
PENSAMIENTO MATEMATICO II
Situación
didáctica
Propósito de la
situación
Datos de identificación
PM2-SA2-RU02
¿Cuándo voy a usar
Bloque de
1
Progresiones
1, 2, 3
esto?
progresiones
En equipos de 5 estudiantes, elaborar una infografía donde se modele algebraicamente 5 situaciones en el
contexto del desarrollo del huerto escolar, identificando las variables y operaciones presentes en el
enunciado de la situación en el lenguaje natural y sus correspondencias en el lenguaje algebraico y
presentarlo ante el grupo para su socialización.
CATEGORIAS/SUBCATEGORIAS
CATEGORIAS
SUBCATEGORIAS
C1S1 Elemento aritmético-algebraicos
C1 Procedural
C3S1 Uso de modelos
C3 Solución de problemas y Modelación. C4S1 Registro escrito, simbólico, algebraico e iconográfico.
C4S2 Negociación de significados.
C4 Interacción y lenguaje matemático.
C4S3 Ambiente matemático de comunicación.
Nombre de los alumnos
Grupo
N. Lista:
N. Lista:
N. Lista:
N. Lista:
N. Lista:
N. Lista:
Evaluación
Puntuación
máxima
Ponderación
Procedural
4
25%
Solución de
problema y
modelación
4
25%
. Interacción y
lenguaje
matemático.
4
25%
Actitudinal
4
25%
CATEGORÍAS
Puntuación
obtenida
Retroalimentación
Logros
Aspectos
de mejora
TOTAL
16
100%
Calificación obtenida
28
Categoría
C1. Procedural.
C3. Solución de
problemas y
modelación.
C4 Interacción y
lenguaje matemático.
Actitudinal
NIVEL DE PROGRESO
Destacado (4)
Emplea los procedimientos
aprendidos para reducir las
expresiones algebraicas obtenidas
en el modelado, mostrando todas
en su forma simplificada.
Construye 5 modelos matemáticos
de forma correcta, identificando las
variables de interés, las
operaciones y símbolos necesarios,
con la finalidad de explicar una
situación de su entorno.
En la infografía, describe 5
situaciones de su entorno
mostrando los enunciados en
lenguaje natural y su
transliteración al lenguaje
algebraico utilizando los símbolos
propios de este de forma correcta
para representar expresiones,
ecuaciones e inecuaciones.
En la infografía, socializa con sus
pares sus transliteraciones de
forma clara, presenta disposición al
trabajo en equipo y cumple con
responsabilidad los criterios
indicados por el docente.
Nombre y Firma del Líder de equipo
Competente (3)
Emplea los procedimientos
aprendidos para reducir las
expresiones algebraicas obtenidas
en el modelado, mostrando la
mayoría en su forma simplificada.
Construye 3 modelos matemáticos
de forma correcta, identificando
las variables de interés, las
operaciones y símbolos
necesarios, con la finalidad de
explicar una situación de su
entorno.
En la infografía, describe 3
situaciones de su entorno
mostrando los enunciados en
lenguaje natural y su
transliteración al lenguaje
algebraico utilizando los símbolos
propios de este de forma correcta
para representar expresiones,
ecuaciones e inecuaciones.
En la infografía, socializa con sus
pares sus transliteraciones de
forma clara, presenta disposición
al trabajo en equipo y cumple con
responsabilidad los criterios
indicados por el docente.
Básico (2)
Emplea los procedimientos
aprendidos para reducir las
expresiones algebraicas
obtenidas en el modelado,
mostrando la alguna en su forma
simplificada
Construye 1 modelo matemático
de forma correcta, identificando
las variables de interés, las
operaciones y símbolos
necesarios, con la finalidad de
explicar una situación de su
entorno.
En la infografía, describe 1
situaciones de su entorno
mostrando los enunciados en
lenguaje natural y su
transliteración al lenguaje
algebraico utilizando los símbolos
propios de este de forma correcta
para representar expresiones,
ecuaciones e inecuaciones
En la infografía, socializa con sus
pares sus transliteraciones de
forma clara, presenta disposición
al trabajo en equipo y cumple con
responsabilidad los criterios
indicados por el docente.
No presenta (1)
No emplea los procedimientos
aprendidos para reducir las
expresiones algebraicas obtenidas en
el modelado.
No logra establecer los modelos
matemáticos para las situaciones de
su entorno.
En la infografía, no logra describir los
enunciados en lenguaje natural y su
transliteración al lenguaje algebraico.
En la infografía, socializa con sus
pares sus transliteraciones de forma
clara, presenta disposición al trabajo
en equipo y cumple con
responsabilidad los criterios indicados
por el docente.
Firma del Facilitador
29
Evaluación Diagnóstica SA1
¿Qué tanto sé? (Apertura)
PM2-SA1-ED01
CUESTIONARIO PARA SOCIALIZAR
1) Son clasificadas como dependientes e independientes:
a) Exponentes
b) Constantes
c) Variables
d) Números
2) La expresión 𝑥 3 representa:
a) El triple de un número
b) El cuadrado de un número
c) El cubo de un número
d) La raíz cúbica de un número
3) Es un término que conserva siempre el mismo valor:
a) Potencia
b) Constante
c) Variable
d) Numérico
4) Indica que la operación a realizar es una sustracción.
a) +
b) −
c) ÷
d) ×
5) Los paréntesis( ), corchetes [ ] y llaves { } son utilizados como:
a) Símbolos de operaciones
b) Símbolos de igualdades
c) Símbolos de agrupación
d) Símbolos de desigualdades
30
PM2-SA1-ED01
CUESTIONARIO PARA SOCIALIZAR
6) En la expresión: 5𝑥 3 + 7𝑥 − 8𝑥 2 − 12 + 5𝑥 2 + 8𝑥 una pareja de términos semejantes es:
a) 5𝑥 3 y 5𝑥 2
b) −8𝑥 2 y 5𝑥 2
c) −8𝑥 2 y 8𝑥
d) 7𝑥 y −12
7) La expresión 9𝑥 3 − 12 es un:
a) Monomio
b) Binomio
c) Trinomio
d) Polinomio
8) Representa a un número cualquiera disminuido en 5 unidades.
a) 𝑥 + 5
b) 𝑥 − 5
c) 5𝑥
d) 𝑥/5
9) 2𝑥 − 3 > 𝑥 + 1 es un ejemplo de:
a) Ecuación o igualdad
b) Inecuación o desigualdad
c) Expresión algebraica
d) Problema matemático
10)
Juan compró cinco botanas del mismo precio y un agua de 10 pesos, pagando un total de 90
pesos. ¿Qué expresión permite calcular el precio de las botanas?
a) 10𝑥 + 5 = 90
b) 𝑥 5 + 10 = 90
c) 𝑥 + 5 = 90
d) 5𝑥 + 10 = 90
31
PROGRESIÓN 1
Elementos, símbolos matemáticos, representaciones
matemáticas.
Símbolos y representaciones
Figura 1 Representación del lenguaje en el antiguo Egipto
recuperado de: www.xataka.com/magnet/curso-para-leerjeroglificos-parte-1-de-700-primeros-pasos EN OCTUBRE 2023
Hoy viajaremos por el majestuoso Nilo
hasta la tierra de Kemet para descubrir la
magia de los símbolos, mírenlos, los
imponentes jeroglíficos que decoran las
pirámides de los divinos Faraones. Cada
glifo, un símbolo; juntos, todo un lenguaje
formal creado por nuestros ancestros. Con
trazos de aves, serpientes y escarabajos
que inmortalizaron su cultura donde cada
símbolo tiene un significado exacto, reglas
fijas; juntos invocan el poder de los
antiguos dioses.
El sistema de escritura egipcio, conocido por sus intrigantes jeroglíficos, es un maravilloso ejemplo
de cómo los símbolos pueden ser poderosas herramientas para la comunicación. Cada jeroglífico
representaba un concepto, una idea o incluso un objeto específico. Esta riqueza simbólica permitía
a los antiguos egipcios expresar pensamientos complejos y detallados, sin necesidad de largas
descripciones verbales.
Esta antigua forma de escritura también subraya la importancia del lenguaje formal. Los egipcios
comprendieron que para transmitir información precisa y evitar confusiones, era esencial establecer
reglas y convenciones claras. esto facilitaba la comprensión y la interpretación precisa de los
mensajes.
Hoy en día, esta lección perdura: los símbolos y las reglas conforman un lenguaje formal bien
definido, que son fundamentales en una variedad de disciplinas, desde la programación informática
hasta la matemática y la lingüística. Estos elementos proporcionan las herramientas necesarias para
una comunicación clara y efectiva, y son la base de la construcción y transmisión del conocimiento
en nuestra sociedad moderna
32
Lenguaje natural y formal
El lenguaje natural es la forma de comunicación que utilizamos cotidianamente para expresar ideas,
emociones y pensamientos de manera oral o escrita. Es la manera en la que nos comunicamos con
familiares, amigos, y en la sociedad en general. Se compone de palabras, frases y reglas gramaticales
que permiten construir mensajes comprensibles. A diferencia de los lenguajes formales, como los
utilizados en matemáticas o programación, el lenguaje natural es flexible y puede tener múltiples
interpretaciones según el contexto y las intenciones del hablante o escritor.
El estudio del lenguaje formal abre las puertas a un mundo de precisión y claridad en la
comunicación. Al comprender las reglas y estructuras que gobiernan la formación de expresiones
en un lenguaje específico, se adquiere la habilidad de comunicar ideas de manera inequívoca y sin
ambigüedades.
El entendimiento de lenguajes formales proporciona herramientas para analizar y comprender la
estructura de los idiomas naturales, así como para el diseño y análisis de sistemas de procesamiento
de lenguaje natural. En resumen, el estudio de lenguajes formales es una puerta de entrada a la
precisión, la rigurosidad y la versatilidad en diversos campos del conocimiento humano.
Dominar lenguajes formales también expande en gran medida nuestra habilidad para resolver
problemas complejos en campos como las ciencias, la ingeniería, la filosofía y la tecnología.
Conceptos abstractos como algoritmos, teorías cuánticas o silogismos requieren del rigor y la
precisión de lenguajes formales. Su estudio nos permite comunicar ideas complejas, diseñar
soluciones creativas, desarrollar pensamiento crítico y participar plenamente en diversas disciplinas.
En un mundo donde la tecnología y la ciencia avanzan rápidamente, el dominio de lenguajes
formales se vuelve una habilidad esencial.
Lenguaje natural
El lenguaje formal
Es el lenguaje hablado y escrito que utilizan
los humanos para comunicarse en su vida
diaria. A diferencia de los lenguajes
formales, el lenguaje natural no tiene
reglas gramaticales fijas y su uso puede
variar según el contexto social y cultural.
Es un sistema de signos y símbolos que
tiene reglas fijas y sirve para expresar
conceptos de forma precisa. Se utiliza en
matemáticas, lógica, informática y
lingüística.
Lenguaje matemático y sus elementos.
Una expresión en el lenguaje formal de las matemáticas se compone de números, constantes
variables y símbolos que pueden ser de agrupación, operaciones o tener un significado especial,
además de eso cuenta con una gran cantidad de reglas que especifican como deben relacionarse
entre ellos.
33
Elementos del lenguaje matemático.
Algunos de los elementos principales del lenguaje matemático y algunas de sus convenciones son:
Números: Representan cantidades y se pueden dividir en diferentes tipos, como números
naturales (1, 2, 3...), números enteros (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...), números racionales (fracciones
como 1/2 o 3/4), números irracionales (como la raíz cuadrada de 2), y números reales (que incluyen
todos los tipos anteriores).
: Se refiere a una variable o a un símbolo que representa un valor desconocido o cualquier
número de un conjunto específico. Las literales suelen estar representadas por letras del alfabeto
Constantes: En matemáticas, una "constante" es un valor que no cambia y que se mantiene
fijo en cualquier contexto específico. Por ejemplo: todos los números (3,5,-1) son constantes, otros
tipos de constantes se representan por símbolos como pi o la constante de Euler e, y en algunos
contextos se emplean letras para colocar valores, por convención se usan las letras mayúsculas
iniciales del alfabeto.
Variables: es un símbolo o un elemento que puede representar un valor desconocido o
cualquier elemento de un conjunto específico. Las variables se utilizan para expresar relaciones y
operaciones matemáticas de manera generalizada, permitiendo resolver problemas y formular
expresiones algebraicas.
34
Símbolos del lenguaje matemático.
Los símbolos del lenguaje matemático son signos o
caracteres especiales utilizados para representar
conceptos, operaciones, relaciones y estructuras
matemáticas de manera más concisa y precisa.
Estos símbolos son fundamentales para la
comunicación y expresión de ideas matemáticas.
Aquí te presento algunos de los símbolos más
comunes en el lenguaje matemático junto con sus
significados.
Figura 2 Símbolos matemáticos. recuperado de:
www.materialeseducativos.net
Símbolos de operación
Los símbolos de operación son signos que se utilizan en matemáticas para representar las diferentes
operaciones entre números o expresiones algebraicas. Los símbolos de operación más comunes son:
Símbolo
+
× ∙ () *
𝑎
÷
𝑏
𝑥𝑛 ^
𝑛
√𝑎
Operación
Suma
Resta
Multiplicación
División
Ejemplo
2 + 3 = 5
5 − 2 = 3
2𝑥3 = 6
6
= 3
2
2 ∙3 =6
(2)(3) = 6
6÷2 = 3
Potencia
2^3 = 8
23 = 8
Raíz
√16 = 4
3
√27 = 3
Símbolos de agrupación
Símbolo
()
[]
{}
Operación
Paréntesis
Corchetes
Llaves
35
Símbolos de comparación
Símbolo
<
>
=
≤
≥
≠
Operación
Menor que
Mayor que
Igual
Menor o igual
Mayor o igual
Distinto
Reglas dentro del lenguaje de las matemáticas
Jerarquía de operación
La jerarquía es una de las muchas reglas que tiene el lenguaje formal de las matemáticas, en esta
nos indican el orden correcto para realizar las operaciones, de lo contrario no todos podríamos
obtener los mismos resultados y las matemáticas son serian un idioma universal.
Figura 3 Pirámide de jerarquía de operaciones. Recuperado de:
www.math3logic.com/jerarquia-de-las-operaciones/
La jerarquía de operaciones es como una lista de reglas para hacer las expresiones matemáticas.
Imagina que las matemáticas son como una receta y estas reglas son los pasos que debemos seguir
para cocinar el resultado correcto.
36
PROGRESIÓN 2
El algebra que podemos ver
1. En el huerto escolar de uno de los planteles de COBATAB, el área fue asignada por la
dirección de manera rustica y se les pidió a los alumnos conformaran más precisamente el
área de cada grupo en forma cuadrada. EL diseño del terreno es el siguiente
𝟏𝑨
𝟏𝑩
𝟏𝑪
𝑌
𝟏𝑫
𝟏𝑭
𝟏𝑮
𝑋
Figura 4 Diseño teórico del huerto escolar. Fuente: Diseñado por los autores en octubre de
2023
En donde cada cuadrado suponemos tiene una medida de lado igual a 𝑙. Entonces el área
sombreada total está representada por 6𝑙 2 . El símbolo 𝑙 2 es un término cuadrático o de grado 2.
Si además queremos cercar el huerto, el perímetro está dado por la suma de dos términos, estos
son 2𝑥 + 2𝑦 los cuales son términos lineales.
2. Piensa en los precios de los productos cuando vas a la tienda. Generalmente hay un precio
unitario, ya sea por pieza o por kilogramo. Vamos a suponer que tu mamá te manda a
comprar 3 kilos de frijoles y 2 kilos de azúcar, abrevia con 𝒇 el precio de un kilo de frijoles y
con 𝒂 el precio de un kilo de azúcar. Entonces puedes representar por 3 ∗ 𝑓 = 3𝑓 el dinero
que debes pagar por los frijoles y por 2 ∗ 𝑎 = 2𝑎 lo que debes pagar por el azúcar. Los
símbolos 3𝑓 y 2𝑎 son llamados términos lineales o de grado 1.
37
Preguntas para pensar
¿Si tuvieras 3 cuadrados de lado 𝑙 como representarías el área total encerrada por los tres
cuadrados? (𝟑𝒍𝟐 )
𝒍𝟐
𝒍𝟐
+
𝒍𝟐
+
= 3 ∗ 𝑙 2 = 3𝑙 2
¿Si tuvieras dos cubos de lado 𝑙 como representarías el volumen encerrado por los dos cubos? (𝟐𝒍𝟑 ,
es un término cúbico o de grado 3)
𝑙
𝑙
𝑙
+
3
𝑙
𝑙
= 2 ∗ 𝑙 3 = 2𝑙 3
𝑙3
𝑙
𝑙
Término algebraico.
En los ejemplos anteriores se introdujo al concepto de término y vimos tres tipos, lineales,
cuadráticos y cúbicos (aunque existen más). Según (PACE, 2019), un término algebraico consta de
un símbolo o de varios símbolos que no están separados entre sí por los signos de adición o
sustracción. Está compuesto por un coeficiente, signo, parte literal y exponente. Como se muestra
a continuación.
Figura 5 Elementos de un término algebraico.
Fuente: www.pacoelchato.com
Observaciones:
•
•
•
El signo de un término algebraico es positivo o negativo, cuando es positivo generalmente
se omite escribir el signo.
El coeficiente de un término algebraico es la cantidad numérica.
La parte literal de un término algebraico corresponde a sus letras incluyendo sus
exponentes.
38
•
•
El grado de un término algebraico puede ser absoluto (suma de los exponentes de todos los
factores de su parte literal) o bien relativo, es decir, con respecto a cada factor literal.
Es importante mencionar que un término puede tener una, dos o más letras con sus
respectivos exponentes, por ejemplo, piensa en la fórmula del volumen de un cilindro de
radio 𝑟 y altura ℎ.
Clasificación de los términos algebraicos.
Hay una clasificación de términos muy utilizada en matemáticas de acuerdo con su grado respecto
a una variable. El grado de un término algebraico es la mayor potencia a la que está elevada la
variable en ese término, podemos identificarlo con el exponente más alto que aparece en la o las
variables de un término.
•
•
•
•
2𝑓 = 2𝑓 1 es de grado 1 o lineal
3𝑙 2 es de grado 2 o cuadrático
2𝑙 3 es de grado 3 o cúbico.
¿Cuál es el grado absoluto del término 𝜋𝑟 2 ℎ1 ?
Expresiones algebraicas.
Por otro lado, de acuerdo con (PACE, 2019), decimos que una expresión algebraica es o un término
algebraico (monomio) o bien la suma o resta de dos o más de ellos.
La expresión algebraica puede contener uno o más términos, de acuerdo con la cantidad que
contenga reciben nombres específicos. En el siguiente cuadro comparativo podrás comprender cada
una.
Expresión algebraica
Numero de términos
Nombre
𝑎
1
Monomio
𝑎+𝑏
2
Binomio
𝑎+𝑏+𝑐
3
Trinomio
𝑎+𝑏+𝑐+𝑑+⋯
≥4
Polinomio
39
CATEGORIAS
PM2-SA1 ACT01
ACTIVIDAD DE REFORZAMIENTO
Instrucciones: En binas o triadas, Con el
acompañamiento de tu profesor realiza las
siguientes actividades.
C1 Procedural
C2 Procesos de intuición y razonamiento.
1. Llena el cuadro con los elementos del término algebraico que resulta de cada uno de los
siguientes problemas.
Problema
Término
desglose
Grado
exponentes
coeficiente
2
Ejemplo:
Volumen de un cilindro
𝜋𝑟 ℎ
Donde 𝜋 es
aproximadament
e igual 3.1416
+ 𝜋
signo
La distancia recorrida
durante 𝒕 horas por un
ciclista que viaja a 20
kilómetros por hora.
El costo de cercar un
terreno rectangular de
100𝑚 de largo por 50𝑚
de ancho en términos del
precio de la malla para
cercar que es de 𝑥 pesos
por metro
El rendimiento de una
marca de pintura es de 4
metros cuadrados (𝑚2 )
por litro. ¿Qué superficie
puedo pintar con 𝑛
litros?
La distancia que recorre
un objeto que se deja
caer desde una altura ℎ.
Tómese como origen la
posición inicial.
𝑟
2
1
ℎ
Grado 2: ya que
su exponente
más grande es
2
Parte literal
20𝑡
300𝑥
4𝑚2 𝑛
1
− 𝑔𝑡 2
2
Donde 𝑔 es la
aceleración de la
gravedad y es
aproximadamente
igual a 9.81 𝑚/𝑠 2
40
2. Clasifica las siguientes expresiones algebraicas de acuerdo con el número de términos.
Expresión algebraica
Numero de términos
Nombre
1
− 𝑎𝑡 2
2
𝑎2 − 𝑏 2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑥−2
2𝑥 − 1
4𝑥 2 − 9𝑦 2
𝜋𝑟 2 + 4
1
30 + 3𝑡 − 𝑔𝑡 2
2
41
Reducción de expresiones algebraicas.
¿Qué pasaría si no pudieras hacer grupos en
tus aplicaciones de mensajería?, sería más
complicado manejar la información
¿cierto? Si bien en algún tiempo no exista
esta opción en los celulares, la creación de
“WhatsApp”
y
sus
posteriores
actualizaciones permitieron dicha función,
esto facilito mucho la comunicación
laboral, familiar y desde luego la educativa.
Nuestros grupos nos permiten manejar de
forma más practica información para un
gran número de personas. Estos grupos
tienen nombre y cierta lógica, no agregarías
a alguno de tus tutores en tu grupo de
amigos o un compañero que acabas de
conocer a tu grupo familiar ¿verdad?,
según a nuestros criterios o necesidades los
ubicamos acorde a un grupo en particular.
Figura 6 “Grupo de trabajo docente en WhatsApp”. Imagen
creada por Luis Miguel Ruiz Rodríguez en octubre 2023
Siguiendo la idea anterior, otro tipo de
“agrupación”, como ejemplo, se presenta
en el coleccionismo de monedas o
“numismática”, hay tanta variedad y
formas de mostrar una colección que se
puede tener una temática en particular o
no, es decir solo coleccionar aquellas
monedas que tienen características
similares como: la denominación, el país
de origen, las fechas o simplemente el tipo
de material, siendo los de plata de los más
Figura 7 Colección de monedas de 20 pesos MXN 1993-2022”. apreciados.
Imagen creada por Luis Miguel Ruiz Rodríguez
En el algebra ocurre algo similar, existen términos algebraicos que se parecen o tienen
“semejanza”, es decir que comparten características que permiten clasificarlos e incluso
combinarlos para simplificar cierta expresión de valores, llamamos a esto reducción de términos
semejantes, pero, primero que nada, veremos las características necesarias para identificar
cuando es que existen términos semejantes.
42
Identificación de términos semejantes
Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, es decir, cuando las letras
que identifican al término son iguales y sus exponentes son iguales.
1. Sí la literal o literales son las mismas, los términos son semejantes, no importa que posean
coeficientes con diferente valor.
3𝑎
5𝑎
2. El exponente de las variables debe estar a la misma potencia: x y x2 poseen la misma literal, pero
sus exponentes tienen diferente valor, el primer término está a la potencia 1, y el segundo término
a la potencia 2.
10𝑤 5
5𝑤 5
3. Cumpliendo lo anterior, no importa si los términos son positivos o negativos, son semejantes sí:
−6𝑦𝑧 2
8𝑦𝑧 2
−𝑥
12𝑥
Términos
semejantes
−5𝑥
3𝑥 2 𝑦
Tienen las mismas
literales, con el mismo
exponente
−8𝑥 2 𝑦
𝑥 2𝑦
7𝑤 2
7𝑤
Términos no
semejantes
2𝑤 7
−𝑎2 𝑏𝑐
−𝑎2 𝑏 2 𝑐
9𝑎𝑏 2 𝑐
Tienen la misma literal,
pero no están a la misma
potencia
Cuando un término posee
varias literales, todas
deben tener la misma
potencia, sino no son
semejantes
43
Reducción de términos semejantes:
Es una operación que tiene como finalidad convertir en un solo termino dos o más términos
semejantes. En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir tres casos:
1) Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo.
Regla:
Se suman los coeficientes, iniciando con el mismo signo que poseen todos los términos de
la expresión y a continuación se escribe la parte literal.
Ejemplos:
3𝑥 + 4𝑥 = 7𝑥
−5𝑦 − 9𝑦 = −14𝑦
En el siguiente ejemplo no olvidemos que “n” tiene como coeficiente 1, por lo tanto:
𝑛 + 4𝑛 + 3𝑛 + 9𝑛 + 5𝑛 = 22𝑛
2) Reducción de dos términos semejantes de distintos signos.
Regla:
Se restan los coeficientes, iniciando con el signo del término con mayor coeficiente y a
continuación se escribe la parte literal.
Ejemplos:
3𝑎 − 4𝑎 = −𝑎
30𝑏𝑐 − 15𝑏𝑐 = 15𝑏𝑐
2 5
𝑥 𝑦 − 4𝑥 2 𝑦 5 = −3𝑥 2 𝑦 5
De esta regla se deduce que dos términos semejantes de iguales coeficientes y de signo contrario
se anulan.
Ejemplo:
−10𝑥𝑦 + 10𝑥𝑦 = 0
44
3) Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos.
Regla:
Se reducen a un solo termino todos los términos positivos; se reducen a un solo termino
todos los términos negativos, y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla del caso 2.
Ejemplo:
𝟔𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟕𝒙 − 𝒙 + 𝟏𝟎𝒙
Reducción de términos negativos:
−3𝑥 − 2𝑥 − 𝑥 = −6𝑥
Reducción de términos positivos:
6𝑥 + 7𝑥 + 10 = 23𝑥
Se aplica la regla 2 para obtener el resultado de la reducción:
−6𝑥 + 23𝑥 = 17𝑥
Respuesta:
𝟔𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟕𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝒙 + 𝟏𝟎𝒙 = 𝟏𝟕𝒙
45
Resumen grafico
Reducción de términos
semejantes
Regla 1:
Regla 2:
Regla:
Se suman los coeficientes,
iniciando con el mismo
signo que poseen todos los
términos de la expresión y
a continuación se escribe
la parte literal.
Se restan los coeficientes,
iniciando con el signo del
término
con
mayor
coeficiente y a continuación
se escribe la parte literal.
Se reducen a un solo termino
todos los términos positivos;
se reducen a un solo termino
todos los términos negativos,
y a los dos resultados
obtenidos se aplica la regla
del caso 2.
Ejemplo:
Ejemplo:
3𝑥 + 4𝑥 = 𝟕𝒙
𝟑𝟎𝒃𝒄 − 𝟏𝟓𝒃𝒄 = 𝟏𝟓𝒃𝒄
−5𝑦 − 9𝑦 = −𝟏𝟒𝒚
𝒙𝟐𝒚𝟓 − 𝟒𝒙𝟐𝒚𝟓 = −𝟑𝒙𝟐𝒚𝟓
Ejemplo:
6𝑥 − 3𝑥 + 7𝑥 − 𝑥 + 10𝑥 = 𝟏𝟕 𝒙
−𝟑𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝒙 = −𝟔𝒙
46
CATEGORIAS
PM2-SA1-TAREA01
TAREA 01: Reducción
expresiones algebraicas.
de
Instrucciones: Resuelve las siguientes
actividades de acuerdo con lo que se te pide
C1 Procedural
C4 Interacción y lenguaje matemático.
Actividad 1: Elabora un mapa cognitivo de reducción de términos semejantes de acuerdo con lo
aprendido las sesiones anteriores.
Nota: Un mapa cognitivo de algoritmo: es una técnica que nos permite mostrar el paso a paso de
los procedimientos para resolver un ejercicio o problema matemático, en sí, una secuencia explicada
y ordenada hasta llegar a una solución, aquí se muestra un ejemplo de aritmética:
Suma de fracciones con el
mismo denominador
PASOS PARA LA SOLUCIÓN
DESARROLLO
Problema para resolver
12 7 5
+ + =
8 8 8
Se expresa la suma de los
numeradores, manteniendo el
mismo denominador
12 + 7 + 5
=
8
Se realiza la suma
24
=
8
Se simplifica el resultado
24 12
=
=3
8
4
47
Puedes usar el siguiente formato para elaborar tu mapa cognitivo de algoritmo.
PASOS PARA LA SOLUCIÓN
DESARROLLO
48
Actividad 2: Del siguiente listado de ejercicios, para cada expresión algebraica reduce los términos
empleando las 3 reglas estudiadas.
1) 𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 =______________
2) −4𝑦 − 3𝑦 − 𝑦 − 5𝑦 =________
3) 18𝑚 − 12𝑚 =______________
4) −𝑛 + 7𝑛 =_________________
5) −8𝑎 𝑥 + 15𝑎 𝑥 =_____________
6) 7𝑎𝑏 − 11𝑎𝑏 + 20𝑎𝑏 − 31𝑎𝑏 =______________________
7) 120𝑎2 − 345𝑎2 + 58𝑎2 − 34𝑎2 =___________________
8) 2𝑎 + 3𝑏 − 4𝑐 + 5𝑎 + 7𝑐 − 10𝑏 =___________________
9) 20𝑥 + 32𝑥 2 − 10𝑥 + 𝑥 2 =_________________________
10) 50𝑥𝑦 − 34𝑎𝑐𝑑 + 32𝑥𝑦 − 23𝑎𝑐𝑑 + 5 =________________________
49
PM2-SA1-LC01 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 01: TAREA 01: Reducción de
expresiones algebraicas.
Unidad de aprendizaje Pensamiento Matemático 2
Progresión
Meta
Categorías
Grupo
Fecha:
2. Revisa algunos elementos de la sintaxis del lenguaje algebraico considerando que en el álgebra
buscamos la expresión adecuada al problema que se pretende resolver (utilizamos la expresión
simplificada, la expresión desarrollada de un número, la expresión factorizada, productos notables,
según nos convenga).
C1M1 Ejecuta cálculos y algoritmos para resolver problemas matemáticos, de las ciencias y de su
entorno.
C4M2 Socializa con sus pares sus conjeturas, descubrimientos o procesos en la solución de un
Problema tanto teórico como de su entorno.
C1 Procedural.
Subcategorías
C1S1 Elementos aritmético-algebraicos.
C4 Interacción y lenguaje
C2S1 Registro escrito, simbólico, algebraico e
matemático.
iconográfico
Nombre de los
integrantes
TAREA 01: Reducción de expresiones algebraicas.
Aprendizajes Trayectoria
1.
3
Contenidos Específico
Valora la aplicación de procedimientos automáticos y algorítmicos, así como la •
interpretación de sus resultados, para anticipar, encontrar y validar soluciones a
problemas matemáticos, de áreas del conocimiento y de su vida personal.
•
Explica el planteamiento de posibles soluciones a problemas y la descripción de
situaciones en el contexto que les dio origen empleando lenguaje matemático y •
lo comunica a sus pares para analizar su pertinencia
CRITERIOS
Termino algebraico y sus
elementos.
Expresión algebraica y sus
elementos.
Reducción de expresiones con
términos semejantes.
%
CUMPLE
SI
1.
Entrega su producto terminado en el tiempo establecido por el facilitador
2.
Genera un mapa cognitivo de algoritmo con los pasos para la solución de la
30
reducción de términos semejantes.
3.
4.
5.
6.
Genera un mapa cognitivo de algoritmo con un desarrollo de ejemplo de la
reducción de términos semejantes.
Completa los 10 ejercicios de reducción de términos semejantes de forma
correcta
Muestra disposición al trabajo claro, metódico y organizado en el desarrollo
de su actividad,
Entrega su producto terminado en el tiempo establecido por el facilitador
Puntaje
NO
10
20
20
10
10
Calificación
Aspectos para mejorar:
Firma
50
PROGRESIÓN 3
Del Lenguaje Común al Lenguaje Algebraico
El uso del lenguaje algebraico nos
permite
traducir
enunciados
coloquiales a expresiones algebraicas,
las cuales nos dan la pauta para resolver
problemas de la vida cotidiana. Hasta el
momento, estás familiarizado con
aquellos problemas que implican
operaciones como lo son: suma, resta,
multiplicación, división, potencias y
raíces.
Estas operaciones también continúan
utilizándose en el lenguaje algebraico,
pero con otras palabras que hacen Figura 8 Transliteración algebraica. Elaborado por el Prof. Manolo
Martínez Fajardo del PLANTEL 35 en noviembre de 2023
referencias a las mismas operaciones.
Para muchos, puede resultar ser más fácil la traducción de lenguaje común a lenguaje algebraico,
puesto que es más intuitivo y orgánico. No obstante, una vez que se asimilan las particularidades
del lenguaje algebraico, hacer la traducción inversa (de lenguaje algebraico a lenguaje común) es
sencillo.
El uso de las variables es muy común en esta transición, por lo que ponemos a tu disposición la
siguiente consideración:
➢
Un número cualquiera: Cuando identificamos el uso de esta
expresión, podemos representarla generalmente con letras del
alfabeto, tales como 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦 ó 𝑧, por mencionar algunas, la cual
puede tomar el valor que queramos.
