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MODELO CONSTITUTIVO PARA EL ACERO
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Marlon Guevara Fernandez
Universidad Nacional de Ingeniería (Peru)
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Unidad de Posgrado FIC-UNI
Mecánica del Medio Continuo
MODELO CONSTITUTIVO PARA EL ACERO
RESUMEN
Las relaciones teóricas entre la tensión y la compresión tensión-deformación.
Se presentan curvas de metales dúctiles en el sistema de coordenadas naturales. Además,
el modelo macroscópico elaborado en Matlab está formulado para predecir el
comportamiento cíclico de tensión-deformación del refuerzo acero. El modelo se basa en
el sistema de coordenadas naturales y representa el Bauschinger. También considera la
reducción del módulo de descarga con la capa plástica. Además, se toma la reducción de
la tensión de tracción final únicamente en función de la tensión de compresión máxima
cuando el número de ciclos es lo suficientemente pequeño como para ignorar los efectos
de la fatiga de ciclo bajo. Datos recopilados de pruebas de laboratorio de aceros grados
60 ensayadas en Nuevo Zelanda se tomarán como base para la calibración del modelo.
Se muestra que la forma del efecto Bauschinger depende de la composición química del
acero. Se propone una generalización del modelo calibrado para su uso.
INTRODUCCIÓN
Al predecir la respuesta de miembros de hormigón armado bajo fuerzas inducidas por
terremotos, utilizando un análisis de momento-curvatura, es necesario estimar el
comportamiento cíclico de tensión-deformación. del acero de refuerzo en la región crítica
del miembro. Modelos analíticos para predecir el comportamiento cíclico de tensióndeformación de los metales generalmente se puede clasificar en dos grupos principales:
(1) Aquellos basados en el comportamiento macroscópico observado;
(2) aquellos basados en el microscópico comportamiento. Kato (1979) ha proporcionado
revisiones exhaustivas de la literatura de tales modelos.
Comité Euro-International du Beton (1983), Bate y Wilson (1986) y Abel (1987).
El modelo macroscópico descrito en este documento se basa en el sistema de coordenadas
naturales, en cuya deformación y tensión se definen en términos de propiedades
geométricas instantáneas.
Además, se utiliza un nuevo enfoque para describir el efecto Bauschinger. El efecto del
pandeo está fuera del alcance de esta investigación porque se decidió intencionalmente
aislar el comportamiento del material.
COMPORTAMIENTO MONOTÓNICO DE ESFUERZO DEFORMACION
Curvas de esqueleto de tensión y compresión. La forma general de la curva de tensióndeformación para el acero cargado monotónicamente en tensión hasta la falla es bien
conocido. Normalmente está representado por cuatro regiones:
(1) la región elástica lineal,
(2) Sedimiento de la meseta (the Liiders strain),
(3) la región de endurecimiento por deformación,
(4) la región de tensión post-último, como se muestra en la figura 1.
La región elástica lineal de la relación tensión-deformación es lineal, y la pendiente se
conoce como: módulo de Young o módulo elástico, Es. La supuesta relación tensióntensión en esta región es
Dr. Luis Mosquera Leiva
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El módulo de Young en el caso de acero puede escribirse de la siguiente manera:
Para el acero: σ≃fs =Esfuerzo de fluencia del acero o tensión de fluencia
(1)
donde f, y E, = tensión y deformación del acero, respectivamente.
En la meseta de rendimiento, el acero se comporta plásticamente. Esta región de la
relación esfuerzo-deformación se muestra en el cuadro de la Fig. 1. La región de meseta
del rendimiento de la relación tensión-deformación es típicamente supuesta horizontal,
pero como muestra la Figura 1, este no es realmente el caso. El límite elástico, f y
correspondiente a la meseta de rendimiento idealizada, por lo tanto, debe tomarse como
un promedio arbitrario
valor dentro del rango de esta meseta. La relación idealizada de esfuerzo- deformación
en esta región es
(2)
que comienza en la cepa de rendimiento, ɛy, dada por lo siguiente:
Para el caso de aceros ɛe =ɛy
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(3)
El punto en el que finaliza la meseta de rendimiento y comienza el endurecimiento por
deformación es obvio, antes de iniciar el endurecimiento por deformación, generalmente
se produce un descenso en la meseta de rendimiento, seguido de un fuerte aumento que
de repente cambia la pendiente hacia la región de endurecimiento por deformación
relativamente suave. La tensión en donde comienza la región idealizada de
endurecimiento por deformación se ve afectada por los supuestos límite elástico y el
modelo de endurecimiento por deformación, como se muestra en la Fig. 1. La región de
endurecimiento por deformación varía desde las coordenadas idealizadas en las que
comienza el endurecimiento por deformación
hasta el máximo coordenadas,
, que corresponden al punto en el que la carga máxima de tracción resiste y
comienza el cuello o curva. En este punto, la curva de esfuerzo-deformación tiene una
pendiente cero.
En la región de tensión post-última, la forma de la curva esfuerzo-deformación de tracción
está relacionada con el ubicación y longitud del indicador sobre la que se recopilan los
datos (ver Fig. 1). Por lo tanto, se supone que las coordenadas finales marcan el final de
la región útil de la curva de tensión-deformación. Muchos investigadores en el campo de
la ingeniería civil han asumido que el esqueleto monotónico.
