INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO Estadística PROBABILIDAD AXIOMAS Y TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD. DEFINICIONES DE LA PROBABILIDAD. La palabra probabilidad se utiliza para cuantificar nuestra creencia de que ocurra un acontecimiento determinado. Existen tres formas de estimar probabilidades: el enfoque clásico, el cual se aplica cuando todos los resultados posibles que se consideran igualmente probables; el de frecuencias relativas o probabilidad empírica, se refiere a la estimación con base en un gran número de experimentos repetidos en las mismas condiciones. El enfoque subjetivo basado en situaciones especiales, en las cuales no es posible repetir el experimento y sólo usa un grado de confianza personal. PROBABILIDAD CLÁSICA O DE LAPLACE (fines del siglo XVI). Bajo este concepto definiremos la probabilidad de obtener un determinado resultado A, en un experimento aleatorio como la relación por cociente, entre el número de casos favorables a su ocurrencia, y el número de casos posibles. Si representamos la probabilidad de ocurrencia del evento A, por P(A), se tendrá: P( A) = Casos favorables al evento A Casos posibles Esta es la definición clásica o apriori (antes de), es de aplicación fácil, pues no se necesita de ningún experimento para su cálculo, sino únicamente el conocimiento de las condiciones en que se realiza el experimento. Se supone que todos los resultados posibles son conocidos, y que todos tienen la misma probabilidad de ocurrir. Si una urna contiene 10 esferas blancas, 15 azules y 5 rojas, la probabilidad de extraer al azar una esfera blanca, es: 10 1 P (B) = = 30 3 Esta probabilidad se basa en razonamientos abstractos y no depende de la experiencia, lo cual permite estimar probabilidades sin realizar una gran cantidad de experimentos. PROBABILIDAD FRECUENTISTA O DE VON MISES (frecuencias relativas 1957) La probabilidad experimental de que ocurra un evento es la frecuencia relativa observada con que ocurre ese evento. Si un experimento se realiza n veces, bajo las mismas condiciones y si ocurren n(A) resultados favorables al evento A, el valor estimado de la probabilidad de que ocurra A como resultado de la experimentación, puede determinarse de la manera siguiente: DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS 1 M. en C. José Luis Hernández González INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO Estadística P( A) = n( A) n Donde n(A) es el número de veces que se observó realmente el evento A, y n es el número de veces que se efectuó el experimento. La probabilidad estimada, obtenida en esta forma, se denomina probabilidad experimental. A medida que aumenta el número de ensayos o experimentos, la probabilidad estimada de que ocurra un evento, que se obtiene a través de la frecuencia relativa, se va acercando al valor apriori. Por medio del enfoque de frecuencias relativas, la probabilidad se determina sobre la base de la proporción de veces que ocurre un resultado favorable, en un número de observaciones o experimentos. No hay supuesto previo de iguales probabilidades. De 70 alumnos que se inscribieron al curso de probabilidad y estadística en el semestre anterior. 15 no lo terminaron, 20 obtuvieron una calificación de NA y el resto lo aprobaron, ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno acredite la materia? P( A) = 35 1 = 70 2 PROBABILIDAD SUBJETIVA (1969) La probabilidad estimada mediante los enfoques clásicos y experimental, son completamente objetivos, ya que se determinan con base en hechos reales. En cambio, en algunos casos se presentan situaciones en las cuales no es posible realizar experimentos repetitivos y los resultados tampoco son igualmente probables. En estas condiciones, la probabilidad de ocurrencia de un evento debe evaluarse en forma subjetiva. Tales apreciaciones suelen ser de criterio personal, y por lo tanto, dos personas pueden cuantificar en forma diferente, la probabilidad subjetiva del mismo evento. Podemos entonces considerar la probabilidad subjetiva como la evaluación personal de la ocurrencia de un evento incierto, que se hace con base en criterios o experiencias sobre casos semejantes. AXIOMAS DE PROBABILIDAD Los axiomas de la formulación moderna de la teoría de la probabilidad constituyen una base para deducir a partir de ellas un amplio número de resultados. