Aspectos fundamentales
del concreto reforzado
Aspectos fundamentales
del concreto reforzado
CUARTA EDICIÓN
Óscar M. González Cuevas
Francisco Robles Fernández-Villegas t
Profesores de la
Universidad Autónoma Metropolitana
(Azcapotzalco)
E! LlMusA
NORIEGA EDITORES
MÉXICO
España Venezuela Colombia
González, Ó s c a r
Aspectos fundamentales de con~retoreforzado
I Óscar M. G o n z á l e z
Cuevas. -- 4a. ed. -- M é x i c o : Limusa, 2005.
8 0 2 p. : il. ; 2 0 c m .
ISBN: 9 6 8 - 18- 6446- 8.
Rústica.
1.Concreto armado
Construcciones 2. Concreto
preesforzado
Construcciones
-
-
l. R o b l e s Fernández-Villegas, Francisco, coaut.
D e w e y : 624.1771 - dc21
LC: T A 6 8 1
LA PRESENTACl6NY DISPOSIC16N EN CONJUNT'O DE
ASPECTOS FUNDAMENTALESD E L C O N C R E T O
REFORZADO
SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA
PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGÚN
SISTEMA O M~TODO,ELECTRÓNICO O MECANICO (INCLUYENW
EL FOTOCOPIADO, LA GRABACIÓN O CUALQUIER SISTEMA DE
RECUPERACI~NY ALMACENAMIENTODE INFORMACI~N), SIN
CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR.
Q 2005,E D I T O R I A L LIMUSA, S.A. DE C.V.
GRUPO N O R I E G A EDITORES
BALDERAS
95,MÉXICO,
D.F.
C.P. 06040
m (5)51 -300-700
O1(800)7-06-91-00
@ (5)512-29-03
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limusa@nonega.com.mx
wv*noriega.com.rnx
CUARTA EDICI~N
HECHO EN MÉXICO
ISBN 968-18-6446-8
@
Prólogo
En 1974 se publicó la primera edición de este libro, con el propósito de mostrar al lector cómo pueden establecerse procedimientos de diseño de miembros de concreto reforzado a partir de información fundamental obtenida por medio de experimentos y experiencias, utilizando conocimientos básicos de mecánica.
El libro se originó a partir de una serie de fascículos preparados por los autores de esta edición, con los doctores Roger Díaz de Cossío y Juan Casillas G. de L. Se contó con el patrocinio del Instituto Mexicano del Cemento
y del Concreto, y fueron publicados por este organismo. Posteriormente, los cuatro autores revisaron y actualizaron el material en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México y suscribieron la
primera edición como libro en el año de 1974.
Numerosos profesores de la asignatura de Concreto Reforzado, o equivalentes en las escuelas de ingeniería
de habla hispana, hicieron llegar a los autores comentarios favorables sobre el libro, así como valiosas observaciones para mejorar su contenido. Animados por esto, los autores prepararon una segunda edición en la que se
incluyeron los avances de la tecnología del concreto reforzado y en la que se incorporaron, en lo posible, las observaciones recibidas. La segunda edición se publicó en el año de 1985.
Por motivo de sus actividades profesionales, los doctores Roger Díaz de Cossío y Juan Casillas G. de L. ya
no participaron en la elaboración de la segunda edición. Sin embargo, se reconoció ampliamente su intervención
en la concepción del material original y en la preparación de los fascículos iniciales y de la primera edición. Es
más, el Dr. Casillas revisó una buena parte del material, incluyendo varios de los ejemplos, y aportó valiosos comentarios sobre el texto.
En el año de 1990, los autores estimaron que era conveniente preparar una nueva edición del libro. En el
texto se utilizan con frecuencia las Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto del Reglamento de Construcciones del Distrito Federal y el Reglamento del American Concrete
Institute. Ambos reglamentos habían cambiado después de la publicación de la segunda edición, el primero de
ellos con cambios importantes derivados de las experiencias obtenidas a partir de los sismos que ocurrieron en
la Ciudad de México en septiembre de 1985. En 1994 salió a luz la tercera edición.
El American Concrete lnstitute publicó nuevas ediciones de su reglamento en los años de 1999 y de 2002,
o sea, posteriores a la tercera edición del libro, y desde hace varios años se había venido trabajando en una nueva edición del Reglamento del D.F. y sus Normas Técnicas Complementarias, los cuales se publicaron durante
2004. Los cambios en estos reglamentos y los constantes avances en la tecnología del concreto reforzado hicieron recomendable la preparación de esta cuarta edición, con el fin de mantener actualizado el texto. Las modificaciones principales que se han hecho desde la primera edición pueden clasificarse en los cuatro grupos
siguientes: a) se han adaptado el texto y los ejemplos a los nuevos reglamentos de construcciones; b) se ha introducido el sistema internacional de medidas SI, además del sistema usual MKS; c) se han estado incorporando
avances recientes en la tecnología del concreto reforzado tratando de reflejar los resultados de las investigaciones más importantes sobre el tema; d) se ha tomado en cuenta el importante papel de las microcomputadoras en
la práctica del diseño de estructuras de concreto.
Los cambios que han tenido los reglamentos de construcciones son de distinta índole. Van desde pequeñas
modificaciones derivadas de la experiencia o de investigaciones recientes hasta variaciones importantes en el enfoque de los problemas. Aunque el texto hace énfasis en aspectos fundamentales, de carácter permanente, se ha
tratado de reflejar el estado actual de los reglamentos.
Parece ser que el sistema de unidades que predomina en la práctica de la ingeniería en casi todos los países que han usado tradicionalmente el sistema métrico decimal es el metro-kilogramo-segundo (MKS) o Sistema
de Ingeniería, por lo cual se conserva en este texto. Sin embargo, la globalización de la tecnología será una fuerza
6
Prólogo
importante para que en un futuro se tiendan a unificar los distintos sistemas de unidades usados actualmente y el
sistema SI irá creciendo en popularidad. Por otra parte, las principales revistas técnicas de carácter internacional
incluyen ya el sistema SI en sus artículos, ya sea en forma exclusiva o simultáneamente con el sistema usado tradicionalmente, y muchos libros de texto de asignaturas previas a la de Concreto Reforzado, como los de Estática
o los de Mecánica de Materiales, están presentados en sistema SI. Debido a estas consideraciones, se ha juzgado
conveniente incluir ambos sistemas. En el texto aparecen muchas ecuaciones no adimensionales cuyos coeficientes cambian al ser traducidas al sistema SI. Para distinguir claramente estas ecuaciones, se han identificado con
el mismo número de las ecuaciones en sistema MKS seguido de las letras SI. Aquellas que están en sistema SI aparecen sombreadas para distinguirlas claramente. El lector deberá observar que en todas las ecuaciones no adimensionales, excepto si se establece expresamente de otra manera, los esfuerzos están en kg/cm2 cuando se usa
el sistema MKS y en N/mm2 cuando se usa el sistema SI. En el Apéndice E se incluye una tabla de equivalencias
entre los dos sistemas.
La investigación en el campo del concreto reforzado es abundante a nivel internacional. Regularmente se
presentan los resultados de nuevos estudios sobre este material de construcción. Se ha seleccionado e incorporado un buen número de estas investigaciones, procurando su integración al contenido general de la obra y al mantenimiento de su propósito didáctico.
La gran disponibilidad de herramientas de cómputo electrónico, principalmente microcomputadoras, hace
conveniente revisar algunos procedimientos de cálculo. Algunos métodos de análisis numérico por tanteos o por
aproximaciones sucesivas que resultaban convenientes con calculadoras convencionales, se ven ahora superados
por métodos que se basan en la resolución de ecuaciones o de sistemas de ecuaciones por complicados que sean,
ya que pueden programarse una sola vez y resolverse velozmente con computadoras electrónicas.
El libro está dirigido a dos tipos de lectores: estudiantes de las carreras de ingeniería y arquitectura, que lo
pueden utilizar como libro de texto, y profesionales de las mismas carreras, que lo pueden emplear como libro
de consulta. Para los primeros, se incluyen ejemplos resueltos y se proponen ejercicios para que los resuelvan.
Los ejemplos resueltos están presentados en forma semejante a como aparecerían en las hojas de cálculo usadas
comúnmente en las oficinas de diseño estructural, aunque con más detalle para mayor claridad. Dentro del texto se hacen comentarios a los aspectos más importantes del procedimiento de cálculo.
Los profesionales podrán encontrar en el libro el origen de disposiciones reglamentarias recientes, así como
explicaciones sobre su significado y la manera de utilizarlas. La bibliografía que acompaña cada capítulo les puede ayudar para estudiar con más detalle algún aspecto particular del diseño o para resolver problemas más complejos que los aquí tratados.
Numerosos alumnos han hecho llegar a los autores comentarios favorables sobre el libro en sus ediciones
anteriores. Ésta ha sido nuestra mejor recompensa y lo que nos ha impulsado a mantenerlo actualizado. También
se han recibido críticas constructivas y observaciones de varios profesores entre los que se desea mencionar de
manera especial a Santiago Loera, quien ha revisado las ediciones anteriores con gran meticulosidad y ha hecho
aclaraciones importantes a quien suscribe sobre las disposiciones de las Normas Técnicas Complementarias, a
Carlos JavierMendoza y a JoséMaría Riobóo.
JesúsCano Licona y Alejandro Grande Vega, ayudantes de profesor del primer autor, participaron de manera importante en la elaboración de los diagramas de interacción que se incluyen en el Apéndice C. La Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco, institución en la cual colaboró durante varios años el Ing. Francisco
Robles y continúa prestando sus servicios quien suscribe, ha brindado todo el apoyo necesario para la elaboración de las tres últimas ediciones. La Editorial LIMUSA ha hecho un trabajo muy profesional en la producción y
distribución de las ediciones anteriores y seguramente lo hará con la presente edición. A todas estas personas e
instituciones, nuestro reconocimiento.
El Ing. Francisco Robles falleció en 1990 cuando iniciábamos los trabajos de preparación de la tercera edición, por lo que los cambios incluidos en la tercera y en la cuarta edición, respecto a la segunda, son responsabilidad exclusiva de quien suscribe este prólogo. Como en otras ocasiones, sea este libro un homenaje a nuestro
inolvidable amigo y compañero.
Óscar M. González Cuevas
Azcapotzalco, D.F., marzo de 2005
Contenido
CAP/TULO
1
LAS ESTRUCTURAS DE CONCRETO
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
CAP~TULO
2
CAP~TULO
3
4
Las estructuras de concreto
Características acción-respuesta de elementos de concreto
Las acciones
El análisis de estructuras de concreto reforzado
El dimensionamiento de elementos de concreto reforzado
Diseño por estados límite
31
Introducción
Características esfuerzo-deformación del concreto simple
Efectos del tiempo en el concreto endurecido
Fatiga
Módulos elásticos
Deformaciones por cambios de temperatura
Algunas características de los aceros de refuerzo
(NDICESDE RESISTENCIA Y CONTROL DE CALIDAD
3.1
3.2
3.3
3.4
CAP~TULO
El diseño estructural
CARACTER(STICASGENERALES DEL CONCRETO Y DEL ACERO
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
13
53
Introducción
índices de resistencia
Evaluación de datos
Control de calidad
ELEMENTOS SUJETOS A CARGA AXIAL
65
4.1
4.2
65
4.3
4.4
5.1
5.2
Introducción
Comportamiento, modos de falla y resistencia de elementos
sujetos a compresión axial
Elementos sujetos a tensión axial
Ejemplos de cálculos de resistencia de columnas cortas bajo carga axial
Introducción
Comportamiento y modos de falla de elementos sujetos
a flexión simple
65
70
70
8
Contenido
5.3
5.4
5.5
5.6
CAP~TULO
6
F L E X I ~ NY CARGA AXlAL
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
CAP~TULO
7
8
Introducción
Comportamiento y modos de falla de elementos sujetos a
flexocompresión
Cálculo de resistencia
Elementos con dos planos de simetría sujetos a carga axial y
flexión en un plano cualquiera
Elementos sin planos de simetría sujetos a carga axial y flexión
en un plano culaquiera
Flexotensión
ELEMENTOS SUJETOS A FUERZA CORTANTE
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
CAP~TULO
Resistencia de elementos sujetos a flexión simple
Determinación de la relación balanceada
Flexión asimétrica
Procedimiento general y comentarios sobre las hipótesis
simplificadoras para cálculos de resistencias
Introducción
Comportamiento y modos de falla
Mecanismos de falla por cortante
Efectos de las variables en la carga de agrietamiento
Efectos de las variables sobre la resistencia
Expresiones para evaluar la resistencia a efectos de fuerza cortante
Ejemplos
RESISTENCIA DE ELEMENTOS SUJETOS A T O R S I ~ N
Introducción
Sistemas estructurales con efectos importantes de torsión
Torsión simple
Torsión y flexión
Torsión y cortante
Superficies de interacción torsión-flexión-cortante
Torsión y carga axial
Expresiones de los reglamentos para valuar la resistencia
a efectos de torsión
Ejemplos
CAP~TULO
9
ADHERENCIA Y ANCLAJE
9.1
9.2
9.3
Introducción
Adherencia en anclaje
Adherencia en flexión
Contenido
Naturaleza de la adherencia
Estudios experimentales de adherencia. Longitudes de anclaje
o desarrollo
Normas para longitudes de desarrollo
Ganchos estándar
Desarrollo del acero positivo en los apoyos libres de vigas
y en los puntos de inflexión
Desarrollo del acero negativo en vigas empotradas
y en vigas continuas
Empalme de barras
Corte y doblado de barras
Anclaje del refuerzo transversal
Ejemplos
CAP~TULO
10 AGRIETAMIENTO
Introducción
Formación y desarrollo de grietas
Mecanismos de agrietamiento
Expresiones para la predicción de agrietamiento
Agrietamiento en losas
Anchos permisibles de grietas
Sección transformada
Recomendaciones sobre agrietamiento de diversos
reglamentos
Ejemplos
CAP~TULO
11 DEFLEXIONES
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
CAP~TULO
Introducción
Deflexiones bajo cargas de servicio de corta duración
Deflexiones bajo cargas de servicio de larga duración
(deflexiones diferidas)
Deflexiones permisibles
Ejemplos de cálculos de deflexiones
12 MÉNSULAS Y VIGAS DE GRAN REMATE
12.1
12.2
12.3
Introducción
Ménsulas
Vigas de gran peralte
CAP~TULO 13 EFECTOS DE ESBELTEZ
13.1
13.2
Introducción
Comportamiento y variables principales
9
10
Contenido
13.3
13.4
13.5
CAP~TULO
Métodos de dimensionamiento
Cálculo de los efectos de esbeltez
Ejemplos
14 DlMENSlONAMlENTO DE VIGAS
14.1
14.2
14.3
14.4
El dimensionamiento de elementos de concreto reforzado
Recomendaciones generales para el dimensionamiento
de vigas
Dimensionamiento de secciones sujetas a flexión
Dimensionamiento de vigas
CAP~TULO 15 DlMENSlONAMlENTO DE COLUMNAS
15.1
15.2
15.3
15.4
CAP~TULO
16 LOSAS EN UNA DIRECCI~N
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
CAP~TULO
Introducción
Recomendaciones para el dimensionamiento
de columnas
Ayudas de diseño para el dimensionamiento
de columnas
Ejemplos
Introducción
Comportamiento y dimensionamiento
Ejemplo de diseño de una losa con carga uniformemente
distribuida
Cargas concentradas
Ejemplo de diseño de una losa con carga distribuida
y carga concentrada
17 LOSAS APOYADAS PERIMETRALMENTE
17.1
1 7.2
17.3
17.4
1 7.5
Introducción
Comportamiento y modos de falla
Análisis de losas
Dimensionamiento de losas apoyadas
perimetralmente
Ejemplo de diseño
CAP~TULO 18 LONAS PLANAS
18.1
18.2
18.3
Introducción y definiciones
Comportamiento y dimensionamiento
Ejemplo de dimensionamiento por el método de la estructura
equivalente (NTC-04)
Contenido
CAP~TULO
19 MÉTODO GENERALIZADO PARA EL DISEÑODE LOSAS APOYADAS
PERIMETRALMENTE Y DE LOSAS PLANAS
19.1
19.2
19.3
19.4
19.5
19.6
19.7
CAP~TULO
Introducción
Comportamiento de sistemas de piso. Variables principales
Método directo
Ejemplo de diseño con el método directo
Método de la estructura equivalente
Ejemplo de diseño con el método de la estructura equivalente
Comentarios sobre el método de la estructura equivalente
20 ASPECTOS PARTICULARES DEL DETALLADO DEL REFUERZO
20.1
20.2
20.3
20.4
20.5
Introducción
Cambios de dirección de las fuerzas internas
Detalles de esquina
Detalles especiales en estructuras expuestas a acciones sísmicas
Ejemplos
11
CAP~TU
LO
1
Las estructuras
de concreto
1.1 El diseño estructural. 11.2 Las estructuras de concreto. 11.3 Características
acción-respuesta de elementos de concreto. 11.4 Las acciones. 11.5 El análisis de estructuras de concreto reforzado. 11.6 El
dimensionamiento de elementos de concreto reforzado. 11.7 Diseño por estados
límite.
1.1 El diseño estructural
Una estructura puede concebirse como un
sistema, es decir, como un conjunto de partes o componentes que se combinan en forma
ordenada para cumplir una función dada. La
función puede ser: salvar un claro, como en
los puentes; encerrar un espacio, como sucede en los distintos tipos de edificios, o
contener un empuje, como en los muros
de contención, tanques o silos. La estructura
debe cumplir la función a la que está destinada con un grado razonable de seguridad y
de manera que tenga un comportamiento
adecuado en las condiciones normales'de
servicio. Además, deben satisfacerse otros
requisitos, tales como mantener el costo
dentro de límites económicos y satisfacer determinadas exigencias estéticas.
Un examen de las consideraciones anteriores hace patente la complejidad del diseño de sistemas estructurales. iQué puede
considerarse como seguridad razonable, o
como resistencia adecuada? iQué requisitos
debe satisfacer una estructura para considerar que su comportamiento sea satisfactorio
en condiciones de servicio? iQué es un costo aceptable? iQué vida útil debe preverse?
iEs estéticamente aceptable la estructura?
Éstas son algunas de las preguntas que
el proyectista tiene en mente al diseñar una
estructura. El problema no es sencillo y en
su solución usa su intuición y experiencia,
basándose en el análisis y en la experimentación.
Si los problemas de diseño se contemplan en toda su complejidad, puede afirmarse que no suelen tener solución única, sino
solución razonable. En efecto, la labor del
ingeniero proyectista tiene algo de arte. Indudablemente, el ingeniero debe aprovechar
el cúmulo de información y metodología
científica disponible, pero además tiene que
tomar en cuenta otros factores que están
fuera del campo de las matemáticas y de la
física.
El proceso que sigue el proyectista al
diseñar una estructura es análogo al utilizado en el diseño de cualquier otro sistema
11.1 -1.7, 1.1 5, 1.20, 1.311. Por lo tanto, son
aplicables los métodos que aporta la Ingeniería de Sistemas, ya que una de sus finalidades es la racionalización del proceso de
diseño.
E l proceso de diseño de un sistema
principia con la formulación de los objetivos
que se pretenden alcanzar y de las restricciones que deben tenerse en cuenta. El proceso es cíclico; se parte de consideraciones
generales, que se afinan en aproximaciones
sucesivas, a medida que se acumula la información sobre el problema.
En el diseño de estructuras, una vez
planteado el problema, supuestas ciertas
acciones razonables y definidas las dimensiones generales, es necesario ensayar diversas estructuraciones para resolverlo. En
esta fase del diseño es donde la intuición y
la experiencia del ingeniero desempeñan un
papel primordial. La elección del tipo de es-
14
Las estructuras de concreto
tructuración, sin duda es uno de los factores
que más afecta el costo de un proyecto. Los
refinamientos posteriores en el dimensionamiento de secciones son de mucha menor
importancia.
La elección de una forma estructural
dada implica la elección del material con
que se piensa realizar la estructura. Al hacer esta elección, el proyectista debe tener
en cuenta las características de la mano de
obra y el equipo disponible, así como también el procedimiento de construcción más
adecuado para el caso. Después de elegir
provisionalmente una estructuración, se la
idealiza para estudiar los efectos de las
acciones o solicitaciones a las que puede
estar sometida. Esta idealización es necesaria, porque el problema real siempre es
más complejo que lo que es práctico analizar.
El análisis estructural, es decir, la determinación de las fuerzas internas en los
elementos de la estructura, implica un conocimiento de las acciones que actúan sobre la
misma y de las dimensiones de dichos elementos. Estos datos son imprecisos cuando
se inicia el diseño, ya que sólo se conocen
en forma aproximada las dimensiones que
tendrán los elementos. Éstas influyen tanto
en el valor del peso propio como en el comportamiento estructural del conjunto. En un
proceso cíclico, el proyectista va ajustando
los datos iniciales, a medida que afina el
análisis. Solamente en la fase final de este
proceso hace un cálculo numérico relativamente preciso. El grado de precisión que trata de obtener en este proceso depende de la
importancia de la estructura y de la posibilidad de conocer las acciones que realmente
actuarán sobre ella. Un vicio común es el exceso de minuciosidad cuando la importancia
del problema no lo amerita, o el conocimiento de las acciones solamente es aproximado, y cuando no lo justifica el ahorro que
pueda obtenerse gracias al refinamiento en
el análisis.
La fase final del diseño consiste en comunicar los resultados del proceso descrito
a las personas que van a ejecutar la obra. La
comunicación de los datos necesarios para
la realización del diseño se hace mediante
planos y especificaciones. Este aspecto final
no debe descuidarse, puesto que el disponer
de planos claros y sencillos, y de especificaciones concretas, evita errores y confusiones
a los constructores.
Idealmente, el objeto del diseño de un
sistema es la optimización del sistema, es
decir, la obtención de la mejor de todas las
soluciones posibles [1.1-1.8, 1.1 5, 1.1 6,
1.1 81. El lograr una solución óptima absoluta es prácticamente imposible. Lo que es óptimo en un conjunto de circunstancias, no lo
es en otro; lo que es óptimo para un individuo, puede no serlo para otra persona. Tal
como se dijo anteriormente, no existen soluciones únicas, sino solamente razonables.
Sin embargo, puede ser útil optimizar
de acuerdo con determinado criterio, tal como el de peso o costo mínimos. Si el criterio
puede expresarse analíticamente por medio
de una función, generalmente llamada "función objetivo" o "función criterio", el problema puede resolverse matemáticamente.
Las técnicas de optimización todavía
tienen aplicaciones limitadas en el diseño
estructural, debido a las dificultades matemáticas que suelen implicar. Sin embargo,
se supone que a medida que aumenten las
aplicaciones de la computación electrónica,
dichas técnicas se irán perfeccionando, de
modo que cada vez se logre mayor grado
de refinamiento. Los procesos de optimización en el diseño estructural han sido tratados por Spunt y otros [1.8, 1.1 0, 1.1 61.
Para mayor sencillez, en las consideraciones anteriores se han tratado los sistemas
estructurales como sistemas independientes.
De hecho, toda estructura no es sino un subsistema de algún sistema más complejo: un
edificio, un complejo industrial, un sistema
hidráulico, de caminos o de comunicación
El diseño estructural
urbana. En un edificio, por ejemplo, pueden
distinguirse varios subsistemas, además del
estructural: las instalaciones eléctricas, las
de plomería y aire acondicionado, los elevadores, los acabados arquitectónicos, la ventanería, etc.
Según el enfoque de sistemas, en el diseño del sistema total debe tenerse en cuenta la interacción entre todos los subsistemas.
De esta manera, en el diseño del subsistema
estructural deben considerarse no solamente
los aspectos de eficiencia estructural, sino
también la relación de la estructura con los
demás subsistemas. Por ejemplo, puede ser
necesario prever pasos para instalaciones
que impliquen mayor consumo de materiales que el estrictamente necesario desde el
punto de vista estructural. Por otra parte, los
enfoques globales o de conjunto, implícitos en
la concepción de los edficios como sistemas, pueden conducir a soluciones de gran
eficiencia en las que los componentes estructurales del sistema se diseñan de manera
que realicen otras funciones, además de las
estrictamente estructurales. Así, un muro de
carga puede ser también un elemento arquitectónico de fachada y servir de elemento rigidizante.
En el diseño de los subsistemas estructurales para edificios, debe tenerse en cuenta su importancia relativa dentro del sistema
general. Son ilustrativos los datos de las tablas l.l.
y l .2, basadas en información proporcionada en las referencias 1.23, 1.25 y
1.38.
Se desprende de estos datos que la proporción del costo total correspondiente a la
estructura es relativamente pequeña. Esto indica que en muchas ocasiones no se justifican refinamientos excesivos en el cálculo
estructural, ya que las posibles economías
de materiales resultan poco significativas. Lo
importante, en efecto, es la optimización del
sistema total, como ya se ha indicado, y no
la de los subsistemas o componentes considerados individualmente.
15
Tabla 1.1 Distribución aproximada del costo de edificios altos en los Estados Unidos de América.
Concepto
Porcentaje
Excavación y cimientos
Estructura
lnstalaciones diversas (electricidad,
plomería, aire acondicionado)
Elevadores
Muros exteriores
Acabados diversos
1O
25
3O
1O
12
13
1o0
Tabla 1.2 Distribución aproximada del costo de edificios de mediana altura (10 a 12 pisos) en la Ciudad de
México.
Concepto
Excavación y cimientos
Estructura
Instalaciones diversas
(electricidad, plomería)
Elevadores
Fachadas
Acabados diversos
Porcentajes
CasoA
11
14
Caso B
5
18
25
3
2O
27
34
5
9
29
Si la optimización de sistemas relativamente sencillos, como los sistemas estructurales, presenta ciertas dificultades, son aún más
graves los problemas que ofrece la optimización rigurosa de sistemas complejos, como
el de un edificio o una obra urbana, en los
que intervienen gran número de variables,
muchas de ellas de naturaleza psicológica o
sociológica y, por lo tanto, difícilmente cuantificables. En efecto, la aplicación rigurosa
de los métodos del enfoque de sistemas aún
no es de uso común.
El interés por el enfoque de sistemas está produciendo entre los proyectistas un
cambio de actitud frente al problema de diseño. Por una parte, se tiende a una racionalización creciente del proceso de diseño, lo
16
Las estructuras de concreto
que conduce a manipulaciones matemáticas
cada vez más refinadas. Por otra, el reconocimiento de la interdependencia entre los
diversos subsistemas que integran una obra
civil está llevando a un concepto interdisciplinario del diseño. Mientras que antes los
diversos subsistemas se diseñaban independientemente, de manera que la coordinación entre ellos solía ser poco satisfactoria,
ahora se tiende cada vez más al trabajo de
equipo.
El enfoque de sistemas aporta herramientas de gran utilidad en el diseño. Sin embargo, no debe olvidarse que en el proceso de
diseño seguirá siendo de gran importancia la
intuición y la capacidad creativa e innovadora del proyectista.
En épocas recientes se han empezado
a desarrollar los llamados sistemas expertos
para apoyar en el proceso del diseño estructural. Los sistemas expertos son herramientas que se utilizan para resolver problemas
un tanto indefinidos, o sea, que no pueden
resolverse mediante la aplicación de un algoritmo determinístico, que es el caso del
diseño estructural 11.361. Generalmente
son programas de computadora interactivos
que incorporan la experiencia, el juicio, reglas empíricas e inclusive la intuición. Se
diferencian de los programas tradicionales
en que usan y representan elementos de
conocimiento, y no sólo datos; los procesos
son heurísticos o inferenciales, y no algorítmicos o repetitivos; están orientados a
procesos simbólicos, y nd a procesos numéricos.
E l uso de sistemas expertos para diseño
estructural se propuso originalmente por
Fenves y Norabhoompipat en 1978. A partir
de entonces se han desarrollado algunos sistemas que están orientados más a la investigación que a la práctica comercial del
diseño, y que se refieren a marcos tridimensionales, puentes, armaduras y muros de retención. En la referencia 1.36 se presenta un
resumen d e estos sistemas expertos.
1.2 Las estructuras de concreto
Las estructuras de concreto reforzado tienen
ciertas características, derivadas de los procedimientos usados en su construcción, que
las distinguen de las estructuras de otros materiales.
El concreto se fabrica en estado plástico,
lo que obliga a utilizar moldes que lo sostengan mientras adquiere resistencia suficiente
para que la estructura sea autosoportante.
Esta característica impone ciertas restricciones, pero al mismo tiempo aporta algunas
ventajas. Una de éstas es su "moldeabilidad", propiedad que brinda al proyectista
gran libertad en la elección de formas. Gracias a ella, es posible construir estructuras,
como los cascarones, que en otro material
serían muy difíciles de obtener.
Otra característica importante es la facilidad con que puede lograrse la continuidad
en la estructura, con todas las ventajas que
esto supone. Mientras que en estructuras
metálicas el logro de continuidad en las conexiones entre los elementos implica serios
problemas en el diseño y en la ejecución, en
las de concreto reforzado el monolitismo es
consecuencia natural de las características
de construcción.
Existen dos procedimientos principales
para construir estructuras de concreto. Cuando los elementos estructurales se forman en
su posición definitiva, se dice que la estructura ha sido colada in situ o colada en el lugar. Si se fabrican en un lugar distinto al de
su posición definitiva en la estructura, el
procedimiento recibe el nombre de prefabricación.
El primer procedimiento obliga a una
secuencia determinada de operaciones, ya
que para iniciar cada etapa es necesario esperar a que se haya concluido la anterior. Por
ejemplo, no puede procederse a la construcción de un nivel en un edificio hasta que
el nivel inferior haya adquirido la resistencia adecuada. Además, es necesario a me-
Características acción-respuesta de elementos de concreto
nudo construir obras falsas muy elaboradas
y transportar el concreto fresco del lugar de
fabricación a su posición definitiva, operaciones que influyen decisivamente en el
costo.
Con el segundo procedimiento se economiza tanto en la obra falsa como en el
transporte del concreto fresco, y se pueden
realizar simultáneamente varias etapas de
construcción. Por otra parte, este procedimiento presenta el inconveniente del costo
adicional de montaje y transporte de los elementos prefabricados y, además, el problema de desarrollar conexiones efectivas entre
los elementos.
El proyectista debe elegir entre estas dos
alternativas, guiándose siempre por las ventajas económicas, constructivas y técnicas que
pueden obtenerse en cada caso. Cualquiera
que sea la alternativa que escoja, esta elección influye de manera importante en el tipo
de estructuración que se adopte.
Otra característica peculiar de las estructuras de concreto reforzado es el agrietamiento, que debe tenerse en cuenta al
estudiar su comportamiento bajo condiciones de servicio.
1.3 Características acción-respuesta
de elementos de concreto
1.3.1 Conceptos generales
Se ha dicho que el objeto del diseño consiste en determinar las dimensiones y características de los elementos de una estructura
para que ésta cumpla cierta función con un
grado de seguridad razonable, comportándose además satisfactoriamente una vez en
condiciones de servicio. Debido a estos requisitos, es preciso conocer las relaciones que
existen entre las características de los elementos de una estructura (dimensiones, refuerzos,
etc.), las solicitaciones que debe soportar y
17
los efectos que dichas solicitaciones producen
en la estructura. En otras palabras, es necesario conocer las características acción-respuesta de la estructura estudiada.
Las acciones en una estructura son las
solicitaciones a que puede estar sometida.
Entre éstas se encuentran, por ejemplo, el
peso propio, las cargas vivas, las presiones
por viento, las aceleraciones por sismo y los
asentamientos. La respuesta de una estructura, o de un elemento, es su comportamiento
bajo una acción determinada. Puede expresarse como deformación, agrietamiento,
durabilidad, vibración. Desde luego, la respuesta es función de las características de la
estructura, o del elemento estructural considerado.
Si se conocen las relaciones
ACCIÓN+ ELEMENTOS DE CIERTAS
CARACTER~STICAS
+ RESPUESTA
para todas las combinaciones posibles de
acciones y características de una estructura,
se contará con una base racional para establecer un método de diseño. Éste tendrá por
objeto determinar las características que deberá tener una estructura para que, al estar
sometida a ciertas acciones, su comportamiento o respuesta sea aceptable desde los
puntos de vista de seguridad frente a la falla
y utilidad en condiciones de servicio.
El problema de la determinación de las
relaciones acción-respuesta para estructuras
con cualesquiera características, sometidas a
toda la gama posible de acciones y combinaciones de estas acciones, es insoluble, ya
que puede presentarse un número infinito
de combinaciones.
Debido a esta situación, fue necesario
desarrollar métodos que permitieran basar el
estudio de una estructura en conjunto en
estudios del comportamiento de sus distintas partes o elementos. Estos métodos, Ilamados de análisis, permiten determinar en
cada uno de los miembros de una estructu-
18
Las estructuras de concreto
ra, las acciones internas resultantes de la aplicación de las solicitaciones exteriores a la
estructura total. Esta consideración reduce el
problema de la determinación de las características acción-respuesta a dimensiones
manejables.
Para establecer una base racional de
diseño, será necesario entonces obtener las
características acción-respuesta correspondientes a las acciones más frecuentes sobre
los distintos elementos estructurales. Con esta información se puede delimitar el rango
de las solicitaciones bajo las cuales el elemento se comportará satisfactoriamente una
vez en condiciones de servicio. En otras palabras, es necesario establecer las relaciones
entre los elementos siguientes:
Acciones
interiores
Características
del elemento
carga axial
flexión
torsión
cortante
tipo de concreto
tipo de refuerzo
tamaño
forma
restricción
Respuestas
deformación
agrietamiento
durabilidad
vibración
Al valuar la respuesta correspondiente
a una acción determinada, es necesario tomar en cuenta el modo de aplicación de la
misma, ya que este factor ejerce influencia
muy importante en dicha respuesta. Es decir, la respuesta de una estructura a una acción determinada dependerá de s i ésta es
instantánea, de corta duración, sostenida,
repetida, etc.
En los capítulos siguientes se estudian
estas relaciones para las acciones más frecuentes en el caso de estructuras de concreto. La información relativa ha sido obtenida
mediante experimento y experiencia adquirida con el tiempo.
En los procedimientos de diseño, el dimensionamiento se lleva a cabo normalmente a partir de las acciones interiores, calculadas
por medio de un análisis de la estructura.
Debe notarse que, para diseñar satisfactoriamente no siempre es necesario obtener las
acciones interiores inducidas por las exteriores. Muchos diseños han sido desarrollados
directamente a partir del estudio de modelos
estructurales. En estos casos, los conjuntos de
acciones exteriores, representativas de aquellas a las que en realidad estará sometido el
prototipo, se aplican a un modelo a escala
de la estructura por diseñar, y se miden las
respuestas del mismo. Para satisfacer la condición de seguridad, el modelo a escala debe resistir acciones un tanto mayores que las
que se estima deberá soportar la estructura
en condiciones de servicio. Para satisfacer la
condición de comportamiento satisfactorio
bajo estas condiciones de servicio, las respuestas del modelo a estas acciones deberán
estar comprendidas entre los valores considerados como límites de tolerancia. S i una
de las dos condiciones no se satisface, se
modifican las características del modelo y se
repite el proceso.
La primera condición que debe satisfacer un diseño es que la estructura resultante
sea lo suficientemente resistente. En términos de las características acción-respuesta,
se puede definir la resistencia de una estructura o elemento a una acción determinada
como el valor máximo que dicha acción
puede alcanzar. Una vez determinada la resistencia a una cierta acción, se compara este
valor máximo con el valor correspondiente
bajo las condiciones de servicio. De esta
comparación se origina el concepto de factor de seguridad o factor de carga. De un
modo rudimentario, éste puede defini rse como el cociente entre la resistencia y el valor
estimado de la acción correspondiente en
condiciones de servicio.
El diseño debe garantizar que la estructura tenga un factor de seguridad razonable.
Mediante este factor, se trata de tomar en
cuenta en el diseño la incertidumbre existente con respecto a los efectos de ciertas
acciones y los valores usados en varias etapas
Características acción-respuesta de elementos de concreto
/
Probabilidad
de falla
Cargas P
R,
19
y
P,
Resistencias R
Figura 1.1 Concepto de probabilidad de falla.
del proceso. Entre las principales incertidumbres se pueden mencionar el desconocimiento de las acciones reales y su distribución, la
validez de la hipótesis y simplificaciones utilizadas en el análisis, la diferencia entre el
comportamiento real y el supuesto, y la discrepancia entre los valores reales de las
dimensiones y de las propiedades de los materiales con las especificadas en el diseño.
La selección de un factor de seguridad
adecuado no es problema sencillo, debido al
gran número de variables y de condiciones
que deben tomarse en cuenta. La dificultad
principal reside en la naturaleza probabilista tanto de las acciones que obran sobre las
estructuras como de las resistencias de éstas.
Este carácter aleatorio de solicitaciones y resistencias hace que exista siempre cierta probabilidad de que se presenten combinaciones
de valores en que la acción sea superior a la
resistencia. Esto se ilustra en la figura 1.l,en
la que se representan las distribuciones de
frecuencias de solicitaciones y resistencias
de un elemento estructural, por ejemplo una
viga. S i la acción alcanza el valor P i , y la resistencia el valor R 1 , ocurrirá un evento de
falla. El área sombreada es una medida de la
probabilidad de falla de la estructura. La probabilidad de falla da una medida significativa
del margen de seguridad real de la estructura. Puede expresarse en términos económicos, si se cuenta con los elementos
necesarios para estimar el costo de las consecuencias de la falla. La estimación del
costo de la falla, junto con el costo de la estructura, pueden servir de base para escoger
una solución conveniente con un criterio racional que asigne un margen de seguridad,
de acuerdo con la importancia de la obra.
Obviamente, el factor de seguridad de una
presa debe ser mayor que el de una bodega
de chatarra.
20
Las estructuras de concreto
Los criterios modernos de diseño están
tendiendo a enfoques probabilistas como el
descrito [1.17, 1.24, 1.33, 1.341, no obstante
las dificultades que implican. Por una parte,
todavía no se tiene suficiente información
sobre la variabilidad tanto de las solicitaciones que deben considerarse, como de las
resistencias de los materiales y elementos
utilizados en las estructuras. Por otra parte,
es difícil el problema de asignar precio o valor a las consecuencias de una falla, en términos de posible pérdida de vidas y de costo
de reposición. A pesar de estas dificultades, el
enfoque tiene indudable interés y ya existen
proposiciones para formular reglamentos de
construcción basados exclusivamente en conceptos probabilistas. De hecho, ciertos conceptos probabilistas ya han sido incorporados a
algunos reglamentos en relación con la valuación de las características de los materiales
y las acciones [1.9, 1.19, 1.24, 1.33, 1.341.
A semejanza del problema de resistencia, para garantizar que una estructura tenga
un comportamiento aceptable bajo condiciones de servicio, se comparan los valores
de las respuestas (deformaciones, agrietamiento, durabilidad) correspondientes a las
acciones estimadas, con ciertos Iímites preestablecidos que la experiencia ha indicado
estructura
son satisfactorios para el tipo
de que se trata.
El problema es más difícil que cuando
se trata de valuar la resistencia, ya que las
deformaciones y el agrietamiento son función de las acciones reales que obran en la
estructura, de la historia de carga y de todas
aquellas variables que influyen en el comportamiento. E l fijar Iímites razonables para
las deformaciones y el agrietamiento de los
distintos tipos de estructuras, es más complejo que establecer un factor de seguridad razonable. Los problemas de agrietamiento y
deformaciones se tratarán con detalle en capítulos posteriores. Hasta la fecha, la mejor
herramienta que posee el diseñador para
establecer Iímites de tolerancia es su expe-
de
riencia con estructuras semejantes, cuando
actúan bajo condiciones similares.
Para fijar las ideas anteriores, éstas se aplicarán a un caso específico. Considérese el voladizo mostrado en la figura 1.2 sujeto a la
acción de una carga vertical P, que varía
desde un valor nulo hasta aquel que produce
el colapso. La característica acción-respuesta más inmediata es la curva carga-deflexión
presentada también en la figura.
En términos de esta característica es posible definir cuatro etapas en el comportamiento del voladizo:
a) Una etapa inicial elástica, en la que
las cargas son proporcionales a las
deformaciones. Es frecuente que bajo las condiciones permanentes de
servicio (excluyendo las cargas de corta duración como viento o sismo), la
estructura se encuentre en esta etapa. La carga de servicio se ha marcado
en la figura como P, y la deformación correspondiente como a,.
6 ) Una etapa intermedia en la que la relación carga-deformación ya no es lineal, pero en la que la carga va
creciendo.
C ) Una etapa plástica, en la que se producen deformaciones relativamente
grandes para incrementos pequeños
o nulos de las cargas. La resistencia
Pr se encuentra en esta etapa. Debido a la forma de la curva, es difícil
establecer cuál es la deformación correspondiente a la resistencia.
d) Una etapa inestable, caracterizada
por una rama descendente hasta el
colapso, donde a mayores deformaciones la carga disminuye.
De la ilustración se puede definir el factor de seguridad como el cociente Pr/P,. La
Las acciones
h
m
L
a>
Etapa
elástica
b)
Etapa
intermedia
c)
Etapa
plástica
21
d)
Etapa
inestable
3
b
Deformación a
Figura 1.2 Gráfica carga-deformación.
estructura tendrá una resistencia adecuada,
si este factor es mayor que un valor predeterminado considerado como aceptable.
Para investigar s i el comportamiento
bajo condiciones de servicio es satisfactorio, se deberá comparar el valor de la deformación correspondiente a P, con ciertos
valores preestablecidos que se estimen tolerables, de acuerdo con experiencias anteriores.
Es interesante hacer notar que, en la
etapa plástica, a una variación muy pequeña
de la carga corresponde una variación importante en la deformación de la estructura.
Por lo tanto, si las acciones en esta etapa se
determinan a partir de las deformaciones,
entonces los errores importantes en la estimación de éstas sólo producirán variaciones
insignificantes en el valor de la acción. Por
el contrario, es difícil predecir en esta etapa
el valor de la deformación que corresponderá a una carga determinada.
El ejemplo anterior muestra claramente
que es necesario conocer las relaciones acción-respuesta correspondientes a una variación de P, desde un valor nulo hasta el que
produce el colapso. Esta información permite conocer el grado de seguridad de la estructura y estimar el intervalo de carga bajo
el cual el voladizo se comportará satisfactoriamente.
1.4 Las acciones
Las principales solicitaciones o acciones
exteriores a que puede estar sujeta una estructura son: cargas estáticas debidas a peso
propio, a cargas vivas y a cargas permanentes, así como cargas dinámicas impuestas
por un sismo, por la presión de un viento o
por la aplicación repetida de cargas vivas.
También se consideran como solicitaciones
las deformaciones de la estructura inducidas
22
Las estructuras de concreto
por asentamiento, contracción, flujo plástico
y cambios de temperatura.
Al estimar las acciones, es necesario
prever las condiciones más desfavorables en
que la estructura puede llegar a encontrarse,
así como el tiempo que sufrirá estas condiciones desfavorables. Para hacer un análisis
riguroso sería necesario conocer las variaciones probables en la intensidad y distribución
de las cargas a lo largo de la vida útil de la
estructura, cosa difícil de lograr.
Al tratar del diseño estructural se ha hecho hincapié en el desarrollo de métodos de
análisis de estructuras, pero se han llevado a
cabo estudios limitados sobre los valores
probables de las cargas que actúan. Es aquí
donde se pueden cometer los mayores errores y donde nuestro conocimiento es más
exiguo.
La estimación de las cargas debidas al
peso propio puede hacerse con relativa precisión: los errores no serán mayores del 20
por ciento, si se han evaluado con cuidado
los volúmenes de los materiales y los pesos
volumétricos.
En lo que respecta a carga viva, los
errores en la estimación pueden ser del 100
por ciento o aun mayores. La carga viva está
especificada comúnmente en los reglamentos
de construcción como carga uniformemente
repartida equivalente, con distintas intensidades de acuerdo con el uso considerado, o
bien, si se trata de puentes o viaductos, como
carga móvil idealizada. Estos valores equivalentes especificados se basan en estudios
limitados. Los efectos de las cargas equivalentes en la estructura pueden ser muy diferentes de los efectos de las cargas reales.
La estimación de cargas laterales debidas a viento o sismo está sujeta aún a mayor
incertidumbre. Fácilmente se cometen errores mucho mayores que los anteriores en la
estimación de los efectos de estas acciones.
En el estado actual de nuestro conocimiento, puede esperarse solamente que, con
base en la experiencia, se especifique un ti-
po de carga tal que, unido a procedimientos
adecuados de diseño y construcción, proporcione una estructura que se comporte satisfactoriamente.
1.5 El análisis de estructuras de
concreto reforzado
Para poder analizar una estructura es necesario idealizarla. Por ejemplo, una idealización frecuente en el análisis de edificios es
considerar la estructura como formada por
series de marcos planos en dos direcciones.
De este modo se reduce el problema real tridimensional a uno de dos dimensiones. Se
considera, además, que las propiedades mecánicas de los elementos en cada marco están concentradas a lo largo de sus ejes. Las
acciones se aplican sobre esta estructura
idealizada.
Las solicitaciones o acciones exteriores
inducen acciones interiores (momentos,
fuerzas) de intensidad variable. E l propósito
fundamental del análisis es valuar las acciones interiores en las distintas partes de la estructura. Para ello es necesario, salvo en
estructuras o elementos isostáticos, conocer
o suponer la relación entre fuerza y deformación o, en términos más generales, entre
acción y respuesta.
La hipótesis más simple que puede hacerse para relacionar carga y deformación,
es suponer una dependencia lineal; el análisis elástico de estructuras parte de esta hipótesis.
Otra hipótesis relativamente simple que
se hace para el análisis de estructuras, es la
de suponer que las acciones interiores, al
llegar a cierto valor crítico de la acción, son
independientes de las deformaciones; en
esta hipótesis se basa el análisis límite. En él
se tratan de obtener los valores de las acciones para los cuales la estructura se vuelve un
mecanismo inestable.
El dimensionamiento de elementos de concreto reforzado
Existen otros tipos de análisis más refinados, con hipótesis menos simples que las
anteriores, que se aproximan más a la realidad. Debido a su mayor refinamiento, son
más laboriosos, aunque con el empleo de
computadoras se usarán cada vez más.
1.6 El dimensionamiento
de elementos de
concreto reforzado
Se entiende por dimensionamiento la determinación de las propiedades geométricas de
los elementos estructurales y de la cantidad
y posición del acero de refuerzo.
El procedimiento de dimensionamiento
tradicional, basado en esfuerzos de trabajo,
consiste en determinar los esfuerzos correspondientes a acciones interiores obtenidas
de un análisis elástico de la estructura, bajo
sus supuestas acciones de servicio. Estos esfuerzos se comparan con esfuerzos permisibles, especificados como una fracción de las
resistencias del concreto y del acero. Se supone que así se logra a la par, un comportamiento satisfactorio en condiciones de servicio
y un margen razonable de seguridad.
El factor de seguridad de los elementos
de una estructura dimensionados por el método de esfuerzos de trabajo no es uniforme,
ya que no puede medirse en todos los casos
el factor de seguridad por la relación entre
las resistencias de los materiales y los esfuerzos permisibles. En otras palabras, la relación entre la resistencia del material y los
esfuerzos de trabajo no es siempre igual a la
relación entre la resistencia del elemento y
su solicitación de servicio.
El procedimiento más comúnmente utilizado en la actualidad es el denominado
método plástico, de resistencia o de resistencia última, según el cual los elementos o
secciones se dimensionan para que tengan
una resistencia determinada.
23
El procedimiento consiste en definir las
acciones interiores, correspondientes a las condiciones de servicio, mediante un análisis
elástico, y multiplicarlas por un factor de carga, que puede ser constante o variable según
los distintos elementos, para así obtener las
resistencias de dimensionamiento. E l factor
de carga puede introducirse también incrementando las acciones exteriores y realizando
después un análisis elástico de la estructura.
El dimensionamiento se hace con la hipótesis de comportamiento inelástico.
E l procedimiento de dimensionamiento
plástico puede también aplicarse a los resultados de un análisis Iímite, del cual se obtienen directamente las acciones interiores
correspondientes a la carga de falla que convierte la estructura en un mecanismo. El dimensionamiento a partir de un análisis Iímite
no es todavía la aplicación práctica, debido
a las incertidumbres que se tienen sobre mecanismos de colapso, la inestabilidad general de la estructura y la capacidad de rotación
de los elementos de la misma.
El análisis Iímite no debe confundirse
con el criterio general de dimensionamiento, denominado de estados Iímite, en el que
están basadas las recomendaciones del Comité Euro-Internacional del Concreto [1.19]
y los reglamentos ruso t1.9, 1.321 e inglés
[1.22]. El enfoque de estados Iímite no es sino un formato en el que se consideran todos
los aspectos del diseño en forma ordenada y
racional y que permite la fácil incorporación
de criterios probabilistas. De hecho, se trata de
lograr que las características acción-respuesta de un elemento estructural o de una estructura estén dentro de límites que se
consideran aceptables. Según este método,
una estructura o un elemento estructural deja de ser útil cuando alcanza un estado, Ilamado estado Iímite, en el que deja de
realizar la función para la cual fue diseñado.
A continuación se presenta con cierto
detalle el procedimiento de diseño basado
en el concepto de estados Iímite.
24
Las estructuras de concreto
1.7 Diseño por estados Iímite
La mayoría de los reglamentos de construcción actuales, como el del Distrito Federal
[1.111, el del Comité Euro-Internacional del
Concreto [1.191, los Eurocódigos usados en
los países de la Unión Europea [1.22] y el de
Canadá [1.271, establecen disposiciones para
el diseño-de estructuras basadas en el concepto de estados Iímite. A continuación se
presentan en forma resumida las disposiciones al respecto del Reglamento de las Construcciones para. el Distrito Federal, y los
criterios en los que están basadas. Al final de
esta sección se presentan las disposiciones
del Reglamento del American Concrete Institute [1.13], muy usado en América Latina, las
cuales, aunque no están expresadas formalmente en términos de estados Iímite, siguen
conceptos semejantes.
1.7.1 Reglamento del Distrito Federal
Los criterios de diseño estructural en que se
basa este reglamento se presentan con detalle
en la referencia 1.29. Se consideran dos categorías de estados Iímite: los de falla y los de
servicio. Los de falla corresponden al agotamiento definitivo de la capacidad de carga de
la estructura o de cualquiera de sus miembros,
o al hecho de que la estructura, sin agotar su
capacidad de carga, sufra daños irreversibles
que afecten su resistencia ante nuevas aplicaciones de carga. Los estados Iímite de servicio
tienen lugar cuando la estructura llega a
estados de deformaciones, agrietamientos, vibraciones o daños que afecten su correcto
funcionamiento, pero no su capacidad para
soportar cargas. Para revisar los estados Iímite
de falla, o sea, la seguridad de una estructura,
se debe verificar que la resistencia de cada
elemento estructural y de la estructura en su
conjunto, sea mayor que las acciones que actúan sobre los elementos o sobre la estructura. Esta verificación se efectúa siguiendo el
procedimiento que se expone a continuación.
a) Primero se determinan las acciones
que obran sobre la estructura, las
cuales se clasifican en permanentes,
como la carga muerta; variables, como
la carga viva; y accidentales, como el
sismo y el viento.
b) Se calculan, mediante un análisis estructural, los efectos de las acciones
sobre la estructura, o sea, los valores
de las fuerzas axiales y cortantes y de
los momentos flexionantes y torsionantes que actúan en distintas secciones de la estructura. Estos valores
se denominan acciones o fuerzas internas S.
C) Las fuerzas internas se multiplican por
factores de carga, F, para obtener
las llamadas fuerzas internas de diseño. Cuando se usan métodos lineales
de análisis estructural, se obtiene el
mismo resultado multiplicando las
acciones por los factores de carga
antes de hacer el análisis. Más adelante se indican los factores de carga
recomendados en el Reglamento del
Distrito Federal.
d) Se calculan las resistencias nominales,
R, de cada elemento de la estructura, y
se multiplican por factores reductivos, FR,para obtener las llamadas resistencias de diseño.
e) Se verifica que las resistencias de diseño, FR R, sean iguales o mayores
que las fuerzas internas de diseño,
Fc S. Esta verificación, que constituye
el criterio básico de comprobación de
la seguridad de una estructura, según
el Reglamento del Distrito Federal,
puede ilustrarse esquemáticamente
como sigue:
-
Fuerza interna
de diseño
FC S
5
-
Resistencia
de diseño
FR R
Diseño por estados límite
A continuación se explica con mayor
detalle la forma de llevar a cabo cada una de
las etapas anteriores.
Acciones. Se mencionó que en el Reglamento del Distrito Federal las acciones se
clasifican en permanentes, variables y accidentales. Los criterios generales de determinación de estas acciones son los siguientes
t1.29, 1.341.
Las acciones permanentes y variables
tienen distribuciones de frecuencia como la
indicada en forma aproximada en la figura
1.3. S i se trazan histogramas del peso volumétrico de diferentes muestras de concreto
o de las mediciones de la carga viva en un número grande de edificios, se verá que tienen
una forma similar a la de esta figura. Se han
señalado en ella tres valores de las intensidades de las acciones: a) una intensidad nominal máxima, xI~, que es aquella cuya
probabilidad de ser excedida es de dos por
ciento, o sea, que es un valor máximo pro-
25
bable de la carga; b) una intensidad nominal
mínima, ,,x que es aquella cuya probabilidad de no ser alcanzada es de dos por ciento, o sea, que es un valor mínimo probable
de la carga; y c) la intensidad promedio, m,.
Como se ve, las intensidades nominales máxima y mínima pueden ser muy diferentes de
la intensidad promedio.
El Reglamento del Distrito Federal utiliza estos conceptos de intensidad máxima
e intensidad mínima para establecer las acciones de diseño permanentes y variables.
En el caso de las permanentes, establece
determinar un valor máximo probable de su
intensidad tomando en cuenta la variabilidad de las dimensiones de los elementos,
de los pesos volumétricos y de las otras
propiedades relevantes de los materiales,
excepto cuando el efecto de la acción permanente sea favorable a la estabilidad de la
estructura, como en muros de gravedad; entonces debe usarse la intensidad mínima
probable.
x, = carga nominal mínima
m, = carga promedio
xM = carga nominal máxima
I
XM
Figura 1.3 Distribución de frecuencias de las cargas.
intensidad
26
Las estructuras de concreto
Para acciones variables se establecen
cuatro intensidades:
a) Una intensidad máxima probable que
se utiliza para combinaciones de acciones permanentes y variables, y que
es la equivalente de XM en la figura 1.3.
b) Una intensidad mínima probable
que debe utilizarse cuando el efecto
de la acción sea favorable a la estabilidad de la estructura; es la equivalente a x, en la figura 1.3, pero el
reglamento especifica tomarla, en
general, igual a cero.
C ) Una intensidad media, equivalente a
m, que se utiliza para estimar efectos a largo plazo, como hundimientos
o deflexiones.
d ) Una intensidad instantánea, que se
utiliza en combinación con acciones
accidentales, que es el valor máximo
probable en el lapso en que pueda
presentarse una acción accidental,
como un sismo. Tiene valores comprendidos entre la intensidad media,
m, y la intensidad máxima, XM; figura 1.3. Al especificarse esta intensidad, se reconoce que es muy poco
probable que al presentarse una acción accidental, la acción variable
esté actuando con su intensidad máxima probable.
Por lo que se refiere a las acciones accidentales, como viento o sismo, el Reglamento del Distrito Federal se basa en el
criterio de periodo de recurrencia, que se
define como el tiempo promedio que debe
transcurrir para que la acción exceda un valor xp que tiene una probabilidad p de ser
.excedido en un año cualquiera. El Reglamento utiliza un periodo de recurrencia de
50 años, que para estructuras con vida útil
de 50 o 100 años, conduce a probabilidades
de excedencia muy superiores a las de las
acciones permanentes y variables [1.34].
Otros reglamentos de construcción utilizan criterios similares a los descritos para
la determinación de las acciones, pudiendo
variar los valores de las probabilidades de
exceder o de no alcanzar las acciones probables o los periodos de recurrencia.
Fuerzas internas. Las fuerzas internas,
S, se determinan efectuando el análisis de la
estructura sujeta a las distintas combinaciones de acciones que tengan una probabilidad
no despreciable de ocurrir simultáneamente.
Por ejemplo, se deberá efectuar el análisis estructural bajo carga muerta y viva, o bajo
carga muerta, viva y sismo simultáneamente,
para determinar cuál es la combinación más
desfavorable. Los valores nominales de las cargas que se especifican en las Normas Técnicas
Complementarias sobre Criterios y Acciones
para el Diseño Estructural de las Edificaciones [1.35], varían según la combinación de
acciones que se considere. En las Normas
Técnicas Complementarias para Diseño y
Construcción de Estructuras de Concreto del
Reglamento del Distrito Federal [1.30], se permite que el análisis de estructuras de concreto reforzado se efectúe suponiendo que
la estructura tiene un comportamiento lineal
y elástico, y se permite también, bajo ciertas
condiciones, utilizar análisis al límite.
Factores de carga. Se mencionó más
arriba que las cargas nominales se multiplican por factores de carga antes de hacer el
análisis estructural. Estos factores son números
con los que se incrementan las cargas nominales máximas o se reducen las mínimas, de
tal manera que con ellos se aumenta o se
disminuye, respectivamente, la probabilidad
de que las cargas sean excedidas o no sean alcanzadas. Los factores de carga toman en
cuenta la posibilidad de que se presenten sobrecargas y las imprecisiones en los métodos de análisis estructural. La probabilidad
de que varias acciones existan simultáneamente con su máxima intensidad es peque-
Diseño por estados límite
ña, por eso generalmente se especifican factores de carga menores para acciones combinadas. Así, el Reglamento del Distrito
Federal [1.35] establece los siguientes factores de carga:
a) Para combinaciones que incluyan
exclusivamente acciones permanentes y variables, el factor de carga, Fc,
será de 1.4, excepto en estructuras
que soporten pisos en los que pueda
haber normalmente aglomeración de
personas, o en construcciones que
contengan equipo sumamente valioso, caso en el cual el factor de carga
será de 1.5.
b) Para combinaciones de acciones que
incluyan una accidental, como viento o sismo, además de las acciones
permanentes y variables, el factor de
carga, Fc, será de 1 .l.
C) Para acciones cuyo efecto sea favorable a la resistencia o estabilidad de la
estructura, se tomará un factor de
carga, Fc, de 0.9. En estos casos, como ya se explicó anteriormente, se
utiliza la carga nominal mínima.
d) En la revisión de estados Iímite de
servicio, se tomará un factor de carga igual a uno.
Resistencias. Se entiende por resistencia
la magnitud de una acción, o de una combinación de acciones, que provocaría la aparición de un estado Iímite de falla en un
elemento estructural o en una estructura.
Por ejemplo, la resistencia a flexión de una
viga es la magnitud del momento flexionante que provocaría su falla en flexión; su resistencia a cortante es la magnitud de la
fuerza cortante que provocaría una falla de
este tipo del elemento; la resistencia a flexocompresión de una columna es la magnitud
del momento flexionante y de la carga axial
que, combinadas, producen la falla del elemento.
27
La resistencia es también una variable
probabilista. Para estimar la resistencia de muchos elementos estructurales, existen métodos probados experimentalmente o que han
demostrado su validez a través de la experiencia. E l valor calculado con estos métodos se denomina, en este texto, resistencia
nominal, que es un término usado en versiones anteriores del Reglamento del Distrito
Federal. Para elementos estructurales poco
comunes, para los cuales no existen métodos
de cálculo incluidos en el Reglamento, deberá recurrirse a métodos teóricos o a la determinación directa de la resistencia en forma
experimental. El valor de la resistencia nominal en estos casos será tal, que la probabilidad
de que no sea alcanzado sea relativamente
pequeña; un valor de dos por ciento es recomendable (figura 1.4). Cuando en este texto se
emplea el término resistencia, se debe entender que es equivalente al término resistencia
nominal.
La mayor parte de este libro, del capítulo
4 al 9 y del 12 al 15, está dedicada a presentar métodos para el cálculo de las resistencias de elementos estructurales de concreto
reforzado. En los ejemplos que se presentan
se utilizan indistintamente el Reglamento
del Distrito Federal o el del American Concrete Institute.
Las resistencias nominales deben multiplicarse por factores reductivos de resistencia, FR, para tomar en cuenta la naturaleza
aproximada de las fórmulas utilizadas para
calcular las resistencias, errores en las dimensiones de los elementos, efectos adversos
debidos a procedimientos inadecuados de
colocación y curado del concreto e importancia relativa de distintos tipos de miembros
estructurales. E l valor de estos factores depende también del tipo de falla; la reducción
es mayor para elementos de falla frágil que
para elementos de falla dúctil. En capítulos
siguientes se indican los factores de resistencia que especifica el Reglamento del Distrito Federal para distintos tipos de acciones.
28
Las estructuras de concreto
Figura 1.4 Distribución de frecuencias de las resistencias.
Revisión de la seguridad. La última etapa del procedimiento consiste en verificar
que para todo estado Iímite de falla, la resistencia de diseño exceda a la fuerza interna
actuante de diseño, o sea, que FR R 2 Fc S.
Por ejemplo, la resistencia de diseño a flexión de una viga debe ser mayor que el momento flexionante de diseño.
Por lo que respecta a los estados Iímite
de servicio, el Reglamento del Distrito Federal especifica calcular la magnitud de las
respuestas, tales como deflexiones y vibraciones bajo la acción de las cargas nominales, sin incrementarlas o disminuirlas con
factores de carga, y comparar estas magnitudes con valores especificados en el mismo
Reglamento. En capítulos siguientes de este
libro se presentan métodos para calcular las
deflexiones y los agrietamientos de elementos estructurales de concreto reforzado. Estas respuestas son las más importantes para
elementos de este material.
l . 7.2 Reglamento del American Concrete
lnstitute (ACI 3 18-02)
Este reglamento está diseñado para ser utilizado como parte integrante de reglamentos
más generales en vigor en distintas localidades. No establece, por lo tanto, valores de
las cargas que deben ser utilizadas en el diseño, como sí lo hace el Reglamento del
Distrito Federal. Sin embargo, los factores
de carga que se especifican a partir de la
edición de 2002, así como los factores de
reducción de resistencia denominados @, están tomados de los que a su vez especifica la
American Society of Civil Engineers junto
con los valores de las cargas recomendadas
[1.37]. Estas cargas y factores son válidos
para cualquier tipo de material, lo cual tiene
la ventaja de que se pueden usar para construcciones compuestas, por ejemplo estructuras de concreto y acero. Algunos ejemplos
de cargas factorizadas, que en el Reglamento ACI se denominan U, son los siguientes:
a) Para combinaciones de carga muerta
y carga viva,
Donde D es el valor de la carga
muerta, L el valor de la carga viva en
los pisos intermedios, y Lr el valor de
la carga viva en azotea.
Referencias
b) Para combinaciones de carga muerta, sismo y carga viva,
Donde E es la fuerza sísmica calculada a partir de cargas de servicio.
La revisión de la seguridad en el Reglamento ACI se plantea entonces como
@ (resistencia nominal) 2 U.
Esta expresión es equivalente a la de
FR R 2 FCS del Reglamento del Distrito Federal.
E l Reglamento ACI también incluye factores de carga para cargas producidas por
empuje de tierra o de líquidos, para los efectos de cambios de temperatura, asentamientos
diferenciales, flujo plástico y contracción
del concreto, viento, lluvia y nieve.
En la referencia 1.33 se presenta un
ejemplo de cómo pueden obtenerse factores
de carga con el formato del reglamento ACI
usando conceptos de enfoques probabilísticos de seguridad estructural.
29
Finalmente, los requisitos bajo condiciones de servicio, que equivalen a la revisión
en estados límite de servicio del Reglamento del Distrito Federal, se revisan bajo la acción de las cargas nominales del reglamento
más general.
Los diseños finales que se obtienen
aplicando el Reglamento del Distrito Federal
son semejantes a los obtenidos con el Reglamento ACI. Sin embargo, no se pueden comparar etapa por etapa del diseño. Los factores
de carga del Reglamento ACI son menores que
los del Distrito Federal, pero los factores de
reducción de resistencias del ACI son más
severos. El Reglamento del Distrito Federal
incluye disposiciones que también son factores de seguridad, como considerar una
resistencia reducida del concreto, f,*, o dimensiones reducidas para algunos miembros, lo que no hace el Reglamento ACI. Hay
entonces variaciones entre ambos reglamentos sobre la forma de lograr que la resistencia de diseño sea igual o mayor que la
fuerza interna de diseño. Pero ambos se sustentan en este criterio general de diseño.
Referencias
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30
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Structural Concrete (ACI 3 18-02). Detroit, American Concrete Institute, 2002.
1.14 Comité ACI 318. Commentary on Building Code
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1.1 6 Spunt, L. Optimum Structural Design. Englewood Cliffs, N. J., Prentice Hall, 1971 .
1.1 7 Ghiocel D., y D. Lungu. Wind, Snow, and Temperature Effects Based on Probability. Turnbridge
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1.1 8 Jauffred, F., F. A. Moreno Bonnet y J. Acosta F.
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1.1 9 CEB - FIP. Model Code for Concrete Structures.
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and Concrete Association, 1978.
1.20 Asimov, E. M. Introducción al proyecto. México,
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1.21 Wright, J. R. "Performance Criteria in Building".
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Hormigón. Asociación Española de Normalización y Certificación, Noviembre, 1993.
1.23 Robertson, L. E. "On Tall Building". En Proceedings o f a Symposium on Tall Buildings Held at
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1.25 Gutiérrez Pérez, M. "Análisis estadístico de costos de edificios". Ingeniería Civil. México, No.
159, septiembre 1970.
1.26 Ferry Borges, J. y M. Castanheta. Structural Safety. Lisboa. Laboratorio Nacional de Engenharia
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1.28 Ang, A. y W. Tang. Probability Concepts in Engineering Planning and Design. Vol. 1 Nueva York,
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1.29 Meli, R. "Bases para los criterios de diseño estructural del proyecto del Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal". Revista
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1.30 Normas Técnicas Complementarias para Diseño y
Construcción de Estructuras de Concreto. Gaceta
Oficial del Distrito Federal, Tomo 1, No. 103-Bis, 6
de octubre de 2004.
1.31 Merrit, F. S. Building, Engineering and Systems
Design. Nueva York, Van Nostrand-Reinhold,
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1.32 Baikov, V. y E. Sigalov. Reinforced Concrete
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1.33 Macgregor, J. C.: "Loads and Resistance Factors
for Concrete Design", Journal of the American
Concrete Institute, jul io-agosto 1983.
1.34 Meli, R. Diseño Estructural, México, Limusa, 1985.
1.35 Normas Técnicas Complementarias sobre Criterios y Acciones para e l Diseño Estructural de las
Edificaciones. Gobierno del Distrito Federal, 2004.
1.36 Arockiasamy, M. "Expert Systems-Applications
for Structural, Transportation, and Environmental
Engineering", Boca Ratón, CRC Press, 1993.
1.37 "Minimum Design Loads for Buildings and Other
Structures" (ASCE 7-98). American Society of Civil Engineers, Nueva York, 1998.
1.38 Riobóo, J. M. "La Ingeniería Estructural: una Especie en Extinción". Ingeniería Civil, México, febrero 2002.
Características
generales del
concreto y del acero
2.1 Introducción. /2.2 Características
esfuerzo-deformación del concreto simple. /2.3 Efectos del tiempo en el concreto
endurecido. /2.4 Fatiga. /2.5 Módulos
elásticos. /2.6 Deformaciones por cambios
de temperatura. /2.7 Algunas características de los aceros de refuerzo.
2.1 Introducción
E l concreto es un material pétreo, artificial,
obtenido de la mezcla, en proporciones determinadas, de cemento, agregados y agua.
E l cemento y el agua forman una pasta que
rodea a los agregados, constituyendo un material heterogéneo. Algunas veces se añaden
ciertas sustancias, llamadas aditivos o adicionantes, que mejoran o modifican algunas
propiedades del concreto.
El peso volumétrico del concreto es elevado en comparación con el de otros materiales de construcción, y como los elementos
estructurales de concreto son generalmente
voluminosos, el peso es una característica
que debe tomarse en cuenta. Su valor oscila
entre 1.9 y 2.5 ton/m3 dependiendo principalmente de los agregados pétreos que se
empleen. Algunas de las otras características
del concreto se ven influidas por su peso volumétrico, como se verá más adelante. Por
esta razón, algunos reglamentos de construcción establecen disposiciones que depen-
den del peso volumétrico. E l Reglamento de
Construcciones del Distrito Federal, por
ejemplo, define dos clases de concreto: clase
1, que tiene un peso volumétrico en estado
fresco superior a 2.2 ton/m3, y clase 2, cuyo
peso volumétrico está comprendido entre
1.9 y 2.2 ton/m3.
El concreto simple, sin refuerzo, es resistente a la compresión, pero es débil en
tensión, lo que limita su aplicabilidad como
material estructural. Para resistir tensiones se
emplea refuerzo de acero, generalmente en
forma de barras, colocado en las zonas donde se prevé que se desarrollarán tensiones
bajo las acciones de servicio. El acero restringe el desarrollo de las grietas originadas
por la poca resistencia a la tensión del concreto.
El uso del refuerzo no está limitado a la
finalidad anterior. También se emplea en zonas de compresión para aumentar la resistencia del elemento reforzado, para reducir
las deformaciones debidas a cargas de larga
duración y para proporcionar confinamiento
lateral al concreto, lo que indirectamente
aumenta su resistencia a la compresión.
La combinación de concreto simple
con refuerzo constituye lo que se llama concreto reforzado.
El concreto presforzado es una modalidad del concreto reforzado, en la que se crea
un estado de refuerzos de compresión en el
concreto antes de la aplicación de las acciones. De este modo, los esfuerzos de tensión
producidos por las acciones quedan contrarrestados o reducidos. La manera más común
de presforzar consiste en tensar el acero de
refuerzo y anclarlo en los extremos del elemento.
Para dimensionar estructuras de concreto reforzado es necesario utilizar métodos
que permitan combinar el concreto simple y
el acero, de tal manera que se aprovechen
en forma racional y económica las características especiales de cada uno de ellos. Esto
implica el conocimiento de estas caracterís-
3 2 Características generales del concreto y del acero
ticas; en las páginas siguientes se describirán algunas de las más importantes.
Existen otras características del concreto, tales como su durabilidad, permeabilidad, resistencia al fuego, a la abrasión, a la
intemperie, etc., que no se tratarán, ya que
no es necesario su conocimiento detallado
para establecer métodos de dimensionamiento. El lector puede consultar a este respecto
algún texto de tecnología del concreto, como los de Neville [2.2, 2.1 91, Troxell, Davis
y Kelly [2.11, Orchard [2.3] o Popovics
[2.20], recomendados al final de este capítulo. Un excelente tratamiento del tema se
presenta en el Manual de Tecnología del
Concreto de la Comisión Federal de Electricidad [2.291.
que puede estar sometido. En el caso más
general, sería necesario analizar todas las
combinaciones de acciones a que puede estar sujeto un elemento.
Para esto se han hecho estudios experimentales sobre el comportamiento del
concreto sujeto a estados uniaxiales de compresión y tensión, a estados biaxiales de
compresión y tensión, y a estados triaxiales
de compresión. A partir de estos estudios se
han obtenido expresiones para determinar
las deformaciones que producen estados
combinados de esfuerzos.
2.2.1 Modos de falla y características
esfuerzo-deformación bajo
compresión axial
MODOS DE FALLA
2.2 Características esfuerzodeformación del concreto simple
Se ha indicado que el objeto principal del
estudio del comportamiento del concreto es
la obtención de las relaciones acción-respuesta del material, bajo la gama total de solicitaciones a que puede quedar sujeto. Estas
características acción-respuesta pueden describirse claramente mediante curvas esfuerzo-deformación de especímenes ensayados
bajo distintas condiciones.
En este caso, el esfuerzo es comúnmente
una medida de la acción ejercida en el espécimen, y la deformación, una medida de la
respuesta. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que en algunos casos, como por ejemplo
en asentamientos y contracciones, esta relación se invierte; es decir, las solicitaciones
quedan medidas por la deformación y la respuesta está representada por los esfuerzos
respectivos.
Para conocer el comportamiento del
concreto simple es necesario determinar las
curvas esfuerzo-deformación correspondientes a los distintos tipos de acciones a
La figura 2.1 muestra un cilindro de concreto simple ensayado en compresión axial. En
cilindros con relación de lado a diámetro igual
a dos, como el que se muestra en la figura,
la falla suele presentarse a través de planos
inclinados con respecto a la dirección de la
Figura 2.1 Falla en compresión de un cilindro
de concreto.
Características esfuerzo-deformación del concreto simple
carga. Esta inclinación es debida principalmente a la restricción que ofrecen las placas
de apoyo de la máquina contra movimientos
laterales. S i se engrasan los extremos del cilindro para reducir las fricciones, o si el
espécimen es más esbelto, las grietas que se
producen son aproximadamente paralelas a
la dirección de aplicación de la carga. Al comprimir un prisma de concreto en estas condicio.nes, se desarrollan grietas en el sentido
paralelo al de la compresión, porque el concreto se expande transversalmente.
Las grietas se presentan de ordinario en
la pasta y muy frecuentemente entre el agregado y la pasta. En algunos casos también se
llega a fracturar el agregado. Este microagrietamiento es irreversible y se desarrolla a
medida que aumenta la carga, hasta que se
produce el colapso.
CURVAS ESFUERZO-DEFORMACIÓN
Las curvas esfuerzo-deformación se obtienen del ensaye de prismas sujetos a carga
axial repartida uniformemente en la sección
transversal mediante una placa rígida. Los
valores del esfuerzo resultan de dividir la
carga total aplicada, P, entre el área de la
sección transversal del prisma, A, y representan valores promedio obtenidos bajo la
hipótesis de que la distribución de deformaciones es uniforme y de que las características esfuerzo-deformación del concreto son
constantes en toda la masa. El valor de la deformación unitaria, %, es la relación entre el
acortamiento total, a, y la longitud de medición, t (figura 2.2).
Puesto que el concreto es un material
heterogéneo, lo anterior es una idealización
del fenómeno. Según la distribución de la
pasta y del agregado en la masa, los esfuerzos, considerados como la carga soportada
en un área diferencial, variarán de un punto
a otro de una misma sección. Sin embargo,
esta variación no es significativa desde el
punto de vista del diseño estructural.
33
CURVA T~PICABAJO CARGA
DE CORTA DURACIÓN
La curva que se presenta en la figura 2.2
corresponde a un ensaye efectuado en un
tiempo relativamente corto, del orden de
unos cuantos minutos desde la iniciación
hasta el colapso. Se puede apreciar que el
concreto no es un material elástico y que la
parte inicial de estas curvas no es rigurosamente recta. Sin embargo, sin gran error
puede considerarse una porción recta hasta
aproximadamente el 40 por ciento de la
carga máxima. Se observa, además, que
la curva llega a un máximo y después tiene
una rama descendente. E l colapso se produce comúnmente a una carga menor que
la máxima.
En el ensaye de prismas o cilindros de
concreto simple, la carga máxima se alcanza a una deformación unitaria del orden de
0.002, si la longitud de medición es del mismo
orden de magnitud que el lado del espécimen. El colapso del prisma, que corresponde al extremo de la rama descendente, se
presenta en ensayes de corta duración a deformaciones que varían entre 0.003 y 0.007,
según las condiciones del espécimen y de la
máquina de ensaye.
Se han propuesto varias ecuaciones para
representar analíticamente la curva esfuerzodeformación. El problema es complejo porque
influyen muchas variables, algunas inclusive
ajenas a las propiedades intrínsecas del material, como la rigidez relativa de la máquina de
ensaye. Aunque para la mayoría de las aplicaciones prácticas no se requiere una ecuación
que represente la gráfica completa, incluyendo
la rama descendente, dicha ecuación es necesaria cuando se trata de determinar los esfuerzos
de manera rigurosa utilizando técnicas como
la del elemento finito. Por esta razón se han
realizado investigaciones para obtener ecuaciones que consideren a la mayoría de las variables significativas. El lector interesado puede
consultar, por ejemplo, la referencia 2.2 5.
34
Características generales del concreto y del acero
Área ( A )
81
Deformación unitaria e, = ale
Figura 2.2 Curva esfuerzo-deformación en compresión axial de un espécimen sujeto
a carga de corta duración.
EFECTO DE LA EDAD
Debido al proceso continuo de hidratación
del cemento, el concreto aumenta su capacidad de carga con la edad. Este proceso de
hidratación puede ser más o menos efectivo,
según sean las condiciones de intercambio
de agua con el ambiente, después del colado.
Por lo tanto, el aumento de capacidad de carga del concreto depende de las condiciones
de curado a través del tiempo.
La figura 2.3 muestra curvas esfuerzodeformación de cilindros de 15 X 30 cm, fabricados de un mismo concreto y ensayados
a distintas edades. Todos los cilindros fueron
curados en las mismas condiciones hasta el
e 84 días
Figura 2.3 Efecto de la edad al ensayar en la resistencia.
Caracteristicas esfuerzo-deformación del concreto simple
35
Edad del concreto en días
Figura 2.4 Variación de la resistencia con la edad.
día del ensaye. Las curvas se obtuvieron
aplicando incrementos de deformación constantes. Se determinan así ramas descendentes
más extendidas que las obtenidas comúnmente bajo incrementos constantes de carga. Se puede observar que la deformación
unitaria para la carga máxima es del orden
de 0.001 5 a 0.0020.
El aumento de resistencia con la edad
depende también del tipo de cemento, sobre
todo a edades tempranas. La figura 2.4 muestra el aumento de resistencia con la edad para cilindros de 15 x 30 cm, hechos con
cemento normal (tipo I), y de alta resistencia
inicial (tipo III), que son los dos tipos más empleados en estructuras de concreto reforzado.
Después de los primeros tres meses, el
aumento en resistencia es relativamente pequeño.
EFECTO DE LA RESISTENCIA
La curva mostrada en la figura 2.2 corresponde a concretos con una resistencia a la
compresión comprendida entre 200 y 300
kg/cm2, aproximadamente. En fechas recientes
se han desarrollado concretos con resistencias mucho mayores, hasta de más de 1000
kg/cm2, llamados concretos de muy alta resistencia. Aunque no existe una definición
precisa, se puede considerar que si su resistencia sobrepasa los 400 kg/cm2, un concreto
ya es de muy alta resistencia. Estos concretos
se han utilizado en edificios muy altos,
puentes, torres y estructuras especiales. Algunos ejemplos conocidos son el Two Union
Square Building en Seattle, en el que se usó
un concreto de 1400 kg/cm2, y las Torres de
Kuala Lumpur, en Malasia. En México se han
construido dos edificios con concretos de
600 kg/cm2.
La forma de la curva esfuerzo-deformación varía con la resistencia del concreto. En
la figura 2.5 se muestran curvas de concretos cuyas resistencias varían de 250 a 1200
kg/cm2. Se puede ver que conforme aumenta la resistencia, las gráficas se vuelven más
cercanas a una línea recta en la parte inicial
y sus ramas descendentes se hacen más
pronunciadas. La deformación última, E,,,
disminuye significativamente, mientras que la
deformación correspondiente al esfuerzo má-
36
Características generales del concreto y del acero
-20
1 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006
Deformación axial
Figura 2.5 Efecto de la resistencia (Park [2.30]).
ximo va siendo mayor. Mientras mayor es la
resistencia, el comportamiento es más frágil.
EFECTO DE LA VELOCIDAD DE CARGA
La figura 2.6 muestra resultados de ensayes
de cilindros realizados a distintas velocidades de carga. En este tipo de ensayes se aplicó la carga a una velocidad constante y se
1.5 -
midió el tiempo necesario para alcanzar la
resistencia.
Se puede observar que la resistencia de
un cilindro en el que la carga máxima se alcanza en centésimas de segundo es aproximadamente 50 por ciento mayor que la de
uno que alcanzó su carga máxima en 66 segundos. Por otra parte, para un cilindro en
que la carga máxima se alcanza en 69 minutos, la resistencia disminuye aproximadamente en 10 por ciento.
En ensayes a velocidad de carga constante, las ramas descendentes de las curvas
esfuerzo-deformación no son muy extendidas, debido a que las características de las
máquinas de ensaye hacen que el colapso
ocurra súbitamente, una vez que se alcanza
la carga máxima.
En la figura se muestra que las pendientes de las tangentes iniciales a las curvas crecen al aumentar la velocidad. N o es posible
determinar en todos los casos la rama descendente. Al igual que en otros tipos de ensaye, las deformaciones correspondientes a
las cargas máximas son del orden de 0.002.
.
Tiempo para alcanzar el
máximo esfuerzo
0.04 seg
1
Figura 2.6 Efecto de la velocidad de carga
(Hatano [2.4]).
C
v
La figura 2.7 muestra curvas obtenidas ensayando cilindros a distintas velocidades de
deformación, desde una milésima de deformación unitaria por minuto, hasta una milésima por cien días. En esta figura, fc~o.ool~
representa la resistencia obtenida cuando la
velocidad de deformación unitaria en el ensaye es de 0.001 por minuto. Como puede
apreciarse, esta variable tiene un efecto notable sobre las características de la curva esfuerzo-deformación, especialmente sobre la
carga máxima. Si la velocidad de deformación
es muy grande, la rama descendente es brusca, en tanto que si la deformación se aplica
lentamente, la rama descendente es bastante
suave. La deformación unitaria correspondiente a la carga máxima sigue siendo del orden
de 0.002. Puede observarse que la resisten-
37
Caracteristicas esfuerzo-deformación del concreto simple
Figura 2.7 Efecto de la velocidad de
deformación (Rüsch [2.51).
cia disminuye muy poco con incrementos
importantes en la duración del ensaye.
Figura 2.8 Efecto de la relación de esbeltez.
EFECTO DE LA ESBELTEZ Y DEL TAMAÑO
DEL ESPÉCIMEN
El efecto de la relación de esbeltez sobre la
resistencia a la compresión de un prisma se
muestra de manera cualitativa en la figura
2.8, en la que arbitrariamente se ha tomado
como 100 por ciento la resistencia de un espécimen con relación de esbeltez igual a
dos. Como medida de la esbeltez se toma la
relación entre la longitud, medida en dirección de la carga, y el lado menor de un prisma, o el diámetro de un cilindro.
Para esbelteces mayores que dos, la resistencia baja, hasta llegar al 85 por ciento,
aproximadamente, para esbelteces de seis o
más. Por el contrario, para especímenes de
esbelteces menores que dos, la resistencia
aumenta indefinidamente, y en teoría sería
infinita para un espécimen de altura nula.
En especímenes geométricamente semejantes pero de distinto tamaño, la resistencia
disminuye, dentro de ciertos límites, mientras mayor sea el espécimen. Esto es debido
a que en materias frágiles, como el concreto, la probabilidad de que existan zonas de
resistencia baja aumenta con el tamaño del
espécimen. La figura 2.9 muestra el efecto
del tamaño de un cilindro en su resistencia
a la compresión.
2.2.2 Compresión triaxial
Los ensayes efectuados en cilindros de concreto bajo compresión triaxial muestran que
la resistencia y la deformación unitaria co-
-
Cilindros con relación de esbeltez
Q,
m
*
igual a dos
S
8
120
L
L
m
.-
;u
Di
701
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
' 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Diámetro (cm)
Figura 2.9 Efecto del tamaño.
38
Caracteristicasgenerales del concreto y del acero
rrespondiente crecen al aumentar la presión
lateral de confinamiento. En estos ensayes, el
estado triaxial de esfuerzos se crea rodeando
el espécimen de aceite a cierta presión y
aplicando una carga axial hasta la falla mediante dispositivos como el ilustrado esquemáticamente en la figura 2.1 0 (a).
En la figura 2.1 0 (b) se presentan curvas
esfuerzo-deformación obtenidas de los ensayes realizados por Brandtzaeg [2.6]. Corresponden a distintas presiones de confinamiento
lateral, desde 38 hasta 286 kg/cm2. Se puede observar que el incremento de la resistencia es función directa del incremento de la
presión de confinamiento. Con presiones de
confinamiento adecuadas, pueden obtenerse resistencias de más de 1000 kg/cm2.
El efecto de la presión lateral sobre la
resistencia se ilustra en la figura 2.10 (c),
donde se presenta una gráfica del esfuerzo
axial, fi, necesario para producir la falla del
cilindro, contra la presión lateral, f2.Los re-
(b)
Espécimen
a presión
I
Presión en el aceite f2
(c)
Figura 2.10 Compresión triaxial (Brandtzaeg l2.61).
Características esfuerzo-deformación del concreto simple
sultados obtenidos de los ensayes pueden
representarse, aproximadamente, por medio
de la expresión
donde f', es la resistencia en compresión
axial de un cilindro sin presión confinante.
Es evidente que el efecto del confinamiento
es muy importante; basta que se aplique una
compresión lateral igual a la cuarta parte de
la resistencia uniaxial para que ésta se duplique.
Debe notarse también el incremento
notable en el valor de la deformación unitaria, correspondiente a la resistencia al incrementar la presión de confinamiento; con
una presión de 38 kg/cm2, la deformación
unitaria correspondiente a la carga máxima
aumenta diez veces con respecto a la de un
cilindro sin confinar.
Los estudios de Brandtzaeg han sido
confirmados más recientemente por Hobbs
[2.21], quien obtuvo un coeficiente de 3.7
en vez de 4.1, pero la tendencia general es
la misma.
39
2.2.3 Tensión
Es difícil encontrar una manera sencilla y reproducible de determinar la resistencia a
tensión uniaxial. Siendo el concreto, bajo
esta condición, un material frágil, es necesario que la sección transversal del espécimen
varíe gradualmente, para evitar fallas prematuras debidas a concentraciones de esfuerzos.
La curva esfuerzo-deformación de concreto
en tensión representada en la figura 2.1 1 se
obtuvo ensayando un espécimen de sección
rectangular, variable a lo largo del mismo.
Para fijarlo en la máquina de ensaye, se utilizaron placas pegadas con resina a los extremos del espécimen, las que a su vez fueron
atornilladas a la máquina. Este tipo de ensaye requiere mucho cuidado para lograr resultados dignos de confianza.
Para concreto en tensión axial, tanto las
resistencias como las deformaciones correspondientes son aproximadamente del orden
de una décima parte de los valores respectivos
en compresión axial. Sin embargo, la relación no es lineal para toda la escala de resistencias.
\
Placa pegada
con resina
Alargamiento
e
Figura 2.1 1 Curva esfuerzo-deformación en tensión uniaxial.
40
Características generales del concreto y del acero
En 1948, Lobo Carneiro [2.71 en Brasil
y, casi simultáneamente Akazawa [2.8] en
Japón, idearon un procedimiento de ensaye
indirecto en tensión, que se conoce como el
ensaye brasileño. En esencia consiste en someter un cilindro a compresión lineal diametral, como se muestra en la figura 2.1 2 (a). La
carga se aplica a través de un material relativamente suave, como triplay o corcho. Si el
material fuera perfectamente elástico, se originarían esfuerzos de tensión uniformemente distribuidos en la mayor parte del plano
diametral de carga, como se muestra en la figura 2.12 (b).
La resistencia en tensión se calcula con
la fórmula:
deducida de la teoría de la elasticidad (véase, por ejemplo, la referencia 2.9).
1
1
En la expresión (2.2):
P = carga máxima
d = diámetro del espécimen
& = longitud del espécimen
En realidad, el concreto no es elástico
y, además, la resistencia en tensión que se
mide no es la resistencia en tensión uniaxial
como la que se obtendría en el ensaye mostrado en la figura 2.1 1. Sin embargo, lo que
se pretende es tener una medida de la resistencia del concreto a la tensión por medio
de un ensaye fácil y reproducible por muchos operadores en distintas regiones. Esto
se logra satisfactoriamente con el ensaye
brasileño.
Para concretos fabricados con agregados de Santa Fe (Ciudad de México), la relación entre la resistencia a la compresión de
un cilindro y su resistencia a la tensión, ob-
Tensión I Com~resión
(a) Esquema de ensaye
(b) Distribución de esfuerzos relativos f
según teoría elástica
Figura 2.12 Distribución de esfuerzos y tipo de carga en tensión indirecta.
Características esfuerzo-deformación del concreto.simple
tenida del ensaye brasileño, está dada por
las expresiones
para concreto clase 1; y
((,)=1.2
(@ =0.4
41
del concreto simple. Ésta se determina con
frecuencia ensayando un prisma de concreto
libremente apoyado, sujeto a una o dos cargas concentradas. La falla es brusca, con
una grieta única que fractura el espécimen.
El esfuerzo teórico de tensión en la fibra
inferior correspondiente a la rotura se calcula mediante la expresión
(2.4)
E
(2.4,SI)
para concreto clase 2; donde
(ftb) = resistencia en tensión del ensaye
brasileño
f', = resistencia a la compresión simple
de un cilindro de 15 x 30 cm.
Para concretos de resistencias mayores
que 400 kg/cm2, se obtiene una mejor aproximación si el coeficiente 1.5 de la ecuación
2.3 se sustituye por 1.75
Estas expresiones son solamente aproximadas y se presentan para dar una idea de
los órdenes de magnitud relativos. Para valores bajos de f',, la resistencia en tensión es
del orden de 0.10 f',, mientras que para valores altos disminuye a 0.07 f',.
E l conocimiento de la resistencia a la
tensión del concreto es importante para el
diseño en tensión diagonal y para otros tipos
de comportamiento, en donde la tensión es
el fenómeno predominante.
2.2.4 Flexión
Para algunas aplicaciones, tales como pavimentos de concreto, es necesario conocer
aproximadamente la resistencia a la flexión
*Las ecuaciones cuyo número está seguido de las letras SI
están en el Sistema Internacional de Medidas. Véase el prólogo del libro.
en la que f, es el módulo de rotura, M es el
momento flexionante correspondiente a la
carga máxima aplicada, c es el medio peralte, e 1 es el momento de inercia de la sección
transversal del prisma.
Al aplicar la expresión (2.5) se supone
que el concreto es elástico hasta la rotura,
hipótesis que, como se ha indicado, no es
correcta para toda la escala de carga.
Esta prueba proporciona una medida de
la resistencia del concreto a flexión, o más
bien, a la tensión debida a la flexión. Normalmente, el módulo de rotura es mayor que
la resistencia a la tensión obtenida del ensaye brasileño.
Se ha observado que el esfuerzo máximo de rotura en flexión depende, entre otras
variables, de la resistencia a la compresión,
de la relación peralte a claro y de las condiciones de curado. Debido a que la medición
de deformaciones- es difícil de realizar, no
existen muchos datos experimentales sobre
las características esfuerzo-deformación de
prismas sujetos a flexión simple.
El módulo de rotura como medida de la
resistencia a la tensión, tiene varias desventajas. La principal es que el punto de tensión
máxima se presenta en la superficie externa
del espécimen, que está sujeta en forma importante a esfuerzos de contracción originados por cambios en el ambiente. Por esta
razón, la dispersión de datos de ensayes de
módulo de rotura es mayor que la dispersión
obtenida en el ensaye brasileño, la que a su
42
Características generales del concreto y del acero
vez es mayor que la dispersión de datos de pruebas en compresión. Es difícil establecer relaciones generales entre los valores de fr y f,' ya
que la relación depende del tipo de concreto.
Uno de los comités técnicos del American Concrete lnstitute [2.28] recomienda la
siguiente ecuación para calcular la resistencia a flexión en términos de la resistencia a
compresión:
donde w, es el peso volumétrico del concreto en kg/m3 y g, es un factor que puede variar de 0.04 a 0.07 dependiendo del tipo de
concreto (g, varía de 0.01 2 a 0.021 para w,
en kg/m3 y fr y f', en MPa). Un valor usual
aproximado es fr = 2
través de dispositivos especiales, para evitar
alteraciones de los estados de esfuerzos estudiados.
La utilización del concreto reforzado en
estructuras complejas, en las que se encuentra
sometido a condiciones de esfuerzos combinados, ha propiciado el estudio de su comportamiento en estas condiciones. Así, se han
llevado a cabo recientemente ensayes bajo
esfuerzos de compresión biaxiales o esfuerzos de compresión en dos ejes y de tensión
en el tercer eje [2.22,2.23]. En general, las envolvente~de falla tienen la forma mostrada
en la figura 2.13, en donde se indican de
e.
2.2.5 Otras condiciones de esfuerzos
La determinación de la resistencia del concreto simple a un estado de esfuerzo cortante
puro no tiene mucha importancia práctica,
porque dicho estado implica siempre la presencia de tensiones principales de la misma
magnitud que el esfuerzo cortante, las cuales
originan la falla cuando el elemento podría
aún soportar esfuerzos cortantes mayores.
Algunos procedimientos indirectos indican
que la resistencia al esfuerzo cortante es del
orden del 20 por ciento de la resistencia a
compresión.
También se han realizado ensayes en
concreto simple sujetando especímenes de diversos tipos a otras combinaciones de esfuerzos. Entre éstos cabe mencionar las ensayes
efectuados por McHenry [2.101, utilizando
cilindros huecos sujetos a una presión interior
y a una carga axial longitudinal, en los que
se provoca un estado combinado de esfuerzos
de tensión y compresión; los llevados a cabo
por Bresler [2.11], sometiendo cilindros a
combinaciones de esfuerzos de torsión y compresión axial, y los de Kupfer, Hilsdorf y
Rüsch [2.12] en placas y prismas cargados a
Figura 2.1 3 Envolvente típica de falla para
concreto sujeto a esfuerzos triaxiales
(referencia 2.24).
Efectos del tiempo en el concreto endurecido
manera aproximada los incrementos o decrementos, con respecto a la resistencia en
compresión uniaxial 12.241. Es interesante
observar que una presión confinante del
orden de 10 por ciento de la resistencia
uniaxial, incrementa esta resistencia en
aproximadamente 50 por ciento, mientras
que un esfuerzo de tensión pequeño, del
orden de 5 por.ciento de la resistencia a
compresión uniaxial, reduce ésta en aproximadamente la mitad.
2.2.6 Criterio de falla
A pesar de los estudios que se han realizado,
no se tiene todavía una teoría de falla sencilla y que permita predecir con precisión
aceptable la resistencia del concreto simple.
Se ha intentado hacer adaptaciones, entre
otras, de las teorías de Mohr, de Coulomb,
de esfuerzos cortantes y de deformaciones
limitativas. K. Newman y J. Newman han
utilizado con buenos resultados criterios de
falla basados en teorías energéticas, las cuales parecen ser más adecuadas para el caso
del concreto 12.131.
En la referencia 2.14 se presenta un resumen de varios estudios efectuados para
determinar la resistencia del concreto bajo
estados combinados de esfuerzos. El problema
general de determinar los incrementos de
deformaciones a lo largo de estos tres ejes
principales cuando se incrementan los esfuerzos principales ha sido estudiado ampliamente por Gerstle y su grupo. (Véase por
ejemplo la referencia 2.26.)
2.3 Efectos del tiempo en el
concreto endurecido
2.3.1 Conceptos generales
Cuando se aplica una carga a un espécimen
de concreto, éste adquiere una deformación
43
inicial. Si la carga permanece aplicada, la deformación aumenta con el tiempo, aun cuando no se incremente la carga.
Las deformaciones que ocurren con el
tiempo en el concreto se deben esencialmente a dos causas: contracción y flujo plástico.
La figura 2.14 muestra una curva típica
deformación-tiempo de un espécimen de concreto bajo carga constante. La forma de la
curva y las magnitudes relativas son aproximadamente las mismas, sea la acción de flexión, compresión, tensión o torsión. En el eje
vertical se muestra la deformación, y en el
horizontal el tiempo, ambas variables en escala aritmética.
Se puede ver que al aplicar la carga en
un tiempo relativamente pequeño, el concreto sufre una deformación inicial, que para
efectos prácticos se puede considerar como
instantánea. Si se mantiene la carga, el concreto sigue deformándose, con una velocidad de deformación grande al principio, que
disminuye gradualmente con el tiempo.
Aunque para efectos prácticos puede
considerarse que la curva tiende a ser asintótica con respecto a una horizontal, se ha
comprobado que la deformación sigue aumentando aún después de muchos años. Sin
embargo, aproximadamente 90 por ciento
de la deformación total ocurre durante el
primer año de aplicación de la carga.
S i en cierto momento se descarga el espécimen, se produce una recuperación instantánea, seguida de una recuperación lenta. La
recuperación nunca es total; siempre queda
una deformación permanente.
En la figura 2.1 4, la curva de trazo continuo representa las deformaciones de un espécimen sujeto a una carga constante, la
cual es retirada después de cierto tiempo. La
línea de trazo interrumpido representa las
deformaciones que produce el tiempo en un
espécimen sin carga. Las ordenadas de esta
curva son las deformaciones debidas a contracción.
44
Caracterjsticas generales del concreto y del acero
Para efectos de diseño estructural, no
basta con conocer las deformaciones iniciales o instantáneas; en muchos casos interesa
aún más estimar la magnitud de la deformación total, incluyendo los efectos del tiempo. En vigas sujetas a carga constante se han
observado deflexiones totales de dos a cinco
veces mayores que las medidas inmediatamente después de aplicada la carga.
2.3.2 Contracción
Las deformaciones por contracción se deben
esencialmente a cambios en el contenido de
agua del concreto a lo largo del tiempo.
El agua de la mezcla se va evaporando e hidrata el cemento. Esto produce cambios
volumétricos en la estructura interna del concreto, que a su vez producen deformaciones.
Los factores que más afectan la contracción son la cantidad original de agua en la
mezcla y las condiciones ambientales especialmente a edades tempranas. Como gene-
ralmente un concreto de alta resistencia tiene
menos agua que otro de baja resistencia, el
primero se contraerá menos que el segundo.
Asimismo, un concreto en ambiente húmedo
se contraerá menos que en ambiente seco.
Para la misma relación agua/cemento,
la contracción varía con la cantidad de pasta por unidad de volumen. Una mezcla rica
en pasta (cemento más agua) se contraerá
más que otra pobre.
La contracción tiende a producir esfuerzos debidos a las restricciones al libre desplazamiento del elemento que existen en
general en la realidad. S i el concreto pudiera encogerse libremente, la contracción no
produciría ni esfuerzos, ni grietas.
Si el curado inicial del concreto se hace
muy cuidadosamente, disminuirá el efecto
de la contracción. Se puede estimar que las
deformaciones unitarias debidas a contracción
varían entre 0.0002 y 0.001 0. Normalmente, la mayor parte de la deformación por
contracción ocurre en los primeros meses.
Efectos del tiempo en el concreto endurecido
45
2.3.3 Flujo plástico
2.3.4 Efecto de la permanencia de la carga
El flujo plástico es un fenómeno relacionado
con la aplicación de una carga. Las teorías
que se han desarrollado para explicarlo son
complejas y caen fuera del alcance de este
texto. Pueden consultarse a este respecto las
referencias 2.1 5 y 2.27. Se trata esencialmente de un fenómeno de deformación bajo carga continua, debido a un reacomodo interno
de las partículas que ocurre al mismo tiempo que la hidratación del cemento.
Las deformaciones por flujo plástico son
proporcionales al nivel de carga, hasta niveles del orden del 50 por ciento de la resistencia. Para niveles mayores la relación ya
no es proporcional.
Como el flujo plástico se debe en gran
parte a deformaciones de la pasta de cemento, la cantidad de ésta por unidad de volumen es una variable importante.
En la figura 2.14 se observa que la deformación debida al flujo plástico aumenta
con la duración de la carga. También se ha
observado que, para un mismo nivel de carga, las deformaciones disminuyen al aumentar la edad a que ésta se aplica.
Otros factores que afectan a las deformaciones por flujo plástico son las propiedades de los materiales constituyentes del
concreto, las proporciones de la mezcla y la
humedad ambiente.
Las deformaciones unitarias a largo plazo
producidas por el flujo plástico, E ~ I ,se pueden estimar a partir de las deformaciones
elásticas instantáneas producidas por un
cierto esfuerzo en el concreto, Ecir multiplicando estas últimas por un coeficiente, C
,,
denominado coeficiente de flujo plástico, cuyo
valor varía entre 2 y 4, con un valor promedio en condiciones comunes de 2.35.
Es interesante mencionar que, como el
flujo plástico aumenta con el nivel de carga,
este fenómeno tiende a aliviar las zonas de
máximo esfuerzo y, por lo tanto, a uniformar
los esfuerzos en un elemento.
Es importante conocer el porcentaje de la resistencia que puede soportar una pieza de
concreto en compresión sin fallar, cuando la
carga se mantiene indefinidamente. En la figura 2.1 5 se muestra el efecto de la permanencia de una carga según los ensayes de
Rüsch [2.5]. En el eje horizontal se presentan deformaciones unitarias, y en el eje vertical valores relativos, fClf',, de los esfuerzos
aplicados con respecto a la resistencia en
una prueba de corta duración (20 minutos
aproximadamente).
Se presentan curvas esfuerzo-deformación obtenidas de especímenes sujetos a distintas velocidades de deformación, con lo
que se produjeron fallas a diferentes edades.
La línea de trazo continuo corresponde a un
espécimen en el que la falla se produjo en
20 minutos. Las curvas de especímenes Ilevados a la falla en 100 minutos y siete días
se presentan con trazo discontinuo.
Se muestran además dos envolventes: la
inferior, llamada Iímite de deformación, y la
superior, Iímite de falla. La primera muestra
las deformaciones máximas que se obtienen
al aplicar indefinidamente distintos porcentajes
de la resistencia, inferiores a un cierto valor
crítico. La segunda envolvente indica las deformaciones a la falla, correspondientes a porcentajes de carga superiores al valor crítico.
La intersección entre estas dos envolventes
indica, teóricamente, el porcentaje de la resistencia por debajo del cual el espécimen
puede soportar la carga indefinidamente.
En la figura puede observarse que si se
carga un espécimen al 80 por ciento de su
resistencia de corta duración, se producirá la
falla eventualmente a una deformación del
orden de 0.0055. En cambio, si se le sujeta
solamente al 40 por ciento de su resistencia de
corta duración, el espécimen sufrirá una deformación del orden de 0.0025 después de
un tiempo muy largo y mantendrá su carga
indefinidamente.
46
Características generales del concreto y del acero
fc
-
f'c
1.0-
E,
/ Limite de falla
/ t = 20 min
0.6 -
I
O
I
0.002
I
I
0.004
I
I
0.006
l
I
0.008
l C
I
0.001 O
Figura 2.15 Efecto de la permanencia de la carga (Rüsch [2.51).
Se puede decir, con cierto grado de seguridad, que el concreto puede tomar indefinidamente, sin fallar, cargas hasta del 60
por ciento de su capacidad. Cargas mayores
que 70-80 por ciento, aplicadas de modo
permanente, acaban siempre por provocar la
falla del espécimen.
2.4 Fatiga
Se han hecho diversos estudios sobre elementos de concreto sujetos a repeticiones de
carga. Cuando un elemento falla después
de un número muy grande de repeticiones de
carga, se dice que ha fallado por fatiga. Este
tipo de solicitación tiene importancia práctica, ya que elementos como vigas de puente,
durmientes de ferrocarril o cimentaciones de
maquinaria están sujetos a muchas repeticiones de carga.
Se mencionó anteriormente que un elemento de concreto en compresión no puede
soportar indefinidamente fracciones de su
resistencia estática mayores que 70 por cien-
to. Cuando a un elemento de concreto se le
aplican compresiones del orden de la mitad
de su resistencia estática, falla después de
aproximadamente diez millones de repeticiones de carga. Se ha encontrado también
que si la carga se aplica intercalando periodos de reposo, el número de ciclos necesario
para producir la falla aumenta considerablemente.
Los estudios experimentales se han hecho aplicando los ciclos de carga y descarga
a velocidades bastante más rápidas que las
que se presentan en la práctica y, por lo tanto, sus resultados en general son conservadores.
Se puede estimar que e l concreto simple en compresión, toma diez millones o más
de repeticiones de carga al 5 0 por ciento de
su resistencia estática. En flexión, el mismo
número de aplicaciones puede alcanzarse
con ciclos de carga y descarga con valor
máximo del orden de 35-50 p o r ciento de su
resistencia estática. Se han hecho estudios
limitados de fatiga en torsión, que tienen un
interés práctico menor.
Módulos elásticos
Para ciertos materiales, como el acero, se
ha encontrado que, aplicando ciclos de carga
y descarga y llevando el esfuerzo máximo hasta un cierto valor, existe un límite de este esfuerzo por debajo del cual se puede soportar
un número indefinido de ciclos. En concreto,
se han llevado los ensayes hasta diez millones
de aplicaciones de carga, sin que se haya
comprobado la existencia de límites semejantes. En las referencias 2.1 6 y 2.1 8 se trata ampliamente el tema de fatiga en el concreto.
2.5 Módulos elásticos
Para estimar deformaciones debidas a cargas
de corta duración, donde se puede admitir un
comportamiento elástico sin errores importantes, es necesario definir un valor del módulo de elasticidad. Del estudio de las curvas
esfuerzo-deformación mostradas, resulta obvio que el concepto convencional de módulo
de elasticidad no tiene sentido en concreto.
Por lo tanto, es necesario recurrir a definiciones arbitrarias basadas en consideraciones
empíricas. Así, se puede definir el módulo
tangente inicial o tangente a un punto determinado de la curva esfuerzo-deformacióny el
módulo secante entre dos puntos de la misma.
Para tomar en cuenta los efectos de cargas de
larga duración en una forma simple, se utilizan a veces módulos elásticos menores que
los correspondientes a las definiciones mencionadas anteriormente.
El módulo secante se usa en ensayes de
laboratorio para definir la deformabilidad
de un concreto dado. La ASTM [2.171 recomienda la pendiente de la línea que une los
puntos de la curva correspondiente a una
deformación de 0.00005 y al 40 por ciento de
la carga máxima.
Se ha observado que, después de varios
ciclos de carga y descarga a esfuerzos relativamente pequeños, la relación esfuerzo-deformación tiende a convertirse en una relación
prácticamente lineal. Como es difícil deter-
47
minar el módulo tangente inicial de una manera reproducible, se recurre a veces a aplicaciones previas de carga y descarga, con
objeto de rectificar la curva esfuerzo-deformación, y se considera la pendiente de la
curva así obtenida como el módulo de elasticidad. E l método para determinar el módulo tangente en esta forma se describe con
detalle en la referencia 2.1 7. El módulo de
elasticidad es función principalmente de la
resistencia del concreto y de su peso volumétrico. Se han propuesto varias expresiones para predecir el módulo de elasticidad a
partir de estas variables. Por ejemplo, el Reglamento ACI presenta la ecuación
donde Ec es el módulo de elasticidad en
kg/cm2, w es el peso volumétrico del concreto en ton/m3 y f f Ces la resistencia del
concreto en kg/cm2. El Reglamento del
Distrito Federal, propone las ecuaciones
para concreto clase 1 con agregados calizos,
E, = 11,oooJr;I
(2.9)
para concreto clase 1 con agregados basáltitos, y
para concreto clase 2, que son aplicables únicamente a concretos fabricados con agregados
típicos de la Ciudad de México. Las diferencias entre los valores reales y los calculados
48
Características generales del concreto y del acero
con estas ecuaciones pueden ser muy grandes. Cuando se requieren estimaciones de
cierta precisión, conviene determinar el módulo de elasticidad del concreto usado en
particular.
Para concretos con resistencias a la compresión mayores que 400 kg/cm2, las NTC
especifican ecuaciones diferentes para estimar el módulo de elasticidad. Éstas son:
para concretos con agregado grueso calizo, y
E,=
8500&+50,000
(2.12)
para concretos con agregado grueso basáltico.
En algunos análisis elásticos se suelen
emplear G, el módulo de elasticidad al esfuerzo cortante, y ,u, el coeficiente de Poisson. E l primero se toma comúnmente como
fracción del módulo de elasticidad que se
usa en compresión, del orden de 0.4. Experimentalmente, se ha determinado que el
segundo varía entre 0.12 y 0.20. Con frecuencia se supone ,u igual a 0.1 8.
2.6 Deformaciones por cambios
de temperatura
El concreto está sometido a cambios volumétricos por temperatura. Se han determinado
algunos coeficientes térmicos que oscilan
entre 0.000007 y 0.00001 1 de deformación
unitaria por grado centígrado de cambio de
temperatura. Los valores anteriores corresponden a concreto de peso volumétrico normal
(del orden de 2.2 ton/m3). Para concretos fabricados con agregados ligeros, los coefi-
cientes pueden ser muy distintos de los mencionados.
2.7 Algunas características de los
aceros de refuerzo
E l acero para reforzar concreto se utiliza en
distintas formas. La más común es la barra o
varilla que se fabrica tanto de acero laminado en caliente como de acero trabajado en
frío. En las figuras 2.1 6 y 2.1 7 se muestran
curvas de ambos tipos de acero, típicas de
barras europeas.
Los diámetros usuales de las barras producidas en México varían de l/4 de pulg a
1 l/2 pulg. (Algunos productores han fabricado barras corrugadas de 5/16 de pulg, 5/32 de
pulg y 3/16 de pulg.) En otros países se usan
diámetros aun mayores.
Todas las barras, con excepción del alambrón de l/4 de pulg, que generalmente es liso,
tienen corrugaciones en la superficie, para
mejorar su adherencia al concreto. La tabla
2.1 proporciona datos sobre las características principales de barras de refuerzo, así como la nomenclatura para identificarlas.
Generalmente el tipo de acero se caracteriza por el Iímite o esfuerzo de fluencia.
Este Iímite se aprecia claramente en las curvas
esfuerzo-deformación de barras laminadas en
caliente como se ve en la figura 2.1 6. E l acero trabajado en frío no tiene un Iímite de
fluencia bien definido (figura 2.1 7). En este
caso, el Iímite de fluencia suele definirse trazando una paralela a la parte recta de la curva esfuerzo-deformación desde un valor de
la deformación unitaria de 0.0002; la intersección de esta paralela con la curva define
el Iímite de fluencia.
En México se cuenta con una variedad
relativamente grande de aceros de refuerzo.
Las barras laminadas en caliente pueden obtenerse con límites de fluencia desde 2300
hasta 4200 kg/cm2. El acero trabajado en frío
Algunas características de los aceros de refuerzo
49
Figura 2.16 Curvas esfuerzo-deformación de aceros laminados en caliente para barras de refuerzo
de fabricación europea.
"O0
""Y
Figura 2.17 Curvas esfuerzo-deformación de aceros trabajados en frío para barras
de refuerzo de fabricación europea.
alcanza límites de fluencia de 4000 a 6000
kg/cm2. En la figura 2.1 8 se representa la
gráfica esfuerzo-deformación de un acero tra-
bajado en frío, fabricado en México. En los
países escandinavos se usan barras con Iímites de fluencia de hasta 9000 kg/cm2.
50
Características generales del concreto y del acero
Tabla 2.1 Diámetros, pesos, áreas y perímetros de
barras.
Barra
Núm.
Diámetro
pulg
mm
Peso
kg/m
Área
cm2
Perímetro
cm
OBSERVACIONES
Los diámetros, áreas y pesos se ajustan a las normas
del Organismo Nacional de Normalización y Certificación de la Construcción y Edificación (ONNCCE)
(NMX-B-6, NMX-B-294 y NMX-B-457). Según estas
normas, el diámetro nominal y el área de una barra
corresponden a los que tendría una barra lisa, sin corrugaciones, del mismo peso por metro lineal; todas
las barras, con excepción de la No. 2, están corrugadas.
Una propiedad importante que debe tenerse en cuenta en refuerzos con detalles
soldados es la soldabilidad. La soldadura de
aceros trabajados en frío debe hacerse con
cuidado.
Otra propiedad importante es la facilidad de doblado, que es una medida indirecta de ductilidad y un índice de su
trabajabilidad.
Se ha empezado a generalizar el uso de
mallas como refuerzo de losas, muros y algunos elementos prefabricados. Estas mallas
están formadas por alambres lisos unidos por
puntos de soldadura en las intersecciones. El
acero es del tipo trabajado en frío, con esfuerzos de fluencia del orden de 5000 kg/cm2.
Figura 2.1 8 Gráfica esfuerzo-deformación de un
acero de alta resistencia, sin Iímite de fluencia
definido, de fabricación nacional.
E l espaciamiento de los alambres varía de 5
a 40 cm, y los diámetros de 2 a 7 mm, aproximadamente. En algunos países, en lugar
de alambres lisos se usan alambres con algún tipo de irregularidad superficial, para
mejorar la adherencia.
El acero que se emplea en estructuras
presforzadas es de resistencia francamente
superior a la de los aceros descritos anteriormente. Su resistencia última varía entre
14,000 y 22,000 kg/cm2, y su Iímite de fluencia, definido por el esfuerzo correspondiente
a una deformación permanente de 0.002,
entre 12,000 y 19,000 kg/cm2.
Como ilustración, en la figura 2.1 9 se
presentan, atendiendo al grado de calidad,
algunas curvas esfuerzo-deformación para
distintos tipos de acero, y dos curvas esfuerzo-deformación para concreto con una resistencia de 250 kg/cm2, correspondientes a
cargas de corta y larga duración.
Referencias
1 ,Concreto corta duración
1
Concreto larga duración
O
0.01; 0.02; 0.02; 0.03;
0.03; 0.04; 0.04;
o.o!o
Deformación unitaria, E
Figura 2.19 Curvas comparativas para acero y
concreto.
El módulo de elasticidad de los distintos
tipos de acero cambia muy poco. De la com-
51
paración de las curvas del acero y del concreto, se puede inferir que si ambos trabajan en un
elemento de concreto reforzado sujeto a compresión axial, el colapso del conjunto estará
regido por la deformación del concreto que,
bajo cargas de larga duración, puede ser hasta
de 0.010 o 0.012. Para esta deformación, el
acero tendría apenas una deformación del orden correspondiente a su límite de fluencia.
Las características de adherencia de los
distintos aceros, y su influencia en el diseño,
se presentarán en el capítulo de Adherencia.
Para lograr el trabajo en conjunto debe tenerse una adherencia suficiente entre concreto y acero, obtenida ya sea mecánicamente
o por medio de la adhesión entre el concreto y el acero de refuerzo.
Para el diseño se supone que la curva
esfuerzo-deformación del acero en compresión es idéntica a la curva esfuerzo-deformación en tensión. La curva en compresión es
difícil de determinar en el caso de barras,
debido a efectos de esbeltez.
Referencias
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
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2.21 Hobbs, D.W., y C. D. Pomeroy. The Structural
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2.23 JiangLinhua, Huang Dahai y Xie Nianxiang. 'Behavior of Concrete under Triaxial CompressiveCompressive-Tensile Stresses'. ACl Materials
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2.24 Kotsovos, M.D. 'Consideratio'n of Triaxial Stress
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2.25 Carreira, D. J., y Kuang-Han Chu. 'Stress-Strain
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2.27 Neville, A. M., W. H. Dilger y J. J. Brooks. Creep
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2.29 Mena Ferrer, M., C. J.Mendoza Escobedo, E. Zamudio Cíntora, R. Uribe Afif. Manual de Tecnología del
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2.30 Park, R. "Design and Behavior of RC Columns Incorporating High Strength Materials". Concrete
International, American Concrete Institute, noviembre, 1998.
CAP~TU
LO
3
índices de resistencia y
control de calidad
3.1 Introducción. /3.2 índices de resistencia. /3.3 Evaluación de datos. /3.4 Control
de calidad.
3.1 Introducción
Para poder diseñar es necesario poder estimar la resistencia de una estructura. La forma más directa de obtenerla es realizando
una prueba de carga, ya sea sobre toda la
estructura, sobre una parte típica de la misma, o bien, sobre elementos construidos ex
profeso para dicha prueba. Aunque este método es el que proporciona una información
más fidedigna, no es desde luego el más
práctico en todos los casos. Sin embargo,
debe utilizarse ese procedimiento cuando se
planea construir estructuras de tipos radicalmente distintos a los comúnmente usados en
la práctica, o formados con elementos estructurales cuyas propiedades mecánicas no
son bien conocidas. También puede resultar
conveniente cuando se piensa fabricar muchos elementos o estructuras iguales.
Otro procedimiento para obtener el índice de resistencia de una estructura consiste
en el ensaye de un modelo a escala, fabricado
con los mismos materiales con que se cons-
truirá el prototipo. La resistencia del prototipo puede predecirse a partir de la resistencia
medida en el modelo, y utilizando los principios de similitud. En la mayoría de los casos,
no es necesario ensayar prototipos o modelos
de estructuras que se quieren diseñar. Como
se indicó en el capítulo 1, en el proceso de
diseño seguido normalmente se analiza una
estructura y se dimensionan los elementos
de manera que puedan resistir las acciones
internas determinadas en el análisis.
Como no es práctico determinar la resistencia de cada elemento estructural bajo
distintos tipos de solicitaciones, se han relacionado características de resistencia y deformabilidad de elementos estructurales
(vigas, columnas, losas) con las características
de ciertos especímenes de control, representativos de las propiedades de los materiales.
Estas correlaciones han sido establecidas mediante investigaciones experimentales sobre
el comportamiento de miembros y conjuntos
estructurales, refinándoselas con la observación del comportamiento de estructuras
reales.
En el capítulo anterior se indicó que tanto el concreto como el acero tienen características distintas, según sea su composición y
su forma de fabricación. Por lo tanto, es necesario tener un índice que relacione las características del material con el comportamiento
que puede esperarse de él. Dicho índice debe
reflejar las propiedades estructurales básicas
del material en cuestión. Así, por ejemplo, el
índice de resistencia más característico del
concreto es su resistencia a la compresión, y
el del acero, su resistencia a la tensión.
No es suficiente en todos los casos tener un solo índice de resistencia para definir
cada uno de los materiales que forman el
concreto reforzado. Puesto que las relaciones entre las resistencias de un material bajo distintas acciones o solicitaciones no son
constantes para cualquier valor de la resistencia índice, no puede tomarse ésta como
representativa de la resistencia del material
54
índices de resistencia y control de calidad
bajo cualquier condición de carga. Por ejemplo, la resistencia en tensión del concreto
simple no sigue una relación lineal con la
resistencia a la compresión, para toda la escala de esta última. Sin embargo, el índice
da idea de las cualidades que pueden esperarse del material.
Debe ser posible determinar los índices
de resistencia por procedimientos de ensaye
sencillos y relativamente baratos y que
proporcionen resultados reproducibles. Este
último requisito es fundamental. Además,
conviene que los índices de resistencia estén
estandarizados para que sean comparables.
Es decir, las características de los ensayes y
de los especímenes deben fijarse con la mayor precisión posible, de tal modo que se
reduzcan a un mínimo los efectos de las variables secundarias que afectan los resultados de ensayes. La estandarización de los
índices permite especificar con precisión la
calidad de los materiales que se van a emplear o que se requerirán.
Los índices de resistencia no sirven sólo
para caracterizar las propiedades de los
materiales, sino también para controlar la
calidad durante su fabricación. Si un material fuese perfectamente uniforme, bastaría
un solo ensaye para definir el índice seleccionado. Pero todos los materiales tienen
características variables y son esencialmente
heterogéneos. Debido a esto, es necesario
conocer el grado de uniformidad del material empleado. Esto se hace estudiando la
variación de los resultados de ensayes de
muestras representativas. Debe tenerse en
cuenta que el valor del índice determinado
en un ensaye tiene implícitas las variaciones
naturales que existen en cualquier proceso
de ensaye, ya que todas las mediciones están sujetas a errores.
Una vez establecido el grado de uniformidad de las propiedades del material, es
posible especificar racionalmente, a través
del índice de resistencia, la calidad de los
materiales requeridos. Durante la construc-
ción será necesario comprobar que la calidad y uniformidad de los materiales es la especificada; esto es un problema de control
de calidad.
En este capítulo se describen brevemente los índices de resistencia que se
usan comúnmente para el concreto y el
acero. A continuación se ofrecen algunas
nociones sobre los métodos estadísticos
empleados en la evaluación objetiva de datos. Finalmente, se incluye una sección sobre control de calidad, donde se aplican
algunos de los conceptos estadísticos presentados a la interpretación de datos sobre
ensayes de concreto y acero, y se mencionan brevemente los requisitos de ciertas
normas europeas y americanas.
3.2 índices de resistencia
3.2.1 Concreto
CONCEPTOS GENERALES
El índice de resistencia más común en el caso del concreto es el obtenido del ensaye de
especímenes a compresión simple. Esto se
debe a que este ensaye es relativamente
sencillo, y a que mide una característica fundamental del concreto. Otro factor que
contribuye en forma importante a su uso continuado es el hecho de que, a través de los
años, se ha correlacionado esta propiedad
con la resistencia de elementos estructurales
de diversos tipos, sujetos a distintas solicitaciones.
El índice mencionado anteriormente
evalúa la resistencia del concreto tal como
es producido. Comúnmente se considera este índice como indicativo de la resistencia
del concreto en la estructura. Sin embargo,
esta última puede ser muy diferente de la resistencia de los especímenes de control, ya
que depende de los métodos de transporte,
índices de resistencia
colocación y curado, así como del tipo de
al que está destinado el concreto
en cuestión. Para estimar la resistencia del
concreto en una estructura pueden ensayarse
especímenes cilíndricos extraídos mediante
taladros especiales, o pueden efectuarse ensayes no destructivos [3.1, 3.1 O].
Idealmente, el índice de resistencia debe ser representativo del fenómeno que se
quiere cuantificar. Así, en estructuras de
concreto donde el trabajo predominante sea
la compresión, la resistencia de un espécimen sometido a compresión simple será índice satisfactorio. Pero el concreto queda
sujeto frecuentemente a otras solicitaciones
en las que la compresión no es el fenómeno
esencial. Por ejemplo, en el caso de secciones sometidas a fuerza cortante, la característica predominante es la resistencia a la
tensión diagonal.
Por esta razón ha surgido recientemente
la tendencia a considerar otros índices de
resistencia. Así se está tratando de desarrollar un índice de resistencia a la tensión. En
pavimentos de concreto se usa un prisma
de concreto simple ensayado en flexión,
como índice de la resistencia deseable del
concreto.
Debe tenerse en cuenta siempre que
frecuentemente se da demasiada importancia al valor de la resistencia a la compresión
de un espécimen de concreto. S i no se posee
la debida perspectiva, se puede llegar a pensar erróneamente que la resistencia a la
compresión de un espécimen de concreto
representa la resistencia del concreto en la
estructura ante cualquier combinación de
solicitaciones.
,
RESISTENCIA A LA COMPRESIÓN
No existe una convención aceptada universalmente sobre qué tipo de espécimen es el
mejor para realizar ensayes en compresión.
Por lo común se usan especímenes de tres tipos: cilindros, cubos y prismas.
55
En nuestro medio, y en numerosos países del mundo, se usan cilindros con una relación de esbeltez igual a dos. En estructuras
de concreto reforzado, el espécimen usual
es el cilindro de 15 x 30 cm. En estructuras
construidas con concreto en masa, donde se
emplean agregados de gran tamaño (10 a 15
cm), se usan cilindros de 30 x 60 cm o de
60 X 120 cm. Generalmente, las resistencias
se determinan a los 28 días de edad del concreto o a la edad en que el concreto vaya a
recibir su carga de servicio. Recientemente
se han propuesto diversos procedimientos
para obtener índices de resistencia a edades
más tempranas con el fin de poder tomar
medidas correctivas con mayor oportunidad,
en caso necesario [3.2].
En muchos países de Europa se usan cubos para obtener un índice de resistencia del
concreto a la compresión. Las dimensiones
de los cubos varían entre 10 y 30 cm de lado, según los países. Algunas veces se utilizan también prismas de concreto simple,
ensayados con la dirección de la carga paralela al eje longitudinal del prisma.
Tanto cilindros como cubos y prismas
tienen ventajas y desventajas, pero la tendencia actual parece inclinarse hacia el uso
del cilindro. Inclusive el Eurocódigo de 1993
especifica probetas cilíndricas y menciona
el uso de probetas cúbicas como método alternativo para verificar o no la aceptación
del concreto [3.111. Para lograr una prueba
aceptable a la compresión, es necesario que
las cabezas de la máquina de ensaye estén
totalmente en contacto con las superficies
del espécimen en ambos extremos, de manera que la presión ejercida sea lo más uniforme posible. Esto se logra fácilmente si el
espécimen es un cubo o un prisma y se ha
fabricado en un molde de acero con las caras pulidas y a escuadra. Las caras del espécimen que están en contacto con las del
molde son suficientemente planas para lograr una distribución satisfactoria de compresiones, sin necesidad de ningún artificio
56
índices de resistencia y control de calidad
adicional. Otra ventaja del uso de cubos y
prismas es su facilidad de almacenamiento,
problema que llega a ser importante cuando
el número de especímenes es muy grande.
Por otra parte, los cilindros se fabrican
por lo general en moldes de acero apoyados
en una placa en su cara inferior y libres en
su parte superior, donde es necesario dar un
acabado manualmente. Éste queda con frecuencia demasiado rugoso para que pueda
apoyarse directamente la cabeza de la máquina de ensaye. Salvo en casos en que se
ha tenido mucho cuidado y se ha alisado el
extremo del concreto fresco con una placa
de acero, o bien se ha pulido la superficie
rugosa, es necesario dar una preparación a
los extremos del cilindro para poder asegurar
que la presión queda uniformemente distribuida y que la dirección de carga es paralela
al eje del cilindro. Esta operación, llamada
cabeceado y que consiste en aplicar un cierto material, generalmente azufre o pasta de
cemento, a los extremos del cilindro para
producir una superficie lisa de apoyo, prolonga el tiempo necesario para la preparación del ensaye e introduce una variable
adicional en los resultados: el material y la
forma del cabeceado.
Debido a la simetría del espécimen con
respecto a cualquier plano diametral, si el
contacto entre la máquina y el cilindro es
adecuado, la distribución de compresiones
en la sección transversal de un cilindro es
más uniforme que en la sección transversal
de un cubo o de un prisma. Además, estos
últimos se ensayan con la dirección de la
carga perpendicular a la dirección del colado, lo que algunos autores consideran que
es poco representativo del trabajo del concreto en columnas en una estructura real.
Otra ventaja importante de los cilindros sobre los cubos es la disminución del
efecto de confinamiento y de la restricción
al desplazamiento lateral debida a la fricción de los extremos contra la máquina. Por
su mayor relación de esbeltez, estos efectos
son mucho menores que en los cubos, ya
que las secciones medias del cilindro están
menos afectadas por las condiciones en los
extremos.
Una vez seleccionado el tipo de espécimen, es necesario fijar con gran detalle las
condiciones de muestreo, fabricación, curado
y ensaye. Entre estas últimas tiene particular
importancia la velocidad de carga. En nuestro medio, las normas usuales son las del
Organismo Nacional de Normalización y
Certificación de la Construcción y Edificación (ONNCCE) (Normas NMX) y las del
American Society for Testing and Materials
(Normas ASTM).
Aun cuando se sigan las especificaciones cuidadosamente y el proceso lo realicen
operadores experimentados, los resultados que se obtengan no serán uniformes.
