UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS E INGENIERÍA Curso: Dinámica (MC 338) Periodo Académico 2024-II Impulso y Cantidad de Movimiento en el Cuerpo Rígido Como bien se sabe, este método se emplea cuando la magnitud predominante en el movimiento del CR es el tiempo. En la deducción de las ecuaciones vinculantes al tema, son aplicables las ecuaciones deducidas para la Dinámica de los Sistemas de Partículas. Fig. 1. En el choque de dos o más cuerpos rígidos, la Cinética del Cuerpo Rígido permite adecuar el Teorema del Impulso y Cantidad de Movimiento para la solución de casos importantes. Cantidad de Movimiento Lineal.- En base a la fig. 2 y a los planteamientos anteriores se tiene: a) n p M mi vi Mv CM i 1 (1) b) Impulso Lineal (I) t I Fres dt p 0 Figura 2 I M ( v CM ) después ( v CM ) antes (2) b) Momento Angular, Momento Cinético, Cantidad de Movimiento Angular o Momento de la Cantidad de Movimiento (H) En base a la fig. 2, para la partícula de masa mi se tiene: 𝐻⃗ = 𝜌⃗ × (𝑚 𝑣⃗ ) = 𝜌⃗ 𝑚 𝑣⃗ + 𝜌⃗̇ Entonces, para la masa M se tiene: 𝐻⃗ Sabemos que: ∑ + 𝜌⃗ × 𝑚 𝜌⃗̇ 𝑚 𝜌⃗ + 𝜌⃗ × 𝑚 𝜌⃗̇ = 𝜌⃗ × 𝑚 𝑣⃗ = −𝑣⃗ × 𝑚 𝜌⃗ = 𝑀𝜌⃗ = 0⃗, y también 𝜌⃗ ⊥ 𝜌⃗̇ , entonces: 𝜌⃗ × 𝜌⃗̇ = −𝜌 𝜌̇ 𝑘⃗ = −𝜌 (ω𝜌 )𝑘⃗ = −ω𝜌 𝑘⃗ Luego: 𝐻⃗ = −∑ ω𝑚 𝜌 𝑘⃗ = ω ∑ 𝑚𝜌 −𝑘⃗ 𝐻 =𝐼 ω (3) IG Así entonces, respecto a otro punto de giro que pase por un punto P del CR, se tendrá: = 𝐼 ω (4) 𝐻 c) Impulso Angular (I) Sabemos que: 𝑀⃗ Siendo: ∫ = 𝑀⃗ 𝑑𝑡 = Δ𝐻⃗ ⃗ ∫ 𝑀⃗ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝐻⃗ = 𝐻⃗ 𝐼⃗ = Δ𝐻⃗θ é − 𝐻⃗ (*) Como nuestro estudio se limita al movimiento plano, entonces los vectores 𝐻⃗ tienen la dirección 𝑘⃗ (perpendicular al plano de esta hoja). Así entonces, la relación anterior puede quedar como: 𝐼 (5) = Δ𝐻 Así entonces, de (I) en (*) se tendrán las siguientes relaciones: Si IP cte: (𝐼 ) = ∫ 𝑀 𝑑𝑡 = (𝐼 ω) Si IP = cte: (𝐼 ) = ∫ 𝑀 𝑑𝑡 = 𝐼 ω − (𝐼 ω) (6) −ω (7) é é NOTA IMPORTANTE: En la solución de problemas de este acápite, se construirán diagramas impulsivos en vez de diagramas de cuerpo libre. Ello resulta en una estrategia de solución ágil, que simplificará y resumirá dichas soluciones. d) Principio de Conservación del Momento Angular En (1), si I = 0, entonces: (𝐼 ω) é = (𝐼 ω) Fig. 3. Al girar el hombre sosteniendo las pesas con los brazos estirados y con una rapidez angular baja, ello se debe a que el momento de inercia total con respecto a su eje (que pasa por su cabeza) es alto. (8) Fig. 4. Al encoger sus brazos, la rapidez angular del hombre con respecto a su eje crece debido a la reducción de su momento de inercia. Fig. 5. Michelle Kwan, patinadora norteamericana, gira con los brazos estirados antes de subirlos para poder girar respecto a su eje con mayor rapidez. Fig. 6. Al subir sus brazos, Michelle gira con mayor rapidez que cuando tuvo sus brazos estirados. PROBLEMAS Impulso y Cantidad de Movimiento 1. El tambor A mostrado tiene una masa de 120 kg y radio de giro centroidal kG = 21 cm. Si en t = 0 se aplica un torque M = 50t (N.m) en el centro del tambor, con t en segundos. Calcular la rapidez del carro minero C de 450 kg al cabo de 10 s. El carro está inicialmente en reposo, y está apoyado sobre el tope, y los cables están flojos. Despreciar en el cálculo la fricción entre la polea B y las ruedas del carro. 2. Un aro uniforme de masa m tiene un radio de giro centroidal kCM = 22 cm. El aro se lanza sobre una superficie horizontal con velocidad de avance v0 = 3 m/s y velocidad angular de 30 rad/s hacia atrás. Si los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre el aro y la superficie son 0,25 y 0,20 respectivamente, calcular: a) La velocidad lineal del aro desde el instante que empiece a rodar sin deslizar. b) El tiempo en que el aro alcanza la velocidad calculada en a. 3. Los engranajes A y B tienen una masa de 750 g cada uno, y un radio de giro centroidal de 40 cm, mientras que la masa del engranaje C es 4,5 kg y un radio de giro centroidal de 10,8 cm. Considerando que la fricción cinética de los rodajes A, B y C producen un torque 0,2, 0,2 y 0,4 N.m respectivamente, y sabiendo que la velocidad angular inicial del engranaje C es 0 = 1800 rpm respectivamente, calcular: a) El tiempo requerido para que el sistema se detenga por completo. b) El torque que habría que aplicar solo en el engranaje C para que alcance su velocidad angular inicial en el mismo tiempo de frenado calculado en a. mA = 6 kg, mB = 10 kg, mC = 24 kg; Los diámetros de paso son dA = 12 cm; dB = 16 cm; dC = 24 cm, y los radios de giro centroidales son kA = 48 mm; kB = 64 mm, y kC = 96 mm. 4. 