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Análisis Matemático 1
ARMANDO VENERO – ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 – SEGUNDA EDICIÓN – CAPÍTULO
1 – RELACIONES– PAGINA 23
PROBLEMA 1
Demuestre que: ( A – B ) x C = ( A x C ) – ( B x C).
SOLUCIÓN 1
(A – B) x C = (A x C) – (B x C)
(x,y) Є A x C ᴧ (x,y) Ɇ B x C …… (1)
E
Simplificación de “E”
E ≡ (x,y) Ɇ B x C ≡ (xЄB ᴧ yɆC)ν(xɆB ᴧ yЄC)ν(xɆBνyɆC)
(xɆB ᴧ yЄC) ν xɆB ν yɆC
≡ (xЄB ᴧ yɆC) ν
xɆB
≡ (xЄB ᴧ yɆC) ν
yɆB
ν
≡
ν
xɆB
yɆC
v
yɆC
xɆB
En (1):
(A – B) x C
= (A x C) – (B x C)
= (x,y) Є A x C ᴧ (yɆC v xɆB )
= x Є A ᴧ y Є C ᴧ (yɆC v xɆB)
=xЄA ᴧyЄC
ᴧ
xɆB
= x Є A ᴧ xɆB ᴧ y Є C
= x Є (A-B) ᴧ y Є C
= x Є (A-B) x C (Lo que se quería demostrar)
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Pág. 1
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 2
¿Cuántos elementos tiene A x B si A = {x ∈ ℤ/ - 12 < x + 6 < 20} y B = {x ∈ ℤ / 10 < 𝑥 2 < 400}?
SOLUCIÓN 2
n(A x B)=?
A = {x
ℤ/ - 12 < x + 6 < 20}
– 12 < x + 6 < 20
– 18 < x < 14
A = {-17, -16, -15, -14,…………,13}
n(A) = 31
B = {x
ℤ/ 10 < x2 < 400}
X = ±4; ±5; ±6;………..; ±19
n (B)=32
n(A x B)= n(A)x n(B) = 992
PROBLEMA 3
Halle por extensión el conjunto
M = {(s , t ) ∈ ℝ x ℝ / (s2 + 3s , t2 – 7t) = (-2 ,-12)}
SOLUCIÓN 3
(s, t )
(
ℝxℝ⇒S
+ 3s;
ℝ; t
– 7t) = (-2 ; -12)
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ℝ
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Análisis Matemático 1
+ 3s= -2 ;
– 7t = -12
+ 3s + 2 = 0 ;
– 7t + 12 = 0
(s +2) (s +1) = 0 ;
(t-4)(t+3)= 0
S=-2 ó -1
t=4ó3
M = { (-2,4) (-2,3) (-1,4) (-1,3)}
PROBLEMA 4
En A = {1, 2, 3, 4, 5} se define la relación ℛ:
ℛ = {(1,1), (2,2), (3,3), (5,1), (2,4), (5,4), (5,2), (4,3), (3,5)}.
Si :
M =
{ x ∈ A / (x,2) ∈ ℛ } , N = { y ∈ A/(3,y) ∈ ℛ }
P = {x ∈ A / (x,5) ∉ ℛ } , halle: (M ∪ N) – P.
SOLUCIÓN 4
A = {1, 2, 3, 4, 5}
ℛ = {(1,1), (2,2), (3,3), (5,1), (2,4), (5,4), (5,2), (4,3), (3,5)}.
M={x
A / (x,2)
M={2;5}
N={y
A / (3, y)
N = { 3 , 5}
P = {x
ℛ}
ℛ}
A (x , 5) ∉ ℛ }
P = {1, 2 , 4 , 5}
M
N = {2, 3, 5}
(M
N) – P = {3}
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Análisis Matemático 1
PROBLEMA 5
Si A= { 3, 4, 5, ,6 ,7, 8, 9, 10}, entonces dada la relación en A:
ℛ = { (x , y) / y es múltiplo de x , x ≠ y} ⊂ A x A.
Halle la suma de todos los elementos del dominio de ℛ.
SOLUCIÓN 5
ℛ = {(3, 6); (3, 9); (4 ,8); (5, 10)}
Dominio (ℛ) = {3, 4, 5}
3 + 4 + 5 =12
PROBLEMA 6
Demuestre que si A y B son conjuntos no vacíos y se cumple que (A x B) ∪ ( B x A) = C x C entonces
A = B = C.
SOLUCIÓN 6
A; B =
Demostración:
x
A;y
(A x B)
B
( B x A)
(x
A˄y
B ) ˅ (y
B˄x
A)
[(x
A˄y
B) ˅ y
B] ˄ [(x
A˄y
y
B ˄ x
A
x
A ˄ y
B
(x , y)
(A x B)
B) ˅ x
A]
(A x B)
( B x A) = C x C
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Análisis Matemático 1
AxB=CxC
A=C˄B=C
Entonces A = B = C
PROBLEMA 7
Dadas las relaciones en Z: ℛ 1 = {(x , y) / x2 – 2y = 3} y ℛ 2 = {(x , y) / x > y ˅ x < y}, halle ℛ 1 – ℛ 2 .
SOLUCIÓN 7
= {(x, y) / x2 – 2y = 3}
x
ℤ;y
-2y=3
ℤ
y=
h=-
=0
k=
- =-
v (0 ; - )
Y = -1, 0, 1, 2,……………..
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Análisis Matemático 1
x
1
-1
3
-3
5
-5
7
-7
……
y
-1
-1
3
3
11
11
23
23
…..
= {(1, -1) ; (-1, -1); (3, 3); (-3, 3); (5, 11); (-5 , 11); (7, 23); (-7, 23);……………}
= {(x , y) / x > y ˅ x < y}
ℤ;y
x
= {(x, y)
–
ℤ
ℤxℤ/x
y}
= {(-1, -1); (3, 3)}
PROBLEMA 8
Dado el Universo U = {1, 2, 3, 4}, y las relaciones en U:
ℛ 1 = { (x , y)/ x = y} ,
ℛ 2 = { (x , y)/ y = 3},
ℛ 3 = { (x , y) / y ≥ x},
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Análisis Matemático 1
Halle ℛ 3 – ( ℛ 1 ∪ ℛ 2 ).
SOLUCIÓN 8
U = {1, 2, 3, 4}
= {(x, y)/ x = y}
= {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4)}
= {(x, y)/ y = 3}
= {(1, 3); (2, 3); (3, 3); (4, 3)}
= {(x, y) / y
x}
= (1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4)
(2, 2); (2, 3); (2, 4)
(3, 3); (3, 4)
(4, 4)
= (1, 1); (1, 3)
(2, 2); (2, 3)
(3, 3)
(4, 3); (4 , 4)
(
)=
(1, 2); (1, 4)
(2, 4); (3, 4)
PROBLEMA 9
Dados los conjuntos A = { x ∈ ℕ / x < 3} , B = { x ∈ ℕ / x
par, x ≤ 6}
es par y
x < 5}, C = { x ∈ ℕ / x es im-
Halle (A ∩ B) X (C – A).
SOLUCIÓN 9
A = {x
ℕ / x < 3}
A = {1, 2}
B = {x ℕ / x es par y x < 5}
B = {2, 4}
C = {x ℕ / x es impar, x
6}
C = {1, 3, 5}
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Análisis Matemático 1
A
B = {2}
C – A = {3; 5}
(A B) X (C – A) = {(2, 3); (2, 5)}
PROBLEMA 10
Sea A = ℤ. En A definimos la relación T mediante la condición:
(x , y) ∈ T ↔ x – y es divisible por 5.
¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?
a) (x , y) ∈ T → (y , x) ∈ T
c) (2 , 17) ∈ T
b) (x , 4) ∈ T → x es múltiplo de 5.
d) (7n, -8n) ∈ T , ∀ n ∈ Z.
SOLUCIÓN 10
a) (x, y)
T
(y, x)
T (VERDADERO)
x–y=5̊
-(y - x) = 5 ̊
y–x=-5̊
y–x=5̊
(Y, x)
T (VERDADERO)
b) (x, 4)
T
x es múltiplo de 5
x–4=5̊
x=5̊+4
5
x=9
5̊
No se cumple que x es múltiplo de 5 (FALSO)
c) (2, 17)
T
2– 17 = 5 ̊
- 15 = 5 ̊
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Análisis Matemático 1
Se cumple (VERDADERO)
c) (7n, -8n) T ,
n
Z
7n – (-8n) = 5 ̊
15n = 5 ̊
5 ̊= 5 ̊
Se cumple (VERDADERO)
PROBLEMA 11
Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5,`y ℛ 1 = { (x ,y) / x < y , ℛ 2 = { (x , y) / x + y = 5} dos relaciones en U. Halle el
Número de elementos de la relación ( ℛ 1 ∪ ℛ 2 ).
SOLUCION 11
U = {1, 2, 3, 4, 5}
= (1, 2); (1,3); (1, 4); (1, 5)
(2, 3); (2, 4); (2, 5)
(3, 4); (3, 5)
(4, 5)
= { (1, 4); (2, 3); (3, 2); (4, 1)}
= (1, 2); (1,3); (1, 4); (1, 5)
(2, 3); (2, 4); (2, 5)
(3, 2); (3, 4); (3, 5)
(4, 1); (4, 5)
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Análisis Matemático 1
PROBLEMA 12
Si A= { (x , y) / (𝑥 2 + 3x, 𝑦 2 + 3y – 2 ) = (-2 , 2x)} ⊂ ℤ x ℤ,
B = { (x , y) / y = x, x ∈ ℤ} , halle: A – B.
SOLUCION 12
;
;
v
Cuando
:
v
Soluciones:
Cuando
:
v
Soluciones:
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Análisis Matemático 1
∴ A = {(-2, -2); (-2, -1); (-1, 0); (-1, -3)}
A – B = {(-2, -1); (-1, 0); (-1, -3)}
PROBLEMA 13
Dado el conjunto A = [1, 8] ∩ ℤ, se define la relación ℛ en A como:
(a , b) ∈ ℛ ↔ a es divisor de b. Halle n(ℛ).
SOLUCION 13
A = [1; 8] ∩ ℤ
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Relación ℛ en A
(a, b) ∈ ℝ → a ∈ A ; b ∈ A
“a es divisor de b”
(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); (1, 7); (1, 8)
⎧( ) ( ) ( ) ( )
⎫
2, 2 ; 2, 4 ; 2, 6 ; 2, 8
⎪
⎪
⎪ (3, 3); (3, 6)
⎪
⎪
⎪
(4, 4); (4, 8)
ℛ =
⎨ (5, 5)
⎬
(
)
6,
6
⎪
⎪
⎪( )
⎪
⎪ 7, 7
⎪
(
)
⎩ 8, 8
⎭
n (ℛ) = 20
PROBLEMA 14
Sean:
A = { a, b, c} , B = { a, b, d, e} , ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto (A x B) – ( B x A)?
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Análisis Matemático 1
SOLUCION 14
A = {a, b, c}
B = {a, b, d, e}
(a, a); (a, b); (a, d); (a, e)
A × B = � (b, a); (b, b); (b, d); (b, e)�
(c, a); (c, b); (c, d); (c, e)
(a, a); (a, b); (a, c)
(b, a); (b, b); (b, c)
B × A�
�
(d, a); (d, b); (d, c)
(e, a); (e, b); (e, c)
(a, d); (a, e)
�
(A x B) – (B x A) = � (b, d); (b, e)
(c, a); (c, b); (c, d); (c, e)
n [(A x B) – (B x A)] = 8
Número de subconjuntos =
=
PROBLEMA 15
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?:
a) A ⊂ A x A, ∀ conjunto A
b) A x B ⊂ (A x B) ∪ C
c) (A x B ) ∪ (C x D) = (A ∪ C) x (B ∪ D)
d) (A – B) x (C – D) = (A x C) ∩ (B’ x D’)
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Análisis Matemático 1
SOLUCION 15
a) A ⊂ A x A , ⩝ conjunto A (FALSO)
A x A es un conjunto de pares ordenados.
A no es un conjunto de pares ordenados.
b) A x B ⊂ (A x B) ⋃ C (VERDADERO)
(x , y) ∈ A x B → (x , y) ∈ [(A x B) ⋃ C]
c) (A x B) ⋃ ( C x D) = (A ⋃ C) x (B ⋃ D)
(FALSO)
(x, y) ∈ (A x B) ˅ (x, y) ∈ (C x D)
(x ∈ A ˄ y ∈ B) ˅ (x ∈ C ˄ y ∈ D)
[(x ∈ A ˄ y ∈ B) ˅ x ∈ C] ˄ [(x ∈ A ˄ y ∈ B) ˅ y ∈ D]
[(x ∈ A ˅ x ∈ C ) ˄ (x ∈ C ˅ y ∈ B )] ˄ [(x ∈ A ˅ y ∈ D) ˄ (y ∈ B ˅ y ∈ D)]
[x ∈ (A ⋃ C) ˄ (x ∈ C ˅ y ∈ B)] ˄ [(x ∈ A ˅ y ∈ D) ˄ y ∈ (B ⋃ D)]
x ∈ (A ⋃ C) ˄ y ∈ (B ⋃ D) ˄ (x ∈ C ˅ y ∈ B) ˄ (x ∈ A ˅ y ∈ D)
(x, y) ∈ [(A ⋃ C) x (B ⋃ D)] ˄ (x ∈ C ˅ y ∈ B) ˄ (x ∈ A ˅ y ∈ D) ≠ (A ⋃ C) x (B ⋃ D)
d) (A - B) x (C - D) = (A x C) ∩ (B’ x D’)
(VERDADERO)
(x, y) ∈ (A - B) x (C - D)
x ∈ (A - B) ˄ y ∈ (C - D)
x∈A˄x∉B˄y∈C˄y∉D
(x ∈ A ˄ y ∈ C ) ˄ (x ∉ B ˄ y ∉ D)
(x ∈ A ˄ y ∈ C ) ˄ (x ∈ B’ ˄ y ∈ D’)
(x, y) ∈ (A x C) ˄ (x, y) ∈ (B’ x D’)
(x, y) ∈ (A x C) ∩ (B’ x D’)
PROBLEMA 16
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Análisis Matemático 1
Si A = { x ∈ ℕ/ x = (2k - 1)/3, k ∈ ℕ}, B = { x ∈ ℕ/ x 2 +1 ≤ 12}.
Halle: (A ∩ B) x (B – A).
SOLUCION 16
A = {x ∈ ℕ / x = (2k – 1)/3 ; k ∈ ℕ}
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…….
……
x
-1/3
1/3
1∈ℕ
5/3
7/3
3∈ℕ
11/3
13/3
5∈ℕ
A = { 1, 3, 5, ………}
B = {x ∈ ℕ /
}
x = 1, 2, 3
B = { 1, 2, 3}
A ∩ B = {1, 3}
B – A = {2}
(A ∩ B) x (B - A) = (1, 2)
(3, 2)
PROBLEMA 17
Dados A = {1, 2, 3, 4} y la relación en A definida por:
ℛ = { (x , y) / x = y ˅ x + y = 3}, ¿Cuáles son verdaderas?:
a) (a , a) ∈ ℛ , ∀ a ∈ ℛ
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Análisis Matemático 1
b) (a , b) ∈ ℛ ⇒ (b ,a )∈ ℛ, ∀ (a, b)∈ ℛ )
c) (a , b) ∈ ℛ ˄ (b , c) ∈ ℛ ⇒ (a , c)∈ ℛ.
Indicar además si ℛ es o no una relación de equivalencia.
SOLUCION 17
A = {1, 2, 3, 4}
ℛ = {(x, y)/ x = y ˅ x + y = 3}
ℛ = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4); (1, 2); (2, 1)}
a) (a, a) ∈ ℛ , ⩝ a ∈ A (VERDADERO)
(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4) ∈ ℛ
b) (a, b) ∈ ℛ → (b, a) ∈ ℛ , ⩝ (a, b) ∈ ℛ (VERDADERO)
(1, 1) ∈ ℛ → (1, 1) ∈ ℛ
(2, 2) ∈ ℛ → (2, 2) ∈ ℛ
(3, 3) ∈ ℛ → (3, 3) ∈ ℛ
(4, 4) ∈ ℛ → (4, 4) ∈ ℛ
(1, 2) ∈ ℛ → (2, 1) ∈ ℛ
(2, 1) ∈ ℛ → (1, 2) ∈ ℛ
c) (a, b) ∈ ℛ ˄ (b, c) ∈ ℛ → (a, c) ∈ ℛ (VERDADERO)
(1, 1) ∈ ℛ ˄ (1, 2) ∈ ℛ → (1, 2) ∈ ℛ
(2, 2) ∈ ℛ ˄ (2, 1) ∈ ℛ → (2, 1) ∈ ℛ
(2, 1) ∈ ℛ ˄ (1, 1) ∈ ℛ → (2, 1) ∈ ℛ
∴ ℛ es una relación de equivalencia.
PROBLEMA 18
En A = { 1, 2, 4, 6, 8} se define ℛ = { (x, y) / 3 es divisor de x + y}
Halle la suma de todos los elementos del rango de la relación ℛ.
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Análisis Matemático 1
SOLUCION 18
A = { 1, 2, 4, 6, 8}
x∈A ; y∈A
x
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
6
6
6
6
6
8
8
8
8
8
y
1
2
4
6
8
1
2
4
6
8
1
2
4
6
8
1
2
4
6
8
1
2
4
6
8
x+y
2
3
5
7
9
3
4
6
8
10
5
6
8
10
12
7
8
10
12
14
9
10
12
14
16
ℛ = {(1, 2); (1, 8); (2, 1); (2, 4); (4, 2); (4, 8); (6, 6); (8, 1); (8, 4)}
Suma de todos los elementos del rango:
2 + 8 + 1 + 4 + 2 + 8 + 6 + 1 + 4 = 36
PROBLEMA 19
En A = { -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2} se define ℛ = { (x , y) / 𝑥 2 + x = 𝑦 2 + y}, halle la suma de todos los
elementos del dominio de ℛ.
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Análisis Matemático 1
SOLUCION 19
A = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2}
x∈ A; y∈ A
x (x + 1) = y (y +1)
x = 0: 0 = y (y + 1) →
y = 0 v y = -1
(0, 0); (0, -1)
x = 1: 2 = y (y + 1) →
y = -2 v y = 1
(1, -2); (1, 1)
x = 2: 6 = y (y + 1) →
y = 2 v y = -3
(2, 2); (2, 3)
x = -1: 0 = y (y + 1) →
y = 0 v y = -1
(-1, 0); (-1, -1)
x = -2: 2 = y (y + 1)
→
(-2, -2); (-2, 1)
x = -3: 6 = y (y + 1) →
y = 2 v y = -3
(-3, 2); (-3, -3)
x = -4: 12 = y (y + 1) →
y = -4 v y = 3
(-4, -4)
y = -2 v y = 1
∴ ℛ = {(0 , 0); (0 , -1); (1 , -2); (1 , 1); (2 , 2); (2 , -3); (-1 , 0); (-1 , -1); (-2, -2); (-2 , 1); (-3 , 2); (-3 , -3);
(-4 , -4)}
Dominio (ℛ) = {0, 1, 2, -1, -2, -3, -4}
Suma de elementos = 0+1+2-1-2-3-4 = -7
PROBLEMA 20
Dada la relación ℛ = { (x, y) ∈ ℝ x ℝ/ (|𝑥 − 1|=|𝑦 − 1|)},
a) ¿Es A una relación de equivalencia?. ¿Por qué?
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Análisis Matemático 1
Para cada x fijo, calcule 𝐴𝑥 = { y/(x, y)∈ ℛ}
SOLUCION 20
ℛ = {(x, y) ∈ ℝ x ℝ/ ⃓ x - 1⃓ = ⃓ y – 1⃓}
a) ⃓ x - 1⃓ = ⃓ y – 1⃓
x–1=y–1
˅
x–1=1–y
x=y
˅
x+y=2
Reflexividad de la relación:
(x , y) ∈ ℝ x ℝ → x ∈ ℝ ˄ y x ℝ
(x , y) ∈ ℝ
Pero y = x
(x, x) ∈ ℝ x ℝ ⩝ x ∈ ℝ
∴ ℛ es reflexiva
Simetría de la relación:
(x , y) ∈ ℝ
x+y=2
y + x = 2 → (y, x) ∈ ℝ
∴ ℛ es simétrica
Transitividad de la relación:
(a, b) ∈ ℝ ˄ (b, c) ∈ ℝ → (a, c) ∈ ℝ
(a, b) ∈ ℝ → a + b = 2 …….. (1)
(b, c) ∈ ℝ → b + c = 2 …….. (2)
(1) a = 2 – b
(2) c = 2 – b
Luego:
a=c
Se cumple (a, c) ∈ ℝ
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Análisis Matemático 1
∴ ℛ es transitiva
ℛ es una relación de equivalencia
b) x constante. x = c
= {y / (c, y) ∈ ℝ}
(c , y) ∈ ℝ → y = c v y = 2 – c
∴
= { c, 2 – c} ⩝ c ∈ ℝ
PROBLEMA 21
Si U es el conjunto de triángulos en el plano ℝ x ℝ y si S es la relación definida en U por la regla: (x
, y) ∈ S si y sólo si x es semejante a y, demuestre que S es una relación de equivalencia.
SOLUCION 21
Reflexividad de S:
x∈T
T: conjunto de triángulos
(x, x) ∈ S verdadero ya que todo triángulo es semejante a si mismo.
S es reflexivo
Simetría de S:
x∈T ;y∈T
(x, y) ∈ S → (y , x) ∈ S Verdadero porque la semejanza de triángulos es simétrico.
S es simétrico
Transitividad de S:
x∈T ;y∈T ;z∈T
(x, y) ∈ S → (y , z) ∈ S → (x, z) ∈ S
Verdadero porque si los triángulos “x” e “y” son semejantes y los triángulos “y” y “z” son semejantes entonces los triángulos “x” y “z” son semejantes ya que los
son con “y”.
∴ S es una relación de equivalencia.
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Pág. 19
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 22
Una relación ℛ en un conjunto A se llama ANTISIMÉTRICA si cumple que:
(a, b) ∈ ℛ ˄ (b , a) ∈ ℛ ⇒ a = b (*)
Demuestre que son antisimétricas las siguientes relaciones definidas en ℤ:
ℛ1 = { (x ,y)/ x ≤ y } y ℛ2 = { (x , y) / x < y}.
SUG: En ℛ2 : “(x , y) ∈ ℛ y (x , y) ∈ ℛ” es FALSO pues “ x < y ⋀ y < x” es absurdo. Luego, (*) es
VERDADERA.
SOLUCION 22
= { (x, y) / x ≤ y}
Caso 1:
(a, b) ∈ ℝ ˄ (b, a) ∈ ℝ → a = b
(1, 2) ∈ ℝ ˄ (2, 1) ∈ ℝ
V
˄
F
F
Si el antecedente es falso, entonces la proposición:
(a, b) ∈ ℝ ˄ (b, a) ∈ ℝ → a = b es (FALSO)
Caso 2:
(a, b) ∈ ℝ ˄ (b, a) ∈ ℝ → a = b
(1, 1) ∈ ℝ ˄ (1, 1) ∈ ℝ
V
V
˄
V
→
V ≡V
∴ (a, b) ∈ ℝ ˄ (b, a) ∈ ℝ → a = b es (VERDADER)
PROBLEMA 23
Si ℛ y S son dos relaciones REFLEXIVAS definidas en un conjunto A, ¿Cuáles son verdaderas?:
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Pág. 20
Análisis Matemático 1
a) ℛ ∪ S es reflexiva,
b) ℛ ∩ S es reflexiva,
c) (ℛ ∪ S ) ∩( ℛ ∩ S) es reflexiva.
SOLUCION 23
R , reflexiva en A
S , reflexiva en A
a) R ⋃ S es reflexiva
x∈A
(x, x) ∈ R ; (x, x) ∈ S ⩝ x ∈ A
(x, x) ∈ (R ⋃ S)
∴ R ⋃ S es reflexivo
b) R ∩ S es reflexiva
(x, x) ∈ R ∩ S
∴ R ∩ S es reflexivo
c) (R ⋃ S) ∩ (R ∩ S) es reflexivo
(R ⋃ S) ∩ R ∩ S
R ∩ S es reflexivo
∴ (R ⋃ S) ∩ (R ∩ S) es reflexivo
PROBLEMA 24
En A = { 1, 2, 4, 6, 8} se define la relación ℛ = {(x , y) / 3 es divisor de x + y} . ¿Cuáles son verdaderas?
a) ℛ es reflexiva,
b) ℛ es simétrica,
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c) ℛ es transitiva,
d) ℛ tiene 9 elementos.
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Pág. 21
Análisis Matemático 1
SOLUCION 24
A = {1, 2, 4, 6, 8}
ℛ = {(x, y)/ 3 es divisor de x + y}
ℛ = {(1, 2); (1, 8); (2, 1); (2, 4); (4, 2); (4, 8); (6, 6); (8, 1); (8, 4)}
a) ℛ es reflexiva (FALSO)
1 ∈ A (1, 1) ∉ ℛ
b) ℛ es simétrica (VERDADERO)
(1, 2) ∈ ℛ
(1, 8) ∈ ℛ
(2, 4) ∈ ℛ
(4, 8) ∈ ℛ
(6, 6) ∈ ℛ
→ (2, 1) ∈ ℛ
→ (8, 1) ∈ ℛ
→ (4, 2) ∈ ℛ
→ (8, 4) ∈ ℛ
→ (6, 6) ∈ ℛ
c) ℛ es transitiva (FALSO)
(1, 2) ∈ ℛ ˄ (2, 1) ∈ ℛ → (1, 1) ∈ ℛ
No se cumple
d) ℛ tiene 9 elementos (VERDADERO)
n (ℛ) = 9
ARMANDO VENERO – ANALISIS MATEMATICO 1 – SEGUNDA EDICION – CAPITULO
1 – RELACIONES– PAG.50
PROBLEMA 1
Grafique la relación 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 / |𝑥 − 1| = |𝑦 − 1| }
SOLUCION 1
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Pág. 22
Análisis Matemático 1
v
v
x
0
2
y
2
0
Gráfica de R:
PROBLEMA 2
Grafique e indique el dominio de la relación:
SOLUCION 2
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Pág. 23
Análisis Matemático 1
Punto crítico:
x–4=0
x=4
Caso 1:
x≥4
Caso 2:
x<4
Dominio de
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Pág. 24
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 3
Grafique e indique el dominio y el rango de la relación
SOLUCION 3
Caso 1:
V(0, 0)
x
-1
1
y
1
1
Caso 2:
V(0, 0)
x y
-1 -1
1 -1
Caso 1:
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Pág. 25
Análisis Matemático 1
Caso 2:
x
1
2
y
-1
-2
Interceptos:
(0, 0) (1, 1)
=0
(0, 0) (-1, -1)
(0, 0) (-1, 1)
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Pág. 26
Análisis Matemático 1
(0, 0) (1, -1)
Gráfica de S:
Dominio = < 0, 1 >
Rango = < -1, 1 > - {0}
PROBLEMA 4
Grafique la región S indicando su dominio y rango:
SOLUCION 4
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Pág. 27
Análisis Matemático 1
Caso 1:
Caso 2:
Gráfica de S:
Dominio = [-3, 3]
Rango = [-3, 3]
PROBLEMA 5
Grafique la región definida por la relación:
SOLUCION 5
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Pág. 28
Análisis Matemático 1
•
Caso 1:
V(0, 0)
x
1
-1
y
1
1
Caso 2:
V(0, 0)
x
1
-1
y
-1
-1
•
Caso 1:
Caso 2:
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Pág. 29
Análisis Matemático 1
Dominio = [-1, 1]
Rango = [-1, 1]
PROBLEMA 6
Grafique la región determinada por la relación
, para la relación S del problema anterior.
SUG.- Utilice la recta y = x como espejo doble
SOLUCION 6
PROBLEMA 7
Grafique la región definida por la relación inversa
donde
SUG.-
SOLUCION 7
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Pág. 30
Análisis Matemático 1
La gráfica de S es el segundo cuadrante más el semieje positivo “y” con el lado derecho de la parábola.
La gráfica de
PROBLEMA 8
Halle la pendiente de la recta que pasa por los puntos:
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Pág. 31
Análisis Matemático 1
a) (2, 1) y (3, 4)
b) (6, -3) y (-2, 1)
c) (0, 1) y (1, 0)
SOLUCION 8
a) (2, 1) y (3, 4)
b) (6, -3) y (-2, 1)
c) (0, 1) y (1, 0)
PROBLEMA 9
Encuentre el valor de las pendientes de las rectas que son bisectrices entre las rectas
y el
EJE X.
SUG.-
donde
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= (Pendiente de
)
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Pág. 32
Análisis Matemático 1
, y despeje
SOLUCION 9
Son 2 bisectrices:
Pendiente de y = x
Pendiente de
Cálculo de
:
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Pág. 33
Análisis Matemático 1
Luego:
Pendiente de
:
Las pendientes de las rectas que son bisectrices entre las rectas
⋀ el EJE X son:
PROBLEMA 10
Una recta con pendiente negativa pasa por (-1, 1) y dista
unidades del punto A = (4, 1). Halle el
valor de su pendiente y la ecuación de dicha recta.
SOLUCION
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10
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Pág. 34
Análisis Matemático 1
Ecuación de
Ecuación de :
Ecuación de la recta
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Pág. 35
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 11
Sea P = (a, b) un punto del plano tal que se la recta OP que lo une con el origen tiene pendiente -3
y la recta MP trazada por los puntos P y M = (3, 1) tiene pendiente 2. Halle el valor de a + b.
SOLUCION 11
a+b=?
P; M ∈
, luego:
O; P ∈
, luego:
(2) en (1):
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Pág. 36
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 12
Halle las ecuaciones de las rectas
es paralela a
y
que pasan por (5, 6) y tales que:
,y
es perpendicular a
SOLUCION 12
Recta
Luego:
Recta 3
Luego:
Ecuación de
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Pág. 37
Análisis Matemático 1
Ecuación de
PROBLEMA 13
Halle el ángulo obtuso
que forman las rectas
con pendiente k y la recta
con pendiente (k -
1) / (k + 1).
SUG.- Halle
, con valor negativo.
SOLUCION 13
Obtuso?
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Análisis Matemático 1
PROBLEMA 14
Una recta cuya ordenada en el origen es tres veces la de
veces la de
(en el origen) es dos
, forma un triángulo en el primer cuadrante con los ejes coordena-
dos. Halle su área.
SOLUCION 14
El problema debe enunciar así:
Una recta cuya ordenada en el origen es 3 veces la de
es 2 veces la de
y cuya abscisa en el origen
, forma un triángulo en el primer cuadrante con los ejes coor-
denados. Halle su área.
Ordenada en el origen (b):
Abscisa en el origen (a):
y-2x+6=0
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Pág. 39
Análisis Matemático 1
Gráfica de la recta:
PROBLEMA 15
Halle la ecuación de la recta
que pasa por el origen de coordenadas sabiendo que la longitud de
su segmento comprendido entre las rectas
y
es
Se sabe además que la recta no pasa por el segundo cuadrante
SOLUCION 15
Grafica de las rectas:
x
y
0
5
-5/2 0
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Pág. 40
x
y
0
10
Análisis
Matemático 1
-5
0
Distancia
:
(1) – (2):
(3):
(4):
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Pág. 41
Análisis Matemático 1
(5) en (4)
ya que
Ecuación de la recta :
PROBLEMA 16
Dada la familia de rectas
, halle la tangente del ángulo agudo entre las dos rec-
tas de la familia que pasa por (1, -8).
SOLUCION 16
Familia
Luego:
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Pág. 42
Análisis Matemático 1
Ecuaciones de las rectas:
Sea , el ángulo entre
PROBLEMA 17
La ecuación
representa una familia de rectas que pasan todas por
un mismo punto. Halle las coordenadas de este punto.
SOLUCION 17
Familia:
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Pág. 43
Análisis Matemático 1
P ∈ familia. Luego:
Haciendo
Haciendo
P (-2, 4)
PROBLEMA 18
Una recta que pasa por el origen corta las rectas
y
en los puntos A y B res-
pectivamente. Si el origen es punto medio del segmento AB, halle la abscisa del punto A.
SOLUCION 18
x
0
3
y
-3
0
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Pág. 44
x
y
0 Matemático
4
Análisis
1
-2 0
O, es punto medio de
(3):
(2) – (1):
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Pág. 45
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 19
Entre las rectas que pasan por A = (3, 0) halle una manera que el segmento comprendido entre las
rectas
y
sea dividido por la mitad por el punto A.
SOLUCION 19
x
0
1
y
-2
0
A es
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x
0
-3
y
-3
0
punto medio de
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Pág. 46
Análisis Matemático 1
Punto
Ecuación de recta
PROBLEMA 20
Uno de los vértices de un triángulo es A = (3, -1) y las ecuaciones de la bisectriz y de la mediana
trazadas desde vértices diferentes son respectivamente
y
.
Halle la pendiente del lado que contiene al vértice A y al vértice que se encuentra en la bisectriz.
SOLUCION 20
Bisectriz
x
2
-10
Mediana
y
3
0
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Pág. 47
x
y
0
5.9
Análisis
Matemático 1
9.8
0
(1) y (2):
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Pág. 48
Análisis Matemático 1
B (10; 5)
PROBLEMA 21
Halle la gráfica de las relaciones determinadas por las ecuaciones
a)
,
b)
.
SOLUCION 21
a)
Punto crítico:
Caso 1:
Dominio =
Caso 2:
Dominio =
Gráfica:
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Pág. 49
Análisis Matemático 1
b)
Punto crítico:
Caso 1:
Dominio =
Caso 2:
Dominio =
x
0
1
0
y
2
0
-2
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Pág. 50
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 22
Una recta
con pendiente positiva pasa por A = (1, -2) y forma con las rectas
y
un triángulo isósceles cuyos lados iguales están sobre las rectas dadas. Halle la
ecuación de .
SOLUCION 22
x
2
-2
y
-1
2
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x
-1
2
y
1
-3
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Pág. 51
Análisis Matemático 1
ΔPQR: Triángulo formado por la recta y las rectas
PQ = PR
PH: Altura del lado desigual
y
.
. Pendiente de
Planteo:
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Pág. 52
Análisis Matemático 1
Ecuación de la recta
PROBLEMA 23
hasta llegar al espejo cuya ecuación es
Un rayo de luz corre a lo largo de la recta
en el cual se refleja. Halle la ecuación de la recta
en la que el rayo reflejado se
encuentra.
SOLUCION 23
Rayo de luz incidente: 𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0
Espejo: 3𝑥 − 2𝑦 + 7 = 0
Rayo reflejado: ?
Gráficas:
𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0
x
-5
5
y
0
5
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3𝑥 − 2𝑦 + 7 = 0
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Pág. 53
Análisis Matemático 1
Intercepto espejo-rayo incidente:
𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0 … . . (1)
3𝑥 − 2𝑦 + 7 = 0 … . . (2)
(2) – (1):
2𝑥 + 2 = 0
En (1):
𝑥 = −1
−1 − 2𝑦 + 5 = 0
𝑦=2
(-1, 2) ∈ Rayo reflejado
Pendiente de la normal (𝑚𝑁 )
Espejo: 3𝑥 − 2𝑦 + 7 = 0 … . . (2) → 𝑚𝐸 = −
𝑚𝑁 = −
Planteo:
2
3
−2
= 3/2
3
α : Ángulo formado por rayo incidente y normal o ángulo formado por rayo reflejado y normal.
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Pág. 54
Análisis Matemático 1
tan 𝛼 = tan 𝛼 ; m pendiente rayo reflejado.
2
2
1
− (− 3)
−3 −𝑚
2
=
1
2
2
1 + �2� �− 3� 1 + �− 3� 𝑚
1 2
2
2+3 = 𝑚+3
1 2
1−3
𝑚−1
3
2
𝑚+3
7
=
4 2𝑚 −1
3
14𝑚
1
− 7 = 4𝑚 +
3
3
14𝑚 − 21 = 12𝑚 + 8
2𝑚 = 29
𝑚 = 29/2
Ecuación de la recta ⃡
𝐿:
𝑦−2=
𝑦−2=
29
�𝑥 − (−1)�
2
29
(𝑥 + 1)
2
2𝑦 − 4 = 29𝑥 + 29
29𝑥 − 2𝑦 + 33 = 0
PROBLEMA 24
Halle la gráfica de la relación A ∩ B donde:
,
.
SOLUCION 24
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Pág. 55
Análisis Matemático 1
:
(Rectas paralelas)
x
1
0
y
0
-1
x
0
-1
y
1
0
1 ≤×≤3
A ∩ B es el paralelogramo ABCD, donde:
A (1; 2)
B (3; 4)
C (3; 2)
D (1; 0)
ARMANDO VENERO – ANALISIS MATEMATICO 1 – SEGUNDA EDICION – CAPITULO
1 – RELACIONES– PAG.71
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Pág. 56
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 1
Bosqueje las gráficas de:
a)
-8
b)
c)
SOLUCION 1
a)
Intercepto con el Eje X:
Intercepto con el Eje Y:
Bosquejo:
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Pág. 57
Análisis Matemático 1
b)
Intercepto con el Eje X:
Intercepto con el Eje Y:
Bosquejo:
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Pág. 58
Análisis Matemático 1
c)
Intercepto con el Eje X:
Intercepto con el Eje Y:
Bosquejo:
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Pág. 59
Análisis Matemático 1
d)
Intercepto con el Eje X:
Intercepto con el Eje Y:
Bosquejo:
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Pág. 60
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 2
Bosqueje las gráficas del PROBLEMA 1 cuando se reemplazan los segundos miembros por sus valores absolutos.
