MA-1111 Farith Parte 1 Límite, Límite por definición, Límites laterales

Cálculo Diferencial e Integral - Límite.
Farith J. Briceño N.
Objetivos a cubrir
Código : MAT-CDI.4
De…nición formal de límite. Límites laterales. Cálculo de límites.
Ejercicios resueltos
Ejemplo 1 : Gra…que la función
8
1 + x2
>
>
<
1
f (x) =
>
>
:
2 x2
y determine, si existen:
a:
f (0) ;
lim f (x) ;
b:
si x < 0
si x = 0
si x > 0
c:
x!0
lim f (x) ;
d:
x!0+
lim f (x) :
x!0
Solución : Tenemos que
y
5
4
3
2
1
0
-2
-1
0
1
2
x
-1
-2
Así,
a: f (0) =
1
b:
lim f (x) = 1
c:
x!0
lim f (x) = 2
d:
x!0+
lim f (x) No existe
x!0
F
Ejemplo 2 : Usando la de…nición formal de límite, demuestre que
lim (3
2x) = 1
x!1
Solución : Dado " > 0, existe
es decir, dado " > 0, existe
" > 0,
tal que,
jf (x)
Lj < "
" > 0,
tal que,
j(3
2x)
siempre que
1j < "
0 < jx
siempre que
0 < jx
x0 j < ;
1j < ;
así, por propiedades del valor absoluto, se tiene
j(3
2x)
1j = j2
2xj = j 2 (x
1)j = j 2j jx
1j = 2 jx
de aquí,
2 jx
1j < "
=)
si tomamos
jx
1j <
1j < ";
"
;
2
"
;
2
=
se cumple que
lim (3
x!1
2x) = 1:
F
1
Ejemplo 3 : Usando la de…nición formal de límite, demuestre que
lim
x!1=2
Solución : Dado " > 0, existe
es decir, dado " > 0, existe
" > 0,
tal que,
jf (x)
Lj < "
" > 0,
tal que,
3 + 2x
5 x
8
3 + 2x
=
5 x
9
siempre que
0 < jx
x0 j < ;
siempre que
0< x
1
< ;
2
8
<"
9
así, por propiedades del valor absoluto, se tiene
8
9 (3 + 2x)
=
9
9 (5
3 + 2x
5 x
puesto que
x
8 (5
x)
x)
1
< , consideremos
2
26x
9 (5
=
13
26 (x
=
x)
9 (5
Sumamos 12
(aplicam os de…nición)
(la desigualdad se m antiene)
x
1
< 1 =)
2
=)
#
1
< 1 =)
2
1<x
1
>
2
x>
3
2
=)
"
5+
1+
1
>5
2
1
1
<x<1+
2
2
x>5
3
2
1
3
<x<
2
2
=)
11
>5
2
=)
x>
"
Multiplicamos por
1
(la desigualdad cambia)
1
;
2
= 1, entonces
Desigualdad con valor absoluto
#
26 1
1
=
x
2
9 j5 xj
1=2)
26
=
x
x)
9 (5 x)
7
2
=)
2
1
2
<
<
11
5 x
7
"
Aplicamos
Sumamos 5
(la desigualdad se m antiene)
1
()
(la desigualdad cambia)
luego,
3 + 2x
5 x
8
26 1
=
x
9
9 j5 xj
1
2
26
9
<
ya que
"
2
7
x
1
52
=
x
2
63
1
<"
2
1
2
5 x < 7
es decir,
52
x
63
1
<"
2
=)
x
= min 1;
63
"
52
si tomamos
1
63
<
"
2
52
se cumple que
lim
x!1=2
3 + 2x
8
= :
5 x
9
F
Ejemplo 4 : Si lim f (x) = 3 y lim g (x) =
x!a
x!a
1, determinar
lim
x!a
2f (x) 3g (x)
f (x) + g (x)
Solución : Por propiedades de límites, en vista que los límite de f y g existen cuando x ! a, tenemos que
lim (2f (x) 3g (x))
2 lim f (x) 3 lim g (x)
2f (x) 3g (x)
2 (3) 3 ( 1)
9
x!a
= x!a
= x!a
=
= :
x!a f (x) + g (x)
lim (f (x) + g (x))
lim f (x) + lim g (x)
(3) + ( 1)
2
lim
x!a
x!a
x!a
Luego
lim
x!a
2f (x) 3g (x)
9
=
f (x) + g (x)
2
existe
F
2
Ejemplo 5 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
p
p
x2 + 3x + 1
x+1
lim p
p
2
x!0
3x + 4
x+9
Solución : Tenemos que
lim
x!0
p
x2 + 3x + 1
p
3x2 + 4
p
x+1
=
p
x+9
así,
lim
x!0
p
q
p
p
2
(0) + 3 (0) + 1
(0) + 1
1
q
p
=
p
2
4
3 (0) + 4
(0) + 9
p
x2 + 3x + 1
x+1
p
=0
p
2
3x + 4
x+9
p
1
1
p =
2
9
0
1
=
= 0;
3
1
existe
F
Ejemplo 6 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
x4
x!b x3
lim
b4
b3
Solución : Observe que este límite tiene una indeterminación de la forma
numerador y del denominador
Numerador
x4
b4 = x2
2
Denominador
x3
b3 = (x
b) x2 + xb + b2
b2
2
= x2
b2
0
.