Siempre existirá dispersión en los datos, como
en cualquier proceso de medición. Estas
dispersiones pueden ser inherentes al tipo
de ensaye, por errores accidentales o porque no hubo uniformidad en el material ensayado.
Las condiciones del curado influyen en
forma importante en la resistencia aparente
a la compresión de un espécimen de control. E l proceso de curado está especificado
en las normas. Sin embargo, según sea el
propósito del índice de resistencia, se pueden aplicar condiciones distintas de curado.
En general, son válidos dos criterios. En el
primero, empleado para comparar distintos
concretos a lo largo del tiempo, por un número determinado de días se especifica un
curado de laboratorio en un cuarto húmedo
en que la temperatura y la humedad se mantienen dentro de ciertos límites. Pero si se
quiere tener idea de la resistencia a la compresión del concreto tal y como está expuesto
en la estructura, se someten los especímenes
al mismo tipo de curado y ambiente al que
está expuesta la estructura.
En la tabla 3.1, tomada de la referencia
3.3, se presentan factores de corrección para
índices de resistencia
57
Tabla 3.1 Factores de equivalencia para ensayes a la compresión.
Factores por los que se deben multiplicar las resistencias de
un espécimen para obtener las equivalencias de un cilindro
de 15 X 30 cm.
Espécimen
Dimensiones/cm
Variación normal
Valor medio aceptable
Cilindro
Cubo
Prisma
obtener la resistencia de un cilindro de 15 x
30 cm, a partir de la obtenida con un espécimen de otra forma o dimensiones, para concretos fabricados con cemento normal y
ensayados a los 28 días. Estos factores dan
una idea de las equivalencias entre diversos tipos de especímenes, a falta de ensayes específicos para el caso particular de que se trate.
El índice de resistencia a la flexión del concreto simple se obtiene del ensaye de vigas
de sección cuadrada, simplemente apoyadas
y sujetas a una o dos cargas concentradas.
Como en el caso de los índices de resistencia a la compresión, se especifica también el
modo de muestreo, el curado y las condiciones del ensaye (Normas NMX y ASTM).
La resistencia a la flexión se usa como
índice de la resistencia de pavimentos de
concreto simple. Como se dijo en el capítulo 2, el prisma de concreto simple se emplea
también para medir la resistencia del con-
creto en tensión originada por flexión. En este caso, los valores que se obtienen son mayores que los obtenidos de ensayes en
tensión uniaxial.
La resistencia en flexión es mayor en especímenes sujetos a una carga concentrada
que en aquellos sometidos a dos cargas simétricas, porque en el segundo caso la zona
de esfuerzos máximos se presenta en una
porción mayor del espécimen, lo que aumenta las probabilidades de que en dicha
zona se encuentre una región de menor resistencia que la promedio.
En el capítulo anterior se mencionaron las
dificultades que existen para realizar un ensaye en tensión uniaxial. El inconveniente
principal es que el tipo de ensaye es difícil
de realizar y los resultados son poco reproducibles. Por lo tanto, este ensaye no satisface las características básicas para obtener
índices de resistencia.
58
índices de resistencia y control de calidad
Las normas NMX y ASTM proponen una
prueba indirecta de concreto en tensión Ilamada ensaye brasileño. Esta prueba está basada en los principios expuestos en la figura
2.12. Las condiciones de fabricación y curado del espécimen son las mismas que las de
los cilindros para pruebas en compresión.
3.2.2 Acero
El índice de resistencia utilizado en el caso
del acero, es un esfuerzo de fluencia, fy, definido como se mencionó en el capítulo anterior. Éste se determina en una prueba de
tensión, a una velocidad de carga especificada, midiendo además deformaciones, generalmente en una longitud de 20 cm. El
esfuerzo de fluencia se calcula sobre la base
del área nominal.
Para aceros con curva esfuerzo-deformación sin una zona de fluencia definida,
como los aceros utilizados para presfuerzo
o los torcidos en frío, se toma a veces como
índice de resistencia el esfuerzo máximo.
Se acostumbra aceptar que las características del acero a la compresión son las mismas
que a la tensión. Interesa, además, tener una
idea de la deformabilidad del acero. Un índice
de esta propiedad es el porcentaje de elongación en 20 cm correspondiente a la fractura.
Las normas NMX y ASTM también presentan pautas para realizar los ensayes estándar de acero.
3.3 Evaluación de datos
Todos los datos que se obtienen de ensayes
están sujetos a variaciones. Para gran número de datos, existen ciertas medidas que indican la uniformidad del producto que se
está ensayando y el cuidado con que se han
hecho los ensayes. La medida más común de
la tendencia central de un conjunto de datos
es el promedio, y las más comunes del gra-
do de uniformidad son la desviación estándar y el coeficiente de variación. Mediante
un ejemplo se verá cómo se pueden obtener
estas cantidades y cuál es su significado.
En la tabla 3.2 se muestran los resultados
del ensaye a la compresión de un grupo de
100 cilindros de concreto normal. Los cilindros se ensayaron con propósitos de control
y representan la variación real de la resistencia de un concreto fabricado en planta para
una obra determinada, durante un periodo
de dos meses y medio. El concreto del que se
extrajeron las muestras fue fabricado para
dar una determinada resistencia nominal.
Para representar gráficamente datos como los mostrados en la tabla 3.2, se usa un
histograma, como el que se presenta en la figura 3.1. Éste se construye llevando a escala
en el eje de las ordenadas el número de datos comprendidos en intervalos iguales, los
que se indican en el eje de las abscisas. En
el ejemplo, los datos (valores ffC)se agruparon
en intervalos de 29 kg/cm2. Así, en la figura
3.1 se puede ver que 23 cilindros tuvieron
resistencias entre 251 y 27-0 kg/cm2, y en
cambio sólo uno tuvo una resistencia entre
171 y 1 90 kg/cm2. El promedio de los datos
de la tabla 3.2, es decir, la suma de los valores de los datos dividida entre el número de
datos, es 247 kg/cm2.
Se puede suponer que si el número de
datos es muy grande y el intervalo que se
escoge es suficientemente pequeño, un histograma como el ilustrado en la figura 3.1 se
acercará a la forma mostrada por la línea de
trazo continuo. Un gran número de resultados de mediciones queda representado por
medio de distribuciones como las de la figura
3.2, que son simétricas con respecto al promedio. Para efectos de control y evaluación
se supone en general que las resistencias
de concreto y acero se distribuyen simétricamente. A veces se presentan distribuciones asimétricas, como en la figura 3.3.
Las áreas bajo las curvas de la figura 3.2
son iguales, si ambas representan el mismo
Evaluación de datos
59
Tabla 3.2 Resistencia de cilindros de concreto
(resistencia a los 28 días de cilindros de 15 x 30 cm).
Resistencia
Resistencia
Resistencia
Resistencia
No.
kg/crn2
No.
kg/crn2
No.
kg/crn2
No.
kg/crn2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
247
249
241
197
252
252
241
197
304
276
249
322
348
241
249
194
236
233
208
231
261
304
288
308
281
26
27
28
29
3O
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
5O
2 65
2 79
314
3 08
293
283
239
246
288
3 O0
286
281
288
277
2 68
267
257
267
227
236
257
2 73
2 68
257
2 70
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
236
236
211
261
243
243
249
251
261
247
233
249
249
267
211
238
253
241
246
246
253
211
217
213
224
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
204
208
203
208
198
277
253
253
251
224
2 68
271
216
216
251
203
229
217
227
193
204
193
204
187
193
Promedio
Desviación estándar
Coeficiente de variación
X = 247 kg/cm2
o = 32.7 kg/cm2
V = 32.71247 = 0.132 = 13.2%
número de datos. Se puede apreciar que en
la curva A la mayor parte de los datos está
más cerca del promedio que en la curva B.
Interesa evaluar la dispersión de los
datos con respecto al promedio. Una medida
tosca de esta dispersión es la diferencia entre el valor mínimo y el máximo, la que sin
embargo no da idea de la distribución. Para
medir la dispersión de datos se utiliza frecuentemente la desviación estándar, representada por el símbolo o, que se puede
considerar como el radio de giro de los datos con respecto al promedio. En efecto, si
se designa como X al valor de un dato cualquiera, su diferencia con respecto al promedio, X, será: (X - X). Estas diferencias se
llaman desviaciones. Considerando cada valor representado por un área unitaria concentrada en un punto, el momento de
inercia de un valor cualquiera con respecto
al valor medio será: 1 (X - X)*,valor que es
siempre positivo. El área total será igual al
60
índices de resistencia y control de calidad
I
190
210
230
250
270
290
310
330
350
,
Resistencia
Figura 3.1 Histograma de los datos de la tabla 3.2.
número de datos, n, y por lo tanto el radio
de giro al cuadrado será igual a la suma de
los momentos de inercia entre el área total.
El radio de giro al cuadrado, 02,se denomina variancia. Finalmente, la desviación estándar (radio de giro) será
La desviación estándar tiene las mismas
unidades que los valores originales, kg/cm2
para el ejemplo.
En la tabla 3.2 se muestran los valores
del promedio y la desviación estándar de los
100 datos de resistencias de concreto, calculados según lo antes mencionado.
En la figura 3.1 se han trazado dos Iíneas verticales a una distancia del promedio
igual a la desviación estándar. Se puede demostrar que en una curva de distribución simétrica los valores comprendidos entre esas
dos líneas representan un porcentaje fijo de
los datos de la muestra. Por esta razón, la
desviación estándar es una buena medida
de la dispersión de los datos con respecto al
promedio: a mayor desviación estándar, el
Control de calidad
intervalo que comprende el mismo porcentaje de datos es más grande. Se puede ver
que la desviación estándar de la curva A de
la figura 3.2 es mucho menor que la de la
curva B.
Para un número pequeño de datos (30 o
menos), en lugar de dividir entre n en la
ecuación (3.1), se divide entre n- l.* Para
muestras grandes no hay mucha diferencia.
En el ejemplo habría sido prácticamente
igual dividir entre 100, que entre 99.
Para hacer comparaciones válidas entre
las dispersiones de dos conjuntos de datos,
deben relacionarse las desviaciones estándar
con los valores promedio correspondientes.
Así, por ejemplo, una desviación estándar de
20 kg/cm2 en un concreto de 150 kg/cm2
de resistencia promedio representa una dispersión mayor que la misma desviación en
61
Intervalos
Figura 3.3 Distribución asimétrica.
otro de 400 kg/cm2. Se define entonces el
coeficiente de variación, que es el resultado
de dividir la desviación estándar entre el
promedio
,/ Promedio
El coeficiente de variación es adimensional, se expresa generalmente en tanto
por ciento y proporciona una comparación
válida entre conjuntos de datos de distintos
órdenes de magnitud.
Se acostumbra evaluar los resultados de
ensayes de concreto tomando como base sus
coeficientes de variación. En acero de refuerzo la práctica no es tan frecuente, aunque sería aconsejable.
Intervalos
3.4 Control de calidad
3.4.1 Conceptos generales
Figura 3.2 Distribuciones simétricas.
*Se demuestra en estadística que dividiendo entre n-1 se
obtiene una medida más representativa de la dispersión de
10s datos en este caso. Véanse por ejemplo las referencias
3.4 y 3.5.
El control de calidad tiene por objeto verificar que los requ isitos especificados para
cierto producto se cumplan dentro de tolerancias previamente establecidas.
Para estructuras de concreto es necesario controlar tanto la calidad de los materiales
62
índices de resistencia y control de calidad
como la ejecución de la obra, especialmente en lo que se refiere a dimensiones, recubrimiento~,detalles del refuerzo, etc. En este
capítulo se describirán solamente los procedimientos de control de calidad del concreto
y del acero.
En el diseño es necesario especificar en
alguna forma la calidad de los materiales.
Debido a la variabilidad natural de los mismos, debe especificarse tanto el valor
promedio como un valor que dé idea de la
dispersión. Por ejemplo, pueden especificarse el promedio y la desviación estándar, o el
promedio y el coeficiente de variación: El
inconveniente de especificar la desviación
estándar o el coeficiente de variación como
medidas de dispersión radica en que se necesita hacer un buen número de ensayes
antes de obtener valores confiables de dichas
medidas. Por esta razón, la medida de dispersión de resultados suele especificarse de
maneras equivalentes, pero más fáciles de aplicar en la práctica.
El Reglamento ACI 318-02 establece
que el promedio de las resistencias de tres
muestras consecutivas cualesquiera sea por
lo menos igual a la resistencia especificada,
y que la resistencia de ninguna muestra individual sea menor que la resistencia especificada menos 35 kg/cm2, si f', es igual o menor
que 350 kg/cm2, o menor que 0.10 f', s i f',
es mayor que 350 kg/cm2. La resistencia de
una muestra debe entenderse como el promedio de las resistencias de dos cilindros
tomados de la misma mezcla de concreto.
Puede suceder ocasionalmente que un concreto con buena resistencia y uniformidad
no cumpla con estas especificaciones. La
probabilidad correspondiente es aproximadamente de uno en cien.
Las Normas Técnicas Complementarias
del Reglamento del Distrito Federal de 2004
(3.7) señalan para los concretos clase 1 (ver
la sección 2.1 de este texto), los cuales deben tener una resistencia especificada igual
o mayor que 250 kg/cm2, el mismo requisito
establecido en el Reglamento ACI para concretos con f', igual o menor que 350 kg/cm2.
Para los concretos clase 2, que deben tener
una resistencia especificada menor que 250
kg/cm2, la resistencia promedio de tres
muestras concecutivas cualesquiera no debe
ser menor que la resistencia especificada
menos 17 kg/cm2, y la resistencia de cualquier muestra no debe ser inferior a la resistencia especificada menos 50 kg/cm2.
Para comprobar que lo especificado se
cumple, es necesario llevar a cabo un muestreo representativo. Estas muestras se someten a ensaye o medición, y los resultados
deben analizarse estadísticamente. Decidir qué
requisitos debe reunir una muestra para
que sea representativa, es un problema complejo que depende de la variabilidad del
producto y de las condiciones de fabricación. En cada caso se recomienda un procedimiento específico de muestreo.
De estudios estadísticos y de la experiencia obtenida se han llegado a establecer ciertos valores de los coeficientes de variación
que indican el tipo de control que se tiene.
3.4.2 Concreto
Existen diversas opiniones sobre cuáles deben ser los valores de los coeficientes de variación que corresponden a un cierto tipo de
control [3.1 l. Algunos autores recomiendan
porcentajes determinados para cada tipo de
control, en tanto que otros hacen variar estos porcentajes con el valor de la resistencia
promedio.
La tabla 3.3 permite estimar previamente el coeficiente de variación que puede esperarse, según sea el procedimiento de
fabricación. Es de notarse que el coeficiente
de variación de datos de ensayes continuos
a lo largo de la fabricación del concreto depende mucho del grado de supervisión.
Conviene también tener una idea de la
variación de los datos con el tiempo. Esto
puede lograrse, por ejemplo, obteniendo
Control de calidad
el coeficiente de variación de los últimos cinco ensayes realizados, que pueden ser de uno
0 más especímenes promediados [3.6].
En el caso de que un grupo consecutivo
de cilindros obtenidos de cierto concreto
tenga una resistencia menor que la establecida, es necesario investigar la resistencia de
la estructura mediante pruebas de carga, ensayes de corazones u otros procedimientos
no destructivos [3.1, 3.1 O].
Para diseñar una mezcla de concreto de
tal modo que no más de un cilindro entre
10, o un cilindro entre 20, tenga una resistencia menor que la resistencia nominal
prestablecida, se tiene que proporcionar la
mezcla para una resistencia promedio mayor
[3.61. Esto se puede lograr aprovechando la
experiencia previa. Para una primera aproximación puede utilizarse la expresión
en donde:
fp
= resistencia promedio necesaria;
f', = resistencia nominal especificada;
t
V
= constante que depende del por-
centaje de datos que pueden ser
menores que el valor especificado y del número de muestras necesario para establecer V;
= coeficiente de variación previsto
según el grado de control, expresado en forma decimal.
Los valores de t se obtienen de las propiedades de una distribución simétrica [3.61.
Para probabilidades de uno entre 10 y de uno
entre 20 de que un espécimen tenga una resistencia menor que la especificada, los valores de t son 1.28 y l .64, respectivamente, si
como base para la variación se consideran
más de 30 datos.
63
Tabla 3.3 Coeficientes de variación del concreto,
correspondientes a distintos grados de control en la fabricación.
Condiciones de
mezclado
y colocación
Control
Coeficiente
de variación
V por ciento
Agregados secos, granulometría precisa, relación exacta agualcemento y temperatura
controlada de curado.
Supervisión continua.
De
laboratorio
Pesado de todos los
materiales, control de
la granulometría y del
agua, tomando en
cuenta la humedad de
los agregados en el
peso de la grava y la
arena, y en la cantidad de agua. Supervisión continua.
Excelente
Pesado de todos los
materiales, control de
la granulometría y de la
humedad de los agregados. Supervisión continua.
Alto
1 0 - 12
Pesado de los agregados, control de la granulometría y del agua.
Supervisión frecuente.
Muy bueno
13 - 15
Pesado de los materiales. Contenido de agua
verificado a menudo.
Verificación de la trabajabilidad. Supervisión intermitente.
Bueno
1 6 - 18
Proporcionamiento por
volumen, considerando el cambio en volumen de la arena por
la humedad. Cemento pesado. Contenido
de agua verificado en
la mezcla. Supervisión intermitente.
Regular
Proporcionamiento por
volumen de todos los
materiales. Poca o ninguna supervisión.
Pobre
5- 6
25
64
índices de resistencia y control de calidad
En las Normas Técnicas Complementarias (NTC 04) del Reglamento del Distrito
Federal (3.7) se especifica que las mezclas
de concreto se diseñen para una resistencia
promedio en kg/cm2 mayor que la resistencia nominal especificada f',. Aunque estas
Normas no presentan ningún método para
hacer este diseño, puede usarse también la
ecuación 3.3 y verificar que se cumplan las
especificaciones para el control de las mezclas señaladas anteriormente.
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Jones, R. Non-Destructive Testing o f Concrete.
Cambridge, University Press, 1962.
-. Accelerated Strength Testing (SP-56). Detroit,
American Concrete Institute, 1978.
Comité Européen du Béton. Recommandations
pratiques unifiées pour le calcul et I'exécution
des ouvrages en béton armé, tomo l. Madrid, Comité Européen du Béton, 1964.
Benjamin, J. R., y C. A. Cornell. Probability, Statistics, and Decision for Civil Engineers. Nueva
York, McGraw Hill, 1970.
Moreno, A., y F. Jauffred. Elementos de Probabilidad y Estadística. México, Representaciones de
Ingeniería, 1969.
Comité ACI 214. Recommended Practice for Evaluation o f Strength Tests o f Concrete. Detroit,
American Concrete Institute, 1977 (confirmado
en 1997).
3.4.3 Acero
Así como existe mucha información publicada sobre la variación de resistencia de
concreto, existen menos datos semejantes
sobre acero.
Algunos estudios indican que los valores de fy del acero de barras de refuerzo,
pueden tener coeficientes de variación del
orden de 10 a 1 5 por ciento 13.91.
Normas Técnicas Complementarias para Diseño
y Construcción de Estructuras de Concreto.
Gaceta Oficial del Distrito Federal, Tomo 1, 6 de
octubre de 2004.
3.8 Wadell, J. J. Practica1 Quality Control for Concrete. Huntington, N. Y., Robert E. Kreiger Publishing Co., 1978.
3.9 Robles, F. "Strength Factors: Material and geometrical Aspects". En ASCE-IABSE lnternational
Conference on Planning and Design o f Tal1Buildi n g ~(Lehigh University) Preprints: Reports Vol.
111-26. Bethlehem, Pennsylvania, agosto 1972.
3.10 Comité ACI 228. Nondestructive Tests Methods
for Evaluation o f Concrete in Structures. Detroit,
American Concrete Institute, 1998.
3.1 1 -. Eurocódigo 2-Proyecto de Estructuras de Hormigón. Asociación Española de Normalización y
Certificación. Noviembre, 1993.
3.7
Ejercicios
3.1
3.2
3.3
iCuál debe ser la resistencia promedio de un
concreto para que no más de un cilindro entre
diez tenga una resistencia menor que 200
kg/cm2? Supóngase que el coeficiente de variación es de 1 8 por ciento. Usar el método del
Comité ACI 21 4.
Calcular el promedio y el coeficiente de variación
del siguiente conjunto de esfuerzos de fluencia de
barras de acero (véase tabla a la derecha).
Calcular la resistencia promedio para la que debe
diseñarse una mezcla de concreto, si la resistencia de diseño, f',, es 250 kg/cm2 y la desviación
estándar de las resistencias a compresión es de
45 kg/cm2. Usar las especificaciones de las NTC
04 del Reglamento del Distrito Federal.
No.
Esfuerzo de
fluencia
(kg/cm2)
No.
Esfuerzo de
fluencia
(kg/cm2)
1
2
3
4
5
. 6
7
8
9
1O
11
12
4820
4900
4420
4570
4800
5650
51 O0
4750
4470
4550
4650
5400
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
6450
5020
5220
5100
4700
51 50
5000
4750
4720
4700
4850
5220
CAP~TU
LO
4
4.2 Comportamiento, modos de
falla y resistencia de elementos
sujetos a compresión axial
4.2.1 Conceptos básicos
Elementos sujetos
a carga axial
4.1 Introducción. /4.2 Comportamiento,
modos de falla y resistencia de elementos
sujetos a compresión axial. /4.3 Elementos
sujetos a tensión axial. /4.4 Ejemplos de
cálculos de resistencias de columnas cortas bajo carga axial.
4.1 Introducción
No es común que los elementos de concreto
reforzado de estructuras reales se encuentren sujetos únicamente a carga axial. Debido
a que casi siempre las estructuras son continuas, la carga axial se encuentra actuando
simultáneamente con momento flexionante;
aun en elementos isostáticos, las excentricidades accidentales en la colocación de la
carga o los pequeños defectos constructivos
introducen momentos flexionantes. Por esta
razón, los reglamentos de construcción recomiendan considerar siempre la existencia
de momentos flexionantes, aun cuando el análisis indique que no hay dichos momentos.
Sin embargo, el estudio del comportamiento bajo carga axial pura es importante
para comprender muchos aspectos del funcionamiento de diversos tipos de elementos
de concreto reforzado, y porque el valor de
la resistencia a carga axial se utiliza para
calcular la resistencia de elementos sujetos
a carga axial combinada con otras acciones.
En la figura 4.1 se representan curvas cargadeformación unitaria para tres tipos de elementos de concreto sujetos a compresión
axial. Las curvas son típicas de las que se
obtienen de ensayes de columnas relativamente cortas. S i las columnas fueran muy
esbeltas, la resistencia estaría afectada en
forma importante por los efectos de la deflexión lateral debida a excentricidades accidentales en la aplicación de la carga. Este
problema se trata en el capítulo 13.
La curva A, correspondiente a un espécimen de concreto simple, representa la característica carga-deformación de una columna
con relación de esbeltez mayor que dos pero
menor que 1 0 o 12. Como en el caso de cil indros de control, la carga máxima se alcanza
cuando se llega a Üna deformación unitaria
del orden de 0.002. En el capítulo 2 se describieron las características carga-deformación
de prismas de concreto simple sujetos a compresión axial. Se indicó que la resistencia de
un prisma disminuye al aumentar la relación
de esbeltez, hasta llegar a un valor mínimo
aproximadamente igual a 85 por ciento de la
resistencia de un prisma con relación de esbeltez igual a dos. Por consiguiente, la resistencia de un elemento de concreto simple
sujeto a compresión axial puede estimarse como el producto del 85 por ciento del esfuerzo
medido en un cilindro de control (f',), ensayado en las mismas condiciones, por el área
de la sección transversal del elemento. Este
factor de reducción, 0.85, es sólo un promedio de resultados de ensayes en miembros colocados verticalmente. Se han encontrado
valores para este factor desde 0.69 hasta 0.95
[4.1 l. En elementos colados horizontalmente,
este factor se acerca a la unidad.
66
Elementos sujetos a carga axial
/
/\
-
1
Con refuerzo helicoidal sin
recubrimiento
A
I
I
I
I
I
Estribos
Concreto
simple
I
I
-
.'s.y
0.85 ?,A,
b
Hélice
Concreto con refuerzo
longitudinal y transversal
Figura 4.1 Curvas carga-deformación unitaria de columnas cortas bajo compresión axial.
Si se adiciona refuerzo longitudinal a
un espécimen de concreto simple y se utiliza el refuerzo transversal necesario para
mantener las barras longitudinales en su posición durante el colado, la carga máxima se
obtiene bajo las mismas condiciones que en
un prisma de concreto simple, es decir, a una
deformación unitaria del orden de 0.002. La
falla, como en el caso anterior, se produce a
una deformación unitaria de 0.003 o 0.004,
si el ensaye es de corta duración. A esa
deformación, el concreto se agrieta longitudinalmente, o según planos con una inclinación aproximada de 45", dependiendo de las
restricciones en los extremos del espécimen,
y las barras longitudinales se pandean entre
estribos, al faltarles el soporte lateral del
concreto.
Conviene hacer hincapié en que el término "falla" suele usarse de un modo confuso.
En unos casos indica la resistencia y en
otros el colapso final que ocurre a una carga
generalmente menor que la resistencia. En
este texto se utilizará para indicar el colapso
final.
La característica acción-respuesta de un
espécimen con refuerzo longitudinal es una
curva como la B de la figura 4.1. La resistencia
adicional sobre la de un prisma de concreto
simple es debida a la contribución del refuerzo longitudinal en compresión. Se puede
estimar esta contribución como el producto
del área de acero por el esfuerzo de fluencia, fy. Por lo tanto, la resistencia o carga
máxima que un prisma de concreto con refuerzo longitudinal y estribos transversales es
capaz de alcanzar, está dada por la expresión
Comportamiento, modos de falla y resistencia de elementos sujetos a compresión axial
En ella, Ag representa el área total de
concreto, sin descontar el área ocupada por
las barras. En rigor debe descontarse esta
área, pero como normalmente es pequeña,
elerror que se comete al no hacerlo también
es pequeño. Para porcentajes altos, del orden
de 5 por ciento o más del área de la sección,
vale la pena descontar el área de las barras.
S i el elemento, además de refuerzo lon$udinal, tiene refuerzo helicoidal continuo
a todo lo largo, su comportamiento bajo carga queda representado por las curvas C de la
figura 4.1. Inicialmente su comportamiento
es similar al de un prisma con estribos, hasta llegar al primer máximo, a una deformación
unitaria del orden de 0.002. Aproximadamente a esta deformación, el recubrimiento de
la hélice o zuncho empieza a desprenderse
y, por tanto, la capacidad de carga del elemento disminuye. Al deformarse lateralmente el concreto en forma apreciable por el
efecto de Poisson, la hélice se alarga, produciendo como reacción una presión confinante en el núcleo de concreto limitado por
el zuncho. De acuerdo con las características de la hélice, la recuperación en capacidad de carga del espécimen será mayor o
menor. Si el confinamiento proporcionado
por el zuncho es suficiente, puede alcanzarse una segunda carga máxima superior a la
alcanzada inicialmente, pero a deformaciones
considerablemente mayores, como muestra
la curva C2. Por el contrario, si el confinamiento no es suficiente, nunca se alcanzará
una carga como la del primer máximo (C3).
Si se ensaya un espécimen con hélice y refuerzo longitudinal, pero sin recubrimiento,
la etapa inicial quedará representada por la
línea de trazo interrumpido con una pendiente
menor que la del espécimen con recubrimiento, ya que el área de concreto es menor. La
parte final de ambas curvas será igual, puesto que el espécimen con recubrimiento lo
habrá perdido a estas deformaciones.
Se puede considerar, entonces, que la
resistencia en compresión axial de un ele-
67
mento de concreto reforzado se obtiene de
la contribución de cuatro factores: el concreto del núcleo, el acero longitudinal, el
concreto del recubrimiento y el refuerzo helicoidal. Estas dos últimas contribuciones no
pueden existir simultáneamente, ya que, como
se ha visto, el refuerzo helicoidal actúa en
forma apreciable sólo cuando la deformación longitudinal del elemento es igual o
mayor que la que produce la caída del recubrimiento.
La contribución a la resistencia aportada por el concreto, tanto el del núcleo como
el del recubrimiento, puede valuarse como el
producto del 85 por ciento de la resistencia
de un cilindro de control por el área correspondiente, y la contribución del acero longitudinal, como el producto del esfuerzo de
fluencia por el área de acero (ecuación 4.1).
Para evaluar la contribución del refuerzo
helicoidal, puede utilizarse la información
presentada en el capítulo 2 sobre el comportamiento de prismas de concreto sujetos a
compresión triaxial.
Es posible evaluar la contribución de la
hélice o espiral en función de las propiedades mecánicas del acero y del porcentaje
volumétrico de refuerzo helicoidal. Este último se define como
Ps =
volumen del acero en un paso de hélice
volumen del núcleo de concreto en un
paso de hélice
Denominando d al diámetro del núcleo,
centro a centro de la hélice, A, al área del
alambre helicoidal, y S al paso, se tiene
La presión confinante se puede expresar
en función de la tensión del refuerzo helicoidal, partiendo de las condiciones de equilibrio
del cuerpo libre mostrado en la figura 4.2.
68
Elementos sujetos a carga axial
Por sencillez, se supone que la hélice está
contenida en un plano normal al eje del elemento. También se supone que el esfuerzo
en la hélice ha alcanzado el límite de fluencia, lo cual se ha comprobado experimentalmente.
Figura 4.2 Diagramas de cuerpo libre de una
sección con hélice.
Del equilibrio de las fuerzas mostradas
se tiene
donde fy represecta el esfuerzo de la hélice,
y f2 la presión confinante que actúa en el
plano medio del elemento. Usando la definición de p, de la ecuación (4.2) resulta
El efecto de la presión confinante de
una hélice es comparable al de la presión
de aceite en un ensaye de compresión triaxial, como se ha comprobado experimentalmente en ensayes de prismas con refuerzo
helicoidal sin recubrimiento [4.2]. De acuerdo con la expresión (2.1), el esfuerzo máximo
que un espécimen de concreto simple es capaz de soportar es igual al esfuerzo máximo
sin presión confinante más 4.1 veces el esfuerzo confinante, f2. Por consiguiente, la
contribución de la hélice será aproximadamente 4.1 f2 Acl es decir, 2.05 psfyA, donde Ac es el área del núcleo.
La validez de este coeficiente fue comprobada en forma aproximada en la investigación ACI sobre columnas [4.1]. En lo
sucesivo, el coeficiente 2.05 se redondeará a
2.0. En la demostración anterior se ha medido el diámetro, d, centro a centro de la hélice. Sin embargo, en los reglamentos de
construcción suele medirse entre los paños
exteriores, y tanto la cuantía p, como el área
del núcleo, A, se calculan con base en dicho diámetro. Los resultados numéricos varían muy poco.
Se mencionó anteriormente, con referencia a la figura 4.1, que el segundo máximo de la curva carga-deformación de una
columna con refuerzo helicoidal podía ser
mayor, igual o menor que el primer máximo.
En la práctica, conviene que sea por lo menos ligeramente mayor, ya que de esta manera
se desarrolla la curva completa y el elemento tiene mayor ductilidad, lo cual es
muy conveniente desde el punto de vista
estructural. Para que esto suceda, la contribución de la hélice, 2p, fyAc, debe ser ligeramente mayor que la contribución del
recubrimiento de concreto que se desprende al alcanzarse el primer máximo. Esta
condición puede lograrse haciendo que el
porcentaje de refuerzo helicoidal, p, sea
suficientemente grande.
En la tabla 4.1 se resumen las expresiones utilizadas para estimar la resistencia de
elementos sujetos a compresión axial. En las
secciones siguientes se presenta el cálculo
de las resistencias de columnas con carga
axial de acuerdo con los reglamentos del
Distrito Federal y del ACI.
Comportamiento, modos de falla y resistencia de elementos sujetos a compresión axial
Tabla 4.1 Resistencia de elementos sujetos a compresión axial.
Notación
área total de la sección
=
= área del núcleo de concreto confinado por el
refuerzo helicoidal
p, = resistencia de los cilindros de control de
15 x 30 cm
fy = esfuerzo de. fluencia del acero
A, = área de acero del refuerzo longitudinal
p, = cuantía volumétrica de refuerzo helicoidal
-
A,
A,
1. Concreto simple
2. Concreto con refuerzo longitudinal y recubrimiento
69
tivos de resistencia, FR, mencionados en la
sección 1.7.1 de este texto, la Norma Técnica
de Concreto especifica que para el cálculo de
resistencias se utilice una resistencia reducida a la compresión del concreto denominada f*, cuyo valor es:
El término f*, toma en cuenta que la resistencia del concreto en la estructura es,
por lo general, menor que la de los cilindros
de control, y que existe una cierta probabilidad de que el concreto utilizado no alcance
la resistencia de diseño f',. El factor 0.8 de la
ecuación 4.5 se estableció para que la probabilidad de que la resistencia del concreto
en la estructura sea menor que f', resulte de
2 por ciento. La ecuación 4.1 se transforma
entonces a:
3. Concreto simple con refuerzo helicoidal sin recubrimiento
El término 0.85 f*, se denomina f", en
4. Concreto con refuerzo longitudinal y helicoidal
con recubrimiento
Po = 0.85 f', A, + A, fy (Primer máximo)
Po = 0.85 f', A, + A,fy + 2ps fy A, (Segundo
máximo)
(La resistencia en este caso será el valor máximo
de las dos expresiones anteriores.)
4.2.2 Normas Técnicas Complementarias
(NTC-04) del Reglamento del
Distrito Federal
La resistencia nominal, Pro, se calcula con la
ecuación general 4.1. Sin embargo, en esta ecuación es necesario hacer una modificación en el valor de f', derivada de la manera en
que se incorporan los factores de seguridad
en estas Normas Técnicas. Además de los
,, y de los factores reducfactores de carga, F
las Normas Técnicas Complementarias. Usando esta notación, la resistencia nominal se
expresa como:
La relación de refuerzo helicoidal, p,,
no debe ser menor que:
f'
ni que 0.1 2 2 (4.8)
fv
con lo cual se logra que el segundo máximo
de la gráfica carga-deformación sea ligeramente mayor que el primero (figura 4.1).
También se especifica que el claro libre de
la hélice no sea mayor de 7 cm.
La resistencia calculada con la ecuación 4.7 es la resistencia nominal. La resistencia de diseño, PRO, O sea, la que debe
usarse para el diseño final de los elementos
estructurales, se obtiene multiplicando la re-
70
Elementos sujetos a carga axial
sistencia nominal por el factor reductivo, FR
(sección 1.7.1), que para el caso de columnas con carga axial tiene un valor de 0.70
para columnas con estribos y de 0.80 para
columnas con refuerzo helicoidal o con estribos que cumplan requisitos especiales en
cuanto a su separación y diámetro.
4.2.3 Reglamento ACI
La resistencia nominal se calcula también
con la ecuación 4.1, pero este reglamento
especifica que se debe descontar del área de
concreto, el área transversal de las barras
longitudinales de refuerzo. Por lo tanto, la
ecuación queda en la forma:
Po = 0.85 f',
(Ag- A,)
+ Asfy
(4.9)
Para calcular la resistencia de diseño, la
resistencia nominal calculada con la ecuación 4.9 debe multiplicarse por dos factores.
Uno es el factor de reducción de resistencia
4, que vale 0.70 cuando se usa refuerzo helicoidal, y 0.65 cuando se usan estribos. El
segundo factor vale 0.85 para refuerzo helicoidal y 0.80 para estribos; este factor se
introduce en el Reglamento ACI con el fin de
tomar en cuenta que las columnas reales están
sujetas a una excentricidad mínima, por lo
que no deben diseñarse columnas con carga
axial pura. (En versiones anteriores del Reglamento ACI se especificaba el valor de la
excentricidad mínima y no se incluía el segundo factor.) La resistencia de diseño se calcula entonces con las siguientes ecuaciones:
para columnas con refuerzo helicoidal,y
para columnas con estribos. Obsérvese que
las expresiones comprendidas dentro de los
paréntesis rectangulares representan la resistencia nominal.
En cuanto al refuerzo helicoidal, se especifica que su cuantía no sea menor que
y que el espaciamiento libre de hélice no sea
menor de 2.5 cm ni mayor de 7.5 cm; las barras
de la hélice deben ser por lo menos del No. 3.
4.3 Elementos sujetos a tensión axial
Debido a que el concreto es un material sumamente débil a esfuerzos de tensión, es muy
raro que se utilicen elementos de concreto reforzado sujetos a tensión. Sin embargo, en algunos casos sucede que elementos que
trabajan normalmente a compresión, tienen
que resistir ocasionalmente fuerzas de tensión, como por ejemplo, las diagonales de
contraventeo de marcos sujetos a acciones
sísmicas o de viento.
La resistencia a tensión axial de un elemento de concreto reforzado es únicamente
la resistencia del acero de refuerzo, o sea,
A,fy, ya que el concreto se agrieta y no contribuye a la resistencia. Debe tenerse en
cuenta que, generalmente, la fuerza de tensión que puede aplicarse a un elemento está
determinada por el agrietamiento y no por la
resistencia. Un ejemplo típico es el de los
tensores que se usan en puentes y en algunas
otras estructuras. El aspecto de agrietamiento
se estudia en el capítulo 10 de este texto.
4.4 Ejemplos de cálculos de
resistencias de columnas
cortas bajo carga axial
4.4.1 Utilizando los conceptos básicos
En el ejemplo 4.1 se ilustra el cálculo de la resistencia a carga axial de una columna rec-
Ejemplos de cálculos de resistencias de columnas cortas bajo carga axial
tangular utilizando los conceptos básicos. En
los datos del problema no se hace referencia
a la separación de los estribos, ya que el detalle de colocación de dichos estribos se
estudia en el capítulo 15. La cuantía de re-
71
fuerzo longitudinal, p, tiene un valor similar
a los usados comúnmente en la práctica.
La resistencia se ha calculado usando la
ecuación 4.1. Como se indicó anteriormente,
esta ecuación expresa que la resistencia es la
72
Elementos sujetos a carga axial
suma de las contribuciones del concreto y
del acero. En el ejemplo se ha calculado primero la resistencia, usando el área total de
la sección de concreto, Ag, O sea, sin descontar el área ocupada por las barras de refuerzo y, después usando el área neta, que
es el área total menos el área de las barras.
Como se puede ver, los resultados son semejantes.
El ejemplo 4.2 ilustra el cálculo de la
resistencia de una columna con refuerzo helicoidal. El diámetro y el paso de la hélice
cumplen con las recomendaciones del Reglamento ACI 3 18-02. Como se ha mencionado
anteriormente, la gráfica carga-deformación
de una columna de este tipo tiene dos máximos (figura 4.1 ). Para determinar la resistencia
o carga máxima que puede resistir la columna es necesario calcular los dos máximos, ya
que la resistencia será el mayor de ellos.
El primer máximo es la suma de las resistencias del área total de la sección de concreto y del refuerzo longitudinal. Su valor en
el ejemplo es de 330 ton. El segundo máximo
es la suma de las resistencias del núcleo de
concreto confinado por la hélice, del refuerzo longitudinal y de la resistencia adicional
del núcleo debida al efecto de confinamiento de la hélice. Su valor en el ejemplo es de
388 ton. Esto indica que el segundo máximo
es mayor que el primero, o sea, que se desarrolla la curva completa carga-deformación. El
área del núcleo se calculó usando el diámetro medido entre los bordes exteriores de la
hélice. Para comprobar que la resistencia varía muy poco, se puede calcular tomando el
diámetro centro a centro de la hélice.
4.4.2 Utilizando las Normas Técnicas
Complementarias ( NTC-04) 14.31
En el ejemplo 4.3 se calcula la resistencia de
la misma columna con refuerzo helicoidal
del ejemplo 4.2, usando en esta ocasión las
Normas Técnicas Complementarias (NTC-04)
del Reglamento del Distrito Federal. La resis-
tencia del concreto en la estructura, f*,, resulta de 200 kg/cm2, y f u c de 170 kg/cm2.
En las NTC-O4 no se presentan métodos
para calcular el segundo máximo. Por lo tanto, en el ejemplo se calculó únicamente la resistencia correspondiente al primer máximo y
se verificó que la relación de refuerzo helicoida1 cumpliese con lo señalado en la ecuación
4.8, con lo cual se garantiza que la resistencia
del segundo máximo sea mayor que la del primero. La resistencia de diseño, PRO,se obtuvo
multiplicando la resistencia, ,P
,, por el factor
de reducción, FR, que para este caso vale 0.80
(sección 4.2.2). Si no se hubiesen cumplido
las restricciones sobre refuerzo helicoidal de la
ecuación 4.8, se tendría que haber usado un
valor de 0.70 para el factor FR, que es el que
corresponde a columnas de estribos.
4.4.3 Utilizando el Reglamento ACI 3 18-02
14.41
El procedimiento consiste también en calcular la resistencia correspondiente al primer
máximo únicamente y verificar que el refuerzo helicoidal cumpla, en este caso, con
las restricciones de la sección 4.2.3. La resistencia del primer máximo se calcula con
la ecuación 4.9, con la que se obtiene el siguiente valor:
De acuerdo con la sección 4.2.3, el factor de reducción por excentricidad mínima
vale 0.85 y el factor de reducción, @, resulta
de 0.70, por lo que la resistencia de diseño,
calculada con la ecuación 4.1 0, es:
Puá
,,
= 0.85 X 0.70 X 324,050 = 192,810 kg
= 193 ton
4.4.4 Comparación entre las resistencias
obtenidas
La, resistencia nominal calculada con las
NTC-04 resultó menor en este caso que la calcu-
Ejemplos de cálculos de resistencias de columnas cortas bajo carga axial
73
74
Elementos sujetos a carga axial
Ejemplos de cálculos de resistencias de columnas cortas bajo carga axial
75
76
Elementos sujetos a carga axial
Ejercicios
lada con el Reglamento ACI 31 8-02, mientras
que las resistencias de diseño resultaron prácticamente iguales. Sin embargo, no puede
concluirse a partir únicamente de unos ejemplos que un reglamento sea más conservador
o menos que el otro. Sería necesario comparar diseños completos de varias estructuras,
para llegar a una conclusión de este tipo.
Además, recuérdese que las cargas de
diseño y los factores de carga que deben utilizarse según cada uno de los reglamentos
son diferentes.
4.4.5 Utilizando el sistema internacional
de medidas SI
77
de f', y de fy no coinciden totalmente con
los valores utilizados en la práctica, ya que
en el ejemplo se han usado valores redondeados. Así, el valor de f', de 30 megapascales
corresponde a un concreto de 306 kg/cm2, y
el valor de fy de 420 megapascales corresponde a un acero de 4284 kg/cm2 de limite
de fluencia (ver tabla de equivalencias en
Apéndice E). Sin embargo, en todos los
ejemplos de este texto en los que se utilice
el sistema SI, se usarán los valores redondeados más cercanos a los valores usados en la
práctica o comercialmente. El ejemplo 4.4
se ha resuelto utilizando los conceptos básicos, por lo que los comentarios son los mismos que los de la sección 4.4.1.
En el ejemplo 4.4 se ilustra la utilización del
sistema SI. Cabe hacer notar que los valores
Referencias
4.1
4.2
Investigación ACI sobre columnas. Reporte de la
mayoría, F. E. Richart; Reporte de la minoría, R.L.
Bertin e lnge Lyse. lourna1 o f the American Concrete Institute. Detroit, febrero 1933.
Richart, F. E., et al. The Effect of Eccentric Loads, Protective Shells and Other Variables in Reinforced Concrete Columns, Boletín 368. Urbana, III. Engineering
Experiment Station, University of Illinois, 1951.
4.3
4.4
Normas Técnicas Complementarias para Diseño y
Construcción de Estructuras de Concreto. Gaceta
Oficial del Distrito Federal, Tomo 1, No. 103-Bis, 6
de octubre de 2004.
Comité ACI 318. Building Code Requirements for
Structural Concrete (ACI 318-02). Detroit, American Concrete Institute, 2002.
Ejercicios
4.1
4.2
Calcular la resistencia a carga axial de una columna de estribos de 40 x 70 cm. Considérese que la
resistencia del concreto, f',, es de 300 kg/cm2,
que el esfuerzo de fluencia del acero, fy,es de
4200 kg/cm2 y que el refuerzo longitudinal está
constituido por diez barras del No. 8. Usar el Reglamento ACI 31 8-02.
Calcular la resistencia a carga axial de una columna circular de 50 cm de diámetro, con refuerzo
helicoidal del No. 3 con 4 cm de paso y ocho barras del No.* 8 como refuerzo longitudinal. E l
concreto tiene una resistencia de 200 kg/cm2, y
4.3
4.4
el acero un límite de fluencia de 2800 kg/cm2. El
recubrimiento libre de la hélice es de 3 cm. Usar
las Normas Técnicas Complementarias del Reglamento del Distrito Federal.
Suponiendo que los demás datos son iguales,
calcular el refuerzo helicoidal de la columna del
problema anterior, para que cumpla con los requisitos del Reglamento ACI 31 8-02. Calcular la
resistencia correspondiente.
Calcular la resistencia de un tensor de 30 x 30 cm
con cuatro barras del No. 6 de 4200 kg/cm2 de
esfuerzo de fluencia.
CAP~TU
LO
mente, la flexión se presenta acompañada
de fuerza cortante. Sin embargo, la resistencia a flexión puede estimarse con suficiente
precisión despreciando el efecto de la fuerza cortante. En este capítulo se describen el
comportamiento de elementos sujetos a flexión y el efecto de las principales variables,
y se presentan métodos para calcular la resistencia.
5
Flexión simple
5.2 Comportamiento y modos de
falla de elementos sujetos a
flexión simple
5.1 Introducción. /5.2 Comportamiento y
modos de falla de elementos sujetos a
flexión simple. /5.3 Resistencia de elementos sujetos a flexión simple. /5.4 Determinación de la relación balanceada. /
5.5 Flexión asimétrica. /5.6 Procedimiento
general y comentarios sobre las hipótesis
simplificadoras para cálculos de resistencias.
Se ha llevado a cabo gran número de ensayes en flexión utilizando vigas simplemente
apoyadas, sometidas a dos cargas concentradas de modo simétrico, en las que existe una
zona sujeta sólo a momento flexionante (figura 5.1).
Por simplicidad se describirá exclusivamente el comportamiento de un elemento
de concreto con refuerzo de tensión. La figura 5.2 muestra la gráfica carga-deflexión de
un elemento con un porcentaje de acero
5.1 Introducción
Son frecuentes los elementos estructurales
sujetos a flexión, tales como vigas o losas
que trabajan en una sola dirección. General+Zona
de estudio
t
Diagrama de momento
flexionante
IIIIIIIIIIIIIIIIIhm,
80
Flexión simple
Carga P
t
Figura 5.2 Gráfica carga-deflexión de un elemento, con un porcentaje usual de acero de tensión.
usual en la práctica. Al empezar a cargar, el
comportamiento de la pieza es esencialmente
elástico y toda la sección contribuye a resistir el
momento exterior. Cuando la tensión en la fibra más esforzada de alguna sección excede
la resistencia del concreto a la tensión, empiezan a aparecer grietas. A medida que se incrementa la carga, estas grietas aumentan en
número, en longitud y en abertura. Se puede
observar muy claramente la zona de la pieza
sujeta a tensión, en la que se presentan las
grietas, y la zona sujeta a compresión.
A partir de la aparición de las primeras
grietas, el comportamiento del espécimen ya
no es elástico y las deflexiones no son proporcionales a las cargas. En las regiones agrietadas, el acero toma prácticamente toda la
tensión. En esta etapa, el esfuerzo en elacero aumenta hasta que alcanza su valor de
fluencia. Desde el momento en que el acero
empieza a fluir, la deflexión crece en forma
considerable, sin que apenas aumente la carga. Esto es, la resistencia del elemento es sólo
ligeramente mayor que la carga que produce
la fluencia del acero. Los primeros síntomas
de la fluencia del acero son un incremento
notable en la abertura y longitud de las grie-
tas y un quiebre marcado en la curva cargadeflexión. A medida que aumenta la longitud de las grietas, la zona de compresión se
va reduciendo, hasta que el concreto en esta zona es incapaz de tomar la compresión y
se aplasta. El primer indicio del aplastamiento
es el desprendimiento de escamas en la zona
de compresión. Cuando esto ocurre, la carga disminuye con mayor o menor rapidez,
dependiendo de la rigidez del sistema! de
aplicación de la carga, hasta que se produce
el colapso final.
Según la cantidad de acero longitudinal
con que está reforzada la pieza, éste puede
fluir o no antes de que se alcance la carga máxima. Cuando el acero fluye, el comportamiento del miembro es dúctil; es decir, se producen
deflexiones considerables antes del colapso final, como se muestra en la figura 5.2. En este
caso se dice que el elemento es subreforzado.
Por otra parte, si la cantidad de acero longitudinal de tensión es grande, éste no fluye antes
del aplastamiento y se dice entonces que el
elemento es sobrerreforzado. Puede suceder
que el elemento alcance su resistencia precisamente cuando el acero empieza a fluir. En este
caso se dice que el elemento es balanceado.
Comportamiento y modos de falla de elementos sujetos a flexión simple
a) Subreforzada
,
)
/
/
S
1
1
.
b) Sobrerreforzada
Figura 5.3 Agrietamiento en la falla de vigas
sujetas a flexión.
Los términos sobrerreforzado y subreforzado, aplicados al caso de elementos con
acero sin un límite de fluencia bien marcado,
no tienen más sentido que el de indicar el
grado de ductilidad. En este caso la condición balanceada no está claramente definida.
En la figura 5.3 se presentan los esquemas
de agrietamiento correspondientes a vigas con
diferentes porcentajes de acero. En el caso de
un elemento sobrerreforzado, la zona de aplastamiento del concreto es mayor que en el caso
de otro subreforzado, y, a la falla, las grietas del
primero son de longitud y abertura menores.
La figura 5.4 muestra la variación en el
comportamiento de elementos que tienen distintos porcentajes de acero. Cada curva de
trazo lleno representa la gráfica carga-deflexión de un elemento reforzado con una cantidad diferente de acero de tensión, desde
una viga de concreto simple hasta otra con
porcentaje muy alto de acero, del orden del
7 por ciento. Se puede observar de inmediato el efecto de la cantidad y distribución del
acero longitudinal.
Fluencia del acero
Carga P
(e-
\
\
'c
/'
I
¡
81
-
Acero de tensión únicamente
Acero de tensión y de
compresión
Aplastamiento
del concreto
del concreto
--.
\\
E~plastamiento
del concreto
Fluencia del acero
ractura del acero inmediatamente
después del agrietamiento del concreto
P
I
\
C
Agrietamiento del concreto en tensión
Deflexión a
Figura 5.4 Gráficas carga-deflexión de elementos con porcentajes variables de acero (sección, f',y
fy constantes) sujetos a flexión simple.
82
Flexión simple
Un elemento de concreto simple (curva
A) alcanza su resistencia y falla al agrietarse
el concreto en la fibra más tensada, con una
def1exió.n muy pequeña. La falla es repentina, de tipo frágil.
Adicionar refuerzo longitudinal en cantidades muy pequeñas, hace que la capacidad del miembro aumente al mismo tiempo
que su deflexión en la falla (curva B). En las
primeras etapas de carga, el comportamiento
es muy parecido al de un elemento de concreto siniple. Una vez agrietado el concreto, la
tensi6n en el acero se incrementa rápidamente al aumentar la carga, hasta que el refuerzo se fractura. Este tipo de falla ocurre
en elementos con porcentajes muy pequeños de acero, del orden de 0.1 por ciento o
meiios. La falla es frágil y se produce a una
deflexión pequeña.
Las curvas C y D son tipicas de elementos con porceritajes usuales de acero de tensión (de 0.5 ;i2 por cientd). Se puede observar
que la resistencia y la deflexión son sustancialmente mayores que en las curvas A y B.
Si se aumenta apreciablemente el porcentaje de acero, el elemento se convierte
en sobrekreforzado, como muestra la curva
F. La resistencia aumenta, pero la deflexión a
la falla disminuye.
Si además de acero de tensión, existe
acero longitudinal en la zona de campresión,
su efecto en las gráficas carga-deflexión del
elemento se muestra en la figura 5.4 con IFneas de trazo interrumpido para dos casos.
El efecto principal del acero de compresión
es aumentar hotablemente la ductilidad; la
adición de acero de compresión en cantidad
suficiente a un elemento sobrerreforzado
puede hacer que éste se convierta en subreforzado, aumentando su ductilidad y resistencia, al lograr que el acero de tensión
desarrolle su esfuerzo de fluencia. Este efecto se muestra cualitativamente en las curvas
F y C de la figura 5.4.
La adiclóii
iéfuerzo de cbnipiesión a
un elemento subreforzado aurrlenta su duc-
tilidad, pero su resistencia permanece prácticamente constante, ya que está regida por
la tensión en el acero (curvas D y E).
Es importante recalcar que la ductilidad
que se puede lograr con la adición de acero
de compresión, no se obtiene si éste no está
adecuadamente restringido por medio de refuerzo transversal, ya que de otro modo, para
compresiones muy altas y cuando hay poco
recubrimiento, el acero de compresión puede pandearse, lo que causarla un colapso
súbita.
En la figura 5.4 se ha presentado de
un modo cualitativo la variación de las características carga-deflexión de elementos
sujetos a deflexión pura, en función del porcentaje de acero, suponiendo que los indices
de resistencia de los materiales, f', y fy, permanecen constantes. Las caracterfsticas carga-deflexión son también función de las
propiedades mecánicas de los mciteriales,
expresadas por sus índices de resistencia.
Un incremento en el valor del esfuerzo de
fluencia, o en el valor del porcentaje de acero de tensión, tiende a aumentar la capacidad en tensión del elemento. Por otra parte,
aumenta la
un incremento en el valor de
capacidad en compresión. El comportamiento de un elemento depende de la relación entre su capacidad en tensión y su
capacidad en compresión. Esta relación
puede medirse por medio del parámetro
w = pfylf',, según la notación ACI 3 1 8-04, el
cual suele llamarse índice de refuerzo. (Según las NTC-04, el parámetro equivalente es
q = f! fylPc.)
Se pueden definir, entonces, elementos
subreforzados y sobrkrreforzados para valores bajos y altos de o,respectivamente, tal y
como se hizo para valores bajos y altos del
porcentaje de acero.
Para elementos con refuerzo longitudinal de tehsitin y de comflresión, el fndice de
refuerzo es w = (p- $1 fylf,' donde p' representa el polcentaje de acero longitudihal en
corhpresión.
f',
Resistencia de elementos sujetos a flexión simple
Tabla 5.1 Características de elementos con distintos índices de refuerzo.
Curva trjoica
Porcentaje de acero
de combresión
correspondiente de tensión
P
de la figura 5.4
bi
.
13
.-
fndice de
refuerzo
w
Tipo
de elemento
Modo de falla
Grado de
ductilidad
A
Nulo
Nulo
Nulo
Concreto
simple
Concreto en
tensión
Frágil
B
MUY
pequeño
Nulo
Muy pequeño
Muy
subreforzado
Fractur? del
acero, frágil
POCO dúctil
C
Normal bajo
Nulo
Normal bajo
Subreforzado
~~IastamientoMuy diictil
después de la
fluencia
D
Normal alto
Nulo
Normal alto
Subreforzado
Aplastamie;ito
después de la
fluencia
E
Normal alto
Qel orden
del de
tensión
Normal bajo
Subreforzado
~úctil
sub r miento Muy dúctil
después de la
fluencia
'-,a
<
L.
í
F
Muy alto
Nulo
Muy alto
Sobrerreforzado Aplastamiqnto Frágil
sin fluencia ael
acero
C
Muy alto
Del orden
del de
tensión
Normal bajo
Subreforzado
Como resumen de lo expuesto anteriormente, se ~resentala tabla 5.1, que complementa la figura 5.4.
Otro aspecto importante del comportamiento de elementos sujetos a flexidn simple, es la distribución de deformaciones en
el peralte. Las mediciónes hechas en el laboratorio indican que en una sección normal
al eje de la pieza, la distributión de deformaciones longitudinales es aproximadamente
lineal para casi todos los niveles de carga,
~orhalkíehtese miden deformac/uiies ed el
concreto, en la zona de kampresi&n, y eri
el acero. La presencie de grietas difikulta !a
medición de deformaciones en el concrkto
en zona's de tensih. A pesar be esto, cuarido
se han Lisado br~cedirhientosrfiinucibsós, se
ha cokprobado que las deformation6s del
concreto en tensión y del acero colocado al
~ p l a s ~ m i & t Dúctil
~
después de la
fluencia
-
-.
-"i
.-li
mismo nivel toincidkri ,ieksikl~mente
,A!. ,(-..,. , - , - Pi se
usan barras con corkligacion adktdada bard
garantizar la adherenci~entre cohcreto y
acero.
,!
5.3 Resistencig de eleMkhios
sujetos a flexión siriiple
La reristehcia de +litñ~htoasujeitii a i ~ ~ ~ i o f i
sidple p&de detethiitidrsk $ $h/f i16 ¡ind
serie de Kigbt'iris sim$liiic$d8i$k
- . r , - > ! li&khs
81
comporiimiiihtd Cdlikd y al rhecáriijhd
p. , *-..
dci
ción-respdbsta descritos ahieriorhédte. ~ $ 3
hipdtesis que se hacen coh6ndedt$s6n las
sigliientes:
84
Flexión simple
a) La distribución de deformaciones unitarias en la sección transversal de un
elemento es plana. Esta hipótesis ha
sido verificada mediante mediciones
y es correcta, excepto para longitudes de medición muy pequeñas y en
la rama descendente de la gráfica
carga-deflexión (sección 5.2).
b) Se conoce la distribución de esfuerzos en la zona de compresión del
elemento. En la sección 5.5 se estudia la influencia de esta distribución
de esfuerzos en la resistencia. Los reglamentos de construcción presentan distribuciones simplistas, con las
cuales se obtienen valores de la resistencia suficientemente aproximados. En la sección 5.3.2 se exponen
las hipótesis de algunos reglamentos.
c) No existen corrimientos relativos de
consideración entre el acero y el concreto que lo rodea. Para concreto reforzado con barras corrugadas, la
hipótesis es bastante realista. Es decir,
se puede suponer que la deformación unitaria es la misma en el acero
y en el concreto que se encuentra al
mismo nivel (sección 5.2).
d ) El concreto no resiste esfuerzos de
tensión longitudinales. Despreciar la
magnitud de estos esfuerzos no influye apreciablemente en las resistencias calculadas.
e) El elemento alcanza su resistencia a
una cierta deformación unitaria máxima útil del concreto, E,. En la sección 5.5 se justifica que, para un
intervalo relativamente amplio del
valor de la deformación unitaria en la
fibra extrema en compresión, el momento flexionante permanece constante prácticamente. Esto indica la
validez de esta hipótesis. Los reglamentos recomiendan valores de E,,
que varían de 0.003 a 0.004.
5.3.2 Hipótesis de algunos reglamentos de
construcción
En la figura 5.5 se muestran los estados de
deformaciones y esfuerzos en la sección
transversal de una viga sujeta a flexión. Se
puede apreciar que la forma del diagrama
de esfuerzos de compresión es similar a la
curva esfuerzo-deformación de un espécikn
ensayado a compresión. El área del diagrama de esfuerzos de compresión y la posición de la resultante de compresión, pueden
determinarse a partir de tres parámetros adimensionales, pi, P2 y P3. El parámetro a3 relaciona el esfuerzo máximo en flexión con la
resistencia de los cilindros de control. El parámetro pl indica la relación entre el esfuerzo promedio y el esfuerzo máximo en la zona
de compresión, y el parámetro P2 indica la
pÓsición de la resultante de compresión. El
Figura 5.5 Distribuciones de deformaciones y esfuerzos en una sección sujeta a flexión.
Resistencia de elementos sujetos a flexión simple
área del diagrama de compresiones y la posición de la resultante pueden definirse también
estableciendo expresiones matemáticas que
permiten idealizar el diagrama de esfuerzos
de compresión.
Se han propuesto numerosos valores
para los parámetros pl, P2 y &, así como diversas configuraciones del diagrama de esfuerzos de compresión. En la referencia 5.1
hay un resumen de distintas proposiciones y
en las referencias 5.5 y 5.6 se presentan algunos tratamientos más rigurosos del problema
de flexión. En fecha reciente se han empezado a utilizar los llamados concretos de muy
mayores a
alta resistencia, con valores de f',
400 kg/cm2. lnvestigaciones llevadas a cabo
para determinar las características estructurales de estos concretos indican que los
parámetros mencionados, especialmente
quizá deban revisarse cuando se apliquen a
estos concretos [5.8, 5.91.
Con el objeto de desarrollar métodos sencillos de cálculo, los reglamentos de construcción recurren a hipótesis simplificadoras en las
cuales se fija un valor de la deformación unitaria máxima útil del concreto, E,", y donde se
definen diagramas idealizados de los esfuerzos
de compresión, de tal manera que el área del
diagrama de esfuerzos y la posición de la resul-
a,
,¿, = 0.003
85
tante de compresión sean semejantes a las que
corresponderían a una distribución real.
El Reglamento del Instituto Americano del
Concreto (ACI 31 8-02) utiliza las hipótesis
simplificadoras que se resumen en la figura
5.6. En lugar de la distribución real de esfuerzos, se propone una distribución rectangular, con una profundidad igual a Pi veces
la del eje neutro. Se acepta que el elemento
alcanza su resistencia a una deformación
unitaria máxima útil del concreto en compresión igual a 0.003, con una distribución
lineal de deformaciones unitarias.
El parámetro P1 se hace depender de
la resistencia nominal f',, de acuerdo con la
ecuación mostrada en la figura 5.6. El valor
de pl es constante e igual a 0.85 para
f', 1 2 8 0 kg/cm2. Esta variación tiene por
objeto tomar en cuenta el cambio en la forma
de la curva esfuerzo-deformación del concreto al incrementar su resistencia (figura
2.5), ya que el área del rectángulo equivalente
debe ser aproximadamente igual al área bajo
la curva esfuerzo-deformación. La hipótesis
del bloque equivalente de esfuerzos es aplicable a secciones de cualquier forma I5.2, 5.31.
,0.85 f'c,
T
f', en kg/cm2
Si f', se expresa en MPa, sustituir
1400 por 140
Figura 5.6 Hipótesis ACI 31 8-02 sobre la distribución de deformaciones y esfuerzos
en la zona de compresión.
HIPÓTESISDE LAS NORMAS TÉCNICAS
COMPLEMENTAP14S (NTC-04) DEL REGLAMENTO
DEL DJSTR~TOFEDERAL (MÉXICO)
s i c
La> Normqs Técnicas Complementarias habían
especificqdp qn bloque equivalente de esfuerzos dif~r'enteal del Reglamento ACI. En vez
uniforme y una profundidad
de yn esfuei
variable di] eje neitro, como en la figura 5.6,
se especificaba un esfuerzo variable y una
profundidad cGnstante del eje neutro. La utilización de este bloque equivalente tenía ventajas para la elaboración de ayudas de diseñp,
como los diagramas de interaccián que se comentan en el capítulo 6. Sin embargo, no proporcionaba buenos resultados para concretos
de resistencias altas, por lo que se cambió, a
partir de 2004, por un bloque muy parecido
al del Reglamentq ACI. La única diferencia radica en el uso del parimetro f*,, que se ha definido ep /a sección 4.2.2 y que sustituye en
las ecuaciqnw cortespqpdientes a f',. E] bloR H ~r e y l t . 1 9 ~uraqflq Iq q&~¡ón d~ las
R-TErSig'kv$$fg & 19
5.7.
alta resistencia, y para tomar esto en cuenta
ciertos reglamentos especifican cambiar tanto
el esfuerzo uniforme como la profundidad del
bloque I5.91. Por ejemplo, el reglamento de
Nueva Zelanda especifica una profupdidad
del bloque de y veces la profundidad del eje
neutro y un esfuerzo uniforme de a f',, donde y y a tienen los valores;
El reglamento canadiense contiene una
disposición semejante con los siguientes valores de y y a:
y = (0.97 - 0.00025 f f c )2 0.67
a = (0.85 - 0.0001 5 f',) 2 0.67
En las ecuaciones anteriores, f', está en
kg/cm2. Puede verse que para cqncretps de feqistepcias qsual&, los valores obtenidos p n
los diferentes qglament~s
,
jpg muy parecidos.
%
5.3.3 Procedimientos para determinar la
re~i~tencia
a flexión
LQSdiversos procedimientos consisten en establecer un estado de deformai;ifi~ tal, gue la
f", = 0.85 f*,
f*, = 0.8 f',
0.65 5 g, = (1 0 5 -
a--
-
f', y f*, en kg/cm2, si se
expresan en MPa, sustituir
1400 por 140
Figpra 2.7 Hipótesis de las NTC-04 sobre la distribución de deformaciones
r Ir
y e?fuerzos en la zona de compresión.
i
)
5
140Q
Resistencia de elementos sujetos a flexión simple
sección se encuentre en equilibrio, o sea,
que la suma de las fuerzas de compresión que
actúan en una sección transversal, sea igual a
la suma de las fuerzas de tensión. Una vez
establecido dicho estado de equilibrio, se
calcula el momento de todas las fuerzas internas con respecto a un eje cualqviera. Este
momento es la resistencia a flexión de la
sección. E l estado de equilibrio interno puede determinarse por medio de tanteos o algebraicamente. En los siguientes incisos se
ilustra la determinación de la resistencia de
diversos tipos de secciones.
En esta sección se presentan ejemplos
en los que se usan los Reglamentos ACI y del
Distrito Federal. El procedimiento que usa
las hipótesis generales se ilustra más adelante en la sección 5.5.
SECCIONES RECTANGULARES SIMPLEMENTE
ARMADAS - REGLAMENTO ACI 3 1 8-92
En el ejemplo 5.1 se calcula la resistencia de
uqa sección simplemente ajl)a+.'
Se
ban tres p'rocefiim(enps poslbles.
El primero
c p $qcedimi$nt~
1 1 -,
de tanteos. C o p prime!
~
~ ,Z gpOla
, S Q ! CIW
~
, 'e
gi6 un estado de dFforrnqci~iissque queda
definido por el vabr'&'& y' (jq \;$p"de lo
profundid{q gel i j k ??H!~Q,
sesu?
beglameot~&¡ 31 8-p2, t! v a í ~ de,
r E,
9.093
[$gura 3.6).El val'G dq c es tentitívo
arbitrariahnnte.
~nLva~or-razonab
e es l e
&! l t
aprqxir(iadamqpte un t6yCig def1$era)ye; por
!o $6 gn el' ;je$plq se hizo
COG
= 2q cm. yi'establecibb el patado de
deiormaciones,'se de!grwi?d el e?tqdo dg p
tqerz~spsando la hipótesis deia figura 5.6.
vaiqr be
iesuIt6 ein &'e ~ a j 11.85.
~ a
partir del estad; dg e F ~ r f 4 s ; - s Bcalculfi l?
fuqrza de cornprGsi6n C, qqg fue dp 8 6 , 5 9 kg.
Aco~tiriuació;i'se iilcLlb
u, , 1
<9 defqpafión eq $1
a(<yp, hsando tri4ngub? sgyejql)fc$
,,,. :'..en' el- diar
grama de' defsrmacippes uqjtalla;. En $1
$j61pP~o o bbtu"? un "qlqr $9 ~ 4 0 6que
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dqyciydr qu'e la deformación de fluencia cy.
i$
a(,
&:
- r J
c.
gió
.e e!
S
2
t
lf.
YSee?:
i
pi
l
S
87
Esto significa que el acero está fluyendo. Según las hipótesis ACI 318-02, puede
considerarse que el acero tiene una gráfica
esfuerzo-deformación elasto-plástica, por lo
cual, el esfuerzo es igual al esfuerzo de fluencia fy para cualquier valor de E, mayor que
ey. Esta hipótesis equivale a despreciar la zona de endurecimiento por deformación del
acero; por lo tanto, el esfuerzo del acero en
el ejemplo es igual a fyl y la fuerza de tensión se obtiene multiplicando el área de acero, A, por el valor de fy. Resultó, de esta
manera, un valor de T de 63,000 kg. Cuan.do la deformación &, es rnenor que eyr el esfuerzo correspondiente puede encontrarse
por medio de la ecuación f, = E, E, o bien,
directamente en la gráfica esfuerzo-deformación del acero.
Si el valor supuesto de la profundidad
del eje neutro, c, hubiese sido correcto, las
f y s r z q ~ y T habrían resultado iguales. En ?(
ejg+plp no j e y f t q ( 6 i iqf, por Iq ('R fuk ngcesyío ajpsi$r $1 y a l ? ~ gye !$ ,ver59 4e
copprgsi@nrgsu!to (nayqr qge (9 $e tgnsjdi,
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el mpmgn!h're!/~fer(tp yjp'lnd, qn1
b u t~:
plica$p la fueiza dp tensiQpILo la qe c k q r
prpsjbn, por e l brazo ds Qar inhrpq, T.'(!$,
eqtignde por r e s i s t e n c i ~ ~ f i o ~ i n alas
l e sre:
sisi@ficils sin afettar por los 'factores dg
r<dpcci&n qspe~ific$as taniÓ en
P-glarpsnt6ÁJ 31 842' ~ c f r ) ~ JqsNTE-~4.1Sg
olitubo de esta panera un m{bentp resisteqte de 33.9 ton-m. ~ & & nlas recomkndqci~n~s
F,!e
en
e)
88
Flexión simple
Resistencia de elementos sujetos a flexión simple
89
90
Flexión simple
Resistencia de elementos sujetos a flexión simple
,
ACI, los valores de M, deben reducirse multiplicándolos por el factor 4 para obtener el
momento resistente de diseño, 4 M,. Para
el caso de flexión, su valor es de 0.90. El valor del momento resistente de diseño fue, en
el ejemplo, de 3Q.5 ton-m.
E l segundo procedimiento es aplicable
únicamente a secciones rectangulares subreforzadas, con refuerzo de tensión únicamente y consiste en el empleo de la ecuación
deducida en la figura 5.8, que tiene la ventaja de proporcionar de modo directo el memento nominal resistente.
91
En el tercer procedimiento, el momehto
resistente de la sección propuesta se obtuvo
usando la gráfica del Apéndice A. Esta gráfica es la representación de la ecuación de la
figura 5.8; se incluye también una representación de la fórmula equivalente que se deriva de las hipótesis de las NTC-04.
El procedimiento de tanteos tiene la
ventaja de poder aplicarse fácilmente a secciones no rectangulares o con refuerzo de
tensión y compresión. Aunque es posible en
estos casos obtener expresiones analíticas siguiendo un procedimiento semejante al
, 0.85 f', ,
Por equiljhrio:
,,
< a
'
Tpmandq q ~ m e p t a scgrl respecto al aqero de t e p s j ~ n
a
a
M, = C (d - -) = 9.85 f', abd (1 - -1
2
2d
Sustituyendo a de la ecuación (i)y tomando en cuenta que o =
efr
fc
Figura 5.8 Momento resistente nominal de elementos rectangulares con refuerzo de tensión
::
$nicapente, de acuerdo con el Rgglamento ACI 8-Q?.
31
92
Flexión simple
mostrado en la figura 5.8, se llega a ecuaciones muy complicadas o a sistemas de ecuaciones simultáneas cuya solución resulta más
laboriosa que el procedimiento de tanteos.
Los procedimientos de obtención de resistencia por medio de la ecuación de la figura 5.8 y por medio de la gráfica del Apéndice
A son muy sencillos y rápidos. Debe siempre
verificarse si la sección es subreforzada, ya
que estos procedimientos, como se mencionó
anteriormente, son sólo aplicables e estas secciones. En la sección 5.4 se presentan algunos
métodos para determinar si la sección es subreforzada o sobrerreforzada.
SECCIONES RECTANGULARES SIMPLEMENTE
ARMADAS - NTC-04
En el ejemplo 5.2 se ilustra el cálculo de la
resistencia de la misma sección rectangular
Resistencia de elementos sujetos a flexión simple
93
94
Flexión simple
segdn las NTC-04, tambien por tres procedimientos. El esfuerzo uniforme, Y,,y el pardmetro fll se calcularon de acuerdo con las
expresiones de la figbra 5.7. como p1resultó maj/or que 0.85, se u86 este valor.
El procedimiento de tanteos es semejante al empleado en el ejemplo 5.1. El ajuste del valor de c para el segundo tanteo se
hizo aplicando la ecuación:
C =
T
0.85 x f", x b
41 calcular resistencias de acuerdo cdií
las NfC-04
tiacerse bna kducción de
2 Ch-Í en ciertas dih&siohes de los eleriieritos
bstructurales, a no ser que se tomen 6iecaucione's para garantizar que las diriiensidnes
;le cáltulb se conserven durante el proceso
constructivo.
€cta reducci6t-i tletjktd hacgrg? cuandb
la dimensión en cuestión sea menol de 20
cm. En vigas y losas, las dimensiories sujeta4
a reducci8il son el dncho y k¡ peralte efectivo del refuerzo del lecho siiperior. En los
ejemplos de este texto, para mayor sencillez,
se supondrá que no es necesario hacer estas
reducciones.
Segirin las NTC-04, el valor del factor de
reducción, FR, que debe utilizarse para caltular la resistencia de diseño de elementos sujetos a flexión es 0.9.
En el segundo procedimiento se dplicó
una ecuación equivalente i.
la deducid4 en
la fi$lra 5.8, utilizando las hipótesis de la figura 5.7.
*
,
pata el teicer piockidimiehto se u t i l ~ t óla
grlfica
,. , ,, ,. ,del, A~6n81Eé
A, que Ijer%ite calcul$r
10s riiomeritbi iéiisterittie i i o k i n a i 3 de viga;
iectangril4res con bdde en las I;ipbtesis de
las NTC-04. La pequeña aisctepankia con
c,ti.;
c
b -
Resistencia de elementos sujetos a flexión simple
al valor calculado segdn el primer
procedimiento, se debe a la precisión con
que se puede leer la gráfica.
El momento resistente MR= M, = FR Mn
puede obtenerse directamente a partir de la
cuantía de acero p con la ayuda de las tablas
del Apéndice B. (Las NTC-O4 distinguen entre Mu, el momento actuante de diseño, y
MR, el momento resistente de diseño. Idealmente los dos términos deben ser iguales, por
lo que en este texto se utilizarán indistintamente.)
En este ejemplo queda clarci que la única diferencia entre el Reglamento ACI y las
NTC es el uso de la resistencia reducida f*,
en estas ditimas, Todas las ecuatibnes y procedimientos del Réglament~ACI parh fiexi6n se puedbh usar bh las N f C sustituyirido
f l , por f*,. No hay que olvidar, sin embargo,
que los factores de carga son diferentes en
ambos reglamentos. tambl&n hay que notar
una diferencia en las definiciones de w en el
~églamentoACI y q en las NTC. La primera
está definida en términos de f,' mientras
que la segunda lo e s t ~eh términos de f",,
como puede verse en el recuadro de la grAfica del Apéndice A.
SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE
ARMADAS - REGLAMENTO ACI 3 1 8-02
En este caso, el procedimiento mbs sencillo
es el de tanteos, el cual se ilustra en el ejemplo 5.3, Los pasos a seguir son, en forma
esencial, los mismoi que en el ejemplo 5.1,
con la diferencia de que la fuerza total de
compresión es la suma de la fuerza de compresión en el concreto, CI, y de la fuerza de
compresión en el acero, C2. Para determinar
C2 es necesario calcular la deformación al
nivel del acero de compresión, E',, y obtener, a pPrtir de dicha defórmacibn, bI eifuerzb en el acero, ,f',. kste eifuerzo pubde ser
riien~ró igual al de flhencla.,
EII bl primer tanteo, la fubria total de
compresicin resultó mayor que la de tensión.
95
Por esta razón, en el segundo tanteo se disminuyó la profundidad del eje neutro, con lo
cual las dos fuerzas quedaron con valores
lo suficientemente aproximados para fines
prácticos. En secciones doblemente armadas, la fuerza total de compresión no es directamente proporcional a la profundidad
del eje neutro, por lo. que esta profundidad,
para la configuración de deformaciones
unitarias cori.espondiente al equilibrio de la
sección, no puede obtenerse estableciendo
una relación de proporcionalidad después
del primer tanteo, como en el caso de secciones simplemente armadas. Con la configuración final de deformaciones unitarias,
el acero de compresióri no fluye, y& que E',
es menor que Ex;- mientras que el de tehdón
sí fluyé. E n algunas sectiones en 16s que el
recubrimieiito del acero de compresión es
grahde, pliede suceder que la defoi.maci6n
E', resulte de tensión. En estos tasos, el acero de cbm$resión ya no actda como tal sino
como rei'uerfb de tensión, y su contribuci6n
a la resistencia suele ser muy pequeña. Una
vez obtenida la cónfi uración de dehrmaciones para la cual a sección estaba en
equilibrio, se calcriló el momento flexionante, tdmando momentos de primer orden
con respecto al eje geométrico de la sección. En realidad, para la flexión pura se
pueden tomar momentos de primer orden
con respecto a cualquier eje y se obtiene el
mismo momento flexionante.
El momento resistente de diseño se obtuvo multiplicando el momento resistente,
M, por el factor de reducción, 4, que para
este caso vale tambi4n 0.9.
También pueden derivarse ecuaciones
para calcular el momento resistente nominal de secciones rectangulares doblemente
armadas, equivalentes a la obtenida eh la
figura 5.8 para secciones con refuerzo de
tensión únicamente. E S ~ Ose ha hecho ,en la
flgura 5.9 usdndo las hipótesis de¡ XCI. Re:
iulta necesario distihgulr dos casoS, según
fluya o no fluya el acero de compresión. En
r
k
96
Flexión simple
Resistencia de elementos sujetos a flexión simple
97
98
Flexión simple
Resistencia de elementos sujetos a flexión simple
99
1 00
Flexión simple
cualquiera de los dos casos, las ecuaciones
resultantes son válidas siempre que fluya el
acero de tensión, o sea, que el porcentaje
de refuerzo sea menor o igual al porcentaje balanceado. El cálculo de porcentaje balanceado para secciones doblemente
armadas se muestra en la figura 5.1 3. Se
puede ver que es función de los porcentajes de refuerzo de tensión y de compresión.
Puesto que no se sabe de antemano si el
acero de compresión fluye o no lo hace,
conviene iniciar el cálculo suponiendo que sí
fluye, o sea, aplicando las ecuaciones del caso l . Lo primero que se hace es calcular el
valor de a con la ecuación 2 de la figura 5.9.
Conocido este valor, se calcula E,' que por
triángulos semejantes de la figura 5.9 (b) tiene el valor:
S i E', es mayor o igual a
la hipótesis
de estar en el caso 1 es correcta y se calcula
el momento nominal con la ecuación 1 de
la figura 5.9. S i E', es menor que
la hipótesis no es correcta y entonces se calcula un
nuevo valor de a con la ecuación 6, y el momento nominal con la ecuación 7.
Las ecuaciones para calcular el momento resistente nominal de una sección doblemente armada son más complicadas que las
de una sección con refuerzo de tensión únicamente, en especial en caso de que no fluya
el acero de compresión. Por esto, generalmente resulta más sencillo el procedimiento
de tanteos. Sin embargo, las ecuaciones son
más convenientes para elaborar programas
de computadora.
En la segunda parte del ejemplo 5.3 se
calcula el momento resistente por el procedimiento de ecuaciones. Se determinó en
primer término el valor de a suponiendo
que se estaba en el caso 1. Como el valor de
E', calculado a partir de este valor de a resultó menor que
la hipótesis no fue correcta, por lo que se volvió a calcular a con
la ecuación 6 que corresponde al caso 2. A
partir de este nuevo valor de a se calcularon
las fuerzas de compresión en el acero y en
el concreto, C, y C, respectivamente, el
momento nominal, M, y el momento de diseño, $ M., Las pequeñas diferencias en el
resultado con respecto al procedimiento de
tanteos se deben a que en este último no
coinciden totalmente las fuerzas de compresión y tensión.
SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE
ARMADAS - NTC-O4
E l procedimiento es igual al ilustrado en el
ejemplo 5.3, basta sustituir f', por f*,. Si se
emplea el método de ecuaciones, pueden
usarse las de la figura 5.9 haciendo la misma
sustitución.
SECCIONES T SIMPLEMENTE ARMADAS REGLAMENTO ACI 31 8-02
En el ejemplo 5.4 se ilustra el procedimiento a seguir. La sección propuesta es similar
a la del ejemplo 5.1, pero con un patín de
compresión. La diferencia con respecto al
caso de una sección rectangular estriba en
el cálculo de la fuerza de compresión. En el
primer tanteo, el eje neutro supuesto estaba
por debajo del patín; el límite inferior del
bloque equivalente de esfuerzos también
quedó por debajo del patín. El bloque de
esfuerzos, por lo tanto, fue de ancho variable. En los 10 cm superiores tenía un ancho
de 110 cm, o sea, el ancho del patín; en
cambio, en la parte inferior, el ancho del
bloque fue igual al ancho del alma de la viga. Por esta razón, la fuerza de compresión
se calculó en dos partes, como se muestra
en el ejemplo. En este primer tanteo, la
fuerza de compresión resultó mayor que
la de tensión.
Resistencia de elementos sujetos a flexión simple
101
.
A',.
1
1
..
..
(a) sección completa
p
:
I
- - - - -3
m
&S
1
(b) deformaciones unitarias
(c) esfuerzos y fuerzas
mm
A',
I
I
I
I
I
I
1
I
I
I
;---,,,,,JAs1
C, = A', f',
I
I
I
:
(d) viga 1
TI = A, fy
(e) fuerzas en la viga 1
Caso 1. El acero de compresión fluye (f', = fy)
De la fig. (e):
A', fy = Asl fy
A', = A,1
Momento de la viga 1:
MI = TI ( d - d') = A1,fy ( d - d')
Caso 2. El acero de compresión no fluye (f', < fy)
Por triángulos semejantes de la fig. (b):
Las fuerzas de la fig. (c) tienen los siguientes valores:
( 5)
A: (ecuación 3)
Cs = Es E', Als = 0.003 ES 1 -
Momento de la viga 2:
a
a
M2 = T2 (d--) = A s 2 fy ( d - T )
2
As2= A, - ASl = A, - A',
Cc = 0.85 f', a b
(ecuación 4)
T = A, fy
Por equilibrio en la fig. (c)
Sustituyendo As2:
M2 = (As - A',) fy (d-
T2 = As2 fy
(g) fuerzas en la viga 2
(f) viga 2
a
C, + C, = T = A, fy
Momento nominal total:
(ecuación 5)
Mn = MI + M2
Sustituyendo las ecuaciones 3 y 4 en la ecuación 5 y
poniendo como incógnita:
a
M, = A', fy (d- d') + (A, - A',) fy (d- -) (ecuación 1 )
2
El valor de a se encuentra por equilibrio en la fig. (g):
(0.85 Pcb)a2 + (0.003ESA', -Asfy)a - (0.003 ESAfs&d')= O
(ecuación 6)
4 2 fy = 0.85 f', ab
a
Una vez despejado el valor de a, el momento nominal
puede obtenerse tomando momentos de C, y C, dados por las ecuaciones 3 y 4, con respecto a T:
Puesto que As* = A, - A',
(ecuación 2)
Mn=C,(d-0.5a)+CS(d-8)
(ecuación 7)
Figura 5.9 Momento resistente nominal de secciones rectangulares doblemente armadas,
de acuerdo con el Reglamento ACI 3 18-02.
1 02
Flexión simple
Resistencia de elementos sujetos a flexión simple
103
1 04
Flexión simple
Resistencia de elementos sujetos a flexión simple
Para el siguiente tanteo se partió de la
base de que el acero de tensión también
fluía, ya que si se elevaba el eje neutro, la
deformación unitaria del acero sería aún
mayor que en el primer tanteo. Conocida
entonces la fuerza de tensión, se calculó el
valor de la profundidad del eje neutro suponiendo que todo el bloque de compresión
quedaba dentro del patín, ya que la fuerza
de compresión, Ci, del tanteo anterior era
mayor que el valor de T. El valor de c obtenido de esta manera resultó de 4 cm, con lo
cual se verificó la hipótesis de que el bloque
quedaba dentro del patín. Cuando el eje
neutro cae dentro del patín, como en este
caso, el comportamiento de la sección es
igual al de una sección rectangular cuyo ancho es el del patín.
También puede determinarse el momento resistente nominal de secciones T mediante
ecuaciones. Es necesario distinguir dos casos,
según que el bloque de esfuerzos de compresión caiga totalmente dentro del patín o que
una parte caiga dentro del alma. En la figura
5.1 0 se muestra el procedimiento a seguir y se
deducen las ecuaciones correspondientes.
Se supone primero que el bloque de esfuerzos de compresión cae totalmente dentro del patín y se calcula su profundidad a
partir de la condición de equilibrio de fuerzas (véase la ecuación i de la figura 5.8). Esto
equivale a suponer que la sección funciona
como una sección rectangular cuyo ancho
es el del patín.
S i la profundidad del bloque de esfuerzos, a, resulta menor que el grosor del patín,
t, la hipótesis del paso anterior era correcta
y se procede a calcular el momento resistente nominal con la ecuación deducida en la
figura 5.8.
Si, por el contrario, la profundidad del
bloque de esfuerzos resulta mayor que el grosor del patín, la hipótesis no era correcta y
es necesario deducir otras ecuaciones. Esta
deducción se hace en el paso 3 de la figura
5-10. El procedimiento consiste en dividir
105
la sección T completa, mostrada en las figuras 5.1 0(a) y (b), en dos secciones: la de las
figuras 5.1 0 (c) y (d), que está formada por
las alas del patín y un área de acero Asp necesaria para equilibrar la fuerza de compresión
correspondiente, y la de las figuras 5.1 0 (e) y
(f), formada por el complemento de la zona
de compresión y un área de acero Asaigual
al área total, A, menos el área Asp. Con las
ecuaciones 1 y 3 deducidas en la figura 5.1 0
pueden calcularse el área de acero Aspl que
corresponde a la llamada "viga patín", y la
profundidad del bloque de esfuerzos, a, de
la sección completa. Conocidos estos valores, el momento resistente nominal se puede
calcular con la ecuación 4 de la figura 5.1 0.
Obsérvese que en la deducción mostrada
en la figura 5.1 0 se supone que el acero de
tensión está fluyendo, ya que tanto en el valor de Tp de la figura 5.1 0 (d) como en el de
Ta de la figura 5.1 0 (f), el esfuerzo en el acero
es fy. Por lo tanto, la relación de acero p debe ser menor que la relación balanceada pb.
(Más adelante, en la figura 5.1 4, se determina el valor de pb para secciones T.)
En la última parte del ejemplo 5.4 se calcula el momento resistente nominal por el
procedimiento de ecuaciones. En este ejemplo, la profundidad del bloque de esfuerzos
de compresión resultó menor que el grosor del
patín, por lo que se usó la ecuación que corresponde a secciones rectangulares.
En el ejemplo 5.5 se resuelve una sección
en la que el bloque de esfuerzos de compresión cae dentro del alma, o sea, la sección funciona realmente como sección T. Este ejemplo
está resuelto con unidades del sistema SI.
SECCIONES T SIMPLEMENTE ARMADAS NTC-04
En el ejemplo 5.6, en el que se aplicaron las
NTC-04, el eje neutro quedó debajo del lecho inferior del patín. Al igual que en el ejemplo 5.4, se hizo un tanteo inicial en el cual
resultó que, para la profundidad ensayada,
106
Flexión simple
el acero fluía y que la fuerza de compresión
era mayor que la de tensión. Por ello, en el
segundo tanteo se supuso una profundidad
del eje neutro menor, lo que automáticamente garantiza que el acero fluye. Puesto
que la fuerza de compresión desarrollada
0.85 f',
1
b
1
T
(a) Viga completa
I
1
i-t
(b) Fuerzas en la viga completa
T =A
P
(c)Viga patín
(e) Viga alma
SP
f
Y
(d) Fuerzas en la viga patín
(f) Fuerzas,en la viga alma
Figura 5.10 Momento resistente nominal de secciones T, de acuerdo con el Reglamento ACI 31 8-02.
(Continúa en la página siguiente.)
Resistencia de elementos sujetos a flexión simple
107
1, ~ á l c u l ode a suponiendo que todo el bloque de esfuerzos de compresión cae dentro del patín
C = T
0.85 f', ba = A, fy
Si a 5 t, se continúa con el paso 2
Si a > t, se continúa con el paso 3
2. Se calcula el momento resistente nominal como s i se tratase de una sección con refuerzo de tensión Únicamente y con un ancho igual al del patín (figura 5.8)
M, = bd 2 f',
(1 - 0.5901)
p fy
donde w = f'c
3. A continuación se deducen las ecuaciones correspondientes a este caso
De las figuras (c) y (d):
Cp = Tp
Cp = 0.85 f', t (b - b')
TP = Asp fy
de donde:
A
,,
=
0.85 f', t (b - b')
(ecuación 1)
fy
De las figuras (e) y (f):
C, = Ta
C, = 0.85 f', b'a
Ta = Asa fy
de donde:
a=
Asa fy
0.85 f',
b'
(ecuación 2)
Asa = As - Asp
luego:
a=
(As - Asp) fy
0.85
b'
f',
(ecuación 3)
De las figuras (d) y (f):
t
= Asp fy ( d - -)
2
a
+ (A, - ASp) fy ( d - )
2
(ecuación 4)
Calculando ASpcon la ecuación 1 y a con la ecuación 3, puede calcularse el momento nominal con la ecuación 4.
Figura 5.1 0 (continuación).
1 08
Flexión simple
Resistencia de elementos sujetos a flexión simple
109
1 10
Flexión simple
Determinación de la relación balanceada
por el patín, Cl, no era suficiente para equilibrar la tensión proporcionada por el acero,
fue necesario considerar una contribución de
la nervadura. La magnitud de esta contribución, C2, se determinó por la diferencia entre
T y C1, ya que T = C y C = C1 + C2.Conocido
el valor de C2, se determinó la profundidad, S,
parte de la nervadura en compresión. El momento resistente se calculó tomando momentos
de las fuerzas de compresión con respecto al
centro de gravedad del acero.
En la parte final del ejemplo 5.6 se calcula el momento resistente por el procedimiento de ecuaciones. Nótese que las ecuaciones
1 y 3 de la figura 5.1 0 han sido modificadas
para adaptarlas a la hipótesis sobre distribución de esfuerzos de compresión de las NTC
(figura 5.7). Como en el caso de las vigas doblemente armadas, la modificación consiste
por f*,.
en sustituir f',
SECCIONES SIMÉTRICAS DE FORMA
CUALQUIERA
El procedimiento general es el mismo descrito anteriormente y se ilustra en la figura
11 1
5.1 1 . Consiste en obtener por tanteos un estado de deformaciones tal, que la sección
esté en equilibrio de fuerzas horizontales.
Cuando la forma de la zona de compresión no se presta a una determinación sencilla de sus características (área y centro de
gravedad), conviene dividirla en franjas estrechas paralelas al eje neutro, como se muestra
en la figura 5.1 1. Las fuerzas de compresión y
de tensión en el acero se calculan de la misma manera que en los ejemplos anteriores.
5.4 Determinación de la relación
balanceada
5.4.1 Secciones rectangulares simplemente
armadas
Se mencionó anteriormente que la resistencia
a flexión de secciones rectangulares simplemente armadas puede determinarse fácilmente por medio de la ecuación de la figura 5.8
o por medio de la gráfica del Ápendice A,
siempre que la sección sea subreforzada.
112
Flexión simple
Determinación de la relación balanceada
11 3
114
Flexión simple
Determinación de la relación balanceada
115
0.85 f',
T
T
C2 = resultante de las fuerzas
correspondientes a las
diversas franjas
Esfuerzos
I
Sección transversal
Fuerzas
Deformaciones
unitarias
Figura 5.1 1 Flexión en secciones simétricas de forma cualquiera. (Hipótesis ACI 31 8-02.)
Conviene, entonces, disponer de un medio
sencillo para determinar si la sección es subreforzada, o sea, si su relación de refuerzo,
p, es menor que la relación balanceada pb.
También es necesario calcular la relación
balanceada para fines de diseño, ya que, para
asegurar una ductilidad adecuada y reducir
así el riesgo de fallas frágiles, los reglamentos de construcción especifican usar siempre
relaciones de refuerzo menores que la balanceada.
Para secciones rectangulares simplemente armadas, la relación balanceada puede
calcularse con la ecuación
Esta ecuación se deduce en la figura
5.12. Como puede verse en dicha figura, se
obtiene de un estado de deformaciones unitarias en el cual se alcanzan simultáneamente
la deformación de aplastamiento del concreto, que se supone igual a 0.003, y la deformación de fluencia del acero de refuerzo. En
la figura 5.12 se han utilizado las hipótesis
del Reglamento ACI 31 8-02 para determinar
el bloque equivalente de esfuerzos. El mismo
procedimiento puede emplearse usando las
hipótesis de otros reglamentos. S i se usan
las NTC, el valor de pb es el siguiente:
f", 6000P,
P b = f Y ' +6000
i,
Esta ecuación se deduce de la 5.1, si se
sustituye f', por f*, y se toma en cuenta que
Pc = 0.85 f*,.
Hay dos enfoques usados en los reglamentos para garantizar que las vigas sean
11 6
Flexión simple
subreforzadas. En las NTC se especifica que
la relación de refuerzo, p, no exceda de 90
por ciento de la relación balanceada p o
b.'
de 75 por ciento si el elemento en cuestión
forma parte de sistemas que deban resistir
fuerzas sísmicas. En el Reglamento ACI se
especifica que la deformación unitaria del
acero más cercano a la cara en tensión de la
,
5.1 3, no sea menor que 0.004.
viga, E ~ figura
Esta deformación unitaria corresponde a una
relación de refuerzo ligeramente inferior a
0.75 pb.
Por triángulos semejantes:
5.4.2 Secciones rectangulares doblemente
armadas
También se mencionó al deducir las ecuaciones para calcular la resistencia de secciones
rectangulares doblemente armadas, en la figura
5.9, que dichas ecuaciones eran válidas siempre que fluyera el acero de tensión, o sea, que
la relación de refuerzo de tensión, p, fuese menor que la relación balanceada pb.Igualmente
para fines de diseño es conveniente disponer de
una expresión sencilla para el cálculo de pb.
1 Por equilibrio:
Despejando pb y sustituyendo c:
(ecuación 5.1 )
1
(
donde P, = 1 .O5- 1:i0)50.85
(figura 5.5)
Figura 5.12 Determinación de la relación balanceada, pb, de secciones rectangulares simplemente
armadas (hipótesis ACI 31 8-02).
Determinación de la relación balanceada
La deducción de las ecuaciones corres-
pondientes se presenta en la figura 5.14. La
ecuación 1 de esta figura permite calcular la
relación balanceada de acero de tensión
para el caso en que no fluye el acero de compresión, o sea, el caso 2 de la figura 5.9. La
utilización de esta ecuación resulta complicada en la práctica, porque es necesario
determinar previamente el valor de la fuerza de compresión en el acero, C,, y para
calcular este valor se requiere obtener el de
la profundidad del bloque de compresión
a. Resulta entonces más conveniente, si ya
se conoce el valor de a, determinar el valor
de E, por triángulos semejantes y compararlo con
para saber s i fluye el acero de
tensión.
Para el caso en que fluya el acero de
compresión, la ecuación se simplifica a
0.85P, f',
6000
f~
[6000+ fv
Esta ecuación sí se usa frecuentemente
en la práctica para seleccionar relaciones
de acero que aseguren la fluencia del acero de
tensión. El procedimiento consiste en selec-
11 7
cionar una determinada relación de acero de
compresión p' y calcular la relación balanceada de acero de tensión, pb, con la ecuación
5.3. Obsérvese que si se usa una relación de
acero de tensión, p, menor que pb fluirá
el acero de tensión, pero no necesariamente el
de compresión, por lo que se podría estar en
el caso 2 de la figura 5.9.
La ecuación 5.3 se obtuvo con las hipótesis del Reglamento ACI 31 8-02. Si se utililizan las NTC, debe sustituirse el término 0.85
f', por el término 0.85 f*,. Estas sustituciones se explican por comparación de las figuras 5.6 y 5.7. La cifra 6000, que sale del
producto E,E,, y por lo tanto tiene unidades
de kg/cm2, debe sustituirse por 600 MPa si
se usa el sistema SI.
5.4.3 Secciones T
Si el bloque de esfuerzos de compresión
queda totalmente dentro del patín, la viga
funciona como si fuese rectangular con un ancho igual al del patín, según se ha explicado
anteriormente. Por lo tanto, la relación balanceada pb se determina con la ecuación
5.1 tomando como ancho b el del patín. Si
el bloque de esfuerzos de compresión cae
dentro del alma, la relación balanceada
Figura 5.1 3 Deformaciones unitarias en una viga subreforzada.
1 18
Flexión simple
(
Por triángulos semejantes:
lio)
donde p, = 1 .O5- - i 0.85
(figura 5.5)
y C, se calcula con la ecuación 3 de la figura 5.9
6000
6000 + f,,
Si fluye el acero de compresión, f', = fy y la
ecuación 1 se simplifica a:
Por equilibrio:
(ecuación 5.31
Agrupando y sustituyendo el valor de c:
(ecuación 1)
Figura 5.14 Determinación de la relación balanceada, pb, de secciones rectangulares doblemente
armadas (hipótesis ACI 3 1 8-02).
Flexión asimétrica
puede calcularse con la siguiente ecuación
deducida en la figura 5.1 5
0.85ffC[ t i b - b')
f,
b'd
Obsérvese que en esta ecuación la relación pb está definida como A,/bld, o sea, está
calculada a partir del ancho del alma. Para
obtener las ecuaciones correspondientes a las
NTC y al sistema SI deben hacerse las mismas modificaciones señaladas para vigas
doblemente armadas.
Para secciones T y doblemente armadas, el Reglamento ACI señala que se debe
cumplir con el valor mínimo de especificado para secciones simplemente armadas,
figura 5.13.
5.5 Flexión asimétrica
En todos los casos anteriores, las secciones
transversales son simétricas con respecto a un
eje vertical y el momento flexionante actúa
en un plano vertical que pasa por dicho eje.
Cuando no se cumplen estas condiciones, la
flexión es asimétrica. Pueden considerarse
dos casos de.flexión asimétrica. El primero
de ellos se presenta en secciones que no
tienen ningún eje de simetría. El otro, más
frecuente, es el de secciones que tienen dos
ejes de simetría, pero en las que el momento flexionante actúa en un eje distinto de dichos ejes.
El primer caso se ilustra en la figura 5.1 6.
Para encontrar la resistencia de una sección
de este tipo, puede usarse el procedimiento de
tanteos descrito anteriormente. Debido a la
asimetría de la sección, es necesario verificar en cada tanteo que la resultante de fuerzas de compresión sea igual a la resultante
de fuerzas de tensión y, además, que ambas
resultantes queden en el plano de flexión o
estén contenidas en un plano paralelo a él.
1 19
Cuando las fuerzas de compresión y tensión
están en el plano de flexión, la sección no
tiene torsión; en cambio, s i están en un plano paralelo al de flexión, la sección sí tiene
torsión. Por ejemplo, en la figura 5.1 6, que
representa esquemáticamente un tanteo típico, las resultantes de compresión y de tensión
no están en un plano paralelo al de flexión.
Por lo tanto, generan un momento interno
alrededor del eje determinado por la intersección del plano de flexión con la sección
transversal, que no está equilibrado con un
momento externo de la misma magnitud. Para lograr la condición de equilibrio, es necesario hacer tanteos en los que se varíe tanto
la profundidad como la inclinación del eje
neutro. Esto hace que el procedimiento sea
más laborioso que en el caso de flexión simétrica.
E l segundo caso se ilustra en la figura
5.1 7 . Se trata de obtener el momento nominal resistente, M, de una sección con dos
ejes de simetría, cuando el plano de flexión
está inclinado con respecto a dichos ejes.
(La Iínea N - N en la figura señala la intersección del plano de flexión con la sección
transversal de la viga.) Para esto se proyecta
el momento M, (normal a la línea N-N) sobre
los ejes X y Y de simetría. Después se supone una posición del eje neutro, se calculan
los valores de las resultantes de compresión
y tensión de la manera ya descrita y se calculan también los momentos de dichas resultantes alrededor de los ejes X y Y. Para que
se satisfaga el equilibrio de la sección, las
resultantes de compresión y de tensión deben ser iguales entre sí y, además, la relación entre los momentos de las resultantes
alrededor de los ejes X y Y debe ser igual a
la relación entre las proyecciones del momento M, alrededor de los ejes correspondientes. Para lograr estas dos condiciones de
equilibrio es necesario comúnmente hacer un
gran número de tanteos variando la profundidad y la inclinación del eje neutro. (Nótese que en flexión asimétrica el eje neutro, en
120
Flexión simple
Por triángulos semejantes:
como c = alP1
Tomando el valor de a de la ecuación 3 de la figura 5.1 0:
Despejando A, y tomando el valor de ASpde la ecuación 1 de la figura 5.1 0:
Definiendo pb -- b'd'
+ p1i6000)]
6000 + f,
(ecuación 5.4)
Figura 5.15 Determinación de la relación balanceada, pb, de secciones T (hipótesis ACI 31 8-02).
Procedimiento general y comentarios sobre las hipótesis simplificadoras para cálculos de resistencias
12 1
flexión
,
Eje neutro supuesto
Figura 5.16 Primer caso de flexión asimétrica.
general, no es perpendicular al plano de flexión. Véase al respecto, por ejemplo, el inciso 8.3 de la referencia 5.7.)
Un procedimiento aproximado más
sencillo, consiste en calcular la resistencia
de la sección alrededor de los ejes de simetría
X y Y, como si se tratase de flexión simétrica. Estos momentos se denominan Mnx y
Mnyr respectivamente. Después se obtiene
una relación entre los momentos internos
Mx y Mycon la siguiente ecuación propuesta en la referencia 5.4
A partir de esta relación entre M, y MY,
y de la relación entre estos momentos, que
se establece al proyectar el momento M, sobre los ejes X y Y (figura 5.1 7), se pueden
calcular los valores de M, y Myy el valor de
M,, que es la resistencia a flexión asimétrica.
Este caso se conoce con el nombre de
flexión biaxial, ya que es equivalente al caso
de una sección sujeta a flexión en dos planos perpendiculares simultáneamente.
5.6 Procedimiento general y
comentarios sobre las hipótesis
simplificadoras para cálculos de
resistencias
En la sección 5.3.2 se indicó que los reglamentos de construcción hacen hipótesis simplificadoras con respecto a la distribución de
esfuerzos en la zona de compresión del concreto y el valor de la deformación unitaria
máxima útil del concreto para fines de cálculo de resistencia. En rigor, la resistencia a flexión puede determinarse sin necesidad de
recurrir a estas hipótesis si se conocen, o se
pueden suponer, las curvas esfuerzo-deformación del concreto y del acero. La determinación de la resultante de los esfuerzos de
compresión en el concreto y de su posición,
puede hacerse fácilmente dividiendo la zona de compresión en franjas, tal como se
ilustra en el ejemplo que se expone a continuación.
En la figura 5.1 8 se muestra un tanteo típico para una sección dada, usando las curvas esfuerzo-deformación del concreto y del
acero de la figura 5.1 9. En este tanteo se su-
122
Flexión simple
M"
4
Plano de flexión
Figura 5.1 7 Segundo caso de flexión asimétrica (flexión biaxial).
puso una deformación unitaria máxima en
compresión de 0.003, y una profundidad del
eje neutro de 24 cm (figura 5.1 8 6). La zona
de compresión se dividió en seis franjas y, a
partir de las deformaciones unitarias, se determinaron los esfuerzos en los bordes de
cada franja (figura 5.1 8 c), utilizando la curva
esfuerzo-deformación de la figura 5.1 9 a. Por
ejemplo, el esfuerzo de 348 kg/cm2 corresponde a una deformación unitaria de 0.0020
en esta última figura. Las fuerzas de la figura
5.1 8 d se obtuvieron multiplicando los esfuerzos promedio en cada franja por el peralte de
la franja y por el ancho de la sección. En este tanteo, la fuerza de tensión resultó mucho
menor que la de compresión, por lo que debe hacerse otro tanteo subiendo considerablemente el eje neutro. Cuando se igualen
ambas fuerzas, se calculan los momentos de
todas las fuerzas parciales con respecto al
eje geométrico, y el momento que se obtiene es el momento flexionante resistente para el valor supuesto de E.,
En la figura 5.20 se muestra una curva
con los valores del momento flexionante
resistente para distintos valores de la
deformación unitaria en la fibra extrema en
compresión. Puede verse en esta figura que
el momento flexionante varía muy poco para un intervalo amplio de valores de E
., Por
esta razón, los reglamentos de construcción
suponen un valor fijo de ecu, con lo cual
se obtiene un valor del momento flexionante suficientemente preciso, sin necesidad
de hacer varios tanteos con distintos valores de E.,
El procedimiento general descrito en esta
sección se ha empleado también para estudiar
la influencia de la forma de la curva esfuerzo-deformación del concreto sobre la resistencia a flexión. Se ha podido determinar
que la resistencia varía muy poco siempre que
se usen formas razonables de la curva esfuerzo-deformación. Esto justifica emplear
distribuciones sencillas, como los bloques
rectangulares que aceptan los reglamentos
más utilizados.
El procedimiento general implica una labor numérica considerable. Sin embargo, resulta relativamente sencillo elaborar programas
de computadora, e inclusive para máquinas de
bolsillo programables, y llevarlo a cabo.
123
Procedimiento general y comentarios sobre las hipótesis simplificadoras para cálculos de resistencias
ton
Sección
transversal
(a)
Distribución supuesta
de deformaciones
unitarias (b)
Esfuerzos
ikg/cm2)
(c)
Fuerzas
(ton)
(d)
Figura 5.18 Determinación de acciones internas por el procedimiento general usando las gráficas
esfuerzo-deformación de la figura 5.1 9.
400
-
300
N
6
y1
200
kU
1 O0
o
a) Concreto
6000
-
5000
4000
6
;;b
\*
3000
2000
1 O00
r l l l l l l l l l l l i l i l l l l l l l l l l l l l i i l l l l i l l i i l i i l l l l l l ~
itl
0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020 0.022 0.024
b) Acero
&S
Figura 5.19 Gráficas esfuerzo-deformación del concreto y del acero usadas en la figura 5.1 8.
1 24
Flexión simple
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
Deformación unitaria en la fibra extrema en compresión (E,)
Figura 5.20 Característica acción-respuesta, M - E,.
Referencias
5.1
5.2
5.3
5.4
Hognestad, E. "A Study of Combined Bending
and Axial Load in Reinforced Concrete Members". Boletín 399. Urbana, III., Engineering Experiment Station, University of Illinois, 1951.
Whitney, C.S. "Plastic Theory of Reinforced Concrete ~ e s i ~ n "Transactions
.
ASCE, Vol. 107,
1942.
Mattock, A.H., L. B. Kriz y E. Hognestad. "Rectangular Concrete Stress Distribution in Ultimate
Strength Design". Journal of the American Concrete Institute. Detroit, febrero 1961.
-. Strength and Serviceability Criteria for Reinforced Concrete Bridge Members. Washington, U .S.
Department of Commerce, Bureau of Public
Roads, 1966.
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
Granholm, H. A. General Flexural Theory o f
Reinforced Concrete. Nueva York, Wiley, 1965.
Rüsch, H. "Researches toward a General Flexural
Theory of Structural Concrete". Journal of the
American Concrete Institute. Detroit, julio, 1960.
Popov, E. P. Introducción a la mecánica de sólidos. México, Limusa, 1976.
Collins, M. P., Mitchell, D., MacGregor, J. G.
"Structural Design Considerations for High
Strength Concrete". Concrete International. Vol.
15, No. 5, mayo 1993.
Vijaya Rangan, B. "High-Performance HighStrength Concrete: Design Recommendations".
Concrete International. Vol. 20, No. 11, noviembre 1998.
Ejercicios
12 5
Ejercicios
Nota: en 10s e j e r ~ i ~ i 05.1
S a 5.8, úsense las
hipótesis simplificadoras de algún reglamento de construcción a elección del lector.
5.1
5.4
Calcular la resistencia de la siguiente sección y
determinar en qué lechos de refuerzo fluye el
acero.
Determinar si la siguiente sección es subreforzada
o sobrerreforzada:
300 kg/cm2
f', = 350 kg/cm2
4200 kg/cm2
3 barras del No. 6
A, = 3 barras del No. 6
5 barras del No. 8
5.2
5.3
Calcular la resistencia a flexión de la sección del
ejercicio anterior. Determinar la deformación unitaria en el acero en el momento de alcanzar la resistencia.
Calcular el área de acero, A,b, de la siguiente
sección, correspondiente a la condición balanceada. Calcular también la resistencia de la sección balanceada.
r
5.5
Calcular la resistencia de la siguiente sección:
75
1
e
f', = 250 kg/cm2
60 cm
fy = 2800 kg/cm2
Asb
e
•••
e..
;
I
qi
C-t
f', = 200 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
A, = 8 barras del No. 8
12 6
Flexión simple
5.6
Calcular la resistencia de la siguiente sección
(usual en algunos tipos de pilotes) y determinar
si fluye el acero de tensión. Resolver el problema para dos casos. En el primero, supóngase
que la fibra extrema en compresión es un vértice del triángulo y que el plano de flexión es
normal a la base. En el segundo, supóngase que
la fibra extrema en compresión es una base del
triángulo y que el plano de flexión es normal a
la base.
5.8
Calcular la resistencia a flexión de la siguiente
sección usando la ecuación 5.5.
A
T
40 cm
T-/
Plano de flexión
D
250 kg/cm2
4200 kg/cm2
10 barras del No. 8
f', = 200 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
5.9
I
I
5.7
A, = 3 barras del No. 4
Calcular la resistencia a flexión de la siguiente
sección, y determinar qué barras fluyen.
p+
Plano en flexión
I
f', = 200 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
A, = 6 barras del No. 8
Utilizando el procedimiento general descrito en
la sección 5.6, calcule el momento flexionante
resistente de la sección mostrada en la figura
5.18, cuando la deformación unitaria en la fibra
extrema en compresión es de 0.004. Utilice las
gráficas esfuerzo-deformación del concreto y del
acero de la figura 5.1 9. Compruebe la respuesta
en la figura 5.20.
-
CAP~TU
LO
6
Flexión y carga axial
6.1 Introducción. /6.2 Comportamiento y
modos de falla de elementos sujetos a flexocompresión. /6.3 Cálculo de resistencia./
6.4 Elementos con dos planos de simetría
sujetos a carga axial y flexión en un plano
cualquiera. /6.5 Elementos sin planos de
simetría sujetos a carga axial y flexión en
un plano cualquiera. /6.6 Flexotensión.
6.1 Introducción
En este capítulo se presentan los procedimientos necesarios para determinar la resistencia
de elementos de concreto reforzado sujetos a
la acción de carga axial y momento flexionante. Se consideran aquí únicamente elementos
muy cortos, en los que no existen problemas
de esbeltez. Se supondrán conocidas la geometría del elemento, incluyendo la cantidad y
distribución del acero de refuerzo, la calidad
del concreto, definida por una cierta resistencia nominal (f',), y la calidad del acero, definida por su esfuerzo de fluencia (fy).
Considerando el problema de un modo
general, se puede suponer que la carga axial,
P, y el momento flexionante, M, varían independientemente. En la figura 6.la se muestra
una representación esquemática de un elemento bajo la acción de P y M, y en la figura
6.1 b, un sistema estáticamente equivalente
en el que M = Pe. Es importante señalar que en
algunas estructuras, P y M varían en la misma
proporción en una sección transversal dada
al variar las condiciones de carga externa.
Esto equivale a afirmar que la excentricidad,
e, permanece constante. Sin embargo, en otros
casos P y M pueden variar en distinta forma,
y entonces e no es constante.
Un elemento puede alcanzar su resistencia bajo innumerables combinaciones de
carga axial y momento flexionante. Estas
combinaciones varían desde una carga axial
máxima, Po, de tensión o compresión, y un
, aunamomento nulo, hasta un momento M
do a una carga axial nula. El lugar geométrico
de las combinaciones de carga axial y momento flexionante con las que un elemento
puede alcanzar su resistencia, se representa
gráficamente por medio de un diagrama de
interacción. La figura 6.2 muestra uno típico
para una sección rectangular con refuerzo
Figura 6.1 Elementos equivalentes sujetos a flexocompresión.
1 28
Flexión y carga axial
Figura 6.2 Diagrama de interacción típico para
una sección rectangular.
simétrico. Cualquier punto en la curva de
trazo continuo representa una combinación
de momento y carga axial que hace que el
elemento alcance su resistencia.
Puede observarse que s i únicamente se
aplicara carga axial de compresión, el valor
máximo, o resistencia, correspondería al
punto Po,. De igual manera, la carga axial
máxima de tensión sería la correspondiente
a Pat. Si la sección se sujetara sólo a momento flexionante, el máximo que podría aplicarse sería el marcado con M;, Nótese que
el máximo momento flexionante que la sección es capaz de resistir no es el que corresponde a una carga axial nula.
Cuando al aumentar la carga externa el
momento y la carga axial crecen en la mis-
ma proporción, la historia de carga queda
representada por una recta desde el origen,
con una pendiente igual al cociente P/M = lle.
Para las combinaciones de carga representadas por la recta OA de la figura 6.2, la resistencia correspondería a la combinación M,
P., En la figura se observa también que para
un mismo momento, Mb, existen dos valores de carga axial que hacen que la sección
alcance su resistencia. Finalmente, la línea
OC representa una historia de carga cualquiera.
El diagrama de interacción de la figura
6.2 corresponde a un elemento definido perfectamente en su geometría y materiales, y
representa el conjunto de valores de acciones interiores máximas que el elemento es
capaz de soportar. E l conocimiento necesario
para llegar a esta representación se ha ido
acumulando de investigaciones experimentales sobre el comportamiento de elementos
de concreto reforzado sujetos a flexión y
carga axial. Estos estudios abarcan desde ensayes en vigas simplemente apoyadas con
cargas concentradas simétricas hasta ensayes en elementos de concreto reforzado sujetos a compresión axial o a compresión
excéntrica. También se han llevado a cabo
algunos estudios, mucho más reducidos, de
elementos sujetos a flexotensión. Con base
en esta información, ha sido posible elaborar teorías apoyadas en hipótesis razonables,
por medio de las cuales se puede predecir la
resistencia de un elemento con un grado tolerable de precisión. Utilizando cualquiera
de estas teorías se pueden obtener diagramas de interacción, como el mostrado en la
figura 6.2.
En la actualidad se puede predecir la resistencia de un elemento de concreto reforzado sujeto a flexión y carga axial con un
error no mayor del 25 por ciento de la capacidad real que se obtendría si dicho elemento
se ensayase hasta la falla. En casos usuales, con
flexión en torno a uno de los ejes principales, el error es del orden del 10 por ciento.
Cálculo de resistencia
Esta aproximación es satisfactoria para fines
de diseño estructural.
6.2 Comportamiento y modos de
falla de elementos sujetos
a flexocompresión
tipo de espécimen usado en investigaciones de elementos sujetos a flexocompresión
es semejante al que aparece en la figura 6.3,
donde se indican esquemáticamente el refuerzo usual y una posible configuración de
agrietamiento. Generalmente la carga P se
aplica a una excentricidad constante. Esto
hace que toda la zona prismática del espécimen esté sujeta a una carga axial y a un
momento flexionante que crecen en la misma
proporción, hasta el colapso.
Existen dos modos principales de falla
de elementos sujetos a flexocompresión: falla en compresión y falla en tensión.
129
En el primer caso la falla se produce por
aplastamiento del concreto. El acero del lado
más comprimido fluye, en tanto que el del
lado opuesto no fluye en tensión.
El segundo modo de falla se produce
cuando el acero de un lado fluye en tensión
antes de que se produzca el aplastamiento
del concreto en el lado opuesto, más comprimido.
E l tipo de falla depende esencialmente
de la relación entre momento y carga axial
en el colapso. En el diagrama de interacción
mostrado en la figura 6.2, el punto D separa
la zona de fallas en compresión de la de fallas en tensión; recibe el nombre de punto
de falla balanceada.
Se ha observado que el efecto del refuerzo helicoidal sobre la resistencia disminuye apreciablemente en cuanto la carga
axial tiene cierta excentricidad, aunque la
hélice sigue aumentando la ductilidad del
elemento.
También en este caso cabe notar que las
mediciones de deformaciones han indicado
que éstas varían linealmente a lo largo del
peralte, es decir, las secciones transversales
se mantienen planas antes y después de la
deformación.
6.3 Cálculo de resistencia
6.3.1 Determinación del diagrama
de interacción
Figura 6.3 Espécimen para ensaye en
flexo~om~resión
con agrietamiento típico.
En la sección 6.1 se dijo que un diagrama de
interacción es la representación gráfica del
lugar geométrico de las combinaciones de
carga axial y momento flexionante que hacen
que un elemento alcance su resistencia. Así,
si se cuenta con el diagrama de interacción
de un elemento dado, se conocen todas las
combinaciones de carga axial y momento
que puede soportar.
El diagrama de interacción de un elemento puede obtenerse a partir de las hipó-
1 30
Flexión y carga axial
tesis descritas en la sección 5.3 para el
cálculo de la resistencia de elementos sujetos
a flexión pura. Pueden usarse las hipótesis
simplificadoras sobre la forma del diagrama
de esfuerzos de compresión en el concreto y
sobre la deformación unitaria máxima útil
de concreto, o bien, puede aplicarse el procedimiento general descrito en la sección
5.6. El primer enfoque se ilustra en el ejemplo 6.1, y el segundo en la figura 6.4.
El diagrama de interacción se obtiene
determinando varios puntos que lo definan.
El procedimiento para encontrar un punto
cualquiera es, esencialmente, el mismo usado
en flexión para calcular las fuerzas de compresión y de tensión, una vez supuesta la
profundidad del eje neutro. Sin embargo, no
es necesario hacer varios tanteos hasta igualar ambas fuerzas, ya que su diferencia representa la fuerza normal, P, y el momento
con respecto al eje geométrico representa el
momento flexionante, M, que corresponden
al estado de deformaciones determinado por
la profundidad supuesta del eje neutro. Por lo
tanto, para cada estado de deformaciones se
obtiene un valor de P y uno de M, que definen un punto del diagrama de interacción.
Los diagramas de interacción tienen la
forma general mostrada en la figura 6.2. Se
puede definir un diagrama en forma aproximada estimando los siguientes puntos, o
puntos cercanos a ellos:
a) El punto Po,, que corresponde a carga axial de compresión pura, para el
cual se supone un estado de deformaciones unitarias de compresión
uniforme (en secciones simétricas).
b) El punto D, que corresponde a la falla balanceada, para el cual se supone
un estado de deformaciones unitarias
definido por E,, en la fibra extrema
en compresión y por
en el acero
de tensión. Este estado de deformaciones es el que se tiene cuando, simultáneamente, el concreto alcanza
su deformación máxima útil y el acero su límite de fluencia.
C) E l punto M
, que corresponde a momento sin carga axial, para el cual se
supone un estado de deformaciones
semejante a los obtenidos en el capítulo 5 para cálculos de resistencia a
flexión.
d) Un punto adicional entre los puntos
Po, y DI y otros dos puntos entre los
puntos D y M.,
En la mayoría de los casos, estos puntos
son suficientes para definir con precisión
adecuada el diagrama de interacción. En
ocasiones se determinan puntos en la zona
de flexotensión. La determinación de estos
puntos se trata en la sección 6.6.
El procedimiento con hipótesis simplificadoras se ilustra en el ejemplo 6.1, en el
que se han usado las hipótesis simplificadoras del Reglamento ACI 31 8-02. Se trata de
calcular el diagrama de interacción de una
sección con porcentajes iguales de refuerzo
de compresión y de tensión, como es usual
en columnas. La sección tiene también dos
barras a medio peralte y en el ejemplo se ha
considerado la contribución de estas barras.
El primer punto que se determina es el
que corresponde a compresión sin momento
(punto Po, de la figura 6.2). Debido a que la
sección es simétrica, el estado de deformaciones correspondiente es uniforme, como
se muestra en el diagrama del ejemplo. Este
caso resulta igual al de una columna sujeta
a carga axial pura (capítulo 4), y la resistencia puede calcularse con la ecuación 4.1, la
cual expresa que la resistencia total es la suma de las contribuciones del concreto y del
acero. En secciones no simétricas, si se supone un estado uniforme de deformaciones
se obtiene también un momento, por lo que
el punto que se calcula no cae sobre el eje
de ordenadas del diagrama de interacción.
Sin embargo, tal punto resulta útil, ya que
por lo general está localizado cerca del eje
Cálculo de resistencia
de ordenadas y sirve para determinar gráficamente la intersección del diagrama con el
eje. A continuación se calcula en el ejemplo
el punto correspondiente a la falla balanceada (punto D en la figura 6.2). El estado de deformaciones unitarias se fija de tal manera
que la deformación en la fibra extrema en
compresión es igual a la deformación máxima útil del concreto (0.003 según el Reglamento ACI 31 8-02), y la deformación en el
acero de tensión más alejado del eje neutro
es igual a la deformación de fluencia (0.0021
para acero de 4200 kg/cm2 de esfuerzo de
fluencia). A partir del diagrama de deformaciones unitarias se calculan las deformaciones
unitarias, E, en todos los lechos de refuerzo;
después se calculan los esfuerzos en el
acero, que son iguales al esfuerzo de fluencia
cuando la deformación unitaria es mayor que
la de fluencia, e iguales a €,Es, cuando es menor, y a continuación se calculan las fuerzas
en los distintos lechos de acero, F,, multiplicando las áreas de acero por los esfuerzos correspondientes. Por triángulos semejantes se
calcula la profundidad del eje neutro, c, y a
partir de ésta, la profundidad del bloque equivalente ( 0 . 8 5 ~en este caso) y la fuerza de
compresión en el concreto, C,. Para el estado
de deformaciones supuesto, los dos lechos superiores de acero trabajan a compresión, y el
lecho inferior a tensión. La suma algebraica
de todas las fuerzas que actúan en la sección,
da el valor de la fuerza normal, P, que resulta de compresión, y la suma de momentos alrededor del eje geométrico es el momento
flexionante resistente, M. De esta manera se
obtiene el punto de falla balanceada.
A continuación se calcula un punto cercano al punto M, de la figura 6.2, o sea, al
de momento sin carga axial.
Para obtener el punto M, con precisión,
sería necesario hacer varios tanteos hasta
igualar las fuerzas de compresión con las de
tensión, como en la determinación de la resistencia a flexión (capítulo 5); basta con obtener un punto cercano. En el caso de este
1 31
punto (punto 3), se fijó la profundidad del
eje neutro, y por triángulos semejantes se
determinaron las deformaciones unitarias en
todos los lechos de refuerzo. Por lo demás, el
procedimiento es igual al del punto anterior.
Con la profundidad del eje neutro supuesta,
se obtuvo una carga axial de tensión de 22.6
ton, la cual es pequeña comparada con la de
los dos puntos anteriores. Esto significa que
el punto está ligeramente por debajo de las
abscisas. Aun cuando la carga axial hubiera
resultado de magnitud considerable, el punto hubiese servido para determinar el diagrama de interacción, ya que todos los puntos
calculados de la manera descrita están sobre
dicho diagrama.
El punto 4 se calculó para tener un punto intermedio entre el punto correspondiente
a compresión pura y el de falla balanceada.
El estado de deformaciones supuesto es tal,
que en el lecho inferior de acero se tiene
una deformación nula. Esto simplifica un
poco los cálculos. Por lo general, el diagrama no se aparta mucho de una Iínea recta en
la zona considerada, y con un solo punto es
suficiente para definirlo. Sin embargo, si se
desea una gran precisión o si se observa que
el diagrama dista mucho de ser lineal, pueden
calcularse más puntos en esta zona suponiendo diagramas de deformaciones unitarias
intermedios entre los dos puntos 1 y 2. Si no
se necesita una gran precisión, los puntos de
carga axial pura y de falla balanceada pueden unirse con una Iínea recta.
Para definir el diagrama entre los puntos
de falla balanceada y de flexión pura, en el
ejemplo se calcularon otros dos puntos suponiendo diagramas de deformaciones unitarias intermedias. En esta zona del diagrama
es necesario, por su gran curvatura, calcular
dos puntos como mínimo para definirlo.
Al final del ejemplo se muestra un diagrama dibujado a escala con los valores obtenidos. Con este diagrama puede conocerse
la resistencia de la sección para cualquier
combinación de P y M. Para fines de ilustra-
1 32
Flexión y carga axial
Cálculo de resistencia
1 33
1 34
Flexión y carga axial
Cálculo de resistencia
135
136
Flexión y carga axial
Cálculo de resistencia
13 7
1 38
Flexión y carga axial
Cálculo de resistencia
139
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Flexión y carga axial
Cálculo de resistencia
ción, al final del ejemplo 6.1 se muestra la
obtención de la resistencia de la columna
cuando la carga actúa con una excentricidad de 30 cm.
La carga obtenida de esta manera es la
resistencia nominal de la columna usada en el
ejemplo, Pn. Para obtener la carga de diseño,
sería necesario multiplicar la carga anterior
por el factor de reducción de resistencia, 4.
El Reglamento ACI 3 1 8-02 especifica valores
de que dependen del tipo de falla. Si el
elemento falla en un punto del diagrama de
interacción que corresponde a falla por
compresión, o sea, por arriba del punto D de
la figura 6.2, el valor es de 0.70 para refuerzo helicoidal y 0.65 para otro tipo de refuerzo.
S i el miembro falla en flexión pura o cerca
de la falla en flexión pura, el valor es de
0.90. Para fallas comprendidas entre los
puntos anteriores, se interpela linealmente.
En la figura 6.4 se ilustran estas disposiciones. Para la zona de falla por compresión, el
valor de la deformación unitaria en el lecho
de acero más cercano a la zona de tensión,
st (ver figura 5.1 3), es de 0.002, que corresponde a la falla balanceada.' Se considera
que el miembro falla en flexión pura, o cerca de la flexión pura, si la deformación es
igual o mayor a 0.005, y la zona de transición es la correspondiente a falla en tensión
del diagrama de interacción, o sea, entre los
puntos M, y D de la figura 6.2. En la figura
6.4 se muestran las ecuaciones que corresponden a la interpolación en la zona de
transición.
El procedimiento descrito anteriormente
puede aplicarse a secciones de otras formas
y con diferentes hipótesis simplificadoras.
'EI valor de 0.002 se obtiene en unidades inglesas dividiendo el esfuerzo de fluencia del acero, 60,000 psi, entre el rnódulo de elasticidad del acero de 30 x l o 6 psi. En sistema
métrico, el valor es de 0.0021. Los valores son para acero
grado 60 en unidades inglesas y con 4200 kg/cm2 de esfuerzo de fluencia en sistema métrico. En la figura 6.4 se ha respetado el valor obtenido con unidades inglesas.