SOLUCION 2
a)
Caso 1:
Puntos críticos:
(Dominio)
Caso 2:
Puntos críticos:
(Dominio)
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Pág. 61
Análisis Matemático 1
Bosquejo:
b)
Rango =
Caso 1:
Puntos críticos: 3.6; -1.6
Dominio = [-1.6; 3.6]
Caso 2:
0
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Pág. 62
Análisis Matemático 1
Dominio =
Bosquejo:
c)
Rango = [0; + ∞>
Caso 1:
Puntos críticos: 1; 5
Dominio =
Caso 2:
Dominio =
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Pág. 63
Análisis Matemático 1
Bosquejo:
d)
Rango =
Caso 1:
Puntos críticos: 1.6; -5.6
Dominio =
Caso 2:
Puntos críticos: 1.6; -5.6
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Análisis Matemático 1
Dominio =
Bosquejo:
PROBLEMA 3
Bosqueje las gráficas de:
a)
b)
c)
d)
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Análisis Matemático 1
SOLUCION 3
a)
Interceptos con el Eje X:
b)
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Pág. 66
Análisis Matemático 1
Interceptos con el Eje Y:
c)
2
Interceptos con
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el Eje X:
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Pág. 67
Análisis Matemático 1
d)
Interceptos con el Eje y:
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Pág. 68
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 4
Bosqueje las gráficas de: a)
. Grafique además (b), (c) y (d) del PROBLEMA 3 con
esta modificación.
SOLUCION 4
a)
Dominio = [0; +∞>
Caso 1:
Puntos críticos: 7.1 ᴠ -1.1
Rango =
Caso 2:
Rango =
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Pág. 69
Análisis Matemático 1
Bosquejo:
b)
Dominio= [0: +∞>
Casi 1:
Rango = [-1.6; 3.6]
Caso 2:
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Análisis Matemático 1
Rango =
Se cambia el signo de “x”
Bosquejo:
c)
Dominio =
Caso 1:
Puntos críticos: 1; 5
Rango =
Caso 2:
Rango =
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Pág. 71
Análisis Matemático 1
Intercepto con el Eje X:
Caso 1:
Caso 2:
Bosquejo:
d)
Dominio =
Caso 1:
Puntos críticos: -5.6; 1.6
Rango =
Caso 2:
Rango =
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Pág. 72
Análisis Matemático 1
Bosquejo:
PROBLEMA 5
Bosqueje las gráficas de:
a)
b)
c)
d)
SOLUCION 5
a)
Determinan el sentido y el lado de la parábola
x
3
6
y
-1
-2
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Pág. 73
Análisis Matemático 1
Bosquejo:
b)
x
4
0
y
0
-2
Vértice (4; 0)
Bosquejo:
c)
Vértice (2; 3)
x
0
y
5
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Pág. 74
Análisis Matemático 1
Bosquejo:
d)
Vértice: (3; 4)
Intercepto con el Eje X:
(11; 0)
Bosquejo:
PROBLEMA 6
Bosqueje las gráficas del PROBLEMA 5 incluyendo el 2° miembro dentro de un valor absoluto.
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Pág. 75
Análisis Matemático 1
SOLUCION 6
a)
Tabulación:
x
3
y
1
Bosquejo:
b)
Vértice: (4; 0)
Tabulación:
x
0
y
2
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Pág. 76
Análisis Matemático 1
Bosquejo:
c)
Ya que
∴ La gráfica es idéntica o la misma que (5c)
d)
La gráfica de
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Pág. 77
Análisis Matemático 1
:
V (3; -4)
Tabulación:
x
11
Gráfica de
y
0
es gráfica de
:
PROBLEMA 7
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Pág. 78
Análisis Matemático 1
Bosqueje las gráficas de:
a)
d)
b)
e)
c)
f)
SOLUCION 7
a)
Circunferencia de centro:
(3; -2) y Radio = 5
Gráfica:
b)
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Pág. 79
Análisis Matemático 1
Circunferencia de centro C:
(-4; 2) y radio
Gráfica:
c)
Circunferencia del centro (-3 ; 1) y radio r = 3
Gráfica:
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Pág. 80
Análisis Matemático 1
d)
Circunferencia de centro C (0; 3) y radio r = 3.
e)
CASO 1:
→
Dominio =
Centro (1; 3) Radio r = 5
CASO 2:
→ Dominio =
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Pág. 81
Análisis Matemático 1
Centro (-1; 3) radio r = 5
Gráfica:
Satisfacen las ecuaciones (1) y (2).
Centro (-1; 1) radio r = 5
Gráfico:
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Pág. 82
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 8
Bosqueje las gráficas de:
a)
b)
c)
d)
SUG: Las gráficas corresponden a una de parte de cada gráfica del PROBLEMA 7: ¿a cuál?
SOLUCION 8
a)
Centro (3; -2 ) ; Radio r = 5
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Pág. 83
Análisis Matemático 1
b)
Centro (-4; 2) radio =
Esta gráfica es parte
(7b)
es parte de
c)
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Pág. 84
Análisis Matemático 1
Centro (-3; 1); radio = 3
Esta gráfica es
Parte de (7c)
d)
Centro (0; 3) ; radio = 3
Esta gráfica es
Parte de (7d)
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Pág. 85
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 9
Bosqueje las gráficas del PROBLEMA 8 incluyendo el lado derecho dentro de un valor absoluto.
SOLUCION 9
a)
Centro (3; 2); Radio = 5
b)
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Pág. 86
Análisis Matemático 1
Gráfica de
es igual que (8b)
Gráfica para
Centro (4; 2); radio =
c)
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Análisis Matemático 1
∴ La gráfica es igual que (8c)
d)
Centro (0; 3); radio = 3
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Análisis Matemático 1
PROBLEMA 10
Halle los puntos de intersección donde fuese posible de la circunferencia de radio 5 y centro en el
origen, con:
a) La recta
.
b) La recta que pasa por (2, 1) y (-1, 1).
c) La recta de pendiente –3/4 y que pasa por (3, 4).
d) La recta que pasa por (5, 3) y tiene pendiente –3/5.
SOLUCION 10
Ecuación de la circunferencia:
a) Recta:
Puntos de Intersección:
(2) en (1):
b) Ecuación de la Recta:
(2; 1); (-1; 1) ∈ L
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Pág. 89
Análisis Matemático 1
Puntos de intersección:
(2) en (1):
c) Ecuación de la recta:
(3; 4) ∈ L
Puntos de intersección:
(2) en (1):
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Pág. 90
Análisis Matemático 1
En (2):
Único punto de Intersección: (3; 4)
d) Recta:
Ecuación de la recta:
Puntos de la intersección:
(2) en (1):
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Pág. 91
Análisis Matemático 1
∴ No hay puntos de intersección.
PROBLEMA 11
La recta
es tangente a
La cuerda que va de
en
al punto
.
forma un ángulo con . Halle la tangente del ángulo
agudo.
SOLUCION 11
Gráfica del caso:
Circunferencia:
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r=1
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Análisis Matemático 1
PROBLEMA 12
Encuentre la suma de las coordenadas del punto de tangencia de la recta
cunferencia
con la cir-
.
SOLUCION 12
Suma de coordenadas del punto de tangencia = ?
Recta:
Circunferencia:
Punto de tangencia:
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Pág. 93
Análisis Matemático 1
(1):
En (2):
En (1):
Punto de Tangencia (2; 4)
Suma = 2 + 4 = 6
PROBLEMA 13
Halle la mínima distancia del punto
a la curva de ecuación:
SOLUCION 13
A (4; 5)
Curva:
Mínima distancia = ?
La curva es una circunferencia (los coeficientes de
e
son iguales).
Centro y radio de la circunferencia:
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Pág. 94
Análisis Matemático 1
C (2; 1)
r=
Gráfica del caso:
Mínima distancia es AP.
P ∈ Circunferencia y recta
Ecuación de
Ecuación:
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Pág. 95
Análisis Matemático 1
P (3; 3)
PROBLEMA 14
¿Qué valores debe tener
para que las intersecciones de las curvas
,
sean reales?
SOLUCION 14
a =?
(2):
En (1):
Si hay punto de intersección:
A≥0
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Análisis Matemático 1
Su gráfica en el intervalo es:
PROBLEMA 15
Bosqueje la gráfica de la ecuación
SUG:
SOLUCION 15
Bosquejo:
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Pág. 97
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 16
Sea
una ecuación factorizable. Halle el área de la región encerrada por su
gráfica.
SOLUCION 16
Tabulación de
x
0
2
y
6
0
:
(x, y)
(0, 6)
(2, 0)
PROBLEMA 17
Una circunferencia pasa por el punto
y es tangente a la recta
en el punto
.
Halle la suma de las coordenadas del centro de tal circunferencia.
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Pág. 98
Análisis Matemático 1
SOLUCION 17
A (-2; 1) A ∈ Circunferencia
Tangente:
Punto de tangencia P (4; 3)
h+k=?
Tabulación de
x
0
2
y
-3
0
:
(x, y)
(0, -3)
(2, 0)
Representación gráfica del caso:
Ecuación de la circunferencia:
A ∈ Circunferencia:
P ∈ Circunferencia:
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Pág. 99
Análisis Matemático 1
(3) en (1):
(3) en (2):
(4) = (5):
En (3):
(YA ESTÁ SIMPLIFICADO)
PROBLEMA 18
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Pág. 100
Análisis Matemático 1
La gráfica de la ecuación
tiene una asíntota vertical que pasa por
y una asíntota horizontal que pasa por
. Halle
y
.
SOLUCION 18
Asíntota horizontal:
Asíntota vertical:
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Pág. 101
Análisis Matemático 1
En (1):
Respuesta:
2a = 11
2b = -5
PROBLEMA 19
De la gráfica de la ecuación
, ¿cuáles son verdaderas?:
a) Su dominio es todo ℝ
b) Es simétrica respecto al origen.
c) Intersecta al Eje X en más de 6 puntos.
SOLUCION 19
Eje X
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Pág. 102
Análisis Matemático 1
Hipérbola:
a) Dominio = ℝ (VERDADERO)
b) Toda hipérbola de la forma:
Es simétrica respecto al origen (VERDADERO)
c) Por el Eje X, hay una infinidad de intersecciones con el Eje X (VERDADERO)
PROBLEMA 20
Si
,
¿Cuáles son verdaderas?:
a) Para k
b)
c)
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Pág. 103
Análisis Matemático 1
SUG: Graficar
y
SOLUCION 20
Para
Graficando:
Para
a)
:
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Pág. 104
Análisis Matemático 1
(por ejemplo
Se observa que para ciertos valores de
)
FALSO
b)
Separando el intervalo:
•
Cuando
, la circunferencia no existe.
(Conjunto nulo)
Entonces
, Verdadero
, siempre)
•
Del gráfico se observa que para todos los valores de
,
Verdadero.
c)
Como en el ítem anterior; separando el intervalo:
•
:
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Pág. 105
Análisis Matemático 1
Idem al anterior, la circunferencia no existe, luego:
Entonces:
Falso
•
Del gráfico se observa que existen puntos de
que están fuera de
, entonces:
Falso
En conclusión:
OBS:
Falso
solo cuando
PROBLEMA 21
Sean las regiones del plano
y
,
halle el menor valor de para el que
SOLUCION 21
Menor
x
1
y
0
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Pág. 106
Análisis Matemático 1
3 -1
(1; 0); (3; -1)
Representación gráfica del caso:
“r” toma el menor valor cuando la circunferencia es tangente a la recta “
” tal que
P ∈ Tangente →
En (1):
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Pág. 107
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 22
Grafique las siguientes ecuaciones indicando Interceptos, extensión, asíntotas y simetrías.
a)
b)
Dom
c)
d)
e)
f)
g)
h)
SOLUCION 22
a)
Intercepto con Eje x:
Absurdo
No hay intercepto
Intercepto con Eje y:
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Pág. 108
Análisis Matemático 1
Extensión:
Dominio:
∴ Dominio = ℝ - {2; 4}
Rango:
Resolviendo
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Pág. 109
Análisis Matemático 1
Rango =
Asíntotas:
Asíntotas verticales:
De (1):
Asíntotas horizontales:
De (2):
Denominador:
Cuando
∴
no es una asíntota horizontal
No hay asíntotas horizontales.
Simetría con el Eje X:
en la ecuación
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Pág. 110
Análisis Matemático 1
No ha simetría con el Eje X:
Simetría con el Eje Y:
En la ecuación:
No hay simetría con el Eje Y
Simetría con el origen:
En la ecuación
No hay simetría con el origen
Su gráfica es la siguiente:
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Pág. 111
Análisis Matemático 1
b)
Dominio =
Intercepto con el Eje X:
1 ∈ dominio
∴ Intercepto = (-1; 0)
Intercepto con el Eje Y:
Absurdo
No hay intercepto con el Eje Y
Dominio:
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Pág. 112
Análisis Matemático 1
Dom
Rango:
Según el dominio:
Caso 1:
Puntos críticos: -1/2 ; -2; 1
Caso 2:
Puntos críticos: -2; 1
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Pág. 113
Análisis Matemático 1
∴ Rango = ℝ - {-2; -1/2, 1}
Asíntota horizontal:
De (1):
Asíntota vertical:
No puede der asíntota porque “y” tomaría la forma indeterminada 0/0
Simetría con el Eje “x”:
Ecuación diferente a la ecuación dada.
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Pág. 114
Análisis Matemático 1
∴ No hay simetría con Eje “X”.
Simetría con el eje “Y”:
Ecuación diferente a la ecuación dada.
∴ No hay simetría con eje “Y”
Simetría con el origen de coordenadas:
Ecuación diferente a la ecuación dada
∴ No hay simetría con el origen de coordenadas.
Su gráfica es la siguiente:
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Análisis Matemático 1
c)
Intercepto con el Eje “X”:
(0; 0)
Intercepto con el Eje “Y”:
Dominio:
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Pág. 116
Análisis Matemático 1
Rango:
Asíntota horizontal:
De (2):
El denominador no contiene a la variable “y”
∴ No hay asíntota horizontal
Asíntota vertical:
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Pág. 117
Análisis Matemático 1
De (1):
Simetría con el Eje “X”:
, igual a la ecuación dada.
∴ hay simetría con el Eje “X”
Simetría con el eje “Y”:
Diferente a la ecuación dada.
∴ No hay simetría
Simetría con el origen de coordenadas:
Diferente a la ecuación dada.
∴ No hay simetría.
Su gráfica es la siguiente:
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Análisis Matemático 1
d)
Interceptos con el eje “X”
Interceptos con el eje “Y”:
Absurdo
No hay Interceptos
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Pág. 119
Análisis Matemático 1
Dominio:
Rango:
Rango = ℝ
Asíntota horizontal:
Según (2) no hay denominador que contenga a la variable
∴ No hay asíntota horizontal
Asíntota vertical:
Según (1) no hay denominador que contenga a la variable
∴ No hay asíntota vertical
Asíntota oblicua:
Ecuación general:
Reemplazando en la ecuación de la curva:
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Pág. 120
Análisis Matemático 1
Simetría con el Eje “X”:
Igual a la ecuación dada.
∴ Hay simetría con el Eje “X”
Simetría con el Eje “Y”:
Igual a la ecuación dada.
∴ Hay simetría con el Eje “Y”
Simetría con el origen de coordenadas:
Igual a la ecuación dada.
∴ Hay simetría con el origen de coordenadas.
Su gráfica es la siguiente:
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Pág. 121
Análisis Matemático 1
e)
Intercepto con el Eje “X”:
Intercepto con el Eje “Y”:
Dominio:
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Pág. 122
Análisis Matemático 1
Dominio = ℝ
Rango:
Rango = ℝ
Asíntota horizontal:
Según (2) no hay denominador que contenga a la variable
∴ No hay asíntota horizontal.
Asíntota vertical:
Según (1) no hay denominador que contenga a la variable
∴ No hay asíntota vertical.
Asíntota oblicua:
En la ecuación:
:
:
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Pág. 123
Análisis Matemático 1
Simetría con el Eje “X”:
Ecuación diferente a la ecuación dada.
∴ No hay simetría con el eje “X”.
Simetría con el Eje “Y”:
Igual a la ecuación dada.
∴ Hay simetría con el Eje “Y”.
Simetría con el origen de coordenadas:
Igual a la ecuación dada
∴ Hay simetría con el origen de coordenadas.
Su gráfica es la siguiente:
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Pág. 124
Análisis Matemático 1
f)
Intercepto con el Eje “X”:
Ninguno satisface la restricción
∴ No hay Interceptos con el eje “X”.
Interceptos con el Eje “Y”:
(0; 1)
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Pág. 125
Análisis Matemático 1
Dominio:
Dominio =
Rango:
Rango =
Asíntota horizontal:
Despejando
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Pág. 126
Análisis Matemático 1
No hay denominador que contenga a la variable
∴ No hay asíntota horizontal.
Asíntota vertical:
De la ecuación dada:
no hay denominador que contenga a la variable
∴ No hay asíntota vertical.
Asíntota oblicua:
En la ecuación:
∴ No hay asíntota oblicua
Simetría con el Eje “X”:
Diferente a la ecuación dada.
∴No hay simetría con el Eje “X”.
Simetría con el Eje “Y”:
Igual a la ecuación dada.
∴ Hay simetría con el Eje “Y”.
Simetría con el origen de coordenadas:
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Pág. 127
Análisis Matemático 1
Diferente a la ecuación dada.
∴ No hay simetría con el origen de coordenadas.
Su gráfica es la siguiente:
g)
Intercepto con el Eje ”X”:
Absurdo
No hay intercepto
Intercepto con el Eje “Y”:
Absurdo
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Pág. 128
Análisis Matemático 1
No hay intercepto.
Dominio:
Rango:
Asíntota horizontal:
De (2):
(Denominador = 0)
Asíntota vertical:
(Denominador = 0)
Asíntota oblicua:
En la ecuación:
Sí
, no hay asíntota oblicua.
Simetría con el Eje “X”:
Diferente a la ecuación dada.
No hay simetría.
Simetría con el Eje “Y”:
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Pág. 129
Análisis Matemático 1
Tampoco hay simetría.
Simetría con el origen de coordenadas.
Igual a la ecuación dada.
∴ Hay simetría con el origen de coordenadas.
Su gráfica es la siguiente:
h)
Intercepto con el Eje “X”:
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Pág. 130
Análisis Matemático 1
(10/3; 0)
Intercepto con el Eje “Y”:
(0; 5)
Dominio:
Dominio: ℝ - {2}
Rango:
Rango: ℝ - {3}
Asíntota horizontal:
De (2):
Asíntota vertical:
De (1):
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Pág. 131
Análisis Matemático 1
Asíntota oblicua:
En la ecuación:
→ No hay asíntota oblicua.
Simetría con el Eje “X”
Diferente a la ecuación dada.
∴ No hay simetría.
Simetría con eje “Y”:
Diferente a la ecuación dada.
∴ No hay simetría con el eje “Y”
Simetría con el origen d coordenadas:
Diferente a la ecuación dada.
∴ No hay simetría con el origen de coordenadas.
Su gráfica es la siguiente:
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Análisis Matemático 1
PROBLEMA 23
Indicando el dominio y rango, grafique:
a)
b)
c)
d)
SOLUCION 23
a)
Dominio:
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Análisis Matemático 1
Gráfica:
Por la gráfica:
Dominio = ℝ
Rango = ℝ
b)
Discriminante de
Luego:
La ecuación se reduce a:
Gráfica:
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Pág. 134
Análisis Matemático 1
Según la gráfica:
Dominio = ℝ
Rango = {-2; 2}
c)
Dominio =
Rango:
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Análisis Matemático 1
Gráfica:
Intercepto con el Eje “X”:
Intercepto con el eje “Y”:
Asíntota horizontal:
De (2):
Asíntota vertical:
De (1):
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Pág. 136
Análisis Matemático 1
d)
Asíntotas: Los ejes coordenadas.
Dominio = ℝ - {0}
Rango = ℝ - {0}
PROBLEMA 24
Indique la extensión para
e
de las gráficas de las ecuaciones siguientes:
a)
b)
c)
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(Solamente para )
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Pág. 137
Análisis Matemático 1
SOLUCION 24
a)
Dominio:
Dominio = ℝ - {0; -2}
Rango:
Rango =
b)
Dominio:
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Análisis Matemático 1
Dominio =
Rango
Rango = ℝ - {0; -1}
c)
Extensión de “y”:
Puntos críticos:
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Pág. 139
Análisis Matemático 1
Rango =
ARMANDO VENERO – ANALISIS MATEMATICO 1 – SEGUNDA EDICION – CAPITULO
2 – FUNCIONES– PAG.189
PROBLEMA 1
Sean
. Si
es el conjunto de todas las funciones de A
en B con dominio el conjunto A.
a) ¿Cuántos elementos tiene F y cuáles son?
b) ¿Cuántos elementos son funciones suryectivas?
c) ¿Cuántos son funciones inyectivas?
d) ¿Cuántos son funciones biyectivas?
SOLUCION 1
A = {0, 1}
B = {0, 1}
F = {f ∶ A ⟶ B}
Dominio de f = A
a) 4 son :
f1 = {(0, 0)(1, 0)}
f2 = {(0, 0)(1, 1)}
f3 = {(0, 1)(1, 0)}
f4 = {(0, 1)(1, 1)}
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Pág. 140
Análisis Matemático 1
b) 2
f2 y f3 son suryectivas ya que su rango = B
c) 2
f2 y f3 son inyectivas ya que elementos diferentes del dominio le corresponden elementos dife-
rentes en el rango.
d) 2.
f2 y f3 son biyectivas ya que son inyectivas y suryectivas.
PROBLEMA 2
Dada la función
tal que
:
Determine su dominio máximo .
SOLUCION 2
𝑋3 + 2𝑋2 + 𝑋
≥0
𝑋−2
𝑋(𝑋 2 + 2𝑋 + 1)
≥0
𝑋−2
𝑋(𝑋 + 1)2
≥0
𝑋−2
Dominio mínimo 𝐴 = < −∞; 0] ∪ < 2; +∞ >
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Pág. 141
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 3
Sea
. Se define la función
tal que:
Demuestre que:
a)
b)
c)
SOLUCION 3
Como se tratan de proposiciones se usarán tablas de verdad, teniendo en cuenta que:
1,
f(x) = �
0,
a)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
f(p) f(q)
1
1
1
0
0
1
0
0
∴ f(p ∧ q) = f(p)f(q)
p
f(p)
V
1
∼p
F
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x≡V
x≡F
p ˄ q
V
F
F
F
F(p ˄ q)
1
0
0
0
f(∼p)
1 – f(p)
0
1–1=0
f(p) f(q)
1
0
0
0
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Pág. 142
Análisis Matemático 1
F
0
V
1
1–0=1
=
∴ f(∼ p) = 1 − f(p)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
f(p) f(q)
1 1
1 0
0 1
0 0
p → q
V
F
V
V
F(p → q)
1
0
1
1
∴ f(p → q) = 1 − f(p)f(∼ q)
f(p) f(q)
1
0
0
0
f(∼q)
0
1
0
1
∼q
F
V
F
V
1 - f(p) f(∼q)
1 – (1) (0) = 1
1 – (1) (1) = 0
1 – (0) (0) = 1
1 – (0) (1) = 1
≡
PROBLEMA 4
Si
es una aplicación de
en , ¿cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?:
i)
.
ii)
iii)
Siempre se cumple que Dom
iv)
Rang
.
.
.
v)
SOLUCION 4
Una aplicación es una función
f ∶ A ⟶ B, donde:
i)
ii)
Dom𝑓 = 𝐴, Rang𝑓 = 𝐵
VERDADERO
Esta proposición es una de las propiedades de función
VERDEDRO
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Pág. 143
Análisis Matemático 1
iii)
Esta proposición es una propiedad de las aplicaciones. Indica que todos los elementos
del rango pertenecen al conjunto de llegada B
FALSO
Sea: f ∶ A ⟶ B
Tal que 𝑓(𝑥 ) = 5 + 2𝑥
x ∈ A = [1, 3] = Domf
⇒1≤x≤3 →
7 ≤ 5 + 2x ≤ 11
7 ≤ f(x) ≤ 11
⇒ f(x) = B = [7, 11] = Rangf
iv)
v)
⇒ Domf ∩ Rangf = [1, 3] ∩ [7,11] = ∅
VERDADERO
La proposición es la definición de rango de una función.
FALSO:
Ejemplo: Sea: 𝑓 ∶ ℝ ⟶ {𝑘}
𝑘 : Constante
Para 𝑥1 ∈ ℝ, 𝑥2 ∈ ℝ / 𝑥1 ≠ 𝑥2
f(x1 ) = f(x2 ) = k
f: Función constante.
PROBLEMA 5
Sean
nes de
¿Cuáles de los siguientes conjuntos definen funcioen ?
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Análisis Matemático 1
SOLUCION 5
C, E, F, y G son funciones de A en B ya que sus dominios son subconjuntos de A y sus rangos subconjuntos de 𝐵. Además a cada elemento del dominio le corresponde un elemento único del rango.
D no es función de 𝐴 en 𝐵 ya que (6, b) y (6, e) no cumplen con la definición de función.
PROBLEMA 6
Dadas las funciones
, halle
SOLUCION 6
f(x) =
x
x
=
x 2 − 1 (x + 1)(x − 1)
x + 1 ≠ 0 → x ≠ −1
x−1 ≠0 →x ≠1
∴ Dominio de f = ℝ − {−1,1}
1
g(x) = 4
√10 + x
10 + 𝑥 > 0
𝑥 > −10
Dominio de 𝑔 = < −10; +∞ >
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Pág. 145
Análisis Matemático 1
Luego:
Domf ∩ Domg = < −10; +∞ > −{−1, 1}
PROBLEMA 7
¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de ℝ x ℝ definen funciones tales qué
?
a)
b)
c)
d)
SOLUCION 7
a) {(x; y) / x 2 + y 2 = 4}
Para saber si es una función se despeja "𝑦":
y2 = 4 − x2
y = ±�4 − x 2
(0, 2) (0, -2) satisfacen la ecuación
∴ No es función
b) {(x , y)/ y = −3}
ES FUNCION. A cada 𝑥 ∈ ℝ le corresponde un único elemento del rango la cual es -3.
c) {(x , y)/ x = |y|}
x = |y|
x = y ó x = −y
y = x ó y = −x
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Pág. 146
Análisis Matemático 1
(1, 1) (1, −1) Satisfacen las ecuaciones.
∴ No es función
d) {(0 , 0), (1 , 2), (2 , 3), (3 , 4)}
ES FUNCION. Las correspondencias cumplen con las condiciones.
∴ (b) y (d) son funciones.
PROBLEMA 8
Dadas las funciones
:
Halle
SOLUCION 8
f(x) = 2
Rango de f = {2}
g(x) = �
2;
2x ;
x<0
x>0
g1
g2
Rango de 𝑔 = (Rang 𝑔1) ∪ (Rang 𝑔2 ) … … … … . (1)
Rang g1 = {2}
Rang g 2 :
𝑥>0
2𝑥 > 0
En (1):
Rang g 2 =< 0; ∞ >
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Análisis Matemático 1
∴ Rango de g = {2} ∪ < 0; +∞ >
=< 0; +∞ >
Finalmente:
Rangf ∩ Rang g
{2} ∩ < 0; +∞ >
{2}
PROBLEMA 9
máximo
Sea
¿Cuáles son verdaderas?:
a)
b)
c)
y
son disjuntos.
SOLUCION 9
Si:
f: X ⟶ ℝ / f(x) =
x+2
x+1
a) De la regla de correspondencia, 𝑓 tiene una asíntota vertical en 𝑥 = −1, de donde:
Domf = X = ℝ − {−1}
Luego: complemento de X:
∁ X = {−1} FALSO
b) Analizando la extensión de la función:
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Análisis Matemático 1
•
x → +∞: f(x) → 1
x → −∞: f(x) → 1
•
⇒ f(x) = y = 1 Es asíntota horizontal.
•
x → −1+ : f(x) → +∞
x → −1− : f(x) → −∞
x=0 , y=2
y = 0 , x = −2
Se tiene la siguiente gráfica:
Luego:
Rang𝑓 = ℝ − {1} = ∁ {1} FALSO
c) Serán disjuntos si: X ∩ Rang𝑓 = ∅, pero, de (a) y (b):
X ∩ Rang𝑓 = [ℝ − {−1}] ∩ [ℝ − {−1}]
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Análisis Matemático 1
X ∩ Rang𝑓 = ℝ − {−1} ≠ ∅
FALSO
PROBLEMA 10
Sea:
Halle
si
es suryectiva y
máximo posible.
SOLUCION 10
f∶A⟶B
f(x) =
A−B=?
x2 − 4
x 2 + 5x + 6
𝑓 : Es suryectiva.
𝐴 : Mínimo posible.
Dominio de 𝒇:
x2 − 4
f(x) =
;
(x + 3)(x + 2)
Dom𝑓 = ℝ − {−3; −2}
x ≠ −3
x ≠ −2
A = ℝ − {−3; −2}
Rango de 𝒇:
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Análisis Matemático 1
f(x) =
(x + 2)(x − 2)
(x + 3)(x + 2)
yx + 3y = x − 2
x − yx = 3y + 2
x(1 − y) = 3y + 2
x=
3y + 2
1−y
y ≠1
Al haber eliminado (x+2):
𝑦=
𝑥−2
𝑥+3
y≠
−2 − 2
−2 + 3
x ≠ −2, Luego:
𝑦 ≠ −4
∴ Rango 𝑓 = ℝ − {−4; 1}
Si 𝑓 es suryectiva:
B = Rangf = ℝ − {−4; 1}
Finalmente:
A − B = {−4; 1}
PROBLEMA 11
La ecuación
define una relación T. De:
a)
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Análisis Matemático 1
b)
c)
d)
e)
SOLUCION 11
a)
y 2 = −x 2 + 16
x 2 + y 2 = 16 ó
x 2 + y 2 = 42
La ecuación obedece a una circunferencia de centro (0, 0) y radio r = 4.
NO ES FUNCION ya que la recta 𝑥 = 𝑎 intersecta a la circunferencia en dos puntos.
b)
y = ±√16 − x 2
Esta relación es la misma que la relación (a). Entonces tampoco es función.
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Análisis Matemático 1
Justificación:
y 2 = −x 2 + 16
y = ±√16 − x 2
c) 𝑦 = √16 − x 2
Rango = [0; +∞>
Gráfica:
Esta relación ES UNA FUNCION ya que no hay recta vertical que intersecte a la gráfica en 2 ó más
puntos.
d) y = −√16 − x 2
Rango = <-∞_; 0]
Gráfica:
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Análisis Matemático 1
Esta relación ES UNA FUNCION por la misma razón que la relación anterior.
e) y = √16 − x 2
Rango = [0; +∞>
;
x ∈ [0; 4]
(𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑥 ≤ 4)
Dominio = [0; 4]
Esta relación ES UNA FUNCION ya que no hay recta vertical que intersecte en 2 ó más puntos a la
gráfica.
PROBLEMA 12
Dadas las funciones
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, halle:
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Análisis Matemático 1
SOLUCION 12
f(x) = x 2 + 3x + 1 �
h=
−b
2a
h=
−3
2(−1)
a = −1
�
b=3
h = 3/2
k = f(h) = f(3/2) = −(3/2)2 + 3(3/2) + 1
9 9
k = − + +1
4 2
k=
−9 + 18 + 4
4
k = 13/4
a < 0:
Rangof = < −∞; 13/4]
g(x) = 3x 2 + 2x + 1 �
h=
−2
2(3)
a=3
�
b=2
h = −1/3
k = f(−1/3) = 3(−1/3)2 + 2(−1/3) + 1
k=3×
1 2
− +1
9 3
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Análisis Matemático 1
k=
k=
1 2
− +1
3 3
1−2+3
3
k = 2/3
a > 0:
2
Rangog = [ ; +∞ >
3
Luego:
Rango(f) ∩ Rango(g)
< −∞; 13/4] ∩ [2/3; +∞ >
[2/3; 13/4]
PROBLEMA 13
Dar un ejemplo de una función
(como conjunto de pares ordenados) que cumpla con los siguien-
tes cuatro requisitos:
a)
tiene 10 elementos
b)
c)
d)
¿Cuántas de tales funciones existen?
SOLUCION 13
𝑓: Función de 10 pares ordenados.
f(x) = x 2
Dom𝑓 ⊂ ℤ ← Conjunto de partida.
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Análisis Matemático 1
Rang 𝑓 ⊂ 𝐵 ← Conjunto de llegada.
B = {2m/ 0 ≤ m ≤ 70 ; m ∈ ℤ}
𝐵:
Luego:
0 ≤ m ≤ 70
0 ≤ 2m ≤ 140
𝐵 = {0; 2; 4; 6; … … … … . . ; 140}
f: ℤ → B
(−10, 100); (−8, 64); (−6, 36); (−4, 16);
(−2, 4); (0, 0); (2, 4); (4, 16);
�
f=�
(6, 36); (8, 64); (10, 100)
Una función 𝑓 de 10 pares ordenados puede ser:
(−8, 64); (−6, 36); (−4, 16);
(
f = � −2, 4); (0, 0); (2, 4); (4, 16); �
(6, 36); (8, 64); (10, 100)
PROBLEMA 14
Si el gráfico de la función
está representado por la figura adjunta, halle su regla de correspon-
dencia:
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Análisis Matemático 1
SOLUCION 14
Regla de correspondencia de 𝐟:
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Análisis Matemático 1
3
⎧x ; 0 ≤ x ≤
2
⎪
f(x) = 3/2 ; 3/2 ≤ x ≤ 9/2
⎨
⎪−x ; 9 ≤ x ≤ 6
⎩
2
PROBLEMA 15
Halle
y
para que
sea una función
. Encuentre .
SOLUCION 15
Si: (2, 5) ∧ (2, 2a − b) ∈ función A
Luego:
2a − b = 5 … … … . (1)
Si: (−1, −3) ∧ (−1, b − a) ∈ función A
Luego:
b − a = −3 … … … . . (2)
2a − b = 5
−a + b = −3
En (2):
𝑎=2
b − 2 = −3
b = −1
(a + b2 ; a) = (2 + 1; 2)
= (3; 2)
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Análisis Matemático 1
a = 2 ∧ b = −1
PROBLEMA 16
Para cada
(n fija), sea
tal que
Dada la relación
definida por:
Demuestre que
es una relación de equivalencia.
.
SOLUCION 16
fn (x) = y = x + n
•
Reflexiva:
n∈ℤ
(x, x) ∈ fn
Haciendo y = x
x =x+n → n= 0,
∴ 𝑓𝑛 es reflexiva
•
Simétrica:
n∈ℤ
(y, x) ∈ fn
x = y + n → y = x − n → y = x + (−n)
Como 𝑛 ∈ ℤ, entonces −𝑛 ∈ ℤ
∴ fn es simétrica
•
Transitiva:
(x, y) ∈ fn , (y, z) ∈ fn ⇒ (x, z) ∈ fn
y = x + n1 , n1 ∈ ℤ
z = y + n2 , n2 ∈ ℤ
z = x + (n1 + n2 ) , n1 + n2 ∈ ℤ
∴ fn es transitiva
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Análisis Matemático 1
En conclusión:
fn es de equivalencia.
PROBLEMA 17
Dar un ejemplo de una función
juntos no vacíos
y
que demuestre que:
para dos subcon-
del dominio de .
Bosqueje la gráfica de su función hallada.
SOLUCION 17
f(x) = x 2 − 1
Dom(f) = ℝ
A = [−1; 0]
Demostrar:
f(A) ∩ f(B) ⊄ f(A ∩ B)
B = [0; 1]
A ∩ B = {0}
Gráfica de f(x); f(A); f(B)
f(x) = x 2 − 1
V(h, k) = (0, −1)
Tabulación:
x
-2
-1
1
2
f(x)
3
0
0
3
Su gráfica sera:
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Análisis Matemático 1
PROBLEMA 18
, halle todas las funciones
Dado un conjunto de 5 elementos
, eligiendo
SUG.- Si
un subconjunto particular de
tuviera 2 o más elementos,
tales que
para cada . Grafíquelas.
no sería función. ¿POR QUÉ?
SOLUCION 18
𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5}
Para que 𝐴 × 𝐵 sea función se tomará:
B = {1} ⇒ A × B = {(1, 1); (2, 1); (3, 1); (4, 1); (5, 1)}
B = {2} ⇒ A × B = {(1, 2); (2, 2); (3, 2); (4, 2); (5, 2)}
B = {3} ⇒ A × B = {(1, 3); (2, 3); (3, 3); (4, 3); (5, 3)}
B = {4} ⇒ A × B = {(1, 4); (2, 4); (3, 4); (4, 4); (5, 4)}
B = {5} ⇒ A × B = {(1, 5); (2, 5); (3, 5); (4, 5); (5, 5)}
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Análisis Matemático 1
OJO: no puedo elegir, por ejemplo, 𝐵 = {1, 2} (Conjunto 𝐵 con dos ó más elementos) pues 𝐴 × 𝐵
ya no sería función.
