Batería 1 035618

Universidad Autónoma del Estado de México
Facultad de Economía
Licenciatura en Economía
Asignatura:
Inferencia Estadística
Batería de ejercicios 1
Equipo Douglas Diamond, Premio Nobel de Economía 2022:
Brenda Ordoñez Bahena
Evelyn Cruz Huaso
Josué Arturo Aguirre Fabián
Docente:
Fidelmar Sandoval Durán
Grupo:
E1
Fecha de entrega: 24-septiembre-2024
Batería de ejercicios 1
Equipo:
Subgrupo al que perteneces:
Douglas Diamond, Premio Nobel de Economía Impar
2022.
Instrucciones: Lean con sumo cuidado cada uno de los siguientes ejercicios. Identifiquen datos,
información relevante, denoten conceptos, desarrollen el ejercicio resaltando, explicando e
interpretando su resultado. Incluyan esquemas (mapas, gráficos, tablas o ilustraciones alusivas
al tema).
No olviden agregar recursos y fuentes.
Revisen y atiendan puntualmente la lista de cotejo que se encuentra al final. Apliquen el método
de presentación estándar.
1. Información y datos (cuestionamientos).
2. Operacionalización y resultados.
3. Conclusiones.
Revisar capítulo 7 (pp. 296-299 pdf) del libro de Newbold, Carlson y Thorne. Estadística
para Administraci6n y Economía.
Newbol Carlson thorne.pdf
1. Estimadores puntuales insesgados y eficientes: Supongan que 𝑿𝟏 y 𝑿𝟐 son
muestras aleatorias de observaciones extraídas de una población de media µ y
varianza 𝝈𝟐 . Consideren los tres estimadores puntuales siguientes: Y, Z, W, de
µ.
𝑿𝟏 𝑿𝟐
𝑿𝟏
𝑿𝟐
𝑿𝟏 𝑿𝟐
𝒀=
+
; 𝒁=
+𝟐
; 𝑾=𝟑
+
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
𝟒
𝟒
a) Demuestren que los 3 estimadores son insesgados.
b) ¿Cuál de los 3 estimadores es más eficiente?
c) Hallen la eficiencia relativa de 𝑿 con respecto a cada uno de los otros dos
estimadores.
Información y datos (Cuestionamientos):
Muestras aleatorias: 𝑋1 y 𝑋2
Media de la población: µ
Varianza: 𝜎 2
Supóngase una distribución normal, una población grande y la media muestral 𝑥̅ es
𝜎2
un estimador insesgado de la media poblacional con una varianza 𝑉𝑎𝑟(𝑥̅ ) = 𝑛
Operacionalización y resultados:
∀𝒂)
1
1
𝜇 𝜇
𝐸(𝑋1 ) + 𝐸(𝑋2 ) = + = 𝜇
2
2
2 2
1
1
𝜇
𝜇
𝐸(𝑍) = 𝐸(𝑋1 ) + 𝐸(𝑋2 ) = + 2 = 𝜇
2
2
3
3
1
1
𝜇 𝜇
𝐸(𝑊) = 𝐸(𝑋1 ) + 𝐸(𝑋2 ) = 3 + = 𝜇
2
2
4 4
𝐸(𝑋) =
Son insesgados porque 𝐸(𝑋) = 𝜇 y 𝑥̅ = 𝜇
∀𝒃)
𝜎2 1
1
𝜎2
= 𝑉𝑎𝑟(𝑋1 ) + 𝑉𝑎𝑟(𝑋2 ) =
𝑛
4
4
4
2
𝜎
1
1
𝜎2
𝑉𝑎𝑟(𝑍) =
= 𝑉𝑎𝑟(𝑋1 ) + 𝑉𝑎𝑟(𝑋2 ) =
𝑛
6
3
18
2
𝜎
3
1
3𝜎 2
𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
= 𝑉𝑎𝑟(𝑋1 ) + 𝑉𝑎𝑟(𝑋2 ) =
𝑛
8
8
64
𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
𝑋 es el estimador de máxima eficiencia, ya que 𝑉𝑎𝑟(𝑋) < 𝑉𝑎𝑟(𝑍) < 𝑉𝑎𝑟(𝑊)
∀𝒄)
𝑉𝑎𝑟(𝑍)
1⁄
Eficiencia entre 𝑍 𝑦 𝑌 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 1⁄18 = 0.22
4
3⁄
Eficiencia entre 𝑊 𝑦 𝑋 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 1⁄64 = 0.1875
4
𝑉𝑎𝑟(𝑊)
Conclusiones:
Se concluye que la distribución si es normal, cuando la muestra es grande y la media
muestral es igual al parámetro, es decir, 𝑥̅ = 𝜇 es insesgado. Además, cabe recalcar
que el estimador 𝑋 es el de máxima eficiencia al tener una varianza menor a los
demás estimadores.
