Solucionario guia elementos de Álgebra Lineal - GONZALEZ Gustavo Rect

Solucionario Guía
de
Elementos de Álgebra Lineal
Gustavo Manuel González
González, Gustavo Manuel
Solucionario guía de elementos de álgebra lineal / Gustavo Manuel González. - 1a ed.
- Posadas : Universidad Nacional de Misiones, 2023.
Libro digital, PDF
Archivo Digital: descarga y online
ISBN 978-950-766-223-2
1. Álgebra Lineal. 2. Matemática Aplicada. 3. Álgebra Matricial. I. Título.
CDD 512.5
2
Solucionario Guía
de
Elementos de Álgebra Lineal
Gustavo Manuel González
3
Nota al lector
Es común en muchas resoluciones matemáticas aplicadas a distintos campos de la ciencia e ingeniería encontrarse con
casos en los que las variables que intervienen están relacionadas mediante un conjunto de ecuaciones lineales. En este
aspecto el álgebra matricial proporciona una notación concisa y clara para la formulación y resolución de tales problemas,
muchos de los cuales serían casi imposibles de plantear con la notación algebraica ordinaria.
El presente solucionario tiene por finalidad mostrar alternativas de procedimientos de resolución de ejercicios de Álgebra
Lineal desde un enfoque matricial. Este enfoque permite integrar de manera sencilla el álgebra con softwares de cómputo
para facilitar la carga de datos y la resolución de problemas. El software utilizado aquí es el GNU Octave, un software de
licencia libre, el cual permite facilitar el desarrollo los cálculos convirtiéndose en una gran herramienta de apoyo al
estudiante.
4
Índice
UNIDAD 1 – MATRICES Y SISTEMAS LINEALES .......................................................................................... 7
Sistemas de ecuaciones Lineales ....................................................................................................................7
Ecuaciones vectoriales .................................................................................................................................12
La ecuación matricial 𝑨𝐱 = 𝐛.......................................................................................................................15
Conjuntos solución de los sistemas lineales ................................................................................................18
Aplicaciones de los sistemas lineales ...........................................................................................................21
Independencia lineal ....................................................................................................................................27
Modelos lineales en negocios, ciencias e ingeniería ....................................................................................32
Matrices y sus operaciones ..........................................................................................................................39
La inversa de una matriz...............................................................................................................................44
Matrices partidas y matrices en bloques .....................................................................................................50
Factorización de matrices.............................................................................................................................52
Modelos matriciales de entrada y salida......................................................................................................60
UNIDAD 2 – Espacios Vectoriales .......................................................................................................... 63
Introducción a los espacios vectoriales ........................................................................................................63
Subespacios vectoriales................................................................................................................................76
Espacios nulos, espacios columna y transformaciones lineales...................................................................81
Conjuntos linealmente independientes y bases ..........................................................................................87
Sistemas de coordenadas .............................................................................................................................95
Dimensión de un espacio vectorial ............................................................................................................101
Rango ..........................................................................................................................................................108
Cambio de base ..........................................................................................................................................115
Aplicaciones a cadenas de Markov ............................................................................................................121
UNIDAD 3 – TRANSFORMACIONES LINEALES ....................................................................................... 129
Introducción a las transformaciones lineales.............................................................................................129
La matriz de una transformación lineal y condiciones de existencia y unicidad .......................................137
Aplicaciones a los gráficos por computadora.............................................................................................142
Subespacios de ℝ𝒏.....................................................................................................................................145
Dimensión y rango......................................................................................................................................149
UNIDAD 4 – DETERMINANTES Y SISTEMAS LINEALES ........................................................................... 155
Determinante de una matriz ......................................................................................................................155
Regla de Cramer, Superficie y Volumen .....................................................................................................162
Matriz inversa y determinante ...................................................................................................................164
Rango de una matriz y determinantes – Teorema de Rouché - Frobenius................................................167
5
UNIDAD 5 – AUTOVALORES Y AUTOVECTORES ....................................................................................171
Valores y vectores propios (Autovalores y Autovectores) ........................................................................ 171
La ecuación característica.......................................................................................................................... 180
Diagonalización .......................................................................................................................................... 187
Vectores propios y transformaciones lineales .......................................................................................... 192
Sistemas dinámicos discretos .................................................................................................................... 198
Estimaciones iterativas para valores propios ............................................................................................ 201
Producto interior, longitud y ortogonalidad ............................................................................................. 206
Conjuntos ortogonales .............................................................................................................................. 211
Ortogonalidad y mininos cuadrados.......................................................................................................... 218
El proceso Gram-Schmidt .......................................................................................................................... 222
Aplicaciones de mínimos cuadrados a modelos lineales........................................................................... 231
Espacios con producto interior .................................................................................................................. 234
Matrices simétricas.................................................................................................................................... 237
UNIDAD 6 – FORMAS CUADRATICAS ...................................................................................................245
Introducción a las formas cuadráticas ....................................................................................................... 245
ANEXO – COMANDOS Y FUNCIONES DE GNU OCTAVE..........................................................................249
Construcción de matrices .......................................................................................................................... 249
Funciones matemáticas elementales ........................................................................................................ 252
Matrices predefinidas ................................................................................................................................ 252
Funciones aplicadas al Álgebra .................................................................................................................. 254
Funciones de Factorización y/o Descomposición Matricial ...................................................................... 255
Funciones basadas en el cálculo de valores y vectores propios: ............................................................... 256
Fuentes consultadas ...........................................................................................................................257
6
UNIDAD 1 – MATRICES Y SISTEMAS LINEALES
Sistemas de ecuaciones Lineales
Ejercicio 1.
¿Es (5, 0, -2) una solución del siguiente sistema? ¿Cuál es la dimensión del sistema?
−2𝑥1 + 3𝑥2 − 4𝑥3 = −2
2𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = 2
𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 11
Resolución:
El sistema es de 3×3, ya que cuenta con 3 ecuaciones y tres incógnitas. Reemplazando el punto (5, 0, -2) en cada una de
las ecuaciones se tiene
−2. (5) + 3. (0) − 4. (−2) = −2
−2 = −2
2. (5) − 2. (0) + 4. (−2) = 2 →
2=2
11 = 11
5. (5) − 6. (0) + 7. (−2) = 11
Se observa que el punto es solución del sistema, dado que se cumplen todas las ecuaciones.
Ejercicio 2.
¿Es (-1, 3, 2) una solución del siguiente sistema?
𝑥2 − 5𝑥3 = 4
2𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = 3
5𝑥1 − 6𝑥2 + 7𝑥3 = −9
Resolución:
Reemplazando el punto (-1, 3, 2) en cada una de las ecuaciones se tiene
0. (−1) + 1. (3) − 5. (2) = 4
−7 ≠ 4
2. (−1) − 3. (3) + 1. (2) = 3 → −9 ≠ 3
−9 = −9
5. (−1) − 6. (3) + 7. (2) = 1
Se observa que el punto no es solución del sistema, ni siquiera, aunque se cumpla solo una de las ecuaciones.
Ejercicio 3.
Dado el sistema
𝑥2 − 4𝑥3 = 8
2𝑥1 − 3𝑥2 + 2𝑥3 = 1
5𝑥1 − 8𝑥2 + 7𝑥3 = 1
Convierta el mismo a la forma matricial ampliada y resuélvalo mediante operaciones por filas.
Resolución:
En este caso el sistema se puede expresar como:
𝑥2 − 4𝑥3 = 8
0 1 −4 8
2𝑥1 − 3𝑥2 + 2𝑥3 = 1 → [2 −3 2 |1]
5𝑥1 − 8𝑥2 + 7𝑥3 = 1
5 −8 7
1
Donde la matriz se denomina matriz ampliada, operando por filas se tendrá
1⁄
1⁄
1 −3⁄2 1
0 1 −4 8 𝑓1 ⇆𝑓2 2 −3 2
1 𝑓1 →1⁄ 𝑓1 1 −3⁄2 1
2
2 𝑓3 →𝑓3 −5𝑓1
2
[2 −3 2 |1] →
[0 1 −4 |8] →
[0
[0
1
−4 | 8 ]
1
−4 | 8 ] →
−3⁄
5 −8 7
1
5 −8 7
1
0 −1⁄2 2
5 −8
7
1
2
1
𝑓3 →𝑓3 + 𝑓2
2
→
1
[0
0
−3⁄
2
1
0
1
−4
0
1⁄
2
| 8 ]
5⁄
2
No se obtiene la forma triangular, también se observa que 0 ≠ 5⁄2, con lo cual el sistema es inconsistente.
Ejercicio 4.
En cada uno de los sistemas, exprese las operaciones por filas necesarias para hallar la solución
𝑥1 + 4𝑥2 − 2𝑥3 + 8𝑥4 = 12
𝑥1 − 3𝑥2 + 5𝑥3 − 2𝑥4 = 0
𝑥2 − 7𝑥3 + 2𝑥4 = −4
𝑥2 + 8𝑥3
= −4
a.
b.
5𝑥3 − 𝑥4 = 7
2𝑥3
=3
𝑥3 + 3𝑥4 = −5
𝑥4 = −5
7
Resolución:
Para cada punto se arma una matriz y se enuncian las operaciones previamente a la matriz siguiente, resuelta mediante
operaciones por filas.
1
a. [0
0
0
4
1
0
0
−2 8
−7 2
5 −1
1 3
12 𝑓1 →𝑓1−4𝑓2 1
𝑓3 ⇆𝑓4
−4
| ]→
[0
7
0
−5
0
0
1
0
0
26 0
−7 2
1 3
5 −1
𝑓1 →𝑓1 +78𝑓4
1 0 0 −78 158 𝑓2→𝑓2 −23𝑓4 1
𝑓3 →𝑓3 −3𝑓4 0
→
[0 1 0 23 |−39] →
[
0 0
1 3
0
−5
0 0
0 1
0
−2
La solución del sistema es 𝑆 = {(2 , 7 , 1 , −2)}
−1
𝑓4 → 16 𝑓4
1 −3
b. [0 1
0 0
0 0
0
1
0
0
𝑓1 →𝑓1 −26𝑓3
28 𝑓2 →𝑓2+7𝑓3 1
𝑓4 →𝑓4 −5𝑓3 0
−4
| ]→
[
0
−5
0
7
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
−78
23
3
−16
158
−39
|
]
−5
32
0
1
0
0
29 −2
8
0
1 0
0 1
−12
−4
|3 ]
⁄2
−5
2
|7]
1
−2
0
1 0 29 −2 −12
1
1
𝑓3 → 𝑓3
𝑓1 →𝑓1 +3𝑓2 0 1
2
8
0
−4
−4
| ]→
[
|
]→
[0
3
3
0 0
2 0
0
−5
0 0
0 1
−5
0
−64
−54
1 0 0 0
𝑓1 →𝑓1 −29𝑓3 1 0 0 −2
−16 𝑓1 →𝑓1 +2𝑓4 0 1 0 0 −16
𝑓2 →𝑓2 −8𝑓3 0 1 0
0
→
[
|3 ]→
[
|3 ]
0 0 1 0
0 0 1 0
⁄2
⁄2
0 0 0 1
0
0
0
1
−5
−5
La solución del sistema es 𝑆 = {(−64 , −16 , 3⁄2 , −5)}
5 −2
8 0
2 0
0 1
Ejercicio 5.
Resuelva los sistemas de los siguientes ejercicios y establezca de que tipo de sistemas se tratan.
𝑥1 − 3𝑥3 = 8
𝑥2 + 4𝑥3 = −5
𝑥1 − 3𝑥2 + 4𝑥3 = −4
a. 2𝑥1 + 2𝑥2 + 9𝑥3 = 7
b. 3𝑥1 + 9𝑥2 + 15𝑥3 = −4
c. 3𝑥1 − 7𝑥2 + 7𝑥3 = −8
−4𝑥1 + 6𝑥2 − 𝑥3 = 7
𝑥2 + 5𝑥3 = −2
3𝑥1 + 7𝑥2 + 7𝑥3 = 6
Resolución:
Operando por filas se tendrá
0 1 −3
7 𝑓1 →1𝑓1 1 1 9/2 7/2
8 𝑓1 ⇆𝑓2 2 2 9
2
a. [2 2 9 | 7 ] →
[0 1 −3 | 8 ] →
[0 1 −3 | 8 ]
0 1 5
−2
0 1 5
−2
0 1
5
−2
15
𝑓 →𝑓 − 𝑓
−9/2 1 1 2 3 1 0 0 39/8
𝑓2 →𝑓2 +3𝑓3
→
| 8 ]→
[0 1 0 | 17/4 ]
−5/4
0 0 1 −5/4
39
17
El sistema es compatible determinado, y su solución es 𝑆 = {( ⁄8 , ⁄4 , −5⁄4)}
−4/3
0 1 4
−5 𝑓1 ⇆𝑓2 3 9 15 −4 𝑓1→1𝑓1 1 3 5 −4/3 𝑓3 →𝑓3−3𝑓1 1 3
5
3
b. [3 9 15 |−4] →
[0 1 4 |−5] →
[0 1 4 | −5 ] →
[0 1
4 | −5 ]
6
3 7 7
6
3 7 7
3 7 7
0 −2 −8
6
10
𝑓1 →𝑓1 −3𝑓2
123/9
1
0
−7
𝑓3 →𝑓3 +2𝑓2
→
[0 1 4 | −5 ]
0 0 0
0
Se observa que no se obtiene la forma triangular, pero también se observa que 0 = 0, con lo cual el sistema es compatible
indeterminado.
𝑓1 →𝑓1 −𝑓2
𝑓3 →𝑓3 −𝑓2
1
[0
0
0 15/2
1 −3
0
8
−9/2 𝑓3 →1𝑓3 1
8
| 8 ]→
[0
−10
0
Se obtienen las ecuaciones 𝑥1 − 7𝑥3 =
123
9
0
1
0
15/2
−3
1
, 𝑥2 + 4𝑥3 = −5
La solución puede representarse en función de 𝑥2 y 𝑥3 de la forma 𝑆 = {(
1
𝑓
2 2
𝑓3 +3𝑓2
123
9
+ 7𝑥3 , −5 − 4 𝑥3 , 𝑥3 )}
1 1
1 −3
4
1 −3 4
−4 𝑓𝑓2 −3𝑓
−3 4
−4
−4
3 +4𝑓1
−5
c. [ 3 −7 7 |−8] →
[0 2 −5 | 4 ] →
[0 1
⁄2 | 2 ]
3
−4 6 −1
7
0 −6 15 −9
0 0
0
Se observa que no se obtiene la forma triangular, también se observa que 0 ≠ −10, con lo cual el sistema es inconsistente,
con lo cual 𝑆 = ∅.
Ejercicio 6.
¿Las tres rectas 𝑥1 − 4𝑥2 = 1, 2𝑥1 − 𝑥2 = −3, y −𝑥1 − 3𝑥2 = 4 tienen un punto de intersección
común? Explique su respuesta.
Resolución:
Cada una de las ecuaciones espacialmente puede ser interpretada como una recta en ℝ2 . Las tres rectas y sus interacciones
pueden estudiarse formando un único sistema y resolviéndolo mediante operaciones por fila.
8
2 −2𝑓1 1
−4
1 𝑓3 →𝑓3+𝑓2 1 −4
1
1 −4
1 𝑓𝑓2 →𝑓
3 →𝑓3 +𝑓1
[ 2 −1 |−3] →
[0 7 |−5] →
[0 7 |−5]
−1 −3
4
0 −7
5
0 0
0
Hasta aquí se observa que para el sistema las tres rectas cortaran en un mismo punto, para conocerlo se sigue operando:
1
−13/7
1
𝑓2 → 𝑓2 1 −4
𝑓1 →𝑓1 +4𝑓2 1 0
7
→
[0 1 |−5/7] →
[0 1 | −5/7 ]
0 0
0 0
0
0
−13
−5
Las tres rectas cortaran en el punto solución: 𝑆 = {(
⁄7 , ⁄7)}.
Ejercicio 7.
¿Los tres planos 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 4, 𝑥2 − 𝑥3 = 1, y 𝑥1 + 3𝑥2 = 0 tienen al menos un punto de
intersección común? Explique su respuesta.
Resolución:
Los tres planos pueden estudiarse formando un único sistema
1 2 1 4 𝑓2 →𝑓2−𝑓1 1 2 1
4 𝑓3 →𝑓3−𝑓2 1 2 1
4
. [1 3 0 0] →
[0 1 −1 −4] →
[0 1 −1 −4]
5
0 1 −1 1
0 1 −1 1
0 0 0
Se observa que no se obtiene la forma triangular, también se observa que 0 ≠ 50, con lo cual el sistema es inconsistente,
con lo cual los tres planos no se cortaran en ningún punto.
Ejercicio 8.
Marque cada enunciado como verdadero o falso y justifique su respuesta.
a. Todas las operaciones elementales de fila son reversibles.
b. Una matriz de 5 × 6 tiene seis filas.
c. El conjunto solución de un sistema lineal que incluya las variables 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 es una lista de números (𝑠1 , . . . , 𝑠𝑛 ) que
hace de cada ecuación del sistema un enunciado verdadero cuando los valores 𝑠1 , . . . , 𝑠𝑛 sustituyen, respectivamente,
a 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛
d. Las dos preguntas fundamentales acerca de un sistema lineal involucran la existencia y la unicidad.
e. En una matriz aumentada, las operaciones elementales de fila no cambian nunca el conjunto solución del sistema
lineal asociado.
f. Dos matrices son equivalentes por filas cuando poseen el mismo número de filas.
g. Un sistema inconsistente tiene más de una solución.
h. Dos sistemas lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.
Resolución:
a. Verdadero. Todas las operaciones elementales de fila son reversibles.
b. Falso. Una matriz de 5 × 6 tiene cinco filas.
c. Falso. La solución solo se aplicaría a un sistema de solución única.
d. Verdadero. ¿La solución existe? (existencia) ¿Es única? (unicidad).
e. Verdadero. Las operaciones elementales de fila no cambian nunca el conjunto solución del sistema lineal asociado.
f. Falso. Dos matrices no son equivalentes por filas solo por poseer el mismo número de filas.
g. Falso. Un sistema inconsistente no tiene solución.
h. Verdadero. Por definición de sistemas equivalentes.
Ejercicio 9.
Encuentre una ecuación que involucre a 𝑔, ℎ 𝑦 𝑘, la cual permita que esta matriz aumentada
corresponda a un sistema consistente:
1 −4
7 𝑔
[ 0
3 −5 ℎ ]
−2
5 −9 𝑘
Resolución:
La situación puede estudiarse formando el sistema
𝑔
𝑔
1 −4 7 𝑔 𝑓3 →𝑓3+2𝑓1 1 −4 7
7
𝑓3 →𝑓3 +𝑓2 1 −4
ℎ ]→
ℎ
[0
[0 3 −5
[0 3 −5
]
3 −5 ℎ ] →
−2 5 −9 𝑘
0 −3 5 𝑘 + 2𝑔
0 0
0 𝑘 + 2𝑔 + ℎ
Como no se obtiene la forma diagonal, el único sistema consistente posible es el compatible indeterminado, con lo cual
toda la fila deberá ser cero: 𝑘 + 2𝑔 + ℎ = 0.
Ejercicio 10.
Suponga que 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 son constantes de tal forma que a es diferente de cero y el sistema presentado a
continuación es consistente para todos los valores posibles de 𝑓 y 𝑔. ¿Qué puede afirmarse acerca de los números 𝑎, 𝑏, 𝑐
y 𝑑? Justifique su respuesta.
𝑎𝑥1 + 𝑏𝑥2 = 𝑓
𝑐𝑥1 + 𝑑𝑥2 = 𝑔
Resolución:
9
La situación puede estudiarse formando el sistema
𝑐
𝑓 𝑓2 →𝑓2 −𝑎𝑓1 𝑎
]→
[
𝑔
0
𝑓
𝑐
𝑐 ]
𝑑− 𝑏 𝑔− 𝑓
𝑎
𝑎
𝑐
Como se obtiene la forma diagonal, el sistema será consistente siempre que 𝑑 − 𝑏 ≠ 0, con lo cual el múltiplo de los
𝑎
[
𝑐
𝑏
𝑑
𝑏
𝑎
elementos 𝑎. 𝑑 y 𝑐. 𝑑 no deben ser iguales.
Ejercicio 11.
Un aspecto importante en el estudio de la transferencia de calor es determinar la distribución de la
temperatura en estado estable sobre una placa delgada cuando se conoce la temperatura presente alrededor de los bordes.
Suponga que la placa mostrada en la figura representa la sección transversal de una viga de
metal, con un flujo de calor insignificante en la dirección perpendicular a la placa. Sean
𝑇1 , . . . , 𝑇4 las temperaturas en los cuatro nodos interiores de la malla que se muestra en la
figura. En un nodo, la temperatura es aproximadamente igual al promedio de los cuatro nodos
más cercanos —a la izquierda, arriba, a la derecha y abajo. Por ejemplo:
10 + 20 + 𝑇2 + 𝑇4
𝑇1 =
𝑜 4𝑇1 − 𝑇2 − 𝑇4 = 30
4
Escriba un sistema de cuatro ecuaciones cuya solución proporcione un estimado para las temperaturas 𝑇1 , . . . . , 𝑇4 .
Resolución:
Se comienza formando cada una de las ecuaciones:
10 + 20 + 𝑇2 + 𝑇4
𝑇1 =
⇒ 4𝑇1 − 𝑇2 − 𝑇4 = 30
4
𝑇1 + 20 + 40 + 𝑇3
𝑇2 =
⇒ 4𝑇2 − 𝑇3 − 𝑇1 = 60
4
𝑇4 + 𝑇2 + 40 + 30
𝑇3 =
⇒ 4𝑇3 − 𝑇2 − 𝑇4 = 70
4
10 + 𝑇1 + 𝑇3 + 30
𝑇4 =
⇒ 4𝑇4 − 𝑇1 − 𝑇3 = 40
4
La situación puede estudiarse formando el sistema
4
−1
[
0
−1
−1
4
−1
0
0
−1
4
−1
−1
0
−1
4
1
𝑓1 → 𝑓1
4
𝑓2 →4𝑓2 +𝑓1
𝑓4 →4𝑓4 +𝑓1
30
60] →
70
40
1
𝑓1 →𝑓1 + 𝑓2
4
𝑓3 →𝑓3 +𝑓2
𝑓4 →𝑓4 +𝑓2
→
1
[0
0
0
1
𝑓1 →𝑓1 + 𝑓3
15
4
𝑓2 →𝑓2 + 𝑓3
15
64
𝑓4 →𝑓4 + 𝑓3
15
→
2
𝑓1 →𝑓1 + 𝑓4
7
1
𝑓2 →𝑓2 + 𝑓4
7
2
𝑓3 →𝑓3 + 𝑓4
7
1
[0
0
0
1
[0
0
0
−1/4
15
−1
−1
0
1
0
0
−1/15
−4/15
56/15
−64/15
0
1
0
0
0
0
1
0
−2/7
−1/7
−2/7
96/7
0
−4
4
−4
−4/15
−1/15
−16/15
224/15
−1/4
−1
−1
15
15/2
1
1
𝑓→ 𝑓
270 ] →2 15 2 [0
0
70
0
190
12
1
15
𝑓→ 𝑓
18 ] →3 56 3 [0
88
0
208
0
95/7
1
7
170/7 𝑓4 →96𝑓4 0
]→
[
0
165/7
0
2160/7
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
−1/4
1
−1
−1
−1/15
−4/15
1
−64/15
−2/7
−1/7
−2/7
1
0
−4/15
4
−4
−1/4
−1/15
−1
15
−4/15
−1/15
−2/7
224/15
12
18 ]
165/7
208
15/2
18 ]
70
190
95/7
170/7
]
165/7
45/2
20
1 0 0 0
55/2
→
[0 1 0 0
]
0 0 1 0
30
0 0 0 1 45/2
La solución es 𝑇1 = 20°C, 𝑇2 = 27,5°C, 𝑇3 = 30°C y 𝑇4 = 22,
Ejercicio 12.
Encuentre las soluciones generales de los sistemas cuyas matrices aumentadas se dan a continuación
1 2 −5 −6 0 −5
1 3 4 7
1 4 0 7
a. [
]
b. [
]
c. [0 1 −6 −3 0 2 ]
0 0
0 0
1 0
3 9 7 6
2 7 0 10
0 0
0 0
0 0
Resolución:
Se comienza
10
1
1 3 4 7 𝑓2 →𝑓2−3𝑓1 1 3 4
7 𝑓2 →−5𝑓2 1 3 4 7 𝑓1→𝑓1 −4𝑓2 1 3 0 −5
a. [
]→
[
]→
[
]→
[
]
3 9 7 6
0 0 −5 −15
0 0 1 3
0 0 1 3
Se obtienen las ecuaciones 𝑥1 + 3𝑥2 = −5 𝑦 𝑥3 = 3
La solución puede representarse como función de 𝑥2 de la forma 𝑆 = {(−5 − 3𝑥2 , 𝑥2 , 3)}
1 4 0 7 𝑓2→𝑓2 −2𝑓1 1 4 0 7 𝑓2→−𝑓2 1 4 0 7 𝑓1→𝑓1 −4𝑓2 1 0 0 −9
b. [
]→
[
]→
[
]→
[
]
2 7 0 10
0 −1 0 −4
0 1 0 4
0 1 0 4
La solución puede representarse como función de 𝑥2 de la forma 𝑆 = {(−9 , 4 , 0)}
1 2 −5 −6 0 −5
1 0 7
0 0 −9
𝑓1 →𝑓1 −2𝑓2 0 1 −6 −3 0
0
1
2]
−6
−3
0
2
c. [
]→
[
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
Se obtienen las ecuaciones 𝑥1 + 7𝑥3 = −9, 𝑥2 − 6𝑥3 − 3𝑥4 = 2 𝑦 𝑥5 = 0
La solución puede representarse en función de 𝑥2 y 𝑥3 de la forma 𝑆 = {(−9 − 7𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥3 ,
2−𝑥2 +6𝑥3
−3
, 0)}
Ejercicio 13.
Las siguientes matrices están en forma escalonada. Las entradas principales (■) pueden tener cualquier
valor distinto de cero; las entradas con asterisco (∗) pueden tener cualquier valor (incluso cero). Suponga que cada matriz
representa la matriz aumentada para un sistema de ecuaciones lineales. En cada caso, determine si el sistema es
consistente. De ser así, establezca si la solución es única.
■ ∗ ∗ ∗
0 ■ ∗ ∗ ∗
■ ∗ ∗
■ ∗ ∗ ∗ ∗
a. [ 0 ■ ∗ ∗ ]
b.[0 0 ■ ∗ ∗ ]
c. [ 0 ■ ∗ ] d. [ 0 0 ■ ∗ ∗]
0 0 ■ 0
0 0 0 0 ■
0 0 0
0 0 0 ■ ∗
Resolución:
a. Sistema compatible determinado, se obtiene la forma triangular.
b. Sistema incompatible, no se tienen variables y la igualdad es distinta de cero.
c. Sistema compatible indeterminado, se obtiene la forma escalonada y la última fila es cero.
d. Sistema compatible indeterminado, se obtiene la forma escalonada, pero se tiene una variable libre.
Ejercicio 14.
En los siguientes puntos determine el valor o los valores de ℎ tales que la matriz sea la matriz aumentada
de un sistema lineal consistente.
1 −3 −2
2 3 ℎ
a. [
]
b.[
]
5 ℎ −7
4 6 7
Resolución:
1
ℎ⁄
2 3 ℎ 𝑓1→2𝑓1 1 3⁄2 ℎ⁄2 𝑓2→𝑓2 −4𝑓1 1 3⁄2
2 ]
a. [
]→
[
]→
[
4 6 7
4 6
7
0 0 7 − 2ℎ
7
La única solución es que el sistema sea compatible indeterminado, con lo cual 7 − 2ℎ = 0, con lo cual ℎ = .
2
−3
−2
1 −3 −2 𝑓2→𝑓2 −5𝑓1 1
b. [
]→
[
]
0 ℎ + 15 3
5 ℎ −7
La solución para que el sistema sea compatible es que ℎ + 15 ≠ 0, con lo cual ℎ ≠ −15.
Ejercicio 15.
Señale cada enunciado como verdadero o falso. Justifique cada respuesta.
a. En algunos casos, una matriz se puede reducir por filas a más de una matriz en forma escalonada reducida, usando
diferentes secuencias de operaciones de fila.
b. El algoritmo de reducción por filas se aplica solamente a matrices aumentadas para un sistema lineal.
c. Una variable básica de un sistema lineal es una variable que corresponde a una columna pivote en la matriz de
coeficientes.
d. Encontrar una descripción paramétrica del conjunto solución de un sistema lineal es lo mismo que resolver el sistema.
e. Si una fila en la forma escalonada de una matriz aumentada es [0 0 0 5 0], entonces el sistema lineal asociado es
inconsistente.
Resolución: Los tres planos pueden estudiarse formando un único sistema
a. Falso. Por unicidad de la forma escalonada reducida, cada matriz es equivalente por filas a una y sólo una matriz
escalonada reducida.
b. Falso. El algoritmo se aplica a cualquier matriz, ya sea vista como una matriz aumentada para un sistema lineal o no.
c. Verdadero. Las variables 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 correspondientes a columnas pivote de la matriz se denominan variables básicas.
d. Verdadero. La descripción paramétrica del conjunto solución de un sistema lineal es una solución.
e. Falso. La fila corresponde a la ecuación 5𝑥4 = 0, lo cual no hace que el sistema sea inconsistente.
Ejercicio 16.
¿Qué debería saberse acerca de las columnas pivote de una matriz aumentada para advertir que el
sistema lineal es consistente y tiene una solución única?
Resolución:
11
Debe saberse que cada columna en el argumento de la matriz excepto la columna de más a la derecha es una columna
pivote, y la columna de más a la derecha no es una columna pivote.
Ejercicio 17.
Un sistema de ecuaciones lineales con menos ecuaciones que incógnitas ocasionalmente se denomina
sistema subdeterminado. Suponga que un sistema así resulta ser consistente. Explique por qué debería existir un número
infinito de soluciones.
Resolución:
Al tener menos ecuaciones que incógnitas y aun siendo consistente tendrá infinitas soluciones por que la solución hallada
estará en función de al menos una variable libre.
Ejercicio 18.
[Octave] En un experimento de túnel de viento, la fuerza sobre un proyectil debida a la resistencia del
aire se midió a diferentes velocidades:
Velocidad (100 pies⁄seg) 0
2
4
6
8
10
Fuerza (100 lb)
0 2,90 14,8 39,6 74,3 119
Encuentre un polinomio de interpolación para estos datos y estime la fuerza sobre el proyectil cuando éste viaja a
750 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔.
Utilice 𝐹(𝑣) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑣 + 𝑎2 𝑣 2 + 𝑎3 𝑣 3 + 𝑎4 𝑣 4 + 𝑎5 𝑣 5 ¿Qué pasaría si se tratara de usar un polinomio con grado
menor que 5? (Por ejemplo, pruebe con un polinomio cúbico.)
Resolución:
El sistema de ecuaciones que debe resolverse es:
𝑎0 + 𝑎1 0 + 𝑎2 02 + 𝑎3 03 + 𝑎4 04 + 𝑎5 05 = 0
𝑎0 + 𝑎1 2 + 𝑎2 22 + 𝑎3 23 + 𝑎4 24 + 𝑎5 25 = 2,90
𝑎0 + 𝑎1 4 + 𝑎2 42 + 𝑎3 43 + 𝑎4 44 + 𝑎5 45 = 14,8
𝑎0 + 𝑎1 6 + 𝑎2 62 + 𝑎3 63 + 𝑎4 64 + 𝑎5 65 = 39,6
𝑎0 + 𝑎1 8 + 𝑎2 82 + 𝑎3 83 + 𝑎4 84 + 𝑎5 85 = 74,3
𝑎0 + 𝑎1 10 + 𝑎2 102 + 𝑎3 103 + 𝑎4 104 + 𝑎5 105 = 119
Del mismos se arma el siguiente sistema
0
1 0 0
0
0
0
2,90
1 2 4
8
16
32
14,8
1 4 16
64 256 1024
1 6
36 216 1296 7776 39,6
1 8
64 512 4096 32768 74,3
[1 10 102 103 104
105
119 ]
Cargando la matriz en Octave y resolviendo se tiene el sistema.
0
1 0 0 0 0 0
1,7125
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 −1,19479
0 0 0 1 0 0 0,66146
0 0 0 0 1 0 −0,07005
[0 0 0 0 0 1
0,0026 ]
Con lo cual la ecuación es
𝐹(𝑣) = 1,7125𝑣 − 1,1948𝑣 2 + 0,6615𝑣 3 − 0,0701𝑣 4 + 0,0026𝑣 5
La Fuerza cuando el proyectil viaja a 750 pies/seg es:
𝐹(0,75) = 1,7125. (0,75) − 1,19479. (0,75)2 + 0,66146. (0,75)3 − 0,07005. (0,75)4 + 0,0026. (0,75)5 = 𝟔𝟒, 𝟖𝒍𝒃𝒇
Viajando a 740 pies/seg la fuerza del proyectil es de 64,8 libras de fuerza.
Código en Octave
>> A=[1 0 0 0 0 0; 1 2 4 8 16 32;1 4 16 64 256 1024; 1 6 36 216 1296 7776; 1 8 64 512
4096 32768; 1 10 100 1E3 1E4 1E5];
>> b=[0; 2.90; 14.8; 39.6; 74.3; 119];
>> x= linsolve(A,b)
x =
0.00000
1.71250
-1.19479
0.66146
-0.07005
0.00260
Ecuaciones vectoriales
12
Ejercicio 19.
Escriba una ecuación vectorial que sea equivalente al sistema de ecuaciones dado.
𝑥2 + 5𝑥3 = 0
4𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 0
−𝑥1 + 3𝑥2 − 8𝑥3 = 0
Resolución: La ecuación vectorial equivalente es:
1
0
0
5
( 1 ) 𝑥1 + (1) 𝑥2 + (−1) 𝑥3 = (0)
−1
3
0
−8
Ejercicio 20.
En los siguientes puntos, determine si b es una combinación lineal de los vectores formados a partir de
las columnas de la matriz A.
1 −4 2
3
1 −2 −6
11
i. 𝐴 = [ 0
ii. 𝐴 = [0 3
3
5 ] , 𝐛 = [−7]
7 ] , 𝐛 = [−5]
−2 8 −4
−3
1 −2 5
9
Resolución: en i. si las columnas de 𝐴 son combinación lineal de 𝐛 se tendría que:
−4
3
1
2
( 0 ) 𝑥1 + ( 3 ) 𝑥2 + ( 5 ) 𝑥3 = (−7)
8
−2
−4
−3
Donde los valores de 𝑥1 , 𝑥2 y 𝑥3 son los pesos correspondientes a la matriz ampliada, la cual de poder operarse mediante
operaciones por fila. Obtener la forma triangular es condición necesaria y suficiente para establecer que el sistema es
compatible determinado, con lo cual las columnas que forman 𝐛 son linealmente independientes. En caso contrario se
tendría una dependencia lineal.
1 −4 2
3 𝑓3 →𝑓3+2𝑓1 1 −4 2 3
i. 𝐴 = [ 0
[0 3 5 −7]
3
5 −7] →
−2 8 −4 −3
0 0 0 3
Sistema incompatible, no se obtiene forma triangular, las columnas de 𝐴 no son combinación lineal de 𝐛.
ii. El análisis es el mismo para el punto i. con lo cual operando:
1 −2 −6 11 𝑓3→𝑓3 −𝑓1 1 −2 −6 11
𝐴 = [0 3
[0 3
7 −5] →
7 −5]
1 −2 5
9
0 0 11 −2
Sistema compatible, se obtiene forma triangular, las columnas de 𝐴 son combinación lineal de 𝐛.
𝑏1
1
3
4
Ejercicio 21.
Sea 𝐴 = [−4 2 −6] , 𝐛 = [𝑏2 ]. ¿La ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 es consistente para todas las posibles
𝑏3
−3 −2 7
𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ?
Resolución: Para ello se debe estudiar si se cumple la relación mediante la forma ampliada
𝑏1
1
3
4 𝐱𝟏
1
3
4 𝑏1
𝐱
𝑏
𝐴𝐱 = 𝐛 → [−4 2 −6] [ 𝟐 ] = [ 2 ] → [−4 2 −6 𝑏2 ]
𝑏3
−3 −2 7 𝐱 𝟑
−3 −2 7 𝑏3
Operando por filas intentando obtener una forma triangular nos permitirá establecer una única variable que relacionará
los valores de 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3
2 +4𝑓1 1
𝑏1
𝑏1
1
3
4 𝑏1 𝑓𝑓2 →𝑓
3
4
3
4
𝑓3 →2𝑓3 −𝑓2 1
2 →𝑓3 +3𝑓1
𝑏
𝑏
+
4𝑏
𝑏
+
4𝑏1 ]
[−4 2 −6
[0 14 10
[0 14 10
2] →
2
1] →
2
𝑏
𝑏
+
3𝑏
2𝑏
+
2𝑏
−3 −2 7
0 7 19
0 0 28
3
3
1
3
1 − 𝑏2
Como se observa, el sistema es compatible determinado y la relación entre los valores de 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 no presentan ningún
tipo de restricción, con lo cual 𝐴𝐱 = 𝐛 es consistente para todas las posibles 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 .
Ejercicio 22.
En los siguientes puntos, señale cada enunciado como verdadero o falso. Justifique cada una de sus
respuestas.
−4
a. Una notación distinta para el vector [ ] es [−4 3].
3
−2
−5
b. Los puntos en el plano correspondientes a [ ] y [ ]están sobre una línea que pasa por el origen.
5
2
c. Un ejemplo de una combinación lineal de los vectores 𝑣1 y 𝑣2 es el vector 12𝑣1 .
d. El conjunto solución del sistema lineal cuya matriz aumentada es [𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑏] es igual al conjunto solución de
la ecuación 𝑥1 𝑎1 + 𝑥2 𝑎2 + 𝑥3 𝑎3 = 𝑏 .
e. El conjunto 𝑮𝒆𝒏{𝐮, 𝐯} o siempre se visualiza como un plano que pasa por el origen.
f. Cualquier lista de cinco números reales es un vector en ℝ3 .
g. El vector u resulta cuando al vector 𝐮 – 𝐯 se le suma el vector 𝐯.
h. Los pesos 𝑐1 , … … … 𝑐𝑝 en una combinación lineal 𝑣1 𝑐1 + … … + 𝑣𝑝 𝑐𝑝 no pueden ser todos iguales a cero.
13
Cuando 𝐮 y 𝐯 son vectores distintos de cero, 𝑮𝒆𝒏{𝐮, 𝐯} contiene la línea que pasa por 𝐮 y por el origen.
Preguntar si el sistema lineal correspondiente a una matriz aumentada [𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑏] tiene una solución es lo
mismo que preguntar si 𝒃 está en 𝑮𝒆𝒏[𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 ].
Resolución:
a. Falso. En notación matricial uno es un vector fila y otro vector columna, no son equivalentes.
b. Falso. De corresponder a puntos de una recta que pasan por el origen serian múltiplos y no lo son.
c. Verdadero. La combinación corresponde a 12𝑣1 + 0𝑣2 .
d. Verdadero. Por operación entre matrices.
e. Falso. La visualización dependerá de la dimensión ℝn y de la dependencia lineal entre vectores.
f. Falso. Una lista de 5 números es un vector de ℝ5 .
g. Verdadero. Dado que (𝐮 – 𝐯) + 𝐯 = 𝐮.
h. Falso. Para crear el vector 𝟎 se requiere que ambos sean cero.
i. Verdadero. Al menos contiene el vector 𝐮 y pasa por el origen.
j. Verdadero. La matriz aumentada con el vector de interés es lo mismo que preguntar si 𝒃 está en 𝑮𝒆𝒏[𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 ].
1 0 −4
4
Ejercicio 23.
Sean 𝐴 = [ 0 3 −2] y 𝐛 = [ 1 ]. Denote las columnas de 𝐴 mediante 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 , y sea 𝑊 =
−2 6 3
−4
𝑮𝒆𝒏{𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 }.
a. ¿Está 𝐛 en {𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 }? ¿Cuántos vectores están en {𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 }?
b. ¿Está 𝐛 en 𝑊? ¿Cuántos vectores están en 𝑊?
c. Muestre que 𝒂𝟏 está en 𝑊. [Indicación: No se requieren operaciones de fila]
Resolución:
a. Hay solo tres vectores en el conjunto {𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 } y 𝐛 no es uno de ellos.
b. Para determinarlo operamos por filas la matriz a la matriz columna ampliada [𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑 𝐛]
1 0 −4 4 𝑓3 →𝑓3 +2𝑓1 1 0 −4 4 𝑓3→𝑓3 −2𝑓2 1 0 −4 4
[ 0 3 −2 1 ] →
[0 3 −2 1] →
[0 3 −2 1]
−2 6 3 −4
0 6 −5 4
0 0 −1 2
Llegamos a la forma triangular, con lo cual 𝐛 forma parte de 𝑊 = 𝑮𝒆𝒏{𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 } y también, como se tienen 3 vectores
linealmente independientes tendremos que el conjunto 𝑊 esta constituido por infinitos vectores.
Ejercicio 24.
Una planta de vapor quema dos clases de carbón: antracita (A) y bituminoso (B). Por cada tonelada de
A quemada, la planta produce 27.6 millones de Btu de calor, 3100 gramos (g) de dióxido de azufre, y 250 g de materia
en partículas (de sólidos contaminantes). Por cada tonelada de B quemada, se producen 30.2 millones de Btu, 6400 g de
dióxido de azufre, y 360 g de materia en partículas.
a. ¿Cuánto calor produce la planta de vapor cuando quema 𝑥1 toneladas de A y 𝑥2 toneladas de B?
b. Suponga que el rendimiento de la planta de vapor se describe con un vector que enlista las cantidades de calor,
dióxido de azufre y materia en partículas. Exprese este rendimiento como una combinación lineal de dos vectores,
para ello suponga que la planta quema 𝑥1 toneladas de A y 𝑥2 toneladas de B.
c. Durante cierto periodo, la planta de vapor produce 162 millones de Btu de calor, 23610 g de dióxido de azufre, y
1623 g de materia en partículas. Determine cuántas toneladas de cada tipo de carbón debe quemar esta planta. Incluya
una ecuación vectorial como parte de su solución.
Resolución:
a. La cantidad de calor producido cuando la planta de vapor quema 𝑥1 toneladas de antracita y 𝑥2 toneladas de carbón
bituminoso es 27,6𝑥1 + 30,2𝑥2 millones de Btu.
b. La producción total dada por la salida de 𝑥1 toneladas de antracita y 𝑥2 toneladas de carbón bituminoso viene dada por
los vectores
27,6
30,2
𝑥1 [3100] + 𝑥2 [6400]
250
360
c. Para la cantidad producida a lo largo de un determinado tiempo se tiene la siguiente ecuación
27,6
30,2
162
𝑥1 [3100] + 𝑥2 [6400] = [23610]
250
360
1623
Ampliándola a una matriz y resolviéndola con Octave se tiene
27,6 30,2
162
1 0 3,9
[3100 6400 23610] → [0 1 1,8]
250
360
1623
0 0 0
i.
j.
14
La planta de vapor deberá quemar 3,9 toneladas de antracita y 1,8 toneladas de bituminoso.
Código en Octave
>> A=[27.6 30.2; 3100 6400; 250 360];
>> b=[162; 23610; 1623];
>> x=linsolve(A,b)
x =
3.9000
1.8000
Ejercicio 25.
Una compañía minera tiene dos minas. Las operaciones de un día en la mina 1 producen mineral que
contiene 20 toneladas métricas de cobre y 550 kilogramos (kg) de plata, mientras que las operaciones de un día en la mina
2 producen mineral que contiene 30 toneladas métricas de cobre y 500 kg de plata. Durante cierto periodo, la planta de
vapor produce 162 millones de Btu de calor, 23,610 g de dióxido de azufre, y 1623 g de materia en partículas. Determine
cuántas toneladas de cada tipo de carbón debe quemar esta planta. Incluya una ecuación vectorial como parte de su
20
30
solución. Sean 𝐯𝟏 = [
] y 𝐯𝟐 = [
]. Entonces, 𝐯𝟏 y 𝐯𝟐 representan e “rendimiento diario” de las minas 1 y 2,
550
500
respectivamente.
a. ¿Qué interpretación física puede dársele al vector 5𝐯𝟏 ?
b. Suponga que la compañía trabaja la mina l durante 𝑥1 días y la mina 2 durante 𝑥2 días. Escriba una ecuación vectorial
cuya solución proporcione el número de días que deba trabajarse cada mina para producir 150 toneladas de cobre y
2825 kg de plata. No resuelva la ecuación.
c. [Octave] Resuelva la ecuación del inciso (b).
Resolución:
a. El vector 5𝐯𝟏 corresponde a la producción de la mina 1 al cabo de 5 días.
b. la ecuación vectorial es:
20
30
150
150
𝑥1 𝐯𝟏 + 𝑥2 𝐯𝟐 = [
] → 𝑥1 [
] + 𝑥2 [
]=[
]
550
500
2825
2825
c. Convirtiendo la ecuación vectorial a la forma matricial ampliada y resolviendo con Octave se tiene
20
30
150
1 0 1.5
[
]→[
]
550 500 2825
0 1 4
Código en Octave
>> A=[20 30; 550 500];
>> b=[150; 2825];
>> x=linsolve(A,b)
x =
1.5000
4.0000
Ejercicio 26.
