PROBABILIDAD
III sec
NOMBRE:
2024
Ficha 8: Probabilidad 2024
PROBABILIDAD
A.
LA PROBABILIDAD EXPERIMENTAL
Utilizar los siguientes términos para describir lo que estamos haciendo y los resultados que estamos
obteniendo:
El número de ensayos es el número total de veces que se repita el experimento.
●
Los resultados son los diferentes resultados posibles para un ensayo del experimento.
●
La frecuencia de un resultado particular es el número de veces que se observa este resultado.
●
La frecuencia relativa de un resultado es la frecuencia de ese resultado dividido por el número
●
total de ensayos. Se expresa ya sea como una fracción, un decimal o un porcentaje.
Por ejemplo, supongamos que una lata se lanzaron al aire 250 veces, y viene a descansar sobre un
extremo 29 veces. Decimos:
El número de ensayos es de 250
Los resultados son extremos y costados
La frecuencia de los extremos es de 29, y de lados es 221
La frecuencia relativa de los extremos es = 29/250 = 0.116
= 11.6 %
La frecuencia relativa de los lados = 221/250=0.884=88.4%
A falta de más datos, la frecuencia relativa de cada resultado es la mejor estimación de su probabilidad.
La probabilidad experimental es la frecuencia relativa de los resultados. Cuanto mayor sea el número
de ensayos, más precisa será la estimación.
EJERCICIOS 8A
1.
Carlos disparó 200 flechas a un blanco y dio en el blanco 168 veces. Estimar la probabilidad
de que Carlos de en el objetivo con su tiro siguiente.
2. Iván tiene gallinas ponedoras. De los primeros 123 huevos que pusieron descubrió que 11 tenían
dobles yemas. Calcular la probabilidad experimental de conseguir un huevo de un doble yema
de sus gallinas.
3. Jackson se va a trabajar a la misma hora cada día. Durante un período de 227 días de trabajo ,
tuvo que esperar a que un tren en el paso a nivel en 58 días . Estimar la probabilidad de que
Jackson no tendrá que esperar a que un tren mañana.
2
Ficha 8: Probabilidad 2024
4. Raúl tiene una ruleta circular marcadas con P, Q y R. Cuando la ruleta se hizo girar 417 veces,
se terminó en P 138 veces, terminó en Q 107 veces. Estimar la probabilidad de que la siguiente
tirada finalizará en R.
5. Cuando Karla dejó caer algunas tuercas de metal se dio cuenta que terminaron ya sea en sus
extremos o en su lados. Estaba interesado en saber la probabilidad de que una tuerca terminaría
en su extremo. Por lo tanto, ella arrojó una tuerca 200 veces, y se encontró que terminado en su
extremo 137 veces.
Más tarde Sam repitió el experimento y la tuerca terminada en su extremo 145 veces.
Para que usted considere:
a. ¿Cuál sería la mejor estimación, de Karla, que la posibilidad de que la tuerca va a
terminar en su extremo?
b. ¿Cuál sería la estimación de Sam?
c. ¿Cómo podemos obtener una mejor estimación de la probabilidad de que se
produzca un final?
d. Hilda dijo que se obtiene la mejor estimación cuando la tuerca se arrojó miles de
veces. ¿Está correcto?
B.
PROBABILIDAD PRESENTADA EN UNA TABLA DE DATOS
Si se nos da una tabla de frecuencias entonces usamos frecuencias relativas para estimar la
probabilidad de los eventos.
Frecuencia relativa =
Frecuencia
Numero de eventos
Una empresa de marketing examina 80 personas seleccionadas al azar para
descubrir qué marca de limpiador de zapatos que usa. Los resultados se
muestran en la tabla adjunta:
Estimar la probabilidad de que un miembro seleccionado al azar use:
a)
b)
Nugget
Shine o Kiwi
3
Ficha 8: Probabilidad 2024
PROBABILIDADES DE TABLAS DE DOBLE ENTRADA
Son tablas de doble entrada que comparan dos variables. Por lo general son el resultado de una
encuesta.