PROBLEMA 19
Determine una función (de las muchas que hay) indicando su regla de correspondencia, que tenga
.
ℝ como dominio y tal que
SOLUCION 19
La función más fácil que satisface las condiciones es cuando 𝑓 es una función constante en todos
sus dominios.
La regla de correspondencia sería:
F(x) = �
2 ; x ≤ −3
0 ; −3 ≤ x ≤ 2
3 ; x>2
Otra función podría ser si 𝑓 es una función polinómica cuadrática.
f(x) = ax 2 + bx + c ;
f(−3) = 2
Dom = ℝ
2 = 9a − 3b + c … … (1)
f(2) = 0
0 = 4a + 2b + c … … (2)
f(4) = 3
3 = 16a + 4b + c … … (3)
(1) – (2):
5a − 5b = 2 … … . . (4)
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Análisis Matemático 1
(3) – (1):
7a + 7b = 1 … … (5)
5a − 5b = 2
7a + 7b = 1
a − b = 2/5 … … . (4)
a + b = 1/7 … … (5)
En (5):
2a = 19/35
En (2:)
b = −9/70
Luego:
c = −29/35
f(x) =
→ a = 19/70
19 2 9
29
x −
x−
70
70
35
; ∀x ∈ ℝ
PROBLEMA 20
Halle el dominio, el rango y la gráfica de:
a)
b)
c)
d)
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Análisis Matemático 1
e)
f)
g)
h)
SOLUCION 20
a) f(x) = √4 + 3x − x 2
Dominio:
4 + 3x − x 2 ≥ 0
x 2 − 3x − 4 ≤ 0
(x − 4)(x + 1) ≤ 0
Dominio = [-1; 4]
Rango:
f(x) = √4 + 3x − x 2
𝑓 (𝑥 ) = �−(𝑥 2 − 3𝑥 ) + 4
3 2 9
(
)
��
f x = �x − � − � + 4
2
4
f(x) = �
x ∈ [−1; 4]:
25
3 2
− �x − �
4
2
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Análisis Matemático 1
−1 ≤ x ≤ 4
−
3 5
5
≤x− ≤
2 2
2
3 2 25
0 ≤ �x − � ≤
2
4
3 2
25
0 ≥ − �x − � ≥ −
2
4
25 25
3 2
≥
− �x − � ≥ 0
4
4
2
25
3 2
5
�
≥
− �x − � ≥ 0
4
2
2
Rangof = [0; 5/2]
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Análisis Matemático 1
b)
f(x) =
x3 −x2 −13x−3
x+3
;
Dominio de f = ℝ − {−3}
x ≠ −3
Rango:
Factorizando 𝑥3 − 𝑥2 − 13𝑥 − 3:
1
-3
1
f(x) =
-1
-13
-3
-3
12
3
-4
-1
0
(x + 3)(x 2 − 4x − 1)
x+3
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Análisis Matemático 1
f(x) = x 2 − 4x − 1
x = −3:
f(−3) = 9 + 12 − 1 = 20
20 ∉ Rango de f
h=
4
=2
2
k = f(2) = 4 − 8 − 1 = −5
Rango de f = [−5; +∞ > −{20}
c)
2
f(x) = �−�25 − (x + 2) , x ≤ 3
x−3 , x>3
Dominio:
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Análisis Matemático 1
Dominio de 𝐟𝟏 :
25 − (𝑥 + 2)2 ≥ 0
(𝑥 + 2)2 − 25 ≤ 0
(𝑥 + 2 + 5)(𝑥 + 2 − 5) ≤ 0
(𝑥 + 7)(𝑥 − 3) ≤ 0
𝑥 ∈ [−7; 3]
Dominio de f1 = [−7; 3] ∩ < −∞; 3]
Domf1 = [−7; 3]
Dominio de 𝐟𝟐 :
x>3
x ∈ < 3; +∞ >
Domf2 =< 3; +∞ >
∴ Domf = Domf1 ∪ Domf2
Domf = [−7; 3] ∪ < 3; +∞ >
Domf = [−7; +∞ >
Rango:
Rango de 𝐟𝟏 :
x ∈ [−7; 3]
−7 ≤ x ≤ 3
−5 ≤ x + 2 ≤ 5
0 ≤ (x + 2)2 ≤ 25
0 ≥ −(x + 2)2 ≥ −25
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Análisis Matemático 1
25 ≥ 25 − (x + 2)2 ≥ 0
5 ≥ �25 − (x + 2)2 ≥ 0
−5 ≤ −�25 − (x + 2)2 ≤ 0
−5 ≤ f1 (x) ≤ 0
Rango de f1 = [−5; 0]
Rango de 𝐟𝟐 :
x>3
x−3 >0
f2 (x) > 0
Rango de f2 = < 0; +∞ >
∴ Rango f = [−5; 0] ∪ < 0; +∞ >
Rangf = [−5; +∞ >
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Análisis Matemático 1
d)
f(x) = ��4 − x 2 �
f(x) = �4 − x2 ;
�4 − x2 ≥ 0
Dominio de 𝐟:
4 − 𝑥2 ≥ 0
𝑥2 − 4 ≤ 0
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) ≤ 0
Dom𝑓 = [−2; 2]
Rango de 𝐟:
𝑥 = [−2; 2]
−2 ≤ 𝑥 ≤ 2
0 ≤ 𝑥2 ≤ 4
0 ≥ −𝑥 2 ≥ −4
4 ≥ 4 − 𝑥2 ≥ 0
2 ≥ √4 − 𝑥 2 ≥ 0
Rang𝑓 = [0; 2]
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Análisis Matemático 1
e)
x 2 − 4x , x < 5
f(x) = �
15 − 2x , x ≥ 5
Dominio:
Domf1 =< −∞; 5 >
Luego:
Domf2 = [5; +∞ >
Domf =< −∞; 5 > ∪ [5; +∞]
Domf = ℝ
Rango:
Rango 𝐟𝟏 (𝐱 < 𝟓)
𝐟𝟏 (x) = x2 − 4x
𝐟𝟏 (x) = (x − 2)2 − 4 → V(2; −4)
x<5
x−2 < 3
(x − 2)2 ≥ 0
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Análisis Matemático 1
(x − 2)2 − 4 ≥ −4
f1(x) ≥ −4
Rango f1 = [−4; +∞ >
Rango 𝐟𝟐 (𝐱 ≥ 𝟓)
f2(x) = 15 − 2x
x≥5
−2x ≤ −10
15 − 2x ≤ 5
f2(x) ≤ 5
Rango f2 =< −∞; 5]
Luego:
Rango f = Rangf1 ∪ Rangf2
Rangf = [−4; +∞ > ∪ < −∞; 5]
Rangf = ℝ
f)
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Pág. 173
Análisis Matemático 1
(x 2 + 3x − 4)(x 2 − 5x + 6)
f(x) =
(x 2 − 3x + 2)(x − 3)
Dominio:
f(x) =
�x2 + 3x − 4��x2 − 5x + 6�
(x − 2)(x − 1)(x − 3)
x−2≠ 0 ; x−1≠0 ; x−3 ≠0 ; x ≠ 2 ; x ≠1 ; x ≠3
∴ Dom𝑓 = ℝ − {1, 2, 3}
Rango:
f(x) =
(x + 4)(x − 1)(x − 3)(x − 2)
(x − 2)(x − 1)(x − 3)
f(x) = x + 4
x ≠ 1; 2; 3
x≠1
x≠2
f(x) ≠ 5
f(x) ≠ 6
x+4≠ 5
x+4 ≠6
∴ Rangf = ℝ − {5; 6; 7}
x≠3
x+4 ≠7
f(x) ≠ 7
g)
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Pág. 174
Análisis Matemático 1
x 4 − 3x 3 − 11x 2 + 23x + 6
f(x) =
x2 + x − 6
Dominio:
x 4 − 3x 3 − 11x 2 + 23x + 6
f(x) =
(x + 3)(x − 2)
x+3≠ 0 ;
x ≠ −3
x−2≠ 0
;
∴ Domf = ℝ − {−3; 2}
x≠2
Rango:
Factorizando x 4 − 3x 3 − 11x 2 + 23x + 6:
1
-3
-11
23
6
1
-2
-1
-2
-13
-26
-3
-6
0
-3
12
+3
1 -4
-1
0
2
-3
(x − 2)(x + 3)(x 2 − 4x − 1)
Luego:
f(x) =
(x − 2)(x + 3)(x 2 − 4x − 1)
(x + 3)(x − 2)
f(x) = x2 − 4x − 1
h=
4
=2
2
→ V(2; −5)
k = f(2) = 4 − 8 − 1 = −5
Rang f posibles = [−5; +∞ >
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Pág. 175
Análisis Matemático 1
x = −3
x=2
→
→
f(x) ≠ 20; −5
f(−3) = 20
f(2) = −5
Entonces:
Rang f =< −5; +∞ >
Su gráfica es la siguiente:
h)
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Pág. 176
Análisis Matemático 1
f(x) = 1 + �x(x − 3)
Dominio:
x(x − 3) ≥ 0
Dom f =< −∞; 0] ∪ [3; +∞ >
Rango:
f(x) = 1 + �x 2 − 3x
3 2 9
�
f(x) = 1 + �x − � − … … … (1)
4
2
f1 :
x ∈< −∞; 0]
x≤0
x−
3
3
≤−
2
2
3 2
9
3 2
9
�x − � ≥
2
4
�x − � − ≥ 0
2
2
4
��x − 3� − 9 ≥ 0
2
4
3 2
9
1 + ��x − � − ≥ 1
2
4
f1(x) ≥ 1
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Pág. 177
Análisis Matemático 1
∴ Rang𝑓1 = [1; +∞ >
f2 :
x ∈ [3; +∞ >
x≥3
3
x− ≥
2
3
2
3 2
�x − � ≥
2
9
4
3 2 9
�x − � − ≥ 0
4
2
2
��𝑥 − 3� − 9 ≥ 0
2
4
3 2
9
1 + ��x − � − ≥ 1
f2(x) ≥ 1
2
4
Rang f2 = [1; +∞ >
∴ Rang f = [1; +∞ >
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Pág. 178
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 21
Sea
la función cuyo dominio es P (ℝ) – { } cuya regla de correspondencia es:
i)
Halle
racionales.
ii)
halle
SOLUCION 21
Si:
f(A) = {a ∈ A/�a + �[−a]� + 1 > 0}
Como 𝐴 ⊂ ℝ, se debe cumplir:
a + �[−a]� ≥ 0 … … … . . (1)
Como �[−a]� = n ,
⇒ n ≤ −a < n + 1
n∈ℤ
(Definición de máximo entero)
−(n + 1) < a ≤ −n
⇒ −1 < a + �[−a]� ≤ 0 … … … … (2)
De (1) y (2), se concluye:
a + �[−a]� = 0
�[−a]� = −a
−a ∈ ℤ
Luego:
→
a ∈ℤ
f(A) = {a ∈ ℤ}
i)
Como ℤ ⊂ ℚ
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Pág. 179
Análisis Matemático 1
⇒ f(ℚ) = f(ℤ)
Además: ℚ𝐶 = 𝕀 (Conjunto de números irracionales)
𝕀 ∩ ℤ=∅
C
(𝕀 No tiene elementos de ℤ )
⇒ f�ℚ � = ∅
Luego:
ii)
f(ℚ) − f(ℚC ) = f(ℤ) = ℤ
Resolviendo la inecuación:
B = {x ∈ ℝ / x ∈ < −8, −4 > ∪ < −2, 2 >}
⇒ f(B) = {−7, −6, −5, −1, 0, 1}
PROBLEMA 22
Sea:
Halle
SOLUCION 22
f: [−2; 4 > ⟶ ℝ
f(x) =
|x + 1| − 3
1 + |x − 3|
Rango de f = ?
Domf ⊂ [−2; 4 >
Puntos críticos de 𝑓: − 1, 3
(x + 1 = 0 ; x − 3 = 0)
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Análisis Matemático 1
Formación de casos:
Caso 1:
x ∈ [−2; −1 >
f(x) =
f(x) =
f(x) =
−x − 1 − 3
1−x+3
−x − 4
−x + 4
x+4
8
=1+
x−4
x−4
𝑥 ∈ [−2; −1 >
−2 ≤ 𝑥 ≤ −1
−6 ≤ 𝑥 − 4 ≤ −5
−
−
−
1
1
1
≥
>−
6 𝑥−4
5
4
8
≥
> −8/5
3 𝑥−4
1
3
≥ f(x) > −
3
5
Rango Caso 1 = <-3/5; -1/3]
Caso 2:
𝑥 ∈ [−1; 3 >
f(x) =
x+1−3
1−x+3
f(x) =
x−2
2
= −1 +
−x + 4
−x + 4
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Análisis Matemático 1
𝑥 ∈ [−1; 3 >
−1 ≤ x < 3
1 ≥ −x > −3
5 ≥ −x + 4 > 1
1
1
≤
<1
5 −x + 4
2
2
≤
<2
5 −x + 4
−
3
≤ f(x) < 1
5
Rango del caso 2 = [-3/5; 1>
Caso 3:
𝑥 ∈< 3; 4 >
f(x) =
x+1−3 x−2
=
1+x−3 x−2
x ≠ 2 Ya que ∉ < 3; 4 >
Luego:
f(x) = 1
Rango Caso 3 = {1}
Finalmente:
Rango de f =< −3/5; −1/3] ∪ [−3/5 ; 1 > ∪ {1}
Rang f = [−3/5; 1]
PROBLEMA 23
Dada la función:
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Análisis Matemático 1
Determine el mayor dominio de , su rango y su gráfica.
SOLUCION 23
CALCULO DEL DOMINIO:
f1(x) = x − 6 ; x ∈ < 2; 6 >
Dominio de f1 =< 2; 6 >
x 5 − 17x 3 + 16x
f2 (x) = 3
;
4x − 16x 2 − 4x + 16
Df ⊂ [−4; 6 >
x ∈ Df − < 2; 6 >
Simplificando f2 (x):
x 5 − 17x 3 + 16x
f2 (x) = 2
4x (x − 4) − 4(x − 4)
x 5 − 17x 3 + 16x
f2 (x) =
4(x + 1)(x − 1)(x − 4)
x ≠ −1 ; 1 ; 4
Dominio de 𝑓2 :
Domf2 = [−4; 2] − {−1; 1}
∴ Domf = Dom f1 ∪ Dom f2
Domf =< 2; 6 >∪ ([−4; 2] − {−1; 1})
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Análisis Matemático 1
∴ Domf = [−4; 6 > − {−1; 1}
CALCULO DEL RANGO:
Rango de 𝑓1 :
x ∈ < 2; 6 >
2<x<6
−4 < x − 6 < 0
Rango f1 = < −4; 0 >
Rango de 𝐟𝟐 :
x 5 − 17x 3 + 16x
f2 (x) = 3
4x − 16x 2 − 4x + 16
x 5 − 17x 3 + 16x
f2 (x) =
4(x 3 − 4x 2 − x + 4)
1 x 5 − 17x 3 + 16x
f2 (x) = � 3
�
4 x − 4x 2 − x + 4
f2(x) =
(x + 2)2 − 4
1 2
(x + 4x) =
4
4
Domf2 = [−4; 2] − {−1 ; 1}
x = −1 → f2(−1) = −3/4
x = 1 → f2(1) = 5/4
Luego:
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Pág. 184
Análisis Matemático 1
3 5
− ; ∉ Rango 𝑓2
4 4
x ∈ [−4; 2]
−4 ≤ 𝑥 ≤ 2
−4 ≤ 𝑥 + 2 ≤ 4
0 ≤ (𝑥 + 2)2 ≤ 16
−4 ≤ (x + 2)2 − 4 ≤ 12
(x + 2)2 − 4
−1 ≤
≤3
4
−1 ≤ f2 (x) ≤ 3
Rango f2 = [−1; 3] − {−3/4; 5/4}
∴ Rangof = Rang 𝑓1 ∪ Rango 𝑓2
Rango f =< −4; 0 > ∪ ([−1; 3] − {−3/4 ; 5/4})
Rango f =< −4; 3] − {5/4}
GRÁFICA DE 𝒇:
x − 6 ; x ∈ < 2; 6 >
f(x) = �x 2 + 4x
; x ∈ [−4; 2] − { −1; 1}
4
Tabulación de 𝐟(𝐱) = 𝐱 − 𝟔
𝑓(𝑥)
x
2
-4
6
0
(2; -4) (6; 0)
Preparación de gráfica de:
1
f(x) = x 2 + x
4
−1
h=
= −2
1
2 � 4�
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𝐱 𝟐 + 𝟒𝐱
= 𝐟(𝐱)
𝟒
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Análisis Matemático 1
k = f(−2) =
V(−2; −1)
1
× 4 − 2 = −1
4
Tabulación:
𝑓(𝑥)
x
-4
0
-2
-1
2
3
(-4; 0) ∨ (2; 3)
x
-1
1
𝑓(𝑥)
-3/4
5/4
Gráfica:
PROBLEMA 24
Halle:
SOLUCION 24
f(x) = 4 + �(x + 6)2 − 9 ; x ∈ < −∞; −11]
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Pág. 186
Análisis Matemático 1
x ∈ < −∞: − 11]
x ≤ −11
x + 6 ≤ −5
(x + 6)2 ≥ 25
(x + 6)2 − 9 ≥ 16
�(x + 6)2 − 9 ≥ 4
4 + �(x + 6)2 − 9 ≥ 8
f(x) ≥ 8
Rango de 𝐟 = [𝟖; +∞ >
g(x) = (x + 3)2 − 3 ; x ∈ < 0; ∞ >
x ∈ < 0; ∞ >
x>0
x+3>3
(x + 3)2 > 9
(x + 3)2 − 3 > 6
g(x) > 6
Rango de 𝐠 = < 𝟔 ; +∞ >
∴ Rango 𝑓 ∩ Rango 𝑔 = [8; +∞ > ∩ < 6; +∞ >
[ 8; +∞ >
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Pág. 187
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 25
Una esfera de radio
lleva inscrito un cilindro. Halle la dependencia funcional entre el volumen
del cilindro y su altura .
Indique el dominio de definición.
SOLUCION 25
Proyección de los sólidos sobre un plano vertical
V = f(x) = ?
domf = ?
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Análisis Matemático 1
Volumen del cilindro (V):
V = (Abase )(h) h: altura
⊿BPO:
2
V = πr 2 x … … . (1)
)2
r = (R
x 2
−� �
2
x2
r = R − … … (2)
4
2
2
(2) en (1):
x2
V = π �R − � x
4
2
Dominio del volumen:
𝑥 > 0 , 𝑥 es una longitud
x
<R
2
x < 2R
(En ⊿BPO )
0 < x < 2R
∴ Dom(f) = < 0; 2R >
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Pág. 189
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 26
Una construcción tiene la siguiente forma: Un cono circular recto truncado cuyos radios de base
con 2 (inferior) y (superior) y cuya altura es , sostiene un cilindro de radio y altura 2 .
Este último sostiene, a su vez, una semiesfera de radio . Exprese el área
de la sección transver-
sal de la construcción como función de la distancia entre la sección y la base inferior del cono. Grafique
.
SOLUCION 26
CASO 1: 0 ≤ x ≤ R
R−x=r−R
r = 2R − x … … (1)
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Pág. 190
Análisis Matemático 1
ST = πr 2
ST = π(2R − x)2
CASO 2: R ≤ x ≤ 3R
r=R
ST = πr 2
ST = πr 2
CASO 3: 3R ≤ x ≤ 4R
x = 3R + �R2 − r 2
x − 3R = �R2 − r 2
(x − 3R)2 = R2 − r 2
r 2 = R2 − (x − 3R)2
ST = πr 2
ST = π(R2 − (x − 3R)2 )
Gráfica de 𝑺(𝒙) :
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Pág. 191
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 27
Un alambre metálico de
lo. Sea
de resistencia se corta en do partes las cuales se conectan en parale-
la resistencia de una de las partes. ¿Qué rango de valores puede tomar
si la resisten-
cia equivalente de la conexión es paralelo no ha de exceder de 1.6𝛺.
Nota.- La resistencia
equivale de una conexión en paralelo está dada por:
SOLUCION 27
1
1
1
=
+
R E R1 10 − R1
10
1
=
R E R1(10 − R1)
RE =
R1(10 − R1)
10
R E ≤ 1.6
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Pág. 192
Análisis Matemático 1
R1 (10 − R1 )
≤ 1.6
10
10R1 − R1 2 ≤ 16
R1 2 − 10R1 + 16 ≥ 0
(R1 − 8)(R1 − 2) ≥ 0
R1 ∈ < −∞; 2] ∪ [8; +∞ >
R1 ≥ 0 Módulo de la resistencia.
R1 ≤ 10 Máximo módulo es 10 𝛺
Luego:
R1 ∈ [0; 2] ∪ [8; 10]
PROBLEMA 28
Dada la función:
Halle el conjunto de valores
tales que
SOLUCION 28
x
, x>0
f(x) = � x + 5
0
,
x≤0
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Pág. 193
Análisis Matemático 1
Intervalo de 𝑥 ?
x − 2 ≤ f(x)
CASO 1: 𝑥 > 0
x
x+5
x
≤0
x−2−
x+5
x−2≤
x 2 + 2x − 10
≤0
x+5
Raíces de x 2 + 2x − 10:
x=
x=
−2 ± �4 − 4(−10) −2 ± √44
=
2
2
−2 ± 2√11
= −1 ± √11
2
Punto crítico de 𝑥 + 5: − 5
𝑥 ∈ < −∞; −5 > ∪ [−1 − √11, −1 + √11]
∴ x ∈ �< −∞; −5 > ∪ [−1 − √11 , −1 + √11]�
n < 0; +∞ >
x ∈ < 0; √11 − 1]
CASO 2: 𝑥 ≤ 0
x−2≤0
𝑥≤2
Luego:
→
→
𝑥 ∈ < −∞; 0]
𝑥 ∈ < −∞; 2]
x ∈ < −∞; 0] ∩ < −∞; 2]
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Pág. 194
Análisis Matemático 1
x ∈ < −∞; 0]
Finalmente el intervalo de 𝑥 es:
< −∞; 0] ∪ < 0; √11 − 1]
∴ < −∞; √11 − 1]
PROBLEMA 29
Halle el dominio y el rango de la función:
Y el dominio de:
SOLUCION 29
Dom y Rang de 𝑓:
Dom(𝑓 ):
f(x) = �|x|2 − �|x| + 2�
f(x) = �x 2 − (|x| + 2)
|x|2 = x 2 , |x| + 2 > 0
f(x) = �x 2 − |x| + 2
CASO 1: 𝒙 ≥ 𝟎
→ 𝒙 ∈ [𝟎; +∞ >
f(x) = �x 2 − x − 2
x2 − x − 2 ≥ 0
(x − 2)(x + 1) ≥ 0
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Análisis Matemático 1
x ∈ ([0; +∞ >) ∩ (< −∞: −1] ∪ [2; +∞ >)
x ∈ [2; +∞ >
Dom(1) = [2; +∞ >
CASO 2: 𝒙 < 𝟎 → 𝒙 ∈< −∞; 𝟎 >
f(x) = �x2 + x − 2
x2 + x − 2 ≥ 0
(x + 2)(x − 1) ≥ 0
x ∈ (< −∞; ]) ∩ (< −∞: −2] ∪ [1; +∞ >)
x ∈ < −∞; −2]
Dom(2) =< −∞; −2]
∴ Dom(𝑓 ) = < −∞; −2] ∪ [2; +∞ >
Rango
CASO 1:
f(x) = �x2 − x − 2
1 2 9
�
f(x) = �x − � − … … … (1)
2
4
x ≥ 2 (Dom. CASO 1)
x−
1
3
≥+
2
2
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Análisis Matemático 1
1 2 9
�x − � ≥
2
4
1 2 9
�x − � − ≥ 0
2
4
1 2 9
��x − � − ≥ 0
2
4
f(x) ≥ 0
Luego:
Rang(1) = [0; +∞ >
Rango
CASO 2:
f(x) = �x 2 + x − 2
1 2 9
f(x) = ��x + � − … … . (2)
2
4
x ≤ −2
x+
1
3
≤−
2
2
1 2 9
�x + � ≥
2
4
1 2 9
�x + � − ≥ 0
2
4
1 2 9
��x + � − ≥ 0
2
4
f(x) ≥ 0
Luego:
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Análisis Matemático 1
Rang(2) = [0; +∞ >
∴ Rang(𝑓 ) = [0; +∞ > ∪ [0; +∞ >
Dom(𝑔):
𝑔(𝑥 ) =
= [0; +∞ >
4
�1 − ⟦𝑥⟧
(𝑥⟦2𝑥 − 1⟧ − 2𝑥 )
Conjunto de valores admisibles (CVA) de: 𝟏 − ⟦𝒙⟧:
1 − ⟦x⟧ ≥ 0
Si:
⟦x⟧ = n
1−n≥0 ;
n≤1
n≤ x < n+1
Mayor valor entero de 𝒏 es 1.
x ∈ < −∞; n + 1 >
x ∈ < −∞; 2 > (CVA)
Restricciones del denominador 𝒙⟦𝟐𝒙 − 𝟏⟧ − 𝟐𝒙:
x⟦2x − 1⟧ − 2x ≠ 0
x(⟦2x − 1⟧ − 2) ≠ 0
x≠0
;
x ∈ ℝ − {0}
⟦2x − 1⟧ − 2 ≠ 0
⟦2x
− 1⟧ ≠ 2
�����
n
n≠2
Restricciones de (𝟐𝒙 − 𝟏):
2 ≤ 2x − 1 < 3
3 ≤ 2x < 4
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Pág. 198
Análisis Matemático 1
3⁄2 ≤ x < 2
x ∈ ℝ − [3⁄2 ; 2 >
Finalmente:
Dom(g) = < −∞; 𝟐 > ∩ (ℝ − {0}) ∩ ℝ − [3⁄2 ; 2 >
Dom(g) = < −∞; 0 > ∪ < 0; 3⁄2 >
PROBLEMA 30
Para la función cuadrática
¿Cuáles son verdaderas?
i)
no tienen soluciones reales.
ii)
tiene dos raíces reales iguales.
iii)
tiene dos raíces reales diferentes.
SOLUCION 30
f(x) = a(x − h)2 + p ; a ≠ 0
f(x) = a(x 2 − 2hx + h2) + p
f(x) = ax 2 − 2ahx + (ah2 + p)
Discriminante de 𝐟(𝐱) (∆):
∆= (−2ah) 2 − 4(a)(ah2 + p)
∆= 4a2 h2 − 4a2 h2 − 4ap
∆= −4ap
i) ap > 0
−4ap < 0
∆< 0
Luego:
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Análisis Matemático 1
f(x) = 0 No tiene soluciones reales.
∴ i) es VERDADERO.
ii) p = 0
(−4ap)(p) = (−4a)(0)
−4ap = 0
∆= 0
Luego:
f(x) = 0 Tiene dos raíces reales iguales.
∴ ii) es VERDADERO.
iii) 𝑎p < 0
−4𝑎p > 0
∆> 0
Luego:
f(x) = 0 Tiene dos raíces reales diferentes.
∴ iii) es VERDADERO.
TODAS SON VERDADERAS
PROBLEMA 31
Sea:
y tal que su gráfica es la figura adyacente. Halle el conjun-
to solución de:
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Análisis Matemático 1
SOLUCION 31
f: ℝ ⟶ ℝ
f(x) = ax 2 + bx + c
Resolver: (x 2 − 16)f(x) < 0 … … … . (1)
Gráficas de 𝒇:
SOL.:
La gráfica no intersecta al eje X.
∀ x ∈ D(f).
En (1):
f(x) < 0
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Pág. 201
Análisis Matemático 1
�
1
1
� (x 2 − 16)f(x) > 0 �
�
f(x)
f(x)
x 2 − 16 > 0
(x + 4)(x − 4) > 0
x ∈ ℝ − [−4; 4]
PROBLEMA 32
Sea
, cuya gráfica intersecta a los ejes en
¿Cuáles
son verdaderas?
i)
ii)
iii)
SOLUCION 32
f(x) = x 2 + bx + c
Interceptos a los ejes:
(r; 0) (s; 0) (0 ; k)
k>0
Posibles gráficas de 𝒇:
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Pág. 202
Análisis Matemático 1
Hacia arriba porque el coeficiente de 𝑥 2 es positivo (+):
(r > 0 ∧ s > 0) ∨ (r < 0 ∧ s < 0)
i)
˄
V
V
F
˅
V
˄
F
F
V
ii)
𝑟+𝑠
2
f�
r+s
2
�<0
Es la abscisa del vértice.
En cualquiera de las posibles gráficas su función 𝑓 �
∴ ii) es VERDADERO.
𝑟+𝑠
�<0
2
iii) 𝑐 > 0
f(x) = x 2 + bx + c
Intercepto con el eje “Y” (0; k)
x=0 ,
y=k ;
En la ecuación:
k>0
k = 02 + b(0) + c
k>0
c>0
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Pág. 203
Análisis Matemático 1
∴ iii) es VERDADERO.
TODOS SON VERDADEROS
PROBLEMA 33
Dadas las funciones
con dominio ℝ, ¿Cuáles son verdaderas?:
corta al eje X en dos puntos.
i)
ii)
iii)
, no tiene solución en ℝ si
corta el eje X en dos puntos diferentes siempre.
SOLUCION 33
Dominio (f, g , y h) = ℝ
i) f(x) = (1⁄2)x 2 + 3x + 2 corta al eje X en dos puntos.
1
∆= (3)2 − 4 � � (2)
2
∆= 9 − 4
∆= 5 > 0
La gráfica de 𝑓 corta al eje X en 2 puntos.
∴ i) es VERDADERO.
ii)
g(x) = −(1⁄3)(x 2 + 3x + a) , a ≠ 0 , no tiene solución en ℝ si 9 < 4𝑎
1
a
g(x) = − x 2 − x − ; a ≠ 0
3
3
1
a
∆= (−1)2 − 4 �− � �− �
3
3
4
∆= 1 − a
9
Para que no tenga solución real 𝑔(𝑥) = 0
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Pág. 204
Análisis Matemático 1
∆< 0
4
1− a<0
9
9 − 4a < 0
9 < 4ª
∴ ii) Es VERDADERO
iv) h(X) = x 2 + (a + 1)x + a , a ≠ 1 corta el eje X en dos puntos diferentes siempre.
∆= (𝑎 + 1)2 − 4(1)(𝑎)
∆= 𝑎2 + 2𝑎 + 1 − 4𝑎
∆= 𝑎2 − 2𝑎 + 1
∆= (𝑎 − 1)2
Para que corte al eje X en dos puntos:
∆> 0
(𝑎 − 1)2 > 0
𝑎 ∈ ℝ − {1} o 𝑎 ≠ 1
∴ iii) es VERDADERO
TODOS SON VERDADEROS
PROBLEMA 34
Sea:
Halle:
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Pág. 205
Análisis Matemático 1
SOLUCION 34
f(x) = ax 2 + bx + c ,
• 𝑓 (−1) = 0
f(2) = ?
0 = 𝑎(−1)2 + 𝑏(−1) + 𝑐
0 = 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 … … (1)
•
𝑓 (1) = 8
8 = 𝑎(1)2 + 𝑏(1) + 𝑐
8 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 … … . (2)
•
𝑓 (−1) + 𝑓(1/2) = 15/4
0 + 𝑎(1/2)2 + 𝑏(1/2) + 𝑐 = 15/4
15
𝑎 𝑏
+ +𝑐 =
4
4 2
𝑎 + 2𝑏 + 4𝑐 = 15 … … (3)
𝑎−𝑏+𝑐 =0
� 𝑎+𝑏+𝑐 =8
𝑎 + 2𝑏 + 4𝑐 = 15
(1) y (2):
𝑎−𝑏+𝑐= 0
𝑎+𝑏+𝑐= 8
2𝑎 + 2𝑐 = 8
𝑎 + 𝑐 = 4 … … (4)
(1) x 2; (3):
2𝑎 − 2𝑏 + 2𝑐 = 0
𝑎 + 2𝑏 + 4𝑐 = 15
3𝑎 + 6𝑐 = 15
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Pág. 206
Análisis Matemático 1
𝑎 + 2𝑐 = 15 … … (5)
(4) y (5):
𝑎+𝑐 = 4
𝑎 + 2𝑐 = 5
−𝑎 − 𝑐 = −4
𝑎 + 2𝑐 = 5
𝑐=1
En (2):
→
𝑎=3
3+b+1 = 8
b=4
Entonces:
f(x) = 3x 2 + 4x + 1
Luego:
f(2) = 3(4) + 4(2) + 1
f(2) = 21
PROBLEMA 35
Halle la gráfica y el rango de:
a)
b)
c)
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Pág. 207
Análisis Matemático 1
SOLUCION 35
Gráfica y rango:
a) f(x) = �
Rango𝒇𝟏 :
x2 − 4 , x < 3
2x − 1 , x ≥ 3
f1
f2
x<3
x2 ≥ 0
x 2 − 4 ≥ −4
f1 (x) ≥ −4
Rangf1 = [−4; +∞ >
Rango𝑓2 :
x≥3
2x ≥ 6
2x − 1 ≥ 5
f2 (x) ≥ 5
Rang𝑓2 = [5; +∞ >
∴ Rang𝑓 = Rang𝑓1 ∪ Rang𝑓2
= [−4; +∞ > ∪ [5; +∞ >
= [−4; +∞ >
Gráfica de 𝐟:
Tabulación:
X
-3
0
3
𝑓1 (𝑥)
5
-4
5
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Pág. 208
Análisis Matemático 1
(-3; 5) V(0; -4) (3; 5)
𝑓2 (𝑥)
5
X
3
5
9
(3; 5) (5; 9)
Gráfica:
b) g(x) = �
Rango 𝒈𝟏 :
x 2 − 1 , |x| < 9 g1
x
, x ≤ 9 g2
|x| < 9
−9 < x < 9
0 < x 2 < 81
−1 < x 2 − 1 < 80
−1 < g1(x) < 80
Rang 𝑔1 = < −1; 80 >
Rango g 2 :
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Pág. 209
Análisis Matemático 1
x ≤ −9
g 2 (x) ≤ −9
Rang𝑔2 = < −∞; −9]
∴ Rang𝑔 = < −1; 80 > ∪ < −∞; −9]
Rang𝑔 = < −∞; −9] ∪ < −1; 80 >
Gráfica de 𝒈:
Tabulación de 𝒈𝟏 :
x
-9
0
𝑔1 (𝑥)
80
-1
9
80
(-9; 80) V(0; -1) (9; 80)
Tabulación de 𝒈𝟐 :
𝑔2 (𝑥)
x
-9
-9
-7
-7
(-9; -9) (-7; -7)
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Pág. 210
Análisis Matemático 1
2x + |x| − 1 , x < −2
f1
,
− 1 ≤ x ≤ 2 f2
c) f(x) = �x + 1
x−3
,
x>2
f3
Rango 𝒇𝟏 :
x < −2
→ |x| = −x
f1 (x) = 2x + |x| − 1
f1 (x) = 2x − x − 1
f1 (x) = x − 1
x < −2
x − 1 < −3
f1(x) < −3
Rang𝑓1 = < −∞; −3 >
Rango 𝒇𝟐 :
f2(x) = x + 1
−1 ≤ x ≤ 2
0 ≤x+1 ≤ 3
0 ≤ f2 (x) ≤ 3
Rang 𝑓2 = [0; 3]
Rango 𝒇𝟑 :
f3(x) = x − 3
x>2
𝑥 − 3 > −1
f3 (x) > −1
Rang 𝑓3 = < −1; +∞ >
∴ Rang 𝑓 = Rang 𝑓1 ∪ Rang 𝑓2 ∪ Rang 𝑓3
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Análisis Matemático 1
Rang 𝑓 = < −∞; −3 > ∪ [0; 3] ∪ < −1; +∞ >
Rang 𝑓 = < −∞; −3 > ∪ < −1; +∞ >
Tabulación de f1 , f2 , f3 :
𝒇𝟏 :
-3
𝑓1 (𝑥)
-2
-3
x
-4
(-3; -4) (-2; -3)
𝒇𝟐 :
-1
𝑓2 (𝑥)
2
3
x
2
𝑓3 (𝑥)
3
0
x
0
(-1; 0) (2; 3)
𝒇𝟑 :
-1
(2; -1) (3; 0)
Gráfica de 𝒇:
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Pág. 212
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 36
Halle el rango y la gráfica de las funciones:
, para todo real.