0
x2 + b2 = (x
Factorizamos los polinomios del
b) (x + b) x2 + b2
así, el límite nos queda
evaluando
lim
x4
x!b x3
(x b) (x + b) x2 + b2
(x + b) x2 + b2
b4
=
lim
=
lim
x!b (x
x!b
b3
b) (x2 + xb + b2 )
x2 + xb + b2
x4
x!b x3
(x + b) x2 + b2
(b + b) b2 + b2
4b3
4b
b4
=
lim
=
= 2 = ;
3
2
3
2
2
x!b
b
x + xb + b
b + bb + b
3b
3
lim
luego,
x4
x!b x3
lim
b4
4b
=
3
b
3
existe
F
Ejemplo 7 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
p
lim
x!3
x2 6x + 9
x 3
0
Solución : Este límite tiene una indeterminación de la forma
, factorizamos para levantar la indeterminación,
0
obtenemos
q
p
2
2
(x 3)
x
6x + 9
jx 3j
lim
= lim
= lim
;
x!3
x!3
x!3 x
x 3
x 3
3
por de…nición de valor absoluto, se tiene
(
(
x 3
si x 3 0
x 3
si x 3
jx 3j =
=)
jx 3j =
(x 3)
si x 3 < 0
(x 3)
si x < 3;
así,
! 3
(x
3)
x
3
3
por lo tanto, estudiamos los límites laterales
jx
lim
x!3 x
8
>
>
lim
>
< x!3
3j
=
>
3
>
>
: lim x
x!3+ x
(x 3)
= lim ( 1) =
x 3
x!3
1
3
= lim 1 = 1
3 x!3+
F
puesto que los límites laterales son diferentes, entonces el límite no existe.
Ejemplo 8 : Considere la función
f (x) =
a)
Determine, si existen:
f (1);
b)
8 3x + 2
>
>
< cos x
>
x2
>
: p
x
c)
lim f (x);
x!1
1
1
si x < 1
si x > 1
lim f (x);
x!1+
d)
lim f (x).
x!1
Solución : Tenemos que
! 1
x2
p
x
3x + 2
cos x
1
1
así
a) f (1) no está de…nido.
b)
c)
lim f (x) = lim
x!1
x!1
3x + 2
3 (1) + 2
5
=
=
=
cos x
cos (1)
1
x2
lim+ f (x) = lim+ p
x
x!1
x!1
5
2
(1)
1
0
1
= lim p
=
0
1 x!1+ (1) 1
Indeterminado
Levantamos la indeterminación, aplicamos conjugada y factorizamos
p
p
x2 1 ( x + 1)
x2 1 ( x + 1)
(x
x2 1
p
p
p
= lim+
= lim
lim
= lim
x 1
x 1 x!1+ ( x 1) ( x + 1) x!1+
x!1
x!1+
p
1) (x + 1) ( x + 1)
x 1
p
= lim (x + 1) ( x + 1) = 4;
x!1+
es decir,
lim f (x) = 4:
x!1+
d) Puesto que,
lim f (x) 6= lim+ f (x)
x!1
x!1
concluimos que,
lim f (x)
no existe.