2. Seguro para un automóvil compacto: El costo medio anual de un seguro para
automóvil compacto es de $939. Supongan que la desviación estándar es de
$245.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria simple de pólizas
de seguros de automóvil la media muestral no difiera más de $25 de la media
poblacional si el tamaño de la muestra es 30, 50, 100 y 400?
b) ¿Qué ventaja tiene una muestra más grande cuando se quiere estimar la
media poblacional?
∀𝒂)
Información y datos (Cuestionamientos):
Error estándar de la media =
𝜎
√𝑛
Dado que 𝑛 es el tamaño de la muestra y 𝜎 es la desviación estándar de la población,
podemos calcular el error estándar de la media para diferentes tamaños de muestra.
Luego, para calcular la probabilidad de que la media muestral no difiera más de $25
de la media poblacional, calcularemos la distancia en términos de desviaciones
estándar:
𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠
𝑍=
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎
Una vez que tengamos 𝑍, podemos buscar este valor en la tabla de la distribución
normal estándar para encontrar la probabilidad correspondiente.
Operacionalización y resultados:
Ahora, vamos a calcular esto para diferentes tamaños de muestra:
∀ 𝑛 = 30
Error estándar de la media =
𝑍=
25
≈ 0.5589
44.73
245
√30
≈ 44.73
∀ 𝑛 = 50
Error estándar de la media =
𝑍=
245
√50
≈ 34.64
25
≈ 0.7217
36.64
∀ 𝑛 = 100
Error estándar de la media =
𝑍=
25
≈ 1.0204
24.5
245
√100
≈ 24.5
∀ 𝑛 = 400
Error estándar de la media =
𝑍=
245
√400
≈ 12.25
25
≈ 2.0408
12.25
∀𝒃)
Estos valores de Z representan cuantas desviaciones estándar están $25 por encima
o por debajo de la media poblacional. Buscaremos estas probabilidades en la tabla
de la distribuci6n normal estándar para obtener la probabilidad correspondiente.
La ventaja es que, hay mayor probabilidad de que la media muestral se acerque a la
media poblacional. Además, una muestra más grande aumenta la probabilidad de
incluir una variedad de valores extremes y reduce la probabilidad de que la muestra
este sesgada, lo que también mejora la precisión de la estimaci6n de la media
poblacional.
Conclusiones:
∀𝒂)
La probabilidad de que en una muestra aleatoria simple de p6Iizas de seguros de
autom6vil la media muestral no difiera más de $25 de la media poblacional si el
tamaño de la muestra es 30 es de 0.4246 o bien de 42.46%.
La probabilidad de que en una muestra aleatoria simple de p6Iizas de seguros de
autom6vil la media muestral no difiera más de $25 de la media poblacional si el tamaño
de la muestra es 50 es de 0.5284 o bien de 52.84%.
La probabilidad de que en una muestra aleatoria simple de p6Iizas de seguros de
autom6vil la media muestral no difiera más de $25 de la media poblacional si el
tamaño de la muestra es 100 es de 0.6922 o bien de 69.22%.
La probabilidad de que en una muestra aleatoria simple de p61izas de seguros de
automovil la media muestral no difiera más de $25 de la media poblacional si el
tamaño de la muestra es 400 es de 0.9586 o bien de 95.86%.
∀𝒃)
Mayor probabilidad de que la media muestral se acerque a la media poblacional.
3) Confianza en una prueba de razonamiento abstracto. A partir de una muestra
aleatoria de 100 estudiantes universitarios hemos obtenido una media de 50 y una
variancia de 225 en una prueba de razonamiento abstracto. Queremos estimar la media
de la población sirviéndonos de un intervalo de confianza cuyo error máximo sea de
3 puntos. ¿Qué nivel de confianza debemos utilizar?
Intervalo de confianza para el parámetro media con σ desconocida y n= 100.
Aunque se desconoce el valor de σ, la muestra es lo bastante grande como para poder
utilizar la distribución normal sin problemas.