SOLUCION 36
Rango y gráfica de 𝒇:
f(x) = |x − 1| + |x − 2|
∀x∈ℝ
Puntos críticos: 1; 2 (raíces de 𝑥 − 1 y 𝑥 − 2)
CASO 1: 𝒙 < 𝟏 Dominio
f(x) = −(x − 1) + −(x − 2)
f(x) = −x + 1 − x + 2
f(x) = −2x + 3 Regla de correspondencia
𝑥<1
−2𝑥 > −2
−2𝑥 + 3 > 1
f(x) > 1
Rang(1) = < 1; +∞ >
CASO 2: 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐 Dominio
f(x) = x − 1 + −(x − 2)
f(x) = x − 1 − x + 2
f(x) = 1 Regla de correspondencia
Rang(2) = {1}
CASO 3: 𝒙 ≥ 𝟐 Dominio
f(x) = x − 1 + x − 2
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Pág. 213
Análisis Matemático 1
f(x) = 2x − 3 Regla de correspondencia
𝑥≥2
2𝑥 ≥ 4
2𝑥 − 3 ≥ 1
f(x) ≥ 1
Rang(3) = [1; +∞ >
Rang𝑓 = Rang(1) ∪ Rang(2) ∪ Rang(3)
Rang𝑓 = < 1; +∞ > ∪ {1} ∪ [1; +∞ >
Rang𝑓 = [1; +∞ >
Tabulación de los casos (dominio y regla de correspondencia).
CASO 1: 𝒙 < 𝟏
x
0
1
(0; 3) (1; 1)
𝑓(𝑥)
3
1
CASO 2: 𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟐
X
1
2
(1; 1) (2; 1)
𝑓(𝑥)
1
1
CASO 3: 𝒙 > 𝟐
2
𝑓(𝑥)
3
3
X
1
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Pág. 214
Análisis Matemático 1
(2; 1) (3; 3)
Rango y gráfica de 𝒈:
g(x) = |x + 2| − 2|3 − x| ∀ x ∈ ℝ
Puntos críticos: -2; 3 (raíces de 𝑥 + 2 y 3 − 𝑥)
CASO 1: 𝑥 < −2
g(x) = −(x + 2) − 2[3 − x]
g(x) = −x − 2 − 6 + 2x
g(x) = x − 8
x < −2
x − 8 < −10
g(x) < −10
Rang1 = < −∞; −10 >
CASO 2: −𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟑
g(x) = x + 2 − 2(3 − x)
g(x) = x + 2 − 6 + 2x
g(x) = 3x − 4
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Pág. 215
Análisis Matemático 1
−2 ≤ x < 3
−6 ≤ 3x < 9
−10 ≤ 3x − 4 < 5
−10 ≤ g(x) < 5
Rang2 = [−10; 5 >
CASO 3: 𝒙 ≥ 𝟑
g(x) = x + 2 − 2[−(3 − x)]
g(x) = x + 2 + 6 − 2x
g(x) = −x + 8
𝑥≥3
−𝑥 ≤ −3
−𝑥 + 8 ≤ 5
g(x) ≤ 5
Rang3 = < −∞; 5]
∴ Rang𝑔 = Rang1 ∪ Rang2 ∪ Rang3
Rang 𝑔 = < −∞; −10 > ∪ [−10; 5 > ∪ < −∞; 5]
Rang 𝑔 = < −∞; 5]
Gráfica:
Tabulación:
CASO 1: 𝒙 < −𝟐
g(x) = x − 8
-3
𝑔(𝑥)
-2
-10
x
-11
(-3; -11) (-2; -10)
CASO 2: −𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟑
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Pág. 216
Análisis Matemático 1
g(x) = 3x − 4
-2
𝑔(𝑥)
3
5
x
-10
(-2; -10) (3; 5)
CASO 3: 𝒙 ≥ 𝟑
g(x) = −x + 8
3
𝑔(𝑥)
4
4
x
5
(3; 5) (4; 4)
PROBLEMA 37
Halle el dominio y rango de:
a)
b)
SOLUCION 37
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Pág. 217
Análisis Matemático 1
Dominio y rango:
a) f(x) = �|sen x|
Dominio:
sen 𝑥 ∃ ∀ 𝑥 ∈ ℝ
∴ Dom𝑓 = ℝ
Rango:
−1 ≤ sen 𝑥 ≤ 1
0 ≤ |sen 𝑥| ≤ 1
0 ≤ �|sen 𝑥| ≤ 1
0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 1
∴ Rang𝑓 = [0; 1]
b) 𝑔 (𝑥 ) = 2 + �|𝑥 2 − 9|
𝑔(𝑥 ) = 2 + �|𝑥 + 3||𝑥 − 3|
Puntos críticos: -3; 3
CASO 1: 𝒙 < −𝟑
𝑔(𝑥 ) = 2 + �[−(𝑥 + 3)][−(𝑥 − 3)]
𝑔(𝑥 ) = 2 + �(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
𝑔(𝑥 ) = 2 + �𝑥 2 − 9
𝑥 < −3
𝑥2 > 9
𝑥2 − 9 > 0
�𝑥 2 − 9 > 0
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Pág. 218
Análisis Matemático 1
2 + �𝑥 2 − 9 > 2
𝑔(𝑥 ) > 2
Rang1 = < 2; +∞ >
Dom1 = < −∞; −3 >
CASO 2: −𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟑
𝑔(𝑥 ) = 2 + �(𝑥 + 3)[−(𝑥 − 3)]
𝑔(𝑥 ) = 2 + �9 − 𝑥 2
−3 ≤ 𝑥 < 3
0 ≤ 𝑥2 ≤ 9
0 ≥ −𝑥 2 ≥ −9
9 ≥ 9 − 𝑥2 ≥ 0
3 ≥ �9 − 𝑥 2 ≥ 0
5 ≥ 2 + �9 − 𝑥 2 ≥ 2
5 ≥ 𝑔(𝑥) ≥ 2
Rang2 = [2; 5]
Dom2 = [−3; 3 >
CASO 3: 𝒙 ≥ 𝟑
𝑔(𝑥 ) = 2 + �(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
𝑔(𝑥 ) = 2 + �𝑥 2 − 9
𝑥≥3
𝑥2 ≥ 9
𝑥2 − 9 ≥ 0
�𝑥 2 − 9 ≥ 0
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Pág. 219
Análisis Matemático 1
2 + �𝑥 2 − 9 ≥ 2
𝑔(𝑥) ≥ 2
Rang3 = [2; +∞ >
Dom3 = [3; +∞ >
∴ Dom𝑔 = Dom1 ∪ Dom2 ∪ Dom3
Dom𝑔 = < −∞; −3 > ∪ [−3; 3 > ∪ [3; +∞ >
Dom𝑔 = ℝ
Rang 𝑔 = Rang1 ∪ Rang2 ∪ Rang3
Rang 𝑔 = < 2; +∞ > ∪ [2; 5] ∪ [2; +∞ >
Rang 𝑔 = [2; +∞ >
PROBLEMA 38
Halle el dominio, rango y gráfica de:
SUG:
SOLUCION 38
Dominio, rango y gráfica:
f(x) = �⟦x⟧
⟦x⟧ = n ;
n≤ x< n+1 ;
n≥0
n = 0:
0 ≤ x < 1 → x ∈ [0; 1 >
n = 2:
2 ≤ x < 3 → x ∈ [2; 3 >
n = 1:
1 ≤ x < 2 → x ∈ [1; 2 >
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Pág. 220
Análisis Matemático 1
∴ x ∈ [0; 1 > ∪ [1; 2 > ∪ [2; 3 > ∪ … …
x ∈ [0; +∞ >
Dom𝑓 = [0; +∞ >
Rang𝑓 = {f(x)/ f(x) = √n ; n ∈ ℤ+ ∪ {0}}
Rang𝑓 = �√0; √1; √2; √3; … … . . � ó {0; 1; √2; √3; … … . . }
Tabulación:
x
[0; 1>
[1; 2>
0
1
[3; 4>
√2
………
………
[2; 3>
𝑓(𝑥)
√3
PROBLEMA 39
Halle el dominio, rango y gráfica de:
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Análisis Matemático 1
SOLUCION 39
Dominio, rango y gráfica:
𝑓 (𝑥 ) = �𝑥 − ⟦𝑥⟧
⟦𝑥⟧ = 𝑛;
𝑛≤ 𝑥 < 𝑛+1 →
𝑛 ≤ 𝑥 <𝑛+1
𝑓(𝑥) = √𝑥 − 𝑛
0≤𝑥−𝑛<1
0 ≤ √𝑥 − 𝑛 < 1
0 ≤ 𝑓 (𝑥 ) < 1
Rang𝑓 = [0; 1 >
𝑥 − 𝑛 ≥ 0 (Conjunto de valores admisibles)
𝑥≥𝑛
𝑥∈ℤ
∴𝑥 ∈ℝ
Dom𝑓 = ℝ
Tabulación:
x
[0; 1>
𝑛
[1; 2>
1
[2; 3>
2
[-1; 0>
-1
[-2; -1>
-2
0
f(x) = √x − n
f(x) = √x
f(x) = √x − 1
f(x) = √x − 2
f(x) = √x + 1
f(x) = √x + 2
Bosquejo:
Gráfica de 𝑓(𝑥 ) = √𝑥
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Pág. 222
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 40
Halle el rango y la gráfica de:
SOLUCION 4O
Rango y gráfica:
𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 + ⟦𝑥⟧ ;
Rango de 𝒇:
−1 ≤ 𝑥 < 2
CASO 1: −𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟎
f(x) = x + (−1)
f(x) = x − 1
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Pág. 223
Análisis Matemático 1
−1 ≤ x < 0
−2 ≤ x − 1 < −1
−2 ≤ f(x) < −1
Rang(1) = [−2; −1⟩
CASO 2: 0≤ 𝒙 < 𝟏
f(x) = x + (0)
f(x) = x
Rang(2) = [0; 1⟩
CASO 3: 𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟐
f(x) = x + (1)
f(x) = x + 1
1≤x<2
2 ≤x+1 < 3
2 ≤ 𝑓(𝑥) < 3
Rang(3) = [2; 3⟩
∴ Rang𝑓 = Rang(1) ∪ Rang(2) ∪ Rang(3)
Rang𝑓 = [−2; −1⟩ ∪ [0; 1⟩ ∪ [2; 3⟩
Tabulación caso 1:
-1
𝒇(𝒙)
0
-1
x
-2
(-1; -2) (0; -1)
Tabulación caso 2:
x
0
𝑓(𝑥)
0
1
1
(0; 0) (1, 1)
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Pág. 224
Análisis Matemático 1
Tabulación caso 3:
x
1
𝑓(𝑥)
2
2
3
(1; 2) (2; 3)
Gráfica
PROBLEMA 41
Si
, halle su dominio y su gráfica.
SUG:
para
SOLUCION 41
f(x) =
x
⟦2x + 3⟧
Dominio:
⟦2𝑥 + 3⟧ ≠ 0
2𝑥 + 3 < 0 ∨ 2𝑥 + 3 ≥ 1
𝑥 < − 3⁄2 ∨ 𝑥 ≥ −1
𝑥 ∈ < −∞; − 3⁄2 > ∪ [−1; +∞ >
𝑥 ∈ ℝ − [− 3⁄2; −1 >
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Pág. 225
Análisis Matemático 1
Dom𝑓 = ℝ − [− 3⁄2; −1 >
Gráfica:
⟦2x + 3⟧ = n ; n ≤ 2x + 3 < n + 1; n ∈ ℤ
n − 3 ≤ 2x < n − 2
n−2
n−3
≤x<
2
2
n
-2
-1
1
2
3
x
−5/2 ≤ x < −2
f(x)
−x/2
−2 ≤ x < −3/2
f(x) = −x
−1/2 ≤ x < 0
f(x) = x/2
−1 ≤ x < −1/2
0 ≤ x < 1/2
f(x) = x
f(x) = x/3
PROBLEMA 42
Halle la gráfica y el rango de:
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Pág. 226
Análisis Matemático 1
SOLUCION 42
Rango y gráfica:
f(x) = ⟦sen x⟧ ; x ∈ [0; 2π]
sen x ∈ [−1; 1] ∀ x ∈ [0; 2π]
CASO 1: 𝐬𝐞𝐧 𝒙 ∈ [−𝟏; 𝟎 > → 𝒙 ∈ < 𝝅; 𝟐𝝅 >
f(x) = ⟦sen x⟧
f(x) = −1
Rang(1) = {−1}
CASO 2: 𝐬𝐞𝐧 𝒙 ∈ [𝟎; 𝟏 > → 𝒙 ∈ �[𝟎; 𝝅] − {𝝅/𝟐}� ∪ {𝟐𝝅}
f(x) = ⟦sen x⟧
f(x) = 0
Rang(2) = {0}
CASO 3: 𝐬𝐞𝐧 𝒙 ∈ {𝟏} → 𝒙 ∈ {𝝅/𝟐}
f(x) = ⟦1⟧
f(x) = 1
Rang(3) = {1}
∴ Rang𝑓 = Rang(1) ∪ Rang(2) ∪ Rang(3)
Rang𝑓 = {−1} ∪ {0} ∪ {1}
Rang𝑓 = {−1, 0, 1}
Gráfica:
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Pág. 227
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 43
Grafique las siguientes funciones:
a)
b)
c)
d)
e)
SOLUCION 43
a) f(x) = �|x|
CASO 1: 𝑥 ≥ 0
f(x) = √x
CASO 2: 𝒙 < 0
f(x) = √−x
b) 𝑓 (𝑥 ) = �⟦𝑥⟧
⟦𝑥⟧ ≥ 0
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Análisis Matemático 1
0 ≤ x < 1 → f(x) = 0
1 ≤ x < 2 → f(x) = 1
2 ≤ x < 3 → f(x) = √2
……
3 ≤ x < 4 → f(x) = √3
Dominio = [0; +∞ >
Rango = �0, 1, √2, √3, … … . . �
c) f(x) = |⟦x⟧|
−2 ≤ 𝑥 < −1 → 𝑓(𝑥 ) = |−2| = +2
−1 ≤ 𝑥 < 0 → 𝑓 (𝑥 ) = |−1| = +1
d) 𝑓 (𝑥 ) = �√𝑥�
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Pág. 229
Análisis Matemático 1
dominio = [0; −∞ >
𝑥≥0
0≤𝑥<1
→ 𝑓 (𝑥 ) = �√𝑥� = 0
1≤x<2
→ f(x) = �√x� = 1
2≤x<3
→ f(x) = �√x� = 1
3≤x<4
→ f(x) = �√x� = 1
4≤x<5
→ f(x) = �√x� = 2
0 ≤ √x < 1
1 ≤ √x < √2
√2 ≤ √x < √3
√3 ≤ √x < 2
2 ≤ √x < √5
e) 𝑓 (𝑥 ) = ⟦|𝑥|⟧
𝑥 ∈ ℝ ; Dom = ℝ
CASO 1: 𝒙 ≥ 𝟎
f(x) = ⟦x⟧ = n/ n ≤ x < n + 1
x ϵ [0; 1 > → f(x) = 0
x ϵ[1; 2 > → f(x) = 1
x ϵ[2; 3 > → f(x) = 2
……
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Pág. 230
Análisis Matemático 1
CASO 2: 𝒙 < 𝟎
f(x) = ⟦−x⟧ = n/ n ≤ −x < n + 1
n ≤ −x < n + 1
−n ≥ x > −(n + 1)
h=0
0 ≥ x > −1
0 > x > −1
h=1
h=1
→
f(x) = 0
−1 ≥ x > −2 → f(x) = 1
−2 ≥ x > −3
Resumen de tripulación:
x
[0; 1 >
[1; 2 >
[2; 3 >
𝑓(𝑥)
0
1
2
….
….
< −1; 0 >
< −2; −1]
< −3; −2]
0
1
2
→ f(x) = 2
PROBLEMA 44
En las siguientes funciones halle los intervalos, si existen, en los que las funciones son negativas
:
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Pág. 231
Análisis Matemático 1
a)
b)
c)
d)
e)
f)
SOLUCION 44
a) 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3
𝑓(𝑥) ≥ 0
𝑥 2 − 4𝑥 + 3 ≥ 0
(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) ≥ 0
𝑥 ∈ < −∞; 1] ∪ [3; +∞ >
b) 𝑓 (𝑥 ) = −𝑥 4 + 2𝑥 3 − 𝑥 2
𝑓(𝑥) ≥ 0
−𝑥 4 + 2𝑥 3 − 𝑥 2 ≥ 0
𝑥 4 − 2𝑥 3 + 𝑥 2 ≤ 0
𝑥 2 (𝑥 2 − 2𝑥 + 1) ≤ 0
𝑥 2 (𝑥 − 1)2 ≤ 0
Puntos críticos: 0; 1
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Análisis Matemático 1
𝑥 ∈ {0; 1}
c) 𝑓 (𝑥 ) = −(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 2 − 4)
𝑓 (𝑥 ) ≥ 0
−(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 2 − 4) ≥ 0
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) ≤ 0
Puntos críticos: –1, 1, –2, 2
𝑥 ∈ [−2; .1] ∪ [1; 2]
d) 𝑓 (𝑥 ) =
𝑓(𝑥) ≥ 0
𝑥−8
𝑥+6
𝑥−8
≥0
𝑥+6
Puntos críticos: 8, –6
𝑥 ∈< −∞; −6 > ∪ [8; +∞ >
e) 𝑓 (𝑥 ) =
𝑓 (𝑥 ) ≥ 0
𝑥 2 −4
𝑥 2 −25
𝑥2 − 4
≥0
𝑥 2 − 25
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
≥0
(𝑥 + 5)(𝑥 − 5)
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Análisis Matemático 1
Puntos críticos: –2, 2, –5, 5
𝑥 ∈ < −∞; −5 > ∪ [−2; 2] ∪ < 5; +∞ >
f) 𝑓 (𝑥 ) =
𝑓 (𝑥 ) ≥ 0
𝑥 2 +5𝑥+4
2−2𝑥 2
𝑥 2 + 5𝑥 + 4
≥0
2 − 2𝑥 2
𝑥 2 + 5𝑥 + 4
≤0
2𝑥 2 − 2
𝑥 2 + 5𝑥 + 4
≤0
2(𝑥 2 − 1)
(𝑥 + 4)(𝑥 + 1)
≤0 ;
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
Puntos críticos: –4, +1
𝑥 ≠ −1
𝑥 ∈ [−4; 1 > −{−1} o [−4; −1 > ∪ < −1; 1 >
PROBLEMA 45
Halle el dominio, el rango y la gráfica de:
a)
b)
c)
SOLUCION 45
a) f(x) = Sgn(x 2 ) − Sgn(x)
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Análisis Matemático 1
CASO 1: 𝒙 < 𝟎
x < 0 → Sgn(x) = −1
x 2 < 0 → Sgn(x 2 ) = 1
Luego:
f(x) = 1 − (−1)
f(x) = 2 → Rang1 = {2}
CASO 2: 𝐱 = 𝟎
x = 0 → Sgn(x) = 0
x 2 = 0 → Sgn(x 2 ) = 0
Luego:
f(x) = 0 − 0 = 0 → Rang2 = {0}
CASO 3: 𝒙 > 𝟎
x > 0 → Sgn(x) = 1
x 2 > 0 → Sgn(x 2 ) = 1
Luego:
𝑓 (𝑥 ) = 1 − 1
𝑓 (𝑥 ) = 0
Gráfica:
→ Rang3 = {0}
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Análisis Matemático 1
Dom𝑓 = Dom1 ∪ Dom2 ∪ Dom3
= < −∞; 0 > ∪ {0} ∪ < 0; +∞ >
Dom𝑓 = ℝ
Rang𝑓 = {2} ∪ {0} ∪ {0}
Rang𝑓 = {0; 2}
b) 𝑓 (𝑥 ) = (𝑥 − ⟦𝑥⟧)2
CASO:
2
−3 ≤ 𝑥 < −2 → 𝑓(𝑥 ) = �𝑥 − (−3)�
𝑓 (𝑥 ) = (𝑥 + 3)2
−3 ≤ 𝑥 < −2 → 𝑥 ∈ [−3; −2 >
0≤𝑥+3<1
0 ≤ (𝑥 + 3)2 < 1
0 ≤ 𝑓 (𝑥 ) < 1 → 𝑓(𝑥 ) ∈ [0; 1 >
−2 ≤ 𝑥 < −1 → 𝑓(𝑥 ) = (𝑥 + 2)2
−2 ≤ 𝑥 < −1 → 𝑥 ∈ [−2; −1 >
0≤𝑥+2<1
0 ≤ (𝑥 + 2)2 < 1
0 ≤ 𝑓 (𝑥 ) < 1 → 𝑓(𝑥 ) ∈ [0; 1 >
−1 ≤ 𝑥 < 0 → 𝑓(𝑥 ) = (𝑥 + 1)2
−1 ≤ 𝑥 < 0 → 𝑥 ∈ [−1; 0 >
0≤𝑥+1<1
0 ≤ (𝑥 + 1)2 < 1
0 ≤ 𝑓 (𝑥 ) < 1 → 𝑓(𝑥 ) ∈ [0; 1 >
0 ≤ 𝑥 < 1 → 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2
0 ≤ 𝑥 < 1 → 𝑥 ∈ [0; 1 >
0 ≤ 𝑥2 < 1
0 ≤ 𝑓 (𝑥 ) < 1 → 𝑓(𝑥 ) ∈ [0; 1 >
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Análisis Matemático 1
1 ≤ 𝑥 < 2 → 𝑓 (𝑥 ) = (𝑥 − 1)2
1 ≤ 𝑥 < 2 → 𝑥 ∈ [1; 2 >
0≤𝑥−1<1
0 ≤ (𝑥 − 1)2 < 1
0 ≤ 𝑓 (𝑥 ) < 1 → 𝑓(𝑥 ) ∈ [0; 1 >
2 ≤ 𝑥 < 3 → 𝑓 (𝑥 ) = (𝑥 − 2)2
2 ≤ 𝑥 < 3 → 𝑥 ∈ [2; 3 >
0≤𝑥−2<1
0 ≤ (𝑥 − 2)2 < 1
0 ≤ 𝑓 (𝑥 ) < 1 → 𝑓(𝑥 ) ∈ [0; 1 >
Dom𝑓 = ℝ
Rang𝑓 = [0; 1 >
Gráfica:
c) 𝑓 (𝑥 ) = 2 + (−1)𝑛
CASO:
𝐷𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑛 = ⟦𝑥⟧
f(x) = 2 + (−1)−4
−4 ≤ x < −3 →
f(x) = 3
f(x) = 2 + (−1)−3
−3 ≤ x < −2 →
f(x) = 1
f(x) = 2 + (−1)−2
−2 ≤ x < −1 →
f(x) = 3
f(x) = 2 + (−1)−1
−1 ≤ x < 0 →
f(x) = 1
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Pág. 237
Análisis Matemático 1
f(x) = 2 + (−1)0
0≤x<1 →
f(x) = 3
f(x) = 2 + (−1)1
1≤x<2 →
f(x) = 1
f(x) = 2 + (−1)2
2≤x<3 →
f(x) = 3
Dom𝑓 = ℝ
Rang𝑓 = {1, 3}
Gráfica:
La gráfica es infinita por
ambos extremos.
PROBLEMA 46
Halle la gráfica y el rango de las funciones:
a)
b)
SUG.- Grafique primero
y luego
SOLUCION 46
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Análisis Matemático 1
Rango y gráfica:
a) f(x) = ⟦cos x⟧ , 0 ≤ x ≤ 2π
Tomando como base la gráfica de la función coseno:
CASO:
x = 0 → f(x) = ⟦cos 0⟧ = 1
0 < x ≤ π/2
→
π < x < 3π/2
→ f(x) = −1
π/2 < x ≤ π
3π/2 ≤ x < 2π
→
f(x) = 0
f(x) = −1
→
Rangf = {0; −1; 1}
→ f(x) = 0
x = 2π → f(x) = ⟦cos 2π⟧ = 1
Gráfica:
π
b) g(x) = �− cos �x − �� , 0 ≤ x < 2π
4
Como la función coseno está acotada en el intervalo [-1; 1] se puede deducir que el Rango de 𝑔(𝑥)
está dada por:
Rang 𝑔 = {−1; 0; 1}
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Pág. 239
Análisis Matemático 1
Graficando:
Sea 𝑓 (𝑥 ) = − cos(𝑥 − 𝜋 ⁄4)
•
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋⁄4
−1 ≤ 𝑓 (𝑥 ) ≤ −
Luego:
√2
2
𝑔(𝑥 ) = ⟦𝑓(𝑥)⟧ = −1
•
𝜋⁄4 < 𝑥 < 3𝜋⁄4
−1 < 𝑓 (𝑥 ) < 0
Luego:
𝑔(𝑥 ) = ⟦𝑓(𝑥)⟧ = −1
•
3𝜋⁄4 < 𝑥 < 5𝜋⁄4
0 ≤ 𝑓 (𝑥 ) < 1
Luego:
𝑔(𝑥 ) = ⟦𝑓(𝑥)⟧ = 0
•
𝑥 = 5𝜋⁄4
𝑓 (𝑥 ) = 1
Luego:
𝑔(𝑥 ) = ⟦𝑓(𝑥)⟧ = 1
•
5𝜋⁄4 < 𝑥 ≤ 7𝜋⁄4
0 ≤ 𝑓 (𝑥 ) < 1
Luego:
𝑔(𝑥 ) = ⟦𝑓(𝑥)⟧ = 0
•
7π⁄4 < x < 2π
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Análisis Matemático 1
−
√2
< 𝑓 (𝑥 ) < 0
2
Luego:
𝑔(𝑥 ) = ⟦𝑓(𝑥)⟧ = −1
Gráfica:
PROBLEMA 47
Halle la gráfica y el rango de:
SOLUCION 47
Rango y gráfica:
𝑓 (𝑥 ) =
𝑥
⟦𝑥��
+�1⟧
�
� ≠0
𝑛
⟦𝑥 + 1⟧ = 𝑛 / 𝑛 ≤ 𝑥 + 1 < 𝑛 + 1
𝑛 ≤ 𝑥+1< 𝑛+1
𝑛−1≤x<n
CASOS:
,
x≠n
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Análisis Matemático 1
n = −3: − 4 ≤ x < −3 →
4
x
≥ − > 1 → Rang = < 1; 4/3]
3
3
n = −2: − 3 ≤ x < −2 →
3
x
≥ − > 1 → Rang = < 1; 3/2]
2
2
f(x) = −x/3
f(x) = −x/2
n = −1: − 2 ≤ x < −1 → 2 ≥ −x > 1 → Rang = < 1; 2]
f(x) = −x
n = 1: 0 ≤ x < 1 → Rang = [0; 1 >
f(x) = x
n = 2: 1 ≤ x < 2 → 1/2 ≤ x/2 < 1 → Rang = [1/2; 1 >
f(x) = x/2
n = 3: 2 ≤ x < 3 → 2/3 ≤ x/3 < 1 → Rang = [2/3; 1 >
f(x) = x/3
n = 4: 3 ≤ x < 4 → 3/4 ≤ x/4 < 1 → Rang = [3/4; 1 >
f(x) = x/4
∴ Rangf = Uniendo todos los rangos
= [0; 2] − {1}
Dominio = ℝ − [−1; 0 >
Gráfica de 𝒇:
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Análisis Matemático 1
PROBLEMA 48
Halle la gráfica y el rango de:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
SOLUCION 48
Rango y gráfica:
a) f(x) = ⟦2x⟧
⟦2x⟧ = n / n ≤ 2x < n + 1
n+1
n
≤x<
2
2
CASOS:
n = −3: −
3
≤ x < −1 → f(x) = −3
2
n = −1: −
1
≤ x < 0 → f(x) = −1
2
n − 2: − 1 ≤ x < −
n = 0: 0 ≤ x <
1
2
→ f(x) = −2
1
→ f(x) = 0
2
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Análisis Matemático 1
n = 1:
1
≤ x < 1 → f(x) = 1
2
n = 3:
3
≤ x < 2 → f(x) = 3
2
n = 2: 1 ≤ x <
3
→ f(x) = 2
2
Rang𝑓 = ℤ
Gráfica de f:
b) f(x) = ⟦x⁄3⟧
⟦x⁄3⟧ = n / n ≤
x
3
3n ≤ x < 3(n + 1)
<n+1
CASOS:
n = −2: − 6 ≤ x < −3
n = −1: − 3 ≤ x < 0
n = 0: 0 ≤ x < 3
n = 1: 3 ≤ x < 6
n = 2: 6 ≤ x < 9
∴ Rang𝑓 = ℤ
Dom𝑓 = ℝ
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→
→
→
→
→
f(x) = −2
f(x) = −1
f(x) = 0
f(x) = 1
f(x) = 2
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Análisis Matemático 1
Gráfica:
c) 𝑓 (x) = ⟦2x + 1⟧
⟦2x + 1⟧ = n / n ≤ 2x + 1 < n + 1
n − 1 ≤ 2x < n
n
n−1
≤x<
2
2
CASOS:
n = −2 ∶ −
3
≤ x < −1
2
n = −1 ∶ −1 ≤ x < −1/2
n=0∶ −
n=1∶ −
n=2∶
1
0
≤x<
2
2
0
1
≤x<
2
2
1
≤x<1
2
Dom𝑓 = ℝ
→
→
f(x) = −2
f(x) = −1
o −
1
≤x<0
2
→
f(x) = 2
o 0 ≤x<
1
2
→
→
f(x) = 0
f(x) = 1
Rang𝑓 = ℤ
Gráfica:
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Pág. 245
Análisis Matemático 1
1
d) f(x) = �x + �
3
1
�x + � = n
3
n−
/
2
1
≤x < n+
3
3
n≤x+
1
< n+1
3
Caso 1:
n = −2: −
n = −1: −
n = 0: −
n = 1:
n = 2:
7
4
≤x<−
3
3
4
1
≤x<−
3
3
1
2
≤x<
3
3
2
5
≤x<
3
3
5
8
≤x<
3
3
Dom = ℝ
→ f(x) = −2
→ f(x) = −1
→ f(x) = 0
→ f(x) = 1
→ f(x) = 2
Rang𝑓 = ℤ
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Pág. 246
Análisis Matemático 1
Gráfica:
e) f(x) = ⟦1 − x⟧
⟦1 − x⟧ = n / n ≤ 1 − x < n + 1
n − 1 ≤ −x < n
1 − n ≥ x > −n
−n < x ≤ 1 − n
CASOS:
n = −2: 2 < x ≤ 3
n = −1: 1 < x ≤ 2
n = 0: 0 < x ≤ 1
n = 1: − 1 < x ≤ 0
n = 2: − 2 < x ≤ −1
∴ Dom𝑓 = ℝ
f(x) = −2
→
f(x) = −1
→
→
→
f(x) = 0
→
f(x) = 1
f(x) = 2
Rang𝑓 = ℤ
Gráfica:
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Análisis Matemático 1
f) f(x) = �⟦x⟧ − x
⟦x⟧ = n / n ≤ x < n + 1
f(x) = √n − x
Conjunto de valores admisibles de la raíz:
n−x≥ 0
x≤n
CASOS:
n = 0: 0 ≤ x < 1 ∧ x ≤ 0
[0; 1 > ∩ < −∞; 0]
x ∈ {0}
→
f(x) = √0 − 0
(0; 0) ∈ f
x=0
→
f(x) = 0
n = 1: 1 ≤ x < 2 ∧ x ≤ 1
x ∈ {1}
→
f(x) = √1 − 1
(1; 0) ∈ f
x=1
→
f(x) = 0
n = 2: 2 ≤ x < 3 ∧ x ≤ 2
x ∈ {2}
→
f(x) = √2 − 2
x=2
→
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f(x) = 0
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Pág. 248
Análisis Matemático 1
(2; 0) ∈ f
n = −1: − 1 ≤ x < 0 ∧ x ≤ −1
x ∈ {−1}
→
x = −1
f(x) = �−1 − (−1)
(−1; 0) ∈ f
→
f(x) = 0
∴ Dom = ℤ
Rango = {0}
Gráfica:
PROBLEMA 49
Halle las gráficas de:
a)
b)
SOLUCION 49
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Análisis Matemático 1
a) Justificación de la gráfica de:
1
f(x) = sen � � ;
x
x≠0
Dominio de 𝑓 = ℝ − {0}
Rango de 𝒇:
1
� � ∈ ℝ − {0}
x
Luego:
1
sen � � ó f(x) ∈ [−1; 1] − {0}
x
Rang 𝑓 = [−1; 1] − {0}
Asíntota vertical:
1
Denominador� � = 0
𝑥=0
𝑥
𝒇 Es simétrica con respecto al origen de coordenadas
Haciendo:
x = −x ∧ y = −y
−y = sen �
1
�
−x
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Análisis Matemático 1
1
−y = − sen � �
x
y = sen
1
x
(Se ha conservado la ecuación)
Interceptos con el eje X:
𝑦 = 0:
1
1
1
; n∈ℤ
0 = sen � � → = nπ → x =
x
nπ
x
Separación entre 2 Interceptos consecutivos:
1
π
1
1
−
=
=
nπ (n + 1)π nπ(n + 1)π n(n + 1)π
Cuando "𝑛" se aproxima a 0 (1; 2; 3);
Cuando "𝑛" se aproxima a +∞;
1
1
𝑛(𝑛+1)𝜋
𝑛(𝑛+1)𝜋
→0
→
1
𝜋
Es decir la separación va creciendo notoriamente a mediad que "𝑥" se va alejando de "0".
Abscisas de los puntos más altos y más bajos de la gráfica
CASO:
1
sin � � = 1
𝑥
1
1 π
= + n(2π) → x = π
;
x 2
+ n(2π)
2
Separación entre 2 rectas consecutivas:
n∈ ℤ
π
π
+ 2nπ + 2π − − 2nπ
2
2
−π
= π
π
π
+ n(2π)
+ (n + 1)2π � + n(2π)� � + (n + 1)2π�
2
2
2
2
1
=
1
2
1
1
� + 2n� � + 2n + 2�
2
2
La tendencia de separación es la misma que en el caso de 2 Interceptos consecutivos.
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Análisis Matemático 1
b) Justificación de la gráfica de:
1
f(x) = x sen � � ; x ≠ 0
x
Dominio de 𝑓 = ℝ − {0}
Rango de 𝒇:
1
1
sen � � ∈ [−1; 1] − {0} ó − 1 ≤ sen � � < 0
x
x
CASO 1: 𝐱 > 𝟎
1
−x ≤ x. sen � � < 0
x
−x ≤ f(x) < 0
∨
f(x) ∈ [−x; 0 > ∪ < 0; x]
∨
∨
1
0 < sen � � ≤ 1
x
1
0 < x. sen � � ≤ x
x
0 < f(x) ≤ x
Como 𝑥 ∈ ℝ+ . Luego:
f(x) ∈ ℝ − {0}
NOTA: 𝑓(𝑥) está acotado por la recta: 𝑦 = 𝑥 ó 𝑦 = −𝑥
CASO 2: 𝒙 < 𝟎
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Análisis Matemático 1
1
−x ≥ x. sen � � > 0
x
1
0 < x. sen � � ≤ −x
��
���
��
x
f(x)
1
0 > x. sen � � ≥ x
x
∨
1
x ≤ x. sen � � < 0
��
���
��
x
∨
f(x)
f(x) ∈ [x; 0 > ∪ < 0; −x]
Como 𝑥 ∈ ℝ− . Luego:
f(x) ∈ ℝ − {0}
∴ Rang f = ℝ − {0}
NOTAS: los Interceptos se analizan de igual modo que en el gráfico anterior.
El criterio de separación entre 2 Interceptos consecutivos es el mismo.
Las abscisas de los puntos más altos y bajos se hallan de igual modo que en el gráfico anterior.
PROBLEMA 50
Presentar el número N > 0 como una suma de dos sumandos positivos tales que:
a) El producto sea el mayor posible.
b) La suma de los cuadrados sea la menor posible.
SUG.- Buscar una completación de cuadrados.
SOLUCION 50
Sean x y N − x los números pedidos:
𝑎) 𝑓 (×) = x(N − x)
= −x 2 + Nx
i)
ii)
Completando cuadrados:
N 2 N2
para que la función sea la mayor posible:
f(x) = − �x − � +
2
4
x−
N
N
=0↝ x=
2
2
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Pág. 253
Análisis Matemático 1
∴ Los números pedidos serán
N N
y
2 2
b) f(x) = x 2 + (N − x)2 = 2x 2 − 2Nx + N2
Completando cuadrados:
N 2
𝑓 (𝑥 ) = 2 �x − � +
x−
2
N2
N
N
=0↝ x=
2
2
2
para que la función sea la mayor posible:
∴ Los números pedidos serán
N N
y
2 2
PROBLEMA 51
Una ventana de forma rectangular está rematada en la parte superior por un semicírculo. ¿Cuál
debe ser la base del rectángulo para que la ventana tenga la mayor superficie siendo el perímetro
igual a 2 m?
SOLUCION 51
Ventana:
Perímetro ventana = 2m
A
� ventana máximo
Base = 2x =?
2𝑥 + 2𝑦 + 𝜋𝑥 = 2
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Pág. 254
Análisis Matemático 1
(𝜋 + 2)𝑥 + 2𝑦 = 2
2𝑦 = 2 − (𝜋 + 2)𝑥
𝑦 = 1−�
𝜋+2
�𝑥
2
Aventana = Arectángulo + Asemicirculo
π+2
πx 2
Av = (2x) �1 −
x� +
2
2
Av = 2x − (π + 2)x 2 +
Av = 2x − �
Av = −
Av = −
π+4 2
�x
2
πx 2
2
π+4 2
2x
�x +
�
π+4
2
−
2
π+4 2
4
�x − �
� x�
2
π+4
π+4
2 2
4
��x −
� −
�
Av = −
2
π+4
(π + 4)2
2(π + 4) π + 4
2 2
Av =
−
�x −
�
(π + 4)2
2
π+4
𝐴𝑣 será máximo cuando 𝑥 =
Luego:
BASE = 2 �
2
𝜋+4
2
4
�=
m
π+4
π+4
PROBLEMA 52
Demuestre que sí
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, la función:
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Pág. 255
Análisis Matemático 1
Puede tomar cualquier valor real.