Para familiarizarte con las frases y expresiones que te serán de gran utilidad en la traducción
del lenguaje común al lenguaje algebraico, analiza la siguiente tabla, en la que podrás identificar las
expresiones más comunes para representar una operación matemática.
51
Expresión
Aumentar, agregar,
incrementar, más,
adherir, más que,
más grande que,
expandido en
Disminuir, reducir,
menos que, quitar,
diferencia, sustraer,
quitar
Producto, tantas
veces, multiplicar,
doble, triple,
cuádruple, etc.
Entre, cociente,
dividir, mitad, tercia,
cuarta, quinta, etc.
Operación que
representa
Suma
Resta
Ejemplo
Un número
aumentado en 6
Un número
disminuido en 7
𝑦+6
𝑎−7
El cuádruple de un
número cualquiera
Multiplicación
o
4𝑝
Cuatro veces un
número cualquiera
La tercia de un
número cualquiera
División
o
𝑏
3
Un número
cualquiera entre 3
El cubo de un
número cualquiera
Elevar al, el cuadrado,
el cubo
Potencia
o
Un número
cualquiera elevado
al cubo
Raíz cuadrada, raíz
La raíz cuadrada de
Raíz
cúbica
un número
Elaborado por el Prof.. Manolo Martínez Fajardo. Plantel No. 35
𝑥3
√𝑧
52
Una vez que ya te familiarizaste con estas frases, vamos a analizar expresiones en las que no solo se
identifique una operación, sino que éstas pueden estar combinadas entre ellas, por lo que la
interpretación ya se convierte en una tarea en la que debes poner a prueba tu habilidad y
pensamiento matemático.
Ejemplo 1.- Cinco veces un número cualquiera disminuido en el doble de otro número.
Solución: Como te darás cuenta, identificamos las frases:
“Cinco veces”
Multiplicación por 5
“Disminuido”
Resta
“Doble”
Multiplicación por 2
Representamos:
“Un número cualquiera”
𝒙
𝒚
“Otro número”
Por lo que la expresión indica que se realizará una resta entre un número multiplicado por 5 y otro
número multiplicado por 2, quedando como:
𝟓𝒙 − 𝟐𝒚
Ejemplo 2.- La diferencia de los cuadrados de dos números cualesquiera.
Solución: Se identifican las frases:
“Diferencia”
Resta
“Cuadrados”
Potencia con exponente 2
Representamos:
“Dos números cualquiera”
𝒂,
𝒃
La expresión indica que se realizará una resta entre dos números distintos que están elevados al
cuadrado:
𝟐
𝟐
𝒂 −𝒃
53
Ejemplo 3.- El cuadrado de la diferencia de dos números cualesquiera.
Solución: Se identifican las frases:
“Diferencia”
Resta
“Cuadrados”
Potencia con exponente 2
Representamos:
“Dos números cualquiera”
𝒂,
𝒃
A diferencia del ejemplo anterior, la expresión indica que primero se deben restar dos
números distintos y posteriormente, esta resta se debe elevar al cuadrado:
(𝒂 − 𝒃)𝟐
Ejemplo 4.-
𝑥 3 −1
.
𝑦
Solución. - En este caso, debemos convertir la expresión algebraica en una expresión del lenguaje
común.
𝒙, 𝒚
Representan dos números
cualesquiera diferentes.
Operaciones matemáticas:
𝒙𝟑
𝒙𝟑 − 𝟏
𝒙𝟑 −𝟏
Potencia (El cubo de un número)
Resta (El cubo de un número menos 1)
División (Cociente)
𝒚
Por lo que la expresión podría quedar como:
• El cociente entre el cubo de un número cualquiera menos 1, y otro número.
• El cubo de un número cualquiera menos uno, entre otro número.
54
CATEGORIAS
ACTIVIDAD DE REFORZAMIENTO
Instrucciones: En binas o triadas, y contando
con el apoyo de tu profesor, completa el
siguiente cuadro, en el cual deberás traducir
expresiones del lenguaje común al lenguaje
algebraico y viceversa.
PM2-SA1 ACT02
C2 Procesos de intuición y razonamiento.
C3 Solución de problemas y modelación.
Lenguaje
Común
Algebraico
El doble de un número cualquiera aumentado
en diez
𝑥2 − 1
La mitad del producto de dos números
cualesquiera
La suma de tres números cualesquiera elevada
al cuadrado
3𝑎2 + 5
3
√𝑎 + 𝑏
El triple de un número cualquiera disminuido
en el doble de otro número cualquiera
El quíntuple de un número cualquiera entre el
doble de otro número cualquiera
3
𝑧
4
𝑎3
2𝑏
55
El lenguaje algebraico presente en la vida cotidiana.
En la sección anterior, pudiste transitar entre
el lenguaje común y el lenguaje algebraico.
Ahora te presentamos algunas situaciones en
las que podrás analizar y visualizar su gran
aplicación.
El huerto escolar, con medidas de 25 𝑚 de
largo por 15 𝑚 de ancho, contiene 8
cuadrados de longitud 𝒍, donde están
sembradas las plantas medicinales, el resto
del huerto no tiene siembra alguna. A causa
de las lluvias de este año, y al poco tiempo que
se dedicó para su cuidado, presenta serios
problemas de malezas.
Figura 9 Huerto escolar. Recuperado de: www.extraescolaresyocio.com
Debido a que el huerto contiene diversas
plantas medicinales, no es posible aplicar productos químicos como herbicidas para eliminar las
malezas, puesto que afectarían considerablemente las plantas, por lo que se deberán eliminar con
mucho cuidado, empleando herramientas como azadón, pala, machete y rastrillo.
El profesor de Pensamiento matemático II atiende los 6 grupos de segundo semestre de su plantel,
por lo que se da a la tarea de organizarlos, para realizar lo más pronto posible la limpieza de las 8
secciones del huerto, ya que son prioridad.
𝒍
𝒍𝟐
𝟏𝟓 𝒎
𝟐𝟓 𝒎
56
1.- Si los 6 grupos deben trabajar por igual, representa mediante una expresión algebraica
la superficie que le corresponde limpiar a cada grupo.
Solución: Como cada sección tiene todos sus lados de longitud 𝒍, entonces el área de cada sección
representa la operación de potencia con exponente 2
Á𝒓𝒆𝒂 → 𝒍𝟐
Al ser 8 secciones, la superficie a limpiar es 8 veces el área de cada sección:
Á𝒓𝒆𝒂 𝒂 𝑳𝒊𝒎𝒑𝒊𝒂𝒓 → 𝟖𝒍𝟐
Finalmente, cada grupo deberá limpiar la misma superficie que los demás, por lo que el área a
limpiar por grupo representa una división entre 6.
Á𝒓𝒆𝒂 𝒂 𝒍𝒊𝒎𝒑𝒊𝒂𝒓 𝒑𝒐𝒓 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐 →
𝟖𝒍𝟐
𝟔
Esta expresión se podría interpretar como
“Ocho veces el cuadrado de un número cualquiera, entre 6”
2.- Si se requiere de 15 azadones, 9 palas, 8 machetes y 14 rastrillos, y se desconoce el
precio de cada herramienta, ¿Cuál sería la expresión algebraica que representa el gasto
total?
Solución: Al desconocer el precio de cada herramienta, podemos utilizar diferentes variables para
indicar su valor,
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑧𝑎𝑑ó𝑛 → 𝒘
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎 → 𝒙
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑐ℎ𝑒𝑡𝑒 → 𝒚
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜 → 𝒛
El costo por cada bloque de herramienta representa una multiplicación por el número de
herramientas a utilizar. Finalmente, el gasto total representa una suma de estos costos:
𝟏𝟓𝒘 + 𝟗𝒙 + 𝟖𝒚 + 𝟏𝟒𝒛
“15 veces un número más 9 veces otro número, más 8 veces otro número más 14 veces otro
número”
57
3.- En primera instancia, los grupos solo limpiaron las 8 secciones cuadradas. Indique la
expresión matemática que representa el área del huerto que falta por limpiar.
Solución: En el caso 1, se expresó algebraicamente el área a limpiar por los 6 grupos:
Á𝒓𝒆𝒂 𝒍𝒊𝒎𝒑𝒊𝒂 → 𝟖𝒍𝟐
Se sabe que el huerto tiene una longitud de 𝟐𝟓 𝒎 de largo y 𝟏𝟓 𝒎 de ancho, por lo que la superficie
total es:
𝑺𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆 𝒅𝒆𝒍 𝑯𝒖𝒆𝒓𝒕𝒐 → 𝟑𝟕𝟓 𝒎𝟐
La superficie del huerto que falta por limpiar representa una diferencia entre la superficie total y la
superficie de las 8 secciones:
Á𝒓𝒆𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒇𝒂𝒍𝒕𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒊𝒎𝒑𝒊𝒂𝒓 → 𝟑𝟕𝟓 − 𝟖𝒍𝟐
Esta expresión se podría interpretar como:
“375 menos Ocho veces el cuadrado de un número cualquiera”
“375 disminuido en Ocho veces el cuadrado de un número cualquiera”
58
Ecuaciones
Una ecuación en matemáticas es una igualdad establecida entre dos expresiones, en la cual puede
haber uno o más incógnitas o variables que deben ser resueltas.
Ejemplo:
3𝑥 + 5 = 25
Elementos de una ecuación
IGUALDAD
COEFICIENTE
𝟑𝒙 + 𝟓 = 𝟐𝟓
INCÓGNITA
CONSTANTES
Hagamos uso del lenguaje algebraico como un lenguaje práctico que nos permita representar una
situación y poder darle solución con los siguientes ejemplos:
El grado de una ecuación hace referencia al exponente al que está elevada la incógnita, observar el
siguiente cuadro.
La incógnita es la cantidad desconocida que es preciso determinar en una ecuación o problema, se
representa a través de letras.
DENOMINACIÓN DE UNA ECUACIÓN SEGÚN EL GRADO Y NÚMERO DE INCOGNITAS
Ecuación.
Descripción
Nombre
−4𝑥 + 7 = 11
Ecuación de grado uno con una incógnita.
Ecuación lineal.
𝑥2 + 4𝑥 = 11
Ecuación de grado dos con una incógnita.
Ecuación cuadrática
𝑥 − 4𝑦 = 11
Ecuación de grado uno con dos incógnitas.
Ecuación lineal con dos incógnitas.
𝑥3 − 8 = 0
Ecuación de grado tres con una incógnita.
Ecuación cúbica.
𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 6
Ecuación de grado uno con tres incógnitas.
Ecuación lineal con 3 incógnitas.
Hagamos uso del lenguaje algebraico como un lenguaje práctico que nos permita representar una
situación modelando o construyendo una ecuación y poder darle solución, observar los siguientes
ejemplos:
59
Ejemplo 1: encuentra dos números cuya suma sea 230, si se sabe que el mayor es el tripe del menor.
Solución
Número menor = 𝑥
Número Mayor = 3𝑥
El modelo matemático es: 𝑥 + 3𝑥 = 230
Ejemplo 2: La edad de María es la mitad de la de Brenda; la de Martha el triple de la de María y la
de Mónica el doble de la de Martha si las cuatro edades suman 190 establecer la ecuación.
Solución:
María=𝑥
Brenda= 2𝑥
Martha= 3𝑥
Mónica= 2(3𝑥)
Ecuación= 𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 + 6𝑥 = 190
PM2-SA1 ACT03
CATEGORIAS
C2 Procesos de intuición y razonamiento.
C3 Solución de problemas y modelación.
Ecuación
4𝑥 + 5 = 12
Instrucciones: En binas o triadas, lee con
atención los siguientes planteamientos y
responde lo que se te solicita en cada caso.
Grado
Grado uno
ACTIVIDAD DE REFORZAMIENTO
Nombre
Ecuación lineal con una
incógnita.
5𝑥 2 + 2𝑥 + 4 = 20
2𝑥 + 5 = 5𝑥 − 10
3𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 13
6𝑥 + 5𝑦 = 15
4𝑥 3 − 5𝑥 2 + 9𝑥 − 3 = 18
4𝑥 2 + 5𝑥 − 5 = 15
60
PARA SABER MÁS,
Resolución de ecuaciones de primer grado con una
incógnita
La forma general en que siempre se puede escribir una ecuación lineal con una incógnita es:
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎
donde a es diferente de 0
Dada una ecuación es importante encontrar el valor de la incógnita a través de un proceso de
solución, el procedimiento se basa en la metodología de las propiedades de los números reales tales
como el inverso aditivo(resta) y multiplicativo (división) de los números.
Las diferentes formas en las que se encuentran este tipo de ecuaciones son:
FORMAS
ECUACIÓN
La incógnita se encuentra de un lado de la igualdad.
−5𝑥 + 9 = 15
La incógnita se encuentra en ambos lados de la igualdad.
2𝑥 − 3 = 6𝑥 + 5
La incógnita se encuentra en una fracción
3=
2𝑥 − 8
5𝑥 − 7
Solución de ejercicios de incógnita de un lado de la
igualdad.
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 3𝑥 + 10 = −30
PASOS
Agrupar términos semejantes.
PROCEDIMIENTOS
3𝑥 + 10 = −30
Se agrupan los términos semejantes, la
incógnita queda de lado izquierdo de la
igualdad y las constantes de lado derecho,
aplicando las reglas de despeje donde realizan
la operación contraria al mover los elementos
de la ecuación.
Reducción de términos semejantes.
Se deja sola la incógnita pasando del otro lado
de la igualdad la constante que la acompaña
realizando la operación contraria.
Obtener el resultado de la incógnita.
3𝑥 = −30 − 10
3𝑥 = −40
40
𝑥= −
3
𝑥 = −13.33
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 2𝑥 + 50 = 30
61
PASOS
Agrupar términos semejantes.
PROCEDIMIENTOS
2𝑥 + 50 = 30
2𝑥 = 30 − 50
Se agrupan los términos semejantes, la
incógnita queda de lado izquierdo de la
igualdad y las constantes de lado derecho,
aplicando las reglas de despeje donde
realizan la operación contraria al mover los
elementos de la ecuación.
Reducción de términos semejantes.
2𝑥 = −20
Dejar sola la incógnita pasando del otro lado
de la igualdad la constante que la acompaña
realizando la operación contraria.
Se obtiene el valor de la incógnita.
𝑥=
−20
2
𝑥 = −10
Solución de ejercicios de incógnita de ambos lados de la
igualdad
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 2𝑥 − 4 = 5𝑥 + 3
PASOS
Agrupar términos semejantes.
Dejar de lado izquierdo de la igualdad las
incógnitas y de lado derecho las constantes.
Reducción de términos semejantes.
Dejar sola la incógnita pasando del otro lado de
la igualdad la constante que la acompaña
realizando la operación contraria.
Obtener el resultado de la incógnita.
PROCEDIMIENTOS
2𝑥 − 4 = 5𝑥 + 3
2𝑥 − 5𝑥 = + 3 + 4
-3𝑥 = 7
7
𝑥=
−3
𝑥 = −2.33
62
Desigualdades matemáticas: clave para decisiones
inteligentes
Hasta ahora, hemos explorado el mundo de las
ecuaciones que se centran en el "igual que". Sin
embargo, ¿por qué limitarnos? ahora,
adentrémonos en el terreno de las
desigualdades, donde podemos abordar el "más
grande que" o el "más pequeño que". Esto nos
capacita para manejar las diferencias y
restricciones que naturalmente surgen en
muchas situaciones cotidianas. En lugar de
buscar
igualdades,
comprendemos
las
Figura 10 Dos aspectos en los que se pueden tomar
variaciones y establecemos límites.
decisiones utilizando las desigualdades matemáticas.
Tomado de: https://pxhere.com/es/photo/484054
Considerando lo anterior, las desigualdades se convierten en nuestras aliadas matemáticas,
permitiéndonos tomar decisiones más informadas en nuestra vida diaria. Podemos utilizarlas para
determinar cuánto gastar dentro de nuestro presupuesto y organizar nuestro tiempo de manera
eficiente, evitando la saturación de actividades y reduciendo los niveles de estrés, entre otros
aspectos (Figura 10). ¡Vamos a descubrir cómo estas herramientas matemáticas pueden ser clave
para mejorar nuestra toma de decisiones!
Concepto de desigualdades lineales
Estas desigualdades están compuestas por dos expresiones algebraicas (Figura 12) y siguen un
patrón similar al de las ecuaciones lineales, ya que involucran polinomios de grado 1, pero en lugar
del signo igual (=) que se utiliza en ecuaciones, se emplean signos de orden como < (menor que), ≤
(menor o igual que), > (mayor que) o ≥ (mayor o igual que) (Figura 13). Estas expresiones
matemáticas también se denominan inecuaciones.
Figura 12 Nota: La imagen representa las partes de una desigualdad
matemática.
Tomado
de:
https://josevaldiviac.wordpress.com/inecuaciones-lineales/leccion5-inecuaciones-lineales-con-una-incognita/ en noviembre 2023
Figura 11 Nota: La imagen representa los signos
de orden. Tomado de:
https://esp.brainpop.com/matematicas/algebra
/desigualdades/ em noviembre 2023
63
El propósito fundamental al resolver una desigualdad lineal es el despeje de la variable de interés
mediante operaciones como la suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces, aplicadas a
ambos lados de la desigualdad, sin alterar la relación original entre las expresiones. A diferencia de
las ecuaciones lineales, donde se obtiene un valor específico como solución, las desigualdades
lineales pueden generar un conjunto infinito de valores que cumplen con la desigualdad
dependiendo de las restricciones del problema. Este conjunto se representa típicamente como un
intervalo en la recta numérica, lo que permite visualizar el intervalo de valores que satisface la
inecuación (Aguilar Sánchez et al., 2014).
Modelado de inecuaciones o desigualdades matemáticas
aplicadas
En la toma de decisiones sobre el dinero y las inecuaciones, nos enfrentamos a problemas reales. A
continuación, se describe un ejemplo de aplicación resuelto con los correspondientes principios.
Ejemplo
Ana quiere comenzar a cuidar su salud y mejorar su autoestima para ello decide entrar al
gimnasio, pero requiere comprar un par de tenis. Ella encuentra tres pares de tenis que
le gustan, con precios de $900, $1800 y $1200. Ya tiene ahorrados $300 y gana $30 por
hora en el trabajo que tiene por las tardes. ¿Cuántas horas necesita trabajar para poder
comprar al menos uno de estos pares de tenis?
Se observa que este problema no solicita encontrar el número de horas que Ana debe trabajar para
comprar un par de tenis en específico, sino que nos está preguntando por al menos uno de los tres
pares de tenis. Debido a que el par más económico cuesta $900, se puede crear una desigualdad
que muestre cuándo tiempo debe trabajar para poder reunir “por lo menos” $900 o en términos
matemáticos utilizando los signos de orden, “≥ 900”. Utilizaremos la variable x para presentar el
número de horas que ella debe trabajar.
Dinero ganado en una
hora de trabajo
●
Número de horas
trabajadas
+
Dinero ahorrado
≥
Precio de los tenis
más baratos
$30
●
x
+
$300
≥
900
Por lo tanto, la inecuación quedaría representada de la siguiente forma.
30𝑥 + 300 ≥ 900
64
PARA SABER MÁS
Propiedades de las desigualdades
A continuación se muestran tres propiedades de las inecuaciones basadas en Becerra Espinosa
(2005):
1. Si a ambos lados de una desigualdad se les suma o resta la misma cantidad, la desigualdad
se conserva. Es decir, si tomamos cualquier número n, si
a>b → a + n > b +
n.
Ejemplo con suma
Se sabe que 9 > 3
𝑛=3
9 + 3 > 3 + 3 → 12 > 6
Ejemplo con resta
Se sabe que 10 > 4
𝑛=2
10 − 2 > 4 − 2 → 8 > 2
2. Si multiplicamos o dividimos ambos lados de una desigualdad por un número positivo n, la
desigualdad permanece válida.
Ejemplo con multiplicación
Se sabe que: 5 > 2
𝑛=4
5(4) > 2(4) → 20 > 8
Ejemplo con división
Se sabe que: 49 > 28
𝑛=7
49
28
> 7 → 7>3
7
3. Cuando se multiplica o divide ambos lados de una desigualdad por un número negativo n,
la dirección de la desigualdad se invierte.
Ejemplo con multiplicación
Se sabe que: 8 > 4
𝑛 = −1
8(−1) < 4(−1) → −8 < −4
Ejemplo con división
Se sabe que: 48 > 32
𝑛 = −8
48
32
< −8 → −6 < −4
−8
65
PARA SABER MÁS
Resolución de inecuaciones o desigualdades matemáticas
A continuación, se explicará de manera detallada la resolución de una inecuación utilizando los
principios anteriormente mencionados.
Ejemplo
4𝑥 + 2 ≥ 22 + 14𝑥
PASOS
Se establece la inecuación.
Se agrupan los términos semejantes, la incógnita queda
de lado izquierdo de la desigualdad y las constantes de
lado derecho, aplicando las reglas de despeje donde
realizan la operación contraria al mover de un lado de la
desigualdad a la otra los elementos de la inecuación.
En cuanto al signo de orden se consideran las propiedades
de las desigualdades. Para este caso donde estamos
restando empleamos la propiedad 1, que conserva la
desigualdad.
Reducción de términos semejantes.
Se deja sola la incógnita pasando del otro lado de la
desigualdad la constante que la acompaña realizando la
operación contraria.
En cuanto al signo de orden se consideran las propiedades
de las desigualdades. Para este caso empleamos la
propiedad 3 donde la dirección de la desigualdad se
invierte dado que dividimos entre un número negativo.
Obtener el resultado de la incógnita realizando la
división correspondiente.
PROCEDIMIENTO
4𝑥 + 2 ≥ 22 + 14𝑥
4𝑥 + 2 ≥ 22 + 14𝑥
4𝑥 − 14𝑥 ≥ 22 − 2
−10𝑥 ≥ 20
−10𝑥 ≥ 20
𝑥 ≤
20
−10
𝑥 ≤ −2
66
PARA SABER MÁS
Resolución del problema contextualizado anteriormente.
Ana quiere comenzar a cuidar su salud y mejorar su autoestima para ello decide entrar al
gimnasio, pero requiere comprar un par de tenis. Ella encuentra tres pares de tenis que
le gustan, con precios de $900, $1800 y $1200. Ya tiene ahorrados $300 y gana $30 por
hora en el trabajo que tiene por las tardes. ¿Cuántas horas necesita trabajar para poder
comprar al menos uno de estos pares de tenis?
PASOS
Se establece la inecuación.
Se agrupan los términos semejantes, la incógnita queda
del lado izquierdo de la desigualdad y las constantes del
lado derecho, aplicando las reglas de despeje donde
realizan la operación contraria al mover los elementos de
la inecuación.
En cuanto al signo de orden se consideran las propiedades
de las desigualdades. Para este caso en el que estamos
realizando una resta empleamos la propiedad 1, que
conserva la desigualdad.
Reducción de términos semejantes.
Se deja sola la incógnita pasando del otro lado de la
desigualdad la constante que la acompaña realizando la
operación contraria.
En cuanto al signo de orden se consideran las propiedades
de las desigualdades. Para este caso empleamos la
propiedad 2, que conserva la desigualdad.
Obtener el resultado de la incógnita realizando la
división correspondiente.
PROCEDIMIENTO
30𝑥 + 300 ≥ 900
30𝑥 + 300 ≥ 900
30𝑥 ≥ 900 − 300
30𝑥 ≥ 600
30𝑥 ≥ 600
𝑥 ≥
600
30
𝑥 ≥ 20
Por lo tanto, Ana debe trabajar 20 horas o más para poder comprarse al menos un par de tenis de
los que cotizó.
67
CATEGORIAS
PM2-SA1-TAREA02
C1 Procedural
C4 Interacción y lenguaje matemático.
TAREA
02:
algebraicos
Modelos
Instrucciones: Resuelve las siguientes
actividades de acuerdo con lo que se te pide
Actividad 1: Analiza las expresiones comunes de la siguiente tabla (1ra Columna) y las
expresiones algebraicas (2da Columna). Coloca dentro de los paréntesis, la letra del inciso
que corresponda a la equivalencia de ambas expresiones.
Lenguaje Común
Expresión Algebraica
a) El doble de la suma de un número
cualquiera menos 7
( )
4𝑦 + 𝑦 3
3
b) La diferencia de un número cualquiera y su
mitad
( )
√𝑎2 − 𝑏 2
c) La tercia de la suma del cuádruple de un
número cualquiera y su cubo
( )
4𝑥 + 3𝑦
d) El triple del cuadrado de un número
aumentado en 1
( )
5𝑎3
e) La raíz cuadrada de la diferencia de los
cuadrados de dos números cualesquiera
( )
2(𝑥 − 7)
f) Cinco veces el cubo de un número
( )
g) El cuádruple de un número aumentado en
el triple de otro número
( )
𝑎−
h) La quinta parte de la raíz cubica de un
número
( )
3𝑏 2 + 1
3
√𝑥
5
𝑎
2
68
Actividad 2: Modela mediante una ecuación lineal las siguientes problemáticas.
1. María vendió pasteles durante tres días, el segundo día vendió el doble que lo que vendió el
primer día y el tercer día vendió el triple de lo que vendió el primer día, en total ganó $230. Modelar
la ecuación.
2. Marcos produjo el doble de toneladas de maíz más que Antonio y Carlos el doble de Marcos, entre
todos hicieron una producción de 11 toneladas. Modelar la ecuación.
Actividad 3: Modela mediante una inecuación lineal las siguientes problemáticas.
1. Diógenes está a cargo de transportar azúcar refinada desde un ingenio en Cárdenas, Tabasco,
utilizando un camión con una capacidad máxima de 26 000 Kg. Los costales de azúcar tienen un peso
de 50 kg cada una. Diógenes pesa 100 Kg. Considerando que el límite de peso es crucial para evitar
sanciones, ¿cuántas bolsas de azúcar, puede cargar Diógenes en el camión sin exceder el límite de
peso permitido?
2. Clark Kent cuenta con un saldo inicial de $70 000 y obtiene un ingreso diario de $5 000, mientras
que Bruce Wayne comienza con $40 000 y recibe $7 000 por día. ¿En cuántos días Clark Kent tendrá
el mismo monto que tiene Bruce Wayne o más en su cuenta?
69
PM2-SA1-LC02 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 02: Modelos algebraicos
Unidad de aprendizaje Pensamiento Matemático 2
Progresión
Grupo
Fecha:
4. Examina situaciones que puedan modelarse utilizando lenguaje algebraico y resuelve problemas en
los que se requiere hacer una transliteración entre expresiones del lenguaje natural y expresiones
del lenguaje simbólico del algebra
C1M2 Analiza los resultados obtenidos al aplicar procedimientos algorítmicos propios del Pensamiento
Matemático en la resolución de problemáticas teóricas y de su contexto.
C3M2 Construye un modelo matemático, identificando las variables de interés, con la finalidad de explicar
una situación o fenómeno y/o resolver un problema tanto teórico como de su entorno.
C4M1 Describe situaciones o fenómenos empleando rigurosamente el lenguaje matemático y el lenguaje
natural.
C1 Procedural.
Subcategorías
C1S1 Elementos aritmético-algebraicos.
C3 Solución de problemas y
C3S1 Uso de modelos.
modelación.
C4S1 Registro escrito, simbólico, algebraico e
C4 Interacción y lenguaje
iconográfico.
matemático.
C4S2 Negociación de significados.
C4S3 Ambiente matemático de comunicación.
Meta
Categorías
Nombre de los
integrantes
Tarea 02. Problemario: Modelos algebraicos
Aprendizajes Trayectoria
Contenidos Específico
•
1. Valora la aplicación de procedimientos automáticos y algorítmicos, así como la
interpretación de sus resultados, para anticipar, encontrar y validar soluciones a problemas
matemáticos, de áreas del conocimiento y de su vida personal.
2. Adapta procesos de razonamiento matemático tanto intuitivos como formales tales como
observar, intuir, conjeturar y argumentar, para relacionar información y obtener
conclusiones de problemas (matemáticos, de las ciencias naturales, experimentales y
tecnología, sociales, humanidades, y de la vida cotidiana).
3. Modela y propone soluciones a problemas tanto teóricos como de su entorno, empleando
lenguaje y técnicas matemáticas.
CRITERIOS
•
•
%
Traducir del lenguaje natural al
algebraico.
Definir y representar variables y
operaciones.
Representación de situaciones
mediante
ecuaciones
e
inecuaciones.
CUMPLE
SI
1.
Entrega su producto terminado en el tiempo establecido por el facilitador
2.
Relaciona de correctamente cada expresión en lenguaje común con su
20
respectiva expresión algebraica.
3.
4.
5.
Puntaje
NO
10
Elabora con claridad los modelos de ecuaciones solicitados en el desarrollo
30
de su actividad
Elabora con claridad los modelos de ecuaciones solicitados en el desarrollo
30
de su actividad
Muestra disposición al trabajo claro, metódico y organizado en el desarrollo
10
de su actividad
Calificación
Aspectos para mejorar:
Firma
70
PM2-SA1-EP01
CUESTIONARIO TIPO PLANEA SA 1
Indicaciones Lee cuidadosamente cada reactivo e individualmente elige la opción de
respuesta correcta
1) El resultado de (−8 + 4) × (5 − 2):
a) −22
b) −12
c) 4
d) 10
2) Si 𝑥 < 2 la inecuación verdadera es:
a) 3𝑥 + 2 < 8
b) 𝑥 + 2 < 2
c) 3𝑥 − 2 < 8
d) 𝑥 − 2 < 2
3) El resultado de −8 + 4 × 5 − 2:
a) −22
b) −12
c) 4
d) 10
5𝑥
4) La expresión
representa la operación:
2
a) Adición
b) Sustracción
c) Producto
d) Cociente
5) La edad de Juan es 3 unidades menor que el doble de la edad de Carmen. El modelo
algebraico que describe la situación es:
a) 𝐽 = 3 − 2𝐶
b) 𝐽 = 2𝐶 − 3
c) 𝐽 − 3 = 2𝐶
d) 𝐽 + 3 = 𝐶
71
6) En la expresión:
5𝑥 3 + 7𝑥 − 8𝑥 2 − 12 + 5𝑥 2 + 8𝑥
¿Cuál de los términos no tiene una pareja de términos semejantes es:
a) 5𝑥 2
b) −8𝑥 2
c) − 8𝑥
d) 5𝑥 3
7) La expresión 9𝑥 3 − 𝑥 2 + 8𝑥 − 12 es un:
a) Monomio
b) Binomio
c) Trinomio
d) Polinomio
8) Representa al quíntuple de un número.
a) 𝑥 + 5
b) 𝑥 − 5
c) 5𝑥
d) 𝑥/5
9) 2𝑥 − 3 = 𝑥 + 1 es un ejemplo de:
a) Ecuación o igualdad
b) Inecuación o desigualdad
c) Expresión algebraica
d) Problema matemático
10)
¿Cuál afirmación es verdadera?
a)
b)
c)
d)
10
3
1
3
4
3
5
7
<
<
>
=
1
20
6
4
3
4
15
28
72
PM2-SA1-MA01 Mapa de aprendizaje para evaluar las progresiones de la SA 1
UAC:
Pensamiento Matemático II
Progresiones
1, 2, 3
Nombre
Fecha:
Grupo:
Turno:
Situación de aprendizaje 1: “Y ¿Cuándo voy a usar esto?”
Mapa de aprendizaje
1: Necesito ayuda
2: Puedo hacerlo solo
3: Puedo ayudar a otros
Nivel
Progresión de Aprendizaje
Que debo hacer para mejorar:
1 2 3
1.
Comparo, considerando mis aprendizajes de
trayectoria, el lenguaje natural con el lenguaje matemático
para observar que este último requiere de precisión y
rigurosidad.
2.
Reviso algunos elementos de la sintaxis del lenguaje
algebraico considerando que en el álgebra buscamos la
expresión adecuada al problema que se pretende resolver
(utilizamos la expresión simplificada, la expresión
desarrollada de un número, la expresión factorizada,
productos notables, según nos convenga).
3.
Examino situaciones que puedan modelarse
utilizando lenguaje algebraico y resuelvo problemas en los
que se requiere hacer una transliteración entre expresiones
del lenguaje natural y expresiones del lenguaje simbólico del
algebra
Nombre y Firma del estudiante:
Firma del Facilitador
73
Referencias SA 1
Aguilar Sánchez, G. P., Robledo-Rella, V. F., & Martínez Arias, L. A. (2014). Introducción a las
Matemáticas.
https://www.google.com.mx/books/edition/Introducción_a_las_Matemáticas/wvhBAAAQBAJ?hl=en&gbpv=1&dq=una+desigualdad+es+matematicas&pg=PA103&printsec=fr
ontcover
Becerra Espinosa, J. M. (2005). Temas Selectos de Matemáticas: la amena forma de aprender más.