5. 6. La placa plana cuadrada de masa m y lado a está suspendida en su esquina A por una cuerda. Si recibe un impulso horizontal I en la esquina B, calcular la posición del punto P –dada por la distancia y alrededor del cual la placa aparenta girar durante el impacto. 7. Una bola maciza es lanzada sobre una superficie horizontal rugosa con velocidad inicial v0 = 10 m/s. El coeficiente de rozamiento cinético entre la bola y la superficie es k = 0,4. Calcular: Un cilindro de 24 cm de radio y 8 kg de masa descansa sobre un carro de 3 kg. El sistema se encuentra inicialmente en reposo, cuando durante 1,2 s se aplica una fuerza P = 10 N. Se sabe que el cilindro rueda sin deslizar sobre la plataforma, y despreciando la masa de las ruedas del carro, para cada disposición, calcular la velocidad final del carro y del cilindro. 8. La rueda mostrada rueda sin deslizar, y su radio de giro con respecto al eje que pasa por su centro de masa es kG = 75 mm. La fuerza P varía según la relación P = 3t2, donde t se expresa en segundos, y P se expresa en newton. Entre los instantes t = 2 s y t = 5 s la velocidad de G varía desde 0,2 m/s hasta 1 m/s. Calcular la masa de la rueda. 9. El radio de giro del cuerpo A de 8 kg de masa con respecto a un eje de rotación que pasa por su centro de masa es kG = 5 cm. La fuerza P variable es P = 1,5t2 + 70 (N), y la velocidad del centro de la rueda es 0,5 m/s () cuando t = 0. Calcular la velocidad del centro de masa cuando t = 5 s. a) Al cabo de qué tiempo la bola empezará a rodar sin deslizar. b) La velocidad angular con que la rueda inicia su rodadura. c) La distancia recorrida por la bola en el tiempo calculado en a. El tren de engranajes mostrado parte del reposo y logra una velocidad angular de salida = 240 rpm en 2,25 s. La rotación del tren tiene un contratorque T = 150 N.m en el engranaje de salida C. Calcule la potencia de salida del motor de 86% de eficiencia que hace posible lograr lo indicado. Las masas de las ruedas son: 10. El disco macizo de 15 kg de masa y 200 mm de radio tiene velocidad angular 0 = 30 rad/s. Si el freno ABC se aplica de tal modo que la fuerza P varía con el tiempo según se muestra, y el coeficiente de rozamiento en B es k = 0,4, 2 calcular el tiempo requerido para detener el disco. 11. El disco mostrado tiene una masa de 30 kg, radio R = 200 mm, y radio de giro centroidal kG = 172 mm. Inicialmente el disco gira a 500 rpm, para luego aplicar la fuerza P(t) sobre el asa del freno en t = 0, según se muestra. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el disco y el freno es k = 0,4, calcular: Conservación del Momento Angular 13. El satélite espacial tiene una masa de 125 kg y un momento de inercia Iz = 0,94 kg.m2, excluyendo a los cuatro paneles solares A, B, C y D. Cada panel tiene una masa de 20 kg, y pueden modelarse aproximadamente como placas planas y delgadas. Si el satélite gira inicialmente con respecto al eje z a la razón constante z = 0,5 rad/s cuando = 90º, calcular la velocidad angular del satélite cuando los cuatro paneles se encuentren en la posición = 0º. a) El máximo valor de la fuerza P0 para que el disco se detenga en t = 12 s. b) La energía disipada en forma de calor hasta lograr la detención completa del disco. 14. La placa rectangular mostrada de 20 kg de masa se libera del reposo (fig. a) y cae 200 mm antes que la cuerda unida a la esquina A se tense. Suponiendo que la componente vertical de la velocidad de A es nula, calcular: a) La velocidad angular de la placa en el momento que la cuerda se tensa (fig. b). b) La fracción de energía perdida un pequeño instante después que la cuerda se tensa. 12. En la figura, el disco superior es macizo, e inicialmente está en reposo cuando se pone en contacto con el disco inferior, también macizo, que gira libremente a 500 rpm. Si la masa de la barra AD es despreciable, calcular: a) El tiempo durante el cual ambos discos resbalan entre sí. b) La velocidad angular final de cada disco. c) La pérdida de energía que tiene lugar hasta que los discos giran sin resbalar entre ellos. 