SUG.-
SOLUCION 52
Probaremos que ∀ y ℝ, existe x ϵ ℝ tal que y = f(x)cuando 0 < c ≤ 1:
a) Para cualquier yϵ ℝ: (y − 1)x 2 + 2(2y − 1)x + c (3y − 1) = 0
y como debe existir al menos una solución:
∆ ≥ 0, es decir (4 − 3𝑐 )𝑦 2 + 4(𝑐 − 1)𝑦 − (𝑐 − 1) ≥ 0
y siendo ycualquier número real esta desigualdad es valida si
4 − 3c > 0 ˄ 16 (c − 1)2 + 4(4 − 3c)(c − 1) ≤ 0
De aqui resulta 0 ≤ c ≤ 1 . "Pues si c = 0, entonces:
f(x) =
x+2 1
= cuyo rango NO ES TODO ℝ, sino ⟨−∞, ∞⟩ − {1}
x+4 2
PROBLEMA 53
Demuestre que la función general de 2° grado
se puede expresar como
SUG.- es la función identidad.
SOLUCION 53
si f(x) = ax 2 + bx + c → f = a I 2 + bI + c
donde I es la función identidad.
Haciendo g (x) = ax 2 ;
↓
h(x) = bx;
↓
1(x) = c
g = a I2
h = bI
1=c
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↓
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Pág. 256
Análisis Matemático 1
Considerando que I(x) = x
Además: f = g + h + 1
Reemplazando: f = a I 2 + bI + c
PROBLEMA 54
Debe construirse una lámina triangular isósceles y de 60 cm. de perímetro de tal manera que al
rotar su lado común a los ángulos congruentes determine un sólido de volumen máximo. ¿Cuáles
deben ser las dimensiones de los lados de la lámina triangular?
SOLUCION 54
h = �x 2 − (30 − x)2
→ h = �x 2 − 900 + 60x − x 2
→ h = √60x − 900
V: volumen generado al rotar la lámina triangular alrededor del lado
π �√60x − 900�²(30 − x)
π h2 (30 − x)
� V = 2�
�
V = 2�
3
3
V=2
π
(60x − 900)(30 − x)
3
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Pág. 257
Análisis Matemático 1
π
V = 2 . 60(× −15)(30 − x)
3
𝑉 = −40 π (x − 15)(x − 30)
𝑉 = −40π (x 2 − 45x + 450)
45 2
45 2
𝑉 = −40π ��x − � − � � + 450�
2
2
45 2 225
V = −40π ��x − � −
�
2
4
45 2
V = 2250π − 40 4� �× − �
2
Para que el volumen sea máximo, x −
x−
45
=0
2
45
cm, medidas de los lados iguales.
2
60 − 2 �
45
� = 15 cm medidas del lado desigual
2
PROBLEMA 55
Halle el dominio, rango y gráfica de:
SUG.-
SOLUCION 55
f(x) = |x| + ⟦x⟧
⟦x⟧ = n / n ≤ x < n + 1
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Pág. 258
Análisis Matemático 1
Caso 1:
n = −3: − 3 ≤ x < −2
f(x) = −x − 3
n = −2: − 2 ≤ x < −1
f(x) = −x − 2
n = −1: − 1 ≤ x < 0
f(x) = −x − 1
n = 0:
0≤ x < 1
n = 1:
1≤ x < 2
n = 2:
2≤ x < 3
f(x) = x
f(x) = x + 1
f(x) = 𝑥 + 2
Resumen para tabulación
𝑥
[0; 1 >
[1; 2 >
[2; 3 >
f(x)
f(x) = x
f(x) = x + 1
f(x) = x + 2
[−3; −2 >
f(x) = −x − 3
[−1; 0 >
f(x) = −x − 1
[−2; −1 >
Gráfica de f:
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f(x) = −x − 2
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Pág. 259
Análisis Matemático 1
Dominio = ℝ
Rango = ⟨−1; +∞⟩ − {[1; 2 > ∪ [3; 4 >∪ [5; 6 >}
PROBLEMA 56
Halle el dominio, rango y gráfica de la función:
SOLUCION 56
f(×) =
|× +4| ;×< 0
f1
2(× −1)2 ; × ϵ [0; 2 > f2
2|× −4| ; × ϵ [2; +∞ > f3
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Pág. 260
Análisis Matemático 1
Dominio f = Dom f1 ∪ Dom f2 ∪ Dom f3
Dominio f = ⟨−∞; 0⟩ ∪ [0; 2 ∪ [2; +∞ >
Dominio f = ℝ
Rango f1
×<0
f(×) = |× +4|
Punto critico: −4
Caso I:
× +4 < 0
×< −4
𝑓 (×) = −(× +4)
𝑓 (×) = − × − 4
×< −4
− ×> 4
− × −4 > 0
f(×) > 0 → Rang I, = ⟨0; +∞⟩
Caso II:
−4 ≤ ×< 0
0 ≤× +4 < 4
f(×) =× +4
0 ≤ f(×) < 4
Rango II = [0; 4 >
∴ Rang f1 = ⟨0; +∞⟩ ∨ [0; 4 >
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Pág. 261
Análisis Matemático 1
= [0; +∞ >
Rango f2
0 ≤×< 2
−1 ≤× −1 < 1
0 ≤ (× −1)2 ≤ 1
0 ≤ 2(× −1)2 ≤ 2
0 ≤ f(×) ≤ 2
Rang f2 = [0; 2]
Rang f3
×≥ 2
f(×) = 2 − |× −4|
Punto critico: 4
Caso I:
2≤×<4
f(×) = 2 − [−(× +4)]
f(×) = 2 +× −4
f(×) =× −2
2 ≤×<4
0 ≤ × −2 < 2
0 ≤ f(×) < 2
Rang I = [0; 2 >
Caso I
Caso II:
×≥ 4
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Pág. 262
Análisis Matemático 1
f(×) = 2 − (× −4)
f(×) = − × +6
×≥4
×
− × ≤ −4
− × +6 ≤ 2
f(×) ≤ 2
Rang II =< −∞: 2]
∴ Rang f3 = �0; 2 > ∪ < −∞; 2]�
Rang f3 =< −∞; 2]
∴ Rang f = �0; +∞ > ∪ [ 0; 2] ∪ < −∞; 2]�
Rang f =< −∞; +∞ >= ℝ
Resumen Dom. Tabulación
×< −4
f(×) = − × −4
0 ≤ ×< 2
f(×) = 2 (× −1)2
−4 ≤×< 0
2 ≤×<4
×≥4
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f(×) =× +4
f(×) = − × −2
f(×) = − × +6
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Pág. 263
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 57
Halle el dominio, rango y gráfica de la función:
SUG.-
SOLUCION 57
f(×) = |× +2| + |× −2| − |×| − 1
Puntos creiticos: − 2; 2; 0
Caso I:
×< −2 → Dom I = ⟨−∞; −2⟩
f(×) = −(× +2) + [−(× −2)] − (− ×) − 1
𝑓 (×) = − × −2 −× +2 +× −1
𝑓(×) = − × −1
× < −2
− ×> 2
− × −1 > 1
𝑓(×) > 1
Rang I = ⟨1; +∞⟩
Caso II:
−2 ≤×< 0 → Dom II = [−2; 0 >
f(×) =× +2 + [−(× −2)] − (− ×) − 1
f(×) =× +2 −× +2 +× −1
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Pág. 264
Análisis Matemático 1
−2 ≤×< 0
1 ≤× +3 < 3
1 ≤ f(×) < 3
Rang II = [1; 3 >
Caso III:
0 ≤×< 2 → Dom III = [0; 2 >
f(×) =× +2 + [−(× −2)] −× −1
𝑓 (×) =× +2 −× +2 −× −1
𝑓 (×) = − × +3
0 ≤×< 2
0 ≥ − ×> −2
3 ≥ − × +3 > 1
3 ≥ f(×) > 1
Rang III = < 1; 3]
Caso IV:
×≥ 2 → Dom IV = [2; +∞ >
f(×) =× +2 +× −2 −× −1
f(×) =× −1
×≥ 2
× −1 ≥ 1
f(×) ≥ 1
Rang. IV = [1; +∞ >
∴ Dom f =< −∞; −2 >∪ [−2; 0 >∪ [0; 2 >∪ [2; +∞ >
Dom f = ℝ
Rang f =< 1, +∞ > ∪ [1; 3 > ∪ < 1; 3] ∪ [1; +∞ >
Rang f = [1; +∞ >
Resumen de los casos:
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Pág. 265
Análisis Matemático 1
×
×< −2
−2 ≤×< 0
0 ≤×< 2
×≥ 2
f(×)
f(×) = − × −1
f(×) =× +3
f(×) −× +3
f(×) =× −1
PROBLEMA 58
Halle el dominio, rango y gráfica de la función:
SUG.-
Y como
el menor
es
SOLUCION 58
×2 − 2 × −1
f(×) = �
� ;× ϵ⌈−1; 3⌉
2
(× −1)2 − 1 − 1
f(×) = �
�
2
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Pág. 266
Análisis Matemático 1
(× −1)2 − 1
f(×) = �
� … (1)
2
× ϵ[−1; 3] → −1 ≤×≤ 3
−2 ≤× −1 ≤ 2
0 ≤ (× −1)2 ≤ 4
0≤
(× −1)2
2
≤2
(× −1)2
−1 ≤
−1≤1
2
Caso I:
(× −1)2
−1 ≤
−1<0
2
𝑓(×) = −1
0≤
(× −1)2
2
<1
0 ≤ (× −1)2 < 2
0 ≤ |× −1| < √2
0 ≤× −1 < √2
1 ≤×< 1 + √2
ᴠ
0 ≤ 1 −×< √2
ᴠ
0 ≥× −1 > −√2
1 ≥×> 1 − √2
× ϵ ��1; 1 + √2 > ∨ < 1 − √2; 1]�
𝑥∈
⟨1 − √2; 1 + √2⟩
Dom I = ⟨1 − √2; 1 + √2⟩
Rang. I = {−1}
Caso II:
0≤
(×−1)2
2
f(×) = 0 → Rang. II = {0}
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−1 ≤ 1
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Pág. 267
Análisis Matemático 1
0≤
1≤
(×−1)2
2
(×−1)2
2
−1 < 1
<2
2 ≤ (× −1)2 < 4
√2 ≤ × −1 < 2
1 + √2 ≤×< 3
∨
√2 ≤ 1 −×< 2
∨
× ϵ ��1 + √2; 3 >
−√2 ≥× −1 > −2
∨
1 − √2 ≥×> −1
× ϵ < −1; 1 − √2��
× ϵ < −1; 1 − √2� ∪ �1 + √2; 3 >
Dom II =< −1; 1 − √2� ∪ �1 + √2; 3 >
Caso III:
(×−1)2
2
−1=1
f(×) = 1 → Rang. III = {1}
(× −1)2
−1=1
2
(× −1)2 = 4
× −1 = ±2 →×= 3 ó − 1
Dom. III = {−1; 3}
Graficando los dominios y uniendo:
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Pág. 268
Análisis Matemático 1
Dom f = [−1; 3]
Rang f = [−1; 0; 1]
Gráfica de f:
PROBLEMA 59
Halle el rango de la función:
SOLUCION 59
f(×) =×2 ⟦×/2⟧ − 4 × ⟦×/3⟧ ; 0 <×≤ 6
0 <×≤6
0<
×
2
≤3
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0<
×
3
≤2
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Pág. 269
Análisis Matemático 1
Caso I
0<
0<×<2
0<
×
2
< 1 → ⟦×/2⟧ = 0
× 2
< → ⟦×/3⟧ = 0
3 3
Luego:
f(×) =×2 (0) − 4 × (0) = 0
Rang. I = {0}
Caso II:
1≤
2
4
2 ≤ ×< 4
3
≤
×
3
<
×
2
< 2 → ⟦×/2⟧ = 1
3
II a)
2
3
≤
×
3
II 𝑏)
<1
⟦×/3⟧ = 0
↓
𝑓 (×) =×2 (1) − 4 × (0)
𝑓 (×) =×2
2 ≤×< 3
4 ≤ ×2 < 9
1≤
×
3
< 4/3
⟦×/3⟧ = 1
f(×) =×2− 4 ×
𝑓 (×) = (× −2)2 − 4
3 ≤×< 4
1 ≤ × −2 < 2
4 ≤ 𝑓 (×) < 9
1 ≤ (× −2)2 < 4
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Rang II a = [4; 9 >
−3 ≤ 𝑓(×) < 0
Pág. 270
Análisis Matemático 1
Rang II = [−3; 0 > ∪ [4; 9 >
Caso III:
2≤
4 ≤×<6
4
3
≤
×
3
×
2
Rang II b = [−3; 0 >
< 3 → ⟦×/2⟧ = 2
< 2 → ⟦×/3⟧ = 1
f(×) =×2 (2) − 4 × (1)
f(×) = 2 ×2− 4 ×
f(×) = 2(×2− 2 ×)
𝑓 (×) = 2[(× −1)² − 1]
4 ≤×<6
3 ≤× −1 < 5
9 = (× −1)2 < 25
8 ≤ (× −1)2 − 1 < 24
16 ≤ 2[(× −1)2 − 1] < 48
𝑓(×)
Rang III = [16; 48 >
Caso IV:
×
2
= 3 →×= 16
𝑓 (×) =×2 (3) − 4 × (2)
𝑓 (×) = 3 ×2− 8 ×
𝑓 (6) = 3(6)2 − 8(6)
𝑓 (6) = 60
Rang. IV = {60}
Finalmente:
Rang. f = [−3; 0 >∪ [4; 9 >∪ [16; 48 >∪ {60}
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Pág. 271
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 60
Dada la gráfica de
bosqueje las gráficas de:
a)
b)
SOLUCION 60
Segun la
−1 ; −1 ≤ × < o f1
f(×) = �
× −1 ; 0 ≤ × ≤ 2 f2
a) g (×) f (|×|)
× ≥ 0 → 𝑔(×) = 𝑓(×)
g (×) =
× −1 ; 0 ≤ × ≤ 2
f(− ×) =
−1; −1 ≤ − ×< 0
× < 0 → g(×) = f(− ×)
1 ≥ ×> 0
− × −1 ; 0 ≤ − ×≤ 2
𝑓 ( − ×) =
0 ≥ × ≥ −1
−1 ; 0 < × ≤ 1
− × −1 ; −2 ≤ × ≥ 0
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Pág. 272
Análisis Matemático 1
Simplificamos:
g ( ×) = f ( − ×) =
b) f(×) =
− × −1; −2 ≤ × ≤ 0
−1; −1 ≤×< 0
× −1; 0 ≤×≤ 2
Cuando × ϵ [−1; 0 >
h(×) = |+(×)|
h(×) = |−1|
h(×) = 1
Cuando × ϵ [0; 2]
h(×) = |× −1|
0 ≤×≤2
−1 ≤ × −1 ≤ 1
𝑓 (×) = 1 −×
𝑓 (×) =× −1
0 ≤×< 1
1 ≤×≤ 2
Dominio:
× 𝜖 [0; 1 >
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Dominio:
× 𝜖[1; 2]
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Pág. 273
Análisis Matemático 1
∴ ℎ ( ×) =
1; −1 ≤×< 0
1 −×; 0 ≤×< 1
× −1; 1 ≤×≤ 2
PROBLEMA 61
Dadas al funciones
𝑓 (𝑥 ) =
𝑥(𝑥 − 1)
𝑥−1
,
¿Cuáles son verdaderas?
𝑔(𝑥 ) = 𝑥
a) Ambas funciones son iguales.
b) Rang(𝑔) − Rang(𝑓) = {−1}
c) Dom𝑔 − Dom𝑓 = ∅
SOLUCION 61
f (×) =
× (× −1)
; g(×) =×
× −1
a) Falso
f (×) =
× (× −1)
; ×≠ 1
× −1
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Pág. 274
Análisis Matemático 1
f (×) =× ; ×≠ 1
1 ∉ Dominio f pero 1 ∈ Dominio g
b) Rango g = ℝ (Función linea𝑙
Rango f
f(×) =× ; ×≠ 1
f (×) ≠ 1
Rang f = ℝ − {1}
Luego:
Rang g − Rang f = {−1}
↓
ℝ
↓
− (ℝ − {1}) = {−1}
{1} = {−1}. Falso
c) Dom g = ℝ (ecuación lineal)
Dom f = ℝ − {1}
Dom g − Dom f ≠ ϕ
ℝ − (ℝ − {1} ≠ ϕ
{1} ≠ ϕ Verdadero
Solamente la c es verdadero
PROBLEMA 62
Indique cuáles funciones son pares, impares o de ningún de estos tipos.
a) f(x) = 3
b) f(x) = 4x
c) f(x) = −x
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i) f(x) = |x|
3
j) f(x) = √x
k) f(x) = |x| + x 4
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Pág. 275
Análisis Matemático 1
d) f(x) = x + 6
l) f(x) = (x 2 + 2)5 − x 6
e) f(x) = x 2 − 4
m) f(x) = x⁄(3 + x 2 )
g) f(x) = x 3 + 4x
o) f(x) = √x 2 + 3⁄x
f) f(x) = 3x 2 + 2x − 1
f(x) = 3x 4 − 2x 2 + 1
n) f(x) = √x 3 − 1
p) f(x) = sin(x 2 + 1)
SOLUCION 62
a) f (x) = 3
f (−x) = 3
f (−x) = f (x)
∴ f el par
b) f (x) = 4x
f (−x) = 4(−x)
f (−x) = −4x
f (−x) = −f (x)
∴ f es impar
c) f (x) = −x
f (−x) = − (−x)
f (−x) = − f (x)
∴ f es impar
d) f (x) = x + 6
f (−x) = −x + 6
−x + 6 ≠ f (x)
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Pág. 276
Análisis Matemático 1
∴ f no es par ni impar
e) f(x) = x 2 − 4
f(−x) = (−x)2 − 4
f (−x) = x 2 − 4
f(−x) = f(x)
∴ f es impar
f) f(x) = 3x 2 + 2x − 1
f(−x) = 3(−x)2 + 2(−x) − 1
f(−x) = 3x 2 − 2x − 1
3x 2 − 2x − 1 ≠ f(x)
∴ f no es par ni impar
g) f(x) = x 3 + 4x
f(−x) = (−x)3 + 4(−x)
f(−x) = −x 3 − 4x
f(−x) = −(x 3 + 4x)
f(−x) = −f (x)
∴ f es impar
h) f (x) = 3x 4 − 2x 2 + 1
f(−x) = 3(−x)4 − 2(−x)2 + 1
f(−x) = 3x 4 − 2x 2 + 1
f(−x) = f (x)
∴ f el par
i) f (x) = |x|
f (−x) = |−x| = |x|
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Pág. 277
Análisis Matemático 1
f(−x) = f (x)
∴ f es par
3
j) f (x) = √x
3
f (−x) = √−x
3
f (−x) = − √x
f (−x) = −f (x)
∴ f es impar
k) f (x) = |x| + x 4
f (−x) = |−x| + (−x)4
f (−x) = |x| + x 4
f (−x) = f(x)
∴ f es par
l) f (x) = (x 2 + 2)5 − x 6
f (−x) = [(−x)2 + 2]5 − (−x)6
f (−x) = (x 2 + 2)5 − x 6
f (−x) = f (x)
∴ f es par
m) f (x) =
f (−x) =
f (−x) =
x
3+x2
−x
3 + (−x)2
−x
3 + x2
f (−x) = − �
x
�
3 + x2
f (−x) = −f (x)
∴ f es impar
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Pág. 278
Análisis Matemático 1
n) f (x) = √x 3 − 1
f (−x) = �(−x)3 − 1
f (−x) = �−x 3 − 1
�−x 3 − 1 ≠ f(x)
∴ f no es par ni impar
o) f(x) =
f (−x) =
f (−x) =
√x2 +3
x
�(−x)2 + 3
−x
√x 2 + 3
−x
√x 2 + 3
(
)
�
f −x = − �
x
f (−x) = −f (x)
∴ f es impar
p) f (x) = Sen (x 2 + 1)
f (−x) = Sen [(−x)2 + 1]
f (−x) = Sen (x 2 + 1)
f (−x) = f (x)
∴ f es par
PROBLEMA 63
Dar tres ejemplos de una función que sea a la vez par e impar.
SOLUCION 63
Ejemplos de función par y función impar en forma simultanea:
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Pág. 279
Análisis Matemático 1
1º Ejemplo:
f (x) =
2º Ejemplo:
f (x) =
3º Ejemplo:
f (x) =
0 ; −2 ≤ 𝑥 ≤ −1
0 ;1 ≤ 𝑥 ≤ 2
0 ; −3 < 𝑥 < −1
0 ; 1 < 𝑥 <3
0 ; −5 ≤ 𝑥 < 0
0 ; 0 < 𝑥 ≤5
PROBLEMA 64
Si 𝑓(𝑥 ) = �𝑥 + ⟦−𝑥 ⟧ + 𝑥 . ⟦−𝑥 ⟧, demuestre que:
i)
ii)
∀ 𝑥 ∈ Dom𝑓: − 𝑥 ∈ Dom𝑓
𝑓 (−𝑥 ) = 𝑓(𝑥)
SOLUCION 64
𝑓 (×) = �× +⟦− ×⟧ +× ⟦×⟧
Determinar el dominio de f:
⊛ × +⟦− ×⟧ ≥ 0 … … … … … … … … … (1)
⊛ Sea ⟦− ×⟧ = n ⇝ n ≤ − ×< n + 1
n + 1 < × ≤ −n
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Pág. 280
Análisis Matemático 1
⇨ −n − 1 + n <× +⟦− ×⟧ ≤ −n + n
−1 < × +⟦− ×⟧ ≤ 0 … … … … … … … … . (2)
𝐷𝑒 (1) 𝑦 (2):
× +⟦− ×⟧ = 0
⟦− ×⟧ = − ×
Esto se cumple solo si: (− ×) ∈ ℤ
×∈ ℤ
i)
ii)
Entonces; queda:
𝑓 (×) =× ⟦− ×⟧
×∈ ℤ
f(− ×) = (− ×)⟦− ×⟧
= (− ×)⟦− ×⟧ =× ⟦×⟧ = 𝑓(×)
De i) y ii):
f (×)es función par.
Es decir, que 𝑓 es una función PAR.
PROBLEMA 65
Sean
1 ′
𝑓 (𝑥 ) = �𝑥 + �
2
1
𝑔(𝑥 ) = �|𝑥| + �
2
, 𝑥 ∈ [−1, 1]
, 𝑥 ∈ [−1, 1]
Determine su condición de PAR o IMPAR de cada función.
SOLUCION 65
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Pág. 281
Análisis Matemático 1
1
f(×) = �× + � ,×∈ [−1,1]
Graficando:
⊛
1
2
1
−1 ≤ ×< − :
2
1
− ≤× + < 0 ⇝ 𝑓(×) = −1
⊛
2
−
2
1
1
≤ ×< :
2
2
1
0 ≤× + < 1 ⇝ 𝑓 (×) = 0
⊛
2
1
1
≤ ×< :
2
2
0 ≤× +
1
≤ 1,5 ⇝ 𝑓 (×) = 1
2
1
f(− ×) = �− × + �
2
⊛
1
−1 ≤ ×< − :
2
⊛
−
1
1
−× + ≤ 1.5 ⇝ 𝑓 = 1
2
2
1
1
< ×≤ :
2
2
1
0≤ −×+ < 1 ⇝𝑓 = 0
2
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Pág. 282
Análisis Matemático 1
⊛
1
< ×≤ 1:
2
−0,5 ≤×< 0 ⇝ 𝑓 = −1
De donde f(×)no es par ni impar
1
𝑔(×) = �|×| + � ,×∈ [−1,1]
2
1
𝑔(− ×) = �|×| + �
2
Por propiedad del valor absoluto:
1
𝑔(− ×) = �|×| + � = 𝑔(×)
2
|− × | = |× |
∴ g(×) es par
PROBLEMA 66
Demuestre que f(x) = ⟦mx⟧ − m⟦x⟧ tiene periodo T = 1, si es que m es un entero positivo.
SOLUCION 66
f(×) = ⟦m ×⟧ − m⟦×⟧
Si tiene periodo T = 1; se cumplirá:
f(× +1) = f(×)
En efecto:
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Pág. 283
Análisis Matemático 1
f(× +1) = ⟦m(× +1)⟧ − m⟦× +1⟧
= ⟦m × +m⟧ − m(⟦×⟧ + 1)
= ⟦m × +m⟧ − m⟦×⟧ − 𝑚
si m ∈ ℤ:
= ⟦m ×⟧ + m − m ⟦×⟧ − 𝑚
= ⟦m ×⟧ − m⟦×⟧ = f(×)
𝑙. 𝑞. 𝑞. 𝑑.
PROBLEMA 67
Sea f(x) = 1 − 2|x| , x ∈ [− 1⁄2 , 1⁄2]. Si g(x) tiene como dominio todo ℝ y es una función periódica con periodo mínimo T = 1 tal que para todo 𝑥 tal que − 1⁄2 < x < 1⁄2 ; g(x) = f(x).
Halle la regla de correspondencia de g(x) en todo su dominio y bosqueje su gráfica.
SOLUCION 67
1 1
f(×) = 1 − 2|×|,×∈ �− , �
2 2
Graficando:
Como g(×)es periodica y para el intervalo ⟨−1/2,1/2⟩ g(×) = f(×), su grafica será:
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Pág. 284
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 68
Demuestre de cualquier función 𝑓 cuyo dominio es [−L, L] puede ser expresada como la suma de
dos funciones g(x) y h(x), donde g es PAR y h IMPAR:
f(x) = g(x) + h(x)
SUG.- hacer:
g(x) = (1⁄2)[f(x) + f(−x)]
h(x) = (1⁄2)[f(x) − f(−x)]
y verifique que 𝑔 es PAR y que ℎ es IMPAR.
SOLUCION 68
Sea f(×) = g(×) + h(×) … … … … … … (1)
⊛ Si g(×) =
1
[f(×) + f(− ×)]
2
Como ×∈ [−L, L],×∈ Dom g
⇨ − ×∈ Dom g
Además:
1
g (− ×) = [f(− ×) + f(−(− ×)]
2
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Pág. 285
Análisis Matemático 1
=
1
[f (− ×) + f (− ×)] = g(×)
2
∴ La función g es par.
⊛ Si h(×) =
1
[f (×) + f(− ×)]
2
Como ×∈ [−L, L],×∈ Dom h
⇨ − ×∈ Dom h
Además:
h (− ×) =
=
1
[f (− ×) − f (−(− ×)]
2
1
[f (− ×) − f (×)]
2
1
= − [f (− ×) − f (×)] = −h(×)
2
∴ La función h es impar.
Entonces:
g(×) + h(×) =
=−
1
1
[f (×) + f (− ×)] + [f (×) − f (− ×)]
2
2
1
1
f (− ×) − f (×) + f(×)
2
2
⇨ g(×) + h(×) = f(×)
PROBLEMA 69
Si:
f(x) = x 2 + x + 1 , h(x) = f(x) + f(−x) , g(x) = f(x) − f(−x)
¿Cuál de ℎ y 𝑔 es par y cuál es impar?
SOLUCION 69
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Pág. 286
Análisis Matemático 1
f(x) = x 2 + x + 1
h(x) = f(x) + f(−x)
g(x) = f(x) − f(−x)
𝐡(𝐱):
h(x) = x 2 + x + 1 + (−x)2 + (−x) + 1
h(x) = x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1
h(x) = 2x 2 + 2
h(−x) = 2(−x)2 + 2
h(−x) = 2x 2 + 2
h(−x) = h(x)
∴ h es una función par
𝐠(𝐱):
g(x) = x 2 + x + 1 − [(−x)2 + (−x) + 1]
g(x) = x 2 + x + 1 − x 2 + x − 1
g(x) = 2x
g(−x) = 2(−x)
g(−x) = −2x
g(−x) = −g(x)
∴ g es una función impar
PROBLEMA 70
Si:
g(x) = �
0 , 0<x<π
1 ,
x≥ π
Halle el dominio, rango y la gráfica de:
f(x) = g(x)|sen x|
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Análisis Matemático 1
SOLUCION 70
⊛ Sea h(×) = |sen ×|
Dom h = ℝ
Se obeserva que:
Si f = g. h
⇨ Don f = ⟨0, ∞⟩
⊛ −1 ≤ Sen × ≤ 1
⇨ 0 ≤ |Sen ×| ≤ 1
Por otro lado:
f(×) =
0,
<×< π
|Sen ×|,× ≥ π
∴ Rang f = [0,1]
PROBLEMA 71
Dada la función periódica:
f(x) = 2x − ⟦2x + 1⟧ + 1
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Análisis Matemático 1
a) Halle Domf , Rangf y su gráfica.
b) Halle el periodo mínimo T de f, gráfica y analíticamente.
SOLUCION 71
f (×) = 2 × +1 − ⟦2 × +1⟧
a) ⊛ Como f es una función polinomial de primer grado:
Dom f = ℝ
⊛ Por otro lado, sea:
⟦2 × +1⟧ = n,
n∈ℝ
⇨ n ≤ 2 × +1 < n + 1 … … … … … … … … . . (1)
⇨ 0 ≤ 2 × +1 − ⟦2 × +1⟧ < 1
0 ≤ 𝑓(×) < 1
Luego:
Ran f = [0,1 >
⊛ De (1):
n
n−1
≤×<
2
2
Además:
f(×) = 2 × +1 − n
Si n = 0:
1
≤×< 0
2
f(×) = 2 × +1,
−
f(×) = 2 × ,
0 ≤×<
Si n = 1:
Si n = 2:
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1
2
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Análisis Matemático 1
f(×) = 2 × 1,
1
≤×< 1
2
b) Del gráfico, se observa que el periodo mínimo es T − 01/2
En efecto. sea p el período, entonces:
f (× +p) = 2(× +P) + 1 − ⟦2(× +P) + 1⟧
= 2 × +1 + 2P − ⟦2 × +1 + 2P⟧
Si 2P = k ∈ ℤ
f (× +P) = 2 × +1 + 2P − ⟦2 × +1⟧ −
= 2 × +1 − ⟦2 × +1⟧ = f = f(×)
2
P
Luego:
2P = −1, 0, 1, 2, ….
1
1
3
P = ⋯ − , 0,
, 1,
, ….
2
2
2
Escogiendo el mínimo positivo:
P=
1
2
PROBLEMA 72
Demuestre que:
a) Si f y g son funciones PARES entonces f + g y fg son PARES.
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Análisis Matemático 1
b) Si f y g son funciones IMPARES entonces fg es PAR.
SOLUCION 72
a) ⊛ (f + g) (×) = f (×) + g(×)
Por otro lado:
(f + g) (− ×) = f(− ×) + g(− ×)
Como f y g son funciones pares:
(f + g) (− ×) = f(− ×) + g (×)
= (f + g)(×)
∴ f + g es par
⊛ (f + g) (×) = f (×) + g(×)
Por otro lado:
(fg) (− ×) = f(− ×). g (− ×)
Como f y g son pares:
(fg) (− ×) = f(×). g (×)
= (fg)(×)
∴ f. g es par
b) (fg) (×) = f (×). g(×)
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Análisis Matemático 1
Por otro lado:
(fg) (− ×) = f(− ×). g (− ×)
Como f y g son impares:
= [− f(×)][−g(×)]
= f(×) g (×)
(fg) (×)
∴ f. g es par
PROBLEMA 74
Si f (x) = |x|, g (x) = x Sgn (x). Dom f = Dom g = ℝ, demuestre que f = g.
SOLUCION 74
f(x) = |x|
g(x) = x. Sgn(x)
Domf = Domg = ℝ
Demostrar que f = g
Demostración:
Dom𝑓 = Dom𝑔, por dato
Regla de correspondencia de 𝒇 𝐲 𝒈:
−x ; x < 0
f(x) = � 0 ; x = 0
x ; x>0
−x ; x < 0
g(x) = � 0 ; x = 0
x ; x>0
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Pág. 292
Análisis Matemático 1
OJO:
x < 0 → Sgn(x) = −1
x > 0 → Sgn(x) = 1
x = 0 → Sgn(0) = 0
Regla de correspondencia de f es igual a la regla de correspondencia de 𝑔.
∴f=g
PROBLEMA 75
Dados las funciones
f (x) = �
x ⟦(2 − x)/2⟧ + 3 x − 1,
−2 < x ≤ 1
x+8
,
2<x≤8
g (x) = �
|5𝑥 − 1| − 15 + 6|𝑥 + 2|,
−3 ≤ x ≤ 0
3x − 4
,
1≤x≤6
halle el dominio y el rango de la función f/g.
SOLUCION 75
f(x) = �
x⟦(2 − x)⁄2⟧ + 3x − 1 ; −2 < x ≤ 1
x+8
;
2<x≤8
g(x) = �
|5x − 1| − 15 + 6|x + 2|; −3 ≤ x ≤ 0
3x − 4
;
1≤x≤6
Dominio y rango de 𝑓/𝑔 = ?
f:
−2 < 𝑥 ≤ 1
2 > −x ≥ −1
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Pág. 293
Análisis Matemático 1
4 >2−x ≥ 1
2>
2−x 1
≥
2
2
1 2−x
≤
<2
2
2
1 2−x
≤
<1
2
2
∨
1≤
2−x
<2
2
2−x
�
�=0
2
2−x
�
�=1
2
f(x) = x(0) + 3x − 1
f(x) = x(1) + 3x − 1
f(x) = 3x − 1
1 2−x
≤
<1
2
2
1 ≤2−x < 2
f(x) = 4x − 1
−2 < x≤ 0
−1 ≤ −x < 0
1≥x>0
0<x≤1
Luego:
4x − 1 ; −2 < x ≤ 0
f(x) = � 3x − 1 ; 0 < x ≤ 1
x+8 ; 2<x ≤8
g:
Puntos críticos: (1/5 ; -2)
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Pág. 294
Análisis Matemático 1
Cuando −3 ≤ x < −2:
g(x) = 1 − 5x − 15 + 6(−x − 2)
g(x) = −11x − 26
Cuando −2 ≤ x ≤ 0:
g(x) = 1 − 5x − 15 + 6(x + 2)
g(x) = x − 2
Luego:
−11x − 26 ; −3 ≤ x < −2
; −2 ≤ x ≤ 0
g(x) = � x − 2
3x − 4 ; 1 ≤ x ≤ 6
Dominio de f/g:
Dom(f/g) = Domf ∩ Domg
Domf = < −2; 1] ∪ < 2; 8]
Domg = [−3; 0] ∪ [1; 6]
Dom(f⁄g) = < −2; 0] ∪ {1} ∪ < 2; 6]
Restricción: g(x) ≠ 0
g(x) = 0
−11x − 26 = 0
∨
x − 2 = ∨ 3x − 4 = 0
x = −26⁄11 ∨ x = 2
x∈�
−26
4
; 2; �
11
3
∨
x = 4⁄3
−26
4
Dom(f⁄g) = < −2; 0] ∪ {1} ∪ < 2; 6] − �
; 2; �
11
3
Dom(f⁄g) = < −2; 0] ∪ {1} ∪ < 2; 6]
Cuando 𝑥 ∈ < −2; 0]:
f
f(x) 4x − 1
� � =
=
g (x) g(x)
x−2
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Análisis Matemático 1
Cuando 𝑥 ∈ {1}:
f
3x − 1 3(1) − 1
� � =
=
= −2
g (x) 3x − 4 3(1) − 4
Cuando 𝑥 ∈ < 2; 6]
f
x+8
� � =
g (x) 3x − 4
En resumen:
4x − 1
⎧
⎪ x−2
f
� � = −2
g (x) ⎨ x + 8
⎪
⎩3x − 4
Rango de 𝐟/𝐠:
;
−2 < x ≤ 0
;
2<x≤6
;
1
Cuando: −2 < 𝑥 ≤ 0
7
4𝑥 − 1
=4+
𝑥−2
𝑥−2
−2 < 𝑥 ≤ 0
−4 < 𝑥 − 2 ≤ −2
−
−
1
1
1
>
≥−
4 𝑥−2
2
7
7
7
>
≥−
4 𝑥−2
2
9
1
> (𝑓/𝑔)(𝑥) ≥
4
2
Rang(f⁄g) = [1/2; 9/4 >
Cuando 2 < 𝑥 ≤ 6:
1
28
𝑥+8
= +
3𝑥 − 4 3 3(3𝑥 − 4)
2<𝑥≤6
6 < 3𝑥 ≤ 18
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Análisis Matemático 1
2 < 3𝑥 − 4 ≤ 14
1
1
1
>
≥
2 3𝑥 − 4 14
28
2
14
>
≥
3(3𝑥 − 4) 3
3
5 > (f⁄g)(x) ≥ 1
Rang(f⁄g) = [1; 5 >
Cuando 𝑥 = 1:
(f⁄g)(x) = −2
∴ Rang(f⁄g) = [1/2 ; 9/4 > ∪ {−2} ∪ [1; 5 >
PROBLEMA 76
Analice si la siguiente proposición es verdadera o no lo es:
f (x) = √x − 1 ∧ g (x) = √x + 1 ⇒ (f g)(x) = �x 2 − 1 , para x ≥ 1 y x ≤ −1
SOLUCION 76
f(x) = √x − 1
Obtención de (𝐟, 𝐠)
;
g(x) = √x + 1
Dominio (𝐟. 𝐠):
Domf = {x/x − 1 ≥ 0}
𝑥−1 ≥ 0
𝑥≥1
Domf = [1; +∞ >
Domg = {x / x + 1 ≥ 0}
x+1≥0
x ≥ −1
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Análisis Matemático 1
Domg = [−1; +∞ >
Dom(f. g) = Domf ∩ Domg
= [1; +∞ > ∩ [−1; +∞ >
Dom(f. g) = [1; +∞ > ó x ≥ 1
Luego:
(f. g)(x) = f(x). g(x)
(f. g)(x) = �√x − 1��√x + 1� = �x 2 − 1
Es FALSO el enunciado porque 𝑥 ∉ < −∞; −1]
PROBLEMA 77
Sean:
⟦x − 1⟧ , x ∈ ⟨−4, −1]
⟦x⟧ + 1, x ∈ [0,2]
f (x) = �
|x − 2| + 3 , x ∈ ⟨−1,0⟩ ∪ ⟨2, 3]
5,
g (x) = �−2 ,
−3 ,
Gráfique f + g
x ∈ ⟨−3, −1⟩
x ∈ [0, 2⟩
x ∈ [−1,0⟩ ∪ [2,3⟩.