UNAM.
https://www.google.com.mx/books/edition/Temas_Selectos_de_Matematicas_la_Amena_F/
j5X77dL5Ll8C?hl=en&gbpv=1&dq=propiedades+de+las+inecuaciones&pg=PA108&printsec=fr
ontcover
Blog de matemáticas. (2019, 13 agosto) De lenguaje algebraico a lenguaje común. Blog de
Matemáticas.
Recuperado
el
28
de
noviembre
de
2023,
de
https://www.blogdematematicas.com/de-lenguaje-algebraico-a-lenguaje-comun.html
Mheducation.es(s.f.) Algebra y ecuaciones. Recuperado el 28 de noviembre de 2023, de:
https://www.mheducation.es/bcv/guide/capitulo/8448177207.pdf . Consultado el 28 de
noviembre de 2023.
Ortiz Campos, Francisco Javier (2014). Matematicas 1. Grupo editorial Patria. CDMX
Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas I Primer semestre. Recuperado el 28 de
noviembre de 2023, de : https://www.sev.gob.mx/tebacom/files/2017/03/MatematicasI.pdf
74
SITUACIÓN DE
APRENDIZAJE 2
“El que parte y reparte s…”
75
Propósito de la SA 2
PROGRESIONES
4, 5, 6, 7, 8
Elaborar, en equipos de 6 estudiantes, un reporte del análisis del reparto
proporcional de las utilidades por las ventas de los productos obtenidos en el
huerto escolar una vez definidos los gastos de inversión y presentarlo ante el
grupo para su socialización y validación.
76
APRENDIZAJES DE TRAYECTORIA
•
Valora la aplicación de procedimientos automáticos y algorítmicos, así como la interpretación de
sus resultados, para anticipar, encontrar y validar soluciones a problemas matemáticos, de áreas
del conocimiento y de su vida personal.
•
Adopta procesos de razonamiento matemático tanto intuitivos como formales tales como
observar, intuir, conjeturar y argumentar, para relacionar información y obtener conclusiones de
problemas
•
(matemáticos, de las ciencias naturales, experimentales y tecnología, sociales, humanidades, y
de la vida cotidiana).
•
Modela y propone soluciones a problemas tanto teóricos como de su entorno, empleando
lenguaje y técnicas matemáticas.
•
Explica el planteamiento de posibles soluciones a problemas y la descripción de situaciones en el
contexto que les dio origen empleando lenguaje matemático y lo comunica a sus pares para
analizar su pertinencia.
Progresión
Conocimientos (Conceptuales)
4. Explica algunas relaciones entre números
enteros utilizando conceptos como el de Básico
• Factores y divisores
divisibilidad, el de número primo o propiedades
generales sobre este conjunto numérico,
• Criterios de divisibilidad (2, 3 y 5)
apoyándose del uso adecuado del lenguaje
algebraico.
Complementario
• Descomposición en factores primos
5. Conceptualiza el máximo común divisor
(M.C.D.) y mínimo común múltiplo (m.c.m.) de Básico
• Mínimo común múltiplo
dos números enteros y los aplica en la
• Máximo común divisor
resolución de problemas.
• Aplicación a problemas de contexto
.
Complementario
• Aplicación en simplificación de fracciones
• Aplicación en problemas de coincidencias
6. Revisa desde una perspectiva histórica al
Básico
conjunto de los números reales, comenzando
• Clasificación de los Números Reales desde
con la consideración de números decimales
una perspectiva histórica
positivos hasta llegar a la presentación de la
• Propiedad posicional del sistema de
estructura de campo ordenado de los números
numeración decimal
reales.
• Propiedad de Tricotomía
7. Resuelve situaciones-problema significativas Básico
para el estudiantado que involucren el estudio
• Proporcionalidad Directa
de proporcionalidad tanto directa como
• Porcentajes
77
Progresión
Conocimientos (Conceptuales)
inversa, así como también el estudio de
• Proporcionalidad Inversa
porcentajes,
empleando
la estructura
algebraica de los números reales.
Complementario
• Regla de tres.
• Reparto Proporcional
8. Discute la conformación de un proyecto de
Básico
vida considerando elementos básicos de la
• Interés simple
matemática financiera tales como interés
simple y compuesto, ahorros y deudas a través
de la aplicación de la estructura algebraica de
Complementario
los números reales y con la finalidad de
• Interés compuesto
promover la toma de decisiones más razonadas
78
Situación de Aprendizaje 2
Estrategia
Didáctica:
Reporte de análisis
Título:
“El que parte y reparte s…”
El Programa Institucional Hacia la Sostenibilidad (PIHASO) del Colegio de
Bachilleres de Tabasco (COBATAB) es una iniciativa que busca fomentar en la
comunidad educativa del subsistema, mediante la puesta en marcha de un
programa de sostenibilidad, una cultura de responsabilidad personal que
contribuya a preservar los recursos naturales, los bienes económicos y los
activos sociales, para el bienestar actual y de las futuras generaciones. En el
cumplimiento de este objetivo, y alineados a los desde el año 2020 el
Voluntariado del COBATAB lleva a cabo el programa: “Por mí, Por ti, Sembrando
con Amor” cuya finalidad de implementación en los Centros Educativos del
subsistema es valorar el papel de la familia y de los padres como educadores y
ejemplos de vida; así como, promover vínculos familiares a través de la
participación y establecimiento de huertos y/o viveros que den sustentabilidad
al hogar, a los centros educativos y al entorno.
Contexto:
En la agenda 2030 se expresa la necesidad de actuar desde todos los ámbitos
para hacer sostenible todos los recursos y para contar en corto plazo con una
educación de calidad, abatir el hambre y mejor las condiciones de vida y de la
convivencia; En ese contexto y siendo Tabasco un estado apto para la siembra
de una amplia variedad de plantas y sabiendo que en los centros educativos del
COBATAB hay las condiciones requeridas, se considera que la implementación
de huertos y/o viveros escolares es una excelente propuesta ya es factible la
participación de todas las asignaturas que se impartirán en primero y segundo
semestre del nuevo mapa curricular, con este proyecto se contribuye al
cumplimiento del perfil de egreso expresado en la Nueva Escuela Mexicana. El
huerto escolar es considerado como un recurso que permite convertir a los
centros educativos en lugares donde el estudiante puede adquirir múltiples
experiencias acerca de su entorno (natural, urbano o rural); así como las
relaciones y dependencias que este guarda con él. Además, es a través de este
espacio que se pone en práctica actitudes y hábitos de cuidado del medio
ambiente indispensables para el desarrollo de una cultura ambiental.
Implementar una estrategia que permita a cada centro educativo con base en
sus condiciones internas y a su contexto, instalar un huerto escolar o un vivero
79
para que los alumnos de primero y segundo semestre se involucren de manera
pronta al ambiente escolar y al trabajo en equipo.
Por lo regular, el problema estriba en seleccionar el conjunto de alternativas
que incrementará al máximo los beneficios totales sujetos a las restricciones
del presupuesto y otras restricciones que podrían afectar la selección de un
proyecto. Para construir los elementos del modelo usualmente es necesario
establecer los siguientes valores:
• Definir los cultivos o actividades.
• Calcular las necesidades de mano de obra y capital para explotar esas
actividades.
• Estimar la ganancia por actividad por hectárea proyectada al período en el
que se desarrollaría cada actividad.
• Definir el área disponible con riego para el proyecto agrícola.
• Evaluar la mano de obra disponible en la zona.
• Determinar el monto del capital inicial que se podía disponer para iniciar el
proyecto.
• Entre otros aspectos que se podrían considerar.
Conflicto
cognitivo:
•
•
•
•
¿Cuánto se gastó un equipo en el huerto o vivero?
¿Cuántos kg de producto obtuvieron en la cosecha?
¿crees que se deben repartir equitativamente?
En una tabla describe el porcentaje de inversión de cada uno
80
Instrumento de Evaluación Situación Didáctica 2
PM2-SA2-RU02 Rubrica para evaluar la Situación de Aprendizaje 2
COLEGIO DE BACHILLERES DE TABASCO PLANTEL No. ______
PENSAMIENTO MATEMATICO II
Situación
didáctica
Propósito de la
situación
Datos de identificación
PM2-SA2-RU02
“El que parte y
Bloque de
2
Progresiones
4, 5, 6, 7, 8
reparte s…”
progresiones
Elaborar, en equipos de 6 estudiantes, un reporte del análisis del reparto proporcional de las utilidades por
las ventas de los productos obtenidos en el huerto escolar una vez definidos los gastos de inversión y
presentarlo ante el grupo para su socialización y validación.
CATEGORIAS/SUBCATEGORIAS
CATEGORIAS
SUBCATEGORIAS
C1S1 Elemento aritmético-algebraicos
C2S1 Capacidad para observar y conjeturar.
C1 Procedural
C2S2 Pensamiento intuitivo.
C2 Procesos de intuición y razonamiento. C2S3 Pensamiento formal.
C3 Solución de problemas y Modelación. C3S2 Construcción de modelos
C3S3 Estrategias heurísticas y ejecución de procedimientos no rutinarios.
C4 Interacción y lenguaje matemático.
C4S2 Negociación de significados.
C4S3 Ambiente matemático de comunicación.
Nombre de los alumnos
Grupo
N. Lista:
N. Lista:
N. Lista:
N. Lista:
N. Lista:
N. Lista:
Evaluación
Puntuación
máxima
Ponderación
Procedural
4
25%
Proceso de
razonamiento.
4
25%
Solución de
problema y
modelación.
4
25%
Actitudinal
4
25%
CATEGORÍAS
Puntuación
obtenida
Retroalimentación
Logros
Aspectos
de mejora
TOTAL
16
100%
Calificación obtenida
81
NIVEL DE PROGRESO
Categoría
Destacado (4)
Competente (3)
Básico (2)
No presenta (1)
Procedural.
El informe está bien organizado y
sigue una estructura lógica y clara.
La estructura del informe es
adecuada, pero podría ser más
efectiva.
La estructura del informe es
básica y puede mejorarse en la
organización.
La estructura del informe es confusa
y no sigue un orden lógico.
Procesos de intuición y
razonamiento.
Se muestra una comprensión
completa y precisa de los
conceptos de reparto proporcional.
La comprensión de los conceptos
es sólida, pero podría mejorar.
La comprensión de los conceptos
es limitada y contiene errores.
No se demuestra comprensión de los
conceptos de reparto proporcional.
Solución de problemas
y modelación.
Todos los cálculos de la SA se
resuelven de manera correcta y
precisa.
Los cálculos de la SA se resuelven
de manera correcta, pero con
algunos errores menores.
Los cálculos de la SA son
incorrectos o tienen errores
importantes.
No se presentan cálculos
relacionados con el reparto
proporcional.
El informe ofrece una explicación
exhaustiva y clara del reparto
proporcional, incluyendo ejemplos.
El informe presenta información
relevante sobre el reparto
proporcional, pero podría ser más
detallado y organizado.
El contenido es insuficiente y
poco claro en la presentación del
reparto proporcional.
El informe carece de contenido
relevante y no aborda el reparto
proporcional.
La redacción es clara y efectiva, sin
errores gramaticales u ortográficos.
La redacción es razonablemente
clara, con errores gramaticales y
ortográficos menores.
La redacción es deficiente en
algunos aspectos y contiene
errores gramaticales y
ortográficos.
La redacción es confusa y llena de
errores gramaticales y ortográficos.
Interacción y lenguaje
matemático.
(Contenido del
Informe)
Actitudinal
Nombre y Firma del Líder de equipo
Firma del Facilitador
82
Evaluación Diagnóstica SA2
¿Qué tanto sé? (Apertura)
PM2-SA2-ED02
CUESTIONARIO PARA SOCIALIZAR
Selecciona la respuesta correcta en cada caso
1.
El número 450 es divisible entre los números…
a)
b)
c)
d)
2, 3 y 7
2, 3 y 5
3y8
2y3
2.
Completar los lugares vacíos de manera que se formen números con las
características que se solicitan
A) 22__ divisible por 2 y 3
B) 52__ divisible por 3 y 5
C) 465__ divisible por 2,3 y 5
a)
b)
c)
d)
3.
2, 5, 0
0, 3, 5
1, 2, 3
2, 3, 5
¿Cuál es el máximo común divisor de 10 y 35?
e)
f)
g)
h)
4.
5
70
10
35
¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 15 y 21?
a)
b)
c)
d)
5.
3
21
15
105
Es el conjunto de números enteros positivos:
a)
b)
c)
d)
Racionales
Irracionales
Naturales
Enteros
83
PM2-SA2-ED02
CUESTIONARIO PARA SOCIALIZAR
6.
Es el conjunto de números que se pueden representar como cociente de dos números
enteros a y b, con b diferente de cero:
a) Racionales
b) Irracionales
c) Naturales
d) Enteros
7.
A la cantidad que se paga por el uso de una cantidad de dinero prestada por un
periodo de tiempo:
a)
b)
c)
d)
8.
Inversión
Descuento
Interés
Préstamo
En este tipo de interés el capital se incrementa en cada periodo de tiempo:
a)
b)
c)
d)
Simple
Compuesto
Préstamo
Tasa de interés
Resuelve los siguientes ejercicios
9.
La población de Pomoca era en 2010 de 10,864 habitantes. En 2020 se incrementó
en un 290.8 %. ¿Cuántos habitantes tenía en 2020?
10.
Un vehículo consume 5.5 litros de gasolina cada 100 kilómetros. ¿Cuántos
kilómetros podrá recorrer con 110 litros?
84
PROGRESIÓN 4
Algoritmo de la división
Instrucciones: Leer con atención la siguiente infografía sobre el concepto de la división y su
algoritmo.
85
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Existen diversos enunciados en matemáticas donde interviene el concepto de divisibilidad, por
ejemplo, los siguientes:
a) Determinar los divisores de un número 𝑛 ∈ ℕ .
b) Si al efectuar la división de un número 𝑛 ∈ ℕ entre un número 𝑎 ∈ ℕ con 𝑎 ≠ 0 es exacta
(residuo cero), entonces se dice que 𝑎 es un divisor de 𝑛 .
c) Cuando se realiza la división de un número 𝑛 ∈ ℕ entre un número 𝑎 ∈ ℕ con 𝑎 ≠ 0 es
exacta (residuo cero) entonces se dice que 𝑛 es divisible por 𝑎 .
Así mismo, los siguientes problemas:
a) Determinar si un número 𝑛 ∈ ℕ es divisible por un número 𝑎 ∈ ℕ con 𝑎 ≠ 0 sin realizar
la división.
b) Descomponer un número 𝑛 ∈ ℕ en producto de factores primos. Para ello se debe
determinar si 𝑛 es divisible por los sucesivos números primos 2, 3, 5, ...
Ambos problemas se responden efectuando la división o bien, aplicando las llamadas reglas o
criterios de divisibilidad. Estos criterios que permiten determinar si un número es divisible o no por
otro sin necesidad de realizar la división.
A continuación, se enuncian algunos criterios de divisibilidad.
Divisibilidad entre 2. Un número es divisible por 2 si la cifra de las unidades es un número par, es
decir, 0, 2, 4, 6, 8).
Ejemplo. 426 es divisible entre dos puesto que termina en 6 el cual es un número par.
Divisibilidad entre 3. Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Ejemplo. 645 es divisible por 3 puesto que sumar 6 + 4 + 5 = 15 y 15 es múltiplo de 3, es
decir, (3)(5) = 15
Divisibilidad entre 5. Un número es divisible por 5 si la última cifra de las unidades es cero o es el
número 5.
Ejemplo. El número 35420 es divisible por 5 puesto que la cifra termina en cero.
A continuación, resolveremos algunos ejercicios con la aplicación de criterios de divisibilidad.
Ejemplo. Entre los siguientes números: 405, 316, 814, 1085 7 y 340 determinar:
a) ¿Hay alguno que sea divisible por 2?
86
b) ¿Cuáles son divisibles por 3?
c) ¿Cuáles tienen por divisor al 5?
Solución.
a) Para saber si 405, 316, 814, 1085 y 340 son divisibles entre 2 debemos observar que su
cifra de unidades es un número par:
Entonces el número 316, 814 y 340 son divisibles entre 2.
b) Para determinar si 405, 316, 814, 1085 y 340 son divisibles entre tres debemos observar
que la suma de sus cifras es múltiplo de 3
Para 405, tenemos que 4 + 0 + 5 = 9 y el número 9 es múltiplo de 3, entonces 405 si es divisible por
3.
Para 316, tenemos que 3 + 1 + 6 = 10 y el número 10 no es múltiplo de 3, entonces 316 no es divisible
por 3.
Para 814, tenemos que 8 + 1 + 4 = 12 y el número 12 es múltiplo de 3, entonces 814 si es divisible
por 3.
Para 1085, tenemos que 1 + 0 + 8 + 5 =14 y el número 14 no es múltiplo de 3, entonces no es divisible
por 3.
Para 340, tenemos que 3 + 4+ 0 = 7 y el número 7 no es múltiplo de 3, entonces 340 no es divisible
por 3.
c) Para verificar si 405, 316, 814, 1085 y 340 son divisibles por 5 debemos considerar que su
última cifra termine en 0 o 5, entonces los números que son divisibles son 405, 1085 y 340.
Ejemplo. ¿De cuántas formas se pueden guardar 156 libros, con el mismo número
de libros en cada caja, si no disponemos de más de 7 cajas? ¿Cuántos libros sobran
si se utilizan 5 cajas?
Solución.
Se pueden colocar los 156 libros en dos cajas de 78 libros cada una.
Se pueden colocar los 156 libros en tres cajas de 52 libros cada una.
Se pueden colocar los 156 libros en 4 cajas de 39 libros cada una.
Los 156 libros se pueden acomodar en 5 cajas de 31 libros cada una y sobran 1.
Los 156 libros se pueden acomodar en 6 cajas de 26 libros cada una.
Los 156 libros se pueden acomodar en 7 cajas de 22 libros cada una y sobran 2.
Ejemplo. Supongamos que tienes una tienda de juguetes y se desea organizarlos en
estantes. Se quieres dividir los juguetes en estantes de manera que cada estante
tenga una cantidad igual de juguetes. Si tienes 142 juguetes, ¿puedes organizarlos
en estantes de manera que haya una cantidad igual de juguetes en cada estante?
Utiliza los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5 para determinar si esto es posible.
87
Solución.
Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si su última cifra es par. El número de juguetes es
142, y la última cifra es 2, que es par. Por lo tanto, el número es divisible por 2, corresponde a dos
estantes colocando 71 juguetes en cada uno.
Divisibilidad por 3: Para verificar la divisibilidad por 3, sumamos las cifras: 1 + 4 + 2 = 7. Si la suma es
múltiplo 3, entonces se puede dividir en estantes de manera que haya una cantidad igual de
juguetes en cada estante. En este caso, la suma (7) no es múltiplo por 3. Entonces, no se puede
organizar los 142 juguetes en estantes con una cantidad igual en cada uno, ya que se ocuparían 3
estantes con 47 juguetes cada uno y sobraría un juguete.
Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si su última cifra es 0 o 5. En este caso, la última
cifra es 2, que no es 0 ni 5. Por lo tanto, el número no es divisible por 5. Ya que se utilizarían 5
estantes con 28 juguetes cada uno y sobrarían 2 juguetes.
En resumen, puedes dividir los 142 juguetes en estantes de manera que haya una cantidad igual en
cada estante solo si la división es entre 2. La división entre 3 y 5 no son posibles.
Descomposición de factores primos
Para qué sirve la descomposición factorial… La
descomposición factorial o factorización en
factores primos la utilizamos para:
•
•
•
Calcular el máximo común divisor.
Calcular el mínimo común múltiplo.
Para simplificar fracciones.
La descomposición en factores o factorización de un
número es escribir dicho número como el producto
de dos o más números. Se llama descomposición en
factores primos cuando representamos un número
como producto de números primos.
Son aquellos números que además de ser divisibles
por ellos mismos y la unidad, también son divisibles
por otros números.
Antes de practicar la descomposición de un número
natural en factores primos, definamos el concepto
número primo y número compuesto.
Los números primos son aquellos números que solo tienen dos divisores, es decir, solo son divisibles
por la unidad (1) y ellos mismos.
Números primos= 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…
Un número compuesto es aquel que no es número primo, es decir, se puede escribir como el factor
de dos o más números.
Ejemplo. El número 67 es primo ya que solo se divisible entre 1 y 67.
El 66 es número compuesto puesto que 66 se puede escribir como producto de dos o más números:
2(33)=66
2(3)(11)=66
88
El siguiente ejemplo presenta un procedimiento creado por el matemático griego Eratóstenes
(siglo III a. C.) denominado Criba de Eratóstenes, que muestra una manera rápida de obtener
todos los números primos hasta uno concreto.
Ejemplo: Encuentra los números primos que se encuentran entre 1 y 100
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9 10
19 20
29 30
39 40
49 50
59 60
69 70
79 80
89 90
99 100
Procedimiento
Empezaremos colocando los números del 1 al 100 en una tabla. Marcamos el 1, que no se considera
un número primo.
Continuaremos con el 2. El 2 es un número primo, pero todos lo múltiplos de 2 serán números
compuestos, ya que serán divisibles entre 2. Tachamos de nuestra tabla todos los múltiplos de 2.
El siguiente número primo es el 3, por lo tanto, podemos tachar todos los múltiplos de 3, ya que
serán números compuestos.
El siguiente número primo es el 5, por lo que tachamos todos los múltiplos de 5.
El siguiente número primo es el 7, así que tachamos todos los múltiplos de 7.
El siguiente número primo es el 11, por lo que tachamos todos los múltiplos de 11, que son el 22,
33, 44, 55, 66, 77, 88, y el 99. Todos estos ya habían sido tachados con anterioridad, por lo que ya
hemos terminado de tachar todos los números compuestos de nuestra tabla.
1
2 3
4 5
6
7
8
9 10
11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23
24 25 26 27 28 29 30
31 32 33
34 35 36 37 38 39 40
41 42 43
44 45 46 47 48 49 50
51 52 53
54 55 56 57 58 59 60
61 62 63
64 65 66 67 68 69 70
71 72 73
74 75 76 77 78 79 80
81 82 83
84 85 86 87 88 89 90
91 92 93
94 95 96 97 98 99 100
89
Los números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,
83, 89, 97
Para descomponer o factorizar un número en sus números primos, tendremos que ir dividiendo ese
número por los números primos que den división exacta. Para entenderlo mejor, vamos a verlo con
un ejemplo.
Ejemplo. Obtener la descomposición del número 420 en sus factores primos.
420
210
105
35
7
1
2
2
3
5
7
Se observa que 420 es divisible entre 2 (mitad de 420).
Se sigue siendo divisible entre 2 (mitad de 210).
Es divisible entre 3 (tercia de 105).
Es divisible entre 5 (quinta de 35).
Es divisibles entre 7 (séptima de 7).
El número 420 se puede descomponer como 420=(2)(2)(3)(5)(7)
Para concluir con la lectura, con ayuda de tu profesor realiza la siguiente actividad de
reforzamiento
CATEGORIAS
C2 Procesos de intuición y razonamiento.
C4 Interacción y lenguaje matemático.
PM2-SA2-ACT04
ACTIVIDAD DE REFORZAMIENTO
Instrucciones: Sigue las instrucciones por reactivo
Actividad 1. Considere los números de la siguiente tabla:
92
61
205
740
440
172
431
978
1533 573
21
614
210
104
671
84
684
999
2506 88
126
361
177
423
7605
Aplicando los criterios de divisibilidad. determina:
a) Los números divisibles por 2. _______________________________________________
b) Los números divisibles por 3. _______________________________________________
c) Los números divisibles por 5. _______________________________________________
Actividad 2. Resuelve los siguientes problemas
a) En el número de cuatro cifras 293c, ¿Qué valores debe tener la cifra c para que el número
sea divisible por 3? R=_________________
90
a) Calcula todos los múltiplos de 19, comprendidos entre 500 y 600
R=_________________________________
c) El Colegio de Bachilleres de Tabasco está organizando la elaboración de huertos escolares.
Un centro de Educación Media Superior a Distancia (EMSaD) perteneciente a este subsistema,
cuenta con una población estudiantil de 268 alumnos que desean participar en esta actividad,
¿Podrían formarse 2 equipos con la misma cantidad de alumnos cada uno y que ninguno se
quede sin equipo? ¿Podrían formarse 3 o 5 equipos…? Argumenta tu respuesta.
R=_________________________________
d) El Programa federal de Sembrando vida desea repartir a algunos centros educativos del
COBATAB 630 semillas de diferentes plantas medicinales, frutales, de ornato, florales, entre
otras ¿Es posible repartir en 2, 3 o 5 planteles las 630 semillas en cajas iguales sin que sobre
ninguna? Argumenta tu respuesta con los criterios de divisibilidad.
R=_________________________________
e) Para continuar con la elaboración del huerto escolar, se desea comprar bolsas de abono
para garantizar el óptimo crecimiento de las plantas. En un almacén se tiene 45 paquetes de
abono de 1 kg cada uno. Hay que meterlos en cajas que sean
todas iguales sin que sobren ni falten paquetes para repartirlas en diferentes centros
educativos. Calcula y argumenta todas las soluciones posibles.
R=_________________________________
Actividad 3. Determina la descomposición de los factores primos de los siguientes números.
a) 1860 _______________________________________________________
b) 570 _______________________________________________________
c) 77
_______________________________________________________
91
PROGRESIÓN 5
Definición del Máximo Común Divisor: (M.C.D)
El Máximo Común Divisor de un conjunto de números es el factor mayor que divide al
conjunto de números exactamente.
Existen dos métodos para calcular el Máximo común divisor: Método largo y método corto.
El método largo consiste en buscar todos los posibles divisores de los números en cuestión
y se busca el común entre ellos, eligiendo el mayor número que divide al conjunto de números. Por
ejemplo:
Calcular el máximo común divisor de (40, 36, 12)
Entonces se busca los divisores de cada uno de ellos.
40= 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20,40.
36= 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
12= 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Por lo tanto, el MCD = 4.
El método corto consiste en colocar dos segmentos de recta; uno vertical y otro horizontal,
colocar el conjunto de números al que se le va a buscar el MCD. Usando los números primos
tenemos que observar que ese número elegido divida a todos el conjunto de números. Como se
muestra a continuación.
Calcular el máximo común divisor de (40, 36, 12)
40
36
12
2
20
18
6
2
10
9
3
Número primos: 2,3,5,7,…..
Entonces el MCD: 2x2 = 4
92
Definición del Mínimo Común Múltiplo: (M.C.M)
El Mínimo Común Múltiplo de un conjunto de números es el número más pequeño, que
contiene el número exacto de veces a cada uno de ellos.
El método largo consiste en buscar los múltiplos de cada número del conjunto de números,
observamos el común entre ellos y se elige el más pequeño. Por ejemplo:
Calcular el Mínimo Común Múltiplo de: (9, 10, 15)
9: 9, 18,27,36, 45, 54, 63, 72, 81, 90 ….
10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70. 80 , 90 …
15: 15,30,45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150 …
Por lo tanto, MCM = 90
El método corto consiste en colocar dos segmentos de recta; uno vertical y el otro
horizontal, colocar el conjunto de números al que se le va a buscar el MCM. Y con los números
primos tenemos que identificar que divida por lo menos a uno hasta llegar al mínimo. Por ejemplo:
Calcular el Mínimo Común Múltiplo de: (9, 10, 15)
9
10
15
2
9
5
15
3
3
5
5
3
PARA APRENDER MÁS
5
Máximo común divisor y mínimo
común múltiplo
Khan Academy
1
5
5
1
1
1
Números Primos: 2,3 5, 7….
MCM: 2 x 3 x 3 x 5 = 90
93
CATEGORIAS
PM2-SA2-TAREA03
C1 Procedural
C3 Solución de problemas y Modelación.
TAREA 03: Problemario MCD y
MCM
Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas
individualmente
1. Realiza los siguientes cálculos
a) Calcular el MCD: (28, 56, 70).
(VALOR 10%)
R=___________________
b) Calcular el MCM: (6, 12, 18).
(VALOR 10%)
R=___________________
2. Aplicando lo aprendido de MCD y MCM resuelve los siguiente:
a) Juan, Pedro y Daniel son estudiantes del COBATAB, y están interesado en ayudar en el
huerto escolar, lo cual deciden apoyar en regar las plantas de dicho huerto, Juan dice
que puede ir cada 18 días, Pedro cada 15 días y Daniel cada 8 días, ¿Dentro de cuantos
días como mínimo podrían coincidir los tres en regar las plantas? (VALOR 25%)
R=___________________
b) Luisa, Mariana y Dulce son estudiantes del COBATAB, y están interesado en aportar en
el huerto escolar, ellos comentan; en el salón de clases, que en sus casas tienen mallas
para cercar el huerto, y así evitar que los animales roedores coman las plantas. Luisa dice
que la medida de su malla es de 16 m, Mariana comenta que la malla es de 36 m, y Dulce
dice que es de 48m. Para aprovechar la mayor cantidad posible de cada malla, ¿Cuál será
la mayor longitud. (VALOR 25%)
R=___________________
94
PM2-SA2-LC03 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 03: Problemario: MCD y MCM
Unidad de aprendizaje Pensamiento Matemático 2
Progresión
Grupo
Fecha:
5. Conceptualiza el máximo común divisor (M.C.D.) y mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos
números enteros y los aplica en la resolución de problemas.
M1 Ejecuta cálculos y algoritmos para resolver problemas matemáticos, de las ciencias y de su
entorno. Comprueba los procedimientos usados en la resolución de problemas utilizando diversos
métodos, empleando recursos tecnológicos o la interacción con sus pares
Meta
M3 Aplica procedimientos, técnicas y lenguaje matemático para la solución de problemas propios
del Pensamiento Matemático, de Áreas de Conocimiento, Recursos Sociocognitivos, Recursos
Socioemocionales y de su entorno.
C1 Procedural.
Subcategorías S1 Elementos aritmético-algebraicos.
Categorías
C3 Solución de problemas y
modelación.
S3 Estrategias heurísticas y ejecución de
procedimientos no rutinarios
Nombre del alumno
Tarea 03. Problemario: MCD y MCM
Aprendizajes Trayectoria
Contenidos Específico
•
•
•
1- Valora la aplicación de procedimientos automáticos y algorítmicos, así como
la interpretación de sus resultados, para anticipar, encontrar y validar
soluciones a problemas matemáticos, de áreas del conocimiento y de su vida
personal.
3 - Modela y propone soluciones a problemas tanto teóricos como de su
entorno, empleando lenguaje y técnicas matemáticas.
CRITERIOS
%
M.C.D.
M.C.M.
Aplicación en problemas
de contextos
CUMPLE
SI
1.
Ejecuta cálculos para obtener el Máximo Común Divisor en la aplicación de los
10
problemas de contexto planteados
2.
Ejecuta cálculos para obtener el Mínimo Comín Múltiplo en la aplicación de
10
los problemas de contexto planteados
3.
Resuelve correctamente los ejercicios de Máximo Común Divisor y Mínimo
50
Común Múltiplo
Muestra disposición al trabajo claro, metódico y organizado en el desarrollo
20
de su actividad
Entrega su producto terminado en el tiempo establecido por el facilitador.
10
4.
5.
Puntaje
NO
Calificación
Aspectos para mejorar:
Firma
95
PROGRESIÓN 6
Números reales
Las matemáticas rodean nuestra vida. Uno de los conceptos que más utilizamos es el de
sentido del número, el cual describe, de manera abstracta, una cantidad determinada de objetos.
Las necesidades numéricas de los primeros humanos se limitaban al conteo de elementos. Para ello
usaban sus dedos o piedras o nudos en cuerdas, etcétera. Con el tiempo, estas manifestaciones y
conocimientos del número se fueron estructurando a partir del uso de numerales para representar
a los números, hasta llegar a establecer las bases para desarrollar sistemas numéricos que
permitieron la expresión de cantidades finitas e infinitas más el desarrollo de las operaciones
aritméticas.
Sistema de numeración posicional decimal
El sistema que usamos para representar cantidades se llama indo-arábigo o decimal, éste se
originó en la India y su difusión estuvo a cargo de los árabes en toda Europa, de ahí viene el nombre
de números arábigos. Los símbolos que empleamos en nuestro sistema de numeración tienen como
elemento geométrico de base el ángulo. La cantidad de ángulos que tienen los símbolos permitió
asociarlos con cantidades específicas. Las siguientes figuras explican el origen de los símbolos que
usamos para representar números actualmente:
Ilustración 1_Imagen tomada de internet en octubre
de 2023
A continuación, se presenta la clasificación de los números:
➢ Números naturales Los números que utilizamos para contar la cantidad de elementos de
un conjunto no vacío se los denomina números naturales. Designamos con la letra ℕ al conjunto de
dichos números.
96
➢ Números enteros El conjunto de los números enteros Z es la unión de los conjuntos de
números naturales N, sus negativos y el cero.