141
Figura 6.4 Valores del factor de reducción,
$J, en la transición entre fallas por compresión
y fallas por flexión.
También puede aplicarse definiendo las características geométricas y mecánicas de la
sección por medio de literales, lo cual tiene
la ventaja de que se obtienen diagramas adimensionales que sirven para cualquier sección
de esas características. Esto se ha hecho tanto con las hipótesis del Reglamento ACI 31802 como con las NTC-04 del Reglamento del
Distrito Federal, para obtener diagramas de
interacción de uso general. En el Apéndice C
se presentan algunos calculados por el autor
t6.21, aplicando las hipótesis del Distrito Federal, para secciones rectangulares y circulares. Estos diagramas cubren la mayoría de
las secciones que se encuentran normalmente y simplifican de manera notable el
cálculo de resistencias a flexocompresión Y
flexotensión. Sólo es necesario calcular el
diagrama de una sección dada cuando dicha
sección difiere mucho de las que aparecen
en los diagramas adimensionales disponibles y la precisión que se obtiene interpolando no es suficiente.
En la referencia 6.1 se proporcionan
diagramas de interacción adimensionales
basados en las hipótesis del Reglamento ACI
31 8-77, que son semejantes a las del Reglamento ACI 31 8-02.
La obtención de diagramas de interacción adimensionales como los de las referencias 6.1 y 6.2 se hace normalmente con la
142
Flexión y carga axial
ayuda de computadoras. Esto permite calcular fácilmente un gran nlímero de puntos de
cada diagrama, por lo que éstos quedan perfectamente definidos.
Otra manera de resolver el problema
con ayuda de computadoras, es disponer de
un programa que trace el diagrama de interacción de una sección definida. Ahora que
se dispone de equipos de buena capacidad
en oficinas y hasta en el hogar, este método
resulta más ventajoso. En la referencia 6.5 se
presenta un programa para este fin.
El cálculo de resistencias utilizando diagramas de interacción adimensionales se ilustra en el ejemplo 6.2. Se trata de obtener la
carga excéntrica, P, que se puede aplicar a
la columna circular mostrada, lo que equivale
a aplicarle una carga axial, P
,, y un momento
flexionante, P,e. El ejemplo está resuelto con
los diagramas adimensionales del Apéndice C
y con el sistema SI de unidades.
En primer término se obtuvo la relación
d/D, que resultó 0.75, por lo que se debe usar
la gráfica C.17 que corresponde a esta relación. De acuerdo con los datos del problema,
es posible conocer los valores de e/D, y de
q. Con el primero se puede escoger la Iínea
radial correspondiente, y con el segundo, el
diagrama de interacción. Para este problema,
el valor de e/D calculado es muy cercano a la
Iínea radial que tiene el valor 0.60, y el valor
de q nos indica que debemos considerar un diagrama de interacción intermedio entre los dibujados para q = 0.4 y q = 0.6, más cercano
al segundo que al primero. La intersección de
la radial y el diagrama de interacción define un
punto cuya ordenada, K, tiene un valor de
0.1 8. A partir de este valor, se puede calcular
la carga P, como se muestra en el ejemplo.
Ya que en el ejemplo se han usado las
,,
NTC-04, debe incluirse, en el cálculo de P
el factor de reducción FR. Las NTC-O4 señalan que, para flexocompresión, se tomará un
valor de 0.8 cuando el núcleo esté confinado por un zuncho y también cuando el elemento falle en tensión, y un valor de 0.7
cuando el núcleo no esté confinado y la falla
sea en compresión. En el ejemplo, la falla es
en compresión, ya que la interacción de la
Iínea radial y del diagrama de interacción
queda situada ligeramente arriba del punto
de falla balanceada del diagrama de interacción. Por esta razón, y porque no se especifica el zuncho, se tomó FR = 0.7.
6.3.2 Obtención de la resistencia por tanteos
utilizando hipótesis simplificadoras
El procedimiento descrito en la sección anterior, que consiste en obtener la resistencia a
partir del diagrama de interacción, es apropiado cuando se va a determinar la resistencia de
una sección para distintas combinaciones de P
y M, o para distintas excentricidades de la carga aplicada. Cuando se trata de calcular la resistencia para una sola combinación de P y
M, resulta más conveniente el procedimiento
de tanteos descrito en esta sección.
Este procedimiento consiste en calcular
los valores de P y de M para una configuración
supuesta de deformaciones unitarias, de la
misma manera que en el ejemplo 6.1. Se determina después la excentricidad, e = M/P, y
se compara con la excentricidad de la carga
externa. Si coinciden las dos excentricidades, el problema está resuelto, y si no coinciden, se hacen otros tanteos cambiando la
configuración de deformaciones unitarias
hasta lograr la coincidencia. Se ve que el
procedimiento es básicamente el mismo que
el usado en el capítulo 5 para calcular la resistencia en flexión. La diferencia estriba en
que para flexión se procede a tantear hasta
que C sea igual a T (lo cual equivale a la condición P = O y e = m), mientras que para flexocompresión se tantea hasta que M/P sea
igual a la excentricidad buscada.
En el ejemplo 6.3 se ilustra este procedimiento aplicado a una sección rectangular
con refuerzo asimétrico. El ejemplo se ha resuelto mediante las hipótesis simplificadoras
del Reglamento ACI 3 18-02. En el primer tan-
Cálculo de resistencia
143
1 44
Flexión y carga axial
teo, la excentricidad que corresponde a los
valores obtenidos de las acciones internas P
y M es de 31.7 cm, la cual difiere de la excentricidad de la carga, que es de 40 cm, como
se indica en los datos del problema. Para
aumentar la excentricidad, en el segundo
tanteo se disminuyó la profundidad del eje
neutro, con lo que la excentricidad resultante coincidió con la excentricidad dada
como dato. La carga que puede resistir la
sección, por consiguiente, es el valor de Pn
obtenido en el segundo tanteo, o sea 103.9
ton. La carga de diseño se obtendría multiplicando este valor de P,, por el factor de reducción @.De acuerdo con las ecuaciones de
la figura 6.4, para este caso de una columna
de estribos, @ sería igual a 0.48 + 83 E~
ya que la deformación unitaria en el lecho
de acero más cercano a la cara de tensión es
E,-2 = 0.00375.
6.3.3 Procedimiento general
En las secciones anteriores se ha indicado la
manera de obtener las acciones internas máximas en una sección, utilizando hipótesis
simplificadoras referentes a la deformación
unitaria máxima útil del concreto y al diagrama de esfuerzos de compresión. Es posible
emplear también el procedimiento general
descrito en la sección 5.6 para el caso de
flexión, el cual es aplicable para cualquier
diagrama esfuerzo-deformación tanto del
concreto como del acero.
En la figura 6.5 se ilustra la obtención de
los valores de Pn y M, para una sección deter-
A', = 2 barras No. 6 = 5.8 cm2
A, = 3 barras No. 8 = 15 cm2
Sección transversal
Distribución
supuesta de
deformaciones
unitarias
Esfuerzos
(kglcm2)
Fuerzas
(ton)
(a)
(b)
(c)
(d)
ZF = P, = 139.8 ton
Brazos
(cm)
ZMA = M, = 55.32 ton-m
excentricidad = e = M,IP, = 39.5 cm
Figura 6.5 Evaluación de acciones interiores.
Momentos
(ton-m)
Cálculo de resistencia
145
1 46
Flexión y carga axial
Cálculo de resistencia
147
1 48
Flexión y carga axial
minada suponiendo el estado de deformaciones unitarias indicado en la figura 6.5b. Las
curvas esfuerzo-deformación del concreto y
del acero son las de la figura 5.1 9 (capítulo
5). Aplicando el procedimiento para distintas configuraciones de deformaciones unitarias, se obtuvo el diagrama de interacción de
la figura 6.6.
Debe observarse que, para obtener los
valores correspondientes a las resistencias,
es necesario hacer tanteos variando la deformación máxima en el concreto, pero manteniendo la excentricidad constante, hasta
obtener un valor máximo de M, tal como se
hizo en la sección 5.6 en el caso de flexión
simple. De ahí que en la figura 6.6 los diagramas de deformaciones unitarias correspondientes a los distintos puntos del diagrama
de interacción mostrados, tienen diferentes
valores de deformación máxima en compresión.
6.4 Elementos con dos planos
de simetría sujetos a carga
axial y flexión en un plano
cualquiera
6.4.1 Solución por tanteos
supuesta del eje neutro que, junto con el valor de so = 0.003, fija la distribución de deformaciones unitarias, las que tienen valores
constantes en secciones paralelas al eje
neutro supuesto. En este ejemplo, la zona
sujeta a compresión tiene forma trapecial.
Se calculan las fuerzas, los brazos y los momentos referidos a los ejes x y y. Se obtienen
entonces valores de P, M, y Mypara la posición supuesta del eje neutro. Si los valores
de e, = Mx/P y ey = MyIP coinciden con los
dados, el problema está resuelto; si no, debe
cambiarse la posición del eje neutro y repetirse el proceso hasta que se obtengan
excentricidades que coincidan con las dadas. El cambio en la posición del eje neutro
consistirá en general en una traslación y una
rotación.
El proceso descrito predice satisfactoriamente la resistencia, pero es muy laborioso.
La convergencia es lenta debido a que los
valores de las excentricidades son muy sensibles a pequeñas variaciones en la posición del
eje neutro. Sin embargo, para algunos casos
particulares, se han desarrollado diagramas
de interacción, mediante programas para
computadora electrónica. En la referencia 6.4
se presentan diagramas para resolver casos de
columnas rectangulares y de columnas en forma de cruz. En la siguiente sección se presenta un procedimiento aproximado.
El problema consiste en encontrar el valor
máximo de la carga axial P que actúa fuera
de los planos de simetría, a distancias e, y
ey de ellos. Esta condición es estáticamente
equivalente a considerar el elemento sujeto
a una carga axial P y a dos momentos flexionantes, M, = Pe, y My= Pey.
Para un elemento de geometría y excentricidades dadas, aplicando las hipótesis
simplificadoras o el procedimiento básico a
partir de características esfuerzo-deformación, por tanteos sucesivos se puede obtener
el valor máximo de la carga P que actúa a
las excentricidades dadas. En la figura 6.7 se
presenta un cálculo típico para una posición
6.4.2 Fórmula de Bresler
Bresler [6.3] ha desarrollado una expresión
sumamente simple para calcular los valores
máximos de la carga de compresión que actúa a excentricidades e, y ey en secciones
rectangulares con refuerzo simétrico. La expresión que propone es:
Elementos con dos planos de simetría sujetos a carga axial y flexión en un plano cualquiera
149
Figura 6.6 Diagrama de interacción para el elemento de la figura 6.5.
U
+ 20.00 + 10 + 22.5 +2.0
+ 28.00
O + 25.54
O + 7.16
-
+ 22.56
(de todas las
barras)
-20.00 + 10 -22.5 -2.0
-20.00
O -22.54
O
-20.00 - 10 -22.5 -2.0
Deformaciones
unitarias (milésimas)
Fuerzas
(ton)
M = 4.42 ton-m
M ~ 40.7
= ton-m
Brazos
(cm)
Momento
(ton-m)
ex = 4.42/70.2 = 0.063 m
e = 40.7170.2 = 0.58 m
Figura 6.7 Cálculo típico para una posición cualquiera del eje neutro; flexión en dos direcciones.
150
Flexión y carga axial
donde
6.4.3 Ecuación de la superficie de falla
Pn = carga normal máxima que actúa a
excentricidades e, y ey;
P, = carga normal máxima a una excentricidad e, contenida en un plano
de simetría (e - 0);
y,
Py = carga normal maxima a una excentricidad ey contenida en un plano de
simetría normal al anterior (e, = O), y
Po = carga axial máxima que puede resistir el elemento (e, = ey = 0).
Otro enfoque para analizar columnas sujetas
a carga axial y flexión en dos planos es el
propuesto por C.T. Hsu [6.5]. Consiste en representar la superficie de interacción de la
figura 6.8 por la ecuación:
Puede verse que la ecuación 6.1 reduce
el problema a una combinación de soluciones
más simples: dos de flexocompresión en un
plano de simetría y una de compresión axial.
Para elementos simétricos, con una carga
normal que actúe en un punto cualquiera del
plano de la sección del elemento, el lugar
geométrico de los valores máximos de carga
axial que el elemento es capaz de resistir es
una superficie de interacción (figura 6.8) cuyas trazas con los planos x y y serán los diagramas de interacción para flexión en una
dirección que se han mostrado anteriormente.
La expresión propuesta por Bresler representa una familia de planos que aproximan
los puntos de la superficie de interacción.
Esta expresión es válida para valores de Pn
mayores que 0.1 Po, aproximadamente. La
ecuación 6.1 verifica los resultados de los
ensayes disponibles dentro de 20 por ciento
de aproximación.
En la figura 6.7 se muestra que, para la
posición del eje neutro escogida, la carga
axial máxima se encuentra a e, = 6.3 cm,
ey = 58 cm y vale 70.2 ton. Como ilustración
de la aproximación que da la fórmula de
Bresler, se encontraron los valores de P, = 295
ton, Py= 78.5 ton y Po = 51 4 ton, usando los
diagramas de interacción de la referencia
6.6, utilizando f", = 238 kg/cm2 y fy = 4000
kg/cm2. Se encontró así Pn = 70.5 ton, valor
que coincide con el calculado con el procedimiento general.
donde (ver figura 6.9):
= carga axial nominal aplicada
=
momentos nominales apliM
,,, Mny
cados alrededor de los ejes
x y y, respectivamente
= resistencia nominal a carPO
ga axial
= resistencia nominal a carPnb
ga axial en la condición
balanceada
Mnbx, Mnby = momentos nominales resistentes alrededor de los
ejes x y y, respectivamente, en la condición balanceada.
Pn
Los valores de Po, Pnb, Mnbx y Mnqydependen de las propiedades de la seccion y
pueden calcularse como ya se ha visto en
este capítulo. S i los mamentos Mnxy Mnyse
expresan como la carga axial multiplicada
por las excentricidades correspondientes, la
única incógnita de la ecuación 6.2 resulta la
carga axial P, la cual puede encontrarse resolviendo la ecuación. Aunque la incógnita
queda elevada a la potencia 1.5, la ecuación
puede resolverse por tanteos.
La ecuación 6.2 también puede usarse
para diagramas de interacción con flexión
en un solo plano haciendo nulos los términos que corresponden al eje perpendicular.
Elementos con dos planos de simetría sujetos a carga axial y flexión en un plano cualquiera
I
Figura 6.8 Superficie de interacción.
Figura 6.9 Parámetros que definen la ecuación de la superficie de falla [6.5].
151
152
Flexión y carga axial
Se han comparado los resultados obtenidos
con este método con numerosos ensayes y se
ha encontrado una excelente correlación t6.51.
6.5 Elementos sin planos de
simetría sujetos a carga axial y
flexión en un plano cualquiera
En este caso son aplicables tanto el procedimiento básico como las hipótesis simplificadoras. Aunque es muy complicado resolver
este tipo de problemas en una forma general, es posible tratar casos particulares, definidos en geometría y refuerzo, para uno o
varios planos de flexión. Un caso interesante es el de columnas en forma de L, las cuales se emplean con alguna frecuencia en las
esquinas de edificios. Estas columnas vienen
resueltas en la referencia 6.4.
6.6 Flexotensión
Si bien no es frecuente encontrar elementos
sujetos a flexotensión, existen algunas estructuras, por ejemplo algunos depósitos, cuyos
elementos están sometidos a este tipo de acción. La información experimental sobre flexotensión es muy escasa, aunque se ha
encontrado que con la ecuación 6.2 se obtienen resultados que correlacionan bien con
ensayes disponibles [6.5]. Sin embargo, es posible obtener diagramas de interacción en la
zona de flexotensión usando los procedimientos expuestos anteriormente para flexocompresión, con ciertos efectos particulares que
se describen con detalle a continuación.
S i se admiten las hipótesis simplificadoras usuales, y se considera una curva esfuerzo-deformación elastoplástica para el
acero, se puede hacer la siguiente descripción cualitativa de la variación de las condiciones de deformación de un elemento
sujeto a una carga de tensión con excentricidad constante, cuando la carga varía desde cero hasta llegar a un valor máximo. Las
etapas de deformación se muestran en la figura 6.1 0.
Para valores pequeños de la excentricidad (figura 6.10a), las deformaciones a lo
largo de la sección son todas de tensión.
Una vez que el concreto se agrieta a deformaciones del orden de 0.0001, la tensión
externa es resistida únicamente por el acero
de refuerzo. Este estado se representa por la
distribución de deformaciones 1 de la figura
6.1 0a. Al aumentar la carga, manteniendo la
excentricidad constante, las tensiones en los
dos lechos de acero aumentan proporcionalmente, hasta que el acero del lado de la carga alcanza su deformación de fluencia
(distribución 2). Puesto que la excentricidad
es fija, al no aumentar la tensión en el acero
que fluye, la tensión en el acero de otro lecho permanece constante. Es decir, la línea
que representa la distribución de deformaciones gira en torno al punto A, localizado
en el acero menos deformado. Esta etapa
continúa hasta que la deformación en la fibra superior es nula (distribución 3). Entre
los estados 2 y 3, la carga externa no aumenta. Más allá del estado 3 se producen esfuerzos de compresión en la cara opuesta a
la carga y se incrementa el esfuerzo en el
acero de dicha cara. El incremento en tensión en este acero debe ser mayor que la
compresión resultante en el concreto para
que la tensión total aumente. El valor máximo
de la carga se producirá cuando la deformación en el concreto alcance su valor máximo, so. Esta condición se representa por la
distribución 4 de la figura 6.10a. El incremento de carga entre los estados 3 y 4 generalmente es pequeño.
La figura 6.1 0b muestra las distintas distribuciones de deformaciones resultantes al
incrementar el valor de la carga, para cargas
de tensión con excentricidades relativamente
grandes. Para una carga pequeña (distribu-
Flexotensión
1 53
(a) Excentricidad pequeña
(b) Excentricidad grande
i nteracción
flexotensión
Figura 6.10 Condiciones de deformación unitaria en flexotensión en elementos sujetos
a carga creciente con excentricidad constante.
ción 1) se presentan deformaciones de tensián en el lado de la carga, y de compresión
en el lado opuesto. Al aumentar la carga,
manteniendo la excentricidad constante, las
fuerzas de compresión y de tensión resultan-
tes deben aumentar proporcionalmente. La
diferencia entre estas dos fuerzas es pequeña, ya que se trata de excentricidades grandes. Durante este proceso el eje neutro tiende
a moverse hacia la cara en compresión. Se
154
Flexión y carga axial
llega así a la distribución de deformaciones
2, en que el acero del lado de tensión alcanza su esfuerzo de fluencia. Al aumentar la
deformación, puesto que la tensión de dicho
acero permanece constante, el incremento
en la tensión total se debe a una disminución en la compresión total de la sección.
Para que el incremento del momento sea
proporcional al de la tensión, es' necesario
que la distribución de deformaciones cambie, como se muestra en el estado 3 de la figura 6.10b. Este proceso prosigue hasta el
punto en que se alcanza la deformación máxima útil en compresión del concreto (distribución 4).
En la figura 6 . 1 0 ~se presenta un diagrama típico de interacción para la zona de
flexotensión. Se indican en él los puntos correspondientes a las distintas distribuciones
de deformaciones que se han mencionado
arriba.
Si el acero del lado opuesto a la carga
está muy cerca de la superficie (lo que ocurre
por relaciones pequeñas de recubrimiento a
peralte), prácticamente no hay diferencia entre los valores de P que se obtienen de los
estados 2, 3 y 4. Por el contrario, si la relación recubrimiento-peralte es grande, puede
haber diferencias del orden del diez por
ciento entre las tensiones correspondientes a
los estados 2 y 4.
La descripción anterior es simplista, pero de ella se concluye que las hipótesis simplificadoras son aplicables hasta un estado
de tensión pura. En este caso, la tensión máxima que se puede desarrollar es la que resiste el acero, P = A,fy, ya que el concreto no
resiste las deformaciones correspondientes.
De acuerdo con la descripción anterior,
la resistencia en flexotensión se alcanza cuando el concreto se aplasta en compresión en
un lado, al mismo tiempo que las deformaciones en tensión en el lado opuesto son
considerables. La posibilidad de una fractura del acero a una carga menor es pequeña,
ya que la deformación de fractura del acero
es del orden de 30 a 100 veces la deformación máxima de compresión del concreto,
para aceros torcidos en frío y aceros laminados ordinarios, respectivamente.
En estos cálculos se desprecia generalmente el endurecimiento debido a la deformación del acero de refuerzo. De tomarse
en cuenta, cambiarían ligeramente los valores correspondientes de P y M, pero al despreciarlos se obtienen resultados del lado de
la seguridad.
En resumen, aplicando rigurosamente
las hipótesis simplificadoras se puede trazar
fácilmente el diagrama de interacción, haciendo variar el valor de la carga normal
desde un máximo en compresión hasta un
máximo en tensión. A modo de ejemplo se
ha hecho esto para una sección con igual
área de acero en dos caras opuestas, utilizando las hipótesis ACI. E l diagrama de interacción correspondiente se muestra en la
figura 6.1 1, donde se consignan también los
datos de la sección. El diagrama se trazó obteniendo parejas de valores (M, P) para distintas distribuciones de deformaciones
unitarias.
Las líneas que representan estos estados
de deformación giran todas alrededor del
punto sobre la fibra superior en la cara de
compresión que corresponde a una deformación máxima de compresión del concreto,
= 0.003. Se puede observar que el
diagrama de interacción en la zona de flexotensión sigue lógica y continuamente el trazo
dara flexocompresión, hasta llegar a un valor igual a A,fy para el caso de tensión pura.
E l diagrama de la figura 6.1 1 representa
entonces el lugar geométrico de los valores
máximos de carga normal que puede ser
aplicada a una sección simétrica cuando la
excentricidad de la carga con respecto al
centr ¡de geométrico de la sección varía
des e cero (punto 1 ), hasta infinito (punto 3)
para una carga de compresión, y desde infinito nuevamente hasta una excentricidad
nula (punto 5), para una carga de tensión.
d;P
Ejercicios
1 55
P (ton) compresión
1
A, = 10 cm2
A', = 10 cm2
Tensión Compresión
20 cm
4
----
/ -
1 O0
cm
5 cm
2
1
5o
50V10
M (ton-m)
100
P (ton) tensión l5 20
Figura 6.1 1 Diagrama de interacción para una sección simétrica (hipótesis ACI).
Referencias
6.1
6.2
6.3
Comité ACI 340. Design Handbook: One-Way
Slabs, Brackets, Footings, Pile Caps, Columns,
Two-Way Slabs, and Seismic Design in
Accordance with the Strength Design Method of
3 18-95, SP-017, Detroit, 1997.
González Cuevas, O., y J. Cano Licona. "Programa
de cómputo para calcular la resistencia de elementos de concreto sujetos a flexocompresión". Universidad Autónoma Metropolitana, México, 2003.
Bresler, B. "Design Criteria for Reinforced Concrete Columns under Axial Load and Biaxial
Bending". lournal o f the American Concrete Institute. Detroit, enero 1961.
6.4
6.5
6.6
Marín, J. "Ábacos, fórmulas y criterios para el
cálculo de columnas de edificios de concreto armado". Boletín IMME. Caracas, enero-junio
1978.
Hsu, Cheng-Tzu Thomas. "Analysis and Design
of Square and Rectangular Columns by Equation
of Failure Surface". ACI Structural lournal. Detroit, marzo-abril 1988.
Meli, R., y M. Rodríguez. Gráficas para diseñar
columnas de concreto reforzado. México,
Instituto de Ingeniería, UNAM, septiembre,
1980.
Ejercicios
6.1
Utilizando el diagrama de interacción del ejemplo 6.1, calcular la carga que puede resistir la
sección mostrada para excentricidades de 60 cm
y de 5 cm. Calcular también el momento que
6.2
puede resistir la sección bajo una carga axial de
250 ton.
Determinar, por el procedimiento de tanteos y
usando hipótesis simplificadoras, la resistencia
Flexión y carga axial
1 56
de la siguiente sección para una excentricidad
de 20 cm hacia la cara con dos barras.
6.5
Calcular los momentos de diseño de la siguiente
sección en cada uno de los dos planos principales de flexión cuando está sometida a una carga
axial Última, P, = 300 ton.
... ..
. . a .
A, = 6 barras del No. 6
25
6.3
,-
6.6
Plano de
flexión
fy = 4200 kg!cm2
A, = 10 barras
--'M--
6.4
A, = 16 barras del No. 6
Calcular la resistencia de diseño de la siguiente
sección usando la fórmula de Bresler y la ecuación de la superficie de falla.
f', = 200 kg/cm2
1.
fy = 4200 kg/cm2
m...
Determinar el momento que puede resistir la siguiente sección por el procedimiento de tanteos,
usando las hipótesis ACI o Distrito Federal. Verificar el resultado obtenido con las gráficas del
Apéndice C.
I
f', = 250 kg/cm2
..
I
c
del No. 8
P, = 300 ton
.lC,
Calcular la carga axial que puede resistir la siguiente sección, usando las gráficas del Apéndice C con las hipótesis ACI, si está sometida a un
momento de 2 ton-m.
f', = 300 kg/cm2
fy = 3500 kg/cm2
IA,
= 8 barras del No. 8
f', = 300 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
A, = 10 barras del No. 10
Ejercicios
6.7 Obtener un diagrama de interacción en flexocompresión de la siguiente sección usando hipótesis simplificadoras.
A, = 4 barras del No. 10
As2= 2 barras del No. 10
Asg= 6 barras del No. 10
f', = 350 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
157
CAP~TU
LO
7
Elementos sujetos a
fuerza cortante
7.1 Introducción. 17.2 Comportamiento y
modos de falla. 17.3 Mecanismos de falla
por cortante. 17.4 Efectos de las variables
en la carga de agrietamiento. 17.5 Efectos
de las variables sobre la resistencia. 17.6
Expresiones para evaluar la resistencia a
efectos de fuerza cortante. 17.7 Ejemplos.
7.1 Introducción
En el capítulo 1 se indicó que para establecer un procedimiento razonable para el dimensionamiento de estructuras de concreto,
es necesario disponer de medios para determinar con un grado de precisión satisfactorio la resistencia de elementos sujetos a
cualesquiera combinaciones de momento
flexionante, carga axial, fuerza cortante y
momento torsionante. El problema planteado en su forma general no es fácil de tratar,
dado el estado actual de nuestros conocimientos, por lo que comúnmente se intenta
resolverlo considerando combinaciones parciales a ciertas acciones. Así, por ejemplo,
en el capítulo 6 se establecieron procedimientos para predecir la resistencia de elementos sujetos a combinaciones de carga axial y
momento flexionante, haciendo caso omiso
de los efectos de la fuerza cortante y del momento torsionante. En este capítulo se estudiará el efecto de la fuerza cortante sobre
elementos de concreto reforzado, cuando
éstos están sometidos simultáneamente a
momento flexionante, como ocurre en el caso general, y también cuando, además, existe
carga axial. Sin embargo, no se considerará
por ahora el efecto de la torsión.
Para visualizar el efecto de la fuerza
cortante es útil recordar algunos conceptos
elementales de la mecánica de los materiales, ya que, a niveles de carga bajos y antes
de la aparición de las grietas, el comportamiento del concreto reforzado se asemeja al
de un material homogéneo y elástico. E l estudio se limitará al caso de elementos en
que el estado de esfuerzos puede suponerse
como un estado de esfuerzos plano.
En un punto cualquiera de un elemento
sujeto a este tipo de esfuerzos, los esfuerzos
normales y tangenciales correspondientes a
los distintos planos que pueden pasarse por el
punto varían en magnitud, al cambiar la
orientación del plano de referencia. El estado
de esfuerzos en un punto queda definido
cuando se conocen los esfuerzos normales y
tangenciales según dos planos perpendiculares cualesquiera. Aquellos planos en que sólo
existen esfuerzos normales se llaman planos
principales y son perpendiculares entre sí. Los
esfuerzos en estos planos reciben el nombre
de esfuerzos principales y tienen la propiedad
de ser los esfuerzos máximo o mínimo que
pueden existir en el punto.
Considérese una viga elástica sujeta a
un sistema de cargas concentradas, tal como se
muestra en la figura 7.1. En las regiones próximas a un apoyo o a una carga concentrada,
la viga se encuentra sometida a esfuerzos
tangenciales v y a esfuerzos normales f, y fy,
definidos en direcciones paralelas y perpendiculares, respectivamente, al eje del elemento. Los esfuerzos fy se deben a efectos
locales de las reacciones o de las cargas, y se
desprecian en regiones alejadas de éstas. Los
esfuerzos normales longitudinales, fx, pueden evaluarse dentro del rango elástico del
elemento mediante la fórmula fx = My/l,
donde M es el momento flexionante que ac-
1 60
Elementos sujetos a fuerza cortante
@ ,,
A
Distribución
tangenciales de esfuerzos
Com resión
Zona de esfuerzos fy,
no despreciables
normales longitudinales
Dirección de esfuerzos
principales
Distribución de
esfuerzos principales
Zona de esfuerzos fy,
no despreciables
Figura 7.1 Distribución de esfuerzos en una sección de una viga.
túa en la sección considerada, y es la distancia desde el eje neutro al nivel considerado,
e 1 es el momento de inercia de la sección
transversal del elemento. En la figura 7.1 se
muestra una distribución lineal típica de esfuerzos normales longitudinales.
La distribución elástica de esfuerzos
tangenciales, v, se calcula con la expresión
v = VQ/lb, donde Ves la fuerza cortante en la
sección, Q es el momento estático con respecto al eje neutro del área de la sección situada arriba del nivel considerado, 1 es el
momento de inercia, y b es el ancho de la
sección al nivel considerado. S i la sección
es rectangular, esta expresión conduce a una
distribución parabólica, con un valor máximo a la altura del eje neutro igual a 3 V/2bh.
Esta distribución se muestra también en la
misma figura.
Cuando los esfuerzos fy no existen, o se
desprecian, los esfuerzos principales, ft, se pueden calcular a partir de los esfuerzos tangenciales, v, y normales, fx, mediante la expresión
En esta expresión, los esfuerzos fx y ft
son positivos cuando son de tensión. El signo positivo corresponde al esfuerzo principal
máximo, que es el que interesa principalmente en el caso de elementos de concreto, en
tanto que el negativo corresponde al esfuerzo principal mínimo. En lo sucesivo se trabajará exclusivamente con el esfuerzo principal
máximo (o de tensión). La inclinación del
plano correspondiente al esfuerzo principal
máximo se obtiene mediante la expresión
tan 20 = 2v/fx, donde 8 es el ángulo formado por el esfuerzo principal máximo con el
eje de la pieza. Es fácil comprobar que en los
puntos en que existe únicamente esfuerzo
cortante, el esfuerzo principal máximo es
igual a v, y tiene una inclinación de 45" con
respecto al eje horizontal. Igualmente es
claro que el esfuerzo principal de tensión es
nulo en la fibra superior, e igual al esfuerzo
normal en la fibra inferior. En general, en la
zona de compresión, el esfuerzo normal, ,f
reduce el valor del esfuerzo principal máximo con respecto al valor correspondiente en
el eje neutro, en tanto que en la zona de tensión lo aumenta, como se indica en la figura
7.1. En esta figura se muestra, además, una
distribución de las intensidades e inclinaciones de las tensiones principales en una sección típica de una viga.
La presencia de una carga axial solamente
modificaría la posición del eje neutro y, por lo
tanto, la posición de la línea de esfuerzo normal nulo o de máximo esfuerzo tangencial.
Una forma conveniente de representar
la orientación de los esfuerzos en los distintos
puntos de un elemento, consiste en trazar
las redes de trayectorias de esfuerzos principales. Estos diagramas muestran gráficamente la dirección de los esfuerzos principales
en cualquier punto del elemento. En la figura
7.2 se ilustra una red típica de esfuerzos
principales, para el caso de una viga libremente apoyada sujeta a una carga uniforme.
Como la resistencia del concreto a esfuerzos de tensión es baja, comparada con su
resistencia a esfuerzos de compresión, o a
esfuerzo cortante propiamente dicho, un elemento de concreto tenderá a fallar según superficies perpendiculares a las direcciones
de las tensiones principales.
En vigas de concreto, esto hace necesario proporcionar refuerzo de acero para suplir la falta de resistencia a tensión del
concreto en cualquier zona del elemento.
El efecto primordial de la fuerza cortante en un elemento de concreto, es el desarrollo de esfuerzos de tensión inclinados con
respecto al eje longitudinal del miembro. Son
estos esfuerzos los que pueden originar la falla del elemento a una carga inferior a aquella
que produciría una falla en flexión como las
descritas en el capítulo 5. En este capítulo se
estudia la resistencia de elementos de concreto a esfuerzos de tensión inclinados, tanto cuando existe refuerzo especial para
resistir estos esfuerzos como cuando no existe.
En rigor, no debe hablarse de fallas de
esfuerzo cortante, ya que las grietas inclinadas
-----
Trayectorias de esfuerzos de compresión
Trayectorias de esfuerzos de tensión
Figura 7.2 Trayectorias de esfuerzos en una viga rectangular homogénea.
162
Elementos sujetos a fuerza cortante
que pueden presentarse en zonas de fuerza
cortante considerable son en realidad grietas de
tensión en planos inclinados. Una falla de esfuerzo cortante propiamente dicha podría presentarse, por ejemplo, en la cara de contacto
de los dos elementos de una viga compuesta,
formada por un elemento inferior precolado y
un elemento superior colado en el lugar, donde
el esfuerzo cortante en dicha cara puede exceder la resistencia al deslizamiento relativo de
los dos elementos. Otro caso es el de ménsulas
de claro muy corto. En el capítulo 12 se estudia
este tipo de comportamiento.
De lo anterior podría concluirse que
una forma razonable de reforzar las vigas de
concreto consistiría en colocar barras de acero siguiendo las trayectorias de los esfuerzos
principales de tensión. Esto, sin embargo, es
poco práctico, ya que las dificultades constructivas son obvias.
El comportamiento de un elemento de
concreto reforzado es bastante más complejo que lo que se ha descrito aquí, pues la
distribución de esfuerzos cambia apreciablemente en el momento en que se exceden
las tensiones que puede soportar el concreto
y aparecen grietas. La posición en que se
forman estas grietas no puede predecirse
con exactitud, ya que existen siempre variaciones locales en la resistencia del concreto,
que no es un material realmente homogéneo. La presencia de grietas impide idealizar
de una manera sencilla el funcionamiento
de un elemento de concreto reforzado. A esta dificultad se añade que el concreto no es
un material elástico y que, por tanto, las distribuciones de esfuerzos cambian con el nivel
de carga.
Debido entonces a la complejidad del
problema, los métodos utilizados en la actualidad para dimensionar elementos de
concreto sujetos a fuerza cortante se basan
en el conocimiento experimental de su comportamiento. Los estudios experimentales se
han concentrado principalmente en la determinación de la resistencia del concreto al
agrietamiento inclinado y de la contribución
del refuerzo transversal a la resistencia.
Los primeros ensayes encaminados a la
determinación de los efectos de la fuerza cortante se realizaron hace más de 75 años. Desde entonces, y en especial de 1946 a la fecha,
se han llevado a cabo muchas investigaciones
tendientes a evaluar la influencia de distintos
factores, de manera que se dispone en la actualidad de una cantidad importante de datos
experimentales. Sin embargo, como se verá,
son tantas las variables que influyen en la resistencia de elementos sujetos a fuerza cortante, y sus efectos dependen tanto de la
interacción de las distintas variables, que ha
sido difícil racionalizar los resultados de las
investigaciones y experiencias disponibles,
aunque recientemente se han logrado avances
muy importantes [7.28].
En las secciones siguientes se hará un
resumen de los aspectos principales del
comportamiento y modos de falla de elementos sujetos a fuerza cortante, indicando
los efectos de diversas variables en los mecanismos de agrietamiento y falla por cortante. Además, se presentan algunas de las
expresiones más comunes para evaluar la resistencia a la fuerza cortante, cuya aplicación se ilustra con ejemplos.
Para un tratamiento más amplio del problema, incluyendo la propuesta de diversos
modelos para explicar el comportamiento,
consúltense las referencias 7.1, 7.1 1, 7.1 2, 7.1 3
y 7.1 6. De especial interés son los trabajos desarrollados recientemente por M. P. Collins y
un grupo de profesores canadienses que han
elaborado una teoría de falla de elementos de
concreto que toma en cuenta factores importantes como la presencia de barras de refuerzo,
la formación de grietas, la disminución de la resistencia a compresión debida a esfuerzos de
tensión perpendiculares y otros de este tipo
[7.17]. Esta teoría ha sido aplicada al cálculo de
la resistencia de vigas sujetas a fuerza cortante,
obteniéndose una buena correlación con los
resultados experimentales [7.18]. El Reglamen-
Comportamiento y modos de falla
I
1 63
1
a) Elemento sujeto a M, P y V, sin refuerzo transversal
b) Elemento sujeto a M, P y V, con refuerzo transversal'
c ) Elemento ancho con refuerzo en dos direcciones sujeto a V,, Vy,M, y My, apoyado perimetralmente
o en toda su base (caso esquemático de una losa plana o zapata)
Figura 7.3 Tipos de elementos sujetos a fuerza cortante.
to Canadiense de Construcciones [7.19] ha
incluido estos métodos en sus disposiciones sobre fuerza cortante; sin embargo, los reglamentos ACI y NTC, que son los usados en este texto,
no los incorporan, por lo que no se tratan aquí
con detalle. Se recomienda consultar la referencia 7.29, donde se presenta un excelente resumen de avances recientes.
7.2 Comportamiento y modos de falla
En esta sección se describen el comportamiento bajo carga y los modos de falla de
elementos de concreto en los cuales la acción de la fuerza cortante es importante. Para facilitar la exposición se agrupan los
elementos en tres tipos distintos, según se
muestra en la figura 7.3.
a)
b)
Vigas o columnas sin refuerzo transversal en el alma, sujetas a combinaciones de fuerza cortante, momento
flexionante y carga axial.
Vigas o columnas con refuerzo transversal en el alma, mostrado esquemáticamente en la figura por estribos
verticales, y sujetas a las mismas
164
Elementos sujetos a fuerza cortante
Grieta inclinada formada súbitamente en
I
Grieta inclinada formada gradualmente
en varias etapas de carga
I
+
I
b) Falla en compresión por cortante
Grieta inclinada formada gradualmente
Figura 7.4 Representación esquemática de los diferentes tipos de falla en elementos
en los que predomina la fuerza cortante.
C)
combinaciones de carga que los elementos del inciso a.
Losas y zapatas, reforzadas y apoyadas
en las dos direcciones, sujetas a cargas concentradas o a cargas repartidas. Este tipo de elementos está sujeto
a flexión en dos direcciones.
7.2.1 Elementos sin refuerzo en el alma
SECCIONES RECTANGULARES
Considérese un elemento sometido a carga en
la forma mostrada en la figura 7.4a. En los primeros incrementos de carga no existe diferen-
cia entre el comportamiento de un elemento
que falle por efecto de fuerza cortante y el de
otro que falle por flexión. Antes de que aparezcan las primeras grietas en la parte inferior,
debidas a flexión, el comportamiento del elemento es esencialmente elástico. Al aumentar
las cargas, la fuerza cortante puede originar esfuerzos principales que excedan la resistencia a
tensión del concreto, produciendo grietas inclinadas a una altura aproximada de medio peralte. Estas grietas pueden aparecer súbitamente
en puntos donde no exista una grieta de flexión
o, muy frecuentemente, pueden presentarse como continuación de una grieta de flexión que
gradualmente cambia de inclinación.
Comportamiento y modos de falla
En miembros sujetos a compresión o
tensión axial, las grietas inclinadas se forman
a cargas mayores o menores, respectivamente, que la carga que produce el agrietamiento
del mismo miembro sin carga axial. A partir de
este momento, el comportamiento del elemento difiere en forma importante del correspondiente a un miembro que falle por
flexión. La grieta inclinada puede aparecer
súbitamente, sin señal previa, y extenderse
inmediatamente hasta causar el colapso de la
pieza, como se muestra en la figura 7.4a. En
este caso la falla se denomina de tensión
diagonal. Por otra parte, puede suceder que
el agrietamiento inclinado se desarrolle gradualmente y que el colapso de la pieza se
produzca finalmente por el aplastamiento de
la zona de compresión en el extremo de la
grieta inclinada, al reducirse considerablemente la zona disponible para soportar los
esfuerzos de compresión originados por flexión. En este caso la falla se denomina de
compresión por cortante (figura 7.4b). La
diferencia esencial entre ambos tipos de falla consiste en que, en una falla por tensión
diagonal, el agrietamiento inclinado es súbito y causa de inmediato el colapso de la
pieza, mientras que en una falla de compresión por cortante, la pieza puede soportar
cargas mayores que la que produce el agrietamiento inclinado.
Algunos autores establecen otro tipo de
falla, denominada generalmente de adherencia
por cortante. Este tipo se caracteriza porque la
resistencia se alcanza cuando se presentan extensos agrietamientos longitudinales al nivel
del acero de tensión, simultáneos con un
aplastamiento ligero en la zona de compresión
en el extremo de la grieta inclinada, como se
muestra en la figura 7 . 4 ~ .
Desde el punto de vista de resistencia,
cuando la falla se produce súbitamente al
aparecer la primera grieta inclinada importante, se dice que el elemento falla en tensión diagonal. Cuando la falla ocurre después
de la aparición de una grieta inclinada im-
1 65
portante y la resistencia es mayor que la carga que formó esta grieta, se dice que el elemento tuvo una falla en compresión por
cortante o en adherencia por cortante, según
el caso.
Desde el punto de vista del comportamiento de una estructura, es muy desventajoso
que un elemento alcance su resistencia debido
a uno de estos tipos de falla antes de que se
presente la fluencia del acero longitudinal, ya
que estas fallas se producen rápidamente a deformaciones pequeñas. En consecuencia, la estructura resulta poco dúctil.
La carga que produce las primeras grietas inclinadas completas se suele denominar
carga de agrietamiento inclinado. En general,
una grieta inclinada importante es aquella
que se extiende a través de casi todo el peralte del elemento y se empieza a prolongar
a lo largo del acero de tensión. Varios investigadores la han definido de acuerdo con
distintos criterios basados en la observación
visual del elemento, y, por lo tanto, la carga
correspondiente está sujeta a variaciones de
orden subjetivo. Sin embargo, esta carga marca en general un cambio importante en el
comportamiento del miembro. Cuando la
grieta inclinada se produce súbitamente y
causa el colapso de la pieza, la carga de
agrietamiento es también la resistencia del
elemento.
SECCIONES N O RECTANGULARES
La información disponible actualmente sobre el comportamiento y la resistencia de elementos de sección no rectangular es mucho
menor que la existente sobre elementos de
sección rectangular. Se han realizado ensayes de laboratorio sobre elementos de sección
circular 17.3 y 7.201 con acero longitudinal
distribuido en el perímetro de la sección. El
comportamiento general de estos elementos
fue similar al descrito anteriormente para elementos de sección rectangular, excepto que
las grietas inclinadas tendían a formarse de
166
Elementos sujetos a fuerza cortante
I
a) Barras dobladas
I
b) Estribos verticales
I
c) Estribos inclinados
I
d) Tipos de estribos
Figura 7.5 Tipos de esfuerzo.
un modo más gradual, debido a la presencia
de acero longitudinal en todo el peralte de
la pieza.
En ensayes de elementos de sección I
se puede presentar un tipo adicional de falla: aplastamiento del alma por esfuerzos de
compresión aproximadamente paralelos a la
dirección de grietas inclinadas. Este tipo de
falla sólo se presenta cuando el alma es relativamente delgada en comparación con el
ancho de la zona de compresión. Por lo demás, el comportamiento es semejante al
descrito anteriormente para secciones rectangulares.
7.2.2 Elementos con refuerzo en el alma
El refuerzo transversal, o refuerzo en el alma,
que se utiliza en elementos de concreto para
aumentar su resistencia a los efectos de la
fuerza cortante, puede ser de distintos tipos.
En algunos casos se aprovecha parte del acero principal de flexión, doblándolo en zonas
donde ya no es requerido para tomar esfuerzos longitudinales, de manera que atraviese
las regiones donde pueden aparecer grietas
inclinadas. Estas barras, para que sean efectivas, deben anclarse en la zona de compresión (figura 7.5a). El tipo de refuerzo transversal
Comportamiento y modos de falla
de uso más extendido es el estribo (figura
7.5b).
En la figura 7.5d se ilustran las formas
más usuales de este tipo de refuerzo. Comúnmente los estribos son de dos ramas en "U" o
cerrados, siendo los cerrados los más frecuentes. Sin embargo, en algunos casos se utilizan
también estribos de cuatro ramas.
El tipo de estribo más usual es aquel que tiene sus extremos doblados a 135". Generalmente los estribos se colocan en posición
vertical, pero a veces se colocan inclinados
con respecto al eje del elemento con un ángulo que varía entre 30" y 60°, siendo 45" la
inclinación más común (figura 7.5~).Ocasionalmente se utilizan en un mismo elemento
combinaciones de los diversos tipos de refuerzo transversal mencionados arriba.
El comportamiento bajo carga de elementos con refuerzo en el alma, es similar al
descrito en la sección anterior hasta la aparición de las primeras grietas inclinadas. A partir de este momento, la presencia del refuerzo
transversal restringe el crecimiento de las grietas inclinadas. Si se tiene refuerzo transversal
en cantidades suficientes, las grietas inclinadas serán pequeñas y de poca consideración
y la falla se producirá en flexión, antes o después de la fluencia del acero longitudinal.
Se ha observado que cualquiera que sea
el tipo de refuerzo transversal que se utilice,
éste no contribuye en forma apreciable a resistir los esfuerzos inclinados de tensión hasta
que se forman las primeras grietas inclinadas
en el alma de la pieza; es decir, el refuerzo en
el alma influye muy poco en la magnitud de
la carga que produce estas grietas. Pero después de la aparición de las grietas, el refuerzo
transversal se deforma gradualmente al incrementar la carga, hasta que alcanza su límite
de fluencia. Esta condición limita la contribución de este refuerzo a la resistencia del elemento. Si el elemento tiene poco refuerzo en
el alma, la falla puede producirse por fractura
de una o varias de las barras de refuerzo transversal. Con el objeto de evitar que el ancho de
1 67
las grietas inclinadas sea excesivo, las NTC04 del Reglamento del Distrito Federal y el
Reglamento ACI 31 8-02, indican que el acero
transversal tenga un esfuerzo de fluencia máximo de 4200 kg/cm2.
En los ensayes de laboratorio se ha observado que la resistencia a los efectos de la
fuerza cortante de un elemento con refuerzo
transversal, se puede estimar como su resistencia al agrietamiento inclinado más la
contribución del refuerzo transversal. Normalmente, en un diseño se busca que esta
suma sea mayor que la resistencia del elemento en flexión o flexocompresión, para
garantizar que no se presente el colapso por
efectos de fuerza cortante.
Es importante tener en cuenta que, para
que el refuerzo transversal sea realmente
efectivo, debe colocarse a espaciamientos
tales, a lo largo del eje de la pieza, que cualquier grieta inclinada potencial que pudiera
formarse en el elemento sea cruzada cuando
menos por una barra de refuerzo en el alma.
Otro efecto importante del refuerzo en
el alma es el de incrementar la ductilidad del
elemento, al proporcionar confinamiento lateral al concreto sujeto a compresión. Este
efecto es de la misma naturaleza que el efecto
del zuncho en columnas con carga axial,
aun cuando no es tan grande como éste,
tanto porque la cuantía del refuerzo de estribos es menor que la de zunchos, como
porque el efecto de confinamiento es menor en una pieza sujeta a flexocompresión
que en una sujeta a compresión axial. Este
efecto es de gran importancia en estructuras que pueden estar sujetas a fuerzas sísmicas, en las que desarrollar una ductilidad
adecuada es tan importante como el garantizar la resistencia necesaria.
7.2.3 Losas planas y zapatas
Se han efectuado muchos ensayes de elementos como el mostrado en la figura 7 . 3 ~ ~
en los que se trata de reproducir el proble-
168
Elementos sujetos a fuerza cortante
Falla por penetració
C resistencia
Agrietamient
inclinado
B primera fluencia
del refuerzo
A primeros agrietamientos
Figura 7.6 Característica carga-deformación de una zapata.
ma de la transmisión por fuerza cortante de
la carga de una losa plana o zapata a una
columna. Los elementos ensayados han sido
en su mayor parte de forma cuadrada o rectangular, con la carga concentrada aplicada
sobre una superficie cuadrada menor, y apoyados generalmente en todo el perímetro.
Ocasionalmente, con el objeto de simular el
efecto de la reacción del terreno en zapatas, se han probado elementos apoyados en
toda su superficie sobre camas de resortes.
Sin embargo, el comportamiento general bajo carga y el modo de falla observado han sido los mismos, cualquiera que sea el tipo de
apoyo: perimetral o en camas de resortes.
La figura 7.6 muestra esquemáticamente una gráfica carga-deformación al centro
de uno de estos elementos. En general, si se
tiene un elemento relativamente esbelto y
dúctil, se pueden desarrollar las tres etapas
mostradas en la figura:
1-el
origen al punto A. En esta etapa
el comportamiento es aproximadamente lineal, hasta que se presentan
2-n
3-1
los primeros agrietamientos en la cara
de tensión de la losa.
esta etapa, comprendida entre los
puntos A y B, se alcanza la primera
fluencia del refuerzo horizontal de
tensión y el agrietamiento se extiende por la losa. Simultáneamente pueden presentarse grietas inclinadas
que van del acero de tensión hacia la
periferia de la superficie cargada,
formando una pirámide o cono truncado alrededor de esta superficie.
final de esta etapa se alcanza la
resistencia (punto C) y se produce el
colapso final por penetración de la
columna a través de la losa, con una
superficie de falla en forma de pirámide o cono truncado.
Dependiendo de la relación entre el claro y el peralte de la losa, o de la relación entre el área de la losa y el área de la superficie
de aplicación de carga y de la cantidad de
acero longitudinal de flexión, la falla por perforación puede presentarse antes o después
Comportamiento y modos de falla
1 69
I
Grietas de
rietas superficiales
I
Superficie
de falla
Columna
-
Figura 7.7 Espécimen de ensaye y configuración de agrietamiento en una losa conectada
a una columna de borde (adaptada de la referencia 7.21).
de que fluya el acero longitudinal. En otras
palabras, en una losa de poca esbeltez y con
mucho acero longitudinal no se podrán desarrollar más que las etapas OA y AB de la curva descrita anteriormente. Incluso, puede
suceder que la columna perfore la losa antes
de que se alcance el punto B, aunque este caso es poco probable para las dimensiones
usuales en la práctica. Cuando el colapso por
perforación se presenta después de que la losa ha sufrido un agrietamiento considerable, y
después de que el acero longitudinal ha fluido, el tipo de falla puede clasificarse como de
flexión y se caracteriza por una deformación
importante. Independientemente de la magnitud de la deformación a la falla, el colapso final se presenta siempre por perforación de la
columna a través de la losa, y la superficie de
falla tiene la forma de una pirámide o de un
cono truncado. Lo anterior indica que existe
siempre una etapa previa al colapso final, en
la cual se desarrollan grietas inclinadas alrededor de la superficie cargada, hasta que se
forma una superficie de falla.
Los esfuerzos nominales correspondientes a la resistencia de un elemento de este ti-
po, son, en general, mayores que para una
viga, debido principalmente al efecto del ancho del elemento y a que el concreto alrededor de la superficie cargada está sujeto a
compresiones normales en dos direcciones,
que le proporcionan un cierto confinamiento lateral.
También se han realizado ensayes en
especímenes como el mostrado en la figura
7.7a, que simulan la conexión de una losa
plana o de una zapata con una columna de
borde. En este caso, además de carga axial,
se transfiere un momento flexionante de la
losa a la columna, por lo que el elemento en
cuestión se encuentra sometido a solicitaciones más severas que cuando sólo existe carga axial. Aunque pueden desarrollarse las tres
etapas de carga mencionadas anteriormente, la configuración de agrietamiento difiere
debido a la existencia de un borde libre en
la losa. En la figura 7.7b se muestra el estado típico de agrietamiento al producirse la
falla en este tipo de elementos [7.21l. Puede
verse que se desarrollan también grietas de torsión originadas por la transferencia de momento flexionante.
1 70
Elementos sujetos a fuerza cortante
Un caso intermedio entre los dos presentados en esta sección es el de una columna interior conectada a una losa que tiene
momentos flexionantes diferentes a ambos
lados de la columna. El momento flexionante que se transfiere de la losa a la columna
es la diferencia entre los dos momentos flexionantes. La pirámide o cono truncado no
resulta simétrico, y el grado de asimetría depende de la relación entre la carga axial y el
momento transferido.
7.3 Mecanismos de falla por cortante
Por facilidad de nomenclatura y teniendo en
cuenta que en las secciones siguientes interesa
distinguir si el elemento transmite la carga en
una o varias direcciones, se designará por
miembro a todo elemento con dos dimensiones apreciablemente menores que la tercera y
en el que los esfuerzos se transmiten en una dirección. Es decir, por miembros se entenderá
cualquiera de los elementos agrupados bajo
los tipos (a) y (b)de la figura 7.3. Los elementos comprendidos en el tipo (c)se tratarán bajo el encabezado de losas planas y zapatas.
libre del elemento después de haberse desarrollado una grieta inclinada. Si se supone
que la fuerza cortante en la longitud a es
constante e igual a la reacción, despreciando, por lo tanto, el efecto del peso propio,
los momentos flexionantes varían como se
muestra en la misma figura.
Antes de que aparezca la grieta inclinada, el comportamiento del miembro es prácticamente lineal y, por lo tanto, la tensión en
el acero es sensiblemente proporcional al
momento flexionante. Pero una vez que se
desarrolla una grieta inclinada, el comportamiento del elemento en la zona agrietada se
asemeja al de un arco rebajado. Por equilibrio, la tensión en el acero entre las secciones AA' y BB' debe ser constante e igual al
valor correspondiente a la sección de momento flexionante mayor (BB').
La presencia de la grieta inclinada produce cuatro efectos importantes:
a ) Reduce la zona disponible para tomar
esfuerzos de compresión; la compresión total debe ser tomada íntegramente en la profundidad y (figura 7.8).
b) Produce un aumento súbito en la tensión del refuerzo en la sección AA ,
hasta que ésta alcanza el valor correspondiente a la sección BB'.
C) Reduce el área disponible para tomar la fuerza cortante en la sección.
Antes de la aparición de la grieta, la
fuerza cortante se distribuye de alguna manera a través de todo el peralte del elemento, mientras que después
del agrietamiento, la mayor parte de
la fuerza cortante tiene que ser resistida por la zona de compresión del
concreto (fuerza Vi), y sólo una parte pequeña es resistida por la barra
de tensión (fuerza V2) y por el efecto de
trabazón entre las rugosidades de las
superficies de las dos caras de la grieta (componente vertical de la fuerza V3).
f
7.3.1 Miembros sin refuerzo transversal
Se ha dicho que en algunas ocasiones el colapso de un elemento se produce súbitamente al presentarse el agrietamiento inclinado,
mientras que en otras el miembro es capaz
de soportar cargas apreciablemente mayores
que la que produjo dicho agrietamiento. Esto puede explicarse de una manera cualitativa observando que la presencia de una grieta
inclinada origina un cambio importante en
el comportamiento del miembro.
Para fijar ideas, y por sencillez en la explicación, considérese una viga sin refuerzo
transversal, provista de refuerzo longitudinal
adecuado y sujeta a una carga concentrada
situada a una distancia a del apoyo. En la figura 7.8 se presenta un diagrama de cuerpo
Mecanismos de falla por cortante
1 71
diagrama de momentos
flexionantes
1111111111111111111llllllll~
Figura 7.8 Diagrama de cuerpo libre al aparecer una grieta inclinada.
d) Reduce esfuerzos de tensión transversales a la posición de la grieta
que pueden ser resistidos por el concreto (fuerza V4) y que pueden ser
significativos. Se ha visto que estos
esfuerzos, llamados residuales, no
desaparecen totalmente al formarse
la grieta, ya que las partes a ambos
lados de ella no se separan totalmente, sino que se forman pequeños
puentes que las mantienen unidas y
a través de los cuales pueden seguirse transmitiendo esfuerzos [7.29].
S i al desarrollarse la grieta inclinada, la
zona de compresión reducida es capaz todavía de resistir la compresión resultante, si el
acero de refuerzo puede tomar el incremento súbito de tensión, y si los esfuerzos resi-
duales de tensión son importantes, entonces
la grieta inclinada se estabiliza y el miembro
es capaz de resistir cargas mayores trabajando como arco rebajado. Si, por el contrario,
la zona de compresión reducida por la grieta inclinada es ya incapaz de tomar la fuerza de compresión, se produce una falla por
aplastamiento del concreto en la parte superior de la grieta inclinada, simultáneamente
con la formación de ésta. También es posible
que al formarse la grieta inclinada, la longitud del acero de refuerzo entre la sección
AA' y el-extremo de la pieza sea insuficiente
para desarrollar por adherencia la tensión
necesaria y, en consecuencia, la falla se producirá también rápidamente.
En resumen, si al desarrollarse la grieta
inclinada la zona disponible para tomar esfuerzos de compresión es insuficiente, o si
172
Elementos sujetos a fuerza cortante
el acero es incapaz de desarrollar la adherencia requerida para tomar el incremento
de tensión, se produce el colapso del elemento inmediatamente después de formarse
la grieta inclinada, y la falla es por tensión
diagonal. Si la grieta se estabiliza y el elemento es capaz de tomar carga adicional, la
falla será de adherencia por cortante cuando se agote la capacidad de transmitir tensiones por adherencia entre el acero y el
concreto; o bien, de compresión por cortante cuando se aplaste el concreto en la zona
de compresión. Cuando el elemento carece
de refuerzo transversal, es frecuente que estos dos tipos de falla se presenten casi simultáneamente.
De las consideraciones anteriores se
pueden deducir ciertas conclusiones que
concuerdan con los hechos observados experimentalmente. Hasta ahora ha sido imposible correlacionar la capacidad adicional
de un elemento sobre la carga de agrietamiento inclinado con las variables primarias. Esto es debido a que dicha capacidad
depende en gran parte de la posición y extensión de la grieta inclinada, y éstas no
pueden predecirse de antemano con precisión, porque el concreto no es un material
homogéneo.* Una pequeña variación en la
posición o en la extensión de la grieta inclinada puede cambiar drásticamente la longitud de anclaje del acero de tensión y la
profundidad de la zona de compresión y,
por lo tanto, la capacidad de carga posterior
al agrietamiento inclinado. En pruebas de laboratorio de especímenes idénticos, colados
simultáneamente y ensayados bajo las mis-
* Un avance im~ortantereciente es la Teoría Modificada
del Campo de Compresión de Collins, et al., en la que se
tratan de relacionar las variables mencionadas calculando la deformación unitaria longitudinal, ,E, al nivel del
refuerzo de tensión, la cual depende del ángulo de inclinación de las grietas (que pueden diferir de 45"), de su
separación y de los esfuerzos en el refuerzo 17.28 y
7.291,
mas condiciones, se han observado variaciones en el valor de la carga de agrietamiento
inclinado del orden del 10 por ciento, en
tanto que las cargas de colapso han llegado
a diferir entre sí en más del 50 por ciento.
Por esta razón, la mayor parte de los investigadores concuerdan en considerar la carga
de agrietamiento en tensión diagonal como
la resistencia útil a la acción de fuerza cortante de un elemento sin refuerzo transversal, aun sabiendo que en algunos casos la
carga de colapso puede ser mucho mayor.
7.3.2 Miembros con refuerzo transversal
En la sección 7.2.2 se indicó ya que la presencia de refuerzo transversal influye muy
poco en el valor de la carga de agrietamiento y en el comportamiento general del elemento antes de que se desarrolle la grieta
inclinada. Pero una vez que se presenta dicha grieta, el refuerzo en el alma contribuye
eficazmente a incrementar la capacidad de
carga del elemento, y si este refuerzo se proporciona en forma adecuada, puede lograrse que el colapso se produzca por efecto de
los esfuerzos longitudinales de flexión y no
por efecto de la fuerza cortante.
El refuerzo en el alma desempeña un
papel triple después de la aparición de la
grieta inclinada. Por una parte, restringe el
crecimiento y desarrollo del agrietamiento
inclinado, conservando en esa forma una
profundidad mayor para la zona de compresión. Esto incrementa la capacidad de esta
zona para resistir fuerzas normales y tangenciales. Por otra parte, cuando se usa refuerzo transversal en forma de estribos, éstos
mejoran la capacidad por adherencia del
miembro, pues tienden a evitar fallas por
desgarramiento al nivel del acero de refuerzo. Finalmente, el refuerzo en el alma toma
una porción importante de la fuerza cortante
externa y, cuando el refuerzo forma anillos
cerrados, incrementa ligeramente la resisten-
Mecanismos de falla por cortante
173
Figura 7.9 Analogía de la armadura.
cia de la zona de compresión debido al efecto de confinamiento.
El mecanismo de falla de un elemento
con refuerzo transversal ha sido difícil de establecer con precisión hasta ahora. Sin embargo, algunas de las funciones del refuerzo
transversal pueden explicarse cualitativamente
acudiendo a la idealización propuesta por Ritter en 1899. Esta idealización, conocida como
la analogía de la armadura, se presenta a continuación en forma generalizada, ya que algunas de las expresiones de dimensionamiento
más comunes han sido derivadas de ella.
Ritter supuso que una viga con refuerzo
transversal, en la cual existen grietas causadas por tensiones inclinadas, puede idealizarse como una armadura en la que el refuerzo
longitudinal funciona como la cuerda de
tensión, el refuerzo transversal como las diagonales de tensión, el concreto de la zona
comprimida como la cuerda de compresión,
y las proporciones de concreto entre las
grietas inclinadas como las diagonales de
compresión. Esta idealización se muestra esquemáticamente en la figura 7.9a.
En el análisis se supone que las grietas
inclinadas forman un ángulo e y el refuerzo
transversal un ángulo a con el eje de la pieza. Las hipótesis en que se basa el análisis
de la armadura son las siguientes:
a) La zona comprimida del elemento
toma sólo esfuerzos normales de
compresión.
1 74
Elementos sujetos a fuerza cortante
b) El refuerzo longitudinal de tensión
toma Únicamente esfuerzos normales
de tensión.
C) Todas las tensiones inclinadas son
resistidas por el refuerzo transversal.
d) Las grietas inclinadas se extienden
desde el refuerzo longitudinal de
tensión hasta el centroide de la zona
de compresión.
e) Se desprecia el efecto del peso propio o de cargas distribuidas entre
grietas inclinadas consecutivas. En
otras palabras, el incremento de momento entre dos secciones distantes
s entre sí es igual a Vs, donde Ves la
fuerza cortante en la zona entre las
dos secciones consideradas.
En la figura 7.9b se muestran las fuerzas
que actúan en una junta de la cuerda de tensión de la armadura idealizada. El espaciamiento horizontal entre grietas inclinadas y
entre barras o estribos de refuerzo transversal se designa por s. La fuerza de compresión en la diagonal de concreto se denota
por Fc, y la de tensión en la diagonal de acero por Av f, (en que Av es el área del refuerzo transversal y f, es el esfuerzo a que está
sujeto).
Debido al incremento de momento,
AMI existe un incremento en la tensión longitudinal igual a AT.
Por equilibrio de fuerzas verticales:
Avfssen a = Fc sen O
(7.1)
Por equilibrio defuerzas horizontales:
Teniendo en cuenta la hipótesis (e):
donde z es el brazo del par resistente.
Sustituyendo Fc de la ecuación 7.1 y AT
de la ecuación 7.3, en la ecuación 7.2, se tiene
vs
-=
z
[
A, f, cos a + tan 8
Por lo que la fuerza cortante máxima
que puede tomarse con un área Ay de refuerzo transversal es
Si se admite que las grietas se forman
comúnmente con un ángulo 0 igual a 45"
v=-A
(sena + C O S a)
S
De esta expresión puede deducirse que,
si la capacidad de carga del elemento depende directamente de su resistencia a esfuerzos
de tensión inclinados, la carga máxima se obtiene cuando fluye el acero de refuerzo transversal; esto es, cuando f, = fy. Esto presupone
que tanto el concreto de la zona de compresión como el acero de refuerzo longitudinal,
que forman las cuerdas de compresión y de
tensión de la armadura idealizada, deben ser
capaces de soportar los incrementos en las
fuerzas correspondientes, originados por el
desarrollo de las grietas inclinadas.
La analogía de la armadura se ha usado
durante muchos años, en la forma simple que
desarrolló Ritter, para estimar la resistencia a
fuerza cortante de miembros con refuerzo
transversal. Para lograr una correlación aceptable entre los resultados de ensayes y las resistencias calculadas con la analogía de la
armadura, lo que se ha hecho es sumar a la
resistencia calculada, la que corresponde a un
elemento sin refuerzo transversal. Aunque de
esta manera se han obtenido expresiones que
Mecanismos de falla por cortante
permiten calcular la resistencia con aproximación suficiente para fines prácticos, el procedimiento adolece de limitaciones teóricas,
por lo que se ha continuado en la búsqueda
de métodos más racionales para explicar el
comportamiento general bajo la acción de
fuerza cortante y para derivar de ellos procedimientos de diseño. Algunos autores han
presentado modificaciones a la teoría de la armadura para tomar en cuenta factores importantes como la inclinación de las grietas, la
reducción de la resistencia de la diagonal de
compresión de concreto de la figura 7.9 por el
efecto de esfuerzos y deformaciones transversales, la formación de configuraciones de
agrietamiento en forma de abanico cerca de
los apoyos y de cargas concentradas, la transmisión de fuerzas a través de las grietas y otros
de este tipo [7.17, 7.1 8, 7.22, 7.291. Estos trabajos han sido incorporados en algunos reglamentos de construcciones, pero todavía no lo
han sido en los reglamentos a los que se hace
referencia en este texto, por lo que no se presentan aquí con detalle.
7.3.3 Losas planas y zapatas sin refuerzo
transversal
Los mecanismos de falla por fuerza cortante
en losas planas y zapatas son cualitativamente del mismo tipo que el descrito anteriormente para miembros sin refuerzo transversal.
Debido a que los momentos flexionantes
disminuyen muy rápidamente del perímetro
del área cargada hacia los centros de los tableros de losa o los extremos de la zapata, las
tensiones máximas antes del agrietamiento se
concentran en zonas cercanas a una superficie definida por planos trazados a 45" a partir
del perímetro del área cargada (figura 7.6). En
otras palabras, mientras que en miembros la
zona crítica por cortante puede presentarse en
regiones relativamente grandes a lo largo de
SU longitud, en losas planas y zapatas las zonas críticas están concentradas alrededor del
perímetro del área cargada.
175
Se ha podido observar por medio de
perforaciones previas hechas en la losa, que
el agrietamiento inclinado se produce siguiendo una superficie en forma de pirámide truncada, en planos con una inclinación
aproximada de 45" con respecto al plano
medio de la losa o zapata, a cargas del orden de 50 a 70 por ciento de la resistencia.
En esta zona los momentos flexionantes son
altos y, por lo tanto, se requieren cantidades
relativamente grandes de acero por flexión,
que usualmente tienen suficiente longitud
de anclaje. Existe también en el plano medio
de la losa o zapata un efecto de confinamiento triaxial debido al área cargada. Por
consiguiente, no puede producirse una falla
irrestricta de tensión diagonal. De lo anterior se concluye que la resistencia es siempre mayor que la carga que produce el
primer agrietamiento inclinado. En otras palabras, el fuerte gradiente de momentos hace que las grietas inclinadas tiendan a
producirse en la zona adyacente al área cargada. Pero estas grietas no pueden desarrollarse súbitamente ni hacia el área cargada,
debido al confinamiento, ni tampoco a lo largo del acero de tensión, porque éste suele
existir en cantidades y con longitud suficientes.
Los ensayes realizados en especímenes
que simulan la acción de una columna sobre una losa o una zapata confirman lo anterior. La resistencia es generalmente del
orden de dos veces la carga que produce los
primeros agrietamientos inclinados alrededor del área cargada, y depende de la zona
de compresión disponible en el perímetro
de dicha área.
También se han hecho aplicaciones de
la analogía de la armadura a este tipo de elementos [7.23].
7.3.4 Losas planas y zapatas con refuerzo
transversal
Se han ensayado losas planas y zapatas con
distintos tipos de refuerzo transversal, como
176
Elementos sujetos a fuerza cortante
los de las figuras 7.1 2, 7.1 4 y 7.1 5, que se
comentan con detalle más adelante. Se han
detectado básicamente dos mecanismos de
falla. En el primero, la sección crítica se desarrolla en forma similar a la que se presenta en losas sin refuerzo, pero se desplaza
hasta la zona en que el refuerzo deja de ser
efectivo. En el segundo, la resistencia se alcanza cuando fluye el refuerzo transversal.
Para tener mayor información se pueden
consultar las referencias 7.9, 7.1 0 y 7.24.
7.4 Efectos de las variables en la
carga de agrietamiento
En esta sección se presentan de una manera
cualitativa los efectos de las principales variables que influyen en la magnitud de la
carga de agrietamiento. Puesto que el fenómeno es muy complejo, debido a la interacción de las distintas variables, no puede
expresarse cuantitativamente el efecto individual de cada variable sin tener en cuenta
los efectos de las demás. Las expresiones
que indican cuantitativamente los efectos de
las variables se presentarán posteriormente en
la sección 7.6, en la forma en que se utilizan
para evaluar la resistencia de elementos sujetos a fuerza cortante.
7.4.1 Miembros sin refuerzo transversal
RESISTENCIA DEL CONCRETO A TENSIÓN
Puesto que las grietas inclinadas aparecen
cuando se excede la resistencia del concreto
a esfuerzos de tensión, el efecto de esta variable es obvio: a mayor resistencia a tensión, mayor es la carga de agrietamiento inclinado.
Como no existe un procedimiento estándar para medir la resistencia del concreto a tensión, se acostumbra correlacionar la
carga que produce el agrietamiento inclinado de un miembro con la raíz cuadrada de
la resistencia del concreto a compresión. Ex-
perimentalmente se ha encontrado que la resistencia a tensión es aproximadamente proporcional a la raíz cuadrada de la resistencia
a compresión, en el rango usual de resistencia de concreto de peso normal.
PORCENTAJE DE ACERO LONGITUDINAL
Se ha observado en ensayes de vigas que al
aumentar el porcentaje de acero longitudinal aumenta la carga necesaria para producir el agrietamiento inclinado. La influencia
de esta variable se explica teniendo en
cuenta que, para miembros con características geométricas y mecánicas iguales y en los
que sólo varía el porcentaje de acero longitudinal, el agrietamiento debido a flexión
bajo una misma carga es mayor cuanto menor es el porcentaje de acero longitudinal.
Puesto que las grietas en flexión reducen la
zona disponible para tomar esfuerzos cortantes, éstos aumentan al producirse aquéllas, incrementándose a su vez los esfuerzos
de tensión inclinados. Por lo tanto, al aumentar el agrietamiento en flexión disminuye el valor de la carga de agrietamiento
inclinado.
ESBELTEZ
Se ha comprobado experimentalmente que
la capacidad al agrietamiento inclinado de
un miembro disminuye al aumentar su esbeltez, entendiendo por esbeltez la relación
entre el claro donde existe la fuerza cortante y el peralte. Para vigas con cargas concentradas, esta relación puede expresarse como
M/Vd.
La disminución en el valor de la carga
de agrietamiento al aumentar la esbeltez de
un miembro, puede explicarse teniendo en
cuenta dos aspectos. Primero, mientras mayor
sea la esbeltez, para una misma carga, mayor será el agrietamiento por flexión y, por lo
tanto, mayores serán las concentraciones de
esfuerzos en la parte superior de las grietas
Efectos de las variables en la carga de agrietamiento
al reducirse la sección disponible para tomar
la fuerza cortante. Estas concentraciones de
esfuerzos incrementan el valor de los esfuerzos de tensión inclinados y propician el desarrollo de la grieta en tensión diagonal
como continuación de la grieta en flexión.
Segundo, en elementos poco esbeltos, en los
que las cargas están cercanas a los apoyos,
los esfuerzos normales de compresión fy (figura 7.1) disminuyen el ,valor del esfuerzo
principal de tensión y aumentan, por lo tanto, la carga necesaria para producir el agrietamiento inclinado.
De lo anterior puede observarse que
tanto la esbeltez como el porcentaje de acero longitudinal influyen en el valor de la carga de agrietamiento inclinado, debido a la
interacción que existe en el miembro entre
los efectos de la fuerza cortante y del momento flexionante.
177
normales de compresión o tensión que disminuyen o aumentan, respectivamente, el
valor de la tensión principal para una misma
carga transversal, según se vio en la sección
7.1.
CORTE DE BARRAS LONGITUDINALES
Se ha observado que si se corta un cierto número de barras longitudinales de tensión en
una zona en la que existe fuerza cortante, la
carga de agrietamiento inclinado es menor
que la que se obtiene cuando no se corta
ninguna barra. Esto se debe a que en la sección de corte se producen concentraciones
importantes de esfuerzos que provocan grietas por flexión, lo que incrementa los esfuerzos cortantes en esta zona y origina, en
forma. prematura, el desarrollo de la grieta
inclinada como continuación de las grietas
por flexión.
RELACIÓN
DE A N C H O A PERALTE
7.4.2 Miembros con refuerzo transversal
En series limitadas de ensayes se ha observado que a mayor relación ancho peralte, mayor es la carga de agrietamiento por unidad
de área de la sección transversal del miembro. La razón de este efecto no se explica
aún claramente 17.41.
Existen indicios de que la carga de agrietamiento inclinado es menor mientras mayor
es el tamaño del miembro [7.81, aunque este efecto se reduce cuando existe refuerzo
longitudinal en las caras laterales de las vigas 17.301.
CARGA AXlAL
La aplicación de carga axial en un miembro
aumenta (cuando dicha carga es de compresión) o disminuye (cuando es de tensión) la
carga de agrietamiento inclinado, ya que la
carga axial produce directamente esfuerzos
Se ha mencionado ya que el refuerzo transversal influye muy poco en el valor de la
carga de agrietamiento inclinado y en el
comportamiento general del miembro antes
de alcanzarse este nivel de carga. Las mediciones de deformación realizadas en barras
de refuerzo transversal, muestran que los esfuerzos en dichas barras son prácticamente
nulos antes de que aparezca el agrietamiento inclinado. Las dimensiones de la grieta
dependen de la cantidad de refuerzo tranSversal.
Las otras variables principales, como la
calidad del concreto, el porcentaje de acero
longitudinal, la esbeltez, etc., tienen los
efectos descritos en la sección anterior.
7.4.3 Losas planas y zapatas
La información disponible sobre la carga de
agrietamiento de estos elementos es muy escasa, ya que sólo recientemente se ha obser-
1 78
Elementos sujetos a fuerza cortante
vado que este 'fenómeno ocurre en ellas en
forma parecida a como se presenta en
miembros con flexión en una dirección. Todos los estudios que se han realizado sobre
los efectos de las distintas variables han estado enfocados hacia la determinación de la
resistencia a fuerza cortante y no de la carga de agrietamiento. La influencia de las variables se describirá, relacionándola con la
resistencia, en la sección 7.5.3.
7.5 Efectos de las variables sobre
la resistencia
7.5.1 Miembros sin refuerzo transversal
Del mecanismo de falla expuesto en la sección 7.3.1 puede concluirse que las variables que afectan la capacidad de carga
posterior al agrietamiento inclinado son
principalmente la resistencia a la compresión
del concreto y la resistencia a esfuerzos de
adherencia del acero longitudinal. La primera es esencial cuando la falla final es en
compresión por cortante, en tanto que la segunda, que depende a su vez de la resistencia a la tensión del concreto y de las
características mecánicas y geométricas del
acero de refuerzo longitudinal, es fundamental cuando el colapso se produce por
adherencia.
Se ha dicho que la capacidad de carga
en exceso de la carga de agrietamiento de
un elemento sin refuerzo transversal no puede predecirse, ya que ésta es variable aun
para elementos que pueden considerarse como idénticos. En consecuencia, no es posible realizar un estudio sistemático de los
efectos de las variables.
Desde un punto de vista práctico, se
acostumbra considerar la carga de agrietamiento como la carga máxima confiable del
miembro, despreciando la capacidad de carga adicional, aun cuando ésta pueda ser 30
por ciento mayor.
7.5.2 Miembros con refuerzo transversal
En términos generales, se han aplicado dos
criterios para estimar la resistencia de un
elemento con refuerzo transversal. Uno de
ellos considera que la resistencia a fuerza
cortante se obtiene como la suma de las
contribuciones del concreto y del refuerzo
transversal; es decir, que es igual a la carga
de agrietamiento inclinado más la contribución directa del refuerzo transversal, calculada utilizando la analogía de la armadura
o alguna de sus variantes. En cambio, según
otro criterio predominante hasta hace algunos años, se consideraba que, una vez desarrollada la grieta inclinada, sólo el refuerzo
transversal resiste la fuerza cortante.
En la sección 7.3.2 se afirmó que la información experimental con que se cuenta
en la actualidad indica que el primer criterio
permite predecir con una mayor aproximación la resistencia de los elementos que fallan
por fuerza cortante. En consecuencia, será
este criterio el que se seguirá en la presente
sección.
Los efectos de las variables en la carga
de agrietamiento han sido descritos ya en la
sección 7.4.1. Falta tratar solamente el efecto del refuerzo transversal. Este efecto depende en forma importante del valor del
porcentaje y del esfuerzo de fluencia del
acero transversal utilizado.
Si el porcentaje de refuerzo transversal
es muy bajo, al producirse la grieta inclinada se incrementa súbitamente el esfuerzo
en las barras de refuerzo transversal que cruzan dicha grieta, excediéndose el esfuerzo
de fluencia y originándose inmediatamente
una falla súbita en tensión diagonal, sin que
la carga externa pueda aumentar sobre
aquella que produjo el agrietamiento inclinado. Éste es, desde luego, un tipo de falla
inconveniente.
Si el porcentaje de refuerzo transversal
es el comúnmente empleado, la carga externa puede aumentar después de que se pro-
Efectos de las variables sobre la resistencia
duce la grieta inclinada, aumentando los esfuerzos en el refuerzo transversal y en el
concreto de la zona de compresión, hasta
que se alcanza la fluencia del acero transversal. Cualquier incremento adicional en la
carga externa aumentará los esfuerzos en la
zona de compresión, la que eventualmente
fallará bajo la combinación de esfuerzos
normales por flexión y esfuerzos tangenciales por cortante. Este tipo de falla es menos
objetable, puesto que la influencia del acero
transversal permite apreciar la inminencia
de la falla.
Finalmente, si el porcentaje de refuerzo
transversal es muy alto, la falla se producirá
en la zona de compresión bajo un estado de
esfuerzos combinados, sin que se produzca la
fluencia del acero en el alma del elemento.
Este tipo de falla no es tan súbito como el primero, pero es menos dúctil que el segundo.
7.5.3 Losas y zapatas
En este caso influyen en el valor de la resistencia algunas de las variables consideradas en el
caso de miembros y otras particulares de estos
elementos, debidas a la acción de flexión en
dos direcciones y a que la posición de la sección crítica está dentro de límites muy estrechos.
La resistencia del concreto a tensión influye de la misma manera que en miembros.
El efecto de la cantidad de acero de flexión,
que en miembros se expresa en función de la
relación acero p, en losas se toma en cuenta a
través de su resistencia en flexión. Esto se justifica considerando que las losas y zapatas por
lo común son subreforzadas, y que, por lo
tanto, su resistencia a flexión es prácticamente proporcional a la cantidad de acero.
Se ha encontrado que el peralte de la
losa o zapata en la sección crítica y el lado
del área cargada (lado de la columna), influyen en forma importante en la resistencia. La
influencia del peralte es obvia: a mayor peralte, mayor resistencia, ya que aumenta el
área disponible para tomar esfuerzos norma-
1 79
les y tangenciales. El lado del área cargada
tiene un efecto similar al del peralte, pero de
menor importancia. Esto puede explicarse
considerando que al aumentar dicha dimensión aumenta el área de la sección crítica
por esfuerzo cortante.
E l parámetro M/Vd, que en el caso de
miembros es de cierta importancia, no interviene aquí, porque la posición de la sección
crítica prácticamente está fija.
Existen otras variables de importancia.
Una de ellas es la presencia de perforaciones y
agujeros de distintas formas en las cercanías
del área cargada. Éstos son frecuentes en la
práctica para permitir el paso de ductos y otras
instalaciones. Otra variable es la forma del área
cargada. También se ha encontrado que la restricción o desplazamiento en el plano de la losa y la velocidad de aplicación de la carga
influyen en la resistencia. Algunas de estas variables han sido estudiadas y se presentan recomendaciones específicas al respecto en el
Reglamento ACI 31 8-02 y en las NTC-04.
La presencia de refuerzo transversal formado por barras no evita el colapso final por
perforación, aunque esta perforacion puede
presentarse a deformaciones considerables
cuando ya se ha desarrollado la capacidad
por flexión del elemento.
Otra variable importante en el caso de
losas y zapatas es la presencia de un momento flexionante que actúe simultáneamente con
la carga axial. Este caso, ilustrado en la figura
7.10, es común en columnas perimetrales de
estructuras a base de losas planas, así como
en las columnas interiores de estos sistemas
cuando los claros contiguos difieren en longitud y carga o cuando la estructura está sujeta
a fuerzas horizontales importantes. También
se presenta esta situación en columnas que
deben transferir una carga axial y un momento a una zapata. El momento que debe transferirse es resistido en parte por flexión en las
caras AB y CD y en parte por excentricidad de
la fuerza cortante que actúa en la sección crítica. Los momentos torsionantes producen es-
180
Elementos sujetos a fuerza cortante
(e)
d = peralte efectivo
Figura 7.10 Efecto de momento flexionante combinado con carga axial.
fuerzos cortantes (figura 7.1 Oc), que se suman
a los correspondientes a la carga axial (figura
7.1 Ob). La distribución de esfuerzos cortantes
resultantes se ilustra en la figura 7.10d. Por
tanto, la presencia del momento flexionante
reduce la resistencia con respecto al caso en
que sólo actúa la carga axial. (El cálculo de
estos esfuerzos se expone en el inciso 7.6.1 c).
7.6 Expresiones para evaluar la
resistencia a efectos de fuerza
cortante
recomendaciones esenciales del Reglamento
ACI 318-02 y de las NTC-04 del Reglamento del
Distrito Federal están basadas en el trabajo
del Comité ACI-ASCE 326 y en las revisiones
hechas posteriormente por ese mismo comité,
ahora con el número 426, presentadas en las
referencias 7.1 2 a 7.1 5 y 7.29. En las secciones 7.6.1 y 7.6.2 se incluyen las recomendaciones específicas del Reglamento ACI 318-02
y de las NTC-04, respectivamente.
7.6.1 Expresiones del reglamento ACI*
a) Miembros sin refuerzo transversal
En la mayoría de los reglamentos, los efectos
de las variables estudiados anteriormente se
expresan por medio de fórmulas sencillas,
con ciertas limitaciones y restricciones.
Las expresiones propuestas reflejan los
efectos de las variables principales, dentro de
los límites de la información experimental. Las
El Reglamento ACI 31 8-02 presenta un procedimiento simplificado y otro más detallado para calcular la resistencia nominal de
* Las constantes que aparecen en las expresiones de esta
sección y de la siguiente son en muchos casos dimensionales. Cuando las ecuaciones están numeradas en la
Expresiones para evaluar la resistencia a efectos de fuerza cortante
elementos sin refuerzo transversal. Según el
primero, la resistencia a fuerza cortante de
un elemento sujeto únicamente a flexión y
cortante puede calcularse con la ecuación
o bien, en sistema SI
1
\
'v, = 0.ip
.
'
'
'(7.6 SI)
donde
V, = resistencia nominal, que corresponde a la carga de agrietamiento.
b = ancho del alma de secciones T o 1, o
ancho total si la sección es rectangular.
d = peralte efectivo del refuerzo longitudinal de tensión.
Si el elemento está sujeto además a carga axial de compresión, la resistencia se calcula con la ecuación
181
El factor (1 + 0.0071 Nu/Ag) cuantifica el
efecto de la carga axial de compresión, que,
como ya se ha mencionado, incrementa la resistencia debido a que reduce los esfuerzos de
tensión y el agrietamiento en las vigas.
Para vigas sujetas a cargas axiales de
tensión significativas, el Reglamento ACI
31 8-02 especifica, en el procedimiento simplificado, que toda la fuerza cortante sea resistida por estribos, esto es, que no se
considere la contribución del concreto.
Con el procedimiento más detallado del
Reglamento ACI 3 1 8-02, la resistencia de un
miembro sin refuerzo en el alma y sometido
únicamente a flexión y fuerza cortante se
calcula con la siguiente ecuación
o bien
o bien
donde
Nu = carga axial de compresión que actúa sobre el miembro multiplicada
por el factor de carga apropiado.
Ag = área total de la sección transversal.
forma usual, con dígitos únicamente, las fuerzas están en
kg. los esfuerzos en kg/cm2 y las dimensiones de longitud y área en cm y cm2.
Cuando el número de la ecuación está seguido de
las letras SI, las fuerzas están en N, los esfuerzos en MPa,
Y las dimensiones de longitud y el área en mm y mm2.
donde
p = relación de acero longitudinal, As/bd.
As =.área de acero longitudinal.
V, = fuerza cortante en la sección considerada, multiplicada por el factor
de carga apropiado.
Mu= momento flexionante en la sección
considerada, multiplicado por el
factor de carga apropiado. S i Mues
menor que V, d, se toma igual a este producto.
182
Elementos sujetos a fuerza cortante
La ecuación 7.8 toma en cuenta dos variables mencionadas en la sección 7.4 que tienen efecto sobre la carga de agrietamiento: la
relación de acero longitudinal, p, y la esbeltez
expresada por el término Vud/Mu. Las resistencias calculadas con esta ecuación son mayores que las calculadas con el procedimiento
simplificado, pero la labor numérica se complica sustancialmente como se verá en los
ejemplos que se presentan más adelante.
El efecto de una carga axial de compresión se toma en cuenta disminuyendo el valor
del momento flexionante Mu en la ecuación
, dado por
7.8, sustituyéndolo por el valor M
G 1 y sin
eliminando la restricción V,d/M,
que la resistencia Vc exceda el valor
o bien
En estas ecuaciones
M
, = momento flexionante modificado.
N, = carga normal a la sección transversal, positiva s i es de compresión.
h = peralte total de la sección transversal.
Ag = área total de la sección transversal.
Para cargas axiales de tensión importantes, la resistencia puede calcularse con la
ecuación
o bien
en las que N, tiene signo negativo por ser de
tensión.
En las ecuaciones 7.6 a 7.1 1 el valor de
f Cdebe limitarse a 700 kg/cm2 (70 MPa). Esta
restricción se establece porque se ha encontrado en algunos ensayes que las ecuaciones
tienden a sobrestimar la resistencia a fuerza
cortante cuando se usan concretos de alta resistencia, debido a que en éstos las superficies de agrietamiento resultan menos rugosas
que en concretos normales, lo que reduce la
carga que resiste por el efecto de trabazón
entre los agregados [7.25, 7.261.
La resistencia de diseño se obtiene, como
en el caso de las otras acciones ya estudiadas,
multiplicando la resistencia nominal calculada con alguna de las ecuaciones anteriores
por el factor de resistencia, 4, que para fuerza cortante debe tener el valor de 0.75. Esta
resistencia de diseño, 4 Vc, debe ser igual o
mayor que la fuerza cortante que actúa en la
sección crítica por cortante, la cual, debido
principalmente a los esfuerzos verticales de
compresión que existen en los apoyos del elemento, no se presenta en la cara del apoyo sino a una cierta distancia de la misma. De la
observación del agrietamiento de gran número de ensayes en cortante se ha concluido que
la grieta inclinada se inicia generalmente a
una distancia de la cara del apoyo no menor
que d. Teniendo esto en cuenta, el Reglamento ACI especifica considerar como sección
crítica por cortante, la situada a una distancia
d de la cara del apoyo. Sin embargo, para prevenir el posible desarrollo de grietas inclinadas más cercanas al apoyo, no debe reducirse
el área de la sección transversal entre la cara
del apoyo y la sección crítica. Cuando el apoyo es de naturaleza tal que no se inducen es-
Expresiones para evaluar la resistencia a efectos de fuerza cortante
fuerzos de compresión, la sección crítica debe tomarse en el paño de apoyo.
En la figura 7.1 1 se ilustra la localización
de la sección crítica para algunos casos típicos.
En los casos (a) y (b) existen esfuerzos verticales de compresión cerca del apoyo y la sección
crítica se presenta a una distancia d de la cara
del apoyo. En el caso de la figura 7.1 1c el elemento horizontal está colgado del elemento
vertical que trabaja a tensión; como no hay esfuerzos de compresión en el elemento horizontal, la sección crítica debe considerarse en la
cara interior del elemento vertical. En el caso
de la figura 7.1 1d existe una carga concentrada cerca del apoyo que hace que el valor de la
fuerza cortante dentro de la distancia d sea
mucho mayor que en el resto de la viga; la sección crítica debe tomarse también en la cara
del apoyo.
b) Miembros con refuerzo transversal
La resistencia a fuerza cortante de miembros
con refuerzo en el alma se considera igual a
183
la suma de la resistencia del concreto calculada como se indica en la sección anterior, y
de la contribución a la resistencia del refuerzo en el alma, o sea
donde
Vn = resistencia nominal de un miembro
con refuerzo en el alma.
V, = resistencia del concreto.
V, = contribución del refuerzo en el alma.
La contribución del acero en el alma se
calcula con base en la analogía de la armadura presentada en la sección 7.3.2, suponiendo que el refuerzo en el alma fluye en la
falla. La expresión que se presenta en el Reglamento ACI 31 8-02 puede deducirse de la
ecuación 7.5 haciendo z = d, simplificación
que puede aceptarse teniendo en cuenta la
poca precisión con que pueden valuarse los
efectos de las variables secundarias. Con esta simplificación se obtiene
v, =
~,f,(sen a + cos a) d
S
(7.1 3)
donde
A, = área total del refuerzo en el alma en
una distancia S, medida en dirección
paralela al refuerzo longitudinal.
a = ángulo entre las barras o estribos de
refuerzo en el alma y el eje longitudinal del miembro.
S = separación de estribos o barras dobladas, medida en dirección paralela a la del refuerzo longitudinal.
En el caso de estribos perpendiculares
al refuerzo longitudinal ( a = 90°), la ecuación 7.1 3 se reduce a
Figura 7.11 Localización de la sección crítica
para fuerza cortante en algunos casos típicos
(referencia 7.27).
184
Elementos sujetos a fuerza cortante
El valor de V, en ningún caso debe ser
mayor de 2 \/7;; b d (0.64 \/7;; bd en sistema SI), ya que si se tuviese una cantidad excesiva de refuerzo en el alma, no se
garantizaría que la resistencia total fuese la
suma de la resistencia del concreto y de la
contribución del acero. El Reglamento ACI
318-02 también especifica que el esfuerzo
de fluencia de diseño del refuerzo en el alma no exceda de 4200 kg/cm2. La contribución del refuerzo a la resistencia nominal
debe afectarse del mismo valor de 4, o sea,
0.75, para obtener la contribución a la resistencia de diseño.
Además de aumentar la resistencia a
fuerza cortante, el refuerzo transversal aumenta la ductilidad y proporciona un aviso
de falla que no poseen los elementos sin dicho refuerzo. Este refuerzo resulta de gran
valor cuando se presentan fuerzas imprevistas en la estructura, lo que evita fallas catastróficas. Por esta razón, se recomienda en
general colocar una cantidad mínima de dicho refuerzo transversal. En este sentido, el
Reglamento ACI 31 8-02 recomienda colocar
un área mínima igual a
o bien
en cualquier sección en la que la fuerza cortante, afectada por el factor de carga, exceda de la mitad de la resistencia de diseño del
concreto, 4 Vc. Se exceptúan de esta recomendación losas, zapatas y vigas anchas.
Los reglamentos limitan también la separación del refuerzo transversal cuando éste se considera necesario. En general, se trata
de impedir que pueda desarrollarse una grieta inclinada a 45" sin que sea interceptada
por una barra en la zona comprendida entre
el refuerzo de tensión y el semiperalte efec-
tivo del elemento. El Reglamento ACI 31 802 especifica a este respecto que la separación de estribos perpendiculares al eje
longitudinal de un elemento no exceda de
d/2 ni de 60 cm. Cuando V, excede de
bd,
estas separaciones deben reducirse a la mitad.
Teniendo en cuenta que el corte de barras longitudinales en zonas de tensión origina concentraciones de esfuerzos importantes
que propician el desarrollo de grietas por
tensión diagonal, el Reglamento ACI 318-02
(sección 12.10.5) impone ciertas limitaciones a tal práctica. Para que sea admisible
cortar barras longitudinales en zonas de tensión, debe satisfacerse una de las siguientes
condiciones: a) la fuerza cortante en la zona
de corte no es mayor que los dos tercios de
la fuerza cortante permisible, incluyendo el
efecto del refuerzo en el alma; b) se proporcionan estribos adicionales a lo largo de la
barra cortada en un distancia 3d/4, a partir
del punto de corte; estos estribos adicionales
deben tener un área no menor que 4.2 bslfy
y la separación no debe exceder de d/8Bb,
donde Pb es la relación entre el área de barras cortadas y el área total, y c) las barras
que se continúan tienen un área por lo menos del doble de la requerida por flexión en
el punto de corte, y el cortante no excede de
las tres cuartas partes del permitido.
La intención de estas limitaciones es tener en cuenta los efectos perjudiciales del
corte de barras que han sido observados en
ensayes realizados por Ferguson 17.51 y Baron 17.61.
Se aprecia que estas recomendaciones
son engorrosas en aplicaciones prácticas. La
más sencilla de observar es la primera, la cual
puede cumplirse prolongando el refuerzo de
tensión o aumentando los estribos.
e
c) Losas y zapatas
El Reglamento ACI 31 8/02 distingue dos posibles tipos de falla: como viga y como losa.
En el primero, la losa se considera como una
Expresiones para evaluar la resistencia a efectos de fuerza cortante
viga ancha en la cual se puede presentar el
agrietamiento inclinado, en forma similar a
la descrita anteriormente para miembros, en
una sección crítica localizada a una distancia d del apoyo o de la cara de una carga
concentrada. El cálculo de la resistencia para este caso es igual al presentado en las secciones 7.6.1 a y 7.6.1 b.
La falla como losa corresponde a la descrita en la sección 7.2.3, o sea, a la penetración de un cono o pirámide truncada en la
losa. La resistencia de una losa sin esfuerzo
para cortante será, en este caso, el menor de
los tres valores siguientes:
o bien, en sistema SI:
%=(
"d
4,
+ 0.5 f i &,d (7.17 SI)
El factor pCes la relación entre el lado
largo y el lado corto de la columna que
transmite la carga a la losa. El término boes el
perímetro de la sección crítica, la cual se localiza de tal manera que su perímetro sea
mínimo, pero que no se acerque a la columna
una distancia menor que dl2. Para losas sin
refuerzo en el alma, la sección crítica tiene la
185
misma forma que la columna que transmite
o recibe la carga y dista de ella una distancia uniforme de dl2; para losas con refuerzo
en el alma, la sección crítica puede tener
forma distinta, como se puede ver en la figura
7.1 3. El factor a, tiene un valor de 10 para columnas interiores, 7.5 para columnas de borde y 5 para columnas de esquina.
Para columnas cuadradas o de forma no
alargada, se ha encontrado que el esfuerzo
cortante& en la sección crítica es l/f;;
(0.32 d\/f;
en sistema SI). En estos casos rige
generalmente la ecuación 7.1 8. Sin embargo, también se ha encontrado que el esfuerzo cortante disminuye en columnas de
forma alargada, en las que rige generalmente la ecuación 7.1 6. La ecuación 7.1 7 toma
en cuenta que la resistencia disminuye para
valores pequeños de la relación dlb,.
Existen varios tipos de refuerzo transversal para losas y zapatas cuya función es
restringir el agrietamiento potencial que define el cono o pirámide truncada de falla
mostrado en la figura 7.6. Esta función es similar a la de los estribos o barras dobladas
usados en vigas.
En la figura 7.12 se muestra un tipo de
refuerzo que consiste en crucetas formadas
por perfiles de acero estructural que se colocan sobre la columna. Estas crucetas desplazan la sección de falla alejándola de la
columna, como se muestra en la figura 7.1 3,
con l o cual aumenta el perímetro de dicha
sección y, como consecuencia, aumenta también la resistencia a cortante, al mismo tiempo
que disminuye la fuerza cortante en la sección crítica.
Otro tipo de refuerzo, más sencillo en
su procedimiento de construcción, es el mostrado en la figura 7.14. Consiste en crucetas
formadas por estribos del mismo tipo que
los usados en vigas [7.10]. Cuando se usa
este refuerzo, la sección de falla se desplaza
en la misma forma indicada en la figura 7.1 3.
El dimensionamiento del primer tipo de
refuerzo no se incluye en este texto. El lec-
186
Elementos sujetos a fuerza cortante
Figura 7.12 Refuerzo para cortante en losas a base de perfiles estructurales.
a) Sin refuerzo
1
e,
b) Refuerzo ligero
cv - cl2
C ) Refuerzo pesado
Figura 7.1 3 Localización de la sección crítica.
Expresiones para evaluar la resistencia a efectos de fuerza cortante
eficacia en algunos ensayes, es el mostrado
en la figura 7.1 5. Consiste en pernos con cabeza soldados en su parte inferior a una placa o
solera [7.24]. El tallo del perno desempeña
el mismo papel que las ramas verticales de
los estribos del refuerzo anterior y las cabezas
sirven de anclajes. La resistencia se calcula
también igual que en el caso anterior.
Experimentos real izados en los laboratorios de la Portland Cement Association
(Skokie, 111.) indican que se puede tomar en
cuenta la reducción de la resistencia a fuerza
cortante producida por la presencia de agujeros en la cercanía de una columna, reduciendo el perímetro b, en la longitud interceptada
por las dos tangentes a los bordes del agujero trazadas desde el centro del área cargada,
tal como se muestra en la figura 7.1 6. Según
el Reglamento ACI 31 8-02, esta reducción debe tenerse en cuenta sólo cuando la distan-
tor puede consultar la referencia 7.9. Para
calcular la resistencia con el refuerzo mostrado en la figura 7.1 4, se suman las resistencias del concreto, V
,, y del acero, V,, para
obtener la resistencia total. La primera se
calcula con la expresión
V, = 0.5
b,d
187
(7.1 9)
y la segunda con la ecuación 7.14, sumando
las resistencias de los cuatro brazos (en columnas de borde serán tres brazos y en columnas de
esquina, dos brazos). La suma de las resistencias V y V, no debe considerarse mayor que
1.5&bod,
o bien, 0.48flb0d en sistema SI.
Un tercer tipo de refuerzo en el alma
para losas, que también ha desmostrado su
DETALLE DE LOS ESTRIBOS
Figura 7.14 Refuerzo para cortante en losas a base de estribos.
placas de anclaje
área de anclaje 3 10
veces el área del tallo
columna
interior
- 3 213 D
t
diámetro D
solda-
32.5 D
S E C C I ~ NA - A
(b)
Y
(c)
Figura 7.15 Refuerzos para cortante en losas a base de pernos.
crítica
1 88
Elementos sujetos a fuerza cortante
cia del agujero al apoyo es menor que diez
veces el peralte efectivo.
Al final de la sección 7.5.3 se presentó
el caso de losas que, adicionalmente a la
carga axial, transferían un momento a la columna. Se dijo que una parte del momento
se transfería por flexión y otra parte por momentos torsionantes, que producían esfuerzos cortantes adicionales a los producidos
por la carga axial (figura 7.1 0). El Reglamento ACI 31 8-02 especifica que la fracción del
momento total que se transmite mediante
momentos torsionantes se calcule multiplicando el momento total por el factor y, definido por la ecuación
donde cl es el lado de la columna en la dirección en que se transmite el momento, y
C* en la dirección perpendicular (figura
7.1 O).
El esfuerzo máximo vi mostrado en la
figura 7.1 0 d no debe exceder los valores de
(Vc/bod) obtenidos con las ecuaciones 7.1 6,
7.1 7 o 7.1 8, si se trata de losas sin refuerzo
en el alma. Si la losa tiene refuerzo en el alma,
el esfuerzo máximo vl no debe exceder el
valor de (Vc + V,)lbod, calculando Vc con la
ecuación 7.1 9 y V, con la ecuación 7.14. E l
área Av de esta ecuación debe ser la de las
ramas de los estribos de todas las vigas ficticias de la figura 7.14. El valor de v l se puede calcular con la expresión siguiente
El parámetro / es un momento polar de
inercia modificado que corresponde a la sección crítica. En la figura 7.1 7 se presentan valores de este parámetro para columnas interiores,
exteriores y de esquina. El significado del término y, se muestra también en la figura 7.1 7.
d) Comentarios sobre las expresiones
del Reglamento ACI 3 18-02
La ecuación 7.8 fue propuesta originalmente
por el comité 326 con base en los ensayes realizados hasta 1963. Se incluyó en el Reglamento ACI de 1971 y nuevamente en los de 1977
a 2002. Sin embargo, se le han señalado algunas limitaciones importantes que se resumen a continuación.
El análisis de ensayes posteriores a 1963
ha mostrado que la ecuación mencionada da
resultados del lado de la inseguridad para elementos con relación de acero longitudinal inferior a 0.01 y valores de Vud/Mu inferiores a
0.5. Se ha propuesto la siguiente ecuación
que toma en cuenta estos factores 17.21
o bien
También se ha señalado que el efecto del
término Vud/Mu es poco significativo para vigas
con valores de la relación de esbeltez ald mayores que dos. Además, una vez que se desarro1la el agrietamiento inclinado se presenta cierta
acción de arco en la viga y como consecuencia
de esta acción, la distribución de esfuerzos de
flexión no corresponde ya al diagrama de momentos flexionantes, por lo que el significado
del término Vud/Mu pierde sentido [7.14].
Por las razones anteriores, y por la dificultad operativa de manejar el término Vud/Mu,
se ha propuesto sustituir la ecuación del Reglamento ACI que se utiliza para calcular la
resistencia del concreto por la siguiente
ecuación 17.14, 7.1 51
Expresiones para evaluar la resistencia a efectos de fuerza cortante
--
Área cargada
7
Sección crítica
Figura 7.16 Reducción en el perímetro de la sección crítica por la p;esencia de un agujero.
Sección
b, = c, + d
.zo cortante máximo
(a) Losa sobre columna interior
V
1
I
A
Eje centroidal
r d e la sección
' crítica
l
I
B
-
esfuerzo cortante máximo
(b) Losa sobre columna de borde con momento perpendicular al borde
Figura 7.17 Valores del parámetro / sobre columnas interiores y de borde.
189
1 90
Elementos sujetos a fuerza cortante
-
(c) Losa de borde con momento paralelo al borde
I
b , = cl + 0.5d
D
I
CI1-A .,
c L-L,
B
C
J=- 'ld3
12
+
12
+ b,d
(4
- Y,)
2
+ b2dy/
Id) Losa de esquina
Figura 7.1 7 (Continuación)
Esta ecuación resulta más fácil de aplicar y los valores calculados con ella concuerdan razonablemente bien con los medidos
experimentalmente.
Otras modificaciones que se han propuesto a las normas incluidas en el Reglamento ACI consisten en ecuaciones diferentes
a las actuales para calcular el efecto de cargas de compresión y de tensión t7.201, en la
uniformización de criterios para concreto reforzado y presforzado (que no se comentan
en este texto, ya que no incluye concreto
presforzado) y en la inclusión de precaucio-
nes especiales cuando una viga secundaria
se une a una viga principal en tal forma q u e
el lecho inferior de la viga principal diste d e l
lecho inferior de la viga secundaria menos
de la mitad del peralte de la viga secundaria.
En este caso se considera que la viga secundaria está colgada de la principal, y d e b e n
colocarse estribos que resistan por sí solos l a
totalidad de la fuerza cortante que transmite
la viga secundaria a la principal. Estos estribos
deben quedar dentro de una distancia de la
mitad de la altura de la viga secundaria a cada lado de la intersección de las dos vigas.
Expresiones para evaluar la resistencia a efectos de fuerza cortante 191
En relación con el diseño de losas y zapatas con refuerzo transversal, el procedimiento del ACI, al considerar que el área de
A v es la de todas las ramas de las vigas ficticias de la figura 7.1 4, está suponiendo que el refuerzo transversal debe ser
simétrico con respecto a la columna, aunque los esfuerzos varíen en cada cara según
se muestra en la figura 7.1 7. En las NTC no
se hace esta suposición, como se verá más
adelante, y en algunas referencias se proponen también procedimientos alternativos
[7.31, capítulo 161.
7.6.2 Expresiones de las NTC-04 del Reglamento del Distrito Federal
a) Miembros sin refuerzo transversal
La resistencia nominal de estos miembros se
calcula con las siguientes ecuaciones, según
la relación de refuerzo:
Se puede ver que las ecuaciones 7.24 y
7.25 son muy similares a la ecuación 7.23
propuesta en las referencias 7.1 4 y 7.1 5. En
las primeras se utiliza la resistencia reducida
f*cf en vez de fC como en todas las NTC-04.
El valor de p para el cual se cambia de la
ecuación 7.24.a la 7.25 se ha incrementado
con respecto al propuesto en las referencias
7.14 y 7.1 5, y también al incluido en versiones anteriores de las NTC, para tomar en
cuenta información reciente [7.30]. Este reglamento establece que las ecuaciones 7.24
y 7.25 se aplican a miembros cuya relación
claro a peralte total no sea menor que cuatro. También establece que si el peralte total es mayor que 70 cm, la resistencia calculada
se reduzca multiplicándola por el factor
[l-0.004 (h-70)], el cual no deberá tomarse
mayor que 1 .O ni menor que 0.8. Esta reducción se basa en recomendaciones presentadas en la referencia 7.13 que toman en
cuenta el efecto del tamaño de la sección,
efecto que se ha analizado anteriormente en
este texto.
Las NTC-04 permiten tomar en cuenta
la contribución a la resistencia del patín a
compresión en secciones i,1 o L. Esto se logra sumando la cantidad t2 al área bd de las
ecuaciones 7.24 o 7.25, en el caso de vigas
T e 1 y t 2/2 en el caso de vigas L. En estos
casos, b representa el ancho del alma, y t el
espesor del patín.
El efecto de una carga axial de compresión se toma en cuenta multiplicando la resistencia calculada con las ecuaciones 7.24
o 7.25 por el término [1 + 0.007 (Pu/Ag)],
11 + 0.07 (P,/Ag)I en sistema SI, donde P, es
la carga axial multiplicada por el factor de
carga y Ag el área gruesa de la sección,
siempre que P, no exceda de [0.7 f*, Ag +
2000 A,], L0.7 f*,A6 + 200 A,] en sistema SI.
Cuando la carga axial es mayor que este valor, lo cual sucede con cargas axiales muy
elevadas, la resistencia a cortante se va disminuyendo linealmente desde el valor correspondiente al límite anterior hasta un
valor nulo para la resistencia a compresión
axial, o sea, para P, = Ag f'; + A, fy.
En el caso de cargas axiales de tensión, la
resistencia obtenida con las ecuaciones 7.24 o
7.25 se multiplica por el factor [ l + 0.03
(Pu/Ag)l, [ l + 0.3 (P,/Ag)l en sistema SI, donde
P, tiene signo negativo por ser de tensión. Se
.
192
Elementos sujetos a fuerza cortante
ve que este procedimiento es similar al expresado por la ecuación 7.1 1 para el Reglamento ACI 3 18-02.
Cuando existan cargas axiales, el valor
de la relación de refuerzo, p, que se utilice
para determinar si se usa la ecuación 7.24 o
la 7.25, se calcula usando el área de las barras de la capa de refuerzo más próxima a la
cara de tensión, o a la cara de compresión
mímima, en secciones rectangulares, o tomando un área de acero igual a 0.33 A, en
secciones circulares. En estas últimas, bd se
sustituirá por Ag:
La resistencia de diseño, VcRl se obtiene
multiplicando la resistencia nominal, Vc, por
un factor de resistencia, FR, igual a 0.80.
b) Miembros con refuerzo transversal
Los criterios del Reglamento del Distrito Federal son los mismos que los del Reglamento ACI. La resistencia es igual a la suma de la
contribución del concreto y de la contribución del acero. La primera se calcula con las
ecuaciones de la sección anterior y la segunda con las ecuaciones 7.13 y 7.14. Se permite usar esas mismas ecuaciones para
secciones circulares, sustituyendo d por el
diámetro de la sección.
La resistencia de diseño se obtiene multiplicando la resistencia nominal por un factor FRigual a 0.80, o sea, igual al de miembros
sin refuerzo transversal.
No se permite que la resistencia de diseño total de vigas exceda de 2.5 FR
bd
(0.8 FR
bd en sistema SI), ni la de columnas o elementos de marcos dúctiles exceda de 2.0 FR
bd (0.64 FR
bd en
sistema SI), ni usar estribos con esfuerzo de
fluencia mayor de 4200 kg/cm2 (420 MPa),
por las razones expuestas en la sección
7.6.1 b.
En vigas en las que la carga de diseño,
V
,, sea menor que la resistencia del concreto, VcRl y en las que por lo tanto no se requeriría teóricamente refuerzo por cortante, se
fl
*
*
-\/fXC
especifica colocar estribos verticales por lo
menos del No. 2.5, espaciados a cada medio peralte efectivo, que proporcionen un
área mínima de
Cuando V, es mayor que VcRl pero menor
bd(0.47 FR
bd en
o igual a 1.5 FR
sistema SI), el espaciamiento de estribos no
debe exceder de 0.5 d. Si Vu es mayor que
bd, el espaciamiento no debe
1.5 FR
ser mayor que 0.25 d.
También se presentan en las NTC-04 limitaciones sobre interrupciones y traslapes
del refuerzo longitudinal. Se especifica al respecto que en tramos comprendidos a un peralte efectivo de las secciones donde, en zonas
de tensión, se interrumpa más que 33 por
ciento, o traslape más que 50 por ciento del
refuerzo longitudinal, la fuerza cortante máxima que puede tomar el concreto se considere de 0.7 VcR.
e
c) Losas y zapatas
También se especifica revisar dos condiciones: la de viga ancha y la de cortante por
penetración. La primera, con los procedimientos usuales para vigas, y la segunda, como
se describe a continuación.
Se calculan los esfuerzos cortantes máximos con la ecuación 7.21 y con los valores que se proporcionan en la figura 7.1 7.
Desde luego, si no hay transmisión de
momentos, el segundo término del segundo
miembro de esta ecuación es nulo. El esfuerzo cortante máximo calculado de esta manera, como el VAB de las figuras 7.1 7a y b,
no debe exceder el menor de los siguientes
Ejemplos
valores, a menos que se coloque refuerzo
transversal:
193
La diferencia entre V, y VcRserá la fuerza V, que debe tomar el refuerzo transversal
de cada rama. La separación de los estribos
necesarios se calcula con las ecuaciones
7.13 o 7.14 según el caso.
Con el procedimiento de las NTC, el refuerzo transversal no resulta simétrico alrededor de las columnas, como en el caso del
Reglamento ACI. La separación de los estribos depende de la magnitud de los esfuerzos
máximos en cada cara de la columna. El esfuerzo ,á,v,
calculado como ya se ha descrito, no debe exceder de 1.3 FR
L0.4 FR
en sistema SI]. En el ejemplo 18.1 se
ilustra la aplicación de este método en el caso de una losa plana.
e
7.7 Ejemplos
donde y es la relación de lado corto a lado
largo. Aun cuando no se excedan estos valores,
debe colocarse un esfuerzo mínimo como el
indicado en la figura 7.1 4, consistente en estribos no menores del No. 2 espaciados a no
más de d/3 y en una longitud no menor a un
cuarto del claro correspondiente. Estas disposiciones son equivalentes a las de las ecuaciones 7.1 8 y 7.1 6 del Reglamento ACI.
Si se requiere refuerzo en el alma, se procede de la siguiente manera. Se supone que
las vigas ficticias indicadas en la figura 7.14
tienen un ancho, b, igual al peralte de la losa,
d, más el lado de la columna perpendicular
a la viga que se esté analizando (b = c + d).La
fuerza cortante en cada rama de las vigas ficticias se calcula multiplicando el esfuerzo máximo en la cara correspondiente, calculado
con la ecuación 7.21, por la sección transversal de viga ficticia, bd, de tal manera que
V,., = v,~, db. A continuación se calcula la
contribución del concreto con la ecuación
Ejemplo 7.1. En este ejemplo se ilustra la determinación de la resistencia a fuerza cortante de una viga simplemente apoyada, con
las características de refuerzo y dimensiones
mostradas y sujeta a una carga concentrada
en el centro y una carga uniformemente repartida. La revisión se hizo siguiendo los dos
criterios previstos en el Reglamento ACI
318-02:
a) Considerando que la contribución
del concreto está dada por
b) Considerando que la contribución
del concreto está dada por
194
Elementos sujetos a fuerza cortante
Para aplicar el criterio b, según el cual
la contribución del concreto a la resistencia
depende de la interacción entre el momento
y la fuerza cortante, fue necesario calcular
estas acciones en varias secciones de la viga
(el cálculo correspondiente no se incluye en
el ejemplo). Se consideraron secciones a cada metro y secciones con alguna característica particular. La sección 1, situada a una
distancia del paño del apoyo igual al peralte
efectivo (0.67 m), o sea, a 0.77 m del centro
del apoyo, es la sección crítica para cortante, como se indicó en la sección 7.6.1. La
sección 4, situada a 2.35 m del apoyo, se encuentra a la mitad de la distancia entre el último de los estribos con separación de 25
cm y el primero de los estribos con separación de 30 cm. Puede considerarse que es
en esta sección donde cambia la contribución del acero, debido al cambio en la separación de estribos. En la sección 2, a 1 .O
metro del centro de apoyo, se calcularon
dos valores de Vc, uno a la izquierda y otro
a la derecha, ya que el valor de p, que interviene en el cálculo de V
,, cambia en esta
sección.
En todos los cálculos, para mayor sencillez, se consideró que el valor del peralte efectivo es 0.67 m. Esto no es rigurosamente
cierto en las regiones donde el refuerzo Iongitudinal se encuentra en un solo lecho. Esta simplificación influye poco en la precisión
de los resultados. Los cálculos para determinar la contribución del concreto según el
criterio b se presentan en forma tabulada en
el ejemplo. También se comparan las resistencias totales, sumas de las contribuciones
del concreto y del acero, según las dos alternativas examinadas. Las contribuciones tanto del concreto como del acero han sido
afectadas del coeficiente de reducción 4,
que según el Reglamento del ACl debe tomarse igual a 0.75 en el cálculo de la resistencia a fuerza cortante (sección 7.6.1 a). Los
resultados se muestran gráficamente. Obsérvese que en la sección 1, según el criterio a, la
resistencia es ligeramente escasa, mientras que
según el criterio b, es ampliamente suficiente. (En el ejemplo los subíndices iy d indican izquierda y derecha, respectivamente.)
Puede apreciarse que el criterio b implica mayor complicación numérica que el a,
pero permite un mejor aprovechamiento de
los materiales.
De acuerdo con las propuestas de modificación del Reglamento ACI 31 8-77 formuladas en las referencias 7.1 4 y 7.1 5, la
contribución del concreto debe calcularse
con la expresión
Aplicando esta expresión a la sección 1
del ejemplo resulta
= 14, 911 kg = 14.9 ton
valor superior al calculado con el criterio a
del Reglamento ACI 31 8-02 y menor que el
obtenido al aplicar el criterio b de dicho Reglamento.
Según el Reglamento ACI 31 8-02, en el
lugar de corte de barras longitudinales debe
satisfacerse uno de los requisitos reseñados
en la sección 7.6.1 b.
El primero, que exige que la fuerza cortante actuante en la sección de corte no exceda las dos terceras partes de la fuerza
cortante resistente no se cumple, ya que
V, = 18 ton
,V
, = 19.6 ton
Ejemplos
195
1 96
Elementos sujetos a fuerza cortante
Ejemplos
197
198
Elementos sujetos a fuerza cortante
Es fácil comprobar, además, que tampoco se cumplen las otras dos condiciones, por
lo que será necesario aumentar el esfuerzo
transversal adecuadamente.
distancia del centro del
apoyo al le'. estribo = 15 + 7.5 = 22.5 cm
135.0
nueve espacios de 15 cm,
mitad de la distancia al
siguiente estribo
10.0
longitud de zona de influencia
167.5 cm
Ejemplo 7.2. La viga de este ejemplo es de
sección T y está sometida a momentos positivos y negativos. La resistencia a fuerza cortante se determinó aplicando las indicaciones
de las NTC-04.
Por tratarse de una sección T, en los
cálculos de la contribución del concreto a
la resistencia se tomó como ancho el correspondiente a la nervadura o alma. Al aplicar la expresión 7.24, que rige cuando
p < 0.015, debe utilizarse el valor de p correspondiente al acero de la sección en estudio que se encuentre del lado de la tensión.
En el ejemplo esto se tuvo en cuenta para
el cálculo de la aportación del concreto a
la derecha de la sección correspondiente
al punto de inflexión. Además, teniendo
en cuenta lo señalado en la sección 7.8.1, en
esta porción de la viga en la que el patín está en compresión, al aplicar la expresión 7.24 se sumó la cantidad t2 al producto
b 'd.
Para efectos de la aplicación de la expresión citada cuando se trata de vigas T, el
valor de p se determina refiriendo el área de
acero al producto b'd.
Al definir la zona de influencia de estribos con una separación determinada se
supuso, como en el ejemplo 7.1, que la contribución del acero, debido al cambio de separación de estribos, cambia en una sección
equidistante entre el último estribo con un
espaciamiento dado y el primero de los estribos siguientes con una separación diferente. Así, la zona de influencia de los estribos
a 15 cm a la derecha del apoyo se determinó como sigue:
Siguiendo una práctica usual, la posición del primer estribo se determinó sumando a la mitad del ancho del apoyo la mitad
de la separación de los estribos siguientes.
Los cálculos de la resistencia disponible
se presentan en forma tabular en el ejemplo
para diversas secciones de interés. Como en
el ejemplo 7.1, los subíndices i y d indican,
respectivamente, izquierda y derecha. Entre
las secciones consideradas pueden mencionarse las siguientes. Las secciones c, d y h
son las secciones críticas, situadas a una distancia de la cara del apoyo igual a un peralte efectivo; las secciones b, e y g son
secciones que limitan las zonas de estribos
con diferente separación; la sección f corresponde al punto de inflexión. A la izquierda
de esta sección la viga es rectangular, y el
acero a considerar al determinar p es el del
lecho superior, mientras que a la derecha la
viga se comporta como una viga T y el acero que interesa es el del lecho inferior.
Los resultados del cálculo, que se muestran en forma gráfica, indican que la resistencia
disponible es siempre superior a la requerida.
Se puede verificar que los requisitos
mencionados en la sección 7.6.2(b) se cumplen para esta viga. En efecto, el valor de
bd resulta de 44.5 ton, el cual
2.5 FR
no se excede en ninguna sección. El valor
bd es de 26.7 ton y tampode 1.5 FR
co se alcanza. Por lo tanto, se está en el caso
de que V es mayor que VcR pero menor que
1.5 FR. f*c bd, y la separación de estribos no
debe exceder de 0.5d. Esta condición se cumple, ya que la máxima separación es precisamente de 35 cm, que es igual a 0.5d.
fi
fi
?
200
Elementos sujetos a fuerza cortante
Ejemplos
201
202
Elementos sujetos a fuerza cortante
Ejemplos
203
204
Elementos sujetos a fuerza cortante
Ejemplo 7.3. En este ejemplo se ilustra la
determinación de la resistencia a fuerza cortante de un elemento en el que actúa también una carga axial. Se conoce la magnitud
de la carga axial y se quiere determinar el
valor de la carga P que produce momento
flexionante y fuerza cortante en el elemento
en cuestión. En el ejemplo se ha usado el
sistema SI de unidades y el procedimiento
aproximado del Reglamento ACI para calcular la resistencia a fuerza cortante.
Primeramente se determinaron los diagramas de momento flexionante, fuerza cortante y
fuerza normal. El primero tiene una variación lineal, con un valor máximo en el empotramiento del elemento. Los otros dos son constantes a
lo largo del elemento. El de fuerza cortante y el
de momento flexionante tienen que expresarse
en términos de la fuerza desconocida P. La sección crítica por fuerza cortante se ha localizado
a una distancia d del paño del empotramiento.
La contribución del concreto a la resistencia se ha calculado con la ecuación 7.7
SI, que es la que corresponde al procedimiento simplificado (sección 7.6.la) y la del
acero, con la ecuación 7.1 4 (sección 7.6.1 b).
La resistencia total nominal es la suma de las
resistencias del concreto y del acero (ecuación 7.12). Esta resistencia, afectada por el
factor de reducción 4, se iguala a la fuerza
cortante en la sección crítica para despejar
el valor de la fuerza P.
El valor obtenido es la resistencia a
fuerza cortante. Faltaría verificar s i la resistencia del elemento a flexocompresión le
permite soportar esta carga P. Si su resistencia a la combinación de momento flexionante y fuerza normal le permite soportar el
momento que le produce la fuerza P de 0.44
x 1 o6 N y la fuerza normal de 3 x 1 o6 N, el
elemento fallaría por fuerza cortante, s i no,
fallaría antes por flexocompresión.
Ejemplos
205
206
Elementos sujetos a fuerza cortante
Ejemplo 7.4 En este ejemplo se ilustra la determinación de la capacidad de carga de
una zapata aislada de acuerdo con su resistencia a fuerza cortante. La revisión se realizó según las NTC-04. Estas normas, siguiendo
un criterio semejante al del Reglamento ACI,
especifican que se verifique la resistencia según dos condiciones distintas.
En la primera condición se revisa la resistencia a cortante por penetración en la
sección crítica localizada a medio peralte
efectivo del perímetro de la columna. En el
ejemplo, como peralte efectivo se tomó un
valor promedio entre los correspondientes a
las dos direcciones de armado, definido por
el plano de tangencia entre los dos lechos de
varillas. De acuerdo con lo indicado en la
~ resistencia está dada por
sección 7 . 6 . 2 ~la
el menor de los valores calculados con las
ecuaciones 7.26 y 7.27.
Como en este caso la relación y entre el
lado corto y el lado largo de la columna tiene
un valor de 1, rige la ecuación 7.27 y la resistencia se deberá calcular con la expresión
Para obtener el valor de la carga PR que
puede transmitir la columna, se determinó
primero la reacción del suelo, r, que equilibra la resistencia, V,. Esto se hizo analizando el cuerpo libre ilustrado en el croquis A.
E l valor de la fuerza PR se obtuvo multiplicando la reacción, r, por la superficie de la
zapata, ya que debe existir equilibrio entre
la carga de la columna y la reacción total
del suelo.
Ejemplos
207
208
Elementos sujetos a fuerza cortante
Ejemplos
En la segunda condición se considera la
resistencia como si la zapata fuese una viga
cuyo ancho es el ancho total de la zapata. La
sección crítica para esta condición se fija
igual que en vigas, es decir, a un peralte
efectivo del paño de la columna. La fuerza
cortante admisible se calcula con la expresión 7.24 o la 7.25, según que p sea menor
o mayor que 0.01 5, afectando ambas expresiones del coeficiente FR. En el ejemplo p resultó menor que 0.01 5, de manera que se
utilizó la expresión 7.24.
La capacidad de la columna se determinó siguiendo un razonamiento semejante al
de la primera condición. Los cuerpos libres
considerados se aprecian en el croquis B.
La capacidad de la zapata del ejemplo
quedó definida por la resistencia como viga.
Con frecuencia, en otras situaciones el valor
crítico es el correspondiente a la condición
de losa.
209
De acuerdo con las NTC-04, la carga de
servicio correspondiente a la capacidad última
calculada se determina dividiendo ésta por
el factor de carga apropiado.
Para una combinación de carga muerta
y carga viva, este factor es 1.4. Así la carga
de servicio resultaría
pS -PR = 33 - 23.6
ton
Fc
1.4
Ejemplo 7.5. Se trata de encontrar la resistencia a cortante por penetración de una losa plana con refuerzo transversal constituido
por estribos de cuatro ramas, como se muestra en los datos del problema. Se supone que
la estructura está sometida únicamente a carga vertical. Por claridad, no se muestra el refuerzo longitudinal de la losa. Para el cálculo
se siguieron las indicaciones del Reglamento ACI 31 8-02.
2 10
Elementos sujetos a fuerza cortante
Ejemplos
La resistencia total es la suma de la contribución del concreto y la contribución del
refuerzo transversal. La primera se calcula
como si se tratase de una losa sin refuerzo
transversal, con la diferencia de que la contribución del concreto, V
,, se toma igual a
0.5
bb,, en lugar del valor dado por las
ecuaciones 7.1 6, 7.1 7 o 7.1 8. La sección
crítica se localizó a una distancia de medio
peralte del perímetro de la columna.
La contribución del refuerzo transversal
se calculó con la ecuación 7.14, que proporciona la constribución del refuerzo en vigas. Se supone que cada uno de los cuatro
brazos de refuerzo contribuye en igual forma, y por esta razón se ha multiplicado por
cuatro el segundo miembro de la ecuación
7.1 4.
El Reglamento ACI 31 8-02 recomienda
que la resistencia de una losa reforzada no
sea mayor que tres veces la contribución del
concreto a la resistencia. Siguiendo esta recomendación, se calculó la resistencia má-
e
211
xima permisible multiplicando por tres la
contribución del concreto a la resistencia.
Esta última se determinó con la ecuación
7.1 9, considerando una sección crítica localizada a medio peralte del perímetro de la
columna. En el ejemplo, la resistencia total
resultó menor que la máxima admisible. En
caso contrario, debe considerarse a la máxima admisible como la resistencia de la losa.
En el ejemplo se ha calculado la longitud
mínima que deben tener los brazos de refuerzo. Esto se hizo considerando que la losa puede fallar en una sección crítica alejada de la
columna y que la carga de falla para esta nueva sección crítica debe ser por lo menos igual
a la resistencia de la losa reforzada. Siguiendo
este criterio se determinó el perímetro de la
sección crítica de manera que la carga de falla coincidiese con la resistencia V, suponiendo que la contribución del concreto está
dada por la ecuación 7.1 9. Los brazos de refuerzo se prolongaron una distancia de un peralte más allá de la sección crítica.
212
Elementos sujetos a fuerza cortante
Referencias
7.1
Comité ACI-ASCE 326. "Shear and Diagonal Tension." lourna1o f the Arnerican Concrete Institute.