SOLUCION 77
Dominio de 𝒇:
Domf =< −4; −1] ∪ [0; 2] ∪ < −1; 0 > ∪ < 2; 3]
Domf = < −4; 3]
Dominio de 𝐠:
Domg =< −3; −1 > ∪ [0; 2 >∪ [2; 3 >
Domg = < −3; 3 >
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Análisis Matemático 1
Luego:
Dom(f + g) = Domf ∩ Domg
Dom(f + g) =< −4; 3] ∩ < −3; 3 >
dom(f + g) = < −3; 3 >
Simplificación de 𝒇(𝒙):
Cuando −3 < 𝑥 ≤ −1:
−4 < x − 1 ≤ −2
I: −4 < x − 1 < −3
f(x) = −4 ; −3 < x < −2
II: −3 ≤ x − 1 < −2
f(x) = −3
;
III: x − 1 = −2
f(x) = −2
−2 ≤ x < −1
ó x = −1
Cuando 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
I: 0 ≤ 𝑥 < 1
f(x) = 1
II: 1 ≤ 𝑥 < 2
f(x) = 1 + 1 = 2
III: 𝑥 = 2
f(x) = 3
Cuando 𝑥 ∈ < −1; 0 >:
f(x) = 2 − x + 3
f(x) = 5 − x
Cuando x ∈ < 2; 3 >:
f(x) = x − 2 + 3
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Análisis Matemático 1
f(x) = x + 1
Luego:
−4 ; −3 < x < −2
⎧−3 ; −2 ≤ x < −1
⎪
⎪−2 ;
x = −1
f(x) = 5 − x ; 0 ≤ x < 1
⎨ 2 ; 1≤x<2
⎪
⎪3 ;
x=2
⎩x + 1 ; 2 < x < 3
−5 ; −3 < x < −1
−3 ; −1 ≤ x < 0
g(x) = �
−2 ; 0 ≤ x < 2
−3 ; 2 ≤ x < 3
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
Entonces:
1 ; −3 < x < −2
⎧ 2 ; −2 ≤ x < −1
⎪ −5 ;
x = −1
⎪
2 − x;
−1 < x < 0
(f + g)(x) =
0≤x<1
⎨ −1 ;
1≤x<2
⎪ 0 ;
⎪ 0 ;
x=2
⎩ x − 2;
2<x<3
Gráfica de 𝐟 + 𝐠:
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Pág. 300
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 78
6−x
, x ∈ Dom f =? (el mayor),
Dados las funciones f (x) = �
x+4
g (x) = �√x − 1�, x ∈ [0, 9⟩, halle f + g y f/g.
SOLUCION 78
f(x) = �
𝐃𝐨𝐦𝒇:
6−x
x+4
6−x
≥0
x+4
𝑥−6
≤0
𝑥+4
Domf = < −4; 6]
g(x) = �√x − 1� ;
Domg = [0; 9 >
x ∈ [0; 9 >
𝐃𝐨𝐦(𝐟 + 𝐠)
Dom(f + g) = Domf ∩ Domg
Dom(f + g) = < −4; 6] ∩ [0; 9 >
Dom(f + g) = [0; 6]
Simplificación de 𝒈(𝒙)∀ 𝒙 ∈ [𝟎; 𝟔]
0≤x≤6
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Pág. 301
Análisis Matemático 1
0 ≤ √x ≤ √6
−1 ≤ √x − 1 ≤ √6 − 1
I: 0 ≤ √x − 1 < 1
g(x) = 0
0 ≤ √x − 1 < 1
1 ≤ √x < 2
1≤x<4
II: 1 ≤ √x − 1 ≤ √6 − 1
g(x) = 1
2 ≤ √x ≤ √6
4≤x≤6
III: −1 ≤ √x − 1 < 0
g(x) = −1
0 ≤ √x < 1
0≤x<1
Luego:
−1 ; 0 ≤ x < 1
g(x) = � 0 ; 1 ≤ x < 4
1 ; 4≤x≤6
𝐟 + 𝐠:
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Pág. 302
Análisis Matemático 1
⎧ 6−x
�
⎪ x+4−1 ; 0≤ x <1
⎪
⎪
6−x
(f + g)(x) = �
; 1≤x<4
⎨ x+4
⎪
⎪ 6−x
⎪�
+1 ; 4≤ x ≤6
⎩ x+4
𝐟/𝐠:
Dom(f⁄g) = {x / x ∈ [(Domf ∩ Domg) − {x/g(x) = 0}]}
g(x) = 0 Cuando x ∈ [1; 4 >
Luego:
Dom(f⁄g) = [0; 6] − [1; 4 >
Dom(f⁄g) = [0; 1 > ∪ [4; 6]
Finalmente:
(f + g)(x) =
6−x
⎧
�
−
; 0≤x<1
⎪
x+4
⎨ 6−x
⎪�
; 4≤x≤6
⎩ x+4
PROBLEMA 79
|x − 1|⟦Sgn(3 − x)⟧ , x ∈ [0,6]
f (x) = � 2
x
, x ∈ ⟨6,10⟩
g (x) = �
|x − 2|, x ∈ ⟨−8, 3]
x|x − 2|, x ∈ ⟨3, 8]
halle g/f.
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Pág. 303
Análisis Matemático 1
SOLUCION 79
Simplificación de 𝐠(𝐱):
Cuando 𝑥 ∈ < −8; 3]:
Punto crítico: 2
−8 < x < 2
g(x) = 2 − x
2≤x≤3
g(x) = x − 2
Cuando x ∈ < 3; 8]:
g(x) = x(x − 2)
g(x) = x 2 − 2x
2 − x ; −8 < x < 2
∴ g(x) = � x − 2 ; 2 ≤ x ≤ 3
x 2 − 2x; 3 < x ≤ 8
Domg = < −8; 8]
Simplificaciones de 𝐟(𝐱):
Cuando 𝑥 ∈ [0: 6]
Punto crítico: 1
|𝑥 − 1| = 1 − 𝑥 ; 𝑥 ∈ [0; 1 >
|𝑥 − 1| = 𝑥 − 1 ; 𝑥 ∈ [1; 6]
•
0≤𝑥≤6
0 ≥ −x ≥ −6
3 ≥ 3 − x ≥ −3
−3 ≤ 3 − x ≤ 3
•
−3 ≤ 3 − x ≤ 0
Sgn(3 − x) = −1
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Pág. 304
Análisis Matemático 1
⟦Sgn(3 − x)⟧ = −1
−3 ≤ 3 − x < 0
−6 ≤ −x < −3
6≥x>3
3<x≤6
•
x=3
3−x=0
⟦Sgn(3 − x)⟧ = 0
•
0 <3−x ≤ 3
⟦Sgn(3 − x)⟧ = 1
0 <3−x ≤ 3
−3 < −x ≤ 0
3>x≥0
0≤x<3
División del dominio de 𝐟:
Domf = [0; 1 > ∪ [1; 3 > ∪ {3} ∪ < 3; 6]
Cuando x ∈ [0; 1 >:
f(x) = (1 − x)(1) = 1 − x
Cuando x ∈ [1; 3 >:
f(x) = (x − 1)(1) = x − 1
Cuando x = 3:
f(x) = |3 − 1|(0) = 0
Cuando x ∈ < 3; 6]:
f(x) = (x − 1)(−1) = 1 − x
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Pág. 305
Análisis Matemático 1
1 − x ; 0 ≤ x < 1 f1
⎧x − 1 ; 1 ≤ x < 3 f
2
⎪
0
;
3
f
(
)
∴f x =
3
⎨1 − x ; 3 < x ≤ 6 f
4
⎪ 2
⎩x
; 6 < x < 10
NOTA:
f(x) = 0 Cuando x = 1 (f2 ) y cuando x = 3 (f3 )
Domf = [0; 10 >
𝐃𝐨𝐦𝐠/𝐟:
Dom g⁄f = (Domg ∩ Domf) − {x/f(x) = 0}
Domg ∩ Domf = < −8; 8] ∩ [0; 10 > = [0; 8]
f(x) = 0 → x ∈ {1; 3}
Luego:
Dom g⁄f = [0; 8] − {1; 3}
Dividiendo el dominio de 𝐠/𝐟:
•
Cuando 0 ≤ x < 1
(g⁄f)(x) =
g(x) 2 − x
=
f(x) 1 − x
(g⁄f)(x) =
2−x
x−1
(g⁄f)(x) =
x−2
x−1
•
•
•
Cuando 1 < x < 2
Cuando 2 ≤ x < 3
Cuando 3 < x ≤ 6
x 2 − 2x
(g⁄f)(x) =
1−x
Cuando 6 < x ≤ 8
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Pág. 306
Análisis Matemático 1
x 2 − 2x
(g⁄f)(x) =
x2
Finalmente:
2−x
; 0≤x<1
⎧
1
−
x
⎪ 2−x
⎪
⎪ x−1 ; 1< x< 2
⎪
x−2
(g⁄f)(x) =
; 2≤x<3
x
−
1
⎨
2
⎪x − 2x
⎪ 1−x ; 3< x ≤ 6
⎪ 2
⎪x − 2x
; 6<x≤8
⎩ x2
Ó
|x − 2|
⎧
; x ∈ [0; 3 > −{1}
|x − 1|
⎪
⎪
x 2 − 2x
(g⁄f)(x) =
; x ∈ < 3; 6]
⎨
1−x
2
⎪
⎪ x − 2x
;
x ∈ < 6; 8]
⎩
x2
PROBLEMA 80
Halle Dom (g⁄f) si f (x) = �⟦2x⟧ + 5 , g (x) = �√x + 1 − 1�
SOLUCION 80
f(x) = �⟦2x⟧ + 5
g(x) = �√x + 1 − 1�
Dom(g/f) =?
Sol:
Dominio de 𝐠:
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Pág. 307
Análisis Matemático 1
g(x) = �√x + 1 − 1�
x+1≥0
x ≥ −1
∴ Domg = [−1; +∞ >
Dominio de 𝐟:
f(x) = �⟦2x⟧ + 5
Haciendo:
⟦2x⟧ = n /n ≤ 2x < n + 1 ; x ∈ ℤ
Luego:
f(x) = √n + 5
n+5 ≥0
n ≥ −5
•
n = −5:
−5 ≤ 2x < −4
−5⁄2 ≤ x < −2
x ∈ [−5/2; −2 >
•
n = −4:
−4 ≤ 2x < −3
−2 ≤ x < −3/2
x ∈ [−2; −3/2 >
•
n = −3:
−3 ≤ 2x < −2
−3/2 ≤ x < −1
x ∈ [−3/2 ; −1 >
.
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Pág. 308
Análisis Matemático 1
.
.
.
∞
∴ Domf = [−5/2; +∞ >
Dom(g⁄f) = (Domg ∩ Domf) − {x /f(x) = 0}
f(x) = 0
0 = √n + 5
n = −5
−5 ≤ 2x < −4
−5⁄2 ≤ x < −2
x ∈ [−5/2; −2 >
Finalmente:
Dom(g⁄f) = ([−1; +∞ > ∩ [−5/2; +∞ >) − [−5/2; −2 >
Dom(g⁄f) = [−1; +∞ > −[−5/2; −2 >
Dom(g⁄f) = [−1; +∞ >
PROBLEMA 81
Dadas las funciones f y g definidas por:
f (x) = �
1 − 2x ,
−2 ≤ x < −1
⟦4 + Cos x⟧, x ≥ 0
g (x) = �
x 2 − 5, x < 0
Sen x − 5, x ∈ [0, π],
SOLUCION 81
f(x) = �
1 − 2x ; −2 ≤ x < −1
⟦4 + cos x⟧ ;
x≥0
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Análisis Matemático 1
Domf = [−2; −1 > ∪ [0; +∞ >
g(x) = �
x2 − 5 ; x < 0
sin x − 5 ; x ∈ [0; π]
Domg = < −∞; 0 > ∪ [0; π]
Domg = < −8; π]
Domf ∩ Domg = ([−2; −1 > ∪ [0; +∞ > ) ∩ < −∞; π]
Domf ∩ Domg = [−2; −1 > ∪ [0; π]
Simplificación de f(x):
Gráfica de cos x ∀ x ∈ [0; π]
Cuando x = 0 ;
Luego:
cos 0 = 1
f(x) = ⟦4 + cos 0⟧ = 5
Cuando 0 < x ≤ π/2
0 ≤ cos x < 1
4 ≤ 4 + cos x < 5
f(x) = ⟦4 + cos x⟧ = 4
Cuando π/2 < x ≤ π
−1 ≤ cos x < 0
3 ≤ 4 + cos x < 4
f(x) = ⟦4 + cos x⟧ = 3
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Pág. 310
Análisis Matemático 1
Luego:
1 − 2x ; −2 ≤ x < −1
5 ;
x=0
f(x) = � 4
; 0 < x ≤ π/2
3 ; π/2 < x ≤ π
g(x) = �
; x<0
x2 − 5
sin x − 5 ; 0 ≤ x ≤ π
Dominio de 𝐟 + 𝐠:
Dom(f + g) = Domf ∩ Domg
Dom(f + g) = [−2; −1 > ∪ [0; π]
Cuando −2 ≤ x < −1:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 1 − 2x + x2 − 5
(f + g)(x) = x 2 − 2x − 4
Cuando x = 0:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 5 + sin 0 − 5
(f + g)(x) = 0
Cuando 0 < x ≤ π/2
(f + g)(x) = 4 + sin x − 5 = sin x − 1
Cuando π/2 < x ≤ π
(f + g)(x) = 3 + sin x − 5 = sin x − 2
Regla de correspondencia de 𝐟 + 𝐠:
x 2 − 2x − 4
0
(f + g)(x) = �
sin x − 1
sin x − 2
Cuando −2 ≤ x ≤ −1:
; −2 ≤ x ≤ −1
;
x=0
; 0 < x ≤ π/2
; π/2 < x ≤ π
(f + g)(x) = x 2 − 2x − 4 = (x − 1)2 − 5
Vértice (1; -5)
Tabulación:
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Pág. 311
Análisis Matemático 1
x
-2
-1
(f + g)(x)
4
-1
Gráfica de 𝐟 + 𝐠:
PROBLEMA 82
Halle el dominio, el rango y la fráfica de la función
f (x) = Sgn (x + 1) − Sgn (x − 1).
SOLUCION 82
(x +��
f(x) = Sgn
1) − Sgn(x
−��
1)
�����
�����
g(x)
CASO 1: 𝐱 + 𝟏 > 𝟎
h(x)
ó 𝐱 > −𝟏
g(x) = Sgn(x + 1) = 1
x > −1
x − 1 > −2
1a) −2 < x − 1 < 0
h(x) = Sgn(x − 1) = −1
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Pág. 312
Análisis Matemático 1
−2 < x − 1 < 0
−1 < x < 1
f(x) = 1 − (−1)
f(x) = 2
1b) x − 1 = 0
h(x) = 0
ó x=1
f(x) = 1 − 0 = 1
1c) x − 1 > 0 ó x > 1
h(x) = 1
f(x) = 1 − 1 = 0
CASO 2: 𝐱 + 𝟏 = 𝟎
g(x) = 0
ó 𝐱 = −𝟏
∧ h(x) = Sgn(−2) = −1
f(x) = 0 − (−1) = −1
CASO 3: 𝐱 + 𝟏 < 𝟎
g(x) = −1
ó
𝐱 < −𝟏
x < −1
x − 1 < −2
h(x) = −1
f(x) = −1 − (−1) = 0
Regla de correspondencia de 𝐟:
0 ;
x < −1
⎧
x = −1
⎪1 ;
f(x) = 2 ; −1 < x < 1
⎨1 ;
1
⎪
⎩ 0 ; x>1
Entonces:
Domf = ℝ
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Pág. 313
Análisis Matemático 1
Rangf = {0; 1; 2}
Gráfica de 𝐟:
PROBLEMA 83
a) Si f (x) = x 2 + 1
halle dos funciones g (x)para los cuales se cumple que f �g (x)� = 4x 2 − 12x + 12.
b) Si f (x) = x 2 + 2x + 2
halle dos funciones g (x)tales que (f o g)(x) = x 2 − 4x + 5
SOLUCION 83
a) f(x) = x 2 + 1
g(x) =?
f(g(x)) = 4x 2 − 12x + 12
g 2 (x) + 1 = 4x 2 − 12x + 12
g 2 (x) = 4x 2 − 12x + 11
g1(x) = (4x 2 − 12x + 11)1/2
g 2 (x) = −(4x 2 − 12x + 11)1/2
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Pág. 314
Análisis Matemático 1
b) f(x) = x 2 + 2x + 2
g(x) =?
(f o g)(x) = x 2 − 4x + 5
f�g(x)� = x 2 − 4x + 5
g 2 (x) + 2g(x) + 2 = x 2 − 4x + 5
g 2 (x) + 2g(x) − x 2 + 4x − 3 = 0
Ecuación cuadrática respecto a 𝐠(𝐱) luego:
−2 ± �(2)2 − 4(−x 2 + 4x − 3)
g(x) =
2
−2 ± �4 − 4(−x 2 + 4x − 3)
g(x) =
2
−2 ± 2√1 + x 2 − 4x + 3
g(x) =
2
g(x) = −1 ± �x 2 − 4x + 4
g(x) = −1 ± �(x − 2)2
g(x) = −1 ± |x − 2|
g1(x) = −1 + (x − 2)
g1(x) = x − 3
ó
ó g 2(x) = −1 − (x − 2)
g 2(x) = −x + 1
PROBLEMA 84
Dadas las funciones
f = {(0,1), (1,2), (2,3), (4,3), (5,2), (6,1)}
g = {(6,7), (5,4), (4,3), (2,4), (1,4), (0.7)}
halle (f o g) y (g o f)
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Pág. 315
Análisis Matemático 1
SOLUCION 84
f = {(0; 1), (1; 2), (2; 3), (4; 3), (5; 2), (6; 1)}
g = {(6; 7), (5; 4), (4; 3), (2; 4), (1; 4), (0; 7)}
a) f o g:
f o g = {(5; 3), (2; 3), (1; 3)}
b) g o f:
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Pág. 316
Análisis Matemático 1
g o f = {(0; 4), (1; 4), (5; 4), (6; 4)}
PROBLEMA 85
Si f(x) = 1⁄(x − 2), x ≥ 3, g (x) = (2x + 1)⁄x, x ≥ 1⁄2,
halle la función compuesta g o f.
SOLUCION 85
f(x) =
g(x) =
1
; x≥3
x−2
2x + 1
1
; x≥
x
2
g o f =?
Sol:
1
2
2�
�+1
+1
1
x
−
2
x
−
2
(g o f)(x) = g�f(x)� = g �
�=
=
1
1
x−2
x−2
x−2
x
= x−2 =x ; x≠ 2
1
x−2
(g o f)(x) = x ; x ≠ 2
Dominio de 𝐠 𝐨 𝐟:
x ∈ Domf ∧ f(x) ∈ Domg
Domf = [3; +∞ >
Domg = [1/2; +∞ >
x ∈ [3; +∞ > ∧ �
1
1
≥
x−2 2
1
� ∈ [1/2; +∞ >
x−2
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Pág. 317
Análisis Matemático 1
1
1
− ≥0
x−2 2
4−x
≥0
2(x − 2)
x−4
≤0
x−2
x ∈ [2; 4]
x ∈ ([3; +∞ > ∩ [2; 4])
x ∈ [3; 4]
Dom(f o g) = [3; 4] − {2} = [3; 4]
PROBLEMA 86
a) Sean g (x) = x 3 , (g o f)(x) = x 3 − 3x 2 + 3x − 1
halle la regla de correspondencia f (x).
b) Sean g = {(0,0), (1,2), (4,1), (9,3)} y f (x) = (x − 2)2.
x ∈ ℝ. Halle la función compuesta g o f.
SOLUCION 86
a) g(x) = x 3
(g o f)(x) = x 3 − 3x 2 + 3x − 1
f(x) =?
g�f(x)� = x 3 − 3x 2 + 3x − 1
f 3(x) = (x − 1)3
f(x) = x − 1
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Pág. 318
Análisis Matemático 1
b) f(x) = (x − 2)2 ; x ∈ ℝ
Domf = ℝ ; Rangf = [0; +∞ >
g o f =?
g o f = {(2; 0), (1; 2), (3; 2), (4; 1), (0; 1), (5; 3), (−1; 3)}
PROBLEMA 87
x 2 , x ∈ [5,9⟩
Si f (x) = �
√x, x ∈ [10,16⟩
g (x) = x + 5,
x ∈ [1,12],
halle f o g.
SOLUCION 87
f(x) = �
x 2 ; x ∈ [5; 9 >
√x ; x ∈ [10; 16 >
Domf = [5; 9 > ∪ [10; 16 >
g(x) = x + 5; x ∈ [1; 12]
Domg = [1; 12]
Dominio de 𝐟 𝐨 𝐠:
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Pág. 319
Análisis Matemático 1
Dom(f o g) = {x / x ∈ Dg ∧
x ∈ Dg = x ∈ [1; 12]
• g(x) ∈ Df
•
g(x) ∈ Df}
(x + 5) ∈ ([5; 9 > ∪ [10; 16 >)
5 ≤x+5 < 9
∨
0≤x<4
∨
10 ≤ x + 5 < 16
5 ≤ x < 11
x ∈ ([0; 4 > ∨ [5; 11 >)
Luego:
x ∈ [1; 12] ∩ ([0; 4 > ∨ [5; 11 >)
x ∈ [1; 4 > ∪ [5; 11 >
Dom(f o g) = [1; 4 > ∪ [5; 11 >
Cuando 𝐱 ∈ [𝟏; 𝟒 >:
(f o g)(x) = f�g(x)� = f(x + 5) … … (1)
1≤x<4
6 ≤x+5 < 9
En (1):
(f o g)(x) = (x + 5)2 = x 2 + 10x + 25
Cuando 𝐱 ∈ [𝟓; 𝟏𝟏 >:
5 ≤ x < 11
10 ≤ x + 5 < 16
Luego:
(f o g)(x) = f�g(x)� = f(x + 5) = √x + 5
Regla de correspondencia de 𝐟 𝐨 𝐠:
(f o g)(x) = �
x 2 + 10x + 25 ; x ∈ [1; 4 >
√x + 5
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;
x ∈ [5; 11 >
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Pág. 320
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 88
Si:
f(x) = 1/(2x + 7) , x ∈ [−3; 6]
g(x) = x 2 − 4x + 8 ;
Halle f o g.
x ∈ ⟨6; 12]
SOLUCION 88
f(x) =
1
; x ∈ [−3; 6]
2x + 7
Domf = [−3; 6]
g(x) = x 2 − 4x + 8; x ∈ < 6; 12]
Domg = < 6; 12]
Dom(f o g) = {x/x ∈ Domg ∧ g(x) ∈ Domf}
x ∈ Domg = x ∈ < 6; 12]
• g(x) ∈ Domf = g(x) ∈ [−3; 6]
•
= (x 2 − 4x + 8 ≥) ∈ [−3; 6]
−3 ≤ x 2 − 4x + 8 ≤ 6
x 2 − 4x + 8 ≥ −3
•
∧
x 2 − 4x + 8 ≥ −3
x 2 − 4x + 8 ≤ 6
�����������
x 2 − 4x + 11 ≥ 0
∆<0
x 2 − 4x + 11 > 0 ∀ x ∈ ℝ
∴x∈ℝ
•
x 2 − 4x + 8 ≤ 6
x 2 − 4x + 2 ≤ 0
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Pág. 321
Análisis Matemático 1
x=
x=
4 ± √16 − 8
2
4 ± 2√2
2
x = 2 ± √2
x ∈ �2 − √2 ; 2 + √2�
Luego:
x ∈ �ℝ ∩ �2 − √2 ; 2 + √2��
x ∈ �2 − √2 ; 2 + √2�
Entonces:
Dom(f o g) = < 6; 12] ∩ �2 − √2 ; 2 + √2�
Dom(f o g) = ∅
∴ f o g No existe.
PROBLEMA 89
Halle la función compuesta f o g para
0, x < 0
f (x) = �x , x ∈ [0,1]
0, x > 1
2
;
1, x < 0
g (x) = �2x, x ∈ [0,1],
1, x > 1
SOLUCION 89
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Pág. 322
Análisis Matemático 1
0 ;
x < 0 f1
2
f(x) = �x ; x ∈ [0; 1] f2
0 ;
x > 1 f3
1 ;
g(x) = �2x ;
1 ;
x<0
g1
x ∈ [0; 1] g 2
x > 1 g3
f o g =?
Sol:
Domf1 = < −∞; 0 >
Domg1 = < −∞; 0 >
Domf3 = < 1; +∞ >
Domg 3 = < 1; +∞ >
Domf2 = [0; 1]
Domg 2 = [0; 1]
Dom(f o g) = Dom(f1 o g1) ∪ Dom(f1 o g 2) ∪ Dom(f1 o g 3) ∪ Dom(f2 o g1)
∪ Dom(f2 o g 2) ∪ Dom(f2 o g 3) ∪ Dom(f3 o g1) ∪ Dom(f3 o g 2)
∪ Dom(f3 o g 3) … … … … (1)
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟏 𝐨 𝐠𝟏 ):
Dom(f1 o g1) = {x / x ∈ Domg1 ∧ g1 (x) ∈ Domf1}
x ∈ Domg1
g1(x) ∈ Domf1
x ∈ < −∞: 0 >
1 ∈ < −∞; 0 >; x ∈ ∅
Dom(f1 o g1) = < −∞; 0 > ∩ ∅ = ∅
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟏 𝐨 𝐠𝟐 ):
x ∈ Domg 2
x ∈ [0; 1]
∧
∧
g 2 (x) ∈ Domf1
2x ∈ < −∞; 0 >
2x < 0
x<0
x ∈ < −∞; 0 >
Dom(f1 o g 2) = [0; 1] ∩ < −∞; 0 ≥ ∅
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟏 𝐨 𝐠𝟑 ):
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Pág. 323
Análisis Matemático 1
x ∈ Domg 3
∧
x ∈ < 1; +∞ >
g 3 (x) ∈ Domf1
∧
1 ∈ < −∞; 0 >
x∈∅
Dom(f1 o g 3) = < 1; +∞ > ∩ ∅ = ∅
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟐 𝐨 𝐠𝟏 ):
x ∈ Domg1
x ∈ < −∞; 0 >
∧
g1(x) ∈ Domf2
∧
1 ∈ [0; 1]
x∈ℝ
Dom(f2 o g1) = < −∞; 0 > ∩ ℝ =< −∞; 0 >
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟐 𝐨 𝐠𝟐 ):
x ∈ Domg 2
x ∈ [0; 1]
∧
∧
g 2 (x) ∈ Domf2
2x ∈ [0; 1]
0 ≤ 2x ≤ 1
0 ≤ x ≤ 1/2
x ∈ [0; 1/2]
Dom(f2 o g 2 ) = [0; 1] ∩ [0; 1/2] = [0; 1/2]
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟐 𝐨 𝐠𝟑 ):
x ∈ Domg 3
∧
x ∈ < −1; +∞ >
g 3 (x) ∈ Domf2
∧
1 ∈ [0; 1]
x∈ℝ
Dom(f2 o g 3 ) = < 1; ∞ > ∩ ℝ = < 1; ∞ >
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟑 𝐨 𝐠𝟏 ):
x ∈ Domg1
x ∈ < −∞; 0 >
∧
g1(x) ∈ Domf3
∧
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1 ∈ < 1; +∞ >
x∈∅
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Pág. 324
Análisis Matemático 1
Dom(f3 o g1) = < −∞; 0 > ∅ = ∅
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟑 𝐨 𝐠𝟐 ):
x ∈ Domg 2
x ∈ [0; 1]
∧
∧
g 2 (x) ∈ Domf3
2x ∈ < 1; +∞ >
2x > 1
x > 1/2
x ∈ < 1/2; +∞ >
Dom(f3 o g 2 ) = [0; 1] ∩ <
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟑 𝐨 𝐠𝟑 ):
x ∈ Domg 3
∧
x ∈ < 1; +∞ >
1
; +∞ > = < 1/2; 1]
2
g 3 (x) ∈ Domf3
∧
1 ∈ < 1; +∞ >
x∈∅
Dom(f3 o g 3 ) = < 1; +∞ > ∩ ∅ = ∅
∴ Dom(f o g) = ∅ ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ < −∞; 0 > ∪ [0; 1/2 > ∪ < 1; +∞ > ∪ ∅ ∪
< 1/2; 1] ∪ ∅
Dom(f o g) = ℝ − {1/2}
Cuando 𝐱 ∈ < −∞; 𝟎 >
(f2 o g1)(x) = f2 �g1(x) � = f2(1) = (1)2 = 1
Cuando 𝐱 ∈ [𝟎; 𝟏/𝟐 >
(f2 o g 2 )(x) = f2 �g 2 (x) � = f2(2x) = (2x)2 = 4x 2
Cuando 𝐱 ∈ < 𝟏; +∞ >
(f2 o g 3 )(x) = f2�g 3 (x)� = f2(1) = (1)2 = 1
Cuando 𝐱 ∈ < 𝟏/𝟐; 𝟏]
(f3 o g 2 )(x) = f3�g 2 (x)� = f3(2x) = 0
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Pág. 325
Análisis Matemático 1
Finalmente:
1
; x<0
4x ; 0 ≤ x < 1/2
fog=�
0 ; 1/2 < x ≤ 1
1 ; x>1
2
PROBLEMA 90
Halle la función compuesta f o g para
2x − 1, 0 < x ≤ 2
f (x) = � 3x, 3 ≤ x ≤ 5,
6, 5 < x ≤ 8
x, 1 ≤ x ≤ 9
g (x) = � √
x − 2, 9 < x ≤ 12
SOLUCION 90
f o g =?
2x − 1 ; 0 < x ≤ 2 f1
f2
f(x) = � 3x ; 3 ≤ x ≤ 5
6 ; 5<x≤8
f3
g(x) = �
Sol:
√x ; 1 ≤ x ≤ 9
x − 2 ; 9 < x ≤ 12
g1
g2
Domf1 =< 0; 2]
Domg1 = [1; 9]
Domf3 = < 5; 8]
Domg 2 = < 9; 12]
Domf2 = [3; 5]
Dom(f o g) = Dom(f1 o g1) ∪ Dom(f1 o g 2) ∪ Dom(f2 o g1) ∪ Dom(f2 o g 2)
∪ Dom(f3 o g1) ∪ Dom(f3 o g 2) … … … (1)
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟏 𝐨 𝐠 𝟏 ):
x ∈ Domg1
x ∈ [1; 9]
∧
∧
g1(x) ∈ Domf1
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√x ∈ < 0; 2]
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Pág. 326
Análisis Matemático 1
0 < √x ≤ 2
0<x≤4
x ∈ < 0; 4]
Dom(f1 o g1) = [1; 9] ∩ < 0; 4] = [1; 4]
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟏 𝐨 𝐠 𝟐 ):
x ∈ Domg 2
x ∈ < 9; 12]
∧
g 2 (x) ∈ Domf1
(x − 2) ∈ < 0; 2]
0 < x−2 ≤ 2
2<x≤4
x ∈ < 2; 4]
Dom(f1 o g 2) = < 9; 12] ∩ < 2; 4] = ∅
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟐 𝐨 𝐠 𝟏 ):
x ∈ Domg1
x ∈ [1; 9]
∧
∧
g1(x) ∈ Domf2
√x ∈ [3; 5]
3 ≤ √x ≤ 5
9 ≤ x ≤ 25
x ∈ [9; 25]
Dom(f2 o g1) = [1; 9] ∩ [9; 25] = {9}
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟐 𝐨 𝐠 𝟐 ):
x ∈ Domg 2
x ∈ < 9; 12]
∧
∧
g 2 (x) ∈ Domf2
x − 2 ∈ [3; 5]
3 ≤ x−2 ≤ 5
5≤x≤7
x ∈ [5; 7]
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Pág. 327
Análisis Matemático 1
Dom(f2 o g 2 ) = < 9; 12] ∩ [5; 7] = ∅
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟑 𝐨 𝐠 𝟏 ):
x ∈ Domg1
x ∈ [1; 9]
∧
∧
g1(x) ∈ Domf3
√x ∈ < 5; 8]
5 < √x ≤ 8
25 < x ≤ 64
x ∈ < 25; 64]
Dom(f3 o g1) = [1; 9] ∩ < 25; 64] = ∅
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟑 𝐨 𝐠 𝟐 ):
x ∈ Domg 2
x ∈ < 9; 12]
∧
∧
g 2 (x) ∈ Domf3
x − 2 ∈ < 5; 8]
5 < x−2 ≤ 8
7 < x ≤ 10
x ∈ < 7; 10]
Dom(f3 o g 2 ) = < 9; 12] ∩ < 7; 10] =< 9; 10]
En (1):
Dom(f o g) = [1; 4] ∪ ∅ ∪ {9} ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ < 9; 10] = [1; 4] ∪]9; 10]
Cuando 𝐱 ∈ [𝟏; 𝟒]:
Dom(f1 o g1)(x) = f1�g1 (x)� = f1�√x� = 2√x − 1
Cuando 𝐱 ∈< 𝟗; 𝟏𝟎]:
Dom(f3 o g 2 )(x) = f3�g 2 (x)� = f3(x − 2) = 6
Cuando 𝐱 = 𝟗:
Dom(f2 o g1)(x) = f2 �g1(x)� = f2�√x� = 3√x
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Pág. 328
Análisis Matemático 1
2√x − 1 ; 1 ≤ x ≤ 4
f o g = � 3√x ó 9 ; x = 9
6
;
9 < x ≤ 10
PROBLEMA 91
Halle Dom (f o g) y Dom (g o f) para
f (x) =
x+1
,
x+2
0 ≤ x < 6,
g (x) = �x 2 − 4x + 8,
0≤x<2
SOLUCION 91
f(x) =
x+1
; 0≤x<6
x+2
g(x) = �x 2 − 4x + 8 ; 0 ≤ x < 2
Dom(f o g) =?
Sol:
-
Dom(f o g) = {x / x ∈ Domg ∧
Domg = [0; 2 >
•
Dom(g o f) =?
x ∈ Domg
;
Domf = [0; 6 >
g(x) ∈ Domf}
x ∈ [0; 2 >
•
g(x) ∈ Domf
�x 2 − 4x + 8 ∈ [0; 6 >
0 ≤ �x 2 − 4x + 8 < 6
0 ≤ x 2 − 4x + 8 < 36
x 2 − 4x + 8 ≥ 0
∆= −16 < 0
∧
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x 2 − 4x + 8 < 36
x 2 − 4x − 28 < 0
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Pág. 329
Análisis Matemático 1
x 2 − 4x + 8 > 0 ∀x ∈ ℝ
x=
x ∈ ℝ
x=
4 ± �16 − 4(−28) 4 ± √128
=
2
2
4 ± 8√2
= 2 ± 4√2
2
x ∈ < 2 − 4√2 ; 2 + 4√2 >
x ∈ ℝ ∩ (< 2 − 4√2 ; 2 + 4√2 >)
x ∈ < 2 − 4√2 ; 2 + 4√2 >
Luego:
Dom(f o g) = [0; 2 > ∩ < 2 − 4√2 ; 2 + 4√2 > = [0; 2 >
Dom(g o f) = {x / x ∈ Domf
• x ∈ Domf
-
∧
f(x) ∈ Domg}
x ∈ [0; 6 >
•
�
f(x) ∈ Domg
x+1
� ∈ [0; 2 >
x+2
0≤
x+1
<2
x+2
x+1
≥0
x+2
x+1
≥0
x+2
∧
x+1
<2
x+2
x ∈ < −∞; −2 > ∪ [−1; +∞ >
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Pág. 330
Análisis Matemático 1
x+1
<2
x+2
x+1
−2<0
x+2
−x − 3
<0
x+2
x+3
>0
x+2
x ∈ < −∞; −3 > ∪ > −2; +∞ >
x ∈ (< −∞; −2 > ∪ [−1; +∞ >) ∩ (< −∞; −3 > ∪ < −2; +∞ >)
x ∈ < −∞; −3 > ∪ [−1; +∞ >
Finalmente:
Dom(g o f) = [0; 6 > ∩ (< −∞; −3 > ∪ [−1; +∞ >) = [0; 6 >
PROBLEMA 92
a) Si f(x) = √2x − 1, g(x) = √2x 2 − 7
halle una función h tal que (f o h)(x) = g (x)
7
3
b) Si f (x) = √1 − x 3 , halle g(x) tal que (f o g)(x) = √x 4 + 1
c) Si f(x) = x 2 , x < 0, halle g(x) tal que se cumpla que (f o g)(x) = 4x 2 −
12x + 9.