➢ Números Racionales Son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos
cantidades, además se divide en:
YOUTUBE
Ley de tricotomía
https://www.youtube.com/watch
?v=lSJWlsJ5s6I
✓
Números Enteros: Su conjunto se conforma de números
positivos, negativos o del cero. A su vez dicha clasificación conforman los
números enteros naturales, que en la gráfica se representan como los
números positivos, números negativos y el cero.
✓ Números Fraccionarios: Comúnmente conocido como
fracción, el quebrado o número fraccionario es el que expresa 1 o más
partes iguales de la unidad central. Todo número racional se puede
expresar como número decimal exacto o periódico.
✓ Números Irracionales. Son aquellos cuya expresión decimal
está en infinita, sin ser periódica.
CATEGORIAS
C1 Procedural
C2 Procesos de intuición y razonamiento.
PM2-SA2 ACT05
ACTIVIDAD DE REFORZAMIENTO
Instrucciones: En binas o triadas, realizar un
organizador grafico sobre la clasificación de los
conjuntos de números
97
PROGRESIÓN 7
Porcentajes
El porcentaje representa una cantidad como una fracción en 100 partes iguales, es decir, es
una forma de referirse a una proporción tomando como referencia el número 100.
¿Cómo calcularlo?
Para calcular un porcentaje, debemos identificar el total de individuos que corresponde con
el 100%. Posteriormente aplicamos la regla de tres simple, puesto que se trata de una relación de
proporcionalidad directa.
Ejemplo.
En una clase de 40 alumnos del grupo primero H de un plante del COBATAB, 15 son mujeres.
Calculamos el porcentaje de alumnas una regla de tres (con ayuda de una tabla):
𝑥=
Alumnos
%
40
100
15
x
15(100) 1500
=
= 37.5%
40
40
Por tanto, el porcentaje de alumnas el 37.5%.
Razón
Es la comparación por cociente entre dos números también conocida como razón
geométrica o por cociente.
98
Por ejemplo:
𝑎
𝑏
El divisor debe ser necesariamente distinto de cero. En general, si a y b son dos números
𝑎
(𝑏 ≠ 0), la razón entre el par ordenado de números a, b, es el cociente 𝑏
Ejemplo
En la clase de pensamiento matemático II hay 24 mujeres y 21 hombres. ¿Cuál es la razón
entre mujeres y hombres?
Razón entre chicas y chicos
𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 24 8
=
=
𝐻𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 21 7
Interpretación: Por cada ocho mujeres hay siete hombres.
Proporción
Es la igualdad de dos razones.
𝑎
𝑐
En general si 𝑏 𝑦 𝑑 representan la misma razón, resulta la proporción:
𝑎 𝑐
=
𝑏 𝑑
Las cantidades a, b, c y d se llaman términos de la proporción, donde el primero y el cuarto
(a y d) son los extremos, el segundo y el tercero (b y c) son los medios.
Propiedad fundamental de las proporciones
La propiedad fundamental de las proporciones establece que: en toda proporción el
producto de los extremos es igual al producto de los medios
𝑎
𝑐
=𝑑
𝑏
si y solo si 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐
99
Cálculo de un término en una proporción
Para obtener el valor de un término desconocido de una proporción, se aplica la propiedad
fundamental y se efectúan las operaciones necesarias.
Ejemplo: Halla el valor de “x” en:
𝑥 21
=
2 14
Aplicado la propiedad fundamental de las proporciones se tiene:
14𝑥 = 2(21)
𝑥=
2(21) 42
=
=3
14
14
Proporción directa
Dadas dos cantidades, si a un aumento de una corresponde un aumento para la otra, o a
una disminución de una corresponde una disminución de la otra, se dice que tales cantidades son
directamente proporcionales.
En una variación directamente proporcional el cociente es constante. Si x e y varían
𝑦
directamente proporcional entonces = 𝑘 o 𝑦 = 𝑘𝑥 donde k es la constante o tasa de variación.
𝑥
𝑹𝒂𝒛ó𝒏 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 (𝒌) =
𝒚
𝒙
Observación: Si la variable “x” aumenta, entonces aumenta la variable “y”, y si la variable
“x” disminuye, disminuye la variable “y” de manera proporcional.
100
Ejemplo. Pedro va a una tienda a comprar bolis los cuales tiene un costo de $2. En la
siguiente tabla se puede observar que si aumenta el número de bolis que comprará aumenta la
cantidad de dinero. Se trata de una proporción directa.
Bolis
Aumenta la
cantidad de
bolis
Dinero $
1
2
2
4
3
6
4
8
𝑪𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 =
Aumenta la
cantidad de
dinero
𝒚 𝟐 𝟒
= = =𝟐
𝒙 𝟏 𝟐
Ejemplo de cantidades directamente proporcionales son:
1.
La distancia recorrida (cantidad x) y el tiempo (cantidad y) empleado en
recorrerla cuando la velocidad es constante.
Si aumenta la distancia a recorrer aumenta el tiempo siempre y cuando la velocidad
sea constante.
2.
El área (cantidad x) para siembra en un huerto aumenta los gastos (cantidad
y) en materiales a utilizar.
3.
El importe del consumo de electricidad (cantidad x) y el número de
kilovatios (cantidad y) hora consumidos.
4.
A mayor cantidad de dinero mayor compra de un producto se puede
realizar.
101
Aplicación en situaciones de contextos
Ejemplo de la aplicación
Un auto recorre 320 km a una velocidad de 90 km/h. ¿Qué distancia recorrerá en el mismo
tiempo a 110 km/h?
Solución:
90
110
=
320
𝑥
90𝑥 = 320(110)
𝑥=
320(110)
= 391.11 𝑘𝑚.
90
Ejercicio:
1.
En el huerto escolar del plantel del COBATAB se va realizar la siembra de
800 plantitas de tomates en un cuadrilátero cuyas medidas son de 10 metros de ancho por
20 metros de largo haciendo un total de 200 𝑚2 . Si cada una de ellas debe tener una
separación de 50 cm y posteriormente los alumnos llevan 450 plantas más, el docente de
pensamiento matemático indica que calculen el área tota para plantar las 1250 plantas.
Solución:
200
𝑥
=
800 1250
Proporción Inversa
Dadas dos cantidades (cantidad x, cantidad y), puede ocurrir que a todo aumento de una
corresponda una disminución para la otra, o que a toda disminución de una corresponda un
aumento para la otra. Cuando esto ocurre se dice que las dos cantidades son inversamente
proporcionales.
En el caso de la proporción inversa Si a un valor x de la primera magnitud le corresponde un
valor y de la segunda magnitud, se puede comprobar que el producto de estos dos valores es
siempre constante. A este producto se le llama constante de proporcionalidad inversa.
𝑹𝒂𝒛ó𝒏 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 (𝒌) = 𝒙 ∗ 𝒚
102
Observación: Si la variable “x” aumenta, entonces disminuye la variable “y”, y si la variable
“x” disminuye, aumenta la variable “y” de manera proporcional.
Ejemplo:
El maestro de pensamiento matemático dispone de un terreno de 900 m2 de superficie que
se le otorgo en el plantel para que trabaje con los distintos grupos y cuenta 4 grupos. Desea
repartirlo entre ellos. Se trata de una proporción inversa. Como se muestra en la siguiente tabla.
Superficie m2
Grupos
Aumenta
el número
de grupos.
1
900
2
450
3
300
4
225
Disminuye
la superficie
𝑹𝒂𝒛ó𝒏 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 (𝒌) = 𝟏(𝟗𝟎𝟎) = 𝟐(𝟒𝟓𝟎) = 𝟑(𝟑𝟎𝟎) = 𝟒(𝟐𝟐𝟓)
Ejemplo de cantidades inversamente proporcionales son:
1.
2.
Para una misma obra, el número de obreros y el tiempo empleado para
realizarla.
Para una misma distancia, la velocidad de un móvil y el tiempo en recorrerla.
103
Ejemplo de la aplicación
Un grupo de 20 alumnos del plantel del COBATAB se van de excursión, llevan provisiones
para 5 días. Si al momento de partir el grupo aumenta a 24 excursionistas, ¿Cuantos días les duraran
las provisiones?
Solución
20 5
=
24 𝑥
¡Esto no! Porque la proporción es inversa
La modelo seria así:
20 𝑥
=
24 5
24𝑥 = 20(5)
𝑥=
20(5)
= 4.16 𝑑í𝑎𝑠
24
Ejercicio:
1.
Dos alumnos de un plantel del COBATAB se dedicaron a limpiar el huerto
escolar lo cual lo terminaron en 3 días. ¿Cuántos alumnos se necesitarán para limpiar el
mismo terreno del huerto en un día trabajando al mismo ritmo?
Solución:
2 3
=
𝑥 1
¡Esto no! Porque la proporción es inversa
La modelo seria así:
𝑥 3
=
2 1
𝑥 = 2(3)
𝑥 = 6 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠
104
2.
La sociedad de padres de familia de un plantel del COBATAB mando a pintar
los edificios contratando a 12 personas lo cual realizaron en 7 días. ¿En cuántos días
terminaran de hacer el mismo trabajo 15 personas?
Solución:
12 7
=
15 𝑥
¡Esto no! Porque la proporción es inversa
La modelo seria así:
12 𝑥
=
15 7
15𝑥 = 12(7)
𝑥=
12(7)
= 5.6 𝑑í𝑎𝑠
15
Repartos Proporcionales
El reparto proporcional es una operación que consiste en repartir cierta cantidad, teniendo en
cuenta la proporcionalidad (directa y/o inversa), con respecto a los valores correspondientes a
ciertas magnitudes.
Elementos que se utilizan en todo problema de repartición proporcional:
Cocientes de reparto
Es la cantidad que corresponde a cada beneficiario.
Índice de reparto
Son los factores que determinan el reparto otorgado a cada beneficiario.
Cantidad que repartir
Es el importe sujeto para repartir entre los beneficiarios.
105
Reparto Proporcional Directo simple
Es la repartición en la que interviene un solo factor. Se considera que a mayor número de unidades
que indique el índice de reparto, mayor será la parte que le corresponda.
Existen varios métodos para resolver problemas de reparto proporcional, pero solo abordaremos el
método por reducción a la unidad, el cual consiste en determinar qué tanto de la cantidad por
repartir le corresponde a cada unidad de los índices de reparto; se obtiene dividiendo la cantidad
por repartir entre la suma de los índices de reparto, esta operación recibe el nombre de Factor
constante (Fc); también llamada constante de proporcionalidad.
𝐅𝐚𝐜𝐭𝐨𝐫 𝐂𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞 =
𝐂𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐩𝐨𝐫 𝐫𝐞𝐩𝐚𝐫𝐭𝐢𝐫
→
𝐒𝐮𝐦𝐚 𝐝𝐞 𝐢𝐧𝐝𝐢𝐜𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐫𝐞𝐩𝐚𝐫𝐭𝐨
𝐅𝐂 =
𝐂
𝐒𝐈𝐑
Ejemplo:
Tres estudiantes de bachillerato reciben $ 4 500 por trabajar en una pizzería. Rafael trabajó 3 días,
Marina 5 días y Alfredo 7 días. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
Solución:
Los datos que tenemos son:
Cantidad por repartir:
$4,500
Índices de reparto:
3, 5 y 7
Suma de índices de reparto:
15
Cocientes de reparto:
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3
Inicialmente tenemos que calcular el FC:
$ 𝟒, 𝟓𝟎𝟎
𝐅𝐂 =
𝑭𝑪 = 𝟑𝟎𝟎
𝟏𝟓
El factor obtenido indica que por cada día trabajado, cada estudiante recibió $ 300. Por lo tanto,
para saber cuánto dinero le corresponde a cada estudiante, se multiplica la cantidad de días
trabajados por $ 300.
𝑥1 = 𝑅𝑎𝑓𝑎𝑒𝑙
3 x $ 300 = $ 900
𝑥2 = 𝑀𝑎𝑟𝑖𝑛𝑎
5 x $ 300 = $ 1,500
𝑥3 = 𝐴𝑙𝑓𝑟𝑒𝑑𝑜
7 x $ 300 = $ 2,100
106
Como puedes observar en la tabla anterior, si sumas la cantidad que le corresponde a cada
estudiante es igual a los $4, 500 que recibieron.
Reparto Proporcional Inverso Simple
En estos casos, el cociente de reparto es mayor a medida que el índice de reparto es menor. Por lo
tanto, para resolver este tipo de problemas, se toman los inversos de los números dados como
índice de reparto, y ya que se han invertido, llevas a cabo el procedimiento conforme al reparto
directo simple.
Ejemplo:
En una competencia escolar se quiere repartir un premio de $ 1 860 a los tres mejores corredores
de una carrera, de manera inversamente proporcional al tiempo invertido en completar el recorrido.
El primer corredor tardó 24 segundos, el segundo 28 y el tercero 30.
Datos con los que se cuenta
Cantidad por repartir:
$1,860
Índices de reparto:
24, 28 y 30
Suma de índices de reparto:
82
Cocientes de reparto:
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3
Solución:
Para calcular los índices, vamos a proceder de la siguiente manera:
a) Se obtendrá los índices originales:
𝑥1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑑𝑜𝑟
24
𝑥2 = 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑑𝑜𝑟
28
𝑥3 = 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑑𝑜𝑟
30
107
b) Se especifican sus recíprocos
•
𝑥1 = 1⁄24
•
𝑥2 = 1⁄28
•
𝑥3 = 1⁄30
c) Calculamos un denominador común para poder simplificar. El mínimo común múltiplo de
24, 28 y 30 es 840. Enseguida procedemos a convertir los tres índices que tenemos, para
que tengan un denominador común (840).
•
𝑥1 = 35⁄840
•
𝑥2 = 30⁄840
•
𝑥3 = 28⁄840
Entonces tenemos que:
•
𝑥1 = 35
•
𝑥2 = 30
•
𝑥3 = 28
Ahora sumamos los índices que obtuvimos 35 + 30 + 28 = 93
Por lo tanto, ya podemos utilizar el método por reducción a la unidad y obtener el Factor constante.
El factor constante es igual a $1 840 /93 = $ 19.78
Por consiguiente, lo único que nos resta es multiplicar
𝑥1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑑𝑜𝑟
35 x $ 19.78 = $ 692.3
𝑥2 = 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑑𝑜𝑟
30 x $ 19.78 = $ 593.4
𝑥3 = 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑑𝑜𝑟
28 x $ 19.78 = $ 553.84
✓
Como puedes observar, si sumas la cantidad que le corresponde a cada
corredor es igual a $ 1,839.54, la cual se aproxima a $ 1,840 que es la cantidad que
recibieron.
108
CATEGORIAS
C2 Procesos de intuición y razonamiento.
C3 Solución de problemas y modelación.
PM2-SA2 ACT06
ACTIVIDAD DE REFORZAMIENTO
Instrucciones: En binas o triadas, realizar un mapa
conceptual sobre: porcentajes, proporción directa,
proporción inversa, y reparto proporcional con
apoyo de los contenidos vistos con anterioridad.
109
TAREA
CATEGORIAS
C2 Procesos de intuición y razonamiento.
C3 Solución de problemas y modelación.
04:
Problemario:
“Porcentajes, Proporcionalidad
Directa e Indirecta y Reparto
Proporcional”
Instrucciones: Integrados en binas o triadas y con
apoyo del mapa conceptual anterior, resuelvan los
problemas con aplicaciones en situaciones de
contexto.
PM2-SA2-TAREA04
Ejercicios:
1. En el huerto escolar del plantel del COBATAB se va realizar la siembra de 800 plantitas de
tomates en un cuadrilátero cuyas medidas son de 10 metros de ancho por 20 metros de
largo haciendo un total de 200 𝑚2 si cada una de ellas debe tener una separación de 50
cm y posteriormente los alumnos llevan 450 plantas más, el docente de pensamiento
matemático indica que calculen el área tota para plantar las 1250 plantas.
R=______________________
2. Dos alumnos del plantel del COBATAB se dedicaron a limpiar el huerto escolar lo cual lo
terminaron en 3 días. ¿Cuántos alumnos se necesitarán para limpiar el mismo terreno del
huerto en un día trabajando al mismo ritmo?
R=______________________
110
3. La sociedad de padres de familia de un plantel del COBATAB mando a pintar los edificios
contratando a 12 personas lo cual lo realizaron en 7 días. ¿En cuántos días terminaran de
hacer el mismo trabajo 15 personas?
R=______________________
4. María, Roberto y Andrea han repartieron 6,000 folletos de propaganda en su Colonia , por
ello han cobrado $ 1,650. Si María repartió 1,500, Roberto repartió 2,500 y Andrea repartió
2,000, ¿qué cantidad de lo cobrado le corresponde a cada uno?
R=___________________________________________________________________
5. Un padre va a repartir un predio de $ 90,000 a sus hijos en partes inversamente
proporcionales, según su edad: Rosa tiene 6 años, Alberto tiene 9 años, Martha tiene 15 y Luis
tiene 18 años. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
R=___________________________________________________________________
111
PM2-SA2-LC04 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 04: Problemario: Porcentajes,
Proporcionalidad Directa e Indirecta y Reparto Proporcional
Unidad de aprendizaje Pensamiento Matemático 2
Progresión
Grupo
Fecha:
7. Resuelve situaciones-problemas significativos para el estudiantado que involucren el estudio de
proporcionalidad tanto directa como inversa, así como también el estudio de porcentajes,
empleando la estructura algebraica de los números reales.
M3 Compara hechos, opiniones o afirmaciones para organizarlos en formas lógicas útiles en la
solución de problemas y explicación de situaciones y fenómenos
Meta
M4 Construye y plantea posibles soluciones a problemas de Áreas de Conocimiento, Recursos
Sociocognitivos, Recursos Socioemocionales y de su entorno, empleando técnicas y lenguaje
matemático.
C2 Procesos de intuición y
Subcategorías S2 Pensamiento intuitivo. S3 Pensamiento
razonamiento.
formal
C3 Solución de problemas y
S3 Estrategias heurísticas y ejecución de
modelación
procedimientos no rutinarios.
Categorías
Nombre del alumno
Tarea 04. Problemario: Porcentajes, Proporcionalidad Directa e Indirecta y Reparto Proporcional
Aprendizajes Trayectoria
•
•
Adopta procesos de razonamiento matemático tanto intuitivos como
formales tales como observar, intuir, conjeturar y argumentar, para
relacionar información y obtener conclusiones de problemas
(matemáticos, de las ciencias naturales, experimentales y tecnología,
sociales, humanidades, y de la vida cotidiana).
Modela y propone soluciones a problemas tanto teóricos como de su
entorno, empleando lenguaje y técnicas matemáticas.
CRITERIOS
Contenidos Específico
•
•
•
•
%
Porcentaje
Reparto proporcional
Proporción directa
Proporción Inversa
CUMPLE
SI
1. Entregan su producto terminado en el tiempo establecido por el facilitador
5
2. Conceptualizan adecuadamente la proporción en los contextos planteados
20
3. Identifican el tipo de proporción directa e inversa en cada contexto planteado
4. Aplican adecuadamente el procedimiento para determinar el valor de la
incógnita en una proporción
5. Realizan el cálculo adecuado de un reparto proporcional utilizando los
elementos que lo componen
6. Identifican las características de las proporciones de acuerdo a la variación de
sus cantidades
7. Se relacionan con su compañero mostrando disposición al trabajo
colaborativo, metódico y organizado.
20
20
Puntaje
NO
15
10
10
Calificación
Aspectos para mejorar:
Firma
112
PROGRESIÓN 8
El interés
En general el interés se define como el dinero que se paga por el uso del dinero ajeno. El
interés se simboliza con la letra 𝐈.
Algunos conceptos importantes son los siguientes:
Capital o valor presente: La cantidad de dinero tomada en préstamo o invertida. Se
simboliza con la letra C.
Monto o valor futuro: Se define como la suma del capital más el interés ganado. Se
simboliza con la letra M, es decir,
𝑀 =𝐶+𝐼
Tasa de interés: Indica el costo que representa obtener dinero en préstamo y se expresa
como un porcentaje del capital por unidad de tiempo. La unidad de tiempo normalmente utilizada
para expresar las tasas de interés es de un año. Sin embargo, las tasas de interés se expresan
también en unidades de tiempo menores de un año. Si la tasa de interés se da sólo como un
porcentaje, sin especificar la unidad de tiempo, se sobre entiende que se trata de una tasa anual. La
tasa de interés se simboliza mediante la letra i.
Ejemplos:
a) Tasa de interés de 20% anual, significa que por cada $100 prestado, el deudor pagará $20
en un año.
b) tasa de interés de 10% mensual, significa que por cada $100 prestado, el deudor pagará
$10 en un mes.
Conversión de tasas de interés
En el ámbito financiero es común utilizar el año comercial lo cual consiste en calcular el
tiempo sobre la base de un año de 360 días, es decir, cada mes tiene exactamente 30 días. Esto
permite obtener resultados muy aproximados a la realidad y simplifica muchos cálculos financieros.
Ejemplos:
1.
Convertir una tasa de 15% anual a una tasa bimestral.
Solución: Para realizar la conversión es necesario formar una proporción
113
Porcentaje
Periodo
15
1 año= 6 bimestres
x
1 bimestre
15
6
=
𝑥
1
6𝑥 = 15
𝑥=
15
6
𝑥 = 2.5
Por lo tanto, una tasa del 15% anual equivale a una tasa de 2.5% bimestral
2.
Convertir una tasa de 30% semestral a una tasa cuatrimestral.
Solución: Para realizar la conversión es necesario formar una proporción
Porcentaje
Periodo
30
1 semestre=6 meses
x
1 cuatrimestre= 4 meses
30
6
=
𝑥
4
6𝑥 = 120
𝑥=
120
6
𝑥 = 20
Es decir, una tasa del 30% semestral equivale a una tasa de 20% cuatrimestral
Tipos de interés:
⚫ interés simple
⚫ interés compuesto
114
El interés es simple cuando se paga al final de un intervalo de tiempo o previamente definido,
sin que el capital original cambie. Lo anterior significa que el interés no forma parte del capital
originalmente prestado o invertido en ningún momento, es decir, los intereses no ganan intereses.
En otras palabras, el interés simple varía en forma directamente proporcional al capital y al tiempo.
El interés simple es utilizado por el sistema financiero informal, por los prestamistas
particulares y prenderías.
La fórmula para calcular el interés simple es
𝑰 = 𝑪𝒊𝒕
Donde 𝐼 es el interés simple, 𝐶 es el capital y 𝑡 es el tiempo transcurrido o plazo durante el
cual se usa o se invierte el capital.
Al utilizar esta fórmula se deben tener en cuenta dos aspectos básicos:
•
•
La tasa de interés debe estar expresada en su forma decimal.
La tasa de interés y el plazo deben expresarse en las mismas unidades de
tiempo.
Ejemplos:
a)
Juan pidió prestado $150,000 a pagar en 5 años. Si la tasa de interés es del
12.5% mensual simple, ¿qué cantidad deberá pagar por concepto de intereses?
Solución:
Datos
C = 150000
i = 12.5% mensual = 0.125
t = 5 años = 60 meses
Aplicando la fórmula
𝐼
𝐼= 𝐶𝑖𝑡
= 150000(0.125)(60)
= 112,500
Lo anterior significa que al término de los
5 años, Juan deberá pagar $112,500.
115
b)
Calcular el interés simple de $1,000 a 20% quincenal durante 4 meses.
Datos
Aplicando la fórmula
C=1000
i= 20% quincenal =0.2
t=4 meses=8 quincenas
𝐼
𝐼= 𝐶𝑖𝑡
= 1000(0.2)(8)
= 1600
Lo anterior significa que al término de los 4
meses, hay que pagar $1600.
Interés Compuesto
El interés compuesto es aquel que al final de cada periodo se agrega al capital, es decir, se
capitaliza; significa que, el capital va aumentando por la adición de los intereses vencidos al final de
cada uno de los periodos de tiempo a que se refiera la tasa, decimos entonces que el interés se
capitaliza periódicamente.
La diferencia fundamental que existe entre el interés simple y el interés compuesto consiste
en:
a) El interés simple que produce el capital invertido será igual en todos los
periodos mientras dure la inversión, por otra parte, en el interés compuesto los
intereses se reinvierten.
b) El interés simple es menor que el interés compuesto, ya que el segundo no
gana intereses que aumenta el capital y el interés compuesto gana intereses por sí
mismo.
El siguiente ejemplo nos mostrará la diferencia que existe entre el interés simple y el interés
compuesto
Consideremos un capital $1,000 colocado al 10% anual de interés durante 5 años.
Periodo de años Interés simple
Capital
Interés
1
1000
100
2
1000
100
3
1000
100
4
1000
100
5
1000
100
Total de interés
500
Interés compuesto
Capital
Interés
1000
100
1100
110
1210
121
1331
133.1
1464.1
146.41
610.51
116
Como se puede observar en las columnas que muestran el comportamiento de la inversión
cuando se reinvierten los intereses, en cada periodo la cantidad de interés generado es mayor, lo
cual se debe a que éstos comienzan a ganar interés. A este proceso de convertir el interés en parte
del nuevo capital, se le conoce como capitalización. El interés acumulado al final del tiempo que
dura la inversión se conoce como interés compuesto.
El período de capitalización se define como el intervalo de tiempo al final del cual se
capitalizan los intereses generados en dicho intervalo. El interés puede capitalizarse anual,
semestral, mensual, semanal o diariamente.
El número de veces que el interés se capitaliza en un año se conoce como frecuencia de
capitalización y se simboliza con la letra p.
A continuación se presenta una tabla que muestra las frecuencias de capitalización más
comunes.
Periodo de Capitalización
Anual
Semestral
Cuatrimestral
Trimestral
Bimestral
Mensual
Quincenal
Diaria
Frecuencia de Capitalización (p)
1
2
3
4
6
12
24
360
En todo problema de interés compuesto, al dar la tasa de interés se debe mencionar en
seguida el período de capitalización. Por ejemplo:
• 10% anual capitalizable
semestralmente
• 15% anual convertible semestral
• 10% anual compuesto trimestralmente
• 10% compuesto quincenal
En general, la tasa de interés por período de capitalización se calcula mediante la fórmula:
𝑖=
𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙
𝑝
117
La fórmula para calcular el monto compuesto es
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛
Donde 𝑀 es el monto compuesto o valor futuro
𝐶 es el capital original
i es la tasa de interés por período de capitalización (expresada en forma decimal)
𝑛 es el número total de períodos de capitalización.
Ejemplo 1:
Arturo invierte $50,000 al 15% anual capitalizable mensualmente, a un plazo de 5 meses.
Calcule:
a) el monto compuesto al final de los 5 meses
b) el interés compuesto ganado.
Solución:
a)
Como el periodo de capitalización es mensual entonces p=12, por lo tanto
𝑖=
𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 15%
=
= 1.25% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0.0125
𝑝
12
Capital original C=$50,000
Sustituyendo en la fórmula del monto
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 = 50000(1 + 0.0125)5 = 50000(1.0125)5 = 50000(1.06408) = 53,204
b)
El interés compuesto se calcula restando el monto y el capital inicial:
𝐼 = 𝑀 − 𝐶 = $53,204 − $50,000 = 3,204
118
Ejemplo 2:
Javier deposita $ 8,000 pesos en un banco que reconoce una tasa de interés del 36% anual,
capitalizable bimestralmente.
a) ¿Cuál será el monto acumulado en cuatro años?
b) ¿Cuál es el interés compuesto?
Solución:
a) Los datos son
𝑝=6
𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 36
𝑖=
=
= 6% = 0.06
𝑝
6
𝐶 = $8,000
𝑛 = 4 𝑎ñ𝑜𝑠 = 24 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠
Sustituyendo:
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 = 8000(1 + 0.06)24 = 8000(1.06)24 = 8000(4.0489) = 32,391.2
b) El interés compuesto es 𝐼 = 𝑀 − 𝐶 = 32,391.2 − 8000 = 24,391.2
119
CATEGORIAS
C3 Solución de problemas y modelación
C4 Interacción y lenguaje matemático
PM2-SA2-TAREA05
TAREA 05: Problemario: Interés
simple y compuesto
Instrucciones: Realizar los siguientes problemas
aplicando las fórmulas adecuadas del interés
simple e interés compuesto.
1. Rodrigo desea realizar un préstamo de $20,000, el prestamista le ofrece una tasa de
interés 12% mensual, la cual se pagará en un periodo de un año. ¿Cuál es el interés simple
de dicho préstamo?
R=___________________________________
2. Determinar el interés simple de una inversión de $9,000 a una tasa de 2% bimestral en
un periodo de 10 meses.
R=___________________________________
120
3. Un agricultor compra a crédito un tractor de $300,000 lo cual se pagará a una tasa de
interés del 12% compuesto mensualmente a un plazo de 2 años.
Calcular:
a) Monto R=_________________
b) Interés R=_________________
4. ¿Cuál es el monto que se obtendrá al invertir $10,000 en una institución bancaria que
ofrece una tasa de 10% compuesto semestralmente durante 3 años?
R=___________________________________
121
PM2-SA2-LC05 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 05: Problemario: interés simple y
compuesto
Unidad de aprendizaje Pensamiento Matemático 2
Progresión
Grupo
Fecha:
Discute la conformación de un proyecto de vida considerando elementos básicos de la matemática
financiera tales como interés simple y compuesto, ahorros y deudas a través de la aplicación de la
estructura algebraica de los números reales y con la finalidad de promover la toma de decisiones
más razonadas.
M2 Construye un modelo matemático, identificando las variables de interés, con la finalidad de
explicar una situación o fenómeno y/o resolver un problema tanto teórico como de su entorno
Meta
M1 Describe situaciones o fenómenos empleando rigurosamente el lenguaje matemático y el
lenguaje natural.
M2 Socializa con sus pares sus conjeturas, descubrimientos o procesos en la solución de un
problema tanto teórico como de su entorno.
C3 Solución de problemas y Subcategorías S2 Construcción de modelos
modelación
S3 Ambiente matemático de
C4 Interacción y
comunicación
lenguaje matemático
Categorías
Nombre del alumno
Tarea 05. Problemario: interés simple y compuesto
Aprendizajes Trayectoria
•
•
Modela y propone soluciones a problemas tanto teóricos como de su
entorno, empleando lenguaje y técnicas matemáticas
Explica el planteamiento de posibles soluciones a problemas y la
descripción de situaciones en el contexto que les dio origen
empleando lenguaje matemático y lo comunica a sus pares para
analizar su pertinencia
CRITERIOS
Contenidos Específico
•
•
%
Interés simple
Interés compuesto
CUMPLE
SI
1.
Entrega su Problemario completamente resuelto en el tiempo establecido 10
por el facilitador.
2.
Muestra disposición al trabajo metódico, claro y organizado en cada 20
contexto resuelto
3.
Identifica los modelos matemáticos de interés simple o compuesto que se 20
aplica en cada uno de los contextos planteados
Resuelve correctamente cada ejercicio de contexto planteado por el 40
facilitador
Identifica correctamente las variables a calcular en cada ejercicio de 10
contexto resuelto
Calificación
4.
5.
Puntaje
NO
Aspectos para mejorar:
Firma
122
PM2-SA2-EP02
CUESTIONARIO TIPO PLANEA SA 2
Indicaciones Lee cuidadosamente cada reactivo e individualmente elige la opción de
respuesta correcta
1. Es la descomposición factorial del número 900
a)
900 =
(2)2 (3)2 (5)2
b)
900 =
2(3)(150)
2. El número 380 es divisible por:
a) 2 y 3
b) 2 y 5
c)
c)
900 =
(32 )(100)
3y5
d)
d)
900 =
(22 )(33 ) (55 )
1y3
3. Juana, Margarita y Paola trabajan como voluntarias en una casa hogar, donde se encuentran
adultos de la tercera edad, de acuerdo con sus posibilidades de tiempo. Juana va cada 5 días,
Margarita lo hace cada 10 días y Paola cada 15 días. Suponiendo que un día se encuentran las
tres en la casa hogar, ¿cuántos días después volverán a encontrarse?
a) Cada 5 días
b) Cada 10 días
c) Cada 30 días
d) Cada 15 días
4. Carlos quiere comenzar a vender bombones. Con lo que aprendió en su taller de chocolatería,
él hizo 32 bombones de chocolate, 24 de frambuesa y 28 de kiwi. ¿Cuántos paquetes con la
misma cantidad de bombones de cada tipo puede hacer?
a) 672
b) 4
c) 32
d) 640
c) -6
d) 1
5. Es un ejemplo de número irracional
a) 0
b) ℯ
6. Es el conjunto de números racionales:
a) Enteros
b) Naturales
c) Fraccionarios
d) Exponenciales
7. En la panadería la Choquita con 80 Kg de harina elaboran 120 Kg de pan. Para elaborar 99 Kg de
pan ¿Qué cantidad de necesitaran?
a) 60 kg. de harina
b) 66 kg. de harina
c) 79 kg. de harina
d) 96 kg. de harina
123
8. Un terreno de forma rectangular tiene 10 metros de base y 7 metros de altura. Otro terreno de
igual área tiene 4 metro de base, ¿cuál será la medida de su altura?
a) 17.5
b) 70
c) 16.5
d) 2.8
9. El interés simple de un préstamo de $1,000 a una tasa de 10% mensual durante un año es igual
a:
a) $1200
b) $100
c) $1,000
d) $2,200
10. El interés compuesto de un préstamo de $1,000 a una tasa de 10% mensual durante 3 meses es
igual a:
a) $ 1300
b) $300
c) $1000
d) 331
124
PM2-SA2-MA02 Mapa de aprendizaje para evaluar las progresiones de la SA 2
UAC:
Pensamiento Matemático II
Progresiones
4, 5, 6, 7, 8
Nombre
Fecha:
Grupo:
Turno:
Situación de aprendizaje 2: “El que parte y reparte s…”
Mapa de aprendizaje
2: Puedo hacerlo solo
3: Puedo ayudar a otros
Nivel
Progresión de Aprendizaje
Que debo hacer para mejorar:
1 2 3
1: Necesito ayuda
4. Explico algunas relaciones entre números enteros
utilizando conceptos como el de divisibilidad, el de número
primo o propiedades generales sobre este conjunto
numérico, apoyándose del uso adecuado del lenguaje
algebraico.