Considere los vectores 𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 , 𝐯𝟑 y 𝐛 en ℝ2 que se muestran en la figura. ¿La ecuación 𝑥1 𝐯𝟏 + 𝑥2 𝐯𝟐 +
𝑥3 𝐯𝟑 = 𝐛 tiene alguna solución? ¿La solución es única? Utilice la figura para explicar sus respuestas.
Resolución:
Si las variables toman los valores reales 𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 y 𝑐4 se tendrá que se pueden tener por ejemplo las siguientes
configuraciones en ℝ2 .
𝑐1 𝐯𝟏 + 𝑐2 𝐯𝟐 + 0𝐯𝟑 = 𝐛
𝑐4 𝐯𝟏 + 0𝐯𝟐 + 𝑐3 𝐯𝟑 = 𝐛
Como se observa, se tienen al menos dos
soluciones, con tres vectores linealmente
independientes. A su vez, queda claro que con
un vector adicional existe una infinita
combinación de estos tres vectores la cual
pueda formar el punto 𝐛.
La ecuación matricial 𝑨𝐱 = 𝐛
Use la definición de 𝐴𝐱 para escribir la ecuación matricial como una ecuación vectorial, o viceversa.
7 −3
1
5
−8
−2
1 −8 4 −1
2
1
−9
][ ] = [ ]
b. [
][ ] = [ ]
9 −6 −5
12
16
−7 3 −5 3
−3 2
−2
−4
Ejercicio 27.
a.
5
[
−2
15
4
−4
3
4
−5
𝑧1 [ ] + 𝑧2 [ ] + 𝑧3 [ ] + 𝑧4 [ ] = [ ]
−2
5
0
13
4
d.
4
−5
7
6
−8
−8
−1
3
c. 𝑥1 [ ] + 𝑥2 [ ] + 𝑥3 [ ] = [ ]
7
0
0
−5
−4
2
−7
1
Resolución:
1
−8
4
−8
5
a. 5 [ ] + (−1) [ ] + 3 [ ] + (−2) [ ] = [ ]
−7
3
−5
16
−2
4 −5 7 𝑥
6
1
−8
−1
3
−8
c. [
] [𝑥2 ] = [ ]
0
7 −5 0 𝑥
3
−7
−4 1 2
7
−3
1
2
1
−9
b. (−2) [ ] + (−5) [ ] = [ ]
9
−6
12
−3
2
−4
4
d. [
−2
−4
5
−5
4
𝑧1
𝑧
4
3 2
][ ] = [ ]
13
0 𝑧3
𝑧4
0
3 −5
Sean 𝐮 = [4] y 𝐴 = [−2 6 ]. ¿Está 𝐮 en el plano en ℝ3 generado por
4
1
1
las columnas de 𝐴? (Vea la figura.) ¿Por qué sí o por qué no?
Ejercicio 28.
¿Dónde está 𝑢?
Resolución:
Si el vector 𝐮 se encuentra en el plano formado por 𝐴 se deberá cumplir que 𝐮 sea combinación lineal de las columnas de
𝐴. Para ello se forma la matriz ampliada [𝐴 𝐮] y se resuelve:
2 +2𝑓1 1
−5/3 0 𝑓 →𝑓 −𝑓 1 −5/3 0
3 −5 0 𝑓1→1𝑓1 1 −5/3 0 𝑓𝑓2 →𝑓
3
3 2
3 →𝑓3 −𝑓1
3
[𝐴 𝐮] = [−2 6 4] →
[−2
[0 8/3 4] →
[0 8/3 4]
6
4] →
0 8/3 4
1
1 4
1
1
4
0
0
0
Se obtiene una forma triangular, o bien dos pivotes, formando un sistema compatible con lo cual se tendrá que 𝐮 pertenece
al plano formado por 𝐴.
2
5 8 7
Ejercicio 29.
Sean 𝐮 = [−3] y 𝐴 = [0 1 −1]. ¿Está 𝐮 en el subconjunto en ℝ3 generado por las columnas de
2
1 3 0
𝐴?¿Por qué si o por qué no?
Resolución:
Para ello se arma el sistema [𝐴 𝐮] y se resuelve mediante operaciones
0
2 𝑓3 →𝑓3+7𝑓2 1 3 0
2
5 8 7
2 𝑓3 ⇆𝑓1 1 3 0
2 𝑓3 →𝑓3−5𝑓1 1 3
[0 1 −1 −3] →
[0 1 −1 −3] →
[0 1 −1 −3] →
[0 1 −1 −3 ]
2
5 8 7
2
0 −7 7 −8
0 0 0 −29
1 3 0
Se obtiene una forma no triangular correspondiente a un sistema incompatible, por lo tanto, no tiene solución (𝑆 = {∅}),
con lo cual 𝐮 no se encuentra en el subconjunto en ℝ3 generado por las columnas de 𝐴.
𝑏
2 −1
Ejercicio 30.
Sean 𝐴 = [
], y 𝒃 = [ 1 ]. Muestre que la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 no tiene una solución para todas
𝑏
−6 3
2
las 𝒃 posibles, y describa el conjunto de todas las 𝒃 para las cuales 𝐴𝒙 = 𝒃 sí tiene una solución.
Resolución:
Para ello se arma el sistema y se resuelve mediante operaciones por fila intentando lograr alguna conjetura
𝑓1 →1⁄2𝑓1
𝑏1 /2
2 −1 𝑏1 𝑓2 →−1⁄6𝑓2 1 −1/2 𝑏1 /2 𝑓2 −𝑓1 1 −1/2
[
]→
[
]→ [
]
−6 3 𝑏2
1 −1/2 −𝑏2 /6
0
0
−𝑏2 /6 − 𝑏1 /2
Se observa que no se obtiene una forma triangular, con lo cual hay dos posibilidades:
-
Sistema compatible indeterminado cuando
Sistema incompatible cuando
Ejercicio 31.
Resolución:
16
−𝑏2
6
−
𝑏1
2
−𝑏2
6
𝑏
− 1 = 0, con lo cual 𝑏1 =
2
≠ 0, con lo cual 𝑏1 ≠
−𝑏2
3
−𝑏2
3
para que existan infinitas soluciones.
para que no tenga solución.
1
0
1
0
−1
Sean 𝑣1 = [ ], 𝑣2 = [ ], 𝑣3 = [ 0 ] . ¿Genera {𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , 𝒗𝟑 } a ℝ4 ? ¿Por qué sí o por qué no?
−1
0
0
0
1
−1
Según teoremas, en general, un conjunto de vectores {𝒗𝟏 , … , 𝒗𝐩 } en ℝm genera (o produce) ℝm si todo vector en ℝm es
una combinación lineal de 𝒗𝟏 , … , 𝒗𝐩 , esto es, si 𝐆𝐞𝐧{𝒗𝟏 , … , 𝒗𝐩 } = ℝm . Para ello se debería contar con un pivote por cada
columna.
1
0
1 𝑓3 →𝑓3+𝑓1 1 0
1 𝑓2 →−𝑓2 1 0 1
𝑓4 →𝑓4 +𝑓2 0 −1
0
−1
0
0 ] 𝑓→4→𝑓4 +𝑓3 [0 1 0]
[
]→
[
−1 0
0
0 0
1
0 0 1
0
1 −1
0 0 −1
0 0 0
Se obtienen solo 3 pivotes, tres vectores linealmente independientes, pero para generar ℝ4 se necesitan 4 vectores
linealmente independientes, con lo cual los vectores 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , 𝒗𝟑 no generan ℝ4 . Basta también con afirmar que con tres
vectores no se puede generar ℝ4 .
0
4
0
Ejercicio 32.
Sean 𝑣1 = [ 0 ], 𝑣2 = [−3], 𝑣3 = [−1] . ¿Genera {𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , 𝒗𝟑 } a ℝ3 ? ¿Por qué sí o por qué no?
−5
−2
8
Resolución:
Para generar ℝ3 se necesitan como mínimo 3 vectores linealmente independientes, para ello se arma una matriz columna
de vectores y se busca obtener la forma triangular. Sin embargo, si acomodamos los vectores en una matriz columna de
la forma [𝒗𝟑 𝒗𝟐 𝒗𝟏 ] se tendrá que
4
0
0
[−1 −3 0 ]
−5 8 −2
Se observa que ya se tiene una forma triangular, con lo cual los vectores son linealmente independientes y generan ℝ3 .
Ejercicio 33.
Señale cada enunciado como verdadero o falso. Justifique cada respuesta.
a. La ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 se conoce como una ecuación vectorial.
b. Un vector 𝐛 es una combinación lineal de las columnas de una matriz 𝐴 si, y sólo si, la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene al
menos una solución.
c. La ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 es consistente si la matriz aumentada [𝐴 𝐛] tiene una posición pivote en cada fila.
d. La primera entrada en el producto 𝐴𝐱 es una suma de productos.
e. Si las columnas de una matriz 𝐴 de 𝑚 × 𝑛 generan ℝ𝑚 , entonces la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 es consistente para cada 𝐛
presente en ℝ𝑚 .
f. Si 𝐴 es una matriz de 𝑚 × 𝑛 y la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 es inconsistente para alguna 𝑏 en ℝ𝑚 , entonces 𝐴 no puede tener
una posición pivote en cada fila.
g. Cualquier ecuación matricial 𝐴𝐱 = 𝐛 corresponde a una ecuación vectorial con el mismo conjunto solución.
h. Cualquier combinación lineal de vectores siempre puede escribirse en la forma 𝐴𝒙 para una matriz 𝐴 y un vector 𝐱.
i. El conjunto solución de un sistema lineal cuya matriz aumentada es [𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑 𝒃] es el mismo que el conjunto
solución de 𝐴𝐱 = 𝐛, si 𝐴 = [𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑 ].
j. Si la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 es inconsistente, entonces 𝒃 no está en el conjunto generado por las columnas de 𝐴.
k. Si la matriz aumentada [𝑨 𝒃] tiene una posición pivote en cada fila, entonces la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 es inconsistente.
l. Si 𝐴 es una matriz m×n cuyas columnas no generan ℝ𝑚 , entonces la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 es inconsistente para alguna
b en ℝ𝑚 .
Resolución:
a. Falso. La ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 se conoce como ecuación matricial.
b. Verdadero. Un vector 𝐛 es solución de la ecuación si y solo si cuando el sistema tiene solución, ya que indica que
existen los vectores linealmente independientes necesarios para generarlo.
c. Falso. Si una matriz aumentada [𝐴 𝐛] tiene una posición pivote en cada fila, entonces la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 puede ser
consistente o no, ya que la condición de pivotes es para la matriz de coeficientes y no la matriz ampliada.
d. Verdadero. La operación de múltiplo de matrices es una suma de productos.
e. Verdadero. Como las columnas de 𝐴 generan ℝ𝑚 para cada 𝐛 en ℝ𝑚 , la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene una solución.
f. Verdadero. Si 𝐴 no tiene una posición pivote en cada fila entonces la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 es inconsistente.
g. Verdadero. Una ecuación matricial puede corresponderse con una ecuación vectorial y viceversa. Es decir, 𝐴𝐱 = 𝐛 es
equivalente a 𝑥1 𝐚𝟏 + 𝑥2 𝐚𝟏 + ⋯ + 𝑥n 𝐚𝐧 = 𝐛.
h. Verdadero. Ya que para 𝒏 vectores tienen la misma dimensión 𝒎 se puede escribir una matriz 𝐴 de dimensión 𝐴𝑚×𝑛 .
i. Verdadero. Si 𝐴 = [𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑 ] la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 es equivalente a la matriz ampliada [𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑 𝒃] y por lo
tanto su conjunto solución es el mismo.
j. Verdadero. Si la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 es inconsistente 𝐛 no es combinación lineal de las columnas de 𝐴 y por ello no pueden
generar 𝐛.
17
k. Falso. Si cada columna de 𝐴 tiene una posición pivote el sistema es consistente.
l. Verdadero. Si las columnas de 𝐴 no generan ℝ𝑚 , entonces no todas las 𝐛 de la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 son posibles.
Ejercicio 34.
Sean 𝐪𝟏 , 𝐪𝟐 , 𝐪𝟑 y 𝐯 vectores en ℝ5 , y sean 𝑥1 , 𝑥2 y 𝑥3 escalares. Escriba la siguiente ecuación vectorial
como una ecuación matricial. Identifique cualquier símbolo que decida utilizar.
𝑥1 𝐪𝟏 + 𝑥2 𝐪𝟐 + 𝑥3 𝐪𝟑 = 𝐯
Resolución:
𝑥1
𝑥
𝐪
𝐪
𝐪
El sistema corresponde a la ecuación 𝑄𝐱 = 𝐯 donde 𝑄 = [ 𝟏
𝟐
𝟑 ] y 𝐱 = [ 2 ].
𝑥3
Ejercicio 35.
Reescriba la siguiente ecuación matricial (numérica) en forma simbólica como una ecuación vectorial,
y utilice los símbolos 𝑣1 , 𝑣2 , . .. para los vectores y 𝑐1 , 𝑐2 , . .. para los escalares. Defina lo que representa cada símbolo
usando los datos de la ecuación matricial.
−3
2
7
8
−3 5 −4 9
[
] 4 =[ ]
−1
5 8 1 −2 −4 −1
[2]
Resolución:
La ecuación matricial se puede escribir como 𝑐1 𝐯𝟏 + 𝑐2 𝐯𝟐 + 𝑐3 𝐯𝟑 + 𝑐4 𝐯𝟒 + 𝑐5 𝐯𝟓 = 𝐯𝟔 , donde 𝑐1 = −3, 𝑐2 = 2, 𝑐3 = 4,
−3
−4
9
7
5
𝑐4 = −1, 𝑐5 = 2, 𝐯𝟏 = [ ], 𝐯2 = [ ], 𝐯3 = [ ], 𝐯4 = [ ], 𝐯5 = [ ].
5
1
−2
−4
8
Ejercicio 36.
¿Podría un conjunto de tres vectores en ℝ4 generar todo ℝ4 ? Explique su respuesta. ¿Qué sucede con
𝑚
𝑛 vectores en ℝ cuando 𝑛 es menor que 𝑚?
Resolución:
Un conjunto de tres vectores en ℝ4 no podría formar una matriz de columnas que tenga al menos 4 pivotes los cuales
puedan generar todo el espacio ℝ4 . Cada variable en ℝ4 debe ser representada por al menos una columna en la matriz y
esta contener al menos un pivote, con lo cual no se podría generar ℝ4 . Cuando se tienen 𝑛 vectores en ℝ𝑚 y 𝑛 es menor
que 𝑚 no se tienen las suficientes columnas para poder obtener una matriz de pivotes que permitan generar el espacio
ℝ𝑚 , ya que cada columna representa a una variable en el espacio.
Ejercicio 37.
Construya una matriz de 3 × 3, en forma no escalonada, cuyas columnas generen ℝ3 . Muestre que dicha
matriz tiene la propiedad deseada.
Resolución:
0 1 0
Una matriz posible es [1 0 0], como se observa, independientemente de ser escalonada la matriz tiene tres pivotes,
0 0 1
los cuales le permiten generar ℝ3 .
Ejercicio 38.
Construya una matriz 3 × 3, en forma no escalonada, cuyas columnas no generen ℝ3 . Muestre que dicha
matriz tiene la propiedad deseada.
Resolución:
0 1 0
Una matriz posible es [1 0 0], como se observa, al no poseer al menos un pivote en cada columna no puede generar
0 0 0
ℝ3 .
Ejercicio 39.
Suponga que 𝐴 es una matriz de 4 × 3 y 𝐛 un vector en ℝ4 con la propiedad de que 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene una
solución única. ¿Qué puede decirse acerca de la forma escalonada reducida de 𝐴? Justifique su respuesta.
Resolución:
Si la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene solución única entonces el sistema de ecuaciones asociado no tiene variables libres, armando
1 0 0
la matriz correspondiente [0 1 0] se observa que solo se pueden tener tres pivotes, con lo cual es un sistema
0 0 1
0 0 0
compatible indeterminado de infinitas soluciones.
Conjuntos solución de los sistemas lineales
Ejercicio 40.
Una sola ecuación lineal puede tratarse como un sistema de ecuaciones muy simple. Describa todas las
soluciones del “sistema” homogéneo
10𝑥1 − 3𝑥2 − 2𝑥3 = 0
18
Resolución:
El sistema homogéneo se obtiene despejando una variable cualquiera, en este caso 𝑥3 ,
3
10𝑥1 − 3𝑥2 − 2𝑥3 = 0 → 2𝑥3 = 10𝑥1 − 3𝑥2 → 𝑥3 = 5𝑥1 − 𝑥2
2
En este caso se observa que 𝑥3 es una variable dependiente y que 𝑥1 y 𝑥2 son variables independientes, con lo cual el
3
conjunto de todas las soluciones posibles es: 𝑆 = {(𝑥1 , 𝑥2 , 5𝑥1 − 𝑥2 )}. Escrito en forma vectorial se tiene:
2
𝑥1
0
0
𝑥1
1
𝑥2
𝑥2
1
0 ]+[
[
] = 𝑥1 [0] + 𝑥2 [3]
3 ]=[
3
5𝑥1
5𝑥1 − 𝑥2
5
𝑥
2
2
2 2
Ejercicio 41.
En los siguientes puntos, describa todas las soluciones de 𝐴𝐱 = 𝟎 en forma vectorial paramétrica,
donde A sea equivalente por filas a la matriz dada.
1 3 −3 7
1 −4 −2 0 3 −5
a. [
]
0 1 −4 5
1 0 0 −1]
e. [0 0
0 0 1 −4
1 −2 −9 5
0 0
b. [
]
0 0
0 0 0 0
0 1
2 −6
3 −9 6
1 5 2 −6 9 0
c. [
]
−1 3 −2
f. [0 0 1 −7 4 −8]
1 3 0 −4
0 0 0 0 1 −4
d. [
]
2 6 0 −8
0 0 0 0 0 0
Resolución:
a. Se reduce cada columna obteniendo pivotes y ceros para obtener la menor cantidad de términos posibles
𝑥 + 9𝑥3 − 8𝑥4 = 0
1 3 −3 7 0 𝑓1→𝑓1 −3𝑓2 1 0 9 −8 0
[
]→
[
] correspondiente a las ecuaciones 1
𝑥2 − 4𝑥3 + 5𝑥4 = 0
0 1 −4 5 0
0 1 −4 5 0
𝑥 = −9𝑥3 + 8𝑥4
Despejando las variables 𝑥1 y 𝑥2 de cada ecuación se tiene 1
, con lo cual el conjunto de todas las
𝑥2 = 4𝑥3 − 5𝑥4
soluciones posibles es: 𝑆 = {(−9𝑥3 + 8𝑥4 , 4𝑥3 − 5𝑥4 , 𝑥3 , 𝑥4 )}.
8𝑥4
−9𝑥3 + 8𝑥4
−9𝑥3
−9
8
−5𝑥
4𝑥3 − 5𝑥4
4𝑥
4
−5
4
3
En forma vectorial paramétrica se tiene [
]= [
]+ [
] = 𝑥3 [ ] + 𝑥4 [ ].
𝑥3
1
𝑥3
0
0
𝑥4
0
1
𝑥4
0
𝑥1 − 5𝑥3 − 7𝑥4 = 0
𝑥1 = 5𝑥3 + 7𝑥4
1 −2 −9 5 0 𝑓1→𝑓1 +2𝑓2 1 0 −5 −7 0
b. [
]→
[
]→
→
→
𝑥2 + 2𝑥3 − 6𝑥4 = 0 𝑥2 = −2𝑥3 + 6𝑥4
0 1
0 1 2 −6 0
2 −6 0
𝑆 = {(5𝑥3 + 7𝑥4 , −2𝑥3 + 6𝑥4 , 𝑥3 , 𝑥4 )}
7𝑥4
5𝑥3 + 7𝑥4
5𝑥3
7
5
6𝑥
−2𝑥3 + 6𝑥4
−2𝑥
4
−2
3] + [
Vectorial paramétrica: [
]= [
] = 𝑥3 [ ] + 𝑥4 [6]
𝑥3
0
1
0
𝑥3
𝑥4
1
𝑥4
0
0
c.
3
[
−1
−9
3
6
−2
1
0 𝑓1 →3𝑓1 1
]→
[
0
−1
−3
3
2
−2
0 𝑓2→𝑓2 +𝑓1 1
]→
[
0
0
−3
0
2
0
0
] → 𝑥1 − 3𝑥2 + 2𝑥3 = 0 → 𝑥1 = 3𝑥2 −
0
2𝑥3 →
𝑆 = {(3𝑥2 − 2𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥3 )}
2𝑥3
3𝑥2 − 2𝑥3
3𝑥2
3
2
𝑥2
Vectorial paramétrica: [
] = [ 𝑥2 ] + [ 0 ] = 𝑥2 [1] + 𝑥3 [0]
𝑥3
𝑥3
0
1
0
1 3 0 −4 0 𝑓2 →𝑓2−2𝑓1 1 3 0 −4 0
d. [
]→
[
] → 𝑥1 + 3𝑥2 − 4𝑥4 = 0 → 𝑥1 = −3𝑥2 + 4𝑥4 →
2 6 0 −8 0
0 0 0 0 0
𝑆 = {(−3𝑥2 + 4𝑥4 , 𝑥2 , 0, 𝑥4 )}
−3𝑥2 + 4𝑥4
4𝑥4
−3𝑥2
−3
4
𝑥2
𝑥2
0
1
Vectorial paramétrica: [
]=[
] + [ 0 ] = 𝑥2 [ ] + 𝑥4 [0].
0
0
0
0
𝑥4
𝑥4
0
1
0
1 −4 −2 0 3 −5 0
1 −4 0 0 3 −7 0
1 −4 0 0 0
𝑓1 →𝑓1 +2𝑓2 0
𝑓1 →𝑓1 −3𝑓3 0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
0 1 0 0
1
1
−1
e. [
]→
[
]→
[
0 0 1 −4 0
0 0
0 0 0 0 1 −4 0
0 0 0 0 1
0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
5
−1
−4
0
0
0] →
0
0
19
𝑥1 − 4𝑥2 + 5𝑥6 = 0 𝑥1 = 4𝑥2 − 5𝑥6
𝑥3 = 𝑥6
𝑥3 − 𝑥6 = 0
→
→ 𝑆 = {(4𝑥2 − 5𝑥6 , 𝑥2 , 𝑥6 , 𝑥4 , 4𝑥6 , 𝑥6 )} (Particularmente 𝑥4 es una variable
𝑥5 = 4𝑥6
𝑥5 − 4𝑥6 = 0
libre y no 0).
−5𝑥6
4𝑥2 − 5𝑥6
4𝑥2
4
0
−5
𝑥2
0
𝑥2
1
0
0
𝑥6
𝑥6
0
0
0
Vectorial paramétrica:
=
+
= 𝑥2
+ 𝑥4
+ 𝑥6 1 .
0
1
0
0
0
0
0
0
4𝑥6
0
4
4𝑥6
[0]
[0]
[1]
[
𝑥6
] [ 0 ] [ 𝑥6 ]
1 5 2 −6 9 0 0
1 5 0 8 1 16 0 𝑓1 →𝑓1−16𝑓3 1 5 0 8 1 0 0
𝑓1 →𝑓1 −2𝑓2 0 0 1 −7 4 −8 0 𝑓2 →𝑓2 +8𝑓3 0 0 1 −7 4 0 0
−7
4
−8
0
0
0
1
f. [
]→
[
]→
[
]→
0
0
0 0 0
0 0 1
0 0 0
0 0 1
0 0 0 0 0 1 0
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
𝑥1 + 5𝑥2 + 8𝑥4 + 5𝑥5 = 0 𝑥1 = −5𝑥2 − 8𝑥4 − 5𝑥5
𝑥3 = 7𝑥4 − 4𝑥5
𝑥3 − 7𝑥4 + 4𝑥5 = 0
→
→ 𝑆 = {(−5𝑥2 − 8𝑥4 − 5𝑥5 , 𝑥2 , 7𝑥4 − 4𝑥5 , 𝑥4 , 𝑥5 , 0)}
4𝑥6 = 0
𝑥6 = 0
−5𝑥5
−8𝑥4
−5𝑥2 − 8𝑥4 − 5𝑥5
−5𝑥2
−8
−5
−5
0
𝑥2
𝑥2
0
0
1
0
−4𝑥
7𝑥
7
7𝑥
−
4𝑥
0
0
−4
5 =𝑥
4 +
4
5
Vectorial paramétrica:
=
+
+ 𝑥4
+ 𝑥5
.
2
1
𝑥4
𝑥4
0
0
0
0
0
𝑥5
0
1
0
0
𝑥5
[0]
[0]
[0]
[
] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ]
0
Ejercicio 42.
Describa las soluciones del siguiente sistema en forma vectorial Paramétrica e interprételo
geométricamente.
𝑥1 + 3𝑥2 − 5𝑥3 = 4
𝑥1 + 4𝑥2 − 8𝑥3 = 7
−3𝑥1 − 7𝑥2 + 9𝑥3 = −6
Resolución:
→𝑓2 −𝑓1
1 −3𝑓2 1
4 𝑓𝑓1 →𝑓
0 4 −5
1
3 −5 4 𝑓𝑓2→𝑓
1 3 −5
𝑥 + 4𝑥3 = −5 𝑥1 = −4𝑥3 − 5
3
3 +3𝑓1
3 →𝑓3 −5𝑓2
[1
[0 1 −3
[0 1 −3 3 ] → 1
→
3]→
4 −8 7 ] →
𝑥2 − 3𝑥3 = 3
𝑥2 = 3𝑥3 + 3
0 0 0
−3 −7 9 −6
0 5 −15 15
0
𝑆 = {(−4𝑥3 − 5,3𝑥3 + 3, 𝑥3 )}
−4𝑥3
−4𝑥3 − 5
−4
−5
−5
Vectorial paramétrica: [ 3𝑥3 + 3 ] = [ 3𝑥3 ] + [ 3 ] = 𝑥3 [ 3 ] + [ 3 ]
𝑥3
𝑥3
1
0
0
−4
−5
La solución es una recta que pasa por [ 3 ] y es paralela al vector [ 3 ].
1
0
Ejercicio 43.
En los siguientes puntos, encuentre la ecuación paramétrica de la línea que pasa por 𝐚 y es paralela a 𝐛.
3
−7
−2
−5
b. 𝐚 = [ ] , 𝐛 = [ ]
a. 𝐚 = [ ] , 𝐛 = [ ]
8
−4
0
3
Resolución:
a. La ecuación de la recta que pasa por 𝐚 y es paralela a 𝐛 puede ser escrita como 𝐱 = 𝐚 + 𝑡𝐛, con lo cual la ecuación
−2
−5
paramétrica es: 𝐱 = [ ] + 𝑡 [ ]
0
3
3
−7
b. La ecuación paramétrica es: 𝐱 = [ ] + 𝑡 [ ].
8
−4
Ejercicio 44.
Encuentre una ecuación paramétrica de la línea 𝑀 que pasa por 𝐩 y 𝐪. [Indicación: 𝑀 es paralela al
vector 𝐪 − 𝐩. Vea la figura que se presenta a continuación.]
2
−3
−6
0
a. 𝐩 = [ ] , 𝐪 = [ ]
b. 𝐩 = [ ] , 𝐪 = [ ]
−5
1
3
−4
Resolución:
a. La ecuación de la recta que pasa por 𝐩 y 𝐪 puede ser escrita como 𝐱 = 𝐩 + 𝑡(𝐪 − 𝐩), donde 𝐪 − 𝐩 es el vector en la
2
−3
2
2
−5
dirección de los puntos 𝐩 y 𝐪 con lo cual la ecuación paramétrica es: 𝐱 = [ ] + 𝑡 ([ ] − [ ]) = [ ] + 𝑡 [ ]
−5
1
−5
−5
−4
−6
0
−6
−6
6
b. 𝐱 = [ ] + 𝑡 ([ ] − [ ]) = [ ] + 𝑡 [ ].
3
−4
3
3
−7
Ejercicio 45.
En los siguientes puntos, señale cada afirmación como verdadera o falsa. Justifique cada respuesta.
a. Una ecuación homogénea siempre es consistente.
20
La ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎 proporciona una descripción explícita de su conjunto solución.
La ecuación homogénea 𝐴𝐱 = 0 tiene solución trivial si, y sólo si, cuenta por lo menos con una variable libre.
La ecuación 𝐱 = 𝐩 + 𝑡𝐯 describe una línea que pasa por 𝐯 paralela a 𝐩.
El conjunto solución de 𝐴𝐱 = 𝐛 es el conjunto de todos los vectores de la forma 𝐰 = 𝐩 + 𝐯𝐡 , donde 𝐯𝐡 es cualquier
solución de la ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎.
f. Si 𝐱 es una solución no trivial de 𝐴𝐱 = 0, entonces todas las entradas de 𝐱 son diferentes de cero.
g. La ecuación 𝐱 = 𝑥2 𝐮 + 𝑥3 𝐯, con 𝑥2 y 𝑥3 libres (y ni 𝐮 ni 𝐯 son múltiplos entre sí), describe un plano que pasa por
el origen.
h. La ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 es homogénea si el vector cero es una solución.
i. El efecto de sumar 𝐩 a un vector es trasladar el vector en una dirección paralela a 𝐩.
j. El conjunto solución de 𝐴𝐱 = 𝐛 se obtiene al trasladar el conjunto solución de 𝐴𝐱 = 𝟎
Resolución:
a. Verdadero. Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si se puede escribir en la forma 𝐴𝐱 = 𝟎, donde 𝐴 es una
matriz de 𝑚 × 𝑛 y 0 es el vector cero en ℝm . Un sistema 𝐴𝐱 = 𝟎 como éste siempre tiene al menos una solución, a saber,
𝐴𝐱 = 𝟎 (el vector cero en ℝm ).
b. Falso. La ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎 proporciona una descripción implícita de su conjunto solución.
c. Falso. La ecuación homogénea 𝐴𝐱 = 0 siempre la tiene solución trivial.
d. Falso. La ecuación 𝐱 = 𝐩 + 𝑡𝐯 describe una línea que pasa por 𝐩 paralela a 𝐯.
e. Falso. La solución debería ser el conjunto vacío. La afirmación solo es correcta si existe un vector 𝐩 tal que 𝐴𝐩 = 𝐛
f. Falso. Una solución no trivial es cualquier 𝐱 ≠ 𝟎 que satisfaga la ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎.
g. Verdadero. La ecuación describe a un plano que pasa por el origen ya que ni 𝐮 ni 𝐯 son múltiplos entre sí con lo cual
generan un plano en conjunto con las variables libres 𝑥2 y 𝑥3 que al valer cero el plano aparecerá por el origen.
h. Verdadero. Si el vector cero es una solución entonces 𝐛 = 𝐴𝐱 = 𝐴𝟎 = 𝟎.
i. Verdadero. Al sumar un punto 𝐩 se desplaza el vector en la dirección del punto 𝐩.
j. Falso. La afirmación solo es correcta cuando 𝐴𝐱 = 𝟎.
Ejercicio 46.
Suponga que 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene una solución. Explique por qué la solución es única precisamente cuando
𝐴𝐱 = 𝟎 tiene solamente la solución trivial.
Resolución:
a. Si 𝐴𝐱 = 𝐛 es consistente el conjunto solución se obtiene trasladando la solución del conjunto 𝐴𝐱 = 𝟎. Entonces si el
conjunto solución de 𝐴𝐱 = 𝐛 es un único vector y el conjunto solución de 𝐴𝐱 = 𝟎 también es un único vector esto implica
que 𝐴𝐱 = 𝟎 tiene solo la solución trivial.
Ejercicio 47.
Suponga que 𝐴 es una matriz de 3 × 3 e 𝐲 un vector en ℝ3 tal que la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐲 no tiene una
solución. ¿Existe un vector 𝐳 en ℝ𝟑 tal que la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐳 tenga una solución única? Analice el planteamiento.
Resolución:
No, debido a que si 𝐴𝐱 = 𝐲 no tiene solución entonces 𝐴 no tiene posiciones pivote en cada columna. Si 𝐴 es de 3 × 3,
tiene no más de dos posiciones pivote, entonces la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐳 para cualquier 𝐳 tiene no más de dos variables básicas
y al menos una variable libre. Esto implica que el conjunto solución de 𝐴𝐱 = 𝐳 es vacío o tiene infinitos elementos.
Ejercicio 48.
Sea 𝐴 una matriz de 𝑚 × 𝑛 y u un vector en ℝ𝑛 que satisfaga la ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎. Muestre que para
cualquier escalar 𝑐, el vector 𝑐𝐮 también satisface 𝐴𝐱 = 𝟎. [Esto es, muestre que 𝐴(𝑐𝐮) = 𝟎.]
Resolución:
Si 𝐮 satisface 𝐴𝐱 = 𝟎 entonces 𝐴𝐮 = 𝟎. Para cualquier escalar 𝑐, por teoremas se tendrá que 𝐴(𝑐𝐮) = 𝑐𝐴𝐮 = 𝑐. 𝟎 = 𝟎.
b.
c.
d.
e.
Aplicaciones de los sistemas lineales
Ejercicio 49.
Cuando se quema gas propano (𝐶3 𝐻8 ), éste se combina con oxígeno (02 ) para formar dióxido de
carbono (𝐶𝑂2 ) y agua (𝐻2 𝑂), de acuerdo con una ecuación de la forma
(𝑥1 )𝐶3 𝐻8 + (𝑥2 )𝑂2 →
(𝑥3 )𝐶𝑂2 + (𝑥4 )𝐻2 𝑂
Como la ecuación involucra tres tipos de átomo (carbono, hidrógeno y oxígeno), construya un vector en ℝ3 para cada
reactivo y producto en la reacción que enliste el número de “átomos por molécula”.
Resolución:
Se debe establecer una ecuación que describa el número de átomos de cada tipo presente en la reacción. En esta se
involucran tres tipos de átomos carbono, hidrógeno y oxígeno. Se construye un vector en ℝ3 para cada reactivo y producto
en la reacción que enliste el número de átomos por molécula:
𝑁°𝐶𝑎𝑟𝑏𝑜𝑛𝑜𝑠
3
0
1
0
[𝑁°𝐻𝑖𝑑𝑟𝑜𝑔𝑒𝑛𝑜𝑠 ] → 𝐶3 𝐻8 : [8] ; 𝑂2 [0] ; 𝐶𝑂2 [0] ; 𝐻2 𝑂 [2]
𝑁°𝑂𝑥𝑖𝑔𝑒𝑛𝑜𝑠
0
2
2
1
21
Se igualan las masas de reactivos y productos por ecuaciones vectoriales
3
0
1
0
𝑥1 [8] + 𝑥2 [0] = 𝑥3 [0] + 𝑥4 [2]
0
2
2
1
Se pasan los vectores al mismo lado de la igualdad obteniendo el vector cero
3
0
0
1
0
𝑥1 [8] + 𝑥2 [0] − 𝑥3 [0] − 𝑥4 [2] = [0]
0
2
2
1
0
Se realiza la matriz aumentada de vectores y se obtiene
1
𝑥1 − 𝑥4 = 0
4
3 0 −1 0 0 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 1 0 0 −1/4 0
5
[8 0 0 −2 0] →
[0 1 0 −5/4 0] → 𝑥2 − 𝑥4 = 0
4
0 2 −2 −1 0
0 0 1 −3/4 0
3
𝑥3 − 𝑥4 = 0
4
1
5
3
Con lo cual las proporciones de reacción para el balance son 𝑥1 = 𝑥4 , 𝑥2 = 𝑥4 y 𝑥3 = 𝑥4 . Entonces si 𝑥4 = 4, 𝑥1 =
4
4
4
1, 𝑥2 = 5, 𝑥3 = 3, con lo cual la reacción balanceada es:
1𝐶3 𝐻8 + 5𝑂2 →
3𝐶𝑂2 + 4𝐻2 𝑂
Ejercicio 50.
Balancee las ecuaciones químicas utilizando ecuaciones vectoriales.
(𝑥3 )𝐻3 𝐵𝑂3 + (𝑥4 )𝐻2 𝑆
a. (𝑥1 )𝐵2 𝑆3 + (𝑥2 )𝐻2 𝑂 →
(𝑥3 )𝐵𝑎3 (𝑃𝑂4 )2 + (𝑥4 )𝑁𝑎𝑁𝑂3
b. (𝑥1 )𝑁𝑎3 𝑃𝑂4 + (𝑥2 )𝐵𝑎(𝑁𝑂3 )2 →
(𝑥3 )𝑁𝑎3 𝐶6 𝐻5 𝑂7 + (𝑥4 )𝐻2 𝑂 + (𝑥5 )𝐶𝑂2
c. (𝑥1 )𝑁𝑎𝐻𝐶𝑂3 + (𝑥2 )𝐻3 𝐶6 𝐻5 𝑂7 →
d. (𝑥1 )𝐾𝑀𝑛𝑂4 + (𝑥2 )𝑀𝑛𝑆𝑂4 + (𝑥3 )𝐻2 𝑂 → (𝑥4 )𝑀𝑛𝑂2 + (𝑥5 )𝐾2 𝑆𝑂4 + (𝑥6 )𝐻2 𝑆𝑂4
e. (𝑥1 )𝑃𝑏𝑁6 + (𝑥2 )𝐶𝑟𝑀𝑛2 𝑂8 → (𝑥3 )𝑃𝑏3 𝑂4 + (𝑥4 )𝐶𝑟2 𝑂3 + (𝑥5 )𝑀𝑛𝑂2 + (𝑥6 )𝑁𝑂
f. (𝑥1 )𝑀𝑛𝑆 + (𝑥2 )𝐴𝑠2 𝐶𝑟10 𝑂35 + (𝑥3 )𝐻2 𝑆𝑂4 → (𝑥4 )𝐻𝑀𝑛𝑂4 + (𝑥5 )𝐴𝑠𝐻3 + (𝑥6 )𝐶𝑟𝑆3 𝑂12 + (𝑥7 )𝐻2 𝑂
Resolución:
𝐵
2
0
1
0
2
0
1
0
𝑆
3
0
0
3
0
0
1
a. [ ] → 𝐵2 𝑆3 : [ ] ; 𝐻2 𝑂 [ ] ; 𝐻3 𝐵𝑂3 [ ] ; 𝐻2 𝑆 [ ] → 𝑥1 [ ] + 𝑥2 [ ] = 𝑥3 [ ] + 𝑥4 [1]
𝐻
2
2
0
2
3
0
2
3
𝑂
0
0
3
0
0
0
3
0
2
0
1
0
0
2 0 1 1 0
1 0 0 −1/3 0
𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 0 1 0
0]
−2
𝑥1 [3] + 𝑥2 [0] − 𝑥3 [0] − 𝑥4 [1] = [0] → [3 0 0 0 0] →
[
2
0
2
3
0
0 2 3 3 0
0 0 1 −2/3 0
0
0
3
0
0
0 0 3 3 0
0 0 0
0
0
1
2
Con lo cual las proporciones de reacción para el balance son 𝑥1 = 𝑥4 , 𝑥2 = 2𝑥4 y 𝑥3 = 𝑥4 . Entonces si 𝑥4 = 3, 𝑥1 =
3
3
1, 𝑥2 = 6, 𝑥3 = 2, con lo cual la reacción balanceada es:
1𝐵2 𝑆3 + 6𝐻2 𝑂 →
2𝐻3 𝐵𝑂3 + 3𝐻2 𝑆
𝑁𝑎
3
0
0
1
3
0
0
1
2
2
𝑃
1
0
0
1
0
0
b. 𝑂 → 𝑁𝑎3 𝑃𝑂4 : 4 ; 𝐵𝑎(𝑁𝑂3 )2 6 ; 𝐵𝑎3 (𝑃𝑂4 )2 8 ; 𝑁𝑎𝑁𝑂3 3 → 𝑥1 4 + 𝑥2 6 = 𝑥3 8 + 𝑥4 3 →
𝐵𝑎
0
0
1
3
0
1
3
0
[𝑁]
[ 0]
[ 2]
[0]
[ 1]
[ 0]
[2]
[0]
[ 1]
3
0
0
1
0
3 0 0 1 0
1 0 0 −1/3 0
2
0
1
0
0
1 0 2 0 0 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 0 1 0 −1/2 0
𝑥1 4 + 𝑥2 6 − 𝑥3 8 − 𝑥4 3 = 0 → 4 6 8 3 0 →
0 0 1 −1/6 0
0
0 1 3 0 0
1
3
0
0
0 0 0
0
0
[0]
[2]
[0]
[ 1]
[0]
[0 2 0 1 0]
[0 0 0
0]
0
1
1
1
Con lo cual las proporciones de reacción para el balance son 𝑥1 = 𝑥4 , 𝑥2 = 𝑥4 y 𝑥3 = 𝑥4 . Entonces si 𝑥4 = 6, 𝑥1 =
3
2
6
2, 𝑥2 = 3, 𝑥3 = 1, con lo cual la reacción balanceada es:
2𝑁𝑎3 𝑃𝑂4 + 3𝐵𝑎(𝑁𝑂3 )2 →
1𝐵𝑎3 (𝑃𝑂4 )2 + 6𝑁𝑎𝑁𝑂3
𝑁𝑎
1
0
3
0
0
𝐻
8
5
1
2
1
(𝑥
)𝐻
(𝑥
)𝐶𝑂
c. [ ] → 𝑁𝑎𝐻𝐶𝑂3 : [ ] ; 𝐻3 𝐶6 𝐻5 𝑂7 [ ] ; 𝑁𝑎3 𝐶6 𝐻5 𝑂7 [ ] ; 4 2 𝑂 [ ] ; 5
2 [ 2] →
𝐶
1
6
6
0
𝑂
3
1
0
7
7
1
0
3
0
0
1
0
3
0
0
0
8
5
8
5
1
2
1
1
2
1
𝑥1 [ ] + 𝑥2 [ ] = 𝑥3 [ ] + 𝑥4 [ ] + 𝑥5 [ ] → 𝑥1 [ ] + 𝑥2 [ ] − 𝑥3 [ ] − 𝑥4 [ ] − 𝑥5 [ ] = [0] →
1
2
1
2
6
6
0
6
6
0
0
3
1
0
3
1
0
0
7
7
7
7
22
−1
0 −3 0
0 0
1 0 0 0
0
𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜
−1/3
8 −5 −2 −1 0] →
0
0
0]
1
0
[
6 −6 0 −2 0
0 0 1 0 −1/3 0
0 0 0 1
0
7 −7 −1 0 0
−1
1
1
Con lo cual las proporciones de reacción para el balance son 𝑥1 = 𝑥5 , 𝑥2 = 𝑥5 y 𝑥3 = 𝑥5 , 𝑥4 = 𝑥5 . Entonces si 𝑥5 =
1
[1
1
3
3
3
3, 𝑥1 = 3, 𝑥2 = 1, 𝑥3 = 1, 𝑥4 = 3, con lo cual la reacción balanceada es:
3𝑁𝑎𝐻𝐶𝑂3 + 1𝐻3 𝐶6 𝐻5 𝑂7 →
1𝑁𝑎3 𝐶6 𝐻5 𝑂7 + 3𝐻2 𝑂 + 3𝐶𝑂2
𝐾
1
0
0
0
2
0
𝑀𝑛
1
1
0
1
0
0
d. 𝑂 → 𝐾𝑀𝑛𝑂4 : 4 ; 𝑀𝑛𝑆𝑂4 4 ; 𝐻2 𝑂 1 ; 𝑀𝑛𝑂2 2 ; 𝐾2 𝑆𝑂4 4 ; 𝐻2 𝑆𝑂4 4 →
0
1
0
1
𝑆
0
1
[2]
[2]
[𝐻]
[0]
[0]
[0]
[0]
1
0
0
0
2
0
1
0
0
0
2
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
𝑥1 4 + 𝑥2 4 + 𝑥3 1 = 𝑥4 2 + 𝑥5 4 + 𝑥6 4 → 𝑥1 4 + 𝑥2 4 + 𝑥3 1 − 𝑥4 2 − 𝑥5 4 − 𝑥6 4 = 0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
[2]
[2]
[ 2]
[2]
[0]
[ 0]
[0]
[0]
[ 0]
[0]
[0]
[0]
[0]
−1
1 0 0 0 −2 0 0
1 0 0 0 0
0
1 1 0 −1 0
0 0 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 0 1 0 0 0 −3/2 0
−1
4 4 1 −2 −4 −4 0 →
0 0 1 0 0
0
0 1 0 0 −1 −1 0
0 0 0 1 0 −5/2 0
[0 0 2 0
[0 0 0 0 1 −1/2 0]
0 −2 0]
3
5
1
2
2
2
Con lo cual las proporciones de reacción para el balance son 𝑥1 = 𝑥6 , 𝑥2 = 𝑥6 , 𝑥3 = 𝑥6 , 𝑥4 = 𝑥6 , 𝑥5 = 𝑥6 . Entonces
si 𝑥6 = 2, 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 3, 𝑥3 = 2, 𝑥4 = 5, 𝑥5 = 1, con lo cual la reacción balanceada es:
2𝐾𝑀𝑛𝑂4 + 3𝑀𝑛𝑆𝑂4 + 2𝐻2 𝑂 → 5𝑀𝑛𝑂2 + 1𝐾2 𝑆𝑂4 + 2𝐻2 𝑆𝑂4
1
0
3
0
0
0
𝑃𝑏
6
0
0
0
0
1
𝑁
e. 𝐶𝑟 → 𝑃𝑏𝑁6 : 0 ; 𝐶𝑟𝑀𝑛2 𝑂8 1 ; 𝑃𝑏3 𝑂4 0 ; 𝐶𝑟2 𝑂3 2 ; 𝑀𝑛𝑂2 0 ; 𝑁𝑂 0 →
2
0
𝑀𝑛
0
0
1
0
[0]
[8]
[4]
[3]
[ 2]
[1]
[𝑂]
1
0
3
0
0
0
1
0
3
0
0
0
0
6
6
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
𝑥1 0 + 𝑥2 1 = 𝑥3 0 + 𝑥4 2 + 𝑥5 0 + 𝑥6 0 → 𝑥1 0 + 𝑥2 1 − 𝑥3 0 − 𝑥4 2 − 𝑥5 0 − 𝑥6 0 = 0
2
0
2
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
[0]
[ 8]
[4]
[3]
[2]
[1]
[ 0]
[8]
[ 4]
[3]
[2]
[1]
[0]
−1/6
1 0 −3 0
0
0 0
1 0 0 0 0
0
6 0 0
0
0 −1 0 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 0 1 0 0 0 −22/45 0
0 1 0 −2 0
0 0 →
0 0 1 0 0 −1/18 0
0 −1 0 0
0 2 0
0 0 0 1 0 −11/45 0
[0 8 −4 −3 −2 −1 0]
[0 0 0 0 1 −44/45 0]
1
Con lo cual las proporciones de reacción para el balance son 𝑥1 = 𝑥6 , 𝑥2 =
6
22
1
𝑥 , 𝑥3 = 𝑥6 ,
45 6
18
𝑥4 =
11
44
𝑥 , 𝑥 = 𝑥6 .