Detroit, enero, febrero, marzo 1962.
7.2 Díaz de Cossío, R. y S. Loera. "Comentario sobre
un artículo de G.N. Kani." lournal of the Arnerican Concrete Institute. Detroit, diciembre 1966.
7.3 Faradji, M.J., y R. Díaz de Cossío. "Tensión diagonal en miembros de concreto de sección circular".
Revista Ingeniería. México, D.F., abril 1965.
7.4 Díaz de Cossío, R. "Efecto del tamaño y de la forma
de vigas y losas de concreto sobre su resistencia
a fallas por cortante." Revista Ingeniería. México,
D.F., abril 1962. (Véase también el comentario
sobre la referencia 7.1 en el lournal of the American
Concrete Institute. Detroit, septiembre 1962.)
7.5 Ferguson, P.M., y F.N. Matloob. "Effect of Bar Cutoff on Bond and Shear Strength of Reinforced
Concrete Beams. "lournal o f the Arnerican Concrete Institute. Detroit, julio 1 959.
7.6 Baron, M.J. "Shear Strength of Reinforced Concrete
Beams at Points of Bar Cutoff." lournal of the Arnerican Concrete Institute. Detroit, enero 1966.
7.7 Moe, J."Shearing Strength of Reinforced Concrete Slabs and Footings under Concentrated Loads."
Bulletin D 47. Skokie, III., Portland Cement Association, Development Department, abril 1961.
7.8 Kani, G.N.J. "How Safe Are our Large Reinforced
Concrete Beams?"lournal of the Arnerican Concrete Institute. Detroit, marzo 1967.
7.9 Corley, W.G., y N.M. Hawkins. "Shearhead Reinforcement for Slabs". lournal o f the American
Concrete Institute. Detroit, octubre 1968.
7.1 0 Carpenter, J.E., P.H. Kaar y N.W. Hanson. Comentario sobre "Proposed Revision of ACI 31863: Building Code Requirements for Reinforced
Concrete". lournal o f the Arnerican Concrete Institute. Detroit, septiembre 1970.
7.1 1 Bresler, B., y J.G. MacGregor. "Review of Concrete Beams Failing in Shear". lournal of the Structural
Division, American Society of Civil Engineers. N ueva York, febrero 1967.
7.1 2 Shear in Reinforced Concrete, Vols. 1 y 2 (SP-42).
Detroit, American Concrete Institute, 1974.
7.1 3 Comité ACI-ASCE 426. "The Shear Strength of Reinforced Concrete Members." Proceedings of the American
Society of Civil Engineers, Vol. 99, No. ST6, junio
1973, y Vol. 100, No. ST8, Nueva York, agosto 1974.
7.14 MacGregor., J.C., y P. Gergely. "Suggested Revisions to ACI Building Code Clauses Dealing with
Shear in Beams." lournal of the Arnerican Concrete Institute. Detroit, octubre 1977.
7.1 5 Comité ACI-ASCE. "Suggested Revisions to Shear
Provisions for Building Code." Detroit, American
Concrete Institute, 1977.
7.1 6 Fenwick, R. C., y T. Paulay. "Mechanisms of Shear
Resistance of Concrete Beams." lourna1 of the
Structural Division, Arnerican Society o f Civil Engineers. Nueva York, octubre 1968.
7.1 7 Vecchio, F. J., y M. P. Collins. "The Modified Compression-Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear!' lourna1o f the American
Concrete Institute. Detroit, marzo-abril 1986.
7.18 Vecchio, F. J., y M. P. Collins. "Predicting the Response of Reinforced Concrete Beams Subjected to
Shear Using Modified Compression Field Theory".
ACI Structurallournal. Detroit, mayo-junio 1988.
7.19 Collins, M. P., y D. Mitchell. "A Rational Approach
to Shear Design-The 1984 Canadian Code Provisions." lourna1 of the American Concrete Institute.
Detroit, noviembre-diciembre 1986.
7.20 Ghee, A. B., M. J. N. Priestley y T. Paulay. "Seismic
Shear Strength of Reinforced Concrete Columns."
ACI Structural]ournal. Detroit, enero-febrero 1989.
7.21 Moehle, J. P. "Strength of Slab-Column Edge
Connections." ACI Structural]ournal. Detroit, enerofebrero 1988.
7.22 MacGregor, J. G. "Reinforced Concrete Mechanics
and Design". Prentice Hall. New Jersey, 1988,
págs. 182-1 90.
7.23 Alexander, S. D. B., y S. H. Simmonds "Ultimate
Strength of Slab-Column Connections." ACI Structural lournal. Detroit, mayo-junio 1987.
7.24 Elgabry, A. A., y A. Ghali. "Design of Stud-Shear
Reinforcement for Slabs". ACI Structural journal.
Detroit, mayo-junio 1990.
7.25 Roller, J. J. y H. G. Russell. "Shear Strength of High
Strength Concrete Beams with Web Reinforcement!'
ACI Structural lournal. Detroit, marzo-abril 1990.
7.26 Johnson, M. K., y J. A. Ramírez. "Minimum Shear
Reinforcement in Beam with Higher Strength
Concrete." ACI Structural lournal. Detroit, julioagosto 1989.
7.27 Comité ACI 31 8. "Commentary to Building Code
Requirements for Reinforced Concrete-ACI 318R02". American Concrete Institute. Detroit, 2002.
7.28 Collins, M.P.; Mitchell, D.; Adebar, P.E.; y Vecchio, F.]. "A General Shear Design Method". ACI
Structural lournal, enero-febrero, 1 996.
7.29 Comité ACI-ASCE 445. "Recent Approaches to
Shear Design of Structural Concrete", Informe
ACI 445R-99, American Concrete Institute, Detroit, noviembre, 1999.
7.30 Collins, M.P., y Kuchma, D. "How Safe Are our Large, Lightly Reinforced Concrete Beams, Slabs and
Footings?".ACI Structurallournal, julio-agosto, 1999.
7.31 Fanella, D., y Rabat, B. (Ed.). "Notes on ACI 31802 with Design Applications". Portland Cement
Association, Skokie, 2002.
Ejercicios
213
Ejercicios
7.1
Calcular la resistencia a cortante en la sección
A-A de la viga siguiente, utilizando las NTC-04.
7.4
Calcular la carga PR que puede resistir por cortante la siguiente zapata de acuerdo con el reglamento ACI 3 18-02.
Estribos verticales del No. 3 @ 30
Estribos inclinados a 45" del No. 3 @ 40
f ' c = 200 kg/cm
2
fy = 3000 kg/cm2
L Barras del No. 6 a 20 cm
en ambas direcciones
7.2
Trazar el diagrama de resistencia a fuerza cortante
de la siguiente viga y compararlo con el diagrama
de fuerza cortante producido por las cargas externas utilizando el método simplificado del Reglabd.
mento ACI 31 8-02, según el cual V, = 0.5
7.5
fi
Calcular la carga uniformemente repartida, w,
que puede soportar por cortante un sistema de
losa plana con las características siguientes.
Aplicar las NTC-04.
2 barras No. 10
I
600
7.3
Resolver el ejercicio anterior suponiendo que Vc
está dado por la ecuación 7.8.
I
I
Estribos No. 3 de
dos ramas @ 10
cm a partir del
paño de la
columna
CAP~TU
LO
8
Resistencia de elementos
sujetos a torsión
8.1 Introducción. /8.2 Sistemas estructurales con efectos importantes de torsión.
18.3 Torsión simple. /8.4 Torsión y flexión.
/8.5 Torsión y cortante. 18.6 Superficies de
interacción torsión-flexión-cortante. /8.7
Torsión y carga axial. /8.8 Expresiones de
los reglamentos para valuar la resistencia a
efectos de torsión. /8.9 Ejemplos.
8.1 Introducción
Debido al carácter monolítico de las estructuras de concreto, es común la existencia de
acciones torsionantes que se presentan casi
siempre en combinación con solicitaciones
de flexión, fuerza cortante y fuerza normal.
En muchos casos, los efectos de la torsión
son secundarios en comparación con los de
las otras solicitaciones, y por eso suelen despreciarse en el diseño. Sin embargo, a veces
la torsión puede ser la acción preponderante, o al menos tener un efecto lo suficientemente importante para no poder ignorarla
sin que la estructura sufra daños.
El problema de torsión en estructuras de
concreto tiene dos aspectos. El primero consiste en la determinación de los momentos torsionantes que actúan sobre los elementos de
una estructura, y el segundo en la determinación de la resistencia de los elementos.
La determinación de momentos torsionantes es un problema de análisis estructural que no ha recibido la misma atención
que el cálculo de momentos flexionantes y
fuerzas cortantes. Esto se debe, en parte, a
la importancia relativamente menor que se
ha concedido a los efectos de torsión y, en
parte, a que no se disponía, hasta hace poco tiempo, de medios para evaluar en forma
razonablemente precisa la rigidez torsionante de elementos de concreto reforzado,
dato necesario para el análisis de estructuras continuas.
La determinación de la resistencia a torsión de elementos de concreto ha sido objeto de numerosas investigaciones recientes.
Como resultado, es posible calcular, con suficiente precisión para fines prácticos, la resistencia a torsión y a combinaciones de
torsión, fuerza cortante y momento flexionante de los elementos, así como su rigidez
en torsión. Al igual que en el caso de tensión
diagonal, el conocimiento actual sobre el
problema es en gran parte empírico.
8.2 Sistemas estructurales con efectos
importantes de torsión
Los ejemplos que se mencionan en esta sección tienen como única finalidad ilustrar la
forma en que se presentan momentos torsionantes en ciertos elementos estructurales.
No se estudia con detalle el cálculo de estos
momentos, para lo cual puede consultarse
algún texto de análisis estructural.
Vigas que soportan marquesinas (figura 8. la)
El momento de empotramiento de la marquesina se transmite como momento torsionante
a la viga, la cual debe estar restringida contra giro en sus extremos por medio de columnas u otros elementos rígidos.
Vigas con muros colocados excéntricamente
(figura 8.1 b)
La carga que transmite el muro a la viga no
coincide con el eje longitudinal de ésta. Di-
216
Resistencia de elementos sujetos a torsión
a) Vigas que soportan marquesinas
b) Vigas con muros colocados excéntricamente
Viga
I I I I
lt-++-+
La torsión es producida por
la losa y las vigas secundarias
Corte A-A
C) Vigas de borde en sistemas de piso
d) Vigas curvas
Viga sujeta a torsión
Corte A-A
e) Marco con vigas fuera del plano de las columnas
Figura 8.1 Elementos estructurales sujetos a torsión.
cha carga equivale a una que actúa en el eje
longitudinal, más un momento torsionante,
como se indica en la figura.
Vigas de borde en sistemas de piso (figura 8.1c)
En la figura se representa parte de un sistema
de piso con vigas secundarias perpendiculares a una viga principal de borde. La viga de
borde restringe parcialmente a las vigas secundarias contra rotación por flexión, o sea
que proporciona un semiempotramiento a
las vigas secundarias y recibe, a su vez, por
condiciones de equilibrio, un momento torsionante, como se indica en la figura.
Casos semejantes al anterior se tienen
en sistemas de piso de vigas y losas, sin vigas secundarias, y en el de losas planas con
Torsión simple
vigas de borde, en los cuales las losas transmiten directamente momentos torsionantes
a dichas vigas de borde.
En muchos ensayes de sistemas de piso
se ha observado que la falla ocurre por torsión de las vigas de borde antes de que se alcance la resistencia en flexión de las losas y
de las vigas. Por lo tanto, el caso que se ilustra es de gran importancia práctica.
Vigas curvas (figura 8.1 d )
En este caso, la resultante de las cargas externas no se encuentra en el mismo plano que
las reacciones en los apoyos, por lo cual se
desarrollan momentos torsionantes en las vigas. Casos semejantes son los de vigas en balcón, vigas en esquina y vigas helicoidales.
Estructuras reticulares con cargas
normales a su plano
Estas estructuras se presentan en puentes y
en cimentaciones de edificios. Al aplicar una
carga en uno de los elementos de una estructura de este tipo, aparecen torsiones importantes en los elementos perpendiculares.
Marcos con vigas fuera del plano
de las columnas
En algunas ocasiones, por razones arquitectónicas, las vigas de un marco no están unidas directamente a las columnas, sino que la
unión se efectúa por intermedio de vigas
perpendiculares al marco en cuestión (figura
8.1 e). En este caso, el momento flexionante
se transmite de la viga del marco a la columna por medio de torsión en el tramo de viga
perpendicular al marco.
Los ejemplos anteriores no cubren, por
supuesto, todos los casos en que la torsión
tiene efectos importantes. La evaluación de
10s momentos torsionantes para estos casos
Y otros similares se estudia con detalle en las
referencias 8.1 y 8.2.
21 7
8.3 Torsión simple
E l caso de torsión simple es poco frecuente
en la práctica, porque la torsión se presenta
casi siempre acompañada de flexión y fuerza cortante. Sin embargo, para calcular la
resistencia de un elemento sujeto a torsión
combinada con flexión y cortante, es conveniente conocer previamente el comportamiento y la resistencia de un elemento
sujeto a torsión simple.
8.3.1 Comportamiento y modos de falla
en vigas de concreto simple
En una viga de concreto simple, la falla
ocurre súbitamente para valores pequeños
del ángulo de giro; es una falla de tipo frágil, similar a la de una viga ensayada a flexión; Para detectar el mecanismo de falla,
Hsu (8.3) filmó el ensaye de una viga con
una cámara de cine de alta velocidad. La
proyección en cámara lenta de la película
reveló el proceso de falla representado esquemáticamente en la figura 8.2. En tal proceso, la falla se inicia al formarse una grieta
inclinada de tensión en una de las caras mayores de la viga. Esta grieta se abre rápidamente y se extiende a las caras menores de
la viga. La falla ocurre finalmente por aplastamiento del concreto en la cara mayor
opuesta.
El proceso de falla descrito es similar al
de una viga de concreto simple ensayada a
flexión, en la que la grieta de tensión se inicia en la cara inferior, se extiende después
a las caras laterales, y se aplasta el concreto de la cara superior. Por consiguiente,
puede afirmarse que la falla por tensión
ocurre por flexión en un plano inclinado a
45" con respecto al eje longitudinal de la
viga [8.3].
En la figura 8.3 se muestra la superficie
de falla. Puede verse que la inclinación de
las grietas en las dos caras mayores es aproximadamente la misma.
2 18
-
Resistencia de elementos sujetos a torsión
Espejo
Cara posterior
Cara superior
a) Sección media de una viga sometida a torsión. La
cámara puede ver las caras superior y frontal directamente; la cara posterior se refleja en u n
espejo.
Grieta
b) 1/100 seg después de su aparición, la grieta diagonal
se extiende a través de la cara frontal.
aplastado
c ) 'lI5
seg después de haber sido observada, la grieta se extiende y ensancha a través de la cara
superior.
Ea
d) '15 seg después de observada la grieta, el concreto se aplasta en la cara posterior, como se ve en
el espejo.
Figura 8.2 Proceso de falla por torsión de una viga de concreto simple tomada con una cámara de
cine con una velocidad de 1200 cuadroslseg [8.31.
8.3.2 Comportamiento y modos de falla
en vigas de concreto reforzado
El comportamiento, modo de falla y resisten-
,
cia de vigas con refuerzo longitudinal únicamente, es similar al de vigas de concreto
simple. Por lo tanto, el refuerzo longitudinal,
si no está combinado con refuerzo transversal, no constituye un refuerzo eficiente desde el punto de vista de la torsión. En vigas
con refuerzo longitudinal y transversal, el
comportamiento puede dividirse en dos etapas: una anterior al agrietamiento y otra posterior a él 18.41, El comportamiento anterior
Figura 8.3 Superficie de falla de una viga de concreto simple [8.31.
Torsión simple 219
tas a flexión y en vigas sujetas a torsión. En
las primeras, los esfuerzos en el refuerzo aumentan gradualmente antes y después del
agrietamiento y la pendiente de la gráfica
carga-deflexión se modifica ligeramente,
como se ve en la figura 8.5a. Por el contrario, en vigas sujetas a torsión, el estado interno de equilibrio cambia totalmente al
formarse la primera grieta. La pendiente de
la gráfica momento torsionante-giro cambia
bruscamente (figura 8.5b), y el momento externo que era resistido sólo por el concreto,
es resistido ahora por el concreto y el acero
conjuntamente.
Durante este cambio en el estado interno de equilibrio ocurre una transferencia de
carga del concreto al acero. Como el momento externo permanece constante mientras ocurre esta transferencia, la fracción del
momento total, que es resistida por el concreto después del agrietamiento, Tc, es menor que el momento de agrietamiento, Tagrr
y, por lo tanto, menor que el momento resistente de un elemento de concreto simple de
igual sección, Trs.
Al finalizar la etapa de transferencia de
carga del concreto al acero, el momento torsionante vuelve a aumentar, pero la rigidez
del elemento es menor que antes del agrietamiento, como se ve en la figura 8.4. Tanto la
rigidez como el momento resistente, Trl dependen de los porcentajes de refuerzo longi-
al agrietamiento es similar al de una viga de
concreto simple. La gráfica momento torsionante-giro es prácticamente lineal en esta
etapa, como se ve en la figura 8.4, y los esfuerzos en el acero longitudinal y transversal
son muy pequeños. Las primeras grietas de
torsión se forman en una de las caras mayores. Cuando esto ocurre, el momento torsionante, Tagrres igual o ligeramente mayor que
el momento resistente de un elemento de
concreto simple, Trs.
Figura 8.4 Gráfica momento torsionante-giro de
un elemento con refuerzo transversal sujeto a
torsión pura.
Cuando se agrieta el elemento, el giro,
8, aumenta rápidamente bajo un momento
constante, Tagrr como indica la rama horizontal de la figura 8.4. Los esfuerzos en el
refuerzo longitudinal y transversal también
aumentan rápidamente [8.4]. La influencia
del agrietamiento es diferente en vigas suje-
al
C
al
Y
Y
C
Resistencia T,
m
m
.-8X
al
+
2
O
*
C
al
O
2
Deflexión
(a) Viga sujeta a fiexión
Giro
(b) Viga sujeta a torsión
Figura 8.5 Comparación del efecto de agrietamiento en elementos sujetos a flexión y a torsión.
220
Resistencia de elementos sujetos a torsión
tudinal y transversal. Después de alcanzar el
momento máximo, Tr, la gráfica momentogiro tiene una rama descendente que en los
ensayes se desarrolla en segundos t8.41.
Cuando se alcanza la resistencia, T,, el
concreto de la cara mayor del elemento,
opuesta a la cara con grietas de tensión, se
aplasta, y el acero de refuerzo puede estar
fluyendo o no, según su porcentaje. De
acuerdo con esto, se distinguen tres tipos de
elementos: 1) subreforzados, en los que fluyen el acero longitudinal y transversal; 2) sobrerreforzados, en los que el concreto se
aplasta antes de que fluya el refuerzo, y 3)
parcialmente sobrerreforzados, en los que
sólo fluye el refuerzo longitudinal o el transversal.
nantes en sus extremos. Se supone que al aplicar los momentos torsionantes, las secciones
transversales experimentan una rotación y un
alabeo. En Teoría de la Elasticidad se demuestra que, por condiciones de equilibrio, los esfuerzos normales fx, fy y fz, y los esfuerzos
cortantes, vxy, son nulos, y que los esfuerzos
cortantes vxz y vyZpueden calcularse con las
expresiones
donde Q> es una función de x y y que se denomina función de esfuerzos. Esta función
debe satisfacer la ecuación diferencial
8.3.3 Evaluación de la resistencia de
elementos de concreto simple
Se han desarrollado varias teorías para calcular la resistencia en torsión de elementos
de concreto simple. A continuación se exponen tres de ellas, a saber: la teoría elástica,
la teoría plástica y la teoría de Hsu. En las
dos primeras se supone que el concreto es
un material perfectamente elástico o perfectamente plástico, respectivamente, al cual
son aplicables los resultados de las teorías
de elasticidad o de plasticidad. La tercera
teoría se desarrolló a partir del comportamiento y modo de falla descrito en la sección 8.3.1.
Esta teoría, desarrollada por Saint Venant en
1855, permite calcular la resistencia de barras
prismáticas de material elástico con cualquier
sección transversal sujetas a momentos torsio-
" El desarrollo completo de esta teoría puede consultarse en
cualquier texto de Teoría de la Elasticidad o de Resistencia de
Materiales Avanzada. Véase, por ejemplo, S. Timoshenko y J. N.
Goodier, Theory of Elasticity.
donde G es el módulo de elasticidad en cortante y 0 es el ángulo que gira la barra por
unidad de longitud. Además, por condiciones de frontera, la función de esfuerzos, a,
debe ser constante a lo largo del borde de la
sección transversal de la barra. En Teoría de
la Elasticidad se han encontrado funciones
que satisfacen estas condiciones para diferentes formas de la sección transversal.
Una vez determinada la función de esfuerzos, @, el momento resistente de la barra puede calcularse, según se demuestra
también en Teoría de la Elasticidad, por medio de la expresión
Prandtl señaló en 1902 la semejanza
y
que existe entre la función de esfuerzos, Q>,
las deflexiones, z, que sufre una membrana
colocada en el extremo de un tubo hueco en
el interior del cual se aplica una presión. El
contorno del tubo hueco es el mismo que el
de la sección transversal de la barra (figura
8.6). S i 9 es la presión por unidad de área de
Torsión simple
22 1
la membrana y S la tensión por unidad de
longitud del borde, por condiciones de equilibrio se obtiene la ecuación
de secciones rectangulares, la analogía de la
membrana indica que el momento resistente
puede calcularse con la expresión
Esta ecuación resulta igual a la ecuación 8.2, si se sustituye z por
y 91s por
2GB. Por consiguiente, los valores de la función de esfuerzos, @, pueden obtenerse de
las deflexiones de la membrana, z, si se
reemplaza el segundo miembro de la ecuación 8.4 por 2GO. El momento torsionante
resistente puede obtenerse reemplazando Q>
por z en la ecuación 8.3. Se obtiene
donde K, es un coeficiente que depende de
la forma de la sección transversal y cuyos valores se presentan en la tabla 8.1; b es el lado menor del rectángulo, y h el lado mayor.*
Para el caso de secciones circulares, el
momento resistente calculado con la teoría
elástica es
Esta ecuación indica que el momento
resistente es el doble del volumen comprendido entre la membrana y el plano X - Y (figura 8.6).
donde r es el radio de la sección.
La resistencia de secciones 1, T o 1 es la
suma de las resistencias de los rectángulos
componentes, ya que el volumen comprendido entre la membrana y la sección transversal es aproximadamente la suma de los
volúmenes comprendidos entre la membrana y cada rectángulo.
Tabla 8.1 Valores de las constantes K, y KP
Figura 8.6 Analogía de la membrana.
También puede demostrarse que el esfuerzo cortante, ,~
v,
resultante de los esfuerzos ,v, y vy, en cualquier punto de la
sección transversal, es igual a la pendiente
máxima de la membrana en ese punto, siempre que se haga la sustitución del término
qls por 2 GO.
Las similitudes anteriores se conocen
con el nombre de analogía de la membrana
Y han sido de gran utilidad en el estudio de
problemas de torsión elástica. Para el caso
Se mencionó en la sección 2.2.5 de este
texto que en un elemento de concreto simple
sujeto a un estado de esfuerzo cortante puro,
como el que produce la torsión, se desarrollan
tensiones principales de la misma magnitud
* En elementos sujetos a flexión, el lado b puede ser mayor que
el lado h; pero en el presente texto, en elementos sujetos a torsión, b es siempre el lado menor y h el lado mayor.
222
Resistencia de elementos sujetos a torsión
que el esfuerzo cortante. Por lo tanto, la falla
debe ocurrir cuando el esfuerzo v,d, es igual
a la resistencia en tensión del concreto,,,f y
las resistencias de elementos de sección rectangular y circular serán, respectivamente,
Se ha visto que las resistencias experimentales de elementos de concreto simple son del
orden de 50 por ciento mayores que las calculadas con las ecuaciones 8.8 y 8.9.
Un caso importante es el de los elementos con sección transversal en forma de cajón de pared delgada o de tubo. Como se
verá más adelante, la resistencia de secciones macizas puede calcularse a partir de la
resistencia de secciones de este tipo. Cuando se aplica un momento torsionante a una
sección en cajón, se producen esfuerzos
cortantes en las paredes, como se indica en
la figura 8.7a1 con un sentido tal que equilibran al momento aplicado. En este tipo de
vigas se puede suponer que los esfuerzos
cortantes, T, son uniformes en el ancho de la
pared, t, y el producto del esfuerzo por el
ancho se denomina flujo de cortante y se representa normalmente con la letra q, de tal
manera que q = T t. El flujo de cortante es
una fuerza por unidad de longitud de la pared. Analizando el elemento diferencial
mostrado en la figura 8.7b, se puede ver que
en una longitud diferencial ds, el flujo de
cortante produce un momento alrededor del
eje centroidal que vale
Pero el área (ds) p es el doble del área del
elemento triangular diferencial dAo mostrado en la figura 8.7b. Por lo tanto se puede
escribir:
S i se integran ambos miembros para obtener
el momento torsionante total:
donde A. es el área sombreada mostrada en
la figura 8.76, o sea, la comprendida dentro
de la Iínea por la que actúa el flujo de cortante. Esta ecuación indica que el momento
torsionante que puede resistir una sección
en cajón es igual al flujo de cortante q multiplicado por el doble del área comprendida
dentro de la Iínea de acción del flujo. S i se
considera que q = T t, como se dijo anteriormente, se puede escribir la ecuación:
Esta ecuación se usará más adelante para
calcular la resistencia de vigas de concreto
reforzado.
Esta teoría se aplica a materiales elastoplásticos o plásticos. La resistencia en torsión puede calcularse con la analogía del montón de
arena, que es una extensión de la analogía de
la membrana. La analogía del montón de arena se expone a continuación para un material
elastoplástico cuya gráfica esfuerzo-deformación se muestra en la figura 8.8. Si el momento torsionante aplicado al elemento se
incrementa hasta que el material alcanza su
límite de fluencia, el esfuerzo es constante
en toda la zona que fluye. Ya que el esfuerzo en
un punto cualquiera es igual a la pendiente
de la membrana en ese punto, como se vio en
la sección anterior al estudiar la analogía de la
membrana, dicha pendiente debe ser constante en toda la zona en que fluye el material. Esí-
Torsión simple
223
b) Momento resistente del núcleo
a) Viga en cajón
Figura 8.7 Resistencia a torsión de una viga con sección en cajón.
to equivale a que la membrana se vaya inflando hasta alcanzar la posición límite indicada
con línea punteada en la figura 8.9. Cuando
el material fluye en toda la sección transversal
del elemento, la membrana toma una forma
semejante a un montón de arena con pendiente uniforme; de aquí el nombre de la analogía.
El momento torsionante resistente es el
doble del volumen del montón de arena, si
se sustituye 2G8 por qls, como en el caso de
la teoría elástica.
La aplicación de la teoría plástica a elementos de concreto reforzado, suponiendo
v , ~ , = ft,, permite obtener los siguientes resultados:
Para secciones rectangulares,
para secciones circulares,
lA\
/ \
Según teoría
plástica \ /
/
\\\
\
\
\
Según teoría
elástica
E
Figura 8.8 Gráfica esfuerzo-deformación de un
material elastoplástico.
Figura 8.9 Analogía del montón de arena.
224
Resistencia de elementos sujetos a torsión
El coeficiente K~ depende de la relación
entre el lado mayor y el lado menor del rectángulo. En la tabla 8.1 se presentan valores
de este coeficiente. Al igual que en teoría
elástica, la resistencia de secciones TI 1 o L
es la suma de las resistencias de los rectángulos componentes. Las resistencias experimentales de elementos de concreto simple
concuerdan mejor con las calculadas con
teoría plástica que con las calculadas con
teoría elástica, a pesar de que la hipótesis
básica de un comportamiento plástico del
material es de dudosa aplicabilidad al concreto simple sujeto a esfuerzos cortantes o
esfuerzos de tensión.
C) TEOR~ADE HSU
La teoría desarrollada por Hsu [8.3] está basada en el mecanismo de falla descrito en la
sección 8.3.1, según el cual la falla ocurre
por flexión en la superficie mostrada en la figura 8.3. En la teoría, la superficie de falla se
idealiza por un plano inclinado a 45" con
respecto al eje longitudinal del elemento (figura 8.10a) y se supone que la falla se produce por una componente del momento
torsionante, T2, en la figura 8.10b1 que produce flexión en la sección de falla. Por lo
tanto, la resistencia a torsión del elemento
puede calcularse a partir de la resistencia a
flexión de la sección indicada en la figura
8.1 Oa, la que a su vez puede calcularse con
la fórmula de flexión
El momento M es la componente T2 que
produce flexión en el plano inclinado; por lo
tanto,
M=T2=T,cos 4 5 " = ~ , / &
S es el módulo de sección del plano inclinado de falla. La base de este plano es
h ~, y la altura es el lado menor, b (figura
8.1 Oa). Por lo tanto,
En la ecuación 8.1 6, fr es el módulo de
rotura, o sea, la resistencia a tensión del concreto simple, medida en un ensaye de flexión
(sección 2.2.4). Sustituyendo las ecuaciones
8.1 3 y 8.1 4 en la 8.1 2 se obtiene
\
r
(8.17)
Momento que produce flexión
en la sección de falla
Sección idealizada de
falla por flexión
Figura 8.10 Teoría de Hsu de falla por flexión.
Torsión simple
En el plano en que se inicia el agrietamiento existen, además de esfuerzos normales de tensión, esfuerzos normales de
compresión perpendiculares a los de tensión
y de igual magnitud. Experimentalmente se
ha observado que para este estado de esfuerzos biaxiales, la resistencia a tensión del
concreto se reduce en 1 5 por ciento aproximadamente.
Con base en esto, y por comparación
con resultados experimentales [8.3], la ecuación 8.1 9 se modifica a
Es conveniente expresar la ecuación
8.20 en términos de la resistencia a compresión del concreto f',, que es el índice de
resistencia usado normalmente. Para esto se
necesita conocer la relación única entre estos valores, ya que el valor de fr depende de
todas las variables mencionadas en la sección 2.2.4. En forma aproximada se puede
establecer la siguiente relación
Sustituyendo en la ecuación 8.20 se obtiene, aproximadamente,
En la figura 8.1 1 se comparan los momentos torsionantes calculados con la ecuación 8.22, con los medidos en varias series
de ensayes. La mayoría de los resultados experimentales cae en una franja de 20 por
ciento del valor calculado, por lo que puede
considerarse que la correlación es satisfactoria. Utilizando expresiones más elaboradas
que la ecuación 8.21 para la relación entre
+
225
fC y f, puede mejorarse la comparación entre resultados experimentales y calculados
[8.3].
La teoría de Hsu también puede aplicarse
al cálculo de resistencia de secciones circulares.
Por un procedimiento análogo al descrito anteriormente se llega a la expresión
donde d es el diámetro de la sección.
Al igual que en las teorías elástica y
plástica, la resistencia de secciones 1, T o L
es la suma de las resistencias de los rectángulos componentes.
S i se supone, para fines de comparación, que la resistencia a tensión del concreto, ftu, que aparece en las ecuaciones 8.8 y
8.14, es igual al módulo de rotura, fr, que
aparece en la ecuación 8.1 9, se concluye
que las expresiones para calcular la resistencia
a torsión de elementos de sección rectangular obtenidas por las tres teorías expuestas,
tienen la misma forma general
El factor K depende de la relación blh
en las teorías elástica y plástica, y es constante en la teoría de Hsu. En la figura 8.1 2 se
comparan las tres teorías en términos del parámetro Tlftub2h, o sea, en términos del factor K .
8.3.4 Evaluación de la resistencia de
elementos de concreto reforzado
Se mencionó anteriormente que la componente T2 del momento torsionante aplicado
a un elemento .de concreto, produce esfuerzos de tensión por flexión en una de las ca-
226
Resistencia de elementos sujetos a torsión
Resistencias calculadas, ton-m
Figura 8.1 1 Comparación de resistencias experimentales a torsión simple
con las calculadas con la ecuación 8.1 8.
ras mayores del elemento. Estos esfuerzos de
tensión tienen una inclinación de 45" con
respecto al eje longitudinal de la viga. En
forma semejante, en las otras caras del elemento también existen esfuerzos inclinados
de tensión producidos por las componentes
del momento torsionante, como se muestra
en la figura 8.1 3. La dirección de los esfuerzos en la cara anterior es perpendicular a la
dirección de los ,esfuerzos de la cara posterior, y la dirección en la cara superior es perpendicular a la dirección en la cara inferior.
Existen dos alternativas para reforzar un
elemento de concreto sujeto a torsión. La
primera consiste en colocar el esfuerzo en
dirección paralela a los esfuerzos de ten-
sión. De esta manera, el refuerzo queda en
forma helicoidal, como se muestra en la figura 8.14a, ya que los esfuerzos de tensión
son perpendiculares entre sí en caras opuestas. Es necesario colocar varias hélices de tal
manera que cada grieta potencial quede cortada por una barra de refuerzo. S i la dirección del momento torsionante puede cambiar,
es necesario colocar dos series de hélices
perpendiculares entre sí. Este tipo de refuerzo es poco empleado en la práctica por dificultades constructivas.
La segunda alternativa consiste en colocar refuerzo longitudinal y transversal como
se muestra en la figura 8.1 46. De esta manera,
el refuerzo resiste las componentes longitu-
Torsión simple
-
227
Teoría plástica
-
Teoría Hsu
Teoría elástica
I
I
Figura 8.12 Valores de K para las teorías elástica, plástica y de Hsu.
Figura 8.1 3 Dirección de los esfuerzos de tensión producidos por el momento torsionante, T.
dinales y transversales de los esfuerzos de
tensión. Éste es el tipo de refuerzo más usual
en la práctica.
Hasta hace algunos años, se consideraba
en los reglamentos del ACI y del .Distrito
Federal, que la resistencia de un elemento de
concreto reforzado sujeto a torsión podía calcularse como la suma de la resistencia del concreto y la resistencia del acero. Esta idea es
equivalente a la utilizada todavía para calcular
la resistencia a fuerza cortante. Recientemente
este criterio ha cambiado y las disposiciones referentes al diseño por torsión se basan en una
analogía que se explica a continuación, propuesta por MacGregor y Ghoneim [8.25] con
base en trabajos anteriores de Rausch, en 1929,
de Mitchell y Collins [8.20 y 8.231 y de Hsu
[8.24].
Comparando ensayes a torsión de vigas
de concreto reforzado con secciones macizas
y con secciones en cajón de pared delgada,
con las mismas dimensiones exteriores, se ha
visto que su resistencia es semejante. Esto indica que la parte central de concreto contribuye poco a la resistencia después de que la
sección se ha agrietado.
228
Resistencia de elementos sujetos a torsión
(a) Refuerzo helicoidal
J&
(b) Refuerzo longitudinal y transversal
Figura 8.14 Dos tipos de refuerzo para torsión.
Esfuerzos de compresión
diagonal con un ángulo 8
\
0
Trayectoria del
flujo de cortante
Fuerzas de
tensión longitudinal
flujo de cortante, q
(a) Analogía de la viga de pared delgada
Diagonales "3
de concreto
a compresion
(b) Analogía de la armadura en el espacio
Figura 8.15 Analogías de la viga de la pared delgada y de la armadura
(según MacGregor y Ghoneim 18.251).
Torsión simple
Sobre esta base, se puede sustituir la viga
original por otra viga de sección en cajón, como la mostrada en la figura 8.1 4a. El momento de torsión, T, aplicado a la viga produce
grietas en forma de hélice a su alrededor, como las mostradas en la misma figura, y esfuerzos longitudinales y de compresión diagonal
sobre la pared del cajón. Esta viga agrietada
se puede modelar, a su vez, con una armadura equivalente en el espacio, como la mostrada en la figura 8.1 5b. El acero longitudinal de
la viga equivale a las cuerdas horizontales de
la armadura; el acero transversal, a las cuerdas
verticales, y las zonas de concreto comprendidas entre grietas consecutivas, a las diagonales de compresión. Si se calcula el flujo de
cortante, es posible determinar después las
fuerzas VI a V4 de la figura 8.1 5b, y a partir de
ellas, calcular las fuerzas en la armadura equivalente. A continuación se indica cómo hacerlo.
Despejando q en la ecuación 8.1 2, y tomando en cuenta que q = T t, se obtiene:
Ya que q es una fuerza por unidad de longitud, las fuerzas V mostradas en la figura
8.1 56 serán iguales al valor de q por la longitud del lado correspondiente. Así, la fuerza
V2 en el lado anterior de la figura será:
Si se dibuja un diagrama de cuerpo libre del
extremo de la armadura equivalente en el que
actúa la fuerza V2, como el mostrado en la figura 8.1 6, se puede ver que la grieta inclinada que limita el diagrama corta un número de
estribos n = yo cot 015, donde yo es el lado de
la armadura, 0 es la inclinación de las grietas
Y S es la separación de los estribos. Si la fuerza en cada estribo es igual a su área por su límite de fluencia, Atfy, y si se toma en cuenta
229
que la suma de las fuerzas en todos los estribos cortados por la grieta debe ser igual a la
fuerza V2, se puede plantear la ecuación:
v* =
A, f, yo cot 8
(8.26)
S
Sustituyendo el valor de V2 de la ecuación
8.25 en la ecuación 8.26 y despejando el
valor del momento T:
Esta ecuación permite calcular el momento
torsionante que puede resistir una sección si
dicha resistencia está determinada por la capacidad de los estribos. Si lo que se conoce es
el momento torsionante aplicado a una viga,
permite calcular el área y la separación de los
estribos necesarios. El ángulo 8 puede considerarse de 45", como en el caso de la analogía de la armadura para fuerza cortante.
La resistencia a torsión también puede
quedar determinada por la fluencia del acero longitudinal o por el aplastamiento del
concreto en las diagonales a compresión. En
el primer caso, la resistencia puede calcularse a partir del diagrama de cuerpo libre de la
figura 8.1 7. La fuerza longitudinal N2es
Fuerzas similares a N2existen en los otros
tres lados de la armadura. Para una sección
rectangular, la suma de todas estas fuerzas
longitudinales es
Sustituyendo el valor de V2 de la ecuación 8.25
en la ecuación 8.28, calculando una ecuación
similar a la 8.28 para NI, sustituyendo Ni y N2
en la 8.29 y despejando T se obtiene:
230
Resistencia de elementos sujetos a torsión
~igura8.16 Diagrama de cuerpo libre de un extremo de la armadura.
El término 2(xo + yo) es el perímetro de 10s estribos, ph, como se ve en la figura 8.15. Si se
asume que el acero longitudinal fluye, la fuerza longitudinal N será igual a Aefy, donde At
es el área total de acero ~on~itudinal.
Sustituyendo estos valores en la ecuación 8-30 se
obtiene la resistencia a torsión determinada
por la fluencia del acero longitudinal:
T=
2Ao A, f,
p, cot o
Como en el caso de la ecuación 8.27, si lo
que se conoce es el momento torsionante,
puede calcularse el acero longitudinal necesario para resistirlo despejando el término Al
en la ecuación 8.31.
En las ecuaciones 8.27 y 8.31 aparece
el término Ao, que se ha definido al deducir
la ecuación 8.1 2 como el área comprendida
dentro de la trayectoria del flujo de cortante,
figura 8.76. En varios reglamentos se ha propuesto considerar que A. sea igual a 0.85
veces el área comprendida dentro del estribo cerrado más exterior, Aoh.
Los esfuerzos en las diagonales de compresión de concreto pueden calcularse a partir
de la componente 4 del diagrama de la figura
8.1 7. Por lo general, los esfuerzos resultantes
son menores que la resistencia del concreto,
por lo que este factor casi nunca determina la
resistencia de la viga. De todas maneras, puede
calcularse esta resistencia en forma similar a la
utilizada para obtener la ecuación 8.31.
8.4 Torsión y fiexión
Se han efectuado numerosos ensayes de elementos de concreto reforzado con el fin de
determinar si la presencia de momento flexionante disminuye la resistencia a torsión.
Los resultados se han expresado en forma de
diagramas de interacción flexión-torsión, similares a los estudiados en el capítulo 6 para flexión y carga axial. En la figura 8.1 8 se
presenta una recopilación de estos ensayes
realizada por Hsu [8.15], en un formato adimensional para poder comparar los resultados. Los valores de M y de T en esta figura
son los momentos flexionantes y torsionantes aplicados simultáneamente a los especímenes de ensaye, y los valores de M, y de TE
son resistencias calculadas en flexión pura jl
torsión pura, respectivamente.
En la figura 8.18 se puede apreciar una
gran dispersión en los resultados obtenidos.
Además, se puede concluir que para fines prkr
Torsión y cortante
23 1
Figura 8.1 7 Componentes de la fuerza V2.
ticos, no hay una interacción importante entre
la flexión y la torsión, es decir, que no es necesario reducir la resistencia a torsión por efecto
de una flexión aplicada simultáneamente.
La interacción flexión-torsión se puede
analizar con la analogía de la armadura presentada en la sección anterior, de la siguiente manera. Al analizar el diagrama de
fuerzas de la figura 8.1 7, se encontró que en
la sección transversal actuaba una fuerza
longitudinal N que se podía calcular con las
ecuaciones 8.28 y 8.29. Esta fuerza longitudinal es tomada, en la analogía de la armadura, por el acero longitudinal mostrado en
la figura 8.1 5b. S i actúa un momento flexionante junto con el torsionante, el primero
produce tensiones en una cara de la viga y
compresiones en la cara opuesta. En la cara
donde se producen tensiones, el acero longitudinal requerido por flexión debe sumarse al requerido por torsión, mientras que en
la cara opuesta, las fuerzas de compresión
producidas por la flexión permiten reducir el
acero longitudinal requerido por torsión.
8.5 Torsión y cortante
La fuerza cortante no puede existir en un
elemento a menos que exista también momento flexionante. Por consiguiente, la interacción torsión-cortante se estudia siempre
con la acción simultánea de momento fle-
xionante. Por simplicidad se utiliza el término interacción torsión-cortante, pero debe
entenderse que se trata en realidad de una
interacción torsión-flexión-cortante.
Tanto la fuerza cortante como el momento torsionante producen esfuerzos cortantes en el elemento; en una cara se suman
estos esfuerzos y en la otra se restan. En elementos de concreto resulta sumamente difícil calcular la distribución real de esfuerzos
bajo la acción combinada de torsión y cortante, puesto que no se conoce esta distribución ni siquiera para el caso en que actúan
aisladamente dichas acciones. El problema
se ha atacado, por una parte, determinando
experimentalmente diagramas de interacción momento torsionante-fuerza cortante, y
por la otra, utilizando la analogía de la armadura planteada en la sección 8.3.3.
En la figura 8.19 se presentan los resultados experimentales de seis series independientes de ensayes de vigas, sin refuerzo
transversal, sujetas a torsión y fuerza cortante, en un diagrama de interacción adimensional en el que V, se calculó con la
ecuación propuesta en el Reglamento ACI y
T,, con la analogía del montón de arena y un
Se observa una gran
esfuerzo de 1.3
dispersión en los resultados, debida en parte
a que la resistencia a fuerza cortante sin torsión es mayor que la calculada en la mayoría de los ensayes (recuérdese que la
ecuación del ACI es un límite inferior de mu-
e.
Resistencia de elementos sujetos a torsión
232
SERIES S E C C I ~ NTRANSVERSAL^ (%) p,
p1
ensayes de NYLANDER
%-VI11
+=
-
1.2
0-
$0 A
+
11
- 1
g y T- Tn
kL
h
0 -111
O0
X
O
><A
,1.o
O v
7
RECTANGULAR
"
AX-VII
+ -v
v
-
0.8
CUADRADA
0.44
-
-
2.44
-
-
2.42-
-
- 0.69
- 2.00 -
-
ensayes de RAMAKRISHNAN
A
A - A RECTANGULAR
-
0.6
- M
L=1.70 - 1.40
. Mr
0.2
-M,,
.
O
O
I
0.2
I
I
0.4
I
I
0.6
I
I
0.8
1
-
-
"
1.18
v-C
"
1.78 -
I A ~ I A II ~ I A I I
I
1.0
1.8
1.2
-
A A-B
TrS
-
1.78 -
1.4
1.6
I
I
2.0
1
1
1.18
1
2.2
Figura 8.18 Diagrama de interacción adimensional torsión-flexión (según Hsu 18.151).
chos resultados experimentales). A pesar de
esta dispersión, se ha propuesto la ecuación de
un círculo, como se indica en la figura, para
representar la interacción torsión-cortante.
En una serie de ensayes de vigas con refuerzo transversal realizada por Klus [8.13],
se obtuvo un diagrama de interacción diferente, figura 8.20. En estos ensayes, los valores de Tr y V, no son calculados, sino que se
obtuvieron experimentalmente ensayando
especímenes en torsión pura y en cortante
sin torsión, respectivamente.
E l diagrama de interacción circular se
usó durante varios años para fines de diseño
por torsión combinada con fuerza cortante.
Con base en esta interacción, el concreto resistía una parte de la fuerza cortante, V
,, y
una parte del momento torsionante, T., Los
valores de V, y de T, dependían de la relación entre la torsión y la fuerza cortante, según el diagrama de interacción circular. El
procedimiento de diseño resultaba complicado y parecía tener poca justificación dada
la gran dispersión de los resultados experimentales*. Por estas razones, recientemente
se ha planteado que la resistencia a combinaciones de torsión y cortante se calcule suponiendo que la resistencia del concreto a
,, es independiente de la
fuerza cortante, V
torsión y que la resistencia del concreto a
torsión, T,, es igual a cero (MacGregor y
Ghoneim [8.25]). De acuerdo con estas hipótesis, toda la resistencia a torsión la proporciona el acero de refuerzo, longitudinal y
transversal, y se calcula con las analogías de
la viga de pared delgada y de la armadura
expuestas en la sección 8.3.4. Un método
basado en estas hipótesis se ha usado durante varios años en los Reglamentos Europeo
y Canadiense, y además se ha visto que los
resultados experimentales concuerdan razonablemente bien con las resistencias así calculadas. En la sección 8.8 se presenta el método
mencionado con detalle.
* Se puede consultar la tercera edición de este texto.
Torsión y carga axial
00
233
Liao - L, rectangular
Figura 8.19 Diagrama de interacción torsión-cortante para varias series de ensayes
(según Victor y Ferguson [a.1 21).
8.6 Su~erficies
de interacción
I
torsión-flexión-cortante
Combinando el diagrama de interacción torsión-flexión con diagramas de interacción
torsión-cortante para diferentes niveles del
momento flexionante, se obtiene una superficie de interacción como la mostrada en la
figura 8.21. Un punto de esta superficie representa la combinación de momento torsionante, momento flexionante y fuerza
cortante que produce la falla del elemento.
Debido a las incertidumbres que se tienen en la determinación de los diagramas de
interacción flexión-cortante y torsión-cortante, no ha sido posible determinar superficies de interacción que sean aceptadas por
todos los investigadores. La superficie mostrada en la figura 8.21 con fines de ilustra-
ción únicamente, ha sido propuesta por Hsu
18.141, pero otros investigadores han sugerido superficies diferentes.
8.7 Torsión y carga axial
Esta combinación de acciones se presenta en
dos tipos de elementos estructurales: columnas
y miembros presforzados. Se han realizado ensayes en especímenes en los que la carga axial
se aplica por medio de una máquina universal
de carga, y en especímenes en que se aplica
por medio de cables de presfuerzo, con resultados similares en ambos casos.
En la figura 8.22 se presentan los resultados de algunos ensayes llevados a cabo
bajo esta combinación de acciones. En la escala de las ordenadas se han marcado los
234
Resistencia de elementos sujetos a torsión
Figura 8.20 Interacción torsión-cortante en elementos con refuerzo transversal [8.131.
M/Mr
(
+
(
= 1 para 0.5 <
Figura 8.21 Superficie de interacción torsión-flexión-cortante (según Hsu 18.1 41).
Expresiones de los reglamentos para valuar la resistencia a efectos de torsión
valores de la relación entre el momento torsionante medido y el momento resistente en
torsión pura; y en la escala de las abscisas,
los valores de la relación entre el esfuerzo
promedio en la sección, f, y la resistencia
del concreto, fC. E l esfuerzo promedio f es
el cociente de la carga axial, P, entre el área
gruesa de la sección transversal. La relación
f / f C es equivalente a la relación P/P, para
elementos sin refuerzo longitudinal. Es una
medida de la magnitud de la carga axial.
Se puede ver en esta figura que el efecto de
la carga axial, o del presfuerzo, es aumentar
el momento torsionante resistente del elemento, para valores de f/PC hasta de 0.7
aproximadamente. Para valores mayores, la
resistencia a torsión tiende a disminuir.
Se ha visto que un efecto de la carga axial
es disminuir el ángulo 8 que expresa la inclinación de las grietas, figura 8.15. Entonces, este
efecto puede tomarse en cuenta aplicando las
analogías de la viga de pared delgada y de la
235
armadura con un valor menor de 8. Se ha propuesto, para este fin, un valor de 37.5".
8.8 Expresiones de los reglamentos
para valuar la resistencia a
efectos de torsión
Los reglamentos del ACI y del Distrito Federal
incluyen métodos para diseño por torsión basados en principios similares. Ambos establecen momentos torsionantes mínimos, a partir
de los cuales es necesario diseñar por torsión,
y ambos presentan expresiones basadas en las
analogías de la sección de pared delgada y de
la armadura en el espacio. A continuación se
presentan estos métodos.
8.8.1 Expresiones del Reglamento ACI
Este reglamento establece que el efecto de la
torsión debe tomarse en cuenta siempre que el
Figura 8.22 Interacción torsión-carga axial en elementos sin refuerzo transversal
(según Hsu [8.151).
236
Resistencia de elementos sujetos a torsión
momento de diseño por torsión, Tu, exceda la
cuarta parte del momento torsionante que produce el agrietamiento del miembro. Este último
momento puede calcularse de la siguiente manera. La ecuación 8.1 3, deducida en la sección
8.3.3a, expresa que el momento torsionante
que puede resistir una viga de pared delgada es
por el factor de reducción, 4, la torsión debe
tomarse en cuenta, o sea, siempre que
Para poder aplicar esta ecuación, en el Reglamento ACI-02 se supone que el espesor, t,
de la pared de la viga equivalente, figura
8.1 5a, es igual a 0.75Acp/pcp, donde Acp es
el área incluida dentro del perímetro exterior de la sección transversal de la viga y pcp
es el perímetro exterior de esta sección
transversal. También se supone que A. es
igual a 2Acd3 y que el esfuerzo T correspondiente al agrietamiento del concreto es igual
En la figura 8.23 se aclaran estas dea
finiciones. Sustituyendo los valores anteriores en la ecuación 8.13 se obtiene que el
momento de agrietamiento, Tag, es
El factor de reducción 4 es de 0.75, igual al
\/c.
Si el momento torsionante de diseño es igual
o mayor que la cuarta parte del momento calculado con la ecuación 8.32, multiplicada
A0
correspondiente a fuerza cortante. Al calcular
Acp y pcpen vigas T o L, en las que el patín
se haya colado monolíticamente con el alma, se puede incluir una porción del patín
igual a la proyección del alma por debajo o
por arriba del patín, la que sea mayor, sin
exceder cuatro veces el espesor del patín, a
cada lado del alma de la viga.
Si se cumple la condición expresada por
la ecuación anterior, el Reglamento ACI distingue dos casos. Si el momento torsionante
debe ser resistido en su totalidad para mantener el equilibrio, como en las marquesinas de
la figura 8.la, los elementos estructurales deben ser diseñados para resistir el momento
torsionante total. En cambio, si existe la posibilidad de una redistribución de momentos
torsionantes a otro tipo de acciones internas,
el momento torsionante de diseño puede reducirse. El segundo caso sería el correspondiente, por ejemplo, a la figura 8.1 c, ya que
PCP
Figura 8.23 Definiciones de términos usados en el diseño por torsión
Expresiones de los reglamentos para valuar la resistencia a efectos de torsión
si se reduce el momento torsionante en la viga principal de borde, disminuye el momento
flexionante en la viga secundaria en su unión
con la viga principal, y aumenta dicho momento flexionante en los apoyos interiores de
la viga secundaria. Para este segundo caso, el
Reglamento ACI permite reducir el momento
torsionante calculado a un valor igual al momento torsionante de agrietamiento multiplicado por el factor de reducción 4, o sea, que
el momento torsionante de diseño sería
...
,
Una vez definido el momento torsionante de
diseño, debe verificarse el tamaño mínimo
de la sección transversal en función de la
fuerza cortante y del momento torsionante
que actúan sobre ella. A este respecto, en el
Reglamento ACI se plantean las siguientes
ecuaciones. Para secciones sólidas se debe
cumplir la desigualdad:
237
en .las cuales Aoh es el área incluida dentro
del estribo para torsión más exterior, considerando el centro de la barra, y ph es el perímetro del mismo estribo. En la figura 8.24
se muestra la definición de Aoh y la manera
en que puede tomarse en cuenta la existencia de patines en la sección transversal. Para
usar las ecuaciones 8.35 y 8.3631-1sistema
SI sustitúyanse los términos 2 \/f;
por 0.67
En secciones huecas, si el espesor de la
pared es menor que Aoh/ph, el segundo término de la ecuación 8.36 debe tomarse como T u / l .7 Aoht.
Las ecuaciones 8.35 y 8.36 se plantearon
considerando que se suman los esfuerzos cortantes producidos por la fuerza cortante con
los producidos por el momento torsionante,
pero en una sección hueca, ambos esfuerzos
actúan únicamente en las paredes de la viga,
figura 8.25a1 mientras que en una sección sólida, los producidos por la fuerza cortante ac-
1
Esfuerzos
por torsión
y para secciones huecas, la desigualdad:
/
Esfuerzos por
fuerza cortante
(a) Sección hueca
Estribo cerrado
Esfuerzos
por torsión
Aoh = área sombreada
Figura 8.24 Definición de Aoh.
Esfuerzos por
fuerza cortante
(b) Sección sólida
Figura 8.25 Suma de esfuerzos por torsión y
por fuerza cortante.
238
Resistencia de elementos suietos a torsión
túan en toda la sección transversal, y en
cambio los producidos por el momento torsionante sólo actúan en la pared de la viga
equivalente, figura 8.256. Al ser más favorable
la condición de la figura 8.256, en vez de sumar directamente ambos esfuerzos, se suman
los cuadrados y se saca la raíz cuadrada del
total, lo que da una cantidad menor.
. El objetivo de que el tamaño de la sección
transversal sea tal que se cumplan las desigualdades expresadas por las ecuaciones 8.35 y
8.36, es limitar el ancho de las grietas y evitar
la falla por aplastamiento de las diagonales de
compresión de la armadura equivalente de la
figura 8.1 56. Recuérdese que se había establecido que la resistencia a torsión de esta armadura podía estar determinada por la fluencia
del refuerzo transversal, por la del refuerzo longitudinal o por el aplastamiento del concreto
de las diagonales de compresión.
Una vez establecido el tamaño de la
sección transversal, se calcula el refuerzo
transversal necesario con la ecuación
T, =
2 4 At fyv
S
cot o
que es la misma ecuación 8.27 deducida anteriormente, pero usando el momento torsionante nominal T, y el esfuerzo de fluencia del
acero de los estribos, fyv. El Reglamento ACI
establece que el valor de A. se determine por
análisis o que se tome igual a 0.85 Aoh. También señala que el valor de 8 puede suponerse entre 30" y 60°, pero se puede tomar igual
a 45" en secciones de concreto reforzado.
El refuerzo longitudinal por torsión, según
el Reglamento ACI, se calcula con la ecuación
que puede obtenerse sustituyendo el valor de
T de la ecuación 8.27 en la ecuación 8.31 y
despejando A!, para que el acero longitudinal
quede expresado en función del acero trans-
versal. El término fyerepresenta el esfuerzo de
fluencia del acero longitudinal y el valor de O
debe ser el mismo usado en la ecuación 8.37.
El acero por torsión calculado con las
ecuaciones 8.37 y 8.38 debe sumarse al refuerzo necesario por flexión, fuerza cortante
y carga axial. Es importante observar que el
término A, representa el área transversal de
todas las ramas de un estribo, mientras que
el término At representa el área de una sola
rama. Por lo tanto, para sumar el refuerzo
transversal por cortante con el de torsión,
puede usarse la siguiente expresión:
También debe observarse que si existen estribos de más de dos ramas, sólo las ramas exteriores deben considerarse como eficaces para
resistir la torsión, ya que son las únicas que
quedan en la pared de la viga equivalente.
El Reglamento ACI especifica usar refuerzo por torsión en todos los casos en los
que Tu exceda los valores obtenidos con la
ecuación 8.33, o sea, cuando no son despreciables los momentos torsionantes. E l área
mínima de estribos cerrados es la calculada
con la ecuación
pero no menor que 3.5 bws/fyv, y el área mínima de acero longitudinal por torsión, la
calculada con
en la que el término At/s no debe tomarse
menor a 1.75 bw/fyv.Para usar las ecuaciones
anteriores en sistema SI, sustitúyanse los siguientes coeficientes: 0.20 df'=
por 0.067
3.5 por 0.33, 1.3
por 0.42
y 1.75
por 0.1 7.
e
qc fi,
Ejemplos - 239
La separación del refuerzo transversal
por torsión no debe ser mayor que ph/8 ni
que 30 cm. El refuerzo longitudinal debe
distribuirse en el perímetro y las barras no
deben estar separadas más de 30 cm. Se usarán barras del No. 3 como mínimo y el diámetro de las barras no debe ser menor que
1/24 de la separación de los estribos.
Al igual que en fuerza cortante, la sección
crítica por torsión es la situada a una distancia
igual a d del paño del apoyo. El refuerzo por
torsión debe prolongarse una distancia igual a
(bt+ ú)más allá del punto en que teóricamente ya no sea necesario, donde bt es el ancho de
la sección transversal que contiene a los estribos colocados para resistir la torsión.
8.8.2 Expresiones de las NTC-04 del
Reglamento del Distrito Federal
Las disposiciones de este reglamento son
prácticamente iguales a las del Reglamento
del ACI, con algunas pequeñas variaciones
en los valores de algunos coeficientes y
usando desde luego f*, en vez de f', . El factor de reducción, FR , para torsión es de 0.8
igual al de fuerza cortante. Ya que las ecuaciones son muy parecidas a las del Reglamento ACI, no se reproducen en este texto,
pero se presentan en el ejemplo 8.2.
8.9 Ejemplos
Ejemplo 8.1. En el ejemplo 8.1 se ilustra la
aplicación de las expresiones del Reglamento ACI 31 8-02 al caso de una viga empotrada con un voladizo que introduce momento
torsionante, momento flexionante y fuerza
cortante. Para mayor sencillez, se considera
en este ejemplo que la viga está perfectamente empotrada en ambos extremos, tanto
en flexión como en torsión. Ésta es una condición ideal que rara vez se presenta en estructuras reales. Se supone que las dimensiones
Y el refuerzo de la viga están determinadas y
se trata de encontrar su resistencia a torsión.
Con el fin de poder incluir una parte del patín en los cálculos de resistencia, como se
muestra en la figura 8.24, se colocaron estribos horizontales en dicho patín. Previamente se definió que la parte del patín que podía
incluirse en los cálculos era de 45 cm, igual
a la proyección de la viga por debajo del patín. Esta cantidad es menor que ocho veces
el espesor del patín, que es el máximo admisible. El valor de ph, que es el perímetro del
estribo y que aparece en la ecuación 8.35,
puede entonces tomarse como la suma de
los perímetros de los dos estribos mostrados
en el croquis de la sección de Datos en el
ejemplo. Resulta un perímetro total de 304
cm, ya descontados los recubrimientos.
Obsérvese que las separaciones de estribos cumplen con los requisitos al respecto del
Reglamento ACI, ya que no exceden de ph/8
ni de 30 cm. (Los recubrimientos de 3 cm y
de 4 cm indicados en la figura son al centro de
los estribos.) Las dos barras del No. 4 que están localizadas a la mitad del peralte y al centro del estribo horizontal tienen por objeto
cumplir con la disposición de que el espaciamiento de las barras longitudinales no exceda
de 30 cm.
La carga viva de 0.4 ton/m2 es la carga
de servicio. Por lo tanto, para obtener la carga viva de diseño se afectó de un factor de
carga de 1.6, que es el que señala el Reglamento ACI. El peso propio de la viga y de la
losa se afectó, en cambio, de un factor de
carga de 1.2 (véase la sección 1.7.2), que corresponde a peso muerto.
'
E l momento torsionante se obtuvo multiplicando la resultante de la carga de la losa, carga viva más peso propio de la losa,
por la distancia entre el punto de aplicación
de esa resultante y el eje central de la viga.
Este producto da el momento por unidad de
longitud de la viga; para obtener el momento en el paño de apoyo, se multiplica el momento por unidad de longitud por la mitad
del claro libre de la viga, ya que el momen-
240
Resistencia de elementos sujetos a torsión
Ejemplos
241
242
Resistencia de elementos sujetos a torsión
Ejemplos
2 43
244
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Ejemplos
245
246
Resistencia de elementos sujetos a torsión
Ejemplos
247
248
Resistencia de elementos sujetos a torsión
Ejemplos . 249
to torsionante es nulo en el centro por condiciones de simetría.
Los momentos flexionantes y las fuerzas
cortantes se obtuvieron de la manera usual.
En el ejemplo se muestran los diagramas correspondientes. Los números que aparecen
entre paréntesis corresponden a una revisión
por peso propio que se muestra más adelante.
Para calcular la resistencia a torsión, se
determinó en primer término si era necesario considerar los efectos de la torsión, de
acuerdo con la ecuación 8.33. Los valores
de Acp y de pcp que aparecen en esta ecuación son el área y el perímetro, respectivamente, de la parte sombreada de la sección
transversal en el croquis mostrado al inicio
de esta sección del ejemplo. Resultó que el
momento torsionante que actúa sobre la vi-
ga en la sección crítica, 6.3 ton-m, es mucho
mayor que el valor del miembro de la derecha de la ecuación 8.33, por lo que sí es necesario considerar los efectos de torsión.
A continuación se revisó si el tamaño de
la sección transversal, incluyendo la parte del
patín susceptible de tomarse en cuenta, era suficiente, de acuerdo con la ecuación 8.35. Recuérdese que esta revisión tiene por objeto
evitar agrietamientos por torsión excesivos y
falla por aplastamiento de las diagonales de
compresión en la analogía de la armadura espacial. El valor de A,h que aparece en esta
ecuación se calculó como el área comprendida entre los estribos vertical y horizontal, de
acuerdo con lo mostrado en la figura 8.24, pero sin duplicar el área común a ambos estribos. El valor de ph es la suma de los perímetros
250
Resistencia de elementos sujetos a torsión
de ambos estribos. Al sustituir los valores correspondientes, se encontró que no se satisfacía la desigualdad expresada por la ecuación
8.35, lo cual indica que el tamaño de la sección no es suficiente para resistir el momento
torsionante aplicado. Por esta razón, se propone en el ejemplo aumentar la sección a 35 por
70 cm y resolver de nuevo el problema.
Al aumentar la sección, fue necesario
revisar el peso propio y calcular de nuevo
las acciones internas. Éstas aumentaron ligeramente y los nuevos valores se muestran
entre paréntesis en el mismo croquis en que
aparecen los valores originales.
En rigor, hubiese sido necesario volver a
revisar si el efecto de la torsión debía tomarse
en cuenta con la nueva sección transversal. Sin
embargo, la diferencia era tan grande en la primera revisión, que se obvió este paso, habida
cuenta de que el incremento en la sección
transversal era pequeño y no podía alterar mucho los resultados de la primera revisión.
Se aplicó de nuevo la ecuación 8.35 para
verificar si el tamaño de la nueva sección era
suficiente. Ahora s í se cumplió la desigualdad
de la ecuación 8.35 con un margen razonable,
por lo que se aceptó la sección propuesta.
Después se calculó la resistencia de la
sección determinada por el acero transversal
proporcionado (ecuación 8.37). Se supuso
un valor de 8 de 45"; recuérdese que puede
estar entre 30" y 60°, por lo que cot 8 vale 1.
E l valor de A. se toma igual a 0.85 Aoh, valor este último ya calculado al aplicar la
ecuación 8.35. En cuanto al valor de A,, es
importante observar lo siguiente. Los estribos verticales pueden resistir parte de la
fuerza cortante y todo el momento torsionante. Pero en este ejemplo, la contribución
del concreto, Vc, a la resistencia a fuerza
cortante es mayor que la fuerza cortante en
la sección crítica. La primera, calculada al
aplicar la ecuación 8.35, es de 13,489 kg,
mientras que la segunda es de 9550 kg. Esto
significa que los estribos verticales no son
necesarios para resistir fuerza cortante y pue-
den usarse en su totalidad para resistir la torsión. Por lo tanto, el valor de A, en la ecuación
8.37 es el área de una barra del No. 3, 0.71
cm2. Obsérvese que el cálculo de resistencia
se hizo por separado para el tramo en que la
separación de estribos es de 13 cm y para
aquel en que es de 20 cm.
Si Vc hubiese sido menor que la fuerza
cortante en la sección crítica, se tendría que
calcular el área A, requerida para tomar la diferencia, con la ecuación 7.14, calcular el
área de una rama del estribo, por ejemplo la
mitad de Av si el estribo es de dos ramas, y
restar esta área de la del estribo No. 3 (en el
ejemplo), para tener el valor de At que puede
contribuir a resistir el momento torsionante.
Ya habiendo calculado la resistencia a
torsión, se revisó si el acero longitudinal proporcionado era suficiente. Se recordará que la
ecuación 8.38 proporciona el valor mínimo de
Al para garantizar que el acero transversal alcance su límite de fluencia antes de que lo haga el acero longitudinal. El valor de 8 usado en
la ecuación 8.38 tiene que ser el mismo que el
empleado en la ecuación 8.37. Por lo tanto, se
tomó también de 45". El límite de fluencia de
los dos aceros, transversal y longitudinal, también se consideró igual. Al acero total requerido por torsión en cada uno de los dos tramos
con diferente separación de estribos, se sumó
el requerido por flexión. Este último se calculó con un brazo del par aproximado de 0.9 d,
en los extremos, donde es máximo el momento flexionante negativo, y en el centro del claro, donde es máximo el positivo. La suma del
acero longitudinal requerido por torsión y por
flexión se comparó con el acero proporcionado. Obsérvese que al calcular el área del acero proporcionado, se incluyeron las siete
barras No. 4 que se usaron para armar los estribos y para cumplir el requisito de un espaciamiento máximo de 30 cm entre barras del
refuerzo longitudinal. En ambos casos el acero proporcionado fue suficiente.
Por último se muestra en el ejemplo el
diagrama de resistencia de diseño a torsión
Ejemplos
y se compara con el diagrama de momento
torsionante. Como la estructura del ejemplo
corresponde al primer caso, o sea, que la resistencia a torsión es necesaria para el equilibrio, el diagrama de resistencia debe
compararse con el diagrama de momento
torsionante sin afectar a éste de ninguna reducción. También se compara el diagrama
de resistencia a fuerza cortante con el diagrama de fuerzas externas.
Ejemplo 8.2. En este ejemplo se ilustra la revisión de una viga de acuerdo con las NTC-04
y con el sistema de unidades SI. Se supone que
la viga forma parte de una estructura más grande, no mostrada en el ejemplo, de tal manera
que su resistencia a torsión no es necesaria para el equilibrio de la estructura completa. Po-
251
dría ser, por ejemplo, una viga principal de
borde como la de la figura 8.1 c. Las acciones
sobre la viga quedan representadas por una
carga uniformemente distribuida de 10 Nlmm
y por un momento torsionante, también uniformemente distribuido a lo largo de la viga,
de 5000 N-mmlmm. Nótese que las unidades
de este momento son unidades de fuerza porque se trata de un momento por unidad de
longitud.
El cálculo de las acciones internas se
efectuó de la misma manera que en el ejempio anterior. Se muestran los diagramas correspondientes con los valores máximos y
los valores en las secciones críticas a cortante y a torsión.
A continuación se determinó si el momento torsionante aplicado sobrepasa el umbral a
252
Resistencia de elementos sujetos a torsión
Ejemplos . 2 53
254
Resistencia de elementos sujetos a torsión
Ejemplos
255
256
Resistencia de elementos sujetos a torsión
Referencias
partir del cual es necesario considerar los efectos de torsión. Con el Reglamento ACI esta revisión se hace con la ecuación 8.33 SI, y con las
NTC, con una ecuación equivalente que incorpora f*, y que considera que para secciones
macizas se usa el área gruesa Ag en vez de Acp.
Como en los datos del problema no se incluyen
dimensiones de la losa perpendicular a la viga,
se considera como área únicamente la sección
rectangular sin ningún patín. Esta consideración
es conservadora. Se obtuvo que en este caso sí
se deben tomar en cuenta los efectos de torsión.
Ya que la resistencia a torsión de la viga
no es necesaria para el equilibrio, según se
plantea en el enunciado del problema, es
posible reducir los momentos torsionantes
que actúan sobre la viga. Sin embargo, el
momento reducido calculado es mayor que
el actuante, por lo que el diseño debe hacerse con este último. Por esta razón se usó el
momento de 16.25 x 1 o6 N-mm que actúa
en la sección crítica.
Después se revisó si las dimensiones de
la sección eran suficientes para el momento
torsionante aplicado. Esta revisión se hizo con
una ecuación prácticamente igual a la 8.35
del Reglamento ACI. Obsérvese que se usó la
ecuación correspondiente a secciones macizas (raíz cuadrada de la suma de los cuadrados) y que el cálculo de la resistencia a fuerza
cortante del concreto se hizo con la ecuación
257
de las NTC que es diferente a la del Reglamento ACI. El resultado de la revisión fue que
el tamaño de la sección era suficiente.
El cálculo del refuerzo transversal por
torsión indicó que, si se colocaban estribos
a cada 200 mm, el área de cada rama debía
ser por lo menos de 36 mm2. Como los estribos son del No. 4, el área proporcionada
es de 127 mm2. Y ya que no se requieren estribos por fuerza cortante, los estribos del
No. 4 a cada 200 mm son suficientes. Este
refuerzo es también mayor al refuerzo transversal mínimo. Al calcular este mínimo, se
consideró que At es el área de una rama de
estribo del No. 4 y que Av es el área de las
dos ramas de un estribo cerrado. Por eso Av
+ 2 A, son cuatro ramas.
Por último se revisó el acero longitudinal. El requerido por torsión se calculó con
una ecuación igual a la 8.38 del Reglamento ACI. E l requerido por flexión se calculó de
manera aproximada con un brazo del par interno de 0.9 d y despreciando el acero de
compresión. Se revisó el lecho superior de
acero, que es el más desfavorable, sumando
al requerido por flexión, la parte proporcional del acero por torsión que se encuentra
en dicho lecho, o sea, cuatro barras de las
doce que tiene en total la viga. El acero longitudinal proporcionado también resultó suficiente.
Referencias
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Ejercicioa
2 59
Ejercicios
8.1
Calcular la resistencia a torsión pura de la siguiente sección de concreto simple. Supóngase
una resistencia de concreto fC = 300 kg/cm2.
Úsese el Reglamento ACI 31 8-02.
8.3
8.4
8.2
Calcular la resistencia a torsión pura de la sección
del problema anterior si se le adicionan estribos de
dos ramas del No. 3 a cada 15 cm. 2Cuántas barras
longitudinales, y de qué diámetro, sería necesario
colocar para que pueda desarrollarse la resistencia
calculada? Supóngase f; = 300 kg/cm2, fy = 2800
kg/cm2 y recubrimientos de 2 cm al centro de los
estribos. Úsese el Reglamento ACI 318-02.
Calcular la resistencia a torsión de la sección del
problema anterior, si se le aplica una carga axial
de compresión de 150 ton simultáneamente con
el momento torsionante.
Calcular el acero de refuerzo para el siguiente
elemento de concreto reforzado. Supóngase que
el acero calculado para la sección crítica se usa
a todo lo largo del elemento. Usar las NTC-04
del Reglamento del Distrito Federal.
Sección A-A
CAP~TU
LO
9
Adherencia y anclaje
9.1 Introducción. 19.2 Adherencia en anclaje. 19.3 Adherencia en flexión. 19.4 Naturaleza de la adherencia. 19.5 Estudios
experimentales de adherencia. Longitudes
de anclaje o desarrollo. /9.6 Normas para
longitudes de desarrollo. 19.7 Ganchos
estándar. 19.8 Desarrollo del acero positivo
en los apoyos libres de vigas y en los puntos
de inflexión. 19.9 Desarrollo del acero
negativo en vigas empotradas y en vigas
continuas. 19.1 0 Empalme de barras. 19.1 1
Corte y doblado de barras. 19.12 Anclaje
del refuerzo transversal. 19.1 3 Ejemplos.
9.1 Introducción
En elementos de concreto reforzado es necesario que exista adherencia entre el concreto
y las barras de refuerzo, de manera que ambos
materiales estén íntimamente ligados entre sí.
De no existir adherencia, el comportamiento
del elemento difiere del descrito en los capítulos anteriores. En la figura 9.1 se ilustra la
diferencia en comportamiento entre un elemento con refuerzo adherido y otro en el que
el refuerzo se encuentra libre dentro de la masa de concreto. En el primer caso (figura 9.1 a)
los esfuerzos en el acero varían a lo largo del
elemento, ya que son prácticamente proporcionales a la magnitud del momento flexionante. En cambio, en el segundo caso el
esfuerzo en el acero es constante a lo largo
del claro, ya que, como las barras están libres,
el elemento se comporta como un arco atirantado y no como una viga. En este caso es necesario anclar mecánicamente las barras en
10s extremos del elemento por medio de placas u otros dispositivos adecuados.
Se mencionó que en elementos con refuerzo adherido, los esfuerzos varían a lo largo de las barras de refuerzo. Para que pueda
ocurrir esta variación, es necesario que se transmitan esfuerzos del refuerzo al concreto, como
puede verse si se analiza un diagrama de cuerpo libre de un tramo de una barra. Por ejemplo,
en la figura 9.lc se muestra el diagrama de
cuerpo libre de una porción de la barra de la
figura 9.1 a. La fuerza de tensión en el extremo
de la derecha es mayor que en el extremo de
la izquierda, porque ahí es mayor el momento
flexionante. Para que la barra esté en equilibrio,
deben existir fuerzas distribuidas en su superficie, que son originadas por esfuerzos de
adherencia, u, entre el concreto y el acero.
El logro de un comportamiento adecuado
en adherencia es un aspecto importante del
dimensionamiento de elementos de concreto
reforzado. Sin embargo nuestro conocimiento del fenómeno de adherencia es relativamente escaso, especialmente en lo que se
refiere a la determinación de los esfuerzos
internos y a los mecanismos de fallas por
adherencia. Experimentalmente se han encontrado métodos para estimar, en forma
aproximada, los esfuerzos de adherencia en
casos particulares; pero estos métodos no toman en cuentan todas las variables que intervienen, ya que sus efectos no han podido
ser cuantificados en forma definitiva.
Los esfuerzos de adherencia se presentan en los elementos de concreto reforzado
por dos causas: la necesidad de proporcionar
anclaje adecuado para barras y la variación
de fuerzas en éstas debido a la variación del
momento a lo largo del elemento.
Estos dos aspectos se exponen en forma
elemental en los incisos siguientes. En secciones posteriores se describirá con más detalle
el comportamiento en adherencia de elementos de concreto reforzado y se describirá la
forma en que los problemas de adherencia
son tratados en los reglamentos. Se incluyen
también consideraciones sobre el traslape,
el anclaje, el corte y doblado de barras, ya
262
Adherencia y anclaje
a) Refuerzo
adherido
b) Refuerzo
sin adherencia
1-
AL
S
C)
Diagrama de un cuerpo
libre de un tramo de barra
adherida
a
U
c c c c - e - c
1
-,
lb
T2 > T~
Figura 9.1 Diferencia entre el comportamiento de un elemento con refuerzo adherido
y otro con refuerzo no adherido.
que en todos estos aspectos interviene la
adherencia. La aplicación de algunas de las
recomendaciones sobre estos aspectos del
dimensionamiento se ilustra en los ejemplos
de la sección 9.13.
Las recomendaciones sobre adherencia
y anclaje expuestas en este capítulo se refieren principalmente a estructuras que no están
sujetas a sismos. Los reglamentos dan reglas
más conservadoras cuando es necesario prever
acciones sísmicas significativas. Tampoco se
han comentado los problemas particulares
asociados a la adherencia en elementos de
concreto ligero, barras recubiertas con resina epóxica y al empleo de haces o paquetes
de barras, temas que también son tratados
en los diversos reglamentos.
9.2 Adherencia en anclaje
Las barras de refuerzo deben estar ancladas
en el concreto a ambos lados de la sección
donde se requieran, de manera que pueda
desarrollarse en ellas el esfuerzo requerido.
Considérese, por ejemplo, una barra anclada
en una masa de concreto, sujeta a una fuerza
T (figura 9.2). Para que se conserve el equilibrio, al actuar esta fuerza deberán desarrollarse esfuerzos de adherencia en la superficie
Adherencia en flexión
de la barra. La ley de variación de estos esfuerzos a lo largo de la barra, como se apreciará
en una sección posterior, es compleja, pero
puede considerarse un esfuerzo uniforme
promedio, u, equivalente a la variación real
de la adherencia. Partiendo de consideraciones de equilibrio puede establecerse la siguiente expresión:
263
sarrollar el esfuerzo de fluencia del acero, fy,
puede calcularse con la expresión
9.3 Adherencia en flexión
donde
db = diámetro de la barra
Ldes = longitud de la barra que penetra
f,
u
en el concreto
= esfuerzo a desarrollar en el acero
= esfuerzo de adherencia promedio
Despejando u resulta
Los esfuerzos de adherencia en flexión pueden calcularse teóricamente como se describe
a continuación con referencia a la figura 9.3.
Considérese una viga con momento flexionante variable (figura 9.3a) y dos secciones
a-a y b-b separadas entre sí una distancia &.
Las fuerzas que actúan en el elemento de viga
de longitud Ax, si se supone que el concreto
no resiste tensiones, se muestran en el diagrama de cuerpo libre de la figura 9.3b. Las
fuerzas de tensión en la barra en las secciones a-a y b-b se pueden calcular con las
ecuaciones
Si se conoce el esfuerzo de adherencia
último, u, la longitud, Ld, necesaria para de-
Figura 9.2 Adherencia en anclaje.
264
Adherencia y anclaje
T
-1-1-
l-+-+++
1
U
C
C
C
C
C
T+Al
C
(c)
Figura 9.3 Adherencia en flexión.
de donde
Se supone que el brazo de momentos, z,
es constante. Para que la barra (o barras) esté
en equilibrio al considerarla como cuerpo libre (figura 9.3c), como se vio en la sección
9.1, deberá existir una fuerza en la superficie
de contacto entre el concreto y el acero de
la barra correspondiente al esfuerzo de adherencia entre los dos materiales. A partir
del equilibrio del cuerpo libre puede establecerse la siguiente igualdad
Despejando u, resulta
Sustituyendo el valor de AT dado por la
ecuación 9.3 se obtiene
y, tomando límites cuando Ax + O
Pero como dMldx = V,
donde E0 es la suma de los perímetros nominales de las barras.
Adherencia en flexión
Esta ecuación indica que si la variación
del momento es alta (es decir, cuando la
fuerza cortante es grande) los esfuerzos de
adherencia también serán altos. Sin embargo
su validez es relativa, ya que la distribución
de esfuerzos es más compleja de lo que ella
indica. Aun en porciones de una viga donde
el momento es constante y por tanto la fuerza
cortante es nula, de manera que los esfuerzos
de adherencia de acuerdo con la ecuación
9.5 también serían nulos, se ha comprobado
experimentalmente que pueden presentarse
esfuerzos de considerable magnitud debido a
la presencia de grietas [9.1 l. Considérese, por
ejemplo, un tramo de viga sujeto a un momento constante, como el ilustrado en la figura
9.4a. En la figura 9.4b se muestra la variación
de esfuerzos en el acero cuando existen grietas. Estos esfuerzos no son constantes, ya que
entre grieta y grieta el concreto contribuye a resistir la fuerza de tensión. Por tanto, en estas
regiones el esfuerzo en el acero será menor
que en las secciones agrietadas. El cambio de
esfuerzos en el acero produce necesariamente esfuerzos de adherencia. Del diagrama de
cuerpo libre de la figura 9.lc se deduce que
los esfuerzos promedio de adherencia pueden
calcularse con la ecuación
Si las secciones están separadas una
distancia dL, el esfuerzo promedio es:
La ecuación (9.7) indica que los esfuerzos
de adherencia son proporcionales a la pendiente del diagrama de esfuerzos en el acero
(figura 9.4b), ya que dicha pendiente es igual
a dfs/dL. Por consiguiente, en las secciones
que coinciden con grietas y en la sección
(b)
265
,f esfuerzos
en el acero
Distribución
probable de
esfuerzos de
adherencia
(M= constante)
Figura 9.4 Distribución de esfuerzos en una
viga con momento flexionante constante [9.2].
central entre grietas, los esfuerzos de adherencia son nulos, ya que la tangente al diagrama es horizontal, mientras que muy cerca de
las grietas los esfuerzos son elevados, porque los esfuerzos en el acero cambian rápidamente y, por tanto, dfs/dL tiene un valor
alto. La posible distribución de esfuerzos de
adherencia se muestra cualitativamente en
. la grieta de la izquierda a la
la figura 9 . 4 ~ De
sección situada al centro de la distancia entre las dos grietas, los esfuerzos en el acero
disminuyen, lo que produce esfuerzos de
adherencia cuyo sentido es de izquierda a
derecha. De la sección central a la grieta de
la derecha, los esfuerzos en al acero aumentan y los esfuerzos de adherencia cambian
de sentido. Convencionalmente se ha asignado a los primeros, signo negativo, y a los
segundos, signo positivo.
Se han propuesto algunas ecuaciones
para representar la distribución de esfuerzos de
adherencia indicada en la figura 9 . 4 ~ .Los
planteamientos teóricos conducen a ecua-
2 66
Adherencia y anclaje
ciones diferenciales en las que intervienen
constantes que deben ser determinadas experimentalmente. Como se dispone de pocos datos experimentales, estas ecuaciones
no han sido incorporadas a los reglamentos
de construcción. Se puede consultar al respecto la referencia 9.25
En las porciones de viga con momento
variable, la situación es aún más compleja
puesto que los esfuerzos debidos a agrietamiento se sobreponen a los indicados por la
ecuación (9.5).
9.4 Naturaleza de la adherencia
La adherencia o resistencia al deslizamiento
tiene su origen en los fenómenos siguientes:
a) Adhesión de naturaleza química entre el acero y el concreto.
b) Fricción entre la barra y el concreto,
que se desarrolla al tender a deslizar
la primera.
c) Apoyo directo de las corrugaciones
de las barras sobre el concreto que
las rodea.
En barras lisas sólo existen las dos primeras contribuciones. Como su aportación a
la resistencia al deslizamiento es mucho menor
que la debida al apoyo de las corrugaciones
sobre el concreto, la adherencia con frecuencia era un factor crítico en el diseño cuando
a) Sobre la barra
las barras lisas eran de uso común. Por ello
era importante contar con anclajes adecuados
en los extremos de las vigas para lograr un
comportamiento como arco atirantado semejante al ilustrado en la figura 9.1 b, en caso de
falla de adherencia. La introducción de las barras corrugadas ha aliviado considerablemente
los problemas de adherencia. Además, el mejor
comportamiento en adherencia de estas barras ha hecho menos crítico el anclaje en los
extremos que con las barras lisas y ha disminuido los agrietamientos y deformaciones
con respecto a los usuales en éstas.
No obstante estas mejoras, la adherencia
sigue siendo un aspecto importante a considerar en el dimensionamiento de estructuras de concreto, sobre todo en el caso de
barras con esfuerzos de fluencia de 6000
kg/cm2 o aun mayores, cuyo uso es común
en muchos países.
Aunque en las barras corrugadas la adhesión y la fricción también contribuyen a la
adherencia, la aportación más importante
corresponde a las corrugaciones. Es más, la
adhesión se rompe al ocurrir pequeños deslizamientos de las barras dentro del concreto antes de que las corrugaciones se apoyen
contra el concreto.
En la figura 9.5 se muestra en forma
simplista el mecanismo mediante el cual se
transmiten fuerzas entre el concreto y las
barras, cuando éstas tienen corrugaciones.
Las componentes normales a las barras de las
fuerzas (figura 9.5c), originan tensiones que
b) Sobre el concreto
C ) Componentes sobre el concreto
Figura 9.5 Fuerzas entre barras y concreto (según referencia 9.1 1 ).
Naturaleza de la adherencia
,Agrietamiento
267
,
Figura 9.6 Diferentes configuraciones de agrietamiento longitudinal (según referencia 9.2).
tienden a producir agrietamientos longitudinales con configuraciones semejantes a las
ilustradas en la figura 9.6. Las fallas de adherencia en barras corrugadas suelen ocurrir
cuando estos agrietamientos longitudinales
alcanzan una magnitud tal que permiten el
deslizamiento de las barras. En general, como
se apreciará posteriormente, la resistencia
en adherencia es directamente proporcional
a la resistencia en tensión del concreto, que, a
e inversamente
su vez, depende de
proporcional al diámetro de las barras.
Orangun et al. [9.7], han explicado el
fenómeno de agrietamiento por adherencia,
suponiendo que se crea una condición de
esfuerzos semejantes a la que existiría en un
cilindro de concreto que rodeara a cada barra al actuar sobre él las componentes radiales .normales a las barras mostradas en la
figura 9 . 5 ~ .El diámetro interior del cilindro
a considerar sería igual al diámetro de la barra, db, y su espesor, C, igual al menor de los
siguientes valores: el recubrimiento libre
respecto a la cara inferior (Cb) o la mitad de
la distancia libre a la barra contigua (C,) (figura 9.7). La resistencia al agrietamiento depende de la resistencia a tensión de este
cilindro. Si C, < Cb, se presenta un agrietamiento como el de la figura 9 . 6 ~ .S i C, > Cb,
inicialmente se originan grietas verticales en
e,
el recubrimiento inferior (figuras 9.6a y 9.6b).
Si C, es sólo ligeramente mayor que Cb, el
agrietamiento secundario se presentará en
el plano de las barras, prolongándose hasta
las caras laterales exteriores. S i C, es considerablemente mayor que Cb, el agrietamiento
secundario tendrá una configuración en cuña
como la de la figura 9.6b.
Más recientemente, Kemp y su grupo
[9.26] han utilizado este mismo modelo para
desarrollar ecuaciones que permiten determinar la resistencia por adherencia tomando
en cuenta los principales factores que intervienen en el fenómeno.
Como se mencionó anteriormente, el
problema de adherencia, por su complejidad, ya que está interrelacionado con la fuerza cortante y el momento, ha sido estudiado
sólo para casos particulares; no se dispone
de una teoría general aplicable en todas las
situaciones. Por ello el comportamiento de
elementos que fallan por adherencia tiene
que ser analizado también para casos particulares. En la sección siguiente se describen algunos de los estudios experimentales
que han servido de base para la formulación
de recomendaciones de dimensionamiento.
Estos estudios pueden clasificarse en dos grupos: los basados en ensayes de extracción- y
los que recurren al ensaye de vigas.
268
Adherencia y anclaje
A
A
-s
b
A
Cilindro de
concreto
tributario de
una barra
Figura 9.7 Hipótesis del cilindro de concreto para falla por agrietamiento longitudinai
(según referencia 9.7).
9.5 Estudios experimentales de
adherencia. Longitudes
de anclaje o desarrollo
9.5.1 Ensayes de extracción
El espécimen en que se efectúa este tipo de
ensaye consiste en una barra ahogada en un
cilindro o prisma de concreto, con uno de sus
extremos sobresaliendo del concreto (figura
9.8). El ensaye se realiza aplicando una fuerza
Figura 9.8 Ensaye de extracción.
de tensión al extremo libre de la barra, o sea,
tratando de extraer la barra de la masa de concreto. El caso que se representa con este tipo
de ensaye es el ilustrado en la figura 9.2.
El ensaye de extracción da una idea clara del concepto de anclaje: la longitud en que
está ahogada la barra, es su longitud de anclaje. En el extremo cargado de la barra existen esfuerzos de tensión (f, = T/AS), mientras
que el otro extremo de la barra está libre de
esfuerzos. Por lo tanto, los esfuerzos en la
barra cambian desde f, hasta cero a lo largo
de la longitud de anclaje. Obviamente, mientras mayor sea la longitud de anclaje, mayor
será la fuerza T necesaria para extraer la barra y mayor será el esfuerzo f, que puede alcanzarse en el extremo cargado.
La longitud de anclaje recibe también
el nombre de longitud de desarrollo, es decir, la longitud de una barra requerida para
desarrollar por adherencia un determinado
esfuerzo en el acero. Ambos términos suelen
emplearse indistintamente.
El comportamiento y el tipo de falla en
ensayes de extracción dependen principalmente del tipo de barra ensayada. A continuación se analizan por separado los ensayes
con barras lisas y con barras corrugadas, y se
describe brevemente la distribución de es-
Estudios experimentales de adherencia. Longitudes de anclaje o desarrollo
fuerzos a lo largo de las barras en varias etapas de carga.
BARRAS LISAS
Debido a que en un ensaye de extracción la
barra está sujeta a esfuerzos de tensión mientras que el concreto está sujeto a esfuerzos
de compresión, ocurre necesariamente un deslizamiento entre los dos materiales. Cuando
el esfuerzo en la barra es bajo, del orden de
150 a 200 kg/cm2, este deslizamiento se localiza en una longitud pequeña cerca del extremo cargado de la barra. En esta longitud se
rompe la adhesión entre la barra y el concreto. Inmediatamente junto a la zona donde se
ha registrado el deslizamiento, existen esfuerzos elevados de adherencia, producidos
principalmente por adhesión (figura 9.9a). En
la zona contigua a la de esfuerzos elevados,
los esfuerzos de adherencia son pequeños,
ya que la mayor parte de la fuerza de tensión
se ha transmitido al concreto y la barra tiene
esfuerzos de tensión muy pequeños.
Al aumentar los esfuerzos de tensión en
la barra, aumenta la longitud de la zona que
sufre deslizamiento y en la cual se rompe la
adhesión. La fricción desempeña un papel
más importante y el estado de esfuerzos de
adherencia es el mostrado cualitativamente
en la figura 9.9b. Cerca de la falla, el desli-
Figura 9.9 Distribución aproximada de esfuerzos
en un ensaye de extracción con barra lisa.
269
zamiento de la barra se extiende en casi toda
la longitud de desarrollo. El estado de esfuerzos de adherencia en esta etapa se muestra
; esfuercualitativamente en la figura 9 . 9 ~el
zo máximo se localiza cerca del extremo
descargado [9.1 l.
La distribución de esfuerzos de adherencia, como se ve en la figura 9.9, no es uniforme
en ninguna etapa de carga. Puede calcularse
un esfuerzo promedio uniforme dividiendo
la fuerza de extracción, T, entre la superficie
de la barra en contacto con el concreto. Esta
superficie es igual al producto de la longitud
por el perímetro de la
de desarrollo, Ld,
n
barra. Teniendo en cuenta que T = 7 dZbfs
y
que el perímetro, CO, es igual a %db, el
esfuerzo promedio viene dado por
T
- f~db
-u=
' O . L e s 4 Ldes
(9.1 )
como se vio en la sección 9.2.
La diferencia entre el esfuerzo pramedio y el esfuerzo máximo depende de la
etapa de carga y de la longitud de desarrollo. En las primeras etapas de carga la diferencia es mayor, porque la zona con
esfuerzos pequeños es mayor en relación
con la longitud de desarrollo, como puede
.
verse comparando las figuras 9.9a y 9 . 9 ~La
diferencia también es mayor mientras mayor
sea la longitud de anclaje, porque la zona
alejada del extremo cargado, en la cual los
esfuerzos son pequeños, es de mayor longitud, como se observa en las figuras 9.1 0a y
9.1 0b.
La falla en un espécimen de este tipo
puede ocurrir de dos maneras. S i la barra tiene una superficie muy lisa, como la de las
trabajadas en frío, sale de la masa de concreto dejando un agujero liso. Si la superficie
es rugosa, como la de las barras laminadas en
caliente, la fricción es mayor y la falla ocurre
2 70
Adherencia y anclaje
u promedio
+
u promedio
Figura 9.10 Efecto de la longitud del
espécimen de ensaye en la distribución
de esfuerzos de adherencia.
Figura 9.1 1 Distribución aproximada de
esfuerzos en un ensaye de extracción con
barra corrugada.
por rotura del elemento de concreto, como
en el caso de barras corrugadas que se describe en la siguiente sección. La contracción
del concreto también contribuye a aumentar
la fricción y a que ocurra el segundo tipo de
falla [9.2].
más influyen en el tipo de falla. Si el recubrimiento es muy grande y la varilla es pequeña, ocurre el segundo tipo de falla 19.21.
Se han efectuado algunos ensayes de
extracción en prismas sujetos a cargas normales a la dirección de la barra. Estas cargas
aumentan la fricción entre la barra y el concreto, así como la reacción del concreto
contra las corrugaciones. Por lo tanto, para
una longitud de desarrollo dada, puede aplicarse mayor fuerza de tensión en la barra
que en el caso de especímenes sin cargas
normales. Estas cargas evitan la formación
de las grietas mostradas en la figura 9.1 2a y
BARRAS CORRUGADAS
En este caso, al deslizar la barra dentro de la
masa de concreto y romperse la adhesión
entre los dos materiales, las corrugaciones
reaccionan contra el concreto. Como se vio
en la sección anterior, la fricción y la adhesión desempeñan un papel menos importante
que el caso de barras lisas. En la figura 9.1 1
se muestran distribuciones idealizadas de esfuerzos de adherencia a lo largo de las barras
para dos etapas de carga; la figura 9.1 1 a corresponde a esfuerzos bajos y la figura 9.1 1 b
a esfuerzos elevados.
La falla en este tipo de espécimen ocurre
al partirse longitudinalmente la masa de concreto en dos o tres segmentos (figura 9.12a).
También se ha observado en algunos casos,
especialmente en especímenes de concreto ligero, que la falla ocurre por cortante en una
superficie cilíndrica, al desprenderse la zona
de concreto que rodea a la barra (figura 9.126).
La clase de concreto, el recubrimiento y el
diámetro de la varilla, son los parámetros que
Figura 9.12 Dos tipos de falla en especímenes
de extracción con barras corrugadas.
Estudios experimentales de adherencia. Longitudes de anclaje o desarrollo
la falla ocurre por pulverización del concreto que rodea a las barras debido a la acción
de las corrugaciones [9.121. Un efecto semejante puede lograrse con el empleo de refuerzo helicoidal.
Al igual que en el caso de barras lisas,
puede calcularse el esfuerzo promedio de
adherencia en la longitud de desarrollo por
medio de la ecuación 9.1. La diferencia entre el esfuerzo promedio y el esfuerzo máximo depende también de la etapa de carga y
de la longitud del espécimen de ensaye.
El ensaye de extracción permite determinar la longitud de desarrollo de barras ahogadas en una masa de concreto y da una idea de
los esfuerzos de adherencia en una viga.
Es útil también como medio para comparar la efectividad de distintos tipos de
corrugaciones. Sin embargo no reproduce
adecuadamente el comportamiento en adherencia de vigas de concreto. Esto se debe principalmente a que en ensayes de extracción la
masa de concreto se encuentra sujeta a esfuerzos de compresión, mientras que en las
vigas, el concreto tiene esfuerzos y grietas de
tensión debidas a la flexión y a la fuerza cortante, que producen un efecto desfavorable,
como pudo apreciarse en las secciones 9.3 y
9.4. Por ello las recomendaciones sobre adherencia de los reglamentos recientes suelen basarse en ensayes de vigas como los que se
describen en la siguiente sección.
9.5.2 Ensayes de vigas
Los ensayes de adherencia en vigas libremente apoyadas, tienen el inconveniente de
que la reacción del apoyo restringe el agrietamiento longitudinal del concreto, por lo que
se sobreestima la resistencia en adherencia.
Para evitar esto, se han ideado tres tipos especiales de especímenes, uno en la Universidad de Texas [9.13], otro en el National
Bureau of Standards de los Estados Unidos de
América [9.14] y otro en la Universidad de
West Virginia [9.26].
271
*"
Punto de
Diagrama de momentos
I
I
vista superior (ref. negativo)
i
I
1 I
I
l
I
1 Vista
1 lateral I
I
Figura 9.1 3 Espécimen de ensaye usado
en la Universidad de Texas.
E l espécimen de ensaye usado en la
Universidad de Texas se muestra en la figura
9.1 3. Consiste en una viga con un extremo
en voladizo y con cargas concentradas que
le producen el diagrama de momento flexionante mostrado en la misma figura. Una de
las barras de refuerzo negativo se prolonga
desde la sección donde se interrumpe el resto del refuerzo negativo hasta el punto de inflexión. La longitud correspondiente es la
longitud de desarrollo fdes. En el punto de
inflexión, la barra tiene un esfuerzo nulo, por
ser nulo el momento flexionante, mientras que
en la sección donde se interrumpe el resto
del refuerzo negativo, la barra tiene un esfuerzo f,. Por lo tanto, el esfuerzo en la barra
se desarrolla de cero a en la longitud /!des.
El espécimen de ensaye usado en el National Bureau of Standards se muestra en la
figura 9.1 4. El efecto de los esfuerzos de apoyo sobre el agrietamiento longitudinal se
evita colocando los apoyos alejados de la
barra ensayada. En este espécimen, la longitud de desarrollo es la distancia desde los
f,
2 72
Adherencia y anclaje
Figura 9.14 Espécimen de ensaye usado en el
National Bureau of Standards.
apoyos (momento nulo) hasta la sección de
aplicación de la carga (momento máximo). La
falla por adherencia en ensayes de vigas
ocurre por deslizamiento excesivo de la barra dentro de la masa de concreto, sin incremento apreciable de la carga aplicada, en la
forma descrita en la sección 9.4. En la figura 9.1 5 se muestra un estado de agrietamiento típico propio de fallas por adherencia en
ensayes de vigas.
En la Universidad de West Virginia han
utilizado el espécimen mostrado en la figura
9.1 6 para un programa de investigación muy
amplio sobre el fenómeno de la adherencia
19.261. Este espécimen permite combinar
una fuerza de extracción directa, que es la
aplicada con el gato mostrado en la parte
derecha de la figura, con un gradiente de esfuerzos producidos por el par que forman
las dos fuerzas verticales. Además permite
introducir el efecto de fuerzas de dovela sobre las barras; este efecto es el que se produce donde las grietas inclinadas de tensión
diagonal intersectan a las barras de refuerzo
longitudinales.
Si se tienen en cuenta los altos esfuerzos
de adherencia que pueden presentarse en la
vecindad de las grietas de flexión y de tensión
diagonal (figura 9.4), resulta evidente que pueden presentarse fallas locales por adherencia
bajo cargas muy inferiores a las que producen la falla. Estas pequeñas fallas se reflejan
en un incremento del ancho de las grietas de
flexión y tensión, así como de la deflexión.
Sin embargo, no afectan la capacidad de
carga de la viga mientras no se extiendan en
toda la longitud de las barras, provocando
su deslizamiento.
Pueden calcularse esfuerzos promedio
de adherencia a partir de ensayes de vigas, dividiendo la diferencia de fuerzas de tensión
en los dos extremos de la longitud de desarrollo entre el área de la barra en contacto con el
concreto. Tanto en el espécimen de la figura
9.1 3 como en el de la figura 9.1 4, la fuerza de
tensión es nula en un extremo de la longitud
de desarrollo, porque el momento flexionante
es nulo en ese extremo. Por consiguiente, siguiendo un razonamiento semejante al aplicado para las pruebas de extracción, el esfuerzo
promedio de adherencia puede calcularse
con la ecuación
Figura 9.15 Viga típica después del ensaye (según referencia 9.14).
Estudios experimentales de adherencia. Longitudes de anclaje o desarrollo
273
Figura 9.16 Espécimen de ensaye usado en la Universidad de West Virginia (referencia 9.26).
La fuerza T en la sección correspondiente
al otro extremo de la longitud de desarrollo,
puede calcularse dividiendo el momento flexionante en dicha sección entre el brazo del
par, z,formado por las fuerzas de tensión y
compresión. En el caso del espécimen de la figura 9.1 6, se debe sumar la fuerza de tensión
horizontal aplicada directamente. Por lo tanto,
El brazo del par, z, puede suponerse de
0.85d a 0.95d, aproximadamente. Sustituyendo M por el momento flexionante máximo
que resiste el espécimen de ensaye, se obtiene un valor de u que representa el esfuerzo
promedio de adherencia para las condiciones del ensaye. En realidad, la intensidad del
esfuerzo de adherencia varía a lo largo de la
barra, dependiendo de la distribución de las
grietas, de la distancia a la sección donde el
esfuerzo de tensión en la barra es máximo y
de otros factores.
Los valores últimos de los esfuerzos de
adherencia, u, se pueden determinar a partir
de ensayes de vigas como las de las figuras
9.1 3 y 9.14 variando la longitud de desarrollo,
Ldes. Los valores de u, serán los correspondientes a la longitud para la cual se produce
el deslizamiento de la barra y se pueden calcular con las ecuaciones 9.1 y 9.8. Los resultados de los ensayes descritos anteriormente
indican que, de una manera aproximada, estos esfuerzos pueden expresarse como sigue
En esta ecuación, k es una constante que
depende de diversos factores que se comentan más adelante. Los valores de k que se
han propuesto en algunos reglamentos en
que la adherencia se trataba fijando valores
admisibles para los esfuerzos de adherencia,
son del orden de seis, suponiendo que f', se
expresara en kg/cm2 y db en cm (del orden
de 19 si f', se expresa en MPa y db en mm).
Así, para un concreto con f', de 200 kg/cm2
y barras del No. 8, resulta un esfuerzo de 33
kg/cm2.
2 74
Adherencia y anclaje
Con el espécimen de ensaye de la figura 9.16, los valores de u, se obtienen directamente dividiendo la fuerza total T en
el momento de la falla entre la longitud de
desarrollo que tiene un valor constante en
estos ensayes. En el programa de investigación de la Universidad de West Virginia se ha
estudiado el efecto del diámetro de las barras longitudinales, de la separación entre
barras paralelas, del recubrimiento de las barras, de la presencia de estribos transversales
y del efecto de fuerzas de dovela. A partir de
numerosos ensayes y de la utilización de un
mecanismo de falla como el mostrado en la
figura 9.7, se ha propuesto una ecuación
que toma en cuenta todos estos parámetros.
Para fines prácticos, se ha propuesto una
ecuación simplificada que considera únicamente el espesor, C, del cilindro hueco de
falla de la figura 9.7, el diámetro de la barra,
dbrla resistencia del concreto, f',, el área de
los estribos transversales, ASVI y su esfuerzo
de fluencia, fy, y la separación de estribos
transversales, s. Esta ecuación es
o en sistema SI
En forma semejante a lo expuesto en la
sección 9.2, conocidos los valores de u,
es posible determinar la longitud necesaria
para desarrollar un esfuerzo dado en el acero f,. Denominando Ldesa esta longitud, haciendo u = u, y despejando de la ecuación
9.1 se obtiene
Sustituyendo en esta expresión el valor
de u, dado por la ecuación 9.9 y tomando
fs= fy, la longitud de desarrollo, Ld, requerida para desarrollar la capacidad máxima de
una barra, estará dada por
Teniendo en cuenta que Ab =
&b,. la
longitud de desarrollo puede también expresarse como sigue:
Una expresión semejante puede obtenerse sustituyendo en la ecuación 9.1 1 el valor
de u, dado por la ecuación 9.1 0.
Se aprecia que en una viga como la de
la figura 9.1 7 no habrá falla por adherencia
siempre que la longitud L sea mayor que el
valor de Ld dado por la ecuación 9.1 3. Si se
cumple esto se dispondrá de una seguridad
adecuada contra la falla por adherencia, independientemente de que la ecuación 9.5
indique esfuerzos altos o que los esfuerzos
locales por agrietamiento sean importantes.
En otras palabras, debe proporcionarse una
longitud de anclaje o desarrollo adecuada a
cada lado de todas las secciones donde se
presenten esfuerzos máximos en el acero. En
general son secciones críticas las de momentos máximos y aquellas donde se corta o dobla el acero de refuerzo. Cuando no se
disponga de suficiente espacio para alojar la
longitud de desarrollo requerida, es necesario prever anclajes consistentes en ganchos
u otros dispositivos apropiados.
La ecuación 9.12 indica que las longitudes de anclaje o desarrollo son directamente
proporcionales al cuadrado del diámetro de la
barra. Por tanto, resulta evidente que cuando
Estudios experimentales de adherencia. Longitudes de anclaje o desarrollo
275
Figura 9.1 7 Longitud de desarrollo en una viga.
la longitud disponible para el desarrollo de las
barras está restringida, para proporcionar el
área de acero requerida por flexión conviene
usar barras de diámetro pequeño en lugar de
barras de diámetro grande.
Dada la importancia que tiene la resistencia en adherencia, u,, en la determinación
de las longitudes de anclaje necesario para desarrollar la capacidad de las barras de refuerzo, es oportuno hacer algunos comentarios
sobre las variables de que depende.
por la inSe vio ya que u, varía con
fluencia que tiene la resistencia a tensión del
concreto en el comportamiento por adherencia.
La posición del refuerzo es también una
variable importante. Se ha observado mayor
resistencia por adherencia en barras de lecho
inferior que en barras de lecho superior. Esto
se explica por efecto del fenómeno conocido como sangrado del concreto, que produce la acumulación de aire y agua debajo de
las barras de lecho superior, debilitando su
adherencia con el concreto. Cuanto mayor
es el espesor de concreto debajo de las barras, mayor es el efecto del sangrado; aún no
Vf;;
se ha podido relacionar cuantitativamente el
espesor con la disminución de la resistencia.
En los reglamentos de construcción se define en forma un tanto arbitraria qué barras
deben considerarse como de lecho superior
y se especifican longitudes de anclaje mayores para ellas. También cabe mencionar que
la adherencia es mejor en barras verticales
que en barras horizontales.
Evidentemente el tipo de corrugación
tiene una influencia significativa en la adherencia. Según Rehm [9.15], una variable importante es la relación entre la altura de las
corrugaciones, a, y su espaciamiento, c (figura 9.1 8). El valor más conveniente de la relación a/c parece ser del orden de 0.065. Los
valores correspondientes a las corrugaciones
previstas en la norma de Estados Unidos ASTM
305 varían de 0.057 a 0.072, valores próximos al dado por Rehm. Los correspondientes a las corrugaciones especificadas en las
normas mexicanas (NMX-9-032, NMX-9-294
y NMX-B-457) son semejantes.
Orangun et al. (9.7), han tratado con detalle tres factores importantes que influyen en
2 76
Adherencia y anclaje
Figura 9.1 8 Geometría de corrugaciones de barras.
la resistencia por adherencia y por lo tanto
en la longitud de desarrollo: el recubrimiento de las barras, el espaciamiento de éstas y
la presencia de refuerzo transversal (generalmente estribos). De la figura 9.7 se deduce
que, al aumentar el recubrimiento, aumentará
el espesor del cilindro hipotético y, por consiguiente, la resistencia a la falla por tensión
que ocasiona el agrietamiento longitudinal.
Análogamente, en la figura 9.7b se aprecia
que al aumentar la separación entre barras,
aumentará también la cantidad de concreto
que deberá agrietarse antes de que se produzca la falla. Si existen estribos como los
mostrados en la figura 9.1 9, éstos proporcionan un confinamiento que restringe el agrie-
3
Plano de
agrietamiento
Figura 9.19 Efecto confinante de estribos.
tamiento en planos horizontales. E l confinamiento debido a la presencia de fuerzas de
compresión, como las que se presentan en
los apoyos de vigas libremente apoyadas,
también tiene un efecto favorable.
Los numerosos ensayes efectuados por
Kemp en la Universidad de West Virginia
han confirmado la importancia de estos
factores e inclusive han permitido cuantificarlos; adicionalmente han permitido estudiar los efectos de refuerzo longitudinal
adicional al requerido por flexión y de las
fuerzas de dovela en las barras longitudinales de refuerzo.
Por último, indudablemente influye también en los valores u, el tipo de ensaye utilizado para determinarlos. Las recomendaciones
de los reglamentos modernos tienden a basarse en los resultados de los ensayes de vigas que reproducen el comportamiento en
adherencia de las barras de las estructuras
de concreto reforzado más fielmente que los
ensayes de extracción.
Las consideraciones sobre anclaje y desarrollo que se han expuesto se refieren a
barras en tensión. Las barras en compresión
también deben contar con una longitud de
desarrollo adecuada. Sin embargo, las longitudes requeridas son menores, ya que en las
regiones en compresión de miembros de
concreto no existen las grietas de flexión
que agravan los problemas de adherencia.
Normas para longitudes de desarrollo
9.6 Normas para longitudes de
desarrollo
9.6.1 Reglamento ACI 3 18-02
Acero en tensión
En este reglamento se presentan ecuaciones
muy sencillas, de un tipo similar a la ecuación
9.1 2 presentada anteriormente, que toman
en cuenta las variables principales, como el
tamaño de las barras, la resistencia del concreto y el límite de fluencia del acero, en
forma explícita, y otras variables, como la
posición de las barras y su recubrimiento o
separación de otras barras, a partir de factores por los que se multiplica la longitud de
2 77
desarrollo, denominada en el reglamento td.
En el Reglamento se presentan dos opciones:
la primera, que es la más sencilla, se resume
en' la tabla 9.1 l .
E l factor a se introduce para tomar en
cuenta la posición de las barras. Si son altas,
o sea, con más de 30 cm de concreto por
debajo de ellas, a vale 1.3, y en otros casos
vale 1 .O. Se puede ver que de esta manera
se aumenta la longitud de desarrollo de barras
altas por lo comentado en la sección 9.5.2.
El factor toma en cuenta la posibilidad
de que las barras estén recubiertas con alguna
resina epóxica, lo cual se hace en ocasiones
para protegerlas de la corrosión. Se le debe
asignar un valor de 1.5 cuando las barras estén recubiertas con resina y tengan un recubrimiento de concreto menor que 3db o una
Tabla 9.1 Longitudes de desarrollo según el Reglamento ACI 31 8-02
I
Barras No. 6 o menores
y alambres corrugados
Barras No. 7 y mayores
Separación libre entre las barras o los
traslapes no menor que db, recubrimiento
libre no menor que db, y estribos a lo largo
de k'd en cantidad no menor al mínimo
especificado en el Reglamento
Separación libre de las barras o traslapes
no menor que 2db y recubrimiento libre
no menor que db.
Todos los otros casos
'En el Reglamento ACI se incluye otro factor, y, que se refiere a concreto ligero y que no se ha incorporado en este texto por ser
Un tema no tratado.
2 78
Adherencia y anclaje
separación entre barras paralelas menor que
6db; de 1.2 cuando estén recubiertas con resina pero tengan recubrimientos de concreto
o separaciones mayores que los anteriores; y
de 1 .O si no están recubiertas con resina. Se
ve que este factor hace aumentar la longitud
de desarrollo si las barras están protegidas
con resina, ya que esto disminuye su adherencia con el concreto.
Si se toma en cuenta que para la mayoría de los casos prácticos p es igual a 1 , las
ecuaciones de la tabla 9.1 son realmente
muy sencillas de aplicar. El reglamento especifica que el producto ap no necesita tomarse como mayor a 1.7.
Comparando las ecuaciones de la tabla
9.1 pertenecientes a una misma columna, se
puede ver que el efecto de no tener recubrimientos de concreto amplios, buenas separaciones entre barras paralelas, o suficientes
estribos, es el de incrementar las longitudes
de desarrollo necesarias en 50 por ciento. En
la figura 9.20 se muestra un esquema de recubrimiento~y separaciones de barras fácil
de lograr en la práctica, que permite cumplir
con los requisitos para usar las ecuaciones
de la parte superior de la tabla, o sea, las
que proporcionan longitudes de desarrollo
menores, sin necesidad de revisar el refuerzo transversal.
La segunda opción que presenta el Reglamento ACI 31 8-02 consiste en aplicar
una ecuación similar a las de la tabla 9.1,
pero más general, ya que permite tomar en
cuenta de manera directa y explícita el diámetro de las barras, el recubrimiento de concreto y la separación entre barras, y la cantidad
de refuerzo transversal. Esta ecuación es la
~iguiente:~
E l nuevo factor ;l vale 0.8 para barras
No. 6 y menores y 1 .O para barras No. 7 y
mayores. El término c es el menor de los valores entre la mitad de la separación centro
a centro entre barras y la distancia del centro de la barra a la superficie libre de concreto
más cercana, en cm; Ktr es un índice del acero transversal que se define como
donde A, es el área total de todo el acero
transversal ubicado dentro de la distancia s
y que cruza el plano potencial de falla por
adherencia, s es la máxima separación entre
el refuerzo transversal dentro de la longitud
de desarrollo y n es el número de barras que
Figura 9.20 Separaciones y recubrimientos
mínimos para usar las ecuaciones de la parte
superior de la tabla 9.1.
2En el Reglamento ACI 318-02 aparece también el factor A
que se refiere a concreto ligero.
Ganchos estándar . 279
existen dentro de la longitud de desarrollo o
que se traslapan. Según el Reglamento, el
término [(c + Ktr)/db]no debe tomarse mayor a 2.5.
La primera opción del Reglamento, o sea,
con las ecuaciones de la tabla 9.1, es mucho
más sencilla de usar que la segunda. De hecho, las ecuaciones de la tabla se dedujeron
de la ecuación más general, usando valores
típicos de recubrimientos de concreto, separaciones entre barras y cantidad de refuerzo
transversal. Se recomienda, por lo tanto, usar
las ecuaciones de la tabla 9.1 para diseños
normales y recurrir a la ecuación más general únicamente en casos especiales o cuando se requiera una gran precisión.
S i se proporciona mayor acero de tensión que el requerido en los cálculos de flexión, las longitudes de desarrollo calculadas
por cualquiera de las dos opciones presentadas pueden reducirse multiplicándolas por
el factor (A, requeridalA, proporcionada).
Esta reducción no puede hacerse si todo el
acero puede alcanzar su límite de fluencia
fy. La longitud de desarrollo para acero en
tensión nunca será menor de 30 cm.
Acero en compresión
Para este acero también se especifica una
longitud básica de desarrollo que puede reducirse si se proporciona refuerzo transversal
de confinamiento o acero longitudinal mayor que el requerido por flexión. El refuerzo
de confinamiento, en su caso, consistirá en
una hélice no menor al No. 2 y con un paso
no mayor que 10 cm, o estribos del No. 4
con una separación no mayor que 10 cm. En
ningún caso se especifica aumentar la longitud básica de desarrollo, que debe ser igual
pero no menor que
a 0.075 db fy/flI
0.0043 db fy. Estos valores en el sistema SI
y 0.0438 db fy! respecson 0.235 db fy
tivamente. Para este acero se especifica que
la longitud de desarrollo nunca sea menor
de 20 cm.
/fl
9.6.2 NTC-04 del Reglamento del Distrito
Federal
Las especificaciones de las NTC-04 son similares a las del Reglamento ACI. Se presenta una
ecuación equivalente a la 9.14 para calcular
una longitud básica Ldb que es la siguiente:
"2-3 5as$
& = Ic., +~,)df',
(9.16 SI)
El lector puede verificar que haciendo
algunas operaciones aritméticas en la ecuación 9.14 se obtiene un coeficiente de 2.75 en
vez del 3 de la ecuación 9.1 6. Las NTC permiten suponer Ktr igual a cero para sencillez en
el diseño.
La notación y las unidades son las mismas
que las utilizadas para las recomendaciones reseñadas anteriormente. Se limita la aplicabilidad de esta expresión a barras no mayores del
No. 12. La longitud básica de desarrollo calculada con la ecuación 9.1 6 debe multiplicarse
por los factores de la tabla 9.2 según la condición del refuerzo, pero la longitud de desarrollo final no debe ser menor de 30 cm.
.Para barras en compresión se establece
que la longitud de desarrollo de una barra
debe ser al menos igual al 60 por ciento a la
correspondiente en tensión. La longitud mínima se fija en 20 cm.
9.7 Ganchos estándar
En ocasiones no se dispone de suficiente espacio para alojar la longitud de desarrollo
requerida. Se suele en estos casos hacer dobleces en el extremo de la barra, de manera
que se formen ganchos o escuadras que
requieren menos espacio para desarrollar un
280
Adherencia y anclaje
Tabla 9.2 Factores que modifican la longitud básica
de desarrollo.'
Condición del refuerzo
Factor
Barras de diámetro igual a
19.1 mm (número 6) o
menor
0.8
Barras horizontales o
inclinadas colocadas de
manera que bajo ellas se
cuelen más de 300 mm
de concreto
1.3
El Reglamento ACI 31 8-02 define una
longitud de desarrollo, Ldh, para barras en
tensión que terminan en gancho estándar. El
significado de Ldh, así como las características
geométricas de los ganchos estándar, pueden apreciarse en la figura 9.21. El valor de
Ldh, en cm, se obtiene multiplicando por
los factores de modificación de la tabla 9.3 el
valor de una longitud de desarrollo básica,
dado por la siguiente expresión:
Barras con fy mayor de 412
MPa (4200 kg/cm2)
Barras torcidas en frío de
diámetro igual o mayor que
19.1 mm (número 6)
1.2
requerida
Acero de flexión en exceso2
As,
Barras lisas
proporcionada
2.O
Barras cubiertas con resina
epóxica, o con lodo
bentonítico:
- Recubrimiento de concreto
menor que 3db, o
separación libre entre
barras menor que 6db
- Otras condiciones
1.2
Todos los otros casos
1.O
t
sección
crítica
2-y;;.
4db NO. 3 a
No. 8
*CC
'Si se aplican varias condiciones, se multiplican los factores correspondientes.
2Excepto en zonas de articulaciones plásticas y marcos dúctiles.
esfuerzo dado en el acero que una longitud
recta. Si estos ganchos o escuadras reúnen
determinadas características geométricas
se denominan ganchos estándar. Se reseñan
a continuación las recomendaciones al respecto del Reglamento ACI 31 8-02.
4db O 6 cm mín
4
L dh
5db
9, 10
6db NOS. 14 y
- 18
+
Figura 9.21 Detalles de ganchos estándar
según ACI 3 1 8-02.
Ganchos estándar
Tabla 9.3 Factores de modificación de los valores de
Lhb (ACI 318-02)
Condición
Factor
Ganchos de barras del No. 11
o menores, con recubrimiento
lateral (perpendicular al plano
del gancho) no menor de 6 cm,
y ganchos a 90" con un
recubrimientode la parte recta
al eXtremo del gancho no menor
de 5 cm
0.7
Ganchos a 90" de barras del
No. 11 o menores, confinados con
estribos perpendiculares a la barra
cuya longitud se desarrolla,
espaciados a no más de 3db a lo
largo de la longitud de desarrollo
del gancho; o confinados con
estribos paralelos a la'barra,
espaciados a no más de 3db a lo
largo de la longitud de desarrollo
del gancho
0.8
Ganchos a 180" de barras del
No. 11 o menores, confinados con
estribos perpendiculares a la barra
cuya longitud se desarrolla,
espaciados a no más de 3db a lo
largo de la longitud de desarrollo
del gancho
0.8
E l valor de Ldh debe ser por lo menos
igual al mayor de los siguientes valores: 8 db
o 15 cm. Para barras con gancho estándar situadas en los extremos discontinuos de
miembros en que el recubrimiento libre tanto lateral como superior o inferior es menor
de 6 cm, se especifica que se proporcione
confinamiento por medio de refuerzo transversal, con una separación máxima de 3 d b
en toda la longitud Ldh (figura 9.22). En tal
caso no son aplicables los factores de 0.8 indicados en la tabla 9.3. Esta situación es típica de los extremos de voladizos y de vigas
libremente apoyadas.
El uso de ganchos para desarrollo se
considera admisible únicamente para barras
en tensión.
Las recomendaciones anteriores se basan
en la propuesta sobre longitudes de desarrollo, empalmes y ganchos, formulada por el
Comité ACI 408 [9.9, 9.1 O], que a su vez estuvo inspirada en los ensayes de Marques y
Jirsa [9.17] y los estudios de Pinc et al. [9.18].
Estos estudios indican que la causa principal
de las fallas a base de ganchos se debe al
agrietamiento del recubrimiento perpendicular al plano del gancho y que este agrietamiento se inicia en la parte interior del gancho
donde se presentan concentraciones de esfuerzos altos. Por esta razón la ecuación 9.1 7
Cuando no se requiera la longitud
de desarrollo para alcanzar fy y
haya refuerzo por flexión en
exceso
A,(req.)lA,(prop.)
I
donde
h
Lhb = longitud básica de desarrollo para
barras con gancho estándar, cm
db = diámetro de la barra, cm
f ' ,= resistencia del concreto, kg/cm2
j3 = 1.2 para barras recubiertas con resina epóxica y 1 .O para otros casos.
281
menos m
dei b
1
,
Se requieren estribos
+como
los indicados
Ldh
A*
1
1
S\4
1
'
: ' ( Seccibn A-A
3dd
i3
&2db
\ menos
de 6 cm
Figura
9.22 Confinamiento en los extremos
discontinuos de miembros cuando e¡
recubrimiento es inferior a 6 cm (ACI 31 8-02).
282
Adherencia y anclaje
es función de db, ya que los esfuerzos de
compresión en el interior del gancho dependen de este valor.
La forma de aplicar las recomendaciones del Reglamento ACI 31 8-02 se aclara en
el ejemplo 9.3.
Las NTC-04 proporcionan recomendaciones semejantes para ganchos estándar. La
longitud de desarrollo ya modificada por los
factores correspondientes no será menor de
15 cm o d e 8 d b .
9.8 Desarrollo del acero positivo en
los apoyos libres de vigas y en
los puntos de inflexión
En los apoyos de vigas simplemente apoyadas y en los puntos de inflexión de vigas
continuas, donde la fuerza cortante es grande y los esfuerzos de tensión son bajos, ya
que el momento es teóricamente nulo, puede ser crítica la adherencia por flexión dada
por la ecuación 9.5. En el Reglamento ACI
i 1
--q
"""U
31 8-02 se presenta un artificio para calcular
la longitud de desarrollo del refuerzo positivo,
en forma tal que se obtengan los mismos resultados que se tendrían al aplicar el concepto de adherencia por flexión. Se evita así la
necesidad de fijar valores admisibles de esfuerzos de adherencia, de manera que todos
los requisitos de adherencia pueden formularse en función de longitudes de desarrollo.
El artificio citado consiste en suponer
que el momento flexionante se incrementa
linealmente (V, = constante), con lo que se
obtiene el diagrama indicado con línea punteada en la figura 9.23. Puede demostrarse,
entonces, que la longitud de desarrollo del
refuerzo positivo es MJVU y que esta longitud es la misma que la de una barra, cuyo
perímetro, S, se calcula con la ecuación 9.5,
haciendo X0 = s.
En efecto, según la ecuación 9.2, la longitud de desarrollo de una barra es
penetra e 1 e/
apoyo
\1
p
Figura 9.23 Desarrollo del acero positivo en apoyos libres de vigas.
Desarrollo del acero positivo en los apoyos libres de vigas y en los puntos de inflexión
de donde, considerando que T = nd2bfy/4 y
que el perímetro es igual a S, se deduce que
S i el perímetro s se calcula con la ecuación 9.5, se obtiene
Sustituyendo este valor en la ecuación 9.1 8
Al alcanzarse la resistencia de la sección
Sustituyendo la ecuación 9.2 1 en la ecuación 9.20
'
283
tante última en la sección correspondiente. La
longitud La es una longitud de anclaje adicional igual a la longitud de la barra a partir del
centro del apoyo (figura 9.24). (No es necesario cumplir con la condición dada por la
ecuación 9.23 si la barra está provista de un
gancho estándar a partir del centro del apoyo.) En los puntos de inflexión, la longitud La
no debe ser mayor que el peralte efectivo de
la sección ni que 12 veces el diámetro de la
barra (figura 9.25). Cuando las barras están
confinadas por una fuerza de compresión,
como ocurre en los extremos de vigas libremente apoyadas, se permite incrementar la
relación Mn/Vuen 30 por ciento.
En las NTC-04 del Reglamento del Distrito Federal, el problema del anclaje de barras
para momento positivo en los extremos de
vigas libremente apoyadas, se prevé especificando que cada barra se prolongue más allá
del centro del apoyo y se remate con un gancho de 90 o de 180 grados seguido por un tramo recto de 1 2db o de 4db, respectivamente.
S i no hay espacio suficiente, se debe usar un
anclaje mecánico.
como se pretendía demostrar.
Con base en esto y siguiendo un criterio
conservador, el Reglamento ACI 318-02 especifica que debe cumplirse la siguiente condición:
Esto es, las barras del acero positivo deben tener un diámetro tal que su longitud de
desarrollo, calculada como se describe en la
sección 9.6.1, satisfaga el límite impuesto por
la ecuación 9.23.
En esta expresión, M, es el momento nominal resistente que pueden desarrollar las
barras que pasan por la sección de apoyo o el
punto de inflexión, calculado sin considerar
el factor de reducción @. V, es la fuerza cor-
Figura 9.24 Longitud de desarrollo con anclaje
final adicional (ACI 318-02).
284
Adherencia y anclaje
Longitud máxima de La
limitadaado12db
M,/V,
I+
1'
La
p.i.-r
+
4
Longitud máxima de Ld
Figura 9.25 Longitudes de desarrollo para barras de acero positivo (barras A)
en los puntos de inflexión (ACI 31 8-02).
Además de los requisitos anteriores, en
los extremos libremente apoyados de vigas, los
reglamentos suelen exigir que por lo menos la
tercera parte de refuerzo positivo máximo se
prolongue hasta dentro del apoyo. En los extremos continuos se requiere que se continúe
por lo menos la cuarta parte del refuerzo positivo. Según el Reglamento ACI 318-02, la
distancia de penetración mínima debe ser
15 cm.
9.9 Desarrollo del acero negativo
en vigas empotradas y en vigas
continuas
Ya que los esfuerzos máximos en el acero se
presentan en la cara de las columnas a las que
se unen las vigas, la longitud de desarrollo
debe medirse a partir de dicha cara. En la figura 9.26a se muestra el caso de una viga que
llega a una columna de borde y cuyo acero
negativo termina en un gancho estándar aho-
gado en la columna. En la figura 9.266, el de
una viga que atraviesa una columna. Se puede ver que para este segundo caso, la longitud de desarrollo puede extenderse hasta la
viga del otro lado de la columna y que el acero negativo debe prolongarse más allá del
punto de inflexión, hasta donde es necesario
teóricamente, una distancia igual al peralte,
a 12 veces el diámetro de la barra o a un
dieciseisavo del claro, la que sea mayor.