5. Conceptualizo el máximo común divisor (M.C.D.) y mínimo
común múltiplo (m.c.m.) de dos números enteros y los aplica
en la resolución de problemas
6. Reviso desde una perspectiva histórica al conjunto de los
números reales, comenzando con la consideración de
números decimales positivos hasta llegar a la presentación
de la estructura de campo ordenado de los números reales.
7. Resuelvo situaciones-problema significativas para el
estudiantado que involucren el estudio de proporcionalidad
tanto directa como inversa, así como también el estudio de
porcentajes, empleando la estructura algebraica de los
números reales.
8. Discuto la conformación de un proyecto de vida
considerando elementos básicos de la matemática
financiera tales como interés simple y compuesto, ahorros y
deudas a través de la aplicación de la estructura algebraica
de los números reales y con la finalidad de promover la toma
de decisiones más razonadas
Nombre y Firma del estudiante:
Firma del Facilitador
125
Referencias SA 2
Aguilar, A., Bravo, F., Gallegos, H., Cerón, M., Reyes, R. (2009). Aritmética y Álgebra. Pearson
Educación. México.
Baldor, A. (1986). Aritmética: teórico. practica. CODICE, S.A. Madrid.
Aguirre, H. M. (2017). Matemáticas Financieras. Mexico: Cengage Learning.
Villalobos, J. L. (2012) Matemáticas financieras. Pearson Educación.
(Flaticon, 2021)
(Freepik, 2020)
126
SITUACIÓN DE
APRENDIZAJE 3
“Mi solicitud”
127
Propósito de la SA 3
PROGRESIONES
9, 10, 11
En equipos de 6 estudiantes elaborar un oficio de solicitud de materiales e insumos (en
función del área y perímetro del huerto), donde se especifique la cantidad exacta de lo
requerido para resguardar, nutrir y cuidar las plantas del huerto, para que nos permita
sacar el máximo aprovechamiento en la producción de lo sembrado en los huertos,
justificar lo solicitado con un plano del huerto, y presentarlo ante el grupo para su
evaluación y socialización.
128
APRENDIZAJES DE TRAYECTORIA
•
Valora la aplicación de procedimientos automáticos y algorítmicos, así como la
interpretación de sus resultados, para anticipar, encontrar y validar soluciones a
problemas matemáticos, de áreas del conocimiento y de su vida personal.
•
Adopta procesos de razonamiento matemático tanto intuitivos como formales tales
como observar, intuir, conjeturar y argumentar, para relacionar información y obtener
conclusiones de problemas (matemáticos, de las ciencias naturales, experimentales y
tecnología, sociales, humanidades, y de la vida cotidiana).
•
Modela y propone soluciones a problemas tanto teóricos como de su entorno,
empleando lenguaje y técnicas matemáticas.
•
Explica el planteamiento de posibles soluciones a problemas y la descripción de
situaciones en el contexto que les dio origen empleando lenguaje matemático y lo
comunica a sus pares para analizar su pertinencia.
Progresión
Conocimientos (Conceptuales)
9. Conceptualiza el área de una superficie y
Básico
deduce fórmulas para calcular áreas de figuras
• Concepto de áreas.
geométricas simples como rectángulos,
• Deducción de áreas de polígonos
triángulos, trapecios, etc., utilizando principios
regulares e irregulares.
y propiedades básicas de geometría sintética
10. Revisa el teorema del triángulo de Básico
Napoleón, considerándolo como un problema• Teorema de Napoleón
meta en el que se aplican resultados de la
(Contextualización).
geometría euclidiana como: Teorema de
Pitágoras, criterios de congruencia y semejanza Complementario
de
triángulos,
caracterizaciones
de
• Teorema de Pitágoras.
cuadriláteros concíclicos, entre otros.
• Congruencia
y
semejanza
triángulos.
• Teoremas geométricos.
de
11. Emplea un sistema de coordenadas y
algunos elementos básicos de geometría
analítica como la distancia entre dos puntos en Básico
• Sistema de coordenadas.
el plano para calcular áreas de figuras
geométricas básicas y compara estos
• Punto, recta y segmento de recta.
resultados con los cálculos obtenidos
• Distancia entre dos puntos.
empleando principios básicos de geometría
• Formula de Herón.
sintética.
129
Situación de Aprendizaje 3
Estrategia
Didáctica:
Oficio de solicitud de material
Título:
“Mi solicitud”
La Dirección del plantel de nuestro COBATAB, a través de la sociedad de padres
de familia, está realizando la gestión para conseguir recursos para el huerto
escolar (huerta, vivero, jardín etnobotánico, etc.) ante las dependencias del
gobierno del estado, con la intensión de cuidar el área cultivada de las plantas
medicinales y tener una mayor producción para su consumo y/o venta. Para lo
cual se les pide el apoyo a los profesores que imparten la UAC de pensamiento
matemático II; junto con los estudiantes de segundo semestre, elaboren un
oficio de solicitud de materiales e insumos, donde se especifique la cantidad
exacta de lo requerido para resguardar, nutrir y cuidar las plantas del huerto,
todo esto que vaya en función de las dimensiones del huerto del plantel o
EMSAD.
Contexto:
Elementos a solicitar:
•
Poste para cerca
•
Alambre de púas o malla
•
Abono orgánico
•
Fertilizantes sólidos
•
Pesticidas
•
Malla anti-áfidos para vivero.
•
Tubos metálicos (en caso de vivero)
•
Otras necesidades.
Sugerencia para resguardar, nutrir y cuidar las plantas del huerto:
•
Para cerca con postes para alambres de púas, debe considerar la
distancia de los postes: si el terreno es plano a cada 4 metros y para terreno
quebrado a cada 3 metros, además de requerir 3 hileras de alambre de púas.
•
Para preparar la tierra (Sustrato) es necesario: Abono orgánico cuyo
rendimiento es de 12 kg/m2 y fertilizante (solido) cuyo rendimiento se de 7
kg/m2
•
Para el control de plagas y enfermedades, se consideran pesticidas con
un rendimiento de 0.002 kg/m2 y se debe de considerar 3 aplicaciones al año.
130
•
Si se prevé la creación de un pequeño invernadero, considerar malla
anti-áfidos y tubos para la estructura (Hacer cálculo de aristas y área
superficial)
Conflicto
cognitivo:
a. ¿Cuál es la forma del huerto y su ubicación dentro de un plano
cartesiano?
b. ¿Cuáles son las dimensiones del Huerto?
c. ¿Cuánto mide el área y el perímetro del huerto?
d. ¿Qué materiales necesita el huerto, y cuáles son las cantidades
necesarias?
131
Instrumento de Evaluación Situación Didáctica 3
PM2-SA3-RU03 Rubrica para evaluar la Situación de Aprendizaje 3
COLEGIO DE BACHILLERES DE TABASCO PLANTEL No. ______
PENSAMIENTO MATEMATICO II
Situación
didáctica
Propósito de la
situación
Datos de identificación
PM2-SA3-RU03
Bloque de
“Mi solicitud”
3
Progresiones
9, 10, 11
progresiones
En equipos de 6 estudiantes elaborar un oficio de solicitud de materiales e insumos (en función del área y
perímetro del huerto), donde se especifique la cantidad exacta de lo requerido para resguardar, nutrir y
cuidar las plantas del huerto, para que nos permita sacar el máximo aprovechamiento en la producción de
lo sembrado en los huertos, justificar lo solicitado con un plano del huerto, y presentarlo ante el grupo para
su evaluación y socialización.
CATEGORIAS/SUBCATEGORIAS
CATEGORIAS
SUBCATEGORIAS
C1S2 Elementos geométricos.
C1 Procedural
C2S1 Capacidad para observar y conjeturar.
C2 Procesos de intuición y razonamiento.
C2S2 Pensamiento intuitivo.
C3 Solución de problemas y Modelación.
C2S3 Pensamiento formal.
C4 Interacción y lenguaje matemático.
C3S1 Uso de modelos.
.
C4S1 Registro escrito, simbólico, algebraico e iconográfico.
C4S3 Ambiente matemático de comunicación.
Nombre de los alumnos
Grupo
N. Lista:
N. Lista:
N. Lista:
N. Lista:
N. Lista:
N. Lista:
Evaluación
Puntuación
máxima
Ponderación
Procedural
4
25%
Proceso de
razonamiento.
4
25%
Solución de
problema y
modelación.
4
25%
Actitudinal
4
25%
CATEGORÍAS
Puntuación
obtenida
Retroalimentación
Logros
Aspectos
de mejora
TOTAL
16
100%
Calificación obtenida
132
Categoría
NIVEL DE PROGRESO
Deseable (4)
Suficiente (3)
En proceso (2)
No presenta (1)
La solicitud es clara, precisa y
concisa; existe un perfecto manejo
de los datos recabados y presenta
todos los resultados obtenidos que
sustentan la solicitud.
La solicitud es clara; existe un
buen manejo de los datos
recabados y presentan algunos
de los resultados obtenidos.
La solicitud es poco clara; hay
poco manejo de los datos
recabados y se presentan
pocos resultados obtenidos.
La solicitud no es clara; no
presenta datos recabados ni
resultados obtenidos.
Incluye el plano del huerto con
claridad y bien acotado, acorde a las
dimensiones reales de huerto.
Incluye el plano del huerto con
algunas acotaciones, acorde a
las dimensiones reales de
huerto.
Incluye el plano del huerto
con pocas acotaciones, no es
acorde con las dimensiones
reales de huerto.
No presentan el plano del
huerto.
Solución de
problema y
modelación
Calcula el área y el perímetro del
huerto de forma correcta, para
establecer de manera proporcional y
exacta los insumos requeridos en la
solicitud.
Calcula uso del área y el
perímetro del huerto, para
establecer de manera estimada
los insumos requeridos en la
solicitud.
Estima el área y el perímetro
del huerto, para establecer
los insumos requeridos en la
solicitud.
No calcula ni estima el área y el
perímetro del huerto, por lo que
no establece los insumos
requeridos en la solicitud.
Interacción y
lenguaje
matemático
La solicitud y el plano incluye
elementos iconográficos y elementos
simbólicos propios del lenguaje
matemático
La solicitud y el plano incluye
algunos elementos
iconográficos y elementos
simbólicos propios del lenguaje
matemático
La solicitud y el plano incluye
escasos elementos
iconográficos y elementos
simbólicos propios del
lenguaje matemático
La solicitud y el plano no incluye
elementos iconográficos y
elementos simbólicos propios
del lenguaje matemático
Actitudinal
Se relaciona con sus compañeros de
forma colaborativa mostrando
disposición, aporta ideas y respeta la
opinión de los demás.
Se relaciona con sus
compañeros de forma
colaborativa mostrando
disposición, pero no respeta la
opinión de los demás.
Se relaciona con sus
semejantes de forma
colaborativa mostrando
disposición al trabajo
metódico y organizado,
respetando la opinión de los
demás.
Se relaciona con sus semejantes
de forma colaborativa
mostrando disposición al trabajo
metódico y organizado,
respetando la opinión de los
demás.
Procedural
Proceso de
razonamiento
Nombre y Firma del Líder de equipo
Firma del Facilitador
133
Evaluación Diagnóstica SA3
¿Qué tanto sé? (Apertura)
PM2-SA3-ED03
CUESTIONARIO PARA SOCIALIZAR
1. ¿Cuál es la unidad de medida del perímetro?
_________________________________________________________________________
2. ¿Cuál es la unidad de medida del área?
_________________________________________________________________________
3. Describe con tus propias palabras ¿qué es el perímetro de una figura?
_________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
4. Menciona 3 fórmulas para calcular el área de 3 distintas figuras
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
5. Teorema que señala lo siguiente: la suma de los cuadrados de las longitudes de sus
catetos es igual al cuadrado de la longitud de su hipotenusa en un triángulo rectángulo.
a)
Teorema de Tales
b)
Teorema de Pitágoras
c)
Congruencia y Semejanza
6. El edificio de una escuela proyecta una sombra de 6 m al mediodía, mientras que un
estudiante de 1.2 m de altura proyecta una sombra de 40 cm a la misma hora ¿cuál
es la altura del edificio?
a)
16 m
b)
18.5 m
c)
18 m
134
CUESTIONARIO PARA SOCIALIZAR
7. Dos figuras son ______________ si tienen la misma forma y ______________.
Aunque su posición u orientación sean distintos, estos son exactamente _________.
a)
Congruentes, tamaño, iguales
b)
Semejanza, longitud, homólogos
c)
Congruentes, semejanza, iguales
8. En todo triángulo, la suma de los ángulos internos es igual a:
a)
90°
b)
180°
c)
360°
9. ¿Cuál de estos elementos no pertenece al plano cartesiano?.
a)
Origen
b)
Cuadrante
c)
Eje de las abscisas
d)
Eje z
10. ¿En qué cuadrante se ubica la coordenada (-3, 5)?
a)
Cuadrante I
b)
Cuadrante II
c)
Cuadrante III
d)
Cuadrante IV
11. ¿Cuál es la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos?
a) 𝑑𝑎𝑏 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2
b) 𝑑𝑎𝑏 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 − (𝑦2 − 𝑦1 )2
c) 𝑑𝑎𝑏 = √(𝑥2 + 𝑥1 )2 + (𝑦2 + 𝑦1 )2
d) 𝑑𝑎𝑏 = √(𝑥2 − 𝑦2 )2 + (𝑥1 − 𝑦1 )2
12. ¿Cuál de las siguientes figuras puedo obtener el área con la fórmula de Herón?
135
Para revisar
Antes de continuar, revisa el
siguiente material para
reafirmar tus conocimientos
previos.
Puedes hacer clic sobre mi.
¡ÉXITO!
https://es.khanacademy.org/math/geometryhome/geometry-area-perimeter/geometryperimeter/v/perimeter-and-area-basics
136
PROGRESIÓN 9
Perímetros y áreas
Perímetro: es la suma de las longitudes de los lados de cualquier figura geométrica plana
Área: el área de una superficie es el número de unidades cuadradas o fracciones de ella que contiene
A continuación, se muestran las fórmulas para calcular el perímetro de algunas figuras:
Triángulo: el perímetro se obtiene sumando la medida de sus lados.
𝑃 =𝑎+𝑏+𝑐
Rectángulo: el perímetro del rectángulo se obtiene multiplicando por dos la suma de su ancho y su
largo (es decir, base más altura).
𝑃 =𝑎+𝑏+𝑎+𝑏
𝑃 = 2𝑎 + 2𝑏
𝑃 = 2(𝑎 + 𝑏)
Rombo: se obtiene multiplicando por cuatro la longitud del lado.
𝑃 =𝑎+𝑎+𝑎+𝑎
𝑃 = 4𝑎
Trapecio: el perímetro de un trapecio se obtiene sumando lo que miden sus cuatro lados.
137
𝑃 =𝑎+𝑏+𝑐+𝑑
Cuadrado: el perímetro del cuadrado se obtiene multiplicando por cuatro la longitud del lado
𝑃 =𝑎+𝑎+𝑎+𝑎
𝑃 = 4𝑎
Polígono regular: el perímetro de un polígono regular se obtiene multiplicando la longitud de un
lado por el número de lados. Si el número de lados es "𝑛" y la longitud de un lado es "𝑙", el perímetro
es:
𝑃 = 𝑛𝑙
Para calcular el área, se tienen las siguientes formulas:
Cuadrado: el área de un cuadrado se obtiene elevando al cuadrado la longitud de uno de sus lados.
𝐴 = 𝑎2
Rectángulo: dado un rectángulo de base "𝑏" y altura "ℎ", el área se obtiene multiplicando la base
por la altura.
138
𝐴 = 𝑏∗ℎ
Triángulo: el área de un triángulo es la mitad del producto que resulta de multiplicar su base por su
altura.
𝐴=
𝑏∗ℎ
2
Trapecio: el área de un trapecio es igual a la mitad del producto que resulta de multiplicar la suma
de sus bases por su altura.
𝐴=
(𝑏 + 𝑏´)ℎ
2
Rombo: el área del rombo es igual a la mitad del producto que resulta de multiplicar sus diagonales.
𝐴=
𝑑1 ∗ 𝑑2
2
Polígono regular: el área de un polígono regular es igual a la mitad del producto que resulta de
multiplicar su perímetro por su apotema.
𝐴=
𝑃∗𝑎
2
a= es la distancia que hay del centro de una figura regular a la mitad de uno de sus lados.
139
CATEGORIAS
PM2-SA3 ACT07
ACTIVIDAD DE REFORZAMIENTO
Instrucciones:
En
binas,
Con
el
acompañamiento de tu profesor llena la siguiente
tabla calculando los datos que faltan en cada
espacio
C1 Procedural
C2 Procesos de intuición y razonamiento.
Figura
Fórmula de
área
Fórmula de
perímetro
Datos
Cálculo de
área
Cálculo de
perímetro
b= 8 cm
h= 3 cm
l= 3 cm
a= 4 cm
b= 3 cm
c= 5 cm
h= 4 cm
a= 4 cm
b= 5 cm
b´= 3 cm
d=6 cm
l= 4 cm
a=2.5 cm
140
PROGRESIÓN 10
Teorema de Napoleón
CATEGORIAS
C1 Procedural
C2 Procesos de intuición y razonamiento.
PM2-SA3 ACT08
ACTIVIDAD INTRODUCTORIA
Instrucciones:
En
binas,
con
el
acompañamiento de tu profesor, lee y realiza
con atención cada punto que se menciona a
continuación.
1. Conseguir los siguientes materiales:
a) 2 hojas opalinas
b) Regla
c) Compas
2. Tomando en cuenta la clasificación de los triángulos según sus ángulos (acutángulo,
rectángulo y obtusángulo) elijan 2 de ellos al azar y dibújenlos en el centro de cada hoja
opalina. Nota: Consideren que ningún lado de los triángulos deberá tener una distancia
mayor a la abertura que pudieran tener sus compases.
3. Haciendo uso de compas tracen un triángulo equilátero a cada lado de cada uno de los
triángulos.
4. Tracen las medianas (También podrían ser las mediatrices, bisectrices o las alturas, toda
vez que en un triángulo equilátero son las mismas) de cada uno de los lados de los
triángulos equiláteros que dibujaron con la intención de identificar en cada uno de ellos
el baricentro.
5. Finalmente unan cada uno de los baricentros para encontrar un nuevo triangulo.
6. Remarquen el triángulo obtenido en el punto 5.
7. Compara el triángulo con el de tu compañero. ¿Qué tienen en común cada uno de sus
triángulos obtenidos al final con los del resto de tus compañeros?
141
Teorema de Napoleón: Si se construyen tres triángulos equiláteros a partir de los lados de un
triángulo cualquiera, entonces los centros de los triángulos equiláteros forman también un triángulo
equilátero.
Este curioso resultado sobre triángulos equiláteros es atribuido a Napoleón Bonaparte (1769–1821),
aunque no hay pruebas tangibles de que sea el verdadero autor y, de hecho, apareció publicado en
1825, es decir 4 años después su muerte. Parece ser que el autor fue Lorenzo Mascheroni, quien,
sabiendo la pasión del general francés por la geometría, dedicó su libro Geometría del Compasso
(1797) al general. La confusión hizo que de forma injusta se atribuyera a Napoleón el nombre del
teorema y su demostración. Mascheroni se desquitó uniendo su nombre al del gran Euler en la que
hoy en día se conoce como la constante de Euler-Mascheroni.
Un teorema análogo es cuando los triángulos equiláteros se construyen en el interior de los lados
de un triángulo y el denominado triángulo interior de Napoleón también es equilátero.
Sorprendentemente, la diferencia entre las áreas de los triángulos de Napoleón, exterior e interior,
es igual al área del triángulo original.
El triángulo verde es un triángulo formado por los triángulos equiláteros hechos hacia adentro
(Línea gris punteada), mientras que, el triángulo azul es un triángulo formado por triángulos
equiláteros hechos hacia afuera (Líneas negras punteadas).
142
Teorema de Pitágoras.
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de
los catetos.
La que podemos expresar con la siguiente fórmula con la cual podemos calcular la magnitud de cada
uno de los lados de un triángulo rectángulo.
c
a
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
b
Congruencia y Semejanza.
Congruencia
Hablamos de congruencia cuando nos referimos a dos o más figuras geométricas que son
exactamente iguales (forma y tamaño), es decir, sus lados o segmentos correspondientes tienen la
misma longitud y sus ángulos homólogos tienen la misma amplitud. La congruencia se expresa con
el símbolo
Ejemplo:
143
Dos triángulos son congruentes si sus lados y ángulos correspondientes son iguales.
D
A
10
8
B
10
C
5
8
E
5
F
En la figura anterior, el 𝛥𝐴𝐵𝐶 es congruente al 𝛥𝐷𝐸𝐹:
̅̅̅̅ ≅ 𝐷𝐸
̅̅̅̅ ≅ 𝐷𝐹,
̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ , 𝐴𝐶
̅̅̅̅̅ 𝐵𝐶
∡𝐴 ≅ ∡𝐷, ∡𝐵 ≅ ∡𝐸, ∡𝐶 ≅ ∡𝐹 𝑦 𝐴𝐵
𝐸𝐹
Criterios de Congruencia
Lado-Ángulo-Lado (LAL): dos triángulos son congruentes si al menos dos de sus lados y el ángulo
comprendido entre ellos son iguales.
A
D
60o
60o
9
10
B
10
9
F
E
C
En la figura anterior, el 𝛥𝐴𝐵𝐶 es ≅ al 𝛥𝐷𝐸𝐹:
∡𝐴 ≅ ∡𝐷, ̅̅̅̅
𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅
𝐷𝐸 , ̅̅̅̅
𝐴𝐶 ≅ ̅̅̅̅
𝐷𝐹
Ángulo-Lado-Ángulo (ALA): dos triángulos son congruentes si dos de sus ángulos y el lado común
que los comprende son iguales.
E
A
10
C
60o
60o
30o
D
B
10
30o
F
144
En la figura anterior, el 𝛥𝐴𝐵𝐶 es ≅ al 𝛥𝐷𝐸𝐹:
∡𝐴 ≅ ∡𝐷, ∡𝐶 ≅ ∡𝐹, ̅̅̅̅
𝐴𝐶 ≅ ̅̅̅̅
𝐷𝐹
Lado-Lado-Lado (LLL): dos triángulos son congruentes si sus tres lados correspondientes son iguales.
F
A
E
5
7
8
B
8
7
C
5
D
En la figura anterior, el 𝛥𝐴𝐵𝐶 es ≅ al 𝛥𝐷𝐸𝐹:
̅̅̅̅
𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅
𝐷𝐸 , ̅̅̅̅
𝐴𝐶 ≅ ̅̅̅̅̅
𝐷𝐹, ̅̅̅̅
𝐵𝐶 ≅ ̅̅̅̅
𝐸𝐹
Ejemplos:
Criterio
Figuras
Criterio de Congruencia
Solución:
7
60
el 𝛥𝐴𝐵𝐶 es ≅ al 𝛥𝐷𝐸𝐹:
∡𝐶 ≅ ∡𝐸, ̅̅̅̅
𝐵𝐶 ≅ ̅̅̅̅
𝐷𝐸 𝑦
o
LAL
4
̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅
𝐴𝐶
𝐸𝐹
4
60
o
7
El triángulo ABC es
congruente con el triángulo
DEF por el criterio LAL.
145
Solución:
55
o
10
el 𝛥𝐴𝐵𝐶 es ≅ al 𝛥𝐷𝐸𝐹:
∡𝐴 ≅ ∡𝐷, ∡𝐵 ≅ ∡𝐸 𝑦
60
̅̅̅̅
𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅
𝐷𝐸
o
ALA
60
o
10
El triángulo ABC es
congruente con el triángulo
DEF por el criterio ALA.
55
o
Solución:
9
8
el 𝛥𝐴𝐵𝐶 es ≅ al 𝛥𝐷𝐸𝐹:
̅̅̅̅
𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅
𝐷𝐸 , ̅̅̅̅
𝐵𝐶 ≅ ̅̅̅̅
𝐸𝐹 𝑦
3
̅̅̅̅
𝐴𝐶 ≅ ̅̅̅̅
𝐷𝐹
LLL
9
8
El triángulo ABC es
congruente con el triángulo
DEF por el criterio LLL.
3
146
Semejanza
Se dice que dos o más figuras son semejantes si estas son parecidas, es decir, entre ellas existe una
relación de proporcionalidad (razón) respecto de la longitud de sus lados. La semejanza se expresa
con el símbolo ~
~
~
Dos triángulos son semejantes si sus lados homólogos son proporcionales y sus ángulos
correspondientes son iguales.
A
F
4
10
E
3
6
5
D
B
8
C
En la figura anterior, el 𝛥𝐴𝐵𝐶 es semejante al 𝛥𝐷𝐸𝐹:
∡𝐴 = ∡𝐷, ∡𝐵 = ∡𝐸, ∡𝐶 = ∡𝐹 𝑦 ̅̅̅̅
𝐴𝐵 ~ ̅̅̅̅
𝐷𝐸, ̅̅̅̅
𝐴𝐶 ~ ̅̅̅̅̅
𝐷𝐹, ̅̅̅̅
𝐵𝐶 ~ ̅̅̅̅
𝐸𝐹
147
Criterios de Semejanza
Ángulo-Ángulo (AA): dos triángulos son semejantes si al menos dos de sus ángulos
correspondientes son iguales.
A
D
60o
60o
70o
70o
B
F
E
C
En la figura anterior, el 𝛥𝐴𝐵𝐶 es ~ al 𝛥𝐷𝐸𝐹: ∡𝐴 = ∡𝐷 𝑦 ∡𝐵 = ∡𝐸
Lado-Ángulo-Lado (LAL): dos triángulos son semejantes si dos de sus lados correspondientes son
proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual.
E
A
7
30o
C
15
5
30o
B
D
F
21
̅̅̅̅ 𝑦 ̅̅̅̅
En la figura anterior, el 𝛥𝐴𝐵𝐶 es ~ al 𝛥𝐷𝐸𝐹: ∡𝐶 = ∡𝐹, ̅̅̅̅
𝐴𝐶 ~ 𝐷𝐹
𝐵𝐶 ~ ̅̅̅̅
𝐸𝐹
Lado-Lado-Lado (LLL): dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son totalmente
proporcionales.
A
3
F
B
4
10
8
6
C
E
5
D
En la figura anterior, el 𝛥𝐴𝐵𝐶 es ~ al 𝛥𝐷𝐸𝐹:
̅̅̅̅
𝐴𝐵 ~ ̅̅̅̅̅
𝐷𝐸, ̅̅̅̅
𝐴𝐶 ~ ̅̅̅̅
𝐷𝐹 𝑦 ̅̅̅̅
𝐵𝐶 ~ ̅̅̅̅
𝐸𝐹
148
Ejemplos:
Criterio
Figuras
Criterio de Semejanza
Solución:
30
10
o
el 𝛥𝐴𝐵𝐶 es ~ al 𝛥𝐷𝐸𝐹:
8
∡𝐴 = ∡𝐹 𝑦 ∡𝐶 = ∡𝐸
60
4o
AA
2
60o
4
El triángulo ABC es semejante
con el triángulo DEF por el
criterio AA.
30o 5
Solución:
5
45o
el 𝛥𝐴𝐵𝐶 es ~ al 𝛥𝐷𝐸𝐹:
55o
∡𝐴 = ∡𝐷, ∡𝐵
= ∡𝐸 𝑦 ̅̅̅̅
𝐴𝐵 ~ ̅̅̅̅
𝐷𝐸
55o
LAL
15
45o
El triángulo ABC es semejante
con el triángulo DEF por el
criterio LAL
149
Solución:
el 𝛥𝐴𝐵𝐶 es ~ al 𝛥𝐷𝐸𝐹:
8
9
̅̅̅̅
𝐴𝐵 ~ ̅̅̅̅
𝐷𝐸 , ̅̅̅̅
𝐵𝐶 ~ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝐸𝐹 𝑦 ̅̅̅̅
𝐴𝐶 ~ ̅̅̅̅
𝐷𝐹
3
El triángulo ABC es semejante
con el triángulo DEF por el
criterio LLL.
LLL
24
27
99
YOUTUBE
Para reforzar “Semejanza y
Congruencia”
https://www.youtube.com/watch
?v=UgZiDr1gSxc
150
CATEGORIAS
TAREA
PM2-SA3-TAREA06
06:
Problemario:
Funciones lineales y cuadráticas
Instrucciones: Formados en binas, lean cada una
de las cuestiones del siguiente Problemario
correspondiente a lo visto en la progresión 9 y
progresión 10.
C1: Procedural
C2: Procesos de Razonamiento
C3: Solución de problemas y modelación.
C4: Interacción y lenguaje matemático.
1. Desde un balcón de un castillo en la playa se ve un barco a 85 metros, cuando realmente se
encuentra a 84 metros del castillo. ¿A qué altura se encuentra ese balcón?
2. Un faro de 16 metros de altura manda su luz a una distancia horizontal sobre el mar de 63
metros. ¿Cuál es la longitud, en metros, del haz de luz?
3. ¿Cuál es la altura de un puente peatonal que tiene una rampa de 8.2 metros de longitud y
cuya base mide 6.5 metros?
4. ¿Cuánto mide la apotema de un hexágono que tiene 10 cm de radio y cuya medida de sus
lados es 10 cm?
5. José sembrará un huerto en un terreno que ha heredado de sus padres, la propiedad tiene
forma triangular e irregular como se muestra en la figura. Lo primero que hará José será
cercar el terreno, pero el plano que le han entregado es un poco antiguo y solo se notan
algunas medidas por lo que no puede calcular los metros exactos de malla que utilizará para
cercar el terreno, sus sobrinos han ido de visita y le comentan que en la escuela están viendo
el tema de “Semejanza y congruencia de Triángulos” y que ellos pueden ayudarle a calcular
los metros de malla utilizando este método sin necesidad de medir físicamente el terreno.
Utilizando el método planteado y considerando la forma y medidas que se muestra en el
plano, ¿cuántos metros de malla requiere José para cercar su terreno?
6m
3m
4m
6. Observa el siguiente par de triángulos y determina si son semejantes o congruentes.
Justifica tu respuesta.
B
F
D
FD= 7
300
A
600
300
600
AC=
14
E
C
151
PM2-SA3-LC06 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 06: Problemario
Unidad de aprendizaje Pensamiento Matemático 2
Progresión
Grupo
Fecha:
9. Conceptualiza el área de una superficie y deduce fórmulas para calcular áreas de figuras geométricas
simples como rectángulos, triángulos, trapecios, etc., utilizando principios y propiedades básicas de
geometría sintética
10. Revisa el teorema del triángulo de Napoleón, considerándolo como un problema-meta en el que se
aplican resultados de la geometría euclidiana como: Teorema de Pitágoras, criterios de congruencia y
semejanza de triángulos, caracterizaciones de cuadriláteros concíclicos, entre otros.
M3 Aplica procedimientos, técnicas y lenguaje matemático para la solución de problemas propios del
Pensamiento Matemático, de Áreas de Conocimiento, Recursos Sociocognitivos, Recursos
Socioemocionales y de su entorno.
C3 Solución de problemas y Subcategorías S1 Uso de modelos.
S3 Estrategias heurísticas y ejecución de procedimientos
modelación.
Meta
Categorías
no rutinarios.
Nombre de los
integrantes
Tarea 08. Problemario: Sistemas de ecuaciones lineales
Aprendizajes Trayectoria
Contenidos Específico
• Adopta procesos de razonamiento matemático tanto intuitivos como Básica
1. Concepto de áreas.
formales tales como observar, intuir, conjeturar y argumentar, para
2. Deducción de áreas de polígonos
relacionar información y obtener conclusiones de problemas
regulares e irregulares.
(matemáticos, de las ciencias naturales, experimentales y tecnología,
3. Teorema de Napoleón.
sociales, humanidades, y de la vida cotidiana).