La curva de esfuerzo-deformación del acero de refuerzo en compresión es igual y opuesta
a la curva en tensión. Algunos investigadores han propuesto curvas de tensión
modificadas para representar la compresión, curvas por ejemplo, Spurr y Paulay (1984)
recomendaron que el esfuerzo a compresión (esfuerzo-deformación) en una deformación
dada se obtiene multiplicando la tensión por - (1 - 2ɛs) para permitir la diferencia teórica
entre el área de la muestra a deformaciones de compresión y tensión equivalentes,
suponiendo la relación de Poisson es 0.5. Mander y col. (1984) relacionó los parámetros
de la curva del esqueleto de compresión con la tensión, parámetros de la curva esquelética
utilizando relaciones empíricas.
Los datos experimentales para la carga monotónica recopilados en este estudio (Dodd y
Cooke 1992; Restrepo-Posada y col. 1993) descubrieron que las curvas de tensión y
compresión son esencialmente las igual hasta las coordenadas finales si el esfuerzo y la
deformación se cambian a sistema de coordenada natural, que tiene en cuenta la geometría
instantánea de la muestra.
El sistema de coordenadas de ingeniería comúnmente utilizado y las relaciones entre ellos
se describen en los siguientes párrafos usando la notación comúnmente adoptada en textos
de mecánica de materiales.
El esfuerzo de ingeniería, σ, y la deformación de ingeniería, ɛ, se definen de la siguiente
manera:
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donde I0= longitud inicial de un elemento; l = longitud instantánea del elemento; ∆l =
cambio en longitud del elemento desde su longitud inicial; N = fuerza axial que actúa
sobre el elemento; y A0= área de la sección transversal inicial del elemento.
En 1909, Ludwik y Leon propusieron el concepto de capa natural o logarítmica, ɛ'(Nadai
1 950). La capa natural se define de la siguiente manera:
Las cepas naturales y de ingeniería están relacionadas entre sí de la siguiente manera:
El verdadero esfuerzo proporciona una mejor descripción del estrés real que actúa sobre
un elemento concepto. El verdadero esfuerzo, δ ', está relacionado con el área transversal
instantánea, A, y está definido como sigue:
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La ingeniería y el verdadero esfuerzo pueden relacionarse suponiendo que el volumen es
constante, es decir A0l, A = l/lo = 1 + ɛ. Así:
La mayor ventaja del sistema de coordenadas naturales
es la similitud entre
Comportamiento de compresión y tensión de materiales como el acero, como se
demostrará.
Si las coordenadas,
, de un punto en el cuadrante de tensión en las coordenadas de
ingeniería se elige, las coordenadas correspondientes,
, de ese punto en el sistema
de coordenadas naturales se puede encontrar usando (6) y (9). El punto correspondiente
en el cuadrante de compresión tiene las coordenadas
porque las curvas de compresión y tensión son iguales y opuesto en el sistema de
coordenadas naturales. Con este enfoque, se puede mostrar (Dodd y Cooke 1992;
Restrepo-Posada et al. 1993) que en el sistema de coordenadas de ingeniería un esfuerzo
de tensión, σ , y un esfuerzo de tracción, ɛ , están relacionados a la tensión de compresión
correspondiente, σ0, y la tensión de compresión, ɛ0, respectivamente, como sigue:
La figura 2 (a) muestra en el mismo cuadrante una tensión y una curva de compresión
tensión-deformación de Pruebas monotónicas de una barra de acero de refuerzo
deformada en el sistema de coordenadas naturales. Ambas curvas son muy similares hasta
que el efecto del pandeo se hace notable a un nivel de deformación de aproximadamente
6% en la prueba de compresión. La figura 2 (b) ilustra los mismos resultados de la prueba
en la coordenada de sistema de ingeniería. Además, una predicción de la curva de
compresión calculada usando (11) y basada en Los datos medidos en la prueba de tensión
muestran el mismo grado de precisión en sistema coordenado de ingeniería.
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Se puede encontrar una relación analítica adicional entre las pendientes de las curvas de
esfuerzo-deformación.
Por ejemplo, la pendiente de una curva de esfuerzo-deformación en el sistema de
coordenadas naturales está relacionada con el pendiente de la curva en el sistema de
coordenadas de ingeniería de la siguiente manera:
Las ecuaciones (12) y (13) se pueden usar para relacionar la pendiente de la rama de
esfuerzo con la pendiente de la punto correspondiente en la rama de compresión del
sistema de coordenadas de ingeniería de la misma manera en que los punto estaban
relacionados usando el sistema de coordenadas naturales, que produce la siguiente
relación:
Las relaciones de comportamiento de esfuerzo-deformación monotónicas idealizadas
propuestas para el acero en coordenadas naturales son similares a las que se usan
típicamente en el sistema de coordenadas de ingeniería.
Los datos experimentales de la curva del esqueleto de tensión normalmente estarán en
coordenadas de ingeniería, y los valores para el módulo elástico, Es ; el límite elástico,
fy; la tensión al inicio de la tensión endurecimiento, Esh ; la tensión y la tensión,
respectivamente, en la carga final, ɛsu, y fsu; y un punto adicional en la curva de
endurecimiento por deformación,
, será conocido (ver Fig. 1). Los valores de
esfuerzo y deformación en
se pueden usar para
calcular los puntos correspondientes en el sistema de coordenadas naturales,
, utilizando (6) y (9). A partir de estos valores, la curva de
esqueleto propuesta en el sistema de coordenadas naturales puede ser definido.
La región elástica lineal se puede describir mediante la siguiente relación:
Esta ecuación es similar a (1), y arrojará resultados casi idénticos para capas pequeñas
antes del rendimiento.