Por ejemplo, se pidió a los estudiantes del tercer año de
secundaria responde una pequeña encuesta, si eran
buenos en matemáticas. Los resultados se resumen en
la tabla de doble entrada siguiente:
Es varón
Es varón y es bueno en matemáticas
EJERCICIOS 8B
1. Una empresa de marketing, encuesto a las personas a responder qué marca de jabón utilizan.
Los resultados de la encuesta se muestran en la tabla adjunta.
a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?
b. estimar la probabilidad de que una persona seleccionada al
azar utiliza:
i. Protex
ii. Dove o palmolive
2. En la tabla que se muestra abajo, se observan las cantidades de sabores de helados que se
vendieron en una tarde.
a. ¿Cuántos helados vendieron?
b. Estima la probabilidad del sabor del siguiente helado
vendido:
i. Fresa
ii. Chocolate o vainilla
4
Ficha 8: Probabilidad 2024
3. El resultado de una encuesta para una elección municipal se muestran en la tabla. se sabe
que 600 personas fueron encuestadas. Los resultados se muestran en la tabla
a.
Copia y completa la tabla
b.
Estima la probabilidad que una persona
seleccionada al azar de los encuestados votara por:
i. John Hemry
ii. Un candidato femenino
4. 310 estudiantes de una escuela en Sur África fueron
encuestados con la siguiente pregunta “te gusta ver
basquetbol en la TV?” los resultados son mostrados en la
tabla adjunta:
a. Copia y completa la tabla para incluir totales
b. Estima la probabilidad que un estudiante seleccionado al azar:
i. Le guste ver basquetbol en la TV y sea estudiante de secundaria
ii. Le guste ver basquetbol en la TV y sea estudiante de bachillerato
iii. No le guste ver basquetbol en TV
c. Encuentra el total de las probabilidades encontradas en b, explica tu respuesta.
5. Una selección de estudiantes al azar en un club juvenil se les pregunto si usaban lentes, lentes
de contacto o ninguno. Los resultados se clasificaron además por género:
a. Cuantos estudiantes fueron encuestados
Estimar la probabilidad de que un estudiante elegido al azar en el club:
i. Usa lentes
ii. Sea mujer y use lentes
de contacto
iii. Sea hombre y no use lentes.
b. Es mujer o lleve lentes
5
Ficha 8: Probabilidad 2024
6. La tabla adjunta describen los tipos de vehículos anunciados para la venta en un periódico.
a. Estima la probabilidad de que un vehículo seleccionado al azar para la venta:
i. Es sedán
ii. Es manual y hatchback
iii. Es automático , pero no un sedán
7. Una selección aleatoria de hoteles en París se les da un número de estrellas doradas por la
calidad, una calificación por estrellas verdes de lo agradable y verde del medio ambiente.
a. Estimar la probabilidad de que un hotel de París seleccionados al azar tenga:
i. Dos estrellas doradas y cuatro estrellas
verdes
ii. Tres estrellas doradas o más
iii. El mismo número de estrellas doradas
como las estrellas verdes.
iv. Más estrellas verdes que estrellas dorada
8. La tabla adjunta presenta la distribución por edades de los reclusos en una prisión el 31 de diciembre,
2011. Un nuevo prisionero entró en la prisión el 1 de Enero, 2012
Estimar la probabilidad de que:
a. El prisionero sea hombre
b. El prisionero tenga de 17 a 19 años
c. El prisionero tenga de menos de 19 años y sea
mujer
d. El prisionero tenga de 30 a 49 años y sea mujer
6
Ficha 8: Probabilidad 2024
C.
ESPACIO MUESTRAL
Un espacio maestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento
Podemos visualizar espacios muéstrales por:
Lista de conjuntos de resultados posibles
●
El uso de cuadrículas de 2 dimensiones
●
Utilizando diagramas de árbol
●
Utilizando diagramas de Venn.