45 6 5
45
Entonces si 𝑥6 = 90, 𝑥1 = 15, 𝑥2 = 44, 𝑥3 = 5, 𝑥4 = 22, 𝑥5 = 88, con lo cual la reacción balanceada es:
15𝑃𝑏𝑁6 + 44𝐶𝑟𝑀𝑛2 𝑂8 → 5𝑃𝑏3 𝑂4 + 22𝐶𝑟2 𝑂3 + 88𝑀𝑛𝑂2 + 90𝑁𝑂
𝑀𝑛
1
0
0
1
0
0
0
𝑆
1
0
1
0
0
3
0
𝐴𝑠
0
0
2
0
0
1
f.
→ 𝑀𝑛𝑆
; 𝐴𝑠2 𝐶𝑟10 𝑂35
; 𝐻2 𝑆𝑂4
; 𝐻𝑀𝑛𝑂4
; 𝐴𝑠𝐻3
; 𝐶𝑟𝑆3 𝑂12
; 𝐻2 𝑂 0
10
0
𝐶𝑟
0
0
0
1
0
𝑂
0
35
0
12
4
4
1
[𝐻]
[0]
[0]
[2]
[1]
[3]
[0]
[2]
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
3
0
0
0
2
0
0
1
𝑥1
+ 𝑥2
+ 𝑥3
= 𝑥4
+ 𝑥5
+ 𝑥6
+ 𝑥7 0 →
10
0
0
0
0
1
0
0
35
0
12
4
4
1
[ 0]
[0]
[2]
[1]
[ 3]
[0]
[ 2]
23
1
1
0
0
0
[0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
3
0
0
0
0
2
0
0
1
0
𝑥1
+ 𝑥2
+ 𝑥3
− 𝑥4
− 𝑥5
− 𝑥6
− 𝑥7
= 0
10
0
0
0
0
1
0
0
0
35
0
12
0
4
4
1
[0]
[0]
[2]
[ 1]
[3]
[0]
[2] [0]
0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 −16/327
0 1 0 0 3 0 0
0 1 0 0 0 0 −13/327
0 0 1 0 0 0 −374/327
2 0 0 1 0 0 0 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜
→
10 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 −16/327
35 4 4 0 12 1 0
0 0 0 0 1 0 −26/327
0 2 1 3 0 2 0]
[0 0 0 0 0 1 −130/327
Con lo cual las proporciones de reacción para el balance son 𝑥1 =
16
𝑥 ,
327 7
𝑥2 =
0
0
0
0
0
0]
13
374
𝑥 , 𝑥3 =
𝑥 ,
327 7
327 6
𝑥4 =
16
𝑥 ,𝑥 =
327 7 5
26
130
𝑥 , 𝑥6 =
𝑥 . Entonces si 𝑥7 = 327, 𝑥1 = 16, 𝑥2 = 13, 𝑥3 = 374, 𝑥4 = 16, 𝑥5 = 26, 𝑥6 = 130 con lo cual la
327 7
327 7
reacción balanceada es:
16𝑀𝑛𝑆 + 13𝐴𝑠2 𝐶𝑟10 𝑂35 + 374𝐻2 𝑆𝑂4 → 16𝐻𝑀𝑛𝑂4 + 26𝐴𝑠𝐻3 + 130𝐶𝑟𝑆3 𝑂12 + 327𝐻2 𝑂
Ejercicio 51.
Suponga que una economía consiste en los sectores de carbón, electricidad y acero, y que el rendimiento
de cada sector se distribuye entre los diferentes sectores como en la tabla, donde las entradas de una columna representan
fracciones de la producción total de un sector.
La segunda columna de la tabla, por ejemplo, muestra que la producción total de electricidad se divide como sigue: un
40% de carbón, un 50% de acero, y el restante 10% de electricidad. (El sector eléctrico trata este 10% como un gasto en
que incurre para hacer funcionar su negocio.) Ya que debe tomarse en cuenta la producción total, las fracciones decimales
de cada columna deben sumar 1. Los precios (es decir, valores en moneda) de la producción total de los sectores de
carbón, electricidad y acero se denotarán como 𝑝𝐶 , 𝑝𝐸 y 𝑝𝐴 , respectivamente. Si es posible, encuentre los precios de
equilibrio que permiten a los ingresos de cada sector igualar sus gastos.
Comprado por:
Carbón
Electricidad
Acero
Distribución del rendimiento de:
Carbón
Electricidad
Acero
0
0,4
0,6
0,6
0,1
0,2
0,4
0,5
0,2
Resolución:
Un sector observa una columna para ver a dónde va su producción, y examina una fila para ver qué necesita como entradas.
Por ejemplo, la primera fila de la tabla indica que el sector carbón recibe (y paga por) el 40% de la producción del sector
eléctrico y el 60% de la producción de acero. Puesto que los valores respectivos de producción totales son, 𝑝𝐸 y 𝑝𝐴 , el
sector carbón debe gastar 0,4𝑝𝐸 dólares por su parte de producción de electricidad, y 0,6𝑝𝐴 por su parte de producción de
acero. Entonces los gastos totales del sector carbón son de 0,4𝑝𝐸 y 0,6𝑝𝐴 . Para hacer que los ingresos del sector carbón,
𝑝𝐶 , sean iguales a sus gastos se tiene
𝑝𝐶 = 0,4𝑝𝐸 + 0,6𝑝𝐴
Se realiza el mismo análisis para 𝑝𝐸 y 𝑝𝐴 , con lo cual
𝑝𝐸 = 0,6𝑝𝐶 + 0,1𝑝𝐸 + 0,2𝑝𝐴
𝑝𝐴 = 0,4𝑝𝐶 + 0,5𝑝𝐸 + 0,2𝑝𝐴
Con ello se puede armar un sistema homogéneo
𝑝𝐶 = 0,4𝑝𝐸 + 0,6𝑝𝐴
−𝑝𝐶 + 0,4𝑝𝐸 + 0,6𝑝𝐴 = 0
𝑝𝐸 = 0,6𝑝𝐶 + 0,1𝑝𝐸 + 0,2𝑝𝐴 → 0,6𝑝𝐶 − 0,9𝑝𝐸 + 0,2𝑝𝐴 = 0
𝑝𝐴 = 0,4𝑝𝐶 + 0,5𝑝𝐸 + 0,2𝑝𝐴 0,4𝑝𝐶 + 0,5𝑝𝐸 − 0,8𝑝𝐴 = 0
Se conforma la matriz ampliada del sistema
−1 0.4
0.6 0 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 1 0 −0.94 0
[0.6 −0.9 0.2 0] →
[0 1 −0.85 0]
0.4 0.5 −0.8 0
0 0
0
0
Con lo cual se tiene que 𝑥1 = 0,94𝑥3 y 𝑥2 = 0,85𝑥3 , con lo cual si 𝑥3 = 1, 𝑥1 = 0,94 y 𝑥2 = 0,85.
Ejercicio 52.
Considere una economía con tres sectores: químicos y metales, combustibles y energía, y maquinaria.
Químicos vende el 30% de su producción a combustibles, un 50% a maquinaria, y retiene el resto. Combustibles vende
un 80% de su producción a químicos, el 10% a maquinaria, y retiene el 10%. Maquinaria vende el 40% a químicos, el
40% a combustibles y conserva el resto.
a. Construya la tabla de intercambio para esta economía.
24
b.
Desarrolle un sistema de ecuaciones que conduzca a precios con los cuales los ingresos de cada sector equivalgan a
sus gastos. Luego escriba la matriz aumentada que pueda reducirse por fi las para encontrar dichos precios.
c. [Octave] Encuentre un conjunto de precios de equilibrio cuando el precio para la producción de maquinaria es de
100 unidades.
Resolución:
a. La tabla de intercambio correspondiente es:
Comprado por:
Químicos y metales
Combustibles y energía
Maquinaria
Distribución del rendimiento de:
Químicos y metales Combustibles y energía
0,2
0,8
0,3
0,1
0,5
0,1
Maquinaria
0,4
0,4
0,2
b. Los sistemas de ecuaciones correspondientes son:
𝑝𝑄𝑀 = 0,2𝑝𝑄𝑀 + 0,8𝑝𝐶𝐸 + 0,4𝑝𝑀 −0,8𝑝𝑄𝑀 + 0,8𝑝𝐶𝐸 + 0,4𝑝𝑀 = 0
𝑝𝐶𝐸 = 0,3𝑝𝑄𝑀 + 0,1𝑝𝐶𝐸 + 0,4𝑝𝑀 → 0,3𝑝𝑄𝑀 − 0,9𝑝𝐶𝐸 + 0,4𝑝𝑀 = 0
𝑝𝑀 = 0,5𝑝𝑄𝑀 + 0,1𝑝𝐶𝐸 + 0,2𝑝𝑀
0,5𝑝𝑄𝑀 + 0,1𝑝𝐶𝐸 − 0,8𝑝𝑀 = 0
c. Se arma la matriz y se carga en Octave se tiene
−0,8 0,8
0,4 0 𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 1 0 −1,41667 0
[ 0,3 −0,9 0,4 0] →
[0 1 −0,91667 0]
0,5
0,1 −0,8 0
0 0
0
0
Se tiene que 𝑝𝑄𝑀 = 1,41667𝑝𝑀 y 𝑝𝐶𝐸 = 0,91667𝑝𝑀 . Si 𝑝𝑀 = 100 el conjunto de precios de equilibrio es 𝑝𝑄𝑀 =
141,667, 𝑝𝐶𝐸 = 91,667 y 𝑝𝑀 = 100.
Código en Octave
>> A=[-0.8 0.8 0.4 0; 0.3 -0.9 0.4 0; 0.5 0.1 -0.8 0];
>> x=rref(A)
x =
1.00000
0.00000 -1.41667
0.00000
0.00000
1.00000 -0.91667
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
Ejercicio 53.
Suponga que una economía tiene cuatro sectores, agricultura (A), energía (E), manufactura (M) y
transporte (T). El sector A vende un 10% de su producción a E, el 25% a M, y retiene el resto. El sector E vende un 30%
de su producción a A, un 35% a M, un 25% a T, y conserva el resto. El sector M vende el 30% de su producción a A, el
15% a E, un 40% a T, y conserva lo restante. El sector T vende el 20% de su producción a A, el 10% a E, el 30% a M, y
se queda con el 40 por ciento.
a. Construya la tabla de intercambio para esta economía.
b. [Octave] Encuentre un conjunto de precios de equilibrio para esta economía.
Resolución:
a. La tabla de intercambio correspondiente es:
Comprado por:
Agricultura
Energía
Manufactura
Transporte
Distribución del rendimiento de:
Agricultura
Energía
Manufactura Transporte
0,65
0,3
0,3
0,2
0,1
0,1
0,15
0,1
0,25
0,35
0,15
0,3
0
0,25
0,4
0,4
b. Los sistemas de ecuaciones correspondientes son:
𝑝𝐴 = 0,65𝑝𝐴 + 0,3𝑝𝐸 + 0,3𝑝𝑀 + 0,2𝑝𝑇
−0,35𝑝𝐴 + 0,3𝑝𝐸 + 0,3𝑝𝑀 + 0,2𝑝𝑇 = 0
𝑝𝐸 = 0,1𝑝𝐴 + 0,1𝑝𝐸 + 0,15𝑝𝑀 + 0,1𝑝𝑇
0,1𝑝𝐴 − 0,9𝑝𝐸 + 0,15𝑝𝑀 + 0,1𝑝𝑇 = 0
→
𝑝𝑀 = 0,25𝑝𝐴 + 0,35𝑝𝐸 + 0,15𝑝𝑀 + 0,3𝑝𝑇 0,25𝑝𝐴 + 0,35𝑝𝐸 − 0,85𝑝𝑀 + 0,3𝑝𝑇 = 0
𝑝𝑇 = 0,25𝑝𝐸 + 0,4𝑝𝑀 + 0,4𝑝𝑇
0,25𝑝𝐸 + 0,4𝑝𝑀 − 0,6𝑝𝑇 = 0
Se arma la matriz y se carga en Octave se tiene
0,3
0,2 0
−0,35 0,3
1 0 0 −2,02786 0
−0,9 0,15
0,1 0 𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 0 1 0 −0,53110 0
0,1
[
]→
[
]
0 0 1 −1,16806 0
0,25 0,35 −0,85 0,3 0
−0,6 0
0 0 0
0
0,25
0,4
0
0
Se tiene que el conjunto de precios dependiendo de 𝑝𝑇 es 𝑝𝐴 = 2,02786𝑝𝑇 , 𝑝𝐸 = 0,5311𝑝𝑇 y 𝑝𝑀 = 1,16806𝑝𝑇 .
Código en Octave
>> A=[-0.35 0.3 0.3 0.2 0;0.1 -0.9 0.15 0.1 0; 0.25 0.35 -0.85 0.3 0; 0 0.25 0.4 -0.6 0];
>> x=rref(A)
25
x =
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
-2.02786
-0.53110
-1.16806
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
Ejercicio 54.
Encuentre el patrón de flujo general de la red que se muestra en
la figura. Suponiendo que todos los flujos son no negativos, ¿cuál el máximo valor
posible para 𝑥3 ?. [Considere que todos los flujos que ingresan a un nodo son
iguales a los que salen de dicho nodo].
Resolución:
El flujo que ingresa a un nodo es igual al flujo que sale de dicho nodo, con lo cual
se arman las siguientes ecuaciones para los nodos A, B y C.
𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑁𝑜𝑑𝑜
𝑥1 + 𝑥3 = 20
𝐴
𝑥2 = 𝑥3 + 𝑥4
𝐵
80
= 𝑥1 + 𝑥2
𝐶
𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜
80 = 20 + 𝑥4
Se arma el sistema correspondiente y se resuelve:
𝑥1 + 𝑥3 = 20
1 0 1
0 20
1 0 1
0 20
1 0 1
0 20
𝑥2 − 𝑥3 − 𝑥4 = 0
−1
0
0
0
0
1
−1
0]
0
1
−1
1
−1
−1
−1
→[
]→[
]→[
𝑥1 + 𝑥2 = 80
1 1 0
0 80
0 1 −1 0 60
0 0 0
1 60
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 60
1 60
1 60
𝑥4 = 60
𝑥1 = 20 − 𝑥3
1 0 1
0 20
𝑥1 + 𝑥3 = 20
𝑥2 = 𝑥3 + 60
0
1
−1
0
−1
→[
] → 𝑥2 − 𝑥3 − 𝑥4 = 0 →
𝑥3 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒
0 0 0
1 60
𝑥4 = 60
0 0 0
0
0
𝑥4 = 60
Se tiene que el máximo valor para 𝑥3 = 20 ya que de lo contrario 𝑥1 sería negativo.
Ejercicio 55.
Encuentre el patrón de flujo general para la red que se muestra en la figura. Si el flujo debe ir en la
dirección indicada, ¿cuáles son los flujos mínimos en los arcos denotados por 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 y 𝑥5 ?. [Utilice Octave para
resolver el sistema].
Resolución:
El flujo que ingresa a un nodo es igual al flujo que sale de dicho nodo, con lo cual se arman las siguientes ecuaciones para
los nodos A, B, C, D y E.
𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑥2 + 30 = 𝑥1 + 80
𝐴
𝑥3 + 𝑥5 = 𝑥2 + 𝑥4
𝐵
𝑥6 + 100 = 𝑥5 + 40
𝐶
𝐷
𝑥4 + 40 = 𝑥6 + 90
𝐸
𝑥1 + 60 = 𝑥3 + 20
Se arma el sistema correspondiente y se resuelve:
−𝑥1 + 𝑥2 = 50
−1 1
0
0
0
0
50
1 0 −1 0 0 0 −40
−𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 + 𝑥5 = 0
0
0 1 −1 0 0 0
10
0 −1 1 −1 1
0
−𝑥5 + 𝑥6 = −60
→ 0
0
0
0 −1 1 −60 → 0 0 0 1 0 −1 50
0 −1 50
0
0
0
1
0 0 0 0 1 −1 60
𝑥4 − 𝑥6 = 50
[1
0 −1 0
0
0 −40] [0 0 0 0 0 0
0 ]
𝑥1 − 𝑥3 = −40
El patrón de flujo es 𝑥1 = 𝑥3 − 40, 𝑥2 = 𝑥3 + 10, 𝑥3 es libre, 𝑥4 = 50 + 𝑥6 , 𝑥5 = 𝑥6 + 60 y 𝑥6 es libre.
Los flujos mínimos en los arcos están a que 𝑥3 ≥ 40 y que 𝑥6 ≥ 0, con lo cual 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 50, 𝑥4 ≥ 50 y 𝑥5 ≥ 60.
Código en Octave
>> A=[-1 1 0 0 0 0 50; 0 -1 1 -1 1 0 0; 0 0 0 0 -1 1 -60; 0 0 0 1 0 -1 50; 1 0 -1 0 0 0 -40];
>> x=rref(A)
26
x =
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
-1
-1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
-1
-1
0
-40
10
50
60
0
Independencia lineal
Ejercicio 56.
A partir de la figura describa cada uno de los vectores enlistados como la combinación lineal de u y v.
Resolución:
𝐚 = 𝐮 − 𝟐𝐯
𝐰 = −𝐮 + 𝟐𝐯
𝐛 = 𝟐𝐮 − 𝟐𝐯
𝐱 = −𝟐𝐮 + 𝟐𝐯
𝐜 = 𝟐𝐮 − 𝟑, 𝟓𝐯
𝐲 = −𝟐𝐮 + 𝟑, 𝟓𝐯
𝐝 = 𝟑𝐮 − 𝟒𝐯
𝐳 = −𝟑𝐮 + 𝟒𝐯
Ejercicio 57.
En los siguientes puntos, determine si b es una combinación lineal de los vectores 𝐚𝟏 , 𝐚𝟐 y 𝐚𝟑 .
3
3
4
−3
1
3
a. 𝐚𝟏 = [ ], 𝐚𝟐 = [ ], 𝐛 = [ ]
c. 𝐚𝟏 = [ 0 ], 𝐚𝟐 = [1], 𝐛 = [−8]
1
5
−2
1
4
−4
1
2
0
5
2
−4
0
d. 𝐚𝟏 = [−2], 𝐚𝟐 = [1], 𝐚𝟑 = [−6], 𝐛 = [−1]
b. 𝐚𝟏 = [−2], 𝐚𝟐 = [ 5 ], 𝐛 = [ 19 ]
0
2
6
8
−3
0
−1
Resolución:
a. En este caso, con obtener un pivote por cada columna de coeficientes es más que suficiente para establecer que 𝐛 es
combinación lineal de los vectores 𝐚𝟏 y 𝐚𝟐 .
3 3 4 3𝑓2−𝑓1 3 3
4
[
]→
[
]
1 5 −2
0 12 −10
b es una combinación lineal de los vectores 𝐚𝟏 y 𝐚𝟐 .
2
0 −4 𝑓2+𝑓1 2 0 −4 1𝑓2 2 0 −4 𝑓3+𝑓2 2 0 −4
5
b. [−2 5 19 ] → [0 5 15 ] → [0 1
3 ] → [0 1 3 ]
0 −1 −3
0 −1 −3
0 −1 −3
0 0 0
Se observa que la última fila es cero, un sistema compatible, al tener dos columnas pivote para dos vectores entonces se
tiene que b es una combinación lineal de los vectores 𝐚𝟏 y 𝐚𝟐 .
3 𝑓3 −13𝑓2 −3 1 3
−3 1 3 3𝑓3+𝑓1 −3 1
c. [ 0 1 −8] →
[0
[ 0 1 −8]
1 −8] →
1 4 −4
0 13 −9
0 0 95
Se observa que en la última fila 0 ≠ 95, un sistema incompatible, a pesar de tener dos columnas pivote para dos vectores
la inconsistencia establece que b no es una combinación lineal de los vectores 𝐚𝟏 y 𝐚𝟐 .
1 0 5
2 𝑓2 +2𝑓1 1 0 5 2 𝑓3 −2𝑓2 1 0 5 2
d. [−2 1 −6 −1] →
[ 0 1 4 3] →
[0 1 4 3]
0 2 8
6
0 2 8 6
0 0 0 0
Se observa que la última fila es cero, un sistema compatible, al tener tres columnas pivote para tres vectores entonces se
tiene que b es una combinación lineal de los vectores 𝐚𝟏 , 𝐚𝟐 y 𝐚𝟑 .
Ejercicio 58.
En los siguientes puntos, determine si 𝐛 es una combinación lineal de los vectores formados a partir de
las columnas de la matriz 𝐴.
27
1 −4 2
3
1 −2 −6
11
𝐴=[ 0
b. 𝐴 = [0 3
3
5 ] , 𝐛 = [−7]
7 ] , 𝐛 = [−5]
−2 8 −4
−3
1 −2 5
9
Resolución:
1 −4 2
3 𝑓3+2𝑓1 1 −4 2 3 𝑓3−2𝑓2 1 0 5 2
a. [ 0
[0 3 5 −7] →
[0 1 4 3]
3
5 −7] →
−2 8 −4 −3
0 0 0 3
0 0 0 0
Se observa que en la última fila 0 ≠ 3, un sistema incompatible, a pesar de tener dos columnas pivote para tres vectores
la inconsistencia establece que b no es una combinación lineal de las columnas de 𝐴.
1 −2 −6 11 𝑓3 −𝑓1 1 −2 −6 11
b. [0 3
7 −5] → [0 3
7 −5]
1 −2 5
9
0 0 11 −2
Se obtiene un pivote por cada columna de 𝐴, un sistema compatible con lo cual se establece que b es una combinación
lineal de las columnas de 𝐴.
2
4
−3
7
1
4
−2
Ejercicio 59.
Sean 𝐚 = [ ], 𝐛 = [ ], 𝐜 = [ ], 𝐮 = [5], 𝐯 = [ 1 ], 𝐰 = [−4] y 𝐱 = [5/2]. Basándose en la
−2
−2
4
9
2
−3
1
dependencia lineal brinde una descripción geométrica de:
a. 𝐆𝐞𝐧{𝐚}
d. 𝐆𝐞𝐧{𝐚, 𝐜}
g. 𝐆𝐞𝐧{𝐮, 𝐯, 𝐰}
b. 𝐆𝐞𝐧{𝐮}
e. 𝐆𝐞𝐧{𝐚, 𝐛, 𝐜}
h. 𝐆𝐞𝐧{𝐮, 𝐱}
c. 𝐆𝐞𝐧{𝐚, 𝐛}
f. 𝐆𝐞𝐧{𝐮, 𝐯}
i. 𝐆𝐞𝐧{𝐮, 𝐯, 𝐱}
Resolución:
a. 𝐆𝐞𝐧{𝐚} para un único vector en ℝ2 corresponde geométricamente a una recta en ℝ2 .
b. 𝐆𝐞𝐧{𝐮} para un único vector en ℝ3 corresponde geométricamente a una recta en ℝ3 .
c. 𝐆𝐞𝐧{𝐚, 𝐛} para dos vectores linealmente independientes en ℝ2 corresponde geométricamente a generar todo ℝ2 .
d. 𝐆𝐞𝐧{𝐚, 𝐜} para dos vectores linealmente dependientes (son múltiplos) en ℝ2 corresponde geométricamente a generar
una recta ℝ2 .
e. 𝐆𝐞𝐧{𝐚, 𝐛, 𝐜} para tres vectores linealmente dependientes (dos son múltiplos) en ℝ2 corresponde geométricamente a
generar todo ℝ2 .
f. 𝐆𝐞𝐧{𝐮, 𝐯} para dos vectores linealmente independientes en ℝ3 corresponde geométricamente a generar un plano en ℝ3 .
g. 𝐆𝐞𝐧{𝐮, 𝐯, 𝐰} para tres vectores linealmente independientes en ℝ3 corresponde geométricamente a generar todo ℝ3 .
h. 𝐆𝐞𝐧{𝐮, 𝐱} para dos vectores linealmente dependientes en ℝ3 corresponde geométricamente a generar una recta en ℝ3 .
i. 𝐆𝐞𝐧{𝐮, 𝐯, 𝐱} para tres vectores linealmente dependientes (dos son múltiplos) en ℝ3 corresponde geométricamente a
generar un plano en ℝ3 .
−3
1
ℎ
Ejercicio 60.
Sean 𝐯1 = [ 0 ], 𝐯2 = [ 1 ], 𝐛 = [−5]. ¿Para cuales valores de ℎ pertenece b a 𝐆𝐞𝐧{𝐯1 , 𝐯2 }?
−2
8
−3
Resolución:
Se arma el sistema matricial y se realizan operaciones por filas
ℎ
ℎ
1 −3 ℎ 𝑓3 +2𝑓1 1 −3
𝑓3 −2𝑓2 1 −3
[0
[0 1
[0 1
1 −5] →
−5 ] →
−5 ]
−2 8 −3
0 2 −3 + 2ℎ
0 0 7 + 2ℎ
Para que b pertenezca a 𝐆𝐞𝐧{𝐯1 , 𝐯2 } se debe dar que el sistema sea compatible, esto solo se dará cuando 7 + 2ℎ = 0 y
a.
2
esto es cuando ℎ = − .
7
1
4
2
Sean 𝐯𝟏 = [2], 𝐯𝟐 = [5] y 𝐯3 = [1].
6
3
0
a. Determine si el conjunto {𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 , 𝐯𝟑 } es linealmente independiente.
b. Si es posible, encuentre una relación de dependencia lineal entre 𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 y 𝐯𝟑 .
Resolución:
a. Un conjunto de vectores es linealmente independiente si solo tiene como solución la solución trivial. Para ello se
construye la matriz aumentada de vectores y se tiene
1 4 2 0
1 4
2 0
1 4 2 0
1 0 −2 0
[2 5 1 0] → [0 −3 −3 0] → [0 1 1 0] → [0 1 1 0]
3 6 0 0
0 −6 −6 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Se observa que el conjunto corresponde a un sistema compatible determinado con infinitas soluciones, con lo cual la
solución trivial no es única, con lo cual el conjunto {𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 , 𝐯𝟑 } es linealmente dependiente.
b. La relación de dependencia lineal es
Ejercicio 61.
28
𝑥1 = 2𝑥3
𝑥1 − 2𝑥3 = 0
1 0 −2 0
𝑥
[0 1 1 0] → 𝑥2 + 𝑥3 = 0 → 2 = −𝑥3
𝑥3 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒
0 0 0 0
0=0
Ejercicio 62.
En los siguientes puntos, determine si las columnas de la matriz dada forman un conjunto linealmente
independiente. Justifique cada una de sus respuestas.
−4 −3 0
1
4 −3 0
1 −3 3 −2
0 −8 5
c. [−2 −7 5 1]
d. [−3 7 −1 2 ]
0
−1
4
3
−7
4
b. [
]
a. [
]
1
0 3
−1 5 −4
−4 −5 7 5
0
1 −4 3
5
4 6
1 −3 2
Resolución:
a. Un conjunto de vectores es linealmente independiente si solo tiene como solución la solución trivial. Para ello se
construye la matriz aumentada 𝐴𝐱 = 0 y se tiene
0 −8 5 0
1 −3 2 0
1 −3 2 0
1 0 −4 0
1 0 −4 0
−7
−7
0
3
0
0
0
0
−2
0
3
4
2
−2
2
4
[
]→[
]→[
]→[
] → [0 2 −2 0]
−1 5 −4 0
−1 5 −4 0
0 2 −2 0
0 0 0 0
0 0 −3 0
0 −8 5 0
0 −8 5 0
0 0 −3 0
0 0 0 0
1 −3 2 0
Se observa que no existen variables libres y se llega a la forma triangular, con lo cual el conjunto es linealmente
independiente.
b. Ídem punto a., se resuelve el sistema
−4 −3 5 0
1
0 −4 0
1 0
−4 0
1 0 −4 0
0
0
0
4
0
0
4
0
−1
−1
−1
4
[
]→[
]→[
] → [0 1 −4 0]
1
−4 −3 5 0
0 −4 0
0 −3 −11 0
0 0 −33 0
5
4
5
4
0 4 −18 0
0 0 −2 0
2 0
2 0
1 0
−4 0
4
0]
→ [0 −1
0 0 −33 0
0 0
0
0
Se observa que no existen variables libres y se llega a la forma triangular, con lo cual el conjunto es linealmente
independiente.
c. Ídem punto a., se resuelve el sistema
1
4 −3 0 0
1 4 −3 0 0
1 4 −3 0 0
[−2 −7 5 1 0] → [0 1 −1 1 0] → [0 1 −1 1 0]
−4 −5 7 5 0
0 11 −5 5 0
0 0 17 16 0
Se observa que existen variables libres y no se llega a la forma triangular, con lo cual el conjunto es linealmente
dependiente.
d. Ídem punto a., se resuelve el sistema
1 −3 3 −2 0
1 −3 3 −2 0
1 −3 3 −2 0
[−3 7 −1 2 0] → [0 −2 8 −4 0] → [0 −2 8 −4 0]
0
1 −4 3 0
0 1 −4 3 0
0 0 0 2 0
Se observa que existen variables libres y no se llega a la forma triangular, con lo cual el conjunto es linealmente
dependiente.
Ejercicio 63.
En los siguientes puntos, i.) ¿para cuáles valores de ℎ está 𝐯𝟑 en 𝐆𝐞𝐧{𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 }?, y ii.) ¿para qué valores
de ℎ es {𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 , 𝐯𝟑 } linealmente dependiente? Justifique cada una de sus respuestas.
1
−2
2
−3
1
5
b. 𝐯𝟏 = [−2] , 𝐯𝟐 = [ 12 ] , 𝐯𝟑 = [−9]
a. 𝐯𝟏 = [−3] , 𝐯𝟐 = [ 9 ] , 𝐯𝟑 = [−7]
−3
6
ℎ
2
−6
ℎ
Resolución:
a. i. Si 𝐯𝟑 está en 𝐆𝐞𝐧{𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 } 𝐯𝟑 debe ser combinación lineal de 𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 .
1 1
1 −3 5 𝑓𝑓2+3𝑓
−3
5
3 −2𝑓1
[−3 9 −7] →
[0 0
8 ]
2 −6 ℎ
0 0 ℎ−2
No se tiene un pivote por cada columna para que 𝐯𝟑 se encuentre en 𝐆𝐞𝐧{𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 } debido a que 𝐯𝟏 y 𝐯𝟐 son múltiplos entre
si (linealmente dependientes), con lo cual independientemente del valor de ℎ 𝐯𝟑 no está en 𝐆𝐞𝐧{𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 }.
ii. independientemente del valor de ℎ, 𝐯𝟏 y 𝐯𝟐 son múltiplos, con lo cual el conjunto {𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 , 𝐯𝟑 } no es linealmente
dependiente ya que dos de sus vectores son linealmente dependientes.
b. i. Si 𝐯𝟑 está en 𝐆𝐞𝐧{𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 } 𝐯𝟑 debe ser combinación lineal de 𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 .
29
1 1
1 −2 2 𝑓𝑓2 +2𝑓
−2 2
3 +3𝑓1
[−2 12 −9] →
[0 8 5]
−3 6
ℎ
0 0 ℎ
Se tiene un pivote por cada columna lo cual es una condición para que 𝐯𝟑 se encuentre en 𝐆𝐞𝐧{𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 }. Para que 𝐯𝟑 se
encuentre en 𝐆𝐞𝐧{𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 } se debe cumplir que ℎ = 0 debido a que 𝐯𝟏 y 𝐯𝟐 son linealmente independientes se debería
obtener un sistema compatible indeterminado dada la dimensión de la matriz.
ii. Para que el conjunto {𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 , 𝐯𝟑 } sea linealmente independiente se debe cumplir que los vectores no sean múltiplos
entre sí, para ello se debe obtener la forma triangular y esto se dará sólo cuando ℎ ≠ 0.
Ejercicio 64.
En los siguientes puntos, señale cada enunciado como verdadero o falso. Justifique cada respuesta con
base en una lectura cuidadosa del texto.
a. Las columnas de una matriz 𝐴 son linealmente independientes si la ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎 tiene la solución trivial.
b. Si 𝑆 es un conjunto linealmente dependiente, entonces cada vector es una combinación lineal de los otros vectores
en 𝑆.
c. Las columnas de cualquier matriz de 4 × 5 son linealmente dependientes.
d. Si 𝐱 e 𝐲 son linealmente independientes, y si {𝐱, 𝐲, 𝐳} es linealmente dependiente, entonces 𝐳 está en 𝐆𝐞𝐧{𝐱, 𝐲}.
e. Dos vectores son linealmente dependientes si, y sólo si, están en una misma recta que pasa por el origen.
f. Si un conjunto contiene menos vectores que entradas en los vectores, entonces es linealmente independiente.
g. Si 𝐱 e 𝐲 son linealmente independientes y 𝐳 está en 𝐆𝐞𝐧{𝐱, 𝐲}, entonces {𝐱, 𝐲, 𝐳} es linealmente dependiente.
h. Si un conjunto en ℝ𝑛 es linealmente dependiente, entonces el conjunto contiene más vectores que entradas en cada
vector.
Resolución:
a. Falso. Un sistema homogéneo siempre tiene la solución trivial.
b. Falso. Los teoremas no afirman que cada vector de un conjunto linealmente dependiente sea una combinación lineal
de los vectores precedentes. Un vector de un conjunto linealmente dependiente puede no ser combinación lineal de los
otros vectores.
c. Verdadero. En una matriz de 4 × 5 la dimensión de los vectores es ℝ4 , para que una matriz de vectores sea como
mínimo independiente debe tener 4 vectores en ℝ4 , es decir 4 columnas y esta matriz tiene 5, con lo cual habrá
dependencia lineal.
d. Verdadero. Si el conjunto {𝐱, 𝐲, 𝐳} es linealmente dependiente y 𝐱 e 𝐲 son linealmente independientes es porque 𝐳 es
combinación lineal de 𝐱 e 𝐲, con lo cual 𝐳 está en 𝐆𝐞𝐧{𝐱, 𝐲}.
e. Verdadero. Dos vectores son linealmente dependientes si son múltiplos entre sí, con lo cual son capaces de conformar
una recta que pasa por el origen.
f. Falso. Si un conjunto tuviera más entradas que vectores con seguridad sería linealmente independiente
g. Verdadero. Porque el conjunto está compuesto por dos vectores linealmente independientes, con lo cual si 𝐳 está en
𝐆𝐞𝐧{𝐱, 𝐲} depende de estos dos vectores, entonces {𝐱, 𝐲, 𝐳} es linealmente dependiente.
h. Falso. Si un conjunto contiene más vectores que entradas en cada vector, entonces es linealmente dependiente, pero
puede darse que aun conteniendo menos vectores que entradas los vectores sean linealmente dependientes.
Ejercicio 65.
En los siguientes puntos, describa las posibles formas escalonadas de la matriz.
a. 𝐴 es una matriz de 3 × 3 con columnas linealmente independientes.
b. 𝐴 es una matriz de 2 × 2 con columnas linealmente dependientes.
c. 𝐴 es una matriz de 4 × 2, 𝐴 = [𝐚𝟏 𝐚𝟐 ], y 𝐚𝟐 no es múltiplo de 𝐚𝟏 .
d. 𝐴 es una matriz de 4 × 3, 𝐴 = [𝐚𝟏 𝐚𝟐 𝐚𝟑 ], tal que {𝐚𝟏 𝐚𝟐 } es linealmente independiente y 𝐚𝟑 no está en
𝐆𝐞𝐧{𝐚𝟏 𝐚𝟐 }.
Resolución:
∗ ∗ ∗
∎ ∗
∎ ∗ ∗
0 ∎
∎ ∗ ∗
∎ ∗ 0 ∗
0 0
0 ∎ 0 0
0 ∎ ∗ ∎ ∗ ∗
a. [ 0 ∎ ∗ ] b. [
], [
], [
]
c.[ 0 0 ] , [
]
d. [ 0 0 ∎], [ 0 ∎ ∗ ]
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0 ∎
0 0 ∎
0 0 0 0
0 0 0
Ejercicio 66.
¿Cuántas columnas pivote debe tener una matriz de 7 × 5 si sus columnas son linealmente
independientes? ¿Por qué?
Resolución:
Debe tener pivotes en todas sus columnas para ser linealmente independiente ya que tiene menos vectores que entradas,
con lo cual debe tener 5 pivotes como mínimo.
Ejercicio 67.
[Octave] Dadas siguientes matrices
30
12 10 −6 −3 7 10
7 −9 5
−7 −6 4
ii. 𝐴 = 9
9 −9 −5 5 −1
−4 −3 1
6 −8 9
[8
7 −5 −9 11 −8]
a. Use tantas columnas de 𝐴 como sea posible para construir una matriz 𝐵 con la propiedad de que la ecuación 𝐵𝐱 = 0
tenga solamente la solución trivial. Resuelva 𝐵𝐱 = 0 para verificar su trabajo.
b. Con 𝐴 y 𝐵 halladas en i., elija una columna 𝐯 de 𝐴 que no se haya usado en la construcción de 𝐵, y determine si 𝐯 está
en el conjunto generado por las columnas de 𝐵. (Describa sus cálculos.)
c. Ídem b. con las matrices 𝐴 y 𝐵 del punto ii. Después proporcione una explicación de lo que descubra, suponiendo que
𝐵 se construyó de la manera especificada.
Resolución:
a. i. Para que la ecuación 𝐵𝐱 = 0 tenga únicamente la solución trivial se debe cumplir que sus columnas sean linealmente
independientes, con lo cual se buscarán las columnas que tengan pivotes en 𝐴. Para ello se reduce a la forma escalonada
8 −3 0 −7 2
1 0 3 1 0
𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 0 1 8 5 0
−9
5
11
4
−7
𝐴=[
]→
[
]
6 −2 2 −4 4
0 0 0 0 1
5 −1 7 0 10
0 0 0 0 0
Se tienen 3 pivotes, con lo cual una alternativa de columnas linealmente independientes es 𝐚𝟏 , 𝐚𝟐 y 𝐚𝟓 , con lo cual
8 −3 2
8 0 2
8 −7 2
−9
−9
5
−9
11 −7]
4
−7
−7
𝐵=[
], otras opciones: [
], [
6 −2 4
6 2 4
6 −4 4
5 −1 10
5 7 10
5
0 10
a. ii. De igual manera para la matriz anterior
12 10 −6 −3 7 10
1 0 2 0 2 0
7 −9 5 𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 0 1 −3 0 −2 0
−7 −6 4
𝐴= 9
9 −9 −5 5 −1 →
0 0 0 1 −1 0
−4 −3 1
6 −8 9
0 0 0 0 0 1
[8
[0 0 0 0 0 0]
7 −5 −9 11 −8]
Se tienen 4 pivotes, con lo cual una alternativa de columnas linealmente independientes es 𝐚𝟏 , 𝐚𝟐 , 𝐚𝟒 y 𝐚𝟔 , con lo cual
12 10 −3 10
−7 −6 7
5
𝐵= 9
9 −5 −1 , se tienen otras 3 posibilidades.
−4 −3 6
9
[8
7 −9 −8]
b. Para determinar si 𝐯 se encuentra en el conjunto generado por las columnas de 𝐵 se arma la matriz ampliada [𝐵 𝐯] y
se estudia la solución. En este caso elegiremos la tercera columna como 𝐯.
8 −3 2 0
1 0 0 3
𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 0 1 0 8
−9
5
4
−7
[
]→
[
]
6 −2 4 2
0 0 1 0
5 −1 10 7
0 0 0 0
El sistema es compatible, se tiene un pivote por cada columna de 𝐵, con lo cual 𝐯 está en el conjunto generado por las
columnas de 𝐵.
c. Se arma la matriz ampliada [𝐵 𝐯] y se estudia la solución. En este caso elegiremos la quinta columna como 𝐯.
12 10 −3 10 7
1 0 0 0 2
−7 −6 7
5 −9 𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 0 1 0 0 −2
9
9 −5 −1 5 →
0 0 1 0 −1
−4 −3 6
9 −8
0 0 0 1 0
[8
[0 0 0 0 0 ]
7 −9 −8 11 ]
El sistema es compatible, se tiene un pivote por cada columna de 𝐵, con lo cual 𝐯 está en el conjunto generado por las
columnas de 𝐵.
Se descubre que las columnas que no se tomaron como pivote de la matriz original 𝐴 en 𝐵 serán siempre combinación
lineal de las columnas de 𝐵, es decir estarán en el conjunto generado por 𝐵.
Código en Octave
8
−9
i. 𝐴 = [
6
5
−3
4
−2
−1
0
5
2
7
−7
11
−4
0
2
−7]
4
10
Punto a.i.
>> A=[8 -3 0 -7 2; -9 4 5 11 -7; 6 -2 2 -4 4; 5 -1 7 0 10];
>> x=rref(A)
x =
1
0
3
1
0
0
1
8
5
0
0
0
0
0
1
31
0
0
0
0
0
Punto a.ii.
>> A=[12 10 -6 -3 7 10; -7 -6 4 7 -9 5; 9 9 -9 -5 5 -1; -4 -3 1 6 -8 9; 8 7 -5 -9 11 -8];
>> x=rref(A)
x =
1.00000
0.00000
2.00000
0.00000
2.00000
0.00000
0.00000
1.00000 -3.00000
0.00000 -2.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000 -1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
Punto b.
>> Bv=[8 -3 2 0; -9 4 -7 5; 6 -2 4 2; 5 -1 10 7];
>> x=rref(Bv)
x =
1.00000
0.00000
0.00000
3.00000
0.00000
1.00000
0.00000
8.00000
0.00000
0.00000
1.00000 -0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
Punto c.
>> Bv=[12 10 -3 10 7; -7 -6 7 5 -9;9 9 -5 -1 5; -4 -3 6 9 -8; 8 7 -9 -8 11];
>> x=rref(Bv)
x =
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
2.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000 -2.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000 -1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
Modelos lineales en negocios, ciencias e ingeniería
Ejercicio 1.
Ley de Kirchhoff del voltaje: La suma algebraica de las caídas de voltaje RI en
una dirección a lo largo de un circuito es igual a la suma algebraica de las fuentes de voltaje
existentes en la misma dirección alrededor del circuito.
Ley de ohm: Cuando la corriente pasa a través de un resistor (como una bombilla de luz o un motor),
una parte del voltaje se “gasta”. Según la ley de Ohm, esta “caída de voltaje” a través de un resistor
está dada por
𝑉 = 𝐼. 𝑅
Determine las corrientes de circuito en la red de la figura.
Resolución:
Para el circuito, la corriente 𝐼1 fluye a través de tres resistores, y la suma de las caídas de voltaje
𝑅𝐼 es
4𝐼1 + 4𝐼1 + 3𝐼1 − 3𝐼2 = 30
11𝐼1 − 3𝐼2 = 30
𝐼2 + 3𝐼2 + 𝐼2 + 𝐼2 − 3𝐼1 − 𝐼3 = 5 → −3𝐼1 + 6𝐼2 − 𝐼3 = 5
𝐼3 + 𝐼3 + 𝐼3 − 𝐼2 = 5
−𝐼2 + 3𝐼3 = 25
Representando el sistema vectorialmente se tiene
11
0
30
−3
𝐼1 [−3] + 𝐼2 [ 6 ] + 𝐼3 [−1] = [ 5 ]
0
−1
3
−25
𝐼1
Que equivale a 𝐼1 𝐫1 + 𝐼2 𝐫2 + 𝐼2 𝐫2 = 𝐯, matricialmente equivale a [𝐫1 𝐫2 𝐫3 ] [𝐼2 ] = 𝐯, con lo cual
𝐼3
11 −3 0 𝐼1
30
[−3 6 −1] [𝐼2 ] = [ 5 ]
0 −1 3 𝐼3
−25
Realizando la matriz ampliada y resolviendo mediante operaciones por fila se tiene
11 −3 0
30
1 0 0 3
[−3 6 −1
5 ] → [0 1 0 1 ]
0 −1 3 −25
0 0 1 −8
Con lo cual 𝐼1 = 3, 𝐼2 = 1 e 𝐼3 = −8.
Ejercicio 2.
Una caja de cereal para el desayuno indica, normalmente, el número de calorías y las cantidades de
proteínas, carbohidratos y grasa contenidas en una porción del cereal. En la tabla se muestran las cantidades para dos
conocidos cereales. Suponga que se debe preparar una mezcla de estos dos cereales que contenga exactamente 295
calorías, 9 g de proteínas, 48 g de carbohidratos, y 8 g de grasa.