15. Un cubo homogéneo de masa m y lado a = 25 cm, desliza sin fricción sobre una larga mesa 3 horizontal, y golpea un pequeño tope fijo sobre la mesa en A, de altura despreciable. Hallar: b) El porcentaje de energía perdida inmediatamente después que la pelota logra subir por el peldaño. a) La mínima rapidez v0 para que el cubo pueda volcar alrededor del tope, sin despegarse. b) La fracción de la energía perdida en forma de calor, consumida para lograr el objetivo. 19. Resuelva el problema anterior, si el cuerpo a analizar fuera un aro delgado de radio R, reforzado con cuatro rayos de longitud R, dispuestos en ángulo recto. La masa del aro es 0,6m, y la de los rayos es 0,1m. 20. Una esfera maciza de masa m y radio R rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal a la velocidad constante v, hasta que delante de ella encuentra un plano inclinado un ángulo con la horizontal ( < 45°). Si la esfera no rebota sobre el plano inclinado antes de iniciar su ascenso sobre él, determinar: 16. Resolver el problema anterior, si el cubo se reemplaza por una escuadra de masa m, compuesta por dos barras esbeltas y perpendiculares de longitud 2L/3y L/3, soldadas rígidamente en sus bordes, con el ángulo recto en posición de impacto, cuando se la dispone de la siguiente manera: a) La velocidad con la cual la esfera inicia su ascenso en el plano. b) La pérdida de energía que tiene lugar en el lapso que la esfera cambia su trayectoria. Choques Excéntricos 21. Una varilla esbelta AB se suelta del reposo en la posición horizontal. Al llegar a su posición vertical, choca con el extremo C de otra varilla CD que descansa en una superficie lisa. Si el coeficiente de restitución es e = 0,5, calcular, después del choque: a) Con el tramo L/3 en posición vertical. b) Con el tramo 2L/3 en posición vertical. 17. Según se aprecia, una barra esbelta y homogénea de masa m y longitud L = 80 cm se encuentra inicialmente en posición vertical, articulada en el apoyo no fijo A, el cual descansa sobre una mesa rugosa. Asimismo, la barra tiene anclada en el punto C un tope, tal que cuando gire 90° quede pivotada en B (sin rebotar), instante en el cual A pierde contacto con la mesa. En estas condiciones, determinar: a) La velocidad final de las varillas. b) El porcentaje de energía perdida. 22. La barra esbelta y homogénea de 2 m de longitud y masa m se encuentra inicialmente en reposo en posición vertical, según se muestra. En t = 0 se le libera, gira apoyada en A, para luego chocar en la esquina del escalón C sin rebotar, y finalmente girar apoyada en C. Con la información dada, e ilustrando con esquemas que sustenten su solución, calcular la velocidad angular de la barra en las siguientes circunstancias: a) La velocidad angular de la barra después que queda pivotada en B. b) La fracción de energía perdida después que la barra queda pivotada. 18. Una pelota (supuesto cascarón esférico) de radio R = 10 cm rueda sin deslizar sobre un piso horizontal, hasta que delante de ella se encuentra un peldaño de altura h < R. Calcular: a) La mínima rapidez v con que debe rodar la pelota para poder subir por el peldaño sin despegarse de éste. 4 a) Un instante antes del impacto en C. b) Un instante después del impacto con C. c) Cuando se sitúa en posición horizontal. a) La velocidad angular del disco y del mango del martillo después del choque. b) La fracción o porcentaje de energía perdida como producto del choque. 23. En la figura se muestra una caja cuadrada de lado b, que ha de impactar en el tope B a la velocidad v1. Si el coeficiente de restitución entre la caja y el tope es e = 0,5, calcular para después del choque: a) La velocidad angular de la caja. b) La velocidad del centro de masa. 26. Se dispara una bala de 50 g de masa con una velocidad horizontal v0 = 400 m/s contra un panel cuadrado de lado b = 20 cm y masa M = 4,95 kg. Si la bala impacta horizontalmente en el borde inferior del panel, el cual está en reposo inicialmente, calcular: 24. En la figura, la placa que hace de blanco de un concurso de tiro, es un disco circular de 5 kg de masa y 30 cm de radio, que puede girar libremente alrededor del eje z. Una bala de 25 g de masa impacta en la placa a la