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS 2 M. en C. José Luis Hernández González INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO Estadística La letra P se utiliza para designar la probabilidad de un evento, siendo P(A) la probabilidad de ocurrencia de un evento A en un experimento. AXIOMA 1 Si A es un evento de S, entonces la probabilidad del evento A es: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Como no podemos obtener menos de cero éxitos ni más de n éxitos en n experimentos, la probabilidad de cualquier evento A, se representa mediante un valor que puede variar de 0 a 1. AXIOMA 2 Si dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de obtener A o B es igual a la probabilidad de obtener A más la probabilidad de obtener B. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Excluirse mutuamente quiere decir que A y B no pueden ocurrir simultáneamente en el mismo experimento. Así, la probabilidad de obtener águila o sol en la misma tirada de una moneda será P(A ∪ B) = P(A) + P(B) P(A ∪ B) = 1/2 + 1/2 = 1. En general podemos decir que la suma de las probabilidades de todos los posibles eventos mutuamente excluyentes es igual a 1: P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1 AXIOMA 3 Si A es un evento cualquiera de un experimento aleatorio y A’ es el complemento de A, entonces: P(A’) = 1 - P(A) Es decir, la probabilidad de que el evento A no ocurra, es igual a 1 menos la probabilidad de que ocurra. TEOREMAS DE LA SUMA DE PROBABILIDADES Suponiendo que P(A) y P(B) representan las probabilidades para los dos eventos A y B, entonces P(A ∪ B) significa la probabilidad de que ocurran A o B. Si representamos los eventos A y B en un Diagrama de Venn con A ∩ B = ∅ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS 3 M. en C. José Luis Hernández González INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO Estadística S A B A∩B=∅ Entonces A y B son conjuntos disjuntos o mutuamente excluyentes, o sea que no pueden ocurrir en forma simultánea P(A ∪ B) = P(A) + P(B) En cambio, si ambos eventos tienen puntos muestrales en común A ∩ B ≠ ∅ S A B A∩B≠∅ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad condicional se simboliza P(B/A), que se lee probabilidad de B, dado A, o la probabilidad de que ocurra B, condicionado a que haya ocurrido A. Se dice que dos o más eventos son independientes entre sí cuando la probabilidad de que ocurra uno no es influida por la ocurrencia de otro. Si A y B representan dos eventos y si la ocurrencia de A no afecta a la ocurrencia de B, y la ocurrencia de B no afecta a la ocurrencia de A, entonces se dice que A y B son Independientes. En este caso, la probabilidad de que ocurran A y B es igual al producto de sus respectivas probabilidades, y se expresa así: P(A ∩ B) = P(A) P(B) DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS 4 M. en C. José Luis Hernández González INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO Estadística En una caja hay 5 esferas blancas, 4 rojas y 3 negras. Se extrae una esfera, se observa su color y se regresa a la caja. Bajo estas condiciones, ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer 3 esferas, éstas sean de color rojo? 4 4 4 64 1 P (R1 ∩ R2 ∩ R3) = x x = = 12 12 12 1728 27 Si dos eventos A y B no son independientes, es decir, si A y B son dependientes, la probabilidad compuesta de A y B no es igual al producto de sus probabilidades respectivas. Por lo cual, podemos decir, que para eventos dependientes: P(A ∩ B) ≠ P(A) P(B) Es decir: P(A ∩ B) = P(A) P(B / A) o P(B ∩ A) = P(B) P(A / B) En una caja hay 5 esferas blancas, 4 rojas y 3 negras. Si se extraen al azar 3 esferas en forma consecutiva, sin reemplazo, ¿ Cuál es la probabilidad de que las 3 sean de color rojo? Sea R1 el evento extraer una esfera roja. P(R1∩R2∩R3) = P(R1) P(R2 / R1) P(R3 / R1 ∩ R2) = 4 3 2 24 1 x x = = 12 11 10 1320 51 De la expresión P(A∩B) = P(A)P(B/A) despejamos P(B/A) y se obtiene la probabilidad condicional de "B dado A". P( A ∩ B) P (B / A ) = P(A) En forma análoga, la probabilidad condicional de "A dado B", es : P( A / B) = P (B ∩ A ) P (B ) Una caja contiene 200 focos, 50 azules y 50 rojos; de los cuales, 10 son defectuosos: 6 azules y 4 rojos. ¿Cuál es la probabilidad de que un foco elegido al azar, sea defectuoso (evento D)? P ( D) = 10 1 = 100 100 Si seleccionamos un foco al azar y se observa que éste es azul (evento A), ¿Cuál es la probabilidad de que el foco sea defectuoso, dado que es azul ? DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS 5 M. en C. José Luis Hernández González INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO Estadística Escribiremos P(D/A), para representar la probabilidad del evento D, dado A. Entonces, puesto que hay 50 focos azules y de éstos, 6 son defectuosos P(D / A) = 6 3 = 50 25 TEOREMA DE BAYES El procedimiento que se utiliza para encontrar probabilidades posteriores, a partir de probabilidades previas, se llama regla Bayesiana. Las probabilidades apriori o previas se conocen antes de obtener información alguna del experimento en