32
Nutrientes
Calorías
Proteínas (g)
Carbohidratos (g)
Grasa (g)
Información nutricional por porción
Cereal 1
Cereal 2
110
130
4
3
20
18
2
5
a.
Establezca una ecuación vectorial para este problema. Incluya un enunciado para explicar qué representa cada
variable de la ecuación.
b. Escriba una ecuación matricial equivalente, y luego determine si puede prepararse la mezcla deseada de los dos
cereales.
Resolución:
a. Si 𝑥1 es el número de porciones del Cereal 1 y 𝑥2 es el número de porciones de Cereal 2, entonces 𝑥1 y 𝑥2 deben
satisfacer
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑁𝑢𝑡𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑁𝑢𝑡𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑥1 [𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛] + 𝑥1 [𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛] = [𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑡𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ]
𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜𝑠
𝑑𝑒 𝐶𝑒𝑟𝑒𝑎𝑙 1
𝑑𝑒 𝐶𝑒𝑟𝑒𝑎𝑙 2
Esto es
130
110
295
4
3
9
𝑥1 [
] + 𝑥2 [
]=[
]
20
18
48
2
5
8
110 130
295
𝑥1
4
3
9
b. La ecuación matricial es [
] [𝑥 ] = [
]. Para resolver esto, se reduce por filas la matriz aumentada
20
18
2
48
2
5
8
1 0 1.5
110 130 295
4
3
0 1 1
9
[
]→[
]
20
18
0 0 0
48
2
5
0 0 0
8
Los nutrientes deseados se proveen por 1,5 porciones del Cereal 1 junto con 1 porción del Cereal 2.
Ejercicio 3.
Una porción (28 g) de un Cereal 1 proporciona 110 calorías, 3 g de proteínas, 21 g de carbohidratos, y
3 g de grasa. Un Cereal 2 proporciona 110 calorías, 2 g de proteínas, 25 g de carbohidratos, y 0.4 g de grasa.
a. Establezca una matriz 𝐵 y un vector 𝐮 tales que 𝐵𝐮 proporcione las cantidades de calorías, proteínas, carbohidratos
y grasa contenidas en una mezcla de tres porciones de Cereal 1 y dos porciones de Cereal 2.
b. [Octave] Suponga que se requiere un cereal con más proteínas que el Cereal 2 pero menos grasa que el Cereal 2.
¿Es posible mezclar los dos cereales para proporcionar 110 calorías, 2,25 g de proteínas, 24 g de carbohidratos, y 1
g de grasa? Si la respuesta es positiva, ¿cuál sería la mezcla?
Resolución:
a. Se comienzan escriben los vectores de nutrientes para cada cereal
Nutrientes Cereal 1Cereal 2
110
110
Calorias
3
2
Proteina
[
] [
]
Carbohidrato 21
25
Grasa
3
0.4
110 110
3
2
3
Sean 𝐵 = [Cereal 1 Cereal 2] = [
]y𝐮=[ ]
21
25
2
3
0.4
Entonces 𝐵𝐮 lista todas las calorías, proteínas, carbohidratos y grasas que proveen 3 porciones del cereal 1 y 2 porciones
del cereal 2.
b. Para averiguarlo se construye la matriz ampliada y se opera con Octave
110 110 110
1 0 0
3
2
2.25 𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 0 1 0
[
]→
[
]
21
25
24
0 0 1
3
0.4
1
0 0 0
Se obtiene un sistema incompatible, con lo cual no existe una combinación de cereales 1 y 2 tal que permita proveer con
especificidad la cantidad de nutrientes deseada.
Código en Octave
33
>> Bx=[110 110 110; 3 2 2.25; 21 25 24; 3 0.4 1];
>> x=rref(Bx)
x =
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
Ejercicio 4.
La dieta Cambridge proporciona 33 g de proteína, 45 g de carbohidratos, 3 g de grasa y 0.8 g de calcio
por día. La cantidad de nutrientes que proporciona una unidad (100 g) de los tres ingredientes de la dieta de Cambridge
son: 36 g de proteína, 52 g de carbohidrato, 0 g de grasa y 1.26 g de calcio por leche desgrasada; 51 g de proteína, 34 g
de carbohidratos, 7 g de grasa y 0.19 g de calcio por harina de soya; 13 g de proteína, 74 g de carbohidratos, 1.1 g de
grasa y 0.8 g de calcio por suero; otro ingrediente de la dieta es proteína de soya aislada, la cual proporciona los siguientes
nutrimentos por unidad: 80 g de proteínas, 0 g de carbohidratos, 3.4 g de grasa, y 0.18 g de calcio.
a. Establezca una ecuación matricial cuya solución determine las cantidades de leche desgrasada, harina de soya, suero
y proteína de soya aislada necesarias para proporcionar las cantidades exactas de proteínas, carbohidratos, grasa y
calcio de la dieta Cambridge. Explique qué representan las variables de la ecuación.
b. [Octave] Resuelva la ecuación de (a) y analice su respuesta.
Resolución:
a. Sean 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 y 𝑥4 las variables que representan el número de unidades de leche desgrasada, harina de soya, suero y
proteína de soya respectivamente entonces la matriz de nutrientes para la dieta debe satisfacer la ecuación
36
33
56 13 80 𝑥1
𝑥2
52
0
45
34 74
[
][ ] = [ ]
0
1.1 3.4 𝑥3
3
7
1.26 0.19 0.8 0.18 𝑥4
0.8
b. Se carga la matriz ampliada en Octave y se opera
36
1 0 0 0 0.64
56 13 80 33
52
0
45 𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 0 1 0 0 0.54
34 74
[
]→
[
]
0
1.1 3.4
3
0 0 1 0 −0.09
7
1.26 0.19 0.8 0.18 0.8
0 0 0 1 −0.21
Si bien se obtiene un sistema compatible la solución no es físicamente factible, ya que 𝑥3 y 𝑥4 son negativos, con lo cual
no se puede llevar a cabo una combinación negativa de proporciones de nutrientes.
Código en Octave
>> Bx=[36 51 13 80 33; 52
>> x=rref(Bx)
x =
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
34 74 0 45; 0 7 1.1 3.4 3; 1.26 0.19 0.8 0.18 0.8];
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.64135
0.54412
-0.09257
-0.20794
Ejercicio 5.
[Octave] Un dietista está planeando una comida que proporcione ciertas cantidades de vitamina C,
calcio y magnesio. Usará tres comestibles y las cantidades se medirán en las unidades apropiadas. Los nutrimentos
proporcionados por estos comestibles y los requisitos dietéticos son los siguientes:
Nutriente
Vitamina C
Calcio
Magnesio
Miligramos de nutriente por unidad comestible
Comestible 1
Comestible 2
Comestible 3
10
20
20
50
40
10
30
10
40
Nutrientes totales
requeridos (mg)
100
300
200
Escriba una ecuación vectorial para este problema. Indique lo que representan las variables y luego resuelva la ecuación.
Resolución:
Sean 𝑥1 , 𝑥2 y 𝑥3 las variables que representan el número de unidades de comestibles 1, 2 y 3 respectivamente entonces
los vectores de vitaminas y minerales deben satisfacer la ecuación
10
20
20
100
𝑥1 [50] + 𝑥2 [40] + 𝑥3 [10] = [300]
30
10
40
200
Se forma la matriz ampliada y se carga en Octave
10 20 20 100 𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 1 0 0 4.55
[50 40 10 300] →
[0 1 0 1.52]
30 10 40 200
0 0 1 1.21
34
Se tiene que para cumplir con los requerimientos se deben ocupar 𝑥1 = 4.55 porciones del comestible 1, 𝑥2 = 1.52
porciones del comestible 2 y 𝑥3 = 1.21 unidades del comestible 3.
Código en Octave
>> Bx=[10 20 20 100; 50 40 10 300; 30 10 40 200];
>> x=rref(Bx)
x =
1.00000
0.00000
0.00000
4.54545
0.00000
1.00000
0.00000
1.51515
0.00000
0.00000
1.00000
1.21212
Ejercicio 6.
[Octave] Estudie cómo los cambios en las temperaturas de frontera sobre una placa de acero afectan las
temperaturas en los puntos interiores de la placa.
a. Comience por estimar las temperaturas 𝑇1 , 𝑇2 , 𝑇3 , 𝑇4 , en cada uno de los conjuntos de cuatro puntos de la placa de
acero que se muestra en la figura. En cada caso, el valor de 𝑇𝑘 puede aproximarse con el promedio de las
temperaturas de los cuatro puntos más cercanos. ¿Cómo se relaciona esta lista con los resultados obtenidos para los
puntos señalados en el conjunto (a) y el conjunto (b)?
b. Sin realizar ningún cálculo, estime las temperaturas interiores en (a) si todas las temperaturas de frontera se
multiplican por 3. Verifique su estimación.
c. Finalmente, formule una conjetura general acerca de la correspondencia de la lista de ocho temperaturas de frontera
con la lista de cuatro temperaturas interiores.
Resolución:
a. Para la Figura (a), las ecuaciones son:
4𝑇1 = 0 + 20 + 𝑇2 + 𝑇4
4𝑇2 = 𝑇1 + 20 + 0 + 𝑇3
4𝑇3 = 𝑇4 + 𝑇2 + 0 + 20
4𝑇4 = 0 + 𝑇1 + 𝑇3 + 20
Para resolver el sistema se arreglan las ecuaciones y se resuelve el sistema aplicando Octave
4 −1 0 −1 20
1 0 0 0 10
𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 0 1 0 0 10
20
−1
4
−1
0
[
]→
[
]
0 −1 4 −1 20
0 0 1 0 10
−1 0 −1 4 20
0 0 0 1 10
Lo mismo para la Figura (b). Las ecuaciones son:
4𝑇1 = 10 + 0 + 𝑇2 + 𝑇4
4𝑇2 = 𝑇1 + 0 + 40 + 𝑇3
4𝑇3 = 𝑇4 + 𝑇2 + 40 + 10
4𝑇4 = 10 + 𝑇1 + 𝑇3 + 10
Para resolver el sistema se arreglan las ecuaciones y se resuelve el sistema aplicando Octave
4 −1 0 −1 10
1 0 0 0 10
𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 0 1 0 0 17.5
40
−1
4
−1
0
[
]→
[
]
0 −1 4 −1 50
0 0 1 0 20
−1 0 −1 4 20
0 0 0 1 12.5
b. Si todas las temperaturas de frontera se multiplican por 3 las temperaturas internas también lo harán.
c. La correspondencia de la lista de ocho temperaturas límite a la lista de cuatro temperaturas interiores es que se tratan
de una transformación lineal. No se espera una verificación de esta declaración. Sin embargo, puede ser demostrado que
las soluciones del problema de temperatura en estado estable aquí satisfacen un principio de superposición. El sistema de
ecuaciones que se aproxima a las temperaturas interiores se puede escribir de la forma 𝐴𝐱 = 𝐛, donde 𝐴 está determinado
por la disposición de los cuatro puntos interiores en la placa y 𝐛 es un vector en ℝ4 determinado por las temperaturas
límite.
Código en Octave
35
Figura a.
>> Ax=[4 -1 0 -1 20; -1 4 -1 0 20; 0 -1 4 -1 20; -1 0 -1 4 20];
>> x=rref(Ax)
x =
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
10.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
10.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
10.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
10.00000
Figura b.
>> Ax=[4 -1 0 -1 10; -1 4 -1 0 40; 0 -1 4 -1 50; -1 0 -1 4 20];
>> x=rref(Ax)
x =
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
10.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
17.50000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
20.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
12.50000
Ejercicio 7.
Señale cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas. Si el enunciado es verdadero,
cite los hechos o teoremas adecuados; si es falso, explique por qué o dé un contraejemplo de dicha falsedad.
a. Cada matriz es equivalente por filas a una única matriz en forma escalonada.
b. Cualquier sistema de 𝑛 ecuaciones lineales con 𝑛 variables tiene cuando mucho 𝑛 soluciones.
c. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene dos soluciones diferentes, debe tener infinidad de soluciones.
d. Si un sistema de ecuaciones lineales no tiene variables libres, entonces tiene una solución única.
e. Si una matriz aumentada [𝐴 𝐛] se transforma en [𝐶 𝐝] mediante operaciones elementales de fila, entonces las
ecuaciones 𝐴𝐱 = 𝐛 y 𝐶𝐱 = 𝐝 tienen exactamente los mismos conjuntos solución.
f. Si un sistema 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene más de una solución, sucede lo mismo con 𝐴𝐱 = 𝟎.
g. Si 𝐴 es una matriz 𝑚 × 𝑛 y la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 es consistente para alguna 𝐛, entonces las columnas de 𝐴 generan
ℝ𝐦 .
h. Si una matriz aumentada [𝐴 𝐛] puede transformarse mediante operaciones elementales de fila a una forma
escalonada reducida, entonces la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 es consistente.
i. Si las matrices 𝐴 y 𝐵 son equivalentes por filas, tienen la misma forma escalonada reducida.
j. La ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎 tiene la solución trivial si, y sólo si, no existen variables libres.
k. Si 𝐴 es una matriz 𝑚 × 𝑛 y la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 es consistente para toda 𝐛 en ℝ𝐦 , entonces 𝐴 debe tener 𝑚 columnas
pivote.
l. Si una matriz 𝐴 de 𝑚 × 𝑛 tiene una posición pivote en cada renglón, entonces la ecuación 𝐴𝐱 tiene una solución
única para cada 𝐛 en ℝ𝐦 .
m. Si una matriz 𝐴 de 𝑛 × 𝑛 tiene n posiciones pivote, entonces la forma escalonada reducida de 𝐴 es la matriz
identidad de 𝑛 × 𝑛.
n. Si las matrices 𝐴 y 𝐵 de 3 × 3 tienen cada una tres posiciones pivote, entonces 𝐴 puede transformarse en 𝐵 mediante
operaciones elementales de fila.
o. Si 𝐴 es una matriz 𝑚 × 𝑛, si la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene al menos dos soluciones diferentes, y si la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐜
es consistente, entonces la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐜 tiene muchas soluciones.
p. Si 𝐴 y 𝐵 son matrices 𝑚 × 𝑛 equivalentes por filas, y si las columnas de 𝐴 generan ℝ𝐦 , entonces las columnas de
𝐵 también lo hacen.
q. Si ninguno de los tres vectores en el conjunto 𝑆 = {𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 , 𝐯𝟑 } de ℝ𝟑 es un múltiplo de alguno de los otros vectores,
entonces 𝑆 es linealmente independiente.
r. Si {𝐮, 𝐯, 𝐰} es linealmente independiente, entonces 𝐮, 𝐯 y 𝐰 no están en ℝ𝟐 .
s. En algunos casos, es posible que cuatro vectores generen ℝ𝟓 .
t. Si 𝐮 y 𝐯 están en ℝ𝐦 , entonces – 𝐮 está en Gen{𝐮, 𝐯}.
u. Si 𝐮, 𝐯 y 𝐰 son vectores distintos de cero en ℝ𝟐 , entonces 𝐰 es una combinación lineal de 𝐮 y 𝐯.
v. Si 𝐰 es una combinación lineal de 𝐮 y 𝐯 en ℝ𝐧 , entonces 𝐮 es una combinación lineal de 𝐯 y 𝐰.
w. Suponga que 𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 y 𝐯𝟑 están en ℝ𝟓 , 𝐯𝟐 no es múltiplo de 𝐯𝟏 , y 𝐯𝟑 no es una combinación lineal de 𝐯𝟏 y 𝐯𝟐 . Entonces
{𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 , 𝐯𝟑 } es linealmente independiente.
x. Una transformación lineal es una función.
y. Si 𝐴 es una matriz de 6 × 5, la transformación lineal 𝐱 → 𝐴𝐱 no puede mapear ℝ𝟓 en ℝ𝟔 .
z. Si 𝐴 es una matriz 𝑚 × 𝑛 con 𝑚 columnas pivote, entonces la transformación lineal 𝐱 → 𝐴𝐱 es un mapeo uno a
uno.
Resolución:
36
a. Falso. Cada matriz es equivalente por filas a distintas matrices en forma escalonada, por ejemplo
1 2
1 2
1 2
𝐴=[
],𝐵 = [
],𝐶 = [
]
3 4
0 −2
0 1
Las matrices 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son equivalentes por filas, todas en la forma escalonada.
b. Falso. Un sistema de 𝑛 ecuaciones lineales con 𝑛 variables tiene cuando mucho infinitas soluciones, ya que puede que
este sea compatible indeterminado
c. Verdadero. Si un sistema lineal tiene más de una solución solo es porque tiene infinitas soluciones.
d. Falso. Como contraejemplo, el siguiente sistema no tiene variables libres y tampoco solución.
𝑥1 + 𝑥2 = 1
𝑥2 = 5
𝑥1 + 𝑥2 = 2
e. Verdadero. Operando por filas se puede dar que una matriz aumentada [𝐴 𝐛] se transforma en [𝐶 𝐝] ya que la
solución para el sistema es la misma.
f. Verdadero. Cuando 𝐴𝐱 = 𝐛 es consistente, el conjunto solución de la ecuación no homogénea y la ecuación homogénea
son equivalentes entre sí. En este caso, Las dos ecuaciones tienen el mismo número de soluciones.
g. Falso. Para que las columnas de 𝐴 generen ℝ𝐦 , la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 debe ser coherente para todo 𝐛 en ℝ𝐦 , no para
solo un vector 𝐛 en ℝ𝐦 .
h. Falso. Cualquier matriz se puede transformar mediante operaciones de fila elementales en forma escalonada reducida,
pero no todas las ecuaciones matriciales 𝐴𝐱 = 𝐛 son consistentes.
i. Verdadero. Si 𝐴 es una fila equivalente a 𝐵, entonces 𝐴 puede transformarse mediante operaciones de fila elementales
primero en 𝐵 y luego se transformó en la forma escalonada reducida 𝑈 de 𝐵. Desde la forma escalonada reducida de 𝐴
es único, debe ser 𝑈.
j. Falso. Cualquier ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎 tiene la solución trivial tenga o no tenga variables libres.
k. Verdadero. Si la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 es consistente para cada 𝐛 en ℝ𝐦 , entonces A debe tener una posición en cada una
de sus 𝑚 filas. Si 𝐴 tiene 𝑚 posiciones de pivote, entonces 𝐴 tiene m columnas de pivote, cada uno contiene una posición
de pivote.
l. Falso. La palabra "único" debe eliminarse. Sea 𝐴 cualquier matriz con 𝑚 columnas pivote pero más de 𝑚 columnas en
total. Entonces la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 es consistente y tiene 𝑚 variables básicas y al menos una variable libre. Por lo tanto,
la ecuación no tiene una solución única.
m. Verdadero. Si A tiene 𝑛 posiciones de pivote, tiene un pivote en cada una de sus 𝑛 columnas y en cada una de sus 𝑛
filas. La forma escalonada reducida tiene un 1 en cada posición de pivote, por lo que la forma escalonada reducida es la
identidad 𝑛 × 𝑛 matriz.
n. Ambas matrices 𝐴 y 𝐵 pueden reducirse a la matriz de identidad 3 × 3, como se discute en la pregunta anterior. Como
las operaciones de fila que transforman 𝐵 en 𝐼3 son reversibles, A puede ser transformado primero en 𝐼3 y luego en 𝐵.
o. Verdadero. Para que las columnas de 𝐴 generen ℝ𝐦 , la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 debe ser coherente para todo 𝐛 en ℝ𝐦 , no
para solo un vector 𝐛 en ℝ𝐦 .
p. Verdadero. Si las columnas de 𝐴 generan ℝ𝐦 , entonces la forma escalonada reducida de 𝐴 es una matriz 𝑈 con un
pivote en cada fila. Como B es una fila equivalente a 𝐴, 𝐵 se puede transformar por fila operaciones primero en 𝐴 y luego
transformadas en 𝑈. Dado que 𝑈 tiene un pivote en cada fila, también lo hace 𝐵. Las columnas de 𝐵 generan ℝ𝐦 .
q. Falso. Debido a que uno de los vectores puede resultar de la combinación de vos de los otros vectores.
r. Verdadero. Cualquier conjunto de tres vectores en ℝ𝟐 debe ser linealmente dependiente.
s. Falso. Si un conjunto { 𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 , 𝐯𝟑 , 𝐯𝟒 , 𝐯𝟓 } generara ℝ𝟓 , entonces la matriz 𝐴 = [ 𝐯𝟏 𝐯𝟐 𝐯𝟑 𝐯𝟒 ] tendría una
posición de pivote en cada una de sus cinco filas, lo cual es imposible ya que 𝐴 tiene solo cuatro columnas.
t. Verdadero. El vector −𝐮 es combinación lineal de los vectores de u y v, de la forma −𝐮 = (−𝟏)𝐮 + 𝟎𝐯.
u. Falso. Puede darse que dos de los vectores sean múltiplos.
v. Falso. Sean 𝐮 y 𝐯 cualquier par de vectores linealmente independientes y sea 𝐰 = 𝟐𝐯. Entonces 𝐰 = 𝟎𝐮 + 𝟐𝐯,
entonces 𝐰 es una combinación lineal de 𝐮 y 𝐯. Sin embargo, 𝐮 no puede ser una combinación lineal de 𝐯 y 𝐰 porque si
si fuera un múltiplo de 𝐯. Eso no es posible ya que {𝐮, 𝐯} es linealmente independiente.
w. Falso. La afirmación sería verdadera si la condición 𝐯𝟏 no es cero si estuviera presente. Sin embargo, si 𝐯𝟏 = 𝟎,
entonces { 𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 , 𝐯𝟑 } depende linealmente, sin importar qué más pueda ser cierto sobre 𝐯𝟐 y 𝐯𝟑 .
x. Verdadero. "Función" es otra palabra utilizada para "transformación" como se menciona en la definición de
"Transformación", y una transformación lineal es un tipo especial de transformación.
y. Verdadero. Para la transformación 𝐱 → 𝐴𝐱 para mapear ℝ𝟓 en ℝ𝟔 , la matriz 𝐴 debería tener un pivote en cada fila y
por lo tanto tienen seis columnas pivote. Esto es imposible porque 𝐴 tiene solo cinco columnas.
37
z. Falso. Para que la transformación 𝐱 → 𝐴𝐱 sea uno a uno, 𝐴 debe tener un pivote en cada columna. Ya que 𝐴 tiene 𝑛
columnas y 𝑚 pivotes, 𝑚 podría ser menor que 𝑛.
Ejercicio 8.
Sean 𝑎 y 𝑏 dos números reales. Describa los posibles conjuntos solución de la ecuación (lineal) 𝑎𝑥 =
𝑏. [Sugerencia: El número de soluciones depende de 𝑎 y de 𝑏.]
Resolución:
Si 𝑎 ≠ 0, entonces 𝑥 = 𝑏/𝑎; la solución es única. Si 𝑎 = 0, y 𝑏 ≠ 0, la solución es el conjunto vacío, porque 0𝐱 = 0 ≠
𝑏. Si 𝑎 = 0 y 𝑏 = 0, la ecuación 0𝐱 = 0 tiene infinitas soluciones.
Ejercicio 9.
Las soluciones (𝑥, 𝑦, 𝑧) de una sola ecuación lineal 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑 forman un plano en ℝ𝟑 cuando
𝑎, 𝑏 y 𝑐 no son todas iguales a cero. Construya conjuntos de tres ecuaciones lineales cuyas gráficas (a) se intersecan en
una sola línea, (b) se intersecan en un solo punto, (c) no tienen puntos en común. En la figura se ilustran las gráficas
típicas.
Resolución:
a. Cualquier sistema lineal consistente cuya forma escalonada es:
∎ ∗ ∗ ∗
∎ ∗ ∗ ∗
0 ∎ ∗ ∗
[ 0 ∎ ∗ ∗ ] 𝑜 [ 0 0 ∎ ∗ ] 𝑜 [0 0 ∎ ∗ ]
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
b. Cualquier sistema lineal consistente cuya matriz de coeficientes se reduzca a la forma escalonada 𝐼3 .
c. Cualquier sistema lineal inconsistente de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Ejercicio 10.
Suponga que la matriz de coeficientes de un sistema lineal de tres ecuaciones con tres variables tiene
un pivote en cada columna. Explique por qué el sistema tiene una solución única.
Resolución:
Como hay tres pivotes (uno en cada fila), la matriz aumentada debe reducirse a la forma
∎ ∗ ∗ ∗
[ 0 ∎ ∗ ∗]
0 0 ∎ ∗
Existe una solución de 𝐴𝐱 = 𝐛 para todo 𝐛 porque hay un pivote en cada fila de 𝐴. Cada solución es única porque no hay
variables libres.
𝑎
1
Ejercicio 11.
Determine el valor o los valores de 𝑎 tales que {[ ] , [
]} sea linealmente independiente.
𝑎 𝑎+2
Resolución:
𝑎
1
0
Si el sistema es linealmente independiente se debe cumplir la ecuación: 𝑥1 [ ] + 𝑥2 [
] = [ ].
𝑎+2
𝑎
0
𝑎
𝑎
𝑎
1
0
1
0
1
0
[
]→[
]=[
]
𝑎 𝑎+2 0
0 𝑎 + 2 − 𝑎2 0
0 (2 − 𝑎)(1 + 𝑎) 0
Se tiene que la ecuación vectorial no tendrá solución no trivial solo cuando (2 − 𝑎)(1 + 𝑎) = 0. Entonces los vectores
son linealmente independientes para todos a excepto 𝑎 = 2 y 𝑎 = −1.
Ejercicio 12.
Determine ℎ y 𝑘 de tal manera que el conjunto solución del sistema (i) sea vacío, (ii) contenga una
solución única, y (iii) contenga una infinidad de soluciones.
𝑥1 + 3𝑥2 = 𝑘
−2𝑥1 + ℎ𝑥2 = 1
a.
b.
4𝑥1 + ℎ𝑥2 = 8
6𝑥1 + 𝑘𝑥2 = −2
Resolución:
1 3 𝑘
1
3
𝑘
a. Se construye la matriz ampliada y se reduce por filas a la forma escalonada [
]→[
]. Si
4 ℎ 8
0 ℎ − 12 8 − 4𝑘
ℎ = 12 y 𝑘 ≠ 2 indica un sistema inconsistente de la forma 0𝑥2 = 𝑏, con 𝑏 distinto de cero. Si ℎ = 12 y 𝑘 = 2, solo hay
una ecuación distinta de cero, y el sistema tiene infinitas soluciones. Finalmente, si ℎ ≠ 12, la matriz de coeficientes tiene
dos pivotes y el sistema tiene una solución única.
−2 ℎ 1
−2
ℎ
1
b. Se construye la matriz ampliada y se reduce por filas a la forma escalonada [
]→[
]. Si
6 𝑘 −2
0 𝑘 + 3ℎ 1
𝑘 + 3ℎ = 0, indica un sistema inconsistente. De lo contrario, la matriz de coeficientes tiene dos pivotes y el sistema tiene
una solución única.
38
Matrices y sus operaciones
Establezca las dimensiones de cada una de las matrices que se muestran a continuación
6
𝐴 = [7]
D = [−8]
2 0 −1
3
0
1
G=[
]
4 −5 2
9
I = [−2 −4 5 ]
B = [−3 2]
0
0 13
−9 3
E = [9 −9 1]
𝐻 = [ 11 1]
9
J = [8 −7 5 12]
𝐶=[ ]
6
−1
2 6
0
F=[
]
24 5
Resolución:
Las dimensiones son: 𝐴1×1 ; 𝐵1×2 ; 𝐶 2×1 ; 𝐷3×1 ; 𝐸1×3 ; 𝐹 2×2 ; 𝐺 2×3 ; 𝐻3×2 ; 𝐼 3×3 ; 𝐽1×4 .
Ejercicio 14.
Calcule cada suma o producto si la matriz está definida. Si alguna expresión no está definida, explique
por qué. Sean
2 0 −1
1 2
7 −5 1
3 5
−5
𝐴=[
],
𝐵=[
],
𝐶=[
],
𝐷=[
], 𝐸 = [ ]
4 −5 2
−2 1
1 −4 −3
−1 4
3
a. −2𝐴
d. 𝐶𝐷
g. 𝐶𝐵
b. 𝐵 − 2𝐴
e. 𝐴 + 2𝐵
h. 𝐸𝐵
c. 𝐴𝐶
f. 3𝐶 − 𝐸
i. 𝐶 2
Resolución:
2 0 −1
4
0
−2
a. −2𝐴 = 2 [
]=[
]
4 −5 2
8 −10 4
2 0 −1
7 −5 1
3 −5 3
b. 𝐵 − 2𝐴 = [
] − 2[
]=[
]
4 −5 2
1 −4 −3
−7 6 −7
2 0 −1 1 2
c. 𝐴𝐶 = [
][
]. Este producto no se puede llevar a cabo dado que el número de columnas de la primera
4 −5 2 −2 1
matriz no coincide con el número de entradas o filas de la segunda matriz.
1 2 3 5
1 13
d. 𝐶𝐷 = [
][
]=[
]
−2 1 −1 4
−7 −6
2 0 −1
16 −10 1
7 −5 1
e. 𝐴 + 2𝐵 = [
] + 2[
]=[
]
4 −5 2
6 −13 −4
1 −4 −3
1 2
−5
f. 3𝐶 − 𝐸 = 3 [
] − [ ]. Esta suma no puede realizarse, dado que las dimensiones de 3𝐶 y 𝐸 no son las mismas.
−2 1
3
1 2 7 −5 1
9
−13 −5
g. 𝐶𝐵 = [
][
]=[
]
−2 1 1 −4 −3
−13
6
−5
−5 7 −5 1
h. 𝐸𝐵 = [ ] [
]. El producto no puede realizarse, la cantidad de filas de 𝐸 no es igual a la cantidad de
3 1 −4 −3
columnas de 𝐵.
1 2 1 2
−3 4
i. 𝐶 2 = [
][
]=[
]
−2 1 −2 1
−4 −3
Ejercicio 15.
Calcule 𝐴 − 5𝐼3 y (5𝐼3 )𝐴, cuando
9 −1 3
𝐴 = [−8 7 −6]
−4 1
8
Resolución:
9 −1 3
1 0 0
9 −1 3
4 −1 3
5 0 0
𝐴 − 5𝐼3 = [−8 7 −6] − 5 [0 1 0] = [−8 7 −6] − [0 5 0] = [−8 2 −6]
−4 1
8
0 0 1
−4 1
8
−4 1
3
0 0 5
1 0 0 9 −1 3
5 0 0 9 −1 3
45 −5 15
5𝐼3 𝐴 = 5 [0 1 0] [−8 7 −6] = [0 5 0] [−8 7 −6] = [−40 35 −30]
0 0 1 −4 1
8
8
0 0 5 −4 1
−20 5
40
2 5
4 −5
Ejercicio 16.
Sean 𝐴 = [
]y𝐵=[
] . ¿Qué valor(es) de 𝑘, si los hay, hacen que 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴?
−3 1
3 𝑘
Resolución:
23 −10 + 5𝑘
23
15
2 5 4 −5
4 −5 2 5
Se tiene que 𝐴𝐵 = [
][
]=[
], mientras que 𝐵𝐴 = [
][
]=[
].
−9
15 + 𝑘
6 − 3𝑘 15 + 𝑘
−3 1 3 𝑘
3 𝑘 −3 1
Con lo cual se debe cumplir que 6 − 3𝑘 = −9 y que −10 + 5𝑘 = 15, lo cual solo ocurrirá cuando 𝑘 = 5.
2 0
5 1
Ejercicio 17.
Sea 𝐴 = [
]y𝐵 = [
]. Muestre que estas matrices no conmutan. Esto es, verifique que 𝐴𝐵 ≠
4 3
3 −2
𝐵𝐴.
Resolución:
Ejercicio 13.
39
14 3
5 1 2 0
][
]=[
]
−2 −6
3 −2 4 3
2 0 5 1
10 2
𝐵𝐴 = [
][
]=[
]
4 3 3 −2
29 −2
𝐴𝐵 = [
3
10 2
]≠[
], con lo cual 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴
−6
29 −2
3 −6
Ejercicio 18.
Sea 𝐴 = [
] . Construya una matriz 𝐵 de 2 × 2 tal que 𝐴𝐵 sea igual a la matriz cero. Las
−1 2
columnas de 𝐵 no deben ser iguales entre sí y deben ser distintas de cero.
Resolución:
Considere que 𝐵 = [𝐛𝟏 𝐛𝟐 ]. Para lograr que 𝐴𝐵 = 0 se necesita que 𝐴𝐛𝟏 = 𝟎 y que 𝐴𝐛𝟐 = 𝟎. Con lo cual se tiene
3𝑏 − 6𝑏12
3𝑏 − 6𝑏12 = 0
3 −6 𝑏11
0
0
1
[
] [ ] = [ ] → [ 11
] = [ ] → 11
→ 𝑏11 = 2𝑏12 , con lo cual 𝐛𝟏 = [ ].
−𝑏11 + 2𝑏12
−𝑏11 + 2𝑏12 = 0
−1 2 𝑏12
0
0
2
3 −6 𝑏21
0
2
Lo mismo sucederá con [
] [ ] = [ ], lo único que se debe buscar es que sean múltiplos, con lo cual 𝐛𝟐 = [ ].
−1 2 𝑏22
0
4
1 2
3 −6 1 2
0 0
Con lo cual 𝐵 = [𝐛𝟏 𝐛𝟐 ] = [
] y se cumple que 𝐴𝐵 = [
][
]=[
].
2 4
−1 2 2 4
0 0
Ejercicio 19.
Halle las transpuestas de las siguientes matrices
−5 2
1 1 1 1
𝑎 𝑏
𝐴=[
],
𝐵 = [ 1 −3] , 𝐶 = [
]
−3 5 −2 7
𝑐 𝑑
0
4
Resolución:
𝑎 𝑐
1 −3
𝐴𝑇 = [
]
𝑏 𝑑
𝐶 𝑇 = [1 5 ]
−5 1 0
𝑇
1 −2
𝐵 =[
]
2 −3 4
1 7
Ejercicio 20.
Los siguientes puntos tratan de matrices arbitrarias 𝐴, 𝐵 y 𝐶 para las cuales las sumas y productos
indicados están definidos. Señale cada afirmación como verdadera o falsa. Justifique sus respuestas.
a. Si 𝐴 y 𝐵 son de 2 × 2 con columnas 𝐚𝟏 , 𝐚𝟐 y 𝐛𝟏 , 𝐛𝟐 , respectivamente, entonces 𝐴𝐵 = [𝐚𝟏 𝐛𝟏 𝐚𝟐 𝐛𝟐 ].
b. Toda columna de 𝐴𝐵 es combinación lineal de las columnas de 𝐵 usando pesos de la columna correspondiente de
𝐴.
c. 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 = 𝐴(𝐵 + 𝐶)
d. 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 = (𝐴 + 𝐵)𝑇
e. La transpuesta de un producto de matrices es igual al producto de sus transpuestas en el mismo orden.
f. Si 𝐴 y 𝐵 son de 3 × 3 y 𝐵 = [𝐛𝟏 𝐛𝟐 𝐛𝟑 ], entonces 𝐴𝐵 = [𝐴𝐛𝟏 + 𝐴𝐛𝟐 + 𝐴𝐛𝟑 ].
g. La segunda fila de 𝐴𝐵 es la segunda fila de 𝐴 multiplicada a la derecha por 𝐵.
h. (𝐴𝐵)𝐶 = (𝐴𝐶)𝐵
i. (𝐴𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 𝐵𝑇
j. La transpuesta de una suma de matrices es igual a la suma de sus transpuestas.
Resolución:
a. Falso. El producto matricial no se define como el producto de columna a columna, sino de entrada (fila) por columna
para cada uno de los elementos de la matriz producto.
b. Falso. Los roles de 𝐴 y 𝐵 deben invertirse en la segunda mitad de la declaración, es decir: “Cada columna de 𝐴𝐵 es
una combinación lineal de las columnas de 𝐴 usando pesos de la columna correspondiente de 𝐵”
c. Verdadero. Por teorema, una matriz es distributiva con respecto a la suma matricial.
d. Verdadero. Por teorema, la suma de las transpuestas de dos matrices es igual a la transpuesta de su suma.
e. Falso. La frase "en el mismo orden" debe ser "en el orden inverso". Es decir: La transpuesta de un producto de matrices
es igual al producto de sus transpuestas en el orden inverso.
f. Falso. Falso. AB debe ser una matriz 3 × 3, pero la fórmula para 𝐴𝐵 implica que es 3 × 1. Los signos más deberían
ser solo espacios (entre columnas).
g. Verdadero. En la multiplicación matricial cada 𝑖-ecima fila de 𝐴𝐵 es la 𝑖-ecima fila de 𝐴 multiplicada a la derecha por
𝐵.
h. Falso. El orden de izquierda a derecha de 𝐵 y 𝐶 no se puede cambiar, en general.
i. Falso. Por teorema el orden del segundo miembro de la ecuación es (𝐴𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇 𝐴𝑇 .
j. Verdadero. Dado que por teorema (𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 .
Ejercicio 21.
Suponga que la tercera columna de 𝐵 es la suma de las primeras dos columnas. ¿Qué puede decirse
acerca de la tercera columna de 𝐴𝐵? ¿Por qué?
Se comprueba que [
40
14
−2
Resolución:
Se escribe 𝐵 = [𝐛1 𝐛2 𝐛3 ]. Por definición, la tercera columna de 𝐴𝐵 es 𝐴𝐛3 . Por hipótesis 𝐛3 = 𝐛1 + 𝐛2 . Entonces
𝐴𝐛3 = 𝐴(𝐛1 + 𝐛2 ) = 𝐴𝐛1 + 𝐴𝐛2 , por una propiedad de la multiplicación matriz-vector. Por lo tanto, la tercera columna
de 𝐴𝐵 es la suma de las dos primeras columnas de 𝐴𝐵.
Ejercicio 22.
Suponga que la segunda columna de 𝐵 es toda cero. ¿Qué puede decirse acerca de la segunda columna
de 𝐴𝐵?
Resolución:
La segunda columna de 𝐴𝐵 también es toda ceros porque 𝐴𝐛2 = 𝐴𝟎 = 0.
Ejercicio 23.
Suponga que la última columna de 𝐴𝐵 es completamente cero, pero 𝐵 por sí sola no tiene ninguna
columna de ceros. ¿Qué puede decirse acerca de las columnas de 𝐴?
Resolución:
Sea 𝐛𝑝 la última columna de 𝐵. Por hipótesis, la última columna de 𝐴𝐵 es cero. Por lo tanto, 𝐴𝐛𝑝 = 0. Sin embargo, 𝐛𝑝
no es el vector cero, porque 𝐵 no tiene columna de ceros. Por lo tanto, la ecuación 𝐴𝐛𝑝 = 0 es linealmente dependiente
con relación a las columnas de 𝐴, por lo que las columnas de 𝐴 son linealmente dependientes.
Ejercicio 24.
Suponga que 𝐴𝐷 = 𝐼𝑚 (la matriz identidad 𝑚 × 𝑚). Muestre que para toda 𝐛 en ℝm , la ecuación 𝐴𝐱 =
𝐛 tiene una solución. [Sugerencia: Piense en la ecuación 𝐴𝐷𝐛 = 𝐛.] Explique por qué 𝐴 no puede tener más filas que
columnas.
Resolución:
Tome cualquier 𝐛 en ℝm . Por hipótesis, 𝐴𝐷𝐛 = 𝐼𝑚 𝐛 = 𝐛. Reescribe esta ecuación como 𝐴(𝐷𝐛) = 𝐛. Por lo tanto, el
vector 𝐱 = (𝐷𝐛) satisface 𝐴𝐱 = 𝐛. Esto prueba que la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene una solución para cada 𝐛 en ℝm . Según
teoremas, tiene una posición de pivote en cada fila. Dado que cada pivote está en una diferente columna, 𝐴 debe tener al
menos tantas columnas como filas.
Ejercicio 25.
[Octave] Lea la documentación de su programa de matrices y escriba los comandos que producirían las
siguientes matrices (sin introducir cada entrada de la matriz).
a. Una matriz de ceros de 5 × 6.
b. Una matriz de unos de 3 × 5.
c. La matriz identidad de 6 × 6.
d. Una matriz diagonal de 5 × 5, con entradas diagonales 3, 5, 7, 2, 4.
Resolución:
La respuesta aquí depende de la elección del programa matricial. Para Octave, use la ayuda comando para leer sobre
zeros, ones, eye y diag.
a. zeros(5,6) forma una matriz de ceros de tamaño 5× 6.
b. ones(3,5) forma una matriz de unos de tamaño 3 × 5.
c. eye(6,6) forma una matriz identidad de tamaño 6 × 6.
d. diag([3 5 7 2 4]) forma una matriz diagonal de 5 × 5, con entradas diagonales 3, 5, 7, 2, 4.
Código en Octave
Punto a.
>> zeros(5,6)
ans =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Punto b.
>> ones(3,5)
ans =
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Punto c.
>> eye(6,6)
ans =
Diagonal Matrix
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
41
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
Punto d.
>> diag([3 5 7 2 4])
ans =
Diagonal Matrix
3
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
7
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
4
0
1
Ejercicio 26.
[Octave] Escriba el comando o los comandos necesarios para crear una matriz de 6 × 4 con entradas al
azar. ¿Dentro de qué rango de números están las entradas? ¿Y si se desean entradas de números enteros hasta el 20?. Diga
cómo crear una matriz aleatoria de 3 × 3 con entradas enteras entre −9 y 9. [Sugerencia: Si 𝑥 es un número aleatorio tal
que 0 < 𝑥 < 1, entonces −9.5 < 19(𝑥 − 0.5) < 9.5.]
Resolución:
El comando rand (6,4) crea una matriz de 6 × 4 con entradas aleatorias distribuidas uniformemente entre 0 y 1. El
comando randi (20,6,4) crea una matriz de 6 × 4 con entradas aleatorias de números enteros hasta el 20. El
comando round(19*(rand(6,4)-.5)) crea una matriz aleatoria de 6 × 4 con entradas enteras entre – 9 y 9.
Código en Octave
>> rand(6,4)
ans =
0.9051895
0.1107853
0.3348705
0.2162648
0.5257178
0.7359064
0.5530920
0.2347518
0.5200021
0.4143450
0.0720426
0.0778924
0.8902555
0.0068217
0.4828540
0.4029862
0.4365420
0.7849559
>> randi(20,6,4)
ans =
2
10
8
5
2
14
2
20
5
13
14
12
20
9
16
12
16
8
3
8
10
20
4
3
>> round(19*(rand(6,4)-.5))
ans =
-5 -1 -4
9
-9
9
2 -2
2
3 -3
0
-6
3
6
4
-3 -1 -9
2
7
5 -3 -8
Ejercicio 27.
0
0
[Octave] Sea 𝑆 = 0
0
[0
1
0
0
0
0
0.4865509
0.0447124
0.0537020
0.4165788
0.9468940
0.9656985
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0 . Calcule 𝑆 𝑘 para 𝑘 = 2, … , 6.
1
0]
Resolución
La matriz 𝑆 "desplaza" las entradas en un vector (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒) para producir (𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 0). Las entradas en 𝑆 2 resultado
de aplicar 𝑆 a las columnas de 𝑆, y de manera similar para 𝑆 3 , 𝑆 4 , y así sucesivamente. Esto explica los patrones que se
observan.
Código en Octave
>> S=[0 1 0 0 0; 0 0 1 0 0; 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1; 0 0 0 0 0];
>> S2=S^2
S2 =
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
>> S3=S^3
S3 =
0
0
0
1
0
42
0
0
0
0
0
0
0
0
>> S4=S^4
S4 =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
>> S5=S^5
S5 =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
>> S6=S^6
S6 =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Ejercicio 28.
[Octave] Construya una matriz aleatoria 𝐴 de 4 × 4 y compruebe si (𝐴 + 𝐼)(𝐴 − 𝐼) = 𝐴2 − 𝐼. La mejor
manera de hacer esto es calcular (𝐴 + 𝐼)(𝐴 − 𝐼) − (𝐴2 − 𝐼), y verificar que esta diferencia sea la matriz cero. Hágalo
para tres matrices al azar. Luego realice la prueba para (𝐴 + 𝐵)(𝐴 − 𝐵) = 𝐴2 − 𝐵2 , procediendo en la misma forma con
tres pares de matrices aleatorias de 4 × 4. Informe las conclusiones obtenidas.
Resolución:
(𝐴 + 𝐼)(𝐴 − 𝐼) − (𝐴2 − 𝐼) = 0 para todas las matrices 4 × 4. Sin embargo, (𝐴 + 𝐵)(𝐴 − 𝐵) − 𝐴2 − 𝐵2 es la matriz cero
solo en los casos especiales cuando 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴. En general,
(𝐴 + 𝐵)(𝐴 − 𝐵) = 𝐴(𝐴 − 𝐵) + 𝐵(𝐴 − 𝐵) = 𝐴𝐴 − 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴 − 𝐵𝐵.
Código en Octave
>> A=randi(10, 4 ,4)
A =
7
6
10
2
5
8
10
1
8
6
6
6
5
1
4
7
>> I=eye(4)
I =
Diagonal Matrix
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
>> B=randi(10,4,4)
B =
5
6
6
5
1
3
2
7
10
2
3
7
7
1
1
4
>> (A+I)*(A-I)-(A^2-I)
ans =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
>> (A+B)*(A-B)-A^2-B^2
ans =
-269
-93
-50 -326
-221
-78
-47 -225
-271 -141
-78 -285
-181
-90
-51 -169
43
La inversa de una matriz
Ejercicio 29.