x!1
F
Ejemplo 9 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
lim
x! 6
2 sen2 x + sen x 1
2 sen2 x 3 sen x + 1
0
Solución : Límite con indeterminación de la forma . Para levantar la indeterminación observemos que las expresiones
0
del numerador y del denominador son la composición de funciones polinómicas y trigonométricas, por lo tanto, factorizamos
dichas expresiones en la variable sen x
4
Numerador
2 sen2 x + sen x
Denominador
2 sen2 x
1
2
1 = 2 sen x
(sen x + 1) = (2 sen x
1) (sen x + 1)
(sen x
1) (sen x
1
2
3 sen x + 1 = 2 sen x
1) = (2 sen x
1)
así,
2 sen2 x + sen x 1
(2 sen x
= lim
2 sen2 x 3 sen x + 1 x! 6 (2 sen x
lim
x! 6
sen
1) (sen x + 1)
sen x + 1
= lim
=
1) (sen x 1) x! 6 sen x 1
sen
6
6
1
+1
+1
= 21
=
1
1
2
3;
luego,
2 sen2 x + sen x 1
=
2 sen2 x 3 sen x + 1
lim
x! 6
3
existe
F
Ejemplo 10 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
r
x
lim
x!4
x+5
x2
x
16
4
0
, observemos que
0
r
r
x
x2 16
x
x2 16
?
lim
;
lim
= lim
x!4
x!4
x + 5 x!4 x 4
x+5
x 4
"
siempre y cuando los límites existan
Solución : Este límite tiene una indeterminación de la forma
donde,
lim
x!4
r
x
=
x+5
s
(4)
=
(4) + 5
r
4
2
= ;
9
3
mientras que,
x2
x!4 x
así, ambos límites existen, por lo tanto,
lim
lim
x!4
luego
lim
x!4
16
(x
= lim
x!4
4
4) (x + 4)
= lim (x + 4) = 8
x!4
x 4
r
r
x
x+5
x2
x
16
4
=
x
x+5
x2
x
16
4
=
16
3
2
3
(8) =
16
;
3
existe.
F
Ejemplo 11 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
sen x 1
cos x
x! =2
lim
0
, levantamos la indeterminación
0
Solución : Límite con una indeterminación de la forma
sen x 1
cos x
x! =2
lim
=
(sen x 1) (sen x + 1)
sen2 x 1
= lim
cos x
(sen x + 1) x! =2 cos x (sen x + 1)
x! =2
=
1 sen2 x
cos2 x
cos x
0
= lim
= lim
= = 0;
2
x! =2 cos x (sen x + 1)
x! =2 cos x (1 + sen x)
x! =2 sen x + 1
lim
lim
por lo tanto,
sen x 1
=0
cos x
x! =2
lim
existe.
F
5
Ejemplo 12 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
p
p
3
3
sen2 x
cos2 x
lim
x! 4
1 tan x
0
, para levantar la indeterminación, aplicamos la conjugada
0
p
p
p
p
p
p
3
3
3
3
3
3
sen4 x + sen2 x cos2 x + cos4 x
sen2 x
cos2 x
p
p
p
p
3
3
3
3
(1 tan x)
sen4 x + sen2 x cos2 x + cos4 x
Solución : Límite con una indeterminación de la forma
lim
p
3
x! 4
p
3
sen2 x
cos2 x
= lim
x! 4
1 tan x
= lim
x! 4
sen2 x cos2 x
p
p
p
3
3
3
sen4 x + sen2 x cos2 x + cos4 x
(1
tan x)
p
3
1
tan x =
cos x sen x
cos x
Observemos que
así
lim
x! 4
(1
tan x)
p
3
sen2 x cos2 x
p
p
p
3
3
3
sen4 x + sen2 x cos2 x + cos2 x
(sen x cos x) (sen x + cos x)
p
p
p
p
cos x sen x
3
3
3
3
sen4 x + sen2 x cos2 x + cos4 x
cos x
= lim
x! 4
(sen x
= lim
x! 4
sen x)
(cos x
(cos x sen x) (sen x + cos x) cos x
p
p
p
p
3
3
3
3
sen x)
sen4 x + sen2 x cos2 x + cos4 x
= lim p
3
x! 4
(sen x + cos x) cos x
p
p
p
3
3
3
sen2 x cos2 x + cos4 x
sen4 x +
p
= r
3
Luego
lim
x! 4
p
3
cos x) (sen x + cos x) cos x
p
p
p
3
3
3
sen4 x + sen2 x cos2 x + cos4 x
(cos x
= lim
x! 4
p
3
p
2
2
4
+
r
3
p
p
2
2
2 + 2
2
2
p
2
2
p
3
sen2 x
cos2 x
=
1 tan x
2
r
3
p
2
2
p
3
4
3
2
+
r
3
p
2
2
4
=
1
rp
3 3 2
p
2
2
=
p
3
4
3
existe.