velocidad de 600 m/s, incrustándose totalmente en ella. Calcular: a) La velocidad angular del panel inmediatamente después de haberse incrustado el proyectil. b) La máxima inclinación que logra el conjunto con la bala incrustada. c) La reacción impulsiva en A, suponiendo que la bala se incruste en la placa en tan solo 2 ms. a) La velocidad angular del conjunto después del choque. b) La fracción de energía perdida –en forma de calor– como consecuencia de la incrustación de la bala. 27. La barra mostrada tiene una masa de 10 kg, mide 2 m, y está articulada en O. Una bala de 50 g de masa la impacta a la velocidad de 200 m/s en la dirección indicada, incrustándose en ella en un lapso t = 20 ms. Calcular las componentes impulsivas de la reacción en O, suponiendo que la barra no se ha movido de su posición inicial significativamente. 25. En la figura se muestra un disco macizo de masa m = 5 kg, radio geométrico r = 20 cm y radio de giro centroidal kA = 16 cm, que gira a la velocidad angular constante 1 = 90 rpm en sentido horario. 28. Una barra esbelta CDE de longitud L y masa m está articulada en su punto medio O. Otra varilla AB igual a CDE pivota alrededor de la articulación A a la velocidad angular . Si el extremo B golpea el extremo C de CDE, y el coeficiente de restitución es e, y asumiendo que el tiempo de contacto del golpe es despreciable, hallar la velocidad angular de cada varilla luego del choque. Según se aprecia, el disco lleva en su contorno una pestaña que ha de chocar con el mazo de un martillo, inicialmente en equilibrio y pivotado en B, con un tramo de su mango distante a = 40 cm. Si el momento de inercia del martillo con respecto a B es IB = 0,5 kg. m2, y el coeficiente de restitución entre la pestaña y el borde del mango del martillo es e = 0,8, ilustrando con esquemas, calcular: 5 29. Una jabalina de 800 g de masa impacta en una barra esbelta ABC de masa m = 4 kg a la velocidad v0 = 10 m/s. Sabiendo que la jabalina se incrusta en el borde inferior de la barra en C en un lapso de 4 ms, sin penetrar demasiado, calcular, inmediatamente después del impacto: 32. La barra esbelta AB de masa m se suelta del reposo en la posición horizontal, y al situarse en la posición vertical golpea con el botón K a la barra esbelta CD de masa m/2. Sabiendo que el coeficiente de restitución entre K y CD es e = 0,8, calcular, inmediatamente después del choque: a) La velocidad angular de cada varilla. b) El porcentaje de energía perdida. a) La velocidad angular de la barra. b) Las componentes de la reacción impulsiva en B. 33. En la figura se muestra una bola de boliche de masa m1 = 4,5 kg, modelada como una esfera maciza y homogénea (ICM = 2/5 mr2), que rueda sin deslizar a la velocidad v1 = 6 m/s, hasta chocar con un pino de masa m2 = 1,5 kg, y momento de inercia con respecto a su centro de masa IC = 250 kg.cm2, en reposo inicialmente. Según se aprecia, la línea de choque entre los cuerpos está desviada el ángulo = 10° con la horizontal, y desde dicha línea se mide su distancia al centro de masa del pino, c = 2 cm. 30. En la figura, la bolita de masa m y el cuadrante de arco circular de masa 2m, articulado en O, se encuentran sobre una mesa horizontal sin fricción. El cuadrante se encuentra inicialmente en reposo en la posición indicada, y la bolita se traslada hasta chocar en el borde A a la velocidad v = 10 m/s. Si el coeficiente de restitución entre la bolita y el cuadrante es e = 0,8, ilustrando con esquemas, calcular la velocidad angular del cuadrante y la velocidad de la bolita después del choque. Si el coeficiente de restitución debido al choque entre los cuerpos es e = 0,9, ilustrando con esquemas, calcular la velocidad de la bola y la velocidad angular del pino inmediatamente después del choque. 31. En la figura se muestra una barra esbelta de masa m y longitud L, que cae horizontalmente hasta que su borde B impacta sobre un plano inclinado ° con la horizontal, que carece de fricción. Considerando que el coeficiente de restitución entre la barra y el plano es e, determinar, inmediatamente después del choque, y en función de : EL PROFESOR DEL CURSO: JMCM Lima, 31 de octubre del 2024 a) La velocidad angular de la barra. b) La velocidad de su centro de masa. c) La fracción de energía perdida. 6