9.10 Empalme de barras
Comúnmente las barras de refuerzo se fabrican en longitudes que varían de unos 12 a
18 m. Estas medidas no suelen ajustarse a las
dimensiones de las estructuras, por lo que
resulta necesario recurrir al empleo de empalmes. Por otra parte, por facilidad constructiva, las barras suelen cortarse con el fin
de poder trabajar con piezas de menor longitud, lo que facilita su manejo.
Empalme de barras'
Gancho estándar
de 90" o de 180"
(a) Anclaje en columna exterior
d, 12 dbO t,ll6, el que
resulte mayor, para por
lo menos un tercio de A,
285
de los empalmes a base de soldadura o de dispositivos mecánicos.
Los empalmes, cualquiera que sea su tipo, originan concentraciones de esfuerzos
indeseables. Por otra parte, existe el riesgo
de defectos en la realización del empalme.
Por ello conviene evitar hacer empalmes en
secciones críticas y que coincidan los empalmes de todas las barras de un elemento estructural en una misma sección.
Los diversos procedimientos para empalmar barras se tratan ampliamente en la referencia 9.1 9.
9.10.1 Empalmes por traslape
Para satisfacer los requisitos en el claro
de la derecha
(b) Anclaje en una viga adyacente
Figura 9.26 Desarrollo del acero negativo [9.241.
Hay diversas formas de efectuar el empalme de barras. La más común consiste en
traslaparlas. Generalmente el traslape se efectúa con las barras traslapadas en contacto y
amarradas con alambre, aunque también suele permitirse que quede cierto espacio entre
ellas, siempre que esta separación sea inferior
a la especificada por las normas.
El empalme por medio de traslape suele
resultar práctico y económico para las barras
de los diámetros menores. Para los diámetros mayores el empalme traslapado puede
implicar un consumo alto de acero, por las
longitudes de traslape requeridas, así como
un congestionamiento exagerado del armado.
Para evitar los inconvenientes de los traslapes
se puede recurrir a empalmes soldados o
empalmes a base de algún dispositivo mecánico. La elección del sistema apropiado depende de una comparación entre el costo del
acero necesario para los traslapes y el costo
En un traslape de una barra en tensión cada
una de las barras debe desarrollar su esfuerzo
de fluencia en la longitud de traslape (figura
9.27a); o sea, que la longitud de traslape es
semejante a la longitud de desarrollo determinada en ensayes de vigas, como los de las
figuras 9.1 3 y 9.1 4. Así, la fuerza de una barra se transmite a la otra a través del concreto
que rodea ambas barras por medio de adherencia. Por tanto, la integridad de un traslape
depende del desarrollo de adherencia adecuada en la superficie de las barras. Influyen
también la capacidad del concreto que las
rodea para resistir las tensiones y esfuerzos
cortantes generados en él y la presencia de
refuerzo transversal que proporcione una
acción confinante. Un aspecto importante
del comportamiento de traslapes es el agrietamiento que se forma en las terminaciones
de las barras debido a las concentraciones de
esfuerzo creadas por la discontinuidad del
refuerzo.
El efecto adverso del agrietamiento prematuro en las terminaciones de las barras, y el
agrietamiento adicional de flexión que se forma dentro de la longitud de traslape, indicado
por algunos estudios experimentales 19.1 61,
han llevado a que las longitudes de traslape
especificadas por algunos reglamentos, como
el del ACI 31 8-02, sean mayores que las Ion-
2 86
Adherencia y anclaje
A
A
Longitud de traslape
a) De tensión
f- > o
f..
A
A
Longitud de traslape
b) De compresión
Figura 9.27 Empalmes por traslape.
gitudes de desarrollo. A ello ha contribuido
también el hecho de que la distancia entre barras se reduce en la zona de traslape, pudiendo provocarse el agrietamiento ilustrado en la
figura 9 . 6 ~ .Sin embargo, según estudios más
recientes t9.7, 9.9, 9.101, las longitudes requeridas para desarrollo y traslape son iguales, siempre que sean iguales el diámetro de
la barra, el recubrimiento, el espaciamiento libre y la resistencia del concreto.
E l comportamiento de traslapes de barras en compresión es más favorable que el
de barras en tensión, por dos razones. Primero, no existe el agrietamiento de flexión.
En segundo lugar, los extremos de las barras se
apoyan directamente sobre el concreto (figura
9.276) y, por tanto, los esfuerzos no empiezan
a desarrollarse desde un valor nulo, sino desde un valor que depende de los esfuerzos de
apoyo directo. Se ha demostrado experimentalmente que este valor puede ser importante.
Por estas razones, las especificaciones de los
reglamentos son menos severas en el caso
de traslapes de barras de compresión que en
el de traslapes de barras de tensión.
Se resumen a continuación algunas recomendaciones típicas relativas a traslapes.
Reglamento ACI-3 18-02
Según este Reglamento, sólo se permite recurrir a empalmes por medio de traslapes en
barras del No. 11 o menores.
Para traslapes de barras en tensión se
distinguen dos tipos o clases de acuerdo con
lo indicado en la tabla 9.4.
La longitud de traslape necesaria es función de la longitud de desarrollo, Ld, definida
en la sección 9.6.1, de acuerdo con las siguientes reglas:
Traslape de clase A
Traslape de clase B
1.0 Ld
1.3 Ld
Se fija el traslape mínimo admisible en
30 cm.
Para barras en compresión, la longitud
de traslape será igual a 0.0048 fydb t0.049
fydben sistema Si] para acero con límite de
fluencia de 4200 kg/cm2 o menor; e igual a
Empalme de barras
287
Tabla 9.4 Tipos de traslapes de barras en tensión según el Reglamento ACI 31 8-02.
,
l
I
Acero disponible*
Acero requerido
Porcentaje máximo de acero traslapado dentro de la
longitud de traslape requerida
50
1 O0
Igual o mayor que 2
Clase A
Clase B
Menor que 2
Clase B
Clase B
*Relación entre el área disponible y el área requerida por análisis en la sección donde de efectúa el empalme.
(0.0086 fy - 24) db [(0.088fy - 24) dben sistema SI] para acero con límite de fluencia
superior a 4200 kg/cm2. En ningún caso la
longitud de traslape será inferior a 30 cm, y los
valores anteriores se incrementarán en un
tercio si el concreto tiene una resistencia f',
menor a 21 0 kg/cm2.
La aplicación de estas recomendaciones implica que la localización y tamaño de
los traslapes esté claramente indicada en los
planos de construcción.
NTC-04 del Reglamento del Distrito Federal
Para barras en tensión este Reglamento especifica que la longitud de traslape no debe ser
menor que 1.33 veces la longitud de desarrollo
calculada según la sección 9.6.3, ni menor
que (O.Olfy - 6) db, en donde fy se expresa
en kg/cm2 [(0.102 fy - 6) dbsistema SI]. Cuando se traslapa más de la mitad del refuerzo
en un tramo de 40 diámetros, se recomienda
que se tomen precauciones especiales, tales
como aumentar la longitud de traslape y utilizar refuerzo transversal con separaciones
pequeñas.
Para barras en compresión se recomienda que la longitud traslapada no sea menor
que la longitud de desarrollo para estas barras según lo indicado en la sección 9.6.2 ni
menor que (0.01 fy- 10) db r(0.32 fy - 10) db
en sistema SI].
9.10.2 Empalmes soldados o por medio
de dispositivos mecánicos
Para empalmar barras de diámetros grandes, es
aconsejable evitar los empalmes por traslape
y recurrir a empalmes a base de soldadura o
por medio de dispositivos mecánicos apropiados. Los reglamentos suelen exigir que los
empalmes de esta clase sean capaces de desarrollar el 125 por ciento del esfuerzo de fluencia cuando se utilizan en regiones donde el
refuerzo está sujeto al esfuerzo máximo. En regiones donde el esfuerzo del acero es bajo,
no es necesario cumplir con este requisito.
Según el Reglamento ACI 318-02, los
empalmes soldados deben realizarse de acuerdo con las recomendaciones de la American
Welding Society 19.201. Debe tenerse especial cuidado en el caso de barras de alta resistencia trabajadas en frío.
Existe una gran variedad de dispositivos
mecánicos para empalme de barras tanto en
tensión como en compresión. En la referencia
9.21 se describen algunos de los más importantes. En el caso de barras en compresión,
cuando no exista riesgo de que puedan
presentarse tensiones, se permite la transmisión de esfuerzos por contacto directo de
los extremos, siempre que éstos sean planos y
normales al eje de las barras y que se mantengan en posición mediante dispositivos adecuados.
288
Adherencia y anclaje
9.1 1 Corte y doblado de barras
El refuerzo longitudinal de vigas de concreto reforzado puede variarse a lo largo de su
longitud de acuerdo con la variación del
momento. Esto puede efectuarse cortando
barras o doblándolas a 45" y haciéndolas continuas con el refuerzo del lado opuesto.
La capacidad para resistir momento de
una sección, puede expresarse por medio
de la ecuación
donde z es el brazo del par interno, formado
por la fuerza de tensión desarrollada por el
acero y la fuerza de compresión correspondiente al concreto. (Esto será cierto siempre
que se cuente con una longitud de desarrollo
adecuada a cada lado de la sección en estudio.) El brazo del par interno, z,varía poco
y nunca es menor que el correspondiente a la
sección de momento máximo. Por tanto, puede suponerse que el acero requerido en las
diversas secciones es directamente proporcional al momento correspondiente; o, de otra
1
b
1
1
1
Y2
y1
1
1
manera, que el diagrama del acero necesario
en las distintas secciones tiene la misma forma
que el diagrama de momentos. Esto permite
determinar fácilmente los puntos teóricos
donde pueden cortarse o doblarse barras.
Considérese, por ejemplo, la viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida de la figura 9.28. Supóngase que se
desea cortar primero la barra central, luego
otras dos barras y prolongar las dos barras restantes hasta los apoyos. (Es aconsejable hacer
los cortes de barras de manera que el refuerzo
quede simétrico en todas las secciones de una
viga.) Puesto que el diagrama de momentos es
parabólico, es sencillo determinar analíticamente las distancias x l y x2 correspondientes,
respectivamente, a los puntos teóricos de corte de la primera barra cortada y al par de barras siguientes. También es posible determinar
estos puntos gráficamente trazando líneas horizontales en la forma indicada en la figura; las
intersecciones de estas horizontales con el
diagrama definen los puntos deseados.
En el ejemplo de la figura 9.28 se supuso que el área de acero propuesta coincidía
con la teóricamente necesaria. En el voladi-
Momento
resistente
según número
I de barras
5
4
-- 3
2
I
I
-- 1
I
-
Figura 9.28 Corte de barras en una viga simplemente apoyada con carga uniforme.
Corte y doblado de barras
zo de la figura 9.29 el área del refuerzo es
mayor que la que pide el cálculo. Se trata
aquí de cortar dos de las cuatro barras propuestas. La forma de proceder es semejante
a la descrita para la viga simplemente apoyada. Cuando los diagramas de momento no
corresponden a una ley matemática sencilla,
los métodos .gráficos son los apropiados.
Las barras de refuerzo no deben cortarse
en las secciones donde dejan de ser necesarias de acuerdo con los diagramas teóricos de
momento flexionante. Se debe esto a las incertidumbres que se tienen sobre la magnitud y
distribución de las cargas actuantes, a las aproximaciones usuales en el análisis estructural,
a los efectos de asentamientos diferenciales
de los apoyos y otros efectos similares. Por
otra parte, como se señaló en el inciso 7.3.1 y
se aprecia en la figura 7.7, las grietas inclinadas debidas a tensión diagonal producen un
desplazamiento del esfuerzo en el acero. Por
estas razones los códigos recomiendan que
las barras se prolonguen una cierta distancia
más allá de los puntos teóricos de corte. El
Reglamento ACI 31 8-02, por ejemplo, indica
que la longitud adicional sea por lo menos
igual al peralte efectivo, d, o 12 veces el diá-
Momento
resistente
según
número
de barras
Figura 9.29 Corte de barras en un voladizo en
que el refuerzo propuesto es superior al
teóricamente necesario.
289
metro de la barra, db. Algunos autores, como
Winter [9.221 y Ferguson [9.231, son aún más
conservadores y opinan que estos valores deben sumarse a la longitud de desarrollo Ld.
Además de lo anterior, los reglamentos
suelen establecer algunos requisitos adicionales. Así, por ejemplo, el Reglamento ACI 318-02
recomienda que el refuerzo que queda, una
vez que se han cortado una o varias barras, se
prolongue una distancia igual a Ld más allá
de la sección donde el esfuerzo interrumpido
no se requiere para resistir momento. En cambio, según las NTC-04, esta distancia debe
ser igual a Ld + d. Según el Reglamento
ACI 318-02, por lo menos la tercera parte del
refuerzo negativo debe prolongarse más allá
del punto de inflexión una distancia no inferior al mayor de los siguientes valores: el
peralte efectivo del miembro, 12 veces el diámetro de las barras, o 1116 del claro libre.
En la figura 9.30, basada en la referencia 9.24, se muestran los principales requisitos del Reglamento ACI 31 8-02 relativos al
corte de barras.
Como se indicó en la sección 7.6.1 b, el
corte de barras en las regiones de las vigas
sujetas a tensión produce concentraciones de
esfuerzos que pueden ocasionar agrietamientos prematuros. Por ello los códigos suelen establecer alguna restricción a esta práctica. E l
Reglamento ACI 31 8-02, por ejemplo, sólo la
permite si se cumple alguna de las siguientes condiciones que fueron brevemente reseñadas en la sección citada:
a) La fuerza cortante actuante en la sección donde se efectúa el corte de barras no es superior a las dos terceras
partes de la resistencia de diseño a
cortante de la sección.
b) Se proporciona refuerzo transversal
adicional a lo largo de la barra interrumpida en un tramo igual a 0.75 veces el peralte efectivo medido desde el
punto de corte. El refuerzo transversal
adicional requerido A, está dado por
290
Adherencia y anclaje
Resistencia a
flexión de las
barras b
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
momentos
barras a
A
1
\
\
I
lb=
'
i3Ld
1
I
1 I :I
1
-
'
y barras a
#.--
2 (dO 1 2db)
I
I
I
C I
I
I
-2
V
Resistencia a flexión de
lasbarras a
Diámetro de barras
limitado por los requisitos
de la sección 9.8
Ld-,
* ( d o 12db)
L, = claro libre
Figura 9.30 Requisitos principales para el corte de barras según ACI 31 8-02.
miento máximo será:
Por l o tanto, el número de estribos a colocar en la distancia 0.75 d será:
N=-
0.75d + 1
S
Además, el espaciamiento S no debe ser
superior a d/8Pb, donde pbes la relación entre el área del refuerzo que se corta y el área
total del refuerzo en la sección. Por tanto se
tendrá
Ejemplos
0.75 d
N=+ 1= 6P, + 1
(d/8pb)
(9.30)
03s M
"
(9.30~0
M=A+l=:f&&f 1
4. 'I
,.
u.
>
2
Regirá el mayor número de estribos dado
por las expresiones 9.29 y 9.30.
C ) El refuerzo que continúa proporciona
el doble del área requerida por flexión
en la sección de corte y la fuerza cortante actuante es inferior a 0.75 de la
resistencia de diseño a fuerza cortante
disponible.
La aplicación de estos requisitos se ilustra en el ejemplo 9.3.
Con frecuencia, en lugar de intentar satisfacer alguna de estas condiciones resulta preferible prolongar la barra o barras que se cortan
hasta alcanzar una zona comprimida, doblarlas para anclarlas en el lado opuesto o hacerlas
continuas con el refuerzo de este lado.
291
nera que se disponga de su capacidad máxima
a medio peralte de la viga. Para un comportamiento adecuado, este refuerzo debe llegar
v, de tentan cerca de las caras de com~resión
,
sión como lo permitan los requisitos del recubrimiento y la proximidad de otro refuerzo, y
terminarse en ganchos estándar para estribos
de acuerdo con lo mostrado en la figura 9.31.
Las barras longitudinales que se doblan para
utilizarlas como refuerzo del alma, deben continuarse como refuerzo longitudinal cerca de
la cara opuesta si esta zona está en tensión. Si
se trata de una zona en compresión, la barra
deberá prolongarse una longitud Ld, más allá
del medio peralte de la viga. Las recomendaciones de las NTC-04 son semejantes. En las
NTC se especifican estribos cerrados con dobleces de 135 grados en sus extremos.
9.1 3 Ejemplos
En los siguientes ejemplos se ilustran algunos aspectos del detallado del refuerzo y de
la revisión de los requisitos de anclaje. E l capítulo sobre dimensionamiento contiene
ejemplos adicionales.
9.1 2 Anclaje del refuerzo transversal
Ejemplo 9.1
El refuerzo transversal requerido por fuerza
cortante o torsión debe estar anclado de ma-
La viga de este ejemplo es una viga libremente apoyada con una carga uniforme, por
La menor
distancia
posible
Para barras No. 5
O menores
Para barras No. 6,
No. 7 y No. 8
Para barras No. 8 y menores
con doblez a 135"
Figura 9.31 Anclaje de refuerzo transversal de acuerdo con el Reglamento ACI 318-02.
292
Adherencia y anclaje
lo que la sección crítica por momento está
situada en el centro del claro. De acuerdo con
un cálculo previo, el acero requerido en el
centro del claro es A, = 22 cm2. Se trata de
proponer un armado tal que la longitud de
desarrollo necesaria sea inferior a la longitud disponible, que en el ejemplo es igual a
la distancia desde el centro del claro hasta el
centro del apoyo, más la longitud adicional
que puede prolongarse el esfuerzo más allá
del centro del apoyo. Esta longitud adicional
es igual a la distancia desde el centro del apoyo
hasta el extremo de la viga menos el recubrimiento que se considere conveniente, cinco
centímetros en este caso.
Como armado se propusieron tres barras
del No. 10, que dan un área de acero, ASp
23.8 cm2, ligeramente superior a la requerida. Suponiendo un recubrimiento libre de 5
cm, se comprobó que la distancia centro a
centro de barras es 8.4 cm. El espaciamiento libre se calculó después como la diferencia
entre el espaciamiento centro a centro y el
diámetro de las barras.
7
Después se calculó la longitud de desarrollo requerida por las barras l ~ n g i t u d i n a l e ~
de la viga. Ya que no se cumple ninguno de
los mínimos mostrados en la figura 9.20 para
separaciones entre barras y recubrirnientos,
y para no revisar los requisitos mínimos para estribos, se usó la ecuación de la parte inferior de la tabla 9.1 correspondiente a
barras del No. 7 y mayores. Los valores de a
y p son iguales a 1, ya que son barras bajas,
o de lecho inferior, y no están recubiertas
con resina. La longitud de desarrollo requerida resultó menor que la disponible, por lo
que las barras pueden desarrollar su esfuerzo de fluencia en la longitud disponible. Si
no hubiese sido el caso, se podría haber revisado si se satisfacen los requisitos mínimos
de estribos, para usar la ecuación de la parte
superior de la tabla 9.1, o usar la ecuación
9.14. Con ambas alternativas se obtienen
menores longitudes de desarrollo requeridas. En la parte final del ejemplo, se calculó la
longitud de desarrollo con la ecuación 9.14,
con fines de ilustración.
Ejemplos, 2 93
294
Adherencia y anclaje
En la ecuación 9.1 4, los valores de a, /3
y h son iguales a la unidad, ya que son barras bajas, no están recubiertas con resina y
son mayores que el No. 7 . El valor de c se
calculó como las distancias del centro de la
barra a los paños lateral e inferior de la viga,
que son iguales, y la mitad centro a centro
de barras. Se tomó el menor valor que correspondió al segundo caso. Para calcular el
índice Ktr, el término Atr se tomó como dos
veces el área de una barra No. 3, ya que esto corresponde a estribos de dos ramas; la
separación de estribos, s, es la indicada en
los datos, o sea, 20 cm; y n es el número de
barras longitudinales, o sea, 3. De esta manera se obtuvo un valor de Ktr de 0.994 y
uno de Ld de 148 cm. Se puede ver que para
este caso particular, la longitud de desarrollo calculada con la ecuación 9.14 resultó
significativamente menor que la calculada
con la ecuación más sencilla de la tabla 9.1.
Obsérvese que en este ejemplo no se hizo
ninguna corrección por ser el área de acero
longitudinal proporcionada mayor que la
requerida, ya que la diferencia es muy pequeña.
Ejemplos
Ejemplo 9.2
Se trata en este ejemplo de ilustrar la determinación de los puntos de corte de barras en una
viga simplemente apoyada. Los cálculos se hicieron de acuerdo con las indicaciones del Reglamento ACI 3 18-02. El refuerzo requerido
para la sección dada fue 14.83 cm2. Comí, armado se propusieron cuatro barras del No. 7
que dan un área de 15.48 cm2, colocadas en
un lecho. Se determinó el punto donde teóricamente dejan de ser necesarias dos de las barras
con base en las propiedades de la parábola,
puesto que el diagrama de momentos de la
viga del ejemplo es parabólico. Para ello fue
necesario calcular la resistencia desarrollada
por dos barras. El procedimiento seguido se
aprecia en el croquis de la tercera hoja de
cálculo. Como mínimo las barras cortadas deben prolongarse más allá del punto teórico una
distancia igual al mayor de los valores del peralte efectivo y de 12 veces el diámetro de la
295
barra. Rigió en el ejemplo el peralte efectivo,
resultando así la distancia de corte a partir del
centro de la viga igual a 2.77 m.
Para comprobar si las longitudes disponibles
eran suficientes para desarrollar la capacidad
requerida se calculó la longitud de desarrollo
que resultó de 106 cm. Ya que se satisfacen
IQS
requisitos de la figura 9.20, se usó la ecuación de la parte superior de la tabla 9.1, correspondiente a barras No. 7 y mayores. El
valor de 106 cm se necesitó también para revisar los requisitos de anclaje en los apoyos. En
el croquis de la hoja de cálculo 4 se muestra el
armado propuesto y el diagrama de momento
resistente correspondiente a este armado. Obsérvese que se supuso que las barras desarrollan su capacidad linealmente en una longitud
igual a la longitud de desarrollo a partir de su
extremo. Se aprecia que el diagrama de momento resistente requerido teóricamente queda ampliamente cubierto por el de resistencia
a momento proporcionado por el armado pro-
2 96
Adherencia y anclaje
Ejemplos
297
298
Adherencia y anclaje
Ejemplos
299
300
Adherencia y anclaje
Ejemplos
puesto. Es interesante observar que las dos barras que se continúan hasta el apoyo desarrollan su esfuerzo de fluencia en una longitud
de 106 cm, lo cual lleva a una sección localizada más allá de la sección de corte de las
otras dos barras. Sin embargo, esta sección se
localiza antes de la sección de corte teórico.
Para revisar los requisitos de anclaje en
los apoyos se utilizó la ecuación 9.23 incrementando la relación Mn/Vuen 30 por ciento,
puesto que existe una acción de compresión
que produce un efecto confinante. El valor de
M, se calculó suponiendo el área de acero
real utilizada.
Puesto que el corte se efectuó en una zona
de tensión, fue necesario satisfacer alguno de
301
los requisitos reseñados en las secciones 7.6.1 b
y 9.1 1. Se comprobó que el cortante en la seción donde se cortan las barras es inferior a
las 213 partes de la resistencia a cortante disponible, por lo que no fue necesario proporcionar refuerzo transversal adicional.
Se comprobó también que las barras
penetran en el apoyo más de los 15 cm que
exige el Reglamento ACI 31 8-02, en apoyos
libres, para al menos la tercera parte del refuerzo positivo total.
Ejemplo 9.3
Se revisan en este ejemplo los requisitos de anclaje en la unión de una viga con una colum-
302
Adherencia y anclaje
Ejemplos
303
ap eje11 as '1s euiajs!s la opuesn '20-8 1~
1 3 o~uauielSay(
~
la uoo adelse~jap pnj!8uol
el ap o1no1p la olduiara ajsa ua eJjsnl! as
'ui3 2s 1
ap pn1!8uol eun oAnjqo as sopenoape u 9 3
-e3!j!poui ap sa~ojoejsol opueo!ldv 'euuinl
-03 el u03
e1 ap uo!un el ap ep~a!nbz!el
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aepenoape ojlnsaJ eA!jeuJajle ejs-j -8 'ON lap
sweq sal] :Jouaui oJIauie!p un ap s e ~ ~ eu03
q
ozJanjaJ un o/iesua as e!~esaoauolloJJesap ap
pn1!8uol e1 ~e[olee~ed
ajua!o!jns eJa ou alq!uod
-s!p o!oedsa la anb as~eqo~duioo
IV -01 -ON lap
seueq sop ua aiuais!suoo ozJanjaJ un ohesua
as eA!leuJajle e ~ a u i ! ~eun
d u3 -006ap oyo
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n oanb
a ~opue~ap!suooeuuinl
-03 el ua a[qoue la o~auiydou!uiJajap as
'zuio p 1 = JSv
sa op!~anba~
ajuauieo!~oajozlanjaj la O!A
- a ~ doln31yo un uoo op~anoea a -20-8 1 - 3
oiuauiel8aa lap sauo!oeo!pu! se1 opua!n8!s eu
Ejemplos
305
306
Adherencia y anclaje
traslapar las dos barras del No. 9 que se han
propuesto para reforzar la sección de una viga en la que el área de acero teóricamente
necesaria es de 1000 mm2.
Como se cumplen las condiciones de la
figura 9.20, se usó la ecuación de la parte
superior de la tabla 9.1 correspondiente a
barras mayores del No. 7 y sistema SI. Los
parámetros a y B son iguales a 1.
Al calcular la separación libre entre barras, se siguió una disposición del Reglamento
ACI que establece que dicha separación debe
ser igual a la separación libre fuera de la zona
de traslape menos un diámetro de barra, db.
Después se calcularon la relación entre el
acero propuesto y el acero requerido, ASdAsr,
y el porcentaje de acero traslapado, con el fin
de determinar la clase de traslape que corresponde según la tabla 9.3. Se encontró que se
trata de un traslape clase B, por lo que la longitud de traslape debe ser igual a la longitud
de desarrollo multiplicada por 1.3. De esta
manera se obtuvo una longitud de traslape de
1369 mm.
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Ejercicios
9.1
Calcular la longitud de desarrollo, Ld, requerida
para las barras del No. 9 de la viga de la figura,
según el Reglamento ACI 31 8-02. Considerar
fy= 4200 kg/cm2 y f', = 250 kg/cm2.
1
pLdi
9.3
Determinar el anclaje requerido para las barras
del croquis. Suponer que las barras son "altas".
Usar el Reglamento ACI 318-02. Considerar los
siguientes casos:
a) Anclaje recto
b) Gancho de 90"
C) Gancho de 180"
3 barras del No. 9
barras del No. 9 @ 20 cm
/Estribos del No. 3 @ 15 cm
Recubrimiento libre del acero
principal = 5 cm
9.2
iCuál es el diámetro máximo de barra que puede utilizarse en la siguiente viga si el área de
acero necesaria por flexión es 5 cm 2 ?
9.4
Una viga de concreto rectangular tiene un peralte efectivo d = 50 cm. Suponer fy= 3000 kg/cm2
y fC = 200 kg/cm2. El recubrimiento libre es 3.5
cm. Revisar el anclaje requerido, según el Reglamento ACI 31 8-02, para estribos en U del No. 3,
de dos ramas si se emplean ganchos de 90".
9.5
Proponer cortes de barras para la viga del croquis de acuerdo con las indicaciones del Reglamento ACI 3 18-02.Suponer que el acero dado es
M+
30 cm
400 cm
f',
= 200 kg/cm2
30 cm
fy= 4200 kg/cm2
Usar Reglamento ACI 318-02
308
Adherencia y anclaje
igual al requerido. (No hay acero en exceso.) Revisar requisitos de anclaje en los apoyos.
9.7
Determinar la longitud de desarrollo requerida
para las barras de tensión de la viga del croquis:
a) Según Reglamento ACI 31 8-02
b) Según las NTC-04
C) Teniendo en cuenta la presencia de estribos.
Tm
4 barras No. 8
f', = 250 kg/cni2
fy= 4200 kg/cm2
9.6
Para la viga del croquis determinar: a) los diagramas de V , y M;, b) el punto donde se pueden
cortar dos de las barras del armado propuesto;
c) el diagrama de capacidad de momento de la
viga; d) el anclaje requerido a la izquierda del
empotramiento con tramo recto y con gancho de
90". Seguir las recomendaciones del Reglamento
ACI 318-02. Revisar los requisitos por corte de
barras en zona de tensión y, en caso necesario, hacer las modificaciones requeridas en el refuerzo.
5 barras del
m
I
6 estribos del No. 3 @ 20,
estribos restantes @ 15 cm.
w,, = 3 ton/m
w,, = 5 ton/m (incluye peso propio)
= 250 kg/cm2, fy = 4200 kg/cm2
f',
Estribos No. 3 @ 20
Acero teóricamente
requerido: A, = 19 cm2
CAP~TU
LO
1O
Agrietamiento
10.1 Introducción. 110.2 Formación y desarrollo de grietas. 110.3 Mecanismos de
agrietamiento. 110.4 Expresiones para la
predicción de agrietamiento. 11 0.5 Agrietamiento en losas. 110.6 Anchos permisibles
de grietas. 110.7 Sección transformada.
11 0.8 Recomendaciones sobre agrietamiento de diversos reglamentos. 110.9 Ejemplos.
10.1 Introducción
Debido a la baja resistencia a la tensión del
concreto, los elementos de este material tienden a agrietarse.
Son diversas las causas que conducen al
agrietamiento del concreto, siendo las fundamentales las deformaciones debidas a cambios volumétricos y los esfuerzos ocasionados
por fuerzas de tensión, por momentos flexionantes, o por las fuerzas cortantes.
Los cambios volumétricos ocasionados
por variaciones en la temperatura y por contracción producen esfuerzos de tensión en
los elementos estructurales cuando existe
algún tipo de restricción. Cuando estos esfuerzos son superiores a los que soporta el
concreto se presentan agrietamientos. Estos
agrietamientos pueden controlarse ya sea
por medio de refuerzo apropiadamente distribuido, generalmente especificado por los
reglamentos con bases empíricas, o ya sea
disponiendo juntas de control que hacen
que el agrietamiento aparezca en lugares
definidos. En capítulos anteriores se hacen
algunas indicaciones al respecto. El agrietamiento por cambios volumétricos es especialmente importante en elementos de
concreto simple o concreto masivo.
Las fuerzas axiales de tensión, los momentos flexionantes o las combinaciones de
estas acciones producen grietas normales a
los ejes de los elementos estructurales. Este
tipo de agrietamiento puede ser crítico cuando se utiliza acero de refuerzo con valores
del esfuerzo de fluencia iguales o superiores a 4000 kg/cm2 o cuando las cuantías de
acero son excepcionalmente altas. Aunque
el agrietamiento no puede eliminarse por
completo, en estructuras adecuadamente diseñadas con un detallado conveniente del
refuerzo, las grietas son de ancho pequeño,
generalmente del orden de 0.1 mm y raras
veces superiores a 0.5 mm, de manera que
no afectan a la resistencia ni a la durabilidad
de los elementos. La mayor parte de este capítulo se refiere al agrietamiento debido a
fuerzas de tensión o a momentos flexionantes, y a la forma de controlarlo.
La presencia de fuerzas cortantes y de
las tensiones diagonales ocasionadas por
éstas da origen a grietas inclinadas. El desarrollo excesivo de estas grietas se contrarresta por medio de refuerzo en el alma
dimensionado de acuerdo con los principios
establecidos en el capítulo 7 . E l agrietamiento por tensión diagonal ha sido menos estudiado que el debido a flexión o a fuerzas
de tensión, y aún no se cuenta con métodos
prácticos para estimar el ancho y la separación de grietas.
Son dos las razones por las que se requiere controlar el agrietamiento: la apariencia y el riesgo de corrosión del refuerzo.
E l tratamiento del problema en el diseño de
estructuras de concreto tiene un doble aspecto. Por una parte, debe contarse con
métodos para predecir la separación y, en
particular, el ancho de las grietas. Este aspecto, como podrá apreciarse en incisos poste-
310
Agrietamiento
riores, parece estar satisfactoriamente resuelto para efectos prácticos. Por otra parte,
es necesario establecer límites aceptables
del ancho de grietas. Esto presenta dificultades por los factores subjetivos que intervienen en la determinación de anchos
aceptables desde un punto de vista estético
y las incertidumbres existentes en cuanto a
la influencia del ancho en la corrosión del
refuerzo. En el inciso 10.6 se presentan algunos valores de anchos permisibles que
han sido sugeridos.
Para un tratamiento más exhaustivo del
agrietamiento de elementos estructurales de
concreto del que es posible en el presente
texto, consúltense las referencias 10.3, 10.1 1,
10.15, 10.18, 10.20 y 10.21.
10.2 Formación y desarrollo
de grietas
Se han desarrollado técnicas de laboratorio
para investigar la formación y desarrollo de
grietas en el interior de una masa de concreto 110.1 ]. A continuación se describe el
fenómeno de agrietamiento que se ha observado usando estas técnicas.
+
10.2.1 Elementos sujetos a tensión
El tipo de espécimen usado consiste en un
cilindro o prisma de concreto con una barra
longitudinal en cuyos extremos se aplican
fuerzas de tensión (figura 10.1 a). El fenómeno de agrietamiento se desarrolla de la siguiente manera [10.1].
Cuando los esfuerzos en el refuerzo alcanzan un valor del orden de 500 kg/cm2, empiezan a desarrollarse grietas perpendiculares
al refuerzo que atraviesan toda la sección
transversal. Estas grietas reciben el nombre de
grietas primarias y se han señalado con el número 1 en la figura 10.1 b. Las primeras grietas
se forman en las secciones en que el concreto
es más débil a tensión. Debido a la variabilidad natural del material, la localización de estas secciones es un fenómeno aleatorio y en
dos especimenes aparentemente iguales las
grietas se forman en secciones diferentes.
Si los esfuerzos en el refuerzo se aumentan a una magnitud del orden de 1500
kg/cm2, se observan nuevas grietas que se
desarrollan entre las grietas primarias existentes, pero que no alcanzan la superficie
exterior del espécimen. Estas grietas se han
denominado grietas secundarias y se señalan con el número 2 en la figura 10.1 b.
t
Figura 10.1 Configuración de agrietamiento de un
espécimen sujeto a tensión (según Broms [10.1]).
Figura 10.2 Agrietamiento de un espécimen de
concreto sujeto a tensión (según Broms [10.21).
Mecanismos de agrietamiento
Para esfuerzos mayores se forman pequeñas grietas longitudinales que se desarrollan desde las grietas primarias y secundarias
existentes; estas grietas se señalan con el número 3 en la figura 10.1 b. En esta etapa no
se forman nuevas grietas transversales, pero
las existentes aumentan su ancho.
En la figura 10.2 se muestra el estado de
agrietamiento de un cilindro de concreto
de 15 x 30 cm con una varilla del No. 8 colocada longitudinalmente [10.2]. En ensayes
de este tipo se ha visto que las grietas que se
extienden hasta la superficie del espécimen
alcanzan su ancho máximo en la superficie,
mientras que las grietas que se desarrollan
únicamente dentro de la masa de concreto
alcanzan su ancho máximo en la cara del refuerzo. Los números de la figura 10.2 indican el orden de aparición de las grietas.
10.2.2 Elementos sujetos a flexión
La formación y desarrollo de grietas en la zona de tensión de un elemento sujeto a flexión (figura 10.3) son semejantes a los de un
espécimen sujeto a tensión. Las grietas primarias (1 en la figura 10.3) se forman a cargas relativamente bajas y se prolongan hasta
el eje neutro. Las grietas secundarias (2 en la
figura 10.3) son visibles en la cara lateral y
se prolonganhasta una altura menor que la
del eje neutro. En algunos casos se observan
grietas secundarias muy pequeñas hasta la
311
altura del refuerzo (3 en la figura 10.3). Las
grietas longitudinales (4 en la figura 10.3) se
forman a cargas cercanas a la resistencia del
elemento, a la altura del refuerzo de tensión.
En algunos ensayes se ha observado que las
grietas primarias se dividen en dos ramas
horizontales (5 en la figura 10.3), o que se
forman grietas horizontales a la altura del
eje neutro (6 en la figura 10.3). Esto sucede
cuando está a punto de alcanzarse la resistencia del elemento.
10.3 Mecanismos de agrietamiento
Se han propuesto algunos mecanismos de
agrietamiento que sirven de base para calcular la separación y el ancho de grietas. Los
mecanismos difieren entre sí por las hipótesis hechas sobre la distribución de esfuerzos en el concreto, la que depende a su vez
de la forma en que se supone que se transfieren los esfuerzos de adherencia del acero
al concreto. Esta transferencia de esfuerzos
no se ha podido determinar con precisión,
por las razones expuestas en el capítulo 9.
10.3.1 Mecanismo clásico de agrietamiento
t10.31
En este mecanismo se supone una distribución uniforme de esfuerzos de tensión en un
Figura 10.3 Configuración de agrietamiento de un espécimen sujeto a flexión (según Broms [10.21).
3 12
Agrietamiento
(a)
1
amín
+
A
C
B
C
A
Esfuerzos de adherencia (u)
Esfuerzos de tensión en el concreto
Esfuerzos de tensión en el acero (f,)
Figura 10.4 Mecanismo clásico de agrietamiento.
área efectiva de concreto y una cierta distribución de esfuerzos de adherencia a lo largo del refuerzo. La formación de grietas se
explica de la siguiente manera.
Al aplicar la fuerza de tensión, T, aparecen las grietas primarias (1 en la figura 10.4)
en las secciones más débiles del elemento,
secciones A, localizadas al azar. En las secciones que coinciden con estas grietas, el
esfuerzo en el acero es f, = TIA,. En otras
secciones el esfuerzo en el acero es menor,
ya que la fuerza de tensión se transmite parcialmente al concreto por adherencia. En la
figura 10.46 se indica con trazo lleno una
distribución aproximada de los esfuerzos de
adherencia en esta etapa, y en las figuras
10.4y
~ 10.4d se indican con trazo lleno las
distribuciones de esfuerzos en el concreto y
en el refuerzo, respectivamente.
S i la transmisión de esfuerzos de tensión al concreto es tal que se alcanza la re-
sistencia del material, se forma una nueva
grieta en una sección situada aproximadamente al centro entre las dos grietas existentes (grieta 2 en la figura 10.4a). Al formarse
esta nueva grieta, cambia la distribución de
esfuerzos de adherencia a la forma indicada
con línea punteada en la figura 10.46. También cambian las distribuciones de esfuerzos de tensión en el concreto y en el acero
(figuras 1 0 . 4 ~
y 10.4d). Si con la nueva distribución de esfuerzos de tensión en el concreto se alcanza la resistencia del material,
se forman nuevas grietas en las secciones C
de la figura 10.4a. Pero s i la distancia entre
las secciones A y B es tal que la fuerza de
tensión que se transmite por adherencia
de la sección A a la sección C es menor que
la resistencia del material, entonces no se
forman nuevas grietas en las secciones C. Éste es el caso representado en la figura 1 0 . 4 ~ .
La distancia entre las secciones A y B es la
Mecanismos de agrietamiento
separación mínima de grietas, que se denomina a.,
Esta distancia es la longitud mínima
en que puede desarrollarse por adherencia
la resistencia a tensión del concreto.
El mecanismo clásico indica que el fenómeno de agrietamiento está sujeto a una
gran variabilidad. En efecto, si la separación
L entre las secciones A es ligeramente mayor que 2amjn,se forma una nueva grieta en
la sección B, como se muestra en la figura
10.4a. En este caso, la separación entre grietas es a = L/2 = amin. Pero si la separación L
es ligeramente menor que 2amjn,no alcanza
a formarse otra grieta y a = L = 2amjn. Por
consiguiente, la separación puede variar entre aminy 2amín,con un promedio de 1 .5amjn.
Si se representa la separación promedio por
apromlentonces
La variabilidad en fabricación y métodos de curado puede incrementar aún más
esta dispersión natural en la separación de
grietas.
El valor de
puede calcularse igualando la resistencia en tensión del elemento
de concreto con la fuerza de tensión transferida por adherencia:
Resistencia en tensión = Acft
Tensión transferida = amjnyuCs
(1 0.1 )
(10.2)
31 3
Igualando las ecuaciones 10.1 y 10.2 y
despejando amin se obtiene
y en sistema SI
a"&, =
A
lar
yu* Zs
~ i 0 . 3si,
~
I
r
Sustituyendo Cs = 4Addb y p = ASIA, en
la ecuación 10.3
y en sistema SI:
El ancho de grieta, w, es igual a la
elongación del acero entre dos grietas menos la elongación del concreto. Debido a
que la elongación del concreto es muy
pequeña comparada con la del acero, se
puede despreciar y se obtiene:
y en sistema SI
y en sistema SI:
Tensión @arid&da = 0.98 a& y.Cf3 0Q42$1)
Sustituyendo la ecuación 10.4 en la
ecuación 10.5:
donde
Ac = área de la sección transversal del
elemento
ft = resistencia en tensión del concreto
Y = factor que depende de la distribución
de esfuerzos de adherencia
u = esfuerzo máximo de adherencia
Zs = perímetro de las barras de refuerzo
Generalmente interesa conocer el ancho máximo de grietas, w,~,, en vez del
Teniendo en cuenta
ancho mínimo, w,.
que a,á, = 2amjn, se obtiene
314
Agrietamiento
Las ecuaciones 10.7 y 10.8 pueden aplicarse también a vigas sujetas a flexión, s i la
cuantía de refuerzo, p, se define respecto a
un área efectiva, A , que tiene el mismo
centroide que el refuerzo de tensión (figura
10.5). El valor de A, es A, = 2b(h-d).
Figura 10.5 Definición de área efectiva en
elementos sujetos a flexión.
El mecanismo clásico de agrietamiento
permite obtener una idea clara de la influencia de algunas variables importantes. Sin
embargo, la hipótesis de una distribución
uniforme de esfuerzos en el área de la sección transversal de elementos sujetos a
tensión, o en el área efectiva de elementos
sujetos a flexión, es sumamente simplista,
por lo que los anchos y separaciones de
grietas calculados con las ecuaciones 10.7 y
10.8 no concuerdan satisfactoriamente con
resultados experimentales. Se ha visto que
estas ecuaciones sobrestiman especialmente
la influencia del diámetro de las barras, db
[10.41.
10.3.2 Mecanismo basado en el estado
interno de esfuerzos
Se ha mencionado que es sumamente difícil
determinar la distribución de esfuerzos de
adherencia a lo largo del refuerzo. Ya que
esta distribución influye en el estado interno
de esfuerzos en el concreto, tampoco es fácil determinar dicho estado de esfuerzos. Sin
embargo, se han hecho análisis basados en
la Teoría de la Elasticidad [10.11 en los que
se supone que la fuerza de tensión actúa distribuida linealmente en la superficie de la
grieta y al nivel del acero de refuerzo (figura
10.6). Estos análisis elásticos indican que al
formarse las primeras grietas ocurre una
redistribución de esfuerzos en el concreto,
por lo que éstos ya no son uniformes en la
sección transversal, como se supone en el
mecanismo clásico de agrietamiento. Los
resultados de los análisis señalan que dentro
Zona de esfuerzos de
tensión elevados
Figura 10.6 Redistribución de esfuerzos por efecto del agrietamiento (según Broms [10.11).
Mecanismos de agrietamiento
3 15
Figura 10.7 Agrietamiento de un elemento sujeto a tensión según el mecanismo
propuesto por ~ r o m s[10.2]).
de un círculo inscrito entre las superficies de
las grietas, existen esfuerzos de tensión elevados, mientras que fuera del círculo los esfuerzos son de compresión o son de tensión, pero
muy pequeños (figura 10.6b). Basándose en
este estado de esfuerzos, Broms [10.1, 10.21
ha propuesto un mecanismo de agrietamiento
según el cual la grieta se desarrolla únicamente en la zona de esfuerzos de tensión elevados. Esta zona depende de la relación L/h
(figura 10.6). Si esta relación es menor que 1,
el círculo inscrito no alcanza a cortar la cara
superior del espécimen y, por consiguiente, la
grieta no es visible en el exterior. Si la relación
es mayor que 1, el círculo corta la cara superior y la grieta se desarrolla hasta el exterior.
En la figura 10.7 se muestran, en forma
idealizada, el desarrollo y orden de aparición
de grietas en un espécimen sujeto a tensión.
La grieta 1 se forma en una sección localizada al azar donde los esfuerzos de tensión exceden la resistencia del concreto. Después de
la aparición de esta grieta se redistribuyen los
esfuerzos en el concreto y las zonas de esfuerzos elevados de tensión son las que quedan
en los círculos inscritos entre la grieta y los
extremos del espécimen. (En la figura se
muestra únicamente el círculo del lado derecho.) Las grietas 2 se forman aproximadamente al centro de los círculos inscritos.
Como estos círculos alcanzan a cortar
las caras laterales del espécimen, las grietas
se prolongan hasta dichas caras, por lo que
son visibles en el exterior. Al formarse las
grietas 2, ocurre una nueva redistribución de
esfuerzos y las zonas de esfuerzos elevados
de tensión se localizan dentro de los círculos inscritos entre la grieta 1 y las grietas 2,
y entre éstas y los extremos del espécimen
de concreto. Las grietas 3 se forman aproximadamente al centro de los nuevos círculos
inscritos, y ya que éstos no alcanzan las
caras laterales del espécimen, las grietas no
son visibles en el exterior, como se indica en
la figura 10.7. El proceso de agrietamiento
continúa en la forma descrita, hasta que la
separación de las grietas es tal que la resistencia del concreto no puede desarrollarse
por adherencia entre grietas consecutivas.
La separación de grietas superficiales, según este mecanismo de agrietamiento, varía
de t a 2t, donde t es el recubrimiento de concreto medido desde el eje longitudinal de la
varilla. El valor de 2t ocurre cuando los círculos inscritos son tangentes a las caras laterales
y el valor de t cuando los círculos intersectan
ligeramente dichas caras. Por consiguiente, la
separación de grietas está sujeta a una gran
variabilidad, al igual que en el mecanismo
clásico. Las expresiones para calcular la separación son más sencillas, ya que
31 6
Agrietamiento
Los anchos de grietas respectivos son
Wmáx = Esamáx = 2t&,
Wmjn = Esamjn = [ES
(1O. 1 O)
Wprom = Esaprom
= 1 .5tcS
En una serie de ensayes, efectuada para
comprobar esta teoría, se encontró una separación promedio de grietas de 2.0t, en vez
de la separación promedio teórica de 1.5t.
La diferencia se debe a las hipótesis simplistas en que se basa el cálculo del estado interno de esfuerzos en el concreto.
E l proceso de agrietamiento de un elemento sujeto a flexión, según este mecanismo, es semejante al de un elemento sujeto a
tensión y se ilustra en la figura 10.8.
Si se comparan las expresiones para el
cálculo de separación y ancho de grietas obtenidas con el mecanismo clásico y con el
propuesto por Broms, se ve que son completamente diferentes. La diferencia se origina
en las distintas hipótesis sobre la distribución de esfuerzos en el concreto. Las expresiones recomendadas para la evaluación
práctica del agrietamiento de elementos de
concreto reforzado, que se presentan en la
siguiente sección, son modificaciones de las
obtenidas de los mecanismos de agrietamiento y se basan principalmente en resultados experimentales.
10.4 Expresiones para la predicción
de agrietamiento
A través de estudios experimentales se han
determinado los factores que mayor influencia tienen en el ancho de las grietas y se ha
encontrado que dicho ancho
a) es mayor cuando se utilizan barras lisas que con barras corrugadas
b) depende en forma importante del espesor del recubrimiento
C ) aumenta con el esfuerzo en el acero,
siendo esta variable la más importante
d) depende del área de concreto que
rodea a las barras en la zona de tensión, disminuyendo cuanto mejor
distribuido se encuentre el refuerzo
e n dicha zona.
Estas variables se reflejan en las numerosas fórmulas propuestas para predecir el
ancho de grietas. Se consideran aquí únicamente cuatro de ellas: la de la Portland Cement Association (P.C.A.), la de la Cement
and Concrete Association (C.A.C.A.), la de
Gergely y Lutz, y una propuesta recientemente por Frosch.
Figura 10.8 Agrietamiento de un elemento sujeto a flexión según el mecanismo
propuesto por Broms U0.21.
Expresiones para la predicción de agrietamiento
10.4.1 Fórmula propuesta por la EC.A. [10.41
La ecuación propuesta por la P.C.A. para
calcular el ancho máximo de grietas al nivel
del acero de refuerzo es la siguiente
w,
= 2 . 6 c f s x l ~ - ~ ( c m ) (10.11)
y en sistema SI
Esta ecuación se obtuvo de tres series
de ensayes en las que se observó que la
ecuación 10.8, deducida del mecanismo
clásico, sobrestima la influencia del diámetro, y que el ancho de la grieta depende
principalmente del esfuerzo en el acero, f,, y
del área efectiva de concreto que rodea a
cada barra, A. El valor de A puede obtenerse dividiendo el área efectiva, A, (figura
10.5) entre el número de varillas (A = AJN).
El esfuerzo del acero, f,, puede calcularse
con la ecuación
en la que se puede suponer un valor aproximado de z = 7d/8. La ecuación 10.1 1 es
aplicable siempre que f, sea menor que el
esfuerzo de fluencia, fy, que el valor de A esté comprendido entre 20 y 320 cm2, y que
las barras de refuerzo sean corrugadas.
10.4.2 Fórmula propuesta por la C.A.C.A.
[l0.51
En una investigación realizada en la C.A.C.A.
se encontró que el ancho máximo de las
grietas ocurre al nivel de las fibras en tensión más alejadas del eje neutro y que este
ancho se puede calcular con la ecuación
31 7
donde 17 es una constante que vale 3.3 para
barras corrugadas y 4 para barras lisas; r es
la distancia desde la arista longitudinal de la
viga hasta la superficie de la barra más cercana (figura 10.9a); h, el peralte total; d, el
peralte efectivo, y c es la profundidad del eje
neutro. El valor de c se determina usando
el concepto de sección transformada que se
describe en la sección 10.7.
Para determinar el ancho máximo a la
altura del refuerzo de tensión, la ecuación
10.1 2 se simplifica a
fs
wmáx
= q r - (cm)
(10.1 3)
Es
En este caso, r es el recubrimiento lateral libre (figura 10.96).
+
+
- Eje neutro
Figura 10.9 Parámetros que intervienen en la
ecuación propuesta por la C.A.C.A.
Estas ecuaciones se obtuvieron de una
serie muy extensa de ensayes y están apoyadas también por un análisis teórico semejante al de Broms. La ecuación 10.1 3 es similar
a la ecuación 10.1 0, pero la definición del
recubrimiento es diferente. En la ecuación
10.13 el recubrimiento se toma desde la
superficie exterior de la barra hasta la cara
del elemento, mientras que en la ecuación
10.1 0 se toma desde el centro de la barra
hasta la cara del elemento.
10.4.3 Fórmulas de Cergely y Lutz [10.61
Estos autores proponen ecuaciones para
calcular el ancho máximo de grietas en la
31 8
Agrietamiento
fibra extrema en tensión y al nivel del acero
de refuerzo. Las ecuaciones son, respectivamente,
w,,,, =
0W, x 1O" (cm)
(1o.1 4)
10.4.4 Fórmulas de Frosch 110.2 11
Este autor utiliza la teoría clásica (sección
10.3.1) para calcular el ancho de las grietas
y los resultados obtenidos por Broms (sección 10.3.2) para calcular la separación de
las grietas. De acuerdo con esto, el ancho
de la grieta al nivel del acero de refuerzo, figura 10.1 1, estaría dado por la ecuación
o bien en sistema SI:
que es la misma ecuación 10.5 obtenida anteriormente. Si se desea el ancho al nivel del
lecho inferior de la viga, se puede obtener
multiplicando el valor anterior por el factor
En estas ecuaciones, A es el área de
concreto que rodea a cada barra definida en
la misma forma que para la ecuación 10.1 1
(A = A,IN); tb es el recubrimiento inferior
medido desde el centro de la varilla más baja
(figura 1 0.1 0); Y = % (hi y h2 se definen en
h.
la figura 10.1 0); y t, ek el recubrimiento lateral definido en la figura 10.1 0.
Las ecuaciones 10.1 4 y 10.1 5 se obtuvieron por análisis estadístico de cinco series de
ensayes.
donde los términos están definidos en la figura 10.11.
Para poder calcular los anchos de grietas
con estas ecuaciones, es necesario determinar la separación de grietas, a. Esta separación, de acuerdo con Broms, depende del
recubrimiento de concreto, d, o ds,de la separación entre barras, S, y se puede calcular
con la ecuación
donde d* y los términos anteriores están definidos en la figura 10.1 2, y el factor Y, vale
Eje neutro
Figura 10.1 0 Parámetros que intervienen en
las ecuaciones propuestas por Gergely y Lutz.
Figura 10.1 1 Viga agrietada y diagrama
de deformaciones unitarias, D0.2 1 l.
Expresiones para la predicción de agrietamiento
1 para la separación mínima, 1 .5 para la separación promedio y 2 para la separación
máxima. Este factor toma en cuenta la variabilidad a la que está sujeto el fenómeno del
agrietamiento, según lo explicado en la sección 10.3.1.
Figura 10.12 Definición de recubrimientos.
Si se sustituye la ecuación 10.1 8 en la
10.1 6, haciendo E, = f,lE, y d* por el valor
mostrado en la figura 10.1 2 (el de la derecha
es normalmente mayor), el ancho máximo
de grieta en el lecho inferior de la viga queda determinado por la ecuación
3 19
Frosch recomienda usar valores de w,~, entre 0.4 y 0.5 mm. S i se trazan las curvas correspondientes, se puede ver que una buena
aproximación se logra con una regla muy
sencilla que consiste en especificar una separación máxima constante de 30 cm para
recubrimientos d, que vayan de O a 7.5 cm
y reducir linealmente la separación hasta O
para un recubrimiento de 15 cm. Desde luego que este último valor no se presenta en la
práctica. Los resultados se muestran en la figura 10.1 3, para acero de 4200 kg/cm2 de Iímite de fluencia. Lo que indica la Iínea
horizontal en esta figura es que si la separación entre barras de refuerzo no excede de
30 cm y el recubrimiento no excede de 7.5
cm, el ancho máximo de grietas estará comprendido entre 0.4 y 0.5 mm. La Iínea recta
inclinada define una reducción en la separación entre barras s i el recubrimiento es
mayor de 7.5 cm. Si se desea calcular el ancho máximo de grietas para una separación
dada entre las barras de refuerzo, deberá
usarse la ecuación 10.1 9. Al usar esta ecuación, el valor de la profundidad del eje neutro, c, puede calcularse con el artificio de la
sección transformada, sección 10.7, y el esfuerzo en el refuerzo, f, con este mismo artificio o de manera aproximada como se ha
explicado para los otros métodos.
La propuesta de Frosch consiste en fijar
un valor razonable del ancho máximo de
grieta y, despejando el valor de a en la ecuación anterior, calcular valores máximos permisibles de la separación entre las barras de
refuerzo longitudinal. La ecuación que se
obtiene despejando a es la siguiente:
O
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5 20
Recubrimiento de concreto, d, (cm)
Se pueden trazar gráficas de la separación entre barras, a, contra el recubrimiento
de concreto, d,, para valores fijos de w,,,á,.
Figura 10.1 3 Propuesta de diseño
de Frosch [10.2 1 l.
3 20
Agrietamiento
10.4.5 Comentarios sobre las fórmulas para
cálculo de ancho de grietas
Las cuatro fórmulas que se han presentado anteriormente difieren no sólo en los coeficientes numéricos, sino también en las variables
que intervienen. La correlación entre resultados de ensayes y resultados calculados es
semejante para las tres ecuaciones, aunque
Frosch [10.21] señala que las tres primeras
ecuaciones se compararon con ensayes de vigas que tenían recubrimientos pequeños. Esta
correlación no es tan buena como en el caso
de cálculos de resistencia, por la variabilidad
misma del fenómeno de agrietamiento y por
los muchos factores que en él intervienen
(tipo de barra, resistencia del concreto, recubrimiento, tipo de curado, condiciones, ambiente, etcétera).
La diversidad entre las ecuaciones se
origina de la falta de una teoría que explique
y que permita incorporar de manera integrada los distintos factores que influyen en el
agrietamiento. En la actualidad se están
efectuando estudios en este sentido que se
enfocan a analizar el desarrollo de grietas a
nivel microscópico, microagrietamiento, y a
la aplicación de la Teoría de la Mecánica de
Fracturas al concreto. Estos estudios todavía
no tienen una repercusión directa en los reglamentos de construcción, por lo que no se
incluyen en este texto. El lector interesado
puede consultar la referencia 10.1 5.
Por lo pronto, debido a la naturaleza
aleatoria del agrietamiento, los cálculos de
ancho de grietas deben usarse meramente
como una guía para lograr una disposición
apropiada de las barras de refuerzo y no como valores a comparar con anchos de grietas medidos en las estructuras.
10.5 Agrietamiento en losas
El número de estudios para determinar el
agrietamiento en losas perimetralmente apo-
yadas es muy reducido. Esto se debe principalmente a que el agrietamiento de losas no
ha sido un factor importante en la práctica.
Se ha realizado un número limitado de ensayes en losas reforzadas con malla soldada de
alambre [10.8, 10.1 71 en los que se encontró que pueden formarse, bajo cargas de
trabajo, las dos configuraciones de agrietamiento mostradas en las figuras 10.14a y
10.146. En la primera de estas configuraciones, las grietas se forman siguiendo las
Iíneas de refuerzo, mientras que en la segunda, las grietas se forman siguiendo Iíneas
diagonales. La formación de una u otra configuración depende del valor de un parámetro llamado índice de malla, que se define
como
donde 1 es el índice de malla, db es el diámetro de los alambres de refuerzo en dirección longitudinal, st es la separación de los
alambres transversales, y pt es la cuantía de
refuerzo en dirección longitudinal. Cuando
el valor de 1es menor que 1000 cm2 se forma la configuración ortogonal mostrada en
la figura 10.1 4a, y cuando es mayor, se forma la configuración diagonal mostrada en la
figura 10.1 4b.
El ancho máximo de grietas puede estimarse a partir del índice de malla, mediante
la siguiente ecuación
w,,
= 0.16 ~ & f , x l ~ - ~ ( c m )(10.21)
o en sistema SI
donde Y, es el factor definido en la sección
10.4.3.
Debido al número limitado de ensayes
a partir de los cuales se obtuvo esta fórmula,
los reglamentos de construcción no especifican actualmente disposiciones referentes
al agrietamiento de losas.
Anchos permisibles de grietas
32 1
(a) Configuración ortogonal
(b) Configuración diagonal
Figura 10.14 Configuraciones de agrietamiento en losas (según Orenstein y Nawy 110.81).
10.6 Anchos permisibles de grietas
Se mencionó anteriormente que existen dos
razones principales para limitar el agrietamiento de elementos de concreto reforzado:
apariencia de la estructura y corrosión del
refuerzo. Respecto a la apariencia, se han
hecho pocos estudios para relacionar el estado de agrietamiento con la apreciación
subjetiva de la estructura o con una calificación cuantitativa de la misma [10.9]. Algu-
nos autores opinan que una grieta con un
ancho de 0.15 a 0.30 mm es perceptible a
simple vista y no debe ser aceptada por razones estéticas (Halvorsen, citado en la referencia 10.1 5). Respecto a la corrosión del
acero de refuerzo, aún es tema de debate si
existe alguna relación entre el ancho de las
grietas y el peligro de corrosión. Por una
parte, las grietas favorecen la carbonatación
y permiten la penetración de cloruros, humedad y oxígeno hasta el acero de refuerzo.
3 22
Agrietamiento
Sin embargo, la corrosión resultante está muy
localizada y, con el tiempo, los cloruros y el
agua penetran de todas maneras y provocan
una corrosión más generalizada. La mayoría
de los investigadores se inclinan a pensar
actualmente que no hay relación entre el
agrietamiento y la corrosión, y que el ancho
de las grietas sólo debe limitarse por razones estéticas [lo.1 5, 1 0.2 1 l. En especial
señalan que de acuerdo con la teoría, a menor recubrimiento, menor ancho de grieta,
pero que para fines de evitar la corrosión es
preferible dar recubrimientos grandes y
compactar bien el concreto.
Algunos investigadores y algunos reglamentos de construcción establecen límites
en los anchos de grietas que son del orden
de 0.1 a 0.2 mm para ambientes agresivos,
y de 0.2 a 0.4 mm para ambientes normales.
En la tabla 10.1 se presenta un resumen de
los anchos permisibles de grietas, según distintos investigadores y reglamentos.
Tabla 10.1 Anchos permisibles d e grietas
Investigador o reglamento
Condiciones de exposición
Brice 110.121
Severa
Agresiva
Normal
Rüsch 110.121
Agresiva (agua salada)
Normal
Efsen 110.121
Severa o agresiva
Normal (exterior)
Normal (interior)
Reglamento ACI 31 8-89
Exterior
Interior
Eurocódigo EC2
Normales
CFE (Manual de Diseño de
Obra Civiles, Comisión Federal
de Electricidad) 110.71
Interior
Agresivo
Agresivo cuando se requiere impermeabilidad
Cargas accidentales
Comité ACI 224 110.151
Aire seco o membrana protectora
Aire húmedo, contacto con el suelo
Productos químicos descongelantes
Agua de mar, mojado y secado alternado
Estructuras para almacenamiento de agua
Anchos máximos
permisibles, mm
Sección transformada
E l ancho de grietas no puede reducirse disminuyendo los recubrimientos, ya que
éstos suelen fijarse en los reglamentos de
construcción según las condiciones ambientales para tener una protección adecuada.
Debe observarse que en la resistencia a la
corrosión influyen no sólo las grietas de flexión, sino también las grietas longitudinales
que se presentan cuando los recubrimientos
son insuficientes.
10.7 Sección transformada
El concepto de sección transformada suele
usarse en la actualidad para calcular algunas propiedades geométricas de una sección, como la profundidad del eje neutro y
el momento de inercia de secciones de vigas
sujetas a cargas de servicio. Estas propiedades geométricas se requieren para el cálculo
de esfuerzos, agrietamiento y deflexiones.
323
El artificio de la sección transformada
se utilizó en el pasado en el análisis de
esfuerzos en vigas bajo cargas de trabajo,
considerando un comportamiento elástico
de los materiales, para reducir el problema
de una sección compuesta de dos materiales
(concreto y acero) al de una sección homogénea (generalmente de concreto).
Para obtener la sección transformada de
una viga, se sustituye el área de acero por
un área equivalente de concreto, que se
determina multiplicando el área de acero
por la relación entre el módulo de elasticidad del acero y el del concreto. Esta relación modular se representa usualmente con
la letra n.
Para ilustrar el empleo de la sección
transformada, supóngase la viga mostrada
en la figura 10.1 5a. En la figura 10.1 56 se
muestran las distribuciones de deformaciones unitarias y las fuerzas internas resultantes en la sección. Bajo cargas de servicio, el
esfuerzo en el acero es menor que el límite
b
A$
e
i c Viga equivalente de
concreto
T = nA, f,
Figura 10.1 5 Artificio de la sección transformada.
324
Agrietamiento
de fluencia, por lo que puede calcularse con
la ecuación fs = Es E,. La distribución de esfuerzos de compresión en el concreto puede
suponerse lineal, ya que dichos esfuerzos
son relativamente pequeños (del orden de
0.5 f',). En la figura 10.1 5c se muestra la viga equivalente, en la que se ha sustituido el
área de acero As por un área de concreto
igual a nA,. La sección transversal resultante
recibe el nombre de sección transformada.
La fuerza de tensión en la sección transformada puede obtenerse multiplicando el área
nA, por el esfuerzo ft; éste, a su vez, puede
calcularse multiplicando la deformación
unitaria al nivel correspondiente, E,, por el
módulo de elasticidad del concreto, E,, ya
que se supone que el acero se ha sustituido
por concreto. Puede verse que la fuerza de
tensión en la viga de la figura 10.1 5b es
igual a la fuerza de tensión en la sección
transformada de la figura 10.1 5c. Por lo
tanto, los esfuerzos y la profundidad del eje
neutro son iguales en la sección real y en la
sección transformada de la viga.
E l artificio de la sección transformada
puede emplearse para calcular la profundidad del eje neutro, c, dato necesario para
aplicar las ecuaciones de ancho de grietas
presentadas anteriormente. Para ello se calcula la posición del centroide de la sección
transformada, igualando el momento de primer orden del área de concreto a compresión con el momento de primer orden del área
de acero transformada. Por ejemplo, en la
sección transformada de la figura 10.1 5c, se
obtiene
Despejando el valor de c de esta ecuación
se obtiene la profundidad del eje neutro. En el
ejemplo 10.1 se ilustra este procedimiento.
En vigas con refuerzo de compresión, se
sustituyen tanto el refuerzo de tensión como
el de compresión por las áreas transformadas nAs y nAlS, respectivamente, como se
muestra en la figura 10.1 6. Para tener en
cuenta el área de concreto desplazado por
las barras de compresión, puede emplearse el término (n - 1 ) Als en vez de nA', y así
evitar la duplicación de áreas en la zona de
compresión. En el cálculo de la profundidad
del eje neutro es suficientemente preciso
considerar únicamente el acero de tensión
al establecer la sección transformada, con lo
cual se simplifican los cálculos numéricos.
La validez del artificio de la sección
transformada depende de que el concreto y
el acero tengan exactamente las mismas deformaciones unitarias, lo cual sólo puede lograrse si existe adherencia perfecta entre los
dos materiales.
El artificio de la sección transformada
se puede usar también para la revisión de esfuerzos bajo cargas de trabajo en elementos
sujetos a compresión o a tensión axial. Sin
embargo, se tiene el problema de que el
módulo de elasticidad del concreto, y por lo
Figura 10.16 Sección transformada de un elemento con refuerzo de tensión y compresión.
Recomendaciones sobre agrietamiento de diversos reglamentos
tanto el valor de la relación modular n, varían con el tiempo y otros factores. Algunos
reglamentos toman esto en cuenta modificando el valor de n que debe usarse para
transformar el acero de compresión.
10.8 Recomendaciones sobre
agrietamiento de diversos
reglamentos
Las recomendaciones de los reglamentos sobre agrietamiento siguen dos enfoques diferentes. Uno de ellos consiste en dar fórmulas
para estimar anchos de grietas y valores de los
anchos permisibles, según las diversas condiciones de servicio. Véanse, por ejemplo, las
recomendaciones del Manual de la Comisión
Federal de Electricidad [10.7]. Según el otro
enfoque, teniendo en cuenta que las fórmulas para cálculo de ancho de grietas sólo
tienen valor indicativo, se trata el problema en forma indirecta, estableciendo reglas
que conduzcan a un detallado del refuerzo que evite agrietamiento excesivo. En general no se considera la separación posible de
las grietas, puesto que ésta no influye significativamente en la apariencia ni en el riesgo de
corrosión. A continuación se reseñan algunas
recomendaciones típicas.
325
en donde:
s = separación centro a centro entre las
barras más cercanas a una superficie
en tensión, en cm (mm en SI).
f, = esfuerzo de trabajo en el acero, en
kg/cm2 (MPa en SI), que puede tomarse como 0.6 fy o calcularse con el
artificio de la sección transformada.
c, = recubrimiento en cm (mm en SI) de la
cara de la viga más cercana en tensión a la superficie exterior de la barra, o sea, el menor de los valores
mostrados en la figura 10.1 7.
Figura 10.17 Significado de la notación utilizada
en la ecuación 10.22.
10.8.1 Reglamento ACI 3 18-02
Este reglamento está basado en la propuesta
de Frosch [10.2 1 y figura 1 0.1 31. Se establece una ecuación que limita la separación
máxima-entre las barras longitudinales en
función del espesor de su recubrimiento de
concreto. Esta ecuación es:
s =95bBOQ
- 2 , ~ ~ ~ 3 8 8
h
51)
La ecuación 10.22 representa aproximadamente la línea de diseño propuesta por
Frosch en la figura 10.1 3. Con un valor usual
de 5 cm para el recubrimiento libre, c,, y
con un esfuerzo f, del 60 por ciento de 4200
kg/cm2, la separación, S, resulta de 26 cm,
mientras que en la figura 10.1 3 sería de 30 cm.
Para recubrimientos pequeños, la separación
máxima sería de 30 cm, que es la parte horizontal de la figura 10.13. En el ejemplo 10.2
se ilustra la aplicación de este método que,
como se verá, resulta muy sencilla.
32 6
Agrietamiento
Las disposiciones de este reglamento están
basadas en la propuesta de Gergely y Lutz
(ecuación 10.1 4). Se establece que el valor
del término
no exceda de 20,000 kglcm para condiciones severas de exposición, de 30,000 kglcm
para condiciones intermedias y de 40,000
kglcm para condiciones normales. El significado de los parámetros de esta expresión
son los mostrados en la figura 10.1 0 y en la
explicación de la ecuación 10.14, sustituyendo tb por dc. La definición de las condiciones de exposición se presenta en el
capítulo de Durabilidad de las NTC.
Como se puede ver, lo que se hace en
este reglamento es limitar, de manera indirecta, el ancho de las grietas esperadas a
valores que van de 0.2 a 0.4 mm, según las
condiciones de exposición.
10.8.3 Manual de la Comisión Federal de
Electricidad (10.7)
En el Manual de la Comisión Federal de Electricidad se ha adoptado la ecuación (10.1 4)
propuesta por Gergely y Lutz para el cálculo del ancho de grietas. Los anchos admisibles según estas recomendaciones aparecen
en la tabla 10.1.
10.9 Ejemplos
Ejemplo 10.1 Cálculo de ancho de grietas
En este ejemplo se ilustra la aplicación de
los cuatro métodos de predicción de ancho
máximo de grietas presentados en la sección
10.4. Se estudia el caso de una viga libremente apoyada sujeta a una carga de ser-
vicio o carga de trabajo de 2 ton/m. En los
cuatro métodos se requiere conocer el
esfuerzo en el acero, f, correspondiente a
las cargas de servicio. Para obtener este valor se calculó primero el momento flexionante, que tiene un valor de 9 ton-m. Para
calcular f, puede usarse el artificio de la sección transformada descrito en la sección
10.7. S.in embargo, dado el carácter poco
preciso de los cálculos de agrietamiento,
suele ser suficiente utilizar un valor aproximado de z; el valor utilizado en el ejemplo
fue (718)d. E l cálculo de la profundidad del
eje neutro se hizo usando el artificio de la
sección transformada.
Al final del ejemplo se presenta un resumen de los resultados obtenidos que indica
que las diferencias son poco significativas.
Ejemplo 10.2 Revisión de agrietamiento según
el Reglamento ACI 3 18-02
En este ejemplo se comprueba si la sección
mostrada cumple con los requisitos del Reglamento ACI 318-02. Se trata de una viga
reforzada con 5 barras del número 8, para la
cual se ha fijado un recubrimiento lateral de
los estribos de 3 cm y un recubrimiento libre inferior de 5 cm para las barras longitudinales.
Primero se calcula el valor de c, con
respecto a la cara lateral de la viga. El valor resultante es igual a los 3 cm del recubrimiento libre de los estribos más el diámetro
de los estribos que es de 1 cm. Después, el
valor de c, correspondiente a la cara inferior
de la viga. Éste es el valor especificado de 5
cm. La separación centro a centro entre las
barras de la viga resulta de 12.2 cm. E l valor
de 2.3 cm que aparece en este cálculo es
igual al diámetro del estribo más el radio de
la barra longitudinal. El esfuerzo de trabajo
en el refuerzo de tensión se calculó como
0.6fy. Después se calculó el valor de S con la
ecuación 10.22 usando el menor valor de
c , o sea, el correspondiente al recubrimien-
Ejemplos 327
32 8
Agrietamiento
Ejemplos
329
33 0
Agrietamiento
Ejemplos
33 1
3 32
Agrietamiento
Ejemplos
to lateral. E l valor calculado resulta mucho
mayor que la separación entre las barras de
la viga, por lo que se cumple ampliamente
con el Reglamento.
Obsérvese en este ejemplo que la ecuación 10.22 no incluye el efecto de la resistencia del concreto. Tampoco se toma en
cuenta, como en versiones anteriores del
Reglamento, si las vigas son exteriores o
interiores. Los valores calculados con la
ecuación 10.22 resultan por lo general muy
grandes en comparación con las separaciones entre barras usuales en la práctica, para
el caso de vigas. Por lo tanto, es raro que no
se cumplan los requisitos de agrietamiento
de este reglamento.
Ejemplo 10.3
La sección de este ejemplo fue dimensionada
para resistir un momento a nivel de cargas de
servicio igual a 20 ton-m. El valor del esfuerzo del acero fue calculado por medio de la
sección transformada. Podría haberse estima-
333
do suponiéndolo igual a 0.6 fy = 3600 kg/cm2,
o aplicando la ecuación
,
M
t, = =As
en donde z es el brazo del par interno, que
puede tomarse igual a 0.9 d. Para los datos
del ejemplo:
-
Se aprecia que cualquiera de estos procedimientos da valores semejantes al obtenido
recurriendo al artificio de la sección transformada, por lo que no suele justificarse la labor numérica que implica la aplicación de
este último método.
E l valor de f, 3JcilÁ
calculado fue inferior
hl
al de 40,000 kg/cm especificado por las
NTC-04 como límite superior para condiciones normales de exposición.
3 34
Agrietamiento
Ejemplos
335
33 6
Agrietamiento
-
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Ejercicios
33 7
Ejercicios
10.1
Calcular los anchos de grietas de la siguiente
viga por medio de los cuatro criterios expuestos
en la sección 10.4.
10.2
Revisar si en la siguiente sección se cumple la
especificación del Reglamento ACI 318-02 para
control de agrietamiento. Suponer uso exterior.
1.8 ton/m (carga de servicio;
f', = 250 kg/cm2
fy = 4200 kgicm2
A, = 3 barras del No. 6
A', = 2 barras del No. 6
Estribos del No. 3
25 ;C
Detalle
de
recubrimientos
Estribos del No. 3
CAP~TULO
11
Deflexiones
11.1 Introducción. /11.2 Deflexiones bajo
cargas de servicio de corta duración. h 1 . 3
Deflexiones bajo cargas de servicio de
larga duración (deflexiones diferidas).
/11.4 Deflexiones permisibles. /11.5 Ejemplos de cálculos de deflexiones.
11.1 Introducción
Los adelantos recientes en los métodos de
análisis y diseño plástico, y en el desarrollo
de aceros y concretos de alta resistencia, permiten obtener miembros esbeltos y estructuras flexibles en los cuales son significativas
las deflexiones. El cálculo de deflexiones
también es importante para la estimación de
las rigideces de elementos estructurales.
El cálculo de deflexiones tiene dos aspectos. Por un lado, es necesario calcular las
deflexiones de miembros estructurales bajo
cargas y condiciones ambientales conocidas; por otro, deben establecerse criterios
sobre límites aceptables de deflexiones.
Ambos aspectos son complejos por las siguientes consideraciones.
En relación con el primer aspecto, se
han hecho numerosas investigaciones sobre
el método para el cálculo de deflexiones,
algunas de las cuales se presentan más adelante. Sin embargo, hasta la fecha el problema ha sido estudiado principalmente en
forma determinística, mientras que en realidad es de naturaleza probabilista, ya que las
deflexiones medidas en ensayes de vigas
teóricamente iguales presentan una gran
dispersión, inclusive cuando se ensayan en
el laboratorio. Por consiguiente, el cálculo
de deflexiones debería abarcar no solamente la estimación del valor medio esperado
-de las deflexiones en varias vigas, sino también la determinación de la probabilidad de
obtener una deflexión dada, dentro de cierto intervalo de valores; se han hecho muy
pocos estudios de dicho tipo [11.17, 1 1.1 8,
¡1.331. El problema de calcular las deflexiones de miembros de estructuras reales es
aún más difícil que el de estimar las deflexiones de vigas ensayadas en laboratorios.
Los siguientes son algunos de los factores
más importantes que lo complican. El comportamiento del concreto es función del
tiempo y, por consiguiente, en cualquier enfoque riguroso debe tenerse en cuenta la
historia de carga del miembro investigado.
En la práctica, esto no es posible generalmente, ya que las condiciones de carga son
muy variables, tanto en magnitud como en
el tiempo de aplicación. También son difíciles de predecir las variaciones de humedad
y temperatura con el tiempo, las cuales tienen influencia sobre las deflexiones a largo
plazo. N o es fácil calcular los efectos de la
interacción del miembro considerado con
otros elementos estructurales y no estructurales. La distribución aleatoria de las grietas
a lo largo del miembro produce variaciones
en los momentos de inercia que deben considerarse en el cálculo de las deflexiones.
Aún más, no resulta práctico tomar en
cuenta las variaciones reales del momento
de inercia debidas a cambios en la cantidad
del acero de una sección a otra.
El segundo aspecto, o sea, la limitación
de deflexiones, es importante desde dos
puntos de vista. En primer lugar, las deflexiones excesivas de un miembro pueden
producir daños en otros miembros estructu-
340
Deflexiones
rales o, más frecuentemente, en los elementos no estructurales, como muros divisorios,
o acarrear problemas, como acumulación
de aguas en azoteas. Los valores de las deflexiones permisibles dependen, desde este
punto de vista, de varios factores, tales como
el tipo de elementos no estructurales,
tipo de conexión entre el miembro estructural y otros elementos, estructurales o no, y del método de construcción utilizado. En segundo lugar, a veces es significativa la respuesta humana ante las deflexiones de los
miembros. Las deflexiones excesivas no son
toleradas por los usuarios de la estructura,
ya porque producen una sensación de inseguridad, ya por razones de orden estético.
La determinación de límites aceptables
para las deflexiones desde estos dos puntos
de vista han recibido poca atención por parte de los investigadores, aunque se han esta-
Sección A-A
blecido algunas reglas empíricas que limitan
las relaciones deflexión/claro, o bien, los valores absolutos de las deflexiones. En la sección 11.4 se comentan algunas de las reglas
que han sido propuestas.
Las consideraciones anteriores se refieren a las deflexiones bajo cargas de servicio.
Las deflexiones al colapso de un elemento
también son de interés para ciertos aspectos
del diseño estructural, ya que son una medida de la capacidad de estructuras hiperestáticas para absorber energía. Este tema no se
trata en este texto.
En las siguientes secciones se exponen
métodos para el cálculo de deflexiones de
vigas bajo cargas de servicio de corta y larga duración. No se incluye el cálculo de deflexiones de losas. E l tratamiento de este
problema puede consultarse en las referencias
11 .l,11.2 y 11.1 9. Se recomienda especial-
Sección B-B
Sección C-C
Figura 11.1 Distribuciones de agrietamiento, deformaciones unitarias y esfuerzos
de una viga bajo carga de servicio.
Deflexiones bajo cargas de servicio de corta duración
mente la referencia 11.34, ya que presenta
un método sencillo que permite tomar en
cuenta los factores más importantes.
11.2 Deflexiones bajo cargas de
servicio de corta duración
1 1.2.1 Descripción del fenómeno y
variables principales
En la figura 1 1.1 se muestran esquemáticamente los estados de agrietamiento, esfuerzos
y deformaciones unitarias en varias secciones
transversales de una viga sujeta a flexión. Estos estados corresponden a cargas de servicio.
En la región en que el momento externo
es menor que el que produce el agrietamiento
del concreto en la zona de tensión, Magrel
elemento no tiene grietas, el concreto trabaja a tensión y contribuye a resistir el momento externo, y las deformaciones unitarias son
pequeñas: sección A-A.
341
En la región en que el momento externo
es mayor que el de agrietamiento, se distinguen dos casos. El primero, sección B-B, es el
de las secciones transversales en que se han
formado grietas de tensión. En estas secciones, el concreto de la zona de tensión no contribuye apreciablemente a resistir el momento
externo. El segundo caso, sección C-C, corresponde a secciones que no coinciden con grietas de tensión. En estas secciones, el concreto
de la zona de tensión contribuye parcialmente a resistir el momento externo, y los esfuerzos y deformaciones son menores que los de
una sección que coincide con una grieta.
Si se conoce el estado de deformaciones unitarias en una sección transversal es
posible calcular la curvatura en esa sección
dividiendo la deformación unitaria en la fibra de concreto más alejada, E,, entre la profundidad del eje neutro, c, siempre que se
acepte una distribución lineal de deformaciones unitarias a lo largo del peralte. En
la figura 11.2 se presenta la distribución
aproximada de curvaturas a lo largo de la
Figura 11.2 Distribución de curvaturas en la viga de la figura 1 1 . l .
342
Deflexiones
viga, correspondiente a los estados de deformaciones de la figura 1 1 . l . Esta distribución
es irregular, pues se presentan curvaturas
mayores en las secciones que coinciden con
grietas. Una vez conocida la magnitud y distribución de curvaturas a lo largo de la viga,
es posible calcular las deflexiones por medio
de los métodos clásicos, como los teoremas de
área-momento o de la viga conjugada.*
El cálculo de deflexiones a partir de los
diagramas de curvaturas no es práctico para
elementos de concreto reforzado, por lo laborioso de calcular las curvaturas de diferentes secciones y porque no se conoce con
precisión la distribución de curvaturas en las
zonas vecinas a las grietas de flexión. Tampoco pueden predecirse con precisión los
lugares en que se forman las grietas de flexión. Por lo tanto, se han propuesto métodos
simplificados, que se describen en la sección
11.2.2, donde se toman en cuenta las variables
principales que influyen en las deflexiones.
Las variables principales, según se deduce de la descripción del comportamiento,
son las siguientes:
a) Resistencia a la tensión del concreto.
A mayor resistencia, menores deflexiones, porque es mayor la zona que
no tiene grietas y es mayor la contribución al momento resistente del
concreto a tensión.
b) Módulo de elasticidad del concreto. A
mayor módulo, menores deflexiones,
porque las deformaciones unitarias
y por consiguiente, las curvaturas, son
menores.
C ) Porcentaje de refuerzo a tensión. A
menor porcentaje, mayores deflexiones, porque los esfuerzos y deformaciones unitarias en el concreto y en
el acero son mayores.
* Para un tratamiento amplio de estos teoremas, véase, por
ejemplo, la referencia 11.20.
d) Agrietamiento del elemento. A mayor
agrietamiento, mayores deflexiones,
porque los picos de curvaturas (figura 1 1.2) son mayores. Las principales
variables que influyen en el agrietamiento se describen en el capítulo
10 de este texto.
En la siguiente sección se presentan algunos métodos para el cálculo de deflexiones de vigas bajo cargas de servicio de corta
duración, y se exponen métodos simplificados para considerar las variables mencionadas. Con rigor, lo que se pretende calcular
son las deflexiones "inmediatas", es decir,
las que se presentan inmediatamente después de aplicadas las cargas.
1 1.2.2 Métodos simplificados para el
cálculo de deflexiones inmediatas
En los métodos simplificados, las deflexiones
se calculan como si se tratase de un elemento de un material homogéneo y elástico, para
el cual fueran aplicables las siguientes ecuaciones de Mecánica de Materiales [11.20]:
Con esta hipótesis, ya no es necesario
calcular la magnitud y distribución de curvaturas a lo largo del elemento.
Las diferencias entre los distintos métodos consisten básicamente en los valores del
módulo de elasticidad, E, y del momento de
inercia, l. Ambas cantidades resultan difíciles de determinar para un elemento de concreto reforzado.
La siguiente descripción se limita, pues,
a la forma en que se propone calcular estos
valores en cada método.
Deflexiones bajo cargas de servicio de corta duración
Métodos de Yu y Winter [11.18]
Estos autores han propuesto dos métodos. En
el primero se considera que E es el módulo
de elasticidad del concreto, E,, y que 1es el
momento de inercia de la sección agrietada
transformada. (En la sección 10.7 se explica
el concepto de sección transformada.) En vigas libremente apoyadas se usa el valor de
momento de inercia, 1, en el centro del claro, 'mientras que en vigas continuas se usa el
promedio de los valores de 1en las zonas de
momento positivo y negativo. En este primer
método no se toma en cuenta que el comportamiento de una viga de concreto reforzado es esencialmente diferente antes y
después de agrietarse el concreto de la zona
de tensión. Tampoco se considera la contribución del concreto que trabaja a tensión
entre grieta y grieta.
E l segundo método es un refinamiento
del primero que toma en cuenta la contribución del concreto que trabaja a tensión entre grieta y grieta. Para no pasar por alto esta
contribución, las deflexiones calculadas con
el primer método, o sea, con el momento de
inercia de la sección agrietada transformada,
se multiplican por el siguiente factor correctivo:
b
= ancho del alma en la zona de
tensión
Mmáx= momento máximo bajo cargas
detrabaio
h
c
Los métodos de Yu y Winter fueron verificados con los resultados de noventa ensayes. Las deflexiones experimentales, en su
mayoría, no difieren de los valores calculados
en más de 20 por ciento. La verificación indicó que el segundo método proporciona mejores resultados que el primero, pero la
diferencia entre ambos es pequeña.
Método del Reglamento ACI 3 18-02
Este método está basado en los estudios realizados por Branson [ ll .1, 11.2, 11.5, 11.1 41,
según los cuales el efecto del agrietamiento
del concreto puede tomarse en cuenta usando
en los cálculos un momento de inercia efectivo promedio, le,
a lo largo del elemento. El
valor de le
que se presenta en el Reglamento
ACI es el siguiente
Mmáx
= peralte total
= profundidad del eje neutro
(sección 10.7)
Mmáx
Mages el momento de agrietamiento de la
sección homogénea de concreto. El valor de
Magse obtiene de la fórmula de flexión:
donde fr es el módulo de rotura, que se toma
(0.63
en sistema SI); Ig
es
como 2
el momento de inercia de la sección completa, sin considerar el refuerzo, y y* es la
distancia del centroide a la fibra más alejada
es el momento máximo coen tensión. Mmáx
rrespondiente al nivel de carga para el cual
se estima la deflexión. 1 es el momento de
ag
inercia de la sección agrietada transformada.
Mediante el uso del momento de inercia efectivo, le,
se pretende proporcionar
e 1 en función del
una transición entre Ig
ag
nivel de agrietamiento reflejado por la relación MaglMmáx.
a
donde:
343
fi
344
Deflexiones
Puesto que la carga viva actúa junto
con la carga permanente, para obtener la
parte de la deflexión correspondiente a
ella, deberán calcularse primero las deflexiones debidas a la carga permanente sola y
a la carga permanente más la carga viva. Estas deflexiones se calculan con los valores
corresdel momento de inercia efectivo, le,
pondiente a cada uno de los niveles de carga.
La deflexión por carga viva será la diferencia
entre los dos valores. El valor de la deflexión
debida a carga viva se requiere porque algunas de las limitaciones de deformación que
establece el Reglamento ACI 31 8-02 se dan
en función de dicho valor.
Para vigas continuas, el Reglamento ACI
31 8-02 indica que se tome como valor del
el promedio
momento de inercia efectivo, le,
de los valores correspondientes a las zonas de
momento positivo y momento negativo. Así,
para una viga con momentos en ambos extremos se tendría
donde le,
e Ie2
son los momentos de inercia
el momenefectivos para los extremos, e Ic,
to efectivo de la zona central. Si la viga tiene momento en un extremo solamente, el
momento efectivo promedio será
donde Iex
es el momento de inercia efectivo
en el extremo continuo.
Si la viga es de sección constante se permite tomar como le
el correspondiente al centro del claro para vigas libremente apoyadas y
vigas continuas, y el del apoyo para voladizos.
Esto simplifica considerablemente los cálcu-
los sin que se afecte la precisión significativamente, puesto que experimentalmente se ha
comprobado que la rigidez de la zona central
es la que mayor influencia tiene en la deformación [11.21, 11.221.
Según el Comité ACI 435 [11.211, con
base en los estudios de Branson [11.11, puede obtenerse una mayor precisión que con
los métodos anteriores, si se utiliza un momento de inercia efectivo promedio determinado con las siguientes expresiones.
Para vigas con continuidad en ambos
extremos
Para vigas con continuidad en un extremo
Ic,
le,,
Ie2
e Iex
tienen el mismo sigdonde le,
nificado que en las ecuaciones 11.6 y 11.7.
Las referencias 11.16, 11.31 y 11.36
proporcionan tablas y gráficas que facilitan
el cálculo de los momentos de inercia de
secciones transformadas tanto agrietadas
como sin agrietar para vigas rectangulares y
vigas T.
Una vez determinado un valor promedio de le,
la deflexión se puede calcular con
cualquiera de los métodos clásicos como los
de área-momento o viga conjugada mencionados anteriormente 111201. Generalmente
es suficiente calcular la deflexión a la mitad
del claro, que aproxima el valor máximo
aun cuando no exista simetría de cargas y
condiciones de apoyo.
Con base en recomendaciones formuladas por Branson en la referencia 11.l,
en lugar de recurrir a los métodos clásicos que
acaban de mencionarse, cuya aplicación
puede resultar tediosa en algunos casos, las
deflexiones inmediatas al centro del claro de
vigas libremente apoyadas y de vigas conti-
Deflexiones bajo cargas de servicio de corta duración 345
nuas y en el extremo de voladizos pueden
estimarse con un grado de precisión aceptable para fines prácticos por medio de la siguiente ecuación
extremos del claro de estudio, e 1, es el de
la sección central. S i la viga es continua
únicamente en uno de los extremos, el momento de inercia correspondiente al tramo
discontinuo se supone igual a cero y como denominador de la expresión 11.1 1 se
utiliza 3.
donde M es el momento en el empotramiento,
para voladizos, y el momento a la mitad del
claro, para vigas libremente apoyadas y vigas
continuas. Para cargas uniformes K = 1215
para voladizos; la unidad, para vigas libremente apoyadas; y (1.20 - 0.20 MJ)M
,,,
para
vigas continuas. M, es el momento isostatico a la mitad del claro y M
, es el momento
neto en la misma sección. E, es el módulo
de elasticidad del concreto. Para otros tipos de
carga véanse las referencias 1 1 . l , 1 1.1 2 y
Otros métodos
11.25.
Método de las NTC-04
En las Normas Técnicas Complementarias
se presentan dos métodos. El primero es el
mismo del Reglamento ACI que consiste en
usar un momento de inercia efectivo calculado con la ecuación 11.4. Para el módulo
de rotura, fr, denominado 'f; en las NTC, se
especifica un valor de 2
para concreto clase 1 y de 1.4
para concreto clase 2.
E l segundo método, considerado como
una simplificación del anterior, consiste en
usar un momento de inercia calculado con
la sección agrietada transformada. En vigas
continuas se indica que se utilice un valor
promedio del momento de inercia calculado
con la expresión
fl
fl
e Ie2 son los momentos de inercia
donde Iei
de la sección transformada agrietada de los
Además de los métodos presentados anteriormente, se han propuesto otros que difieren
entre sí por el grado de refinamiento con que
se considera la influencia de las variables principales. Las referencias 11.1 2 y 11.26 contienen reseñas detalladas de los métodos de
mayor importancia desarrollados hasta la década de 1960. El Comité Euro-Internacional
del Concreto y la FIP presentan otro método
que consiste en usar una gráfica carga-deformación de los elementos bilineal [11.27].
Otros métodos se basan en calcular el diagrama momento-curvatura de distintas secciones
transversales de la viga y determinar las deflexiones a partir de las curvaturas, por ejemplo,
cargando la viga conjugada con el diagrama
de curvaturas, como se comentó con referencia a la figura 1 1.2. Este enfoque ha sido utilizado por Duan et al [11.331 en un método
que tiene la ventaja de poder considerar la
existencia de patines tanto en la zona de compresión como de tensión. La correlación de
las deflexiones calculadas con este método
con las medidas en varias series de ensayes es
bastante buena. Park et a l [11.371 y Ghali y
Favre [11.38] también presentan métodos basados en este enfoque. Una de las ventajas
más importantes de los métodos basados en
curvaturas es que permiten el cálculo de deflexiones hasta la falla de los elementos y no
sólo bajo cargas de servicio. Este cálculo, que
no se incluye en este texto, es importante para medir la ductilidad de los elementos, la
cual es fundamental para el diseño de estructuras en zonas sísmicas.
3 46
Deflexiones
11.3 Deflexiones bajo cargas de
servicio de larga duración
(deflexiones diferidas)
1 1.3.1 Descripción del fenómeno y
variables principales
Si una viga se deja bajo carga sostenida durante un largo periodo de tiempo, se observa
que se forman nuevas grietas, se abren más las
grietas existentes y las deflexiones aumentan
hasta duplicar o triplicar su magnitud. La explicación de todo esto se encuentra en los fenómenos de contracción y flujo plástico del
concreto que se analizan en el capítulo 2 de
este texto (véase también la referencia 11.1 0).
A continuación se describe la forma en que
influyen con el tiempo la contracción y el flujo plástico en el incremento de deflexiones.
Efecto de la contracción
Este ef'ecto se ilustra en la figura 11.3 para una
viga libremente apoyada con refuerzo de tensión únicamente. Las fibras superiores se
acortan libremente, mientras que las fibras al
nivel del acero de refuerzo se acortan menos
por la restricción del refuerzo. Las curvaturas, y por lo tanto las deflexiones, debidas a
la contracción de este tipo de elementos son
del mismo signo que las producidas por cargas transversales.
inicial
En elementos con refuerzo de tensión y
de compresión, las fibras superiores ya no se
acortan libremente, y las curvaturas y deflexiones son menores que en el caso de refuerzo de tensión únicamente. S i la sección
es simétrica y con iguales porcentajes de refuerzo de tensión y compresión, el acortamiento es el mismo en las caras superior e
inferior del elemento y, por lo tanto, no existen
curvaturas ni deflexiones debidas a contración,
excepto las ocasionadas por las variaciones
naturales en el concreto y en la colocación
de las varillas.
Las principales variables que influyen
en las deflexiones por contracción, además
de la relación entre porcentajes de refuerzo de
tensión y de compresión, son las mismas
que influyen en la contracción del concreto
simple, ya que a mayor deformación unitaria, ~ , h(figura 11.3), son mayores las deflexiones del elemento. Las deflexiones por
contracción ocurren aun cuando el elemento se encuentre descargado.
Efecto del flujo plástico
El efecto del flujo plástico en el cambio de
curvaturas se ilustra en la figura 11.4. La Iínea A representa los estados de deformaciones
y de esfuerzos instantáneos, y la línea B las
deformaciones y esfuerzos después de transcurrido cierto tiempo. Las deformaciones
del concreto aumentan con el tiempo, mien-
contracción
final
Figura 11.3 Efecto de la contracción en una viga con refuerzo de tensión.
Deflexiones bajo cargas de servicio de larga duración (deflexiones diferidas)
347
E por flujo plástico
,-
5
C (constante)
----------
A- .
a - - - - - - - - - -
Deformaciones
T (constante)
Esfuerzos
Figura 11.4 Efecto del flujo plástico en una viga con refuerzo de tensión.
tras los esfuerzos disminuyen, porque el eje
neutro de la sección se mueve hacia abajo. Las
deformaciones al nivel del acero de refuerzo
permanecen prácticamente constantes, según
se ha podido comprobar experimentalmente
[11.281.
El incremento de deformaciones del
concreto simple por flujo plástico se analiza
en el capítulo 2. En un elemento de concreto
reforzado, el incremento de deformaciones
ocurre bajo un estado de esfuerzos variable
debido al cambio de posición del eje neutro,
el cual, como se señaló anteriormente, hace
que disminuyan los esfuerzos de compresión.
En un elemento con refuerzo de compresión, además de la disminución de esfuerzos
en el concreto por el cambio de posición del
eje neutro, hay otra disminución por la
transferencia de esfuerzos de compresión
del concreto al acero. Por consiguiente, la
disminución de esfuerzos en el concreto es
mayor que en el caso de elementos con refuerzo de tensión únicamente. Ahora bien,
el incremento de deformaciones por flujo
plástico es mayor mientras mayores sean los
esfuerzos aplicados (capítulo 2). Entonces,
en un elemento con refuerzo de compresión, las deformaciones por flujo plástico
son menores, porque los esfuerzos disminuyen más rápidamente que en un elemento
con refuerzo de tensión únicamente.
Las principales variables que influyen
en las deformaciones por flujo plástico son
el porcentaje de refuerzo de compresión, la
magnitud de los esfuerzos aplicados y todas
las variables que influyen en las deformaciones por flujo plástico del concreto simple. Estas variables se estudian en el capítulo 2.
A diferencia del incremento de deformaciones por contracción, es necesario que un
elemento se encuentre cargado para que
ocurran deformaciones por flujo plástico.
1 1.3.2 Métodos para el cálculo de
deflexiones bajo cargas de servicio
de larga duración
Las variables que influyen en las deformaciones por contracción y flujo plástico son
demasiado numerosas para poder involucrarlas todas en un método sencillo y riguroso.
Por consiguiente, los métodos propuestos
consideran únicamente algunas de esas variables y esto de manera simplista.
Los efectos de la contracción y del flujo
plástico se consideran, por lo general, simultáneamente, aunque existen métodos para
calcular por separado dichos efectos [11.1,
11.2, 11.14, 11.291. En los métodos que se
presentan a continuación, esos efectos están
considerados simultáneamente.
348
Deflexiones
Tabla 11.1 Módulos de elasticidad modificados [l 1.81.
f',
(kg/cm2)
140
Edad al aplicar
la carga (días) 7
14
28
7
14
28
7
14
28
7
14
28
7
14
28
0.66
0.51
0.36
0.29
0.79
0.63
0.44
0.37
0.58
0.43
0.29
0.24
0.71
0.54
0.37
0.30
0.86
0.67
0.47
0.38
0.60
0.45
0.30
0.24
0.75
0.56
0.38
0.31
0.91
0.70
0.48
0.39
0.63
0.46
0.30
0.24
0.79
0.58
0.39
0.31
0.97
0.73
0.50
0.40
0.66
0.47
0.31
0.25
0.83
0.61
0.40
0.32
1.04
0.77
0.51
0.42
t 3 0 días
- 90días
a> 1 año
U
.g
3 años
.$ 5 años
6 o más
0.55
0.41
0.28
0.23
175
0.22 0.28 0.35
0.22 0.29 0.37
350
280
2 10
0.23 0.30 0.39
0.23 0.29 0.38
0.24 0.31 0.40
Los módulos modificados son iguales a los módulos instantáneos multiplicados por los factores de esta tabla.
Métodos de Yu y Winter [1 1.81
sayes. En la tabla 11.2 se presentan los factores recomendados.
Estos autores presentan dos métodos. En el
primero, el efecto del tiempo se toma en
cuenta usando un módulo de elasticidad
reducido, E., En la tabla 11.1 se presentan
los valores recomendados. El momento de
inercia se calcula usando la sección agrietada y transformada, con la relación modular n l = Es/Ect.
El segundo método consiste en multiplicar el valor de las deflexiones instantáneas
por un factor que depende del porcentaje de
acero de compresión y de la duración de la
carga aplicada. Este factor se obtuvo estadísticamente a partir de resultados de 68 en-
Método del Reglamento ACI 3 18-02
El Reglamento ACI 318-02 propone un procedimiento para calcular la deformación adicional diferida debida a la carga muerta y a la
parte de la carga viva que se considere será de
larga duración. El procedimiento consiste en
multiplicar la deflexión inmediata debida al
total de la carga que actúe en forma continua
por el factor l. dado por la siguiente ecuación
Tabla 11.2 Deflexiones totales de larga duración [l 1.81.
Duración de
la carga
A), = O
1 mes
3 meses
6 meses
9 meses
1 año
1 % años
1.58
1.95
2.1 7
2.31
2.42
2.54
8
A', = % A,
A', = A,
1.42
1.77
1.95
2.03
2 .O8
2.12
1.27
1.55
1.69
1.73
1.78
1.80
Duración de
la carga
A', = O
8
A', = % A,
A', = A,
2 años
2 l/2 años
3 años
4 años
5 años
2.65
2.72
2.78
2.87
2.95
2.1 5
2.1 6
2.1 8
2.20
2.21
1.80
1.81
1.81
1.82
1.82
-
Las deflexiones de larga duración son iguales a las deflexiones instantáneas multiplicadas por los factores 6 de esta tabla.
Las deflexiones que se obtienen con estos factores incluyen las deflexiones instantáneas.
Deflexiones permisibles
donde p' es la cuantía de acero de compresión al centro del claro para claros libremente
apoyados o continuos, y en el empotramiento, para voladizos. El factor T, que refleja el
efecto de la duración de la carga, está dado
para determinados tiempos en la tabla 11.3.
Para otras duraciones de carga puede recurrirse a la figura 11.5. El denominador del segundo término de la ecuación 11.12 refleja la
influencia del acero de compresión, que tiende a reducir las deflexiones diferidas. Para vigas continuas puede utilizarse un valor
promedio determinado como en el caso de
los momentos de inercia efectivos.
349
con base en el análisis de numerosos datos
de deformaciones de vigas.
Métodos de las NTC-O4
Las NTC estipulan un método fundamentalmente igual al Reglamento ACI, pero distinguen entre concretos clase 1 y clase 2, ya que
como se ha visto, los efectos del tiempo son
mayores mientras menor sea el módulo de
elasticidad del concreto. Así, para concretos
clase 1, las deflexiones adicionales se obtienen multiplicando las inmediatas, calculadas
como se indicó anteriormente, por el factor
Tabla 11.3 Factor de duración de carga T.
Duración
T
5 años o más
12 meses
6 meses
3 meses
La ecuación 11.1 2 fue formulada empíricamente por Branson en la referencia 11.30,
que como puede verse es igual al factor de
la ecuación 11.1 2 con el valor máximo de T.
Para concretos clase 2, el numerador de la
ecuación 11.1 3 debe tomarse igual a 4. Para
tramos continuos se indica que se utilice un
valor promedio de p' determinado en forma
semejante a la aplicada según las NTC para
determinar un valor promedio del momento de
inercia efectivo 1,.
Otros métodos
Para procedimientos para estimar deflexiones diferidas más refinados que los que se
acaban de exponer, consúltense las referencias 11.3, 11.26 y 11.36. También de interés
son los métodos propuestos por el Comité
Euro-Internacional del Concreto, especialmente el método bilineal, al que se ha hecho referencia [ l 1.271.
Duración de la carga en meses
Figura 11.5 Valores de T para la ecuación
11.1 2 (según la referencia 11 3).
11.4 Deflexiones permisibles
Se ha mencionado anteriormente que las deflexiones de elementos estructurales deben
350
Deflexiones
limitarse por dos razones: por la posibilidad
de que provoquen daños en otros elementos de la estructura, y por motivos de orden
estético.
El valor de las deflexiones permisibles
para evitar daños en otros elementos, depende principalmente del tipo de elementos y de
construcción empleados. Por ejemplo, si existe
un cancel de vidrio por debajo de una viga, y
dicho cancel está unido rígidamente a la viga,
las deflexiones permisibles deberán ser prácticamente nulas, pues por pequeñas que sean
pueden causar la rotura del cancel. En cambio, si se ha previsto cierta holgura entre la viga y el cancel, las deflexiones permisibles
pueden ser mayores. En estos casos, las deflexiones permisibles deben especificarse como
un valor absoluto. Como otro ejemplo, considérese que por arriba de la viga existe un muro con acabado de yeso. Si las deflexiones de
la viga son excesivas, puede agrietarse el acabado del muro. En este caso, es más conveniente especificar las deflexiones permisibles
como una fracción de la distancia entre los
puntos de inflexión de la viga, ya que de esta
manera se limitan mejor las curvaturas de la
viga, parámetro con el cual puede relacionarse el agrietamiento del muro. Para fijar el
valor de las deflexiones permisibles, también
debe considerarse el procedimiento de construcción. Por ejemplo, si los muros se construyen varios meses después de que se ha
terminado la estructura, ya se habrá desarrollado un porcentaje grande de las deflexiones
a largo plazo, y se reduce la probabilidad de
que se agrieten los muros. En este caso, sólo
interesan las deflexiones producidas por la
carga viva.
Desde el punto de vista estético, el valor de las deflexiones permisibles depende
principalmente del tipo de estructura y de la
existencia de líneas de referencia que permitan apreciar las deflexiones. Es obvio que las
deflexiones permisibles en una residencia deben ser menores que en una bodega. Cuando
existe una línea horizontal de referencia, las
deflexiones permisibles deben fijarse como
un valor absoluto, mientras que s i no existe
dicha referencia, es más conveniente fijar
las deflexiones permisibles como una fracción del claro de la viga.
La posibilidad de dar contraflechas es
otro factor que debe tomarse en cuenta al establecer las deflexiones permisibles. El valor
de la contraflecha puede restarse de la deflexión calculada, y la diferencia compararse
con la deflexión permisible. Sin embargo, no
deben darse contraflechas excesivamente
grandes.
Las consideraciones anteriores indican
que es difícil establecer reglas sencillas sobre deflexiones permisibles. En los incisos
siguientes se resumen las especificaciones al
respecto del Reglamento ACI 31 8 y del Reglamento del Distrito Federal.
1 1.4.1 Control de deflexiones según el
Reglamento ACI 3 18-02
El Reglamento ACI 31 8-02 permite prescindir
del cálculo de deflexiones de vigas y de losas
que trabajan en una dirección siempre que se
satisfagan los peraltes mínimos dados en la tabla 11.4 y que se trate de elementos cuya deformación no perjudique a elementos no
estructurales. Pueden aceptarse peraltes menores si se calculan las deformaciones y éstas
cumplen con las limitaciones de la tabla 11.5.
Las limitaciones de la tabla 11.4 no garantizan que en algunas situaciones no lleguen a
registrarse deformaciones excesivas, de manera
que en elementos estructurales de importancia y en condiciones de carga poco usuales,
es recomendable calcular las deflexiones con
el fin de compararlas con los valores admisibles, aun cuando se cumplan los requisitos de
la tabla 11.4 citada. Evidentemente siempre
será necesario hacer cálculos de deformaciones cuando existe riesgo de perjudicar elementos no estructurales.
Deflexiones permisibles
3 51
Tabla 11.4 Peraltes totales mínimos de vigas y losas que trabajan en una dirección cuando no se calculan las
deflexiones y cuando las deformaciones de dichos elementos no perjudican a elementos no estructurales.
Peralte mínimo, h
Elemento
Losas macizas
Vigas y losas
nervuradas
Libremente apoyada
Un extremo continuo
Ambos extremos
continuos
Voladizo
L/2 O
Ll24
Ll28
L11O
L/1 6
L/1 8.5
L/21
L18
Nota: estos valores se aplican para concreto de peso normal y acero con Iímite de fluencia fy de 4200 kg/cm2. Para otros valores de fy, multiplíquense los valores de esta tabla por el factor 0.4 + 0.00014 fy. El símbolo L representa el claro.
Tabla 11.5 Deflexiones calculadas permisibles.
Tipo de miembro
Deflexión a considerar
Azoteas que no soportan o que no están ligadas a
elementos no estructurales que puedan dañarse por
deflexiones grandes.*
Deflexión inmediata debida a
la carga viva
Pisos que no soportan o que no están ligados a
elementos no estructurales que puedan dañarse
Deflexión inmediata a la
carga viva.
Azoteas o pisos que soportan o que están ligados
a elementos no estructurales que puedan dañarse
por deflexiones grandes.
La parte de la deflexión total que
ocurre después de que se ligan los
elementos no estructurales (la suma
de la deflexión de larga duración
debida a todas las cargas sostenidas
y la deflexión inmediata debida a
cualquier carga viva adicional).
Azoteas o pisos que soportan o que están ligados
a elementos no estructurales que no puedan sufrir
daños por deflexiones grandes.
Deflexión
permisible
L1180
l
*Este límite puede no ser suficiente para evitar el encharcamiento del agua. El símbolo L representa el claro.
11.4.2 Control de deflexiones según el
Reglamento del Distrito Federal
El Reglamento del Distrito Federal [11.32]
establece limitaciones de deformación iguales
para todos los materiales de construcción.
La deflexión máxima de vigas y losas, incluyendo los efectos a largo plazo, se fija en
0.5 cm más el claro entre 240. S i la deformación de la viga o losa puede perjudicar
a elementos no estructurales, la deflexión
que pueda presentarse después de la colocación de dichos elementos se limita a 0.3 cm
más el claro entre 480. Para elementos en
voladizo, los límites anteriores se pueden duplicar.
3 52
Deflexiones
11.4.3 Recomendaciones adicionales
para e l control de deflexiones
Tanto en la etapa de diseño estructural como
durante la construcción, se pueden seguir
algunas recomendaciones sencillas para reducir las deflexiones.
En el diseño resulta conveniente utilizar
relaciones de refuerzo relativamente bajas,
ya que esto conduce a vigas más peraltadas
con momentos de inercia grandes. E l comité
ACI 435 recomienda relaciones de refuerzo
entre 0.25 y 0.40 de la relación balanceada
pb [11.36]. También recomienda usar acero
de compresión aunque no se requiera por
resistencia, ya que este acero reduce las deflexiones de larga duración producidas por
la contracción y el flujo plástico, según se
explicó en la sección 11.3.1.
En la etapa de construcción, es importante que el curado del concreto se empiece lo
más pronto posible y se matenga tanto como
se pueda. De esta manera, el concreto adquiere su resistencia y su módulo de elasticidad a edades menores y, por otra parte, se
reducen la contracción y el flujo plástico.
También se recomienda retrasar la aplicación
de las primeras cargas tanto como sea posible,
para dar tiempo a que aumente el módulo de
elasticidad del concreto. Especial cuidado debe tenerse en que el apuntalamiento de un piso no induzca cargas excesivas en el piso
inferior, sobre todo cuando el concreto no ha
alcanzado su resistencia de diseño.
11.5 Ejemplos de cálculos de
deflexiones
Ejemplo 11.1 Cálculo de las deflexiones de
una viga de concreto libremente apoyada
por los métodos de Yu y Winter.
En este ejemplo se ilustra el procedimiento de
cálculo de deflexiones de una viga libremen-
te apoyada, usando los dos métodos de Yu y
Winter. Se calculan deflexiones bajo cargas
de corta duración y deflexiones a largo plazo.
La deflexión máxima de una viga libremente apoyada y con carga uniformemente
distribuida [11.20] obtenida mediante la resolución de la ecuación 11.l,es
Para calcular el valor de E se usó la siguiente ecuación propuesta en las NTC-04
para concreto clase 1
El valor del momento de inercia, 1, se
calculó con las ecuaciones propuestas en
los distintos métodos empleados. Cuando
fue necesario calcular el momento de inercia de la sección agrietada y transformada,
se utilizaron los principios expuestos en la
seción 10.7.
Los dos métodos de Yu y Winter para
cargas de corta duración dan resultados semejantes. El segundo método pretende tener
en cuenta el hecho de que las vigas no se
agrietan en toda su longitud.
Para calcular la deflexión de larga duración por el primer método de Yu y Winter es
necesario conocer la edad del concreto al
aplicar la carga y la duración de la carga. En
el ejemplo se supuso que la edad del concreto era de 28 días y la duración de la carga de un año. En la expresión para calcular
la deflexión debe utilizarse el momento de
inercia de la sección agrietada y transformada. Para determinar el valor de la relación
modular, ni, necesaria en estos cálculos, debe usarse el módulo de elasticidad reducido,
Ect, que se obtiene de la tabla 11.1 para las
condiciones del problema.
Ejemplos de cálculos de deflexiones
353
3 54
Deflexiones
Ejemplos de cálculos de deflexiones
355
356
Deflexiones
Ejemplos de cálculos de def1exion.e~ 357
Ejemplo 11.2 Revisión de la deflexión de una
viga continua según el Reglamento ACI 318-02
En este ejemplo se muestra cómo comprobar si
se satisfacen los requisitos en cuanto a deflexión admisible que establece el Reglamento
ACI 31 8-02 para vigas cuya deformación
puede afectar a elementos no estructurales.
En el ejemplo se considera que dichos elementos se colocan inmediatamente después
del descimbrado. Así la deformación que
puede dañarlos será exclusivamente la diferida debido a la carga sostenida, es decir, la
carga muerta y la porción de carga viva que
se estima actuará en forma continua (en este
caso 50 por ciento) y la deflexión inmediata
debida a la carga viva. La deflexión inmediata debida a carga muerta se registra antes de
colocados los elementos no estructurales
de manera que no los afecta. (Por sencillez
se supone que el peso de los elementos no
estructurales es despreciable.) Por otra parte,
una posible deformación inmediata excesiva
debida a carga muerta puede compensarse
previendo una contraflecha adecuada. El Reglamento limita a U480 el valor de la suma
de la deflexión inmediata debida a la carga
viva y la deflexión diferida debida a la carga
sostenida, siendo L la longitud del claro.
Para poder determinar las deflexiones
inmediatas de acuerdo con las indicaciones del
Reglamento ACI, se calcularon los momentos de inercia efectivos en las zonas de momento positivo y negativo de la viga para
tres niveles de carga: carga muerta únicamente, carga muerta más el total de la carga
viva y carga sostenida (carga muerta más el
50 por ciento de la carga viva). Los momentos
negativos utilizados son los correspondientes a los paños de los apoyos; pueden también emplearse los momentos negativos en
los centros de los apoyos, sin que resulten
diferencias significativas.
El momento de inercia efectivo promedio
para el cálculo de la deflexión inmediata debida a la carga muerta, resultó igual al de la
sección no agrietada, Ig. El requerido para el
cálculo de la deflexión inmediata debida a
carga muerta más el total de la carga viva se
determinó de tres maneras; A con la ecuación
11.6, B considerándolo igual al de la zona de
momento positivo, y C con la ecuación 11.8.
Los valores obtenidos con los métodos A y C
son parecidos, mientras que el correspondiente al método B, el más sencillo, fue algo menor, lo que da resultados conservadores. En el
ejemplo, las deflexiones inmediatas tanto
para esta condición de carga como para la correspondiente a la carga sostenida, se calcularon con base en el método C.
La deflexión inmediata debida a carga
viva se calculó como la diferencia entre la
correspondiente a la carga muerta más el total de la carga viva y la correspondiente a la
carga muerta. Este criterio implica el mayor
nivel de agrietamiento posible, lo que conduce a resultados conservadores. La deflexión inmediata debida a carga sostenida se
determinó para poder estimar la deformación diferida ocasionada por ella.
Los cálculos de deflexiones inmediatas
se efectuaron con la expresión:
donde
M, = momento al centro del claro
Mi = momento en el apoyo izquierdo
Md = momento en el apoyo derecho
Esta expresión, que da la deflexión al
centro del claro, puede deducirse a partir del
principio de la viga conjugada. Véase, por
ejemplo, el inciso 14.2 de la referencia 11.23.
Puede también utilizarse la ecuación 11.1 0.
El efecto diferido de la carga sostenida
se calculó con un valor promedio de los valores de d correspondientes a las zonas de
momento negativo y momento positivo. E l
3 58
Deflexiones
promedio se obtuvo con un criterio análogo
al dado por la ecuación 1 1.8 para estimar un
valor promedio del momento de inercia
efectivo. Al aplicar la ecuación 11.12 se utilizó un valor de T igual a 2, según la tabla
11.3, que corresponde a una duración de 5
años o más.
La deflexión calculada de 0.99 cm resultó inferior a la permisible para las condiciones del ejemplo, L/480 = 1.88 cm.
Ejemplos de cálculos de deflexiones
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Ejemplos de cálculos de deflexiones
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Deflexiones
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Deflexiones
Ejemplos de cálculos de deflexiones
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Deflexiones
-Ejemplo 1 1.3 Revisión de la deflexión de
un -voladizo según las NTC-O4
La deformación excesiva de voladizos es un
problema frecuente, de manera que es aconsejable seguir un criterio conservador en el
cálculo de sus deflexiones. En este ejemplo
se utilizó el método de la sección transformada para el cálculo del momento de inercia
de la sección transversal, el cual es más conservador que el del momento de inercia
efectivo, ambos permitidos en las NTC-04.
Para la deflexión admisible, también de acuerdo con las NTC, se duplicó el valor permitido
para vigas simplemente apoyadas o continuas. La deflexión calculada resultó menor
que la admisible.
Las NTC-04 no mencionan el caso de
voladizos específicamente para establecer
en qué sección se debe calcular el momento de inercia. En el ejemplo, siguiendo el
mismo criterio del Reglamento ACI-02, se ha
tomado como momento de inercia el correspondiente a la sección del apoyo. No es necesario, en el caso de voladizos, considerar
la variación de los momentos de inercia según las posibles variaciones del refuerzo a lo
largo del elemento.
Ejemplos de cálculos de deflexiones 367
3 68
Deflexiones
Ejemplos de cálculos de deflexiones
Ejemplo 11.4 Cálculo de la deflexión en el
centro del claro de una viga continua, según
las NTC-04, con sistema de unidades SI
Se trata en este ejemplo de ilustrar el cálculo de la deflexión en una viga continua fabricada con concreto clase 2, en la cual el
40 por ciento de la carga viva actúa en forma
permanente. Las dimensiones, las resistencias del concreto y del acero, y los valores
de las cargas se han expresado en unidades
SI. Se muestra el diagrama de momentos flexionantes, cuya obtención no se incluye, en
términos de los coeficientes de wt2. Obsérvese que el momento estático total, o sea, la
suma del promedio de los momentos negativos y del momento positivo al centro del
claro, es igual a wt2/8, lo cual es un requisito del equilibrio estático.
En este ejemplo se utilizó también el método de la sección transformada. Al calcular
el momento de inercia en la sección de los
apoyos, se consideró una sección rectangular, ya que el patín constituido por la losa
queda en la zona de tensión. El módulo de
elasticidad del concreto es el que corresponde a concreto clase 2. En la zona de compresión, el área transformada de acero se
calculó usando el término ( n - 1) en vez de
n para tomar en cuenta el área de concreto
desplazada por el acero.
En la sección al centro del claro, se
calculó la profundidad del eje neutro, x, suponiendo primero que dicho eje caía dentro
del patín de la viga T. Resultó de esta manera un valor de x de 151.4 mm, mayor que los
100 mm que mide el patín. Por lo tanto, se
repitió el cálculo suponiendo que el eje neutro caía dentro del alma. Así se obtuvo un
valor de x de 129.4 mm, mayor efectivamente que el espesor del patín. Obsérvese que el
ancho efectivo del patín, b, se calculó, co-
369
mo señalan las NTC-04, con el menor de los
tres valores siguientes: ocho veces el espesor
del patín, la octava parte del claro menos la
mitad del ancho del alma, o la mitad de la
distancia al paño del alma de la viga paralela más cercana. En este caso resultó menor
el término correspondiente a ocho veces el
espesor del patín.
Después se calculó la deflexión inmediata producida por la carga muerta y el 40 por
ciento de la carga viva, ambas a nivel de cargas de servicio. La deflexión elástica se calculó
con la ecuación 11.1 5 que, como se mencionó anteriormente, se deduce de los principios
clásicos de Mecánica de Materiales. El momento de inercia efectivo se obtuvo con la ecuación 11.1 1 que se presenta en las NTC-04 y
que le da un peso doble al momento de inercia
en el centro del claro en relación con los momentos de inercia en los extremos. Los
, Mi y Md se demomentos flexionantes M
terminaron usando los coeficientes de w12 del
diagrama de momentos. La deflexión inmediata así obtenida resultó de 21 mm. Por proporción, se calculó la deflexión inmediata bajo
carga viva total, resultando de 27.6 mm.
La deflexión diferida, adicional a la inmediata, se calculó con la ecuación 11.1 3
que especifican las NTC, pero el coeficiente
de 2 se sustituyó por 4 para tomar en cuenta
que el concreto es de clase 2. La relación promedio de acero de compresión, p', se calculó
con una ecuación semejante a la 11.1 1 para
el cálculo del momento de inercia promedio,
tal como se señala en las NTC-04. La deflexión diferida se sumó a la inmediata para
obtener la deflexión total de 81.9 mm. Obsérvese que para el cálculo de la deflexión diferida y de la deflexión total se usó sólo la
carga viva que actúa en forma permanente y,
por supuesto, la carga muerta que también
actúa permanentemente.
370
Deflexiones
Ejemplos de cálculos de deflexiones
37 1
3 72
Deflexiones
Ejemplos de cálculos de deflexiones
373
3 74
Deflexiones
Referencias
1 1.1
11.2
1 1.3
11.4
11.5
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1 1.6
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11.1 4 Branson, D. E. Instantaneous and Time-Dependent Deflections of Simple and Continuous
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11.1 5 Meyers, B. L., y D. E. Branson. "Design Aid for
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11.1 9 Rice, P. F., editor. CRSl Handbook, 4a. edición,
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11.20 González Cuevas, O. Análisis Estructural, México, D. F., Limusa, 2002.
11.21 Comité ACI-435. "Deflections of Continuous
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American Concrete Institute, 1973.*
11.22 Comité ACI-435. "Proposed Revisions by Commitee 435 to ACI Building Code and Commentary Provisions on Deflections". lourna1 of the
American Concrete Institute. Detroit, junio
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11.23 Wang, C., y C. C. Salmon. Reinforced Concrete Design (3a. edición). Nueva York. Harper
and Row, 1979.
11.24 Comité ACI-3 18. Commentary on Building Code Requirements (ACI 3 18-89). Detroit, American Concrete Institute, 1989.
3 75
11.25 Fling, R. S. "Deflections". En Handbook o f
Concrete Engineering, editado por M. Fintel.
Nueva York, Van Nostrand Co., 1973.
11.26 González C. O. "Revisión de métodos para
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11.27 Comité Euro-Internacional del Concreto. CEBFIP Model Code For Concrete Structures, Lausanne 1990.
11.28 Washa, G.W. "Plastic Flow of Thin Reinforced
Concrete Slabs". lourna1 of the American Concrete Institute. Detroit, noviembre 1947.
11.29 Corley, W. G., y M. A. Sozen. "Time Dependent
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lourna1 o f the American Concrete Institute. Detroit, marzo 1966.
11.30 Branson, D. E. "Compression Steel Effect on
Long-Time Deflections". lournal o f the American Concrete Institute. Detroit, agosto 1971.
1 1.3 1 Robles F. V., F. Manual de diseño de obras civiles,
sección H: Concreto Reforzado. México, D.F.,
Comisión Federal de Electricidad, Instituto de Investigaciones de la Industria Eléctrica. 1977.
11.32 Normas Técnicas Complementarias sobre Criterios y Acciones para el Diseño Estructural de las
Edificaciones. Gaceta Oficial del Distrito Federal,
Tomo 11, No. 103-Bis, 6 de octubre de 2004.
11.33 Duan, L. F. Wang y W. Chen . "Flexural Rigidity
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11.34 Gahli, A. "Prediction of Deflections of TwoWay Floor Systems". ACI Structural lournal.
Detroit, septiembre-octubre 1989.
11.35 "CEB Manual on Cracking and Deformations",
Bulletin d'lnformation No. 158-E, Comité Eurolnternational du Béton, Lausanne, 1985.
11.36 Comité ACI-435. "Control o f Deflection in Concrete Structures" (ACI-435 R-45). Detroit, 1995.
11.37 Park, R., y Paulay, T. Reinforced Concrete Structures, Wiley, Nueva York, 1975.
11.38 Ghali, A., y Favre, R. Concrete Structures: Stresses
and Deformations, Chapman and Hall, Nueva
York, 1986.
*Las referencias marcadas con asterisco se encuentran actualizadas en la referencia ll .36.
376
Deflexiones
Ejercicios
11.1 Comprobar si se cumplen los requisitos de deflexión de la siguiente viga de acuerdo con las indicaciones del Reglamento ACI 31 8-02. Suponer
que la deformación de la viga no afectará a elementos no estructurales y que el 50 por ciento
de las cargas corresponde a carga viva. Las cargas indicadas son a nivel de servicio.
1 6 ton
3 tonlm
(incluye peso
propio)
11.4 Comprobar si se cumplen los requisitos de deflexión para la viga del ejemplo 11.3 de acuerdo
con las indicaciones de las NTC-04.
11.5 Calcular las deflexiones a corto y a largo plazos
en el extremo del siguiente voladizo usando el
segundo método de Yu y Winter. Las cargas indicadas son de servicio e incluyen peso propio.
Verificar si la deflexión excede de 11200. iEn
cuánto se reducen las deflexiones si se adicionan 3 barras del No. 8 en la zona de compresión?
750 cm
w = 2 ton/m
' 5{n+:
2 ton
hhh
1
T
45
I
+
u+
3O
A, = 5 barras del No. 8
fy = 4200 kg/cm2
11.2 Comprobar si se cumplen los requisitos de deflexión de la viga del ejemplo 1 1.1 de acuerdo con
las indicaciones del Reglamento del Distrito Federal y las NTC-04. Considerar que el 40 por
ciento de la carga viva está aplicada en forma
continua.
11.3 Comprobar si se cumplen los requisitos de deflexión de la siguiente viga empotrada de acuerdo
con las indicaciones del Reglamento ACI 31 802. La carga indicada es la de servicio e incluye
el peso propio. Considerar que el 35 por ciento
de la carga viva actúa en forma continua.
T
f', = 200 kg/cm2, fy = 4200 kg/cm2
CAP~TU
LO
12
Ménsulas y vigas de gran
peralte
12.1 Introducción. /12.2 Ménsulas. /12.3
Vigas de gran peralte.
12.1 Introducción
En este capítulo se estudia el comportamiento
y el dimensionamiento de elementos estructurales cuya relación claro-peralte es mucho
menor que la de las vigas consideradas en los
capítulos anteriores. Cuando la relación cla-
ro-peralte es pequeña, la distribución de esfuerzos principales es muy diferente de la distribución en las vigas mostrada en la figura
7.1. Por esta razón, su comportamiento es distinto y no son aplicables los métodos de dimensionamiento estudiados anteriormente.
1 2.2 Ménsulas
Las ménsulas son elementos estructurales
cuya relación entre el claro de cortante y el
peralte es pequeña; en muchos reglamentos
se definen como aquellos elementos en los
que esta relación no es mayor que uno. Se
usan para soportar carriles de grúas viajeras,
vigas prefabricadas de concreto, armaduras
de acero y otras estructuras similares. En la
figura 12.1 se ilustran dos aplicaciones. El
dimensionamiento correcto de las ménsulas es de gran importancia, ya que en ellas
generalmente miembros estrucse apoyai
turales de grandes dimensiones o equipo
pesado.
12.2.1 Comportamiento
El comportamiento de las ménsulas ha sido
estudiado por medio de ensayes de especí-
Viga precolada
'4
Figura 12.1 Aplicaciones de ménsulas.
3 78
Ménsulas y vigas de gran peralte
del concreto, que ocurre antes o después de
que fluya el acero de tensión. En la figura 12.3
se muestra este tipo de falla.
b) Falla por tensión diagonal
Figura 12.2 Espécimen de ensaye para
el estudio de ménsulas.
menes como el mostrado esquemáticamente
en la figura 12.2. A continuación se describen los principales modos de falla observados
en estos ensayes 112.1 l.
a) Falla por flexión
Este tipo de falla es similar al de vigas largas.