La relación en la meseta de rendimiento o la región de capas de Lüders viene dada por lo
siguiente:
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donde s = a un factor que indica la dirección del esfuerzo y es l para la curva de tensión
y - l para la curva de compresión. Para la curva de tensión, esta ecuación se transforma
en (2). La pendiente en este se supone que la región es:
Esta ecuación no se transforma en pendiente cero en el sistema de coordenadas de
ingeniería, pero estar muy cerca La ecuación propuesta para la región de endurecimiento
por deformación se basa en la curva de potencia sugerida. por Mander et al. (1984) Sin
embargo, debido a que la pendiente de la curva del esqueleto no es cero en el punto de
carga final, pero en
la relación es un poco más
complejo. La pendiente en la carga final está representada por
para distinguirlo
conceptualmente del esfuerzo en la carga máxima, f´su. Un punto adicional en la curva de
endurecimiento por deformación, (ɛsh.l , fsh.l), se usa para determinar el término de
potencia en lugar de la pendiente al inicio de la deformación endurecimiento, Esh que fue
recomendado por Mander et al. (1984) (Fig. 1). Es más fácil y más precisa para medir un
punto en la curva de endurecimiento por deformación. Resolviendo las condiciones de
paso a través de los puntos
y a través del punto
en una pendiente
da la siguiente expresión para la región de endurecimiento por deformación:
El término
en (18) es cero para carga monotónica. Cuando se produce una inversión
de carga en la región de tensión, se utiliza para tener en cuenta un cambio en la curva del
esqueleto, que será discutido después.
COMPORTAMIENTO CICLICO POR ESFUERZO DEFORMACION
•
Rama de descarga
La figura 3 ilustra el comportamiento típico de esfuerzo-deformación del acero de
refuerzo después de una inversión de carga de las coordenadas
en la meseta de
rendimiento o la región de endurecimiento por deformación. La primera parte de la rama
de descarga al punto
, puede aproximarse por una línea recta con pendiente . Un
análisis de los datos digitalizados registrados en las pruebas (Dodd y Cooke 1992;
Restrepo-Posada et al. 1993) indica que la extensión de la porción lineal oscila entre 0.
85fy. y 1.35 fy, no se encontró correlación entre la deformación plástica y la magnitud de
la porción lineal. Por simplicidad, se asumió un valor de 1.01 fy para este estudio. Las
coordenadas
pueden entonces ser calculado de la siguiente manera:
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donde E´u = módulo de descarga.
Determinación del módulo de descarga, E´u
Bauschinger (1887) informó que el módulo de elasticidad del acero se reduce después de
que acero haya sido forzado más allá del límite elástico El análisis de los datos de la
prueba confirmó que el módulo de descarga, E´u , disminuye, y que la tasa de disminución
es especialmente rápida después de ceder pero se estabiliza en capas más grandes. Por lo
tanto, hay una estrecha relación entre la tensión máximo plástica y el módulo de descarga,
parece existir, además, que el módulo de descarga muestra una pequeña recuperación para
reversiones con una deformación plástica más pequeña que la deformación plástica
máxima. En este estudio se supone que el módulo de descarga varía solo con ela capa
máxima de plasticidad, ɛ´M, de acuerdo con la siguiente expresión:
Curvas de inversión de pruebas en diferentes grados de acero (Restrepo-Posada et al.
1994). Los valores de módulo de descarga de las líneas rectas ajustadas con un coeficiente
que consideró una correlación mayor de 0.997. La figura 4 muestra todos los valores del
módulo de descarga versus la máxima tensión plástica absoluta, Stanton y McNiven
(1979) y Spurr y Paulay (1984) postulan relaciones en el sistema de coordenadas de
ingeniería basado en la tensión de inversión, ɛr. Estas relaciones se transformaron al
sistema de coordenadas naturales y se grafican con (20) en la Fig. 4. suponiendo un igual
a 400 MPa en (12), y que ɛ´M es igual a (ɛ´r - 0. 002) donde ɛ´r; es el valor transformado
de ɛr.
Reversiones dentro de la región de yield plateau
Cuando se produce una inversión de la tensión de Lüders o la meseta de la curva del
esqueleto, la curva de esfuerzo-deformación se aproxima a una curva de esqueleto
desplazada en la dirección opuesta. como se muestra en la Fig. 5. El origen de la curva de
esqueleto desplazada es
donde
= plástico máximo deformación obtenida en
la dirección opuesta y se denomina aquí como deformación de "desplazamiento"; y k = I
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para la curva del esqueleto de tensión y 2 para la curva del esqueleto de compresión. La
tensión de cambio está en línea con la porción lineal de la curva de descarga, y se define
de la siguiente manera:
donde m = I para la rama que se une a la curva del esqueleto de compresión y 2 para la
rama reincorporarse a la curva del esqueleto de tensión; y f´r(m) = tensión real en el punto
de inversión. La tensión en término f'r(m) puede aproximarse como fy, en una inversión
de la región de meseta de rendimiento. Debería de señalarse que la curva del esqueleto de
tensión solo puede cambiar a lo largo de la dirección de deformación por compresión. Y
La curva del esqueleto de compresión solo puede desplazarse a lo largo de la dirección
de deformación por tracción.