SOLUCION 92
a) f(x) = √2x − 1 ;
(f o h)(x) = g(x)
f�h(x)� = g(x)
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g(x) = √2x 2 − 7
h(x) =?
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Pág. 331
Análisis Matemático 1
�2h(x) − 1 = �2x 2 − 7
2h(x) − 1 = 2x 2 − 7
h(x) =
2x 2 − 6
→ h(x) = x 2 − 3
2
7
b) f(x) = √1 − x 3
3
(f o g)(x) = �x 4 + 1
g(x) =?
3
f�g(x)� = �x 4 + 1
7
� �1 − g 3 (x)�
21
3
21
= � �x 4 + 1�
(1 − g 3 (x))3 = (x 4 + 1)7
1 − g 3(x) = (x 4 + 1)7/3
g 3 (x) = 1 − (x 4 + 1)7/3
g(x) = (1 − (x 4 + 1)7/3)1/3
c) f(x) = x 2 ; x < 0 ; g(x) =?
(f o g)(x) = 4x 2 − 12x + 9
f�g(x)� = 4x 2 − 12x + 9
g 2 (x) = 4x 2 − 12x + 9 ; g(x) < 0
g(x) = ±�4x 2 − 12x + 9
g(x) = −�4x 2 − 12x + 9
PROBLEMA 93
a) (g o f)(x) = x + 2, f(x) = 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 12x + 8
halle la regla de correspondiente de g(x).
b) Si (g o f)(x) = sen √x 2 + 1
halle g (x)para que se cumpla que f(x) = �x 2 + 1 − 1
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Pág. 332
Análisis Matemático 1
c) Si F(x) = cot, g(x) = sec x
halle la regla de correspondencia de h(x)para que F(x) = (h o g)(x)
d) Si F(x) = (1 − Cos 2x)Sec x, g(x) = Sec x
halle f(x)tal que F(x) = f(g(x)).
SOLUCION 93
a) (g o f)(x) = x + 2
f(x) = x 3 + 6x 2 + 12 + 8
g(x) =?
Sol:
f(x) = (x + 2)3
(g o f)(x) = g�f(x)� = g[(x + 2)3] = x + 2
3
g(x) = √x
b) (g o f)(x) = sin √x 2 + 1
g(x) =?
f(x) = �x 2 + 1 − 1
Sol:
(g o f)(x) = sin �x 2 + 1
g�f(x)� = sin �x 2 + 1
g ��x 2 + 1 − 1� = sin �x 2 + 1
g(x) = sin(x + 1)
c) f(x) = cot x
g(x) = sec x
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Análisis Matemático 1
h(x) =?
f(x) = (h o g)(x)
f(x) = h(g(x))
cot x = h(sec x)
Haciendo:
sec x = u
Luego:
1
h(u) =
√u2 − 1
1
h(x) =
√x 2 − 1
d) f(x) = (1 − cos 2x) sec x
g(x) = sec x
f(x) =?
f(x) = f(g(x))
(1 − cos 2x) sec x = f(sec x)
2 sin2 x sec x
2(1 − cos 2 x) sec x
2 �1 −
1
� sec x = f (sec
x)
���
sec 2 x
f(u) = 2 �1 −
f(u) = 2u −
2
u
1
u2 x
�u
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u
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Análisis Matemático 1
2u2 − 2
f(u) =
u
2x 2 − 2
f(x) =
x
PROBLEMA 94
Dados las funciones f y g ambas con dominio todo ℝ, donde
f(x − 1) = 3x 2 + ax + 12,
g(x + 1) = 5x + 7
halle el valor de a para que (f o g)(−2) = −4 a.
SOLUCION 94
f(x − 1) = 3x 2 + ax + 12
Domf = ℝ
g(x + 1) = 5x + 7
Domg = ℝ
a =?
(f o g)(−2) = −4a
f�g(−2)� = −4a … … (1)
g(−2) = g(−3 + 1) = 5(−3) + 7
g(−2) = −8
En (1):
f(−8) = −4a
f(−7 − 1) = −4a
3(−7)2 + a(−7) + 12 = −4a
147 − 7a + 12 = −4a
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Pág. 335
Análisis Matemático 1
3a = 159
a = 53
PROBLEMA 95
Si
f(x) = �
1⁄(x − 1), x ∈ ⟨−1,1⟩
|x 2 + 1|, x ∈ ⟨1,2⟩
g(x) = �
Halle f o g, si existe.
⟦x⟧, 0 ≤ x < 1
�x 2 − 1, 1 ≤ x ≤ 3
SOLUCION 95
1
; x ∈ < −1; 1 >
f(x) = �x − 1
|x 2 + 1| ; x ∈ < 1; 2 >
⟦x⟧ ; 0 ≤ x < 1
g(x) = � 2
�x − 1 ; 1 ≤ x ≤ 3
f o g =?
ó
ó
1
; x ∈ < −1; 1 > f1
f(x) = �x − 1
x2 + 1
; x ∈ < 1; 2 > f2
g(x) = �
0
;
�x 2 − 1 ;
0≤x<1
g1
1 ≤ x ≤ 3 g2
Dom(f o g) = Dom(f1 o g1 ) ∪ Dom(f1 o g 2 ) ∪ Dom(f2 o g1 ) ∪ Dom(f2 o g 2 )
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟏 𝐨 𝐠 𝟏 ):
x ∈ Domg1
x ∈ [0; 1 >
∧
∧
g1(x) ∈ Domf1
0 ∈ < −1; 1 >
x∈ℝ
Dom(f1 o g1) = [0; 1 > ∩ ℝ = [0; 1 >
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟏 𝐨 𝐠 𝟐 ):
x ∈ Domg 2
x ∈ [1; 3]
∧
∧
g 2 (x) ∈ Domf1
�x 2 − 1 ∈ < −1; 1 >
−1 < √x 2 − 1 < 1
0 ≤ x2 − 1 < 1
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Pág. 336
Análisis Matemático 1
1 ≤ x2 < 2
1 ≤ x < √2 ó − √2 < x ≤ −1
x ∈ < −√2 − 1] ∪ [1; √2 >
Dom(f1 o g 2) = [1; 3] ∩ �< −√2 − 1] ∪ [1; √2 >�
Dom(f1 o g 2) = [1; √2 >
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟐 𝐨 𝐠 𝟏 ):
x ∈ Domg1
x ∈ [0; 1 >
∧
∧
Dom(f2 o g1) = ∅
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟐 𝐨 𝐠 𝟐 ):
x ∈ Domg 2
x ∈ [1; 3]
∧
∧
g1(x) ∈ Domf2
0 ∈ < 1; 2 >
x∈∅
g 2 (x) ∈ Domf2
�x 2 − 1 ∈ < 1; 2 >
1 < �x 2 − 1 < 2
1 < x2 − 1 < 4
2 < x2 < 5
√2 < x < √5
ó
− √5 < x < −√2
x ∈ < −√5; −√2 > ∪ < √2; √5 >
Dom(f2 o g 2 ) = [1; 3] ∩ �< −√5; −√2 > ∪ < √2; √5 >�
Dom(f2 o g 2 ) =< √2; √5 >
∴ Dom(f o g) = [0; 1 > ∪ [1; √2 > ∪ ∅ ∪ < √2; √5 >
Dom(f o g) = [0; √2 ∪ < √2; √5 >
Cuando 𝐱 ∈ [𝟎; 𝟏 >:
(f1 o g1)(x) = f1�g1(x)� = f1(0) = −1
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Análisis Matemático 1
Cuando 𝐱 ∈ [𝟏; √𝟐 >:
(f1 o g 2)(x) = f1�g 2 (x)� = f1 ��x 2 − 1� =
Cuando 𝐱 ∈ < √𝟐; √𝟓 >:
1
√x 2 − 1 − 1
2
(f2 o g 2 )(x) = f2 �g 2 (x)� = f2 ��x 2 − 1� = ��x 2 − 1� + 1 = x 2 − 1 + 1 = x 2
Regla de correspondencia de 𝐟 𝐨 𝐠:
(f o g)(x) =
−1
⎧
1
;
0≤x<1
; 1 ≤ x < √2
2−1−1
√x
⎨
⎩ x2
; √2 < x < √5
PROBLEMA 96
Si
f(x) = �
⟦x − 1⟧, x ∈ [0,2⟩
g(x) = �
x 2 , x ∈ [2,3]
|x|, x ∈ [−5, −1]
2, x ∈ [1,2]
halle f o g, si existe.
SOLUCION 96
f(x) = �
|x|
2
;
x ∈ [−5; −1]
;
x ∈ [1; 2]
⟦x − 1⟧ ; x ∈ [0; 2 >
g(x) = � 2
x
; x ∈ [2; 3]
ó
f(x) = �
−x ; x ∈ [−5; −1] f1
2 ; x ∈ [1; 2]
f2
f o g =?
Sol:
Simplificando 𝐠(𝐱):
0≤x<2
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Pág. 338
Análisis Matemático 1
−1 ≤ x − 1 < 1
−1 ≤ x − 1 < 0
⟦x − 1⟧ = −1
∨
0≤ x−1 < 1
⟦x − 1⟧ = 0
0≤x<1
1≤x<2
Luego:
−1 ; 0 ≤ x < 1 g1
g(x) = � 0 ; 1 ≤ x < 2 g 2
x2 ; 2 ≤ x ≤ 3 g3
Dom(f o g) = Dom(f1 o g1) ∪ Dom(f1 o g 2) ∪ Dom(f1 o g 3) ∪ Dom(f2 o g1)
∪ Dom(f2 o g 2) ∪ Dom(f2 o g 3)
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟏 𝐨 𝐠 𝟏 ):
x ∈ Domg1
x ∈ [0; 1 >
∧
∧
g1(x) ∈ Domf1
−1 ∈ [−5; −1]
Dom(f1 o g1) = [0; 1 >
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟏 𝐨 𝐠 𝟐 ):
x ∈ Domg 2
x ∈ [1; 2 >
∧
∧
g 2(x) ∈ Domf1
0 ∈ [−5; −1]
x∈∅
Dom(f1 o g 2) = ∅
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟏 𝐨 𝐠 𝟑 ):
x ∈ Domg 3
x ∈ [2; 3]
∧
∧
Dom(f1 o g 3) = ∅
x∈ℝ
g 3(x) ∈ Domf1
x 2 ∈ [−5; −1]
−5 ≤ x 2 ≤ −1
x∈∅
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Pág. 339
Análisis Matemático 1
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟐 𝐨 𝐠 𝟏 ):
x ∈ Domg1
x ∈ [0; 1 >
g1(x) ∈ Domf2
∧
∧
−1 ∈ [1; 2]
x∈∅
Dom(f2 o g1) = ∅
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟐 𝐨 𝐠 𝟐 ):
x ∈ Domg 2
x ∈ [1; 2 >
∧
∧
g 2(x) ∈ Domf2
0 ∈ [1; 2]
x∈∅
Dom�f2 o g2 � = ∅
𝐃𝐨𝐦(𝐟𝟐 𝐨 𝐠 𝟑 ):
x ∈ Domg 3
x ∈ [2; 3 ]
∧
∧
g 3(x) ∈ Domf2
x 2 ∈ [1; 2]
1 ≤ x2 ≤ 2
1 ≤ x ≤ √2
ó − √2 ≤ x ≤ −1
x ∈ �−√2; −1� ∪ �1; √2�
Dom(f2 o g 3 ) = [2; 3] ∩ ��−√2; −1� ∪ �1; √2��
Dom(f2 o g 3 ) = ∅
Dom(f o g) = [0; 1 >∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ∅ = [0; 1 >
Cuando 𝐱 ∈ [𝟎; 𝟏 >
(f1 o g1 )(x) = f1 �g1 (x)� = f1 (−1) = −(−1) = 1
Regla de correspondencia:
(f o g)(x) = 1 ; ∀x ∈ [0; 1 >
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Pág. 340
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 97
Si
f(x) = �
, x ∈ [1,6⟩
�x − 1
(1 − x )⁄4, x ∈ [−3,0]
g = {(8,7), (4,4), (5, −1), (3,5), (−2, −1), (− 3⁄4,6)}
Halle f o g y g o f si existe.
SOLUCION 97
√x − 1 ; x ∈ [1; 6 >
f(x) = � 1 − x
; x ∈ [−3; 0]
4
g = {(8; 7), (4; 4), (5; −1), (3; 5), (−2; −1), (−3/4, 6)}
f o g =? ; g o f =?
Sol:
𝐟 𝐨 𝐠:
Domf = [−3; 0] ∪ [1; 6 >
Dom f o g = {x/x ∈ Domg ∧
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g(x) ∈ Domf}
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Pág. 341
Análisis Matemático 1
Según el gráfico:
Domf o g = {4; 5; 3; −2}
(f o g)(4) = f�g(4)� = f(4) = √4 − 1 = √3
(f o g)(5) = f�g(5)� = f(−1) =
1 − (−1)
= 1/2
4
(f o g)(3) = f�g(3)� = f(5) = √5 − 1 = 2
(f o g)(−2) = f�g(−2)� = f(−1) = 1/2
f o g = {�4; √3�, (5; 1/2), (3; 2), (−2; 1/2)}
𝐠 𝐨 𝐟:
Dom𝑓 = [−3; 0] ∪ [1; 6 >
Dom(g o f) = {x / x ∈ Domf ∧ f(x) ∈ Domg}
Domg = {8; 4; 5; 3; −2; −3/4}
Rango de 𝐟:
Cuando 𝒙 ∈ [−𝟑; 𝟎]:
−3 ≤ x ≤ 0
3 ≥ −x ≥ 0
4 ≥1−x ≥ 1
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Pág. 342
Análisis Matemático 1
1≥
1−x 1
≥
4
4
1
≤ f(x) ≤ 1
4
f(x) ∈ [1/4; 1]
No hay un 𝑓(𝑥) ∈ Dom𝑔
∴gof∄
Cuando 𝒙 ∈ [𝟏; 𝟔 >:
1≤x<6
0 ≤x−1 < 5
0 ≤ √x − 1 < √5
0 ≤ f(x) < √5
No hay un f(x) ∈ Domg ∴ g o f ∄
∴ (g o f)∄ ya que no hay un elemento del dominio de f que f(x) ∈ Dominio de g.
PROBLEMA 98
Si 4f(x − 3) = x 2 + 4
halle los valores de 𝐮 tales que el rango de g sea ⟨−3,3⟩ donde
g(x) =
f(2x − 3) − 𝐮x
para todo x ∈ ℝ.
f(2x − 3) + x
SUG: ax 2 + bx + c > 0, ∀ x ∈ ℝ, (a > 0) siempre que ∆< 0.
SOLUCION 98
4f(x − 3) = x 2 + 4
x2 + 4
f(x − 3) =
4
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Pág. 343
Análisis Matemático 1
(x + 3)2 + 4
f(x) =
4
x 2 + 6x + 13
f(x) =
4
(2x − 3)2 + 6(2x − 3) + 13
f(2x − 3) =
4
4x 2 − 12x + 9 + 12x − 5
f(2x − 3) =
4
4x 2 + 4
f(2x − 3) =
= x2 + 1
4
g(x) =
f(2x − 3) − ux
; ∀x ∈ℝ
f(2x − 3) + x
Rangg = < −3; 3 >
−3 < g(x) < 3
x 2 + 1 − ux
−3 < 2
<3
x +1+x
x 2 − ux + 1
−3 < 2
<3
x +x+1
∆(x 2 + x + 1) < 0 → x 2 + x + 1 > 0
Luego:
−3x 2 − 3x − 3 < x 2 − ux + 1 < 3x 2 + 3x + 3
−3x 2 − 3x − 3 < x 2 − ux + 1 ∧ x 2 − ux + 1 < 3x 2 + 3x + 3
4x 2 + (3 − u)x + 4 > 0
∆< 0
∧
2x 2 + (3 + u)x + 2 > 0
∆< 0
(3 − u)2 − 4(4)(4) < 0
(3 + u)2 − 4(2)(2) < 0
u2 − 6u − 55 < 0
u2 + 6u − 7 < 0
9 − 6u + u2 − 64 < 0
(u − 11)(u + 5) < 0
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9 + 6u + u2 − 16 < 0
(u + 7)(u − 1) < 0
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Pág. 344
Análisis Matemático 1
u ∈ < −5; 11 >
u ∈ (< −5; 11 > ∩ < −7; 1 >)
u ∈ < −7; 1 >
u ∈ < −5; 1 >
PROBLEMA 99
Sean f(x) = �x 2 − 4,
g(x) = √x + 2
halle el dominio y la regla de correspondencia de la función h tal que
h(x) =
f(x + 2)
.
[2g(x) − f(x)]
SOLUCION 99
f(x) = �x 2 − 4
g(x) = √x + 2
Dominio y regla de correspondencia de 𝐡 =?
h(x) =
Sol:
f(x + 2)
… … … (1)
2g(x) − f(x)
f(x + 2) = �(x + 2)2 − 4
f(x + 2) = �x 2 + 4x … … . . (2)
En (1):
h(x) =
√x 2 + 4x
2√x + 2 − √x 2 − 4
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Pág. 345
Análisis Matemático 1
Dominio de 𝐡:
x 2 + 4x ≥ 0 ;
x + 2 ≥ 0 ; x2 − 4 ≥ 0
2√x + 2 − �x 2 − 4 ≠ 0
∧
2√x + 2 − �x 2 − 4 ≠ 0
2√x + 2 ≠ �x 2 − 4
4(x + 2) ≠ x 2 − 4
4x + 8 ≠ x 2 − 4
x 2 − 4x − 12 ≠ 0
(x − 6)(x + 2) ≠ 0
x ≠ 6 ; x ≠ −2
•
x 2 + 4x ≥ 0
x(x + 4) ≥ 0
x ∈ < −∞; −4] ∪ [0; +∞ >
•
x+2≥0
x ≥ −2
x ∈ [−2; +∞ >
•
x2 − 4 ≥ 0
(x + 2)(x − 2) ≥ 0
x ∈ < −∞; −2] ∪ [2; +∞ >
x ∈ ( < −∞; −4] ∪ [0; +∞ >) ∩ [−2; +∞ > ∩ (< −∞; −2] ∪ [2; +∞ >)
x ∈ [2; +∞ >
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Análisis Matemático 1
∴ Domh = [2; +∞ > −{6}
PROBLEMA 100
1
a) Determine si la función f(x) = �x|x| + � Sen (x 2 ) es par o impar.
𝑥−1
b) grafique f (x) = Sgn �
�.
𝑥+2
x
SOLUCION 100
1
a) f(x) = �x|x| + � sin x 2
f es par o impar??
f(−x) = �(−x)|x| +
x
1
� sin(−x)2
−x
1
f(x) = �−x|x| − � sin x 2
x
1
f(x) = − �x|x| + � sin x 2
x
f(x) = −f(x)
f(−x) = −f(x)
∴ f es impar
b) Gráfica??
f(x) = Sgn �
x−1
�
x+2
3
x−1
=1−
x+2
x+2
Cuando:
x−1
<0
x+2
f(x) = Sgn
x−1
= −1
x+2
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Pág. 347
Análisis Matemático 1
1−
3
<0
x+2
x−1
<0
x+2
x ∈ < −2; 1 >
Cuando:
x−1
=0
x+2
f(x) = Sgn0 = 0
x−1
=0
x+2
x−1=0
x=1 ;
Cuando:
x−1
>0
x+2
x ≠ −2
f(x) = Sgn �
x−1
>0
x+2
x−1
�=1
x+2
x ∈ < −∞; −2 > ∪ < 1; +∞ >
1 ;
x < −2
−1 ; −2 < x < 1
∴ f(x) = �
0
;
x=1
1
;
x>1
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Pág. 348
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 101
Pruebe que:
x
x
f(x) = �sen � + �cos � es periódica, halle su gráfica y su período minimo.
2
2
SOLUCION 101
De donde vemos que 𝑇 = 𝜋, es efecto:
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Pág. 349
Análisis Matemático 1
x π
x π
f(x + π) = �sin � + �� + �cos � + ��
2 2
2 2
= |− cos(x/2)| + |− sin(x/2)|
= |cos(x/2)| + |sin(x/2)| = f(x)
PROBLEMA 102
Halle todos los polinomios f(x) de 1er. grado tales que
1
(f o f) � � = (4 − )⁄x,
x
x ≠ 0.
SOLUCION 102
f(x) = ax + b =?
(f o f) 1 =
� �
x
4−x
; x≠0
x
f(f(1/x) ) =
4−x
x
a
4−x
f � + b� =
x
x
a
4−x
a � + b� + b =
x
x
4−x
a2
+ ab + b =
x
x
a2 + abx + bx = 4 − x
abx + bx + x = 4 − a2
(ab + b + 1)x = 4 − a2
Haciendo 𝐱 = 𝟏:
ab + b + 1 = 4 − a2 … . . (1)
Haciendo 𝐱 = −𝟏:
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Análisis Matemático 1
(ab + b + 1)(−1) = 4 − a2
ab + b + 1 = a2 − 4 … … (2)
(1) = (2):
4 − a2 = a2 − 4
2a2 = 8
a2 = 4 → a = ±2
a = 2 En (1):
2b + b + 1 = 4 − 4
3b = −1
b = −1/3
∴ f(x) = 2x −
a = −2 En (1):
1
3
−2b + b + 1 = 4 − 4
b=1
∴ f(x) = −2x + 1
PROBLEMA 103
1
Sean f(x) = x + ,
x
F(x) = a2 x 2 +
halle g(x) para que f�g(x)� = F(x).
1
a2 x 2
SOLUCION 103
f(x) = x +
1
x
F(x) = a2 x 2 +
1
a2 x 2
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Análisis Matemático 1
g(x) =?
f�g(x)� = F(x)
Sol:
g(x) +
1
1
= a2 x 2 + 2 2
g(x)
a x
Haciendo g(x) = z
z+
1
1
= a2 x 2 + 2 2
z
a x
z2 + 1 a4 x 4 + 1
=
z
a2 x 2
a2 x 2 z2 − (a4 x 4 + 1)z + a2 x 2 = 0
a4 x 4 + 1 ± �(a4 x 4 + 1)2 − 4(a2 x 2 )(a2 x 2 )
z=
2a2 x 2
a4 x 4 + 1 ± √a8 x 8 + 2a4 x 4 + 1 − 4a4 x 4
z=
2a2 x 2
a4 x 4 + 1 ± √a8 x 8 − 2a4 x 4 + 1
z=
2a2 x 2
a4 x 4 + 1 ± �(a4 x 4 − 1)2
z=
2a2 x 2
a4 x 4 + 1 ± (a4 x 4 − 1)
z=
2a2x 2
a4 x 4 + 1 + a4 x 4 − 1
z1 =
2a2 x 2
ó
∴ g(x) = a2 x 2
1
a2 x 2
z1 = a2 x 2
ó
ó
z2 =
1
a2 x 2
g(x) =
a4 x 4 + 1 − a4 x 4 − 1
z2 =
2a2 x 2
PROBLEMA 104
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Análisis Matemático 1
Halle f o g si
1 x−2
�
�,
f(x) = �4 x + 1
Sgn(x 2 ),
x ∈ ⟨−∞, −6⟩ ∪ ⟨2, ∞⟩
x ∈ ⟨−1,2]
|x + 3| − 1,
−4 < x ≤ 0
1≤x<4 ∧ x≠3
g(x) = �(2x − 2)/(3 − x),
4Sgn(−x), x = 3 ∨ |x| > 4.
SOLUCION 104
f o g =?
1 x−2
�
� . x ∈ ⟨−∞, −6⟩ ∪ ⟨2, ∞⟩
f(x) = �4 x + 1
Sgn(x 2 ), x ∈ ⟨−1; 2]
Simplificando f (x):
−1 < x ≤ 2
Cuando x = 0:
Sgn x 2 = 0
Cuando x ∈ ⟨−1; 0⟩ ∪ ⟨0; 2]: Sgn (x 2 ) = 1
Luego:
1 x−2
�
� ; x ∈ ⟨−∞, −6⟩ ∪ ⟨2, +∞⟩
x
+
1
4
f(x) = �
1 ; x ∈ ⟨−1,0⟩ ∪ ⟨0,2]
f2
0; x=0
f3
f1
|x + 3| − 1,
−4 < x ≤ 0
1≤x<4 ∧x≠3
g(x) = �(2x − 2)/(3 − x),
4Sgn(−x), x = 3 ∨ |x| > 4.
Simplificando g (x):
−4 < x ≤ 0
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Pág. 353
Análisis Matemático 1
−1 < x + 3 ≤ 3
−1 < x + 3 < 0
↓
∨
0≤ x+3 ≤ 3
↓
g (x) = −x − 4
g (x) = x + 2
−4 < x < −3
−3 ≤ x ≤ 0
−1 < x + 3 < 0
0≤x+3≤3
x = 3: g (x) = 4 Sgn (−x) = 4(−1) = −4
|x| > 4 ↔ x < −4 ∨ x > 4
Cuando x < −4: g (x) = 4 Sgn (−x) = 4(−1) = −4
Cuando x > 4: g (x) = 4 (1) = 4
En resumen:
4;
𝑥 < −4
𝑔1
⎧ −𝑥 − 4 ;
−4 < 𝑥 < −3
𝑔2
⎪
𝑥 + 2 ; −3 ≤ 𝑥 ≤ 0
𝑔3
g (𝑥 ) =
⎨2𝑥 − 2 ; 1 ≤ 𝑥 < 4 ; 𝑥 ≠ 3
𝑔4
⎪3−𝑥
𝑥>4
∨ 𝑥 = 3 𝑔5
⎩ −4 ;
Dom (f o g) = Dom f1 o g1 Dom f1 o g 2 ∪ Dom f1 o g 3 ∪ Dom f1 o g 4
∪ Dom f1 o g 5 ∪ Dom f2o g1 ∪ Dom f2 o g 2 ∪ Dom f2 o g 3
∪ Dom f2o g 4 ∪ Dom f2 o g 5 ∪ Dom f3o g1 ∪ Dom f3 o g 2
∪ Dom f3 o g 3 ∪ Dom f3o g 4 ∪ Dom f3 o g 5
Dominios
Dom f1 = ⟨−∞; −6⟩ ∪ ⟨2; +∞⟩
Dom f2 = ⟨−1; 0⟩ ∪ ⟨0;2]
Dom f3 = {0}
Dom g1 = ⟨−∞; −4⟩
g1 (𝑥 ) = 4
Dom g 2 = ⟨−4; −3⟩
g 2 (𝑥 ) = −𝑥 − 4
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Dom g 3 = [−3; 0]
g 3 (𝑥 ) = 𝑥 + 2
Pág. 354
Análisis Matemático 1
Dom g 4 = [1; 4⟩ − {3}
Dom g 5 = ⟨4; +∞⟩ ∪ {3}
Dom f1 o g1
g 4 (𝑥 ) =
2𝑥−2
3−𝑥
g 5 (𝑥 ) = −4
𝑥 ∈ Dom g1
𝑥 ∈ ⟨−∞; −4⟩
g1 (𝑥 ) ∈ Dom f1
4 ∈ ⟨−∞; −6⟩ ∪ ⟨2; +∞⟩
𝑥∈ℝ
Dom f1 o g1 = ⟨−∞; −4⟩ ∩ ℝ
Dom f1 o g1 = ⟨−∞; −4⟩
Dom f1 o g 2 :
x ∈ Dom g 2
x ∈ ⟨−4; −3⟩
g 2 (x) ∈ Dom f1
−x − 4 ∈ ⟨−∞; −6⟩ ∪ ⟨2; +∞⟩
−x − 4 < −6 ∨ −x − 4 > 2
x>2
∨ x < −6
x ∈ ⟨−∞; −6⟩ ∪ ⟨2; +∞⟩
Dom f1o g 2 = ⟨−4; −3⟩ ∩ (⟨−∞; −6⟩ ∪ ⟨2; +∞⟩)
Dom f1 o g 2 = ∅
Dom f1 o g 3:
x ∈ Dom g 3 → x ∈ [−3; 0]
g 3 (𝑥 ) =∈ Dom f1
(x + 2) ∈ ⟨−∞; −6⟩ ∪ ⟨2; +∞⟩
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Pág. 355
Análisis Matemático 1
x + 2 < −6
x < −8
∨
∨
x+2 > 2
x>0
x ∈ ⟨−∞; −8⟩ ∪ ⟨0; +∞⟩
Dom f1o g 3 = [−3; 0] ∩ (⟨−∞; −8⟩ ∪ ⟨0; +∞⟩)
Dom f1 o g 3 = ∅
Dom f1 o g 4:
x ∈ Dom g 4
x ∈ [1; 4⟩ − {3}
g 4 (x) =∈ Dom f1
2x − 2
∈ ⟨−∞; −6⟩ ∪ ⟨2; +∞⟩
3−x
2x − 2
2x − 2
< −6 ∨
>2
3−x
3−x
2x − 2
2x − 2
+6<0
−2>0
3−x
3−x
−4𝑥 + 16
<0
3−𝑥
x−4
<0
x−3
4𝑥 + 8
>0
3−𝑥
x−2
<0
x−3
x ∈ ⟨3; −4⟩ ∪ x ∈ ⟨2; 3⟩
x ∈ ⟨2; −4⟩ − {3}
Dom f1 o g 4 = [1; 4⟩ − {3} ∩ (⟨2; −4⟩ − {3})
Dom f1 o g 4 = ⟨2; −4⟩ − {3}
Dom f1 o g 5:
x ∈ Dom g 5 ó x ∈ (⟨4; +∞⟩ ∪ {3})
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Pág. 356
Análisis Matemático 1
g 5 (x) ∈ Dom f1
− 4 ∈ ⟨−∞; −6⟩ ∪ ⟨2; +∞⟩
x∈∅
∴ Dom f1 o g 5 = ∅
Dom f2 o g1:
x ∈ Dom g1 o
g1(𝑥 ) ∈ Dom f2
x ∈ ⟨−∞; −4⟩
4 ∈ ⟨−1; 0⟩ ∪ ⟨0; 2]
x∈∅
∴ Dom f2 o g1 = ∅
Dom f2 o g 2:
x ∈ Dom g 2
ó x ∈ ⟨−4; −3⟩
g 2 (x) ∈ Dom f2
−x − 4 ∈ ⟨−1; 0⟩ ∪ ⟨0; 2⟩
−1 < x − 4 < 0
3 < −x < 4
0 < −𝑥 − 4 ≤ 2
𝑥 ∈ ⟨−4; −3⟩
− 4 > 𝑥 ≥ −6
−3 > 𝑥 > −4
4 < −x ≤ 6
𝑥 ∈ [−6; −4⟩
x ∈ ⟨−4; −3⟩ ∪ [−6; −4⟩
x ∈ [−6; −3⟩ − {−4}
Dom f2o g 2 = ⟨−4; −3⟩ ∩ ([−6; −3⟩ ∪ −{−4})
Dom f2 o g 2 = ⟨−4; −3⟩
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Pág. 357
Análisis Matemático 1
Dom f2 o g 3:
x ∈ Dom g 3
ó
g 3 (x) ∈ Dom f2
x ∈ [−3; 0]
g 3 (x) ∈ ⟨−1; 0⟩ ∪ ⟨0;2]
−1 < x − 2 < 0
−3 < x < −2
x ∈ ⟨−3; −2⟩
∨
∨
x ∈ ⟨−3;0] − {−2}
0<x+2≤2
−2 < x ≤ 0
x ∈ ⟨−2;0]
Dom f2o g 3 [−3; 0] ∩ (⟨−3;0] − {−2})
Dom f2 o g 3 = ⟨−3;0] − {−2}
Dom f2 o g 4:
x ∈ Dom g 4
x ∈ [1; 4⟩ − {3}
g 4 (x) ∈ Dom f2
2x − 2
∈ ⟨−1; 0⟩ ∪ ⟨0; 2]
3−x
−1 <
2x − 2
<0
3−x
2x − 2
> −1
3−x
2𝑥 − 2
+1 > 0
3−𝑥
x+1
>0
3−x
∧
∨
0<
2x − 2
≤2
3−x
2x − 2
<0
3−x
2𝑥 − 2
>0
𝑥−3
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Pág. 358
Análisis Matemático 1
x+1
<0
x−3
x ∈ ⟨−∞; 1⟩ ∪ ⟨3; +∞⟩
x ∈ ⟨−1; 3⟩
x ∈ ⟨−1; 3⟩ ∩ (⟨−∞; 1⟩ ∪ ⟨3; +∞⟩)
x∈∅
0<
2x − 2
≤2
3−x
2x − 2
>0
3−x
𝑥−1
<0
𝑥−3
2x−4
3−x
≤0
x ∈ ⟨1; 3⟩
2𝑥 − 2
≤2
3−𝑥
∧
𝑥−1
−1 ≤ 0
3−𝑥
𝑥−2
≥0
𝑥−3
x ∈ ⟨−∞; 2⟩ ∪ ⟨3; +∞⟩
x ∈ ⟨1; 3⟩ ∩ (⟨−∞; 2⟩ ∪ ⟨3; +∞⟩)
x ∈ ⟨1; 2]
Dom f2 o g 4 = ([1; 4⟩ − {3}) ∩ ⟨1,2]
Dom f2 o g 4 = ⟨1,2]
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Pág. 359
Análisis Matemático 1
Dom f2 o g 5:
x ∈ Dom g 5
x ∈ ⟨4; +∞⟩ ∪ {3}
g 5 (x) ∈ Dom f2
− 4 ∈ ⟨−1; 0⟩ ∪ ⟨0,2]
x∈∅
∴ Dom f2 o g 5 = ∅
Dom f3 o g1:
x ∈ Dom g1
x ∈ ⟨−∞; −4⟩
g1 (𝑥 ) ∈ Dom f3
4 ∈ {0}
x∈∅
Dom f3 o g1 = ∅
Dom f3 o g 2:
x ∈ Dom g 2
x ∈ ⟨−4; −3⟩
g 2 (𝑥 ) ∈ Dom f3
(−𝑥 − 4) ∈ {0}
−𝑥 − 4 = 0
𝑥 = −4
x ∈ {−4}
Dom f3 o g 2 = ∅
Dom f3 o g 3:
x ∈ Dom g 3
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Pág. 360
Análisis Matemático 1
x ∈ [−3; 0]
g 3 (𝑥 ) ∈ Dom f3
(𝑥 + 2) ∈ {0}
𝑥+2 = 0
𝑥 = −2
x ∈ {−2}
Dom f3 o g 3 = [−3; 0] ∩ {−2}
Dom f3 o g 3 = {−2}
Dom f3 o g 4:
x ∈ Dom g 4
x ∈ [1; 4⟩ − {3}
g 4 (𝑥 ) ∈ Dom f3
2x − 2
∈ {0}
3−x
2x − 2
=0
3−x
2x − 2 = 0
x=1
x ∈ {1}
Dom f3 o g 4 = ([1; 4⟩ − {3}) ∩ {1}
Dom f3 o g 4 = {1}
Dom f3 o g 5:
x ∈ Dom g 5
x ∈ ⟨4; +∞⟩ ∪ {3}
g 5 (𝑥 ) ∈ Dom f3
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Pág. 361
Análisis Matemático 1
−4 ∈ {3}
x∈∅
Dom f3 o g 5 = ∅
∗ x < −4
(f1 o g1)(x) = f1�g1(x) � = f1(4) =
∗ 2 < 𝑥 < 4;
𝑥≠3
(f1 o g 4)(x) = f1�g 4(x)� = f1 �
1 2
1
� �=
4 5
10
2𝑥 − 2
�
3−𝑥
2x − 2
1 4x − 8
𝑥−2
1 3−x −2
�= �
�=
= �
4 x+1
𝑥+1
4 2x − 2 + 1
3−x
∗ −4 < x < −3
(f2 o g 2 )(x) = f2 �g 2(x) � = f2 (−𝑥 − 4) = 1
∗ −3 < x ≤ 0;
x ≠ −2
(f2 o g 3 )(x) = f2�g 3(x) � = f2(𝑥 + 2) = 1
∗ 1<x≤2
(f2 o g 4 )(x) = f2�g 4(x) � = 1
∗ x = −2
(f3 o g 3 )(x) = f3(x + 2) = 0
∗ x=1
(f3 o g 4 )(x) = f3�g 4(x) � = 0
Finalmente:
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Pág. 362
Análisis Matemático 1
(f o g)(x) =
1⁄10
;
x < −4
⎧ 1
; −4 < x < −3
⎪
⎪ 1 ; −3 < x ≤ 0 ; x ≠ −2
1
⎨
0
⎪
⎪x − 2
⎩x + 1 ;
;
;
1<x≤2
x ∈ {1; −2}
2 < x < 4;
x≠3
PROBLEMA 105
1
(1 + x 2 )2
Demuestre que la función y = f(x) =
, x ∈ [−2, −1],
x
posee función inversa y hállela.