Consiste en el aplastamiento por compresión
En este caso, se forma inicialmente una grieta
de flexión, a partir de la cual se desarrolla una
grieta inclinada que se extiende desde el borde de la placa de carga, en la cara superior de
la ménsula, hasta la intersección de la cara inclinada de la ménsula con la columna. La falla
ocurre en la zona de concreto sujeta a esfuerzos de compresión y es similar a la falla en
compresión por cortante de vigas largas. En la
figura 12.4 se muestran dos especímenes que
fallaron de esta manera.
C) Falla por cortante directo
Este tipo de falla se caracteriza por el desarrollo de pequeñas grietas inclinadas en el plano
de intersección de la columna y la ménsula.
Dichas grietas debilitan este plano y propician
una falla por cortante directo, como se muestra en la figura 12.5.
Fluencia de
a) Compresión
b) Tensión
Figura 12.3 Fallas por flexión (según Kriz y Raths [12.11).
Ménsulas
Figura 12.4 Fallas por tensión diagonal (según
Kriz y Raths 112.11).
Además de los modos de falla descritos
anteriormente, se han observado otros que se
presentan por detalles inadecuados en la geometría de la ménsula o en la colocación del
refuerzo. Estos tipos de falla se ilustran en la
figura 12.6, en la cual se muestra una falla
que se presenta cuando las barras de tensión, por efecto del doblez, quedan demasiado lejos del borde de la ménsula; en este
caso se forma una grieta que sigue el contorno de la barra. En la figura 12.6b se muestra
el tipo de falla que se produce cuando el peralte en el extremo de la ménsula es mucho
menor que el peralte en el paño de la columna; la grieta inclinada no alcanza a desarrollarse hasta la cara de la columna, sino
que llega a la cara inclinada de la ménsula.
Por último, en la figura 1 2 . 6 ~se muestra el
tipo de falla que ocurre cuando la placa de
apoyo es demasiado pequeña y, por consiguiente, se desarrollan en el concreto esfuerzos de aplastamiento muy altos. La resistencia
de las ménsulas cuando se desarrolla alguno
de estos tipos de falla es menor que la correspondiente a los tipos principales de falla
mencionados anteriormente. Por lo tanto,
conviene evitarlos mediante detalles adecuados en la geometría y en la colocación
del refuerzo. Más adelante se presentan recomendaciones a este respecto.
379
Se ha estudiado experimentalmente el
efecto de cargas horizontales que actúan de
manera simultánea con las cargas verticales
aplicadas a la ménsula. Estas cargas horizontales pueden ser de tensión o de compresión. Las primeras suelen ser producidas en
la práctica por la contracción y el flujo plástico del concreto de las vigas que se apoyan
sobre la ménsula o por las acciones de viento o sismo. Es importante considerar su efecto, porque la resistencia de las ménsulas
disminuye en relación al caso en el que sólo actúan verticales. Por el contrario, las
fuerzas horizontales de compresión aumentan la resistencia de las ménsulas y propician
un comportamiento menos frágil [12.2]. Estas fuerzas de compresión pueden lograrse
mediante acero que atraviese la ménsula por
un ducto y al que se le aplique una fuerza de
tensión, la cual, como reacción, produce
una fuerza de compresión en la ménsula.
La colocación de estribos para aumentar
la resistencia a tensión diagonal y a cortante
directo de ménsulas también ha sido objeto
de estudios experimentales. Se ha visto que
los estribos verticales, como los usados en las
vigas largas, no aumentan prácticamente la
resistencia, ya que las grietas forman un ángulo cercano a 90" con la horizontal y, por lo
Figura 12.5 Fallas por cortante directo (según
Kriz y Raths [12.1]).
380 Ménsulas y vigas de gran peralte
tanto,. pueden desarrollarse sin que sean
cortadas por los estribos. Los estribos horizontales sí son eficientes; pero cuando actúa
carga horizontal simultáneamente con carga
vertical. son menos eficientes.
También se ha logrado aumentar la resistencia y la ductilidad de las ménsulas añadiendo fibras de acero al concreto. Se ha
encontrado que las fibras de acero permiten
obtener fallas del tipo de flexión en vez de
las fallas frágiles de cortante o tensión diagonal [12.31.
12.2.2 Resistencia y dimensionamiento de
ménsulas
Las expresiones utilizadas para calcular la
resistencia de ménsulas son de naturaleza
empírica. Se han obtenido a partir del análisis estadístico de los resultados de ensayes
[12.1]. En estos ensayes se ha visto que la resistencia de ménsulas es función del ancho,
a) Para ménsulas sujetas a carga vertical
únicamente
VD= 1.7bd@(l
V,
0.53 db*<(l - 0~5d/~X1000p*)'"d ,$
,
I'
. ' u
<;-S
-8
023 ¿ ".$&j:
a
donde la relación de acero, p,
como
pv= (A, + Ah)/bd
se define
(12.2)
As es el área del refuerzo por flexión, y A h el
área de los estribos horizontales.
b ) Para ménsulas sujetas a carga vertical y
horizontal
Grieta
a) Falla debida a detalles
inadecuados del
refuerzo
.
-0.5~/~)(100
pv)lI3
0
(1 2.1)
b) Falla debida a
poco peralte en la
cara externa
C)
Falla debida al
aplastamiento del
concreto
Figura 12.6 Modos secundarios de fallas (según Kriz y Raths [12.11).
Ménsulas 381
En este caso, p, se define como
ya que los estribos horizontales son menos
eficientes, según se ha señalado anteriormente. H y V son las fuerzas horizontal y vertical que actúan sobre la ménsula.
Otro enfoque para el diseño de ménsulas se basa en el planteamiento de modelos
que simulan su comportamiento. Un ejemplo es el desarrollado por Franz y Niedenhoff
[12.41, el cual se muestra en la figura 12.7.
Consiste en reemplazar a la ménsula por una
armadura estáticamente determinada en la
que el acero superior funciona como la cuerda de tensión, y el concreto como cuerda de
compresión. El refuerzo transversal se requiere para evitar el aplastamiento de la cuerda de
compresión. Este enfoque de reemplazar una
estructura por una armadura equivalente ha
sido desarrollado por varios autores y existe
ya un método, conocido como de puntales y
tensores, con disposiciones específicas en un
apéndice del Reglamento ACI 2002. Lo que
se hace es trazar un diagrama de flujo de
fuerzas en la estructura y plantear una armadura que pueda transmitir este flujo de fuer-
Figura 12.7 Modelo de Franz y Niedenhoff
112.41.
zas. La armadura queda constituida por elementos que trabajan a compresión, que son
los puntales, y elementos que trabajan a tensión, que son los tensores.
En la figura 12.8 se muestra una posible
configuración de una armadura con los puntales representados por líneas punteadas y los
tensores por líneas continuas. El refuerzo se
calcula para que pueda confinar a los puntales de tal manera que alcancen su resistencia
a compresión. El lector interesado en este enfoque puede consultar las referencias 12.1 9 y
12.20, y puede ver un ejemplo resuelto en la
referencia 12.2 1.
Un tercer enfoque se basa en el concepto de cortante por fricción, el cual, aunque
no se utiliza únicamente para el diseño de
ménsulas, ha encontrado un amplio campo
de aplicación en estos elementos, por lo que
--
,
,
Miembros a tensión (tensores)
Miembros a compresión (puntales)
Figura 12.8 Puntales y tensores en una ménsula.
382 Ménsulas y vigas de gran peralte
se presenta en la siguiente sección. Posteriormente se verán las disposiciones al respecto
del Reglamento ACI 31 8-02 y de las NTC-04,
que se basan en este concepto.
Refuerzo transversal
12.2.3 Cortante por fricción
Como se indicó en el capítulo 7, los esfuerzos que producen las llamadas fallas por
cortante en vigas de concreto reforzado, no
son realmente esfuerzos cortantes, sino esfuerzos principales de tensión debidos a la
combinación de esfuerzos normales de flexión y esfuerzos cortantes. Sin embargo, en
el caso de ménsulas cortas con relación
clarolperalte menor que uno, y en otros casos que se describen al final de esta sección,
los esfuerzos cortantes puros pueden ser el
factor crítico en el diseño. Aunque la resistencia del concreto a esfuerzos cortantes
directos es muy elevada, pueden existir algunas secciones a través de las cuales sea
necesario transferir fuerza cortante y cuya
capacidad para hacerlo sea pequeña o nula,
debido a la presencia de grietas previas o
porque la unión no sea monolítica. En tales
casos, la única manera de desarrollar la fuerza cortante es a través de la fricción que se
presenta cuando uno de los elementos tiende a deslizarse con respecto al otro.
La manera en que puede desarrollarse
fuerza cortante a través de fricción entre dos
elementos, se ilustra en la figura 12.9, en la
que se muestra el espécimen de ensaye usado generalmente para investigar la resistencia al deslizamiento entre dos elementos de
concreto. Como se indica en esta figura, la
superficie de contacto entre los dos elementos es irregular. Al deslizar un elemento con
respecto al otro, ocurre un desplazamiento
relativo entre ambos, en dirección perpendicular a la superficie de contacto. Este desplazamiento produce fuerzas de tensión en
el refuerzo transversal, lo cual origina, como
reacción, fuerzas de compresión sobre la superficie de contacto, como se muestra en la
Refuerzo transversal
Figura 12.9 Cortante por fricción.
figura 12.9. Debido a la acción de estas fuerzas de compresión, se generan fuerzas de fricción que pueden estimarse por medio de la
ecuación:
en la cual Vr es la fuerza de fricción, p es el
coeficiente de fricción y N es la fuerza normal. Si se considera que el refuerzo transversal
fluye, N = Asfy.Por consiguiente, sustituyendo este valor de N y dividiendo ambos
miembros de la ecuación 12.5 entre el área
de la superficie de contacto, se obtiene la siguiente ecuación
El valor del coeficiente de fricción, p,
ha sido determinado experimentalmente por
varios investigadores. Se ha estudiado la influencia de diversas variables como la condición de la superficie de contacto, la
cantidad y la forma de anclar el refuerzo
transversal, la resistencia del concreto y
otras de este tipo [12.5, 12.6, 12.7, 12.81.
Ménsulas 383
Con base en estos estudios, se han propuesto valores del coeficiente p, como los mostrados en la tabla 12.1, que son los
especificados en el Reglamento ACI 3 1 8-02.
LOS valores de esta tabla son válidos siempre
que el valor de pfyno exceda de 0.2 fC o 56
kg/cm2 (5.5 MPa). Se ha encontrado que estos valores resultan conservadores para algunas aplicaciones del concepto de cortante
por fricción, pero pueden usarse en la práctica L12.81.
+
v,
1
1
/
Parte restante
deAd '
Ar + una
parte de
A "f
*
f
Tabla 12.1 Coeficientes de fricción del Reglamento
ACI 3 1 8-02
Descripción
P
Concreto colado monolíticamente
1.4
Concreto colado contra concreto
endurecido cuya superficie se
haya hecho rugosa en forma
intencional
Figura 12.1 0 Cortante por fricción aplicado a
una ménsula.
Concreto colado contra concreto
endurecido cuya superficie no se
haya hecho rugosa en forma
intencional
En donde v, es el esfuerzo cortante promedio en la superficie de contacto, o, en
otras palabras, es la fuerza aplicada, Vr, dividida entre el área de la superficie de contacto, la cual es igual al peralte total de la
ménsula multiplicado por su ancho
Concreto anclado a acero estructural por medio de pernos con
cabeza o barras de refuerzo
0.7
Como ejemplo de 'aplicación del concepto de cortante por fricción al diseño de
ménsulas, considérese el caso mostrado en la
figura 12.1 0. El refuerzo perpendicular a
la columna es equivalente al refuerzo transversal de la figura 12.9. Por consiguiente, la
relación requerida de este refuerzo puede
obtenerse de la ecuación 12.6, de la manera siguiente
Una vez que se ha calculado la relación, p, el área requerida de acero transversal, Av( se obtiene multiplicando la relación
por la superficie de contacto
E l refuerzo transversal obtenido de la
manera descrita anteriormente, debe adicionarse al acero requerido por otras acciones,
como flexión o tensión directa, y distribuirse a lo largo de la grieta supuesta.
En la figura 12.1 1 se presentan varios
casos en los cuales puede utilizarse el con-
384 Ménsulas y vigas de gran peralte
Grieta supuesta
&+ @
Ménsula
metálica
soldada a la
Grieta
placa
Grieta supuesta
A"f
\
Varillas soldadas
al ángulo
a)
Viga colada en el sitio
c)
supuesta
b)
Grieta supuesta
*vf
Sección A-A
Figura 12.11 Algunas aplicaciones del concepto de cortante por fricción.
cepto de cortante por fricción. Para aplicar
este concepto, deben investigarse las posiciones posibles de la grieta y escoger la más
desfavorable. En la figura 12.1 1 se han señalado también posiciones razonables de la
grieta inicial. En todos los casos, el refuerzo
determinado con la ecuación 12.9 debe colocarse perpendicularmente a la grieta supuesta.
El concepto de cortante por fricción se
ha ampliado para tomar en cuenta que la
fuerza cortante es resistida no únicamente
por la fricción, según el mecanismo descrito, sino también por la trabazón entre las
protuberancias de las dos caras en contacto
y por cortante directo en las barras de refuerzo que cruzan la grieta. También se ha estudiado el caso en que las barras de refuerzo
no son perpendiculares a la grieta potencial.
En las referencias 12.9 a 12.1 1 se analizan
estos conceptos.
12.2.4 Dimensionamiento de ménsulas por
el Reglamento ACI 3 18-02
El método puede aplicarse a ménsulas con una
relación entre el claro de cortante, a, y el peral-
te, d, no mayor de uno, y siempre que la fuerza horizontal, N,, no sea mayor que la fuerza
vertical, V, (figura 12.12).
Bajo estas condiciones, la fuerza cortante producida por V, es resistida por refuerzo horizontal, Avf (figura 12.1 O), que se
calcula con el concepto de cortante por fricción, de tal manera que se requiere un área
Se puede ver que esta ecuación es la
12.9 en la que se han sustituido p por su valor de la ecuación 12.7 y v, por su valor de la
ecuación 12.8. También se ha introducido el
factor de reducción @ que se especifica de
0.75. Los valores de y son los de la tabla 12.1.
La resistencia nominal, V, = V,/@, no debe exceder de 0.2fi b,,d ni de 56 b,,d en kg (5.5 bwd
en MPa).
Las fuerzas V, y N
,, de la figura 12.1 2
producen un momento flexionante en la intersección de la cara de la columna con la barra
,, (h - d)].Para rede tensión igual a [V,a + N
sistir este momento se requiere un refuerzo de
principal)
cerrados)
los estribos
Figura 12.12 Notación y detalles de armado según el Reglamento ACI 318-02.
tensión Af que se calcula con las hipótesis
usuales para miembros sometidos a flexión.
La fuerza horizontal Nuces resistida por
una cantidad adicional de refuerzo horizontal A, que se calcula con la ecuación
Se especifica que la fuerza horizontal
Nucno se considere menor que 0.2 V, a menos que se tomen precauciones especiales
para que no se desarrollen estas fuerzas, y
que se le dé el tratamiento de una carga viva
aunque se origine por efectos de contracción,
flujo plástico o cambios de temperatura.
Una vez calculadas las áreas de acero,
Af, Avf y A, deben distribuirse en un área
principal, As, que se coloca en el lecho superior, y un área restante, Ah, que se distribuye en los dos tercios superiores del peralte
(figuras 12.1 0 y 12.1 2). El área principal, As,
debe ser igual al mayor de los valores (Af +
A,) o (2Avf/3 + A,). En ambos casos el área
restante, Ah, debe ser igual a 0.5 (As - A,).
Estas recomendaciones se basan en ensayes
presentados en la referencia 12.9, que indican que el refuerzo total As + A, debe ser
por lo menos igual al mayor de los valores
siguientes
a) La suma de Avf y de A, o
b) La suma de 3Af12 y de A,
El lector puede comprobar que con las
disposiciones del Reglamento se cumplen
estas condiciones.
La relación de refuerzo p = As/bd no
debe ser menor de 0.04 (f',/fy).
El Reglamento especifica que el refuerzo
As se ancle adecuadamente en su extremo,
lo cual puede lograrse soldándole un ángulo
o una barra transversal de igual diámetro, o
bien, doblando horizontalmente las barras.
386 Ménsulas y vigas de gran peralte
Las placas de carga no deben proyectarse
más allá de la porción recta de las barras, A,
o de la barra transversal.
En el ejemplo 12.1 se aplican las disposiciones del Reglamento ACI 31 8-02 al dimensionamiento de una ménsula en la que
se apoya una viga precolada, la cual soporta cargas muertas y vivas de las magnitudes
señaladas en la sección de cargas de servicio. Se calcularon por separado las reacciones por estos dos tipos de carga y se
multiplicaron por los factores de carga correspondientes, .l.2 y l .6, para obtener la
fuerza .V
,, Puesto que no hay ninguna carga
horizontal, por tratarse de apoyos libres, se
consideró la mínima que señala el Reglamento de 0.2 V.,
Los detalles geométricos de las ménsulas se determinan a partir de recomendaciones empíricas. Así, el claro de cortante, a, se
calcula como el doble de la separación entre la viga y el paño de la columna más la
distancia del extremo de la viga al centro de
la placa de apoyo. Esta recomendación toma
en cuenta que la separación real entre el extremo de la viga y el paño de la columna
puede diferir de la separación teórica, ya sea
por aspectos constructivos o por deformaciones de la viga. Se recomienda también
que la separación mínima entre la viga y la
columna sea del orden de 2 a 3 cm, para no
dificultar el montaje. El ancho de la placa de
apoyo se determina de tal manera que no se
exceda la resistencia al aplastamiento del
concreto. Para este cálculo se usan los valores de 9 y de la resistencia del concreto que
señala el Reglamento.
Una vez determinado el claro de cortante, a, se procede a fijar el peralte de la
ménsula en el paño de la columna. La experiencia indica que se obtienen diseños satisfactorios si la relación a/d está comprendida
entre 0.1 5 y 0.40. En el ejemplo se fijó esta
relación en 0.30 y se despejó el valor del pe-
388 Ménsulas y vigas de gran peralte
ralte obteniéndose un valor de 33 cm. Este
valor es tentativo y debe modificarse s i el
porcentaje de refuerzo correspondiente resulta excesivo o muy pequeño.
Después de definida la geometría de la
ménsula se calcularon las áreas de refuerzo
que se requieren para resistir la fuerza cortante, ,,V, el momento flexionante, M, y la
fuerza horizontal, Nuc.Para la primera se
usó la ecuación 12.1 0 con un valor de p de
1.4, ya que se supuso que la ménsula se coló monolíticamente con la columna. Para
calcular el momento flexionante se utilizó
un brazo del par aproximado de 0.8d. Para
calcular el área requerida para la fuerza horizontal Nucse empleó la ecuación 12.1 1.
El área principal As que se coloca en el
lecho superior, se calculó con las dos ecuaciones que da el Reglamento, resultando
mayor en este ejemplo la de la ecuación
2Avf/3 + A., Se calculó después el área complementaria Ah y se revisó el porcentaje mínimo para el área As. Ya que la relación p
tiene un valor mayor que el mínimo y al mismo tiempo no es excesivo, no fue necesario
hacer otro tanteo con un nuevo peralte d.
Finalmente se muestran los detalles geométricos y del refuerzo en el croquis con que
termina el ejemplo. Puede observarse que la
ménsula resultó muy pequeña, por lo que
podría ampliarse para facilitar la construcción.
12.2.5 Dimensionamiento de ménsulas por
las NTC-04
La definición de ménsulas en estas normas
es igual a la del Reglamento ACI 3 18-02: son
aquellos elementos cuya relación entre el
claro de cortante y el peralte en el paño de
la columna es menor o igual a uno.
También se especifica usar el concepto
de cortante por fricción para calcular el área
de acero que se requiere para resistir la fuerza cortante, que con la notación de este Reglamento se denomina VR. De esta manera,
el área de acero Avf se obtiene despejando
su valor de las siguientes ecuaciones que
dan la resistencia del elemento a cortante
por fricción
VR = FR [14A + 0.8 (Avff,, + N,)]
(12.1 3)
En estas ecuaciones, Nu es la fuerza
normal de compresión al plano crítico en
kg, que debe tomarse igual a cero, A es el
área de la sección definida por el plano crítico en cm2, y los demás términos ya han sido definidos. E l coeficiente de fricción p se
toma igual a 1.4 en concreto colado monoIíticamente, igual a 1 .O para concreto colado contra concreto endurecido, e igual a 0.7
entre concreto y acero laminado. La resistencia será igual al menor de los tres valores
obten idos.
El área de acero por flexión, Af, necesaria para resistir el momento, se puede calcular con la ecuación
usando los siguientes valores del brazo del
par, z, siempre que la carga actúe en la cara
superior de la ménsula y que la relación de
refuerzo, Af/bd, no exceda de 0.008
Finalmente, si existe una fuerza de tensión, N,, debe proporcionarse un área de
390 Ménsulas y vigas de gran peralte
acero, A, que la resista, la cual se calcula
con la ecuación
una vez calculadas Avf, AL A, se calculan el
área principal A, y el área restante Ah igual
que en el Reglamento ACI. El área principal A,
debe tener un valor mínimo de:
Las NTC-04 permiten también diseñar las
ménsulas por el método de la analogía de la
armadura. El procedimiento de diseño con las
NTC-04 se ilustra en el ejemplo 12.2. Se suponen conocidas las fuerzas vertical y horizontal que debe resistir la ménsula, las cuales
ya están multiplicadas por sus factores de carga.
Para tener una primera aproximación del
peralte necesario, se supuso una relación a/d
de 0.30, siguiendo las recomendaciones mencionadas en el ejemplo 12.1. Con esto se obtuvo un peralte tentativo de 70 cm.
Después se calculó el refuerzo necesario
para cortante por fricción. Se usó la mayor de
las áreas obtenidas con las ecuaciones 12.12
y 12.1 3, haciendo N, igual a cero, ya que no
hay fuerza normal de compresión en este
ejemplo. A continuación se revisó que la resistencia fuese mayor que la obtenida con la
ecuación 12.14, lo cual se cumplió; si no hubiese sido el caso, sería necesario aumentar el
peralte tentativo con el fin de incrementar el
término A.
Para calcular el área de acero de flexión
se determinó primero si se estaba en el caso
de la ecuación 12.1 6 o en el de la ecuación
12.1 7. Como sucedió lo segundo, se usó un
brazo del par, z, de 1.2a. Ya obtenida el área
A, se verificó que la relación p fuese menor
Ménsulas 391
392 Ménsulas y vigas de gran peralte
Vigas de gran peralte 393
que 0.008, que es el máximo valor para el que
pueden usarse las ecuaciones 12.1 6 y 12.1 7 .
Como se cumplió la condición mencionada,
no fue necesario cambiar el peralte supuesto.
Finalmente el acero total se distribuyó
entre el acero principal A, y el acero complementario Ah. La manera de hacerlo según las
NTC-04 es la misma que la prescrita en el Reglamento ACI 318-02
12.3 Vigas de gran peralte
Las vigas de gran peralte son aquellas cuya relación claro-peralte total (Uh)es del orden de
tres o menor. También se conocen estas vigas
con los nombres de vigas pared o vigas diafragma.
En las vigas de gran peralte, la distribución de esfuerzos normales debidos a flexión
difiere mucho de una distribución lineal, inclusive cuando las vigas son de material li-
neal, homogéneo y elástico. En la figura 12.1 3
se muestran algunas distribuciones de esfuerzos obtenidas por la Teoría de la Elasticidad
para vigas con varias relaciones //h. En vigas
de concreto reforzado, las distribuciones de
esfuerzos son más o menos similares a las
teóricas antes de que ocurra el agrietamiento
del concreto en tensión. Sin embargo, tan
pronto como ocurre este agrietamiento, las
distribuciones cambian por completo. Se ha
podido comprobar experimentalmente que
resulta conservador diseñar las vigas de concreto de gran peralte de acuerdo con los
resultados de la Teoría de la Elasticidad. Además, se ha encontrado que la magnitud de
los esfuerzos debidos a flexión no es factor
importante en el diseño. Resultan más significativos, en general, los detalles de dimensionamiento de los apoyos y los detalles de
anclaje de las barras de refuerzo [12.121.
Más adelante se presentan recomendaciones
específicas sobre estos aspectos del diseño.
394 Ménsulas y vigas de gran peralte
Rotura del
acero
Rotura del
acero
Figura 12.14 Fallas por rotura del acero de
flexión en vigas de gran peralte
(según Leonhardt [12.121).
Figura 12.1 3 Distribuciones elásticas de
esfuerzos en vigas con diferentes relaciones
clarolperalte.
12.3.1 Comportamiento y modos de falla
Las primeras series completas de ensayes fueron realizadas por Leonhardt, en la Universidad de Stuttgart [12.12], y por De Paiva y
Siess, en la Universidad de lllinois [ 12.1 31. En
fechas más recientes se han llevado a cabo
otros ensayes para estudiar variables como la
relación claro-peralte, la resistencia del concreto, el efecto de refuerzo vertical y horizontal, y la influencia de la continuidad
[12.14, 12.1 5, 12.1 61. La siguiente descripción de los principales modos de falla está
basada fundamentalmente en estas series de
ensayes.
a) Rotura del acero longitudinal
Debido al gran peralte de estas vigas, en el
diseño se obtienen muchas veces relaciones
Vigas de gran peralte 395
relativamente pequeñas de refuerzo por flexión. En las figuras 12.1 4a y 12.146 se muestran dos vigas que fallaron por rotura del
acero de tensión. El porcentaje de refuerzo de
ambas era de 0.12 por ciento. Las vigas diferían entre sí por la colocación de las barras
longitudinales; la viga mostrada en la figura
12.14a tenía las barras dobladas y la de la figura 12.146, rectas. En la primera viga, el
acero se rompió en la sección en que se doblaron las barras, mientras que en la segunda se rompió aproximadamente en el centro
del claro. La carga que resistió la segunda
viga fue 23 por ciento mayor que la que resistió la primera. Esto indica que no es conveniente doblar las barras, ya que se debilita la
viga en la sección del doblez. Además, la
configuración de agrietamiento indica que
la viga trabaja aproximadamente como un
arco atirantado, por lo que la fuerza de tensión en el acero es constante en todo el claro
y no disminuye de acuerdo con el diagrama
de momentos flexionantes, como en las vigas largas.
La carga de rotura de la viga de la figura
12.1 4b fue 4.5 veces la carga calculada con la
Teoría de la Elasticidad, lo que demuestra lo
conservador que resulta diseñar con esta teoría.
b) Aplastamiento de los apoyos
Aplastamiento
del concreto
ttt
tft
Figura 12.15 Fallas por aplastamiento de los
apoyos en vigas de gran peralte
(según Leonhardt [12.121).
En las figuras 12.1 5a y 12.1 56 se muestran
dos vigas que fallaron por aplastamiento de
los apoyos. En la primera, el esfuerzo de
aplastamiento, obtenido dividiendo la reacción de apoyo entre el área del apoyo, resultó de 405 kg/cm2, valor 45 por ciento mayor
que la resistencia del concreto, f',, determinada en cilindros. La viga de la figura 12.1 5b
tenía una ampliación de los apoyos para disminuir los esfuerzos de aplastamiento. En
esta viga, la falla ocurrió al formarse súbitamente una grieta casi vertical en la intersección del apoyo derecho, y se inició por
arriba del refuerzo longitudinal. Esta falla indica la conveniencia de colocar refuerzo
horizontal en esta zona.
En la figura 12.1 6 se muestra otro tipo
de falla por aplastamiento de los apoyos. La
viga de esta figura tenía la carga aplicada en
la parte inferior. Puede verse que la configuración de agrietamiento fue completamente
diferente de las vigas anteriores, que tenían
la carga aplicada en la parte superior. La falla ocurrió por aplastamiento del apoyo derecho bajo la acción de fuerzas inclinadas
de compresión en el arranque de los arcos
definidos por las grietas. Este tipo de falla in-
396 Ménsulas y vigas de gran peralte
ttt
Figura 12.1 6 Configuración de agrietamiento
de vigas con carga aplicada en la parte inferior
(según Leonhardt [12.12]).
dica también la conveniencia de colocar el
refuerzo horizontal adicional, mencionado
en el párrafo anterior.
C)
Falla p o r cortante
En las fallas de este tipo, se forman grietas
inclinadas antes de la falla, las cuales, como
se indicó en el inciso a, hacen que la viga
trabaje como un arco atirantado (figura
12.1 7). Posteriormente se forman otras grietas inclinadas que definen una zona de con-
creto que trabaja a compresión y que une
los apoyos de la viga con los puntos de aplicación de carga. Esta zona de concreto falla
a compresión simultáneamente con el deslizamiento por cortante de la zona descargada de la viga y con la rotura de la adherencia
de las barras longitudinales en las zonas de
apoyos. En algunos casos, la falla ocurre tan
pronto como se forma la segunda grieta inclinada, mientras que en otros casos las vigas soportan cierta carga adicional.
En la figura 12.1 8 se muestra la configuración de agrietamiento de una viga continua de dos claros con una fuerte cantidad de
estribos verticales 112.1 61. A pesar de los estribos, la grieta inclinada se forma súbitamente produciendo un ruido sordo. Se puede
observar la formación de grietas en abanico
sobre el apoyo interior y debajo de las cargas,
así como la presencia de diagonales de concreto que trabajan a compresión entre los apoyos y las cargas. A pesar de la aparición súbita
de la grieta inclinada, estas vigas presentan
cierta ductilidad. En cambio, con cantidades
pequeñas de estribos, el comportamiento y la
falla son iguales a los de vigas sin estribos.
d) Aplastamiento del concreto a compresión
Es raro que se presente este tipo de falla en
vigas de gran peralte. Cuando ocurre, se desarrolla en forma semejante a la falla en compresión por cortante de vigas largas, pero
después de que se producen deflexiones ineIásticas considerables.
12.3.2 Recomendaciones para diseño
Figura 12.17 Falla por cortante en vigas de
gran peralte (según De Paiva y Siess [12.13]).
Se han propuesto dos tipos de enfoque para
el diseño de vigas de gran peralte. El primer
tipo se basa en el concepto de puntales y
tensores presentado en la sección 12.2.2
para el caso de ménsulas. En este enfoque, la
viga se sustituye por una armadura con elementos a compresión y a tensión, que son los
puntales y los tensores, respectivamente. En la
Vigas de gran peralte 397
Figura 12.18 Analogía de la armadura en una viga de gran peralte con estribos
(según Rogowsky y MacCregor [12.171
figura 12.19 se muestra un modelo de armadura propuesto por Rogowsky y Mac-Gregor
[12.17]. Las partes sombreadas representan
zonas en las que el concreto trabaja a compresión; la parte inclinada sería una diagonal
principal a compresión. Las líneas verticales
son los estribos que trabajan a tensión. Las Iíneas inclinadas son diagonales secundarias a
compresión. Y la línea horizontal es el acero
de refuerzo longitudinal que trabaja a tensión.
En este tipo de enfoque, el diseño se realiza
simultáneamente por flexión cortante y esfuerzos de apoyo. Ejemplos resueltos con este
enfoque pueden verse en las referencias
12.21, 12.22 y 12.23.
En el segundo tipo de enfoques, se hacen
por separado los diseños por flexión, fuerza
cortante y esfuerzos de apoyo usando ecuaciones empíricas. Éste es el enfoque que se ha
utilizado tradicionalmente en los reglamentos
de construcción del American Concrete Institute y del Distrito Federal. Por esta razón es
el que se presenta con detalle en el resto de
este capítulo, aunque algunos investigadores
han señalado que no representa adecuadamente el comportamiento de las vigas de
gran peralte [12.16, 12.1 71. El Reglamento
ACI permite, desde el año 2002, utilizar en
forma alternativa el método de puntales y
tensores.
a) Flexión
Debido a que las relaciones de refuerzo de
flexión en vigas de gran peralte generalmente son pequeñas, y a que los resultados de la
Teoría de la Elasticidad son muy conservadores para estas vigas, Leonhardt [12.121 recomienda usar un procedimiento simple de
diseño, que consiste en fijar el brazo del par
interno de la manera siguiente. S i la relación
entre el claro y el peralte total (tlh) es igual
o mayor que 1, el brazo del par interno, z,es
igual a 0.6 h. S i la relación t l h es menor que
1, el brazo del par interno, z, es igual a 0.6
t . Una vez determinado el valor de z, el área
de acero requerida se calcula con la siguiente ecuación:
El área de acero determinada de esta
manera debe proporcionarse usando barras
de diámetro pequeño y no una o dos barras
398 Ménsulas y vigas de gran peralte
Figura 12.19 Analogía de la armadura en una viga de gran peralte con estribos
(según Rogowsky, MacGregor y Ong [12.17]).
de gran diámetro únicamente, ya que esto
aumentaría los problemas de anclaje. Además, las barras deben distribuirse sobre una
altura de 0.1 5 a 0.20 h a partir de la cara inferior de la viga, y deben anclarse en los extremos con ganchos horizontales, como se
muestra en la figura 12.20. No es conveniente doblar las barras, por las razones expuestas en la descripción de los modos de
falla.
:
Por lo general, los esfuerzos en la zona
de concreto a compresión resultan pequeños
no es necesario revisarlos. Sin embargo, la
viga debe tener un espesor suficiente, para
evitar un posible pandeo lateral en la zona
sujeta a compresión. A veces es conveniente ampliar el espesor de la viga en esta zona.
Carga en la parte superior
+
6 ) Esfuerzos de apoyo
Para evitar fallas por aplastamiento de los apoyos, se recomienda limitar los esfuerzos de
apoyo a un valor de 0.50 f;, en los casos
I
-----m-------
2
Figura 12.20 Detalles recomendados del
refuerzo (según Leonhardt U2.121).
Vigas de gran peralte 399
en que la viga no tenga ampliación de la
sección en las zonas de apoyo. Cuando existen ampliaciones en los apoyos, la carga
aplicada a la viga no debe exceder del siguiente valor
donde b es el ancho del alma de la viga, y 1,
es el claro libre entre las caras interiores de
los apoyos; los otros términos ya han sido
definidos. Esta recomendación tiene por objeto evitar que se desarrollen esfuerzos inclinados de compresión demasiado elevados.
Las ampliaciones de los apoyos deben diseñarse como columnas sujetas a una carga
axial igual a la reacción de apoyo. En la figura 12.21 se muestra un detalle recomendado de colocación. del refuerzo para vigas
con ampliaciones en los apoyos.
C)
relativamente, que la resistencia de vigas
largas, o sea, que el esfuerzo cortante nominal, v, = Vn/ bd, que pueden resistir las vigas de gran peralte, es mayor que el que
pueden resistir las vigas largas [12.13].
Tanto el Reglamento ACI 31 8-02 como
las NTC-04 presentan ecuaciones para calcular la resistencia a fuerza cortante, o bien,
el acero que se debe proporcionar para resistir las cargas aplicadas. Estas ecuaciones
se incluyen en las siguientes secciones de
este capítulo.
Algunos investigadores han advertido
que la correlación entre valores experimentales y calculados con las ecuaciones de los
reglamentos no es satisfactoria [12.16,
12.1 81. Las ecuaciones resultan conservadoras para vigas libremente apoyadas pero
pueden dar resultados del lado de la inseguridad para vigas continuas. Por esta razón, se
han propuesto algunas ecuaciones alternativas, como la de la referencia 12.1 8.
d) Cargas aplicadas en la parte inferior
Fuerza cortante
Se ha comprobado que la resistencia a fuerza cortante de vigas de gran peralte es mayor,
Corte A-A
Figura 12.21 Detalles recomendados de
colocación del refuerzo para vigas con
ampliaciones en los apoyos (según Leonhardt
[12.12]).
Cuando la carga está aplicada en la parte inferior de la viga, como se muestra en la figura
12.22, es necesario colocar barras verticales,
para transmitir la carga de la parte inferior a
la parte superior de los arcos que se forman
al agrietarse la viga (figura 12.16). El área
necesaria de este acero se calcula dividiendo
la carga aplicada entre el esfuerzo de fluencia del acero. Para evitar que ocurra agrietamiento excesivo bajo cargas de servicio, se
recomienda usar, en el cálculo, un valor máximo del límite de fluencia de 2000 kg/cm2,
aun cuando el Iímite de fluencia real sea
mayor. La colocación de las barras verticales
debe hacerse siguiendo las recomendaciones
indicadas en la figura 12.22.
e) Vigas continuas
En la referencia 12.12 se incluyen recomendaciones detalladas para el dimensionamien-
400 Ménsulas y vigas de gran peralte
El Reglamento señala que para el diseño por
flexión de estas vigas debe tomarse en cuenta
que la distribución de deformaciones unitarias no es lineal, como en vigas comunes, y
que puede presentarse el pandeo lateral del
elemento. Sin embargo, no presenta disposiciones específicas al respecto, excepto
que el área mínima no debe ser menor que
bd ni que 14 bd/fy. Los autores su0.7
gieren emplear las recomendaciones de Leonhardt mencionadas en la sección anterior.
Para calcular la resistencia a fuerza cortante, el Reglamento ACI 31 8-02 especifica,
de manera muy sencilla, que la resistencia
nominal Vn = Vu / 4 no exceda de 2.5
bd. El factor de reducción, 4 , es de 0.75.
Siempre debe colocarse refuerzo vertical y
horizontal para que pueda desarrollarse esta resistencia y para restringir el agrietamiento en los
costados de la viga. El área de refuerzo vertical,
Av, no debe ser menor que 0.0025bs1 donde S
es la separación de las barras que no excederá
de d/5 ni de 30 cm. El área de refuerzo horizontal, Avhl no debe ser menor que 0.0015bs2,
donde SI es la separación de las barras horizontales que no excederá de dl5 ni de 30 cm.
En el ejemplo 12.3 se ilustra el dimensionamiento de una viga de gran peralte libremente apoyada y con carga uniformemente
distribuida, usando las recomendaciones de
Leonhardt para flexión y las del Reglamento
ACI 318-02 para cortante. Para calcular el
área de refuerzo por flexión se utilizó un brazo del par interno, z,igual a 0.60 h, que es el
valor recomendado cuando la relación entre
el claro y el peralte total es igual o mayor que
uno. El refuerzo resultante, siete barras del
No. 5, debe distribuirse en una altura igual a
0.1 5 h a partir de la cara inferior de la viga. El
acero de flexión debe estar constituido por varias barras de diámetro no muy grande. El lector puede verificar que el área resultante de
13.2 cm2 es mayor que las mínimas señaladas
en el Reglamento.
Los esfuerzos de aplastamiento en los
apoyos se revisaron usando un esfuerzo per-
m
Figura 12.22 Detalles recomendados de
colocación del refuerzo cuando la carga está
aplicada en la parte inferior (según Leonhardt
[12.121).
to de vigas continuas de gran peralte. Véase
también la referencia 12.1 7.
12.3.3 Diseño de vigas de gran peralte por
e l Reglamento ACI-3 18-02
La definición de vigas de gran peralte está basada en el concepto de puntales y tensores.
Se especifica que estas vigas son aquellas cargadas en una cara y apoyadas en la cara
opuesta, de tal manera que se puedan formar
puntales de compresión como los mostrados
en la figura 12.19. Además se debe cumplir
alguna de las siguientes condiciones:
a) que el claro libre, l,, sea igual o menor a cuatro veces la altura total del
miembro; o
b) que haya regiones con cargas concentradas en una distancia no mayor
al doble de la altura de la viga a partir de la cara del apoyo; por ejemplo,
en la figura 12.19, la distancia del
paño del apoyo a la carga concentrada no debe exceder del doble de la
altura de la viga.
Vigas de gran peralte 401
402 Ménsulas y vigas de gran peralte
Vigas de gran peralte 403
404 Ménsulas y vigas de gran peralte
Vigas de gran peralte 405
misible de 0.50 fC, que resulta -en este caso- igual a 125 kg/cm2. Los esfuerzos producidos por la carga apl'icada son de 50
kg/cm2.
Para hacer la revisión por fuerza cortante, se calculó la resistencia nominal, Vn =
V,/$, usando la fuerza cortante de diseño en
la sección crítica. La resistencia nominal se
bd. Cocomparó con el valor de 2.5
mo resultó menor la resistencia nominal, se
cumple con la disposición del Reglamento ACI.
En el croquis de armado se indica, por
una parte, que el esfuerzo por flexión se coloca sin dobleces, ya que éstos reducen la
resistencia, según se ha comentado anteriormente, y, por otra, que en los extremos se
hacen ganchos horizontales para mejorar el
anclaje de las barras. En este croquis se
muestra una manera de anclar adecuadamente las barras horizontales, tanto las del
refuerzo principal como las del refuerzo por
cortante.
fl
Estas ecuaciones son semejantes a las
que propone Leonhardt.
Para fuerza cortante, la sección crítica
se considera a una distancia del paño del
apoyo igual a 0.1 5 L en vigas con carga un¡formemente repartida, e igual a la mitad de
la distancia a la carga más cercana en vigas
con cargas concentradas, pero no se supondrá a más de un peralte efectivo del paño
del apoyo si las cargas o reacciones comprimen directamente dos caras opuestas de la
viga, ni a más de medio peralte en caso contrario.
La resistencia total a cortante se calcula también como la suma de la resistencia
del concreto y la del acero de refuerzo. La
primera se calcula con la ecuación
12.3.4 Diseño de vigas de gran peralte por
las NTC-04
Se definen como vigas diafragma a aquellas
cuya relación entre el claro libre, L, y el peralte total, h, es menor que 2.5, si son vigas
continuas, o menor que 2.0 si constan de un
solo claro libremente apoyado.
Cuando la relación de refuerzo, p, es
menor de 0.008, su resistencia a flexión se
puede calcular con la ecuación
donde el brazo del par, z, se valúa con las
siguientes ecuaciones
Los valores de M y V son los de la sección crítica y el término 3.5 - 2.5 M/Vd no
será menor que uno. S i las cargas y reacciones no comprimen directamente las caras
superior e inferior de la viga, este último término se tomará igual a uno.
S i la fuerza cortante de diseño, V
,, es
VcR,
la
diferencia
se
toma
con
remayor que
fuerzo que constará de estribos cerrados
verticales y barras horizontales, cuyas contribuciones se determinarán como sigue, en
vigas donde las cargas y reacciones comprimen directamente caras opuestas.
La contribución del refuerzo vertical se
supondrá igual a
406 Ménsulas y vigas de gran peralte
donde A, es el área del acero vertical comprendida en cada distancia, S, y fyvlel esfuerzo de fluencia en dicho acero.
La contribución del refuerzo horizontal
se supondrá igual a
Franja del refuerzo
complementario vertical
0.2 h o 0.2 L
El refuerzo que se determine en la sección crítica se usará en todo el claro. Tanto el
refuerzo vertical como el horizontal deben
cumplir con los requisitos para refuerzo por
cambios volumétricos que marcan las NTC04.
La fuerza cortante V, en vigas diafragma
no deberá exceder, en ningún caso, de
Franja del refuerzo
complementario
horizontal
Franja del refuerzo
inferior de flexión
' >Ld
Figura
12.23 Colocación del refuerzo
complementario en una zona de apoyo directo.
Las NTC incluyen también disposiciones
para el diseño de los apoyos, que, como se ha
mencionado, constituyen un aspecto crítico
del diseño. Se recomienda aumentar en 10
por ciento el valor de las reacciones calculadas como si la viga no fuese de gran peralte,
y colocar en las zonas próximas a los apoyos,
barras complementarias verticales y horizontales del mismo diámetro que las del refuerzo
usado para fuerza cortante y de modo que su
separación en esas zonas sea la mitad que en
el resto de la viga. En la figura 12.23 se ilustra
la forma de colocar este refuerzo.
En el ejemplo 12.4 se encuentra la resistencia a flexión y a fuerza cortante de una viga de gran peralte usando las NTC-O4 y
trabajando con sistema SI. En este caso se conocen las dimensiones de la viga, su acero de
refuerzo y las resistencias del acero y del concreto. Se supone que la viga tiene una carga
distribuida uniformemente.
El momento flexionante resistente se calculó con la ecuación 12.28. El brazo del par,
z, se determinó con la ecuación 12.29, ya que
la relación L/h resultó mayor que uno. Se veri-
ficó que la relación de refuerzo, p, fuese menor que 0.008, ya que sólo en este caso es
aplicable la ecuación 12.28. En el cálculo de
p se supuso un peralte efectivo de 2300 mm,
o sea que el centroide del acero de tensión estaba a 200 mm arriba del lecho inferior de la
viga.
Para determinar la resistencia a fuerza
cortante, se estableció primero la posición de
la sección crítica, que queda localizada a una
distancia de 0.1 5 L del paño interior del apoyo. La distancia al centro del apoyo resultó
entonces de 855 mm. Después se calcularon
los valores de la fuerza cortante y del momento flexionante en la sección crítica, y a partir
de estos valores se determinó la relación
M/Vd, que se requiere para aplicar la ecuación 12.31 SI.
Finalmente se calculó la fuerza cortante
resistente como la suma de las contribuciones
del concreto (ecuación 12.31 SI), del acero de
refuerzo vertical (ecuación 12.32) y del acero
de refuerzo horizontal (ecuación 12.33). Obsérvese que estas dos últimas ecuaciones son
adimensionales. La fuerza cortante calculada
de esta manera resultó menor que la máxima
admisible.
Vigas de gran peplte 407
408 Ménsulas y vigas de gran peralte
Referencias 409
Referencias
12.1
12.2
12.3
"
12.4
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12.9 Mattock, A.H. "Shear Transfer in Concrete Having Reinforcement at an Angle to the Shear Plane". En Shear in Reinforced Concrete (SP-42).
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12.10 Mattock, A.H., W.K. Li y T. C. Wang. "Shear
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12.7
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12.1 6 Rogowsky, D. M., J. G. MacGregor y S. Y. Ong.
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12.18 Mau, S. T., y T. T. Hsu "Formula for the Shear
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12.1 9 Schlaich, J., Schafer, K. y Jennewein, M. "Toward
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12.20 Marti, P. "Truss Models in Detailing". Concrete
International, diciembre 1985.
12.21 Fanella, D. A., y Rabat, B. G. "Notes on ACI 31802 Building Code Requirements for Structural
Concrete with Design Applications", Portland
Cement Association, Skokie, 2002.
12.22 Wight, J. K., y Parra-Montesinos, G. J. "Strut-andTie Model for Deep Beam Design". Concrete International, mayo 2003.
12.23 Uribe, C. M., y Alcocer, S. M. "Comportamientode
vigas peraltadas diseñadas con el modelo de puntales y tensores". Centro Nacional de Prevención
de Desastres (SEGOB), México, diciembre 2001.
Ejercicios
Diseñar la siguiente ménsula por el método de
Kriz y Raths.
12.4
Determinar el acero en la unión mostrada en la
siguiente figura, suponiendo que la unión debe
resistir un momento flexionante de 30 ton-m y
una fuerza de 15 ton. Usar el reglamento ACI
318-02.
Ir'< / / ~ l
Viga colada en el
sitio
O
r9
'1
Superficie rugosa
b=30cm
f; = 200 kg/cm2
Determinar la resistencia de la ménsula del
problema anterior por el método de cortante
por fricción.
Diseñar la ménsula del problema 12.1 suponiendo que, además de la carga vertical, existe
una fuerza horizontal de 25 ton. Utilícese el
método del Reglamento ACI 31 8-02.
fy= 2800 kg/cm2
Columna precolada
12.5 Diseñar la viga de gran peralte del ejemplo 12.3,
suponiendo que la carga se encuentra aplicada
en la parte inferior.
CAP~TULO
13
Efectos de esbeltez
13.1 Introducción. 113.2 Comportamiento
y variables principales. 113.3 Métodos de
dimensionamiento. 11 3.4 Cálculo de los
efectos de esbeltez. 11 3.5 Ejemplos.
sus extremos, sujeta a carga axial y momento flexionante (figura 13.1 a). Esta columna
es equivalente al sistema mostrado en la figura 13.1 b, y tiene el diagrama de momentos flexionantes de la figura 13.1 c. Al aplicar
la carga P al sistema de la figura 13.1 b, éste
se deforma, como se muestra en la figura
13.1 d, y, como consecuencia de esta deformación, aumenta la distancia de la línea de
acción de las cargas P al eje de la columna,
lo cual equivale a que crezca la excentricidad de la carga en una cantidad y. Por lo
tanto, el momento flexionante real en una
sección cualquiera de la columna es
El momento es máximo, para este ejemplo, a la mitad de la altura, donde alcanza el
valor
13.1 Introducción
Se entiende por efecto de esbeltez la reducción de resistencia de un elemento sujeto a
compresión axial o a flexo-compresión, debida a que la longitud del elemento es grande en comparación con las dimensiones de
su sección transversal. Para ilustrar este efecto, considérese una columna articulada en
Como consecuencia de los momentos
adicionales Py, la resistencia del elemento
se reduce con respecto a la resistencia que tendría si sólo se aplicase el momento Pe. Esta
reducción de resistencia se conoce como
efecto de esbeltez. Éste se presenta cualquiera que sea la longitud del elemento, pero es importante únicamente en elementos
Figura 13.1 Momentos adicionales en una columna por efecto de esbeltez.
41 2
Efectos de esbeltez
Punto de
inflexión
Momentos
adicionales
Figura 13.2 Momentos adicionales en una columna por efecto del desplazami,ento lateral relativo
(viga de rigidez infinita).
cuya relación longitud-peralte es grande, o
sea, en elementos esbeltos. Sólo en estos
elementos la magnitud de los momentos adicionales, Py, es significativa en relación con
los momentos Pe.
La reducción de resistencia por esbeltez
puede deberse también a desplazamiento
lateral relativo entre los dos extremos de la
columna, como sucede en marcos no contraventeados sujetos a carga lateral o que
presentan asimetría en carga o en geometría.
En la figura 13.2a se muestra un marco de
este tipo. La columna A-B de este marco tiene el diagrama de momentos de primer
orden mostrado en la figura 13.2b. (Se entiende por momentos de primer orden los
que no consideran las deformaciones de la
columna.) Por efecto del desplazamiento lateral relativo entre los extremos de la columna (figura 1 3 . 2 ~ se
) ~presentan en la columna
A-B los momentos de segundo orden mostrados en la figura 13.2d. (Se entiende por mo-
mentos de segundo orden, los momentos
adicionales debidos a las deformaciones de
la columna. El desarrollo de estos momentos
suele denominarse efecto PA, ya que el desplazamiento del marco se representa con la
letra griega A.) El diagrama de momentos totales es el de la figura 13.2e. E l caso representado en la figura 13.2 corresponde a un
ejemplo hipotético en el que la rigidez de la
viga superior es infinita, o sea que la columna está empotrada en sus dos extremos.
Cuando la rigidez de la viga es finita, los
momentos adicionales son diferentes en los
dos extremos de la columna, como se muestra en la figura 13.3. Los momentos adicionales se pueden calcular aplicando la carga
P en el punto de inflexión de la columna, y
multiplicando dicha carga por el desplazamiento de los extremos con respecto al punto de inflexión. La reducción de resistencia
por esbeltez es mayor cuando los extremos
de la columna pueden sufrir desplazamiento
Figura 13.3 Momentos adicionales en una columna por efecto del desplazamiento lateral relativo
(viga de rigidez finita).
la misma forma, las combinaciones de P y M
quedan representadas por la curva 0-2. La diferencia en las abscisas de los puntos de las
dos líneas correspondientes a un nivel dado
de carga, se debe precisamente a los momentos adicionales Py. La resistencia de la
columna esbelta está representada por la intersección de la Iínea 0-2 con el diagrama de
interacción. Como puede verse en la figura,
es menor que la resistencia de la columna
corta.
En la figura 13.46 se ha indicado también,
con Iínea de punto y raya, la historia de carga
de una columna sumamente esbelta que falla
lateral relativo, que cuando están restringidos contra el mencionado desplazamiento.
En la figura 13.4b se ha trazado con una
línea llena el diagrama de interacción de una
columna corta en la que los efectos de esbeltez son despreciables. S i en esta columna se
aumenta la carga progresivamente, manteniendo constante la excentricidad, las combinaciones de P y M quedan representadas
por la recta 0-1. La intersección de la recta
0-1 con el diagrama de interacción representa la resistencia de la columna corta. Si en
una columna esbelta, como la de la figura
1 3.4a, la carga aumenta progresivamente en
P.
P
1. Resistencia columna corta
2. Resistencia columna esbelta
3. Inestabilidad
esbeltez
Ymáx
o
M
Figura 13.4 Comparación del comportamiento de una columna corta, de una columna esbelta
y de una columna que falla por inestabilidad.
41 4
Efectos de esbeltez
por inestabilidad. La característica de este tipo
de falla, es que la carga aplicada alcanza su valor máximo antes de que la línea que representa la historia de carga corte al diagrama de
interacción. La falla, en este caso, ocurre por
pandeo súbito del elemento, mientras que en
el caso anterior, la falla ocurre por aplastamiento del concreto, en forma similar a la falla
de una columna corta. Debido a que los elementos de concreto reforzado son de sección
transversal relativamente grande, es raro que
fallen por inestabilidad. De ordinario, se presenta únicamente una reducción de resistencia
por efecto de esbeltez. En este capítulo se describen métodos para calcular esta reducción
de resistencia.
13.2 Comportamiento y variables
principales
El comportamiento de una columna que forma parte de una estructura de concreto
reforzado es complejo, debido a que las estructuras generalmente son monolíticas y a
que las columnas están restringidas por otros
elementos estructurales que influyen en su
comportamiento. Se han realizado ensayes
de columnas esbeltas que forman parte de marcos de concreto. Sin embargo, la interpretación de su comportamiento requiere un estudio
previo del comportamiento de estructuras hiperestáticas y cae fuera del alcance de este texto.
Sólo se describirá aquí la influencia de algunas
variables sobre la resistencia de columnas esbeltas que forman parte de estructuras.
a) Rigidez a flexión de las vigas que
restringen a la columna
Mientras mayor sea esta rigidez a flexión, es
mayor el grado de empotramiento o restricción de la columna en sus extremos y, por lo
tanto, son menores las deflexiones de la
columna y los momentos adicionales Py.
Este efecto puede verse en la figura 13.5, en
la cual se comparan una columna restringida por vigas flexibles (figura 13.5a) y otra
restringida por vigas rígidas (figura 13.5b).
b ) Rigidez a flexión de la columna
La rigidez a flexión de la propia columna tiene influencia sobre la reducción de resistencia por esbeltez, ya que mientras más rígida
sea la columna, son menores sus deflexiones
y, por lo tanto, el valor de los momentos adicionales Py. La rigidez a flexión de la columna depende principalmente del tamaño de la
sección transversal, del módulo de elasticidad
del concreto, del porcentaje de refuerzo longitudinal y de la longitud de la columna. El
efecto combinado del tamaño de la sección
transversal y de la longitud, suele tomarse en
cuenta en los métodos de dimensionamiento
mediante el parámetro llamado esbeltez de la
columna, que se define como la relación entre la longitud y el radio de giro de la sección
transversal. A veces, la esbeltez se define también en función de la relación entre la longitud y la dimensión menor de la columna.
C ) Relación de excentricidades en los dos
(a) Vigas flexibles
(b)Vigas rígidas
Figura 13.5 Efecto de la rigidez flexionante de
las vigas que restringen a una columna.
extremos de la columna y tipo de
curvatura
La relación de excentricidades, o sea, la relación entre los momentos en los dos extre-
Comportamiento y variables principales
415
+
Ymáx
Figura 13.6 Efecto de esbeltez en columnas con doble curvatura.
mos de la columna, influye en la magnitud
de las deflexiones y, por lo tanto, en los momentos adicionales por esbeltez. Considérese, por ejemplo, el caso mostrado en la
figura 13.6a1 en el que los momentos de
apoyo sobre barra son del mismo signo, y el
diagrama de momentos flexionantes de primer orden es el indicado en la figura 13.66.
La columna deformada tiene la forma mostrada en la figura 1 3 . 6 ~y ~el diagrama final
de momentos, que se obtiene sumando el
diagrama de la figura 13.6b con los momentos adicionales Py, es el mostrado en la figura 13.6d. Puede verse que, en este caso, el
momento máximo de primer orden y el momento máximo adicional, Pymá,, ocurren en
secciones diferentes de la columna. Por consiguiente, el momento máximo total no es la suma de los momentos máximos de primer y
segundo orden, sino un valor menor. Para
que haya reducción de resistencia por esbeltez en columnas de este tipo, es necesario
que los momentos adicionales sean lo suficientemente grandes para desplazar la sec-
ción de momento máximo, como se muestra
en la figura 13.6d. Puede suceder que la columna no sea lo suficientemente esbelta para que ocurra este desplazamiento. En este
caso no habrá reducción de resistencia, como se muestra en las figuras 13.6e y 13.6f.
Cuando hay reducción de resistencia, ésta
es relativamente pequeña, ya que el momento máximo no difiere mucho del momento
aplicado en el extremo.
Considérese ahora el caso en que los
momentos de apoyo sobre barra son iguales
y de signo contrario (figura 13.7a). Aquí, el
momento flexionante de primer orden es
constante a lo largo de la columna (figura
13.7b), y la columna se deforma con curvatura simple (figura 1 3 . 7 ~ )El
. momento máximo es igual a la suma del momento constante
y el momento adicional máximo Pymá,, que
ocurre a la mitad de la altura (figura 13.7d).
En estas columnas siempre hay reducción de
resistencia por esbeltez, cualquiera que sea
su longitud, y esta reducción es mayor que
en el caso de la figura 13.6, puesto que el
41 6
Efectos de esbeltez
adicionales
Figura 13.7 Efecto de esbeltez en columnas con curvatura simple.
momento máximo total es la suma de los
dos momentos máximos.
d) Desplazamiento lateral relativo entre los
dos extremos de la columna
Se ha mencionado que las columnas pueden formar parte de marcos que no tengan
posibilidad de sufrir deformaciones laterales, por estar contraventeados o unidos a otras
estructuras muy rígidas, o de marcos cuya
resistencia a cargas laterales dependa exclusivamente de la resistencia a flexión de sus
miembros, y que, por lo tanto, puedan sufrir
deformaciones laterales. También se ha mencionado que cuando los marcos pueden
desplazarse lateralmente, los momentos adicionales son mayores que cuando los marcos
no pueden hacerlo. Esto se debe a que, en el
primer caso, los momentos adicionales máximos se presentan generalmente donde son
máximos los momentos de primer orden, como
puede verse en las figuras 13.2 y 13.3.
La magnitud del desplazamiento lateral
relativo depende de la rigidez a flexión de las
columnas y de las vigas de los marcos. Si la rigidez a flexión de las vigas es pequeña, en relación con la rigidez a flexión de las columnas,
la rotación de los extremos de las columnas es
grande y aumenta, por lo tanto, el desplaza-
miento lateral relativo. El desplazamiento lateral también depende del tipo de carga que
actúa sobre el marco. Por lo general, es mayor
el desplazamiento cuando el marco está sujeto a cargas laterales que cuando está sujeto
únicamente a cargas verticales.
Para valuar el desplazamiento lateral debe considerarse la estructura en conjunto y no
solamente un marco por separado [13.111.
Por ejemplo, considérese la estructura de la figura 13.8, en la que existen muros rígidos en
los ejes A y D. Si actúa la fuerza horizontal F
sobre dicha estructura, los marcos B y C no
sufrirán desplazamientos laterales importantes, pese a no estar contraventeados, ya que lo
Muro rígido
A
B
-+
F
C
D
Muro rígido
Figura 13.8 Estructura con muros rígidos.
Métodos de dirnensionarniento
impiden los marcos A y D que son muy rígidos por la presencia de los muros. Se supone
en este ejemplo que existe una losa de piso lo
suficientemente rígida para obligar a que todos los marcos se deformen en conjunto. El
análisis detallado de estructuras para valuar
los desplazamientos laterales está fuera del alcance de este texto.*
e) Duración de la carga
Cuando la carga actúa por un periodo prolongado de tiempo, las deflexiones aumentan por efecto de la contracción y el flujo
plástico del concreto. Por lo tanto, aumentan
también los momentos adicionales y la reducción de resistencia por efecto de esbeltez. La influencia de la duración de la carga
es más importante mientras mayores sean las
deflexiones adicionales.
13.3 Métodos de dimensionamiento
Del análisis anterior sobre la influencia de
las distintas variables en la reducción de resistencia por esbeltez, puede deducirse que
la solución rigurosa del problema consiste
en calcular las deflexiones adicionales y los
momentos de segundo orden. La suma de
estos momentos y de los de primer orden es
igual a los momentos totales de diseño. Sin
embargo, el cálculo de los momentos de segundo orden, que se conoce con el nombre
de análisis estructural de segundo orden, resulta demasiado laborioso para fines de dimensionamiento de estructuras comunes.
Algunas de las razones que complican
este análisis son las siguientes. Es difícil evaluar con precisión las deflexiones de los elementos de la estructura en todas las etapas
de carga, ya que deben tomarse en cuenta el
* El lector interesado puede consultar la siguiente referencia: E.
Bazán y R. Meli. Diseño sísmico de edificios. Editorial Limusa,
México, 1999.
41 7
comportamiento inelástico del concreto reforzado y los efectos del agrietamiento, contracción y flujo plástico. Las rigideces relativas
de los elementos varían con la etapa de carga, ya que algunos alcanzan su momento de
fluencia antes que otros y, por lo tanto, pierden su rigidez más rápidamente. E l análisis
debe hacerse por aproximaciones sucesivas,
ya que los momentos adicionales producen
deflexiones adicionales, las que a su vez incrementan nuevamente los momentos. Por
ejemplo, considérese que en la figura 13.9,
la Iínea 1 representa la columna deformada
por efecto de los momentos de primer orden; los momentos adicionales, P y l , incrementan las deformaciones, y la columna
deformada queda representada ahora por la
Iínea 2; pero esto incrementa los momentos
adicionales, que ahora tienen el valor Py2;
las deflexiones también vuelven a aumentar
al aumentar los momentos adicionales, y así
sucesivamente. E l procedimiento de aproximaciones sucesivas se realiza calculando los
momentos y las deformaciones de la manera descrita, hasta que los incrementos entre
dos etapas sucesivas sean muy pequeños
en comparación con los momentos totales.
Figura 13.9 Incrementos sucesivos de deformaciones debidos a momentos de segundo orden.
41 8
Efectos de esbeltez
Puede suceder que el procedimiento no converja y entonces la estructura sea inestable.
Las consideraciones anteriores indican
que un análisis de segundo orden sólo puede hacerse en forma expedita con programas
para computadora bastante elaborados. Por
lo tanto, no suele usarse este procedimiento
excepto en estructuras importantes en las
que existan reducciones fuertes de resistencia por esbeltez. En este texto no se presentan métodos de análisis de segundo orden.
El lector interesado puede consultar las referencias 13.1, 13.2 y 13.14.
El dimensionamiento de columnas esbeltas en estructuras comunes suele hacerse
con métodos simplificados, en los que no es
necesario desarrollar análisis de segundo orden. Dichos métodos simplificados pueden
reunirse en los tres siguientes grupos.
a) Métodos de amplificación de momentos
Estos métodos consisten en obtener el valor
de la carga axial, P, y el momento flexionante, M, en las columnas de una estructura por medio de un análisis de primer orden,
y dimensionar las columnas para el mismo
valor de P y para un momento amplificado,
SM, donde S es un factor siempre mayor que
la unidad. En la figura 13.10 se ilustra este
concepto. S i se despreciase el efecto de esbeltez, la columna se dimensionaría para
los valores de P y M, y su resistencia sería la
correspondiente al punto 1 del diagrama de
interacción mostrado con la Iínea punteada.
Los incrementos de carga con un valor constante de la excentricidad estarían representados por puntos sobre la Iínea recta 0-1.
Para tomar en cuenta el efecto de esbeltez,
la columna se diseña para los valores P y
SM, y su resistencia es la que corresponde al
punto 2 del diagrama de interacción mostrado con Iínea llena. Los incrementos de carga están representados por puntos sobre la
Iínea 0-2, en la cual la excentricidad aumenta con el nivel de carga, puesto que el
valor de S depende, en estos métodos, del
valor de la carga de P.
Un ejemplo de estos métodos de amplificación de momentos es el presentado en el
Reglamento ACI 318-02 y en las NTC-O4 del
Reglamento del Distrito Federal.
b) Métodos del momento complementario
Figura 13.1 0 Valores de dimensionamiento en
los métodos de amplificación de momentos.
En estos métodos se calculan los valores P y M
mediante un análisis de primer orden, y a partir de estos valores se calcula la excentricidad
e = M/P que tendría la columna si no hubiera
efectos de esbeltez. A esta excentricidad, e, se
agrega una excentricidad adicional, el, que
es función de las principales variables que intervienen en la reducción de resistencia por
esbeltez. Al aumentar la excentricidad, el dimensionamiento de la columna se hace para
un momento total que es igual al momento de
primer orden más un momento complementario que resulta de multiplicar la carga P por la
excentricidad adicional el. El valor de la carga
P no se modifica.
En la figura 13.1 1 se muestra este concepto de dimensionamiento. E l punto 1 del
Métodos de dimensionamiento
41 9
Figura 13.1 1 Valores de dimensionamiento en
los métodos del momento complementario.
Figura 13.12 Valores de dimensionamiento en
los métodos del factor de reducción.
diagrama de interacción trazado con Iínea
punteada corresponde a los valores de P y M
con los que hay que diseñar la columna sin
considerar el efecto de esbeltez. El punto 2
del diagrama de interacción trazado con línea llena corresponde a los valores de P y M
con los que hay que diseñar la columna esbelta. Puesto que el valor de la excentricidad adicional es independiente del valor de
P, la Iínea 0-2, que representa incrementos
de carga de la columna esbelta, es una Iínea
recta, a diferencia de la Iínea 0-2 de los métodos de amplificación de momentos, que es
una Iínea curva. Sin embargo, los valores de
dimensionamiento en ambos métodos, o sea
los puntos 2, son similares.
de dimensionamiento, los valores de P y M
obtenidos de un análisis de primer orden se
dividen entre el factor y, con lo cual se obtienen valores amplificados, para los que se
dimensiona la columna.
Este concepto de dimensionamiento se
ilustra en la figura 13.12. El punto 1 corresponde a los valores de P y M con los que
hay que diseñar la columna corta, y el punto 2, a los de la columna larga.
En este caso no se considera el cambio
en la excentricidad causado por las deflexiones adicionales y los momentos de segundo
orden. Por lo tanto, en estos métodos es menos precisa la representación del comportamiento de la columna que en los dos
métodos anteriores. Por esta razón, actualmente se tiende a abandonar este enfoque
del problema. E l Reglamento ACI de 1963
presentaba un método basado en factores de
reducción, el cual se sustituyó en 1971 por
un método de amplificación de momentos.
La exposición detallada de los métodos
de cada grupo resultaría demasiado extensa
y de poca utilidad. Sólo se representan aquí,
C) Métodos del factor de reducción
En estos métodos se supone que la carga
axial y el momento que puede resistir una
columna esbelta son iguales a los que puede
resistir una columna corta, multiplicados
por un factor de reducción y, que siempre es
menor que la unidad. Por lo tanto, para fines
420
Efectos de esbeltez
por lo tanto, los métodos del Reglamento
ACI 31 8-02 y de las NTC-04 del Reglamento del Distrito Federal, que son muy similares. En ambos casos, la presentación de este
capítulo se limita al cálculo de los momentos amplificados con los cuales se deben
dimensionar los elementos. En ambos reglamentos, si se exceden ciertas condiciones, se
especifica hacer un análisis de segundo orden.
mentos iguales en ambos extremos, la ecuación 13.1 puede aproximarse por la ecuación
Mmáx =
y para otros casos, por la ecuación
Mmáx =
13.4 Cálculo de los efectos de
esbeltez
13.4.1 Método del Reglamento ACI 3 18-02
a) Fundamentos del método
Es un método de amplificación de momentos basado en el análisis elástico de elementos esbeltos sujetos a carga axial y flexión,
los cuales se denominan frecuentemente
"vigas-columna". El análisis riguroso de estos elementos se puede efectuar aplicando
una ecuación diferencial de segundo orden
o un procedimiento numérico de aproximaciones sucesivas. Sin embargo, el análisis
simplificado indica que el momento máximo en una viga-columna que se deforma en
curvatura simple puede calcularse aproximadamente con la ecuación
donde M, y a, son el momento y la deflexión máxima de primer orden, respectivamente, P es la carga axial, y P, es la carga
crítica de Euler.*
En el caso de vigas-columna que se deforman en curvatura simple, y que tienen mo* Para un tratamiento del problema de pandeo, que incluya la
definición de carga crítica de Euler, consúltese algún texto especializado, por ejemplo: S.P. Timoshenko y J.M. Gere, Theory
of Elastic Stability. McGraw-Hill, 2a. ed., 1961, Nueva York.
M0
1-(P/P~)
CmMo
1 - (p/pc)
(13.3)
donde Cm es un factor que hace equivalente
el diagrama de momentos flexionantes del
elemento, al diagrama de un elemento con
momentos iguales en ambos extremos. La
ecuación 1 3.3 puede expresarse en la forma
donde
El término S de la ecuación 13.4 es el
factor de amplificación de momentos mencionado en la sección 13.3. Ahora bien, en la
sección 13.1 se explicó que los efectos de esbeltez son cualitativamente diferentes en
marcos sin desplazamiento lateral, como en la
figura 13.1, y en marcos con este desplazamiento, como en la figura 13.3. Análisis teóricos
más elaborados y ensayes en marcos de concreto reforzado confirman este diferente
comportamiento e indican la conveniencia
de tratar por separado ambos tipos de marcos.
Es importante tomar en cuenta que cuando la relación de esbeltez, kl,/r, definida más
adelante, excede de 100, el Reglamento ACI
no permite usar este método simplificado de
amplificación de momentos, y requiere efectuar un análisis de segundo orden.
Cálculo de los efectos de esbeltez
b) Marcos sin desplazamiento o con
desplazamiento lateral
Ya que los factores de amplificación de momentos son diferentes para ambos casos, se
debe determinar en primer término a qué tipo pertenece el marco analizado. En algunas
ocasiones, esto puede hacerse por simple
inspección de la estructura; si tiene diagonales de contraventeo robustas o muros de cortante rígidos, puede suponerse que el marco
no tendrá desplazamientos laterales importantes que obliguen a tomar en cuenta los
efectos PA y se trata como un marco sin
desplazamiento lateral.
Cuando no sea posible hacerlo por simple inspección, el Reglamento ACI especifica
dos métodos para determinar el tipo de marco. E l primero consiste en hacer un análisis
de segundo orden y considerar que el marco
no tiene desplazamientos laterales significativos si los momentos flexionantes producidos por los efectos de segundo orden no
exceden en más de 5 por ciento a los momentos de primer orden. Éste es un método
complicado, ya que es necesario hacer el
análisis de segundo orden.
El segundo método consiste en calcular
un parámetro llamado índice de estabilidad,
Q, definido por la ecuación1
donde
2 P u = suma de todas las cargas verti-
cales por arriba del entrepiso2
cuyas columnas se revisan por esbeltez.
-
-
-
-
' Se ha respetado la notación del Reglamento ACI que usa la letra Q para el índice de estabilidad. Sin embargo no debe confundirse con el parámetro Q que se usa en el Reglamento del Distrito
Federal para denotar al factor de comportamiento sísmico.
*
Se denomina piso al nivel en que se tienen vigas y losas, y
entrepiso, al espacio entre dos pisos consecutivos.
42 1
A, = deflexión lateral entre el piso superior y el piso inferior del entrepiso
en consideración, producida por
los momentos de primer orden.
V, = fuerza cortante horizontal en el entrepiso considerado, o sea, la suma
de las fuerzas horizontales que actúan en todos los pisos situados por
arriba del entrepiso.
1
, = altura del entrepiso medida centro
a centro de los pisos superior e inferior.
S i el índice de estabilidad es menor que
0.04 puede considerarse que los momentos
debidos al efecto PA no exceden del 5 por
ciento de los momentos de primer orden y
que por lo tanto los desplazamientos laterales no son significativos. Para una mejor
comprensión de los términos usados en el
cálculo del índice de estabilidad, se recomienda consultar la referencia ya mencionada de Bazán y Meli, o algún texto de análisis
estructural o de ingeniería sísmica.
C) Longitud efectiva de pandeo y relación
de esbeltez
Estos dos conceptos intervienen en el cálculo de la carga de pandeo estudiada en los
cursos de Mecánica de Materiales y también
en los métodos del Reglamento ACI y de las
NTC para calcular los efectos de esbeltez en
elementos de concreto reforzado. Se repasan aquí brevemente, pero también se recomienda consultar algún texto de mecánica
de materia le^.^
La longitud efectiva de pandeo, kl,, es
igual a la longitud real de la columna cuando ésta tiene sus dos extremos articulados y
no hay posibilidad de desplazamiento lateral relativo entre dichos extremos. Sin embargo, es diferente para otras condiciones de
Véase, por ejemplo, Beer y Johnston, Mecánica de Materiales,
McCraw-Hill Latinoamericana, Bogotá, 1982, pp 526-534.
422
Efectos de esbeltez
Longitud
I
l
k teórico
0.5
I
0.7
I
1 .O
I
1.0
I
2.0
2.0
Figura 13.13 Longitud efectiva de pandeo para diferentes condiciones de apoyo.
apoyo y cuando hay posibilidad de desplazamiento lateral relativo.
En la figura 13.13 se muestran las longitudes efectivas de pandeo de columnas con
condiciones ideales de restricción (perfectamente articuladas o perfectamente empotradas). En estructuras de concreto reforzado,
las columnas se encuentran restringidas parcialmente por los sistemas de piso, sin que
existan articulaciones o empotramientos perfectos. El grado de restricción depende de la
relación entre las rigideces de las columnas
y del sistema de piso, la cual puede definirse en la siguiente forma
En esta ecuación, K es la rigidez El/t;
ZK,,, se refiere a las columnas que concurren en un nudo en la estructura; ZKpiso se
refiere a los elementos que forman el sistema de piso y que están contenidos en el plano del marco estructural que se analiza; o
sea, que no se incluyen en la suma las rigideces de las vigas perpendiculares al marco.
El cálculo de la longitud efectiva de
pandeo en función del grado de restricción,
P, puede hacerse utilizando los nomogra-
mas de la figura 13.14, en los que % y PB
son los valores de P en los extremos A y B
de la columna. Para valores dados de PAy
!PB,las longitudes efectivas son mayores para columnas de marcos con posibilidad de
desplazamiento lateral. Esto refleja el hecho
de que los momentos de segundo orden son
mayores en este tipo de marcos, como ya se
ha señalado anteriormente. La longitud efectiva de las columnas de estos marcos tiende
a infinito cuando la rigidez del sistema de
piso tiende a cero, o sea, cuando las columnas están articuladas. En este caso se tiene
una columna inestable. En cambio, en columnas sin posibilidad de desplazamiento
lateral, la longitud efectiva, kt,, nunca es
mayor que la longitud real, tu.Los nomogramas de la figura 13.1 4 se desarrollaron para
columnas de comportamiento lineal, pero
pueden utilizarse en forma aproximada para
columnas de concreto reforzado.
La esbeltez de una columna se determina en forma cuantitativa con el parámetro
llamado relación de esbeltez, que es el cociente de la longitud efectiva de pandeo entre el radio de giro de la sección transversal
de la columna. Por lo tanto, se define como
kt,/r. El radio de giro, r, puede calcularse en
forma precisa como
E l Reglamento ACI
Cálculo de los efectos de esbeltez
(a) Marcos sin desplazamiento lateral
423
(b) Marcos con desplazamiento lateral
Figura 13.14 Factores para obtener las longitudes efectivas de pandeo.
permite calcularlo en forma aproximada como 0.30 veces el lado menor para columnas
rectangulares, o 0.25 veces el diámetro para
columnas circulares. La relación de esbeltez
se usa para calcular los factores de amplificación de momentos, para establecer los Iímites a partir de los cuales es necesario
revisar los efectos de esbeltez y para determinar cuándo pueden usarse los métodos
simplificados y cuándo hay que usar un análisis de segundo orden.
d) Valores de El
El Reglamento ACI especifica distintos valores del término E l para hacer el análisis de la
estructura y calcular las deflexiones laterales, y para calcular los factores de amplificación de momentos. En el primer caso los
valores de E l para columnas son mayores
que en el segundo caso. Esta diferencia se
justifica en términos probabilistas y se explica con detalle en la referencia 13.1 3. Los valores de E l especificados son los siguientes:
Para fines de análisis estructural y cálculo de
deflexiones,
Módulo de elasticidad E igual al módulo de
elasticidad del concreto E,.
Valores del momento de inercia 1,
En vigas: 0.35 lg
En columnas: 0.70 lg
En muros no agrietados: 0.70 lg
En muros agrietados: 0.35 lg
En losas y placas planas: 0.25 lg
En todos las casos, Ig es el momento de
inercia de la sección gruesa. Estos valores de
424
Efectos de esbeltez
El se usan también para calcular las rigideces K en la ecuación 13.7
Para fines de cálculo de los factores de
amplificación de momentos, para columnas
exclusivamente,
la columna, siempre positivo. Si se cumple
la condición expresada por la ecuación
13.1 0, los momentos amplificados no exceden en más de 5 por ciento a los obtenidos
en un análisis de primer orden t13.131.
Si no se cumple la condición anterior, las
columnas del marco deberán diseñarse para
la carga axial P, obtenida de un análisis de
primer orden y un momento amplificado
donde
En estas ecuaciones, I,, es el momento de
inercia del acero de refuerzo con respecto al
eje centroidal de la columna, y Bd es un factor
que toma en cuenta el efecto de las deformaciones diferidas; para marcos sin desplazamiento lateral, se define como la relación
entre la carga última axial máxima permanente y la carga última axial máxima asociada a la
misma combinación de cargas; para marcos
con desplazamiento lateral, se define como la
relación entre la fuerza cortante última de entrepiso máxima permanente y la fuerza cortante
última de entrepiso máxima; cuando las fuerzas cortantes de entrepiso son producidas por
sismo, Bd vale cero, ya que no hay fuerzas horizontales permanentes.
El término Pc es la carga crítica de Euler
que se calcula con la ecuación
El valor de El en esta ecuación se debe
calcular con las ecuaciones 13.8 o 13.9.
Para miembros sin cargas transversales
entre sus extremos, el término Cm se calcula
con la ecuación
e) Marcos sin desplazamiento lateral
En este tipo de marcos se puede obviar la revisión por efectos de esbeltez si se cumple la
condición:
donde MI es el menor de los momentos flexionantes en los extremos de la columna,
positivo s i la columna se flexiona en curvatura simple y negativo si se flexiona en doble curvatura; y M2 es el mayor de los
momentos flexionantes en los extremos de
De acuerdo con las definiciones dadas
para MI y M2,el cociente M1/M2resulta positivo si la columna se flexiona en curvatura simple
y negativo si se flexiona en curvatura doble. La
amplificación es mayor entonces en el primer caso, lo que coincide con lo explicado en relación
con las figuras 13.6 y 13.7. Cuando hay cargas transversales entre los extremos de las columnas, Cmdebe tomarse igual a 1 .O.
f) Marcos con desplazamiento lateral
El Reglamento ACI 318-02 permite despreciar los efectos de esbeltez en estos marcos
Cálculo de los efectos de esbeltez
si la relación de esbeltez k!,/r es menor que
22. S i no se cumple esta condición, los momentos flexionantes en los extremos de las
columnas se deben calcular con las siguientes expresiones:
En la ecuación 13.15, Mins es el momento en el extremo en que actúa MI debido
a las cargas que no producen desplazamiento
lateral significativo, calculado con un análisis
de primer orden. El término 6, es el factor de
amplificación para marcos con desplazamiento lateral. Y MI, es el momento en el extremo
en que actúa MI debido a las cargas que producen desplazamiento lateral significativo,
calculado con un análisis de primer orden. En
la ecuación 13.1 6 se aplican las mismas definiciones para el extremo en que actúa MZ.Se
puede ver que sólo se amplifican los momentos causados por las cargas que producen
desplazamiento lateral significativo, porque
estos momentos no actúan en las mismas secciones que aquellos debidos a cargas que no
lo producen, según se explicó en la sección
13.1.
El factor de amplificación 6, se calcula
con la siguiente ecuación:
El término Q es el índice de estabilidad
definido en la ecuación 13.6. La ecuación
13.1 7 es válida siempre que 6, no exceda de
1.5. Si se excede este valor, debe hacerse un
análisis de segundo orden, o bien, calcular
6, con la ecuación que se presenta a continuación:
425
'CPu ha sido definido en la ecuación 13.6
y 'CP, es la suma de las cargas críticas de Euler de todas las columnas del entrepiso en
consideración.
En las ecuaciones 13.1 5 y 13.1 6 se supone que los momentos máximos se presentan
en los extremos de las columnas, como se
muestra esquemáticamente en las figuras 13.2
y 13.3. Esto ocurre en la mayoría de los casos.
Pero en columnas muy esbeltas, el momento
máximo puede presentarse entre los extremos. Para tomar en cuenta esta posibilidad, el
Reglamento ACI especifica que si
que corresponde a columnas muy esbeltas, el
momento amplificado se calcule con la
ecuación 13.11, pero calculando MI y M2
con las ecuaciones 13.15 y 13.16.
13.4.2 Método de las NTC-04 del
Reglamento del Distrito Federal
El método es semejante al del Reglamento ACI.
A continuación se mencionan las diferencias
más importantes.
Para determinar si un marco tiene desplazamientos laterales significativos, las NTC presentan dos métodos. El primero indica que si
la columna analizada forma parte de un entrepiso donde la rigidez lateral de contravientos,
muros u otros elementos que den restricción
lateral no es menor que el 85 por ciento de la
rigidez total de entrepiso, pueden despreciarse
los desplazamientos laterales. En este caso debe revisarse la rigidez de cada diafragma horizontal a los que llega la columna. El segundo
método especifica que también pueden despreciarse los desplazamientos laterales si se
cumple la siguiente condición:
426
Efectos de esbeltez
donde
Q = factor de comportamiento sísmico
que depende del tipo de estructura,
y puede tener los valores 1,2, 3 o 4;
es diferente al parámetro denominado
también con la letra Q que aparece
en el Reglamento del ACI y en la ecuación 13.6 de este capítulo;
V = fuerza cortante de entrepiso;
A = desplazamiento de entrepiso producido por V;
W, = suma de las cargas de diseño acumuladas desde el extremo superior del
edificio hasta el entrepiso considerado, equivalente a ZP, en la ecuación
13.6;
h = altura de entrepiso, entre ejes, equivalente a l
,
en la ecuación 13.6.
Se puede ver que las ecuaciones 13.6 del
Reglamento ACI y 13.20 de las NTC son equivalentes para un factor de comportamiento
sísmico de 2, que corresponde a un valor intermedio entre el mínimo y el máximo de las
NTC.
El cálculo de los valores de El también tiene algunas diferencias con respecto al Reglamento del ACI. El módulo de elasticidad, E,
se considera igual al del concreto simple, pero el momento de inercia, 1, se considera igual
a 0.5Ig para vigas y muros agrietados, e igual a
Ig
para columnas y muros no agrietados, donde Ig
es el momento de inercia de la sección
gruesa. En vigas TI debe tomarse en cuenta el
ancho efectivo del patín. Cabe aclarar que estos valores de El se aplican para todos los fines de análisis estructural y no sólo para
efectos de esbeltez. En las NTC, el valor de El
que aparece en la ecuación para calcular la
carga crítica de Euler se calcula únicamente
con una ecuación equivalente a la 13.9 (el
término Bd se sustituye por u).
Otra diferencia significativa es que en las
NTC siempre es necesario revisar los efectos
de esbeltez en marcos con desplazamiento la-
teral significativo, a diferencia del Reglamento ACI que no obliga a ello cuando se cumple
la condición de que la relación de esbeltez,
kl,/r, sea menor que 22. Las NTC, al igual que
el Reglamento ACI, también requieren que se
haga un análisis de segundo orden cuando la
relación entre la longitud efectiva de pandeo
y el radio de giro exceda de 100.
13.5 Ejemplos
13.5.1 Método del Reglamento ACI 3 18-02
En el ejemplo 13.1 se ilustra la aplicación
del método descrito en la sección 13.4.1 a
la obtención de los momentos de diseño de
una columna interior de la planta baja de
una estructura. Se ha supuesto que la estructura está sujeta a carga por gravedad y sismo
simultáneamente, y que los resultados del
análisis estructural (no incluido en el ejemplo) indican que la columna en cuestión tiene una carga axial de 150 ton, y momentos
flexionantes de 50 ton-m y 70 ton-m en sus
extremos superior e inferior, respectivamente; en el ejemplo se indica la parte que corresponde a la carga por gravedad y la parte
que corresponde a sismo. También se ha supuesto que la estructura no está contraventeada lateralmente y que, por lo tanto,
puede sufrir desplazamientos laterales. Esto
se pudo haber verificado con la ecuación
13.6, pero el cálculo de los parámetros necesarios cae fuera del alcance de este texto.
El primer paso en la solución del problema
es la determinación de las rigideces relativas del
sistema de piso y de la columna.
La rigidez del sistema de piso depende
de varios factores, los más importantes de
los cuales son las dimensiones y la geometría de la viga y de la losa, el estado de agrietamiento de estos elementos, sus porcentajes
de refuerzo y las características del concreto. Es difícil tomar en cuenta el efecto de todas estas variables, por lo que suele recurrirse
.
Ejemplos
427
42 8
Efectos de esbeltez
Ejemplos
429
430
Efectos de esbeltez
Ejemplos
431
432
Efectos de esbeltez
a diversas hipótesis simplificadoras. Un problema especialmente complejo es el de definir la
contribución de la losa a la rigidez del sistema
de piso, en sistemas de losa y vigas.
Algunos estudios con computadora de
estructuras idealizadas, constituidas por columnas y vigas rectangulares, indican que es
conveniente considerar el momento de inercia de la sección agrietada y transformada
[13.9, 13.1 O]. Sin embargo, no se han hecho
estudios para determinar el ancho efectivo
del patín, cuando existe una losa colada monolíticamente con la viga.
En el ejemplo se calculó el momento de
inercia del sistema de piso, como el de una
sección T homogénea, con un ancho efectivo
del patín, a cada lado del paño del alma, igual
al menor de los dos valores siguientes: cuatro
veces el espesor de la losa, o el peralte total
de la viga menos el espesor de la losa. Este
criterio es semejante al que se recomienda para calcular las rigideces de sistemas de piso
para fines de determinación de momentos debidos a cargas verticales. El método tiene la
ventaja de que no es necesario conocer previamente el porcentaje de refuerzo de la viga,
ni determinar cuáles zonas de la viga se encuentran agrietadas y cuáles no.
Para calcular la rigidez de la columna
pueden usarse las ecuaciones 13.8 o 13.9, o
puede calcularse el momento de inercia de
la sección gruesa. De los estudios con computadora mencionados anteriormente, se
deduce que se obtienen mejores resultados
cuando se usa la ecuación 13.8. Sin embargo, el uso de esta ecuación presupone el conocimiento de la cantidad de acero que se
va a emplear y del recubrimiento correspondiente, datos que no se conocen hasta después de varios tanteos. En el ejemplo se usó
el momento de inercia de la sección gruesa
de la columna. Siguiendo las recomendaciones del Reglamento ACI 318-02, se usaron la
altura libre de la columna y el claro centro a
centro de las vigas para determinar los valores de las rigideces relativas.
Después se calcularon los factores !P
que indican la relación entre las rigideces de
las columnas y del sistema de piso con la
ecuación 13.7. Aunque en el ejemplo sólo se
analiza una columna, es necesario determinar el valor de Ppara todas las columnas del
entrepiso, ya que de él dependen la longitud
efectiva de pandeo y la carga crítica, y al
aplicar la ecuación 13.1 8 se necesita conocer la carga crítica de todas las columnas.
Los términos !P se calcularon en ambos
extremos de las columnas. En el extremo superior, el término 2KCoI incluye las rigideces
relativas de las columnas en cuestión (columna A-9) y de las columnas del piso superior (columna 9-C), ya que estas dos
columnas concurren en el nudo. El término
ZKvigas incluye dos vigas iguales que también concurren en el nudo, excepto para los
ejes a y e en que sólo concurre una viga. El
extremo inferior de la columna está empotrado, por lo que puede considerarse que en
dicho extremo existen vigas de rigidez infinita en comparación con la rigidez de la columna. Por lo tanto, el valor de !P es nulo.
Conocidos los valores de TI se determinaron en el nomograma de la figura 13.14 los
valores del factor, k, los cuales, multiplicados por las longitudes reales de las columnas, dan las longitudes efectivas de pandeo.
Obsérvese que para cada columna se
determinaron dos longitudes efectivas de
pandeo, una para la condición en que no
hay posibilidad de desplazamiento lateral y
otra para la condición en que sí la hay. Esto
se hizo así, por si hubiese sido necesario
usar las ecuaciones 13.1 1 y 13.12, lo cual
no fue el caso ya que no se estuvo en el supuesto de la ecuación 13.1 9.
Conocidas las longitudes efectivas de
pandeo, se verificó si era necesario considerar
el efecto de esbeltez y, en caso afirmativo, si
era posible usar este método o si se requería
un análisis de segundo orden. Se encontró
que el valor de k&/r quedó comprendido entre 22 y 100. Por lo tanto, sí es necesario con-
Ejemplos
siderar el efecto de esbeltez, pero no lo es
efectuar un análisis de segundo orden.
Después se calculó el factor de amplificación, S,, con la ecuación 13.8. La suma de
las cargas Pu se hizo para toda la planta de
la estructura con las cargas mostradas en la
sección de acciones internas del ejemplo.
Para calcular El se utilizó la ecuación
13.9. Aunque se obtienen mejores resultados
con la ecuación 13.8, el empleo de esta última requiere conocer previamente la cantidad
de acero y el recubrimiento, según se ha mencionado anteriormente. El módulo de elasticidad del concreto se obtuvo con la ecuación
del Reglamento ACI para concreto de peso
normal. El valor del término Bd, suele ser muy
pequeño cuando la estructura está sujeta a la
acción de sismos o vientos fuertes, como en
este ejemplo, ya que las cargas laterales permanentes son muy pequeñas en comparación
con las cargas laterales totales. Es posible, en
estos casos, considerar que Bdes igual a cero,
como se hizo en este ejemplo. Se calcularon las
cargas críticas de pandeo de todas las columnas para sustituir su sumatoria en la ecuación
13.1 8. El factor de amplificación S, resultó
de 1.1 4, y el momento máximo amplificado, de
79.1 ton-m. Si se compara este momento con el
de 70 ton-m que actúa en el extremo A de la
columna, se ve que el incremento por efecto de
esbeltez es de 13 por ciento.
El refuerzo de la columna debe calcularse,
pues, para que resista una carga axial de 150
ton y un momento flexionante de 79.1 ton-m.
En el capítulo 15 se ilustran los problemas generales del dimensionamiento de elementos sujetos a combinaciones de carga axial y momento.
En este ejemplo se ha calculado el efecto
de esbeltez para una columna y en una sola dirección. Para la estructura completa deben revisarse todas las columnas en las dos direcciones.
13.5.2 Método de las NTC-04
En el ejemplo 13.2 se han calculado los efectos de esbeltez para una columna semejante a
433
la del ejemplo anterior, usando las NTC. En
este caso se ha supuesto que la columna no
tiene posibilidad de desplazamiento lateral y,
como se muestra en los datos, que se flexiona
en curvatura simple, ya que los momentos en
los extremos son de signos contrarios. Se han
supuesto los valores de los términos 9que miden el grado de restricción de los extremos de
las columnas por el sistema de piso; son valores semejantes a los del ejemplo anterior.
La longitud efectiva de pandeo se ha
determinado ahora con la figura 13.1 4a, que
corresponde a columnas sin desplazamiento
lateral en sus extremos. La relación de esbeltez k&/r resulta menor que 100, por lo que
puede usarse el método simplificado de amplificación de momentos; s i no hubiese sido
el caso, se tendría que hacer un análisis de
segundo orden. Sin embargo, dicha relación
es mayor que el término 34-12(M1/M2),por
lo que se deben revisar los efectos de esbeltez. Obsérvese que como la columna se flexiona en curvatura simple, la relación M1/M2se
considera positiva.
Después se ha calculado el factor de
amplificación Fab, como se le denomina en
las NTC al factor ,S, del Reglamento ACI,
ecuaciones 13.1 1 y 13.1 2. Nótese que se ha
usado la ecuación que corresponde a miembros sin desplazamiento lateral y que nuevamente la relación M1/M2es positiva. Para
calcular la carga crítica de Euler se usó el
módulo de elasticidad correspondiente a
concreto clase 2. Se supuso un valor del parámetro u de 0.5. Este parámetro es equivalente al p del Reglamento ACI y mide el
efecto de las cargas permanentes en comparación con las cargas totales.
Con las suposiciones anteriores se obtuvo un factor de amplificación de 1.27, o
sea, que los momentos se amplifican en 27
por ciento por efectos de esbeltez. Por lo tanto, la columna debe d-iseñarse para un momento máximo de 12.7 ton-m en vez del
momento de 10 ton-m obtenido en el análisis de primer orden.
434
Efectos de esbeltez
Ejemplos
435
43 6
Efectos de esbeltez
Referencias
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
13.7
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13.8
13.9
13.1 0
13.1 1
13.12
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13.1 4
Parme, A. L. "Capacity of Restrained Eccentrically Loaded Long Columns". En Symposium
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BaZant, Z.P. y L. Cedolin, Stability of Structures: Elastic, Inelastic, Fracture, and Damage
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1991.
Ejercicios
43 7
Ejercicios
13.1
Determinar el efecto de esbeltez en la columna del ejemplo 13.1, suponiendo que el marco está contraventeado.
13.2
Calcular el efecto de esbeltez en la columna
localizada en la intersección de los ejes b-O
del ejemplo 13.1. Analice el efecto en la dirección O-y en el tramo inferior, suponiendo
que las dimensiones de las columnas y las vigas, sean las mismas que en el ejemplo 13.1.
~1 marco no está contraventeado en la dirección O-y.
CAP~TU
LO
14
Dimensionamiento
de vigas
14.1 El dimensionamiento de elementos de
concreto reforzado. 114.2 Recomendaciones generales para el dimensionamiento de
vigas. 114.3 Dimensionamiento de secciones sujetas a flexión. 114.4 Dimensionamiento de vigas.
14.1 El dimensionamiento de
elementos de concreto reforzado
14. l . 1 Introducción
Uno de los aspectos fundamentales del diseño de una estructura es el dimensionamiento de los diversos elementos que la integran.
En la sección 1.6 se definió el dimensionamiento de piezas de concreto reforzado como la determinación de sus propiedades
geométricas y de la cantidad y posición del
acero de refuerzo. Estas características deben escogerse de manera que se satisfagan
ciertos requisitos preestablecidos de seguridad y de comportamiento bajo condiciones
de servicio. Como en cualquier problema de
ingeniería, el costo influye de manera ¡mportante en la solución que por fin se adopte. Por último, debe procurarse que la
estructura sea estéticamente aceptable.
El procedimiento de dirnensionamiento
aplicado en los ejemplos que se presentan
en los siguientes capítulos es el llamado
plástico o de resistencia, que fue descrito en
la sección 1.6, citada. Según este procedimiento, los elementos deben dimensionarse
para que tengan determinada resistencia. En
los capítulos anteriores se han presentado
métodos para cuantificar la resistencia de
elementos de características conocidas. El
problema de dirnensionamiento es evidentemente el inverso, ya que consiste en determinar las características de una sección para
que cumpla ciertos requisitos de resistencia
y comportamiento.
Se ha insistido en que el requisito fundamental de un elemento estructural es el de contar con una resistencia suficiente. Es natural,
entonces, que la primera consideración que se
intente satisfacer al proponer determinadas dimensiones sea ésta. Así, se procura primero lograr secciones de resistencia suficiente y
después se comprueba la forma en que se
cumplen los requisitos de comportamiento bajo condiciones de servicio y los de economía.
En otras palabras, después de definidas las
características geométricas de la sección de
manera que tenga suficiente resistencia, se revisan, por ejemplo, las deformaciones y los
agrietamientos para comprobar si están dentro
de límites tolerables. Por último, una vez establecidas varias alternativas estructurales aceptables, se hacen comparaciones de costos para
escoger la más apropiada.
En este capítulo y los siguientes se ilustra
la técnica del dirnensionamiento por medio
de una serie de ejemplos sencillos que muestran
los problemas de dirnensionamiento más usuales. No se intenta abarcar todas las formas estructurales comunes en concreto reforzado, ni
se han hecho intervenir consideraciones económicas, salvo de manera rudimentaria. La intención principal es presentar soluciones
razonables que hagan comprender el proceso
que sigue el proyectista al dimensionar estructuras de concreto reforzado. Los ejemplos propuestos de ninguna manera deben tomarse
como modelos rígidos de secuelas de cálculo,
debiéndose considerar más bien como guías
que dan orientación de carácter muy general.
440
Dimensionamiento de vigas
En el diseño práctico de elementos de
concreto reforzado es usual seguir las recomendaciones de algún reglamento de construcciones. Algunos de los más comúnmente
usados en México son las Normas Técnicas
Complementarias para Estructuras de Concreto (NTC-04) del Reglamento del Distrito Federal [14.1], el Reglamento del American
Concrete lnstitute (ACI 318-02) [14.2] y el de
la Comisión Federal de Electricidad [14.4].
Otro reglamento importante es el Eurocódigo
2 "Proyecto de Estructuras de Hormigón". Los
eurocódigos serán los códigos de cálculo y diseño de estructuras para todo el ámbito europeo I14.31. Algunos de los ejemplos de
dimensionamiento de este texto se basan en
las indicaciones de las NTC-04, mientras que
en otros se siguen las del Reglamento ACI
31 8-02.
En general, no se han incluido métodos
de análisis estructural.
14.1.2 Observaciones generales sobre
dimensionamiento
Dada la cantidad de variables que intervienen, no es posible establecer un conjunto de
reglas rígidas para dimensionar. Sin embargo,
existen unos cuantos principios generales que
conviene respetar.
Fundamentalmente, debe buscarse la sencillez constructiva y la uniformidad, y deben
evitarse las discontinuidades tanto en las dimensiones del concreto como en la distribución del refuerzo. Los cambios bruscos de
sección no suelen ser convenientes. El refuerzo debe detallarse considerando la posibilidad de condiciones de carga no previstas
específicamente en el cálculo y los efectos de
las redistribuciones de momentos.
Dentro de las limitaciones que imponen
los requisitos de resistencia y de condiciones de servicio, el proyectista busca obtener
soluciones económicas en cuanto a consumo de materiales. Pero no debe olvidarse
que en el costo total de una estructura influ-
yen otros factores, tales como las cimbras y
obras falsas, la mano de obra, la duración de
la construcción y el procedimiento constructivo adoptado, además de la interacción
con los otros subsistemas de la obra (instalaciones eléctricas, sanitarias, etcétera). A veces
el proyectista se obceca con la idea de lograr un pequeño ahorro de acero o de concreto y cae en soluciones rebuscadas de
difícil ejecución, con el consiguiente aumento de costo. Es natural esta tendencia, ya
que las economías logradas reduciendo materiales son evidentes y fáciles de cuantificar. Sin embargo, un análisis completo y
cuidadoso de los costos totales de construcción lleva con frecuencia a la conclusión de
que la sencillez constructiva disminuye dichos costos totales, aun cuando el logro de la
sencillez implique mayor consumo de materiales. La sencillez constructiva conduce a
tiempos de ejecución menores y costos de
mano de obra inferiores.
Para lograr sencillez y rapidez constructiva, es conveniente estandarizar secciones
en el mayor grado posible, no solamente en
las estructuras prefabricadas, donde esto es
obvio, sino también en las estructuras coladas en el lugar. La estandarización de secciones trae consigo la simplificación de la
mano de obra y la posibilidad de lograr una
planeación eficiente del uso de cimbras. Como es natural, conviene también que los
elementos estructurales tengan formas geométricas sencillas.
También es aconsejable la estandarización de los detalles de refuerzo, de manera
que pueda reducirse a un mínimo el número de barras de características distintas. La
estandarización del refuerzo facilita las labores de habilitado y de colocación, al mismo tiempo que simplifica la supervisión y el
control de costos.
Una de las decisiones más importantes
con que se debe enfrentar el proyectista es la
elección de la combinación de calidades de
acero y concreto más conveniente. La tenden-
El dirnensionamiento de elementos de concreto reforzado
cia actual es usar aceros y concretos de resistencias cada vez mayores, lo que permite diseñar elementos ligeros y esbeltos. Sin embargo,
puede resultar más económico trabajar con
calidades inferiores cuando la esbeltez y la ligereza no son factores importantes, como sucede muchas veces.
Una observación semejante puede hacerse también en lo que se refiere al porcentaje
de acero conveniente. Se tiende a porcentajes
altos cuando es importante disminuir pesos y
lograr elementos esbeltos, y a porcentajes bajos en caso contrario. En las condiciones de
costo que rigen en nuestro medio actualmente, suelen resultar más económicos los porcentajes bajos.
Al detallar el refuerzo debe buscarse
siempre que los elementos resulten de comportamiento dúctil.
14.1.3 Detallado del refuerzo
Una de las ventajas del concreto reforzado
como material estructural radica en la facilidad con que puede variarse la resistencia de
Resistencia de la viga a flexión
441
los elementos a lo largo de sus ejes longitudinales, con el fin de ajustar dicha resistencia a la magnitud de las acciones internas.
Por ejemplo, en una viga libremente apoyada sujeta a carga uniformemente distribuida,
el momento flexionante es máximo en el
centro del claro y muy pequeño cerca de los
apoyos. Por lo tanto, se requiere mayor resistencia a flexión en el centro del claro que en
otras secciones de la viga. Esto puede lograrse disminuyendo el número de barras del refuerzo de flexión cerca de los apoyos, como
se muestra esquemáticamente en la figura
14.1. Al cortar las barras longitudinales, se
disminuye el peso total del acero de refuerzo, lo cual redunda en economía de materiales.
El corte de barras y, en general, todas las
recomendaciones relativas a colocación de
barras, formación de ganchos en los extremos,
formación y colocación de estribos y hélices y
otros aspectos similares, pueden denominarse
detallado del refuerzo. El detallado del refuerzo tiene importancia no únicamente para lograr economía en la cantidad de refuerzo,
7
momentos flexionantes
Figura
14.1 Variación de la resistencia a flexión de una viga
mediante
el corte de las barras del refuerzo de flexión.
442
Dimensionamiento de vigas
sino también para conseguir estructuras de
comportamiento adecuado.
Existen ciertos criterios para establecer
normas generales sobre detallado del refuerzo.
Con base en ellos, se han desarrollado recomendaciones específicas que se incluyen en
los reglamentos de construcción. Más importante que el conocimiento completo de todas
las recomendaciones de un reglamento, es tener en cuenta los criterios generales para lograr estructuras de comportamiento adecuado.
Algunos de estos criterios son los siguientes:
a) Los armados deben ser sencillos
Se ha señalado con anterioridad que una economía pequeña en la cantidad de acero lograda
a base de detalles complicados puede resultar
contraproducente por el incremento del costo
en mano de obra y supervisión.
b) N o debe haber congestionamientos
fluencia entre las secciones de momento máximo y sus extremos. Por lo tanto, se debe vigilar que siempre existan longitudes de
anclaje suficientes para desarrollar el esfuerzo
de fluencia.
e) Las estructuras deben tener un
comportamiento dúctil
Esto se logra limitando los porcentajes de refuerzo de flexión (capítulo 5) y cuidando los
detalles de anclaje de las barras longitudinales y del refuerzo transversal por cortante. El
detallado del refuerzo con longitudes de anclaje y traslapes amplios, sin cortes o dobleces excesivos en las barras y con estribos a
separaciones adecuadas, permite obtener
estructuras dúctiles, con un aumento pequeño en la cantidad de acero de refuerzo.
14.1.4 Ayudas de diseño. Uso de
computadoras
del refuerzo
S i la cantidad de acero es excesiva y no se
dejan separaciones suficientes entre las barras, se dificulta el colado del concreto. La
estructura puede debilitarse debido a la formación de huecos o zonas en las que el concreto se haya segregado.
C)
El refuerzo debe tener recubrimientos
adecuados
El recubrimiento protege al acero de dos agentes: la corrosión y el fuego. La magnitud del
recubrimiento debe fijarse, por lo tanto, según la
importancia de estos agentes agresivos. Debe
preverse siempre un recubrimiento suficientemente grande, a pesar de que el ancho de grietas es mayor mientras mayor sea el recubrimiento.
d) Las barras deben estar ancladas
En el capítulo sobre adherencia se señaló que
las barras deben desarrollar su esfuerzo de
Con el fin de simplificar la labor numérica
que se requiere en el dimensionamiento de
elementos de concreto, se han preparado
ayudas de diseño que pueden ser en forma
de gráficas, de tablas, o incluso de programas de computadora. Existen manuales que
reúnen diversas ayudas de diseño. Algunos
de los más usados son los de las referencias
14.4 a 14.1 0.
De gran utilidad son las calculadoras
programables de bolsillo, con las cuales pueden resolverse problemas de diseño de considerable complejidad. Con estas calculadoras
pueden resolverse desde ecuaciones de segundo grado, como la que resulta de despejar
el peralte en la ecuación general de flexión,
hasta rutinas de cálculo para encontrar las resistencias de distintos elementos, como las
que se presentan en vigas doblemente reforzadas o vigas T.
Recientemente se ha generalizado el uso
de las microcomputadoras o computadoras
personales. Muchos proyectistas de estructu-
Recomendaciones generales para el dimensionamiento de vigas
ras elaboran sus propios programas para fines
de diseño, pero existen también en el mercado
un gran número de programas disponibles para
diseñar todo tipo de miembros. Periódicamente se han hecho revisiones de los programas disponibles, pero debido a que permanentemente
aparecen nuevos programas, se recomienda
consultar los catálogos de pub1icaciones de instituciones especializadas, como el American
Concrete Institute, el Concrete Reinforcement
Steel lnstitute o el Instituto Mexicano del Cemento y del Concreto para obtener información
actualizada. La revista Concrete lnternational
dedica un número al año a presentar avances en la utilización de computadoras en el
concreto.
También existen programas para computadora~ de mayor capacidad que facilitan
distintos aspectos del análisis y dimensionamiento de estructuras de concreto. Entre los
más conocidos figuran el ETABS, el SAP, el RC
Buildings, el TRlCALC y el STAAD, con los
cuales pueden realizarse análisis sísmicos tridimensionales estáticos o dinámicos de una
gran variedad de estructuras. Algunos de ellos
permiten elaborar dibujos estructurales y órdenes de trabajo que describen los detalles de fabricación del refuerzo. En nuestro medio
también se han desarrollado algunos programas de este tipo, como el ECO y el CADSE.
Existen programas elaborados en ambientes muy amigables específicamente para
vigas, que pueden servir tanto para la práctica
como para la enseñanza. Un ejemplo es el
que se presenta en la referencia 14.1 1.
14.2 Recomendaciones generales
para el dimensionamiento
de vigas
14.2.1 Acero de flexión mínimo
El porcentaje mínimo del refuerzo de tensión
debe ser tal que la resistencia de la viga calculada con las hipótesis usuales sea aproxi-
443
madamente 1.5 veces mayor que el momento que provoca el agrietamiento, calculado
con el módulo de rotura del concreto y suponiendo la sección de la viga sin agrietar.
(Véase el ejemplo 14.4.) Los reglamentos
suelen especificar porcentajes mínimos aproximados para casos particulares, obtenidos
con base en consideraciones semejantes. Por
ejemplo, el Reglamento ACI 31 8-02 establece que el acero mínimo debe ser
o en sistema SI
donde b es el ancho en vigas rectangulares
o el ancho de la nervadura en vigas T. Para
secciones rectangulares, las NTC-04 especifican que el acero mínimo sea el dado por la
siguiente ecuación
o en sistema SI
Pueden construirse vigas sin refuerzo
de compresión, pero es frecuente colocar
por lo menos dos barras en las esquinas,
para poder armar los estribos que se utilizan
como refuerzo por cortante.
14.2.2 Acero de flexión máximo
Como se indicó en la sección 5.4, con el fin
de asegurar un comportamiento dúctil, los
reglamentos limitan la cuantía de refuerzo a
valores que varían del correspondiente a la
condición balanceada, pb, al 50 por ciento
444
Dirnensionarniento de vigas
de este valor. O bien, establecen que la deformación unitaria del acero más cercano a
la cara en tensión de la viga sea mayor que
cierto límite.
aspectos del detallado de barras mencionados anteriormente. Para mayor detalle véase
también la sección 9.1 0.
14.2.4 Doblado de barras
14.2.3 Corte de barras
El corte de barras debe hacerse de tal manera que la resistencia de la viga sea siempre
ligeramente mayor que el momento flexionante producido por las acciones exteriores
(figura 14.1). Por otra parte, como el diagrama
de momentos puede modificarse con respecto
al teórico por variaciones en la distribución
o en la magnitud de las cargas, y debido a
que las barras deben anclarse en sus extremos, se recomienda que éstas se prolonguen
cierta distancia, generalmente igual o mayor
que el peralte de la viga, más allá de la sección en donde pueden cortarse teóricamente. Además, debido a que el corte de barras
produce tendencia al agrietamiento en la viga y disminuye la resistencia a tensión diagonal (sección 7.6), no se permite efectuar
cortes a menos que satisfagan ciertos requisitos mínimos con respecto a las condiciones
de anclaje y la resistencia a tensión diagonal
de la viga. Por ejemplo, un requisito común
es que la resistencia en tensión diagonal en
la sección de corte sea sustancialmente mayor que la fuerza cortante en dicha sección.
También se recomienda prolongar una parte
importante del refuerzo positivo hasta penetrar en los apoyos, aunque teóricamente el
momento flexionante sea nulo. De la misma
manera, en vigas continuas debe prolongarse una parte de las barras de refuerzo negativo más allá del punto de inflexión; de
preferencia, conviene prolongar algunas barras a todo lo largo de la viga. Con esto, la
viga queda reforzada contra posibles inversiones de esfuerzos producidas por viento,
sismo, asentamiento de los apoyos de la estructura o alguna otra causa imprevista. En
los reglamentos de construcción se presentan recomendaciones cuantitativas sobre los
Algunas veces, las barras se doblan hasta la
cara opuesta del elemento, en vez de cortarlas. Esta práctica tiene la ventaja de que la
barra queda anclada en una zona de compresión y de que se disminuyen las concentraciones de esfuerzos que se originan en las
secciones de corte en zonas de tensión. Por
otra parte, el procedimiento de construcción
es un poco más complicado. Las recomendaciones generales sobre doblado de barras
son semejantes a las de corte de barras. En
vigas que forman parte de marcos expuestos
a acciones sísmicas suele recomendarse que
se evite el doblado de barras.
14.2.5 Separación entre barras
Las barras deben estar separadas en dirección transversal una distancia suficiente para
permitir que pasen libremente las partículas
mayores del agregado grueso del concreto.
Asimismo, cuando el refuerzo tenga que colocarse en más de una capa, debe haber suficiente separación entre capas consecutivas
para que todas las barras queden rodeadas
de concreto. Las barras del lecho superior
deben quedar en el mismo plano vertical que
las del lecho inferior. Suele recomendarse
que el espacio entre barras sea superior a 2.5
cm, al diámetro de las barras y a 1.5 veces el
tamaño máximo del agregado.
Cuando la cuantía de acero requerido
obliga a usar separaciones pequeñas, pueden formarse paquetes o haces de barras. El
número de barras en un haz suele limitarse
a cuatro. El uso de paquetes se restringe a
barras no mayores del No. 11. Las barras
que integran los paquetes deben ligarse firmemente entre sí con alambre. Los cortes de
las barras individuales deben hacerse en
Recomendaciones generales para el dirnensionarniento de vigas
secciones diferentes, de manera que la distancia entre cortes sea por lo menos igual a
40 diámetros. Generalmente las separaciones mínimas entre paquetes se determinan
tratándolos como barras simples con un área
equivalente.
Los haces reducen el congestionamiento pero obligan a poner especial cuidado en
los detalles de empalmes y dobleces.
14.2.6 Recubrimiento
Las NTC-04 establecen recubrimientos mínimos según dos condiciones. La primera se refiere a que se pueda colocar adecuadamente
el concreto fresco en las cimbras. Para esto,
señala que el recubrimiento debe ser mayor
que el tamaño máximo del agregado multiplicado por 1.25, que el diámetro nominal de
la barra de refuerzo o, si se trata de paquetes
de barras, que 1.5 veces el diámetro de la barra más gruesa. Estas disposiciones las hace
extensivas a las separaciones entre barras. La
segunda condición alude a la protección contra corrosión de las barras. Para esto especifica distintos recubrimientos que van de 2.5 a
7.0 cm según el grado de agresividad a que
esté expuesto el miembro estructural.
El Reglamento ACI-02 especifica un recubrimiento mínimo de 4 cm para vigas no
expuestas a la intemperie o en contacto con
el suelo, de 4 a 5 cm para vigas expuestas y
de 7.5 cm para vigas coladas directamente
contra el suelo. En el caso de paquetes de
barras, el recubrimiento, según este reglamento, será igual al diámetro equivalente
del paquete. Para ambientes corrosivos, recomienda aumentar los recubrimientos y
cuidar la densidad y porosidad del concreto.
14.2.7 Traslapes y empalmes
En muy pocas ocasiones se puede lograr que
todas las barras de refuerzo sean de una sola pieza. Es frecuente que sea necesario traslapar o empalmar las barras. Conviene evitar
445
que los traslapes o empalmes se hagan en
zonas en las que las barras trabajen a esfuerzos máximos o que queden varios de ellos
en la misma zona de la viga. Las longitudes
de traslape se calculan siguiendo los procedimientos descritos en el capítulo 9.
14.2.8 Ganchos
Para poder cumplir con los requisitos de anclaje en situaciones en que el espacio disponible está restringido, es necesario recurrir
al empleo de ganchos. Las características de
los ganchos se han descrito en el capítulo 9.
14.2.9 Indicaciones generales sobre el
detallado del refuerzo principal
Es conveniente procurar que el refuerzo en
todas las secciones de las vigas sea simétrico, usar un máximo de dos diámetros de barra diferentes en una sección dada y evitar
combinar barras cuyo diámetro difiera más
de 6 mm. Siempre que sea posible debe tenderse a colocar las barras en un solo lecho.
Cuando se emplean barras de diámetro diferente en varios lechos, las de mayor diámetro deben colocarse en el lecho más alejado
del eje neutro de la viga.
14.2.10 Estribos
En la sección 7.2.2 se señaló que los estribos
cerrados son los más convenientes, ya que
con ellos es más fácil cumplir con los requisitos de anclaje comentados en el inciso
9.10, según los cuales la longitud de desarrollo a partir del medio peralte de la sección debe ser suficiente para lograr la
fluencia del acero en dicho punto (figura
9.31). Por otra parte, la acción confinante
que proporcionan los estribos cerrados es
superior a la de los estribos abiertos, lo que
es conveniente en las porciones de vigas de
marcos expuestos a sismos donde existe la
posibilidad de fluencia del acero. En la figu-
446
Dimensionamiento de vigas
algunas barras de refuerzo distribuidas en
las caras laterales, para evitar que se formen
grietas por contracción en dichas caras. El
porcentaje de este refuerzo adicional debe
ser del orden de 0.2 a 0.4 por ciento.
Figura 14.2 Tipos comunes de estribos cerrados.
ra 14.2 se muestran dos tipos de estribos cerrados. En el tipo de la figura 14.2a el anclaje se
logra mediante ganchos doblados a 135", mientras que en el tipo de la figura 14.26, se consigue
traslapando los extremos de la barra. El primer
tipo parece proporcionar mejor confinamiento, pero el segundo es más fácil de fabricar.
En el capítulo 7 se indicó la forma de calcular el diámetro y la separación de los estribos,
cuando se concce la fuerza cortante. En el caso
de que el diagrama de fuerza cortante sea variable, como el de la figura 14.3, puede dividirse
en dos o tres segmentos de magnitud constante,
como se indica con línea punteada en la misma
figura. Debe tenerse en cuenta que el diagrama teórico de fuerza cortante puede modificarse por cambios imprevistos en la distribución de
la carga. Por esta razón no es conveniente dividir el diagrama de fuerza cortante en un número exagerado de segmentos, con el fin de
apegarse estrictamente al diagrama teórico.
14.2.11 Acero en las caras laterales
En vigas de peralte grande, aproximadamente más de 75 cm, es necesario colocar
Diagrama simplificado
Figura 14.3 Tipos comunes de estribos cerrados.
14.3 Dimensionamiento de
secciones sujetas a flexión
El problema del dimensionamiento por flexión
puede plantearse en distintas formas. Cuando
no existe alguna limitación particular, el proyectista tiene libertad completa para fijar las
características de la sección, tanto en lo que se
refiere a las dimensiones del concreto como a
la cantidad de acero. También puede seleccionar libremente las características del concreto
y del acero. Evidentemente, en cada caso existe un número infinito de soluciones técnicamente correctas. La elección de una solución
depende de consideraciones económicas y
constructivas, que pueden ser muy distintas según las circunstancias de cada caso.
Sin embargo, es común que el problema se
plantee con alguna restricción. Por ejemplo, hay
casos en que el proyecto arquitectónico establece alguna limitación en el peralte de ciertas vigas, de manera que el proyectista estructural
sólo puede fijar el ancho y el porcentaje de refuerzo. Otras veces lo que está fijo es el ancho,
y el proyectista calcula el acero y el peralte. Es
muy frecuente que el problema se reduzca a la
determinación del acero de una sección de características geométricas dadas. En las vigas
continuas, por ejemplo, es común conservar
una sección constante en toda la longitud de la
viga. Las características de la sección constante
se eligen de manera que satisfagan los requisitos de la sección crítica de la viga. En el resto de
ella, el problema queda reducido a la determinación del acero necesario. Una situación semejante se presenta en el caso de elementos
prefabricados con moldes estándar.
En esta sección se estudia el problema
del dimensionamiento de los dos tipos más
Dimensionamiento de secciones sujetas a flexión
comunes de secciones: secciones rectangulares y secciones T. También se dan algunas
indicaciones sobre el dimensionamiento de
secciones de forma cualquiera. Los métodos
de dimensionamiento se ilustran por medio
de ejemplos que se comentan en el texto.
En general se han seguido las recomendaciones de las NTC-O4 o del Reglamento ACI
31 8-02.
14.3.1 Secciones rectangulares simplemente
armadas
Ejemplo 14.1 Determinación del refuerzo de
una sección rectangular simplemente armada, dadas las dimensiones de la sección.
En este ejemplo se considera el caso de
la determinación del acero cuando están
fijas las dimensiones de la sección. Se proponen tres procedimientos para esta determinación.
E l primer procedimiento consiste en la
aplicación de una de las ecuaciones de flexión para secciones rectangulares (sección
5.3.3). En este ejemplo se utiliza la ecuación deducida en la figura 5.8 usando las
hipótesis del Reglamento ACI 3 18-02, e incorporando el coeficiente de reducción de resistencia, 4:
La incógnita de esta ecuación es el valor
de o, por lo que resulta una ecuación de segundo grado. Para resolver el problema es necesario
suponer un valor razonable del recubrimiento
y calcular de ahí el valor del peralte efectivo,
d. Una vez detallado el refuerzo, se verifica si
el valor supuesto fue adecuado.
El segundo procedimiento es de tanteos.
Consiste en suponer la profundidad del bloque equivalente de esfuerzos y aplicar las
ecuaciones de equilibrio de fuerzas y de momentos (sección 5.3.3). Generalmente, para
fines prácticos, con dos o tres tanteos se obtiene una aproximación suficiente.
447
El tercer procedimiento está basado en el
empleo de gráficas. En este ejemplo se usó la
gráfica del apéndice A, que representa la
ecuación deducida en la figura 5.8 para la determinación de resistencias nominales. Esta
gráfica puede emplearse para obtener valores
de o correspondientes a los momentos resistentes de diseño si se utiliza el valor de M, dividido por el factor de reducción, 4 . Así, a
partir de los datos del problema se calcula el
valor de la ordenada, M,/ 4 b&fC, con la que
se puede obtener en la gráfica el valor correspondiente de o en el eje de las abscisas.
El apéndice A incluye una gráfica análoga basada en las hipótesis de las NTC-04. Por
medio de tablas como las del Apéndice B,
pueden obtenerse directamente las cuantías
de acero, p, a partir de los valores de M,/b&.
Estas tablas, basadas en las NTC, fueron propuestas en la referencia 14.12 y han sido actualizadas para tomar en cuenta los cambios
en el bloque equivalente de esfuerzos vigentes desde 2002. Abarcan varias combinaciones de valores de f', y fy. Los resultados
obtenidos con ellas incluyen la influencia del
factor de reducción FR. Otras ayudas semejantes pueden encontrarse en los manuales.
El porcentaje de acero calculado por alguno de los procedimientos anteriores debe
estar comprendido entre ciertos límites, según
se ha señalado anteriormente. En este ejemplo, el Iímite inferior se determinó siguiendo
los criterios del Reglamento ACI. El límite superior se determinó de dos maneras. Primero,
se siguió lo establecido en el Reglamento ACI
para limitar la deformación unitaria del acero
de tensión más alejado del eje neutro a un mínimo de 0.004 (ver sección 5.4.1 ). Para esto,
se calculó dicha deformación a partir de la
profundidad del bloque equivalente y del eje
neutro obtenidas en el procedimiento por tanteos. De esta manera se obtuvo un valor de
de 0.00956, mayor que el mínimo permisible,
lo que garantiza que el acero esté fluyendo en
forma clara. Esta manera de determinar el
acero máximo tiene la desventaja de que es
448
Dimensionamiento de vigas
necesario conocer la profundidad del bloque
equivalente, la que no se obtiene por el método de ecuaciones o de la gráfica del apéndice
A. Por ello se determinó también a partir de
calcular la relación balanceada, pb. En secciones rectangulares con acero de tensión en el
lecho inferior únicamente, lo cual es común,
la disposición del Reglamento ACI se cumple
si la relación de refuerzo es menor a 0.7 pb.
Esta manera de calcular el límite máximo es
más expedita. Así se hizo en el ejemplo, y se
ve que también se cumple ampliamente.
Cuando el porcentaje resulta menor que el
mínimo, debe colocarse acero adicional para
alcanzar dicho valor, aunque no se precise
dicho acero por requisitos de resistencia.
Cuando resulta mayor que el máximo, debe
aumentarse la sección y, si esto no es posible,
debe colocarse refuerzo de compresión, el
cual aumenta la ductilidad (figura 5.4).
Una vez determinada el área teórica de
acero, se escoge una combinación de barras con
las cuales se obtenga un área que se aproxime lo
más posible al área calculada. Para obtener una
combinación conveniente son útiles ayudas de
diseño de manuales como la referencia 14.4. El
detallado se facilita también por tablas que dan
los anchos mínimos para alojar determinado número de barras, como las proporcionadas en el
manual citado y otros semejantes.
El armado propuesto se ajusta a las especificaciones del Reglamento ACI sobre los recubrimiento~y espaciamientos. Al revisar el
recubrimiento, r, correspondiente a este armado, se comprobó que era superior al supuesto inicialmente, lo que implica un menor
peralte efectivo. Sin embargo, como el área
del refuerzo propuesta fue mayor que la calculada, el momento resistente resultó mayor
que el requerido.
Dirnensionarniento de secciones sujetas a flexión
449
450
Dimensionamiento de vigas
Dimensionamiento de secciones sujetas a flexión
451
452
Dimensionamiento de vigas
Dimensionamiento de secciones sujetas a flexión
Al elegir las barras deben tenerse en
cuenta dos factores de tendencia opuesta.
Cuanto mayor sea el diámetro de las mismas, más económica será la mano de obra.
Sin embargo, el usar barras de diámetro
grande dificulta adaptar la resistencia de las
diversas secciones de la viga al diagrama de
momentos flexionantes, aumenta las longitudes de traslapes y anclajes y hace más críticos los problemas de agrietamiento.
Ejemplo 14.2 Determinación de las dimensiones y del refuerzo de una sección simplemente armada.
En este ejemplo se ilustra el caso más
general, en el cual se conocen el momento
flexionante y las resistencias de los materiales, y se trata de determinar las dimensiones
de la sección y el área de acero necesaria. El
análisis de la ecuación de flexión, según las
hipótesis de las NTC-04
muestra que hay tres variables independientes
que intervienen en este problema: b, d y q.
(Lo mismo es válido para la ecuación 14.3 basada en la hipótesis del Reglamento ACI 31 802.) Según la forma en que se plantee el
problema, y de acuerdo con algún criterio
conveniente, se suelen fijar los valores de dos
de estas variables y se calcula la tercera de
ellas. Una forma común de proceder consiste
en suponer un valor de p, a partir del cual se
determina el valor de q, y el valor de la relación bld. En casos prácticos puede resultar
preferible partir de la relación blh.
En el ejemplo se ha fijado el valor de p
y una relación b/d = 112. El valor de p que se
suponga debe estar comprendido entre los
límites inferior y superior permisibles, y debe fijarse atendiendo a consideraciones económicas. En general, para las condiciones
de costos prevalecientes en México, los por-
453
centajes pequeños suelen conducir a soluciones más económicas. Si el valor escogido
es del orden de 0.35 a 0.50 de pb, o menor,
habrá poco riesgo de que las deflexiones
sean excesivas. (En el ejemplo se escogió
p = 0.50pb.) Sin embargo, puede suceder
que sea necesario lograr secciones esbeltas,
por motivos arquitectónicos o para disminuir el peso propio, y entonces conviene
usar porcentajes elevados.
El valor de bld que se suponga, influye
considerablemente en el costo de la estructura: mientras más peraltada sea la sección,
menor es el consumo de materiales. Sin
embargo, el uso de peraltes excesivamente
grandes puede llevar a problemas de inestabilidad lateral y a un aumento en el costo de
los acabados del edificio, debido al incremento en el espesor de los sistemas de piso.
También el costo de la cimbra aumenta con
el peralte de la viga. Cuando no existen limitaciones en el peralte, los valores de bld suelen estar comprendidos entre 114 y 112,
aproximadamente.
En el ejemplo 14.2 se muestra el procedimiento a seguir, mediante el cual se obtuvieron los valores de d = 57 cm y b = 28.5
cm; estos valores son teóricos. Los cálculos
se hicieron con la ayuda del Apéndice B.
(Véanse las observaciones sobre las tablas
de este Apéndice en los comentarios sobre
el ejemplo 14.1 .)
Para efectos constructivos suelen establecerse dimensiones totales que sean
rnúltiplos de 5 cm. La razón de esto es la
conveniencia de escoger las dimensiones de
los elementos como múltiplos de un módulo dado. Un valor común de este módulo es
5 cm, ya que las dimensiones de los elementos de cimbra frecuentemente son rnúltiplos
de este valor.