Complementaria
• Explica el planteamiento de posibles soluciones a problemas y la
1. Teorema de Pitágoras.
descripción de situaciones en el contexto que les dio origen empleando
2. Congruencia y semejanza de
lenguaje matemático y lo comunica a sus pares para analizar su pertinencia.
triángulos.
3. Teoremas geométricos.
CRITERIOS
%
CUMPLE
Puntaje
SI
1.
Entrega el producto terminado en el tiempo establecido por el facilitador
10
2.
Muestra disposición al trabajo colaborativo, metódico, claro y organizado.
15
5.
Identifica el método correspondiente que da la solución a cada ejercicio
de contexto
Muestra el procedimiento que justifica el resultado en cada ejercicio de
contexto
Resuelve correctamente cada ejercicio de contexto del Problemario dado.
6.
Respeta las opiniones entre pares para dar solución al Problemario dado
3.
4.
NO
25
25
10
10
Calificación
Aspectos para mejorar:
Firma
152
PROGRESIÓN 11
Plano cartesiano
¿Recuerdas cómo fue la primera vez que tuviste que llegar a tu colegio para pedir informes, realizar
el examen de admisión o realizar algún trámite de inscripción? Si haces un poco de memoria pediste
referencias acerca de cómo llegar y las personas te dieron la dirección o brindaron información
acerca del número de calles o manzanas que tendrías que recorrer caminando o en automóvil para
poder llegar hasta el sitio deseado partiendo desde algún punto en específico que pudo haber sido
tu casa o algún otro lugar conocido por ti.
Llegado el día partiste de tu casa y comenzaste a recorrer el número de calles y avenidas tal y como
se te indico hasta llegar a la ubicación de tu colegio. Sin saberlo aquel día utilizaste un sistema de
referencia el cual en matemáticas llamamos plano cartesiano que nos sirve para localizar puntos
(sitios o direcciones si quieres verlo así) partiendo desde un origen.
En matemáticas el plano cartesiano lo representamos de la siguiente manera:
A la línea horizontal de color azul se le llama eje” X” (abscisas), a la línea vertical de color rojo se le
llama eje “Y” (ordenadas), el punto donde se cruzan las dos líneas se le llama origen del plano
cartesiano.
Si observas bien el plano cartesiano está dividido en 4 regiones llamadas cuadrante I, II, III y IV.
153
En cada cuadrante podemos localizar puntos (como si fuera un sitio al que quieres llegar) y para esto
necesitamos un par de coordenadas para poder llegar a ellos, es decir, necesitamos una coordenada
en el eje “X” y una coordenada en el eje “Y” que nos sirvan de referencia para poder desplazarnos
a lo largo de ellos y poder llegar a cada punto deseado.
¿Cómo localizar puntos en el plano cartesiano?
Imagina que sales de tu casa rumbo al colegio
y que las instrucciones que te dieron fue
caminar 4 calles a la derecha y después 6 calles
hacia arriba hasta llegar al sitio como se
muestra en la imagen.
Lo anterior lo podemos resumir haciendo uso
de la nomenclatura matemática, en lugar de
decir que queremos llegar al colegio diremos
que queremos llegar al punto “P”, en lugar de
decir que caminaremos 4 calles a la derecha
diremos que nos desplazaremos 4 unidades
sobre el eje “X” (coordenada X) y el lugar de
decir caminar 6 calles hacia arriba diremos
que nos desplazaremos 6 unidades sobre el
eje “Y” (coordenada Y) como se muestra en la
imagen.
154
Por lo tanto, en el lenguaje matemático la
dirección del colegio se representa en el plano
cartesiano de la siguiente manera: P(4,6) la
letra P nos indica el nombre que le damos al
punto que queremos llegar, dentro del
paréntesis indicamos las coordenadas en cada
uno de los ejes, se escriben en orden
alfabético primero la coordenada sobre el eje
X y después la coordenada sobre el eje Y.
Generalmente para asignar un nombre o identificador a cada punto sobre el plano cartesiano se
utilizan las primeras letras mayúsculas del abecedario como, por ejemplo: A, B, C, etc. Después
procedemos a encerrar dentro de un paréntesis y separadas por una coma las coordenadas del
punto que queremos localizar (las coordenadas pueden ser positivas o negativas).
La primera coordenada corresponde al eje “X” y la segunda coordenada corresponde al eje “Y” como
por ejemplo el punto P(4,6).
Para localizar el punto P(4,6) tomamos como referencia el origen del plano cartesiano para
comenzar a contar y nos desplazamos sobre cada eje las unidades que indican las coordenadas, es
decir, 4 unidades sobre el eje “X” y a partir de ahí 6 unidades sobre el eje “Y” (observa que ambas
coordenadas son positivas) como se muestra en la imagen anterior.
También podemos tener puntos con coordenadas negativas, el procedimiento para localizarlos es
el mismo, sólo debes tener cuidado de desplazarte sobre el eje correcto ya sea positivo o negativo
según corresponda.
155
Imagina que quieres iniciar a
construir un jardín botánico en al
patio de tu casa. Lo que tienes que
hacer es delimitar el terreno para
poder medirlo y posteriormente
calcular la cantidad de tierra, abono,
malla perimetral, etc. que requieres
para poder iniciar su construcción.
Lo primero es establecer el sistema
de referencia desde el cual
comenzaras a delimitar el terreno y
medirlo.
Comenzamos colocando puntos de
referencia que marcarán los límites
de tu jardín para posteriormente
dentro del plano cartesiano ubicar
las coordenadas de cada punto que
lo delimitarán como se muestra en la
figura.
Una vez ubicados los puntos que
delimitan tu jardín procedemos a
unirlos para observar la figura
geométrica que se forma.
¿Puedes calcular su perímetro?
¿Puedes calcular su área?
¿Para qué te sirve calcular el
perímetro?
¿Para qué te sirve calcular el área?
156
Punto, recta y segmento de recta.
Punto. Un punto lo podemos definir como una ubicación en el espacio, nosotros entenderemos
como espacio al plano cartesiano. Por lo que un punto es una ubicación única en el plano cartesiano.
Recta. Una recta la podemos definir como una sucesión continua e infinita de puntos o una fila
continua e infinita de puntos en ambas direcciones como se muestra en la figura. Para indicar que
se trata de la recta AB lo escribimos de la siguiente manera: ⃡𝐴𝐵 .
Segmento de recta. Un segmento de recta la podemos definir como una porción o parte de una
recta que está delimitada por dos puntos diferentes como se observa en la figura. Para indicar que
se trata de un segmento de recta desde el punto C al punto D lo escribimos de la siguiente manera:
̅̅̅̅ .
𝐶𝐷
157
Distancia entre dos puntos.
La distancia entre dos puntos se refiere a lo que mide la longitud del segmento de recta que une
esos puntos en línea recta. Esta distancia puede ser en línea horizontal, vertical o diagonal. Para
dejarlo más claro realizaremos algunos ejemplos retomando las imágenes de la lectura anterior que
delimitan el jardín botánico.
Ejemplo 1. Calcula la distancia
entre el punto A y B del jardín
botánico mostrado en la imagen.
Si observas las coordenadas
sobre el eje “Y” de ambos puntos
son iguales lo que significa que el
segmento de recta es horizontal
por lo que para calcular la
distancia entre ambos puntos
basta con restar las coordenadas
sobre el eje “X” de ambos puntos
con ayuda de la siguiente
fórmula:
̅̅̅̅
𝐴𝐵 = |𝑋2 − 𝑋1 |
Para facilitar los cálculos y como regla general utilizaremos el orden alfabético para saber cuáles son
las coordenadas X1 , Y1 y cuáles X2 , Y2 de la forma que se indica a continuación: A(X1 , Y1) y B(X2 , Y2).
Quedando de la siguiente manera:
̅̅̅̅ = |𝑋2 − 𝑋1 | = |3 − (−3)| = |3 + 3| = 6
𝐴𝐵
(observa que se aplicó la ley de los signos)
Lo anterior significa que la distancia del punto A al punto B es de 6 unidades.
Nota: el símbolo | | representa el valor absoluto lo que quiere decir que si el resultado de una resta
es negativo lo consideres o conviertas positivo, por ejemplo: la resta 2 − 5 = −3 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎
|2 − 5| = 3
Ejemplo 2. Calcula la distancia entre el punto A y C del jardín botánico mostrado en la imagen
anterior.
158
Si observas las coordenadas sobre el eje “X” de ambos puntos son iguales lo que significa que el
segmento de recta es vertical por lo que para calcular la distancia entre ambos puntos basta con
restar las coordenadas sobre el eje “Y” de ambos puntos con ayuda de la siguiente fórmula:
̅̅̅̅
𝐴𝐵 = |𝑌2 − 𝑌1 |
Para facilitar los cálculos y como regla general utilizaremos el orden alfabético para saber cuáles son
las coordenadas X1 , Y1 y cuáles X2 , Y2 de la forma que se indica a continuación: A(X1 , Y1) y C(X2 , Y2).
Quedando de la siguiente manera:
̅̅̅̅
𝐴𝐶 = |𝑌2 − 𝑌1 | = |−2 − 2| = 4 (observa que se aplicó el valor absoluto)
Lo anterior significa que la distancia del punto A al punto C es de 4 unidades.
Ejemplo 3. Calcula la distancia
entre el punto B y C del jardín
botánico mostrado en la imagen.
Si observas bien notarás que en el
plano
cartesiano
podemos
formar una figura conocida por ti,
el triángulo rectángulo en el cual
la distancia del punto B al punto B
es la hipotenusa, por lo que
podemos aplicar el teorema de
Pitágoras para calcular la
distancia entre estos dos puntos
con ayuda de la siguiente
formula:
̅̅̅̅
𝐵𝐶 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
Para facilitar los cálculos y como regla general utilizaremos el orden alfabético para saber cuáles son
las coordenadas X1 , Y1 y cuáles X2 , Y2 de la forma que se indica a continuación: B(X1 , Y1) y C(X2 , Y2).
̅̅̅̅ = √(−3 − 3)2 + (−2 − 2)2 = √(−6)2 + (−4)2 = √36 + 16 = √52 = 7.21
𝐵𝐶
159
Por si se te dificultó visualizar
como se forma el triángulo
rectángulo del ejemplo anterior
revisa la siguiente imagen y
comprobarás
como
efectivamente se forma dicha
figura en color azul incluso
puedes calcular su área. Lo
anterior nos permitió utilizar el
teorema de Pitágoras para
calcular la distancia entre el
punto B y el punto C.
Fórmula de Herón.
La fórmula de Herón nos permite calcular el área de cualquier triangulo cuando conocemos el valor
de cada uno de sus lados, para poder realizar lo anterior primero debemos calcular el semiperímetro
del triángulo con ayuda de la siguiente fórmula:
𝑠=
𝑎+𝑏+𝑐
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
2
Lo anterior significa que sumamos los tres lados del triángulo y el resultado lo dividimos entre dos.
Una vez que se conoce el semiperímetro podemos estimar el área del triángulo utilizando la
siguiente fórmula:
𝐴 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 𝑒𝑠 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎, 𝑠 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑦 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠
𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜.
Para dejarlo más claro realizaremos un ejemplo de lo mencionado anteriormente para calcular el
área de un triángulo utilizando la fórmula de Herón.
160
Retomemos el jardín botánico de
las
lecturas
anteriores
e
imaginemos que requerimos
hacer una división desde el punto
B al punto C en la cual se
sembraran plantas de sombra
para lo que se requiere comprar
malla para construir un techado.
Para saber el área que se requiere
cubrir con el techo de malla
debemos calcular el área del
triángulo formado por los puntos
B, C y D que se muestra en la
imagen.
Utilizando la fórmula de Herón
calcularemos el área del triángulo
formado entre por puntos B, C y
D para lo cual lo hemos separado
de la imagen anterior para
brindar mayor claridad en el
planteamiento del problema.
Paso 1. Calculamos cada uno de
los lados del triángulo aplicando
los conocimientos adquiridos en
las lecturas anteriores (distancia
entre dos puntos).
̅̅̅̅
𝐶𝐷 = |𝑋2 − 𝑋1 | = |3 − (−3)| = |3 + 3| = 6
̅̅̅̅ = |𝑌2 − 𝑌1 | = |−2 − 2)| = |−4| = 4
𝐵𝐷
̅̅̅̅ = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
𝐵𝐶
̅̅̅̅
𝐵𝐶 = √(−3 − 3)2 + (−2 − 2)2 = √(−6)2 + (−4)2 = √36 + 16 = √52 = 7.21
161
Paso 2. Calculamos el semiperímetro.
Nombramos cada uno de los lados del
triángulo:
̅̅̅̅ = 6
𝑎 = 𝐶𝐷
𝑏 = ̅̅̅̅
𝐵𝐷 = 4
̅̅̅̅ = 7.21
𝑐 = 𝐵𝐶
Por lo tanto el semiperímetro es:
𝑠=
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 6 + 4 + 7.21 17.21
=
=
= 8.605
2
2
2
Paso 3. Calculamos el valor del área.
𝐴 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) = √8.605(8.605 − 6)(8.605 − 4)(8.605 − 7.21) = 11.9999 u2
Nota: u2 significa unidades cuadráticas que pueden ser metros cuadrados, centímetro cuadrados
etc.
𝑏𝑥ℎ
Como recordarás la fórmula más conocida para calcular el área de un triángulo es: 𝐴 =
2
Comprobemos que resultado obtenemos al aplicar esta fórmula al mismo triángulo del ejemplo
anterior.
𝐴=
𝑏𝑥ℎ
6𝑥4
24
=
= = 12 u2
2
2
2
Donde: A es el área del triángulo, b es lo que mide la base del triángulo, h es lo que mide la altura
del triángulo.
Como podrás observar los resultados son muy parecidos por lo que para calcular el área de un
triángulo podemos utilizar cualquiera de las dos fórmulas dependiendo de la información con la que
se cuente.
162
¡Para saber más!
•
PARA SABER MÁS
Perímetros de todas las figuras:
https://youtu.be/OTT8SKMdBD8?si=N
2NDjW5nyT5sp_BG
• PARA SABER MÁS
Descomponer figuras para encontrar
el área:
•
PARA SABER MÁS
Áreas sombreadas ejercicio 1:
https://youtu.be/DvmTcN5ZHpY?si=
mKGI2GWvxtDZ1SzS
https://youtu.be/9KGIPpQKp98?si=3
W60NDvan7U4vyZ7
163
PM2-SA3-EP03
CUESTIONARIO TIPO PLANEA SA 3
Indicaciones Lee cuidadosamente cada reactivo e individualmente elige la opción de
respuesta correcta
1. El siguiente cuadrado tiene medidas de lado = 4cm, ¿Cuál es el área de la parte sombreada de
negro?
a) 50.26 cm2
b) 16.00 cm2
c) 12.56 cm2
d) 3.43 cm2
2. El tutor grupal, de uno de los grupos de primer semestre del COBATAB desea pintar las mesas
de trabajo usadas por los alumnos, pues estas se encuentran en mal estado, las mesas tienen
forma trapezoidal y tienen las siguientes medidas: base menor, 80 cm, base mayor, 1.20 m y
de altura 60 cm, si en el aula se tienen 45 mesas que pintar, ¿Cuánto dinero se pagará al
pintor, si cobra $75 por metro cuadrado?
a) $2025
b) $1944
c) $5670
d) $4050
3. Un terreno rectangular de 15 m de ancho se va a cercar perimetralmente con malla de
alambre, si en total el terreno se llevó 130 metros lineales de malla ¿cuantos metros
cuadrados tiene el terreno?
a) 1950 m2
b) 1500 m2
c) 750 m2
d) 975 m2
4. El siguiente triangulo tiene de base 5 cm y de altura 10 cm ¿Cuánto mide el diámetro del
círculo y el lado del cuadrado, si todas las figuras tienen la misma superficie?
a) 5.64 cm y 5 cm
b) 10 cm y 5.64 cm
c) 25cm y 5.64 cm
d) 5cm y 5 cm
164
5. Una escalera de 6 m de longitud se apoya por su parte superior sobre una barda y su base se
coloca a 3 m de distancia, ¿a qué altura de la barda se apoya la escalera?
a) √6 m
b) √18 m
c) √27 m
d) √45 m
6. Cada brazo de un compás mide 42 cm de largo. Cuando las puntas se encuentran separadas 30
cm, ¿Cuál es la altura del compás?
b) √114 cm
d) √1989 cm
a) √54 cm
c) √153945 cm
7. En la siguiente figura determinar el valor de x.
a) 25
b) 20
c) 30
d) 35
8. En la siguiente figura determinar el valor de x.
a) 2.5
b) 2.2
c) 2.0
d) 2.7
e)
9. ¿En qué punto la gráfica corta al eje de las ordenadas?
a) (4,0)
b) (0, 4)
c) (3,0)
d) (0,3)
165
̅̅̅̅
10. Identifica las coordenadas de los puntos extremos que forman el segmento 𝐴𝐶
a) A(-4,2) C(3,4)
b) A(2,-4) C(1,4)
c) A(-4,2) C(4,1)
d) A(2, -4) C(4,3)
11. ¿Cuál es la distancia del segmento ̅̅̅̅
𝐴𝐵
a) 8.6 u
b) 3.16 u
c) 7.07 u
d) 5.83 u
12. ¿cuál es el área de la siguiente figura?
a) A= 4.1 cm2
b) A= 3.4 cm2
c) A= 2.90 cm2
d) A= 2.3 cm2
166
PM2-SA3-MA03 Mapa de aprendizaje para evaluar las progresiones de la SA 3
UAC:
Pensamiento Matemático II
Progresiones
9, 10, 11
Nombre
Fecha:
Grupo:
Turno:
Situación de aprendizaje 3: “El que parte y reparte s…”
Mapa de aprendizaje
2: Puedo hacerlo solo
3: Puedo ayudar a otros
Nivel
Progresión de Aprendizaje
Que debo hacer para mejorar:
1 2 3
1: Necesito ayuda
9.
Conceptualizo el área de una superficie y
deduzco fórmulas para calcular áreas de figuras
geométricas simples como rectángulos, triángulos,
trapecios, etc., utilizando principios y propiedades
básicas de geometría sintética
10.
Reviso el teorema del triángulo de Napoleón,
considerándolo como un problema-meta en el que se
aplican resultados de la geometría euclidiana como:
Teorema de Pitágoras, criterios de congruencia y
semejanza de triángulos, caracterizaciones de
cuadriláteros concíclicos, entre otros.
11.
Empleo un sistema de coordenadas y algunos
elementos básicos de geometría analítica como la
distancia entre dos puntos en el plano para calcular
áreas de figuras geométricas básicas y comparar estos
resultados con los cálculos obtenidos empleando
principios básicos de geometría sintética.
Nombre y Firma del estudiante:
Firma del Facilitador
167
Referencias SA 3
Aguilar, A., Bravo, F. V., Cerón, M., Gallegos, H. A., Reyes, R. Aritmética (2009). Pearson Educación.
Baldor, A. (2019). Aritmética. Grupo Editorial Patria.
Baldor, A. (2019). Geometría y trigonometría. Grupo Editorial Patria.
Aguilar, A., Bravo, F. V., Cerón, M., Gallegos, H. A., Reyes, R. Geometría Analítica (2009). Pearson
Educación.
Aguilar, A., Bravo, F. V., Cerón, M., Gallegos, H. A., Reyes, R. Geometría y trigonometría (2009).
Pearson Educación.
Aguilar, A., Bravo, F. V., Cerón, M., Gallegos, H. A., Reyes, R. Matemáticas simplificadas (2015).
Pearson Educación.
Carreón, D. [Daniel Carreón]. (2018, 3 de abril). PERIMETRO DE TODAS LAS FIGURAS Super facil Para principiantes [Video]. YouTube.
https://youtu.be/OTT8SKMdBD8?si=N2NDjW5nyT5sp_BG
KhanAcademyEspañol. (2016, 3 de julio). Descomponer figuras para encontrar el área: resta | Khan
Academy
en
Español
[Video].
YouTube.
https://youtu.be/9KGIPpQKp98?si=3W60NDvan7U4vyZ7
julioprofe. (2017, 19 de agosto). ÁREAS SOMBREADAS - Ejercicio 1 [Video]. YouTube.
https://youtu.be/DvmTcN5ZHpY?si=mKGI2GWvxtDZ1SzS
Matemáticas profe Alex. (2021, 12 de febrero). ÁREAS SOMBREADAS [Video]. YouTube.
https://youtube.com/playlist?list=PLeySRPnY35dHdt6lDk0jaAaES_UACHLIE&si=t3pPTQiO0ExF
YngX
168
SITUACIÓN DE
APRENDIZAJE 4
“El precio del huerto escolar”
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
169
Propósito de la SD 4
PROGRESIONES
12, 13, 14
En equipos de cinco estudiantes elaborar un reporte donde contenga un modelo
matemático y grafico de programación lineal que contenga las variables necesarias y
que le permita maximizar la utilidad o la ganancia de la cosecha en su huerto escolar
aplicando el Aprendizaje Activo Basado en Problemas (ABP) y presenta sus resultados
ante el grupo para su socialización y evaluación.
170
APRENDIZAJES DE TRAYECTORIA
•
Adopta procesos de razonamiento matemático tanto intuitivos como formales tales
como observar, intuir, conjeturar y argumentar, para relacionar información y obtener
conclusiones de problemas (matemáticos, de las ciencias naturales, experimentales y
tecnología, sociales, humanidades, y de la vida cotidiana).
•
Modela y propone soluciones a problemas tanto teóricos como de su entorno,
empleando lenguaje y técnicas matemáticas.
•
Explica el planteamiento de posibles soluciones a problemas y la descripción de
situaciones en el contexto que les dio origen empleando lenguaje matemático y lo
comunica a sus pares para analizar su pertinencia.
Progresión
Conocimientos (Conceptuales)
Relaciones y funciones.
Funciones polinomiales
Formas de representar una función.
• Diagrama sagital
• Ecuación
12. Modela situaciones y resuelve problemas
• Grafica
significativos para el estudiantado tanto de
• Pares ordenados
manera algebraica como geométrica al aplicar
propiedades básicas de funciones lineales,
Funciones lineales y cuadráticas
cuadráticas y polinomiales.
• Concepto
• Características
• Elementos
• Aplicaciones
• Formas de resolver
Aplicación de modelos de funciones lineales
en problemas de contexto.
13. Resuelve problemáticas provenientes de las Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
áreas del conocimiento que involucren la
• Método de eliminación-reducción
resolución de sistemas de ecuaciones lineales y
• Método de igualación
considera una interpretación geométrica de
• Método de sustitución
estos sistemas.
• Método de determinantes
• Método grafico
.
Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
• Método de determinantes
171
Progresión
Conocimientos (Conceptuales)
Interpretación geométrica de la solución de los
sistemas de ecuaciones lineales.
Inecuaciones
• Concepto
• Interpretación geométrica
14. Modela situaciones y resuelve problemas
en los que se busca optimizar valores aplicando
el teorema fundamental de la programación Programación Lineal
• Definición.
lineal y combinando elementos del lenguaje
algebraico que conciernen al estudio de
• Características.
desigualdades y sistemas de ecuaciones
• Teorema
fundamental
lineales con dos incógnitas.
Programación lineal.
• Función objetivo.
• Restricciones.
• Método gráfico.
de
la
172
Situación Didáctica 4
Estrategia
Didáctica:
Reporte de la maximización de utilidades
Título:
“El precio del huerto escolar”
Contexto:
Actualmente la agenda 2030 expresa la necesidad de actuar desde
todos los ámbitos para hacer sostenible los recursos y contar en un
corto plazo con una educación de calidad, abatir el hambre y mejorar
las condiciones de vida y de la convivencia, es por ello por lo que el
Colegio de Bachilleres de Tabasco ha optado por la implementación de
huertos escolares en cada centro educativo. Actualmente existe un
proyecto denominado “Por mí, Por ti, Sembrando con Amor”, mismo
que tiene como objetivo la sustentabilidad ecológica y mejorar las
relaciones de vínculos familiares. El huerto escolar es considerado como
un recurso que permite convertir a los centros educativos en lugares
donde el estudiantado puede adquirir múltiples experiencias y
conocimientos acerca de su entorno: natural, urbano o rural; así como
las relaciones y dependencias que este guarda con él. Además, es a
través de este espacio que se pone en práctica actitudes y hábitos de
cuidado del medio ambiente indispensables para el desarrollo de una
cultura ambiental y es por ello que se solicita que los estudiantes de
segundo semestre analicen dos plantas de las cuales están cultivando
en su huerto escolar de su centro educativo y se le solicita que
maximicen la utilidad o ganancia generada en el huerto escolar,
siguiendo los siguientes pasos para encontrar lo que se solicita por parte
de su profesor de la UAC de Pensamiento Matemático II y para ello es
necesario definir los siguientes valores:
Planta 1
Planta 2
Sobre los recursos que se utilizaron:
173
Recursos Utilizados Unidad de Medida Usada
Agua
Litros
Tierra
Kilos o m3
Fertilizante
Libras
Abono
Kilogramos
Sobre el espacio utilizado:
Metros cuadrados disponibles para siembra (m2)
Planta 1
Planta 2
Sobre las cantidades utilizadas por producto (m2):
Planta No. 1
Recursos Utilizados Unidad de Medida Usada
Agua
litros
Tierra
Kilos o m3
Fertilizante
Libras
Abono
Kilogramos
Planta No. 2
Recursos Utilizados Unidad de Medida Usada
Agua
litros
Tierra
Kilos o m3
Fertilizante
Libras
Abono
Kilogramos
Sobre la utilidad o ganancia generada por m2:
Planta 1
Planta 2
174
Analiza el contexto que se presenta y responde lo siguiente:
Conflicto
cognitivo:
a. ¿Cuáles serán las necesidades de mano de obra para realizar
estas actividades?
b. ¿Cuáles serán las necesidades económicas como el capital para
realizar el cultivo de dichas plantas?
c. Estima ¿Cuál será la ganancia por actividad realizada por metro
cuadrado de cada planta?
d. Evalúa ¿Cuál será la mano de obra disponible en la zona donde
vives?
e. ¿Cuál será el monto de capital inicial que se obtuvo para iniciar
con el proyecto?
f. ¿Cómo harías para maximizar la utilidad o ganancia de la venta
de las plantas que se cosecharon en dicho huerto?
175
Instrumento de evaluación situación didáctica
Rúbrica para evaluar la Situación de Aprendizaje 4
COLEGIO DE BACHILLERES DE TABASCO PLANTEL No. _______
PENSAMIENTO MATEMÁTICO 2
Datos de identificación
Bloque de
4
Progresiones
12, 13, 14
progresiones
En equipos de cinco estudiantes elaborar un reporte donde contenga un modelo matemático y grafico de
Propósito de la programación lineal que contenga las variables necesarias y que le permita maximizar la utilidad o la ganancia de la
situación
cosecha en su huerto escolar aplicando el Aprendizaje Activo Basado en Problemas (ABP) y presenta sus resultados
ante el grupo para su socialización y evaluación.
Categorías
C2: Procesos de Razonamiento
C3: Solución de problemas y modelación.
C4: Interacción y lenguaje matemático.
Metas de aprendizaje
C2M4 Argumenta a favor o en contra de C3M3 Aplica procedimientos, técnicas y C3M4 Construye y plantea posibles soluciones a
afirmaciones acerca de situaciones, lenguaje matemático para la solución de problemas de Áreas de Conocimiento, Recursos
fenómenos o problemas propios de la problemas propios del Pensamiento Sociocognitivos, Recursos Socioemocionales y
matemática, de las ciencias o de su Matemático, de Áreas de Conocimiento, de su entorno, empleando técnicas y lenguaje
contexto.
Recursos
Sociocognitivos,
Recursos matemático.
C3M2 Construye un modelo matemático, Socioemocionales y de su entorno.
C4M3 Organiza los procedimientos empleados
identificando las variables de interés, con la
en la solución de un problema a través de
finalidad de explicar una situación o
argumentos formales para someterlo a debate
fenómeno y/o resolver un problema tanto
o a evaluación.
teórico como de su entorno.
Nombre de los alumnos
Grupo
N. Listas:
N. Listas:
N. Listas:
N. Listas:
N. Listas:
N. Listas:
Situación
didáctica
Evaluación
CATEGORÍAS
Puntuación
obtenida
Procedural
Puntuación
máxima
Ponderación
4
25%
Retroalimentación
Logros
Proceso de
razonamiento
4
25%
Solución de
problemas y
modelación
4
25%
Actitudinal
4
25%
TOTAL
16
100%
Aspectos de
mejora
Calificación obtenida
176
Categoría
Procedural.
Proceso de
razonamiento.
Solución de
problema y
modelación.
Actitudinal
NIVEL DE PROGRESO
Deseable (4)
Suficiente (3)
En proceso (2)
No presenta (1)
Presenta el modelo matemático y
gráfico de programación lineal con las
variables necesarias para su diseño y
elaboración.
Presenta sólo el modelo
matemático de programación
lineal con las variables
necesarias para su diseño y
elaboración.
Presenta el modelo
matemático de programación
lineal, pero no incluye todas
las variables para su diseño y
elaboración.
No presenta el modelo
matemático ni gráfico de
programación lineal, ni utiliza las
variables necesarias para su
diseño y elaboración.
Presenta las operaciones para dar
solución al conflicto cognitivo con orden
y claridad.
Presenta las operaciones para
dar solución al conflicto
cognitivo con claridad y no con
orden.
Presenta las operaciones para
dar solución al conflicto
cognitivo con orden y nada
claro.
Presenta las operaciones para dar
solución al conflicto cognitivo
nada claro y nada ordenado.
Realiza los cálculos que le permita
maximizar la utilidad o la ganancia de la
cosecha en su huerto escolar y concluye
de forma satisfactoria.
Realiza los cálculos que le
permita maximizar la utilidad o
la ganancia de la cosecha en su
huerto escolar, pero no
concluye de forma
satisfactoria.
Presenta disposición al trabajo
colaborativo aportando ideas
de forma constante y no
respeta la opinión de sus
compañeros.
Realiza los cálculos, pero no
maximizar la utilidad o la
ganancia de la cosecha en su
huerto escolar, pero no
concluye de forma
satisfactoria.
Presenta disposición al trabajo
colaborativo no aporta ideas
de forma constante y no
respeta la opinión de sus
compañeros.
No realiza los cálculos que le
permita maximizar la utilidad o la
ganancia de la cosecha en su
huerto escolar, por lo que no
concluye satisfactoriamente.
Presenta disposición al trabajo
colaborativo aportando ideas de forma
constante y respeta la opinión de sus
compañeros.
Nombre y Firma del Líder de equipo
Presenta poca disposición al
trabajo colaborativo no aporta
ideas de forma constante y no
respeta la opinión de sus
compañeros.
Firma del Facilitador
177
Evaluación Diagnóstica SA4
¿Qué tanto sé? (Apertura)
PM2-SA4-ED04
CUESTIONARIO PARA SOCIALIZAR
1.- Es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo
conjunto, llamado recorrido o rango, de manera que a cada elemento del Dominio le
corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango:
a) Función
b) Relación
c) Dominio
d) Rango
2.- Es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le
corresponde uno y sólo un valor del Recorrido:
a) Función
b) Relación
c) Dominio
d) Rango
3.- Indique si la siguiente afirmación es cierta o falsa: “la función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏 es una
función”:
a) Cierto
b) Falso
4.- Es una colección de elementos, números o valores que se considerada en sí, como un
objeto matemático.
a) Contradominio
b) Rango
c) Dominio
d) Conjunto
5.- Es un conjunto de los elementos que definen la función, es decir, los elementos que se
asociarán con otro conjunto.
a) Contradominio
b) Rango
c) Dominio
PM1-SA4-ED04d) Imagen
178
CUESTIONARIO PARA SOCIALIZAR
6.- Si 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟑 determiné, ¿Cuál será el valor cuando se evalué: −𝟓𝒇(𝟒)?
a) −5𝑓(4) = −25
b) −5𝑓(4) = 25
c) −5𝑓(4) = 30
d) −5𝑓(4) = −29
7.- De las siguientes expresiones algebraicas todas son ecuaciones excepto:
a) 𝑥 2 − 𝑥 + 1 = 0
b) 3𝑥 + 1 ≤ 𝑦
1
c)
=𝑥
𝑥
d) 32 = 𝑥 − 1
8.- Plantea en una expresión algebraica lo siguiente: Un camión se dirige hacia mí en línea
𝒌𝒎
recta llevando una rapidez promedio de 𝟓𝟎 𝒉𝒐𝒓𝒂 y se encuentra a 𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒎. ¿A qué
distancia se encuentra de mí después de 𝒕 horas?
a) 𝑓(𝑡) = 50𝑡 + 200
b) 𝑓(𝑡) = 50𝑡 − 200
c) 𝑓(𝑡) = −200 + 50𝑡
d) 𝑓(𝑡) = −50𝑡 + 200
9.- Son métodos para resolver un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, excepto
a) Condensación.
b) Igualación.
c) Determinantes
d) Eliminación.