Encuentre el inverso de 𝐴 = [
3
5
4
] mediante el algoritmo de reducción por filas [𝐴
6
𝐼 ] → [𝐼
𝐴−1 ].
Resolución:
(1/3)𝑓1
3
[
5
0 (1/5)𝑓2 1
]→
[
1
1
4 1
6 0
4/3
6/5
1/3
0
0 𝑓2 −𝑓1 1
]→ [
1/5
0
4/3
−2/15
1/3
−1/3
15
0 − 2 𝑓2 1
]→
[
1/5
0
4/3
1
1/3
5/2
0
]
−3/2
4
𝑓1 − 𝑓2
3
2
−3
2
1 0 −3
[
] → 𝐴−1 = [
]
5/2 −3/2
0 1 5/2 −3/2
Use la matriz A del ejercicio anterior para resolver el problema
3𝑥1 + 4𝑥2 = 3
5𝑥1 + 6𝑥2 = 7
→
Ejercicio 30.
Resolución:
El sistema es equivalente a 𝐴𝐱 = 𝐛, así que
−3
2
3
5
][ ] = [ ]
5/2 −3/2 7
−3
0 1 2
Encuentre el inverso de la matriz 𝐴 = [1 0 3] mediante el algoritmo, si existe, de ser así realice
4 −3 8
𝐱 = 𝐴−1 𝐛 = [
Ejercicio 31.
la comprobación.
Resolución:
0 1 2 1 0 0 𝑓1 ⇆𝑓21 1 0 3 0 1 0 𝑓3 −4𝑓1 1 0
3 0 1 0 𝑓3 +3𝑓2 1
[1 0 3 0 1 0] →
[0 1 2 1 0 0] →
[0 1
[0
2 1 0 0] →
4 −3 8 0 0 1
4 −3 8 0 0 1
0 −3 −4 0 −4 1
0
𝑓1 −3𝑓3
0
1
0
−9/2
7
−3/2
−9/2
1
0
3
1
0
0
(1/2)𝑓3
𝑓2 −2𝑓3
1
0
0 ]→
−2
4
−1 ] → 𝐴−1 = [ −2
→
[0 1 2
[0 1 0
3/2
0 0 1 3/2 −2 1/2
0 0 1 3/2 −2 1/2
Para verificarlo, se debe comprobar que 𝐴𝐴−1 = 𝐼, mediante el producto de las matrices se tiene
0 1 2 −9/2 7 −3/2
1 0 0
4
−1 ] = [0 1 0]
𝐴𝐴−1 = [1 0 3] [ −2
4 −3 8 3/2 −2 1/2
0 0 1
Se obtiene efectivamente la matriz identidad, con lo cual queda verificado.
0 1 2
Ejercicio 32.
[Octave] Mediante la utilización de software halle la inversa de 𝐴 = [1 0 3].
4 −3 8
Resolución:
4,5 7 −1,5
Utilizando Octave, la matriz inversa es 𝐴−1 = [−2 4
−1 ].
1,5 −2 0,5
0 3 0 1
1 2 1 0
0 2 3 −4
7 −3/2
4
−1 ]
−2 1/2
0
0]
1
Código en Octave
>> A=[0 1 2; 1 0 3; 4 -3 8];
>> Ainv=inv(A)
Ainv =
-4.50000
7.00000 -1.50000
-2.00000
4.00000 -1.00000
1.50000 -2.00000
0.50000
1 2
−1
1
2
3
Sean 𝐴 = [
], 𝐛 = [ ], 𝐛𝟐 = [ ], 𝐛𝟑 = [ ] y 𝐛𝟒 = [ ]
5 12 𝟏
3
−5
6
5
a. Encuentre 𝐴−1 y utilícelo para resolver las cuatro ecuaciones 𝐴𝐱 = 𝐛1 , 𝐴𝐱 = 𝐛2 , 𝐴𝐱 = 𝐛3 , 𝐴𝐱 = 𝐛4
b. Las cuatro ecuaciones del inciso (a) pueden resolverse con el mismo conjunto de operaciones de fila, puesto que la
matriz de coeficientes es la misma en cada caso. Resuelva las cuatro ecuaciones del inciso (a) reduciendo por filas
la matriz aumentada [𝐴 𝐛𝟏 𝐛𝟐 𝐛𝟑 𝐛𝟒 ].
c. Utilice Octave para realizar el mismo procedimiento.
Resolución:
1
0
6
−1
6
−1
1 2 1 0
1 2 1 0
1 2
1 0
a. [
]→[
]→[
]→[
] → 𝐴−1 = [
]
−5/2
1/2
−5/2
1/2
−5/2
1/2
5 12 0 1
0 2 −5 1
0 1
0 1
6
−1 −1
−9
𝐱 = 𝐴−1 𝐛𝟏 = [
][ ] = [ ]
−5/2 1/2 3
4
Ejercicio 33.
44
6
−1 1
11
][ ] = [ ]
−5/2 1/2 −5
−5
6
−1 2
6
𝐱 = 𝐴−1 𝐛𝟑 = [
][ ] = [ ]
−5/2 1/2 6
−2
6
−1 3
13
𝐱 = 𝐴−1 𝐛𝟒 = [
][ ] = [ ]
−5/2 1/2 5
−5
1
2
−1
2
1 2 −1 1 2 3
1
3
b. [𝐴 𝐛𝟏 𝐛𝟐 𝐛𝟑 𝐛𝟒 ] = [
]→[
]
1 12/5 3/5 −1 6/5 1
5 12 3 −5 6 5
1
2
−1
2
1
3
1 2 −1 1
2
3
1 0 −9
→[
]→[
]→[
0 2/5 8/5 −2 −4/5 −2
0 1 4 −5 −2 −5
0 1 4
−9 11
6
13
Las soluciones son [ ], [ ], [ ] y [ ], las mismas que en el punto a.
4
−5 −2
−5
c. Utilizando Octave se tiene que
Código en Octave
𝐱 = 𝐴−1 𝐛𝟐 = [
>> A=[1 2 -1 1 2 3; 0 2/5 8/5 -2 -4/5 -2]
A =
1.00000
2.00000 -1.00000
1.00000
2.00000
0.00000
0.40000
1.60000 -2.00000 -0.80000
>> rref(A)
ans =
1
0
-9
11
6
13
0
1
4
-5
-2
-5
11
−5
6
−2
13
]
−5
3.00000
-2.00000
Ejercicio 34.
Utilice álgebra de matrices para mostrar que si 𝐴 es invertible y 𝐷 satisface 𝐴𝐷 = 𝐼, entonces 𝐷 = 𝐴−1 .
Resolución:
Multiplica a la izquierda cada lado de la ecuación 𝐴𝐷 = 𝐼 por 𝐴−1 para obtener 𝐴−1 𝐴𝐷 = 𝐴−1 𝐼, 𝐼𝐷 = 𝐴−1 y 𝐷 = 𝐴−1 .
Los paréntesis se suprimen rutinariamente debido a la propiedad asociativa de la multiplicación de matrices.
Ejercicio 35.
En los siguientes puntos, señale cada afirmación como verdadera o falsa. Justifique sus respuestas.
a. Para que una matriz 𝐵 sea inverso de 𝐴, ambas ecuaciones 𝐴𝐵 = 𝐼 y 𝐵𝐴 = 𝐼 deben ser ciertas.
b. Si 𝐴 y 𝐵 son de 𝑛 × 𝑛 e invertibles, entonces 𝐴−1 𝐵 −1 es el inverso de 𝐴𝐵.
𝑎 𝑏
c. Si 𝐴 = [
] y 𝑎𝑏 − 𝑐𝑑 ≠ 0, entonces 𝐴 es invertible.
𝑐 𝑑
d. Si 𝐴 es una matriz invertible 𝑛 × 𝑛, entonces la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 es consistente para toda 𝑏 en ℝn .
e. Un producto de matrices invertibles de n × n es invertible, y el inverso del producto es el producto de sus inversos
en el mismo orden.
Resolución:
a. Verdadero. Por definición de invertible, un matriz multiplicada por su inversa da como resultado la matriz identidad.
b. Falso. Por teorema si 𝐴 y 𝐵 son de 𝑛 × 𝑛 e invertibles, entonces 𝐴−1 𝐵 −1 es el inverso de 𝐴𝐵.
1 1
c. Falso. Si 𝐴 = [
], entonces 𝑎𝑏 − 𝑐𝑑 = 1 − 0 ≠ 0, sin embargo, un teorema demuestra que esta matriz no es
0 0
invertible, dado que 𝑎𝑑 − 𝑐𝑏 = 0.
d. Verdadero. Por teorema, si una matriz tiene inversa entonces la solución a la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 es única para toda 𝐛 en
ℝn .
e. Falso. La matriz del producto es invertible, pero el producto de los inversos debe estar en el orden inverso.
Ejercicio 36.
Suponga que 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶, donde 𝐵 y 𝐶 son matrices 𝑛 × 𝑝 y 𝐴 es invertible. Muestre que 𝐵 = 𝐶. ¿Es esto
cierto en general si 𝐴 no es invertible?
Resolución:
Multiplica a la izquierda cada lado de la ecuación 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 por 𝐴−1 para obtener 𝐴−1 𝐴𝐵 = 𝐴−1 𝐴𝐶, 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 y 𝐵 = 𝐶.
Esta conclusión no siempre se sigue cuando 𝐴 es singular.
Ejercicio 37.
Suponga (𝐵 − 𝐶)𝐷 = 0, donde 𝐵 y 𝐶 son matrices 𝑚 × 𝑛 y 𝐷 es invertible. Muestre que 𝐵 = 𝐶.
Resolución:
Multiplica a la derecha cada lado de la ecuación (𝐵 − 𝐶)𝐷 = 0 por 𝐷 −1 para obtener (𝐵 − 𝐶)𝐷𝐷 −1 = 0𝐷 −1 , (𝐵 − 𝐶)𝐼 =
0, 𝐵 − 𝐶 = 0 y 𝐵 = 𝐶.
Ejercicio 38.
Suponga que 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son matrices invertibles 𝑛 × 𝑛. Demuestre que 𝐴𝐵𝐶 también es invertible
construyendo una matriz 𝐷 tal que (𝐴𝐵𝐶)𝐷 = 𝐼 y 𝐷(𝐴𝐵𝐶) = 𝐼.
Resolución:
El recuadro que sigue al Teorema 6 sugiere cuál debería ser el inverso de ABC, a saber, 𝐶 −1 𝐵 −1 𝐴−1 . Para verificar
45
que esto es correcto, calcule:
(𝐴𝐵𝐶)𝐶 −1 𝐵 −1 𝐴−1 = 𝐴𝐵𝐶𝐶 −1 𝐵 −1 𝐴−1 = 𝐴𝐵𝐼𝐵 −1 𝐴−1 = 𝐴𝐵𝐵 −1 𝐴−1 = 𝐴𝐼𝐴−1 = 𝐴𝐶 −1 𝐵 −1 𝐴−1 = 𝐼
y
𝐶 −1 𝐵 −1 𝐴−1 (𝐴𝐵𝐶) = 𝐶 −1 𝐵 −1 𝐴−1 𝐴𝐵𝐶 = 𝐶 −1 𝐵 −1 𝐼𝐵𝐶 = 𝐶 −1 𝐵 −1 𝐵𝐶 = 𝐶 −1 𝐼𝐶 = 𝐶 −1 𝐶 = 𝐼
Ejercicio 39.
Explique por qué las columnas de una matriz 𝐴 de 𝑛 × 𝑛 son linealmente independientes cuando 𝐴 es
invertible.
Resolución:
Supongamos que 𝐴 es invertible. Según teoremas, la ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎 tiene una sola solución, a saber, la solución
homogénea. Esto significa que las columnas de 𝐴 son linealmente independientes.
Ejercicio 40.
Explique por qué las columnas de una matriz 𝐴 de 𝑛 × 𝑛 generan ℝn cuando 𝐴 es invertible.
Resolución:
Supongamos que 𝐴 es invertible. Según el teorema: “Si 𝐴 es una matriz invertible 𝑛 × 𝑛 entonces, para cada 𝐛 en ℝn , la
ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene la solución única 𝐱 = 𝐴−1 𝐛”, la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene una solución (de hecho, una solución
única) para cada 𝐛. Por el Teorema: “Sea 𝐴 una matriz de 𝑚 × 𝑛, las columnas de A generan ℝm .”, las columnas de 𝐴
abarcan ℝn .
Ejercicio 41.
Suponga que 𝐴 es 𝑛 × 𝑛 y que la ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎 tiene solamente la solución trivial. Explique por qué
𝐴 tiene 𝑛 columnas pivote y es equivalente por filas a 𝐼𝑛 .
Resolución:
Suponga que 𝐴 es 𝑛 × 𝑛 y que la ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎 tiene solamente la solución trivial. Entonces no hay variables libres
en esta ecuación, y entonces 𝐴 tiene 𝑛 columnas pivote. Como 𝐴 es cuadrado y las 𝑛 posiciones de pivote deben estar en
filas diferentes, los pivotes en una forma escalonada de 𝐴 deben estar en la diagonal principal. Por lo tanto, 𝐴 es fila
equivalente a la matriz de identidad 𝑛 × 𝑛.
Ejercicio 42.
Una viga elástica horizontal tiene soportes en cada extremo y está sometida a fuerzas en los puntos
1, 2, 3, como indica la figura. Sea 𝐟 en ℝ3 tal que enliste las fuerzas en estos puntos, y sea 𝐲 en ℝ3 tal que incluya las
magnitudes de la deflexión (esto es, movimiento) de la viga en los tres puntos. Al aplicar la ley de Hooke de la física, se
puede demostrar que 𝐲 = 𝐷𝐟, donde D es una matriz de flexibilidad. Su inversa se denomina matriz de rigidez. Describa
el significado físico de las columnas de 𝐷 y 𝐷 −1 .
Resolución:
Escriba 𝐼3 = [𝐞𝟏 𝐞𝟐 𝐞𝟑 ] y observe que 𝐷 = 𝐷𝐼3 = [𝐷𝐞𝟏 𝐷𝐞𝟐 𝐷𝐞𝟑 ]. Interprete el vector 𝐞𝟏 = (1,0,0) como una
fuerza unitaria aplicada hacia abajo en el punto 1 (con fuerza cero en los otros dos puntos). Entonces la primera columna
de 𝐷, 𝐷𝐞𝟏 , enlista las deflexiones debidas a una fuerza unitaria en el punto 1. Interpretaciones similares son válidas para
la segunda y tercera columnas de 𝐷.
Para estudiar la matriz de rigidez 𝐷 −1 , observe que la ecuación 𝐟 = 𝐷 −1 𝐲 calcula un vector de fuerza 𝐟f cuando se da un
vector de deflexión 𝒚. Escriba
𝐷 −1 = 𝐷 −1 𝐼3 = [𝐷 −1 𝐞𝟏 𝐷 −1 𝐞𝟐 𝐷 −1 𝐞𝟑 ]
Ahora interprete e1 como un vector de deflexión. Entonces 𝐷 −1 𝐞𝟏 enlista las fuerzas que crean la deflexión. Esto es, la
primera columna de 𝐷 −1 enlista las fuerzas que deben aplicarse en los tres puntos para producir una deflexión unitaria en
el punto 1 y cero deflexiones en los otros puntos. De manera similar, las columnas 2 y 3 de 𝐷 −1 enlistan las fuerzas
requeridas para producir deflexiones unitarias en los puntos 2 y 3, respectivamente. En cada columna, una o dos de las
fuerzas deben ser negativas (apuntar hacia arriba) para producir una deflexión unitaria en el punto deseado y cero
deflexiones en los otros dos puntos. Si la flexibilidad se mide, por ejemplo, en pulgadas de deflexión por libra de carga,
entonces las entradas de la matriz de rigidez están dadas en libras de carga por pulgada de deflexión.
Ejercicio 43.
[Octave] Sea 𝐷 una matriz de flexibilidad para una viga elástica con cuatro puntos en los cuales se
aplican fuerzas. Las unidades son centímetros por newton de fuerza. Las mediciones en los cuatro puntos muestran
deflexiones de .08, .12, .16, y .12 cm. Determine las fuerzas presentes en los cuatro puntos.
46
0,0040 0,0030 0,0010 0.0005
0,0030 0,0050 0,0030 0,0010
𝐷=[
]
0,0010 0,0030 0,0050 0,0030
0,0005 0,0010 0,0030 0,0040
Resolución:
Para determinar las fuerzas que producen deflexiones de 0.08, 0.12, 0.16 y 0.12 cm en los cuatro puntos del haz, usa la
tecnología para resolver 𝐷𝐟 = 𝐲, donde y = (0.08, 0.12, 0.16, 0.12).
Las fuerzas en los cuatro puntos son 12,1.5, 21.5 y 12 newtons, respectivamente.
Código en Octave
>> D=[0.0040 0.0030 0.0010 0.0005; 0.0030 0.0050 0.0030 0.0010; 0.0010 0.0030 0.0050 0.0030; 0.0005
0.0010 0.0030 0.0040];
>> Dinv=inv(D)
Dinv =
533.33 -433.33
233.33 -133.33
-433.33
695.83 -470.83
233.33
233.33 -470.83
695.83 -433.33
-133.33
233.33 -433.33
533.33
>> y=[0.08; 0.12; 0.16; 0.12];
>> f=Dinv*y
f =
12.0000
1.5000
21.5000
12.0000
Ejercicio 44.
A menos que se especifique lo contrario, suponga que en estos ejercicios todas las matrices son n × n.
En los ejercicios 1 a 10, determine cuáles de las matrices son invertibles. Use tan pocos cálculos como sea posible.
Justifique sus respuestas.
5
7
1 −5 −4
i. [Octave]
a. [
]
f. [ 0
−3 −6
3
4]
0 −7 −7
4
−4 6
−3 6
0
1 11 9 ]
−6
b. [
]
[
6 −9
7 −5 10 19
5
0
0
−1 2
3 −1
−1 −3 0 1
c. [−3 −7 0 ]
3
5
8
−3
g. [
]
8
5 −1
−2 −6 3 2
j. [Octave]
−7 0 4
0
1 2 1
9
5 3 1 7
d. [ 3 0 −1]
6 4 2 8 −8
2 0 9
1 3 7 4
7 5 3 10 9
0
3 −5
9 6 4 −9 −5
0
5
9
6
h. [
]
e. [ 1
0
2]
[8 5 2 11 4 ]
0 0 2 8
−4 −9 7
0 0 0 10
Resolución:
5
7
a. Las columnas de la matriz [
] no son múltiplos, por lo que son linealmente independientes. Por el teorema de
−3 −6
la matriz invertible, la matriz es invertible.
−4 6
b. Las columnas de la matriz [
] son múltiplos, por lo que son linealmente dependientes. Por el teorema de la
6 −9
matriz invertible, la matriz no es invertible.
5
0
0
c. La matriz [−3 −7 0 ] es triangular, mediante operaciones por fila se la puede convertir en diagonal
8
5 −1
5 0
0
[0 −7 0 ], con lo cual tiene 1 pivote por cada columna, con lo cual es invertible.
0 0 −1
−7 0 4
d. La matriz [ 3 0 −1] tiene la segunda columna de ceros, con lo cual es linealmente dependiente, por lo tanto, la
2 0 9
matriz no será invertible.
47
1
0
2
1 0
2
1 0 2
0
3 −5
e. Operando la matriz se tiene [ 1
3 −5] → [0 3 −5] → [0 3 −5], se observa que la
0
2 ]→[ 0
−4 −9 7
0 −9 15
0 0 0
−4 −9 7
tercer columna no tiene pivote, con lo cual es linealmente dependiente, por ello la matriz no admite inversa.
1 −5 −4
1 −5 −4
1 −5 −4
f. Operando la matriz se tiene [ 0
3
4 ] → [0 3
4 ] → [0 3
4 ], se observa que la tercer columna
−3 6
0
0 −9 −12
0 0
0
no tiene pivote, con lo cual es linealmente dependiente, por ello la matriz no admite inversa.
−1 −3 0 1
−1 −3 0 1
−1 −3 0 1
3
0
5
8
−3
−4
8
0
g. Operando la matriz se tiene [
]→[
] → [ 0 −4 8 0], se observa que todas las
0 3 0
−2 −6 3 2
0
0 3 0
0
0
0 −1 2 1
0
0 0 1
1 2 1
columnas tienen pivotes, con lo cual es linealmente independiente, por ello la matriz admite inversa.
1 3 7 4
h. La matriz [0 5 9 6 ] tiene pivotes en todas sus columnas, con lo cual es linealmente independiente y por lo tanto
0 0 2 8
0 0 0 10
tiene inversa.
i. Al operar con Matlab se obtiene la matriz identidad, con lo cual la matriz es tiene un pivote en cada columna, con lo
cual es linealmente independiente y también invertible.
j. Al operar con Matlab se obtiene la matriz identidad, con lo cual la matriz es tiene un pivote en cada columna, con lo
cual es linealmente independiente y también invertible.
Código en Octave
Punto i
>> I=[4 0 -7 -7; -6 1 11 9; 7 -5 10 19; -1 2 3 -1]
I =
4
0
-7
-7
-6
1
11
9
7
-5
10
19
-1
2
3
-1
>> rref(I)
ans =
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
Punto j
>> J=[5 3 1 7 9; 6 4 2 8 -8; 7 5 3 10 9; 9 6 4 -9 -5; 8 5 2 11 4]
J =
5
3
1
7
9
6
4
2
8
-8
7
5
3
10
9
9
6
4
-9
-5
8
5
2
11
4
>> rref(J)
ans =
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
Ejercicio 45.
En los siguientes puntos todas las matrices son 𝑛 × 𝑛. Cada inciso de estos ejercicios es una implicación
de la forma “si (enunciado 1), entonces (enunciado 2)”. Califique una implicación como verdadera si (enunciado 2) es
verdadero siempre que (enunciado 1) sea cierto. Una implicación es falsa si existe una instancia en la que (enunciado 2)
es falso, pero (enunciado 1) es verdadero. Justifique sus respuestas.
a. Si la ecuación 𝐴𝑥 = 0 tiene únicamente la solución trivial, entonces 𝐴 es equivalente por filas a la matriz identidad
de 𝑛 × 𝑛.
b. Si las columnas de 𝐴 generan ℝn , entonces las columnas son linealmente independientes.
c. Si 𝐴 es una matriz de 𝑛 × 𝑛, entonces la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene al menos una solución para toda 𝑏 en ℝn .
d. Si la ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎 tiene una solución no trivial, entonces 𝐴 tiene menos de 𝑛 posiciones pivote.
e. Si 𝐴𝑇 no es invertible, entonces 𝐴 no es invertible.
f. Si existe una matriz 𝐷 de 𝑛 × 𝑛 tal que 𝐴𝐷 = 𝐼, entonces también existe una matriz 𝐶 de 𝑛 × 𝑛 tal que 𝐶𝐴 = 𝐼.
g. Si las columnas de 𝐴 son linealmente independientes, entonces las columnas de 𝐴 generan ℝn .
48
Si la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene al menos una solución para toda 𝐛 en ℝn , entonces la solución es única para toda 𝑏.
Si la transformación lineal 𝐱 → 𝐴𝐱 es una función de ℝn en ℝn , entonces 𝐴 tiene 𝑛 posiciones pivote.
Si existe una 𝐛 en ℝn tal que la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 sea inconsistente, entonces la transformación 𝐱 → 𝛥𝐱 no es uno a
uno.
Resolución:
Enunciando el teorema de la matriz invertible:
Sea 𝐴 una matriz cuadrada 𝑛 × 𝑛. Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes. Esto es, para una 𝐴 dada, los
enunciados son o todos ciertos o todos falsos.
a. 𝐴 es una matriz invertible.
b. 𝐴 es equivalente por filas a la matriz identidad 𝑛 × 𝑛.
c. 𝐴 tiene n posiciones pivote.
d. La ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎 tiene solamente la solución trivial.
e. Las columnas de 𝐴 forman un conjunto linealmente independiente.
f. La transformación lineal 𝒙 → 𝐴𝒙 es uno a uno.
g. La ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene por lo menos una solución para toda 𝐛 en ℝ𝑛 .
h. Las columnas de 𝐴 generan ℝ𝑛 .
i. La transformación lineal 𝐱 → 𝐴𝐱 mapea ℝ𝑛 sobre ℝn .
j. Existe una matriz 𝐶 de 𝑛 × 𝑛 tal que 𝐶𝐴 = 𝐼.
k. Existe una matriz 𝐷 de 𝑛 × 𝑛 tal que 𝐴𝐷 = 𝐼.
l. 𝐴𝑇 es una matriz invertible.
a. Verdadero, por el teorema de la matriz invertible. Si la declaración (d) de la TMI es verdadera, entonces también lo es
la declaración (b).
b. Verdadero. Si la declaración (h) del TMI es verdadera, entonces también lo es la declaración (e).
c. Falso. La declaración (g) del TMI es verdadera solo para matrices invertibles.
d. Verdadero, por el TMI. Si la ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎 tiene una solución no trivial, entonces la declaración (d) del TMI es
falso. En este caso, todas las declaraciones con letras en el TMI son falsas, incluida la declaración (c), que significa que
𝐴 debe tener menos de 𝑛 posiciones de pivote.
e. Verdadero, por el TMI. Si 𝐴𝑇 no es invertible, entonces la declaración (1) del el TMI es falsa y, por lo tanto, la
declaración (a) también debe ser falso.
f. Verdadero. Si la declaración (k) del TMI es verdadera, entonces también lo es la declaración (j).
g. Verdadero. Si la declaración (e) del TMI es verdadera, entonces también lo es la declaración (h).
h. Verdadero. Si la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene al menos una solución para toda 𝐛 en ℝn , entonces la solución es única para
toda 𝑏.
i. Falso. La primera parte de la declaración no es parte (i) del TMI. De hecho, si A es una matriz 𝑛 × 𝑛, el
transformación lineal 𝐱 → 𝐴𝐱 mapea ℝ𝑛 en ℝ𝑛 , sin embargo, no todas las matrices tienen 𝑛 posiciones de pivote.
j. Verdadero, por el TMI. Si hay una b en n tal que la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 es inconsistente, entonces la declaración (g)
del IMT es falso
Ejercicio 46.
Una matriz triangular superior de 𝑚 × 𝑛 es aquella cuyas entradas abajo de la diagonal principal son
ceros. ¿Cuándo es invertible una matriz triangular superior cuadrada? Justifique su respuesta.
Resolución:
Si una matriz cuadrada triangular superior de 𝑛 × 𝑛 tiene entradas diagonales distintas de cero, entonces es porque ya está
en forma escalonada, la matriz es equivalente por filas a 𝐼𝑛 y, por lo tanto, es invertible, por el TMI. Por el contrario, si
la matriz es invertible, tiene 𝑛 pivotes en la diagonal y, por lo tanto, las entradas diagonales son distintas de cero.
Ejercicio 47.
Una matriz triangular inferior de 𝑚 × 𝑛 es aquella cuyas entradas arriba de la diagonal principal son
ceros. ¿Cuándo es invertible una matriz triangular inferior cuadrada? Justifique su respuesta.
Resolución:
Si 𝐴 es triangular inferior con entradas distintas de cero en la diagonal, entonces estas n entradas diagonales se pueden
usar como pivote para producir ceros debajo de la diagonal. Por lo tanto, 𝐴 tiene 𝑛 pivotes y, por lo tanto, es invertible,
por el TMI. Si una de las entradas diagonales en 𝐴 es cero, 𝐴 tendrá menos de 𝑛 pivotes y, por lo tanto, será singular.
Ejercicio 48.
¿Puede ser invertible una matriz cuadrada con dos columnas idénticas? ¿Por qué sí o por qué no?
Resolución:
Si 𝐴 tiene dos columnas idénticas, entonces sus columnas son linealmente dependientes. La parte (e) del TMI muestra
que 𝐴 no puede ser invertible.
h.
i.
j.
49
Ejercicio 49.
¿Es posible que una matriz de 5 × 5 sea invertible cuando sus columnas no generan ℝn . ¿Por qué sí o
por qué no?
Resolución:
La parte (h) del TMI muestra que una matriz de 5 × 5 no puede ser invertible cuando sus columnas no abarcan ℝ5 .
Ejercicio 50.
Si 𝐴 es invertible, las columnas de 𝐴−1 son linealmente independientes. Explique por qué.
Resolución:
Si 𝐴 es invertible, también lo es 𝐴−1 . Por (e) del TMI aplicado a 𝐴−1 , las columnas de 𝐴−1 son linealmente independientes.
Ejercicio 51.
Si 𝐶 es de 6 × 6 y la ecuación 𝐶𝐱 = 𝐯 es consistente para toda 𝐯 en ℝn , ¿es posible que la ecuación
𝐶𝐱 = 𝐯 tenga más de una solución para alguna 𝐯? ¿Por qué sí o por qué no?
Resolución:
Por (g) del TMI, 𝐶 es invertible. Por lo tanto, cada ecuación 𝐶𝐱 = 𝐯 tiene una solución única, según teoremas.
Ejercicio 52.
Si las columnas de una matriz de 7 × 7 son linealmente independientes, ¿qué puede decirse acerca de
las soluciones de 𝐷𝐱 = 𝐛? ¿Por qué?
Resolución:
Por (e) del TMI, 𝐷 es invertible. Así, la ecuación 𝐷𝐱 = 𝐛 tiene una solución para cada 𝐛 en R7, por (g) del TMI. Aún
mejor, la ecuación 𝐷𝐱 = 𝐛 tiene una solución única para cada 𝐛 en ℝ7 .
Matrices partidas y matrices en bloques
Ejercicio 53.
En los siguientes puntos, suponga que las matrices están partidas de manera adecuada para la
multiplicación por bloques. Encuentre los productos mostrados en los puntos a y b.
𝐼 0 𝐴 𝐵
a. [
][
]
𝐸 𝐼 𝐶 𝐷
0 𝐼 𝑊 𝑋
b. [
][
]
𝐼 0 𝑌 𝑍
Resolución:
a. Aplique la regla fila-columna como si las entradas de la matriz fueran números, pero para cada producto siempre escriba
la entrada de la matriz de bloques izquierda a la izquierda.
𝐼𝐴 + 0𝐶 IB + 0D
𝐴
B
𝐼 0 𝐴 𝐵
[
][
]=[
]=[
]
𝐸𝐴 + 𝐼𝐶 𝐸𝐵 + 𝐼𝐷
𝐸𝐴 + 𝐶 𝐸𝐵 + 𝐷
𝐸 𝐼 𝐶 𝐷
b. De igual manera que el punto anterior
0𝑊 + 𝐼𝑌 0𝑋 + 𝐼𝑍
0 𝐼 𝑊 𝑋
𝑌 Z
[
][
]=[
]=[
]
𝐼𝑊 + 𝑂𝑌 𝐼𝑋 + 0𝑍
𝐼 0 𝑌 𝑍
𝑊 𝑋
Ejercicio 54.
En los ejercicios c, d y e, encuentre fórmulas para 𝑋, 𝑌 y 𝑍 en términos de 𝐴, 𝐵 y 𝐶, y justifique sus
cálculos. Para producir una fórmula, en algunos casos, puede ser necesario formular suposiciones acerca del tamaño de
una matriz. [Sugerencia: Calcule el producto de la izquierda e iguálelo al miembro del lado derecho.]
𝐴 𝐵 𝐼 0
0 𝐼
a. [
][
]=[
]
𝐶 0 𝑋 𝑌
𝑍 0
𝐴 𝑍
𝑋 0 0
𝐼 0
b. [
] [ 0 0] = [
]
𝑌 0 𝐼
0 𝐼
𝐵 𝐼
𝐴 𝐵 𝑋 𝑌 𝑍
𝐼 0 0
c. [
][
]=[
]
0 𝐼 0 0 𝐼
0 0 𝐼
Resolución:
a. Calcule el lado izquierdo de la ecuación:
𝐴𝐼 + 𝐵𝑋 𝐴0 + 𝐵𝑌
𝐴 𝐵 𝐼 0
[
][
]=[
]
𝐶𝐼 + 0𝑋 C0 + 0Y
𝐶 0 𝑋 𝑌
Se iguala al lado derecho de la ecuación:
𝐴𝐼 + 𝐵𝑋 𝐴0 + 𝐵𝑌
0 𝐼
𝐴 + 𝐵𝑋 = 0 𝐵𝑌 = 𝐼
[
]=[
] entonces
𝐶𝐼 + 0𝑋 C0 + 0Y
𝑍 0
𝐶=𝑍
0=0
Como los bloques (2, 1) son iguales, 𝑍 = 𝐶. Dado que los bloques (1, 2) son iguales, 𝐵𝑌 = 𝐼. Para continuar, supongamos
que 𝐵 e 𝑌 son cuadrados. Entonces la ecuación 𝐵𝑌 = 𝐼 implica que 𝐵 es invertible, por el TMI, y 𝑌 = 𝐵 −1. (Vea el
comentario en recuadro que sigue a las TMI.) Finalmente, a partir de la igualdad de los bloques (1, 1),
𝐵𝑋 =– 𝐴, 𝐵 −1 𝐵𝑋 = 𝐵 −1 (– 𝐴) y 𝑋 = 𝐵 −1 𝐴.
El orden de los factores para 𝑋 es crucial.
b. Calcule el lado izquierdo de la ecuación:
𝐴 𝑍
𝑋𝐴 + 0 + 0𝐵 𝑋𝑍 + 0 + 0𝐼
𝑋 0 0
[
] [ 0 0] = [
]
𝑌𝐴 + 0 + 𝐼𝐵 YZ + 0 + II
𝑌 0 𝐼
𝐵 𝐼
50
Se iguala al lado derecho de la ecuación:
𝑋𝐴
𝑋𝑍
𝑋𝐴 = 𝐼
𝑋𝑍 = 0
I 0
[
]=[
] entonces
𝑌𝐴 + 𝐵 YZ + I
𝑌𝐴 + 𝐵 = 0 𝑌𝑍 + 𝐼 = 𝐼
0 0
Para usar la igualdad de los bloques (1, 1), suponga que 𝐴 y 𝑋 son cuadrados. Por el TMI, la ecuación 𝑋𝐴 = 𝐼 implica
que 𝐴 es invertible y 𝑋 = 𝐴−1 . Además, 𝑋 es invertible Como 𝑋𝑍 = 0, 𝑋 −1 𝑋𝑍 = 𝑋 −1 0, entonces 𝑍 debe ser 0.
Finalmente, desde la igualdad de (2, 1) bloques, 𝑌𝐴 =– 𝐵. La multiplicación a la derecha por 𝐴−1 muestra que
𝑌𝐴𝐴−1 = – 𝐵𝐴−1 e 𝑌 = – 𝐵𝐴−1
El orden de los factores para Y son cruciales.
c. Calcule el lado izquierdo de la ecuación:
𝐴𝑋 + 𝐵0 𝐴𝑌 + 𝐵0 𝐴𝑍 + 𝐵𝐼
𝐴 𝐵 𝑋 𝑌 𝑍
[
][
]=[
]
0𝑋 + 𝐼0 0Y + I0 0𝑍 + 𝐼𝐼
0 𝐼 0 0 𝐼
Se iguala al lado derecho de la ecuación:
𝐴𝑋 𝐴𝑌 𝐴𝑍 + 𝐵
𝐼 0 0
[
]=[
]
0
0
𝐼
0 0 𝐼
Para usar la igualdad de los bloques (1, 1), suponga que 𝐴 y 𝑋 son cuadrados. Por el TMI, la ecuación 𝑋𝐴 = 𝐼 implica
que 𝐴 es invertible y 𝑋 = 𝐴−1 . (Vea el comentario en recuadro que sigue a la TMI. Desde 𝐴𝑌 = 0, desde la igualdad de
los bloques (1, 2), la multiplicación a la izquierda por 𝐴−1 da 𝐴−1 𝐴𝑌 = 𝐴−1 0 = 0, entonces 𝑌 = 0. Finalmente, desde
los bloques (1, 3), 𝐴𝑍 =– 𝐵. La multiplicación a la izquierda por 𝐴−1 da 𝐴−1 𝐴𝑍 = 𝐴−1 (−𝐵) y 𝑍 = −𝐴−1 𝐵. El orden de
los factores para 𝑍 es crucial.
Ejercicio 55.
En los siguientes puntos señale cada afirmación como verdadera o falsa. Justifique sus respuestas.
a. Si 𝐴 = [𝐴1 𝐴2 ] y 𝐵 = [𝐵1 𝐵2 ], teniendo 𝐴1 y 𝐴2 el mismo tamaño que 𝐵1 y 𝐵2 , respectivamente, entonces 𝐴 +
𝐵 = [𝐴1 + 𝐵1 𝐴2 + 𝐵2 ].
𝐴
𝐴12
𝐵
𝐵12
b. Si 𝐴 = [ 11
] y 𝐵 = [ 11
], entonces las particiones de 𝐴 y 𝐵 están conformadas para multiplicación por
𝐵21 𝐵22
𝐴21 𝐴22
bloques.
c. La definición del producto matriz-vector 𝐴𝐱 es un caso especial de la multiplicación por bloques.
𝐴
𝐵
d. Si 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐵1 y 𝐵1 son matrices de 𝑛 × 𝑛, 𝐴 = [ 1 ] , y 𝐵 = [ 1 ], entonces el producto 𝐵𝐴 está definido, pero 𝐴𝐵
𝐵2
𝐴2
no.
Resolución:
a. Verdadero. Si las matrices 𝐴 y 𝐵 son del mismo tamaño y están partidas exactamente en la misma forma, entonces es
natural efectuar una partición similar de la suma ordinaria matricial 𝐴 + 𝐵. En este caso, cada bloque de 𝐴 + 𝐵 es la suma
(matricial) de los bloques correspondientes de 𝐴 y 𝐵.
b. Falso. Las matrices partidas se pueden multiplicar mediante la regla acostumbrada fila-columna como si las entradas
del bloque fueran escalares, siempre y cuando, para un producto 𝐴𝐵, la partición por columnas de 𝐴 equivalga a la
partición por filas de 𝐵.
c. Verdadero. La regla fila-columna para la multiplicación de matrices en bloques proporciona la manera más general de
considerar un producto de dos matrices. La definición de 𝐴𝐱 usando las columnas de 𝐴 ya se ha descrito usando particiones
sencillas.
d. Falso. Falso, se tendría el producto de una matriz de 2𝑛 × 𝑛 con otra de 2𝑛 × 𝑛, con lo cual el número de entradas de
una matriz respecto al número de columnas la otra no será igual en ninguno de los casos y por ello no se podrá realizar
ninguno de los dos productos definidos.
𝐵 0
Ejercicio 56.
Sea 𝐴 = [
] , donde 𝐵 y 𝐶 son cuadradas. Demuestre que 𝐴 es invertible si, y sólo si, tanto 𝐵 como
0 𝐶
𝐶 son invertibles.
Resolución:
𝐷 𝐸
Se le pide que establezca una declaración si y solo si. Primero, supongamos que 𝐴 es invertible, y deja 𝐴−1 = [
].
𝐹 𝐺
𝐵 0 𝐷 𝐸
𝐵𝐷 𝐵𝐸
𝐼 0
Luego [
][
]=[
]=[
]
𝐶𝐹 𝐶𝐺
0 𝐶 𝐹 𝐺
0 𝐼
Como 𝐵 es cuadrada, la ecuación 𝐵𝐷 = 𝐼 implica que 𝐵 es invertible, por el TMI. Del mismo modo, 𝐶𝐺 = 𝐼 implica que
𝐶 es invertible. Además, la ecuación 𝐵𝐸 = 0 implica que 𝐸 = 𝐵 −1 0 = 0. De manera similar, 𝐹 = 0. Así
−1
𝐵 0 −1
0 ]
𝐴−1 = [
] = [𝐵
0 𝐶
0
𝐶 −1
51
Esto prueba que 𝐴 es invertible solo si 𝐵 y 𝐶 son invertibles. Para la parte "si" de la declaración, suponga que 𝐵 y 𝐶 son
invertibles. Entonces (*) proporciona un candidato probable para 𝐴−1 que puede usarse para mostrar que 𝐴 es invertible.
Calcular:
𝐵 0 𝐵 −1
0 ] = [𝐵𝐵 −1
0 ] = [ 𝐼 0]
[
][
0 𝐶 0
0 𝐼
𝐶 −1
0
𝐶𝐶 −1
Como 𝐴 es cuadrada, este cálculo y el TMI implican que 𝐴 es invertible. (No olvides esta final frase. Sin ella, el argumento
está incompleto.) En lugar de esa oración, podría agregar la ecuación:
−1
𝐼 0
0 ] [𝐵 0 ] = [𝐵 −1 𝐵
0
[𝐵
]
−1 0
−1 ] = [0
𝐶
𝐼
0
𝐶
0
𝐶 𝐶
1 0
Ejercicio 57.
Verifique que 𝐴2 = 𝐼 cuando 𝐴 = [
].
3 −1
Resolución:
1+0
0+0
1 0 1 0
1 0
𝐴2 = [
][
]=[
]=[
]
3 − 3 0 + (−1)2
3 −1 3 −1
0 1
Ejercicio 58.
Use matrices partidas para demostrar que 𝑀2 = 𝐼 cuando
1 0
0 0
3
−1
0 0]
𝑀=[
1 0 −1 0
0 1 −3 1
Resolución:
A2 + 0
0+0
𝐴 0 𝐴 0
𝐼 0
𝑀2 = [
][
]=[
]=[
]
A − A 0 + (−A)2
𝐼 −𝐴 𝐼 −𝐴
0 𝐼
Ejercicio 59.
[Octave] Suponga que debido a restricciones de memoria o tamaño su programa de matrices no puede
trabajar con matrices de más de 32 filas y 32 columnas, y suponga que algún proyecto requiere las matrices 𝐴 y 𝐵 de
50 × 50. Describa los comandos u operaciones de su programa para matrices que realizan las siguientes tareas.
a. Calcular 𝐴 + 𝐵.
b. Calcular 𝐴𝐵.
c. Resolver 𝐴𝐱 = 𝐛 para algún vector 𝐛 en ℝ50 , suponiendo que 𝐴 se puede partir en una matriz de bloque de
2 × 2 [𝐴𝑖𝑗 ], siendo 𝐴11 una matriz invertible de 20 × 20, 𝐴22 una matriz invertible de 30 × 30, y 𝐴12 una matriz
cero. [Sugerencia: Describa sistemas apropiados más pequeños que puedan resolverse sin usar inversos de matrices.]
Resolución:
Para resolver cada uno de los casos se debe desconcatenar los bloques de la matriz en bloques más manejables, a
continuación, se muestra el código en Octave seguido de cada una de las operaciones a realizarse.
Código en Octave
%Se debe definir en primera medida la matriz de 50 por 50 en bloques más manejables por debajo de
32x32, en este caso se recurrirá a armar bloques de 25x25.
>> A=[…];%%Matriz de 50x50
>> A1=A(1:25,1:25)
>> A2=A(1:25,26:50)
>> A3=A(26:50,1:25)
>> A4=A(26:50,26:50)
>> A=[A1, A2; A3, A4]
%%Lo mismo para la matriz B
>> B=[…];%%Matriz de 50x50
>> B1=B(1:25,1:25)
>> B2=B(1:25,26:50)
>> B3=B(26:50,1:25)
>> B4=B(26:50,26:50)
>> B=[B1, B2; B3, B4]
%%Las operaciones también las Podemos realizar por bloques
Punto a
>> B+C
ans = …
Punto b
>> B*C
Ans = …
Punto c
B = [A zeros(30,20); zeros(20,30) A’];
Factorización de matrices
Ejercicio 60.
52
Se puede verificar que
3
−3
𝐴=[
6
−9
−7
5
−4
5
−2 2
1 0 0 0 3 −7 −2 2
1 0 ] = [ −1 1 0 0] [0 −2 −1 2 ] = 𝐿𝑈
0 −5
2 −5 1 0 0 0 −1 1
0 −1
−5 12
−3 8 3 1 0 0
−9
Use esta factorización 𝐿𝑈 para resolver 𝐴𝐱 = 𝐛, donde 𝐛 = [ 5 ]
7
11
Resolución:
La resolución de 𝐿𝐲 = 𝐛 requiere únicamente de 6 multiplicaciones y 6 sumas, porque la aritmética ocurre sólo en la
columna 5. (En 𝐿, los ceros debajo de cada pivote se crean automáticamente con la elección de las operaciones por fila.)
0 0 0 −9
1
1 0 0 0 −9
𝑶𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 0
1
0
−1
0
5
1 0 0 −4] = [𝐼 𝐲]
[𝐿 𝐛] = [
]→
[
2 −5 1 0 7
0 0 1 0 5
−3 8 3 1 11
0 0 0 1 1
Entonces, para 𝑈𝐱 = 𝐲, la etapa “regresiva” de la reducción por filas requiere de 4 divisiones, 6 multiplicaciones y 6
sumas. (Por ejemplo, para producir la columna 4 de [𝑈 𝐲] se requieren una división en la fila 4 y tres pares
multiplicación-suma para sumar múltiplos de la fila 4 a las filas de arriba.)
3 −7 −2 2 −9
1 0 0 0 3
3
𝑶𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 0 1 0 0
0
−2
−4
−1
2
4
[𝑈 𝐲] = [
]→
[
]→𝐱=[ 4 ]
0 0 −1 1
0 0 1 0 −6
−6
5
0 0
0 −1 1
0 0 0 1 −1
−1
Para encontrar 𝐱 se requieren 28 operaciones aritméticas, u operaciones de punto flotante (“flops”), sin contar el costo de
encontrar 𝐿 y 𝑈. En contraste, la reducción por filas de [𝐴 𝐛] hasta [𝐼 𝐱] requiere de 62 operaciones.