El efecto Bauschinger se describe mediante una curva suavizada que comienza en el punto
y reincorporando la curva de esqueleto desplazada en la dirección
opuesta en el punto
, definido como sigue:
Esta expresión se compara razonablemente bien con los datos del acero fabricado en
Nueva Zelanda, el cual tiene características muy similares a los fabricados en
Latinoamérica. Pero los datos para otros tipos de acero no estaban disponibles y, por lo
tanto, no se sabe si (22) puede ser generalizado, la curva de inversión vuelve a unirse a la
curva del esqueleto con la pendiente de la meseta de rendimiento, fy . Las aproximaciones
en (22) representan el hecho de que la región de meseta de rendimiento la pendiente en el
sistema de coordenadas naturales tiene un valor distinto de cero y por lo tanto el esfuerzo
no es una constante. Además, la reducción en el módulo de descarga, E´u con el aumento
de la tensión plástica tiene un efecto menor en los valores de las capas de desplazamiento,
ɛ´0(1) y ɛ´0 (2), ambos efectos son insignificantes. El rendimiento Se ha utilizado la
tensión en el sistema de coordenadas de ingeniería en lugar de la tensión de fluencia
transformada en el sistema de coordenadas naturales. La razón principal de esta
aproximación es que, en el sistema de ingeniería, el límite de elasticidad idealizado es
constante y en el sistema natural varía. Pero la diferencia entre ambos esfuerzos de
rendimiento es del orden de 1-2% al final de la meseta de rendimiento, que es menor que
la fluctuación real de las tensiones observadas en las pruebas dentro de esta región.
Se supone que la tensión total de Lüders es constante, independiente del número de
reversiones, según lo propuesto por Thompson y Park (1978) y Mander et al. (1984) Es
decir, de la Fig. 5
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Los datos medidos mostraron que la cepa de Liiders disminuye en condiciones cíclicas.
Las magnitudes de esta reducción parecen estar relacionada con la energía de
deformación complementaria acumulada durante las reversiones. Ma y col. (1976)
propuso una relación empírica basada en la amplitud. Aquí no se propone una relación
definitiva, y por lo tanto se puede esperar que el modelo pueda exhibir un retraso en el
inicio del endurecimiento por deformación relativo al comportamiento real.
Reversiones de la región de endurecimiento por deformación
Cuando ocurre una inversión de la región de endurecimiento por deformación, es
necesario actualizar la descarga del valor de módulo, E´u , y la deformación de cambio,
ɛ´0(k), usando (20) y (21), respectivamente. Los resultados experimentales (Dodd y
Cooke 1992; Restrepo-Posada et al. 1993) muestran que una vez la capa comienza el
endurecimiento, la forma de la curva de inversión es independiente de la curva del
esqueleto.
La curva de inversión se vuelve paralela a la curva esquelética original en grandes
deformaciones. El modelado La curva de inversión comienza con una porción lineal con
la longitud y el módulo, como se describió anteriormente.
El efecto de Bauschinger se describe mediante una curva desde el punto
, en una
pendiente E´u, al desplazado coordenadas "últimas", (ɛ´su.shift (k), Ѕƒ´su), en una pendiente
f´su*, como se muestra en la Fig. 6. Vale la pena señalar que el punto "último" desplazado
(ɛ´su.shift (1), ƒ´su), describe el punto en el que el máximo Se alcanzará la carga de tracción.
Se discute la determinación de la capa final desplazada ɛ´su.shift (k).
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Reversiones de curvas de Compresión
Se definen tres tipos de reversiones a partir de curvas de compresión en el modelo, mayor,
cada una de estas inversiones comienza con una porción lineal con una longitud y un
módulo como descrito para reversiones de la curva esquelética. El efecto Bauschinger se
describe mediante un efecto suavizado. curva que se extiende desde el punto
en
una pendiente E´u , a un punto predeterminado con un valor predeterminado cuesta abajo.
Una inversión mayor se define como cualquier inversión de la curva de endurecimiento
por deformación del esqueleto o una inversión de otra curva de inversión importante en
la que la diferencia de tensión entre las dos inversiones los puntos exceden 2fy. Las
inversiones de una curva siguen las mismas reglas que las inversiones de la porción de
endurecimiento por deformación de la curva del esqueleto. Una inversión menor es una
inversión de la porción suavizada de una curva de inversión mayor en la que la diferencia
de tensión entre los dos puntos de inversión es inferior a 2fy, como se muestra en la Fig.
7 (a).
La porción suavizada de la curva se aproxima al punto de inversión principal anterior en
el que la curva que regía el comportamiento antes de que se reanudara la mayor reversión.
Una curva de inversión simple es una inversión de la porción suavizada de una curva de
inversión menor o otra curva de inversión simple, como se muestra en las Figs. 7 (b y c).
Se acerca una curva de inversión simple ya sea el punto de inversión menor anterior o el
punto de inversión mayor anterior en el que la curva que regía el comportamiento antes
de que se reanudara la inversión menor o mayor se reanuda [véanse las Figs. 7 (b y c),
respectivamente].
Si ocurre una inversión dentro de la porción lineal de la curva de compresion, la curva de
inversión sigue la porción lineal vuelve al primer punto de inversión y se reanuda en la
curva que se siguió antes de la reversión anterior.
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Cambio de coordenadas definitivas
Los análisis de los resultados de las pruebas de carga cíclica indicaron que la tensión de
cambio, ɛ´u(k), es el principal parámetro que afecta la deformación máxima desplazada,
ɛ´su.shift (k), . Se propone la siguiente relación para ɛ´su.shift (k):
donde ɛ´u(k) se calcula utilizando (21).
La figura 8 muestra el efecto de la tensión de cambio ɛ´u(1) causada por una inversión en
la tensión región de compresión, en la tensión de tensiones ɛ´su.shift(1), en el que se alcanzó
la carga máxima de tracción en un serie de pruebas que terminan en el cuello de las
muestras de prueba. Las pruebas incluyeron dos grados de acero con Tensiones de
compresión de plástico de hasta 7% y hasta 28 ciclos de gran amplitud.