●
EJERCICIOS 8C
1.
Listar el espacio muestral para los siguientes eventos:
a)
Haciendo girar una ruleta con la etiqueta A, B, C , D.
b)
Los géneros de 2 hijos de una familia.
c)
El orden en el que 4 bloques A, B, C, y D, pueden ser alineados.
d)
las 8 diferentes formas que pueden tener una familia 3 hijos.
e)
Lanzar una moneda
I.dos veces
II.tres veces
III.cuatro veces
2.
Usa un diagrama de dos dimensiones para ilustrar el espacio muestral de:
a)
Lanzar un dado y una moneda simultáneamente
b)
Lanzar dos dados
c)
Lanzar un dado y girar una ruleta con lados A, B, C, D
d)
Girar dos ruletas cuadradas, uno etiquetado A, B, C, D y el otro
1, 2, 3,4
3.
Ilustrar en un diagrama de árbol el espacio muestral de:
a)
Lanzar una moneda de 5 cent. Y 10 cent. Simultáneamente.
b)
lanzar una moneda y haciendo girar una ruleta de triángulo
equilátero etiquetada con las letras A, B y C.
c)
girando dos ruletas de triángulos equiláteros etiquetadas con 1, 2,
3, y X, Y, Z respectivamente.
d)
Extraer dos tickets de un sombrero que contiene tickets rosado, azul
y blanco.
e)
Seleccionar la jarra a o jarra b, luego sacar una esfera de la jarras.
7
Ficha 8: Probabilidad 2024
4.
Hay 48 estudiantes en una escuela de producción. 26
tienen clases de canto, 23 tienen clases de danzas, y 10 ninguno.
Ilustra esta información en un diagrama de Venn como la dada.
5.
Dibuja un diagrama de Venn para demostrar una clase de
20 estudiantes, en la que 7 estudian Historia y Geografía, 10 estudian Historia, y 15 estudian
Geografía.
D.
PROBABILIDAD TEÓRICA
Una vez que tengamos representado el espacio muestral de un experimento, podemos usarlo para
calcular probabilidades.
Si un espacio muestral tiene “n” resultados, que son igualmente probable que ocurra cuando el
experimento se realiza una vez, entonces cada resultado tiene 1 probabilidades de que ocurra.
n
Un evento ocurre cuando obtenemos sucesos con una propiedad o característica particular. Cuando
los sucesos de un experimento tienen la misma posibilidad de ocurrencia, la probabilidad de que un
evento “E” ocurra está dada por:
Por ejemplo: El espacio muestral del lanzamiento de un dado muestra los seis resultados posibles que
son {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dado que la matriz es simétrica esperamos que cada resultado sea igualmente
probable que ocurra. Esperamos que cada resultado que se produzca sea 1/6 y utilizamos esta
fracción como la probabilidad teórica de su ocurrencia.
SUCESOS.- Un suceso es una colección de resultados con una propiedad o característica particular.
EJERCICIOS 8D
1.
a)
b)
c)
d)
Las tres letras O, D, y G se eligen al azar en una fila. Encuentra la probabilidad de:
Deletrear DOG
De que no aparezca O en la primera
O aparece en la primera
Deletrear DOG o GOD
8
Ficha 8: Probabilidad 2024
2.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Determina la probabilidad que una familia de 3 hijos seleccionados al azar consista en:
Todos sean varones
Dos mujeres y un varones
Todas mujeres
Una mujer que sea la mayor
Varón, mujer, luego varón
Al menos un niño
3.
Una bolsa contiene 8 símbolos de la misma figura. 5 símbolos son verdes, 2 son rojos, 1 es
morado. Un símbolo es seleccionada al azar de la bolsa, sea el evento “E” extraer un símbolo rojo.
a)
Explica el significado del evento E´
b)
Encuentra P (E).
c)
Encuentra P (E´).
4.