10.- En una ecuación cuadrática 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 el coeficiente del término cuadrático
es
a) 𝑐
b) 𝑎
c) 𝑏
d) 0
CUESTIONARIO PARA SOCIALIZAR
179
11.- Geométricamente hablando, ¿Qué representan las soluciones de una ecuación
cuadrática?
a) Las intersecciones con ambos ejes
b) Las intersecciones con el eje “y”
c) Las intersecciones con el eje “x”
d) Ninguna de las anteriores
12.- ¿Cuál es el valor de la incógnita en la siguiente ecuación: 𝟐𝒙 + 𝟑 = 𝟏𝟏?
a)
b)
c)
d)
𝑥=2
𝑥=3
𝑥=4
𝑥=5
13.- Se entiende, a la formulación algebraica que tiene por objetivo optimizar (maximizar
o minimizar) una función lineal (también llamada de primer grado) de varias variables
(por lo menos 2), sujeta a una serie de restricciones (condiciones), también lineales.
a) Programación lineal
b) Función lineal
c) Programación
d) Función cuadrática
14.- Consiste en evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices (o sea, sustituir
las coordenadas de los vértices de la región factible en la función objetivo) y comprobar
cuál (o cuáles) de ellos proporciona el máximo o mínimo de la función objetivo.
a) Método lineal.
b) Método algebraico.
c) Método gráfico.
d) Método de sustitución.
15.- En este método los vértices de la región factible se hallan gráficamente. Una vez
hallada la región factible se representan las rectas de nivel asociadas a la función
objetivo ( ax + by=k) y se ve cuál es la que toma un valor k óptimo (en este caso máximo).
a) Método lineal.
b) Método gráfico.
c) Método algebraico.
d) Método de sustitución.
180
PROGRESIÓN 12
Relaciones y funciones
Una Función, es una relación entre dos conjuntos, llamado Dominio y Contradominio, donde a cada
valor del Dominio le corresponda solo un valor del Rango. Por tanto, todas las funciones son
relaciones, pero no todas las relaciones son funciones. Toda ecuación es una Relación, pero no toda
ecuación es una Función.
Primer Conjunto
A
B
C
Segundo Conjunto
1
2
3
4
x
Dominio
y
Rango
Nota: Podemos apreciar en este diagrama que a un solo elemento del primer conjunto le
pertenece un solo elemento del segundo conjunto (en pocas palabras podemos decir que el valor
de “x” no se repite).
Dominio: es un conjunto
de los elementos que
definen la función, es
decir, los elementos que
se asociarán con otro
conjunto.
Contradominio: también
llamado Rango, conjunto
de elementos que son el
resultado de la asociación
del dominio bajo la
relación.
Así también las funciones se clasifican en dos tipos, funciones algebraicas y funciones trascendentes
que se consideran de la siguiente forma: En las funciones algebraicas las operaciones que hay que
efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división,
potenciación y radicación. Mientras que las funciones trascendentes la variable independiente
figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de
cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
181
Esquema: Clasificación de las funciones.
Clasificación de las funciones:
Algebraicas:
a) Funciones constantes
e) funciones irracionales
b) Funciones Lineales
f) Funciones Polinomiales
c) Funciones cuadraticas
d) Funciones Racionales
Trascendentes:
a) Trigonometricas (seno, coseno y tangente)
b) Exponenciales
c) Logaritmicas
Nota. Elaborado por Chablé Olán, R. A. (2023).
Esquema: Otros tipos de funciones
Función
Constante
Función
Identidad
Función
Polinomial
Se dice que es una función constante, si el elemento del conjunto B que
corresponde al conjunto A es el mismo.
La función identidad es un ejemplo de función lineal y es aquella función
que tiene como imagen el mismo valor del argumento. El dominio de esta
función son todos los números reales y el rango de esta función, también
son los números reales.
Es una función cuya expresión algebraica es un polinomio y está definida
por la suma o resta de un número finito de términos de diferente grado.
Nota. Elaborado por Suarez, P. S. (2023).
Ahora bien, una Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio y un
segundo conjunto llamado Rango. En este conjunto de pares ordenados, se relacionan dos variables.
Todas las relaciones pueden ser graficadas en el plano cartesiano. Es un vínculo y en el caso de la
relación matemática, se trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada
elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto.
Es decir, una relación es una regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos. Dicha
regla de correspondencia puede darse a conocer mediante:
182
Flechas (se le llama diagrama sagital), que van de un elemento del primer conjunto a un elemento
del segundo conjunto.
Primer Conjunto
Segundo Conjunto
A
B
C
1
2
3
x
Dominio
y
Rango
Nota: Como podemos observar a diferencia de una función los valores de una relación pueden
repetirse los valores del primer conjunto con uno o más del segundo conjunto (en pocas palabras
el valor de “x” si se puede repetir para dos o más valores de la función).
En conclusión:
una Función es una relación cuya regla de correspondencia está limitada a que a cada elemento del
primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto y una Relación se
trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le
corresponde al menos un elemento del segundo conjunto.
Funciones Polinomiales
Recuerda que un monomio es un número, una variable o el producto de un número y una o más
variables con exponentes de números enteros. Un polinomio es el conjunto de más de un monomio
expresado como una suma o resta de monomios. Entonces una función polinomial es una función
que está definida por una expresión con polinomios. Entonces una función polinomial de grado n es
una función de la forma:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
que aplicado seria:
183
Función ejemplo
Grado
Coeficiente
Principal
Termino
Constante
Ejemplo 1:
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5
1
2
+5
Ejemplo 2:
𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 4𝑥 + 8
2
3
+8
Ejemplo 3:
𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥 − 1
3
-1
11
Formas de representar una función
Existen diferentes formas de representar a una función y para ello te presentamos cuatro formas
distintas que son:
a)
b)
c)
d)
El diagrama sagital
La ecuación
La grafica
Los pares ordenados
El diagrama sagital
Los diagramas sagitales son gráficos para representar relaciones y consiste en curvas cerradas que
relacionan los elementos del conjunto de partida y conjunto de llegada mediante flechas.
La ecuación
La ecuación de una función es la expresión algebraica que resume cómo se obtienen los valores del
conjunto final mediante la variable dependiente (es decir el valor obtenido de “y”) a partir de los
valores del conjunto inicial (es decir los valores de “x”). Se llama variable independiente a los valores
que pueden tomar los elementos del dominio de la función.
La grafica
La gráfica de una función es el conjunto de puntos en el plano de la forma (x, y) en donde “x” está
en el dominio de la función y además y=f(x) esta el rango de la función.
Los pares ordenados
Los pares ordenados son pares de números utilizados para ubicar un punto en el plano de
coordenadas rectangulares y escritos en la forma (x, y), donde x es la coordenada x e y es la
coordenada y.
184
A continuación, se detallan cada una de las formas de representar una función:
Ejemplo:
Suponga que tenemos la siguiente información: Un joven estudiante del 2do semestre del COBATAB
trabaja en una papelería, Sabiendo que gana 500 pesos como sueldo base de forma semanal y por
cada artículo que vende en toda una semana le abonan 2 pesos a su sueldo base. Determine:
a) La ecuación (función) que determina ¿Cuánto gana a la semana por “x” articulo
vendido?
b) Represente todas las formas para representar dicho problema.
Primero vamos a encontrar la ecuación o la función que determina ¿Cuánto ganaría el estudiante
por “x” articulo vendido?
Ecuación
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 500
El 2 es algo cambiante y se
considera como la razón de
cambio, se multiplica por “x”
para saber cuanto gano por
cada articulo que vendió como
abono a su sueldo base.
El 500 es algo que no cambia,
porque lo que gana cada
semana se suma a ese sueldo
base y que es el resultado de
2x.
Una vez que tenemos la ecuación o la función del planteamiento procedemos a realizar la tabulación
para generar todas las formas consecuentes. Entonces tenemos:
Tabulación
𝒙
Artículos
vendidos
0
1
2
3
4
10
15
20
Pares ordenados
𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟓𝟎𝟎
𝑓(𝑥) = 2(0) + 500 = 0 + 500 = 500
𝑓(𝑥) = 2(1) + 500 = 2 + 500 = 502
𝑓(𝑥) = 2(2) + 500 = 4 + 500 = 504
𝑓(𝑥) = 2(3) + 500 = 6 + 500 = 506
𝑓(𝑥) = 2(4) + 500 = 8 + 500 = 508
𝑓(𝑥) = 2(10) + 500 = 20 + 500 = 520
𝑓(𝑥) = 2(15) + 500 = 30 + 500 = 530
𝑓(𝑥) = 2(20) + 500 = 40 + 500 = 540
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Ganancia del
estudiante
500
502
504
506
508
520
530
540
185
Los pares ordenados salen de la misma tabulación antes de realizar la grafica y se toman los valores
de “x” contraponiéndolos en una coordenada rectangular con los valores de “y”, como se muestra
a continuación:
𝒙
Artículos
vendidos
0
1
2
3
4
10
15
20
𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟓𝟎𝟎
𝑓(𝑥) = 2(0) + 500 = 0 + 500 = 500
𝑓(𝑥) = 2(1) + 500 = 2 + 500 = 502
𝑓 (𝑥) = 2(2) + 500 = 4 + 500 = 504
𝑓(𝑥) = 2(3) + 500 = 6 + 500 = 506
𝑓(𝑥) = 2(4) + 500 = 8 + 500 = 508
𝑓(𝑥) = 2(10) + 500 = 20 + 500 = 520
𝑓(𝑥) = 2(15) + 500 = 30 + 500 = 530
𝑓(𝑥) = 2(20) + 500 = 40 + 500 = 540
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Ganancia del
estudiante
500
502
504
506
508
520
530
540
Los pares ordenados son
𝐴(0,500), 𝐵(1,502), 𝐶(2,504), 𝐷(3,506), 𝐸(4,508), 𝐹(10,520), 𝐺(15,530), 𝐻(20,540).
Grafica
La grafica resulta de los dichos pares ordenados ubicados específicamente en el plano cartesiano.
Grafica de f(x)=2x+500
545
540
535
530
525
520
515
510
505
500
495
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
186
Diagrama sagital
El diagrama sagital se obtiene también de los pares ordenados como se muestra a continuación:
𝒙
Artículos
vendidos
0
1
2
3
4
10
15
20
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Ganancia del
estudiante
500
502
504
506
508
520
530
540
Funciones lineales f(x)=mx+b y cuadráticas f(x)=x^2+bx+c
Función lineal
Concepto
Una función lineal es una función polinomial de grado 1 y es aquella en la cual la relación de dos
magnitudes es directamente proporcional.
Elementos
Se caracteriza por ser representada gráficamente con una línea recta.
Se expresa de la forma:
𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒃.
Donde:
• m es la pendiente de la recta (es un valor constante) y representa el grado de inclinación de
la recta en la gráfica y que se puede calcular de esta manera:
𝑚=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑚)
•
b es la ordenada al origen (el punto donde la recta interseca el eje de las ordenadas).
187
Características
• Su grafica es una línea recta en el plano cartesiano.
• Presentan una pendiente o una inclinación.
• La pendiente es un valor diferente de cero.
• El valor de la pendiente determina si la gráfica es creciente o decreciente.
• Los valores de la variable independiente conforman el dominio.
• Los valores de la variable dependiente conforman el rango.
Aplicaciones
Las aplicaciones de la línea recta son muy variadas, como podemos ver a continuación y entre otras:
Conocer cuánto gana una persona en un tiempo
determinado.
Estimar la producción a futuro de una empresa.
Conocer el consumo de gasolina de un móvil a
velocidad constante.
Determinar una función para calcular el perímetro de
una figura geométrica.
Ejemplo:
Un automóvil viaja a 60 km/h. Determinar la función que representa el desplazamiento del
automóvil en función del tiempo.
Consideramos que la ecuación de distancia es: 𝑑 = (𝑣)(𝑡)
Donde: la velocidad es una constante, es decir no cambia su valor.
La función es:
𝒇(𝒕) = 𝟔𝟎 (𝒕) = 𝟔𝟎 𝒕
188
Tabulando tenemos:
𝒕
0
1 hr
2 hr
3 hr
𝒇(𝒕) = 𝟔𝟎 𝒕
𝑓(0) = 60(0) = 0
𝑓(1) = 60(1) = 60
𝑓(2) = 60(2) = 120
𝑓(3) = 60(3) = 180
𝒚 = 𝒇(𝒕)
0 km
60 km
120 km
180 km
4 hr
𝑓(4) = 60(4) = 240
240 km
No podemos considerar que el tiempo es negativo porque físicamente no existe el tiempo
negativo.
Graficando tenemos:
300
250
Distancia
200
150
100
50
0
0
1
2
3
4
5
Tiempo
Función cuadrática
Concepto:
Se les llama función cuadrática a aquellas funciones de segundo grado, donde su exponente es un
2. Estas relaciones es la familia de las llamadas funciones cuadráticas, cuya representación gráfica
es una parábola.
Elementos
Se caracteriza por ser representada gráficamente con una parábola.
Se expresa de la forma:
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄.
189
Donde:
• 𝒂, 𝒃 𝒚 𝒄 son los coeficientes de la expresión algebraicas.
• 𝒂𝒙𝟐 es el termino cuadrático
• 𝒃𝒙 es el termino lineal
• 𝒄 es el termino constante
Características
• Gráficamente tiene forma parabólica.
• Si la parábola es positiva abre hacia arriba y si es negativa abre hacia abajo.
• Tiene un vértice y se puede calcular de la siguiente manera:
−𝑏
−𝑏
𝑉(
, 𝑓 ( ))
2𝑎
2𝑎
•
•
•
Tienen dos raíces o dos soluciones.
Si el valor de a tiene un valor distinto de cero, entonces siempre tendremos una parábola.
Para determinar las raíces de una función cuadrática es:
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥1 𝑦 2 =
2𝑎
Aplicaciones
Conocer el área de una figura geométrica a través de
expresiones algebraicas.
Estudiar los efectos nutricionales entre las especies
animales.
Determinar la altura máxima de un móvil que es lanzado
de forma parabólica.
Describir la trayectoria al lanzar una pelota en un partido
de beisbol.
190
Ejemplo
Un lanzador de beisbol lanza una pelota con el bate y la trayectoria de la pelota describe un
movimiento parabólico. La trayectoria tiene la siguiente expresión algebraica:
𝒇(𝒙) = −𝟎. 𝟎𝟐𝟒𝟏𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟔
Donde: “x” es la distancia recorrida en metros. Con estos datos, Determina:
a) La distancia a la que llego la pelota al momento de caer al suelo.
Se determinan los valores de los coeficientes de la función:
a=
-0.0241
b=
1
c=
6
Utilizar la ecuación general de función cuadrática y sustituir los valores:
𝑥1 𝑦 2 =
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
−1 ± √(1)2 − 4(−0.0241)(6)
𝑥1 𝑦 2 =
2(−0.0241)
𝑥1 𝑦 2 =
−1 ± √1 + 0.578
−0.0482
𝑥1 𝑦 2 =
−1 ± √1.578
−0.0482
𝑥1 𝑦 2 =
Para calcular 𝑥1
−1 + 1.256
𝑥1 =
−0.0482
𝑥1 =
0.256
−0.0482
𝑥1 = −5.31 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
−1 ± 1.256
−0.0482
Para calcular 𝑥2
−1 − 1.256
𝑥2 =
−0.0482
𝑥2 =
−2.256
−0.0482
𝑥2 = 46.80 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
En conclusión y respondiendo el inciso a) la respuesta es 46.80 metros, no se toma el negativo
porque no existe distancia negativa.
191
b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanzo esta pelota?
Para este inciso se utiliza la fórmula:
𝑉(
−𝑏
2𝑎
−𝑏
𝑓( )
2𝑎
−(1)
2(−0.0241)
𝑓(𝑥) = −0.0241𝑥 2 + 𝑥 + 6
𝑥=
𝑥=
−𝑏
−𝑏
, 𝑓 ( ))
2𝑎
2𝑎
𝑥=
𝑓(𝑥) = −0.0241(20.75)2 + 20.75 + 6
−1
−0.0482
𝑓(𝑥) = −0.0241(430.56) + 20.75 + 6
𝒙 = 𝟐𝟎. 𝟕𝟓 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂
𝑓(𝑥) = −10.377 + 20.75 + 6
𝒇(𝒙) = 𝟏𝟔. 𝟑𝟕𝟑 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂
𝑉(20.75 , 16.373)
Este es el vértice.
c) La grafica de dicha función algebraica.
𝒙
𝒇(𝒙) = −𝟎. 𝟎𝟐𝟒𝟏𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟔
𝒚 = 𝒇(𝒙)
0
𝑓(𝑥) = −0.0241(0)2 + 0 + 6 = 0 + 0 + 6 = 6
6
5
𝑓(𝑥) = −0.0241(5)2 + 5 + 6 = −0.6 + 5 + 6 = 10.4
10.4
10
𝑓(𝑥) = −0.0241(10)2 + 10 + 6 = −2.41 + 10 + 6 = 13.59
13.59
2
15
𝑓(𝑥) = −0.0241(15) + 15 + 6 = −5.42 + 15 + 6 = 15.58
15.58
20
𝑓(𝑥) = −0.0241(20)2 + 20 + 6 = −9.64 + 20 + 6 = 16.36
16.36
25
𝑓(𝑥) = −0.0241(25)2 + 25 + 6 = −15.06 + 25 + 6 = 15.94
15.94
30
𝑓(𝑥) = −0.0241(30)2 + 30 + 6 = −21.69 + 30 + 6 = 14.31
14.31
2
35
𝑓(𝑥) = −0.0241(35) + 35 + 6 = −29.52 + 35 + 6 = 11.48
11.48
40
𝑓(𝑥) = −0.0241(40)2 + 40 + 6 = −38.56 + 40 + 6 = 7.44
7.44
45
𝑓(𝑥) = −0.0241(45)2 + 45 + 6 = −48.80 + 45 + 6 = 14.31
2.2
50
𝑓(𝑥) = −0.0241(50)2 + 50 + 6 = −60.25 + 50 + 6 = −4.25
-4.25
192
20
V(20.75,16.373)
15
10
5
0
0
-5
10
20
30
La distancia es: 46.80 metros
40
50
60
-10
Ejemplo:
La ecuación que representa la caída libre de un objeto esta expresada de la siguiente forma:
𝑔𝑡 2
𝐹(𝑡) =
2
Donde g es la constante de aceleración generada por la gravedad (9.8 m/s²), t es el tiempo y f(t) es
la altura desde donde se deja caer el objeto que está en función del
tiempo.
Una manzana cae de un árbol. Determinar:
a) La función que representa el desplazamiento de la manzana
b) La distancia desde la que cayó la manzana si tardo 0.8 segundos en
tocar el suelo
c)
La grafica de la función
𝑚
(9.8 2 ) 𝑡 2
𝑠
𝐹(𝑡) =
2
𝑚
(9.8 2 ) (0.8 𝑠)2
𝑠
𝐹(𝑡) =
2
𝐹(𝑡) =
6.27 𝑚
2
𝐹(𝑡) = 3.136 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
193
𝑚
(9.8 2 ) (0.64 𝑠 2 )
𝑠
𝐹(𝑡) =
2
200
F(t)
0
4.9
19.6
44.1
78.4
122.5
176.4
180
160
140
120
Altura
t
0
1
2
3
4
5
6
100
80
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Tiempo
194
CATEGORIAS
PM2-SA4-TAREA07
C1: Procedural
C2: Procesos de Razonamiento
C3: Solución de problemas y modelación. C4:
Interacción y lenguaje matemático.
TAREA
07:
Problemario:
Funciones lineales y cuadráticas
Instrucciones: Formados en binas, lean cada una
de las cuestiones del siguiente Problemario de
funciones lineales y cuadráticas y resuelvan en la
libreta bajo el monitoreo del facilitador.
Funciones lineales y cuadráticas
Progresión 12
1.- En un gimnasio se cobra $300 pesos por la inscripción y una mensualidad de $400 a cada
miembro. Determina:
a) Escribe la función que represente el dinero que una persona debe pagar de acuerdo con
el tiempo transcurrido.
b) ¿Se trata de una función lineal o cuadrática?
c) ¿Cuánto debió haber pagado un miembro al final de un año?
d) representa mediante una gráfica la función
2.- Un futbolista patea el balón con una velocidad de 25 m/s y con un ángulo de elevación de 50°
con respecto a la horizontal. Determina:
a) Escribe la función que representa el desplazamiento máximo del balón
b) ¿Se trata de una función lineal o cuadrática?
c) grafica la función
3.- Si se abre el tapón de una piscina, el nivel del agua desciende a una razón de 3cm por minuto. Si
el nivel del agua era de 2 metros. Determina:
a) Escribe la función que representa la disminución del nivel del agua con respecto al tiempo
b) ¿Se trata de una función lineal o cuadrática?
c) ¿Cuánto tardara la piscina en vaciarse completamente?
d) grafica la función
4.- Una pelota se deja caer desde la punta de un edificio. Determina
a) Escribe la función que representa la altura del edificio
b) ¿Cuál es la altura del edificio si tarda en caer al suelo 7 segundos?
c) grafica la función
195
PM2-SA4-LC07 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 07: Problemario: Funciones lineales y
cuadráticas
Unidad de aprendizaje Pensamiento Matemático 2
Progresión
Grupo
Fecha:
Modela situaciones y resuelve problemas significativos para el estudiantado tanto de manera
algebraica como geométrica al aplicar propiedades básicas de funciones lineales, cuadráticas y
polinomiales.
M2 Construye un modelo matemático, identificando las variables de interés, con la finalidad de
explicar una situación o fenómeno y/o resolver un problema tanto teórico como de su entorno.
C3 Solución de problemas y Subcategorías
S2 Construcción de modelos.
modelación.
S3 Estrategias heurísticas y ejecución de
procedimientos no rutinarios.
Meta
Categorías
Nombre de los
integrantes
Tarea 07. Problemario: Funciones lineales y cuadráticas
Aprendizajes Trayectoria
•
•
Adopta procesos de razonamiento matemático tanto
intuitivos como formales tales como observar, intuir,
conjeturar y argumentar, para relacionar información y
obtener conclusiones de problemas (matemáticos, de las
ciencias naturales, experimentales y tecnología, sociales,
humanidades, y de la vida cotidiana).
Explica el planteamiento de posibles soluciones a
problemas y la descripción de situaciones en el contexto
que les dio origen empleando lenguaje matemático y lo
comunica a sus pares para analizar su pertinencia.
CRITERIOS
Contenidos Específico
•
•
•
•
Relaciones y funciones.
Funciones polinomiales
Formas de representar una función.
o Diagrama sagital
o Ecuación Grafica
o Pares ordenados
funciones lineales y cuadráticas
o Concepto
Características
o Elementos
o Aplicaciones
o Formas de resolución
%
CUMPLE
SI
1.
2.
3.
4.
5.
Presentan el producto terminado en el tiempo establecido por el
facilitador
Determinan la función que representa el fenómeno establecido.
en cada ejercicio de contexto
Elaboran los gráficos que representan la función de cada ejercicio
de contexto
Muestran disposición al trabajo colaborativo, metódico y
organizado
Identifican de forma correcta el tipo de función de la que se trata
cada ejercicio de contexto.
Puntaje
NO
10
30
20
20
20
Calificación
Aspectos para mejorar:
Firma
196
Progresión 13
Sistemas de ecuaciones de 2 ecuaciones con 2 incógnitas
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones con las mismas incógnitas. Un sistema de
ecuaciones lineales es un sistema de ecuaciones en el que cada ecuación es lineal. Una solución de
un sistema es una asignación de valores para las incógnitas que hace verdadera cada una de las
ecuaciones. Resolver un sistema significa hallar todas las soluciones del sistema.
Veamos el siguiente ejemplo de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
2𝑥 − 𝑦 = 5
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1
{
𝑥 + 4𝑦 = 7
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2
Lo que se busca es encontrar mediante diferentes métodos las soluciones o los valores de “x” e “y”
de dicho sistema de ecuaciones:
Podemos comprobar que 𝑥 = 3 y 𝑦 = 1 son la solución de este sistema de ecuaciones:
Ecuación 1
2𝑥 − 𝑦 = 5
Ecuación 2
𝑥 + 4𝑦 = 7
2(𝟑) − (𝟏) = 5
𝟑 + 4(𝟏) = 7
6−1=5
3+4=7
5=5
7=7
Es importante que la solución también puede escribirse como un par ordenado descrito de la
siguiente forma:
(3,1); 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑥 = 3 ; 𝑦 = 1
A continuación, se detallan cada uno de los siguientes métodos para resolver un sistema de
ecuaciones.
a) Método de Eliminación- Reducción (Método de suma y resta)
Para resolver un sistema usando el método de eliminación, tratamos de combinar las ecuaciones
usando sumas o restas para eliminar una de las incógnitas.
197
Pasos para el método de eliminación-reducción
1.- Ajustar los coeficientes: multiplique uno o más de las ecuaciones por números
apropiados, de modo que el coeficiente de una incógnita de una ecuación sea el
negativo de su coeficiente en la otra ecuación.
2.- Sumar las ecuaciones: sume las dos ecuaciones para eliminar una incógnita y,
a continuación, despeje la incógnita restante.
3.- sustituir a la inversa: en una de las ecuaciones originales, sustituya el valor
hallado en el paso 2 y despeje la incógnita restante.
Encuentre la solución del sistema:
{
2𝑥 + 3𝑦 = 20
𝑥 − 2𝑦 = 3
Solución:
𝟐 (2𝑥 + 𝟑𝑦 = 20)
𝟑 ( 𝑥 − 𝟐𝑦 = 3 )
4𝑥 + 6𝑦 = 40
3𝑥 − 6𝑦 = 9
9𝑥
= 49
Por lo que obtenemos:
9𝑥 = 49
𝑥=
49
9
𝑥 =7
Ahora tomamos una de las dos ecuaciones y sustituimos el valor encontrado:
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟐𝟎
2(7) + 3𝑦 = 20
14 + 3𝑦 = 20
3𝑦 = 20 − 14
3𝑦 = 6
𝑦=
6
3
198
𝑦=2
a) Método de igualación
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y después
igualar los resultados.
Pasos para el método de igualación
1.- Despejar ambas ecuaciones: la ecuación 1 y 2 se despejan en la misma variable para
poder igualar.
2.- Igualar: Iguale ambas ecuaciones y resuelva en función de la única variable que quedo.
3.- Resolver y despejar: Resuelva la igualación y realice los despejes correspondientes
Encuentre la solución del sistema:
2𝑥 + 3𝑦 = 20
{
𝑥 − 2𝑦 = 3
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2
Ecuación 1
Ecuación 2
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟐𝟎
𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟑
Despejar “y”
Despejar “y”
3𝑦 = 20 − 2𝑥
𝒚=
−2𝑦 = 3 − 𝑥
𝟐𝟎 − 𝟐𝒙
𝟑
𝒚=
𝟑−𝒙
−𝟐
Igualar ambas ecuaciones
𝒚=𝒚
20 − 2𝑥 3 − 𝑥
=
3
−2
−2 (
20 − 2𝑥 3 − 𝑥
=
)3
3
−2
−40 + 4𝑥 = 9 − 3𝑥
Despejar de tal forma que las “x” queden de un lado del igual y los términos constantes del otro
lado.
3𝑥 + 4𝑥 = 9 + 40
7𝑥 = 49
199
𝑥=
49
7
𝑥=7
Como ya tenemos despejas las dos ecuaciones en la variable “y” solo tomamos una y
sustituimos el valor encontrado anteriormente:
𝒚=
𝑦=
𝟐𝟎 − 𝟐𝒙
𝟑
20 − 2(7)
3
𝑦=
20 − 14
3
𝑦=
6
3
𝑦=2
Por lo tanto, la solución es: 𝑷(𝟕, 𝟐)
¿Te diste cuenta de que es el mismo ejercicio del ejemplo anterior y que dan el mismo
resultado?, No importa que método utilices, te darán el mismo resultado, dependiendo del
sistema de ecuaciones que estes trabajando.
b) Método de sustitución
El método de sustitución se empieza con una ecuación en el sistema y despejamos una incógnita
en términos de la otra incógnita. El recuadro siguiente describe el procedimiento.
Pasos para el método de sustitución
1.- Despejar una de las dos incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones (solo despejar
en una sola ecuación).
2.- Sustituir. Sustituya la expresión resultante del paso anterior en la otra ecuación (es
decir en la ecuación que no ha tocado.
3.- Sustituir el valor encontrado. En cualquiera de las dos ecuaciones para determinar el
valor faltante (Ojo ya tienes una ecuación despejada).
Encuentre la solución del sistema:
200
{
2𝑥 + 3𝑦 = 20
𝑥 − 2𝑦 = 3
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2
Despejar la ecuación 2 en función de “y”
𝑥 − 2𝑦 = 3
La ecuación despejada queda así:
𝑥 = 3 + 2𝑦
Ahora sustituimos el valor de la ecuación despejada en la ecuación que no hemos utilizado es decir
la ecuación 1.
2𝑥 + 3𝑦 = 20
2(3 + 2𝑦) + 3𝑦 = 20
6 + 4𝑦 + 3𝑦 = 20
4𝑦 + 3𝑦 = 20 − 6
7𝑦 = 14
𝑦=
14
7
𝑦=2
Ahora este valor se sustituye en la ecuación que despejamos al principio del procedimiento:
𝑥 = 3 + 2𝑦
𝑥 = 3 + 2(2)
𝑥 =3+4
𝑥=7
Por lo tanto, la solución es: 𝑷(𝟕, 𝟐)
201
c) Método de grafico
Consiste en representar en el plano cartesiano las rectas correspondientes a cada ecuación,
partiendo de las tabulaciones que ya sabemos hacer y que abordamos en la progresión anterior. La
solución del sistema, cuando existe y es única, será al punto de intersección de ambas rectas.
Encuentre la solución del sistema:
2𝑥 + 3𝑦 = 20
{
𝑥 − 2𝑦 = 3
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2
Tabular ambas ecuaciones despejando a la incógnita “y”
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabulación Ecuación 1
20 − 2𝑥
𝑦=
3
20 − 20(3)
=
3
20 − 2(4)
=
3
20 − 20(5)
=
3
20 − 20(6)
=
3
20 − 20(7)
=
3
20 − 20(8)
=
3
20 − 20(9)
=
3
20 − 20(10)
=
3
4.66
3
4
4
3.33
5
2.66
6
2
7
1.33
8
0.66
9
0
10
Tabular la ecuación 2
3−𝑥
𝑦=
−2
3−3
=
−2
3−4
=
−2
3−5
=
−2
3−6
=
−2
3−7
=
−2
3−8
=
−2
3−9
=
−2
3 − 10
=
−2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Desde la tabulación podemos observar cuales son la solución del sistema y son los que están
marcados.
Ahora ubicamos todas las coordenadas rectangulares o pares ordenados en un mismo plano
cartesiano para poder observar las intersecciones.
202
Sistemas de ecuaciones de 3 ecuaciones con 3 incógnitas
Un sistema de ecuaciones 3X3 es un sistema de ecuaciones lineales con tres ecuaciones y tres
variables, este sistema tiene la forma que se muestra a continuación:
𝒂𝑥 + 𝒃𝑦 − 𝒄𝑧 = 𝒅
𝒆𝑥
{ + 𝒇𝑦 + 𝒈𝑧 = 𝒉
𝒊𝑥 + 𝒋𝑦 + 𝒌𝑧 = 𝒍
Donde: “𝑥, 𝑦, 𝑧” representan las variables o incógnitas, mientras que las demás letras representan
las constantes o los coeficientes reales.
Ahora presentaremos un último método para resolver sistemas de ecuaciones que utiliza
determinantes (un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas). Conocida como regla de Cramer, esta
técnica se remonta a mediados del siglo XVIII y lleva el nombre de su innovador, el matemático suizo
Gabriel Cramer (1704-1752), que la introdujo en 1750 en “Introducción al análisis de curvas
algebraicas”. La regla de Cramer es un método viable y eficiente para calcular soluciones a sistemas
con un número arbitrario de incógnitas, siempre que tengamos el mismo número de ecuaciones
que de incógnitas.
