2.3.-Sistemas radiales Los sistemas cilíndricos y esféricos a menudo experimentan gradientes de temperatura sólo en la dirección radial, y por consiguiente se tratan como unidireccionales. Además, bajo condiciones de estado estacionario, sin generación de calor estos sistemas se pueden analizar usando la expresión de la Ley de Fourier en las coordenadas adecuadas. Conducción de calor en cilindros y esferas Considere la conducción estacionaria de calor a través de un tubo de agua caliente. El calor se pierde en forma continua hacia el exterior a través de la pared del tubo e, intuitivamente, se siente que la transferencia de calor a través de éste se efectúa en la dirección normal a su superficie y no se tiene alguna transferencia significativa en otras direcciones. La pared del tubo, cuyo espesor es más bien pequeño, separa dos fluidos a temperaturas diferentes y, en consecuencia, el gradiente de temperatura en la dirección radial es relativamente grande. Además, si las temperaturas de los fluidos, dentro y fuera del tubo, permanecen constantes, entonces la transferencia de calor a través de ese tubo es estacionaria. Por lo tanto, la transferencia de calor a través del tubo se puede considerar estacionaria y unidimensional. En este caso, la temperatura del tubo depende sólo de una dirección (la dirección r radial) y se puede expresar como T = T(r). La temperatura es independiente del ángulo azimutal o de la distancia axial. Esta situación se presenta aproximadamente en la práctica en los tubos cilíndricos largos y en los recipientes esféricos. Considere una capa cilíndrica larga (como un tubo circular) de radio interior r1, radio exterior r2, longitud L y conductividad térmica promedio k. Las dos superficies de la capa cilíndrica se mantienen a las temperaturas constantes Tl y T2. No hay generación de calor en la capa y la conductividad térmica es constante. Para una conducción de calor unidimensional a través de la capa cilíndrica, se tiene T(r). Entonces la ley de Fourier de la conducción del calor para la transferencia de calor a través de la capa cilíndrica se puede expresar como: en donde A = 2prL es el área de transferencia en la ubicación r. Note que A depende de r y, en consecuencia, varía en la dirección de la transferencia de calor. Al separar las variables de la ecuación antes dada e integrar desde r = r1, donde T(r1) = T1, hasta r = r2, en donde T(r2) = T2, da: Al sustituir A=2prL y realizar la integración da: Dado que 𝑄𝑐𝑜𝑛𝑑, cil=constante. Esta ecuación se puede reacomodar para que quede: Donde: 𝑅𝑐𝑖𝑙 = ln( 𝑟2 /𝑟1 ) 𝑙𝑛(𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟/𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟) = 2𝜋𝐿𝑘 2𝜋(𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑)(𝐶𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎) es la resistencia térmica de la capa cilíndrica contra la conducción de calor o, simplemente, la resistencia a la conducción de la capa cilíndrica. Se puede repetir el análisis para una capa esférica, al tomar 𝐴 = 4𝑝𝑟 2 y realizar la integración en la ecuación. El resultado se puede expresar como: 𝑅𝑒𝑠𝑓 = 𝑟2 − 𝑟1 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 − 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 4𝜋𝑟1 𝑟2 𝑘 4𝜋(𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟)(𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟)(𝐶𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎) es la resistencia térmica de la capa esférica contra la conducción del calor o, simplemente, la resistencia a la conducción de la capa esférica. Considere ahora el flujo unidimensional de calor en estado estacionario a través de una capa cilíndrica o esférica que está expuesta a la convección en ambos lados hacia fluidos que están a las temperaturas T1 y T∞2, con coeficientes de transferencia de calor h1 y h2, respectivamente, como se muestra en la figura. En este caso, la red de resistencias térmicas consta de una resistencia a la conducción y dos a la convección, en serie, precisamente como aquélla para la pared plana y la razón de la transferencia de calor en condiciones estacionarias se puede expresar como: 𝑄̇ = 𝜏∞1− 𝜏∞2 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 Donde: 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙= 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣1 + 𝑅𝑐𝑖𝑙 + 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣2 = 1 ln(𝑟1 /𝑟2 ) 1 + + (2𝜋𝑟1 𝐿)ℎ1 (2𝜋𝐿𝑘) (2𝜋𝑟2 𝐿)ℎ2 Para una capa cilíndrica y: 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙= 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣1 + 𝑅𝑒𝑠𝑓 + 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣2 = 1 (4𝜋𝑟12 𝐿)ℎ1 + ( 𝑟2 − 𝑟1 ) 1 + (4𝜋𝑟1 𝑟2 𝑘) (2𝜋𝑟22 )ℎ2 Para una capa esférica. Note que A en la relación de la resistencia a la convección 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 1/ℎ𝐴 es el área superficial en la cual ocurre la convección. Ésta es igual a 𝐴 = 2𝑝𝑟𝐿, para una superficie cilíndrica, y 𝐴 = 4𝑝𝑟2, para una superficie esférica de radio r. Note también que las resistencias térmicas están en serie y, por lo tanto, la resistencia térmica total se determina simplemente al sumar cada una de las resistencias, precisamente como las resistencias eléctricas conectadas en serie.