Cuatro amigos Alex, Bodi, Claire, y Daniel se sientan al azar en una fila, determina la
probabilidad que:
a)
b)
c)
d)
Alex está en uno de los extremos.
Claire y Daniel son los extremos.
Bodi está en un extremo, y Claire está sentada al lado de él.
Alex y Claire se sientan uno al lado del otro.
5.
Gráficos
a)
Dibuja una diagrama de rejillas para ilustrar el espacio muestral cuando una moneda de 10
cent. y 50 cent. Son lanzados simultáneamente.
b)
Determina, la probabilidad de obtener:
i.Dos caras.
ii.Exactamente una cara
iii.Dos cruces
iv.Al menos una cara
6.
Una moneda y una ruleta pentagonal con sectores 1, 2, 3, 4, y 5 son lanzadas y giradas
respectivamente.
a)
Dibuja unas rejillas de 2 dimensiones para mostrar el espacio muestral de los posibles
resultados
b)
Usa un diagrama para determinar la probabilidad de obtener:
i.Una cara y un 4
ii.Una cruz y un número impar
iii.Un número par
9
Ficha 8: Probabilidad 2024
iv.Una cruz o un tres.
7.
a)
Realizamos diagramas de rejillas
utilizar una cuadrícula para mostrar los posibles resultados cuando se lanzan un par
de dados.
Por lo tanto, determina la probabilidad de:
b)
i.Un dado muestra un 4 y el otro un 5
ii.Ambos dados muestran el mismo número
iii.Al menos uno de los dados muestra un 3
iv.Ambos dados muestran números pares
v.Al menos un 4 o 6 sean mostrados
vi.la suma de los números sean 7
8.
las ruletas mostradas son giradas una vez, y los números girados son multiplicados juntos.
a)
Encuentra la probabilidad que el resultado sea:
i.9
ii.6
iii.Mayor que 9
iv.Primo
b)
¿es el resultado más probable que sea par o impar?
9.
El diagrama de Venn muestra el deporte jugado por los estudiantes de una clase de 10 años.
a)
¿Cuántos estudiantes son en la clase?
b)
Un estudiante es seleccionado al azar. Encuentra la
probabilidad que el estudiante:
i.Juegue futbol.
ii.Juegan ambos deportes
iii.Juegan futbol o basquetbol
iv.Juega exactamente uno de estos deportes
10
Ficha 8: Probabilidad 2024
10.
En una clase de 24 estudiantes, 10 estudian biología, 12 estudian química, y 5 no estudian ni
biología ni química.
a)
Copia y completa el diagrama de Venn
b)
Encuentra la probabilidad que un estudiante
escogido al azar de la clase estudie:
i.Química, pero no biología
ii.Ambos, química y biología.
11.
50 turistas fueron de vacaciones a “Amantes de la adrenalina”, 40 hicieron canotaje, 21
hicieron parapente, y cada turista hizo al menos uno de estas actividades. Encuentra la probabilidad
de un turista escogido al azar:
i.Participo en ambas actividades.
ii.Fue al canotaje pero no al parapente.
E.
SUCESOS COMPUESTOS.
Ahora vamos a mirar en el cálculo de probabilidades para las pruebas combinadas, que
también se llaman sucesos compuestos, consideraremos sucesos dependientes y sucesos
independientes.
I.SUCESOS INDEPENDIENTES
Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de cada suceso no afecta la ocurrencia del otro.
EJERCICIOS 3E.1
1.
Un dado es lanzada y una ruleta es girada, encuentra la
probabilidad de obtener:
a)
b)
un 5 y un verde.
Un número par y cualquier color, menos rojo.
2.
Un disco es seleccionado de uno de los contenedores.
Encuentra la probabilidad de seleccionar:
a)
Un disco rojo de A y un disco verde de B
b)
Un disco azul de ambos contenedores
11
Ficha 8: Probabilidad 2024
3.
Una escuela tiene 2 fotocopiadoras, en cualquier día, la máquina “A” tiene un 8% de
probabilidad de tener un atasco de papel, y la máquina “B” tiene un 12% de probabilidad de tener un
atasco de papel.