Los valores en la Fig. 8 se han normalizado a la capa final promedio, ɛ´su, de dos pruebas
monotónicas de tracción. Los valores medidos se correlacionan bien con (24). Se puede
concluir que para un pequeño número de ciclos. como los que se espera encontrar con
una barra de refuerzo en un hormigón armado miembro durante un terremoto, la
deformación plástica de compresión máxima ɛ´u(1) puede ser utiliza para estimar la
reducción de la tensión máxima asociada con la carga máxima de tracción llevado por la
barra. Una implicación de la declaración anterior es que, si se produce pandeo en una
barra, la tensión de compresión en el lado cóncavo de la barra se vuelve crítica y, por lo
tanto,
controlará
La
tensión
de
fractura.
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MODELADO NUMÉRICO DEL EFECTO BAUSCHINGER
Cada una de las curvas de inversión discutidas tiene una región en la cual el
ablandamiento del Bauschinger debe considerarse el efecto, excepto en el caso de una
inversión dentro de la porción lineal de un precedente curva. En cada caso, el punto inicial
y final de la curva. así como la pendiente en estos puntos, es conocida. Se requiere una
relación apropiada que satisfaga estas condiciones límite. En el pasado, se han utilizado
varios modelos para representar el efecto Bauschinger. Estos modelos típicamente han
usado la relación Ramberg-Osgood o Menegotto-Pinto (1973). Sin embargo, estos dos
enfoques presentan algunas dificultades cuando se usan para describir Comportamiento
de esfuerzo-deformación del acero a la carga final. Se propone un nuevo enfoque en este
documento. Se desea una ecuación para la cual una forma cerrada.
La solución se puede encontrar para cualquier conjunto de condiciones finales, y que tiene
un parámetro simple que permite la "suavidad" de la curva de Bauschinger, según lo
determinado por el área debajo de la curva relativo al paralelogramo envolvente, a
controlar. Se encontró que tal ecuación es se encuentra más fácilmente si la curva se
transforma del sistema de coordenadas natural a un sistema normalizado sistema de
coordenadas plásticas perfectamente rígido como se muestra en la Fig. 9. La Fig. 9 (a)
muestra la deseada curva en el sistema de coordenadas naturales. Esta curva se transforma
primero en una perfecta rigidez perfecta. sistema de coordenadas de plástico con la misma
área, como se muestra en la Fig. 9 (b).
Las coordenadas transformadas normalizadas,
, Se calculan dividiendo las
transformadas coordenadas en la Fig. 9 (b) por las coordenadas
, como se muestra
en la Fig. 9 (c). las coordenadas transformadas son
Varias curvas obtenidas del trabajo experimental se normalizaron usando (25) y (26),
y mostró la forma típica representada en la Fig. 9 (c). Una familia de curvas que exhibe
un parecido al comportamiento es
donde el término exponente P se determina empíricamente, como se discutirá a
continuación.
Si se conoce el término P en (27), entonces para una capa natural dada ɛ´s, las coordenadas
correspondientes
se puede encontrar de la siguiente manera. Reorganizando (25) y
(26) en términos de f's, y luego igualando ellos producen lo siguiente:
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La combinación de (27) y (28) da lo siguiente:
en el que el único valor desconocido es ɛ´´N
Eq. (29) se puede resolver fácilmente utilizando un algoritmo de Newton-Raphson, y la
buena precisión puede normalmente se obtiene en tres iteraciones, para valores muy
pequeños de
, el algoritmo puede dar un valor negativo para ɛ´´N, que
causa problemas numéricos. Para tal caso, se puede realizar un algoritmo biseccional.
Una vez que ɛ´´N, se conoce, f's se puede encontrar en (26).
En resumen, cuando se requiere la curva de Bauschinger para una inversión mayor, este
enfoque es utilizado de la siguiente manera. Los valores para E´u; se conoce por (20),
; son conocidos de (19), y ɛ´su.shift (k) se encuentra a partir de (24). El cálculo
de P se discutirá más adelante. Para un valor dado de
, se puede calcular usando (29);
f´s se puede encontrar en (26). Para otros tipos de curvas de inversión, los valores de
esfuerzo, deformación y pendiente objetivo se usan para
,
respectivamente, en (29). También es importante conocer la pendiente tangencial de la
relación tensión-deformación, porque las reversiones que no sean las reversiones
importantes deben volver a unirse a las curvas previamente desviadas en la pendiente
adecuada La pendiente de la curva transformada normalizada es la primera derivada de
(27). La cuales
Se encontró dificultad al transformar la pendiente del sistema de coordenadas
normalizado al sistema de coordenadas naturales, pero se encontró que una solución de
límite superior daba resultados satisfactorios
CALIBRACIÓN DEL EFECTO BAUSCHINGER NORMALIZADO
En la sección anterior se supuso que se conocía el término exponente Pin (29) y (30).
Esta sección discute el método empleado para la calibración de este exponente basado en
el Análisis de las curvas de pruebas de Bauschinger en los aceros grados 60 (RestrepoPosada et al. 1994).
Este análisis indicó que después de la normalización, una curva única con el término
exponente P = 0.35 in (27) describió con precisión el comportamiento no lineal en la cepa
de Liiders o en la meseta de rendimiento región.