F
Ejemplo 13 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
1
x!1 1
lim
p
x
p
3
x
0
Solución : Límite con una indeterminación de la forma
. Para levantar la indeterminación podemos aplicar
0
la conjugada en el numerador y en el denominador ó también podemos hacer un cambio de variable, de tal forma, de
transformar el límite con expresiones radicales en un límite con expresiones polinomiales.
Hacemos el cambio de variable
x = um:c:d:(2;3)
=)
x = u6
así,
si
x ! 1;
entonces
6
1=6
u ! (1)
=1
El límite se transforma en
1
lim
x!1 1
p
p
1
x
p
= lim
3
x u!1 1
u3
u2
u6
1
p
= lim
3
6
u!1
1
u
Indeterminado
0
0
Factorizamos numerador y denominador
Numerador :
1
u3 = (1
u) u2 + u + 1
Denominador :
1
u2 = (1
u) (1 + u)
entonces,
1
u!1 1
lim
(1 u) u2 + u + 1
u3
u2 + u + 1
3
=
lim
=
lim
= ;
2
u!1
u!1
u
(1 u) (1 + u)
1+u
2
luego,
p
x
3
p
=
3
2
x
1
lim
x!1 1
existe.
F
Ejemplo 14 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
2
lim+
x!1
x2
1
[[x]]
x2
Solución : Es conocido que para los valores x a la derecha del uno, se tiene que
[[x]] = 1;
si 1
x2 = 1;
x<2
p
x2 < 2 =)
si 1
2<x
1
ó
1
x<
p
2;
por lo tanto,
2
lim+
x!1
x2
1
= lim+ 2
1
x!1 x
[[x]]
x2
1
0
= lim+ 2
= lim 0 = 0;
1 x!1 x
1 x!1+
es decir,
2
x2
=0
1
[[x]]
+
x2
x!1
lim
existe.
F
Ejemplo 15 : Calcular el siguiente límite,
f (x + h)
h!0
h
f (x)
lim
si es que existe, para la función f (x) =
;
1
x2
Solución : Tenemos que
1
x2
1
f (x + h)
lim
h!0
h
f (x)
2
lim
h!0
(x + h)
h
1
x2
= lim
h!0
el cual es un límite con una indeterminación de la forma
1
2
0
, entonces
0
(x + h)
2
=
x2 (x + h)
h
lim
h!0
lim
h!0
;
2
x2
=
(x + h)
h
= lim
x2
h!0 h x2
lim
2 = h!0
(x + h)
x2
lim
2 = h!0
(x
2 =
(x + h)
2x
=
x4
(x + h)) (x + x + h)
2
h x2 (x + h)
(x + h)
(2x + h)
h (2x + h)
h x2
2
(x + h)
2
;
x3
luego
1
2
lim
h!0
(x + h)
h
1
x2
=
2
x3
existe.
F
7
Ejercicios
1. Calcular
1:
f ( 1)
2:
5:
f (3)
6:
lim f (x)
3:
lim f (x)
7:
x! 1
x!3
lim f (x)
4:
lim f (x)
8:
x! 1+
x!3+
lim f (x)
x! 1
lim f (x)
x!3
considerando la gra…ca de la función f
6
5
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
2. Calcular
1:
f (1)
2:
5:
f (3)
6:
lim f (x)
3:
lim f (x)
7:
x!1
x!3
lim f (x)
4:
lim f (x)
8:
x!1+
x!3+
lim f (x)
x!1
lim f (x)
x!3
considerando la gra…ca de la función f
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
-0.25
-0.5
-0.75
-1
-1.25
8
1
2
3
4
5
3. Calcular
1:
f ( 2)
2:
5:
f (0)