Determina la probabilidad que, en un día cualquier, ambas máquinas:
a)
Tengan atasco de papel
b)
Funcionen ininterrumpidamente.
4.
Un chico y una chica son consultados que día de la semana ellos nacieron, encuentra la
probabilidad que:
a)
El chico nació el lunes y la chica nació el miércoles.
b)
El chico nació el miércoles, pero la chica nació en día laborable.
c)
Ambos chicos nacieron en un miércoles.
5.
Cada día, Steve intenta lo fácil, medio, difícil del crucigrama en el periódico. Él tiene una
probabilidad de 0,84 de completar el crucigrama fácil, probabilidad de 0.59 de completar el crucigrama
medio, y la probabilidad de 0,11 de completar el crucigrama difícil.
Encuentre la probabilidad de que, en un día determinado, Steve haga lo siguiente:
a)
Completar los tres crucigramas
b)
Dejar los tres crucigramas incompletos
c)
Completar el crucigrama fácil y medio, pero no el difícil
d)
Completar el crucigrama medio pero no los otros dos
6.
Un chinche fue lanzado 600 veces, En la cual cayó de cabeza 243 veces y de lado el resto de
veces.
a)
Estima la probabilidad que, cuando fue lanzado por primera vez, el chinche cayó de:
i.Cabeza
ii.Lado
b)
Supongamos que el chinche se lanzó dos veces. Estima la probabilidad que:
i.Caiga de cabeza las dos veces
ii.Caiga de lado las dos veces
7.
Una moneda fue lanzada 200 veces. En la cual 143 veces sale cara, y de sello el resto de
veces. Si la moneda es lanzada 3 veces, estima la probabilidad de obtener:
a)
b)
Todas caras
Todos sellos
12
Ficha 8: Probabilidad 2024
8.
Cada una de las ruletas es girada una vez.
a)
Copia y completa el diagrama de árbol para los
posibles resultados.
b)
Encuentra la probabilidad que:
i.Las ruletas se detienen en el mismo color
ii.Las ruletas se detienen en diferentes colores
iii.Exactamente una de las ruletas se detiene en azul
9.
Uno de los ticket es seleccionado al azar de una de las cajas que se muestran al lado
a)
Dibuja un diagrama de árbol para mostrar los posibles resultados
b)
Encuentra la probabilidad de obtener:
i.Un ticket azul y un ticket verde
ii.Dos ticket del mismo color
iii.Exactamente un ticket rozado
c)
Encuentra la suma de las probabilidades en “b”. Explica tu resultado
10.
Sharon, Cristina y Keith tienen una reunión para almorzar en un restaurante. Sharon tiene 0.8
probabilidades de llegar a tiempo, Cristina tiene 0.7 probabilidades de llegar a tiempo, y Keith tiene
0.4 probabilidades de llegar a tiempo.
a)
Dibuja un diagrama de árbol para mostrar los posibles resultados
b)
Determina la probabilidad de que al menos dos personas lleguen a tiempo
13
Ficha 8: Probabilidad 2024
II.EVENTOS DEPENDIENTES
Los eventos dependientes, son eventos para los cuales las ocurrencias de uno de ellos afecta
directamente a la ocurrencia del otro evento.
Si A y B son eventos dependientes, entonces P(A y B) = P(A) x P(B dado que A haya ocurrido)
EJERCICIOS 8E.2
1.
Una cubeta contiene 2 bolas de ping pong anaranjadas, 5 blancas y 3 amarillas. Dos bolas
son seleccionadas al azar, la segunda fue seleccionada sin reemplazar la primera. Encuentra la
probabilidad que:
a)
b)
Ambas bolas son anaranjadas
La primera bola amarilla y la segunda blanca
2.