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A diferencia de la relación única adoptada para modelar el efecto Bauschinger en la región
de deformación, el término exponente P no es constante para las principales curvas de
inversión. La forma de la curva de Bauschinger normalizada es más suave al comienzo
de la región endurecida por el trabajo, es decir, el área bajo la curva de Bauschinger
normalizada aumenta a medida que el material es trabajable. La forma de las curvas de
Bauschinger normalizadas se cuantificó evaluando el área bajo la curva entre 0 y 0.1,
como se muestra en la Fig. 9 (c)
Estos Ω valores se correlacionaron con las variables no dimensionales
se ve en Fig. 6, en la cual
como
y se obtuvo la siguiente relación empírica:
El término exponente P de (27) se puede calcular si el área de la curva medida, Ω , se
iguala al área de la curva modelo, es decir
donde la solución aproximada a la integral es válida solo para valores de P entre 0.06 y
0,30. Ahora, reorganizar (35) para P da lo siguiente:
En resumen, en cada inversión mayor,
, se calculan utilizando (33).
Entonces Ω está resuelto usando (34), y finalmente P se calcula usando (36).
La forma exacta de una curva de inversión distinta de una curva de inversión mayor (ver
Fig. 7) es menor importante, porque tales reversiones solo cubren un rango de
deformación muy pequeño. Un ajuste aceptable fue obtenido usando P = 0.35 en (27) para
tales reversiones.
PREDICCIONES MODELO
El modelo analítico discutido fue calibrado con datos obtenidos de acero de refuerzo
grado 60 (Restrepo-Posada et al. 1994). Los siguientes supuestos fueron realizado, y por
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lo tanto, se esperaría que los resultados de las pruebas realizadas en otras condiciones
puede diferenciarse. El número de ciclos, incluso si es de gran amplitud de deformación,
es demasiado pequeño para considerar la fatiga de ciclo bajo como una influencia
importante en las condiciones finales de la pruebas el pandeo no tiene ningún efecto en
los resultados de la prueba, y los efectos del envejecimiento por deformación no se
desarrollan en ninguna de las pruebas.
La predicción de los resultados de la prueba se obtuvo de un programa informático que
informa Dodd y Cooke (1992) y Restrepo-Posada et al. (1993) Los parámetros de entrada
requeridos son los obtenidos de una prueba de tracción monotónica.
La comparación entre los resultados medidos y analíticos de las pruebas cíclicas en
mecanizado Los cupones de acero de refuerzo de grado 75 y 60 probados por los
escritores se ilustran en las Figs. 10 y 11, respectivamente. La comparación de resultados
en cupones de barras deformadas se informa en otra parte (Dodd y Cooke 1992; RestrepoPosada et al. 1993; Restrepo-Posada et al. 1994), y muestran acuerdos similares a los
mostrados en las Figs. 10 y 11. El comportamiento pronosticado de tensión-deformación
de dos series de pruebas informadas por otros investigadores mostró Una gran
discrepancia con el comportamiento medido. Estas pruebas fueron realizadas por Aktan
et al. (1973) en cupones de acero de grado 60 (ksi) y por Leslie (1974) en cupones de
acero de grado 380 fabricado según el estándar provisional de Nueva Zelanda NZS 3402P
("enrollado" 1973). El medido y el comportamiento predicho de una prueba de cada una
de estas series se representa en las Figs. 12 y 13 respectivamente. Es evidente que el
efecto Bauschinger en estos tipos de acero es más suave y, por lo tanto, el comportamiento
predicho por el modelo propuesto en el presente estudio es inexacto. El predicho el
comportamiento es más cercano cuando el factor Ω obtenido de (34) se multiplica por los
valores de reducción de 0,81 y 0,70 para las pruebas respectivas (Dodd y Cooke 1992;
Restrepo-Posada et al. 1993). Estos factores Ω reducidos indican que el efecto
Bauschinger en diferentes aceros no tiene la misma forma, pero parece seguir una
tendencia similar, la razón principal de la diferencia en la forma es la influencia del
contenido de carbono en el acero, como se discute en la siguiente sección.
Dr. Luis Mosquera Leiva
Marlon Guevara F.
Unidad de Posgrado FIC-UNI
Mecánica del Medio Continuo
MODELO NUMERICO COMPUTACIONAL PARA LA CURVA ESFUERZO
DEFORMACION DEL ACERO
•
Ensayo de laboratorio
El ensayo de tensión se utiliza para evaluar varias propiedades mecánicas de los materiales que son
importantes en el diseño, dentro de las cuales se destaca la resistencia, en particular, de metales y aleaciones.
En este ensayo computacional, la muestra se deforma usualmente hasta la fractura incrementando
gradualmente una tensión que se aplica uniaxialmente a lo largo del eje longitudinal de la muestra. Las
muestras normalmente tienen sección transversal circular, aunque también se usan especímenes
rectangulares
Durante la tensión, la deformación se concentra en la región central más estrecha, la cual tiene una sección
transversal uniforme a lo largo de su longitud. La muestra se sostiene por sus extremos en la máquina por
medio de soportes o mordazas que a su vez someten la muestra a tensión a una velocidad constante. La
máquina al mismo tiempo mide la carga aplicada instantáneamente y la elongación resultante (usando un
extensómetro). Un ensayo de tensión normalmente dura pocos minutos y es un ensayo destructivo, ya que
la muestra es deformada permanentemente y usualmente fracturada
Sobre un papel de registro, se consignan los datos de la fuerza (carga) aplicada a la muestra que está
siendo ensayada, así como la deformación que se puede obtener a partir de la señal de un extensómetro.