Datos:
μ = 50
n = 100
σ = 225
EM = 3
Operacionalización y desarrollo
LCI = 50 – 3 = 47
LCS = 50 + 3 = 53
(47,53)
𝑥=
47 + 53
= 50
2
′𝑥 −
′𝑥 −
𝑍𝛼 2 ∗ 𝜎
√𝑛
𝑍𝛼/2 ∗ 𝜎
√𝑛
, ′𝑥 −
= 53.50 +
𝑍𝛼/2 ∗ 15
√100
Hacemos el despeje correspondiente
𝑍 𝛼/2 ∗ 𝜎
√𝑛
𝑍𝛼/2 ∗ 15
√100
= 53 − 50
= 53
10 ∗ 3
=2
15
Buscamos en la tabla de distribución normal
En Newbol es .9772
1 - 0.9772 = 0.0228
0.9772 - 0.0228 = 0.9544
= 0.9544
Conclusiones:
Con los datos percibidos del nivel de confianza que debemos de usar es de 95.44% todo
esto de acuerdo con los datos obtenidos.
4) Precio por litro de gasolina Premium en ZMVM. El precio promedio de un litro de
gasolina Premium fue de $24.80 el 18 de marzo de 2024 en la Zona Metropolitana del Valle
de México. Usa este precio como media poblacional y supón que la desviación estándar
poblacional es $1.30.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el precio medio en una muestra de 30 gasolineras
no difiera en más de un peso de la media poblacional?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el precio medio en una muestra de 50 gasolineras
no difiera en más de un peso de la media poblacional?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el precio medio en una muestra de 100 gasolineras
no difiera en más de un peso de la media poblacional?
d) ¿Recomendarían ustedes alguno de los tamaños muestrales de los incisos a), b) o
c) para tener al menos 95 centésimos de probabilidad de que la media muestral esté
dentro de un peso de la media poblacional?
1) Datos
μ = 24.65
σ = 1.3
𝑛1 = 30
𝑛2 = 50
𝑛3 = 100
2) Operacionalización y resultados.
𝑥1 = 𝜇 − 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
𝑥1 = 24.65 − 1
𝑥1 = 23.65
𝑥2 = 𝜇 + 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
𝑥2 = 24.65 + 1
𝑥2 = 25.65
∀𝒂)
Para n= 30
𝑧 = 0.9999 − 0.0001 → 𝑧 = 0.9998
Probabilidad de 99.98%
∀𝒃)
Para n=50
Probabilidad de 99.98%
∀𝒄)
Para n = 100
𝑧 = 0.9999 − 0.0001 → 𝑧 = 0.9998
Probabilidad de 99.98%
∀𝒅)
Cualquier tamaño de muestra es indiferente ya que la probabilidad de que el precio medio
de la muestra no difiera en más de $1 a la media poblacional ($24.65) es de 99.98% para
los tres tamaños de muestra.
3) Conclusiones:
La probabilidad de que en una muestra aleatoria de gasolineras; la media muestral no
difiera en más de $1 de la media poblacional ($24.65) si el tamaño de la muestra es n=30,
n=50 o n=100 es de 0.9998 o bien de 99.98%. Por lo cual es de la misma manera
recomendable cualquier tipo de muestra.
Bibliografía y recursos de consulta:
Newbold, Paul; Carlson, William L. y Thorne, Betty (2008). Estadí
stica para Administraci6n y Economía. Pearson-Prentice Hall, Madrid (8 a Edici6n).
Aplicaciones de Office 2010: Wordy Excel.
Aplicaci6n GeoGebra https://www.geogebra.org/m/nzqjjr2u
Lista de cotejo
Criterios
Elementos
Portada: Identidad institucional, de
grupo, equipo, personal y fecha.
Observa el método de presentaci6n
Estructura estándar.
lncluye apoyos pictográficos.
lncluye referencias y
bibliografía.
Se apega al formato
solicitado para las baterías: Hoja
tamaño carta blanca o cuadriculada.
Encabezado.
Márgenes (der, izq, sup e
inf).
Formato Tipo y tamaño de letra en
todo el documento
Uso de diferentes tipografías para
destacar títulos, subtítulos y
desarrollo.
lncluye paginación.
La operacionalizaci6n es
evidente.
Responde todos y cada uno
Desarrollo
de los ejercicios.
Exponen los procedimientos para
la determinaci6n de resultados.
Integran los cálculos
Correspondientes.
Si
No
Observaciones y
Aspectos de mejora
Responde de forma correcta
y completa cada ejercicio.
Aparato
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