En el ejemplo 14.2 se muestra un croquis con la sección final propuesta. En general, los valores finales de p y d resultan
ligeramente diferentes de los supuestos inicialmente.
454
Dimensionamiento de vigas
Dimensionamiento de secciones sujetas a flexión
455
456
Dimensionamiento de vigas
14.3.2 Secciones rectangulares doblemente
armadas
Puede suceder que una sección rectangular cuyas dimensiones hayan sido fijadas por alguna
restricción funcional no pueda soportar, como
sección simplemente armada, el momento a
que está expuesta sin violar los requisitos de
ductilidad mencionados en la sección 5.4. En
tal caso, la capacidad de la sección puede aumentarse adicionando acero de compresión e
incrementando el acero de tensión. Una manera de hacer esto según las indicaciones del ACI
318-02 se ilustra en el ejemplo 14.3. Puede seguirse un procedimiento semejante si se aplican las especificaciones de las NTC-04.
El acero de compresión también es útil
para reducir deflexiones, como se señaló en el
capítulo 11. La determinación de acero de compresión utilizado exclusivamente para controlar
las deflexiones, depende de los requisitos de
deformación que se hayan establecido.
A veces una sección tiene refuerzo de
compresión por motivos ajenos a la resistencia
o al control de deformaciones. Éste es el caso,
por ejemplo, de la viga continua de la figura
14.4. Los reglamentos exigen que parte del acero positivo requerido en las zonas centrales de
los claros se prolongue a los apoyos. En los apo-
yos interiores el momento es negativo, de manera que la parte inferior de la sección, por
donde pasan las barras prolongadas, está en
compresión. Estas barras pueden aprovecharse
para aumentar resistencia cuando es necesario
utilizar una sección cuya resistencia como simplemente armada es insuficiente. Sin embargo,
cuando existe libertad para escoger dimensiones, este tipo de solución resulta antieconómica por implicar un alto consumo de acero y
conducir a un congestionamiento del refuerzo
que dificulta el colado. Esto es aplicable no sólo al ejemplo de las secciones de los apoyos de
vigas sino también al dimensionamiento de vigas continuas en general.
Cuando se utiliza acero de compresión
por razones ajenas a la resistencia, no es práctico considerar su efecto en la determinación
del refuerzo principal de tensión, ya que dicho efecto es despreciable, como se indica en
la sección 5.2. En estos casos, la viga puede
tratarse como simplemente armada.
Ejemplo 14.3 Determinación del refuerzo en
una sección rectangular doblemente armada
de dimensiones dadas.
En este ejemplo se determinan las áreas
de tensión y de compresión de una sección de
dimensiones dadas. Siguiendo las indicaciones
Figura 14.4 Armado típico de una viga continua.
Dimensionamiento de secciones sujetas a flexión 45 7
del Reglamento ACI 318-02 se establece que el
acero de tensión no debe exceder del dado por
la siguiente expresión:
A', f',
As máx = Pmáx bd + 7
(14.5a)
'Y
donde pmá, = 0.75 pb, siendo pb la cuantía
de acero para la condición balanceada de
una sección rectangular simplemente armada. E l esfuerzo del acero de compresión, f;,
es el correspondiente al estado de deformaciones de la condición balanceada. Si el acero de compresión fluye, la ecuación (14.5a)
se simplifica, convirtiéndose en
As máx = ~ m á bd
x + A's
(1 4.5b)
Se aprecia que, según el Reglamento citado,
no es necesario aplicar el coeficiente de reducción de 0.75 al acero de compresión,
dada la naturaleza dúctil de este material. La
fundamentación de las ecuaciones 14.5a y
14.5b se presenta en la sección 5.4.2. El lector puede ver que esta ecuación es equivalente a la ecuación 5.3 de la figura 5.1 4.
Para mayor sencillez en los cálculos, éstos se efectuaron en función del momento
resistente nominal requerido, M., Como primer paso en la resolución, se calculó el momento M,
que puede resistir la sección,
como si fuese simplemente armada y tuviese una cuantía de acero de tensión igual al
75 por ciento de la relación balanceada. En
el ejemplo, este momento resultó de 52.73
ton-m, valor menor que el momento nominal, M, que debe resistir la sección (70 tonm), por lo que es necesario aumentar su
resistencia colocando mayor cantidad de refuerzo de tensión y adicionando refuerzo de
compresión. Para esto, se determinó la fuerza que resulta de dividir la diferencia entre
el momento nominal requerido, M, y el
momento, M, ,áX, definido arriba, por la distancia entre los centroides de los aceros en
tensión y compresión. El área de acero de
compresión, A's, se obtuvo dividiendo esta
fuerza por el esfuerzo del acero, que puede
estimarse con el diagrama del estado de deformaciones para la condición en estudio en
la que la profundidad del eje neutro es igual
al 75 por ciento de la profundidad para la
condición balanceada. En el ejemplo se comprueba que el acero de compresión fluye,
pero puede darse el caso de que esto no suceda y deberá entonces usarse el esfuerzo
apropiado. Al esfuerzo de fluencia, fy, se restó la cantidad 0.85
para tomar en cuenta
el área de concreto desplazada por el acero
de compresión. El acero de tensión total se
obtuvo dividiendo la fuerza de tensión, que
equilibra la resultante de las fuerzas de compresión correspondientes al acero de compresión y al concreto, por el esfuerzo de fluencia
del acero.
El armado propuesto con base en estos
cálculos se revisó, resultando un momento
último ligeramente mayor que el requerido.
También se revisó el requisito de ductilidad, comprobándose que el acero de tensión
propuesto es menor que el máximo admisible,
y se comprobó que la deformación unitaria
del acero de tensión, en la condición de equilibrio del segundo tanteo, es mayor que la mínima que acepta el Reglamento ACI de 0.004.
Los cálculos del ejemplo se basaron, en
general, en la aplicación directa de principios
básicos con la ayuda de diagrama5 de estados
de deformación. En el siguiente ejemplo se
ilustra la utilización para fines de diseño de
las ecuaciones obtenidas en la figura 5.9.
Para restringir la tendencia al pandeo de
las barras de compresión, es necesario confinarlas por medio de refuerzo transversal. Según el Reglamento ACI 31 8-02, los estribos
utilizados con este fin deben ser por lo menos
del No. 3 o del No. 4 si se usan barras del No.
1 1 o mayores, y su separación no debe ser inferior a 16 veces el diámetro de las barras
principales, 48 veces el diámetro de los estribos, o la menor dimensión de la sección
transversal de la viga.
f',
458
Dimensionamiento de vigas
Dirnensionarniento de secciones sujetas a flexión
459
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Dirnensionarniento de vigas
Dimensionarniento de secciones sujetas a flexión
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462
Dimensionamiento de vigas
Dimensionamiento de secciones sujetas a flexión
Ejemplo 14.4 Determinación del refuerzo en
una sección doblemente armada usando ecuaciones y el sistema SI.
Según los datos del problema, la sección
debe resistir un momento de 315 x l o 6
Nsmm y se deben usar las NTC-04.
En primer término se revisa si la sección
puede resistir el momento con acero de tensión únicamente. Se encuentra que el momento nominal máximo que puede resistir la
sección, usando el área máxima de acero permisible, es de 265 x 1 o6 N.mm. Este momento
es menor que el momento nominal aplicado,
el que a su vez es igual al momento último dividido entre el factor de carga, FRI correspon-
463
diente a flexión. Por lo tanto, sí se requiere
acero de compresión.
El acero de compresión necesario se determina igual que en el ejemplo anterior. La
diferencia entre el momento que debe resistir
la sección, M, y el momento que puede resistir como simplemente armada,
se
divide entre el brazo del par, d-d', para obtener la fuerza de compresión que debe resistir
el acero, C,. El acero de compresión requerido es igual a esta fuerza entre el esfuerzo en
el acero, .fy- 6.Obsérvese que el término f",
se resta para tomar en cuenta el concreto desplazado por el acero de compresión, aunque
su efecto sea muy pequeño. Al calcular el
464
Dimensionamiento de vigas
acero de compresión de esta manera se está
suponiendo que alcanza su límite de fluencia,
lo cual hay que verificar posteriormente.
El acero de tensión total es igual al máximo correspondiente a sección simplemente
armada más una cantidad igual al acero de
compresión. En un croquis se muestra el armado propuesto. El recubrimiento d' resultó
igual al propuesto en los datos, 40 mm, pero
el peralte efectivo es un poco menor. Por otra
parte, las áreas de acero son ligeramente
superiores a las teóricas.
A continuación se revisa si efectivamente
fluye el acero de compresión. Esto se hace calculando la deformación unitaria de este acero,
els,con la ecuación obtenida en la figura 5.9.
Obsérvese que las ecuaciones de esta figura
son válidas también para las NTC, ya que las
hipótesis del bloque equivalente son iguales;
únicamente hay que cambiar 0.85 f; por f",.
Dimensionamiento de secciones sujetas a flexión
465
466
Dimensionamiento de vigas
Dirnensionarniento de secciones sujetas a flexión
467
468
Dirnensionarniento de vigas
También puede obtenerse esta deformación por triángulos semejantes a partir del diagrama de deformaciones unitarias de la
sección transversal, como se hizo en el ejemplo anterior. En el ejemplo, el acero de compresión sí fluye, ya que e's resulta mayor que
9. No es necesario que el acero de compresión tenga que fluir, pero si no fluye, debe tomarse en cuenta esta situación al revisar el
momento resistente.
Después se revisa si el acero de tensión
proporcionado no excede el máximo permisible. Esto se lleva a cabo con la ecuación
15.4b. Se obtiene en el ejemplo que el área
proporcionada resulta mayor que la máxima
permisible. Esta situación sí debe corregirse,
porque significa que no se cumpla la condición de que la relación de refuerzo, p, sea menor que el 75 por ciento de p balanceada. La
corrección se logra aumentando ligeramente
el acero de compresión. Con esto se aumenta
la resistencia más allá de lo necesario, pero se
garantiza la ductilidad requerida.
Finalmente se revisa el momento resistente. Como se incrementó el acero de compresión de acuerdo con lo señalado en el
párrafo anterior, se volvió a verificar si alcanzaba su límite de fluencia. Se encontró que tal
era el caso, por lo que el momento resistente
se calculó con la ecuación correspondiente al
caso 1 de la figura 5.9. Si no hubiese sido así,
se tendría que haber calculado con las ecuaciones 4, 6 y 7, correspondientes al caso 2, de
la misma figura.
14.3.3 Secciones T
Uno de los sistemas de piso más comúnmente utilizados en estructuras de concreto, consiste en vigas que soportan losas de concreto
coladas monolíticamente con ellas. Se forman
así las llamadas vigas T. Si se .trata de vigas
libremente apoyadas, las reglas empíricas de la
tabla 11.4, que fijan relaciones peralte/claro,
pueden servir para una estimación preliminar
de dimensiones. Muy frecuente es el caso de
las vigas continuas, como la de la figura 14.4,
en el que las dimensiones de la nervadura quedan generalmente determinadas por los requisitos de momento negativo y de fuerza cortante en
los apoyos, donde la viga debe dimensionarse como viga rectangular. El espesor del patín
depende del diseño de la losa. En las porciones
centrales, sujetas a momento positivo, donde
la viga actúa como sección T, el problema se
reduce, entonces, a determinar el refuerzo necesario en una sección de dimensiones conocidas.
Éste es el caso que se ilustra en el ejemplo 14.5.
Ejemplo 14.5 Determinación del refuerzo de
una sección T de dimensiones dadas.
En este ejemplo se ilustra un procedimiento para determinar el área de acero necesaria en una viga de sección TI cuando se
conocen la geometría, el momento flexionante y las resistencias de los materiales. La viga
del ejemplo es parte de un sistema de piso formado por varias vigas T con una losa en la
parte superior. Esta losa es la que actúa como
patín de la viga T. La solución propuesta está
basada en las indicaciones de las NTC-04.
E l primer paso en la resolución del problema, es la determinación del ancho efectivo del patín, o sea, el tramo de losa que
forma parte del área de concreto sujeta a
compresión. La determinación precisa de este ancho es un problema complejo. En Teoría
de la Elasticidad se han obtenido soluciones
para vigas de materiales lineales. En el caso
de vigas de concreto reforzado se suele determinar el ancho efectivo mediante recomendaciones de reglamento. Así, en las
NTC-04, al igual que en el Reglamento ACI
31 8-02, se especifica que el ancho efectivo
es el menor de los tres valores mostrados en
el ejemplo, que, para este caso particular, es
la separación centro a centro de las vigas.
Esta manera de determinar el ancho efectivo
es aproximada.
Para determinar el área de acero se sigue
' un procedimiento de tanteos como el ilustrado en este ejemplo. Dicho procedimiento
,
Dimensionamiento de secciones sujetas a flexión
consiste en suponer un valor tentativo del brazo del par interno, z. Como primera aproximación puede utilizarse un valor de 0.9 d o
de (d - tl2). Generalmente con ambas expresiones se obtienen valores muy semejantes. En
el ejemplo se usó la primera.
A partir del valor tentativo de z, se calculó el área de acero necesaria, suponiendo
que el acero de refuerzo fluye, o sea, que la
sección es subreforzada. De esta manera se
obtuvo un área de 32.5 cm2. La fuerza de tensión que puede desarrollarse con esta área de
refuerzo es de 136,500 kg. Por equilibrio de la
sección transversal, la fuerza de compresión
en el concreto debe tener este mismo valor.
El siguiente paso consistió en determinar
si la fuerza de compresión necesaria para el
equilibrio alcanza a desarrollarse dentro del
patín, o si es necesaria la contribución del alma
de la viga. Si sucede lo primero, el eje neutro
cae dentro del patín y la viga es equivalente a
una de sección rectangular en la cual se ha eliminado el concreto que está a tensión. Puesto
que en los cálculos por flexión generalmente
se desprecia la contribución del concreto sujeto a tensión, el procedimiento que se sigue en
este primer caso es exactamente el mismo que
se seguiría para una viga de sección rectangular con un ancho igual al ancho efectivo del
patín.
Cuando la fuerza de compresión no alcanza a desarrollarse dentro del patín, el eje
neutro cae dentro del alma y la viga es realmente una viga T. En el ejemplo se presenta
esta situación, ya que la fuerza total de compresión requerida es 136,500 kg, mientras que
la fuerza que puede desarrollarse en el patín
es únicamente 108,800 kg.
En la mayoría de los casos prácticos, el
eje neutro cae dentro del patín y la viga se dimensiona como viga rectangular por alguno
de los procedimientos ya expuestos. Sin embargo, en el ejemplo los datos se plantearon
de tal manera que la viga fuese de sección TI
con objeto de ilustrar el procedimiento que se
sigue en estos casos.
469
Las fuerzas de compresión en el patín y
en el alma se calcularon usando el bloque
rectangular de esfuerzos equivalentes aceptado en las NTC-04 (figura 5.7). Los resultados
que se obtienen de esta manera son suficientemente precisos para vigas TI aunque existe
un cambio brusco en el ancho de la sección
transversal en la unión del patín con el alma.
Un procedimiento más preciso consiste en la
utilización del diagrama real esfuerzo-deformación del concreto, usando anchos variables de la sección transversal al calcular los
volúmenes de esfuerzos, en la forma descrita
en el capítulo 5. Si se usa el bloque rectangular de esfuerzos, sucede en algunos casos que
la fuerza de compresión alcanza a desarrollarse dentro del patín, aunque el eje neutro cae
dentro del alma. Esto ocurre cuando el eje
neutro queda ligeramente debajo del patín. En
estos casos, la viga puede dimensionarse como si fuese rectangular, aunque el eje neutro
esté dentro del alma, puesto que la influencia
de esta simplificación es despreciable.
Una vez determinadas en el ejemplo las
fuerzas de compresión en el patín y en el alma, se calculó la posición del punto de aplicación de la resultante de estas fuerzas, o sea,
de la fuerza total de compresión. Dicho punto de aplicación quedó a 5.5 cm de la cara superior del patín. A continuación se calculó el
brazo del par interno, z, que es la distancia
entre el centroide del acero de refuerzo y el
punto de aplicación de la fuerza de compresión. Este brazo resultó de 41.5 cm, algo menor
que el brazo supuesto inicialmente, 42.3 cm.
Se efectuó un segundo tanteo con un valor de
z = 41 cm. En este tanteo el valor calculado
de z = 41.2 cm fue prácticamente igual al supuesto, por lo que no se consideró necesario
hacer un nuevo ajuste. Se aprecia que el valor
del momento resistente, MRIdeterminado suponiendo z = 41.2 cm, es prácticamente igual al
valor de M, requerido. En general, no es necesario efectuar más de un ciclo para ajustar el área
de acero, ya que el valor calculado con el valor
preliminar de z es suficientemente preciso.
Dirnensionarniento de secciones sujetas a flexión
471
472
Dimensionamiento de vigas
Dimensionamiento de secciones sujetas a flexión
473
474
Dimensionamiento de vigas
Dimensionamiento de secciones sujetas a flexión
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476
Dirnensionarnientode vigas
Ejemplo 14.6 Determinación del refuerzo de
una sección T usando ecuaciones y sistema SI.
Este ejemplo está resuelto con el Reglamento ACI 318-02. En primer término se determinó el ancho efectivo del patín con las
tres disposiciones comentadas en el ejemplo
anterior. Nuevamente rigió la distancia centro
a centro entre vigas consecutivas. Después se
calculó el momento nominal que hay que resistir y se supuso un recubrimiento de 80 mm
para determinar el peralte efectivo.
Como no se sabe de antemano si el bloque de esfuerzos de compresión cae dentro
del patín o dentro del alma, se supuso tentativamente que caía dentro del patín. Bajo estas
circunstancias, la viga trabaja como viga rectangular con un ancho igual al ancho efectivo del
patín. Se usó, por lo tanto, la ecuación deducida
en la figura 5.8 para calcular la resistencia a flexión de vigas rectangulares subreforzadas, teniendo como incógnita el valor de o. Obsérvese
que el valor de b sustituido en la ecuación es
1500 mm. Se obtuvo un valor de o de 0.047
y un valor de la relación de refuerzo, p, de
0.0029.
A continuación se revisó si era correcta
la hipótesis de que el bloque de esfuerzos de
compresión cae dentro del patín. Para esto,
se calculó la profundidad del bloque, a, necesaria para equilibrar la fuerza de tensión
correspondiente a la fluencia del refuerzo;
véase la figura 5.1 0. Como a resultó menor
que t, el bloque de esfuerzos de compresión
cae dentro del patín y la hipótesis fue correcta. La viga trabaja en realidad como viga
rectangular y no como viga T. Es importante
hacer notar que si a hubiese resultado mayor
que t, no se hubiese podido usar la ecuación
deducida en la figura 5.8, ya que se estaría
en el caso del inciso 3 de la figura 5.1 0. En este
caso, para encontrar el área de acero se puede
proceder de la siguiente manera. Se calcula
el valor de Aspcon la ecuación 1 de la figura
5.1 O, y después se calcula el área A, con la ecuación 4 de la misma figura usando el momento nominal, M, que sea necesario resistir.
Finalmente se revisaron las limitaciones
de acero. Según el Reglamento ACI 318-02,
la relación mínima, pmjn, se aplica al área
de la nervadura únicamente. Por eso se usó el
valor de b' igual a 400 mm y no el ancho total del patín. La relación balanceada, pb, se
calculó con la ecuación deducida en la figura
5.12 para secciones rectangulares, ya que como se ha dicho, es la forma en que trabaja esta viga. Si a hubiese sido mayor que t, la
relación balanceada se tendría que calcular
con la ecuación deducida en la figura 5.14.
Obsérvese que en este caso, la relación pb
está definida en términos del área de la nervadura, como se indica en la misma figura.
En el ejemplo 14.6 se cumplen ambas
limitaciones de acero.
14.3.4 Secciones de forma cualquiera
La sencillez geométrica de las secciones que
se han estudiado en los incisos anteriores,
permite el desarrollo de fórmulas estándar
de cálculo y ayudas de diseño que facilitan
la labor de dimensionamiento.
Hay situaciones en que existen requisitos técnicos o arquitectónicos que obligan a
recurrir a secciones no convencionales, para
las cuales no se cuenta con procedimientos
directos de cálculo como los mencionados;
en tales casos suele recurrirse a tanteos. A
continuación se esboza un procedimiento
aplicable cuando se trata de un problema en
el que no existen restricciones en cuanto a la
forma, es decir, cuando el proyectista está libre para escoger la forma que mejor se adapta a los requisitos particulares del caso.
Para establecer dimensiones razonables
para un tanteo inicial, puede procederse como sigue. Se supone un peralte compatible
con las condiciones del problema, con lo cual
puede estimarse el brazo de la palanca disponible como una fracción del peralte total h. Es
usual considerar valores de 0.8h a 0.9h para
estos cálculos preliminares. Con el valor del
brazo supuesto se calculan las magnitudes de
Dimensionamiento de secciones sujetas a flexión
477
478
Dimensionamiento de vigas
Dimensionamiento de secciones sujetas a flexión 479
las fuerzas C y T del par interno. Si se aplican las
recomendaciones del ACI, el área de la zona
de compresión requerida se puede estimar de
acuerdo con la expresión
L
%loque
=
0.85 f',
donde Abloque es el área de concreto correspondiente al bloque de compresión definido
por el ACI. E l área de acero puede obtenerse por medio de
Con estos datos se propone una geometría tentativa y una distribución del refuerzo.
La resistencia de la sección propuesta se determina por el método general descrito en la
sección 5.6. S i la resistencia es del orden de
la requerida, el problema está resuelto. En
caso de no serlo, se hacen los ajustes necesarios. E l procedimiento de cálculo sugerido
se muestra esquemáticamente en la figura
14.5.
Al igual que en las secciones rectangulares y T, debe revisarse si se cumplen los requisitos de acero mínimo y máximo.
Para investigar s i el acero es superior a
un mínimo conveniente, se siguen las recomendaciones de la sección 14.2.1. Para investigar si el acero es inferior al máximo
permitido, puede procederse en la forma indicada en el ejemplo 14.5 para la viga T.
Muchas veces la geometría y el tamaño
de la sección han sido fijados previamente
por consideraciones ajenas a las de resistencia y comportamiento. En este caso el problema se reduce a determinar por tanteos el
acero necesario y a comprobar si se cumplen
los requisitos de acero mínimo y máximo.
480
Dirnensionarniento de vigas
A bloque
h
Figura 14.5 Dimensionamiento por flexión de una sección de forma cualquiera.
14.4 Dimensionamiento de vigas
En los ejemplos de esta sección se pretende
mostrar los principales aspectos del dimensionamiento completo de vigas. El ejemplo
14.7 trata el dimensionamiento de una viga
isostática de sección rectangular. El ejemplo
14.8 ilustra el dimensionamiento de una viga continua de sección T.
El cálculo de los momentos y fuerzas
cortantes de vigas continuas puede hacerse
por medio de cualquiera de los métodos usuales
de análisis estructural, teniendo en cuenta las
posiciones de la carga viva que produzcan
los efectos más desfavorables. También es posible recurrir a métodos aproximados, como
el de los coeficientes propuestos en el Reglamento ACI, cuya aplicación se ilustra en el
ejemplo 14.8. Estos coeficientes, que tienen
en cuenta de manera aproximada el efecto de
las variaciones de carga viva, son aplicables al
análisis de vigas continuas y losas en una dirección, siempre que se cumplan las siguientes condiciones:
a) La viga o losa tiene por lo menos dos
claros continuos. ,
b) Los claros son aproximadamente iguales, de tal manera que el mayor de los
dos claros adyacentes no exceda al
menor en más del 20 por ciento.
C) Las cargas están uniformemente distri buidas.
d) La carga viva por metro cuadrado no es
mayor que tres veces la carga muerta.
e) Los miembros son de sección transversal constante.
Los coeficientes del ACI se resumen en
la tabla 14.1.
Los coeficientes aproximados propuestos en el Reglamento ACI, implican la existencia de dos juegos de diagramas de fuerza
cortante y momento para cada claro, correspondiendo uno a la condición de carga que
produce el momento positivo máximo en la
zona central del claro y el otro a la condición que da los máximos momentos negativos en los extremos del claro. En las figuras
14.6 y 14.7 se muestran los diagramas para
un claro extremo, en que el apoyo extremo
es continuo con una columna, y un claro interior, respectivamente. Los valores de las
ordenadas y las distancias que aparecen en
los diagramas de las figuras citadas pueden
deducirse aplicando los principios de estática, ya que el uso de determinado coeficiente de momento, implica un diagrama de
Dimensionamiento de vigas
momentos estáticamente compatible. Otras
combinaciones de coeficientes pueden tratarse análogamente. Los diagramas descritos
facilitan el trazo de envolventes de momento para la determinación de las secciones
donde se puede cortar o doblar barras y de-
481
finen la localización de los puntos de inflexión, dato que se requiere para algunos aspectos del detallado del refuerzo.
El trazo de las envolventes de momentos
en la forma descrita permite detallar el refuerzo de manera que se ajuste con precisióh a los
Tabla 14.1 Coeficientes de momentos flexionantes y fuerzas cortantes del Reglamento
ACI 3 18-02
Momento positivo
Claros extremos
Extremo discontinuo sin restricción
Extremo discontinuo con restricción
Claros interiores
w, e2,/14
w, 1 i l l 6
Momentos negativos en el paño exterior del primer apoyo interior
Dos claros
Más de dos claros
w, 1$/9
w, e2,ll O
Momento negativo en los otros paños de apoyos interiores
w, t $ l l 1
Momento negativo en los paños de todos los apoyos para losas con
claros menores que 3.05 m y para vigas cuando la relación entre
la suma de las rigideces de las columnas y las rigideces de las
vigas es mayor que ocho en ambos extremos del claro
w, 12,112
Momento negativo en la cara interior del apoyo exterior de miembros
monolíticos con los apoyos
Cuando el apoyo es una viga de fachada
Cuando el apoyo es una columna
w, en124
w, 12,116
Fuerza cortante en claros extremos en el paño del primer apoyo interior
1.1 5 w,, tn/2
Fuerza cortante en los demás apoyos
WU1142
Notas:
1,
w,
W, t2,ii 1
es el claro libre para momento positivo y fuerza cortante y el promedio de
los claros libres adyacentes para momento negativo.
es la carga uniforme última total.
482
Dimensionamiento de vigas
requisitos teóricos. Sin embargo, el procedimiento es un tanto tedioso. Por ello, en aras
de la simplificación, en algunos manuales,
como los de las referencias 14.6 y 14.1 3, se
han propuesto armados estándar que satisfa-
cen de manera conservadora los requisitos
implícitos en los coeficientes aproximados de
momento del ACI. En la figura 14.8 se muestra una recomendación típica para los claros
interiores de marcos.
116 w,t;
(Tabla 14.1)
w,
1110 w,e; (Tabla 14.1)
-1 11O wUe;
a) Momento positivo máximo
b) Momentos negativos máximos
Figura 14.6 Claro extremo con apoyo extremo (a la izquierda) continuo con una columna.
Dimensionamiento de vigas
- 1/11 W , C ~ (Tabla 14.1)
a) Momento positivo máximo
1/11 w,ei
(Tabla 14.1)
b) Momentos negativos máximos
Figura 14.7 Claro interior.
483
484
Dimensionamiento de vigas
/
\
1
I
I
1
I
1
1
1 I
A:
Yi-
0.5 A,,
0.1251,
A
Figura 14.8 Armado estándar típico para un claro interior de una viga continua.
Ejemplo 14.7 Dimensionamiento de una viga isostática de sección rectangular.
La viga del ejemplo es una rectangular
sobre dos apoyos, con uno de sus extremos en
voladizo.
Las cargas dadas son a nivel de servicio y
aparecen desglosadas en cargas vivas, designadas con los subíndices cv, y cargas muertas,
designadas con los subíndices cm.
Para mayor sencillez en la exposición no
se hizo un estudio de variaciones de carga viva, que habría sido aconsejable en un caso
real. Se impone la limitación de que la cuantía sea del orden del 40 por ciento de la correspondiente a la condición balanceada. El
dimensionamiento se efectuó de acuerdo con
las NTC-04.
Puesto que es una combinación de carga
viva y carga muerta, las cargas a nivel último
se determinaron multiplicando por un factor
de carga Fc = 1.4. Las fuerzas cortantes y los
momentos debidos a estas cargas se determinaron como se muestra en la hoja de cálculo
2. El momento máximo se presentó en el. apoyo B y la fuerza cortante máxima, a la derecha
de dicho apoyo.
Para escoger las dimensiones de la sección
se determinaron los peraltes efectivos para varios anchos b correspondientes a p = 0.4 pb.
Como momento crítico, con un criterio conservador, se tomó el del centro del apoyo, y no
el momento en el paño del apoyo como suelen
permitir los reglamentos, por no ser el apoyo
continuo con la viga. Se determinó también la
máxima capacidad admisible en cortante para
las diversas combinaciones de b y d consideradas. Como se indicó en la sección 7.6.2b esta
aun
capacidad máxima es de 2.5 FR bd
para vigas con estribos. Se escogió una sección
de 30 cm de ancho. El peralte efectivo para esta
sección fue 74. Suponiendo un recubrimiento de
6 cm se obtuvo un peralte de 80 cm. Las proporciones de la sección escogida están dentro
de los valores usuales y la capacidad en cortante resultó adecuada, ya que la fuerza cortante
máxima, 19.8 ton, está entre VCRy VmáX.,dm.
La determinación de las áreas de acero
requeridas en las secciones críticas para las
dimensiones adoptadas, se muestra en forma
tabular en la hoja 4. (El cálculo de las cuantías de acero se hizo con la ayuda de las tablas del Apéndice B.)
Los armados propuestos se ilustran en
croquis. Como comprobación se calculó el
momento resistente correspondiente a estos
armados, que resultó adecuado. Se determinó también el momento resistente, m, para
dos barras del No. 8, dato útil para el corte
e,
Dirnensionamiento de vigas
de las barras de refuerzo negativo. Este valor
se estimó de manera aproximada suponiendo que el momento resistente es proporcional al área de acero.
Los detalles del corte y anclaje de barras se muestran en la hoja de cálculo 7.
Puesto que el refuerzo positivo consistió en
sólo dos barras, se mantuvo este armado en
todo el tramo. En el extremo libre se prolongó el refuerzo una longitud de 40 cm en la
forma especificada en las NTC-04. Según las
mismas normas, por lo menos la cuarta parte del refuerzo positivo debe prolongarse
hasta los apoyos continuos. En este caso, las
dos barras que constituyen el refuerzo positivo se prolongaron una distancia de 30 cm
a partir del apoyo. Las NTC-04 no especifican la longitud requerida de penetración.
Los 30 cm del ejemplo son superiores a los
15 cm que requiere el Reglamento ACI 31 802 como mínimo. Se cortó una de las tres
barras necesarias para resistir el momento
negativo. Las secciones donde teóricamente
deja de ser necesaria la barra interrumpida,
se determinaron por medio de la construcción gráfica mostrada en la hoja de cálculo
7. En la mayoría de los casos prácticos los
métodos gráficos semejantes al empleado en
el ejemplo tienen una precisión adecuada.
Obsérvese que la barra interrumpida se prolongó una distancia igual al peralte efectivo,
más allá de la sección en la que teóricamente
no era necesaria, y que las otras dos barras
se prolongaron también un peralte efectivo
más allá del punto de inflexión. La barra interrumpida quedó con una longitud mayor
que la longitud de anclaje, Ld, y las otras dos
barras con una longitud mayor que Ld + d a
partir de la sección teórica de corte de la barra interrumpida. En el extremo del voladizo
el refuerzo se prolongó con un criterio semejante al empleado en el apoyo C. El disponer de anclaje adecuado en el extremo de
voladizos es especialmente importante cuan-
485
do en dicho extremo actúa una carga concentrada, como en el ejemplo.
Para ilustrar el dimensionamiento por
cortante, para mayor -sencillez se consideró
únicamente la porción izquierda del tramo
BC. La separación calculada para estribos del
No. 2.5 fue casi igual a la separación máxima
admisible, que resultó de 35 cm. En el armado propuesto, se usó en toda la viga la separación calculada de 33 cm. El primer estribo
se colocó a una distancia del paño igual a la
mitad de esta separación, práctica que es bastante común. El corte de la barra interrumpida
quedó en una zona de tensión. Sin embargo,
de acuerdo con las NTC-04 no fue necesario
hacer una revisión de la resistencia a cortante
por este motivo, ya que sólo se interumpió la
tercera parte del refuerzo.
Se calculó la deformación del tramo BC
únicamente, ya que un cálculo previo indicó que la deformación del voladizo no era
crítica. Con un criterio conservador se consideró que la carga viva actuaría únicamente en el tramo BC. Tanto en la determinación
del momento de inercia promedio, como en
la del factor promedio para estimar los efectos diferidos, se despreció la influencia de la
presencia de acero de compresión en el
apoyo B. Por sencillez, la deflexión se calculó al centro del claro. Este valor difiere del
correspondiente a la deflexión máxima. La
deflexión calculada resultó mayor que la
máxima admisible según el Reglamento del
Distrito Federal. Sin embargo, dadas las consideraciones conservadoras en que se basó
la estimación de la deformación, el diseño
propuesto podría considerarse aceptable.
Para la revisión del agrietamiento se tomó
0.6fy como valor aproximado del esfuerzo del
acero a nivel de servicio, .,f Se comprobó que
el requisito que establece el Reglamento del
Distrito Federal se cumple ampliamente. En caso de duda, el esfuerzo ,f puede determinarse
usando el artificio de la sección transformada.
486
Dimensionarniento de vigas
Dirnensionarniento de vigas
487
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Dimensionamiento de vigas
Dimensionamiento de vigas
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Dirnensionarniento de vigas
Dimensionamiento de vigas
49 1
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Dimensionamiento de vigas
Dimensionamiento de vigas
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Dimensionarniento de vigas
Dirnensionarniento de .vigas
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Dirnensionarniento de vigas
Dimensionamiento de vigas
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498
Dimensionamiento de vigas
Dimensionarniento de vigas
Ejemplo 14.8 Dimensionamiento de una viga
continua usando los coeficientes aproximados
del ACI.
En este ejemplo se ilustra el dimensionamiento del claro extremo y del claro interior
contiguo a éste, de una viga continua que forma parte de un marco. Se impuso como restricción que el acero máximo no excediera del 65
por ciento del correspondiente a la condición
balanceada. Los momentos se calcularon utilizando los coeficientes aproximados que se resumen en la tabla 14.1.
Las dimensiones se escogieron con base
en el momento requerido en la cara exterior
del primer apoyo interior, que es el valor críti-
499
co según los coeficientes del ACI. Se encontró
que una sección de 30 x 60 cm cuenta con una
adecuada resistencia tanto a momento como a
fuerza cortante.
La determinación del acero requerido en
las diversas secciones críticas, se llevó a cabo
en forma tabular como se muestra en la hoja
de cálculo 4. Los valores del índice de refuerzo o se calcularon con la ayuda de la gráfica
del Apéndice A. Nótese que las fórmulas que
aparecen en las gráficas dan valores nominales. Sin embargo, pueden utilizarse también
para valores de diseño cuidando de afectar los
momentos últimos del valor del coeficiente de
resistencia, 4, apropiado. Los datos correspon-
500
Dimensionamiento de vigas
dientes a momentos negativos se consignaron
encima de la línea trazada para cada renglón,
y los correspondientes a momentos positivos,
debajo de ella. En las zonas de momento positivo se comprobó que el patín de las vigas tiene amplia capacidad para equilibrar la fuerza
de tensión del acero, de manera que la determinación del acero se efectuó como para una
viga de sección rectangular, de ancho igual al
ancho efectivo de la sección T. (Como las cuantías de acero resultaron muy pequeñas, en este
caso los valores de o se determinaron con la
fórmula adecuada, por la falta de precisión de
la gráfica.) El acero para las secciones rectangulares de los apoyos, se estimó despreciando
la presencia de acero de compresión que, como ya se vio anteriormente, influye poco en la
resistencia de vigas subreforzadas.
Los armados propuestos para las distintas
secciones se muestran con detalle en las hojas
de cálculo 5 a 8. En cada caso se revisó la resistencia proporcionada por el armado propuesto, teniendo en cuenta el peralte efectivo
correspondiente al recubrimiento fijado. Se
aprecia que en los apoyos, donde el acero queda
en la losa, se distribuyó en un ancho superior al
de la nervadura, siguiendo las indicaciones del
ACI. Se estimaron también los momentos resistentes de varios grupos de barras con vistas a la
determinación de las secciones donde se pueda
cortar el refuerzo. En la hoja de cálculo 9 se representa un esquema preliminar del refuerzo
longitudinal. Se aprecia que en todas las secciones el refuerzo propuesto es superior al requerido.
La revisión del anclaje en la columna extrema A, indicó que el gancho estándar de 90"
era ampliamente adecuado para las barras que
penetran en la columna. En cuanto a las dos
barras ancladas en la viga de borde, se comprobó que las dimensiones de ésta son suficientes para alojar la parte vertical del gancho.
Sin embargo, si se considera como sección
crítica el paño interior de la viga de borde, el
anclaje proporcionado es un poco escaso.
El corte de barras se efectuó con base en
un diagrama que muestra la envolvente de mo-
mentos (hoja de cálculo 1 l), determinada con
la ayuda de los datos de las figuras 14.6 y 14.7.
Por sencillez, en el cálculo de las longitudes de
desarrollo necesarias se consideró únicamente
el factor de modificación por barras "altas". Se
ignoró el pequeño ajuste posible cuando el refuerzo propuesto es superior al requerido teóricamente.
La determinación de los puntos de terminación o corte de barras se hizo gráficamente. No se hicieron cortes de barras del
refuerzo negativo, con el fin de no tener que
comprobar los requisitos mencionados en la
sección 7.6.lb, que se deben satisfacer
cuando se hacen cortes en zonas de tensión.
Aunque esto implica un aumento en el acero longitudinal empleado, se evita el refuerzo transversal adicional que generalmente
resulta de la aplicación de las indicaciones
de la sección mencionada. Por la misma
razón, las barras para refuerzo positivo que
se cortaron, se hicieron penetrar en la zona
de compresión una distancia aproximadamente
igual a un peralte efectivo a partir de los puntos de inflexión. Puede comprobarse que el
armado propuesto satisface adecuadamente
todos los requisitos de desarrollo por anclaje del refuerzo.
El dimensionamiento del refuerzo transversal se ilustra en el ejemplo, considerando
la parte derecha del claro AB. El diagrama de
fuerza cortante utilizado, se obtuvo con la
ayuda de la figura 14.6b, que da los valores
más desfavorables. (También se podría haber
deducido un diagrama, partiendo del valor de
la fuerza cortante en el paño exterior del primer apoyo interior dado en la tabla 14.1, que
es algo más conservador que el dado en la figura 14.6b). La contribución del concreto se
determinó con el método sencillo propuesto
por el Reglamento ACI (sección 7.6.1 a), según
el cual dicha contribución se evalúa por medio de la expresión V, = 0.5
bd. La determinación de las separaciones de los estribos a
diversas distancias a partir del paño del apoyo, se llevó a cabo a partir del diagrama de la
Dimensionamiento de vigas
contribución del refuerzo requerido, V,. Este
diagrama se construyó teniendo en cuenta
que la pendiente correspondiente está dada
por la expresión: m = wl4, ya que los valores
de V, son nominales. A partir de los datos proporcionados por el diagrama de V, se determinaron las separaciones necesarias en la sección
crítica, a un metro y a 1.5 m del paño de apoyo. Se calculó también la distancia a partir del
paño del apoyo desde la cual se podía colocar
el refuerzo transversal con la separación máxima admisible. Con base en la información
anterior se propuso la distribución de estribos
mostrados en la hoja de cálculo 15, que cubre
conservadoramente los requisitos correspondientes. En vez de los 13 cm que arrojaron los
cálculos se usó una separación cerrada a
10 cm en los primeros 97 cm (en vez de los
100 teóricos); y en vez de una separación de
16 cm hasta 150 cm del paño del apoyo, se
501
usaron 15 cm hasta los 172 cm. Después se
usó la separación máxima. Obsérvese que, a
pesar de que teóricamente se puede prescindir de refuerzo transversal en la porción
central del claro, se continúa el refuerzo mínimo en dicha porción, siguiendo una práctica
muy común.
La revisión de los requisitos de desarrollo
del refuerzo positivo en puntos de inflexión, se
ilustró considerando el punto de inflexión derecho del claro AB. Se comprobó que los requisitos establecidos en la sección 9.8 se
cumplen ampliamente. Una vez escogidas las
dimensiones de la sección y detallado el refuerzo, es necesario comprobar si el comportamiento en condiciones de servicio es adecuado.
Esto implica la estimación de la deflexión y la
evaluación del riesgo de agrietamiento de acuerdo con lo que establece el Reglamento ACI
318-02 (secciones 1 1.4.1 y 10.8.1 ).
502
Dimensionarniento de vigas
Dimensionamiento de vigas
503
504
Dirnensionarniento de vigas
Dirnensionarniento de vigas
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Dimensionamiento de vigas
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Dimensionarniento de vigas
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Dimensionamiento de vigas
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Dimensíonamiento de vigas
Dimensionamiento de vigas
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Dirnensionamiento de vigas
Dimensionamiento de i/igas
51 5
51 6
Dirnensionamiento de vigas
Referencias
5 17
Referencias
Normas Técnicas Complementarias para Diseño
y Construcción de Estructuras de Concreto.
Gaceta Oficial del Distrito Federal, Tomo 1, No.
103-Bis, 6 de octubre de 2004.
Comité ACI 31 8. Building Code Requirements for
Reinforced Concrete (ACI 3 18-02). Detroit,
American Concrete Institute, 2002.
Eurocódigo 2 "Proyecto de Estructuras de Hormigón". Asociación Española de Normalización y
Certificación, Madrid, 1993.
Robles F.-V., F. Manual de Diseño de Obras Civiles, Sección H : Concreto Reforzado. México,
D. F., Comisión Federal de Electricidad, 1970.
González Cuevas, O . M. Manual de Diseño de
Concreto Reforzado, Vol. 1, Flexo-compresión y
cortante. México, D. F., Instituto Mexicano del
Cemento y del Concreto, 1970.
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Detroit, American Concrete Institute, 1994.
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One-Way Slabs, Brackets, Footings, Pile Caps, Columns, Two-Way Slabs, and Seismic Design in Accordance with the Strength Design Method of
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Portland Cement Association. Notes on ACI 3 1802 Building Code Requirements for Structural
Concrete with Design Applications. Skokie,
2002.
14.9 Loera, Santiago, y Mendoza, Carlos Javier. Comentarios, Ayudas de Diseño y Ejemplos de las
Normas Técnicas Complementarias para Diseño Y
Construcción de Estructuras de Concreto, DDF.
Series del Instituto de Ingeniería de la UNAM, No.
ES-2, noviembre 1991.
14.10 -. Ayudas de diseño, México, D. F., sociedad
Mexicana de Ingeniería Estructural, 1983.
14.1 1 Serrano Lizaola, Raúl y De Santiago Luna, Luis
Miguel. Programa lnteractivo de Cálculo para el
Análisis, Revisión y Dimensionamiento de Vigas
de Concreto Reforzado. X l l l Congreso ~acional
de Ingeniería Estructural. Sociedad Mexicana de
Ingeniería Estructural. Puebla, 2002.
14.1 2 Sánchez Carranza, A., y Rojo Magdaleno, M. Elaboración de ayudas de diseño con microcomputadora. Taller de Ingeniería No. 89. México, D.
F., Universidad Autónoma Metropolitana (Azcapotzalco), 1983.
14.1 3 -. CRSl Design Handbook. Chicago, Concrete
Reinforcing Steel Institute, 2002.
518 Dimensionamiento de vigas
Ejercicios
(Observación: los siguientes ejercicios pueden resolverse con las NTC-04 o con el Reglamento ACI 31 8-02, salvo
cuando se indique lo contrario.)
14.1
14.2
14.4
Calcular y detallar el refuerzo por flexión de
una sección de 30 x 100 cm para que resista
un momento M, = 90 ton-m. Supóngase un
concreto de f; = 200 kg/cm2 y un acero de
fy = 4200 kg/cm2.
Dimensionar una sección rectangular con relación h/b = 2.5 para que resista un momento
M, = 60 ton-m. La relación de refuerzo, p,
debe ser aproximadamente de 0.4 pb y las dimensiones h y b serán múltiples de 5 cm. El
14.3
concreto debe ser de f; = 300 kg/cm2 y el acero de fy = 4200 kg/cm2
Calcular el refuerzo de una sección rectangular
de 25 x 60 cm para que resista un momento
flexionante M, = 65 ton-m. Supóngase un concreto de fC = 200 kg/cm2 y un acero de fy =
4200 kg/cm2. El refuerzo de tensión no debe
exceder del 75 por ciento del correspondiente
a la sección balanceada.
Calcular el área de acero de la siguiente sección para que resista un momento M, = 160 ton-m. Comprobar
si el acero es menor del 75 por ciento del correspondiente a la condición balanceada.
i2 cm++
f,' = 200 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
Claro de la viga = 640 cm
Distancia centro a centro de nervaduras = 250 cm
14.5
Calcular el área de acero de la siguiente sección para que resista un momento M, = 30 ton-m. Comprobar
si la cantidad de acero es mayor que la mínima admisible y menor que el 75 por ciento de la correspondiente a la condición balanceada.
fC = 250 kg/cm2
8rTI
55 cm
1-
-
3O
fy = 4200 kg/cm2
Claro de la viga = 900 cm
Distancia centro a centro de nervaduras = 100 cm
Ejercicios
14.6
Dimensionar la siguiente viga de sección rectangular.
A
I+
14.7
51 9
B
+
700 cm
l
fy = 4200 kg/cm2
P, = 20 ton
w, = 3 tonlm (incluye peso propio)
Pservicio = 1 0 ton
,,,,,
w
= 1.5 tonlm
A, S 0.75 ,A
,,
Dimensionar la siguiente viga rectangular. Las cargas de servicio que deben considerarse en las comprobaciones de agrietamiento y deformaciones, son el 40% de las indicadas.
f; = 300 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
w, = 3.5 tonlm
P1,=25 ton
P2, = 5 ton
14.8
Determinar la deflexión del claro AB del ejemplo 14.7, considerando que el 30 por ciento de
la carga viva actúa en forma continua. Comprobar si la deflexión calculada satisface los requisitos que establece el Reglamento ACI 318-02
para miembros cuya deformación no afecta a
elementos no estructurales.
14.9
Revisar si el refuerzo negativo del apoyo B y el
positivo del claro AB de la viga del ejemplo
14.7, satisfacen los requisitos de agrietamiento
que establece el Reglamento ACI 31 8-02.
14.1 0 Hacer un diseño completo del claro interior de la viga continua mostrada en el croquis, incluyendo la revisión de la deflexión y del agrietamiento. Calcular los momentos con los coeficientes de la tabla 14.1. Para
todos los aspectos del dimensionamiento, aplíquense las indicaciones de las NTC-04. Para la revisión de deflexión, considerar que el 45 por ciento de la carga viva actúa en forma continua y que la deformación puede afectar a elementos no estructurales.
520
Dimensionamiento de vigas
Concreto :
Acero principal:
Acero estribos:
,'f = 300 kg /cm2
fy = 6000 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
CAPCTULO
15
Dimensionamiento
de columnas
15.1 Introducción. /15.2 Recomendaciones
para el dimensionamiento de columnas.
115.3 Ayudas de diseño para el dimensionamiento de columnas. /15.4 Ejemplos.
15.2 Recomendaciones para el
dimensionamiento de columnas
ACERO M~NIMO
Los porcentajes mínimos de refuerzo recomendados para columnas son, por lo general, mayores que los recomendados para
vigas. En los reglamentos de construcción
suelen especificarse porcentajes mínimos
del orden de uno por ciento. Las NTC-O4 indican que la relación entre el área del refuerzo vertical y el área total de la sección
no sea menor que 20/fy estando fyexpresado
en kg/cm2. También se recomienda usar por
lo menos una barra en cada esquina de columnas no circulares y un mínimo de seis
barras en columnas circulares.
SEPARACIÓN
ENTRE BARRAS
15.1 Introducción
En este capítulo se trata el dimensionamiento de columnas dados la carga axial y el momento que deben resistir. El comportamiento
de columnas sometidas a combinaciones de
carga axial y momento se analizó en el capítulo 6, donde también se expusieron diversos
procedimientos para determinar la resistencia
de columnas cortas de dimensiones y refuerzo dados. Los efectos de esbeltez fueron estudiados en el capítulo 13. En los ejemplos
desarrollados en el presente capítulo se supone que dichos efectos de esbeltez ya están
considerados en los valores de la carga axial
y el momento para los cuales deben proponerse secciones adecuadas. Los métodos de
dimensionamiento utilizados están basados
en el uso de diagramas de interacción.
Suele especificarse que la separación libre
entre las barras longitudinales no sea inferior
a 1.5 veces el diámetro de la barra, 1.5 veces el tamaño máximo del agregado, ni que
4 cm.
HACES DE BARRAS
Debido a que los porcentajes de refuerzo
usados en columnas son altos, a veces es necesario recurrir al empleo de haces o paquetes
de barras, lo cual simplifica el armado, como
se muestra en la figura 15.1. En general, se permite utilizar hasta cuatro barras por haz. Las
barras deben ligarse firmemente entre sí. Se
considera que el área del haz es la suma de
las áreas de las barras. La longitud de desarrollo del haz es igual a la de una barra individual incrementada en ciertos factores que
dependen del número de barras por haz.
Según el Reglamento ACI 318-02, el factor
es 1.20 para haces de tres barras y de 1.33
para haces de cuatro barras.
522
Dimensionarniento de columnas
refuerzo transversal capaz de resistir una y
media veces la componente horizontal de la
fuerza que actúe en las porciones inclinadas
de las barras de la columna.
REFUERZO MÁXIMO
Refuerzo convencional
Refuerzo con haces
Refuerzo convencional
~efuerzocon haces
Figura 15.1 Sugerencias para el uso de haces
de varillas en vigas y columnas.
Se recomienda no cortar todas las barras de
un haz en la misma sección. Los haces evitan el congestionamiento del refuerzo, pero
obligan a poner especial cuidado en los detalles de empalmes y dobleces. El recubrimiento de un haz debe ser el de una barra
hipotética de tal diámetro que su área sea el
área del haz. Para las separaciones entre haces se hacen recomendaciones semejantes.
Es frecuente que se cambien las dimensiones
de las columnas al pasar de un piso a otro de
una estructura. En estos casos, las barras deben doblarse en forma gradual, para evitar
componentes desfavorables de esfuerzos. En
la figura 15.2 se muestran las recomendaciones que a este respecto se presentan en la referencia 15.1, que son semejantes a las de
Reglamento ACI 318-02. Según este Reglamento, en la zona de cambio debe colocarse
Aunque en algunos reglamentos se permiten
porcentajes máximos de refuerzo longitudinal del orden de 8 por ciento, pocas veces
puede colocarse esta cantidad de refuerzo
por restricciones de orden constructivo. Las
NTC-04 especifican un máximo de 6 por
ciento.
Las NTC-O4 especifican que debe considerarse siempre una excentricidad mínima
igual a 0.05h 2 2 cm, siendo h la dimensión
de la columna en la dirección de flexión.
Longitud de
desarrollo o 30
.
r
4
h
-
de confinamiento
cuando se requiera
en zonas sísmicas
fuerza de tensión
en las barras
longitudinales.
Figura 15.2 Detalles del refuerzo en los
cambios de sección de columnas.
Recomendaciones para el di.mensionamiento de columnas
523
exceda de 7 a 8 cm, mientras que la separación libre mínima se limite a unos 2.5 cm o
a 1.5 veces el tamaño máximo del agregado.
En el caso de estribos, éstos deben colocarse de manera que restrinjan el pandeo lateral de las barras longitudinales. Tanto el
Reglamento ACI 318-02 como las NTC-04,
especifican que todas las barras de esquina y
cada barra alternada estén restringidas por la
esquina de un estribo con ángulo interno
máximo de 135". La distancia libre de las barras no restringidas a las barras restringidas se
limita a 15 cm. La separación centro a centro
entre barras restringidas se suele limitar a
unos 35 cm, como se aprecia en la figura
15.3. El significado de estos requisitos junto
con detalles típicos de anclaje, se ilustran en
la figura 15.3. En la figura 15.4 se muestran
REFUERZO TRANSVERSAL
EIrefuerzo transversal puede consistir en hélices o en estribos.
En el caso de hélices, éstas deben anclarse en sus extremos mediante 2.5 vueltas
según las NTC-04 y 1.5 vueltas según el Reglamento ACI 31 8-02. El esfuerzo de fluencia no debe ser superior a 4200 kg/cm2. E l
diámetro y la separación de las hélices se
calculan de acuerdo con lo indicado en el
capítulo 4. Además deben respetarse ciertas
limitaciones establecidas en los reglamentos
que tienen por objeto asegurar una acción
confinante efectiva y, al mismo tiempo, permitir la correcta colocación del concreto.
Así, suele especificarse que la separación libre máxima entre vueltas consecutivas no
lgual o menor que 15 cm
lgual o menor que 15
Igual o menor
(a)
H
lgual o menor que 35 cm
A
Extensión de 10 dg
Extensión
/ de 6dk
/-
El gancho de 90" de grapas
consecutivas debe quedar en
(b)
Grapas
l-
I
X
1-
I
X
-
.I
X
x 1 3 5 cm
Figura 15.3 Detalles del refuerzo transversal de columnas.
524
Dimensionamiento de columnas
4 barras
6 barras
x 1 15 cm
6 barras
. .
...
,
-x-
-x
8 barras
x 1 15 cm
8 barras
8 barras
L x l l x l
10 barras
12 barras
12 barras
x 1 15 cm
Nota: en todos los casos la
posición de los ganchos
debe alternarse en estribos
consecutivos.
14 barras
x 2 15 cm
Figura 15.4 Arreglos de estribos para columnas.
Ayudas de diseño para el dirnensionarniento de columnas
algunos arreglos típicos de estribos para columnas rectangulares.
Para proporcionar restricción lateral pueden usarse grapas en la forma representada
en la figura 15.3b. Cuando las barras están
colocadas en la periferia de un círculo, se
puede usar un estribo circular. Como en el
caso de vigas, los estribos deben estar adecuadamente anclados en sus extremos.
Según el Reglamento ACI 31 8-02, la separación de los estribos no debe exceder de
16 veces el diámetro de la barra longitudinal, 48 veces el diámetro de los estribos, ni
de la menor dimensión de la columna. En
lugar de la primera de estas restricciones, las
NTC-04 limitan la separación máxima a
850/*
veces el diámetro de la barra (o de
la barra de menor diámetro de un paquete), siendo fy el esfuerzo de fluencia de las
barras longitudinales en kg/cm2, y en lugar
de la tercera, especifican la mitad de la menor dimensión de la columna. Además, las
NTC-04 especifican que la separación máxima se reduzca a la mitad en una longitud no
menor que la dimensión transversal máxima
de la columna, un sexto de su altura, ni que
60 cm, encima y debajo de cada unión de
columna con vigas o losas. El ACI 318-02
se limita a indicar que el primer estribo encima o debajo de la losa o viga se coloque
a la mitad de la separación máxima a partir
de los paños de la unión.
En cuanto al diámetro de los estribos, el
Reglamento ACI 3 1 8-02 especifica valores
según el diámetro de las barras longitudinales. Las NTC exigen que la fuerza de fluencia que puede desarrollar un estribo no sea
menor que seis por ciento de la fuerza de
fluencia de la mayor barra o el mayor paquete restringido por el estribo.
Además de satisfacer los requisitos mínimos arriba reseñados, el refuerzo transversal
debe proporcionar suficiente resistencia frente a las fuerzas cortantes o torsiones que pudieran actuar sobre la columna. En caso de
525
estructuras expuestas a sismos, deben tenerse en cuenta las recomendaciones adicionales que se mencionan brevemente en el
capítulo 20.
15.3 Ayudas de diseño para el
dimensionamiento de columnas
Una de las ayudas más útiles para el dimensionamiento de columnas es el diagrama de
interacción. La forma de construir los diagramas de interacción se describió en el
capítulo 6, donde también se explica cómo
se utilizan para determinar la resistencia a
combinaciones de momento y carga axial de
secciones de características conocidas. El
problema inverso, consistente en determinar
las dimensiones y el refuerzo requeridos para
resistir una fuerza axial y un momento dados, puede también resolverse con la ayuda
de los diagramas de interacción mediante un
proceso de tanteos como el ilustrado en los
ejemplos del siguiente inciso.
En el Apéndice C se reproducen algunos
diagramas típicos tomados de los elaborados
por González Cuevas y Cano 115.21. Estos diagramas están basados en las hipótesis de las
NTC-04 relativas al bloque equivalente de
esfuerzos de compresión, figura 15.7. Cada
una de las figuras del Apéndice C incluye un
conjunto de diagramas adimensionales para
diferentes valores del parámetro q. Para que
estos diagramas sean adimensionales, se tiene que elaborar un conjunto para cada combinación de fC y de fy a partir de valores de
mayores a 350 kg/cm2. En la referencia 15.2
se presentan conjuntos de diagramas para valores de fC que van de 350, y menos, a 700 kgl
cm2, en intervalos de 50 kg/cm2, y para valores de fy de 4200 y de 6000 kg/cm2, para
columnas rectangulares y circulares. Se proporcionan gráficas para distintos valores de
d/h, en el caso de secciones rectangulares
y de d/D, en el de secciones circulares.
526
Dirnensionarniento de columnas
Aunque las gráficas son adimensionales
y las hipótesis relativas al bloque equivalente
de esfuerzos de compresión son semejantes
en las NTC y en el Reglamento ACI, existe
una diferencia en la magnitud del esfuerzo
uniforme en el bloque, ya que en las NTC es
0.85 f*, mientras que en el ACI es 0.85 f;.
Las gráficas del Apéndice C dan resultados
correctos para el Reglamento ACI s i el esfuerzo f', de las gráficas se multiplica por
0.8, que es el factor para pasar de fC a f*, en
las NTC. Por ejemplo, las gráficas correspondientes a un concreto de 250 kg/cm2 serían válidas con el Reglamento ACI para un
concreto de 250 x 0.8, o sea, de 200 kg/cm2.
Desde luego, los valores de FR deben sustituirse por los correspondientes de @.
Los diagramas pueden utilizarse de distintas maneras. Considérese, por ejemplo, el
diagrama de la figura 15.5aI que muestra
esquemáticamente el formato empleado en
los de la referencia 15.2.
Una forma de proceder puede consistir
en suponer una sección y calcular los parámetros K y R. Estos parámetros definen un
punto en el diagrama al que corresponderá
un valor de q, del cual puede deducirse el
valor de p necesario. S i este valor está comprendido entre límites aceptables, el problema está resuelto. De lo contrario es necesario
ensayar otra sección. El valor del factor de
resistencia FR se supone igual a 0.70 si el
núcleo no está confinado y la falla es de
compresión, e igual a 0.80 si el núcleo
cuenta con un confinamiento adecuado o
cuando la falla sea en tensión.
Otra forma de proceder consiste en suponer una sección y definir un punto en el
diagrama a partir del parámetro K o R y la
relación e/h.
S i se limita la cuantía p a un valor dado,
puede calcularse el valor de q correspondiente. Se puede, entonces, definir un punto
en el diagrama a partir de este valor y de la
relación e/h. Se harán los ajustes necesarios
en la sección supuesta hasta encontrar una
que dé un valor de P, semejante al requerido.
En la figura 15.5b se presenta un diagrama de los incluidos en la referencia 15.3,
elaborados con las hipótesis del Reglamento
ACI. Estos diagramas dan directamente el
valor de la cuantía p en vez del índice de refuerzo o.Las Iíneas radiales corresponden a
distintos valores del término fs/fy,donde f, es
el esfuerzo en las barras de acero en tensión
más alejadas dé la cara en compresión. El
valor de O corresponde a un diagrama de deformaciones unitarias como el del punto 4
del ejemplo 6.1. E l valor de.1 corresponde al
punto de la falla balanceada, ya que fs es
igual al esfuerzo de fluencia. Por arriba de
esta última Iínea las fallas son en compresión y debe usarse un valor de
de 0.65
para columnas de estribos y de 0.70 para
columnas con refuerzo helicoidal. Por debajo de la Iínea marcada con
= 0.0050,
las fallas son por tensión y debe usarse un
valor de de 0.90. Entre ambas líneas, el valor de varía linealmente como se muestra
en la figura 6.4. Este diagrama se usa en el
ejemplo 15.2 más adelante.
Obsérvese que en la figura 15.5b hay
una Iínea horizontal marcada con Kmáx. Corresponde a la limitación que establece el
Reglamento ACI 31 8-02 para columnas con
poca excentricidad, según la cual, la máxima capacidad para carga axial que puede
atribuirse a columnas está dada por las siguientes expresiones:
+
+
+
Para columnas zunchadas:
Para columnas de estribos:
.
Ayudas de diseño para el dimensionamiento de columnas
52 7
compresión
t
t
tensión
a) Formato de los diagramas de la
referencia 1 5.2 (hipótesis NTC-04).
Ejemplo de diagrama
de la referencia 15.3
(hipótesis ACI-02).
Rn = Pn e/& Agh
Figura 15.5 Formatos típicos de diagramas de interacción.
528
Dirnensionarniento de columnas
En estas expresiones, Pn es la capacidad
nominal. El factor de resistencia @ se toma
igual a 0.70 para columnas zunchadas e igual
a 0.65 para columnas de estribos. Las expresiones 15.1 y 15.2 rigen respectivamente para
excentricidades aproximadamente iguales a
0.05h y 0.1 Oh, que corresponden a las excentricidades mínimas especificadas en versiones
anteriores del Reglamento ACI. Simplifican
considerablemente el dimensionamiento de columnas con excentricidades pequeñas.
Los diseñadores que se basen en las Recomendaciones internacionales CEB-FIP pueden recurrir al texto de Jiménez Montoya
[15.4], que incluye una gama muy amplia de
diagramas de interacción basados en las hipótesis de dichas recomendaciones.
En la referencia 15.7 se presentan diagramas para secciones en cruz y otras secciones poco comunes.
Son útiles también las ayudas de diseño
en forma de tablas que dan directamente la
carga axial y el momento flexionante que
puede resistir una sección de dimensiones
dadas, con una cierta área de acero y con
materiales de resistencias conocidas. Dados
los valores de P, y M, requeridos, pueden
encontrarse en las tablas distintas alternativas de secciones, con el refuerzo correspondiente, que proporcionan una resistencia
adecuada. Véase, por ejemplo, la referencia
15.5.
Diagramas de interacción como los del
Apéndice C, o tablas como las mencionadas
anteriormente, han sido muy útiles para el
diseño de columnas. Sin embargo, en la actualidad, con la amplia disponibilidad de computadoras personales, resulta más práctico
usar programas que proporcionan el diagrama
de interacción y la resistencia a flexocompresión de columnas específicas, introduciendo
como datos sus dimensiones, lechos de acero, tamaño de las barras y resistencias del
concreto y del acero. En las Referencias 15.6
y 15.8 se presentan programas de este tipo.
15.4 Ejemplos
Ejemplo 15.1. Dimensionamiento de una
columna de sección circular zunchada.
El dimensionamiento de la columna circular de este ejemplo está basado en las
NTC-04. La columna forma parte de una estructura de marcos ortogonales, en la que el
análisis indicó que la columna está sujeta a
momentos de dos direcciones perpendiculares entre sí. Puesto que se trata de una columna circular, el problema de flexión biaxial
puede reducirse a uno de flexión uniaxial,
componiendo los momentos M, y My vectorialmente. Los valores de las acciones dadas
corresponden al nivel de servicio para las
dos combinaciones de carga básica: a) carga
muerta y viva, y b) carga muerta, carga viva y
sismo.
Como se señaló en la sección 15.3, el dimensionamiento de columnas puede llevarse
a cabo por un proceso de tanteos auxiliado
por diagramas de interacción. El procedimiento implica proponer una sección e investigar,
con la ayuda de los diagramas, si la sección
propuesta puede resistir las cargas con una
cuantía de refuerzo que esté comprendida
entre los límites admisibles. En el ejemplo se
presenta únicamente el tanteo final, que proporcionó una Solución adecuada.
Para elegir el diagrama apropiado, es
necesario determinar la relación d/D, donde
d es el diámetro de un círculo que pasa por
los centros de las barras, y D es el diámetro
de la sección de la columna. Cuando el
valor de d/D no coincide con los valores
para los cuales existen diagramas, puede recurrirse a la interpolación, cuando se requiera
precisión.
Se determinó un valor del índice q para
cada una de las condiciones de carga consideradas, comprobándose que regía la de carga muerta, viva y sismo. Por tratarse de una
Ejemplos
529
53 0
Dimensionamiento de columnas
532
Dimensionamiento de columnas
columna zunchada se tomó FR = 0.80 para
el cálculo de K. El valor de 9 correspondiente
a la condición de carga muerta más viva resultó inferior a los que abarca el diagrama.
El área de acero requerida se proporcionó
con ocho barras del No. 10, que pueden alojarse en la columna con suficiente holgura
entre ellas aun cuando se prevea la posibilidad de hacer traslapes. El recubrimiento al
centro de la barra, se modifica ligeramente,
puesto que se habían supuesto barras del No. 8.
Pero no es necesario repetir los cálculos.
El área del núcleo utilizado para calcular la cuantía p, es la definida por un círculo
que coincide con el paño exterior del zun-
cho, y cuyo diámetro, por lo tanto, será igual
al diámetro de la columna menos dos veces
el recubrimiento libre del zuncho. En cambio, el diámetro d, utilizado en la ecuación
4.2 es el diámetro de la hélice medido centro a centro. Generalmente los valores calculados del paso s se redondean a medio
centímetro.
Ejemplo 15.2 Dimensionamiento de una columna cuadrada con refuerzo en las cuatro
caras.
El propósito de este ejemplo es ilustrar
la aplicación de los diagramas de interac-
Ejemplos
ción de la referencia 15.3, que están basados
en las hipótesis del Reglamento ACI 318-02,
al dimensionamiento de columnas. Las características de los materiales corresponden a
una de las combinaciones previstas en la referencia citada.
Para hacer una primera estimación de la
sección requerida, se recurrió a la ecuación
15.2, considerando que sólo actúa la carga
533
axial y despreciando la contribución del refuerzo. Resultó así una sección de 48.4 cm de
lado. Siguiendo la práctica usual de usar múltiples de cinco centímetros para las medidas
de las columnas, la dimensión obtenida se redondeó a 50 cm.
Escogida tentativamente la sección de
50 x 50 cm, se calcularon los valores de K, y
R, requeridos para poder entrar en la gráfica.
534
Dimensionamiento de columnas
Ejemplos' 5 35
Para seleccionar la gráfica apropiada se
calculó el valor de y, que es la relación entre
la distancia entre las barras de los lados opuestos y la dimensión total de la columna, ambas
medidas en la dirección paralela al plano de
flexión. Se obtuvo un valor de y = 0.76, por lo
que se utilizó la gráfica R4-60.8 de la referencia 15.3, que corresponde a y= 0.80. Esta gráfica es la incluida en la figura 15.56.
E l punto que corresponde a la intersección de Kn y Rn cae dentro de la zona de fallas en compresión. El valor de la cuantía p
= 0.03 obtenido de la gráfica, está comprendido entre los límites admisibles, de
manera que se aceptó la sección de 50 x 50
cm supuesta inicialmente. El refuerzo requerido se proporcionó con 12 barras del No. 9.
La disposición de estribos propuesta puede
apreciarse en el croquis al final del ejemplo.
Ejemplo 15.3 Dimensionamiento de una columna cuadrada con refuerzo en dos caras
para una cuantía dada de acero
Puede suceder que se imponga como
restricción para el dimensionamiento de co-
lumnas, el que la cuantía del refuerzo sea del
orden de un valor prefijado. En el ejemplo,
que sigue las especificaciones de las NTC-04,
se establece la condición de que la cuantía
sea aproximadamente igual a 0.025.
Para resolver el problema se procedió por
tanteos, suponiendo una sección y haciendo
ajustes hasta encontrar una que tuviera la resistencia necesaria con una cuantía semejante a la especificada.
Se presenta en el ejemplo un tanteo para
una sección de 40 x 40 cm. La relación d/h,
que se requiere para escoger la gráfica, resultó
ser 0.88. Por lo tanto se utilizó en el ejemplo
la gráfica de la figura C.5 del Apéndice C,
que corresponde a un valor de d/h, = 0.90.
En caso de desearse mayor precisión, podría
hacerse una interpolación entre los datos obtenidos con la figura C.5 y los que se deducen
de la figura C.3, correspondiente a un valor de
d/h = 0.85.
Utilizando el valor de q correspondiente
a p = 0.025 y el de la relación e/h, se definió
un punto en el diagrama cuya ordenada K fue
igual a 0.68. Se comprobó que la resistencia era
ligeramente inferior a la requerida. Se procedió
53 6
Dimensionamiento de columnas
Ejemplos
537
538
Dimensionamiento de columnas
entonces a hacer un ajuste en el acero definiendo un nuevo punto en el diagrama a partir
del valor de K necesario y de la relación e/h.
La cuantía correspondiente a este nuevo tanteo
fue sólo ligeramente superior a la especificada.
Los estribos del No. 3 propuestos cumplen ampliamente el requisito de que su
fuerza de fluencia sea por lo menos igual al
6 por ciento de la fuerza de fluencia de la
mayor barra restringida. Conservadoramente
se utilizó una grapa para las dos barras del
No. 9, aunque estrictamente no es necesaria, ya que la separación libre entre barras es
menor que 15 cm.
La separación de 20 cm propuesta debe
reducirse a la mitad en las porciones extremas de las columnas de acuerdo con lo indicado en la sección 15.2.
Ejemplo 15.4 Dimensionamiento de una columna rectangular considerando el efecto de
una fuerza cortante.
Las columnas de estructuras expuestas a
acciones sísmicas pueden estar sujetas a fuerzas cortantes significativas cuyo efecto debe
considerarse proporcionando un refuerzo
transversal adecuado. En el presente ejemplo se ilustra cómo hacer esto de acuerdo
con las NTC-04.
Se propuso una sección de 30 x 45 cm,
cuya resistencia a flexocompresión se comprobó ser suficiente utilizando como refuerzo seis barras del No. 11 distribuidas en dos
caras. Para el refuerzo transversal se emplearon estribos del No. 3, que, de acuerdo con
las especificaciones de las NTC-Q4, que fue-
Ejemplos
539
540
Dimensionamiento de columnas
Ejemplos
ron reseñadas en la sección 15.2, deben colocarse a 15 cm en la porción central de la
columna y a la mitad de esta separación en
los extremos.
La revisión del efecto de la fuerza cortante se efectuó de acuerdo con las indicaciones de la sección 7.6.2, que prevén la
manera de tomar en cuenta la influencia favorable de la presencia de una fuerza de
compresión. La separación de estribos calculada fue mayor que la mínima especificada
de d/2 para miembros sometidos a fuerza
cortante. Esta separación, que en el ejemplo
fue igual a 20 cm, resultó mayor que la de
15 cm requerida por especificaciones de la
separación máxima del refuerzo transversal
en columnas.
Ejemplo 15.5 Dimensionamiento de una
sección rectangular sujeta a compresión y
flexión biaxial.
El problema de la flexión biaxial en secciones rectangulares se presenta con frecuen-
541
cia en el dimensionamiento de estructuras
de concreto. Considérese, por ejemplo, el
caso de las columnas de edificios sujetas a
acciones sísmicas, para las cuales el Reglamento del Distrito Federal exige que se tome
en cuenta el efecto total del sismo que actúa
en una dirección principal, más el 30 por
ciento del correspondiente al que pueda actuar en la otra dirección. En el ejemplo, donde se han seguido las indicaciones de las
NTC-04, PR es la carga última que debe
soportar la sección con las excentricidades
indicadas.
El dimensionamiento se llevó a cabo
con la ayuda de la fórmula de Bresler, cuya
aplicación se comentó en la sección 6.4.2.
El problema debe resolverse por tanteos. En los tanteos conviene que la relación
entre el lado largo y el lado corto de la columna sea similar a la relación entre las
excentricidades. Se muestra en el ejemplo el
tanteo final. Se procuró ajustar la cuantía
al 3 por ciento especificado en los datos. En el
542
Dimensionamiento de columnas
cálculo de PRO,PRYy PRYse utilizó como valor
del factor de resistencia FR = 0.70, el correspondiente a la falla en compresión. Los diagramas indicaron que, en efecto, ésta fue la
modalidad de falla que rigió.
En el arreglo de estribos mostrado en el
croquis de armado, se aprecia que no fue necesario proporcionar una grapa para restringir la
barra central del lado menor, ya que la separación libre entre barras es menor que 15 cm. El
estribo del No. 3 propuesto cumple ampliamente los requisitos de capacidad en la fluencia
mencionados en la sección 15.2. La separación
es la correspondiente a la porción central de la
columna. En los extremos, esta separación debe reducirse a la mitad en la forma indicada en
la sección citada. No debe olvidarse que en caso de actuar fuerzas cortantes significativas, es
necesario verificar que el refuerzo transversal
proporciona la resistencia necesaria.
Ejemplos
543
544
Dimensionamiento de columnas
Referencias
545
Referencias
15.1 Blume, J. A., N. M. Newmark y L.N. Corning. De-
15.5 González Cuevas, O. Manual de Diseño de Con-
sign of Multistory Reinforced Concrete Buildings.
Skokie, III., Portland Cement Association, 1961.
15.2 González Cuevas, O. M., y Cano Licona, J. "Diagramas de interacción", Universidad Autónoma
Metropolitana, México, 2004.
15.3 Comité ACI 340 Design Handbook: Beams, OneWay
Slabs, Brackets, Footings, Pile Caps, Columns, TwoWay Slabs, and Seismic Design in Accordance with
the Strength Design Méthod of 31 8-95, SP-017
Detroit, 1997.
15.4 Jiménez Montoya, P., et al. Hormigón armado, Tomo 11: Ábacos para el cálculo de secciones en el
estado último de agotamiento (1Oa edición). Barcelona, Gustavo Gili, 1979.
creto Reforzado. Vol. 7: Flexocompresión y cortante. México, D.F., Instituto Mexicanq del
Cemento y del Concreto, 1970.
15.6 González Cuevas, O. M., y Cano Licona, J ."Programa de Cómputo para Columnas en Flexocompresión", Universidad Autónoma Metropolitana,
México, 2004
1 5.7 Marín, J. y A. Güell. Manual para el Cálculo de
Columnas de Concreto Armado. Fundación
Venezolana de Investigaciones Sismológicas,
1984.
15.8 Corona Carlos, G.A. "Programa de Cómputo para
Diagramas de Interacción de Columnas de Secciones Diversas, Puebla, 2004.
546
Dimensionamiento de columnas
Ejercicios
(Observación: los siguientes ejercicios pueden resolverse con las NTC-04 o con el Reglamento ACI 318-02 salvo
cuando se indique lo contrario.)
15.1 Utilizando los diagramas de la referencia 15.2,
determinar los valores de P, y M, que resiste la
sección dimensionada en el ejemplo 15.2
15.2 Detallar el refuerzo de una columna corta cuadrada de estribos para que resista una carga de
300 toneladas. Las dimensiones de la columna
deben ser 45 X 45 cm. Suponer f; = 200 kg/cm2
y fy = 4200 kg/cm2. Detallar los estribos.
15.3 Dimensionar una columna corta cuadrada para
una carga muerta de 100 ton y una carga viva
de 70 ton, ambas a nivel de servicio. Suponer
p = 0.025, f; = 300 kg/cm2 y fy = 4200 kg/cm2.
15.4 Dimensionar una columna circular corta- con
refuerzo helicoidal para una carga muerta de
80 ton y una carga viva de 140 ton, ambas a
nivel de servicio. Suponer f; = 250 kg/cm2 y
fy = 4200 kg/cm2. Detallar el zuncho.
15.5 Dimensionar una columna circular corta con refuerzo helicoidal para que resista una carga ÚItima P, = 200 ton con una excentricidad igual
a 15 cm. Suponer fC = 300 kg/cm2 y fy = 4200
kg/cm2. Detallar el zuncho.
15.6 Dimensionar una columna corta cuadrada, con
refuerzo en las cuatro caras, que resista una
carga Última P, = 250 ton y un momento último
M, = 40 ton-m. Suponer f; = 250 kg/cm2 y
fy = 4200 kg/cm2. Detallar los estribos.
15.7 Dimensionar una columna corta cuadrada, con refuerzo en las cuatro caras, que resista una carga
última de 300 ton con una excentricidad e, = 20
en una de las direcciones principales y una excentricidad ey = 30 cm en la otra dirección. Suponer
f; = 250 kg/cm2 y fy= 4200 kg/cm2. Detallar los
estribos.
15.8 Dimensionar la columna del croquis como cuadrada, con refuerzo en las cuatro caras. Detallar
los estribos. Revisar el efecto de la fuerza cortante.
Suponer f; = 200 kg/cm2 y fy= 4200 kg/cm2.
P, = 160 ton
@
M, = 40 ton-m
160 ton
CAP~TU
LO
16
Losas en una dirección
16.1 Introducción. A6.2 Comportamiento
y dimensionamiento. 11 6.3 Ejemplo de diseño de una losa con carga uniformemente distribuida. 116.4 Cargas concentradas.
116.5 Ejemplo de diseño de una losa con
carga distribuida y carga concentrada.
16.1 Introducción
Las losas son elementos estructurales cuyas
dimensiones en planta son relativamente
grandes en comparación con su peralte. Las
acciones principales sobre las losas son cargas normales a su plano, ya que se usan pa-
ra disponer de superficies útiles horizontales
como los pisos de edificios o las cubiertas
de puentes. En ocasiones, además de las cargas normales actúan cargas contenidas en su
plano, como en el caso de losas inclinadas,
en las que la carga vertical tiene una componente paralela a la losa, o cuando la losa actúa como un diafragma horizontal que une
marcos verticales de distinta rigidez o sujetos a fuerzas horizontales diferentes.
En este capítulo se estudia el tipo más
sencillo de losas: aquellas que están apoyadas
sobre vigas o muros paralelos en dos de sus
lados quedando libres en los otros dos, como
se ilustra en la figura 16.1. En los capítulos
17 y 18 se estudian otros tipos de losas cuyo
comportamiento y dimensionamiento son
más complejos. Las losas mostradas en la figura 16.1 se conocen con el nombre de losas en
una dirección porque, como se verá en la siguiente sección, trabajan únicamente en la
dirección perpendicular a los apoyos. Estos
apoyos pueden ser las vigas principales de un
marco, vigas secundarias que se apoyan a su vez
en vigas principales o en muros, o muros de mampostería que soportan la losa directamente.
En la figura 16.2 se muestra un sistema
de piso usado frecuentemente cuando los
Figura 16.1 Losa en una dirección.
548
Losas en una dirección
Figura 16.2 Sistema de piso con vigas secundarias.
marcos de un edificio forman tableros de losa de dimensiones relativamente grandes. Se
suele en estos casos colocar vigas secundarias en la dirección corta del tablero, de tal
manera que se forman varios tableros de losa más pequeños. Cuando la relación entre
el lado largo y el lado corto de estos tableros es mayor que dos, las losas se pueden diseñar como losas en una dirección aunque
estén apoyadas en realidad en sus otros lados, ya que, como se verá en el siguiente capítulo, trabajan en forma similar a las losas
mostradas en la figura 16.1.
16.2 Comportamiento y
dimensionamiento
16.2.1 Comportamiento
Las losas en una dirección se comportan
esencialmente como vigas. Puede considerarse que la losa es una viga cuyo ancho es
la longitud del apoyo (figura 16.3), o bien,
como se hace más frecuentemente, puede
suponerse que la losa está formada por una
serie de vigas paralelas e independientes de
un metro de ancho, como se muestra en la
Figura 16.3 Franja de losa que trabaja como viga de un metro de ancho.
Comportamiento y dimensionamiento
misma figura, que se flexionan uniformemente.
16.2.2 Momentos flexionantes
EIdiseño de estas losas es, por consiguiente,
similar al de las vigas, con algunas características que se señalan a continuación. Se recomienda iniciar el diseño fijando un valor
del peralte que garantice que no ocurran deflexiones excesivas, ya que esto es el factor
que suele regir en el diseño. Para ello puede
usarse la tabla 11.4, tomada del Reglamento
ACI 318-02, la cual proporciona espesores de
losa con los que no se exceden las deflexiones permisibles, o bien puede fijarse un espesor tentativo y calcular las deflexiones como
se explica en el capítulo 11 de este texto.
Una vez determinado el espesor total de
la losa, se calcula el peralte efectivo restando
el recubrimiento del espesor. El Reglamento
ACI 3 1 8-02 recomienda un recubrimiento libre
de 2 cm para losas no expuestas a la intemperie o no coladas contra el suelo, como las
zapatas de cimentación. Para este mismo caso,
las NTC-04 recomiendan recubrimientos de
1.5 a 2.5 cm según la resistencia del concreto.
El cálculo de los momentos flexionantes y
de las fuerzas cortantes puede realizarse después,
considerando que la losa es una viga continua
de un metro de ancho con carga uniforme. Puede
usarse cualquier (método de análisis elástico o
bien los coeficiehtes de momentos que se presentan en los manuales de diseño. En la tabla
14.1 se reproducen los coeficientes aproximados del Reglamento ACI 31 8-02. Las condiciones que deben cumplirse para poder aplicar
estos coeficientes se reseñaron en la sección
14.4.
Según el Reglamento ACI 31 8-02, cuando no se utilizan los coeficientes de la tabla
14.1 y se hace un análisis formal, el claro t
puede tomarse como el claro libre siempre
que no sea mayor de 3.05 m y que las losas
se cuelen integralmente con los apoyos. Si
no se cumplen estas condiciones, el claro
549
será la distancia entre los ejes de apoyo, o
bien, el claro libre más el peralte total de la
losa, el valor que sea menor. Las NTC-04 especifican, al igual que para vigas, que el claro
se cuente a partir del centro de los apoyos,
excepto cuando el ancho de éstos es mayor
que el peralte efectivo; en este caso, el claro
se cuenta a partir de la sección que se halla
a medio peralte efectivo del paño interior de
los apoyos.
Debe notarse que el método de calcular
los momentos flexionantes y fuerzas cortantes
considerando franjas de losa de un metro de
ancho es conservador, ya que como la losa no
puede por lo general deformarse libremente
en dirección perpendicular a las franjas, se
desarrollan esfuerzos de compresión normales a las franjas que aumentan ligeramente la
resistencia en la dirección considerada.
16.2.3 Acero de refuerzo
Ya habiendo determinado el peralte efectivo,
d, y los momentos flexionantes, se calcula el
refuerzo necesario con las ecuaciones de
flexión de vigas, con las gráficas del Apéndice
A o con las tablas del Apéndice B. Generalmente, las losas son elementos subreforzados,
por lo que se pueden aplicar las ecuaciones
correspondientes a este tipo de elementos previa comprobación de que las relaciones de
refuerzo, p, resulten menores que la relación
balanceada, pb. El refuerzo obtenido se coloca
en dirección paralela a las franjas, o sea, en la
dirección del claro considerado. En dirección
perpendicular es necesario colocar también refuerzo para resistir los esfuerzos producidos por
contracción del concreto y por cambios de temperatura, y por falta de uniformidad de la carga.
Ya que la losa no puede acortarse libremente
en dirección perpendicular al claro, se agrietaría si no se colocase este último refuerzo. Tanto
el refuerzo por flexión como el de contracción
y cambios de temperatura, deben satisfacer
ciertos requisitos de cuantía y separación que
se mencionan a continuación.
550
Losas en una dirección
El Reglamento ACI 318-02 establece requisitos para el refuerzo de flexión y para el
refuerzo de contracción y temperatura. Las
relaciones, p, de estos refuerzos, deben ser
por lo menos iguales a los valores señalados
en la tabla 16.1, y la separación entre barras
no debe exceder de 45 cm ni de tres veces
el espesor de la losa, para el refuerzo de flexión, ni de cinco veces dicho espesor, para
el refuerzo por contracción y temperatura.
Las NTC-04 especifican que el refuerzo
por flexión sea el mínimo recomendado para vigas, o sea
o en sistema SI
El ancho b se considera de 100 cm y el
área obtenida de esta manera es la necesaria
para una franja de un metro de ancho.
La separación del refuerzo no debe ser
superior a la especificada para el refuerzo por
contracción y temperatura. Para este refuerzo las NTC-04 recomiendan la misma área
Tabla 16.1 Relaciones de refuerzo, p, para calcular el
acero por contracción y temperatura según el Reglamento ACI 3 1 8-02.
Tipos de acero
1
Pmin
Barras corrugadas con fy igual
a 2800 o 3500 kg/cm2
0.0020
Barras corrugadas o malla de
alambre soldado corrugado o
liso con fy igual a 4200 kg/cm2
0.001 8
Barras con fy mayor de 4200
kg/cm2
0.001 8 X 4200/fy
En ningún caso p debe ser menor de 0.001 4.
mínima que para otros elementos estructurales que tengan una dimensión mínima de
1.50 m. La ecuación correspondiente para
una franja de un metro de ancho es la siguiente:
o en sistema SI:
donde h es el espesor de la losa.
El área que se obtiene con esta ecuación es también la necesaria para una franja
de un metro de ancho y es aplicable a losas
no expuestas directamente a la intemperie.
Si no se cumple con esta condición, el valor
calculado con la ecuación 16.2 debe multiplicarse por 1.5. La separación entre barras
no debe exceder de 50 cm ni de 3.5h.
Las NTC-04 permiten calcular el refuerzo
por contracción y temperatura en forma simplificada usando una relación de refuerzo, p,
de 0.002 para losas no expuestas a la intemperie y de 0.003 para el caso de que sí lo
estén.
En el dimensionamiento de losas es frecuente calcular primero el área de acero por
metro de ancho de losa, después elegir el
diámetro de la barra, y, por último, calcular
la separación entre barras. Este último cálculo puede hacerse en forma rápida con la siguiente ecuación:
donde S es la separación entre barras; Ab, el
área de cada barra, y A, el área por metro
de ancho de losa.
El refuerzo por flexión debe detallarse
de tal manera que se satisfagan los requeri-
Comportamiento y dimensionarniento
551
Notas: a) Los dobleces son a 45". b) En losas perimetralmente apoyadas, los cortes y dobleces se hacen
en función del claro corto para el refuerzo en ambas direcciones. c) En el apoyo extremo debe proporcionarse un anclaje adecuado a partir del paño de apoyo.
Figura 16.4 Detalles típicos del refuerzo de losas.
mientos de acero en las secciones de momento negativo y positivo y, además, que se
cumplan los requisitos de longitud de desarrollo. Es difícil ajustarse a las necesidades
teóricas de refuerzo en todas las secciones
de una losa. En la práctica se ha de buscar
que las separaciones sean lo más cercanas a
los valores teóricos, pero al mismo tiempo
conviene modularlas para obtener distribuciones regulares y armados sencillos que
simplifiquen la construcción y la supervisión.
También puede aprovecharse la posibilidad
de redistribución de momentos que permiten los reglamentos y que consiste en reducir los momentos negativos y aumentar los
positivos en cantidades limitadas y siempre
que se conserve el momento estático total.
(Debe tenerse en cuenta que no se permite
recurrir a la redistribución de momentos si
los momentos se estimaron con base en los
coeficientes aproximados de la tabla 14.1 .)
En la figura 16.4 se muestran algunas
recomendaciones típicas para la colocación
del refuerzo por flexión. Estas recomendaciones son válidas cuando los claros y las
condiciones de la carga en cada claro son
semejantes. En caso contrario, los dobleces
y cortes de barras deben hacerse con la ayuda de un diagrama de momentos. Para mayor información sobre detallado del refuerzo
de losas, véase la referencia 16.3. El acero
por contracción y temperatura, no mostrado
en la figura, se coloca en forma de barras
rectas en el lecho inferior de la losa por encima del refuerzo por flexión. Algunos proyectista~ colocan parte de este refuerzo
inmediatamente debajo del refuerzo para
momento negativo.
552
Losas en una dirección
16.2.4 Revisión por cortante
La fuerza cortante no es un factor importante en la mayoría de las losas. Sin embargo,
debe revisarse, y en caso de que la sección
de concreto no pueda resistir la fuerza cortante, debe aumentarse dicha sección, ya
que por razones constructivas no es posible
usar refuerzo por cortante en estas losas.
16.3 Ejemplo de diseño de una losa
con carga uniformemente
distribuida
En el ejemplo 16.1 se ilustra el diseño de una
losa en una dirección con el Reglamento ACI
31 8-02. Se trata de una estructura muy sencilla de dos tableros de 9 por 7 m, la cual,
además de las vigas principales que unen las
columnas en las dos direcciones, tiene vigas secundarias en la dirección del claro corto, de tal manera que la losa queda dividida
en tableros más pequeños de 7 por 3 m. Ya
que la relación entre claro largo y claro corto en estos tableros es mayor que dos, se
puede considerar que la losa trabaja en una
sola dirección, que es la del lado corto.
Como datos se tiene que la carga viva
de servicio, o sea, sin factor de carga, es de
600 kg/m2, y que la losa tiene acabados y recubrimiento~en su parte superior que pesan
otros 150 kg/m2. E l peso de estos recubrimientos puede ser considerablemente mayor, como en casos en que sea necesario
hacer rellenos para dar pendientes o para nivelar con otras secciones de la estructura.
El primer paso en el cálculo consiste en
determinar el espesor de la losa, el cual se
requiere para estimar el peso propio y posteriormente para calcular el área de acero por
flexión. Se usó la tabla 11.4 para este fin,
considerando los claros extremos como más
desfavorables, ya que tienen un apoyo continuo y otro no. El valor que corresponde a
este caso es el de 1/24. De acuerdo con el
Reglamento ACI 31 8-02, el claro 1puede tomarse como el claro libre cuando su valor
sea menor de 3.05 m. Así se hizo en el ejemplo, obteniendo el claro libre como la diferencia entre el claro centro a centro de
apoyos y el ancho de las vigas. El valor de h
también pudo fijarse por estimación, pero
habría sido necesario verificar posteriormente las deflexiones s i se hubiese escogido un
valor menor que el de la tabla 11.4. También
se pudo haber usado el valor de 1/24 para
los claros de los extremos y el valor de 1/28
para los claros interiores, pero el espesor de
la losa no hubiese sido uniforme en toda la
estructura, lo cual no es recomendable salvo
en casos excepcionales.
A continuación se calcularon las cargas
de diseño multiplicando las cargas de servicio por los factores de carga correspondientes, que son 1.2 para las cargas muertas y 1.6
para la carga viva. Se obtuvo una carga de
diseño de 1456 kg/m2. Si se considera una
franja de losa de un metro de ancho, esta
franja tiene una carga de 1456 kg/m y el valor del factor wul $ resulta de 10.64 ton-m.
Para calcular el área de acero por flexión, se ordenaron los cálculos en forma de
tabla, como se muestra en el ejemplo. En el
primer renglón se anotaron los coeficientes
del factor w, l $ tomados de la tabla 14.1. El
factor 1/24 corresponde a momento negativo en los apoyos extremos; 1112, a momento
negativo en todos los otros apoyos cuando el
claro es menor que 3.05 m como en este
ejemplo; 1114, a momento positivo en el claro extremo, considerando que la losa está
restringida por la viga de borde del eje A, y
1116, a momento positivo en claros interiores.
A partir de los coeficientes, se calcularon los momentos flexionantes, multiplicando los coeficientes por w, 1 $. Por ejemplo,
el valor de 0.443 es igual a 1/24 por 10.64.
Conviene analizar con cuidado las unidades
del factor wu 1$ y de los momentos flexionantes. Puesto que la carga w, está en
ton/m2 y el claro l , está en metros, el factor
Ejemplo de diseño de una losa con carga uniformemente distribuida
1 y los momentos flexionantes deben tener unidades de ton (o de fuerza en general).
Sin embargo, si se considera una franja de 1
m de ancho, la carga w, queda expresada en
,nidades de tonlm, y el factor w, 1 ,?,,así como los momentos, quedan ya en ton-m (o
fuerza por longitud).
En el renglón 3 se calcularon los valores
de Mu/4 bd'f', considerando para 4 un valor de 0.90. Así, el valor de 0.034 es el resultado de la operación
U
,
El valor d = 8.5 cm se obtuvo restando
del espesor h = 11 cm, un recubrimiento libre de 2 cm y un radio de barra de 0.5 cm.
ES por lo tanto el peralte efectivo medido
desde el centro de la barra. Para b se tomó
un valor de 100 cm porque se está considerando una franja de 1 m de ancho.
El renglón 4 señala los valores de o obtenidos de la gráfica del Apéndice A, la cual
representa la ecuación general de flexión
para miembros subreforzados.
Ya conocidos los valores de o, se calcularon los valores de p, renglón 5, y el valor de
pmí, obtenido de la tabla 16.1. En el apoyo
A, el valor calculado de p resultó menor que
pm,. Por ser tan pequeños los valores obtenidos
de p, no se revisó si eran menores que pb; en
caso de duda debe hacerse esta revisión.
En el renglón 6 se muestran los valores
de A, obtenidos multiplicando los valores de
p por el ancho de la franja de losa, o sea, 100
cm, y por el peralte de 8.5 cm. En las secciones en que el valor calculado de p resultó
í,
se usó este último valor.
menor que ,,p
Finalmente, en el renglón 7 de la tabla se
muestran las separaciones de las barras suponiendo que se usan del No. 2.5. En el apoyo
A se excede la separación máxima permisible
de tres veces el espesor de la losa, que en este ejemplo resulta de 33 cm, el cual, a su vez,
es menor que el máximo de 45 cm.
553
El acero por contracción y temperatura
se calculó también con el valor de p de la tabla 16.1. No se exceden las separaciones
máximas de 45 cm o de cinco veces el espesor de la losa.
Para la revisión por cortante se usó la
mayor fuerza cortante, que es la que actúa
en el apoyo interior de los claros extremos
(tabla 14.1 ).
La fuerza cortante, Vu, resultó mucho
menor que la fuerza cortante de diseño, 4 V,,
que puede resistir el concreto sin refuerzo por
cortante. Por lo tanto, no es necesario revisar
el peralte de la losa como hubiese sido el caso si V, fuese mayor que 4 V,.
Al final del ejemplo se muestra el croquis
de armado que sigue las recomendaciones de
la figura 16.4a. La combinación de la barra
recta corrida en el lecho inferior y de los columpios proporciona una separación de 20
cm en las zonas de momento positivo. En las
zonas de momento negativo de los apoyos interiores se combinan columpios y bastones
que en conjunto proporcionan una separación de 4013 cm, que es algo menor que la separación requerida de 17.5 cm. En el apoyo
extremo se combinan un columpio y una L que
dan una separación de 20 cm. El acero por
contracción y temperatura se muestra de punta a una separación de 32 cm. Las secciones
de corte y de doblez se marcan de acuerdo
con la figura 16.4a. El anclaje en el extremo
debe revisarse de acuerdo con las indicaciones del Reglamento ACI 31 8-02 que se resumen en las secciones 9.6.1 y 9.7.
Aunque la losa se ha diseñado como losa en una dirección por tener una relación de
lado largo a lado corto mayor que dos, de todas maneras se desarrollan pequeños momentos negativos en los apoyos de las losas sobre
las vigas longitudinales de 9 m. Conviene por
lo tanto colocar el área mínima de acero en
estas secciones en el lecho superior de la losa, doblando parte del acero por contracción
y temperatura y completándolo con bastones,
para evitar un posible agrietamiento.
554
Losas en una dirección
Ejemplo de diseño de una losa con carga uniformemente distribuida
555
556
Losas en una dirección
Cargas concentradas
16.4 Cargas concentradas
5 57
En la determinación del ancho efectivo,
be, se distinguen tres casos (figura 16.5):
En el ejemplo de la sección anterior se supuso que la losa tenía una carga uniformemente distribuida en toda su área. En ocasiones,
además de la carga distribuida debida al peso propio y a la carga viva de este tipo, actúan cargas concentradas sobre la losa. Esto
es común en el caso de puentes o de pisos
que soportan maquinaria, tanques o cargas
similares.
Para diseñar losas en una dirección con
cargas concentradas, se presentan aquí dos
métodos que difieren en sus principios. E l
primero es el que se conoce como método
del ancho efectivo 116.1 l. Se basa en la hipótesis de suponer que la carga es resistida
por una franja de losa de ancho efectivo, be,
simétrica respecto a la carga, como se muestra en la figura 16.5. El ancho efectivo depende de las dimensiones de la placa de
carga o área que ocupa la carga concentrada, de su posición dentro de la losa y de las
condiciones de apoyo de la losa. Una vez
determinado be, como se indica a continuación, se diseña la franja de losa como si fuera una viga de ancho be y peralte d. El
refuerzo necesario se adiciona al que se requiera por carga distribuida, verificando que
con el acero total la losa siga siendo subreforzada.
a) S i la carga actúa en el centro geométrico de la losa
be=
bo + Be
Px para P x 5 3pPy (1 6.4)
Y
ex +
Be,
3
be=- (bo + p!,) para Px > 3pYy (1 6.5)
4
b) S i la carga actúa a igual distancia de
los apoyos, pero descentrada con respecto a los bordes libres, el ancho
efectivo tendrá el menor de los siguientes valores:
- el correspondiente al caso a
- el dado por las expresiones
1
be=
b, + j PU,
1
P X + e, para P x 5 BP,
PX + ~ p $
3
(1 6.6)
1
be= - (b, + - pl,) + e, para ex > pf,
4
3
(16.7)
Borde libre
9
x
Figura 16.5 Método del ancho efectivo para losas con carga concentrada.
558
Losas en una dirección
C) Si la carga actúa descentrada respecto
a los bordes libres y a diferente distancia de los apoyos, al ancho efectivo
tendrá el valor
Yo 2
be = (6
- b,) (1- 26)
siendo ble el ancho efectivo correspondiente al caso anterior y y, la distancia
del centro teórico de aplicación de la
carga al apoyo más próximo.
El factor B que aparece en las ecuaciones anteriores depende de las condiciones
de apoyo de la losa. Si están libremente apoyadas, se toma P = 1; s i están empotradas,
p = F1 ; y en casos intermedios, B = 2
E l segundo método para diseñar losas
con cargas concentradas está basado en la
teoría de las líneas de fluencia (véase la referencia 16.2, páginas 30-34 y 95). Este método que se presenta en las NTC-04 del
Reglamento del Distrito Federal, consiste en
incrementar la suma de los momentos resistentes de la losa, por unidad de ancho, positivos y negativos, en las dos direcciones y en
todo punto del tablero, en la cantidad
donde P es la carga concentrada; r, el radio
del círculo de igual área a la de aplicación
de la carga; y R, la distancia del centro de la
carga al borde más próximo a ella. El método no especifica en qué cantidad se incrementan los momentos negativos y en qué
cantidad los positivos, sino que basta con
que la suma de ambos se incremente en la
cantidad indicada por la ecuación 16.9. Sin
embargo, es conveniente distribuir el incremento total en proporción aproximada a los
momentos negativos y positivos obtenidos
por carga distribuida. Obsérvese que en dirección paralela a los apoyos también debe
colocarse refuerzo para incrementar los momentos, el cual será adicional al de contracción y temperatura.
Es importante notar que en este método
el incremento en la suma de los momentos
positivo y negativo debe hacerse en todos
los puntos de la losa a los que llega la influencia de la carga concentrada. Esto se debe a que se trata de evitar la formación de
un mecanismo de colapso en forma de cono
alrededor de la carga concentrada con Iíneas de fluencia radiales en la parte inferior
de la losa (momento positivo) y una línea de
fluencia circular en la parte superior (momento negativo).
Este segundo método se aplica a las lo-'
sas que trabajan en una dirección, con relación ancho a claro no menor que ~ 1 2cuando.
,
la distancia de la carga a un borde libre no
es menor que la mitad del claro. N o es necesario incrementar los momentos resistentes en un ancho de losa mayor que 1.5 .t
centrado con respecto a la carga, siendo !el
claro de la losa.
Los dos métodos presentados se refieren al diseño por flexión de las losas. También debe revisarse que no ocurra una falla
en cortante por penetración de la carga concentrada, en forma similar a la que ocurre en
el caso de losas apoyadas directamente sobre columnas (secciones 7.5.3, 7 . 6 . 1 ~y
7.6.2~).
16.5 Ejemplo de diseño de una losa
con carga distribuida y carga
concentrada
En el ejemplo 16.2 se diseña una losa que tiene una carga viva distribuida uniformemente
de 300 kg/m2 y una carga concentrada de 8
ton, ambas a nivel de servicio. La losa forma
parte de una serie continua de tramos iguales
y sólo se ha diseñado el tramo con carga concentrada usando el método de las NTC-04 del
Reglamento del Distrito Federal.
Ejemplo de diseño de una losa con carga distribuida y carga concentrada 559
Para calcular el espesor, h, se empleó la
tabla 11.4 para el caso de los apoyos continuos, ya que es un claro interior. Como el ancho de las vigas de apoyo es mayor que el
peralte efectivo, fue necesario hacer dos tanteos respecto al peralte para determinar el claro efectivo, ya que éste es igual al claro libre
más medio peralte efectivo de cada lado.
E l factor de carga usado fue de 1.4, que
es el que señala el Reglamento del Distrito
Federal.
El cálculo de los momentos producidos
por la carga distribuida se efectuó con los coeficientes de la tabla 14.1. La suma de los momentos negativo y positivo causados por la
carga concentrada, en cada dirección, por unidad de ancho, se calculó con la ecuación 16.9.
El valor de r se obtuvo igualando el área de un
círculo, .;rr r2, con el área que ocupa la carga
concentrada, que en este ejemplo es de 1 m*.
Obsérvese que aunque la ecuación 16.9 conduce a unidades de fuerza para la suma de los
momentos negativo y positivo, en el ejemplo
se le asignó unidades de kg-m (fuerza por longitud). Al hacer esto se está suponiendo que esta suma de momentos habrá que resistirla en una
franja de 1 m de ancho, al igual que los momentos producidos por la carga distribuida.
La suma de momentos negativo y positivo debido a la carga concentrada se distribuyó
en momento negativo y momento positivo proporcionalmente al valor de estos momentos
bajo condición de carga distribuida, aunque
pudo usarse cualquier otra distribución razonable. Sumando los momentos por carga distribuida y por carga concentrada, se obtuvieron
los momentos totales de 2892 y 1988 kg-m
mostrados en el ejemplo.
A continuación se dividió la losa en las
cuatro franjas mostradas en el croquis del
ejemplo para fines de proporcionar las áreas
de acero correspondientes. La franja A está
centrada respecto a la carga concentrada y
tiene un ancho de 1.5 1; en esta franja se requiere acero para resistir la carga distribuida
y la carga concentrada. En las franjas B sólo
se requiere acero para resistir la carga distribuida, ya que el efecto de la carga concentrada no alcanza a afectar estas franjas; la
franja B de la parte superior es tan pequeña
que en la práctica se incorpora a la franja A.
En la dirección paralela a las vigas de apoyo
se tiene la franja C; como el efecto de la carga concentrada se extiende hasta una distancia de 0.75 1a cada lado de la carga, la franja
C se extiende en rigor hasta las losas vecinas, o bien, pueden reforzarse ligeramente
en forma adicional las vigas de apoyo.
El acero negativo para la franja A se calculó
con el momento de 2892 kg-m, que es la suma
del producido por carga distribuida y por carga concentrada. Obsérvese que en la ecuación
general de flexión se usó para b un valor de
100 cm por las razones ya explicadas. Se obtuvo un refuerzo consistente en barras del No. 3
a cada 13 cm. También se calculó el área de
acero negativo que se requiere para resistir la
carga concentrada y la separación correspondiente. Estos valores deben cumplirse en las
zonas de la'losa en que no hay momento negativo por carga distribuida, como en el centro
del claro. El cálculo se hizo por simple proporcionalidad entre el momento por carga concentrada y el momento total. En forma similar
se calculó el acero positivo para esta franja, obteniéndose barras del No. 3 a cada 20 cm para momento total y para momento por carga
concentrada, ya que rige el área mínima.
Para la franja B únicamente se consideraron los momentos producidos por la carga
distribuida, ya que, como se dijo anteriormente, esta franja está fuera de la zona de
influencia de la carga concentrada. Para el
acero positivo no se alcanzó la relación pmjn,
por lo que se usó este valor, que es de 0.0023.
En la franja C, la suma de los momentos
negativo y positivo se dividió por igual entre
momento negativo y momento positivo. Por lo
tanto, el acero positivo total se obtuvo sumando
el área del acero requerido por contracción y
temperatura, calculado con la ecuación 16.2,
y la mitad de la requerida para resistir la carga
560
Losas en una dirección
concentrada. El acero negativo es únicamente
la mitad del área necesaria para resistir la carga concentrada. El área de acero negativo resultó menor que la mínima mientras que la del
acero positivo resultó casi igual, por lo que se
usó la separación de 20 cm.
Es importante mencionar que las NTC04 señalan que el peralte efectivo debe reducirse en 2 cm para el cálculo del refuerzo
de lecho superior en losas de espesor menor
o igual a 20 cm, a menos que se tomen precauciones especiales para garantizar que las
dimensiones de cálculo no variarán durante
la construcción. En este ejemplo no se hizo
la reducción de 2 cm porque se supuso que
se tomarían estas precauciones.
Al final del ejemplo se muestran los croquis de colocación del refuerzo para los tres
tipos de franja. En la franja A se decidió usar
únicamente barras rectas, ya que es necesario
tener en todas las secciones el área requerida
por carga concentrada. Así, en el centro del
claro se requiere una separación del refuerzo negativode 20 cm, por lo que se conservó la separación de 13 cm requerida en los
apoyos. Para el refuerzo positivo se obtuvo
una separación de 20 cm en el centro del claro
y en los apoyos, ya que rigió el área mínima.
El armado de la franja B sigue las recomendaciones de la figura 16.4a.
En la franja C también se corrieron las
barras rectas a todo el ancho de la losa, por
lo mencionado en el caso de la franja A.
En el ejemplo no se incluye la revisión
por cortante por penetración en la zona de
aplicación de la carga concentrada. Esta revisión debe hacerse por los procedimientos
señalados en la sección 7.2.
Ejemplo de diseño de una losa con carga distribuida y carga concentrada
561
562
Losas en una dirección
Ejemplo de diseño de una losa con carga distribuida y carga concentrada
563
564
Losas en una dirección
Ejemplo de diseño de una losa con carga distribuida y carga concentrada
565
566
Losas en una dirección
Referencias
16.1
Jiménez Montoya, P., A. García Meseguer, F.
Morán Cabré. Hormigón Armado. Madrid, Editorial Gustavo Gili, 1982.
16.2
16.3
Wood, R. H., Plastic and Elastic Design of Slabs
and Plates. Londres, Thames and Hudson,
1967.
-. CRSl Handbook Design. Chicago, Concrete
Reinforcing Steel Institute, 2002
Ejercicios
(Observación: los siguientes ejercicios pueden resolverse con las NTC-04 o con el Reglamento ACI 31 8-02, salvo
cuando se indique lo contrario.)
16.1
Calcular el peralte y el acero de refuerzo de
una losa libremente apoyada que trabaja en
una dirección y con una carga w, = 800 kg/m2
que incluye el peso propio. Determinar el
agrietamiento y las deflexiones de corta duración y larga duración, bajo una carga permanente de servicio de 400 kg/m2.
Losas precoladas
f; = 200 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
30
16.2
30
Dimensionar las losas precoladas y las vigas rectangulares del siguiente sistema de piso. Para el
cálculo de deflexiones a largo plazo considérese
el 50 por ciento de la carga de servicio.
carga de servicio (no incluye peso propio) =
w = 300 kg/m2
Deflexión máxima para las losas = 1 cm
Deflexión máxima para las vigas = 2.5 cm
Ancho máximo de grietas = 0.3 mm
16.3
16.4
Ii
Resolver el problema anterior suponiendo que el
sistema de piso está formado por una losa colada
monolíticamente con nervaduras a cada 3 m.
Dimensionar la losa continua del croquis utilizando los coeficientes aproximados de la tabla 14.1.
Considerar una carga muerta de servicio, sin incluir el peso propio, igual a 600 kg/m2 y una carga
viva de servicio igual a 1000 kg/m2. Suponer f;=
200 kg/cm2 y fy = 4200 kg/cm2. Revisar agrietamientos y deflexión. Para estimación de la deflexión diferida, considerar que el 60 por ciento de la
carga viva actúa en forma permanente.
1
I
I
I 1 Muro
de
amposría
0.2
.
Ejercicios
16.5
Dimensionar la losa del croquis sometida a una
carga concentrada de servicio de 3 ton en la
forma indicada. Utilizar el método de ancho
equivalente. Considerar además una carga uniforme total a nivel de servicio, sin incluir el peso propio, igual a 800 kg/m2. La mitad de la
carga es carga viva y la mitad es carga muerta.
Suponer f', = 250 kg/cm2 y fy = 4200 kg/cm2.
Utilizar el Reglamento ACI 318-02. Revisar el
peralte requerido por cortante por penetración.
I
1mampostería
,Muro de
I
16.6
567
Dimensionar la losa del croquis sujeta a una carga concentrada de 3.5 ton aplicando las indicaciones de las NTC-04. Considerar además una
carga total a nivel de servicio, sin incluir el peso
propio, igual a 600 kg/m2. Suponer f', = 250
kg/cm2 y fy = 4200 kg/cm2. Usar un factor de
carga F, = 1.4. Revisar el peralte requerido por
cortante por penetración.
i 3 . 5 ton
i
17
CAP~TULO
Losas apoyadas
perimetralmente
17.1 Introducción. h 7 . 2 Comportamiento
y modos de falla. /17.3 Análisis de losas.
/17.4 Dimensionamiento de losas apoyadas
perimetralmente. /17.5 Ejemplo de diseño.
17.1 Introducción
Las losas apoyadas perimetralmente son
aquellas que están apoyadas sobre vigas o
muros en sus cuatro lados, como se muestra
en la figura 17.1, y que por lo tanto trabajan
en dos direcciones, a diferencia de las estudiadas en el capítulo anterior que trabajan
sólo en una dirección.
La diferencia entre losas que trabajan en
una dirección y losas apoyadas perimetralmente puede verse también en la forma que
adquieren las losas cuando se deflexionan bajo la acción de cargas normales a su plano: las
primeras se deforman en curvatura simple
mientras que las segundas lo hacen en curvatura doble. Una característica estructural importante de los apoyos de estas losas es que su
rigidez a flexión es mucho mayor que la rigidez a flexión de la propia losa. Los métodos
de diseño estudiados en este capítulo sólo
pueden aplicarse si se cumple esta condición.
Cuando las losas se apoyan en muros no hay
duda al respecto, ya que su rigidez a flexión
puede considerarse infinita. Cuando se apoyan en vigas de dimensiones usuales calculadas como se indica en el capítulo 14 de este
texto, también puede coniiderarse que se
cumple la condición mencionada. Sin embargo, en algunas ocasiones las losas se apoyan
sobre vigas de poco peralte que tienen una rigidez flexionante relativamente pequeña. En
estos casos se debe recurrir a otros métodos
de diseño, como los que se mencionan en el
capítulo 19.
17.2 Comportamiento y modos
de falla
Figura 17.1 Losas apoyadas perimetralmente.
Las losas apoyadas perimetralmente forman
parte, comúnmente, de sistemas estructurales
integrados por columnas, vigas y losas. El
comportamiento de éstas no puede estudiarse
rigurosamente en forma aislada, sino que debe analizarse todo el sistema, ya que las características de cada elemento influyen en el
comportamiento de los otros. Sin embargo, en
este capítulo, por simplicidad y conveniencia
en el estudio, se considerarán las losas en forma aislada. Esto permitirá el planteamiento de
métodos de diseño suficientemente precisos
5 70
Losas apoyadas perirnetralmente
para fines prácticos, siempre que se cumpla la
hipótesis mencionada en la sección anterior
de que los apoyos tengan una rigidez a flexión
mucho mayor que la de las losas. En la sección 19.2 se presenta una introducción al
comportamiento de sistemas de piso.
La gráfica carga-deflexión en el centro
del claro de una losa apoyada perimetralmente, ensayada hasta la falla, tiene la forma
mostrada en la figura 17.2, en la que se distinguen las siguientes etapas.
C)
a) Una etapa lineal O-A, en la que el agrietamiento del concreto en la zona de esfuerzos
de tensión es despreciable. El agrietamiento
del concreto por tensión, representado por
el punto A, ocurre bajo cargas relativamente altas. Las cargas de servicio de losas se
encuentran generalmente cerca de la carga
correspondiente al punto A.
b) La etapa A-9, en la que existe un agrietamiento del concreto en la zona de tensión
y los esfuerzos en el acero de refuerzo son
menores que el Iímite de fluencia. La transición de la etapa O-A a la etapa A-B es
gradual, puesto que el agrietamiento del
concreto se desarrolla paulatinamente
desde las zonas de momentos flexionantes máximos, hacia las zonas de momentos flexionantes menores. Por la misma
razón, la pendiente de la gráfica carga deflexión en el tramo A-B, disminuye poco a
poco.
Para ilustrar el avance del agrietamiento
y de la fluencia del refuerzo en distintas etapas de carga, se presentan en la figura 17.3
las configuraciones de agrietamiento en la
cara inferior de una losa cuadrada simplemente apoyada sujeta a carga uniformemente
repartida en su cara superior, para distintos
valores de la carga aplicada. Puede verse en
esta figura que el agrietamiento empieza en
el centro de la losa, que es la zona de momentos flexionantes máximos, y avanza hacia las esquinas a lo largo de las diagonales.
Los análisis elásticos de losas (sección 17.3)
indican que los momentos principales en una
losa de este tipo se presentan precisamente
en las diagonales. En etapas cercanas a la falla se forman grietas muy anchas a lo largo
de las diagonales, que indican que el acero
de refuerzo ha fluido y ha alcanzado grandes
deformaciones. Las deformaciones por flexión de la losa se concentran en estas Iíneas,
que reciben el nombre de Iíneas de fluencia,
mientras que las deformaciones en las zonas
comprendidas entre las Iíneas de fluencia
son, en comparación, muy pequeñas.
La amplitud de las zonas de comportamiento inelástico depende del porcentaje de
refuerzo de flexión. Generalmente, este porcentaje es pequeño en losas, por lo que tales
elementos resultan subreforzados y las zonas
inelásticas son amplias.
En la descripción anterior del comportamiento, se ha supuesto que la falla ocurre
por flexión y que no hay efecto de cortante.
Figura 17.2 Gráfica carga-deflexión de una
losa.
La etapa B-C, en la que los esfuerzos en el
acero de refuerzo sobrepasan el Iímite de
fluencia. Al igual que el agrietamiento del
concreto, la fluencia del refuerzo empieza en las zonas de momentos flexionantes
máximos y se propaga paulatinamente hacia las zonas de momentos menores.
d) Por último, la rama descendente C-D, cuya amplitud depende, como en el caso
de las vigas, de la rigidez del sistema de
aplicación de cargas.
Análisis de losas
pq
a) Carga pequeña
b) Carga regular
c) Carga alta
d) Carga de falla
571
Figura 17.3 Configuraciones de agrietamiento para distintos valores de la carga aplicada.
En l a sección 7.5.3 de este texto, se ha señalado que en el caso de losas apoyadas directamente sobre columnas y de losas sujetas a
cargas concentradas altas, es frecuente que
la falla ocurra en cortante por penetración
antes de que se alcance la resistencia en flexión. Este tipo de falla se estudia en la sección mencionada.
17.3 Análisis de losas
Se entiende por análisis de losas la determinación de las acciones internas en una losa dada
cuando se conoce la carga aplicada. Esta determinación es más difícil que el caso de vigas,
debido a que las losas son elementos altamente hiperestáticos. El análisis de losas puede
efectuarse aplicando los métodos de la Teoría
de la Elasticidad que se describen brevemente
más adelante. Los resultados así obtenidos sólo son válidos en la etapa de comportamiento
lineal, o sea, para cargas cuya magnitud es del
orden de la correspondiente al punto A de la
figura 17.2. Además, los resultados son sólo
aproximados aun para estas cargas, debido a
que el concreto reforzado no cumple con las
características ideales de los materiales lineales, homogéneos y elásticos.
Si se plantean las condiciones de equilibrio y compatibilidad de deformaciones del
elemento diferencial de la losa mostrado en la
figura 17.4, se obtiene la siguiente ecuación*
* La deducción completa de esta ecuación se presenta en el
libro Theory o f Plates and Shells, por S. Timoshenko 117.11,
Véase también la referencia 17.9.
572
Losas apoyadas perimetralmente
'a
Los momentos indicados
en la figura a están representados por vectores en
la figura b
Además de las condiciones de equilibrio
y continuidad expresadas por la ecuación
17.1, deben cumplirse las condiciones de
frontera o condiciones de borde de la losa.
Por ejemplo, si un borde es empotrado, la deflexión y la rotación deben ser nulas en dicho
borde. Estas condiciones de frontera se satisfacen ajustando las constantes de integración
que aparecen al resolver la ecuación diferencial 17.1. Una vez resuelta la ecuación 17.1,
las acciones internas pueden determinarse
con las ecuaciones que se deducen en la referencia 17.1
La determinación de las acciones internas por el procedimiento descrito es demasiado laboriosa para fines prácticos, además de
que tiene las limitaciones indicadas anteriormente. Sin embargo, en casos comunes se
han obtenido soluciones, las cuales, con algunas modificaciones, se han utilizado para obtener coeficientes de diseño. Por ejemplo, en
la figura 17.5 se muestra la distribución de
momentos flexionantes en una losa cuadrada
libremente apoyada sujeta a carga uniformemente distribuida. En esta losa los momentos
Figura 17.4 Elemento diferencial de losa.
donde:
z = deflexiones de la losa en dirección perpendicular a su plano.
x, y = coordenadas en el plano de la losa
w = carga aplicada
N = rigidez de la losa, expresada por
la ecuación
h = peralte total de la losa
E = módulo de elasticidad
p = coeficiente de Poisson
Figura 17.5 Distribución de momentos en una
losa cuadrada.
Análisis de losas
máximos se presentan a lo largo de las diagonales, lo cual explica la forma de su mecanismo de colapso, ya que el acero de refuerzo
fluye siguiendo los ejes de momentos máximos.
La ecuación diferencial 17.1 se integra
generalmente mediante series, lo cual tiene
la limitación de ser aplicable únicamente a
ciertas formas sencillas de placas y de condiciones de apoyo. Existen dos métodos que
salvan esta limitación, si bien conducen a
sistemas de ecuaciones lineales de número
muy elevado. Estos métodos son el de diferencias finitas y el de elementos finitos. El
primero es un método de integración numérica y el segundo de discretización de la estructura por medio de su sustitución por otra
formada por elementos de forma cuadrangular o triangular. Estos métodos, que caen
fuera del alcance de este texto, requieren el
uso de computadoras para resolver los sistemas de ecuaciones resultantes, pero permiten el análisis de losas de forma irregular, con
cualquier tipo de carga y con discontinuidades de carga o geometría.
Existen también métodos aproximados
para el análisis de losas. Uno de ellos es el
de Marcus [17.2, 17.31 o método de las rigideces relativas que permite visualizar el
comportamiento de losas apoyadas perimetralmente y que se usó para fines de diseño
durante algún tiempo. Supóngase una losa
rectangular libremente apoyada en todo su
perímetro en la que se han señalado las dos
franjas centrales C 1y L1que corresponden al
claro corto y al claro largo, respectivamente
(figura 17.6a). Supóngase también que la losa
tiene una carga uniformemente distribuida
w. El punto central de la losa forma parte de
las franjas C1 y L1 simultáneamente, por lo
que se pueden igualar las deflexiones en el
punto medio de cada franja, como si fuesen
vigas simplemente apoyadas, de la siguiente
manera:
573
Figura 17.6 Franjas en el método de Marcus.
donde way wb son las fracciones de la carga
w que corresponden a las franjas C l y LI, respectivamente. Simplificando esta ecuación
se obtiene:
Ahora bien, por condiciones de equilibrio, la suma de las cargas wa y wb debe ser
la carga total w:
Resolviendo el sistema de ecuaciones
17.3 y 17.4 se obtiene:
5 74
Losas apoyadas perimetralmente
Las ecuaciones 17.5 y 17.6 permiten
obtener las cargas con las que se diseñan las
franjas C y L como si fuesen vigas aisladas.
Este método permite obtener coeficientes
para distintas relaciones entre Ya y l b y permite también, siguiendo el mismo razonamiento, analizar losas con distintas condiciones
de apoyo. Las ecuaciones 17.5 y 17.6 indican
también que la carga se reparte en forma inversamente proporcional a la cuarta potencia
de los claros, o sea, que la losa trabaja más
en dirección del claro corto que en la del
claro largo.
El método es aproximado porque no
toma en cuenta que las franjas de losa paralelas no pueden deformarse en forma independiente entre sí. En efecto, si se considera
la intersección de las franjas C2 y LZ en la
figura 17.66, se puede ver que sus cuatro vértices tienen deflexiones diferentes por estar localizados a diferentes distancias de los
apoyos de la losa. Por lo tanto, el elemento
de la figura 17.6b que tiene a la losa horizontal y a la losa deflexionada como caras
superior a inferior, respectivamente, adquiere
la forma de un cubo deformado, lo cual se
debe a la existencia de esfuerzos y momentos torsionantes que se presentan en todos los
elementos de intersección, excepto el central. Por lo tanto, la carga total en la losa es
resistida no únicamente por momentos flexionantes, sino también por momentos
torsionantes, como lo indica el análisis por
Teoría de la Elasticidad. Esto hace que el método resulte muy conservador. Por ejemplo,
en una losa cuadrada simplemente apoyada,
el momento máximo al centro del claro calculado con este método sería
mientras que el análisis exacto por Teoría de
la Elasticidad (figura 17.5) indica un valor
de 0.0479 w f 2 .
El método de análisis de losas más empleado en la práctica consiste en el uso de
tablas de coeficientes de momentos, obtenidas mediante alguno de los métodos más refinados mencionados antes. La determinación
de los momentos por medio de estos coeficientes resulta expedita pero desde luego sólo se pueden analizar losas de forma regular
y con carga uniforme.
Al establecer las tablas de coeficientes
de momentos, se modifican los resultados de
los análisis elásticos para tomar en cuenta
las diferencias más importantes entre las losas ideales y las losas de concreto reforzado.
Algunas de estas diferencias son las siguientes:
a) Las distribuciones de momentos en las
losas de concreto reforzado son diferentes
de las distribuciones elásticas, debido a
la influencia del agrietamiento.
6) Las condiciones de apoyo de losas de
estructuras reales no corresponden a las
condiciones ideales de las losas analizadas elásticamente. Por ejemplo, las losas reales suelen apoyarse sobre vigas
que tienen una rigidez a flexión finita, o
sea, que tienen cierta flexibilidad, mientras que las losas ideales están soportadas
sobre apoyos infinitamente rígidos. También las vigas de esctructuras reales trabajan como vigas T con un ancho de patín
difícil de definir, lo que implica incertidumbre en su rigidez. Esto no se toma en
cuenta en los análisis elásticos comunes.
C ) De acuerdo con las distribuciones teóricas
de momentos, éstos varían a lo largo de
los ejes de la losa, como puede verse en
la figura 17.5. Debido a que no resulta
práctico distribuir el acero de refuerzo siguiendo las distribuciones teóricas, es
usual considerar dos o tres zonas de mo-
'
Análisis de losas
mentos constantes. Por ejemplo, la distribución teórica a lo largo del eje central de
la figura 17.5 puede simplificarse como se
muestra en la figura 17.7. De esta forma se
logran separaciones uniformes del acero
de refuerzo en zonas amplias de la losa.
Obsérvese que no es necesario que en la
distribución idealizada de momentos, el
momento de diseño sea igual al momento
máximo, ya que aprovechando la redistribución de momentos que ocurre en el interior de la losa cuando el acero de
refuerzo empieza a fluir en las secciones
de momento máximo, se puede diseñar
para un momento menor que el máximo.
Los reglamentos de construcción presentan por lo general tablas de coeficientes
de momentos que se utilizan para fines de
diseño. Más adelante se incluye la tabla que
aparece en las NTC-O4 del Reglamento del
Distrito Federal.
17.4 Dimensionamiento de losas
apoyadas perimetralmente
17.4.1 Coeficientes de momentos
El Reglamento del American Concrete Institute había incluido, hasta antes de su edición
de 1971, tablas de coeficientes de momentos
para el diseño de losas apoyadas perimetralDistribución
para fines de
diseño
mente. A partir de 1971, el Reglamento ACI
incluyó un método general para el diseño de
sistemas de piso con vigas cuya rigidez puede
variar desde infinito hasta cero. Si la rigidez es
infinita, se está en el caso de losas apoyadas
perimetralmente; y si es cero, se está en el
caso de losas o placas planas, como las estudiadas en el siguiente capítulo.
Aunque el método que se presenta ahora
en el Reglamento ACI (versión 2002) es más
general y toma en cuenta las variables más
importantes que influyen en el comportamiento de sistemas de piso, resulta más
complicado desde el punto de vista operacional que el uso de tablas de coeficientes de
momentos, como las incluidas en versiones
anteriores o en otros reglamentos de construcciones.
Ya que el método del Reglamento ACI
3 18-02 no se refiere, por lo tanto, a losas sobre apoyos rígidos exclusivamente, como las
consideradas en este capítulo, no se incluye
en esta parte del texto y sólo se presenta a
continuación el método de las NTC-04.
Para dimensionar losas por este método,
se obtienen los momentos flexionantes utilizando los coeficientes que se presentan en
la tabla 17.1. Los momentos así obtenidos
son momentos por unidad de ancho, por
ejemplo, kg-mlm. Después se calculan el
peralte y el porcentaje de refuerzo utilizando las fórmulas de flexión, como si se tratase de vigas de ancho unitario. Por ejemplo,
si los momentos están en unidades kg-mlm,
se considera que la losa está formada por vigas de 1 m de ancho sujetas a los momentos
flexionantes determinados a partir de los
coeficientes de la tabla.
El método de las NTC-04 está basado
en uno desarrollado originalmente por Siess
y Newmark [17.4, 17.51. Obsérvese que se
incluyen coeficientes para losas construidas
monolíticamente con las vigas de apoyo y
para losas apoyadas sobre vigas de acero.
Esto se debe a que, en el primer caso, las vigas proporcionan cierta restricción a la losa
d"====
Distribución real
/
Figura 17.7 Distribución real d e momentos y
distribución idealizada para fines d e diseño en
una losa.
5 75
5 76
Losas apoyadas perimetralmente
contra giro, mientras que el segundo caso la
losa puede girar libremente.
Existe la posibilidad de que los momentos en un borde común a dos tableros adyacentes resulten distintos en cada tablero. En
estos casos, las NTC-04 especifican que se
distribuyan las dos terceras partes del momento de desequilibrio entre los tableros adyacentes, si éstos son monolíticos con sus
apoyos, o la totalidad si no lo son. Para la
distribución debe suponerse que la rigidez
del tablero es proporcional a d3/al.