6:
9:
f (1)
10:
13:
f (4)
14:
lim f (x)
3:
lim f (x)
7:
lim f (x)
11:
lim f (x)
15:
x! 2
x!0
x!1
x!4
lim f (x)
4:
lim f (x)
8:
lim f (x)
12:
lim f (x)
16:
x! 2+
x!0+
x!1+
x!4+
lim f (x)
x! 2
lim f (x)
x!0
lim f (x)
x!1
lim f (x)
x!4
considerando la gra…ca de la función f
1.5
1
0.5
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-0.5
-1
-1.5
4. Calcular
1:
f ( 2)
2:
5:
f (0)
6:
9:
f (2)
10:
lim f (x)
3:
lim f (x)
7:
lim f (x)
11:
x! 2
x!0
x!2
lim f (x)
4:
lim f (x)
8:
lim f (x)
12:
x! 2+
x!0+
x!2+
lim f (x)
x! 2
lim f (x)
x!0
lim f (x)
x!2
considerando la gra…ca de la función f
1
0.5
0
-3
-2
-1
0
-0.5
-1
9
1
2
3
5. Calcular
1:
f ( 3)
2:
5:
f ( 1)
6:
9:
f (1)
10:
13:
f (3)
14:
lim f (x)
3:
lim f (x)
7:
lim f (x)
11:
lim f (x)
15:
x! 3
x! 1
x!1
x!3
lim f (x)
4:
lim f (x)
8:
lim f (x)
12:
lim f (x)
16:
x! 3+
x! 1+
x!1+
x!3+
lim f (x)
x! 3
lim f (x)
x! 1
lim f (x)
x!1
lim f (x)
x!3
considerando la gra…ca de la función f
y
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
-1
-2
6. Gra…que la función dada y luego determine, si existen:
a:
1: f (x) =
3: f (x) =
(
(
f (c) ;
3x + 2 si x < 2
x3
1
lim f (x) ;
b:
si x > 2
3x si x < 1
x3
si x
1
; c=2
8
1
>
>
<
>
>
:
x4
si x <
1
3
si x =
1
x+1
si x >
1
8
1 + x2
>
>
<
1
4: f (x) =
>
>
:
2 x2
; c=0
6: f (x) =
8
>
>
<
>
>
:
p
3
3
lim f (x) :
d:
x!c+
2: f (x) =
; c=1
8
< jsen x 1j si x < 0
5: f (x) =
: 1 2x
si x 0
x+1
lim f (x) ;
c:
x!c
x!c
; c=
1
si x < 0
si x = 0
; c=0
si x > 0
x
si
3
x<4
0
si x = 4
sen ( x)
1 si x > 4
; c=4
7. Trazar la grá…ca de una función que satisfaga todas las condiciones siguientes
lim f (x) =
x! 2
2;
lim f (x) = 1 ;
f (0) = 3 ;
x!0
lim f (x) = 2 ;
lim f (x) = 0
x!1
x!0+
8. Trazar la grá…ca de una función que satisfaga todas las condiciones siguientes
f ( 1) = 1 ;
lim f (x) =
x! 1
1;
lim f (x) =
x!1
1;
lim f (x) = 1 ;
lim f (x) = 0
x!0
x!1+
9. Trazar la grá…ca de una función que satisfaga todas las condiciones siguientes
f (2) no existe ;
lim f (x) = 0 ;
x!2
lim f (x) = 0 ;
x!0
10
lim f (x) =
x!0+
1;
f (0) = 0
10. Trazar la grá…ca de una función que satisfaga todas las condiciones siguientes
f
1
2
=2;
f ( 1) = 3 ;
lim f (x) = 1 ;
lim f (x) = 1 ;
lim
x! 1+
x! 1
x!1=2
no existe
11. Calcular los siguientes límites
1:
5:
9:
13:
3
lim (x
1)
x!4
x cos x
p
x!0
1 x
lim
lim
1
x!0
10:
b4
b3
14:
x4
x!b x3
lim
lim
25:
1 x2
lim p
x!1
1 x4
29:
x3
x!0 x
33:
x3 + 27
x! 3 x + 3
37:
41:
44:
47:
51:
54:
58:
62:
65:
70:
x! 1
4x
3x
5
3:
2
x2
x+5
x!3
x 1
p
p
2+h
2
lim
h!0
h
p
p
x+h
x
lim
h!0
h
p
3
1+x 1
lim
x!0
x
p
t+1 2
lim
t!3
t2 9
p
2
x 3
lim
x!7
x2 49
lim
18:
22:
26:
7:
11:
x!2
1
x+ p
x
2x2
x!2
x2
lim
3x 2
x 2
lim
sen 2 x
1
sen2 ( x)
x!1
2x2 5
x!2 3
2x
4:
lim
27:
lim
x2 c2
x!c x2 + 2cx + c2
lim
lim
lim
x2
2cx + c2
c2
x2
x!c
x2
5x + 6
x!2
x 2
p
p
3
3
t
t0
12: lim
t!t0
t t0
8:
lim
16:
x2 + 3x + 4
x! 1 2x2
x+5
20:
lim
2
(x + h)
x2
h!0
h
p
x+1 1
19: lim p
x!0
x+4 2
p
p
3
x+3 33
23: lim
x!0
x
15:
(a + x)
a3
31:
x!0
x
p
p
x+2
3x 2
p
34: lim p
x!2
4x + 1
5x 1
30:
p
lim
3
a3
a
lim
x2
lim
6:
cos x
sen x
8 x3
x!2 x2
2x
p
3
x 1
21: lim p
x!1
x 1
17:
2:
lim
x!1
2x2
3x + 1
x 1
p
7x2 + 2 3
lim p
x! 1
3 + 2x + x
p
x2 6x + 9
28: lim
x!3
x 3
p
p
5
2 x
x
32: lim
x!1
1 x
24:
7 sen3 x + 8 sen2 x
x!0
cos x 1
x 1
36: lim p
x!1
x 1
p
3
t4 256
5t3 + 8t2
4 x2
3x + 5 2
p
lim 2
38: lim 4
39: lim
40: lim p
3
3
2
t!4 t
t!0 3t
x!2 3
x!1
16
16t
10x + 17 3
5x2 + 7
p
p
x2 + x + a a2
tan x sec x + 1
x2 + 3x + 1
x+1
42: lim
43: lim p
lim
p
2
x! a
x!0
x!0
x+a
tan x
3x + 4
x+9
p
p
p
p
p
1+x
1 x
x2 + 3
3x + 1
x2 + 3x + 9 3
p
p
45: lim p
lim
46: lim
x!1
x!0
x!0
x
4 x 2
5x + 4
2x2 + 7
p
p
p
p
p
p
3
1+ 3x
7 + x3
3 + x2
1
x
x+5
5
p
p
lim
48: lim
49: lim
50: lim
3
x! 1 1 + 5 x
x!1
x!1
x!0
x 1
4x
1
x
p
p
p
cos x sen2 x 1
x2 + a2 a
4+ x 2
p
52: lim p
a; b > 0
53: lim+
lim
2
x!0
x!0
cos x cos x
x
x!0
x2 + b2 b
p
2 x
1
1 x2
sen x 1
p
lim p
55: lim
56: lim
57: lim+ [[x]]
2
x!2
x!0
x
cos x
x! =2
x!1
x
2
p
2
2
[[x]]
x2
[[x]]
x2
[[x]]
3 x
lim [[x]]
59: lim
60:
lim
61:
lim
x!1
4 x2
x2 1
x2 1
x!1
x!2
x!1+
p
p
p
p
a + 2 (x 1)
a
x+1
5 x
5x2 5x + 5x3 + x4 6
lim
63:
lim
64:
lim
x!2 2x2
x!1
x! 2
9x + 10
x 1
4x2 11x + x3 30
lim
lim
x!0
lim
x!x0
x
[[x]]
1
x
x
x
x!0 jxj
66: lim
1
x0
x0
71:
lim
x!x0
67:
1
x2
x
lim
x!0
35: lim
x
x + jxj
1
x20
x0
72:
11
x
x!0 x + jxj
68: lim
lim
x!x0
1
x
1
x2
1
x0
1
x20
xr
x!1 x
1
1
1
2
+
x
73: lim
x!0
x
1
2
69: lim
x2
x
74: lim n
x!1 x
1
1
9
x2
p
4
78:
lim
75: lim
x!3
p
3
3
x
x
3
p
3x + 1 4
p
81: lim p
x!5
x 2
3
p
p
4+ 3x 2
p
84: lim
3
x!0
x
p
p
x + 7 3 2x
p
88: lim p
x!2 3 x + 6
2 3 3x
x!3
3
3x 1
x
7 x
4
1
x+1
p
5x2
79: lim
x!0
t5 + b 5
t! b t + b
82:
lim
p
x3 x
85: lim
x2
x4
x
83: lim
x!2
4
x2 1
p
x+6
89: lim
x!3
37
77: lim
x!0
r
3x2 + 4
x2 + 4
x2
x4 + x3 3x2 x + 2
x!1 x4
x3 13x2 + 25x 12
!