La regla de Cramer nos dará la solución única de un sistema de ecuaciones, si existe. Como se
muestra a continuación:
Encuentre los valores de las tres incógnitas del siguiente sistema de ecuaciones:
203
𝟐𝑥 + 𝑦 − 𝟑𝑧 = 𝟕
𝟓𝑥 − 𝟒𝑦 + 𝑧 = −𝟏𝟗
𝑥 − 𝑦 − 𝟒𝑧 = 𝟒
2
Δ=
-3
5
1
-4
1
-1
-4
2
1
5
-4
-3
1
1
Δ = [(2)(−4)(−4) + (5)(−1)(−3) + (1)(1)(1)]
− [(5)(1)(−4) + (2)(−1)(1) + (1)(−4)(−3)]
Δ = [32 + 15 + 1] − [−20 − 2 + 12]
Δ = [48] − [−10]
Δ = 48 + 10
Δ = 58
7
∆𝑥 =
-3
-19
1
-4
4
-1
-4
7
1
-19
-4
-3
1
1
∆𝑥 = [(7)(−4)(−4) + (−19)(−1)(−3) + (4)(1)(1)] − [(−19)(1)(−4) + (7)(−1)(1) + (4)(−4)(−3)]
∆𝑥 = [112 − 57 + 4] − [76 − 7 + 48]
∆𝑥 = [59] − [117]
∆𝑥 = 59 − 117 = −58
𝑥=
∆𝑥 −58
=
= −1
∆
58
204
∆𝑦 =
2
7
-3
5
-19
1
2
4
7
1
-4
5
-19
-3
1
∆𝑦 = [(2)(−19)(−4) + (5)(4)(−3) + (1)(7)(1)] − [(5)(7)(−4) + (2)(4)(1) + (1)(−19)(−3)]
∆𝑦 = [152 − 60 + 7] − [−140 + 8 + 57]
∆𝑦 = [99] − [−75]
∆𝑦 = 99 + 75 = 174
𝑦=
∆𝑦 174
=
=3
∆
58
Utilice cualquiera de las tres ecuaciones y despeje la incógnita faltante.
𝟓𝑥 − 𝟒𝑦 + 𝑧 = −𝟏𝟗
𝟓(−1) − 𝟒(3) + 𝑧 = −𝟏𝟗
−5 − 12 + 𝑧 = −𝟏𝟗
−17 + 𝑧 = −𝟏𝟗
𝑧 = −𝟏𝟗 + 𝟏𝟕
𝑧 = −𝟐
¿Como podemos comprobar que estamos bien?, Utilizamos cualquiera de las tres
ecuaciones y sustituimos todos los valores.
𝟓(−1) − 𝟒(3) + (−2) = −𝟏𝟗
−5 − 12 − 2 = −𝟏𝟗
19 = −𝟏𝟗
205
CATEGORIAS
PM2-SA4-TAREA08
C1: Procedural
C2: Procesos de Razonamiento
C3: Solución de problemas y modelación.
C4: Interacción y lenguaje matemático.
TAREA
08:
Problemario:
Sistemas de ecuaciones lineales
Instrucciones: Formados en binas, lean cada una
de las cuestiones del siguiente Problemario de
sistemas de ecuaciones lineales y resuelvan en la
libreta bajo el monitoreo del facilitador.
Sistemas de ecuaciones lineales
Progresión 13
Resuelve Los Siguientes Cuatro Sistemas De Ecuaciones 2 X 2 y uno de 3 X 3, Usando Los 4
Métodos Aprendidos Previamente y eligiendo alguno de los anteriores para el ultimo.
I.- Resuelve los siguientes sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:
a) Método de igualación
2𝑥 + 3𝑦 = 28
{
3𝑥 + 5𝑦 = 28
b) Método de sustitución
5𝑥 + 5𝑦 = 50
{
2𝑥 + 4𝑦 = 40
c) Método de suma y resta (eliminación-reducción)
6𝑥 + 7𝑦 = 34
{
9𝑥 + 8𝑦 = 19
d) Método grafico
4𝑥 + 2𝑦 = 20
{
7𝑥 + 2𝑦 = 15
I.- Resuelve el siguiente sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:
𝑥+𝑦+𝑧=6
{ 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5
𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = −10
206
PM2-SA4-LC08 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 08: Problemario: Sistemas de
ecuaciones lineales
Unidad de aprendizaje Pensamiento Matemático 2
Progresión
Grupo
Fecha:
Resuelve problemáticas provenientes de las áreas del conocimiento que involucren la resolución
de sistemas de ecuaciones lineales y considera una interpretación geométrica de estos sistemas
M3 Aplica procedimientos, técnicas y lenguaje matemático para la solución de problemas propios
del Pensamiento Matemático, de Áreas de Conocimiento, Recursos Sociocognitivos, Recursos
Socioemocionales y de su entorno.
C3 Solución de problemas y Subcategorías S1 Uso de modelos.
S3 Estrategias heurísticas y ejecución de
modelación.
Meta
Categorías
procedimientos no rutinarios.
Nombre de los
integrantes
Tarea 08. Problemario: Sistemas de ecuaciones lineales
Aprendizajes Trayectoria
•
•
Adopta procesos de razonamiento matemático tanto
intuitivos como formales tales como observar, intuir,
conjeturar y argumentar, para relacionar información y
obtener conclusiones de problemas (matemáticos, de las
ciencias naturales, experimentales y tecnología, sociales,
humanidades, y de la vida cotidiana).
Explica el planteamiento de posibles soluciones a problemas
y la descripción de situaciones en el contexto que les dio
origen empleando lenguaje matemático y lo comunica a sus
pares para analizar su pertinencia.
CRITERIOS
Contenidos Específico
•
Sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas.
o Método
de
eliminaciónreducción
o Método de igualación
o Método de sustitución
o Método de determinantes
o Método grafico
Sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitas.
Método de determinantes
•
•
%
CUMPLE
SI
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Presentan su producto terminado en el tiempo establecido por el
facilitador.
Identifican cada uno de los métodos de solución solicitados en la
resolución de los ejercicios
Aplican correctamente la metodología de resolución en cada
ejercicio
Verifican de manera precisa la sustitución de los valores obtenidos
en la ecuación original.
Muestran disposición al trabajo colaborativo, metódico y
organizado,
Muestra actitud de respeto y cordialidad al realizar la actividad.
Puntaje
NO
10
15
25
25
15
10
Calificación
Aspectos para mejorar:
Firma
207
Progresión 14
Inecuaciones
Las inecuaciones: Concepto e interpretación geométrica.
son expresiones algebraicas que se relacionan a partir de desigualdades. Dichas relaciones se
expresan mediante los signos que se muestran a continuación:
>
<
≤
≥
Mayor que…
Menor que…
Menor o igual que…
Mayor o igual que…
Las inecuaciones se conforman por valores conocidos y desconocidos. Estos últimos son llamados
incógnitas, algunos ejemplos son:
• 2𝑥 − 9 ≥ 2𝑥 + 5
• 5 ≤ 2𝑥 − 9
La clasificación común de las inecuaciones se da de acuerdo a dos criterios principales:
• El número de incógnitas y
• La potencia de la incógnita.
Para resolver una inecuación se debe despejar la incógnita o las incógnitas. Con el fin de lograrlo,
deberás tener en cuenta los siguientes pasos:
a) Agrupa los términos semejantes. Pasa las incógnitas al lado izquierdo y las constantes al lado
derecho.
b) Suma y resta u opera los términos semejantes.
c) Determina el valor de la incógnita. Despéjala.
d) Ten en cuenta que los valores deberán satisfacer la inecuación que se ha formulado.
Ten en cuenta la siguiente tabla de desigualdades:
Desigualdad
Intervalo
𝒙>𝒂
(a,∞)
𝒙<𝒂
(-∞,a)
𝒙≥𝒂
[a,∞)
𝒙≤𝒂
(-∞,a]
Grafico
208
Inecuaciones lineales
Una inecuación es lineal cuando en ambos extremos de la desigualdad tenemos solo polinomios de
primer grado.
Para resolver una inecuación se debe de encontrar el valor o el conjunto de valores que la variable
x puede tomar de manera que se cumpla la desigualdad.
Ejemplo:
𝟑𝒙 + 𝟐 < 𝟓𝒙 − 𝟒
Se agrupan los términos en función de su parte literal
2 + 4 < 5𝑥 − 3𝑥
6 < 2𝑥
3<𝑥
𝑥 ∈ (3, ∞)
Representación gráfica :
Se emplea un intervalo abierto ya que no podemos tomar el límite inferior.
Ejemplo:
𝟒𝒙 + 𝟔 ≥ 𝒙 − 𝟑
Se agrupan los términos en función de su parte literal
4𝑥 − 𝑥 ≥ −6 − 3
3𝑥 ≥ −9
9
𝑥≥−
3
𝑥 ≥ −3
𝑥 ∈ [−3, ∞)
Se emplea un intervalo cerrado porque se puede usar el extremo (-3)
209
Programación lineal
Definición
La programación lineal es una técnica matemática que se utiliza para optimizar el rendimiento o la
eficiencia de un sistema. Esta técnica es ampliamente utilizada en el mundo empresarial para
resolver problemas de planificación, asignación de recursos y toma de decisiones.
En un problema de programación lineal, se busca encontrar el valor máximo o mínimo de una
función objetivo, como por ejemplo maximizar las ganancias de una empresa o minimizar los costos
de producción de un producto. La función objetivo se encuentra sujeta a restricciones que deben
cumplirse, como por ejemplo el presupuesto disponible para la empresa o la cantidad de recursos
disponibles para la producción del producto.
Entonces podemos decir que:
Se entiende como programación lineal, a la formulación algebraica que tiene por objetivo
optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal (también llamada de primer grado)
de varias variables (por lo menos 2), sujeta a una serie de restricciones (condiciones),
también lineales.
Características
1. Toma de decisiones: La programación lineal permite tomar decisiones esto se debe a que
se utilizan modelos matemáticos que representan de manera clara la situación a resolver y
permiten encontrar la mejor solución posible.
2. Optimización: Al encontrar la solución óptima, se pueden maximizar las ganancias o
minimizar los costos ya que se utiliza para optimizar procesos y recursos en una gran
variedad de campos, como la producción y la distribución.
3. Eficiencia: La programación lineal permite hacer un uso más eficiente de los recursos, ya
que permite planificar y asignar los recursos de manera óptima.
4. Innovación: La programación lineal permite resolver problemas complejos especialmente
importante en campos como la ingeniería, la ciencia y la tecnología.
210
𝑰(𝒙, 𝒚) = 𝟐𝟎𝟎𝒙 + 𝟏𝟓𝟎𝒚
Figura 1 Representación de solución de ejercicio de teorema fundamental de la programación lineal, Elaborado
por el Ing. Juan Alberto Jiménez Hernández, 2023.
Funciones objetivo y restricciones.
Se denomina función objetivo La función lineal a optimizar, y las restricciones se expresan mediante
un sistema de inecuaciones lineales que debemos resolver.
La expresión general de un problema de programación lineal en dos dimensiones es, por tanto:
Función objetivo: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 → Máximo o mínimo.
Restricciones
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 ≠ 𝑐1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 ≠ 𝑐2
𝑎𝑘 𝑥 + 𝑏𝑘 𝑦 ≠ 𝑐𝑘
donde la desigualdad representada por ≠ puede ser de los cuatro tipos explicados antes
(>, <, ≤ o ≥).
Típicamente una de las restricciones es que los valores sean positivos, es decir:
x ≥ 0 e y ≥ 0.
La solución factible que hace óptima (máxima o mínima, según se desee) la función objetivo, se
llama solución óptima, y siempre se encuentra en la frontera de la región factible.
Observa el siguiente video donde se explica el concepto y aplicación de la programación lineal, la
función objetivo, sus restricciones y sus tipos de soluciones.
211
CATEGORIAS
PM2-SA4 ACT09
ACTIVIDAD DE REFORZAMIENTO:
Cuestionario
Instrucciones: En binas escanea el código QR que
se muestra a continuación y responde las
preguntas de opción múltiple con ayuda de tu
facilitador.
C1: Procedural
C2: Procesos de Razonamiento
C3: Solución de problemas y modelación.
C4: Interacción y lenguaje matemático.
Cuestionario de: Programación lineal
Progresión 14
I.- Escanea el siguiente código QR para poder apreciar el video (también puedes dar clic sobre el
código para ir directo al video)
II.- Responde el siguiente cuestionario subrayando la respuesta que consideres correcta.
1.- ¿Cuál es el objetivo fundamental de la
programación lineal?
2.- Son ejemplos de funciones utilizadas en la
programación lineal.
a)
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)
Establecer las soluciones a un problema a
partir de su análisis.
Encontrar las restricciones de la situación
planteada y dar solución a la misma.
Determinar la función objetivo y dar
soluciones a partir de esta.
Buscar la optimización (maximizar o
minimizar) de una función lineal
respetando al mismo tiempo unas
condiciones establecidas.
6𝑥 2 + 2𝑦 = 85
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑙𝑛𝑥
8𝑥 + 3𝑦 = 16
6𝑥 + 𝑒 2𝑥 = 5
212
3.- Son los elementos que componen los
modelos matemáticos de la programación
lineal.
a)
b)
Gráficas, Funciones, Restricciones.
Función objetivo, región factible, función
lineal.
c) Variables de decisión, función objetivo,
restricciones.
d) Variables de decisión, función objetivo,
restricciones y condición de no negatividad.
5.- ¿Cuáles son los dos tipos de función objetivo
que existen?
a) Gráficas, Funciones, Restricciones.
b) Región factible y función lineal.
c) Variables de decisión y restricciones.
d) Maximización (MAX)y Minimización (MIN).
4.- Son las incógnitas que deseamos conocer de
nuestro modelo matemático.
a) Variables de decisión.
b) Función objetivo.
c) Restricciones.
d) Condiciones de no negatividad.
6.- Nos indican los límites de un modelo
matemático en la programación lineal.
a) Variables de decisión.
b) Función objetivo.
c) Restricciones.
d) Condiciones de no negatividad.
7.- ¿Cuál es la condición deben de tener
encuesta los problemas de programación
lineal?
a) Variables iguales a cero.
b) Variables menores a cero.
c) Variables mayores o iguales a cero.
d) Variables menores o iguales a cero.
213
INSTRUMENTO DE EVALUACION
LISTA DE COTEJO PARA EVALUAR PM2 SA4 ACT09
Actividad de reforzamiento: Cuestionario de programación lineal.
DATOS GENERALES
Nombre(s) del alumno(s)
Semestre y Grupo:
Turno:
Producto: Cuestionario
Fecha:
Materia: Pensamiento matemático II
Periodo:
Nombre del docente:
No.
Indicadores
Cumplimiento
SI
1
2
3
4
CALIF
Observaciones y/o
sugerencias de mejora
NO
Identifica los elementos de la programación
lineal proporcionados en el video.
Resuelve correctamente cada uno de los
cuestionamientos.
Identifica las aplicaciones de la progresión
lineal.
Trabaja de forma concentrada y
respetuosa.
5
Trabaja de manera colaborativa con su par.
6
Entrega en tiempo y forma la actividad.
CALIFICACION
214
Teorema fundamental de la programación lineal
En un programa lineal con dos variables, si existe una solución única que optimice (maximice o
minimice) la función objetivo, ésta se encuentra en un punto extremo (vértice) de la región factible
acotada, nunca en el interior de dicha región.
De este teorema obtenemos dos consecuencias:
a) Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices, también toma idéntico
valor en los puntos del segmento que determinan.
b) En el caso de que la región factible no sea acotada, la función lineal objetivo no alcanza
necesariamente un valor óptimo concreto, pero, si lo hace, éste se encuentra en uno de los
vértices de la región.
Iniciemos la explicación del teorema de la programación lineal con un problema de tipo contexto.
Ejemplo:
Una empresa del municipio de cárdenas del estado de tabasco que se dedica a la fabricación de
ventanas decoradas y sin decoración, las cuales serán exportadas a los E.U.A dispone de 80 kg. de
acero y 120 kg. de aluminio para la misma, las cuales se venderán en 200 y 150 dólares
respectivamente.
Para la fabricación de las ventanas decoradas se utilizarán 1 kg. de acero y 3 kg. de aluminio y para
fabricar las ventanas sin decoración se utilizarán 2 kg. de cada material con los que se disponen.
Determine:
a)
b)
La función objetivo y las restricciones y dibuja la región factible.
Calcula cuantas ventanas de cada tipo se pueden fabricar para obtener el máximo ingreso y
calcula cual sería ese ingreso.
Solución inciso a
Paso 1: Lo primero que debemos de realizar es establecer las variables y restricciones.
Nos apoyamos en la siguiente tabla para establecer los datos proporcionados en el enunciado.
Ventanas
decoradas (x)
3 kg
1 kg
Ventanas sin
decoración (y)
2 kg
2 kg
120 kg aluminio
80 kg de acero
Paso 2: Establecer la función objetivo, la cual es la función que representa el ingreso obtenido.
𝐼(𝑥, 𝑦) = 200𝑥 + 150𝑦
Paso 3: Crear las restricciones (r) o inecuaciones:
215
3𝑥 + 2𝑦 ≤ 120
𝑥 + 2𝑦 ≤ 80
𝑥≥0
𝑦≥0
Restricción 1 (𝒓𝟏 )
Restricción 2 (𝒓𝟐 )
Restricción 3 (𝒓𝟑 )
Restricción 4 (𝒓𝟒 )
Paso 4: Dibujar la región factible: Para ello debemos despejar la 𝒓𝟏 𝒚 𝒓𝟐 de tal forma que podemos
convierte a la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Restricción 1
3𝑥 + 2𝑦 ≤ 120
Restricción 2
𝑥 + 2𝑦 ≤ 80
2𝑦 ≤ 120 − 3𝑥
2𝑦 ≤ 80 − 𝑥
𝑦≤
120 − 3𝑥
2
𝑦≤
3
𝑦 ≤ − 𝑥 + 60
2
80 − 𝑥
2
1
𝑦 ≤ − 𝑥 + 40
2
Para determinar la región podemos tabular la función en cuestión solo estableciendo dos valores,
es decir, y=0 y x = 0
Restricción 1
𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 ≤ 𝟏𝟐𝟎
Cuando 𝑥 = 0
3(0) + 2𝑦 ≤ 120
Cuando 𝑦 = 0
3𝑥 + 2(0) ≤ 120
2𝑦 ≤ 120
3𝑥 ≤ 120
𝑦≤
120
2
𝑥≤
120
3
𝑦 ≤ 60
𝑥 ≤ 40
Par ordenado: (0,60)
Par ordenado: (40,0)
Restricción 2
𝒙 + 𝟐𝒚 ≤ 𝟖𝟎
Cuando 𝑥 = 0
0 + 2𝑦 ≤ 80
Cuando 𝑦 = 0
𝑥 + 2(0) ≤ 80
216
2𝑦 ≤ 80
𝑥 ≤ 80
80
2
𝑥 ≤ 80
𝑦≤
𝑥 ≤ 80
𝑦 ≤ 40
Par ordenado: (0,40)
Par ordenado: (80,0)
Región Factible:
𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 ≤ 𝟏𝟐𝟎
Grafica de región factible de la restricción 1
217
𝒙 + 𝟐𝒚 ≤ 𝟖𝟎
Grafica de la región factible de la restricción 2
De la restricción 3
𝒙≥𝟎
Grafica de la región factible de la restricción 3
218
De la restricción 3
𝒚≥𝟎
Grafica de la región factible de la restricción 4
Región Factible
Grafica factible de las 4 restricciones (Restricción 1, 2, 3 y 4). Todas sobrepuestas en un mismo plano.
219
Solución inciso b
Paso 5: Para poder calcular debemos calcular el valor de los vértices para después sustituirlos en la
función ingreso y con esto poder saber cuántas ventanas decoradas (x) y ventanas no decoradas (y)
se deben de fabricar.
𝐼(𝑥, 𝑦) = 200𝑥 + 150𝑦
Se toman los vértices que forma parte de la región factible.
Grafica de región factible de r1, r2, r3 y r4 con sus vértices.
A(0,0)
B(0,40)
C(40,0)
D(20,30)
Para poder determinar el valor del vértice D de la región factible el cual es la intersección de las
rectas de las restricciones 1 y 2 debemos utilizar un método de solución de sistema de ecuaciones
lineales que consideremos pertinentes.
Utilizamos el método de reducción y restamos la ecuación de la r2 a la ecuación de la restricción 1.
220
{
3𝑥 + 2𝑦 = 120
𝑥 + 2𝑦 = 80
+ (3𝑥 + 2𝑦 = 120)
− ( 𝑥 + 2𝑦 = 80 )
3𝑥 + 2𝑦 = 120
−𝑥 − 2𝑦 = −80
2𝑥
= 40
Por lo que obtenemos:
2𝑥 = 40
𝑥=
40
2
𝑥 = 20
Sustituimos el valor de x=20 en la ecuación de la restricción 2
𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟖𝟎
20 + 2𝑦 = 80
2𝑦 = 80 − 20
2𝑦 = 60
𝑦=
60
2
𝑦 = 30
Método Algebraico.
Paso 6: Una vez que se conocen los vértices que forman la región factible procedemos a sustituir los
valores de estos en la función ingreso para conocer el ingreso máximo a obtener.
A(0,0)
B(0,40)
C(40,0)
D(20,30)
𝐼(𝑥, 𝑦) = 200𝑥 + 150𝑦
221
Los ingresos si se fabrican 0 ventanas decoradas y 0 ventanas sin decoración es:
A(0,0)
𝐼(𝑥, 𝑦) = 200𝑥 + 150𝑦
𝑥=0
𝑦=0
𝐼(0,0) = 200(0) + 150(0)
𝐼(0,0) = 0 + 0 = 0 𝐷𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
Los ingresos si se fabrican 0 ventanas decoradas y 40 ventanas sin decoración es:
B(0,40)
𝐼(𝑥, 𝑦) = 200𝑥 + 150𝑦
𝑥=0
𝑦 = 40
𝐼(0,0) = 200(0) + 150(40)
𝐼(0,0) = 0 + 6000 = 6000 𝐷𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
Los ingresos si se fabrican 40 ventanas decoradas y 0 ventanas sin decoración es:
C(40,0)
𝐼(𝑥, 𝑦) = 200𝑥 + 150𝑦
𝑥 = 40
𝑦=0
𝐼(0,0) = 200(40) + 150(0)
𝐼(0,0) = 8000 + 0 = 8000 𝐷𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
Los ingresos si se fabrican 20 ventanas decoradas y 30 ventanas sin decoración es:
D(20,30)
𝐼 (𝑥, 𝑦) = 200𝑥 + 150𝑦
𝑥 = 20
𝑦 = 30
𝐼(0,0) = 200(20) + 150(30)
𝐼(0,0) = 4000 + 4500 = 8500 𝐷𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
222
TAREA
CATEGORIAS
C1: Procedural
C2: Procesos de Razonamiento
C3: Solución de problemas y modelación.
C4: Interacción y lenguaje matemático.
09:
Problemario:
PM2-SA4-TAREA09
Teorema fundamental de la
programación lineal
Instrucciones: Formados en equipos de tres
integrantes, lean cada problema del Problemario
del tema de programación lineal y resuelvan
juntos.
Teorema fundamental de la programación lineal
Progresión 14
Formados en equipos de tres integrantes, lean y analicen los ejercicios presentados y resuelvan.
Consideren que para dar solución a los ejercicios es necesario
Ejercicio 1:
Una casa empacadora de alimentos recibe diariamente 700 kg de café tipo C y 800 kg de café
tipo K. Hace con ellos dos mezclas. La de tipo A que consta de 2 partes de café de tipo C y una
parte de café de tipo K y en la que gana 2.2 dólares por kg; y la de tipo B con una parte de café
tipo C y dos partes de café tipo K y en la que gana 2.6 dólares por kg. Para esto determina:
a) La función objetivo, las restricciones y dibuja la región factible.
b) Halla la cantidad de mezcla que la casa empacadora debe hacer de cada tipo para que la
ganancia sea máxima.
Ejercicio 2:
Una ganadería desea proporcionar a su ganado una dieta que contenga un mínimo de 24 unidades
del pienso A y un mínimo de 25 unidades del pienso B. En el mercado se comercializan dos tipos de
compuestos C1 y C2, elaborados con ambos piensos. El paquete de C1 contiene 1 unidad de A y 5 de
B, siendo su precio de 1 dólar, y el de C2 contiene 4 unidades de A y 1 de B, siendo su precio 3
dólares.
a) Determina la función objetivo, las restricciones y dibuja la región factible.
b) ¿Qué cantidades de C1 y C2 deberá emplear la ganadería para preparar su dieta con el
mínimo costo?
223
PM2-SA4-LC09 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 09: Problemario: Teorema fundamental
de la programación lineal
Unidad de aprendizaje Pensamiento Matemático 2
Progresión
Grupo
Fecha:
Modela situaciones y resuelve problemas en los que se busca optimizar valores aplicando el
teorema fundamental de la programación lineal y combinando elementos del lenguaje algebraico
que conciernen al estudio de desigualdades y sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
M4.- Argumenta a favor o en contra de afirmaciones acerca de situaciones, fenómenos o
problemas propios de la matemática, de las ciencias o de su contexto.
M4.- Construye y plantea posibles soluciones a problemas de Áreas de Conocimiento, Recursos
Sociocognitivos, Recursos Socioemocionales y de su entorno, empleando técnicas y lenguaje
matemático.
M3.- Organiza los procedimientos empleados en la solución de un problema a través de
argumentos formales para someterlo a debate o a evaluación.
C2 Procesos de intuición y Subcategorías S1 Capacidad para observar y conjeturar.
razonamiento.
S2 Pensamiento intuitivo.
C3 Solución de problemas y
S3 Pensamiento formal.
modelación.
S1 Uso de modelos.
C4 Interacción y lenguaje
S3 Estrategias heurísticas y ejecución de
matemático.
procedimientos no rutinarios.
S1 Registro simbólico, algebraico e iconográfico.
S2 Negociación de significados.
S3 Ambiente matemático de comunicación.
Meta
Categorías
Nombre de los
integrantes
Tarea 09. Problemario: Teorema fundamental de la programación lineal
Aprendizajes Trayectoria
•
•
•
Adopta procesos de razonamiento matemático tanto intuitivos como
formales tales como observar, intuir, conjeturar y argumentar, para
relacionar información y obtener conclusiones de problemas
(matemáticos, de las ciencias naturales, experimentales y tecnología,
sociales, humanidades, y de la vida cotidiana).
Modela y propone soluciones a problemas tanto teóricos como de su
entorno, empleando lenguaje y técnicas matemáticas.
Explica el planteamiento de posibles soluciones a problemas y la
descripción de situaciones en el contexto que les dio origen
empleando lenguaje matemático y lo comunica a sus pares para
analizar su pertinencia.
Contenidos Específico
•
•
Inecuaciones
o Concepto
o Interpretación
geométrica
Programación Lineal
o Definición.
o Características.
o Teorema
fundamental de la
Programación
lineal.
o Función objetivo.
o Restricciones.
o Método gráfico (de
solución)
224
CRITERIOS
%
CUMPLE
SI
1.
Realizan correctamente el planteamiento del problema presentando la
20
función objetivo.
2.
5.
Generan de manera correcta todas las restricciones después de haber
identificado la función objetivo.
Presentan durante la solución los procedimientos correctos para dar solución
al o los cuestionamientos solicitados en los ejercicios.
Utilizan durante la solución de los ejercicios alguno de los dos métodos:
Algebraico y gráfico para dar solución a los ejercicios.
Muestran disposición al trabajo colaborativo, claro, metódico y organizado
6.
Presentan su producto terminado en el tiempo establecido por el facilitador. 10
3.
4.
Puntaje
NO
20
20
20
10
Calificación
Aspectos para mejorar:
Firma
225
PM2-SA4-EP04
CUESTIONARIO TIPO PLANEA SA 4
Indicaciones Lee cuidadosamente cada reactivo e individualmente elige la opción de respuesta
correcta
1.- ¿Cuál representa una función lineal?
a) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏𝟓
b) 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏
c) 𝒇(𝒙) = −𝟑
d) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟒
2.- De acuerdo con los datos de la gráfica, una ecuación de la recta L es
3
a) 𝑦 = 4 𝑥 − 4
3
b) 𝑦 = 4 𝑥 + 3
4
3
4
𝑦 = −3𝑥 + 3
c) 𝑦 = − 𝑥 − 4
d)
3.- ¿Qué gráfica obtienes de la función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3?
a) Línea recta
b) Círculo
c) Parábola
d) Elipse
4.- De acuerdo con los datos de la gráfica, la ecuación de la función cuadrática es
a) 𝑦 = 𝑥 2 − 1
b) 𝑦 = 𝑥 2 − 2
c) 𝑦 = 𝑥 2 + 2
d) 𝑦 = 𝑥 2 + 1
226
5.- ¿Cuál es la solución del sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas?
𝑥 + 𝑦 = 10
{
𝑥−𝑦 =2
a) 𝑥 = 6, 𝑦 = 4
b) 𝑥 = 6, 𝑦 = −7
c) 𝑥 = 2, 𝑦 = 7
d) 𝑥 = 7, 𝑦 = −4
6.- ¿Cuál es la solución del sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas?
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −3
{ 3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 6
a) 𝑥 = 1, 𝑦 = −1, 𝑧 = 2
b) 𝑥 = 2, 𝑦 = −5, 𝑧 = 2
c) 𝑥 = 1, 𝑦 = −4, 𝑧 = 5
d) 𝑥 = 5, 𝑦 = −2, 𝑧 = 1
7.- El conjunto solución de la inecuación lineal 5𝑥 − 1 < 9 es:
a) (-∞,2)
b) ( 3, ∞)
c) (-∞, 4)
d) (5, ∞ )
8.- El conjunto solución de la inecuación lineal 3(𝑥 + 4) > 15 es:
a) (3, ∞ )
b) (-1, ∞)
c) (1, ∞)
d) (-3, ∞)
9.- Se considera como un método matemático para optimizar y es aplicable para producción y
distribución.
a) Teorema fundamental del calculo
b) Teorema fundamental de la programación lineal
c) Teorema de Bayes y Pitágoras
d) Teorema de los limites infinitos
10.- Es un ejemplo de una función con restricción de programación lineal.
a) 𝑥 + 𝑦 < 100
b) 𝑦 = 8𝑥 2
c) 𝑦 = 𝑥 2 + 1
d) 𝑦 = 𝑥 3 + 1
227
UAC:
PM2-SA4-MA04 Mapa de aprendizaje para evaluar las progresiones de la SA 4
Pensamiento Matemático II
Progresiones 12, 13, 14
Fecha:
Grupo:
Nombre
Turno:
Situación de aprendizaje 4: “El precio del huerto escolar”
Mapa de aprendizaje
1: Necesito ayuda
2: Puedo hacerlo solo
3: Puedo ayudar a otros
Nivel
Progresión de Aprendizaje
Que debo hacer para mejorar:
1 2 3
12.- Modelo situaciones y resuelvo problemas
significativos tanto de manera algebraica como
geométrica al aplicar propiedades básicas de
funciones lineales, cuadráticas y polinomiales.
13.- Resuelvo problemáticas provenientes de las
áreas del conocimiento que involucren la
resolución de sistemas de ecuaciones lineales y
considero una interpretación geométrica de estos
sistemas
14.- Modelo situaciones y resuelvo problemas en
los que se busca optimizar valores aplicando el
teorema fundamental de la programación lineal y
combinando elementos del lenguaje algebraico
que conciernen al estudio de desigualdades y
sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas.
Nombre y Firma del estudiante:
Firma del Facilitador
228
Referencias SA 4
Aguilar, A. (2009). Matemáticas simplificadas. México: Pearson educación.
Aguilar, A., Bravo, F. V., Cerón, M., Gallegos, H. A., Reyes, R. Aritmética (2009). Pearson Educación.
Baldor, A. (2019). Aritmética. Grupo Editorial Patria.
Rosell, A. C. (s.f.). UN E EMPLO DE PROFUNDIZACION EN LOS TRABAJOS PRACTICOS DE FISICA EN
TORNO A LA CAIDA LIBRE EN EL AIRE. Enseñanza de las ciencias , 38-41.
Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable . Cengage Learning.
Larson, R. y Falvo, D. (2015) . Fundamentos del Álgebra Lineal (7ma. ed.). México: Cengage Learning,
Inc.
Pita Ruiz, C. (1991). Álgebra Lineal. México: McGraw-Hill
Tonzar, V. (s.f.). Tiro parabólico . Instituto Educativo Privado Nº 1, Resistencia, Chaco, 8.
Osorio Lama, María Auxilio, and John N. Hooker. "Programación lineal mixta-lógica." Ingeniería
Investigación y Tecnología 1, no. 1 (enero, 1998).
229
HIMNO COLEGIO
Oh Colegio de bachilleres impetuosa y querida
institución casa fiel del conocimiento
hoy te canto este himno con amor,
eres rayo de esperanza del mañana
eres la voz de la verdad
Oh colegio de bachilleres eres
luz en medio de la oscuridad
//Colegio de bachilleres conducta
clara y firme decisión
Colegio de bachilleres tu misión
para siempre es ser mejor//
En Tabasco se ha sembrado
la semilla que un día germinara,
el impulso de la vida modernista
en progreso de toda la sociedad,
es tu memorable historia gran
orgullo para toda la región,
educación que genera
cambio ejemplo digno
en cada generación.
230
PORRA INSTITUCIONAL
231
COBACHITO
232
“La inteligencia consiste no solo
en el conocimiento, sino también
en la destreza de aplicar los
conocimientos en la práctica”.
Aristóteles.
Pensamiento Matemático II
233