Los datos de la fuerza pueden convertirse en datos de esfuerzo y así construirse una gráfica tensión –
deformación.
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Los resultados de la barra ensayada arrojo una curva característica de esfuerzodeformación, que la describimos brevemente.
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•
Mecánica del Medio Continuo
Modelo computacional
Se elaboro un lenguaje de programación en Matlab para predecir el esfuerzodeformación del acero, con datos obtenidos de ensayos se calibro para obtener una
curva esfuerzo- deformación mas real y precisa, acercando asi a los resultados obtenidos
por un ensayo de laboratorio.
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Si comparamos la curva de tracción desarrollado en Matlab vs la curva de tracción del ensayo, obtenemos
valores similares, por lo que se podría decir que la calibración fue exitosa
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CONCLUSIONES
✓ El comportamiento de tensión-deformación cíclica del acero de refuerzo es
simétrico en tensión y compresión solo en el sistema de coordenadas naturales
hasta el punto de inestabilidad plástica cuando se desarrolla el cuello en la prueba
de tracción.
✓ Además, la curva monotónica se abandona cuando se producen reversiones de
deformación después de la iniciación del endurecimiento por deformación.
✓ El contenido de carbono es una variable importante que afecta la forma del efecto
Bauschinger; como a medida que aumenta el contenido de carbono, la curva de
Bauschinger se vuelve más blanda o menos bilineal.
✓ Se ha propuesto un modelo analítico para el comportamiento cíclico del acero de
refuerzo. El modelo utiliza el sistema de coordenadas naturales para explotar el
hecho de que el comportamiento de tensión y compresión son lo mismo en ese
sistema. Se encontró que el modelo daba muy buenas predicciones de complejos
comportamiento de esfuerzo-deformación
✓ Una implicación de la conclusión anterior es que, si se produce el pandeo en una
barra, la compresión y la tensión en el lado cóncavo de la barra se vuelve crítica
y, por lo tanto, controlará la fractura tensión.
✓ Se cree que las reglas básicas del modelo pueden ser tan aplicables para otros
aceros como son para los dos tipos de acero que se usaron para desarrollar el
modelo. Sin embargo, se sabe que el contenido de carbono del acero tiene un
efecto en la curva de Bauschinger y, por lo tanto, en las ecuaciones que se utilizan
para definir la forma de la curva de Bauschinger, es decir, (34), y tal vez la
descarga la rigidez, es decir, (20), debe recalibrarse para otros tipos de aceros.
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Marlon Guevara F.
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ANEXOS:Programacion en Matlab
%% Modelo Constitutivo del Acero según Mander y Dodd y Restrepo
% Por Ing. Marlon Guevara Fernandez
clc, clear, close all
global tb1 tb2 tb3 tb4 tb5 tb6
f=figure('Name','Modelo Constitutivo del Acero según Mander y
Dodd y
Restrepo','Resize','off','NumberTitle','off','Position',[25 50
545 600]);
hm=uimenu(f,'Label','Opciones','Foregroundcolor','b','Position',
1);
uimenu(hm,'Label','Nuevo','Separator','on','Accelerator','A','Ca
llback',@hm1);
uimenu(hm,'Label','Salir','Separator','on','Accelerator','B','Ca
llback',@hm2);
hn=uimenu(f,'Label','Información','Foregroundcolor','b','Positio
n',2);
uimenu(hn,'Label','Información','Separator','on','Accelerator','
C','Callback',@hn1);
uimenu(hn,'Label','Diagrama de
flujo','Separator','on','Accelerator','D','Callback',@hn2);
p=uipanel('Title','Datos:','FontSize',12,'FontName','Century','F
oregroundcolor','r','HighlightColor','c','Position',[.05 .05
.895 .925]);
ax=axes(p,'Position',[.25 .08 .1 .85]);
axis off
text(ax,.1,1,'$p:$','FontSize',16,'Color','b','interpreter','lat
ex')
text(ax,.1,.85,'$f_{y}:$','FontSize',16,'Color','b','interpreter
','latex')
text(ax,.1,.68,'$E_{s}:$','FontSize',16,'Color','b','interpreter
','latex')
text(ax,.1,.51,'$f_{su}:$','FontSize',16,'Color','b','interprete
r','latex')
text(ax,.1,.34,'$\varepsilon_{su}:$','FontSize',16,'Color','b','
interpreter','latex')
text(ax,.1,.17,'$\varepsilon_{sh}:$','FontSize',16,'Color','b','
interpreter','latex')
tb1=uicontrol(p,'Style','edit','position',[195 480 100
25],'String',4); % % p: parámetro de la relación esfuerzodeformación del refuerzo
tb2=uicontrol(p,'Style','edit','position',[195 415 100
25],'String',3500); % % fy: resistencia especificada a la
fluencia del refuerzo (kgf/cm2)
tb3=uicontrol(p,'Style','edit','position',[195 340 100