SOLUCION 105
(1 + x 2 )1/2
y = f (x) =
; x ∈ [−2; −1]
x
Demostración que f tiene inversa:
x1 ; x2 ∈ [−2; −1]
f(x1) = f(x2) → x1 = x2
(1 + x1 2)1/2 (1 + x2 2 )1/2
=
x1
x2
1 + x12 1 + x12
=
x12
x2 2
x2 2 + x1 2 x2 2 = x1 2 + x1 2 x2 2
x1 2 = x2 2
x1 = x2 ∨ x1 = −x2
∴ f tiene inversa(f −1 )
Regla de correspondencia de f −1
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Pág. 363
Análisis Matemático 1
(1 + x 2 )1/2
y=
x
(1 + y2 )1/2
x=
y
x y = (1 + y 2 )1/2
x2 y2 = 1 + y2
y 2 (x 2 − 1) = 1
1
y = ±� 2
x −1
Pero: Rango de f −1 = Dominio de f = [−2; −1] y ∈ [−2; −1]
Luego:
1
y = −� 2
x −1
Rango de f
√1 + x 2
y=
x
−√1 + x 2
y=
−x
−√1 + x 2
y=
|x|
y=
−√1 + x 2
√x 2
y = −�1 +
Pero:
1
… . . … (1)
x2
−2 ≤ x ≤ −1
1 ≤ x2 ≤ 4
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Pág. 364
Análisis Matemático 1
1≥
1
1
≥
2
x
4
2≥1+
1
5
≥
x2 4
√2 ≥ �1 +
1
√5
≥
x2
2
1
−√2 ≤ −�1 + 2 ≤ −
x
Según (1):
−√2 ≤ 𝑦 ≤ −
√5
2
Rango f = �−√2; −
−1
Dominio f
= Rango f
√5
2
√5
�
2
Dominio f −1 = �−√2; −
√5
�
2
PROBLEMA 106
Pruebe que la función y = f(x) = 4√x − x,
posee función inversa y hállela.
x ∈ [0,1]
SOLUCION 106
y = f(x) = 4√x − x;
x ∈ [0; 1]
Demostración que f tiene inversa(f −1 )
f(x1) = f(x2) → x1 = x2
4�x1 − x1 = 4�x2 − x2
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Pág. 365
Análisis Matemático 1
4�x1 − 4�x2 = x1 − x2
4��x1 − �x2 � = x1 − x2
4��x1 − �x2 ���x1 + �x2 � = x1 − x2 ;
�x1 + �x2
x1 ; x2 ∈ [0; 1]
Asumiendo que x1 ≠ x2
4(x1 − x2)
= x1 − x 2
√x1 + √x2
4�x1 + �x2 … … . . (1)
0 ≤ x1 ≤ 1 → 0 ≤ �x1 ≤ 1
0 ≤ x2 ≤ 1 → 0 ≤ �x2 ≤ 1
0 ≤ �x1 + �x2 ≤ 1
∴ Es absurdo que 4 = �x1 + �x2
Luego: x1 = x2
−1
Demostrado que �𝑓
Dominio de f −1
� existe
Dom f −1 = Rango f
0≤x≤1
0 ≤ √𝑥 ≤ 1
�0 ≤ 4√x ≤ 4
0≤x≤1
0 ≤ 4√𝑥 − 𝑥 ≤ 3
0≤𝑦≤3
Rango f = [0; 3]
∴ Dom f−1 = [0; 3]
Regla de correspondencia de (𝑓 −1 )
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Análisis Matemático 1
𝑦 = 4√𝑥 − 𝑥
𝑥 = 4�y − 𝑦
𝑦 = 4�y + 𝑥 = 0
�y =
�y =
4 ± √16 − 4𝑥
2
4 ± 2√4 − 𝑥
2
�y = 2 ± √4 − 𝑥
�y ≠ 2 + √4 − 𝑥
�y = 2 − √4 − 𝑥
�y = 4 − 4√4 − 𝑥 + 4 − 𝑥
y = 8 − x − 4√4 − 𝑥
PROBLEMA 107
Dada la función cuadrática f(x) = 3x 2 + 6, x ≤ 0,
a) Encuentre el dominio de f, y el rango de la inversa f −1.
b) Si g(x) = 3x + 6, ∀x ∈ ℝ, halle la función f −1 o g.
SOLUCION 107
f(x) = 3x 2 + 6, x ≤ 0,
a) Rango de f . Rango de f −1
f (x1) = f (x2 ) → x1 = x2
3x1 2 + 6 = 3x2 2 + 6
x1 = x2
∨ x1 = −x2
∴ f tiene inversa
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Pág. 367
Análisis Matemático 1
Rango de f:
x≤0
𝑥2 ≥ 0
3𝑥 2 ≥ 0
3𝑥 2 + 6 ≥ 6
f(x) ≥ 6
Rango f = [6;+∞⟩
𝐑𝐚𝐧𝐠𝐨 𝐝𝐞 𝐟 −𝟏
Dom f = ⟨−∞;0]
Rango f −1 = Dom f = ⟨−∞;0]
b) g(x) = 3x + 6 ⦡x ∈ ℝ
(f −1 o g)(x) =?
𝐑𝐞𝐠𝐥𝐚 𝐝𝐞 𝐜𝐨𝐫𝐫𝐞𝐬𝐩𝐨𝐧𝐝𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐝𝐞 𝐟 −𝟏
y = 3x 2 + 6
x = 3y 2 + 6
y2 =
x−6
3
y = ±�
x−6
3
Según el Rango de f−1 ,
x−6
∴ 𝑦 = −�
3
y≤0
(f −1 o g)(x) = f −1 �g (x) � = f −1(3x + 6) = −�
(f −1 o g)(x) = −√𝑥
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3x + 6 − 6
3
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Pág. 368
Análisis Matemático 1
PROBLEMA 108
Dadas las funciones g y h, definidas en todo ℝ, tales que g (x) = px + 4
h (x) = 5x − 3, encuentre el valor de la constante "p" de modo que se
cumpla que h−1�g −1(px)� = x⁄5
SOLUCION 108
g(x) = px + 4
ℎ(x) = 5x − 3
p =?
h−1�g −1(px)� =
Sol:
x
5
• g(x) = px + 4
x = py + 4
py = x − 4
y=
𝑥−4
p
g −1(𝑥 ) =
𝑥−4
p
g −1(px) =
px + 4
p
• h(x) = 5x − 3
𝑥 = 5𝑦 − 3
5𝑦 = 𝑥 + 3
𝑦=
𝑥+3
5
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Análisis Matemático 1
h−1(𝑥 ) =
𝑥+3
5
• h−1�g −1(px)� =
h−1 �
p𝑥 − 4
𝑥
�=
p
5
x
5
p𝑥 − 4
+3 𝑥
p
=
5
5
p𝑥 − 4 + 3p 𝑥
=
5
5p
p𝑥 − 4 + 3p = p𝑥
p = 4⁄3
PROBLEMA 109
x−2
.
Determine el rango de la función inversa de la función g(x) = �
x+5
Encuentre también el rango de g.
SOLUCION 109
g (x) = �
x−2
x+5
Rango g −1 ; Rango g ?
Solución:
g tiene inversa. Demostración:
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Pág. 370
Análisis Matemático 1
�
x1 − 2
x2 − 2
=�
x1 + 5
x2 + 5
x1 − 2 x 2 − 2
=
x1 + 5 x2 + 5
x1 x2 − 2x2 + 5x1 − 10 = x1 x2 − 2x1 + 5x2 − 10
7x1 = 7x2
x1 = x2
Rango g −1
Rango g−1 = Dom g
x−2
≥0
x+5
Dom g = ⟨−∞; −5⟩ ∪ [2;+∞⟩
Rango g −1 = ⟨−∞; −5⟩ ∪ [2;+∞⟩
Rango g
x−2
𝑦=�
x+5
y2 =
x−2
x+5
y2 x + 5 y2 = x − 2
x − y2 x = 5 y2 + 2
x (1 − y2 ) = 5 y 2 + 2
5 y2 + 2
x=
1 − y2
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Pág. 371
Análisis Matemático 1
1 − y2 = 0
𝑦 = ±1 ; 𝑦 ≥ 0
Rango g = [0;+∞⟩ − {1}
PROBLEMA 110
Si f: ℝ ⟶ Y es suryectiva tal que f(x) = |x − 2| − x, halle el congunto Y.
SOLUCION 110
f=ℝ→y
f Es Suryectiva
f (x) = |x − 2| − x
Y =?
𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧:
Y = Rango f
𝐑𝐚𝐧𝐠𝐨 𝐟
f (x) = |x − 2| − x
Punto critico: 2
caso I:
x<2
f (x) = −x + 2 − x
f (x) = −2x + 2
x<2
−2 x > −4
−2 x + 2 > −2
f (x) > −2
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Pág. 372
Análisis Matemático 1
Rango fI = ⟨−2; +∞⟩
caso II:
x≥2
f (x) = x − 2 − x
f (x) = −2
Rango fII = {−2}
∴ Rango f = Rango fI ∪ Rango fII
Rango f = [−2; +∞⟩
Y = [−2; +∞⟩
PROBLEMA 111
Sea
x 2 + 10 x + 21 , x ∈ [−7,−5⟩ ∪ [−2,−1⟩
f (x) = �
x ∈ ⟨−1,3]
√x + 1 + 1 ,
a) Demuestre que f es inyectiva y halle f −1 .
b) Halle si existe f − f−1
SOLUCION 111
f (x) = �
x 2 + 10x + 21;
√x + 1 + 1 ;
x ∈ [−7;−5⟩ ∪ [−2;−1⟩
f1
x ∈ ⟨−1;3]
f2
a) Demostración que f es inyectiva; Demostración que f1 es inyectiva
f1 (x1) = f1 (x2) → x1 = x2
x1 2 + 10 x1 + 21 = x2 2 + 10 x2 + 21
x1 2 − x22 = 10 x2 − 10 x1
(x1 + x2 )(x1 − x2) = −10(x1 − x2 ) … (1)
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Análisis Matemático 1
𝐀𝐧á𝐥𝐢𝐬𝐢𝐬 𝐝𝐞 (𝐱 𝟏 + 𝐱 𝟐 ):
x1 ∈ [−7;−5⟩ ∪ [−2;−1⟩
x2 ∈ [−7;−5⟩ ∪ [−2;−1⟩
−7 ≤ x1 < −5
−7 ≤ x1 < −5
−14 ≤ x1 + x2 < −10
−9 ≤ x1 + x2 < −6
−2 ≤ x1 < −1
−2 ≤ x1 < −1
−9 ≤ x1 + x2 < −6
−4 ≤ x1 + x2 < −2
−7 ≤ x2 < −5
−7 ≤ x2 < −5
𝐀𝐬𝐮𝐦𝐢𝐞𝐧𝐝𝐨 𝐞𝐧 (𝟏) 𝐱 𝟏 ≠ 𝐱 𝟐 :
−2 ≤ x2 < −1
−2 ≤ x2 < −1
x1 + x2 = −10
En ninguno de los casos esto es posible
∴ x1 = x2
Demostrado que f1 es inyectiva
𝐃𝐞𝐦𝐨𝐬𝐭𝐫𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐪𝐮𝐞 𝐟𝟐 𝐞𝐬 𝐢𝐧𝐲𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐚:
f2(x1 ) = f2(x2) → x1 = x2
�x1 + 1 + 1 = �x2 + 1 + 1
�x1 + 1 = �x2 + 1 … (1)
Segun el Dominio:
−1 < 𝑥 ≤ 3
0 < 𝑥 + 1 ≤ 4 → �(𝑥 + 1)2 = |𝑥 + 1| = 𝑥 + 1
Elevando al elevado en (1):
x1 + 1 = x2 + 1
x1 = x2
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Pág. 374
Análisis Matemático 1
Demostrado que f2 es inyectiva
𝐕𝐞𝐫𝐢𝐟𝐢𝐜𝐚𝐜𝐚𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐪𝐮𝐞 𝐑𝐚𝐧𝐠𝐟𝟏 ∩ 𝐑𝐚𝐧𝐠𝐟𝟐 = 𝛟
Rango f1 :
Cuando x ∈ [−7;−5⟩
f1(x) = x 2 + 10x + 21
f1(x) = (𝑥 + 5)2 − 4
−7 ≤ x < −5
−2 ≤ x + 5 < 0
4 ≥ (𝑥 + 5)2 > 0
0 ≥ 𝑓1 (𝑥 ) > −4
Rango f1 = ⟨−4;0]
Cuando x ∈ [−2;−1⟩
f1(x) = (𝑥 + 5)2 − 4
−2 ≤ x < −1
3≤𝑥+5<4
9 ≤ (𝑥 + 5)2 < 16
5 ≤ 𝑓1 (𝑥 ) < 12
Rango f1 = [5; 12⟩
∴ Rango f1 = ⟨−4;0] ∪ [5;−12⟩
𝐑𝐚𝐧𝐠𝐨 𝐟𝟐 :
f2(x) = √x + 1 + 1
−1 < x ≤ 3
0 <x+1 ≤ 4
0 < √x + 1 ≤ 2
1 < f2 (x) ≤ 3
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Pág. 375
Análisis Matemático 1
Rango f2 = ⟨1;3]
Luego: Rang f1 ∩ Rang f2 = ϕ
Verificado
∴ f tiene inversa (f −1)
𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐟
−𝟏
:
• f1(x) = x 2 + 10x + 21
x = y 2 + 10 y + 21
x = (y + 5)2 − 4
y + 5 = ± √x + 4
y = ± √x + 4 − 5 … (1)
Domf1−1 = Rang f = ⟨−4;0] ∪ [5;12⟩
• −4 < x ≤ 0
0<x+4≤4
0 < √x + 4 ≤ 2
−5 < √x + 4 − 5 ≤ −3
0 > −√x + 4 ≥ −2
Absurdo porque no
satisface al Dominio
de f1
Satisface el Dominio
−5 < y ≤ −3
• 5 ≤ x < 12
−5 > y ≥ −7
de f1
↓
y = −√x + 4 − 5
9 ≤ 𝑥 + 4 < 16
3 ≤ √x + 4 < 4
−2 ≤ 𝑦 < −1
Satisface el
Dominio de f1
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−3 ≥ −√x + 4 > −4
−8 ≥ 𝑦 > −8
No satisface el
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Análisis Matemático 1
↓
Dominio de f1
𝑦 = √x + 4 − 5
• f2(x) = √x + 1 + 1 ; Segun el Dominio:
x = �y + 1 + 1
x − 1 = �y + 1
−1<y≤3
0< y+1 ≤ 4
x 2 − 2x + 1 = y + 1
y = x 2 − 2x
Dom f2−1 = Rang f2 = ⟨1;3]
Finalmente:
f
−√x + 4 − 5 ;
x = � x 2 − 2x
;
√x + 4 − 5 ;
−1 ( )
b) f − f −1
−4 < x ≤ 0
1<x≤3
5 ≤ x < 12
Dom f = ([−7;−5⟩ ∪ [−2; 3]) − {−1}
Dom f −1 = ⟨−4;0] ∪ ⟨1;3] ∪ [5;12⟩
Dom (f − f −1) = [−2;−1⟩ ∪ ⟨−1; 0] ∪ ⟨1;3]
Cuando x ∈ [−2;−1⟩:
(f − f −1)(x) = f(x) − f −1(x) = x 2 + 10x + 21 − �−√x + 4 − 5�
f(x) − f −1(x) = x 2 + 10x + √x + 4 + 26
Cuando x ∈ ⟨−1;0]
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Análisis Matemático 1
(f − f −1)(x) = f(x) − f −1(x) = √x + 1 + 1 − �−√x + 4 − 5�
f(x) − f −1(x) = √x + 1 + √x + 4 + 6
Cuando x ∈ ⟨1;3]:
(f − f −1)(x) = √x + 1 + 1 − (x 2 − 2x)
(f − f −1)(x) = √x + 1 − x 2 + 2x + 1
Finalmente:
x 2 + 10x + √x + 4 + 26 ;
(f − f −1)(x) � √x + 1 + √x + 4 + 6
;
2
√x + 1 − x + 2x + 1 ;
−2 ≤ x < −1
−1 < x ≤ 0
1<x≤3
PROBLEMA 112
𝑎) Halle dos funciones inyectivas diferentes cuyo producto sea una
función inyectiva.
x
� donde
b) Sea f (x) = �4 − x 2 Sgn � 2
x −1
Dom f ∩ {−2,2} = ∅. Comprobar gráficamente que f es una función
impar inyectiva.
c) Demuestre que existe la función (1⁄f)−1 y hállela, para la función
f (x) = �
x,
−1 < x < 0
1−x, 0<x≤1
SOLUCION 112
a) Sean f (x) = x 2 ;
g (x) =
1
x
f y g son inyectivas:
x ∈ ⟨0; +∞⟩
; x ∈ ⟨0; +∞⟩
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Pág. 378
Análisis Matemático 1
Demostración que (f. g) = h es inyectiva
Dom h = {x/x ∈ Dom f ∧ x ∈ Dom g}
Dom f = ⟨0; +∞⟩ → Dom h = ⟨0; +∞⟩ ∩ ⟨0; +∞⟩
Dom g = ⟨0; +∞⟩
Dom h = ⟨0; +∞⟩
h(x) = (f. g)(x) = f(x). g (x) = x 2 .
h(x) = x ; x ∈ ⟨0; +∞⟩
1
=x
x
h es inyectiva por ser lineal
Prueba gráfica:
x
� ; Dom f ∩ {−2; 2} = ϕ
b) f (x) = �4 − x 2 Sgn � 2
x −1
Comprobación que f es impar inyectiva (por gráfica)
4 − x2 ≥ 0
x2 − 4 ≤ 0
(x + 2)(x − 2) ≤ 0
x ∈ [−2; 2]
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−2; 2 ∉ Dom f
Luego:
x ∈ ⟨−2; 2⟩
Simplificación de la función
signo
x
>0
x2 − 1
𝑥
>0
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
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Pág. 379
Análisis Matemático 1
x
Cuando x ∈ ⟨−1; 0⟩ ∪ ⟨1; 2⟩ → Sgn � 2
�=1
x −1
x
<0
x2 − 1
x
(x + 1)(x − 1)
x
� = −1
Cuando x ∈ ⟨−2; −1⟩ ∪ ⟨0; 1⟩ → Sgn � 2
x −1
Finalmente:
f (x) = �
�4 − x 2 ; ×∈ ⟨−1; 0⟩ ∪ ⟨1; 2⟩
−�4 − x 2 ; ×∈ ⟨−2; 1⟩ ∪ ⟨0; 1⟩
gráfica de f
f es impar porque es simétrica respecto
Al origen de coordenadas
f es inyectiva porque no hay recta horizontal que corte a la gráfica de f en 2 ó más puntos.
c) Detraminación de la función
g
Haciendo: g (x) = 1 → h = �f
1
=h
f
Dom h = {x⁄x ∈ Dom f; x ∈ Dom g; f (x) ≠ 0}
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Pág. 380
Análisis Matemático 1
f(x) = �
x
; −1 < x < 0 f1
1−x;
0 < x ≤ 1 f2
Dom f = ⟨−1; 0⟩ ∪ ⟨0;1]
Dom g = ℝ
f (x) = 0
∴x≠1
f (x) = x → 0 = x
0 ∉ Dom f1
f (x) = 1 −×→ 0 = 1 − x → x = 1 ; 1 ∈ Dom 𝑓1
Entonces:
Dom h = ⟨−1; 0⟩ ∪ ⟨0; 1⟩
1
; −1 < x < 0
1
x
�h ó � = �
1
f (x)
; 0<x<1
1−x
inyectividad de f1
1
1
=
x1 x2
x1 = x2
inyectividad de f2
1
1
=
1 − x1 1 − x2
1 − x2 = 1 − x1
x1 = x 2
f1
f2
Rango f1
−1 < x < 0
−1 >
1
> −∞
x
Rango f1 = ⟨−∞, −1⟩
Rango f2
0<x<1
0 > −x > −1
1 >1−x > 0
1
< +∞ → Rang f2 =
1−x
⟨1; +∞⟩
1<
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Pág. 381
Análisis Matemático 1
Rang f1 ∩ Rang f2 = ϕ
1 −1
∴ � �
f
Existe
−1
1
f (x)
Determinación en � �
1 −1
� �
f (x)
y=
x=
y=
1
x
1
y
1
x
1 −1
� �
f (x)
y=
; x ∈ ⟨−∞; −1⟩
1
1−x
x=
1
y−y
y=
x−1
x
x−xy=1
Finalmente:
;
x ∈ ⟨1; −∞⟩
1
;
x < −1
1
x
� � =�
x−1
f (x)
; x>1
x
−1
PROBLEMA 113
Halle si existe la función inversa de
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Análisis Matemático 1
y = f (x) = 5 + �x 2 − 1, x ≤ −√10.
SOLUCION 113
f (x) = 5 + �x 2 − 1; x ≤ −√10
Inyectividad de f
f (x1) = f(x2 ) → x1 = x2
; x ≤ −√10
5 + �x1 2 − 1 = 5 + �x2 2 − 1
�x1 2 − 1 = �x22 − 1
x1 2 − 1 = x 2 2 − 1
x1 = x2
↓
∨
F es inyectiva
∴ f tiene inversa
x 2 ≥ 10
x2 − 1 ≥ 9
x1 = −x2
x1 ≤ −√10
No se cumple
x1 + x2 ≤ −2√10
x1 + x2 = 0
x2 ≤ −√10
𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐟 −𝟏
Dom f −1 = Rang f
𝐑𝐚𝐧𝐠 𝐟
x2 − 1 ≥ 9
�x 2 − 1 ≥ 3
5 + �x 2 − 1 ≥ 8
f (x) ≥ 8 → Dom f −1 = [8; +∞⟩
f −1(x):
f (x) = 5 + �x 2 − 1
x = 5 + �y 2 − 1
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Pág. 383
Análisis Matemático 1
x − 5 = �y 2 − 1
x 2 − 10x + 25 = y 2 − 1
y2 = x 2 − 10x + 26
𝑦 = ±�x 2 − 10x + 26
𝑦 ∈ Dom f → y ≤ −√10
Luego:
𝑦 = −�x 2 − 10x + 26
PROBLEMA 114
Halle la función inversa, si existe, de
x + √x + 2 , x > 2
f (x) = �
x − √−x , x < −4
SOLUCION 114
f (x) = �
x + √x + 2 ; x > 2
x − √−x ; x < −4
inyectividad de f1
f1
f2
f (x1) = f (x2 ) → x1 = x2
x1 + �x1 + 2 = x2 + �x2 + 2
�x1 + 2 − �x2 + 2 = x2 − x1
��x1 + 2 − �x2 + 2���x1 + 2 − �x2 + 2�
��x1 + 2 − �x2 + 2�
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= x2 − x1
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Pág. 384
Análisis Matemático 1
x1 + 2 − x2 − 2
�x1 + 2 + �x2 + 2
x1 − x2
�x1 + 2 + �x2 + 2
= x2 − x1
= −(x1 − x2 )
1 = −�x1 + 2 − �x2 + 2
; 𝑠𝑖 x1 ≠ x2
Absurdo ya que √x + 2 > 0
Suma de 2 negativos no puede ser 1
∴ x1 = x 2
𝐢𝐧𝐲𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐝𝐞 𝐟𝟐 :
f (x1) = f (x2 ) → x1 = x2
x1 − �−𝑥1 = x2 − �−𝑥2
x1 − x2 = �−𝑥1 − �−𝑥2
x1 − x 2 =
x1 − x2 =
(√−𝑥1 − √−𝑥2 )(√−𝑥1 + √−𝑥2 )
√−𝑥1 + √−𝑥2
−𝑥1 + 𝑥2
−√−𝑥1 + √−𝑥2
;
si x1 ≠ x2
�−x1 − �−x2 = 1 absurdo ya que
∴ x1 = x2
x < −4
−x > 4
√−x > 2
√−x1 > 2
√−x2 > 2
Vereficación que Rang f1 ∩ Rang f2 = ϕ
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√−x1 − √−x2 > 0
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Pág. 385
Análisis Matemático 1
Rang f1
x>2
x+2>4
√𝑥 + 2 > 2
x>2
x + �𝑦 + 2 > 4
f (x) > 4
Rang f1 = ⟨4; +∞⟩
Rang f2
x < −4
−𝑥 > 4
√−𝑥 > 2
−√−𝑥 < −2
x < −4
x − √−𝑥 < −6
f (x) < −6
Rang f2 = ⟨−∞; −6⟩
Rang f1 ∩ Rang f2 = ϕ
∴ f tiene inversa
𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐟 −𝟏 (𝐱)
• Dom f −11 = Rang f1 = ⟨4; +∞⟩
𝐟 −𝟏 (𝐱):
f (x) = 𝑥 + √𝑥 + 2
x = y + �𝑦 + 2
x − y = �𝑦 + 2
𝑥 2 − 2𝑥 𝑦 + 𝑦 2 = 𝑦 + 2
𝑦 2 + (−2𝑥 − 1) 𝑦 + (𝑥 2 − 2) = 0
2𝑥 + 1 ± √4𝑥 2 + 4𝑥 + 1 − 4𝑥 2 + 8
𝑦=
2
𝑦=
2𝑥 + 1 ± √4𝑥 + 9
2
𝑥>4
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Pág. 386
Análisis Matemático 1
2𝑥 > 8
2𝑥 + 1 > 9
4𝑥 > 16
4𝑥 + 9 > 25
√4𝑥 + 9 > 5
• 2𝑥 + 1 + √4𝑥 + 9 > 14
2𝑥 + 1 + √4𝑥 + 9 > 7
2
y > 7 no coincide con el Dominio de f1
• 2𝑥 + 1 − √4𝑥 + 9 > 4
2𝑥 + 1 + √4𝑥 + 9 > 2
2
y > 2 no coincide con el Dominio de f1
∴y=
2𝑥 + 1 − √4𝑥 + 9
2
• Dom f −12 = Rang f2 = ⟨−∞; −6⟩
f2−1(x)
y = x − √−x
x = y − �−y
�−y = y − x
−y = y 2 − 2 x y + x 2
y 2 + (1 − 2x)y + x 2 = 0
y=
y=
2x − 1 ± √4x 2 − 4x + 1 − 4x 2
2
2x − 1 + √1 − 4x
2
• x < −6
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Pág. 387
Análisis Matemático 1
2x < −12
2x − 1 < −13
• −4𝑥 > 24
1 − 4𝑥 > 25
√1 − 4𝑥 > 5
• 2𝑥 − 1 + √1 − 4𝑥 < −8
2𝑥 − 1 + √1 − 4𝑥
< −4
2
𝑦 < −4
Satisface el Dominio de f2
Finalmente:
f −1(x) =
⎧ 2x + 1 − √4x + 9
;x > 4
⎪
2
⎨2x − 1 + √1 − 4x
; x < −6
⎪
2
⎩
PROBLEMA 115
Halle el conjunto B para que
a) f: ⟨−1,0] ⟶ B, f(x) = (x + 1)⁄(x2 − 1) sea suryectiva.
b) f: ⟨1,2] ⟶ B, f(x) = (x + 1)⁄(x2 − 1) sea suryectiva.
SUG: Bosqueje f(x).
SOLUCION 115
a) f: ⟨−1;0] → B ; f (x) =
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x+1
x2 − 1
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Pág. 388
Análisis Matemático 1
f es suryectiva
x ∈ ⟨−1;0]
f (x) =
f (x) =
x+1
; x ≠ −1
(x + 1)(x − 1)
1
x−1
𝑥 ∈ ⟨−1;0] →
−1 < 𝑥 ≤ 0
−2 < 𝑥 − 1 ≤ −1
1
− >
2
1
𝑥−1
≥ −1
f (x) ∈ [−1; −1/2⟩
B = Rang f = [−1; −1/2⟩
b) f: ⟨−1;2] → B ; f (x) =
f es suryectiva
x+1
x2 − 1
x ∈ ⟨1;2]
f (x) =
f (x) =
x+1
;
(x + 1)(x − 1)
1
x−1
x ∈ ⟨1;2] →
x ≠ −1
1<x≤2
0 < x−1 ≤ 1
∞>
1
x−1
≥1
∞ > f (x) ≥ 1
B = Rang f = [1; +∞⟩
PROBLEMA 116
Halle f −1 para f (x) = x + √x − 1 , x ≥ 17.
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Pág. 389
Análisis Matemático 1
SOLUCION 116
f (x) = x + √x − 1;
x ≥ 17
f(x1) = f(x2) → x1 = x2
f −1 ? ?
x1 + �x1 − 1 = x2 + �x2 − 1
�x1 − 1 − �x2 − 1 = x2 − x1
��x1 − 1 − �x2 − 1���x1 − 1 + �x2 − 1�
�x1 − 1 + �x2 − 1
x1 − 1 − x2 − 1
�x1 − 1 + �x2 − 1
−(x2 − x1 )
�x1 − 1 + �x2 − 1
= x2 − x1
= x2 − x1
= x2 − x1
−1 = �x1 − 1 + �x2 − 1
Absurdo
𝑠𝑖 x1 ≠ x2
Luego: x1 = x2
∴ f es inyectiva y tiene inversa
𝐟 −𝟏 (𝐱):
x = y + �y − 1
x − y = �y − 1
x2 − 2 x y + y2 = y − 1
y 2 + (−2x − 1)y + (x 2 + 1) = 0
2 x + 1 ± √4x 2 + 4x + 1 − 4x 2 − 4
y=
2
y=
2𝑥 + 1 ± √4𝑥 − 3
2
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Pág. 390
Análisis Matemático 1
f −1(x) = 𝑦 =
𝐃𝐨𝐦 𝐟 −𝟏
2𝑥 + 1 − √4𝑥 − 3
2
𝐑𝐚𝐧𝐠 𝐟
x ≥ 17
x − 1 ≥ 16
√x − 1 ≥ 4
x ≥ 17
x + √x − 1 ≥ 21
f (x) ≥ 21
Rang f = [21; +∞⟩
Dom f −1 = [21;+∞⟩
x ≥ 21
4x ≥ 84
4x − 3 ≥ 81
2x ≥ 42
2x + 1 ≥ 43
√4x − 3 ≥ 9
2x + 1 ≥ 13
√4x − 3 ≥ 9
2x + 1 − √4𝑥 − 3 ≥ 34
2x + 1 − √4𝑥 − 3
≥ 17
2
𝑦 ≥ 17
Satisface el Dominio de f
PROBLEMA 117
Demuestre que f (x) = x⁄(1 + x), x > −1 es inyectiva.
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Pág. 391
Análisis Matemático 1
SOLUCION 117
f (x) =
x
;
1+x
x > −1
𝐃𝐞𝐦𝐨𝐬𝐭𝐫𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐪𝐮𝐞 𝐟 𝐞𝐬 𝐢𝐧𝐲𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐚
f(x1) = f(x2) → x1 = x2
x2
x1
=
;
1 + x1 1 + x2
1 + x1; 1 + x2 ≠ 0
x1 + x1 x2 = x2 + x1x2
x1 = x2
Demostrado que f es inyectiva
PROBLEMA 118
a) Demuestre que f (x) = x 2 − 1, x ≤ 0, es inyectiva.
b) ¿ En qué dominio máximo es f (x) = x 2 − 6x + 10 inyectiva?
SOLUCION 118
a) f (x) = x 2 − 1; x ≤ 0
𝐃𝐞𝐦𝐨𝐬𝐭𝐫𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐪𝐮𝐞 𝐟 𝐞𝐬 𝐢𝐧𝐲𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐚
f (x1) = f (x2 ) → x1 = x2
x1 2 − 1 = x2 2 − 1
x1 = x2
∨
x1 = −x2
x1 + x2 = 0
x1 ≤ 0
x2 ≤ 0
x1 + x 2 ≤ 0
x1 puede ser igual a x2
∴ f es inyectiva
b) f(x) = x 2 + 6x + 10
Dominio de f donde es inyectiva??
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Pág. 392
Análisis Matemático 1
Solución:
f(x) = (x − 3)2 + 1 → Vértice de la parábola: (3; 1)
f es inyectiva si:
Dom f = ⟨−∞; 3] ó
Dom f = [3; +∞⟩
PROBLEMA 119
Halle f −1 para y = f (x) = 5x + �x 2 − 1, x > 1.
SOLUCION 119
y = f (x) = 5x + �x 2 − 1;
Inyectiva de f
x>1
f −1 ? ? ?
f (x1) = f (x2 ) → x1 = x2
5x1 + �x12 − 1 = 5x2 + �x22 − 1
�x1 2 − 1 − �x2 2 − 1 = 5x2 − 5x1
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Pág. 393
Análisis Matemático 1
��x12 − 1 − �x22 − 1���x2 2 − 1 + �x2 2 − 1�
�x12 − 1 + �x22 − 1
x12 − x2 2
�x1 2 − 1 + �x2 2 − 1
= 5x2 − 5x1
= −5(x1 − x2 )
(x1 + x2)(x1 − x2 )
�x1 2 − 1 + �x2 2 − 1
x1 + x2
�x1 2 − 1 + �x2 2 − 1
∴ x1 = x2
= −5(x1 − x2 ); x1 ≠ x2
= −5 Absurdo porque el 1º mienbro es positivo
f tiene inversa
Dom f −1
Rango f:
x>1
x2 > 1
x2 − 1 > 0
x>1
5x > 5
5x > 5
�x 2 − 1 > 0
5𝑥 + �x 2 − 1 > 5
y>5
�x 2 − 1 > 0
Rango f = ⟨5; +∞⟩
Dom f −1 = ⟨5; +∞⟩
Dom f −1(x):
𝑌 = 5𝑥 + �𝑥 2 − 1
x = 5y + �y2 − 1
x − 5y = �y 2 − 1
x 2 − 10xy + 25 y 2 = y 2 − 1
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según el Rango de f:
x>5
x 2 > 25
x 2 − 24 > 1
�x 2 − 24 > 1
5x > 25
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Pág. 394
Análisis Matemático 1
24y2 − 10𝑥𝑦 + (𝑥 2 + 1) = 0
10x ± �100x 2 − 4(24)(x 2 + 1)
y=
48
2
10x ± √4x − 96
y=
48
5x ± √x 2 − 24
y=
24
5x−√x2 −24
y=
24
5x > 25
�x 2 − 24 > 1
5x − �x 2 − 24 > 24
5x − √x 2 − 24 > 1
y>1
24
Coincide con el Dominio de f
PROBLEMA 120
Dada la función f (x) = x⁄(1 + |x|) , −1 < x < 1, pruebe que es
inyectiva y encuentre su función inversa.
SOLUCION 120
f (x) =
x
;
1 + |x|
−1 < x < 1
• Demostración que f es inyectiva
x
; −1 < x < 0 f1
1
−
x
(
)
f x =� x
; 0 ≤ x < 1 f2
1+x
inyectividad de f1 :
x2
x1
=
; x1 ; x 2 ≠ 1
1 − x1 1 − x2
x1 − x1 x2 = x2 − x1x2
x1 = x2
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Pág. 395
Análisis Matemático 1
inyectividad de f2 :
x2
x1
=
;
1 − x1 1 + x2
x1 ; x2 ≠ −1
x1 − x1 x2 = x2 − x1x2
x1 = x2
Rango f1
−1 < x < 0
1 > −x > 0
2 >1−x > 1
1
2
<
1
1
1−x
<1
− <𝑦<0
2
Por diversiones efectuadas:
x
1−x
1
1−x
= −1 +
=1−
1
1−x
1
1−x
Rango f1 = ⟨− 1⁄2 ; 0⟩
Rango f2
0≤x<1
1 ≤1+x < 2
1≥
1
1
>
1+𝑥 2
−1 ≤ −
0≤y<
Rango f1 ∩ Rango f2 = ∅
1
1
<−
1+x
2
1
2
Rango f2 = [0; 1⁄2⟩
∴ f es inyectiva
Luego f tiene inversa
𝐟 −𝟏 (𝐱):
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Análisis Matemático 1
f1−1(x) :
y=
x=
x
1−x
y
1−y
x−xy=y
x = y + xy
y=
x
1+x
Dominio f1−1 = Rang f1 = ⟨− 1⁄2 ; 0⟩
f2−1(x) :
𝑦=
x
1+x
x=
y
1+y
y=
x
1−x
x−xy=y
Dominio f1−1 = Rang f2 = [0; 1⁄2⟩
Finalmente:
x
1
;
0≤x<
2
f −1(x) = �1 − x
1
x
; − <x<0
2
1+x
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