Las losas que se dimensionen con los coeficientes de la tabla 17.1 deben considerarse
divididas, en cada dirección, en dos franjas de
borde y una central, como se muestra en la figura 17.8. La determinación de los anchos de
las franjas se hace de la siguiente manera. Para relaciones de claro corto o claro largo mayores que 0.5, las franjas centrales tienen un
ancho igual a la mitad del claro perpendicular
a ellas, y cada franja extrema tiene un ancho
igual a la cuarta parte del mismo. Para relaciones menores que 0.5, la franja central perpendicular al lado largo tiene un ancho igual
a a2 - al y cada franja extrema, igual a a1/2,
donde al es el claro corto y a* es el claro largo.
Los momentos determinados con los coeficientes de la tabla 17.1, corresponden a las
B
t
Franja de borde
t
+-+
Franja central
Franja de borde
Figura 17.8 División de una losa en franjas
centrales y franjas de borde.
franjas centrales. Los coeficientes de las franjas extremas son iguales a los de la tabla multiplicados por 0.60.
Para doblar barras y aplicar los requisitos de adherencia y anclaje de acero de
momento positivo (capítulo 9), se supone
que las líneas de inflexión están localizadas
a una distancia de un sexto del claro corto a
partir de los bordes del tablero. Para los mismos requisitos del acero del momento negativo, se suponen localizadas las líneas de
inflexión a un quinto del claro corto, a partir
de los bordes del tablero.
El método descrito puede aplicarse únicamente si se satisfacen las siguientes limitaciones:
a) Los tableros son aproximadamente
rectangulares.
6 ) La distribución de las cargas que actúan sobre la losa es aproximadamente uniforme en cada tablero.
C) Los momentos negativos en el apoyo
común de dos tableros adyacentes
no difieren entre sí en más del 50 por
ciento del menor de ellos.
d) La relación de carga viva a carga
muerta no es mayor que 2.5 para losas monolíticas con sus apoyos, ni
mayor que 1.5 en otros casos.
Cuando las losas no cumplen estas limitaciones, es necesario aplicar otros procedimientos como, por ejemplo, la utilización
de soluciones elásticas, como las presentadas en la referencia 17.1. Si las losas son
muy irregulares, están sujetas a cargas no
uniformes, tienen agujeros o condiciones de
apoyo poco usuales, es más conveniente,
por lo general, recurrir a otro tipo de soluciones no incluidas en este texto. Pueden
consultarse a este respecto las referencias
17.6 a 17.1 1.
Cuando se diseña por el método de las
NTC-04, los coeficientes de momento posí-
577
Análisis de losas
Tabla 17.1 Coeficientes de momentos a, para tableros rectangulares, franjas centrales. Para las franjas extremas
multiplíquense los coeficientes por 0.60.
Relación de lados corto a largo, m = al/a2
Tablero
Momento
Claro
O. 7
O. 6
0.5
O
O.8
II
I
II
I
II
I
II
I
corto
largo
corto
largo
998 1018
516 544
630 668
175 181
553
409
312
139
565
431
322
144
489
391
268
134
498
412
276
139
432
371
228
130
438
388
236
135
381
347
192
128
De borde
Un lado
corto
discontinuo
Neg. en bordes
corto
interiores
largo
Neg.en bordesdisc. largo
corto
positivo
largo
998 1018
516 544
O
326
630 668
179 187
568
409
258
329
142
594 506
431 391
O 248
356 292
149 137
De borde
Un lado
largo
discontinuo
corto 1060 1143
Neg. en bordes
interiores
largo 587 687
O
Neg. en borde disc. corto 651
corto 751 912
positivo
largo 185 200
583
465
362
334
147
624
545
O
366
158
598
475
362
258
358
152
I
interior
~odoslos
bordes
continuos
Neg. en bordes
interiores
positivo
Deesauina Neg. en bordes
Los lados
interiores
Neg.bordesdisc.
adyacentes
discontinuos
positivo
corto 1060 1143
largo 600 713
O
corto 651
O
largo 326
corto 751 912
largo 191 212
1.0
O. 9
II
II
I
387 333
361 320
199 158
133 127
338
330
164
131
288 292
288 292
126 130
126 130
533 451 478 403
412 372 392 350
O 222
O 236
306 240 261 202
143 133 140 131
431 357
369 326
O 206
219 167
137 129
388
341
O
181
136
315 346
297 311
O
190
133 144
129 135
514
442
321
285
142
548 453 481 397
513 41 1 470 379
O 283
O 250
312 241 263 202
153 138 149 135
420 346
426 347
O 219
218 164
146 134
364
384
O
175
145
297 311
315 346
O
190
129 135
133 144
653 530
564 455
O 321
O 248
416 306
168 146
582 471 520 419
541 429 506 394
O 250
O 277
O 236
O 222
354 259 298 216
163 142 158 140
464 371
457 360
O 219
O 206
247 176
156 138
412
410
O
O
199
154
324 364
324 364
O
190
O
190
137 153
137 153
870
O
O
650
520
650
250
220
490
430
790
O
O
600
520
570 710
O
220
O
220
430 540
430 520
II
I
Neg. en borde cont. corto 1060 1143
Extremo
O
Tresbordes Neg.enbordesdisc.c~rto 651
O
discontinuos
largo 220
corto 751 912
un lado largo
positivo
continuo
largo 185 200
970 1070 890 1010
O
O 340
370
220
O
O 220
730 800 670 760
430 520 430 520
Neg. en borde cont. largo 570 710
Extremo
O
Tres bordes
corto 570
Neg' en bordedi''.
O
discontinuos
largo 330
un lado corcorto 1100 1670
positivo
largo 200 250
to continuo
570 710
O
480
O
220
960 1060
430 540
570
420
220
840
430
710 570 710 570
O 310
O 370
O 220
O 220
950 730 850 620
540 430 540 430
710 570
O 270
O 220
740 540
540 430
710
O
O
660
540
570 710
O
220
O
220
430 520
430 540
Aislado
O
550
O
330
830 1380
500 830
O 430
O 470
530
O 330
O 330
330
800 1330 720 1190 640
500 830 500 830 500
O 380
O 330
1070 570
830 500
O
O
950
830
O
330
O
330
500 830
500 830
Cuatro lados
discontinuos
Neg. en borde disc.
positivo
O
corto 570
O
largo 330
corto 1100 1670
largo 200 250
810 940 730
O 280
310
O 220
220
610 710 550
430 520 430
Caso l. Losa colada monolíticamente con sus apoyos.
Caso II. Losa n o colada monolíticamente con sus apoyos.
wa: dan momentos por unidad de ancho.
Los coeficientes multiplicados por 1
Para el caso 1, al y a2 pueden tomarse como los claros libres entre paños de vigas; para el caso II se tomarán
como los claros entre ejes, pero sin exceder el claro libre más dos veces el espesor de la losa.
tivo pueden incrementarse y los de momentos negativos reducirse en igual cantidad, o
viceversa, pero ningún coeficiente puede reducirse en más del 33 por ciento del valor
consignado en la tabla 17.1.
17.4.2 Peralte mínimo
Las NTC-04 incluyen también disposiciones
sobre peralte mínimo y sobre relaciones mínimas de refuerzo. Respecto al peralte, seña-
578
Losas apoyadas perimetralmente
lan que el cálculo de deflexiones puede
omitirse si el peralte efectivo de la losa es
por lo menos igual al perímetro del tablero
divido entre 250 para concreto clase I y 170
para concreto clase 2. Para calcular este perímetro, los lados discontinuos deben incrementarse en 50 por ciento si los apoyos de
la losa no son monolíticos con ella, y 25 por
ciento si lo son. En losas alargadas no es necesario tomar un peralte mayor que el que
corresponde a un tablero con a2 = 2al. Estas
disposiciones son aplicables a losas en que
f, 5 2520 kg/cm2 y w 5 380 kg/m2; para
otras combinaciones de f, y w, el peralte
efectivo m í l i m se obtendrá multiplicando
por 0.032
fsw el valor obtenido en la forma arriba indicada (0.182
si f, se
expresa en MPa y w en kN/m2). En esta expresión, fs es el esfuerzo en el acero en
condiciones de servicio, en kg/cm2 (puede
suponerse igual a 0.6 fy), y w es la carga en
condiciones de servicio, en kg/m2. Cuando
no se satisfacen estos requisitos, es necesario calcular la deflexión para compararla
con la que se considere admisible. En el inciso 9.2.2 de la referencia 17.9, se reseñan
diversos procedimientos para la estimación
de la deflexión de losas perimetralmente
apoyadas.
También en la referencia 17.1 2 se presenta un método muy práctico que permite
calcular las deflexiones a partir de los momentos flexionantes en las franjas de borde
y en las franjas centrales. En este método se
utilizan coeficientes que son función de las
propiedades de la sección transversal, de los
módulos de elasticidad, del flujo plástico y
de la edad del concreto.
En la práctica, al igual que en losas en
una dirección, conviene iniciar el diseño fijando el peralte con reglas como las mencionadas y calcular después el área
necesaria de refuerzo. Esto se ilustra en el
ejemplo de la siguiente sección.
8
17.4.3 Acero mínimo
Respecto al acero mínimo, se utiliza la misma
ecuación que para losas en una dirección
donde As es el área mínima por metro de ancho de la losa. Esta área debe multiplicarse
por 1.5 si la losa está expuesta a la intemperie. En vez de la ecuación 17.8 puede proporcionarse, por simplicidad, una relación
mínima p,í, de 0.002 en losas protegidas de
la intemperie y de 0.003 en losas expuestas
a ella.
La separación entre barras no debe exceder de 50 cm ni de 3.5 h, excepto en la
proximidad de cargas concentradas superiores a una tonelada en donde la separación
máxima será de 2.5 d.
17.4.4 Fuerza cortante
En la mayoría de los casos, el dimensionamiento de losas apoyadas perimetralmente
queda regido por flexión. Sin embargo, es necesario revisar la seguridad contra fuerza cortante. Para estos fines, la fuerza cortante que
actúa en un ancho unitario puede calcularse
con la expresión
,V, = (a112 - d)w
(17.9)
a2
Se puede ver que los dos primeros términos del segundo miembro de la ecuación
proporcionan la fuerza cortante a un peralte
del paño del apoyo, sección crítica, sin considerar la acción de la losa en dos direcciones, y el tercer término es una corrección
para tomar en cuenta esta acción. Cuando
en un tablero existan bordes continuos y
bordes discontinuos, el valor de V, obtenido
de la ecuación 17.9 debe incrementarse en
Análisis de losas
15 por ciento. La resistencia de la losa a
fuerza cortante se supondrá igual a 0.5 FR bd
es decir, igual a la de una viga sin refuerzo en el alma.
fi,
17.4.5 Cargas lineales y concentradas
Es frecuente que las losas apoyadas perimetralmente soporten además de cargas distribuidas, cargas lineales y concentradas como
las producidas por un muro que se apoye sobre la losa, por maquinaria, o por vehículos
en el caso de losas de puente.
Para tomar en cuenta el efecto de cargas
lineales, las NTC-O4 especifican sustituir la
carga lineal por una carga uniformemente distribuida cuyo valor se obtiene dividiendo el
peso total de la carga lineal entre el área del
tablero y multiplicando el resultado por los
factores de la tabla 1 7.2. Este método puede
aplicarse siempre que la carga lineal no sea
mayor que el 50 por ciento de la carga total.
Para el caso de cargas concentradas, las
NTC-04 recomiendan el mismo procedimiento descrito en la sección 16.2 para losas
en una dirección. Consiste en incrementar la
suma de los momentos resistentes, por unidad de ancho, positivo y negativo, en cada dirección y en todos los puntos de la losa, en
la cantidad
siendo r el radio del círculo de igual área a
la de aplicación de la carga y R la distancia
del centro de la carga al borde más próximo
Tabla 17.2 Factores para transformar cargas lineales
en cargas distribuidas equivalentes
Relación de lados m = ailaz
0.5
0.8
1.0
Muro paralelo al lado corto
1.3
1.5
1.6
Muro paralelo al lado largo
1.8
1.7
1.6
579
a ella. Este procedimiento puede aplicarse
siempre que la carga concentrada esté aplicada en la zona de intersección de las franjas centrales de la losa. En el ejemplo 16.2
se ha ilustrado su aplicación.
En el caso de cargas concentradas, debe revisarse siempre la posible falla en cortante por penetración alrededor de la carga.
1 7.4.6 Cargas en las vigas de apoyo
Para calcular las cargas que actúan sobre las
vigas en que se apoyan las losas, las NTC recomiendan calcular las áreas tributarias sobre cada viga, como se muestra en la figura
17.9. Así, la viga del eje 1 soportará la carga que corresponde al trapecio rayado; y la
viga del eje A, la que corresponde al triángulo rayado. Para determinar estas áreas tributarias se trazan líneas a 45" desde los vértices
del tablero, las cuales definen los triángulos
y trapecios indicados en la figura.
E l área tributaria de cada viga multiplicada por el valor de la carga distribuida,
proporciona la carga total en la viga, la cual
se divide entre su claro para obtener una
carga uniformemente distribuida sobre la viga. Obsérvese que el momento flexionante
en la viga que se obtiene de esta manera es
menor que el obtenido considerando la distribución real. Por ejemplo, en la viga del
eje A se obtendrá un momento flexionante
mayor si se considera que la viga tiene una
carga triangular que si esta misma carga se
distribuye uniformemente en la viga. Sin embargo, se ha visto experimentalmente y en la
práctica, que la losa y la viga trabajando en
conjunto tienen una resistencia mayor que
la que se obtiene con los métodos de diseño
usuales, por lo que es posible reducir los
momentos flexionantes de diseño de las vigas. (En la referencia 17.5 se recomienda
usar la distribución real de cargas y reducir
los momentos en las vigas en 20 por ciento.)
580
Losas apoyadas perimetralmente
Figura 17.9 Áreas tributarias para el diseño de vigas.
17.5 Ejemplo de diseño
E l método de diseño de losas apoyadas perimetralmente de las NTC-04 se ilustra en el
ejemplo 17.1. Se trata del diseño de un tablero de esquina (tablero l) y un tablero de
borde (tablero II) de un sistema de piso que
continúa en las dos direcciones. Existe, además de la carga distribuida, una carga lineal
transmitida por un muro que corre en dirección del claro corto.
El diseño se inicia con la determinación
del peralte mínimo para el que no es necesario calcular las deflexiones y que se utiliza
como peralte tentativo. Para este cálculo se
determinó el perímetro del tablero 1, que es
el más desfavorable por tener más lados discontinuos, incrementando en 25 por ciento
la longitud de estos lados discontinuos. Se
revisó si se cumplían las condiciones de f, i
2520 kg/cm2 y w 2 380 kg/m2, encontrándose que no se cumple la segunda, por lo
que el perímetro se corri ió multiplicándolo por el factor 0.032 f,w. En este paso fue
necesario también transformar la carga lineal
del muro en carga uniformemente distribuida
@
usando la tabla 17.2 para el caso de muro
paralelo al lado corto; el factor de transformación resultó de 1.5. Para estimar el peso propio, se supuso en esta etapa un espesor
tentativo de 1 0 cm. El peralte mínimo obtenido de estos cálculos resultó de 11 cm; aumentándole 1 .5 cm de recubrimiento libre
el radio de la barra de refuerzo, se obtiene
un espesor de losa de 13 cm.
Una vez determinado el espesor de la
losa, se corrigió la carga total usando el peA
so propio de la losa de 13 cm. También se
calculó la carga de diseño, multiplicando la
carga en condiciones de servicio por el factor
de carga F, = 1.4.
Después se calcularon los claros libres
al y a2 que, como se indica al pie de la tabla
17.1, son los que deben usarse en el cálculo
de momentos. También se calculó la relación
entre claros aila2 y el factor 10-4 w,a: que
es común en el cálculo de momentos. En este ejemplo, las vigas son de concreto colada4
monolíticamente con la losa, por lo que seestá en el caso I de la tabla 17.1.
Los cálculos de momento se hicieron en
forma de tabla, como se indica en el ejemplo:
Ejemplo de diseño
EItablero I es un tablero de esquina y el II es
de borde con lado corto discontinuo; los
coeficientes correspondientes a estos dos
casos se obtuvieron de la tabla 17.1. Ya que
la relación entre claro corto y claro largo resultó de 0.75, se interpolaron los valores correspondientes a relaciones de 0.70 y 0.80.
Por ejemplo, el valor de a; de 445 que aparece en el primer renglón, es el promedio de
471 y 41 9. Los valores de Mi se obtuvieron
como el producto de a; por el factor común
1
wa
,.:
El apoyo localizado sobre el eje 2 es común a los dos tableros y tiene momentos
distintos en cada uno. Como la diferencia no
es muy grande (1049 kg-m en el tablero de
esquina contra 1006 en el de borde), pudo
hacerse el diseño con el momento mayor sin
perder mucha precisión. Sin embargo, para
ilustrar el procedimiento, se distribuyeron
las dos terceras partes de la diferencia entre
los dos tableros, tocándoles la misma cantidad a cada uno, ya que el término d3/al es
igual en los dos.
La separación de las barras de refuerzo
se calculó también en forma de tabla. Previamente se calcularon la relación mínima, con
la recomendación simplificada de considerarla de 0.002 en vez de usar la ecuación
17.8, y la separación máxima, que resultó de
45 cm.
Obsérvese que se se calcularon dos
valores del término FRbd2f",, uno para el
refuerzo positivo con un valor de d = 11 cm,
y otro para el refuerzo negativo con un valor de d = 9 cm. Esto se hizo así para tomar
en cuenta la disposición de las NTC-04 que
indica reducir el peralte efectivo en 2 cm para calcular el acero de lecho superior en losas de espesor menor o igual a 20 cm cuando
581
no se tienen precauciones especiales en la
construcción para evitar la variación de dicho
peralte.
Algunos de los valores calculados de p
resultaron menores que.,p
,
En todos estos
casos, el área de acero se calculó a partir de
pmjn= 0.002. Las separaciones, calculadas
con la expresión 100 Ab/A, (ecuación 16.3),
no excedieron en ningún caso a la máxima
permisible. Se revisó la posible falla por cortante, encontrándose que la resistencia de la
sección sin refuerzo excede ampliamente a
la fuerza cortante calculada con la ecuación
17.9, por lo que no es necesario modificar el
peralte tentativo.
Se ilustra en el ejemplo la forma de calcular la carga sobre las vigas de apoyos. Las
áreas tributarias se obtuvieron trazando Iíneas a 45" desde los vértices, con lo cual
quedan determinadas las alturas del trapecio
y del triángulo. En la viga del eje 2 se duplicó
el área tributaria porque existe un tablero de
losa a cada lado de la viga, mientras en la viga del eje A sólo existe un tablero. Obsérvese que a las cargas obtenidas debe sumársele
el peso propio de la viga y, en su caso, alguna carga aplicada directamente.
Finalmente se muestran los croquis de
armado que se trazaron siguiendo las recomendaciones de la figura 16.4a. En el claro
corto se tienen separaciones de 30 cm, excepto en las zonas de momento negativo de
los ejes 2 y 3, en donde las combinaciones
de columpio y bastones permiten obtener una
separación de 20 cm, prácticamente igual a
la requerida en el eje 2. En forma similar se
armó la franja central del claro largo. Puesto
que en muchas secciones rigió el valor de
pmjnlno es posible modificar mucho el armado de las franjas extremas o de borde.
582
Losas apoyadas perimetralmente
Ejemplo de diseño
583
584
Losas apoyadas perimetralmente
Ejemplo de dixeño
585
586
Losas apoyadas perirnetralmente
Referencias
7.1 Tímoshenko, S. Theory of Plates and Shells. Nueva York, M c Graw-Hill, 1940.
7.2 Marcus, H. Die Theori Elastischer Gewebe und
lhre Anwendung auf die Berechnung Biegsamer
Platten. Berlín, Springer Verlag, 1924.
17.3 Muñoz Casas, A. Concreto. México, D.F., Editorial
Latina, 1 955.
17.4 Siess, C.P., y N. M. Newmark. " Rational Analysis and Design of Two-Way Concrete Slabs".
lournal of the American Concrete Institute. Detroit, diciembre 1948.
17.5 Newmark, N. M., y C. P. Siess, "Proposed Design
Specifications for Two-Way Floor Slabs". lournal of
the American Concrete lnstitute, Detroit, abril 1950.
17.6 Esteva, M., L. "Coeficientes de diseño para losas
con bordes libres". Revista Ingeniería. México,
D.F., julio 1963.
17.7 Johansen, K.W. Yield Line Theory. Londres, Cement and Concrete Association, 1962.
17.8 Hillerborg, A. Strip Method o f Design. Wexham
Springs, Slough, Inglaterra, Viewpoint Publication, Cement and Concrete Association, 1975.
17.9 Park, R., y W. L. Gamble. Reinforced Concrete
Slabs. Nueva York, Wiley, 1 980. Losas de Concreto Reforzado. México, Limusa, 1994.
17.1 0 Jones, L. L., y R. H. Wood. Yield Line Analysis of
Slabs. Londres, Thames and Hudson-Chatto and
Windus, 1967.
Ejercicios
17.11
Law, F.M."DesignoflrregularShapedTwoWay Slabs". lournal of the Arnerican Concrete lnstitute. Detroit, noviembre 1971 .
17.12
58 7
Ghali, A. "Prediction of Deflections of TwoWay Floor Systems". ACI Structural lournal.
Detroit, septiembre-octubre, 1989.
-
Ejercicios
17.1 Dirnensionar el siguiente tablero de losa,
suponiendo que está sometido a una carga w, =
1.5 ton/m2, que f;= 200 kg/crn2 y que fy= 4200
kg/cm2. Usar las NTC-O4 considerando un factor
de carga Fc = 1.4.
Vigas de acero
17.3 Dimensionar el tablero interior mostrado en el
croquis usando las NTC-04. Considerar una
carga uniforme total w, = 3 ton/rn2 y una carga
concentrada P, = 6 ton. Suponer fC = 200
kg/cm2 y fy = 4200 kg/cm2. La losa está colada
monolíticamente con los apoyos.
17.2 Dimensionar la losa del siguiente sistema de
piso, sujeto a una carga muerta de servicio de
500 kg/rn2 (sin incluir el peso propio) y una
carga viva de servicio de 700 kg/m2. Usar las
NTC-04 y suponer que f; = 200 kg/cm2 y que fy
= 4200 kg/cm2. La losa está apoyada sobre vigas
de acero. Hacer un croquis detallado del refuerzo propuesto.
-
1 '15m
0.80
I I ,
--,:
------ - --i
Ir- '
El ancho de todas las vigas es igual a 0.30 m.
-
CAP~TULO
18
Losas planas
1
Capitel
(a) Losa apoyada sobre columnas con capitel y ábaco
I
Corte A-A
(b) Losa apoyada sobre aolumnas con capitel
18.1 Introducción y definiciones. 118.2 Comportamiento y dimensionamiento. 118.3
Ejemplo de dimensionamiento por el método de la estructura equivalente (NTC-04).
------
---L--
,--*-- -
,--+--a
I
Corte A-A
(c) Losa apoyadi sobre columnas con ábaco
18.1 Introducción y definiciones
Las losas planas son aquellas que se apoyan
directamente sobre las columnas, sin la intermediación de vigas, como se muestra en la figura 18.1. Pueden tener ampliaciones en la
columna o en la losa (figuras 18.la y 18.1 c),
o ser de peralte uniforme (figura 18.14; en este último caso se denominan placas planas.
También pueden ser macizas o aligeradas. El
aligeramiento se logra incorporando bloques
huecos o tubos de cartón, o bien formando
huecos con moldes recuperables de plástico u
otros materiales. Las losas aligeradas reciben
a veces el nombre de losas encasetonadas o
reticulares.
Las ampliaciones de las columnas en su
parte superior se denominan capiteles. Tienen
por función principal aumentar el perímetro
de la sección crítica en cortante por penetración, acción que rige en muchas ocasiones el
dimensionamiento de este tipo de losas. Las
caras del capitel no deben formar un ángulo
mayor de 45" con el eje de las columnas (figu-
I
I
I
4-- -- -- --e-
Corte A - A
(d) Losa apoyada sobre columnas
Figura 18.1 Distintos tipos de losas planas.
ra 18.2a). Si se excede este ángulo, la parte
que queda fuera del mayor cono circular recto que puede inscribirse en el capitel no se
considera útil. El diámetro del capitel en su intersección con la losa se representa con la letra c.
El ábaco es una zona de la losa alrededor
de la columna, con mayor peralte. Generalmente es cuadrado o rectangular y se recomienda que sus dimensiones en planta no
sean menores que un sexto del claro en la dirección considerada a cada lado del eje de
columnas. La proyección del ábaco por abajo
de la losa debe quedar comprendida dentro de
ciertos límites. El mínimo es tal que el peralte
590 Losas planas
1
1
I
considerarse útil
1
l
P2
a
I
I
1.3 d, < d2 i1.5 d,
+$-
a a- e1
3
(L?, = claro de la losa)
(a)
Figura 18.2 Requisitos para capiteles y ábacos según las NTC-04.
efectivo del ábaco sea por lo menos 1.3 veces
al peralte efectivo de la losa y el máximo que
sea a lo sumo 1.5 veces dicho peralte (figura
18.2b).El ábaco tiene por función aumentar
el peralte de la losa en la zona en que se presenta el mayor momento flexionante y en
donde es crítico el cortante por penetración.
Desde estos puntos de vista resulta muy conveniente, pero tiene la desventaja de complicar la cimbra.
Las placas aligeradas deben llevar ábacos
macizos alrededor de las columnas, especialmente para poder resistir en forma adecuada
el cortante por penetración. Se recomienda
que estos ábacos tengan una dimensión mínima de un sexto del claro correspondiente,
medida desde el eje de columnas, o de 2.5 h,
medida desde el paño de la columna, con el
objeto de que el cono potencial de falla no
atraviese huecos o casetones (figura 18.3a).
También se recomienda que las losas aligeradas que lleven volados rematen en una viga
maciza cuyo ancho sea por lo menos igual al
espesor de la losa o a 25 cm (figura 18.3b),y
que la longitud del volado no exceda de diez
[18.1].
En
veces dicho espesor (figura 18.3~)
la parte superior de la losa, sobre los casetones, debe existir una capa de concreto cuyo
espesor se recomienda no sea menor de 3 cm,
o de 5 cm, si existe la posibilidad de cargas concentradas elevadas. La distancia centro a centro
de nervaduras no debe exceder de 1 m o de
118 del claro, lo que sea menor.
Para fines de diseño, se acostumbra dividir
las losas planas en franjas como las mostradas
en la figura 18.4.En cada tablero se distinguen
tres franjas. Una franja central, cuyo ancho es
igual a la mitad del claro del tablero en la dirección en que se mide el ancho, y dos franjas
extremas o franjas de columnas, cuyo ancho
es la cuarta parte de dicho claro. La división
en franjas se hace en las dos direcciones del
tablero, así que en la figura 18.4 se podrían
representar otras tres franjas en dirección perpendicular a las mostradas cuyos anchos serían e,12 para la central y t1/4para cada una
de las dos franjas extremas.
18.2 Comportamiento y
dimensionamiento
Las losas planas pueden fallar en cortante por
penetración, o por flexión. El primer tipo de
falla se ha descrito ampliamente en la sección,
7.2.3 de este texto y consiste en la penetra:
Comportamiento y dimensionarniento
\ábaco\zona
aligerada
-viga
591
perimetral
Figura 18.3 Recomendaciones para ábacos, vigas perimetrales y volados en losas
planas aligeradas [18.11.
ción de la columna dentro de la losa formándose un cono o pirámide truncada. Cuando la
estructura es asimétrica o resiste cargas laterales, se transmiten simultáneamente carga axial
y momento flexionante entre losa y columna,
por lo que se tiene la situación representada
en la figura 7.1 7. Es frecuente que el cortante
por penetración sea el factor crítico en el diseño de losas planas, especialmente cuando
no se usan capiteles y ábacos.
Las fallas por flexión ocurren generalmente después de que las losas experimentan
grandes deformaciones y de que el acero de
refuerzo fluye en varias zonas, ya que son estructuras subreforzadas. Existen dos configuraciones básicas de agrietamiento. En una, las
grietas se forman en la cara superior de la losa a lo largo de los ejes de columnas y en la
cara inferior a lo largo de los ejes centrales. En
la otra configuración se forman grietas radia-
les que parten de las columnas en la cara superior de la losa y grietas circunferenciales en
la cara inferior.
Franja de
1 columnas
Franja
central
Franja de
columnas I,-
Figura 18.4 Definición de franjas.
,
592
Losas planas
Para el diseño de losas planas se han empleado dos métodos: el método directo y el
método de la estructura equivalente, los cuales se presentan a continuación.
18.2.1 Método directo
Considérese un tablero de losa plana como el
mostrado en la figura 18.5a sujeto a una carga uniformemente distribuida de magnitud w
por unidad de área. Si el tablero se aísla del
resto de la losa a lo largo de los ejes A-C y B-D
y se considera como una viga ancha de claro
el y ancho e2, esta viga quedaría sujeta a una
carga uniformemente distribuida de magnitud
we2 por unidad de longitud como se muestra
en la figura 18.5b. En la figura 1 8 . 5 ~se indica el diagrama de momentos de esta viga ancha, señalando con MA-~,
el momento en el
apoyo de la izquierda que queda localizado
el mosobre las columnas A y B; con
mento en el apoyo de la derecha localizado
sobre las columnas C y D; y con ME+el momento en el centro del claro. Es un principio
conocido de estática que el momento positivo
en el centro del claro de una viga continua,
más el promedio de los momentos negativos
en los apoyos, es igual al momento en el centro del claro de una viga libremente apoyada.
Este momento, que se conoce como momento estático total, M
. (figura 1 8 . 5 ~ tiene
) ~ por
lo tanto el valor
M
. = ME++
MA-B+MC-D
2
-
(wt2)e12
8
ya que wl;! es la carga por unidad de longitud
y tl es el claro de la viga.
La ecuación 18.1 permite calcular el momento estático total, pero no indica cómo se
distribuye este momento en las diferentes zonas de la losa. No permite determinar, por
ejemplo, el valor de los momentos negativos,
y MC-oI ni del momento positivo ME+.
Tampoco permite conocer la distribución de
A-B
t,
1
+I
C-D
Figura 18.5 Momento estático total en un
tablero de losa.
cada uno de estos tres momentos a lo ancho
del tablero, $2. Supóngase que de alguna manera se conociese el valor de MA-~.
Si este momento se distribuye uniformemente a lo ancho del
por
tablero, se tendría un momento MA-B/e2
unidad de ancho, como se muestra en la figura 18.5d. Pero no se distribuye así, sino que el
momento alcanza su valor máximo en el eje
de columnas y su valor mínimo en el centro del
claro, en virtud de que la losa está más restringida contra giro, o sea, que tiene mayor rigidez flexionante, en el eje de columnas. Por lo
tanto, los momentos se distribuyen a lo ancho
Comportamiento y dirnensionarniento 593
del tablero como se indica en forma aproximada con línea curva en la figura 18.5d. Lo
mismo que se ha dicho respecto al momento
sucede con los momentos Mc-0y ME+.
El método directo de diseño de losas planas consiste básicamente en los siguientes pasos:
a) Ajustar el cálculo del momento estático total para tomar en cuenta que los
apoyos mostrados en la figura 18.5b
no son puntuales.
b) Distribuir el momento estático total
entre los momentos negativos
y
Mc-0y el momento positivo ME+,figura 1 8 . 5 ~ .
C ) Distribuir cada uno de los tres momentos anteriores a lo ancho del tablero.
- Para cada uno de estos tres pasos, el método di-
recto utiliza coeficientes obtenidos principalmente en forma experimental.
En la figura 18.5 se ha obtenido el momento estático total considerando que el tablero de losa se sustituía por una viga ancha
de claro el y ancho t2.El mismo razonamiento
puede hacerse, considerando que el tablero
de losa se sustituye por una viga de ancho el
y claro t2.Es importante notar que en el método directo debe hacerse el análisis y la distribución del momento estático total en las dos
direcciones, usando en cada una de ellas la
carga total w por unidad de área.
En el Reglamento ACI se incluyeron coeficientes y disposiciones para llevar a cabo los
tres pasos señalados del método directo para
losas planas hasta antes de la edición de 1971.
Posteriormente las losas planas y las losas apoyadas perimetralmente se unificaron en métodos de diseño que se presentan en el siguiente
capítulo de este texto. Por lo tanto, la presentación detallada de las especificaciones del
Reglamento ACI se pospone para ese capítulo.
Aunque son generales para cualquier sistema
de entrepiso, el caso de losas planas puede
deducirse como un caso particular en que las
vigas tienen una rigidez flexionante nula.
Las NTC-04 del Reglamento del Distrito
Federal no incluyen el método directo para
el diseño de losas planas sino únicamente el
método de la estructura equivalente que se
verá a continuación. Esto se debe, principalmente, a que el método directo es aplicable
en el caso de cargas verticales, mientras que
el problema más serio en el comportamiento
de las losas planas es el efecto de fuerzas horizontales causadas por viento o sismo, las
cuales son preponderantes en la Ciudad de
México.
18.2.2 Método de la estructura equivalente
(NTC-04)
Este método consiste en dividir a la estructura
en un sistema de marcos cuyas columnas son
las de la estructura y cuyas trabes son franjas de
losa comprendidas entre las líneas medias
de tableros adyacentes. En la figura 18.6 se
ilustra este concepto. Así, en el eje 2 de la estructura mostrada, la trabe del marco será la
franja de losa que tiene un ancho [(a1/2)+
(a2/2)].En el eje 6, será la franja de ancho
[(b1/2)+ (b2/2)].Obsérvese que los marcos deben considerarse en las dos direcciones y debe
aplicarse la carga total de la franja en cada
marco. Así, el marco del eje B tendrá una carga
por unidad de longitud de w[(b1/2)+ (b2/2)]
siendo w la carga por unidad de área; y el marco del eje 2 tendrá una carga de w[(a1/2)+
(a2/2)].Además de la carga vertical, los marcos
pueden estar sujetos a fuerzas horizontales.
Uno de los problemas más complicados
en el método de la estructura equivalente consiste en estimar la rigidez a flexión de las vigas del marco, que en realidad no son vigas,
sino franjas de losa de un ancho mucho mayor que la sección transversal de las columnas. A diferencia de marcos constituidos por
columnas y vigas, en sistemas de losa plana la
rigidez de las vigas no está concentrada en el
eje de columnas; la rigidez de la losa es ma-
594
Losas planas
bajo cargas laterales. Se ha visto que bajo las
primeras, los momentos flexionantes se distribuyen en forma más uniforme a lo ancho de
las franjas de losa que bajo la acción de las segundas. Por esta razón, resulta necesario hacer
yor en el eje de columnas y va disminuyendo
hacia los extremos de las franjas mostradas en
la figura 18.6. Otra complicación radica en
que el comportamiento de los sistemas de losa plana es diferente bajo cargas verticales y
I
-
l
Figura 18.6 Estructura equivalente.
I
Comportamiento y dimensionamiento
595
Be = c2 +3h (sin capiteles ni ábacos)
Be = 0 19 - + - - O 12 c (con capiteles y ábacos)
[ . (:'
1
,
(
l o=,
:2)
.
21
1
(T r r 4 ) sin capiteles ni ábacos
1
r
4
) con capiteles y ábacos
(a) Carga vertical
1
lco1,
= 4r r
(sección del fuste)
(b) Carga lateral
Figura 18.7 Momentos de inercia de vigas y columnas en el método de la estructura equivalente.
consideraciones diferentes para llevar a cabo
el análisis estructural cuando la estructura está
sujeta a cargas verticales que cuando lo está a
cargas laterales. También es necesario considerar por separado los sistemas sin capiteles
ni ábacos y aquellos que sí los tienen, porque
las rigideces de losas y columnas son diferentes. A continuación se presentan las disposiciones de las NTC-04 para calcular las rigideces
de columnas y vigas de los marcos equivalentes, efectuar el análisis estructural, calcular los
momentos flexionantes bajo cargas verticales
y laterales, y distribuir el refuerzo necesario
por flexión.
a) Cargas verticales en sistemas sin capiteles
ni ábacos
Las rigideces de las vigas pueden calcularse
usando el ancho completo de la franja de
losa y la sección completa sin agrietar y sin
considerar el refuerzo. Por ejemplo, la viga
del eje 2 de la figura 18.6 tendría la sección
transversal mostrada en la figura 18.7a; su ancho sería ai/2 + a2/2 y el momento de inercia
sería el indicado en la misma figura. En cambio para las columnas debe usarse la mitad
del momento de inercia correspondiente a la
sección completa y sin agrietar. En el ejemplo
596
Losas planas
de la figura 18.6, el momento de inercia de
las columnas circulares sería 7rr4/4; en la estructura equivalente se toma la mitad de este
valor como se indica en la figura 18.7a.
Al tomar la mitad del momento de inercia de las columnas, se reduce también a la
mitad su rigidez a flexión. Esto se hace así, para considerar que las columnas restringen menos a la franja de losa de ancho a1/2 + a2/2
que a una viga de ancho pequeño localizada
en el eje de columnas. La reducción al 50 por
ciento de la rigidez a flexión de las columnas
se obtuvo por comparación de análisis efectuados bajo esta hipótesis con análisis más
precisos [18.21.
En el caso de losas aligeradas, debe tomarse en cuenta la presencia de agujeros al calcular
la rigidez de la viga. En las zonas de casetones, no resulta una sección rectangular completa, como la de la figura 18.7a, sino una
sección con nervaduras y un patín completo
en la parte superior. Por lo contrario, en la zona de ábacos macizos, la sección transversal
de la losa sí es como la mostrada en la figura
18.7a. Resulta entonces una viga con momento de inercia variable a lo largo de su eje. En
el ejemplo 18.1 se ilustra esta situación.
Ya calculadas las rigideces a flexión de
vigas y columnas, se plantea la estructura
equivalente y se analizan los marcos por alguno de los métodos usuales de análisis elástico.
Es importante recordar que las cargas verticales totales deben aplicarse a los marcos en
cada una de las dos direcciones. Nótese también que para poder efectuar el análisis, es necesario establecer previamente dimensiones
tentativas del espesor de la losa, del tamaño
de ábacos y capiteles, en su caso, y de la sección de las columnas. Para el espesor de las
losas pueden usarse las especificaciones de
peralte mínimo para no calcular deflexiones,
las cuales se presentan más adelante en esta
misma sección; para ábacos y capiteles, las
recomendaciones de la sección 18.1; y para la
sección de las columnas, cálculos aproximados de carga axial y momentos flexionantes.
Una vez obtenidos los momentos flexionantes en las vigas de los marcos, que son en
realidad las franjas mostradas en la figura
18.6, es necesario distribuir este momento a
lo ancho de las franjas. La distribución no es
uniforme por las razones expuestas en la sección 18.2.1 en relación con la figura 18.5, sino que es de la forma indicada en la figura
18.5d. Para hacer esta distribución a lo ancho
de las vigas, las NTC-04 proponen los porcentajes siguientes para ser aplicados a los momentos obtenidos en el análisis:
Momentos positivos
Momentos negativos
Franjas de
columnas
Franjas
centrales
60
75
40
25
En la figura 18.8 se ilustra la distribución de
momentos de la tabla anterior para la franja
del eje 2 de la figura 18.6 en su intersección
con el eje C y para la zona de momento positivo entre los ejes C y B. Se señala la sección
crítica para momento negativo, al paño de la
columna, en la cual el 75 por ciento se asigna a la franja de columnas y el 25 por ciento
restante a las dos medias franjas centrales. La
sección crítica de momento positivo queda
localizada a la mitad del claro b2,y en ella el
60 por ciento del momento corresponde a la
franja de columnas y el 40 por ciento restante
a las dos medias franjas centrales. Se observa
que en la franja de columnas los momentos
resultan mayores que en la franja central, tal
como lo indica la distribución cualitativa de
la figura 18.5d.
A partir de los momentos flexionantes
calculados para cada franja, se determina el
refuerzo por flexión necesario para carga vertical. Al menos la mitad del refuerzo negativo
en las franjas de columna debe quedar en un
ancho c2 + 3h centrado con respecto a los ejes
de columnas. El resto del refuerzo para carga
vertical se distribuye uniformemente en el ancho de cada franja, excepto el necesario para
Comportamiento y dimensionamiento
Sección crítica para
momento positivo
597
Sección crítica para momento
\ negativo
Figura 18.8 Distribución de momentos flexionantes en franja de columnas y franja central.
momento negativo exterior en claros extremos,
es decir, el refuerzo negativo que se coloca
perpendicularmente al borde de la losa, que debe colocarse como si fuese refuerzo para sismo
de acuerdo con lo que se indica más adelante.
El procedimiento que se ha descrito para
efectuar el análisis bajo carga vertical en sistemas sin ábacos ni capiteles, puede usarse,
según las NTC-04, si se cumplen los siguientes requisitos:
- la estructura da lugar a marcos sensiblemente simétricos;
-todos los entrepisos tienen el mismo número de crujías;
- e l mayor claro en toda la estructura no
excede al menor en más de un quinto de
este último, ya sea que el menor sea
paralelo o perpendicular al mayor;
- el espesor de la losa es aproximadamente igual al 5 por ciento del claro mayor
del mayor tablero; y
carga viva por metro cuadrado es
aproximadamente la misma en los distintos tableros de un piso.
- la
Cuando no se cumplen las limitaciones anteriores, debe recurrirse a métodos más precisos, como el del elemento finito, o al método
generalizado del ACI que se presenta en el capítulo 19 de este texto.
b) Cargas verticales en sistemas
con capiteles y ábacos
Tanto el momento de inercia de la losa como
el de la columna, se calculan con las secciones completas, es decir, no se reduce a la mi-
598
Losas planas
tad el momento de inercia de las columnas.
Para estas últimas, debe considerarse la sección tansversal del fuste. De esta manera simplificada se está tomando en cuenta que la
presencia de ábacos y capiteles aumenta la rigidez a flexión de las columnas y que las losas están más restringidas que cuando no
existen estos elementos [18.6].
También la presencia de capiteles y ábacos produce momentos de inercia variables a
lo largo de los ejes de vigas y columnas. Puede suponerse al respecto que el momento de
inercia de las vigas es infinito desde el centro
de la columna hasta el borde del capitel y que
en la zona del ábaco corresponde al peralte
de este elemento. También puede suponerse
que el momento de inercia es infinito desde la
sección inferior del capitel hasta la cara superior de la losa. En el Apéndice D se presentan
ayudas de diseño para efectuar los cálculos de
rigideces a flexión y factores de transporte en
elementos estructurales con estas características. Si se usa para el análisis estructural un
programa de computadora que tome en cuenta
las dimensiones de los nudos, se debe asignar
como dimensión vertical la distancia desde el
arranque del capitel hasta la cara superior de
la losa, y como dimensión horizontal a cada
lado del eje de columnas, la distancia de dicho eje al borde del capitel.
Una vez calculados los momentos de
inercia y las rigideces como se ha mencionado en los dos párrafos anteriores, el planteamiento de los marcos equivalentes, su análisis
y la distribución de los momentos flexionantes en las franjas de columnas y en las centrales, se hacen de la misma manera que en el
caso anterior de sistemas sin capiteles ni ábac o ~ Es
. importante recordar que se debe aplicar la carga total a los marcos en las dos
direcciones.
Los requisitos señalados al final del caso
anterior también deben cumplirse para estos
sistemas con capiteles y ábacos, pero el valor
de 5 por ciento para el espesor de la losa debe cambiarse por 3.5 por ciento. Además se
cumplirán los siguientes requisitos adicionales:
- La estructura no excederá de cuatro ni-
veles;
- si la estructura tiene tres o cuatro nive-
les, los momentos en las columnas de
orilla del penúltimo entrepiso se incrementarán 25 por ciento sobre lo que suministre el análisis;
- las columnas, ábacos y capiteles serán
rectangulares, sin que la dimensión mayor exceda a la menor en más de 20 por
ciento de ésta. Las columnas y capiteles
podrán ser también circulares, con ábacos cuadrados;
- las columnas de orilla deberán tener capiteles y ábacos completos, iguales a los
interiores, y el borde de la losa deberá
coincidir con el del ábaco; y
- las dimensiones de los ábacos deberán
cumplir con los requisitos establecidos
en la figura 18.2.
C) Cargas laterales en sistemas sin capiteles
ni ábacos
Como se mencionó anteriormente, los momentos flexionantes se concentran más cerca de los
ejes de las columnas que en el caso de cargas
verticales. Debido a esto, las NTC-O4 recomiendan calcular la rigidez a flexión de vigas
de la estructura equivalente usando un ancho de
losa de c2 + 3h centrado respecto al eje de columnas, como se muestra en la figura 1 8.7b, y
la sección completa de las columnas; el término c2 es la dimensión de la columna o capitel
en dirección perpendicular a aquella en que se
calculan los momentos. Comparando con el caso de carga vertical, se observa que en la estructura equivalente para cargas laterales, las
rigideces de las vigas son menores mientras
que aquellas de las columnas son mayores.
La presencia de los huecos en losas aligeradas debe tomarse en cuenta al calcular
los momentos de inercia y las rigideces a fle-
Comportamiento y dimensionamiento 599
xión en la forma en que se explicó para el caso de cargas verticales.
Una vez obtenidas las rigideces a flexión, se
efectúa el análisis de la estructura equivalente
por alguno de los métodos elásticos usuales.
Con esto se obtienen los momentos flexionantes en las vigas y en las columnas. Las vigas
son en realidad las franjas de losa de ancho c2
+ 3h, y en este ancho debe colocarse el acero de refuerzo correspondiente, cuidando que
el 60 por ciento del acero negativo cruce el
núcleo de la columna. Desde luego que el acero de refuerzo necesario por la acción de cargas laterales debe sumarse al obtenido por
cargas verticales.
d) Cargas laterales en sistemas con capiteles
y ábacos
Las rigideces a flexión de las vigas equivalentes se calculan con un ancho de losa
como se muestra en la figura 18.7. Al igual
que en sistemas con capiteles y ábacos sujetos a cargas verticales, puede suponerse que
el momento de inercia de las vigas es infinito
desde el centro de la columna hasta el borde
del capitel, y que en la zona del ábaco corresponde al peralte de este elemento. También
puede suponerse que el momento de inercia
es infinito desde la sección inferior del capitel
hasta la cara superior de la losa t18.71.
Deben cumplirse los requisitos de regularidad y tamaño de la estructura establecidos
para los dos casos de cargas verticales, excepto el cuarto requisito para sistemas sin capiteles ni ábacos y los dos primeros para sistemas
con capiteles y ábacos. Además deben cumplirse los dos siguientes requisitos:
- La estructura no excede de cinco niveles; y
- el espesor de la losa es aproximadamente igual a 3.5 por ciento del claro mayor
del tablero.
El refuerzo calculado por sismo se colocará
en un ancho de C* + 3h y el 60 por ciento de
este refuerzo como mínimo deberá cruzar el
núcleo de la columna correspondiente.
e) Disposiciones complementarias sobre el
refuerzo
Las NTC-04 establecen las siguientes disposiciones complementarias aplicables a la suma
del refuerzo por cargas verticales y por cargas
laterales.
Al menos la cuarta parte del refuerzo negativo que se tenga sobre un apoyo en una
franja de columnas debe continuarse a todo lo
largo de los claros adyacentes.
Al menos la mitad del refuerzo positivo
máximo debe extenderse en todo el claro correspondiente.
En las franjas de columnas debe existir
refuerzo positivo continuo en todo el claro en
cantidad no menor que la tercera parte del refuerzo negativo máximo que se tenga en la
franja de columnas en el claro considerado.
El refuerzo de lecho inferior que atraviese el núcleo de una columna no será menor
que la mitad del que lo cruce en el lecho superior y debe anclarse de modo que pueda
fluir en las caras de la columna.
Toda nervadura de losas aligeradas Ilevará, como mínimo, a todo lo largo, una barra
en el lecho inferior y una en el lecho superior.
Casi todas estas disposiciones tienen como
objetivo asegurar un comportamiento adecuado de las estructuras a base de losas planas
bajo la acción de movimientos sísmicos intensos. Por ejemplo, la primera de ellas prevé
que puedan desarrollarse momentos negativos
considerables en las zonas centrales de los claros. Si se utiliza el método de las NTC-04 para
el diseño de losas planas en zonas de intensidad sísmica baja o moderada, pueden omitirse
algunas de estas disposiciones o hacerlas menos severas, a juicio del proyectista estructural.
En cuanto a áreas mínimas de refuerzo y
separaciones máximas, las disposiciones son
600
Losas planas
las mismas que para losas apoyadas perimetralmente, a saber:
donde 1 es el claro mayor y k un coeficiente
que se determina como sigue
Las áreas de refuerzo deben ser por lo
menos iguales al área mínima por flexión
losas con ábacos, k = 0 . 0 0 0 6 q w 2 0.02
-
o en sistema SI
El área mínima por cambios volumétricos en
una franja de 1 m de ancho debe ser
o en sistema SI
recordando que esta última puede calcularse
también con una relación de refuerzo de 0.002
y que debe multiplicarse por 1.5 en las losas
expuestas a la intemperie.
Las NTC-04 especifican también una separación máxima de barras de dos veces el espesor de la losa en secciones críticas, excepto
en zonas aligeradas.
f) Peralte mínimo
Se había señalado que era necesario tener una
estimación del peralte de la losa y que ésta
podía hacerse a partir de las especificaciones
sobre peralte mínimo para no calcular deflexiones, al igual que se hizo en el caso de losas en una dirección y de losas apoyadas
perimetralmente. Las especificaciones que
presentan al respecto las NTC-04 son las siguientes. El peralte efectivo mínimo debe ser
losas sin ábacos, k = 0.00075-
2 0.025
En estas expresiones, f, es el esfuerzo en el acero en condiciones de servicio, en kg/cm2, que
puede suponerse igual a 0.6 fy; w es la carga
en condiciones de servicio, en kg/m2; y c la
dimensión de la columna o capitel paralela a
e. Las mismas expresiones pueden usarse en
sistema SI si f, se plantea en MPa y w en N/m2.
Los valores obtenidos con la ecuación
18.4 deben aumentarse 20 por ciento en tableros exteriores y en losas aligeradas. En ningún caso el espesor de la losa, h, será menor
de 10 cm, si existe ábaco, o menor de 13 cm,
si no existe. Los valores de k y los valores mínimos de h son para concreto clase 1. Para concreto clase 2, todos los valores se deberán
multiplicar por 1.5.
18.3 Ejemplo de dimensionamiento
por el método de la estructura
equivalente (NTC-04)
En el ejemplo 18.1 se ilustra el diseño de una
placa plana por el método de la estructura
equivalente, usando las NTC-04 del Reglamento del Distrito Federal. Se trata de una estructura con tableros de 8 X 6 m y de 8 X 7
m para la que se decidió usar una losa aligerada. No se colocaron capiteles en las columnas por facilidad de cimbrado, así que la
estructura es de las que se conocen como placa
plana. La altura libre en el primer piso es de
3.20 m y en los siguientes es de 3.00 m. Las
columnas son de 60 x 70 cm con la primera
dimensión en dirección de los claros de 8 m.
Para determinar el peralte se decidió usar
casetones de 60 x 60 x 30 cm y una capa superior de concreto de 5 cm, con lo cual que-
Ejemplo de dimensionamiento por el método de la estructura equivalente (NTC-04)
dó fijo el espesor de la losa en 35 cm. En claros grandes, como los de este ejemplo, es
conveniente usar casetones también grandes;
por eso se eligieron de 60 x 60 cm en planta.
Se recomienda que el espesor de la capa superior de concreto no sea inferior a 3 o a 5 cm si
hay cargas concentradas. En este caso se eligió una capa de 5 cm por el tamaño de los claros y por la posibilidad de cargas concentradas.
Se comparó el peralte determinado como
se indica en el párrafo anterior con el peralte
mínimo para no revisar deflexiones, el cual
está dado por la ecuación 18.4. El valor dado
por esta ecuación se multiplicó por el factor
1.20 para obtener el peralte mínimo en los tableros de esquina. Fue necesario en esta etapa conocer el valor de la carga w. Para esto se
determinó un valor aproximado con ayuda de
la referencia 18.4, en la que se presentan tablas del peso propio de las losas aligeradas
para diferentes tamaños de casetones y anchos de nervaduras. Estas tablas toman en
cuenta la existencia de zonas macizas alrededor de las columnas. Si no se dispone de ayudas de diseño como la referencia 18.4, es
necesario hacer un cálculo aproximado del
peso propio de la losa para obtener el valor de
w y poder aplicar la ecuación 18.4. El espesor
mínimo obtenido de esta manera, resultó menor que el calculado a partir del peralte de los
casetones y del espesor de la capa superior de
concreto.
A continuación se trazó un croquis de la
colocación de los casetones. Esto se realiza
normalmente por medio de tanteos, hasta Ilegar a un número de casetones que permita tener anchos adecuados de las nervaduras. Se
recomienda que éstas tengan un ancho mínimo de 10 cm, pero usualmente se usan anchos entre 10 y 15 cm. Las nervaduras de los
ejes de columnas se dejan más anchas, ya que
es necesario concentrar en ellas una mayor
cantidad de acero. Las NTC-04 especifican
que las nervaduras de los ejes de columnas
tengan un ancho mínimo de 25 cm, y las adyacentes, de 20 cm.
601
En el croquis de colocación de casetones
no se incluye toda la losa porque en el ejemplo sólo se muestra el diseño del eje 2 en el
tramo A-B. Obsérvese que la última fila de casetones en la parte inferior del croquis no es
simétrica respecto al eje central del tablero.
Esto quedó así porque se cuidó que en el eje
3 de la estructura se tuviese un ancho apropiado de la viga de borde. Las zonas macizas
que se dejaron alrededor de las columnas
cumplen con la recomendación de que tengan una dimensión mínima de 116 a cada lado del eje de columnas (figura 18.3).
Una vez dibujado el croquis de colocación de casetones, se revisó el peso propio de
la losa. Se supuso que los casetones eran de
plástico ligero, por lo que su peso propio era
despreciable. La carga uniformemente distribuida resultó menor que la supuesta en la revisión del peralte, por lo que en los demás
cálculos se usó la carga real. Se usaron los
factores de carga de las NTC-04 de 1.4 para
cargas muerta y viva, y 1.1 para la combinación de cargas muerta y viva con fuerzas sísmicas. Se usó la misma carga viva (300 kg/m2)
para ambas combinaciones de carga, aunque
el Reglamento del Distrito Federal permite
usar una carga menor cuando actúan simultáneamente las fuerzas sísmicas.
Para efectuar el análisis estructural, el primer paso consiste en determinar las rigideces de
las vigas equivalentes y de las columnas de los
marcos. Como en las NTCl04 se especifican
reglas distintas para calcular estas rigideces según se trate de cargas verticales o fuerzas horizontales, es necesario plantear dos marcos
diferentes, uno para cada condición de carga.
En el caso de cargas verticales, la viga
equivalente tiene un ancho igual a la suma de
las mitades de los claros perpendiculares adyacentes, como se muestra en la figura 18.7a. Las
secciones transversales de la viga son diferentes en la zona del ábaco, donde es maciza, y en
la zona central, donde es aligerada. Se muestran en el ejemplo ambas secciones y el cálculo
de los momentos de inercia correspondientes.
602
Losas planas
Se utiliza el espesor total de la losa y no el peralte efectivo, ya que las NTC señalan que los
momentos de inercia pueden tomarse como el
de las secciones de concreto no agrietadas y
sin considerar el refuerzo.
El paso siguiente consistió en el cálculo
de las rigideces flexionantes y de los factores de
transporte de vigas y columnas del marco. Para el caso de vigas, resultan de sección variable
por la diferencia en los momentos de inercia de
las dos secciones comentadas en el párrafo
anterior. Las rigideces y factores de transporte se
calcularon con las ecuaciones presentadas en
el Apéndice D.2 de este texto. La longitud de las
zonas macizas es diferente en los dos extremos de la viga, pero como son semejantes se
usó la longitud promedio de 160 cm. Los momentos de empotramiento perfecto para vigas
de este tipo difieren del valor usual de wt2/12
que sólo se aplica a vigas de sección prismática
uniforme en todo el claro. En el Apéndice D.2
también se presenta una ecuación para calcular
dicho momento en vigas de sección variable,
la cual se usó en el ejemplo. Puede observarse que se obtuvo un valor de wt2/10.4 en vez
de wl2/12. Es muy importante observar que en
el cálculo del momento de empotramiento perfecto se usó la carga total comprendida entre
los ejes centrales de los dos tableros adyacentes al eje 2, o sea, que la carga uniformemente
distribuida por unidad de área multiplicada por
el ancho total del marco, resulta igual a la carga por unidad de longitud. Al analizar los marcos
perpendiculares al considerado en el ejemplo,
debe tomarse nuevamente la carga total.
Las columnas del ejemplo sí son de sección prismática uniforme, por lo que se usaron las ecuaciones usuales para calcular sus
rigideces y factores de transporte. Si hubiesen
tenido capiteles, habría sido necesario considerar un tramo con momentos de inercia infinitos, lo cual puede hacerse con las otras
ayudas de diseño incluidas en el Apéndice D.
De acuerdo con lo que señalan las NTC-04, la
rigidez efectiva de las columnas se tomó como la mitad de la rigidez teórica.
En el ejemplo se muestra un croquis en el
que se indican las rigideces y factores de
transporte de todos los miembros del marco.
A continuación se calcularon las rigideces
de vigas y columnas del marco correspondiente a fuerzas horizontales. La viga equivalente tiene un ancho de c2 + 3h y para la
columna se toma la rigidez total y no la mitad
como en el marco correspondiente a cargas
verticales. Por lo demás, los cálculos son semejantes. También se muestra un croquis del
marco con sus rigideces y factores de transporte. Para este marco no se calculan momentos de
empotramiento perfecto, ya que sólo está sujeto a fuerzas horizontales.
En algunos programas de análisis estructural disponibles fácilmente en la actualidad,
basta con indicar las propiedades geométricas
de los miembros, aunque sean variables, como
en este caso, y las cargas que actúan sobre la
estructura, para que los programas proporcionen todos los momentos flexionantes, torsionantes, fuerzas cortantes y fuerzas normales,
así como los desplazamientos. En estos programas, como el usado para este ejemplo, es
necesario introducir las matrices de rigidez de
los miembros del marco. Los elementos de estas matrices pueden deducirse de los valores
calculados como se indica en el ejemplo. Así,
el elemento K, es la rigidez a flexión calculada, y el elemento Kii es igual a la rigidez a flexión en el extremo i multiplicada por el factor
de transporte. De cualquier manera, el siguiente paso consiste en analizar los dos marcos planteados, el primero con carga vertical,
y el segundo con fuerzas horizontales. (Las
fuerzas horizontales, producidas por sismo,
no se muestran en el ejemplo.)
Para el caso de carga vertical se hicieron
dos análisis: uno con un factor de carga de
1.4, para tener las acciones correspondientes
a carga vertical Únicamente, y otro con un
factor de carga de 1.1, para tener las acciones
correspondientes a carga vertical que se deben sumar a las correspondientes a fuerzas
horizontales accidentales. Éstos son los facto-
-
Ejemplo de dimensionamiento por el método de la estructura equivalente (N.TC-04) 603
res de carga que especifican las NTC para cargas muertas y vivas únicamente, y para cargas
muertas y vivas combinadas con cargas accidentales, respectivamente. Para el caso de fuerzas horizontales, sólo se hizo el análisis del
marco con un factor de carga de 1 .l.
A continuación se muestran en el ejemplo los diagramas de momentos flexionantes
y fuerzas cortantes correspondientes a las
dos condiciones de carga mencionadas en el
párrafo anterior. Para el caso de carga vertical únicamente, los valores son los obtenidos
del análisis del marco correspondiente con
el factor de carga de 1.4. Para el caso de cargas verticales y horizontales, se muestran los
valores obtenidos sumando los momentos
y fuerzas cortantes del marco correspondiente a carga vertical, con un factor de carga de
1.1, con los momentos y fuerzas cortantes
del marco correspondiente a fuerzas horizontales.
Para la segunda condición de carga, los
momentos y fuerzas cortantes dependen del
sentido de las fuerzas horizontales. En el croquis correspondiente se indican los valores
que corresponden a fuerzas horizontales que
actúan de derecha a izquierda, que son las
más desfavorables para el extremo A de la viga A-B. Pero en el extremo B de esta viga, se
muestran entre paréntesis los valores que corresponden al sentido de izquierda a derecha,
ya que son más desfavorables para este extremo. Es necesario, como se verá más adelante,
seleccionar en cada caso el valor más alto del
momento flexionante y de la fuerza cortante.
Una vez efectuado el análisis estructural
y trazados los diagramas de momentos flexionantes y fuerzas cortantes, se procedió al diseño de la estructura que, como ya se dijo, se
limitó en el ejemplo a la viga A-B del eje 2 y
del nivel 1. Se inició con la revisión por fuerza cortante en la columna A-2. Esto se hizo
así porque es frecuente en este tipo de estructuras que el diseño quede regido por el cortante por penetración, especialmente en
columnas de borde en las que hay una fuerte
transferencia de momento entre losa y columna, y en las que la sección crítica para
cortante por penetración se ve reducida por
el borde libre.
Se señalan en forma de croquis las acciones sobre el nudo, para las dos condiciones
de carga, tomadas de los dos diagramas de
momentos y fuerzas cortantes correspondientes. No es posible determinar de antemano
cuál de las dos condiciones es más desfavorable, ya que en una es menor el momento pero mayor la fuerza cortante, mientras que en
la otra ocurre lo contrario. Por lo tanto, es necesario revisar el cortante por penetración para las dos condiciones de carga.
Se inició la revisión determinando las
propiedades geométricas de la sección crítica.
Para ello se trazó un croquis de la columna
con la sección crítica a una distancia de dl2
alrededor de su periferia, excepto en el borde
libre, por lo que dicha sección tiene únicamente tres lados. Se determinó su área y la posición
de su centroide. Este último dato se requiere
para calcular el momento polar de inercia, 1,
lo cual se hizo con la ecuación que se presenta en la figura 7.1 7b.
Después se calculó el parámetro y, que
determina la fracción de momento flexionante que se transfiere de la losa a la columna a
través de momentos torsionantes, como se
muestra en la figura 7.1 0, los cuales producen
esfuerzos cortantes no uniformes equivalentes
a los que produce una fuerza cortante colocada
excéntricamente respecto al eje de la columna. Este parámetro y, se calculó con la ecuación 7.20 modificada para tomar en cuenta
que la columna es de borde; por eso se sustituyó el factor (ci + d)por (cl + d/2).
Ya habiendo determinado el momento
polar de inercia de la sección crítica y el parámetro y, se calculó el esfuerzo cortante
máximo, que resultó de 8.4 kg/cm2, con la
ecuación 7.21. El esfuerzo cortante que resiste
la losa sin refuerzo por cortante, calculado con la
ecuación 7.27, fue de 9.9 kg/cm2, de lo que
se concluye que no se requiere dicho refuerzo.
604
Losas planas
Nótese que el factor de reducción usado
de 0.7 es menor que el usado para vigas, tal
como se especifica en las NTC-04.
En forma similar se obtuvo el esfuerzo
cortante máximo bajo la segunda condición
de carga. En este caso, dicho esfuerzo resultó
ligeramente menor que el esfuerzo cortante
resistente, 9.3 contra 9.9 kg/cm2. Por lo tanto,
tampoco se requirió refuerzo por cortante.
Si se hubiese requerido proporcionar refuerzo por cortante, el procedimiento sería el
siguiente. Se calcula primero el ancho de una
viga ficticia, como la de la figura 7.14. En este ejemplo dicho ancho sería
Después se calcula la contribución del concreto'con la ecuación 7.28:
VCR= 0.4 FR
bd
donde el término b es el ancho de la viga calculado en el paso anterior.
A continuación se calcula la fuerza cortante que actúa en la cara de la viga ficticia,
que en este ejemplo sería la cara A-B de la figura 7.1 7b. Esta fuerza sería
El valor de (vJmáXen este ejemplo es de
9.3 kg/cm2. Si.Vu fuese mayor que VCRl entonces la diferencia de fuerzas se tomaría con
estribos,
y la separación de estribos se calcularía con la
ecuación 7.1 4:
Como en el ejemplo 18.1 VCRfue mayor que
V
,, se debe poner la separación máxima de
estribos que permiten las NTC que es de dI3.
Este procedimiento para calcular el refuerzo
para cortante en losas es equivalente al descrito en la sección 7.6.1 c en relación con el Reglamento ACI.
El refuerzo por cortante debe prolongarse hasta una distancia de la tercera parte del
claro a partir del eje de columnas, lo cual
obliga a eliminar algunos casetones, en este
ejemplo, para que quepan las barras. El primer estribo debe colocarse a la mitad de la
separación restante a partir del paño de columnas, y las barras longitudinales deben anclarse adecuadamente en la columna. En el
croquis se muestra únicamente el refuerzo en
dirección del eje 2, pero también debe colocarse en la dirección perpendicular, a ambos
lados de la columna.
El ejemplo continúa con la revisión en
cortante por penetración de la columna 5-2.
En este caso, por tratarse de una columna interior, la sección crítica es simétrica y no es
necesario calcular su centroide. El parámetro
y, se calculó con la ecuación 7.20 sin ninguna modificación y el momento polar de inercia con la ecuación correspondiente de la
figura 7.1 7a.
Debe observarse que la fuerza cortante
V, de la ecuación 7.21 es la suma de las fuerzas cortantes a ambos lados de la columna, ya
que esta suma es la que proporciona la carga
axial que transfiere la losa a la columna. El.
momento M, de la misma ecuación es, por el
contrario, la diferencia de los momentos flexionantes a ambos lados de la columna porque esta diferencia equivale al momento de
desequilibrio que transfiere la losa a la columna; si los momentos flexionantes fuesen iguales, no habría transferencia de momentos de
la losa a la columna.
En esta columna tampoco se requirió refuerzo por cortante bajo ninguna de las dos
condiciones de carga. Debe colocarse únicamente el refuerzo mínimo, que es igual al anterior, pero en este caso, a ambos lados de la
columna y en las dos direcciones, por lo que Se
forma una especie de cruz colocada sobre la
columna. Este refuerzo no se muestra en 4
ejemplo.
Antes quedó dicho que en el ejemplo Se
ilustra únicamente el diseño del eje 2 en el
Ejemplo de dimensionamiento por el método de la estructura equivalente (NTC-04) . 605
tramo A-B. Es posible que al diseñar los marcos
perpendiculares al eje 2, se encuentre que sí se
requiererefuerzo por cortante sobre las columnas A-2 y B-2. Por lo tanto, la conclusión alcanzada hasta ahora es tentativa únicamente.
Prosigue el ejemplo con el dimensionamiento por flexión. Se muestra un croquis de
la zona diseñada en el que se señala la franja de ancho c2 + 3h en la que debe transferirse por flexión la parte del momento que no
se transfirió por excentricidad de la fuerza
por cortante y en la que debe colocarse el refuerzo por sismo; la franja de columnas cuyo
ancho es la cuarta parte del ancho de los tableros adyacentes al eje; y las dos medias
franjas centrales. La primera franja mencionada queda colocada simétricamente respecto al eje, pero no quedan así las otras
franjas.
En primer término se hace el diseño por
flexión en el extremo A, o sea, en el borde de
la losa, donde se tienen momentos negativos.
Las NTC-O4 especifican que el refuerzo necesario por carga vertical se coloque como si
fuera refuerzo por sismo, o sea, en la franja de
ancho c2 + 3h. Por lo tanto, es suficiente hacer el diseño para el mayor de los momentos
correspondientes a las dos condiciones de carga. En el ejemplo resulta mayor el momento
bajo carga vertical y sismo, 39.4 ton-m. Este
momento es en el eje de columnas, por lo que
se calculó el momento en la sección crítica
para flexión que está localizada en el paño de
las columnas. Dicho momento resultó de 31.5
ton-m. Con este momento se calculó el área
de acero necesaria por los procedimientos
usuales. Se verificó que el porcentaje de acero estuviera comprendido entre el mínimo y el
75 por ciento del correspondiente a la falla
balanceada. En las nervaduras que quedan fuera de la franja de ancho c2 + 3h se debe colocar el acero mínimo. Para las nervaduras de
10 cm de ancho este acero mínimo consiste
en una barra del número 4.
Las NTC-O4 señalan que una fracción
del momento se transmite por flexión entre la
losa y la columna en un ancho c2 + 3h. En
el ejemplo, esta fracción resultó menor que el
momento en la sección crítica. Si no hubiese sido así, el refuerzo por flexión en la franja de ancho c2 + 3h se tendría que haber
calculado a partir del momento flexionante
(1 - ~ v M".
)
A continuación se hizo el diseño para
momentos positivos. Debido a que la distribución del refuerzo es diferente para carga vertical y para carga horizontal, es necesario hacer
el diseño para cada una de las dos condiciones de carga y ver cuál es más desfavorable.
En la práctica, debido a que los momentos
positivos debidos a sismo son pequeños en el
centro del claro, casi siempre regirá la condición de carga vertical únicamente, tal como
sucedió en este ejemplo.
Obsérvese que para el caso de cargas
verticales, el momento positivo se dividió entre la franja de columnas, 60 por ciento, y la
franja central, 40 por ciento. Ya obtenidos estos momentos, el diseño del refuerzo se hizo
de la manera usual, tomando como ancho de
las vigas la suma de los anchos de las nervaduras comprendidas en las franjas de columnas y central, respectivamente. Por sencillez y
de manera conservadora, se consideró que el
momento positivo se resiste exclusivamente
con las nervaduras tomadas como vigas rectangulares cuando en realidad son vigas T.
Sigue el ejemplo con el diseño del extremo B del tramo A-B, en el cual se tienen momentos negativos. Aquí también es necesario
calcular por separado el refuerzo necesario para carga vertical y para carga vertical combinada con fuerzas horizontales. Para el primer
caso, el momento en la sección crítica se distribuye entre la franja de columnas y la franja
central con los porcentajes de 75 y 25, respectivamente. De acuerdo con las NTC-04, el
refuerzo que resulta para la franja de columnas debe distribuirse dentro de esta franja de
tal manera que el 50 por ciento se coloque en
la franja de ancho c2 + 3h, y el otro 50 por
ciento en el resto de la franja de columnas. El
606
Losas planas
refuerzo necesario para resistir el momento en
la franja central se distribuye uniformemente
entre las nervaduras comprendidas en esta
franja.
Para el caso de cargas verticales y fuerzas
horizontales simultáneas, es necesario considerar por separado el momento causado por
las cargas verticales y el producido por las
fuerzas horizontales, ya que la colocación del
refuerzo es diferente. Para encontrar el momento producido por cargas verticales, se multiplicó el momento correspondiente al caso de
carga vertical únicamente, 37.5 ton-m, por la
relación entre los factores de carga para combinación de carga vertical y sismo, y para carga vertical, 1.111.4, El momento obtenido
resultó de 29.5 ton-m. La diferencia entre el
momento producido por ambas acciones
combinadas, 42.1 9 ton-m, y el momento de
29.5 ton-m, es el momento causado por las
fuerzas horizontales.
El momento en la franja de columnas debido a cargas verticales se obtuvo multiplicando el momento total de 29.5 ton-m por el
coeficiente correspondiente a esta franja que
es 0.75. De acuerdo con las NTC-04, el momento resultante se dividió en dos partes; una
se asignó a la franja de ancho c2 + 3h y la otra
al resto de la franja de columnas. La parte correspondiente a la franja de ancho c2 + 3h se
sumó al momento debido a fuerzas horizontales, ya que la totalidad de este momento se debe asignar a la franja de ancho c2 + 3h. El
momento obtenido de esta manera resultó de
23.74 ton-m y el área de acero necesaria, de
21.6 cm2, mayor que la calculada para el caso
de carga vertical únicamente. Obsérvese que
toda la franja de columnas en la sección crítica cae dentro de la zona maciza de losa.
En el eje B también se revisó la transmisión de momento entre losa y columna. Igual
que en el eje A, el momento que se debe
transmitir en la franja de ancho c2 + 3h resultó menor que el obtenido en la misma franja
para la acción combinada de cargas verticales
y fuerzas horizontales.
El momento en la franja central es el 25
por ciento restante del momento total en lq
sección crítica debido a cargas verticales. ,
En el ejemplo se incluye un resumen de
las áreas de acero necesarias para las distintas
franjas del eje B.
Finalmente se presentan unos croquis de
armado de las nervaduras, con los que se traJ
ta de satisfacer las áreas de acero calculadas
las disposiciones complementarias para el acero
de refuerzo mencionadas en la sección 1 8.2.2e,
Para distribuir el refuerzo en las nervaduras, se
consideró que el correspondiente a la franja
de ancho c2 + 3h se asignaba a la nervadura
central de 40 cm de ancho, aunque el refuerza
negativo, por estar en la zona maciza de losaj
puede colocarse también fuera de esta nervad
dura. El refuerzo para la parte restante de la
franja de columnas se colocó en las dos nerva:
duras de 20 cm de ancho y en la primera nervadura de 10 cm de ancho debajo del eje 2,
El refuerzo para la franja central se colocó en
las nervaduras restantes de 10 cm de ancho.
Los cortes de barras se hicieron a una
distancia mayor que la del punto de inflexión
más lejano al eje de columnas. Las NTC-O4
recomiendan prolongar las barras una distan*
cia U1 0 más allá del punto de inflexión cuando
se cortan o doblan todas las barras. En estg
ejemplo se prolongaron una distancia menol
porque algunas barras se extendieron en todo
el claro.
El refuerzo por cortante no se indica en
los croquis de armado de las nervaduras. Según las NTC-04, se requiere el refuerzo mínimo por cortante en las nervaduras del eje de
columnas, o sea la nervadura central, y en la
adyacentes a ellas. En este ejemplo, el refuen
zo correspondiente a la nervadura central
el calculado para cortante por penetración #
consiste en estribos del No. 2.5 de cuatro rai
mas a cada 10 cm. En las nervaduras a d y a c a
tes, de 20 cm de ancho, debe colocarse 4
refuerzo mínimo consistente en estribos de
dos ramas del No. 2 a cada d13, o sea, a cada
10 cm.
Ejemplo de dimensionamiento por el método de la estructura equivalente (NTC-04)
Existen dos aspectos del diseño de losas
planas que no se han incluido en este ejemplo. El primero se refiere a la revisión por
cortante suponiendo que la losa actúa como
una viga ancha en la que las grietas diagonales potenciales se extienden en todo su ancho. Esta revisión se ha ilustrado en el
ejemplo 7.4 en relación a una zapata cuadrada. En forma similar se haría para la losa
plana de este ejemplo, con la hipótesis adicional de que el 75 por ciento de la fuerza
cortante actúa en la franja de columnas y el
25 por ciento restante, en la franja central.
Al calcular el ancho de la viga deben descontarse desde luego los agujeros que dejan
los casetones.
607
El segundo aspecto se refiere a que también debe revisarse el cortante por penetración
en una sección crítica situada a d12 de la periferia de la zona maciza. La magnitud de la fuerza cortante es menor en esta sección crítica que
en la localizada a d12 de la periferia de la columna, pero el área de la sección crítica también es menor por la presencia de los casetones.
El lector que desee ver con detalle estos
dos aspectos del diseño puede consultar la referencia 1 8.5.
Es importante volver a recordar que en
forma similar a la ilustrada debe hacerse el diseño de los marcos perpendiculares al eje 2
usando nuevamente toda la carga que actúa
sobre la losa.
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Referencias
18.1
18.2
18.3
18.4
18.5
Jiménez Montoya, P., A. García Meseguer, y F.
Morán Cabre, Hormigón Armado, 1 Oa edición,
Editorial Gustavo Gili, S. A., España, 1 982.
Loera, Santiago, "Revisión de los criterios de
análisis del Reglamento DDF para edificios con
losas planas", trabajo inédito.
Meli, Roberto, y M. Rodríguez, "Diseño sísmico
de edificios con losas reticulares", Memorias del
V Congreso Nacional de Ingenieria Sísrnica, Guadalajara, oct. 31 -nov. 3, 1979.
"Ayudas para diseño de estructuras", SociedadMexicana de Ingenieria Estructural, México, D. F., 1983.
Loera, S., C. J. Mendoza, M. Rodríguez y R. Me-
li. "Comentarios, ayudas de diseño y ejemplos
18.6
18.7
de las Normas Técnicas Complementarias para
Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto, DDF." Series del lnstituto de Ingeniería,
UNAM, No. ES-2. México, noviembre de 1991.
Loera Pizarro, S., y Ávila Rodríguez, J. A. "Análisis bajo carga vertical de losas planas con capiteles y ábacos". Series del Instituto de Ingeniería
de la UNAM, No. 620, julio 2000.
Loera Pizarro, S., y Ávila Rodríguez, J. A. "Ancho
equivalente de losas planas con capiteles y ábacos ante fuerzas laterales". Series del lnstituto de
Ingeniería de la UNAM, No. 622, abril 2001.
Ejercicios
18.1
Dimensionar el primer nivel de la estructura de
placas planas representada en el croquis, de
acuerdo con las NTC-04. Dimensionar las columnas de ambos niveles. Considerar una carga
viva de servicio de 500 kg/m2 y una carga muerta (sin incluir el peso propio) de 200 kg/m2. Considerar igual carga en ambos niveles. Suponer
Fc = 1.4, f', = 200 kg/cm2 y fy = 4200 kg/cm2.
Hacer croquis de armados.
L cimiento
18.2
Utilizando la NTC-04 dimensionar la placa plana del primer nivel de la estructura del croquis y
las columnas encima y debajo de este nivel. Suponer que se trata de un edificio de oficinas, que
se consideran acciones sísmicas de acuerdo con
el Reglamento del Distrito Federal y que se utiliza un factor de ductilidad Q = 2. Considerar que
la carga muerta, incluyendo el peso propio, es
igual a 600 kg/m2 en todos los niveles. Hacer
croquis de armados.
CAP~TU
LO
19
Método general izado
para el diseño de
losas apoyadas
perimetralmente y
de losas planas
19.1 Introducción. /19.2 Comportamiento de
sistemas de piso. Variables principales. A9.3
Método directo. /19.4 Ejemplo de diseño
con el método directo. /19.5 Método de la
estructura equivalente. /19.6 Ejemplo de diseño
con el método de la estructura equivalente.
A9.7 Comentarios sobre el método de la
estructura equivalente.
19.1 Introducción
En el capítulo 17 se estudió el diseño de losas apoyadas en su perímetro sobre elementos cuya rigidez a flexión era mucho mayor
que la rigidez de la propia losa. Estos elementos podían ser vigas con peralte varias
veces superior al de la losa, o muros que
podían considerarse como elementos con rigidez a flexión infinita. Las losas transmitían
las cargas verticales a los elementos de apoyo, los cuales, en el caso de vigas, los transmitían a las columnas y éstas a la cimentación; en
el caso de muros, éstos las transmitían directamente a la cimentación. El método de diseño
estudiado en ese capítulo permitía dimensionar la losa con independencia casi total de
los elementos de apoyo perimetrales (excep-
to por la diferencia entre caso I y caso II de
la tabla 17.1), y sin importar las características de las columnas en que se apoyaban las
vigas.
Por otra parte, en el capítulo 18 se estudiaron losas apoyadas directamente sobre
columnas, es decir, estructuras en que no
existían vigas o muros en que se apoyasen
las losas. Los métodos de diseño planteados
fueron totalmente diferentes, ya que para
este caso, especialmente en el método de
la estructura equivalente, las características
de las columnas influían notablemente en el
diseño de la losa, ya que se analizaba la estructura en su conjunto.
Tradicionalmente se ha considerado que
las losas apoyadas perimetralmente y las losas planas son distintos tipos de estructura y se
han diseñado por métodos también distintos,
que son precisamente los presentados en los
capítulos 17 y 18, respectivamente. La mayoría de los reglamentos de construcción así lo
siguen considerando hasta la fecha. Inclusive existen razones históricas para esta diferenciación: las losas planas se empezaron a
construir sobre una base empírica antes de que
se conocieran métodos de análisis para determinar los momentos flexionantes y fuerzas
cortantes, mientras que las losas apoyadas perimetralmente se empezaron a construir cuando ya se disponía de métodos matemáticos de
análisis.
Sin embargo, un programa de investigación experimental y analítica de losas y estructuras de concreto 119.1 a 19.61 realizado
en la década de 1960 ha llevado a la conclusión de que ambos tipos de estructuras
(las losas apoyadas sobre vigas y las losas planas) se comportan de manera similar y pueden
diseñarse sobre las mismas bases. El enfoque derivado de estas investigaciones permite considerar el trabajo en conjunto de las
losas, de las vigas en que se apoyan y de las columnas. Las vigas pueden tener una rigidez a
flexión cualquiera, y entonces las losas apoyadas perimetralmente son un caso particular
634
Método generalizado para el diseño de losas apoyadas perimetralmente y de losas planas
en que las vigas tienen rigidez a flexión infinita en comparación con la rigidez de la losa, mientras que las losas planas son el caso
particular del otro extremo, ya que se puede
considerar que están apoyadas sobre vigas
de rigidez a flexión nula.
El Reglamento del American Concrete
lnstitute incorporó este enfoque por primera
vez en un reglamento de construcciones en
su edición del año de 1971 con el nombre
de Sistemas de losas en dos direcciones.
Aquí se presenta con el nombre de Método
generalizado para el diseño de losas apoyadas perimetralmente y de losas planas, ya que
se puede usar para el dimensionamiento de
los tipos de losas estudiados en forma separada en los capítulos 17 y 18, así como para
sistemas de piso con vigas de poco peralte
cuya rigidez a flexión no sea mucho mayor
que la de la losa.
En las secciones siguientes se exponen
en forma resumida las principales conclusiones del programa de investigación que se
mencionó al principio de esta sección, y
después se presentan los dos métodos que
incluye el Reglamento ACI 31 8-02 para fines
de diseño. Éstos son el llamado método directo y el método de la estructura equivalente. Las NTC-04 del Reglamento del Distrito
Federal no presentan métodos de diseño basados en este enfoque, por lo que no se hace
referencia a ellas en este capítulo.
Figura 19.1 Planta típica de las estructuras
ensayadas en la Universidad de Illinois.
pequeños, y numerosos estudios analíticos
mediante métodos numéricos. Tanto en los ensayes como en los estudios analíticos se
determinaron los momentos flexionantes en
distintas secciones de las losas, vigas y columnas; se estudiaron los mecanismos de falla
por flexión, por cortante y por torsión, en el
19.2 Comportamiento de sistemas
de piso. Variables principales
E l estudio de sistemas de piso en el programa de investigación consistió en el ensaye
en los laboratorios de la Universidad de
lllinois de cinco especímenes como los mostrados en la figura 19.1, los cuales se describen en las referencias 19.1 a 19.5; un ensaye
similar de una placa plana en los laboratorios de la Portland Cement Association
I19.61; otros ensayes en especímenes más
Figura 19.2 Franja de una losa en la cual se
determinan los momentos flexionantes.
Comportamiento de sistemas de piso. Variables principales
635
Figura 19.3 Diagrama de momentos en la franja de losa de la figura 19.2.
caso de vigas de borde; y, en los ensayes, se
analizaron las deflexiones y el agrietamiento
para distintos niveles de carga. La distribución de momentos flexionantes en la estructura y la influencia de las
principales variables sobre esta distribución,
pueden visualizarse utilizando los conceptos
de momento estático total y de estructura
equivalente planteados en el capítulo 18. Considérese, para este efecto, que en la estructura de la figura 19.1 se aísla una viga de
ancho t2(figura 19.2), la cual, con las columnas del eje 9, forma un marco como el
de la estructura equivalente de la sección
1 8.2.2. La viga de este marco tendrá una carga por unidad de longitud de wt2, donde w
es la carga por unidad de área de la losa, y
una distribución de momentos como la mostrada cualitativamente en la figura 19.3. Por
el principio del momento estático total descrito en la sección 18.2.1, en cada uno de los
claros de la viga se debe cumplir la siguiente ecuación de equilibrio
('
)
donde:
M, = momento estático total = momento
positivo en el centro del claro, más
el promedio de los momentos negativos en los extremos
w t 2 = carga por unidad de longitud
tl = longitud del claro considerado
Por ejemplo, en el claro 2-3
donde Mneg es momento negativo y Mpos
momento positivo.
En realidad, los momentos flexionantes
no son uniformes a lo ancho de la franja
considerada en la figura 19.2. A lo largo del
eje de columnas, B, los momentos son mayores que a lo largo de los ejes A' y B'. Esto se
debe a que el sistema es más rígido a lo largo del eje B, por la presencia de vigas y
porque el efecto de restricción de las columnas es máximo en estos ejes y va disminuyendo hacia los extremos de la franja.
La distribución cuantitativa de momentos a lo largo y a lo ancho de las franjas de
losa depende de las características de los
elementos que forman la estructura (columnas, vigas y losas) y del tipo de carga aplicada. En las siguientes secciones se describe la
influencia de estas variables.
19.2.1 Influencia de las columnas
Las columnas influyen sobre la distribución
de momentos en la losa, por la restricción
que ejercen sobre las vigas y la losa, o sea,
por el empotramiento parcial que proporcionan a estos elementos estructurales.
Considérese nuevamente la distribución
de momentos a lo largo de la franja A'-9'
636
Método generalizado para el diseño de losas apoyadas perimetralmente y de losas planas
1 C1 > C2; C3 < C4
a) Columnas rígidas
1
1 C5 > C4 > C3 [
b) Columnas flexibles
[
C ) Columnas sin rigidez
Figura 19.4 Efecto de la rigidez flexionante de las columnas.
mostrada en la figura 19.2. Si la rigidez flexionante de las columnas es grande en comparación con la rigidez flexionante de vigas
y losas, entonces la restricción de las columnas en los extremos de la viga continua es
grande, lo que es causa de que los momentos flexionantes en estos extremos sean relativamente grandes.* En cambio, si la rigidez
flexionante de las columnas es pequeña en
comparación con la de las vigas y losa, la restricción y los momentos flexionantes en los
extremos también son pequeños. En la figura
19.4 se comparan cualitativamente estos casos: la figura 19.4a corresponde al primer
caso mencionado, y la figura 19.46, al segundo caso. Teóricamente, si la rigidez flexionante de las columnas es nula, los momentos
en los extremos de la viga continua son nulos. Este caso, que se muestra en la figura
19.4c, puede presentarse cuando las columnas no son monolíticas ni están unidas rígidamente a las vigas y a la losa.
* Se supone en este capítulo que el lector está familiarizado
con el análisis elemental de estructuras hiperestáticas.
La rigidez flexionante de las columnas
influye también sobre el valor de los momentos flexionantes en otras secciones de la
viga continua de la figura 19.3. Los momentos positivos en los claros extremos (1 -2 y 34) son tanto mayores cuanto menores sean
los momentos en los extremos de la viga
continua. Por lo tanto, son mayores mientras
menor sea la rigidez flexionante de las columnas. Esto se debe a que la ecuación 19.2
debe cumplirse por condiciones de equilibrio, y al disminuir uno de los momentos
negativos, necesariamente debe aumentar el
momento positivo, ya que el momento estático total permanece constante. La influencia
de la rigidez flexionante de las columnas sobre los momentos negativos y positivos en
los claros interiores, como el claro 2-3 de la
figura 19.3, es menor que sobre los momentos de los claros extremos, siempre que la
carga de la losa esté uniformemente distribuida en todos los claros. Cuando la carga
no está uniformemente distribuida en todos
los claros, la influencia de la rigidez flexionante de las columnas es también importante
Comportamiento de sistemas de piso. Variables principales
sobre los momentos en claros interiores. Este
caso se analiza en la sección 19.2.4, que trata del efecto del tipo de carga.
63 7
desarrollarse en ella momentos torsionantes,
pues giraría libremente en sus extremos.
19.2.4 Influencia del tipo de carga
19.2.2 Efecto de la rigidez flexionante
de las vigas
La rigidez flexionante de las vigas, comparada con la rigidez flexionante de la losa, influye en la distribución de momentos a lo
ancho de la franja. Si las vigas son de peralte grande en comparación son el peralte de
la losa, un gran porcentaje del momento total en una sección transversal dada es resistido por las vigas y un porcentaje pequeño por
la losa. En losas planas, en las que no existen vigas, todo el momento es resistido por
la losa. Dentro de estos dos casos, el peralte
de la viga puede ser de cualquier valor y el
momento total se distribuye entre la viga y
la losa, de acuerdo con sus rigideces flexionantes.
En un sistema de piso, no siempre se encuentran cargados todos los tableros. Es frecuente,
por ejemplo en el caso de bodegas, que algunos
tableros soporten carga viva y otros no. Así
como en vigas continuas existen combinaciones
de carga con las cuales los momentos en ciertas
secciones son mayores que los correspondientes a carga uniforme en todos los claros, también en sistemas de piso existen combinaciones
desfavorables de carga. Evidentemente, la carga muerta, que siempre es considerable en
sistemas de piso, actúa uniformemente en
todos los tableros. El incremento de momentos, respecto a los producidos por carga
uniforme en todos los tableros, depende de
la relación de carga viga a carga muerta.
Mientras mayor sea esta relación, mayor es el
incremento. En la figura 19.5 se presentan com-
19.2.3 Efecto de la rigidez torsionante
de las vigas
La rigidez torsionante de las vigas proporciona
un empotramiento parcial a las losas. Su efecto
es especialmente importante en los bordes
del sistema de piso y en tableros interiores,
cuando un tablero se encuentra cargado y el
tablero adyacente descargado. En el primer
caso, cuanto mayor sea la rigidez torsionante,
mayores serán los momentos negativos. El segundo caso se analiza al estudiar el efecto del
tipo de carga (sección 19.2.4).
Para que en un sistema de piso exista
el efecto de la rigidez torsionante de las vigas, es necesario que éstas sean monolíticas
con la losa y con las columnas. Si no se cumple la primera condición, las vigas no pueden
restringir o empotrar a la losa, y no pueden desarrollarse momentos flexionantes en la losa en
los bordes del sistema de piso. Si la viga no
es monolítica con las columnas, no pueden
a) Carga de tablero de ajedrez
para momentos positivos
máximos en ambas
direcciones.
C ) Distribución de carga por
b, Carga de tablero de ajedrez
para momentos negativos
en un eje horizontal.
d) Distribución de carga por
franjas para momentos
positivos
eie vertical.
máximos en un
franjas para momentos
negativos máximos en un
eje horizontal.
Figura 19.5 Cargas desfavorables
en sistemas de piso.
638
Método generalizado para el diseño de losas apoyadas perirnetralrnente y de losas planas
binaciones de carga con las cuales se obtienen
momentos positivos y negativos máximos.
El efecto de combinaciones desfavorables de carga está relacionado en forma importante con la rigidez flexionante de las
columnas y con la rigidez torsionante de
las vigas. Un incremento de estas rigideces
aumenta el empotramiento de un tablero
de losa dado y, por consiguiente, este tablero es menos sensible a las condiciones de
carga de tableros vecinos.
tudios analíticos, ya que en su desarrollo se
buscó hacer compatibles los resultados de
ambos tipos de estudio, así como simplificar,
hasta donde era posible, para fines prácticos, los métodos analíticos. En las secciones
siguientes se presentan estos métodos de diseño que se han conservado, con pocos cambios, en el Reglamento ACI 3 18-02.
19.3 Método directo
1 9.3.1 Limitaciones
19.2.5 Comentarios sobre los efectos
de las variables
En los párrafos anteriores se han señalado las
principales variables que influyen en el comportamiento de sistemas de piso, sin incluir los
efectos de las propiedades de los materiales,
como resistencia del concreto, porcentaje de
refuerzo y límite de fluencia del acero, ni el efecto de la forma de las losas. Se ve que el número de variables es considerable y que el
efecto de algunas está relacionado con el efecto
de otras; por ejemplo, el efecto del tipo de
carga está relacionado con el efecto de las
rigideces de columnas y trabes. Esto hace que
el tratamiento riguroso de los sistemas de piso
sea un problema muy complejo, por lo que es
necesario recurrir a procedimientos simplificados que tomen en cuenta de manera aproximada el efecto de las variables principales.
También se deduce del estudio de las
variables que no es suficiente considerar a la
losa como un elemento aislado, sino que debe
tomarse en cuenta su interacción con los
otros elementos estructurales, para estudiar
adecuadamente su comportamiento. Los métodos modernos de análisis y diseño están
basados en estas consideraciones.
En el Reglamento ACI 318-71, se presentaron por primera vez, como ya se dijo,
dos métodos de diseño que tratan de tomar
en cuenta las variables mencionadas anteriormente. Se basan estos métodos tanto en
los ensayes experimentales, como en los es-
El método directo es más sencillo de aplicar
que el método de la estructura equivalente,
ya que, como se verá posteriormente, no
requiere efectuar el análisis de la estructura,
sino que proporciona directamente los momentos flexionantes. Sin embargo, sólo puede
aplicarse en estructuras que cumplan con las
siguientes limitaciones:
a) Debe haber un mínimo de tres claros
continuos en cada dirección.
b ) Los tableros deben ser rectangulares
con una relación de claro largo a claro corto no mayor de dos.
C ) Los claros sucesivos en cada dirección no deben diferir en más de la
tercera parte del mayor de ellos.
d ) Las columnas pueden estar fuera del
eje que une las columnas anterior y
posterior, pero la distancia del centro
de una columna al eje de columnas
no debe ser mayor del 10 por ciento
del claro en dirección del desplazamiento de la columna.
e) La estructura debe estar sujeta únicamente a carga vertical distribuida uniformemente en cada tablero. La carga
viva no debe ser mayor de tres veces
la carga muerta.
f ) Cuando existan vigas en los cuatro
bordes de un tablero, su rigidez relativa en dos direcciones perpendiculares definida por la ecuación
Método directo
no debe ser menor de 0.2 ni mayor
de 5.0. En esta ecuación, el es el
claro en la dirección en que se determinan los momentos, medido centro
a centro de apoyos, t2es el claro en dirección perpendicular, también medido centro a centro de apoyos, y los
términos a son iguales a la relación
entre la rigidez a flexión de la viga y
la rigidez a flexión de la franja de losa
comprendida entre los ejes centrales
de los tableros situados a cada lado de
la viga, o sea, con referencia a la figura 19.2, es la relación entre la rigidez
de la viga localizada sobre el eje 6, y
la rigidez de la franja de losa comprendida entre los ejes A' y 6'; a, es
el valor de a en dirección del claro tl
y a2 en dirección del claro t2.Ya que
el cálculo de a requiere algunas consideraciones adicionales, se presenta
en la sección 19.3.9 una explicación
más detallada sobre el particular.
Las cuatro primeras limitaciones tienen
por objetivo garantizar que la estructura sea
suficientemente regular en su geometría, principalmente para que no se desarrollen desplazamientos laterales de la estructura por
condiciones de asimetría, que modificarían
el momento estático total. N o son limitaciones muy severas, ya que en la mayoría de
los casos prácticos se cumplen estas condiciones.
La limitación del inciso e s í impide la
aplicación del método a un buen número
de estructuras encontradas en la práctica, ya
que es frecuente tener fuerzas horizontales
producidas por viento o sismo. Esto limita el
uso de este método a estructuras bajas situadas en zonas en que los efectos de fuerzas
horizontales sean despreciables, o bien, a es-
639
tructuras que tengan muros de cortante o
contravientos para resistir las fuerzas horizontales.
Con la limitación f se trata de evitar la
aplicación del método a estructuras que tengan vigas de muy distinta rigidez en las dos
direcciones. Desde luego que esta limitación
no se aplica en el caso de losas planas e inclusive no evita que el método pueda usarse
en losas planas con vigas de borde, caso muy
frecuente en la práctica.
19.3.2 Resumen del método
El método consiste en los siguientes pasos:
a) Determinación del momento estático
total con una ecuación similar a la
ecuación 19.1 en los claros de una
viga ancha limitada por los ejes centrales de dos tableros contiguos, como
la mostrada en la figura 19.2.
b) Distribución del momento estático
total en momentos negativo y positivo. Por ejemplo, con referencia a la
figura 19.3 y al claro 2-3 de esta figura, se determinan en este paso los valores de Mneg2r Mneg3 Y Mpos de la
ecuación 19.2.
C ) Distribución de los momentos negativo y positivo determinados en la
etapa anterior a lo ancho de la franja
de losa, entre la franja de columnas y
la franja central, ya que, como se ha
explicado anteriormente, esta distribución no es uniforme, sino que los
momentos son mayores en el eje de
columnas y menores en los ejes centrales de los tableros. (Véase también
la figura 18.5d en la sección 18.2.1 )
d) En el caso de que la estructura tenga
vigas, distribución del momento en la
franja de columnas entre la losa y la viga.
e) Diseño por flexión y revisión por cortante.
640
Método generalizado para el diseño de losas apoyadas perimetralmente y de losas planas
S i es una franja de borde, como la del
eje 1, está limitada de un lado por el borde,
y del otro por el eje central del tablero. En el
caso de esta franja, su ancho será por consiguiente
similar a la 19.1. En esta ecuación y en la figura 19.3 se ha supuesto que los apoyos son
puntuales, lo que no sucede en estructuras
reales. Para tomar en cuenta esta diferencia,
en el reglamento ACI 31 8-02 se considera
que el claro, en, debe medirse entre las caras
interiores de las columnas, capiteles o muros
en que se apoye la losa, como se muestra en
la figura 19.6, pero que en ningún caso debe
ser menor de 0.65 el. Cuando la estructura
tenga columnas circulares o en forma de polígono regular, pueden transformarse en columnas cuadradas de área igual para estos fines. (En
el caso usual de una columna circular, el lado
del cuadrado de igual área es 0.89 por el diámetro del círculo.)
Con estas consideraciones sobre el ancho t2 y el claro en de las franjas de losa,
el momento estático total se calcula con la
ecuación:
Se ha dicho que el momento estático
total puede calcularse con una ecuación
para cada claro y para todas las franjas en las
dos direcciones.
19.3.3 Determinación del momento
estático total
Para la determinación del momento estático
total, se consideran franjas de losa como las
mostradas en la figura 19.6. Si es una franja
interior, como la del eje 2 de esta figura, se
considera que está limitada por los ejes centrales de los tableros adyacentes al eje, por
lo que el ancho de la franja es el promedio de
los claros transversales de dichos tableros. Así,
para la franja del eje 2 se tiene un ancho de
"T
e, = e, + eb
I
!I
I
- -----------
eb
I
*----e'-
0'
I
-i
I
@) -
--j-
eb + e,
e, = 7
t
-
--
I
T----
esta
momentos
dirección
en
Figura 19.6 Valores de t2y t , en la determinación del momento estático total.
Método directo
641
Figura 19.7 Distribución del momento estático total en momentos negativos y positivos.
19.3.4 Distribución del momento estático
total en momentos negativo y
positivo (momentos longitudinales)
Para hacer esta distribución debe distinguirse entre claros interiores y claros extremos.
Por ejemplo, con referencia a la franja del
eje 2 de la figura 19.6, el claro comprendido entre los ejes B y C es un claro interior,
mientras que el comprendido entre los ejes
A y B es un claro extremo.
En claros interiores el momento estático
total se distribuye de la siguiente manera:
Momentos negativos = 0.65 M,
Momentos positivos = 0.35 M,
En la figura 19.7 se ilustra esta distribución. La figura 19.7a representa la misma estructura de la figura 19.6 en elevación. En el
claro interior B-C los momentos negativos en
,
ambos extremos tienen un valor de 0.65 M
mientras que el momento positivo al centro
del claro tiene un valor de 0.35 M., Obsérvese que el valor de los momentos negativos
está marcado en el paño de las columnzs, y
no en el eje, ya que la sección crítica por
flexión está en dicho paño.
En claros extremos, como el A-B de la
figura 19.7, la distribución de momentos depende del grado de restricción o de empotramiento que proporcionen las columnas al
sistema de piso, grado de restricción que depende a su vez de las caracteristicas del sistema, especialmente de si existen o no vigas
de apoyo. En la tabla 19.1 se presentan los
coeficientes por los que debe multiplicarse el
,, para obtener los
momento estático total, M
momentos MI, MZy M3de la figura 19.7, según el reglamento ACI 31 8-02. La columna 1
se aplica si la losa está libremente apoyada
en un muro de mampostería o en un muro
de concreto no construido monoliticamente
con la losa. La columna 2, a sistemas con vigas entre los apoyos, como el caso de losas
apoyadas perimetralmente o en vigas de
poca rigidez a flexión. Las columnas 3 y 4
son para el caso de losas planas que tengan
viga de borde o que no la tengan, respectivamente. Y la columna 5, para el caso de losas
construidas monolíticamente con muros que
tengan una rigidez a flexión tan grande, en
642
Método generalizado para el diseño de losas apoyadas perirnetralrnente y de losas planas
comparación con la de la losa, que ocurra
muy poca rotación entre la losa y el muro.
Los coeficientes de la tabla 19.1 son tales que el promedio de los que corresponden
a momentos negativos sumado al que corresponde a momento positivo es siempre igual
a uno, para que se conserve el momento estático total. Se obtuvieron resolviendo distintas
estructuras, que cumplían con las limitaciones del método directo, por medio del método
de la estructura equivalente, que permite tomar en cuenta explícitamente la rigideces de
las columnas y del sistema de piso. Los resultados obtenidos se ajustaron de tal manera
que los coeficientes para momento positivo
y negativo interior se aumentaron ligeramente, y el coeficiente de momento negativo exterior se disminuyó ligeramente. Esto se hizo
así porque en este último momento rige con
frecuencia la disposición del Reglamento sobre refuerzo mínimo.
Los momentos calculados con la tabla
19.1 son también los que actúan en los paños
de columna, como se ve en la figura 19.7b.
Cuando los momentos en las dos caras de
una columna no son iguales, como suele suceder en la primera columna interior, se debe
diseñar con el momento mayor, o bien, distribuir el momento de desequilibrio entre los
miembros que concurren al nudo de acuerdo con su rigidez.
Cuando existen vigas de borde perpendiculares a la dirección en que se hace el
análisis, los momentos negativos exteriores
en la losa se transfieren como momentos
torsionantes a dichas vigas, lo cual debe ser
considerado en su diseño. Cuando no existen dichas vigas, se debe considerar que una
Tabla 19.1 Coeficientes del momento estático total, M, en claros extremos.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Losas sin vigas entre los
apoyos internos
exterior
libre
Losa con vigas
entre todos
los apoyos
Sin vigas
de
borde
Con vigas
de
borde
Apoyo exterior
totalmente
restringido
Momento negativo
interior (M1en la
figura 19.7b)
0.75
0.70
0.70
0.70
0.65
Momento positivo
(M2en la figura
19.76)
0.63
0.57
0.52
0.50
0.35
Momento negativo
exterior (M3en la
figura 19.7b)
O
0.1 6
0.26
0.30
0.65
*POYO
Método directo
franja de losa que actúa como viga de borde
resiste el momento torsionante correspondiente. Las características de esta viga ficticia de
borde se indican en la sección 19.3.96.
Se comentó en el capítulo 18 que en las
columnas de borde hay una fuerte transferencia de momento flexionante entre losa y
columna. El Reglamento ACI 31 8-02 especifica que el momento que se transfiere en este
caso, debe ser igual al momento resistente de
la franja de columnas, como se muestra en la
figura 19.8.
Una fracción de este momento dada por
la ecuación
debe transferirse por flexión entre la losa y la
columna, considerando para estos efectos un
ancho de losa igual al ancho de la columna
en dirección perpendicular a la del momento, c2, más una vez y media el espesor de la
losa, 1 .S h, a cada lado del paño de columna. La fracción restante del momento debe
transferirse por excentricidad de la fuerza
cortante. Este detalle de transferencia de momento, que es muy importante, se ha ilustrado
en el ejemplo 18.1, ya que las NTC-04 contienen disposiciones muy similares.
' 1 Momento
área de iefuerzo
en dicha franja
Figura 19.8 Momento que se transfiere de la
losa a la columna.
643
19.3.5 Distribución de los momentos a lo
ancho de la franja
Los momentos calculados hasta ahora son los
que actúan en todo el ancho de la franja, t2
(figura 19.6). Es necesario distribuirlos en este
paso, ya que como se ha dicho, su distribución no es uniforme. Para ello, las franjas de
losa se dividen en una franja de columnas y
una franja central, como se muestra en la figura 19.9. Esta división es similar a la del
método de la estructura equivalente de las
NTC-04 (véase, por ejemplo, la figura 1 8.8),
pero ahora la franja de columnas puede incluir a una viga en el caso más general. El
ancho de la franja de columnas se limita al
menor de los valores de ti/4 o t2/4 a cada
lado del eje de columnas, para que en el
caso de tableros alargados en dirección de t2,
la franja de columnas no sea demasiado ancha. Las dos medias franjas centrales abarcan
desde el borde de cada franja de columnas
hasta el eje central del tablero correspondiente. La distribución se hace de tal manera que
el momento total en la franja completa se divide primero entre la franja de columnas y la
franja central, y después se divide el momento de la franja de columnas entre la losa y la
viga. A continuación se presentan los porcentajes de distribución:
a) Franja de columnas. Los porcentajes
de momento en la franja completa
que corresponden a la franja de columnas se presentan en la tabla 19.2.
b) Franjas centrales. La diferencia entre
100 por ciento y el porcentaje asignado a las franjas de columnas.
C) Distribución entre viga y losa en la
franja de columnas. A las vigas se
les asignará el 85 por ciento del momento en la franja de columnas s i
(al t2/tl) es igual o mayor que 1 .O.
Si este parámetro está comprendido
entre 1.O y cero, el porcentaje de mo-
644
Método generalizado para el diseño de losas apoyadas perimetralmente y de losas planas
I
112 franja
1-12
de columnas
LA
i
I
franja
central
de columnas central
Sección B-B (tablero de borde)
Sección A-A (tablero interior)
Figura 19.9 Franjas de columnas y central para la distribución de los momentos a lo ancho de la franja.
Tabla 19.2 Porcentaje de los momentos totales que se asignan a las franjas de columnas.
Relación de rigideces
Momentos
negativos en apoyos
interiores
(al e,/[1
=O
(a1 e2/e1)3 1.O
Momentos
negativos en
apoyos
exteriores
(a1 t2/tl) = o
Momentos
positivos
(a1 e2/e1) 2 1.o
0.5
75
Pt = 0
pt 3 2.5
Pt = o
P, 3 2.5
(al t2/e1)= O
(a1 e2/e1)3 1 .O
Puede usarse interpolación lineal entre los valores mostrados.
Valores de e2/e1
1.O
2.O
90
75
75
75
45
1 O0
75
1 O0
90
1o0
75
1 O0
75
1 O0
75
1 O0
45
60
60
75
60
90
45
Método directo
mento asignado a las vigas se calculará por interpelación lineal entre 85 y
cero por ciento.
d) lnterpolaciones entre los valores de la
tabla. En todos los casos se pueden
hacer interpolaciones lineales entre los
valores mostrados si los calculados no
coinciden con ellos. Si las vigas tienen cargas aplicadas directamente, los
momentos producidos por estas cargas se sumarán a los anteriores.
e) Modificaciones en los momentos. Los
momentos calculados con los porcentajes anteriores pueden modificarse
hasta 10 por ciento, siempre que se conserve el valor del momento estático
total.
Se puede ver que la distribución de los
momentos a lo ancho de la franja de losa
está en función de la relación de claros,
t2/tl,del parámetro a l cuyo significado se
planteó en la sección 19.3.1 (ecuación 19.3),
y cuya explicación más detallada se presenta en la sección 19.3.9, y en el caso de los
momentos negativos exteriores, del parámetro pt que es un medida de la relación entre la
rigidez a torsión de la viga de borde y la rigidez
a flexión de una franja de losa perpendicular a
la viga de borde. La explicación completa de
este parámetro y la forma de calcularlo, se presentan también en la sección 19.3.9.
19.3.6 Determinación de la fuerza cortante
en vigas y losas
En la sección anterior se explicó la manera
de obtener los momentos flexionantes en las
vigas de la estructura, pero el método directo no permite obtener las fuerzas cortantes. Para esto, el Reglamento ACI 318-02
considera la distribución por áreas tributarias definidas por líneas trazadas a 45" desde
los vértices de los tableros, como se muestra
en la figura 19.1 0, siempre que el parámetro
(al t2/tl) sea igual o mayor que la unidad.
645
Esto es, cuando las vigas son suficientemente
rígidas, se considera que la carga distribuida
que actúa en la losa se transmite a las vigas
de la manera indicada, y a partir de la carga
que actúa sobre las vigas, puede calcularse la
fuerza cortante en las mismas para fines de
diseño o revisión.
Si las vigas son flexibles (al t2/t1
< 1 .O),
la fuerza cortante se puede obtener por interpolación entre el caso anterior y el caso
en que las vigas no soportan ninguna carga
que corresponde a al = 0.
También es necesario determinar la fuerza cortante en las losas. Para esto se distinguen tres casos. Si las vigas son rígidas
(a1 t2/tl3 1 .O), la carga se transmite de las losas a las vigas como se muestra en la figura
19.1 0. Puede considerarse que la losa se divide en franjas de ancho unitario, como las
franjas C y L de la figura 19.1 0, y revisar cada
franja como si fuese una viga. La fuerza cortante en el extremo de una franja, C, que es
la más desfavorable, sería w, ti/2.
En el caso de que no existan vigas, o
sea, el de losas planas, debe revisarse la losa
por penetración, como se ha estudiado en la
sección 7.6.1 c.
El tercer caso es el de vigas flexibles en las
que la revisión debe hacerse teniendo en cuenta que las vigas transmiten a las columnas únicamente una parte de la carga total, y que
la diferencia de carga produce esfuerzos de
cortante por penetración alrededor de la columna como si se tratase de losa plana.
19.3.7 Determinación de los momentos en
columnas
Hasta aquí se ha estudiado la determinación de los momentos flexionantes y fuerzas
cortantes en la losa y en las vigas de la estructura. En esta sección se estudia la determinación de los momentos flexionantes en
las columnas, para lo cual se distinguirá entre
columnas exteriores o de borde y columnas
interiores.
646
Método generalizado para el diseño de losas apoyadas perimetralmente y de losas planas
Figura 19.10 Áreas tributarias para determinar la fuerza cortante en vigas.
Si se considera la franja del eje 2 de la
figura 19.6, la columna localizada en el eje
A es una columna exterior. En el nudo formado por la intersección de la losa con esta
columna (figura 19.7a), existe un momento
de desequilibrio que es el momento M3 de la
figura 19.7b, o sea, el momento negativo exterior en la losa. Este momento de desequilibrio debe distribuirse entre la columna
superior y la columna inferior que concurren
al nudo en proporción a sus rigideces.
En columnas interiores, como las del eje
B en las figuras 19.6 y 19.7, también pueden
presentarse momentos de desequilibrio cuando los claros adyacentes son de diferente
longitud o cuando la carga viva está actuando en uno solo de los dos claros. Cuando
ocurre cualquiera de estas dos situaciones,
los momentos negativos interiores son diferentes. E l Reglamento ACI 31 8-02 especifica
calcular el momento de desequilibrio que
debe distribuirse entre las columnas superior
e inferior, con la siguiente ecuación
donde wd y we son las cargas muerta y viva,
se refieren al
respectivamente, y w'd, t; y
claro más corto de los dos adyacentes.
La ecuación 19.8 expresa la diferencia
entre los momentos de empotramiento perfecto de los dos claros adyacentes, suponiendo que el más largo está cargado con la
carga muerta y el 50 por ciento de la carga
viva, y que el más corto está cargado únicamente con carga muerta. El término 0.07 es
una aproximación del coeficiente 1112, que
corresponde a momentos de empotramiento
perfecto, reducido para tomar en cuenta que
el empotramiento es imperfecto.
e',,
Método directo
19.3.8 Efectos de cargas desfavorables
Se mencionó en la sección 19.2.4 que existen combinaciones de carga en los tableros de
una estructura que producen momentos flexionantes mayores que los que se tendrían
con todos los tableros cargados, y que este
efecto es mayor mientras menor es la rigidez
flexionante de las columnas. Para tomar en
cuenta este efecto, el Reglamento ACI 3 18-02
especifica que cuando la relación entre la carga muerta y la carga viva, pa, es menor que
2, se debe cumplir una de las siguientes condiciones:
647
vigas que concurren en el nudo en
consideración, tomadas en la dirección
en que se determinan los momentos,
C(Ks+ Kb). Por lo tanto
En la sección 19.3.9 se explica con detalle el
cálculo de a.,
b) Si no se cumple la condición anterior, los momentos positivos en los
tableros apoyados en las columnas
correspondientes deben incrementarse multiplicándolos por el factor
a) La suma de las rigideces a flexión de
las columnas situadas arriba y abajo
de la losa, debe ser tal que a, no
,-;,
essea menor que los valores de a
pecificados en la tabla 19.3. El factor
a, es la relación entre la suma de las
rigideces de las columnas situadas arriba y abajo de la losa, CKcl y la suma
de las rigideces de las losas y de las
La relación p, entre carga muerta y
carga viga, debe calcularse antes de
multiplicar las cargas en condiciones
de servicio por los factores de carga.
Tabla 19.3 Valores de ami,,.
Rigidez relativa de la viga, a
Relación de claros
Pa
i
O
O.5
1.0
2.O
4 .O
2.0
0.5 - 2.0
O
O
O
O
O
1 .O
0.5
0.8
1.O
1.25
2.0
0.6
0.7
0.7
0.8
1.2
O
O
O. 1
0.4
0.5
O
O
O
O
0.2
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
0.5
0.5
0.8
1 .O
1.25
2.0
1.3
1.5
1.6
1.9
4.9
0.3
0.5
0.6
1 .O
1.6
O
0.2
0.2
0.5
0.8
O
O
O
O
0.3
O
O
O
O
O
0.33
0.5
0.8
1.O
1.25
2.0
1.8
2.O
2.3
2.8
13.0
0.5
0.9
0.9
1.5
2.6
O. 1
0.3
0.4
0.8
1.2
O
O
O
0.2
0.5
O
O
O
O
0.3
648
Método generalizado para el diseño de losas apoyadas perimetralmente y de losas planas
Con la condición a se trata de lograr
que las columnas sean lo suficientemente
rígidas para que los momentos flexionantes
no se incrementen en más de 33 por ciento
por efecto de condiciones desfavorables de
carga. Si no se cumple esta condición, es
necesario incrementar los momentos positivos que son los más afectados por condiciones desfavorables de carga.
El incremento de momentos positivos se
obtiene aplicando la ecuación 19.1 0. Debe
observarse que el valor mínimo que puede
tener p, es de 113 por la limitación e de la
sección 19.3.1, que señala que el método
directo sólo puede usarse si la carga viva no
excede de tres veces la carga muerta. S i la
rigidez de las columnas es cero, el valor de
6, resulta de 1.38, que es entonces el máximo valor posible. Este valor es en realidad
hipotético, ya que las columnas no pueden
tener rigidez nula. El valor de SSresulta igual
a uno, o sea que no se incrementan los momentos positivos, cuando pa vale 2, o cuando
a, es igual a amin.
Estas disposiciones del Reglamento ACI31 8-02 están basadas en estudios analíticos
y experimentales que se resumen en la referencia 19.7.
19.3.9 Cálculo de parámetros relacionados
con las rigideces de los elementos
En los distintos pasos del método directo, expuestos en las secciones anteriores, intervienen algunos parámetros relacionados con las
rigideces de los elementos cuya explicación
detallada se había pospuesto para esta sección con el fin de no interrumpir la descripción
secuencia1del método. Así, en la sección 19.3.1
apareció el parámetro a en la limitación f
referente a la rigidez relativa del sistema de
piso en dos direcciones perpendiculares. El
mismo parámetro apareció en la tabla 19.2
que indica los porcentajes de los momentos
longitudinales que corresponden a la franja
de columnas. En esta tabla apareció también
el parámetro pt que está relacionado con la
rigidez a torsión de una viga de borde y con
la rigidez a flexión de la losa. Por último, en la
sección 19.3.8 apareció el parámetro a,
relacionado con la rigidez a flexión de las
columnas, losas y trabes. A continuación se
presenta la manera de calcular estos parámetros.
a) Cálculo del parámetro a
Este parámetro se define como la relación entre la rigidez a flexión de una viga situada en
el eje de columnas y la rigidez a flexión de
la franja de losa limitada por los ejes centrales de los tableros adyacentes. Se expresa,
pues, con la ecuación
donde Ecb y Ecsson los módulos de elasticidad del concreto de la viga y de la losa,
respectivamente; lb es el momento de inercia
de la viga, de acuerdo con la definición que
se da más adelante, e 1, es el momento de
inercia de la franja de la losa.
Cuando la construcción es monolítica,
la viga incluye un tramo de losa a cada lado
de las caras laterales de la viga, igual a su
proyección por abajo o por arriba de la losa,
la que sea mayor, pero no mayor que cuatro
veces el espesor de la losa. Por lo tanto, el
momento de inercia lb es el de la sección L
o el de la sección T mostradas en la figura
1 9.1 1, según se trate de vigas de borde o vigas interiores, respectivamente. Dada la frecuencia con que se presenta la necesidad de
calcular momentos de inercia de secciones
de esta forma, se incluye en el Apéndice D.4
una ayuda de diseño para tal fin.
El momento de inercia de la losa es el
de una franja de ancho l2(figura 19.6), y de
peralte h. Obsérvese que, con estas definiciones, un tramo de losa resulta común a la
viga y a la losa.
Método directo
649
Figura 19.1 1 Definición de viga.
En el método directo aparecen los parámetros al y a!:! que corresponden a los valores
de a! en dirección de los claros tl y t2,respectivamente, siendo tl el claro en la dirección en que se calculan los momentos y t2el
claro en la dirección perpendicular (figura 19.6).
b) Cálculo del parámetro pt
Este parámetro se define como la relación entre la rigidez a torsión de una viga de borde
y la rigidez a flexión de una franja de losa
cuyo ancho es igual al claro de la viga de
borde medido centro a centro de los apoyos.
Se expresa por medio de la ecuación:
donde Ecb y E,, son los módulos de elasticidad del concreto de la viga y de la losa,
respectivamente; 1, es el momento de inercia
de la franja de losa mencionada, y C es una
constante que define la rigidez a torsión de
la viga de borde, en forma semejante a como
el momento de inercia define la rigidez a flexión. E l cálculo de esta constante C requiere
algunas consideraciones que se presentan a
continuación.
La primera se refiere a la definición de
la viga de borde. Cuando existe una viga, se
aplica la de la figura 19.1 1, o sea, se considera que un ancho de patín igual a la proyección de la viga por debajo o por encima
de la losa, pero sin exceder de 4t, forma parte integral de la viga. Cuando no existe viga
de borde, como en el caso de losas planas,
Figura 19.12 Secciones transversales para calcular la constante C.
650
Método generalizado para el diseño de losas apoyadas perimetralmente y de losas planas
se asume que la viga queda definida por una
franja de losa cuyo ancho es igual al de la
columna o capitel, en dirección perpendicular a la viga (figuras 19.1 2 y 19.1 8).
Una vez definida la viga, se divide en
rectángulos y en cada uno de ellos se llama
x al lado menor y y al lado mayor (figura
19.12). Una vez hecho esto, se calcula C
con la ecuación
donde la sumatoria se refiere a todos los rectángulos en que se haya dividido la viga.
En el caso de vigas de borde es posible
hacer la división en rectángulos de distintas maneras, como se ilustra en las figuras
19.12a y b. Debe calcularse entonces el valor de C para cada una y tomar el valor mayor.
Una vez obtenido el valor de C, se sustituye en la ecuación 19.12, con lo que se
tiene ya el valor del parámetro Bt.
C)
donde ?Pes un factor que depende de las
condiciones de apoyo en los extremos del
miembro, y t es su longitud.
1 9.3.10 Peraltes mínimos
El Reglamento ACI 31 8-02 especifica que las
losas sin vigas interiores deben tener los per a l t e ~totales mínimos señalados en la tabla
19.4, pero estos peraltes no serán menores
de 12.5 cm para losas sin ábacos o de 10 cm
para losas con ábacos. En forma alternativa,
los peraltes totales mínimos serán por lo
menos iguales a los valores calculados con
las ecuaciones 19.1 6 y 19.1 7, el que resulte
mayor, aunque no necesitan ser mayores que
el calculado con la ecuación 19.18. Los
peraltes totales mínimos de losas con vigas
deben calcularse con las ecuaciones 19.1 6,
19.1 7 y 19.1 8 en la forma explicada.
Cálculo del parámetro a,
E l parámetro a, se define como la relación
entre la suma de las rigideces de las columnas situadas encima y debajo de la losa, y
la suma de las rigideces de las vigas y de las
losas que concurren a un nudo. Estas últimas rigideces se calculan en la dirección en
que se analizan los momentos (figura 19.6).
Por lo tanto, el valor de a, se calcula con la
ecuación:
donde Kc es la rigidez de cada columna; Ks
es la rigidez de la franja de losa de ancho t2
y peralte h, y Kb es la rigidez de la viga definida en el inciso a de esta sección y en la
figura 19.1 1. Los valores de las rigideces K se
calculan con la ecuación usual
En estas ecuaciones, a, es el valor promedio
del parámetro a en las vigas que limitan el
tablero de losa en consideración; y B es la relación entre el claro libre mayor y el claro libre
menor.
Por inspección de las ecuaciones 19.1 6,
19.1 7 y 19.1 8, puede deducirse que el espe-
Método directo
65 1
rigidez sensiblemente mayor que la rigidez
de la losa. Por lo tanto, en losas apoyadas
sobre vigas rígidas conviene revisar el peralte con la ecuación 19.1 7 antes de calcular
los valores de a, aprovechando que en dicha
ecuación no interviene este parámetro. De
otra manera, se corre el riesgo de encontrar
que el peralte es insuficiente después de hacer todos los cálculos de a, que son laboriosos, y tener que repetirlos con el peralte
modificado.
Se permite usar valores menores que los
mencionados s i se calculan las deflexiones y
los resultados obtenidos no son mayores
que los especificados en una tabla incluida
en el Reglamento. El cálculo de deflexiones en
losas es complicado y cae fuera del alcance
de este texto. E l lector interesado puede consultar las referencias 19.8 y 19.1 3.
sor requerido es mayor mientras mayor sea el
claro libre, 4,;mientras menor sea la rigidez
de las vigas, obteniéndose el valor máximo
para el caso de losas planas; mientras la forma
de la losa se aproxime más a un cuadrado, y
mientras mayor sea el límite de fluencia del
acero.
Los valores calculados con las ecuaciones 19.1 6, 19.1 7 y 19.1 8, pueden reducirse
en 10 por ciento en losas planas que tengan
ábacos cuyas dimensiones en planta sean iguales por lo menos a un sexto del claro a partir
del eje de columnas, en cada dirección y a
ambos lados de la columna, y cuyo peralte
por debajo de la losa sea por lo menos igual
a la cuarta parte del espesor de la losa en la
parte localizada fuera del ábaco.
Puede verse que la ecuación 19.1 8 es
más fácil de aplicar y podría usarse para un
valor aproximado del peralte; sin embargo,
da valores mucho mayores que las ecuaciones 19.1 6 y 19.1 7. La ecuación 19.1 7 da
valores mayores de h que la ecuación 19.1 6
desde valores de a,,, iguales a 2, aproximadamente. Estos valores se obtienen para vigas de
19.3.1 1 Disposiciones sobre el refuerzo
El refuerzo mínimo en losas debe ser el que
se especifica en la tabla 16.1 como refuerzo
de contracción y temperatura. Además, la se-
Tabla 19.4 Espesores mínimos de losas sin vigas interiores.
Con ábacos
Sin ábacos
Esfuerzo
de fluencia,
fy, kg/cm2
Tableros exteriores
Tableros interiores
Tableros exteriores
Tableros interiores
Sin vigas
de borde
Con vigas
de borde
en
en
en
en
36
36
40
40
en
en
en
en
en
33
33
33
36
36
Sin vigas
de borde
Con vigas
de borde
2800
en
-
en
33
36
42 O0
en
30
-
652
Método generalizado para el diseño de losas apoyadas perimetralmente y de losas planas
Reacciones de los apoyos
Figura 19.1 3 Reacciones en una losa libremente apoyada.
paración de barras no debe exceder de dos
veces el espesor de la losa, excepto en zonas
aligeradas. En el caso de losas aligeradas, debe
colocarse refuerzo por contracción y temperatura en la capa superior de concreto.
El refuerzo para momento positivo perpendicular a un borde discontinuo, debe prolongarse hasta el borde de la losa y anclarse
por lo menos 15 cm en la viga de borde, columna o muro, mediante un gancho o un
doblez. El refuerzo para momento negativo
que esté en este caso, debe anclarse una longitud suficiente para desarrollar el esfuerzo
de fluencia en la sección crítica. Si en el borde
libre no existe viga de borde o muro, el anclaje del refuerzo puede hacerse dentro de
la losa.
Para losas con vigas rígidas en las que a
sea mayor que la unidad, se presenta un problema en las esquinas exteriores que se ilustra en la figura 19.1 3. Se sabe, por Teoría de
la Elasticidad, que en una losa simplemente
apoyada en sus cuatro bordes, con carga vertical, las reacciones sobre los apoyos tienen
la distribución mostrada en esta figura, en la
que se ve que se desarrollan fuerzas hacia
abajo en las esquinas. La losa tiende a levan-
tarse en ellas y las fuerzas R son las que la
restringen para que no se levante.
Para evitar que la losa se agriete por
este efecto, el Reglamento ACI 31 8-02 especifica colocar un refuerzo especial de esquina en la parte superior y en la parte inferior
de la losa, de tal magnitud que la resistencia
a flexión sea igual al momento positivo máximo por unidad de ancho. El refuerzo se
debe colocar en dirección de la diagonal en
la parte superior, y perpendicular a la diagonal en la parte inferior, como se muestra en
la figura 19.1 4, y debe prolongarse hasta una
distancia de un quinto del claro en cada dirección desde la esquina de la losa. E l refuerzo diagonal puede sustituirse por barras
paralelas a los bordes, colocando barras en
las dos direcciones en la parte superior y en la
parte inferior de la losa.
Este refuerzo especial sólo es necesario
en esquinas exteriores, como la señalada en
la intersección de los ejes 1 y A en el ejemplo 17.1. Algunos proyectistas lo omiten
cuando el agrietamiento de la losa no es un
factor importante en el diseño.
Para losas planas, el Reglamento señala
que los cortes y dobleces de varillas deben
Ejemplo de diseño con el método directo
653
Lecho superior
- - - - Lecho inferior
k
115 del claro
a) En dos direcciones
115 del claro
b) En una sola dirección
Figura 19.14 Refuerzo de esquinas exteriores de losas.
hacerse de tal manera que se satisfagan las
longitudes mínimas indicadas en la figura
19.1 5. Cuando los claros contiguos sean desiguales, debe usarse la longitud del claro
mayor para calcular la prolongación del refuerzo negativ