Ejercicio 61.
Encuentre la factorización 𝐿𝑈 de
4 −1 5 −2
2
−5
−4
3 −8 1 ]
𝐴=[
2 −5 −4 1
8
−6 0
7 −3 1
Resolución:
Dado que 𝐴 tiene cuatro filas, 𝐿 debe ser de 4 × 4. La primera columna de 𝐿 es la primera columna de 𝐴 dividida entre
la entrada pivote superior:
1 0 0 0
−2
1 0 0]
𝐿=[
1
1 0
−3
1
Compare las primeras columnas de 𝐴 y de 𝐿. Las operaciones por fila que crearon ceros en la primera columna de 𝐴
también crearan ceros en la primera columna de 𝐿. Se desea que esta misma correspondencia de operaciones por fila sea
válida para el resto de 𝐿, así que se examina una reducción por filas de 𝐴 a una forma escalonada 𝑈:
4 −1 5 −2
2
2 4 −1 5 −2
−5
−4
3
−8
1
1
2 −3] = 𝐴
𝐴=[
] → [0 3
1
2 −5 −4 1
8
0 −9 −3 −4 10
−6 0
7 −3 1
0 12 4 12 −5
2 4 −1 5 −2
2 4 −1 5 −2
0
3
−3
1
2
𝐴2 = [
] → [0 3 1 2 −3] = 𝑈
0 0 0 2 1
0 0 0 2 1
0 0 0 4 7
0 0 0 0 5
Las entradas resaltadas determinan la reducción por filas de 𝐴 a 𝑈. En cada pivote, divida las entradas resaltadas entre el
pivote y coloque el resultado en 𝐿:
Con un cálculo sencillo puede verificarse que estas 𝐿 y 𝑈 satisfacen 𝐿𝑈 = 𝐴.
53
Ejercicio 62.
Encuentre la matriz de transferencia para la red en escalera de la figura y diseñe una red en escalera
1
−8
cuya matriz sea [
].
−0.5 5
Resolución:
Sean 𝐴1 y 𝐴2 las matrices de transferencia de los circuitos en serie y con derivación, respectivamente. Entonces, un vector
de entrada 𝐱 se transforma primero en 𝐴1 𝐱 y luego en 𝐴2 (𝐴1 𝐱). La conexión en serie de los circuitos corresponde a la
composición de transformaciones lineales, y la matriz de transferencia de la red en escalera es (observe el orden).
1
−𝑅1
1
0 1 −𝑅1
𝐴2 𝐴1 = [
][
]=[
]
−1/𝑅2 1 0
−1/𝑅
1
+
𝑅1 /𝑅2
1
2
1
−8
Se pretende factorizar la matriz [
] para obtener el producto de matrices de transferencia, como en la ecuación
−0.5 5
anterior. Así que se buscan las 𝑅1 y 𝑅2 de la figura que satisfagan
1
−𝑅1
1
−8
[
]=[
]
−1/𝑅2 1 + 𝑅1 /𝑅2
−0.5 5
1
De las entradas (1, 2), se tiene que 𝑅1 = 8 ohms, y de las entradas (2, 1), 1/𝑅2 = 0,5 ohms y 𝑅2 =
= 2 ohms. Con
0,5
estos valores, la red de la figura tiene la matriz de transferencia deseada.
Ejercicio 63.
En los siguientes puntos, resuelva la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 usando la factorización 𝐿𝑈 dada para 𝐴. En el
punto (a) resuelva también 𝐴𝐱 = 𝐛 por reducción ordinaria de columnas.
2
1
0 0 2 −1 2
4
3 −5
𝐴 = [−3 1 0] [0 −3 4]
a. 𝐴 = [−4 −5 7 ], 𝐛 = [−4]
4 −1 1 0 0 1
6
8
6 −8
1 0 0 4 3 −5
𝐴 = [−1 1 0] [0 −2 2 ]
2 −2 4
0
2 0 1 0 0
2
c. 𝐴 = [1 −3 1], 𝐛 = [−5]
2 −1 2
1
3 7 5
7
b. 𝐴 = [−6 0 −2], 𝐛 = [0]
1
0 0 2 −2 4
8 −1 5
4
𝐴 = [1/2 1 0] [0 −2 −1]
3/2 −5 1 0 0 −6
Resolución:
1 0 0
2
4 3 −5
a. 𝐿 = [−1 1 0], 𝑈 = [0 −2 2 ] y 𝐛 = [−4]. Primero, resuelva 𝐿𝐲 = 𝐛:
2 0 1
6
0 0
2
1 0 0 2
1 0 0 2
2
[𝐿 𝐛] = [−1 1 0 −4] → [0 1 0 −2], entonces 𝐲 = [−2]
2 0 1 6
0 0 1 2
2
A continuación, resuelva 𝑈𝐱 = 𝐲, utilizando sustitución hacia atrás (con notación matricial):
4 3 0 7
4 3 −5 2
4 3 −5 2
[𝑈 𝐲] = [0 −2 2 −2] → [0 −2 2 −2] → [0 −2 0 −4] →
2
1
0 0 1 1
0 0
2
0 0
1
4 3 0 7
4 0 0 1
1 0 0 1/4
1/4
[0 1 0 2] → [0 1 0 2] → [0 1 0
2 ], entonces 𝐱 = [ 2 ]
0 0 1 1
0 0 1 1
0 0 1
1
1
Para confirmar este resultado, reduzca por filas la matriz [𝐴 𝐛]:
4
3 −5 2
4 3 −5 2
[𝐴 𝐛] = [−4 −5 7 −4] = [0 −2 2 −2]
2
8
6 −8 6
0 0
2
Desde este punto, la reducción de filas sigue a la de [𝑈 𝐲] anterior, produciendo el mismo resultado.
2 −1 2
1
0 0
1
b. 𝐿 = [−3 1 0], 𝑈 = [0 −3 4] y 𝐛 = [0]. Primero, resuelva 𝐿𝐲 = 𝐛:
4 −1 1
0 0 1
4
1 0 0 1
1
1
0 0 1
[𝐿 𝐛] = [−3 1 0 0] → [0 1 0 3], entonces 𝐲 = [3]
4 −1 1 4
0 0 1 3
3
54
A continuación, resuelva 𝑈𝐱 = 𝐲, utilizando sustitución hacia atrás (con notación matricial):
2 −1 2 1
2 −1 0 −5
2 −1 0 −5
[𝑈 𝐲] = [0 −3 4 3] → [0 −3 0 −9] → [0 1 0 3 ] →
0 0 1 3
0 0 1 3
0 0 1 3
2 0 0 −2
1 0 0 −1
−1
[0 1 0 3 ] → [0 1 0 3 ], entonces 𝐱 = [ 3 ]
0 0 1 3
0 0 1 3
3
1
0 0
2 −2 4
0
c. 𝐿 = [1/2 1 0], 𝑈 = [0 −2 −1] y 𝐛 = [−5]. Primero, resuelva 𝐿𝐲 = 𝐛:
3/2 −5 1
0 0 −6
7
1
0 0 0
1 0 0
0
0
[𝐿 𝐛] = [1/2 1 0 −5] → [0 1 0 −5 ], entonces 𝐲 = [ −5 ]
3/2 −5 1 7
0 0 1 −18
−18
A continuación, resuelva 𝑈𝐱 = 𝐲, utilizando sustitución hacia atrás (con notación matricial):
2 −2 4
0
2 −2 4
0
2 −2 0 −12
[𝑈 𝐲] = [0 −2 −1 −5 ] → [0 −2 −1 −5] → [0 −2 0 −2 ] →
0 0 −6 −18
0 0
1
3
0 0 1
3
2 −2 0 −12
2 0 0 −10
−5
[0 1 0
1 ] → [0 1 0
1 ], entonces 𝐱 = [ 1 ]
0 0 1
3
0 0 1
3
3
Ejercicio 64.
(𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑄𝑅.) Suponga que 𝐴 = 𝑄𝑅, donde 𝑄 y 𝑅 son 𝑛 × 𝑛, 𝑅 es invertible y triangular
superior, y 𝑄 tiene la propiedad de que 𝑄𝑇 𝑄 = 𝐼. Demuestre que para cada 𝐛 en ℝn , la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene una solución
única. ¿Cuáles cálculos con 𝑄 y 𝑅 producirían la solución?
Resolución:
Como 𝑄 es cuadrado y 𝑄𝑇 𝑄 = 𝐼, Q es invertible por el teorema de la matriz invertible y 𝑄−1 = 𝑄𝑇 . Así 𝐴 es El producto
de matrices invertibles y por lo tanto es invertible. Así, según teoremas, la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene una solución única para
todos los 𝐛. De 𝐴𝐱 = 𝐛, tenemos 𝑄𝑅𝐱 = 𝐛, 𝑄𝑇 𝑄𝑅𝐱 = 𝑄𝑇 𝐛, 𝑅𝐱 = 𝑄𝑇 𝐛, y finalmente 𝐱 = 𝑅−1 𝑄𝑇 𝐛. Un buen algoritmo
para encontrar 𝐱 es calcular 𝑄𝑇 𝐛 y luego reducir la matriz en la fila [𝑅 𝑄𝑇 𝐛]. La reducción es rápida en este caso porque
𝑅 es una matriz triangular.
Ejercicio 65.
(𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠.) Suponga que 𝐴 = 𝑈𝐷𝑉 𝑇 , donde 𝑈 y 𝑉 son matrices
de 𝑛 × 𝑛 con la propiedad de que 𝑈 𝑇 𝑈 = 𝐼 y 𝑉 𝑇 𝑉 = 𝐼, y donde 𝐷 es una matriz diagonal con números positivos
𝜎1 , . . . , 𝜎𝑛 sobre la diagonal. Muestre que 𝐴 es invertible y encuentre una fórmula para 𝐴−1 .
Resolución:
𝐴 = 𝑈𝐷𝑉 𝑇 . Como 𝑈 y 𝑉 𝑇 son cuadrados, las ecuaciones 𝑈 𝑇 𝑈 = 𝐼 y 𝑉 𝑇 𝑉 = 𝐼 implican que 𝑈 y 𝑉 𝑇 son invertibles, por
el TMI, y por lo tanto 𝑈 −1 = 𝑈 𝑇 y (𝑉 𝑇 )−1 = 𝑉. Dado que las entradas diagonales 𝜎1 , … , 𝜎𝑛 en 𝐷 son distinto de cero, 𝐷
es invertible, siendo la inversa de 𝐷 la matriz diagonal con 𝜎1 −1 , . . . , 𝜎𝑛 −1 en la diagonal. Así, 𝐴 es un producto de matrices
invertibles. Según teoremas, 𝐴 es invertible y 𝐴−1 = (𝑈𝐷𝑉 𝑇 )−1 = (𝑉 𝑇 )−1 𝐷 −1 𝑈 −1 = 𝑉𝐷 −1 𝑈 𝑇 .
Ejercicio 66.
(𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑟𝑎𝑙.) Suponga que una matriz 𝐴 de 3 × 3 admite una factorización como 𝐴 =
−1
𝑃𝐷𝑃 , donde 𝑃 es alguna matriz invertible de 3 × 3 y 𝐷 es la matriz diagonal
1
0
0
0 ]
𝐷 = [0 1/2
0
0
1/3
Muestre que esta factorización es útil cuando se calculan potencias altas de 𝐴. Encuentre fórmulas relativamente sencillas
para 𝐴2 , 𝐴3 y 𝐴𝑘 (𝑘 es un entero positivo), usando 𝑃 y las entradas en 𝐷.
Resolución:
1
0
0
0 ] entonces
Si 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 −1 , donde 𝑃 es una matriz invertible 3 × 3 y 𝐷 es la matriz diagonal 𝐷 = [0 1/2
0
0
1/3
𝐴2 = (𝑃𝐷𝑃−1 )(𝑃𝐷𝑃−1 ) = 𝑃𝐷 (𝑃𝐷𝑃−1 )𝐷𝑃−1 = 𝑃𝐷𝐼𝐷𝑃−1 = 𝑃𝐷2 𝑃−1
Y desde
1
0
0
1
0
0 1
0
0
1
0
0
2
2
(1/2)
0
0 ] = [0 1/4
0 ] [0 1/2
0 ]=[
0 ]
𝐷 = [0 1/2
0
0
1/3 0
0
1/3
0
0
1/9
(1/3)2
0
0
1
0
0
0 ] 𝑃 −1
𝐴2 = 𝑃 [0 1/4
0
0
1/9
Del mismo modo, 𝐴3 = 𝑃𝐷3 𝑃 −1 , entonces
55
1
𝐴3 = 𝑃 [0
0
0
(1/2)2
0
0
1
0 ] 𝑃 −1 = 𝑃 [0
0
(1/3)2
0
1/8
0
0
0 ] 𝑃 −1
1/27
En general, 𝐴𝑘 = 𝑃𝐷𝑘 𝑃−1 , entonces
1
𝐴 = 𝑃 [0
0
𝑘
0
(1/2)𝑘
0
0
0 ] 𝑃 −1
(1/3)𝑘
Ejercicio 67.
[Octave] La solución al problema de flujo de calor en estado estable para la placa de la figura se
aproxima al resolver la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛, donde 𝐛 = (5, 15, 0, 10, 0, 10, 20, 30) y
4 −1 −1
0
0
0
0
0
−1
4
0 −1
0
0
0
0
−1
0
4 −1
−1
0
0
0
0
−1
−1
4
0
−1
0
0
𝐴=
0
0 −1
0
4 −1 −1
0
0
0
0 −1
−1
4
0 −1
0
0
0
0
−1
0
4 −1
[ 0
0
0
0
0 −1 −1
4]
Las entradas diferentes de cero de 𝐴 quedan dentro de una banda a lo largo de la diagonal principal. Tales matrices de
banda se dan en diversas aplicaciones, y a menudo son extremadamente grandes (con miles de filas y columnas, pero con
bandas relativamente angostas).
a. Encuentre la factorización 𝐿𝑈 de 𝐴, y observe que ambos factores son matrices de banda (con dos diagonales
diferentes de cero abajo o arriba de la diagonal principal). Calcule 𝐿𝑈 − 𝐴 para comprobar su trabajo.
b. Use la factorización 𝐿𝑈 para resolver 𝐴𝐱 = 𝐛.
c. Obtenga 𝐴−1 y observe que 𝐴−1 es una matriz densa sin estructura de banda. Cuando A es grande, L y U pueden
almacenarse en mucho menos espacio que 𝐴−1 . Este hecho es otra razón para preferir la factorización LU de A en
lugar de la propia 𝐴−1 .
Resolución:
La resolución se verá en los comandos como se aprecia debido a la magnitud de las matrices involucradas.
Código en Octave
Punto a.
>> A=[4 -1 -1 0 0 0 0 0; -1 4 0 -1 0 0 0 0;-1 0 4 -1 -1 0 0 0; 0 -1 -1 4 0 -1 0 0; 0 0 -1 0 4 -1 -1
0; 0 0 0 -1 -1 4 0 -1; 0 0 0 0 -1 0 4 -1;0 0 0 0 0 -1 -1 4]
A =
4 -1 -1
0
0
0
0
0
-1
4
0 -1
0
0
0
0
-1
0
4 -1 -1
0
0
0
0 -1 -1
4
0 -1
0
0
0
0 -1
0
4 -1 -1
0
0
0
0 -1 -1
4
0 -1
0
0
0
0 -1
0
4 -1
0
0
0
0
0 -1 -1
4
>> [L,U]=lu(A)
L =
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
-0.25000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
-0.25000 -0.06667
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000 -0.26667 -0.28571
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000 -0.26786 -0.08333
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000 -0.29167 -0.29213
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000 -0.26966 -0.08613
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000 -0.29482 -0.29314
1.00000
U =
4.00000 -1.00000 -1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
3.75000 -0.25000 -1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
3.73333 -1.06667 -1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
3.42857 -0.28571 -1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
3.70833 -1.08333 -1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
3.39185 -0.29213 -1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
3.70518 -1.08613
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
3.38679
>> rats(L)
56
ans =
1
0
0
0
-1/4
1
0
0
-1/4
-1/15
1
0
0
-4/15
-2/7
1
0
0
-15/56
-1/12
0
0
0
-7/24
0
0
0
0
0
0
0
0
>> rats(U)
ans =
4
-1
-1
0
0
15/4
-1/4
-1
0
0
56/15
-16/15
0
0
0
24/7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
%Comprobación L*U-A
>> rats(L*U-A)
ans =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Punto b.
>> b= [5; 15; 0; 10; 0; 10; 20;30];
>> Lb=[L b]
Lb =
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
-0.25000
1.00000
0.00000
0.00000
-0.25000
-0.06667
1.00000
0.00000
0.00000
-0.26667
-0.28571
1.00000
0.00000
0.00000
-0.26786
-0.08333
0.00000
0.00000
0.00000
-0.29167
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
>> Iy=rref(Lb)
Iy =
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
>> y=Iy(:,9)
y =
5.0000
16.2500
2.3333
15.0000
1.8750
14.9228
21.7909
40.7873
>> Uy=[U y]
Uy =
4.00000
-1.00000
-1.00000
0.00000
0.00000
3.75000
-0.25000
-1.00000
0.00000
0.00000
3.73333
-1.06667
0.00000
0.00000
0.00000
3.42857
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0
0
0
0
1
-26/89
-24/89
0
0
0
0
0
0
1
-208/2415
-712/2415
0
0
0
0
0
0
1
-581/1982
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
-1
-2/7
89/24
0
0
0
0
0
0
-1
-13/12
2415/712
0
0
0
0
0
0
-1
-26/89
8948/2415
0
0
0
0
0
0
-1
-227/209
359/106
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
-0.29213
-0.26966
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
-0.08613
-0.29482
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
-0.29314
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
5.00000
15.00000
0.00000
10.00000
0.00000
10.00000
20.00000
30.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
5.00000
16.25000
2.33333
15.00000
1.87500
14.92275
21.79089
40.78733
0.00000
0.00000
-1.00000
-0.28571
3.70833
0.00000
0.00000
0.00000
-1.00000
-1.08333
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
-1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
5.00000
16.25000
2.33333
15.00000
1.87500
57
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
3.39185
-0.29213
-1.00000
14.92275
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
3.70518
-1.08613
21.79089
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
3.38679
40.78733
>> Ix=rref(Uy)
Ix =
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
3.95694
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
6.58852
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
4.23923
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
7.39713
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
5.60287
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
8.76077
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
9.41148
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
12.04306
>> x=Ix(:,9)
x =
3.9569
6.5885
4.2392
7.3971
5.6029
8.7608
9.4115
12.0431
%Comprobación A*x=b
>> b=A*x
b =
5.0000e+00
1.5000e+01
8.8818e-16
1.0000e+01
-3.5527e-15
1.0000e+01
2.0000e+01
3.0000e+01
>> rats(b)
b =
5
15
0
10
0
10
20
30
Punto c.
>> Ainv=inv(A)
Ainv =
0.2952648
0.0865534
0.0945059
0.0509487
0.0318099
0.0227355
0.0099984
0.0081835
0.0865534
0.2952648
0.0509487
0.0945059
0.0227355
0.0318099
0.0081835
0.0099984
0.0945059
0.0509487
0.3270747
0.1092889
0.1045042
0.0591322
0.0318099
0.0227355
0.0509487
0.0945059
0.1092889
0.3270747
0.0591322
0.1045042
0.0227355
0.0318099
0.0318099
0.0227355
0.1045042
0.0591322
0.3270747
0.1092889
0.0945059
0.0509487
0.0227355
0.0318099
0.0591322
0.1045042
0.1092889
0.3270747
0.0509487
0.0945059
0.0099984
0.0081835
0.0318099
0.0227355
0.0945059
0.0509487
0.2952648
0.0865534
0.0081835
0.0099984
0.0227355
0.0318099
0.0509487
0.0945059
0.0865534
0.2952648
>> rats(Ainv)
ans =
106/359
56/647
590/6243
145/2846 964/30305 689/30305 303/30305 248/30305
56/647
106/359
145/2846
590/6243 689/30305 964/30305 248/30305 303/30305
590/6243
145/2846
871/2663
833/7622
645/6172
417/7052 964/30305 689/30305
145/2846
590/6243
833/7622
871/2663
417/7052
645/6172 689/30305 964/30305
964/30305 689/30305
645/6172
417/7052
871/2663
833/7622
590/6243
145/2846
689/30305 964/30305
417/7052
645/6172
833/7622
871/2663
145/2846
590/6243
303/30305 248/30305 964/30305 689/30305
590/6243
145/2846
106/359
56/647
248/30305 303/30305 689/30305 964/30305
145/2846
590/6243
56/647
106/359
Ejercicio 68.
[Octave] La matriz de banda 𝐴 que se muestra a continuación puede servir para calcular la conducción
de calor no estacionaria en una barra para la cual las temperaturas en sus puntos 𝑝1 , . . . , 𝑝5 cambian con el tiempo.
58
La constante 𝐶 de la matriz depende de la naturaleza física de la barra, de la distancia 𝛥𝑥 entre los puntos de la barra, y
del tiempo 𝐭 que transcurra entre mediciones sucesivas de temperatura. Suponga que para 𝑘 = 0, 1, 2, . . ., un vector 𝐭 𝑘 en
ℝ5 enlista las temperaturas en el tiempo 𝑘𝛥𝑡. Si ambos extremos de la barra se mantienen a 0°, entonces los vectores de
temperatura satisfacen la ecuación 𝐴𝐭 𝑘+1 = 𝐭 𝑘 (𝑘 = 0, 1, . . . ), donde
0
0
0
(1 + 2𝐶)
−𝐶
−𝐶
0
(1 + 2𝐶)
0
−𝐶
𝐴=
(1 + 2𝐶)
0
−𝐶
−𝐶
0
−𝐶
0
(1 + 2𝐶)
0
−𝐶
[
(1 + 2𝐶)]
0
0
−𝐶
0
a. Encuentre la factorización 𝐿𝑈 de 𝐴 cuando 𝐶 = 1. Una matriz como 𝐴 con tres diagonales diferentes de cero se
denomina matriz tridiagonal. Los factores 𝐿 y 𝑈 son matrices bidiagonales.
b. Suponga que 𝐶 = 1 y 𝐭 0 = (10, 12, 12, 12, 10). Use la factorización 𝐿𝑈 de 𝐴 para encontrar las distribuciones de
temperatura 𝐭1 , 𝐭 2 , 𝐭 3 y 𝐭 4 .
Resolución:
La resolución se verá en los comandos como se aprecia debido a la magnitud de las matrices involucradas.
Código en Octave
Punto a.
>> C=1
C = 1
>> A=[(1+2*C) (-C) 0 0 0; (-C) (1+2*C) (-C) 0 0; 0 (-C) (1+2*C) (-C) 0; 0 0 (-C) (1+2*C) (-C); 0 0 0
(-C) (1+2*C)]
A =
3 -1
0
0
0
-1
3 -1
0
0
0 -1
3 -1
0
0
0 -1
3 -1
0
0
0 -1
3
>> [L,U]=lu(A)
L =
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
-0.33333
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000 -0.37500
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000 -0.38095
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000 -0.38182
1.00000
U =
3.00000 -1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
2.66667 -1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
2.62500 -1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
2.61905 -1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
2.61818
>> rats(L)
ans =
1
0
0
0
0
-1/3
1
0
0
0
0
-3/8
1
0
0
0
0
-8/21
1
0
0
0
0
-21/55
1
>> rats(U)
ans =
3
-1
0
0
0
0
8/3
-1
0
0
0
0
21/8
-1
0
0
0
0
55/21
-1
0
0
0
0
144/55
Punto b
>> Lt0=[L t0]
Lt0 =
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
10.00000
-0.33333
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
12.00000
0.00000
-0.37500
1.00000
0.00000
0.00000
12.00000
59
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
>> y=rref(Lt0)
y =
1.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
>> Iy=rref(Lt0)
Iy =
1.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
>> y=Iy(:,6)
y =
10.000
15.333
17.750
18.762
17.164
>> Uy=[U y]
Uy =
3.00000
-1.00000
0.00000
2.66667
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
>> It1=rref(Uy)
It1 =
1.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
>> t1=It1(:,6)
t1 =
6.5556
9.6667
10.4444
9.6667
6.5556
%Comprobación A*t1=t0
>> t0=A*t1
t0 =
10.0000
12.0000
12.0000
12.0000
10.0000
-0.38095
0.00000
1.00000
-0.38182
0.00000
1.00000
12.00000
10.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
10.00000
15.33333
17.75000
18.76190
17.16364
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
10.00000
15.33333
17.75000
18.76190
17.16364
0.00000
-1.00000
2.62500
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
-1.00000
2.61905
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
-1.00000
2.61818
10.00000
15.33333
17.75000
18.76190
17.16364
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
6.55556
9.66667
10.44444
9.66667
6.55556
Modelos matriciales de entrada y salida
Ejercicio 69.
Suponga que la economía consiste en tres sectores —manufactura, agricultura y servicios— con los
vectores unitarios de consumo 𝐜1 , 𝐜2 , 𝐜3 mostrados en la tabla siguiente:
Comprado por:
Manufactura
Agricultura
Servicios
Insumos consumidos por unidad de producción
Manufactura
Agricultura
Servicios
0,50
0,40
0,20
0,20
0,30
0,10
0,10
0,10
0,30
𝐜1
𝐜2
𝐜3
¿Qué cantidades consumirá el sector de manufactura si decide producir 100 unidades? ¿Cuál es la demanda intermedia?
¿Cuál es la matriz de consumo? Describa de manera genérica de Leontief de entrada y salida.
Resolución:
60
0.50
50
Calcule 100𝐜1 = 100 [0.20] = [20]
0.10
10
Para producir 100 unidades, manufactura ordenará (es decir, “demandará”) y consumirá 50 unidades de otras partes del
sector de manufactura, 20 unidades de agricultura, y 10 unidades de servicios.
Si manufactura decide producir 𝑥1 unidades, entonces 𝑥1 𝐜𝟏 representa las demandas intermedias de manufactura, porque
las cantidades de 𝑥1 𝐜𝟏 se consumirán en el proceso de creación de las 𝑥1 unidades de producción. De la misma forma, si
𝑥2 y 𝑥3 denotan las producciones planeadas de los sectores de agricultura y servicios, 𝑥2 𝐜𝟐 y 𝑥3 𝐜𝟑 enlistan las demandas
intermedias correspondientes. La demanda intermedia total de los tres sectores está dada por
{𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎} = 𝑥1 𝐜𝟏 + 𝑥2 𝐜𝟐 + 𝑥3 𝐜𝟑 = 𝐶𝐱
Donde C es la matriz de consumo [𝐜𝟏 𝐜𝟐 𝐜𝟑 ], a saber
0.50 0.40 0.20
𝐶 = [0.20 0.30 0.10]
0.10 0.10 0.30
Modelo de Leontief de entrada-salida, o ecuación de producción
=
𝐶𝐱
𝐝
+
𝐶𝐱
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐷𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝐷𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎
𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
Si se escribe 𝐱 como 𝐼𝐱 y se utiliza algebra de matrices, es posible reescribir esta ecuación como
𝐼𝐱 − C𝐱 = 𝐝
(𝐼 − 𝐶)𝐱 = 𝐝
Ejercicio 70.
[Octave] Considere la economía de la matriz de consumo del ejercicio anterior. Suponga que la demanda
final es de 50 unidades para manufactura, 30 unidades para agricultura, y 20 unidades para servicios. Encuentre el nivel
de producción 𝐱 que satisfará esta demanda.
Resolución:
La matriz de coeficientes es
1 0 0
0.5 0.4 0.2
0.5 −0.4 −0.2
𝐼 − 𝐶 = [0 1 0] − [0.2 0.3 0.1] = [−0.2 0.7 −0.1]
0 0 1
0.1 0.1 0.3
−0.1 −0.1 0.7
Reduciendo por filas
1 0 0 226
0.5 −0.4 −0.2 50
[−0.2 0.7 −0.1 30] → [0 1 0 119]
0 0 1 78
−0.1 −0.1 0.7 20
La última columna se redondea a la unidad más cercana. El área de manufactura debe producir aproximadamente 226
unidades, agricultura 119 unidades, y servicios únicamente 78 unidades.
Código en Octave
>> A=[0.5 -0.4 -0.2 50; -0.2 0.7 -0.1 30; -0.1 -0.1 0.7 20]
A =
0.50000
-0.40000
-0.20000
50.00000
-0.20000
0.70000
-0.10000
30.00000
-0.10000
-0.10000
0.70000
20.00000
>> rref(A)
ans =
1.00000
0.00000
0.00000
225.92593
0.00000
1.00000
0.00000
118.51852
0.00000
0.00000
1.00000
77.77778
Ejercicio 71.
Los siguientes puntos se refieren a una economía dividida en tres sectores: manufactura, agricultura y
servicios. Por cada unidad de producción, manufactura requiere de .10 unidades de otras compañías ubicadas en ese
sector, de .30 unidades del sector agricultura, y de .30 unidades de servicios. Por cada unidad de producción, agricultura
usa .20 unidades de su propia producción, .60 unidades de manufactura, y .10 unidades de servicios. Por cada unidad de
producción el sector de servicios consume .10 unidades de servicios, .60 unidades de manufactura, pero ningún producto
de agricultura.
a. Construya la matriz de consumo apropiada para esta economía, y determine cuáles demandas intermedias se crean
si agricultura planea producir 100 unidades.
b. Determine los niveles de producción que se necesitan para satisfacer una demanda final de 18 unidades para
agricultura, sin demanda final para los otros sectores. (No calcule una matriz inversa.)
c. Determine los niveles de producción necesarios para satisfacer una demanda final de 18 unidades para manufactura,
sin demanda final para los otros sectores. (No calcule una matriz inversa.)
61
d.
Determine los niveles de producción necesarios para satisfacer una demanda final de 18 unidades para manufactura,
18 para agricultura, y 0 unidades para servicios.
Resolución:
a. La respuesta a este ejercicio dependerá del orden en que el alumno elija enumerar los sectores. El hecho importante a
recordar es que cada columna es el vector de consumo unitario para el sector. Si ordenamos los sectores de manufactura,
agricultura y servicios, entonces la matriz de consumo es
0.10 0.60 0.60
𝐶 = [0.30 0.20
0 ]
0.30 0.10 0.10
Las demandas intermedias creadas por el vector de producción 𝐱 están dadas por 𝐶𝐱. Así en este caso la demanda
intermedia es
0.10 0.60 0.60
0
60
𝐶𝐱 = [0.30 0.20
0 ] [100] = [20]
0.30 0.10 0.10
0
10
b. Resuelva la ecuación 𝐱 = 𝐶𝐱 + 𝐝 para 𝐝:
𝑥1
0.9𝑥1 − 0.6𝑥2 − 0.6𝑥3
0.10 0.60 0.60 𝑥1
0
−0.3𝑥1 + 0.8𝑥2
𝐝 = 𝐱 − 𝐶𝐱 = [𝑥2 ] − [0.30 0.20
] = [18]
0 ] [𝑥2 ] = [
𝑥3
−0.3𝑥1 − 0.1𝑥2 + 0.9𝑥3
0.30 0.10 0.10 𝑥3
0
El sistema de ecuaciones tiene la matriz aumentada
100/3
−0.90 −0.60 −0.60 0
1 0 0 100/3
[−0.30 0.80
0
18] → [0 1 0
35 ] → 𝐱 = [ 35 ]
−0.30 −0.10 0.90
0
0 0 1
15
15
c. Se resuelve la ecuación
𝑥1
0.9𝑥1 − 0.6𝑥2 − 0.6𝑥3
0.10 0.60 0.60 𝑥1
18
−0.3𝑥1 + 0.8𝑥2
𝐝 = 𝐱 − 𝐶𝐱 = [𝑥2 ] − [0.30 0.20
]=[0]
0 ] [𝑥2 ] = [
𝑥3
−0.3𝑥1 − 0.1𝑥2 + 0.9𝑥3
0.30 0.10 0.10 𝑥3
0
El sistema de ecuaciones tiene la matriz aumentada
−0.90 −0.60 −0.60 18
1 0 0 40
40
[−0.30 0.80
0
0 ] → [0 1 0 15] → 𝐱 = [15]
−0.30 −0.10 0.90
0
0 0 1 15
15
d. Se resuelve la ecuación
𝑥1
0.9𝑥1 − 0.6𝑥2 − 0.6𝑥3
0.10 0.60 0.60 𝑥1
18
−0.3𝑥1 + 0.8𝑥2
𝐝 = 𝐱 − 𝐶𝐱 = [𝑥2 ] − [0.30 0.20
] = [18]
0 ] [𝑥2 ] = [
𝑥3
−0.3𝑥1 − 0.1𝑥2 + 0.9𝑥3
0.30 0.10 0.10 𝑥3
0
El sistema de ecuaciones tiene la matriz aumentada
−0.90 −0.60 −0.60 18
1 0 0 220/3
40
[−0.30 0.80
0
18] → [0 1 0
50 ] → 𝐱 = [15]
−0.30 −0.10 0.90
0
0 0 1
15
30
62
UNIDAD 2 – Espacios Vectoriales
Introducción a los espacios vectoriales
Ejercicio 1.
Sea 𝑉 un conjunto de elementos cualesquiera que puedan ser considerados vectores; describa el conjunto
de axiomas que debe cumplir el mismo para ser considerado un espacio vectorial.
Resolución:
Sea 𝑉 un conjunto no vacío de objetos, llamados vectores, en el que están definidas dos operaciones: suma y
multiplicación por escalares (números reales), sujetas a los diez axiomas (o reglas) que se enlistan a continuación. Los
axiomas deben ser válidos para todos los vectores 𝐮, 𝐯 y 𝐰 en 𝑉 y todos los escalares 𝑐 y 𝑑.
Axioma 1. La suma de 𝐮 y 𝐯, denotada mediante 𝐮 + 𝐯, está en 𝑉.
Axioma 2. 𝐮 + 𝐯 = 𝐯 + 𝐮.
Axioma 3. (𝐮 + 𝐯) + 𝐰 = 𝐮 + (𝐯 + 𝐰).
Axioma 4. Existe un vector cero 𝟎 en 𝑉 tal que 𝐮 + 𝟎 = 𝐮.
Axioma 5. Para cada 𝐮 en 𝑉, existe un vector −𝐮 en 𝑉 tal que 𝐮 + (−𝐮) = 𝟎.
Axioma 6. El múltiplo escalar de 𝐮 por 𝑐, denotado mediante 𝑐𝐮, está en 𝑉.
Axioma 7. 𝑐(𝐮 + 𝐯) = 𝑐𝐮 + 𝑐𝐯.
Axioma 8. (𝑐 + 𝑑)𝐮 = 𝑐𝐮 + 𝑑𝐮.
Axioma 9. 𝑐(𝑑𝐮) = (𝑐𝑑)𝐮.
Axioma 10. 1𝐮 = 𝐮.
Ejercicio 2.
Sea 𝑉 el conjunto de todas las flechas (segmentos de líneas dirigidos) presentes en el espacio
tridimensional; dos de estas flechas se consideran iguales si tienen la misma longitud y apuntan en la misma dirección.
La suma se define por medio de la regla del paralelogramo, y para cada 𝐯 en 𝑉 se define 𝑐𝐯 como la flecha cuya longitud
es |𝑐| veces la longitud de 𝐯, y que apunta en la misma dirección que 𝐯 si 𝑐 ≥ 0 y en la dirección opuesta en caso contrario.
Muestre que 𝑉 es un espacio vectorial. Este espacio es un modelo común en problemas de física para diversas fuerzas.
Resolución:
Ejercicio 3.
La definición de 𝑉 es geométrica, y utiliza conceptos de longitud y dirección. No intervienen
coordenadas 𝑥𝑦𝑧. Una flecha de longitud cero es un solo punto y representa el vector cero. El negativo de 𝐯 es (−1)𝐯.
Así, los axiomas 1, 4, 5, 6 y 10 son evidentes; los demás se verifican geométricamente.
Axioma 1: La suma de 𝐮 y 𝐯, denotada mediante 𝐮 + 𝐯, está en 𝑉
Axioma 2: 𝐮 + 𝐯 = 𝐯 + 𝐮
Axioma 3: (𝐮 + 𝐯) + 𝐰 = 𝐮 + (𝐯 + 𝐰)
63
Axioma 4: Existe un vector cero 𝟎 en 𝑉 tal que 𝐮 + 𝟎 = 𝐮.
Axioma 5: Para cada 𝐮 en 𝑉, existe un vector −𝐮 en 𝑉 tal que 𝐮 + (−𝐮) = 𝟎
Axioma 6: El múltiplo escalar de 𝐮 por 𝑐, denotado mediante 𝑐𝐮, está en 𝑉.
Axioma 7: 𝑐(𝐮 + 𝐯) = 𝑐𝐮 + 𝑐𝐯.
Axioma 8: (𝑐 + 𝑑)𝐮 = 𝑐𝐮 + 𝑑𝐮.
Axioma 9: 𝑐(𝑑𝐮) = (𝑐𝑑)𝐮
64
Axioma 10: 1𝐮 = 𝐮
Al cumplir todos los axiomas de E.V. el conjunto 𝑉 de todas las flechas o segmentos de líneas dirigidos presentes en el
espacio tridimensional se considera un Espacio Vectorial.
Ejercicio 4.
Para 𝑛 ≥ 0, el conjunto ℙ𝑛 de polinomios de grado 𝑛 o menor consiste en
todos los polinomios de la forma
𝐩(𝑡) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑡 𝑛
donde los coeficientes 𝑎0 , . . . , 𝑎𝑛 y la variable 𝑡 son números reales. El 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 de 𝐩 es la mayor potencia de 𝑡 cuyo
coeficiente no es cero. Demuestre que ℙ𝑛 es un espacio vectorial.
Resolución:
Axioma 1: La suma de 𝐮 y 𝐯, denotada mediante 𝐮 + 𝐯, está en 𝑉
Si 𝐪(𝑡) es otro elemento de ℙ𝑛 , entonces la suma 𝐩(𝑡) + 𝐪(𝑡) es el polinomio (𝐩 + 𝐪)(𝑡) que se forma al sumar términos
correspondientes de 𝐩(𝑡) y 𝐪(𝑡) y pertenece a ℙ𝑛 .
Axioma 2: 𝐮 + 𝐯 = 𝐯 + 𝐮
𝐩(𝑡) + 𝐪(𝑡) = 𝐪(𝑡) + 𝐩(𝑡)
(𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑡 𝑛 ) + (𝑏0 + 𝑏1 𝑡 + 𝑏2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑡 𝑛 )
= (𝑏0 + 𝑏1 𝑡 + 𝑏2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑡 𝑛 ) + (𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑡 𝑛 )
(𝑎0 + 𝑏0 ) + (𝑎1 + 𝑏1 )𝑡 + (𝑎2 + 𝑏2 )𝑡 2 + ⋯ + (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )𝑡 𝑛
= (𝑏0 + 𝑎0 ) + (𝑏1 + 𝑎1 )𝑡 + (𝑏2 + 𝑎2 )𝑡 2 + ⋯ + (𝑏𝑛 + 𝑎𝑛 )𝑡 𝑛
Axioma 3: (𝐮 + 𝐯) + 𝐰 = 𝐮 + (𝐯 + 𝐰)
[𝐩(𝑡) + 𝐪(𝑡)] + 𝐫(𝑡) = 𝐩(𝑡) + [𝐪(𝑡) + 𝐫(𝑡)]
[(𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑡 𝑛 ) + (𝑏0 + 𝑏1 𝑡 + 𝑏2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑡 𝑛 )] + (𝑐0 + 𝑐1 𝑡 + 𝑐2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑡 𝑛 )
= (𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑡 𝑛 )
+ [(𝑏0 + 𝑏1 𝑡 + 𝑏2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑡 𝑛 ) + (𝑐0 + 𝑐1 𝑡 + 𝑐2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑡 𝑛 )]
(𝑎0 + 𝑏0 ) + (𝑎1 + 𝑏1 )𝑡 + (𝑎2 + 𝑏2 )𝑡 2 + ⋯ + (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )𝑡 𝑛
= (𝑏0 + 𝑎0 ) + (𝑏1 + 𝑎1 )𝑡 + (𝑏2 + 𝑎2 )𝑡 2 + ⋯ + (𝑏𝑛 + 𝑎𝑛 )𝑡 𝑛
Axioma 4: Existe un vector cero 𝟎 en 𝑉 tal que 𝐮 + 𝟎 = 𝐮.
El vector cero 𝟎 corresponde al polinomio 𝐨(𝑡) = 0
𝐩(𝑡) + 𝐨(𝑡) = 𝐩(𝑡)
2
(𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑡 𝑛 ) + 0 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑡 𝑛
(𝑎0 + 0) + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑡 𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑡 𝑛
Axioma 5: Para cada 𝐮 en 𝑉, existe un vector −𝐮 en 𝑉 tal que 𝐮 + (−𝐮) = 𝟎
𝐩(𝑡) + (−𝐩(𝑡)) = 𝐨(𝑡)
(𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑡 𝑛 ) + (−𝑎0 − 𝑎1 𝑡 − 𝑎2 𝑡 2 − ⋯ − 𝑎𝑛 𝑡 𝑛 ) = 0
(𝑎0 − 𝑎0 ) + (𝑎1 − 𝑎1 )𝑡 + (𝑎2 − 𝑎2 )𝑡 2 + ⋯ + (𝑎𝑛 − 𝑎𝑛 )𝑡 𝑛 = 0
Axioma 6: El múltiplo escalar de 𝐮 por 𝑐, denotado mediante 𝑐𝐮, está en 𝑉.
El múltiplo escalar 𝑐𝐩 es el polinomio definido por
(𝑐𝐩)(𝑡) = 𝑐𝐩(𝑡) = 𝑐𝑎0 + 𝑐𝑎1 𝑡 + 𝑐𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑐𝑎𝑛 𝑡 𝑛
Axioma 7: 𝑐(𝐮 + 𝐯) = 𝑐𝐮 + 𝑐𝐯.
𝑐[𝐩(𝑡) + 𝐪(𝑡)] = 𝑐𝐩(𝑡) + 𝑐𝐪(𝑡)
𝑐[(𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑡 𝑛 ) + (𝑏0 + 𝑏1 𝑡 + 𝑏2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑡 𝑛 )]
= 𝑐(𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑡 𝑛 ) + c(𝑏0 + 𝑏1 𝑡 + 𝑏2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑡 𝑛 )
65
𝑐[(𝑎0 + 𝑏0 ) + (𝑎1 + 𝑏1 )𝑡 + (𝑎2 + 𝑏2 )𝑡 2 + ⋯ + (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )𝑡 𝑛 ]
= (𝑐𝑎0 + 𝑐𝑎1 𝑡 + 𝑐𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑐𝑎𝑛 𝑡 𝑛 ) + (𝑐𝑏0 + 𝑐𝑏1 𝑡 + 𝑐𝑏2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑐𝑏𝑛 𝑡 𝑛 )
𝑐(𝑎0 + 𝑏0 ) + c(𝑎1 + 𝑏1 )𝑡 + c(𝑎2 + 𝑏2 )𝑡 2 + ⋯ + c(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )𝑡 𝑛
= (𝑐𝑎0 + 𝑐𝑏0 ) + (𝑐𝑎1 + 𝑐𝑏1 )𝑡 + (𝑐𝑎2 + 𝑐𝑏2 )𝑡 2 + ⋯ + (𝑐𝑎𝑛 + 𝑐𝑏𝑛 )𝑡 𝑛
Axioma 8: (𝑐 + 𝑑)𝐮 = 𝑐𝐮 + 𝑑𝐮
(𝑐 + 𝑑)𝐩(𝑡) = 𝑐𝐩(𝑡) + 𝑑𝐩(𝑡)
(𝑐 + 𝑑)(𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑡 𝑛 ) = 𝑐(𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑡 𝑛 ) + 𝑑(𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑡 𝑛 )
(𝑐 + 𝑑)𝑎0 + (𝑐 + 𝑑)𝑎1 𝑡 + (𝑐 + 𝑑)𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + (𝑐 + 𝑑)𝑎𝑛 𝑡 𝑛
= (𝑐𝑎0 + 𝑐𝑎1 𝑡 + 𝑐𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑐𝑎𝑛 𝑡 𝑛 ) + (𝑑𝑎0 + 𝑑𝑎1 𝑡 + 𝑑𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑑𝑎𝑛 𝑡 𝑛 )
Axioma 9: 𝑐(𝑑𝐮) = (𝑐𝑑)𝐮
𝑐(𝑑𝐩(𝑡)) = (𝑐𝑑)𝐩(𝑡)
2
𝑐[𝑑(𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑡 𝑛 )] = (𝑐𝑑)(𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑡 𝑛 )
𝑐(𝑑𝑎0 + 𝑑𝑎1 𝑡 + 𝑑𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑑𝑎𝑛 𝑡 𝑛 ) = 𝑐𝑑𝑎0 + 𝑐𝑑𝑎1 𝑡 + 𝑐𝑑𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑐𝑑𝑎𝑛 𝑡 𝑛
𝑐𝑑𝑎0 + 𝑐𝑑𝑎1 𝑡 + 𝑐𝑑𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑐𝑑𝑎𝑛 𝑡 𝑛 = 𝑐𝑑𝑎0 + 𝑐𝑑𝑎1 𝑡 + 𝑐𝑑𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑐𝑑𝑎𝑛 𝑡 𝑛
Axioma 10: 1𝐮 = 𝐮
1𝐩(𝑡) = 𝐩(𝑡)
2
1(𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑡 𝑛 ) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑡 𝑛
1𝑎0 + 1𝑎1 𝑡 + 1𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 1𝑎𝑛 𝑡 𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑡 𝑛
Al cumplir todos los axiomas de E.V. el conjunto ℙ𝑛 de polinomios de grado 𝑛 o se considera un Espacio Vectorial.