25],'String',2100000); % Es: módulo de elasticidad del refuerzo
(kgf/cm2)
tb4=uicontrol(p,'Style','edit','position',[195 260 100
25],'String',5250); % fsu: esfuerzo último del refuerzo
(kgf/cm2)
tb5=uicontrol(p,'Style','edit','position',[195 185 100
25],'String',0.09); % epsilon_su: deformación unitaria última
del refuerzo
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tb6=uicontrol(p,'Style','edit','position',[195 110 100
25],'String',0.01); % eposilon_sh: deformación unitaria
correspondiente al inicio de la zona de endurecimiento por
deformación
text(ax,4.25,.84,'$kgf/cm^{2}$','FontSize',12,'Color','k','inter
preter','latex')
text(ax,4.25,.68,'$kgf/cm^{2}$','FontSize',12,'Color','k','inter
preter','latex')
text(ax,4.25,.5,'$kgf/cm^{2}$','FontSize',12,'Color','k','interp
reter','latex')
uicontrol(p,'Style','pushbutton','position',[220 47.5 50
25],'String','OK
...','FontWeight','normal','FontName','Century','Callback',@pb1)
;
function pb1(~,~)
global tb1 tb2 tb3 tb4 tb5 tb6
p=str2double(get(tb1,'String'));
fy=str2double(get(tb2,'String'));
Es=str2double(get(tb3,'String'));
fsu=str2double(get(tb4,'String'));
epsilon_su=str2double(get(tb5,'String'));
epsilon_sh=str2double(get(tb6,'String'));
epsilon_y=fy/Es;
epsilon_s=0:0.0001:epsilon_su;
f_s=Es*epsilon_s.*(epsilon_s<=epsilon_y)+fy*(epsilon_s>epsilon_y
& epsilon_s<=epsilon_sh)+(fsu+(fy-fsu)*((epsilon_suepsilon_s)/(epsilon_su-epsilon_sh)).^p).*(epsilon_s>epsilon_sh);
epsilon_sc=-epsilon_s./(1+epsilon_s);
f_sc=-f_s.*((1+epsilon_s).^2);
figure('Name','Modelo Constitutivo del Acero según Mander y Dodd
y Restrepo','Resize','off','NumberTitle','off','Position',[550
50 800 600]);
get(gca,'XTick');
set(gca,'FontSize', 12,'FontName','Century','Color','w')
set(gcf,'Color','w')
fill([epsilon_s epsilon_s(1,end)],[f_s 0],'b','EdgeColor','b')
hold on
fill([epsilon_sc epsilon_sc(1,end)],[f_sc
0],'r','EdgeColor','r')
alpha(0.3)
grid on
grid minor
axis tight
title({'Modelo Constitutivo del Acero según','Mander y Dodd y
Restrepo'},'FontSize',24,'FontWeight','bold')
xlabel('$\varepsilon_{s}$','FontSize',20,'interpreter','latex')
ylabel('$f_{s}^{''}\;(kgf/cm^{2})$','FontSize',20,'interpreter',
'latex')
grid on
lgd=legend({'Tracción','Compresión'});
lgd.FontSize=15;
lgd.Location='southeast';
lgd.FontName='Century';
set(gca,'GridAlpha',.4);
Dr. Luis Mosquera Leiva
Marlon Guevara F.
Unidad de Posgrado FIC-UNI
Mecánica del Medio Continuo
f1=figure('Name','Modelo Constitutivo del Acero según Mander y
Dodd y
Restrepo','Resize','off','NumberTitle','off','Position',[550 50
600 600]);
axis off
text(0,1,'Programa desarrollado
por:','FontSize',14,'Color','r','interpreter','latex')
text(0,.825,'Ing. Marlon Guevara
Fernandez','FontSize',12,'Color','b','interpreter','latex')
text(0,.75,'Universidad Nacional de Ingenier\''ia
(UNI)','FontSize',12,'Color',[.07 .4 .32],'interpreter','latex')
text(0,.7,'Facultad de Ingenier\''ia
Civil','FontSize',12,'Color',[.07 .4 .32],'interpreter','latex')
text(0,.65,'Lima-Per\''u','FontSize',12,'Color',[.07 .4
.32],'interpreter','latex')
axes('Position',[.7 .75 .2 .225]);
sphere
axis('square')
axis off
colormap jet
for az=-50:.20:30
view(az,40)
drawnow
end
axes
axis off
uitable(f1,'Position',[80 30 215 288.5],'ForegroundColor',[0
.447 .741],'Data',[epsilon_s'
f_s'],'RowName','numbered','ColumnName','','FontWeight','bold','
FontAngle','Italic','RowStriping','on');
text(.145,.560,'$\varepsilon_{s}\;vs\;f_{s}$','FontSize',22,'Col
or',[.95 .4 .13],'interpreter','latex','FontWeight','bold')
uitable(f1,'Position',[305 30 215 288.5],'ForegroundColor',[0
.447 .741],'Data',[epsilon_sc'
f_sc'],'RowName','numbered','ColumnName','','FontWeight','bold',
'FontAngle','Italic','RowStriping','on');
text(.625,.560,'$\varepsilon_{sc}\;vs\;f_{sc}$','FontSize',22,'C
olor',[.95 .4 .13],'interpreter','latex','FontWeight','bold')
end
function hm1(~,~)
global tb1 tb2 tb3 tb4 tb5 tb6
set(tb1,'String','')
set(tb2,'String','')
set(tb3,'String','')
set(tb4,'String','')
set(tb5,'String','')
set(tb6,'String','')
end
function hm2(~,~)
clc, clear, close all
end
function hn1(~,~)
figure('Name','Modelo Constitutivo del Concreto Confinado para
una Sección Circular, según
Dr. Luis Mosquera Leiva
Marlon Guevara F.
Unidad de Posgrado FIC-UNI
Mecánica del Medio Continuo
Mander','Resize','off','NumberTitle','off','Position',[585 50
545 600]);
set(gca,'Color','w')
set(gcf,'Color','w')
A=imread('FIC_UNI.png');
image(A);
axis off
end
function hn2(~,~)
open('Acero_ManderDoodRestrepo.pdf');
end
Dr. Luis Mosquera Leiva
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Marlon Guevara F.