cuestión. Las probabilidades aposteriori se determinan después de conocer los resultados del experimento. El teorema de Bayes consiste en un método para encontrar la probabilidad de una causa específica cuando se observa un efecto particular. Esto es, si el evento B ha ocurrido, ¿Cuál es la probabilidad de que fue generado por el evento A1 (que es una causa posible ) o por el A2 (otra causa posible)? Si suponemos que los eventos A1, A2, A3, ...., An, forman una partición de un espacio muestral S; esto es, que los eventos A1 son mutuamente excluyentes y su unión es S. Ahora, sea B otro evento, entonces : A1 An B A2 A3 A4 B = S ∩ B = (A1 ∪ A2 ∪ A3 ... ∪ An) ∩ B Donde Ai ∩ B son eventos mutuamente excluyentes. En consecuencia: P(B) = P(A1 ∩ B) + P(A2 ∩ B) + P(A3 ∩B) + ... + P(An ∩ B) Luego por la regla de multiplicación: P(B) = P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) + P(A3) P(B/A3) ... P(An) P(B/An) Si A1, A2, A3, ..., An es una partición de S, y B es cualquier evento. Entonces para cualquier i, DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS 6 M. en C. José Luis Hernández González INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO P ( A i / B) = Estadística P(A i )P(B/A i ) P(A 1 )P(B/A 1 ) + P(A 2 )P(B/A 2 ) + ... + P(A n )P(B / A n ) Es decir: P ( A i / B) = P(A i )P(B/A i ) ∑ P(A i )P(B/A i ) La expresión anterior puede interpretarse de la manera siguiente: Si un evento puede ocurrir en más de una forma, entonces la probabilidad de que ocurra en una forma particular será igual a la razón de la probabilidad de que se presente la forma respecto a la probabilidad de que ocurra. Se tienen dos cajas. La caja I contienen 3 esferas rojas y 2 azules, en tanto que la caja II contiene 2 esferas rojas y 8 azules. Se arroja una moneda. Si se obtiene águila se saca una esfera de la caja I; si se obtiene sol se saca una esfera de la caja II. R indica el evento “sacar una esfera roja” mientras que I y II indican los eventos escoger caja I y caja II, respectivamente. Una esfera roja puede resultar al escoger cualquiera de las cajas. a) Hallar la probabilidad de sacar una esfera roja. P (R ) = P (I )P (R / I ) + P (II )P (R / II ) 1 3 1 2 2 P (R ) = + = 2 5 2 10 5 b) Hallar la probabilidad de que se escogiera la caja I, dado que la esfera es R, (es decir que el resultado de arrojar la moneda sea águila). La persona que arrojó la moneda no da a conocer si resultó águila o sol (de tal manera que la caja de la cual se sacó la esfera se desconoce) pero indica que se extrajo una esfera roja. Buscamos la probabilidad de que se escoja la caja I y se sabe que se sacó una esfera roja. Empleando el teorema de Bayes, esta probabilidad está dada por: P (I / R ) = P (I ) P ( R / I ) P(I )P(R / I ) + P(II )P(R / II ) 1 3 3 2 5 = P (I / R ) = 1 3 1 2 4 + 2 5 2 | 0 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS 7 M. en C. José Luis Hernández González INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO Estadística En un Instituto Superior, el 25 por ciento de los hombres y el 10 por ciento de las mujeres estudian Biología. Las mujeres constituyen el 60 por ciento del estudiantado. Si se selecciona en forma aleatoria un estudiante y resulta que está cursando Biología, determinar la probabilidad de que sea mujer. P(H) = 0.40; P(M) = 0.60; P(B/H) = 0.25; P(B/M) = 0.10 P (M / B ) = DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS (0.6)(0.1) (9.4)(0.25) + (0.6)(0.1) 8 = 0.375 M. en C. José Luis Hernández González INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO Estadística FORMULARIO Factorial P( A) = Casos favorables al evento A Casos posibles n!=n(n-1)(n-2)…(3)(2)(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1 Permutaciones de n elementos en diferentes grupos de r elementos. P(A1) + P(A2) + P(A3) + ...... + P(An) = 1 n! (n − r )! P(A’) = 1 - P(A) Teoremas de la suma de probabilidades. Sí A ∩ B = ∅ Permutaciones donde no todos los elementos son diferentes. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) n! n Pn1, n2, ..., nk = n1! n2! ... nk! Sí A ∩ B ≠ ∅ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Permutaciones circulares n Pc = (n − 1)! Probabilidad condicional P(A ∩ B) = P(A) P(B) (Independientes) Combinaciones n Cr = n Axiomas n Pn = n! n Pr = n( A) P( A) = Permutaciones de n elementos P(A ∩ B) = P(A) P(B / A) n! (n − r )! r! P (B / A ) = Fórmula binomial P( A ∩ B) P( A) P(B ∩ A) = P(B) P(A / B) n n (a + b) n = ∑ a n − r b r r = 0 r P( A / B) = Probabilidad de un evento P (B ∩ A ) P (B ) Teorema de Bayes P ( A i / B) = P(A i )P(B/A i ) P(A 1 )P(B/A 1 ) + P(A 2 )P(B/A 2 ) + ... + P(A n )P(B / A n ) DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS 9 M. en C. José Luis Hernández González