3
(x 2) x2 3x + 2
x3
2x x4 8x3 + 24x2 32x + 16
80: lim
8
x2
1
1
86: lim
p
3
1
3x 1
3x
x+2
xm
x!1 xn
x+4
x!4
3
5
1
1
76: lim x + 1
x!1
x
87: lim
t!3
p
x x
90: lim p
x!a a x
x + 24
x3
p
3 + 2t
3 t
3
p
a a
p
x a
12. Considerando los límites por la derecha y por la izquierda, demuestre que lim jxj = 0.
x!0
13. Calcular los siguientes límites cuando existan, utilizando los límites laterales cuando sea necesario.
8
>
< px 1
si x > 1
x
jx + 2j
x 1
1: lim+
2: lim
3: lim h (x) ; h (x) =
x! 2 x + 2
x!1
>
x!0 jxj
: 2x 2 si x < 1
x
4: lim
x!0 jxj
x
lim q
x!3+
(x
5:
14. Dadas las siguientes funciones
( 2
x
2x
a: f (x) =
3 2x
1
3
6:
2
3)
si x < 2
si x
x!2
(
si x < 2
2
(x + 1)
si x > 2
3: Trace la grá…ca de f
x!2
8
x
>
>
<
x2
h (x) =
>
>
:
8 x
2x3
si x < 1
p
x + 3 si x 1
x3
2: ¿Existe lim f (x) ?
x!2
15. Sea
x!1
b: f (x) =
2
1: Encuentre lim+ f (x) y lim f (x)
lim g (x) ; g (x) =
(
si x < 0
si 0 < x
2
si x > 2
(a) Evalúe los siguientes límites, si existen.
1: lim+ h (x)
2: lim h (x)
3: lim h (x)
x!0
x!0
4: lim h (x)
x!1
5: lim+ h (x)
x!2
6: lim h (x)
x!2
x!2
(b) Trace la grá…ca de h
16. Sean
f (x) =
(
x2 + 3
si x
y
x+1
y
g (x) =
si x > 1
1.
Encuentre lim f (x)
3.
Encontrar fórmulas para f (x) g (x)
5.
¿Existe lim f (x) g (x)?
x!1
1
lim f (x)
x!1+
(
x2
si
x
2
si
x>1
2.
Encuentre lim g (x)
4.
Encuentre lim f (x) g (x) y
x!1
y
x!1
lim g (x)
x!1+
lim f (x) g (x)
x!1+
x!1
17. Escriba la de…nición formal de
1:
lim f (x) = L
2:
x!x0
12
lim f (x) = M
x!x+
0
1
18. Demuestre que si c > 0, entonces,
lim
x!c
p
x=
p
c
19. Usando la de…nición formal de límite, demuestre los siguientes límites
1:
5:
9:
13:
17:
20:
23:
26:
29:
33:
36:
38:
lim 10 = 10
2:
lim 2x = 8
6:
p
5t = 0
10:
lim 8x3 = 0
14:
x!5
x!4
lim
t!0+
x!0
x2
lim
x!3
lim
=
x! 2
7x + 12
=
2x 6
3:
lim
6
3x
=
x!2 5
5
7:
lim x2 = 0
11:
1
1
=
x!2 3x
6
15:
x!0
lim
21: lim (2x
lim 4x2 + 2 = 2
24: lim
p
lim
x!0
3
x=
p
1
1
=
x!2 x
2
lim p
x!1
x!2
x!0
p
2x
lim (3x + 7) = 7
12:
x!0
lim
2x
34:
1;
3
4
x!2
lim
x!1=2
si f (x) =
si f (x) =
(
lim (9
=7
19:
lim 8 (2x + 5) = 48
x!1=2
x2 25
=
x! 5 x + 5
lim
p
25: lim (2 x
x!1
x!0
p
3
lim
x! 2
x2
10
1 =3
1 =0
x!1
2
6x) = 3
x!1
16:
28: lim
x
4) =
2
1+1 =0
x 1
2x 1
5
=0
32: lim
=
x!1 x + 3
x!3
3x
9
p
x 2
1
=
35: lim
x!4 x
4
4
31: lim
3 + 2x
8
=
5 x
9
(
5
lim x = 3
x!3
1
4
=
22: lim x2
2
x!7
1
1
=
x!0 x + 2
2
lim f (x) = 3;
8:
4 =
30: lim
x!1+
lim (x + 6) = 5
p
27: lim 3 x + 1 = 2
1
1
=
2
5 x
lim f (x) =
4:
x! 1
4) =
x!1
3
lim
4
18: lim
lim (3x + 5) = 5
x!0
4) =
2t3 + 5t2 2t
t!1
t2 1
1
2
x!0
lim (x
x!0
2x 1;
2x + 1;
0;
3;
x<0
x>0
x 1
x>1
37:
lim +
p
2x
1=0
x!(1=2)
39:
lim
p
4
x!9
9
x=0
20. Sean F y G funciones tales que 0 F (x) G (x) para toda x próxima a c, con la posible excepción de c.
Demuestre que si lim G (x) = 0, entonces lim F (x) = 0.
x!c
x!c
2
21. Si 1
f (x)
x + 2x + 2 para todo x, encuentre
22. Si 3x
f (x)
x3 + 2 para todo 0
x
lim f (x).
x! 1
2, evalúe lim f (x).
x!1
23. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son equivalentes a la de…nición de límite?