Dos cartas son seleccionadas, sin
reemplazamiento, de una baraja estándar de 52
cartas. Encuentra la probabilidad de:
a)
Ambas cartas sean rojas
b)
La primera carta sea trébol y la segunda
diamante
c)
Ambas cartas son ases.
3.
Una caja contiene 5 lapiceros azules tres rojos y dos verdes. Un lapicero es seleccionado al
azar sin reposición, un segundo lapicero es seleccionado.
a)
Dibuja un diagrama de árbol para mostrar los posibles resultados
b)
Encuentra la probabilidad de:
i.La selección de lapiceros sea del mismo color.
ii.Exactamente uno de los lapiceros es verde.
4.
Max es el mejor jugador en su equipo. El ha tenido un accidente en la rodilla, y tiene solo un
60% de probabilidades de jugar el siguiente juego. El equipo tiene un 70% de probabilidades de ganar
si Max juega, pero solo un 45% de probabilidades de ganar si Max no juega.
a)
Representa la información en un diagrama de árbol
b)
Encuentra la probabilidad que el equipo gane el juego.
14
Ficha 8: Probabilidad 2024
5.
En un equipo de netbol, el delantero de punta toma el 65% de los lanzamientos, y anota el
70% de las veces. El delantero de meta toma los demás lanzamientos, y anota el 60% de las veces.
Halla la probabilidad que el equipo anote en el próximo lanzamiento.
6.
Una moneda es lanzada al aire. Si cae cara, una esfera es
de la jarra del costado. Si el resultado es sello, dos esferas son
seleccionadas, sin reposición. Hallar la probabilidad que al menos una
roja sea seleccionada.
sacada
esfera
7.
La rueda de abajo es usada para seleccionar la caja A, B o C. Dos discos son seleccionados
al azar sin reposición de la caja.
F.
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES E INDEPENDIENTES
Dos eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos si ellos no tienen sucesos en común.
Si A y B son eventos mutuamente excluyentes entonces P(A y B) = 0
Entonces, si A y B son eventos mutuamente excluyentes se cumple que:
P(A o B)= P(A) + P(B)
A su vez, diremos que si A y B son eventos que no son mutuamente excluyentes
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
EVENTOS INDEPENDIENTES
En la sección E, se dijo que cuando dos eventos eran independientes, se cumplía que:
P(A y B)= P(A) x P(B)
15
Ficha 8: Probabilidad 2024
Esto trae como consecuencias que para eventos que son mutuamente excluyentes:
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A) x P(B)
EJERCICIOS 8F
1.
Un dado ordinario en cuyas caras están los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 es lanzado una vez.
Considere los siguientes eventos:
A= Sale 1
D= Sale un número par
B= Sale un 3
E= Sale un número primo
C= Sale un número impar
F= Sale un número mayor de 3
Lista el par de eventos que son mutuamente excluyentes.
2.
Una moneda y un dado ordinario son lanzados simultáneamente.
a)
Elabora unas rejillas para mostrar los 12 posibles sucesos.
b)
Se A el Evento “sale cara” y B el evento “sale 5”
i.¿Son A y B mutuamente excluyentes? Explica tu respuesta
ii.Hallar P(A o B) y P(A y B)
iii.Comprueba que: P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
3.
a)
b)
Suponga que P(A) = 0.7, P(B)= 0.2 y P(A y B) = 0.15
¿Son A y B mutuamente excluyentes? Explica tu respuesta
Hallar P(A o B)
4.
Suponga que P(X) = 0.3 y P(X o Y) = 0.7. Dado que X e Y son mutuamente excluyentes,
hallar P(Y).
5.
Suponga que P(X) = 0.3 y P(X o Y) = 0.7. Explica por qué X y Y no son mutuamente
excluyentes.
6.
a)
b)
Sea P(A) = 0.4 y P(B) = 0.25. Hallar P(A y B) dado que A y B son:
Mutuamente excluyentes
Independientes
7.
A y B son eventos independientes tal que P(X) = 0.5 y P(Y)=0.3. Hallar P (X o Y).
16