Ejercicio 5.
Sea 𝑀𝑚×𝑛 el conjunto de todas las matrices de m filas y n columnas, representada por
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝐴=[
]
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
Demuestre que 𝑀𝑚×𝑛 es un espacio vectorial.
Resolución:
Axioma 1: La suma de 𝐮 y 𝐯, denotada mediante 𝐮 + 𝐯, está en 𝑉
Si 𝐵 es otro elemento de 𝑀𝑚×𝑛 , entonces la suma 𝐴 + 𝐵 es la matriz (𝐴 + 𝐵) que también pertenece a 𝑀𝑚×𝑛 , dicha suma
está definida por
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑏11 𝑏12 … 𝑏1𝑛
𝑎11 + 𝑏11 𝑎12 + 𝑏12 …
𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑏21 𝑏22 … 𝑏2𝑛
𝑎21 + 𝑏21 𝑎22 + 𝑏22 …
𝑎2𝑛 + 𝑏2𝑛
[
]+[
]=[
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
𝑏𝑚1 𝑏𝑚2 … 𝑏𝑚𝑛
𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛
Axioma 2: 𝐮 + 𝐯 = 𝐯 + 𝐮
𝐴+𝐵 =𝐵+𝐴
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑏11 𝑏12 … 𝑏1𝑛
𝑏11 𝑏12 … 𝑏1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑏21 𝑏22 … 𝑏2𝑛
𝑏21 𝑏22 … 𝑏2𝑛
[
]+[
]=[
]+[
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
𝑏𝑚1 𝑏𝑚2 … 𝑏𝑚𝑛
𝑏𝑚1 𝑏𝑚2 … 𝑏𝑚𝑛
𝑎11 + 𝑏11 𝑎12 + 𝑏12 …
𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛
𝑏11 + 𝑎11 𝑏12 + 𝑎12 …
𝑏1𝑛 + 𝑎1𝑛
𝑎21 + 𝑏21 𝑎22 + 𝑏22 …
𝑎2𝑛 + 𝑏2𝑛
𝑏21 + 𝑎21 𝑏22 + 𝑎22 …
𝑏2𝑛 + 𝑎2𝑛
[
]=[
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛
𝑏𝑚1 + 𝑎𝑚1 𝑏𝑚2 + 𝑎𝑚2 … 𝑏𝑚𝑛 + 𝑎𝑚𝑛
Axioma 3: (𝐮 + 𝐯) + 𝐰 = 𝐮 + (𝐯 + 𝐰)
[𝐴 + 𝐵] + 𝐶 = 𝐴 + [𝐵 + 𝐶]
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑐11 𝑐12 … 𝑐1𝑛
𝑏11 𝑏12 … 𝑏1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑐
𝑐
… 𝑐2𝑛
𝑏21 𝑏22 … 𝑏2𝑛
[
]+[
] + [ 21 22
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
𝑐
𝑐
…
𝑐𝑚𝑛
𝑚1
𝑚2
𝑏𝑚1 𝑏𝑚2 … 𝑏𝑚𝑛 ]
[
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑐11 𝑐12 … 𝑐1𝑛
𝑏11 𝑏12 … 𝑏1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑐21 𝑐22 … 𝑐2𝑛
𝑏21 𝑏22 … 𝑏2𝑛
=[
]+ [
]+[
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
𝑐
𝑐
…
𝑐𝑚𝑛
𝑚1
𝑚2
[ 𝑏𝑚1 𝑏𝑚2 … 𝑏𝑚𝑛
]
66
𝑐11 𝑐12 … 𝑐1𝑛
𝑎12 + 𝑏12 …
𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛
𝑐
𝑐
… 𝑐2𝑛
𝑎22 + 𝑏22 …
𝑎2𝑛 + 𝑏2𝑛
] + [ 21 22
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑐
𝑐
…
𝑐𝑚𝑛
𝑚1
𝑚2
𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑏11 + 𝑐11 𝑏12 + 𝑐12 …
𝑏1𝑛 + 𝑐1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑏21 + 𝑐21 𝑏22 + 𝑐22 …
𝑏2𝑛 + 𝑐2𝑛
=[
]+[
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
𝑏𝑚1 + 𝑐𝑚1 𝑏𝑚2 + 𝑐𝑚2 … 𝑏𝑚𝑛 + 𝑐𝑚𝑛
𝑎11 + 𝑏11 + 𝑐11 𝑎12 + 𝑏12 + 𝑐12 …
𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛 + 𝑐1𝑛
𝑎21 + 𝑏21 + 𝑐21 𝑎22 + 𝑏22 + 𝑐22 …
𝑎2𝑛 + 𝑏2𝑛 + 𝑐21
[
]
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1 + 𝑐𝑚1 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚2 + 𝑐𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛 + 𝑐𝑚𝑛
𝑎11 + 𝑏11 + 𝑐11 𝑎12 + 𝑏12 + 𝑐12 …
𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛 + 𝑐1𝑛
𝑎21 + 𝑏21 + 𝑐21 𝑎22 + 𝑏22 + 𝑐22 …
𝑎2𝑛 + 𝑏2𝑛 + 𝑐21
=[
]
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1 + 𝑐𝑚1 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚2 + 𝑐𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛 + 𝑐𝑚𝑛
Axioma 4: Existe un vector cero 𝟎 en 𝑉 tal que 𝐮 + 𝟎 = 𝐮.
El vector cero 𝟎 corresponde a la matriz nula de 𝑚 × 𝑛 que denominaremos 𝑂.
𝐴+𝑂 =𝐴
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
0 0 … 0
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
0
0
…
0
[
]+[
]=[
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
𝑎
𝑎
…
𝑎
𝑚1
𝑚2
𝑚𝑛
0 0 … 0
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎11 + 0 𝑎12 + 0 … 𝑎1𝑛 + 0
𝑎
𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑎 + 0 𝑎22 + 0 … 𝑎2𝑛 + 0
[ 21
] = [ 21
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎
𝑎
…
𝑎𝑚𝑛
𝑚1
𝑚2
𝑎𝑚1 + 0 𝑎𝑚2 + 0 … 𝑎𝑚𝑛 + 0
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎
𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑎
𝑎22 … 𝑎2𝑛
[ 21
] = [ 21
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
Axioma 5: Para cada 𝐮 en 𝑉, existe un vector −𝐮 en 𝑉 tal que 𝐮 + (−𝐮) = 𝟎
𝐴 + (−𝐴) = 𝑂
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
−𝑎11 −𝑎12 … −𝑎1𝑛
0 0 … 0
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
−𝑎21 −𝑎22 … −𝑎2𝑛
[
]+[
] = [ 0 0 … 0]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
−𝑎𝑚1 −𝑎𝑚2 … −𝑎𝑚𝑛
0 0 … 0
0 0 … 0
0 0 … 0
0
0
…
0
[
] = [ 0 0 … 0]
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 … 0
0 0 … 0
Axioma 6: El múltiplo escalar de 𝐮 por 𝑐, denotado mediante 𝑐𝐮, está en 𝑉.
El múltiplo escalar 𝑐𝐩 es el polinomio definido por
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑐𝑎11 𝑐𝑎12 … 𝑐𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑐𝑎21 𝑐𝑎22 … 𝑐𝑎2𝑛
𝑐𝐴 = 𝑐 [
]=[
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
𝑐𝑎𝑚1 𝑐𝑎𝑚2 … 𝑐𝑎𝑚𝑛
Axioma 7: 𝑐(𝐮 + 𝐯) = 𝑐𝐮 + 𝑐𝐯.
𝑐[𝐴 + 𝐵] = 𝑐𝐴 + 𝑐𝐵
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑏11 𝑏12 … 𝑏1𝑛
𝑏11 𝑏12 … 𝑏1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑎
𝑎
…
𝑎
𝑏
𝑏22 … 𝑏2𝑛
𝑏
𝑏22 … 𝑏2𝑛
22
2𝑛
𝑐 [
] + [ 21
] = 𝑐 [ 21
] + c [ 21
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
𝑎
𝑎
…
𝑎𝑚𝑛
𝑚1
𝑚2
𝑏𝑚1 𝑏𝑚2 … 𝑏𝑚𝑛 ]
𝑏𝑚1 𝑏𝑚2 … 𝑏𝑚𝑛
[
𝑐𝑎11 𝑐𝑎12 … 𝑐𝑎1𝑛
𝑎11 + 𝑏11 𝑎12 + 𝑏12 …
𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛
𝑐𝑏11 𝑐𝑏12 … 𝑐𝑏1𝑛
𝑐𝑎21 𝑐𝑎22 … 𝑐𝑎2𝑛
𝑎21 + 𝑏21 𝑎22 + 𝑏22 …
𝑎2𝑛 + 𝑏2𝑛
𝑐𝑏21 𝑐𝑏22 … 𝑐𝑏2𝑛
𝑐 [
] =[
]+[
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑐𝑎
𝑐𝑎
…
𝑐𝑎
𝑚1
𝑚2
𝑐𝑏𝑚1 𝑐𝑏𝑚2 … 𝑐𝑏𝑚𝑛
𝑚𝑛
[ 𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛 ]
𝑐𝑎11 + 𝑐𝑏11 𝑐𝑎12 + 𝑐𝑏12 …
𝑐𝑎1𝑛 + 𝑐𝑏1𝑛
𝑐𝑎11 + 𝑐𝑏11 𝑐𝑎12 + 𝑐𝑏12 …
𝑐𝑎1𝑛 + 𝑐𝑏1𝑛
𝑐𝑎21 + 𝑐𝑏21 𝑐𝑎22 + 𝑐𝑏22 …
𝑐𝑎2𝑛 + 𝑐𝑏2𝑛
𝑐𝑎21 + 𝑐𝑏21 𝑐𝑎22 + 𝑐𝑏22 …
𝑐𝑎2𝑛 + 𝑐𝑏2𝑛
[
]=[
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑐𝑎𝑚1 + 𝑐𝑏𝑚1 𝑐𝑎𝑚2 + 𝑐𝑏𝑚2 … 𝑐𝑎𝑚𝑛 + 𝑐𝑏𝑚𝑛
𝑐𝑎𝑚1 + 𝑐𝑏𝑚1 𝑐𝑎𝑚2 + 𝑐𝑏𝑚2 … 𝑐𝑎𝑚𝑛 + 𝑐𝑏𝑚𝑛
𝑎11 + 𝑏11
𝑎 + 𝑏21
[ 21
⋮
𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1
67
Axioma 8: (𝑐 + 𝑑)𝐮 = 𝑐𝐮 + 𝑑𝐮
(𝑐 + 𝑑)𝐴 = 𝑐𝐴 + 𝑑𝐴
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
(𝑐 + 𝑑) [
] = 𝑐[
]+𝑑[
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
𝑐𝑎11 𝑐𝑎12 … 𝑐𝑎1𝑛
(𝑐 + 𝑑)𝑎11 (𝑐 + 𝑑)𝑎12 … (𝑐 + 𝑑)𝑎1𝑛
𝑑𝑎11 𝑑𝑎12 … 𝑑𝑎1𝑛
𝑐𝑎21 𝑐𝑎22 … 𝑐𝑎2𝑛
(𝑐 + 𝑑)𝑎21 (𝑐 + 𝑑)𝑎22 … (𝑐 + 𝑑)𝑎2𝑛
𝑑𝑎21 𝑑𝑎22 … 𝑑𝑎2𝑛
[
]=[
]+[
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑐𝑎
𝑐𝑎
…
𝑐𝑎𝑚𝑛
𝑚1
𝑚2
𝑑𝑎𝑚1 𝑑𝑎𝑚2 … 𝑑𝑎𝑚𝑛
(𝑐 + 𝑑)𝑎𝑚1 (𝑐 + 𝑑)𝑎𝑚2 … (𝑐 + 𝑑)𝑎𝑚𝑛
𝑐𝑎11 + 𝑑𝑎11 𝑐𝑎12 + 𝑑𝑎12 …
𝑐𝑎1𝑛 + 𝑑𝑎1𝑛
𝑐𝑎11 + 𝑑𝑎11 𝑐𝑎12 + 𝑑𝑎12 …
𝑐𝑎1𝑛 + 𝑑𝑎1𝑛
𝑐𝑎21 + 𝑑𝑎21 𝑐𝑎22 + 𝑑𝑎22 …
𝑐𝑎2𝑛 + 𝑑𝑎2𝑛
𝑐𝑎21 + 𝑑𝑎21 𝑐𝑎22 + 𝑑𝑎22 …
𝑐𝑎2𝑛 + 𝑑𝑎2𝑛
[
]=[
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑐𝑎𝑚1 + 𝑑𝑎𝑚1 𝑐𝑎𝑚2 + 𝑑𝑎𝑚2 … 𝑐𝑎𝑚𝑛 + 𝑑𝑎𝑚𝑛
𝑐𝑎𝑚1 + 𝑑𝑎𝑚1 𝑐𝑎𝑚2 + 𝑑𝑎𝑚2 … 𝑐𝑎𝑚𝑛 + 𝑑𝑎𝑚𝑛
Axioma 9: 𝑐(𝑑𝐮) = (𝑐𝑑)𝐮
𝑐(𝑑𝐴) = (𝑐𝑑)𝐴
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑐 (𝑑 [
]) = (𝑐𝑑) [
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑑𝑎11 𝑑𝑎12 … 𝑑𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑑𝑎21 𝑑𝑎22 … 𝑑𝑎2𝑛
𝑐 ([
]) = 𝑐𝑑 [
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎
𝑎
…
𝑎𝑚𝑛
𝑚1
𝑚2
𝑑𝑎𝑚1 𝑑𝑎𝑚2 … 𝑑𝑎𝑚𝑛
𝑐𝑑𝑎11 𝑐𝑑𝑎12 … 𝑐𝑑𝑎1𝑛
𝑐𝑑𝑎11 𝑐𝑑𝑎12 … 𝑐𝑑𝑎1𝑛
𝑐𝑑𝑎21 𝑐𝑑𝑎22 … 𝑐𝑑𝑎2𝑛
𝑐𝑑𝑎21 𝑐𝑑𝑎22 … 𝑐𝑑𝑎2𝑛
[
]=[
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑐𝑑𝑎𝑚1 𝑐𝑑𝑎𝑚2 … 𝑐𝑑𝑎𝑚𝑛
𝑐𝑑𝑎𝑚1 𝑐𝑑𝑎𝑚2 … 𝑐𝑑𝑎𝑚𝑛
Axioma 10: 1𝐮 = 𝐮
1𝐴 = 𝐴
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
1[
]=[
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
1𝑎11 1𝑎12 … 1𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
1𝑎21 1𝑎22 … 1𝑎2𝑛
[
]=[
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎
𝑎
…
𝑎𝑚𝑛
𝑚1
𝑚2
1𝑎𝑚1 1𝑎𝑚2 … 1𝑎𝑚𝑛
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎
𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑎
𝑎22 … 𝑎2𝑛
[ 21
] = [ 21
]
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
Al cumplir todos los axiomas de E.V. el conjunto de todas las matrices de 𝑀𝑚×𝑛 se considera un Espacio Vectorial.
Ejercicio 6.
Sea 𝕔 el conjunto de los números complejos representados por 𝐳𝟏 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑖, donde 𝑎0 representa a la
parte real y 𝑎1 a la parte imaginaria, demuestre que 𝕔 es un espacio vectorial.
Resolución:
Axioma 1: La suma de 𝐮 y 𝐯, denotada mediante 𝐮 + 𝐯, está en 𝑉
Si 𝐳𝟏 es otro elemento de 𝕔, entonces la suma 𝐳𝟏 + 𝐳𝟐 es el numero complejo que se forma al sumar términos
correspondientes de 𝐳𝟏 y 𝐳𝟐 y pertenece a 𝕔, definido por
𝐳𝟏 + 𝐳𝟐 = (𝑎0 + 𝑎1 𝑖) + (𝑏0 + 𝑏1 𝑖) = (𝑎0 + 𝑏0 ) + (𝑎1 + 𝑏1 )𝑖
Axioma 2: 𝐮 + 𝐯 = 𝐯 + 𝐮
𝐳𝟏 + 𝐳𝟐 = 𝐳𝟐 + 𝐳𝟏
(𝑎0 + 𝑎1 𝑖) + (𝑏0 + 𝑏1 𝑖) = (𝑏0 + 𝑏1 𝑖) + (𝑎0 + 𝑎1 𝑖)
(𝑎0 + 𝑏0 ) + (𝑎1 + 𝑏1 )𝑖 = (𝑏0 + 𝑎0 ) + (𝑏1 + 𝑎1 )𝑖
Axioma 3: (𝐮 + 𝐯) + 𝐰 = 𝐮 + (𝐯 + 𝐰)
[𝐳𝟏 + 𝐳𝟐 ] + 𝐳𝟑 = 𝐳𝟏 + [𝐳𝟐 + 𝐳𝟑 ]
[(𝑎0 + 𝑎1 𝑖) + (𝑏0 + 𝑏1 𝑖)] + (𝑐0 + 𝑐1 𝑖) = (𝑎0 + 𝑎1 𝑖) + [(𝑏0 + 𝑏1 𝑖) + (𝑐0 + 𝑐1 𝑖)]
[(𝑎0 + 𝑏0 ) + (𝑎1 + 𝑏1 )𝑖] + (𝑐0 + 𝑐1 𝑖) = (𝑎0 + 𝑎1 𝑖) + [(𝑏0 + 𝑐0 ) + (𝑏1 + 𝑐1 )𝑖]
(𝑎0 + 𝑏0 + 𝑐0 ) + (𝑎1 + 𝑏1 + 𝑐1 )𝑖 = (𝑎0 + 𝑏0 + 𝑐0 ) + (𝑎1 + 𝑏1 + 𝑐1 )𝑖
68
Axioma 4: Existe un vector cero 𝟎 en 𝑉 tal que 𝐮 + 𝟎 = 𝐮.
El vector cero 𝟎 corresponde al complejo 𝐳𝟎 = 𝟎
𝐳𝟏 + 𝐳𝟎 = 𝐳𝟏
(𝑎0 + 𝑎1 𝑖) + (0 + 0𝑖) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑖
(𝑎0 + 0) + (𝑎1 + 0)𝑖 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑖
𝑎0 + 𝑎1 𝑖 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑖
Axioma 5: Para cada 𝐮 en 𝑉, existe un vector −𝐮 en 𝑉 tal que 𝐮 + (−𝐮) = 𝟎
𝐳𝟏 + (−𝐳𝟏 ) = 𝐳𝟎
(𝑎0 + 𝑎1 𝑖) + (−𝑎0 − 𝑎1 𝑖) = 0 + 0𝑖
(𝑎0 − 𝑎0 ) + (𝑎1 − 𝑎1 )𝑖 = 0 + 0𝑖
0 + 0𝑖 = 0 + 0𝑖
Axioma 6: El múltiplo escalar de 𝐮 por 𝑐, denotado mediante 𝑐𝐮, está en 𝑉.
El múltiplo escalar 𝑐𝐳𝟏 es el complejo definido por
𝑐𝐳𝟏 = 𝑐𝑎0 + 𝑐𝑎1 𝑖
Axioma 7: 𝑐(𝐮 + 𝐯) = 𝑐𝐮 + 𝑐𝐯.
𝑐[𝐳𝟏 + 𝐳𝟐 ] = 𝑐𝐳𝟏 + 𝑐𝐳𝟐
𝑐[(𝑎0 + 𝑎1 𝑖) + (𝑏0 + 𝑏1 𝑖)] = 𝑐(𝑎0 + 𝑎1 𝑖) + c(𝑏0 + 𝑏1 𝑖)
𝑐[(𝑎0 + 𝑏0 ) + (𝑎1 + 𝑏1 )𝑖] = (𝑐𝑎0 + 𝑐𝑎1 𝑖) + (𝑐𝑏0 + 𝑐𝑏1 𝑖)
𝑐(𝑎0 + 𝑏0 ) + c(𝑎1 + 𝑏1 )𝑖 = (𝑐𝑎0 + 𝑐𝑏0 ) + (𝑐𝑎1 + 𝑐𝑏1 )𝑖
Axioma 8: (𝑐 + 𝑑)𝐮 = 𝑐𝐮 + 𝑑𝐮
(𝑐 + 𝑑)𝐳𝟏 = 𝑐𝐳𝟏 + 𝑑𝐳𝟏
(𝑐 + 𝑑)(𝑎0 + 𝑎1 𝑖) = 𝑐(𝑎0 + 𝑎1 𝑖) + 𝑑(𝑎0 + 𝑎1 𝑖)
(𝑐 + 𝑑)𝑎0 + (𝑐 + 𝑑)𝑖 = (𝑐𝑎0 + 𝑐𝑎1 𝑖) + (𝑑𝑎0 + 𝑑𝑎1 𝑖)
(𝑐 + 𝑑)𝑎0 + (𝑐 + 𝑑)𝑖 = (𝑐 + 𝑑)𝑎0 + (𝑐 + 𝑑)𝑖
Axioma 9: 𝑐(𝑑𝐮) = (𝑐𝑑)𝐮
𝑐(𝑑𝐳𝟏 ) = (𝑐𝑑)𝐳𝟏
𝑐[𝑑(𝑎0 + 𝑎1 𝑖)] = (𝑐𝑑)(𝑎0 + 𝑎1 𝑖)
𝑐(𝑑𝑎0 + 𝑑𝑎1 𝑖) = 𝑐𝑑𝑎0 + 𝑐𝑑𝑎1 𝑖
𝑐𝑑𝑎0 + 𝑐𝑑𝑎1 𝑖 = 𝑐𝑑𝑎0 + 𝑐𝑑𝑎1 𝑖
Axioma 10: 1𝐮 = 𝐮
1𝐳𝟏 = 𝐳𝟏
1(𝑎0 + 𝑎1 𝑖) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑖
1𝑎0 + 1𝑎1 𝑡 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑡
Al cumplir todos los axiomas de E.V. el conjunto 𝕔 de números complejos se considera un Espacio Vectorial.
Ejercicio 7.
Sea 𝕊 el espacio de todas las sucesiones infinitas de números a derecha e izquierda (normalmente
escritas en fila y no en columna):
{𝑦𝑘 } = (. . . , 𝑦−2 , 𝑦−1 , 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , . . . )
Si {𝑧𝑘 } es otro elemento de 𝕊 y 𝑐 un escalar, verifique todos los axiomas de espacio vectorial.
Resolución:
Axioma 1: La suma de 𝐮 y 𝐯, denotada mediante 𝐮 + 𝐯, está en 𝑉
Si {𝑧𝑘 } es otro elemento de 𝕊, entonces la suma {𝑦𝑘 } + {𝑧𝑘 } es la sucesión {𝑦𝑘 + 𝑧𝑘 } que se forma al sumar términos
correspondientes de {𝑦𝑘 } y {𝑧𝑘 } y pertenece a 𝕊.
Axioma 2: 𝐮 + 𝐯 = 𝐯 + 𝐮
{𝑦𝑘 } + {𝑧𝑘 } = {𝑧𝑘 } + {𝑦𝑘 }
(. . . , 𝑦−2 , 𝑦−1 , 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , . . . ) + (. . . , 𝑧−2 , 𝑧−1 , 𝑧0 , 𝑧1 , 𝑧2 , . . . ) = (. . . , 𝑧−2 , 𝑧−1 , 𝑧0 , 𝑧1 , 𝑧2 , . . . ) + (. . . , 𝑦−2 , 𝑦−1 , 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , . . . )
(. . . , (𝑦 + 𝑧)−2 , (𝑦 + 𝑧)−1 , (𝑦 + 𝑧)0 , (𝑦 + 𝑧)1 , (𝑦 + 𝑧)2 , . . . )
= (. . . , (𝑧 + 𝑦)−2 , (𝑧 + 𝑦)−1 , (𝑧 + 𝑦)0 , (𝑧 + 𝑦)1 , (𝑧 + 𝑦)2 , . . . )
Axioma 3: (𝐮 + 𝐯) + 𝐰 = 𝐮 + (𝐯 + 𝐰)
({𝑦𝑘 } + {𝑧𝑘 }) + {𝑤𝑘 } = {𝑧𝑘 } + ({𝑦𝑘 } + {𝑤𝑘 })
[(. . . , 𝑦−2 , 𝑦−1 , 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , . . . ) + (. . . , 𝑧−2 , 𝑧−1 , 𝑧0 , 𝑧1 , 𝑧2 , . . . )] + (. . . , 𝑤−2 , 𝑤−1 , 𝑤0 , 𝑤1 , 𝑤2 , . . . )
= (. . . , 𝑦−2 , 𝑦−1 , 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , . . . ) + [(. . . , 𝑧−2 , 𝑧−1 , 𝑧0 , 𝑧1 , 𝑧2 , . . . ) + (. . . , 𝑤−2 , 𝑤−1 , 𝑤0 , 𝑤1 , 𝑤2 , . . . )]
(. . . , (𝑦 + 𝑧)−2 , (𝑦 + 𝑧)−1 , (𝑦 + 𝑧)0 , (𝑦 + 𝑧)1 , (𝑦 + 𝑧)2 , . . . ) + (. . . , 𝑤−2 , 𝑤−1 , 𝑤0 , 𝑤1 , 𝑤2 , . . . ) =
(. . . , 𝑦−2 , 𝑦−1 , 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , . . . ) + (. . . , (𝑧 + 𝑤)−2 , (𝑧 + 𝑤)−1 , (𝑧 + 𝑤)0 , (𝑧 + 𝑤)1 , (𝑧 + 𝑤)2 , . . . )
69
(. . . , (𝑦 + 𝑧 + 𝑤)−2 , (𝑦 + 𝑧 + 𝑤)−1 , (𝑦 + 𝑧 + 𝑤)0 , (𝑦 + 𝑧 + 𝑤)1 , (𝑦 + 𝑧 + 𝑤)2 , . . . ) =
(. . . , (𝑦 + 𝑧 + 𝑤)−2 , (𝑦 + 𝑧 + 𝑤)−1 , (𝑦 + 𝑧 + 𝑤)0 , (𝑦 + 𝑧 + 𝑤)1 , (𝑦 + 𝑧 + 𝑤)2 , . . . )
Axioma 4: Existe un vector cero 𝟎 en 𝑉 tal que 𝐮 + 𝟎 = 𝐮.
El vector cero de la sucesión es el cero, con lo cual
{𝑦𝑘 } + 𝟎 = {𝑦𝑘 }
(. . . , 𝑦−2 , 𝑦−1 , 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , . . . ) + (. . . , 0, 0, 0, 0, 0, . . . ) = (. . . , 𝑦−2 , 𝑦−1 , 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , . . . )
(. . . , 𝑦−2 + 0, 𝑦−1 + 0, 𝑦0 + 0, 𝑦1 + 0, 𝑦2 + 0, . . . ) = (. . . , 𝑦−2 , 𝑦−1 , 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , . . . )
Axioma 5: Para cada 𝐮 en 𝑉, existe un vector −𝐮 en 𝑉 tal que 𝐮 + (−𝐮) = 𝟎
{𝑦𝑘 } + {−𝑦𝑘 } = 𝟎
(. . . , 𝑦−2 , 𝑦−1 , 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , . . . ) + (. . . , −𝑦−2 , −𝑦−1 , −𝑦0 , −𝑦1 , −𝑦2 , . . . ) = (. . . , 0, 0, 0, 0, 0, . . . )
Axioma 6: El múltiplo escalar de 𝐮 por 𝑐, denotado mediante 𝑐𝐮, está en 𝑉.
El múltiplo escalar 𝑐{𝑦𝑘 } es la sucesión {𝑐𝑦𝑘 } y pertenece a 𝕊.
Axioma 7: 𝑐(𝐮 + 𝐯) = 𝑐𝐮 + 𝑐𝐯.
𝑐({𝑦𝑘 } + {𝑧𝑘 }) = 𝑐{𝑧𝑘 } + 𝑐{𝑦𝑘 }
𝑐[(. . . , 𝑦−2 , 𝑦−1 , 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , . . . ) + (. . . , 𝑧−2 , 𝑧−1 , 𝑧0 , 𝑧1 , 𝑧2 , . . . )]
= 𝑐(. . . , 𝑦−2 , 𝑦−1 , 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , . . . ) + 𝑐(. . . , 𝑧−2 , 𝑧−1 , 𝑧0 , 𝑧1 , 𝑧2 , . . . )
𝑐[(. . . , (𝑦 + 𝑧)−2 , (𝑦 + 𝑧)−1 , (𝑦 + 𝑧)0 , (𝑦 + 𝑧)1 , (𝑦 + 𝑧)2 , . . . )]
= (. . . , 𝑐𝑦−2 , 𝑐𝑦−1 , 𝑐𝑦0 , 𝑐𝑦1 , 𝑐𝑦2 , . . . ) + (. . . , 𝑐𝑧−2 , 𝑐𝑧−1 , 𝑐𝑧0 , 𝑐𝑧1 , 𝑐𝑧2 , . . . )
(. . . , 𝑐(𝑦 + 𝑧)−2 , 𝑐(𝑦 + 𝑧)−1 , 𝑐(𝑦 + 𝑧)0 , 𝑐(𝑦 + 𝑧)1 , 𝑐(𝑦 + 𝑧)2 , . . . )
= (. . . , 𝑐𝑦−2 , 𝑐𝑦−1 , 𝑐𝑦0 , 𝑐𝑦1 , 𝑐𝑦2 , . . . ) + (. . . , 𝑐𝑧−2 , 𝑐𝑧−1 , 𝑐𝑧0 , 𝑐𝑧1 , 𝑐𝑧2 , . . . )
Axioma 8: (𝑐 + 𝑑)𝐮 = 𝑐𝐮 + 𝑑𝐮.
(𝑐 + 𝑑){𝑦𝑘 } = 𝑐{𝑦𝑘 } + 𝑑{𝑦𝑘 }
(𝑐 + 𝑑)(. . . , 𝑦−2 , 𝑦−1 , 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , . . . ) = 𝑐(. . . , 𝑦−2 , 𝑦−1 , 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , . . . ) + 𝑑(. . . , 𝑦−2 , 𝑦−1 , 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , . . . )
(. . . , (𝑐 + 𝑑)𝑦−2 , (𝑐 + 𝑑)𝑦−1 , (𝑐 + 𝑑)𝑦0 , (𝑐 + 𝑑)𝑦1 , (𝑐 + 𝑑)𝑦2 , . . . )
= (. . . , 𝑐𝑦−2 , 𝑐𝑦−1 , 𝑐𝑦0 , 𝑐𝑦1 , 𝑐𝑦2 , . . . ) + (. . . , 𝑑𝑦−2 , 𝑑𝑦−1 , 𝑑𝑦0 , 𝑑𝑦1 , 𝑑𝑦2 , . . . )
Axioma 9: 𝑐(𝑑𝐮) = (𝑐𝑑)𝐮
𝑐{𝑑𝑦𝑘 } = (𝑐𝑑){𝑦𝑘 }
𝑐(. . . , 𝑑𝑦−2 , 𝑑𝑦−1 , 𝑑𝑦0 , 𝑑𝑦1 , 𝑑𝑦2 , . . . ) = (𝑐𝑑)(. . . , 𝑑𝑦−2 , 𝑑𝑦−1 , 𝑑𝑦0 , 𝑑𝑦1 , 𝑑𝑦2 , . . . )
(. . . , 𝑐𝑑𝑦−2 , 𝑐𝑑𝑦−1 , 𝑐𝑑𝑦0 , 𝑐𝑑𝑦1 , 𝑐𝑑𝑦2 , . . . ) = (. . . , 𝑐𝑑𝑦−2 , 𝑐𝑑𝑦−1 , 𝑐𝑑𝑦0 , 𝑐𝑑𝑦1 , 𝑐𝑑𝑦2 , . . . )
Axioma 10: 1𝐮 = 𝐮
1(. . . , 𝑦−2 , 𝑦−1 , 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , . . . ) = (. . . , 𝑦−2 , 𝑦−1 , 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , . . . )
(. . . ,1 𝑦−2 , 1𝑦−1 , 1𝑦0 , 1𝑦1 , 1𝑦2 , . . . ) = (. . . , 𝑦−2 , 𝑦−1 , 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , . . . )
(. . . , 𝑦−2 , 𝑦−1 , 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , . . . ) = (. . . , 𝑦−2 , 𝑦−1 , 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , . . . )
Al cumplir todos los axiomas de E.V. el espacio 𝕊 de todas las sucesiones infinitas de números a derecha e izquierda se
considera un Espacio Vectorial.
Ejercicio 8.
Sea 𝑉 el conjunto de todas las funciones que dan valores reales definidos para un conjunto 𝔻. (Por lo
general, 𝔻 se toma como el conjunto de los números reales o como algún intervalo de la recta real.) Demuestre que el
mismo es un espacio vectorial.
Resolución:
Ya que no se tiene forma genérica de presentar cualquier función, se describen unas funciones ejemplo, cualesquiera a
único modo de facilitar el desarrollo:
𝐟(𝑥) = 3 + 𝑥 2 − sen 𝑥
1
𝐠(𝑥) = −2 + 𝑥
5
𝐡(𝑥) = 5 + 𝑥 − √𝑥
Axioma 1: La suma de 𝐮 y 𝐯, denotada mediante 𝐮 + 𝐯, está en 𝑉
La suma 𝐟(𝑥) + 𝐠(𝑥) es la función (𝐟 + 𝐠)(𝑥) que se forma al sumar términos correspondientes de 𝐟(𝑥) y 𝐠(𝑥) y
pertenece a 𝔻.
Axioma 2: 𝐮 + 𝐯 = 𝐯 + 𝐮
𝐟(𝑥) + 𝐠(𝑥) = 𝐠(𝑥) + 𝐟(𝑥)
1
1
(3 + 𝑥 2 − sen 𝑥) + (−2 + 𝑥) = (−2 + 𝑥) + (3 + 𝑥 2 − sen 𝑥)
5
5
1
1
2
3 + 𝑥 − sen 𝑥 − 2 + 𝑥 = −2 + 𝑥 + 3 + 𝑥 2 − sen 𝑥
5
5
70
1
1
1 + 𝑥 + 𝑥 2 − sen 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 − sen 𝑥
5
5
Axioma 3: (𝐮 + 𝐯) + 𝐰 = 𝐮 + (𝐯 + 𝐰)
[𝐟(𝑥) + 𝐠(𝑥)] + 𝐡(𝑥) = 𝐟(𝑥) + [𝐠(𝑡) + 𝐡(𝑡)]
1
1
[(3 + 𝑥 2 − sen 𝑥) + (−2 + 𝑥)] + (5 + 𝑥 − √𝑥) = (3 + 𝑥 2 − sen 𝑥) + [(−2 + 𝑥) + (5 + 𝑥 − √𝑥)]
5
5
1
6
2
2
(1 + 𝑥 + 𝑥 − sen 𝑥) + (5 + 𝑥 − √𝑥) = (3 + 𝑥 − sen 𝑥) + (3 + 𝑥 + √𝑥)
5
5
6
6
6 + 𝑥 + 𝑥 2 − √𝑥 − sen 𝑥 = 6 + 𝑥 + 𝑥 2 − √𝑥 − sen 𝑥
5
5
Axioma 4: Existe un vector cero 𝟎 en 𝑉 tal que 𝐮 + 𝟎 = 𝐮.
El vector cero 𝟎 corresponde a la función 𝐨(𝑥) = 0
𝐟(𝑥) + 𝐨(𝑥) = 𝐟(𝑥)
(3 + 𝑥 2 − sen 𝑥) + 0 = 3 + 𝑥 2 − sen 𝑥
Axioma 5: Para cada 𝐮 en 𝑉, existe un vector −𝐮 en 𝑉 tal que 𝐮 + (−𝐮) = 𝟎
𝐟(𝑥) + (−𝐟(𝑥)) = 𝐨(𝑥)
2
(3 + 𝑥 − sen 𝑥) + (−3 − 𝑥 2 + sen 𝑥) = 0
Axioma 6: El múltiplo escalar de 𝐮 por 𝑐, denotado mediante 𝑐𝐮, está en 𝑉.
El múltiplo escalar 𝑐𝐟 puede tomar un valor cualquiera como 𝑐 = 4 es el polinomio definido por
(𝑐𝐟)(𝑥) = 𝑐𝐟(𝑥)
4(3 + 𝑥 2 − sen 𝑥) = 12 + 4𝑥 2 − 4 sen 𝑥
Axioma 7: 𝑐(𝐮 + 𝐯) = 𝑐𝐮 + 𝑐𝐯.
𝑐[𝐟(𝑥) + 𝐠(𝑡)] = 𝑐𝐟(𝑡) + 𝑐𝐠(𝑡)
1
1
4 [(3 + 𝑥 2 − sen 𝑥) + (−2 + 𝑥)] = 4(3 + 𝑥 2 − sen 𝑥) + 4 (−2 + 𝑥)
5
5
1
4
2
2
4 (1 + 𝑥 + 𝑥 − sen 𝑥) = (12 + 4𝑥 − 4sen 𝑥) + (−8 + 𝑥)
5
5
4
4
2
2
4 + 𝑥 + 4𝑥 − 4 sen 𝑥 = 4 + 𝑥 + 4𝑥 − 4 sen 𝑥
5
5
Axioma 8: (𝑐 + 𝑑)𝐮 = 𝑐𝐮 + 𝑑𝐮
(𝑐 + 𝑑)𝐟(𝑥) = 𝑐𝐟(𝑥) + 𝑑𝐟(𝑥)
(4 + 6)(3 + 𝑥 2 − sen 𝑥) = 4(3 + 𝑥 2 − sen 𝑥) + 6(3 + 𝑥 2 − sen 𝑥)
10(3 + 𝑥 2 − sen 𝑥) = (12 + 4𝑥 2 − 4 sen 𝑥) + (18 + 6𝑥 2 − 6 sen 𝑥)
(30 + 10𝑥 2 − 10sen 𝑥) = (30 + 10𝑥 2 − 10 sen 𝑥)
Axioma 9: 𝑐(𝑑𝐮) = (𝑐𝑑)𝐮
𝑐(𝑑𝐟(𝑡)) = (𝑐𝑑)𝐟(𝑡)
2
4[6(3 + 𝑥 − sen 𝑥)] = (4.6)(3 + 𝑥 2 − sen 𝑥)
4(18 + 6𝑥 2 − 6 sen 𝑥) = 24(3 + 𝑥 2 − sen 𝑥)
72 + 24𝑥 2 − 24 sen 𝑥 = 72 + 24𝑥 2 − 24 sen 𝑥
Axioma 10: 1𝐮 = 𝐮
1𝐟(𝑥) = 𝐟(𝑥)
2
1(3 + 𝑥 − sen 𝑥) = 3 + 𝑥 2 − sen 𝑥
3 + 𝑥 2 − sen 𝑥 = 3 + 𝑥 2 − sen 𝑥
Al cumplir todos los axiomas de E.V. el conjunto 𝑉 de todas las funciones que dan valores reales definidos para un
conjunto 𝔻 se considera un Espacio Vectorial.
Ejercicio 9.
Demuestre si ℝ2 con las operaciones definidas es un espacio vectorial.
𝑦1
𝑥1
𝑥1
𝑥 +𝑦
𝑘𝑥
a. [𝑥 ] + [𝑦 ] = [𝑥1 + 𝑦1 ] y
𝑘 [𝑥 ] = [ 1 ]
2
2
2
0
2
2
𝑦1
𝑥1
𝑥1
𝑥1 + 𝑦2
𝑘𝑥2
b. [𝑥 ] + [𝑦 ] = [𝑥 + 𝑦 ] y
𝑘 [𝑥 ] = [
]
𝑘𝑥1
2
2
2
2
1
𝑦1
𝑥1 − 𝑦1
𝑥1
𝑥1
𝑘𝑥
c. [𝑥 ] + [𝑦 ] = [𝑥 − 𝑦 ] y
𝑘 [𝑥 ] = [ 1 ]
𝑘𝑥2
2
2
2
2
2
𝑦1
𝑥1
𝑥1
𝑥 + 2𝑦1 + 1
𝑘𝑥
d. [𝑥 ] + [𝑦 ] = [ 1
y
𝑘 [𝑥 ] = [ 1 ]
]
𝑥2 + 𝑦2 + 3
𝑘𝑥2
2
2
2
71
Resolución:
En cada uno de los casos se procede a demostrar los 10 axiomas de espacio, con que al menos uno no se cumpla ya es
razón necesaria y suficiente para establecer que no es un espacio vectorial.
a. Axioma 1: La suma de 𝐮 y 𝐯, denotada mediante 𝐮 + 𝐯, está en 𝑉
𝑥1
𝑦1
2
2
𝑥1 + 𝑦1
2
𝑥2 + 𝑦2 ] está en ℝ .
La suma [𝑥 ] + [𝑦 ] = [
Axioma 2: 𝐮 + 𝐯 = 𝐯 + 𝐮
𝑦1
𝑦1
𝑥1
𝑥1
[𝑥 ] + [𝑦 ] = [𝑦 ] + [𝑥 ]
2
2
2
2
𝑥1 + 𝑦1
𝑦1 + 𝑥1
[𝑥 + 𝑦 ] = [𝑦 + 𝑥 ]
2
2
2
2
Axioma 3: (𝐮 + 𝐯) + 𝐰 = 𝐮 + (𝐯 + 𝐰)
𝑦1
𝑧1
𝑦1
𝑧1
𝑥1
𝑥1
([𝑥 ] + [𝑦 ]) + [𝑧 ] = [𝑥 ] + ([𝑦 ] + [𝑧 ])
2
2
2
2
2
2
𝑧1
𝑥1
𝑥1 + 𝑦1
𝑦1 + 𝑧1
[𝑥 + 𝑦 ] + [𝑧 ] = [𝑥 ] + [𝑦 + 𝑧 ]
2
2
2
2
2
2
𝑥1 + 𝑦1 + 𝑧1
𝑥1 + 𝑦1 + 𝑧1
[𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ] = [𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ]
2
2
2
2
2
2
Axioma 4: Existe un vector cero 𝟎 en 𝑉 tal que 𝐮 + 𝟎 = 𝐮.
𝑥1
𝑥1
0
[𝑥 ] + [ ] = [𝑥 ]
0
2
2
𝑥1
𝑥1 + 0
[
] = [𝑥 ]
𝑥2 + 0
2
𝑥1
𝑥1
[𝑥 ] = [𝑥 ]
2
2
Axioma 5: Para cada 𝐮 en 𝑉, existe un vector −𝐮 en 𝑉 tal que 𝐮 + (−𝐮) = 𝟎
𝑥1
𝑥1
0
[𝑥 ] + (− [𝑥 ]) = [ ]
0
2
2
𝑥1
−𝑥1
0
[𝑥 ] + [−𝑥 ] = [ ]
0
2
2
𝑥1 − 𝑥1
0
[𝑥 − 𝑥 ] = [ ]
0
2
2
0
0
[ ]=[ ]
0
0
Axioma 6: El múltiplo escalar de 𝐮 por 𝑐, denotado mediante 𝑐𝐮, está en 𝑉.
𝑥1
El producto 𝑘 [𝑥 ] = [
2
𝑘𝑥1
] está en ℝ2 .
0
Axioma 7: 𝑐(𝐮 + 𝐯) = 𝑐𝐮 + 𝑐𝐯.
𝑦1
𝑦1
𝑥1
𝑥1
𝑐 ([𝑥 ] + [𝑦 ]) = 𝑐 [𝑥 ] + 𝑐 [𝑦 ]
2
2
2
𝑥 +𝑦
𝑐𝑥
𝑐𝑦
𝑐 [𝑥1 + 𝑦1 ] = [ 1 ] + [ 1 ]
0
0
2
2
𝑐𝑥1 + 𝑐𝑦1
𝑐𝑥1 + 𝑐𝑦1
[
]=[
]
0
0
Axioma 8: (𝑐 + 𝑑)𝐮 = 𝑐𝐮 + 𝑑𝐮
𝑥
𝑥
𝑥
(𝑐 + 𝑑) [𝑥1 ] = 𝑐 [𝑥1 ] + 𝑑 [𝑥1 ]
2
2
2
𝑐𝑥
(𝑐 + 𝑑)𝑥1
𝑑𝑥
[
] = [ 1] + [ 1]
0
0
0
𝑐𝑥1 + 𝑑𝑥1
𝑐𝑥1 + 𝑑𝑥1
[
]=[
]
0
0
Axioma 9: 𝑐(𝑑𝐮) = (𝑐𝑑)𝐮
𝑥1
𝑥1
2
2
𝑐 (𝑑 [𝑥 ]) = (𝑐𝑑) [𝑥 ]
𝑑𝑥
𝑐𝑑𝑥1 ]
𝑐 [ 1] = [
0
0
Axioma 10: 1𝐮 = 𝐮
72
2
𝑥1
𝑥1
2
2
1 [𝑥 ] = [𝑥 ]
𝑥1
𝑥
[ 1 ] ≠ [𝑥 ]
0
2
Se observa que no se cumple el Axioma 10, con lo cual el espacio con las operaciones definidas no es un espacio vectorial.
b. Axioma 1: La suma de 𝐮 y 𝐯, denotada mediante 𝐮 + 𝐯, está en 𝑉
𝑥1
𝑦1
2
2
La suma [𝑥 ] + [𝑦 ] = [
𝑥1 + 𝑦2
2
𝑥2 + 𝑦1 ] está en ℝ .