(a) Para algún
> 0 y todo
> 0,
0 < jx
(b) Para todo
> 0, existe un
cj <
=)
0 < jf (x)
Lj <
0 < jf (x)
Lj <
> 0 correspondiente tal que
0 < jx
cj <
=)
(c) Para todo entero positivo N existe un entero positivo correspondiente M tal que
0 < jx
(d) Para todo
cj < 1=M
> 0 existe un correspondiente
0 < jx
=)
0 < jf (x)
Lj < 1=N
0 < jf (x)
Lj <
> 0, tal que
cj <
=)
para algún x.
13
24. Demuestre que, si f y g tienen límite cuando x tiende a c, entonces
lim [f (x) + g (x)] = lim f (x) + lim g (x) :
x!c
x!c
x!c
25. Demuestre que, si f y g tienen límite cuando x tiende a c, entonces
lim [f (x)
g (x)] = lim f (x)
x!c
lim g (x) :
x!c
x!c
26. Demuestre que, si f y g tienen límite cuando x tiende a c, entonces
lim [f (x) g (x)] = lim f (x) lim g (x) :
x!c
x!c
x!c
27. Demuestre que, si f y g tienen límite cuando x tiende a c, entonces
lim f (x)
f (x)
= x!c
x!c g (x)
lim g (x)
lim
x!c
siempre y cuando lim g (x) 6= 0.
x!c
Respuestas: Ejercicios
1:1: 2;
2:2:
1:2: 6;
1
2;
2:3:
3:2: 1;
1:3:
1
2;
1:4: No existe;
1;
1
2;
2:4:
2:5: No está de…nida;
3:4: No existe;
3:3: 0;
3:5: 0;
3:12: No existe;
3:13: 1;
4:4: No existe;
4:5: No está de…nida;
4:11: 1;
5:9:
4:12: 1;
1;
6:3:b:
5:10: 0;
2;
11:21:
11:4:
1
q
;
3 3 t2
0
2
3;
3;
1
24 ;
11:30: 3a ;
1
2;
11:47:
11:48:
11:55:
1
2;
11:56: 0;
11:63:
1
p
;
a
11:72:
11:79: No existe;
13:5: 1;
1
3;
11:32:
11:65: 0;
x0
2 ;
11:73:
11:88: 0;
11:50:
11:58: 0;
11:81:
11:89:
14:a:1:
15:a:2: 0;
15:a:3: 1;
15:a:4: 4;
16:5: 4;
21: 1;
22: 3;
4
3;
2a;
1
n;
1;
11:67:
11:75:
11:82: 5b4 ;
14:a:2:
11:52:
11:60: 0;
1
2;
11:76:
11:83:
7;
1;
14:b:1:
15:a:6: No existe;
5:7:
6:5:a: 1;
1;
11:1: 27;
11:9: 0;
11:10:
6;
1
3;
11:18:
2
4 ;
11:36: 2;
11:45:
11:54:
11:62:
11:77:
11:84:
1
4;
13:2: No existe;
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1
4;
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3
2;
11:46:
2;
p
2 2;
p
3
3 ;
1
;
x2
0
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m
n ;
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16;
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3
2;
1
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2;
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p
1
4;
8 y 9;
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b
a;
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2;
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1
3;
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2;
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1
2;
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1
56 ;
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3;
1
8;
3;
1;
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1;
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6:6:d:
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5
40 ;
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1
4;
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1;
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1;
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p
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p
3
7
1458 ;
1 y
5
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1
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x3
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1
p
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1;
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p
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4b
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1;
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p
11:3: 23 2;
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3:14: 1;
5:1:
6:1:a: Inde…nido;
1:5: 3;
15:a:1: 0;
16:2: 1 y 2;
16:4: 4 y 4;
Bibliografía
1. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: “Cálculo". Novena Edición. PEARSON Prentice Hall.
2. Stewart, J.: “Cálculo". Grupo Editorial Iberoamericano.
Farith Briceño
Cálculo Diferencial e Integral - Límite.
e-mail : farith_72@hotmail.com
Últim a actualizacón: Enero 2011
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