Axioma 2: 𝐮 + 𝐯 = 𝐯 + 𝐮
𝑦1
𝑦1
𝑥1
𝑥1
[𝑥 ] + [𝑦 ] = [𝑦 ] + [𝑥 ]
2
2
2
2
𝑥1 + 𝑦2
𝑦1 + 𝑥2
[𝑥 + 𝑦 ] ≠ [𝑦 + 𝑥 ]
2
1
2
1
Axioma 3: (𝐮 + 𝐯) + 𝐰 = 𝐮 + (𝐯 + 𝐰)
𝑦1
𝑧1
𝑦1
𝑧1
𝑥1
𝑥1
([𝑥 ] + [𝑦 ]) + [𝑧 ] = [𝑥 ] + ([𝑦 ] + [𝑧 ])
2
2
2
2
2
𝑧1
𝑥1
𝑥 +𝑦
𝑦 +𝑧
[𝑥1 + 𝑦2 ] + [𝑧 ] = [𝑥 ] + [𝑦1 + 𝑧2 ]
2
2
2
1
2
1
𝑥1 + 𝑦2 + 𝑧2
𝑥1 + 𝑦2 + 𝑧1
[ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ] ≠ [𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ]
2
1
1
2
1
2
2
Axioma 4: Existe un vector cero 𝟎 en 𝑉 tal que 𝐮 + 𝟎 = 𝐮.
𝑥1
𝑥1
0
[𝑥 ] + [ ] = [𝑥 ]
0
2
2
𝑥1
𝑥1 + 0
[
] = [𝑥 ]
𝑥2 + 0
2
𝑥1
𝑥1
[𝑥 ] = [𝑥 ]
2
2
Axioma 5: Para cada 𝐮 en 𝑉, existe un vector −𝐮 en 𝑉 tal que 𝐮 + (−𝐮) = 𝟎
𝑥1
𝑥1
0
[𝑥 ] + (− [𝑥 ]) = [ ]
0
2
2
𝑥1
−𝑥1
0
[𝑥 ] + [−𝑥 ] = [ ]
0
2
2
𝑥1 −𝑥2
0
[𝑥 −𝑥 ] ≠ [ ]
0
2
1
Axioma 6: El múltiplo escalar de 𝐮 por 𝑐, denotado mediante 𝑐𝐮, está en 𝑉.
𝑥1
𝑘𝑥
El producto 𝑘 [𝑥 ] = [ 2 ] está en ℝ2 .
𝑘𝑥1
2
Axioma 7: 𝑐(𝐮 + 𝐯) = 𝑐𝐮 + 𝑐𝐯.
𝑦1
𝑦1
𝑥1
𝑥1
𝑐 ([𝑥 ] + [𝑦 ]) = c [𝑥 ] + 𝑐 [𝑦 ]
2
2
2
𝑐𝑦2
𝑐𝑥2
𝑥 +𝑦
𝑐 [𝑥1 + 𝑦2 ] = [𝑐𝑥 ] + [𝑐𝑦 ]
1
1
2
1
𝑐𝑥2 + 𝑐𝑦1
𝑐(𝑥2 + 𝑦1 )
[
] = [𝑐𝑥 + 𝑐𝑦 ]
𝑐(𝑥1 + 𝑦2 )
1
2
𝑐𝑥2 + 𝑐𝑦1
𝑐𝑥2 + 𝑐𝑦1
[𝑐𝑥 + 𝑐𝑦 ] = [𝑐𝑥 + 𝑐𝑦 ]
1
2
1
2
Axioma 8: (𝑐 + 𝑑)𝐮 = 𝑐𝐮 + 𝑑𝐮
𝑥
𝑥
2
𝑥
(𝑐 + 𝑑) [𝑥1 ] = 𝑐 [𝑥1 ] + 𝑑 [𝑥1 ]
2
2
2
𝑐𝑥2
(𝑐 + 𝑑)𝑥2
𝑑𝑥
[
] = [𝑐𝑥 ] + [ 2 ]
𝑑𝑥1
(𝑐 + 𝑑)𝑥1
1
𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥2
𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥1
[
]≠[
]
𝑐𝑥1 + 𝑑𝑥1
𝑐𝑥1 + 𝑑𝑥2
Axioma 9: 𝑐(𝑑𝐮) = (𝑐𝑑)𝐮
𝑥1
𝑥1
2
2
𝑐(𝑑 [𝑥 ]) = (𝑐𝑑) [𝑥 ]
73
𝑑𝑥2
𝑐𝑑𝑥
] = [𝑐𝑑𝑥2 ]
𝑑𝑥1
1
𝑐𝑑𝑥1
𝑐𝑑𝑥2
[𝑐𝑑𝑥 ] ≠ [𝑐𝑑𝑥 ]
2
1
𝑐[
Axioma 10: 1𝐮 = 𝐮
𝑥1
𝑥1
2
𝑥2
2
1 [𝑥 ] = [𝑥 ]
𝑥1
[𝑥 ] ≠ [𝑥 ]
1
2
Se observa que no se cumplen los Axiomas 2, 3, 5, 8 y 10, con lo cual el espacio con las operaciones definidas no es un
espacio vectorial.
c. Axioma 1: La suma de 𝐮 y 𝐯, denotada mediante 𝐮 + 𝐯, está en 𝑉
𝑦1
𝑥1
𝑥1 − 𝑦1
La suma [𝑥 ] + [𝑦 ] = [𝑥 − 𝑦 ] está en ℝ2 .
2
2
2
2
Axioma 2: 𝐮 + 𝐯 = 𝐯 + 𝐮
𝑦1
𝑦1
𝑥1
𝑥1
[𝑥 ] + [𝑦 ] = [𝑦 ] + [𝑥 ]
2
2
2
2
𝑥1 − 𝑦1
𝑦1 − 𝑥1
[𝑥 − 𝑦 ] ≠ [𝑦 − 𝑥 ]
2
2
2
2
Axioma 3: (𝐮 + 𝐯) + 𝐰 = 𝐮 + (𝐯 + 𝐰)
𝑦1
𝑧1
𝑦1
𝑧1
𝑥1
𝑥1
([𝑥 ] + [𝑦 ]) + [𝑧 ] = [𝑥 ] + ([𝑦 ] + [𝑧 ])
2
2
2
2
2
2
𝑥1 − 𝑦1
𝑧1
𝑦1 − 𝑧1
𝑥1
[𝑥 − 𝑦 ] + [𝑧 ] = [𝑥 ] + [𝑦 − 𝑧 ]
2
2
2
2
2
2
𝑥1 − 𝑦1 − 𝑧1
𝑥1 − 𝑦1 + 𝑧1
[𝑥 − 𝑦 − 𝑧 ] ≠ [𝑥 − 𝑦 + 𝑧 ]
2
2
2
2
2
2
Axioma 4: Existe un vector cero 𝟎 en 𝑉 tal que 𝐮 + 𝟎 = 𝐮.
𝑥1
𝑥1
0
[𝑥 ] + [ ] = [𝑥 ]
0
2
2
𝑥1
𝑥1 − 0
[
] = [𝑥 ]
𝑥2 − 0
2
𝑥1
𝑥1
[𝑥 ] = [𝑥 ]
2
2
Axioma 5: Para cada 𝐮 en 𝑉, existe un vector −𝐮 en 𝑉 tal que 𝐮 + (−𝐮) = 𝟎
𝑥1
𝑥1
0
[𝑥 ] + (− [𝑥 ]) = [ ]
0
2
2
𝑥1
−𝑥1
0
[𝑥 ] + [−𝑥 ] = [ ]
0
2
2
𝑥1 +𝑥1
0
[𝑥 +𝑥 ] = [ ]
0
2
2
2𝑥1
0
[
]≠[ ]
2𝑥2
0
Axioma 6: El múltiplo escalar de 𝐮 por 𝑐, denotado mediante 𝑐𝐮, está en 𝑉.
𝑥1
𝑐𝑥1
2
2
El múltiplo 𝑐 [𝑥 ] = [𝑐𝑥 ] está en ℝ2 .
Axioma 7: 𝑐(𝐮 + 𝐯) = 𝑐𝐮 + 𝑐𝐯.
𝑦1
𝑦1
𝑥1
𝑥1
𝑐 ([𝑥 ] + [𝑦 ]) = 𝑐 [𝑥 ] + c [𝑦 ]
2
2
2
2
𝑥1 − 𝑦1
𝑐𝑦1
𝑐𝑥1
𝑐 [𝑥 − 𝑦 ] = [𝑐𝑥 ] + [𝑐𝑦 ]
2
2
2
2
𝑐𝑥1 − 𝑐𝑦1
𝑐𝑥1 − 𝑐𝑦1
[𝑐𝑥 − 𝑐𝑦 ] = [𝑐𝑥 − 𝑐𝑦 ]
2
2
2
2
Axioma 8: (𝑐 + 𝑑)𝐮 = 𝑐𝐮 + 𝑑𝐮
𝑥
𝑥
𝑥
(𝑐 + 𝑑) [𝑥1 ] = 𝑐 [𝑥1 ] + 𝑑 [𝑥1 ]
2
2
2
𝑐𝑥1
(𝑐 + 𝑑)𝑥1
𝑑𝑥
[
] = [𝑐𝑥 ] + [ 1 ]
𝑑𝑥2
(𝑐 + 𝑑)𝑥2
2
74
[
𝑐𝑥1 + 𝑑𝑥1
𝑐𝑥 + 𝑑𝑥1
]=[ 1
]
𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥2
𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥2
Axioma 9: 𝑐(𝑑𝐮) = (𝑐𝑑)𝐮
𝑥1
𝑥1
2
2
𝑐 (𝑑 [𝑥 ]) = (𝑐𝑑) [𝑥 ]
𝑑𝑥
𝑐𝑑𝑥1
𝑐 [ 1] = [
]
𝑑 𝑥2
𝑐𝑑 𝑥2
𝑐𝑑𝑥1
𝑐𝑑𝑥1
[
]=[
]
𝑐𝑑𝑥2
𝑐𝑑𝑥2
Axioma 10: 1𝐮 = 𝐮
𝑥1
𝑥1
2
2
𝑥1
𝑥1
1 [𝑥 ] = [𝑥 ]
2
2
1 [𝑥 ] = [𝑥 ]
Se observa que no se cumplen los Axiomas 2, 3 y 5, con lo cual el espacio con las operaciones definidas no es un espacio
vectorial.
d. Axioma 1: La suma de 𝐮 y 𝐯, denotada mediante 𝐮 + 𝐯, está en 𝑉
𝑥1
𝑦1
2
2
𝑥 + 2𝑦1 + 1
] está en ℝ2 .
𝑥2 + 𝑦2 + 3
La suma [𝑥 ] + [𝑦 ] = [ 1
Axioma 2: 𝐮 + 𝐯 = 𝐯 + 𝐮
𝑦1
𝑦1
𝑥1
𝑥1
[𝑥 ] + [𝑦 ] = [𝑦 ] + [𝑥 ]
2
2
2
2
𝑥1 + 2𝑦1 + 1
𝑦1 + 2𝑥1 + 1
[
]≠[
]
𝑥2 + 𝑦2 + 3
𝑦2 + 𝑥2 + 3
Axioma 3: (𝐮 + 𝐯) + 𝐰 = 𝐮 + (𝐯 + 𝐰)
𝑦1
𝑧1
𝑦1
𝑧1
𝑥1
𝑥1
([𝑥 ] + [𝑦 ]) + [𝑧 ] = [𝑥 ] + ([𝑦 ] + [𝑧 ])
2
2
2
2
2
2
𝑧1
𝑥1
𝑥 + 2𝑦1 + 1
𝑦 + 2𝑧1 + 1
[ 1
] + [𝑧 ] = [𝑥 ] + [ 1
]
𝑥2 + 𝑦2 + 3
𝑦2 + 𝑧2 + 3
2
2
𝑥 + 2𝑦1 + 2𝑧1 + 2
𝑥 + 2𝑦1 + 4𝑧1 + 3
[ 1
]≠[ 1
]
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 6
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 3
Axioma 4: Existe un vector cero 𝟎 en 𝑉 tal que 𝐮 + 𝟎 = 𝐮.
𝑥1
𝑥1
0
[𝑥 ] + [ ] = [𝑥 ]
0
2
2
𝑥1
𝑥1 + 1
[
] ≠ [𝑥 ]
𝑥2 + 3
2
Axioma 5: Para cada 𝐮 en 𝑉, existe un vector −𝐮 en 𝑉 tal que 𝐮 + (−𝐮) = 𝟎
𝑥1
𝑥1
0
[𝑥 ] + (− [𝑥 ]) = [ ]
0
2
2
𝑥1
−𝑥1
0
[𝑥 ] + [−𝑥 ] = [ ]
0
2
2
𝑥1 −2𝑥1 + 1
0
[
]=[ ]
𝑥2 −𝑥2 + 3
0
−𝑥 + 1] ≠ [0]
[ 1
0
3
Axioma 6: El múltiplo escalar de 𝐮 por 𝑐, denotado mediante 𝑐𝐮, está en 𝑉.
𝑥1
𝑐𝑥1
2
2
El múltiplo 𝑐 [𝑥 ] = [𝑐𝑥 ] está en ℝ2 .
Axioma 7: 𝑐(𝐮 + 𝐯) = 𝑐𝐮 + 𝑐𝐯.
𝑦1
𝑦1
𝑥1
𝑥1
𝑐 ([𝑥 ] + [𝑦 ]) = 𝑐 [𝑥 ] + c [𝑦 ]
2
2
2
2
𝑐𝑦1
𝑐𝑥1
𝑥 +2𝑦1 + 1
𝑐[ 1
] = [𝑐𝑥 ] + [𝑐𝑦 ]
𝑥2 + 𝑦2 + 3
2
2
𝑐𝑥1 +2𝑐𝑦1 + 𝑐
𝑐𝑥1 +2𝑐𝑦1 + 1
[
]≠[
]
𝑐𝑥2 +𝑐𝑦2 + 3𝑐
𝑐𝑥2 +𝑐𝑦2 + 3
Axioma 8: (𝑐 + 𝑑)𝐮 = 𝑐𝐮 + 𝑑𝐮
75
𝑥
𝑥
𝑥
(𝑐 + 𝑑) [𝑥1 ] = 𝑐 [𝑥1 ] + 𝑑 [𝑥1 ]
2
2
2
𝑐𝑥1
(𝑐 + 𝑑)𝑥1
𝑑𝑥
[
] = [𝑐𝑥 ] + [ 1 ]
𝑑𝑥2
(𝑐 + 𝑑)𝑥2
2
𝑐𝑥 + 𝑑𝑥1
𝑐𝑥 + 𝑑2𝑥1 + 1
[ 1
]≠[ 1
]
𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥2
𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥2
Axioma 9: 𝑐(𝑑𝐮) = (𝑐𝑑)𝐮
𝑥1
𝑥1
2
2
𝑐 (𝑑 [𝑥 ]) = (𝑐𝑑) [𝑥 ]
𝑑𝑥
𝑐𝑑𝑥1
𝑐 [ 1] = [
]
𝑑 𝑥2
𝑐𝑑 𝑥2
𝑐𝑑𝑥1
𝑐𝑑𝑥1
[
]=[
]
𝑐𝑑𝑥2
𝑐𝑑𝑥2
Axioma 10: 1𝐮 = 𝐮
𝑥1
𝑥1
2
2
𝑥1
𝑥1
1 [𝑥 ] = [𝑥 ]
2
2
1 [𝑥 ] = [𝑥 ]
Se observa que no se cumplen los Axiomas 2, 3,4, 5, 7 y 8, con lo cual el espacio con las operaciones definidas no es un
espacio vectorial.
Subespacios vectoriales
Ejercicio 10.
Sea 𝐻 un subconjunto de un espacio vectorial 𝑉, describa las propiedades que debe cumplir 𝐻 para ser
considerado un subespacio de 𝑉.
Resolución:
Un subespacio de un espacio vectorial 𝑉 es un subconjunto 𝐻 de 𝑉 que tiene tres propiedades:
a. El vector cero de 𝑉 está en 𝐻.
b. 𝐻 es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada 𝐮 y 𝐯 en 𝐻, la suma 𝐮 + 𝐯 está en 𝐻.
c. 𝐻 es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada 𝐮 en 𝐻 y cada escalar 𝑐, el vector 𝑐𝐮 está en 𝐻.
Ejercicio 11.
Sea ℙ el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales, con operaciones en ℙ definidas igual
que para las funciones. Demuestre que el mismo es un subespacio.
Resolución:
ℙ es un subespacio del espacio de todas las funciones que producen un valor real definidas en ℝ. También, para cada
𝑛 ≥ 0, ℙ𝑛 es un subespacio de ℙ, porque ℙ𝑛 es un subconjunto de ℙ que contiene al polinomio cero, la suma de dos
polinomios en ℙ𝑛 también está en ℙ𝑛 , y un múltiplo escalar de un polinomio en ℙ𝑛 también está en ℙ𝑛 . En definitiva:
- El polinomio cero 𝐨(𝑡) = 0 está en ℙ.
- La suma de polinomios 𝐩(𝑡) + 𝐪(𝑡) está en ℙ.
- Para cada 𝐩(𝑡) en ℙ y cada escalar 𝑐, el polinomio 𝑐𝐩 está en ℙ.
Ejercicio 12.
El espacio vectorial ℝ2 𝑛𝑜 es un subespacio de ℝ3 porque ℝ2 ni siquiera
es un subconjunto de ℝ3 . (Todos los vectores en ℝ3 tienen tres entradas, mientras que los
vectores en ℝ2 tienen sólo dos.) El conjunto
𝑠
𝐻 = {[ 𝑡 ] : 𝑠 𝑦 𝑡 𝑠𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠}
0
es un subconjunto de ℝ3 que “se ve” y “actúa” como ℝ2 , aunque es lógicamente distinto
de ℝ2 . Vea la figura. Demuestre que 𝐻 es un subespacio de ℝ3 .
Resolución:
El vector cero está en 𝐻, y 𝐻 es cerrado bajo la suma de vectores y la multiplicación por escalares porque estas operaciones
con vectores en 𝐻 producen siempre vectores cuyas terceras entradas son cero (y por ende pertenecen a 𝐻). Entonces 𝐻
es un subespacio de ℝ3 .
0
- El vector cero [0] está en 𝐻 (cuando 𝑠 = 𝑡 = 0).
0
𝑢1
𝑣1
𝑢1 + 𝑣1
- La suma de vectores [𝑢2 ] + [𝑣2 ] = [𝑢2 + 𝑣2 ] está en 𝐻.
0
0
0
76
𝑢1
𝑐𝑢1
Para cada 𝐮 en 𝐻 y cada escalar 𝑐, el vector 𝑐𝐮 está en 𝐻: 𝑐 [𝑢2 ] = [𝑐𝑢2 ]
0
0
Ejercicio 13.
¿El conjunto que consta de únicamente el vector cero {𝟎} en un espacio vectorial 𝑉 es un subespacio de
𝑉?
Resolución:
Llamado subespacio cero y que se escribe como {𝟎}, es un subespacio de 𝑉, dado que
- El vector cero 𝟎 está en 𝑉.
- La suma de vectores 𝟎 + 𝟎 = 𝟎 está en 𝑉.
- Para cada (o único) 𝟎 en 𝑉 y cada escalar 𝑐, el vector 𝑐𝟎 está en 𝑉: 𝑐𝟎 = 𝟎
Ejercicio 14.
Sea 𝐻 el conjunto de puntos que están dentro del círculo unitario en el plano 𝑥𝑦. Esto es,
𝑥
𝐻 = {[𝑦] : 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1}
Encuentre un ejemplo específico —dos vectores o un vector y un escalar— para mostrar que 𝐻 no es un subespacio de
ℝ2 .
Resolución:
0
- El vector cero [ ] está en 𝐻.
0
1
0
1
0
1
- Para dos vectores, como, por ejemplo, [ ] y [ ] pertenecientes a 𝐻 su suma [ ] + [ ] = [ ] no está en 𝐻.
0
1
0
1
1
1
- Existen escalares 𝑐, para los cuales el vector 𝑐𝐮 no está en 𝑉, por ejemplo, para 𝑐 = 2 y [ ] (perteneciente a 𝐻), se
0
1
2
tiene que 2 [ ] = [ ] no pertenece a 𝐻.
0
0
Al no cumplir con al menos un axioma, se considera que H no es un subespacio vectorial.
Ejercicio 15.
Dados 𝐯𝟏 y 𝐯𝟐 en un espacio vectorial 𝑉, sea 𝐻 = 𝐆𝐞𝐧{𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 }. Demuestre que 𝐻 es un subespacio de
V.
Resolución:
- El vector cero 𝟎 está en 𝐻 cuando 0𝐯𝟏 + 0𝐯𝟐 = 𝟎.
- La suma de dos vectores arbitrarios 𝐮 y 𝐰 pertenecientes a 𝑉 está en 𝐻, dado que si se toman dos vectores arbitrarios
como: 𝐮 = 𝑠1 𝐯𝟏 + 𝑠2 𝐯𝟐 y 𝐰 = 𝑡1 𝐯𝟏 + 𝑡2 𝐯𝟐 , se tiene
𝐮 + 𝐰 = (𝑠1 𝐯𝟏 + 𝑠2 𝐯𝟐 ) + (𝑡1 𝐯𝟏 + 𝑡2 𝐯𝟐 ) = (𝑠1 + 𝑡1 )𝐯𝟏 + (𝑠2 + 𝑡2 )𝐯𝟐
con lo cual 𝐮 + 𝐰 es cerrado bajo la suma y por ello pertenece a 𝐻.
- Para cualquier escalar 𝑐, el vector 𝑐𝐮 está en 𝑉, se tiene
𝑐𝐮 = 𝑐(𝑠1 𝐯𝟏 + 𝑠2 𝐯𝟐 ) = (𝑐𝑠1 )𝐯𝟏 + (𝑐𝑠2 )𝐯𝟐
Lo cual muestra que 𝑐𝐮 está en 𝐻, y 𝐻 es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Entonces 𝐻 es un subespacio de
𝑉.
Ejercicio 16.
Sea 𝐻 el conjunto de todos los vectores de la forma (a − 3b, b − a, a, b), donde a y b son escalares
arbitrarios. Esto es, sea 𝐻= {(𝑎 − 3𝑏, 𝑏 − 𝑎, 𝑎, 𝑏): 𝑎 𝑦 𝑏 𝑒𝑛 𝑅}. Demuestre que 𝐻 es un subespacio de ℝ4 .
Resolución:
Escriba los vectores de 𝐻 como vectores columna. Entonces un vector arbitrario en 𝐻 tiene la forma
1
−3
𝑎 − 3𝑏
−1
𝑏
−
𝑎
[ 𝑎 ] = 𝑎 [ ] + 𝑏 [ 1 ] = 𝑎𝐯𝟏 + 𝑏𝐯𝟐
1
0
𝑏
0
1
Este cálculo muestra que 𝐻 = 𝐆𝐞𝐧{𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 }, donde 𝐯𝟏 y 𝐯𝟐 son los vectores indicados anteriormente. Entonces
0
1
−3
0
0
−1
1
- El vector cero [ ] está en 𝐻 cuando 0 [ ] + 0 [ ] = [0]
1
0
0
0
0
0
1
0
- Para dos vectores cualesquiera, 𝐮 = 𝑠1 𝐯𝟏 + 𝑠2 𝐯𝟐 y 𝐰 = 𝑡1 𝐯𝟏 + 𝑡2 𝐯𝟐 , se tiene
1
−3
1
−3
1
−3
−1
1
−1
1
−1
𝐮 + 𝐰 = (𝑠1 [ ] + 𝑠2 [ ]) + (𝑡1 [ ] + 𝑡2 [ ]) = (𝑠1 + 𝑡1 ) [ ] + (𝑠2 + 𝑡2 ) [ 1 ]
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
con lo cual 𝐮 + 𝐰 es cerrado bajo la suma y por ello pertenece a 𝐻.
- Para cualquier escalar 𝑐, el vector 𝑐𝐮 está en 𝑉, se tiene
𝑐𝐮 = 𝑐(𝑠1 𝐯𝟏 + 𝑠2 𝐯𝟐 ) = (𝑐𝑠1 )𝐯𝟏 + (𝑐𝑠2 )𝐯𝟐
-
77
1
−3
1
−3
−1
1
−1
𝑐𝐮 = 𝑐 (𝑠1 [ ] + 𝑠2 [ ]) = (𝑐𝑠1 ) [ ] + (𝑐𝑠2 ) [ 1 ]
1
1
0
0
0
1
0
1
Lo cual muestra que 𝑐𝐮 está en 𝐻, y 𝐻 es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Entonces 𝐻 es un subespacio de
𝑉.
Ejercicio 17.
Construya una figura geométrica para ilustrar por qué una línea en ℝ2 que no pasa por el origen no es
cerrada bajo la suma de vectores.
Resolución:
Se observa que para 𝐮 y 𝐯 pertenecientes a 𝐿 la suma de 𝐮 + 𝐯 no es cerrada bajo la suma, ya que no pertenece a 𝐿.
Ejercicio 18.
En los siguientes puntos, determine si el conjunto dado es un subespacio de ℙ𝑛 para algún valor
adecuado de 𝑛. Justifique sus respuestas
a. Todos los polinomios de la forma 𝐩(𝑡) = 𝑎𝑡 2 , donde 𝑎 está en ℝ.
b. Todos los polinomios de la forma 𝐩(𝑡) = 𝑎 + 𝑡 2 , donde 𝑎 está en ℝ.
c. Todos los polinomios de grado 3 o menor, con coeficientes enteros.
d. Todos los polinomios en ℙ𝑛 , tales que 𝐩(0) = 0.
Resolución:
a. Si. Para 𝑎 = 0 𝐩(𝑡) = 0, con lo cual existe polinomio cero, también es cerrado bajo la suma, para 𝐩(𝑡) = 𝑎𝑡 2 y 𝐪(𝑡) =
𝑏𝑡 2 se tiene que 𝐩(𝑡) + 𝐪(𝑡) = 𝑎𝑡 2 + 𝑏𝑡 2 pertenece a ℙ𝑛 . También es cerrado bajo el múltiplo escalar ya que 𝑐𝐩(𝑡) =
c𝑎𝑡 2 también pertenece a ℙ𝑛 , con lo cual todos los polinomios de la forma 𝐩(𝑡) = 𝑎𝑡 2 es un subespacio de ℙ𝑛 .
b. No. Para 𝑎 = 0 𝐩(𝑡) = 0 + 𝑡 2 ≠ 0, con lo cual no existe polinomio cero, con lo cual al no cumplir al menos un axioma
se puede establecer que todos los polinomios de la forma 𝐩(𝑡) = 𝑎𝑡 2 no es un subespacio de ℙ𝑛 .
c. No. Existe polinomio cero 𝐩(𝑡) = 0 cuyo grado es menor a 3. La suma de polinomios de coeficientes enteros de grado
menor a 3 también da como resultado polinomios enteros de grado menor a 3. Sin embargo, El conjunto no está cerrado
bajo multiplicación por escalares, ya que los escalares no son todos enteros.
d. Si. El vector cero está en el conjunto 𝐻. Si 𝐩 y 𝐪 están en 𝐻, entonces (𝐩 + 𝐪)(0) = 𝐩(0) + 𝐪(0) = 0 + 0 = 0,
entonces 𝐩 + 𝐪 está en 𝐻. Para cualquier escalar 𝑐, (𝑐𝐩)(0) = 𝑐 ⋅ 𝐩(0) = 𝑐 ⋅ 0 = 0, entonces 𝑐𝐩 está en 𝐻. Por lo tanto,
𝐻 es un subespacio.
𝑠
Ejercicio 19.
Sea 𝐻 el conjunto de todos los vectores de la forma [3𝑠 ]. Encuentre un vector 𝐯 en ℝ3 tal que 𝐻 =
2𝑠
Gen{𝐯}. ¿Por qué muestra esto que 𝐻 es un subespacio de ℝ3 ?
Resolución:
𝑠
1
1
El conjunto 𝐻 = 𝐆𝐞𝐧{𝐯}, donde [3𝑠] = 𝑠 [3], con lo cual 𝐯 = [3]. Entonces:
2𝑠
2
2
0
0
1
- El vector cero [0] está en 𝐻 cuando 𝑠 = 0, ya que 0 [3] = [0].
0
2
0
- Para dos vectores cualesquiera, 𝐮 = 𝑠𝐯 y 𝐰 = 𝑡𝐯 se tiene
1
1
1
𝐮 + 𝐰 = 𝑠 [3] + 𝑡 [3] = (𝑠 + 𝑡) [3]
2
2
2
con lo cual 𝐮 + 𝐰 es cerrado bajo la suma y por ello pertenece a 𝐻.
- Para cualquier escalar 𝑐, el vector 𝑐𝐮 está en 𝑉, se tiene
1
1
𝑐𝐮 = 𝑐 (𝑠 [3]) = (𝑐𝑠) [3]
2
2
Por lo tanto, 𝐻 es un subespacio de ℝ3 .
Ejercicio 20.
Describa el denominado teorema de subespacio.
78
El teorema de subespacio establece que si 𝐯𝟏 , … , 𝐯𝒑 están en un espacio vectorial 𝑉, entonces 𝐆𝐞𝐧 {𝐯𝟏 , … , 𝐯𝒑 } es un
subespacio de 𝑉. A 𝐆𝐞𝐧 {𝐯𝟏 , … , 𝐯𝒑 } se le llama el subespacio generado por {𝐯𝟏 , … , 𝐯𝒑 }. Dado cualquier subespacio 𝐻 de
V, un conjunto generador para 𝐻 es un conjunto {𝐯𝟏 , … , 𝐯𝒑 } en 𝐻 tal que 𝐻= 𝐆𝐞𝐧 {𝐯𝟏 , … , 𝐯𝒑 }.
Ejercicio 21.
Si una masa 𝑚 se coloca en el extremo de un resorte y se jala de ella hacia abajo y luego se le suelta, el
sistema de masa-resorte comenzará a oscilar. El desplazamiento y de la masa desde su posición de reposo está dado por
una función de la forma
𝑦(𝑡) = 𝑐1 cos 𝜔𝑡 + 𝑐2 sen 𝜔𝑡
donde 𝜔 es una constante que depende del resorte y de la masa. Demuestre que el conjunto de todas las funciones descritas
en 𝑦(𝑡) (con 𝜔 fija y 𝑐1 y 𝑐2 arbitrarias) es un espacio vectorial.
Resolución:
Sea 𝐻 el conjunto de todas las funciones descritas por 𝑦(𝑡) = 𝑐1 cos 𝜔𝑡 + 𝑐2 sen 𝜔𝑡. Entonces 𝐻 es un subconjunto del
vector espacio 𝑉 de todas las funciones de valor real, y puede escribirse como 𝐻 = 𝐆𝐞𝐧 {cos 𝜔𝑡 , sen 𝜔𝑡}. Por el teorema
de subespacio, 𝐻 es un subespacio de 𝑉 y, por lo tanto, es un espacio vectorial.
Ejercicio 22.
Encuentre el o los valores de ℎ para los cuales 𝐲 está en el subespacio de ℝ3 generado por 𝐯1 , 𝐯𝟐 , 𝐯3 , si
−3
−4
1
5
𝐯1 = [−1] , 𝐯2 = [−4] , 𝐯3 = [ 1 ], y 𝐲 = [ 3 ]
ℎ
−2
0
−7
Resolución:
La solución se obtiene construyendo el sistema equivalente a la matriz ampliada [𝐯1 𝐯2 𝐯3 𝐲] y se busca obtener un
sistema consistente para determinar el valor de ℎ.
+𝑓1
1 5 −3
−4 𝑓3 −3𝑓2 1 5 −3
−4
1
5 −3 −4 𝑓𝑓2+2𝑓
3
1
[−1 −4 1
[0 1 −2
[0 1 −2
3 ]→
−1 ] →
−1 ]
ℎ
−2 −7 0
0 3 −6 ℎ − 8
0 0 0 ℎ−5
El sistema solo será consistente cuando ℎ = 5, con lo cual el valor de ℎ para los cuales 𝐲 está en el subespacio de ℝ3 es
5.
Ejercicio 23.
El conjunto de todas las funciones continuas con valores reales, definidas en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏]
en ℝ, se denota mediante 𝐶[𝑎, 𝑏]. Este conjunto es un subespacio del espacio vectorial de todas las funciones con valores
reales, definidas en [𝑎, 𝑏].
a. ¿Qué hechos acerca de las funciones continuas deben verificarse para demostrar que 𝐶[𝑎, 𝑏] es en realidad un
subespacio vectorial como se asegura? (Por lo general, estos hechos se estudian en una clase de cálculo.)
b. Demuestre que {𝐟 en 𝐶[𝑎, 𝑏]: 𝐟(𝑎) = 𝐟(𝑏)} es un subespacio de 𝐶[𝑎, 𝑏].
Resolución:
a. Se deben mostrar los siguientes hechos sobre funciones continuas.
1. La función constante 𝐟(𝟎) = 0 es continua.
2. La suma de dos funciones continuas es continua.
3. Un múltiplo constante de una función continua es continua.
b. Sea 𝐻 = {𝐟 en 𝐶[𝑎, 𝑏]: 𝐟(𝑎) = 𝐟(𝑏)}.
1. Sea 𝐠(𝑡) = 0 para todas las 𝑡 en [𝑎, 𝑏]. Entonces 𝐠(𝑎) = 𝐠(𝑏) = 0, entonces 𝐠 está en 𝐻.
2. Sea 𝐠 y 𝐡 en 𝐻. Entonces 𝐠(𝑎) = 𝐠(𝑏) y 𝐡(𝑎) = 𝐡(𝑏), y (𝐠 + 𝐡)(𝑎) = 𝐠(𝑎) + 𝐡(𝑎) = 𝐠(𝑏) + 𝐡(𝑏) =
(𝑔 + ℎ)(𝑏), entonces 𝐠 + 𝐡 está en 𝐻.
3. Deje 𝐠 estar en 𝐻. Entonces 𝐠(𝑎) = 𝐠(𝑏), y (𝑐𝐠)(𝑎) = 𝑐𝐠(𝑎) = 𝑐𝐠(𝑏) = (𝑐𝐠)(𝑏), entonces 𝑐𝐠 está en 𝐻.
Por lo tanto, 𝐻 es un subespacio de 𝐶[𝑎, 𝑏].
Ejercicio 24.
En los siguientes puntos señale cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas.
a. Si 𝑓 es una función en el espacio vectorial 𝑉 de todas las funciones con valores reales definidas en ℝ, y si 𝐟(𝑡) = 0
para cualquier 𝑡, entonces 𝐟 es el vector cero en 𝑉.
b. Un vector es una flecha en un espacio tridimensional.
79
Un subconjunto 𝐻 de un espacio vectorial 𝑉 es un subespacio de 𝑉 si el vector cero está en 𝐻.
Un subespacio también es un espacio vectorial.
Un vector es cualquier elemento de un espacio vectorial.
Si 𝐮 es un vector en un espacio vectorial 𝑉, entonces (−1)𝐮 es lo mismo que el negativo de 𝐮.
Un espacio vectorial es también un subespacio.
ℝ2 es un subespacio de ℝ3 .
Un subconjunto 𝐻 de un espacio vectorial 𝑉 es un subespacio de 𝑉 cuando se cumplen las siguientes condiciones:
i. el vector cero de 𝑉 está en 𝐻.
ii. 𝐮, 𝐯 y 𝐮 + 𝐯 están en 𝐻.
iii. 𝑐 es un escalar y 𝑐𝐮 está en 𝐻.
Resolución:
a. Falso. El vector cero en 𝑉 es la función 𝐟 cuyos valores 𝐟(𝑡) son cero para todas las 𝑡 en.
b. Falso. Una flecha en un espacio tridimensional es un ejemplo de un vector, pero no todas las flechas son un vector.
c. Falso. No como condición única, deben cumplir todos los axiomas de subespacio.
d. Verdadero. Todo subespacio es un espacio vectorial. De manera recíproca, todo espacio vectorial es un subespacio.
e. Verdadero. Por definición de espacio vectorial un vector es todo objeto que forme parte de dicho espacio.
f. Verdadero. Dado que para cada 𝐮 en 𝑉 y escalar 𝑐, −𝐮 = (−1)𝐮.
g. Verdadero. Todo espacio vectorial es también un subespacio vectorial. De manera recíproca, todo subespacio vectorial
es un espacio vectorial.
h. Falso. El espacio vectorial ℝ2 no es un subespacio de ℝ3 porque ℝ2 ni siquiera es un subconjunto de ℝ3 . (Todos los
vectores en ℝ3 tienen tres entradas, mientras que los vectores en ℝ2 tienen sólo dos.)
i. Falso. La segunda y tercera parte de las condiciones se indican incorrectamente. Por ejemplo, la parte (ii) hace
no declare que 𝐮 y 𝐯 representan todos los elementos posibles de 𝐻.
Ejercicio 25.
[Octave] Muestre que 𝐰 está en el subespacio de ℝ4 generado por 𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 , donde
−9
7
−4
−9
−4
5
7
𝐰 = [ ] , 𝐯1 = [ ] , 𝐯2 = [ ] , 𝐯3 = [ 4 ]
4
−2
4
−1
8
9
−7
−7
Resolución:
El sistema equivale a resolver la ecuación matricial [𝐯1 𝐯2 𝐯3 𝐰], con lo cual se tiene
7 −4 −9 −9
1 0 0 15/2
𝑂𝑐𝑡𝑎𝑣𝑒 0 1 0
−4
5
3 ]
4
7
[
]→
[
−2 −1 4
4
0 0 1 11/2
9 −7 −7 8
0 0 0
0
Como se obtiene un sistema consistente se tiene que 𝐰 está en 𝐆𝐞𝐧 {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 }.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
Código en Octave
>> A=[7 -4 -9 -9; -4 5 4 7; -2 -1 4 4; 9 -7 -7 8];
>> rref(A)
ans =
1.00000
0.00000
0.00000
7.50000
0.00000
1.00000
0.00000
3.00000
0.00000
0.00000
1.00000
5.50000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
Ejercicio 26.
[Octave] Determine si 𝐲 está en el subespacio de ℝ4 generado por las columnas de 𝐴, donde
6
5 −5 −9
7
8 −6]
𝐲 = [ ],𝐴 = [ 8
1
−5 −9 3
−4
3 −2 −7
Resolución:
El sistema equivale a resolver la ecuación matricial 𝐴𝐱 = 𝐛, con lo cual se tiene
5 −5 −9 6
1 0 0 11/2
𝑂𝑐𝑡𝑎𝑣𝑒 0 1 0
8
−6
7
−2 ]
8
[
]→
[
1
0 0 1 7/2
−5 −9 3
0 0 0
3 −2 −7 −4
0
Como se obtiene un sistema consistente se tiene que 𝐰 está en el subespacio de ℝ4 generado por las columnas de 𝐴.
Código en Octave
>> A=[5 -5 -9 6; 8 8 -6 7; -5 -9 3 1; 3 -2 -7 -4];
>> rref(A)
ans =
80
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
5.50000
-2.00000
3.50000
0.00000
Espacios nulos, espacios columna y transformaciones lineales
Ejercicio 27.
Defina subespacio nulo de una matriz 𝐴 de 𝑚 × 𝑛.
Resolución:
El espacio nulo de una matriz 𝐴 de 𝑚 × 𝑛, que se escribe 𝐍𝐮𝐥 𝐴, es el conjunto de todas las soluciones de la ecuación
homogénea 𝐴𝐱 = 𝟎. En notación de conjuntos, 𝐍𝐮𝐥 𝐴 = {𝐱 ∶ 𝐱 está en ℝ𝑛 y 𝐴𝐱 = 0}
Ejercicio 28.
Sea 𝐴 = [
1
−5
−3
9
5
−2
], y sea 𝐮 = [ 3 ]. Determine si 𝐮 pertenece al espacio nulo de 𝐴.
1
−2
Resolución:
Para probar si u satisface 𝐴𝐮 = 0, simplemente calcule
5
1 −3 −2
5−9+4
0
[
][ 3 ] = [
]=[ ]
−5 9
1
−25 + 27 − 2
0
−2
Entonces 𝐮 está en 𝐍𝐮𝐥 𝐴.
Ejercicio 29.
Establezca si el conjunto de todas las soluciones de un sistema 𝐴𝐱 = 𝟎 de 𝑚 ecuaciones lineales
homogéneas con 𝑛 incógnitas un subespacio de ℝ𝑛 .
Resolución:
El denominado teorema de espacio nulo establece que el espacio nulo de una matriz 𝐴 de 𝑚 × 𝑛 es un subespacio de ℝ𝑛 .
De manera equivalente, el conjunto de todas las soluciones de un sistema 𝐴𝐱 = 𝟎 de 𝑚 ecuaciones lineales homogéneas
con 𝑛 incógnitas es un subespacio de ℝ𝑛
Ejercicio 30.
Sea 𝐻 el conjunto de todos los vectores en ℝ4 cuyas coordenadas 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 satisfacen las ecuaciones
𝑎 − 2𝑏 + 5𝑐 = 𝑑 y 𝑐 − 𝑎 = 𝑏. Demuestre que 𝐻 es un subespacio de ℝ4 .
Resolución:
Al reacomodar las ecuaciones que describen los elementos de 𝐻, se observa que 𝐻 es el conjunto de todas las soluciones
del siguiente sistema homogéneo de ecuaciones lineales:
𝑎 − 2𝑏 + 5𝑐 − 𝑑 = 0
−𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 0
Por el teorema de espacio nulo, 𝐻 es un subespacio de ℝ4 .
Ejercicio 31.
Encuentre un conjunto generador para el espacio nulo de la matriz
−3 6 −1 1 −7
𝐴 = [ 1 −2 2 3 −1]
2 −4 5 8 −4
Resolución:
El primer paso es encontrar la solución general de 𝐴𝐱 = 𝟎 en términos de variables libres. Reduzca por filas la matriz
aumentada [𝐴 0] a la forma escalonada reducida para escribir las variables básicas en términos de las variables libres:
1 1
−2 2 3
−3 6 −1 1 −7 0 𝑓1 ⇆𝑓2 1 −2 2 3 −1 0 𝑓𝑓2 +3𝑓
−1 0
3 −2𝑓1
[ 1 −2 2 3 −1 0] →
[−3 6 −1 1 −7 0] →
[0 0 5 10 −10 0]
2 −4 5 8 −4 0
2 −4 5 8 −4 0
0 0 1 2
−2 0
1
3
0
𝑓2 1 −2 2 3 −1 0 𝑓 −𝑓 1 −2 2 3 −1 0 𝑓 −2𝑓 1 −2 0 −1
3 2
1
2
5
→ [0 0 1 2 −2 0] →
[0 0 1 2 −2 0] →
[0 0 1 2 −2 0]
0 0 1 2 −2 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
Que equivale a las ecuaciones
81
𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥4 + 3𝑥5 = 0
𝑥3 + 2𝑥4 − 2𝑥5 = 0
0=0
La solución general es 𝑥1 = 2𝑥2 + 𝑥4 − 3𝑥5 , 𝑥3 = −2𝑥4 + 2𝑥5 , con 𝑥2 , 𝑥4 y 𝑥5 libres.
Enseguida, descomponga el vector que proporciona la solución general como una combinación lineal de vectores, donde
los pesos son las variables libres. Esto es,
𝑥1
2𝑥2 + 𝑥4 − 3𝑥5
2
1
−3
𝑥2
𝑥2
1
0
0
𝑥3 = −2𝑥4 + 2𝑥5 = 𝑥2 0 + 𝑥4 −2 + 𝑥5 2 = 𝑥2 𝐮 + 𝑥4 𝐯 + 𝑥5 𝐰
𝑥4
𝑥4
1
0
0
[1]
[𝑥5 ] [
[0]
[0]
𝑥5
]
Toda combinación lineal de 𝐮, 𝐯 y 𝐰 es un elemento de 𝐍𝐮𝐥 𝐴. Entonces {𝐮, 𝐯, 𝐰} es un conjunto generador para 𝐍𝐮𝐥 𝐴.
Ejercicio 32.
Describa la definición de espacio columna de una matriz A
Resolución:
El espacio columna de una matriz 𝐴 de 𝑚 × 𝑛, se escribe Col 𝐴, es el conjunto de todas las combinaciones lineales de las
columnas de 𝐴. Si 𝐴 = [𝐚𝟏 … 𝐚𝐧 ], entonces Col 𝐴 = 𝐆𝐞𝐧 {𝐚𝟏 , … , 𝐚𝐧 }
Ejercicio 33.
Encuentre una matriz 𝐴 tal que 𝑊 = Col 𝐴
6𝑎 − 𝑏
𝑊 = {[ 𝑎 + 𝑏 ] : 𝑎, 𝑏 en ℝ}
−7𝑎
Resolución:
Primero, escriba 𝑊 como un conjunto de combinaciones lineales.
6
−1
6
−1
𝑊 = {𝑎 [ 1 ] + 𝑏 [ 1 ] : 𝑎, 𝑏 en ℝ} = 𝐆𝐞𝐧 {[ 1 ] , [ 1 ]}
−7
0
−7
0
6 −1
En segundo lugar, use los vectores del conjunto generador como columnas de 𝐴. Sea 𝐴 = [ 1
1 ]. Entonces 𝑊 =
−7 0
Col 𝐴, tal como se deseaba.
2
4 −2 1
Ejercicio 34.
Sea 𝐴 = [−2 −5 7 3]
3
7 −8 6
a. Si el espacio columna de 𝐴 es un subespacio de ℝ𝑘 , ¿cuál es el valor de 𝑘?
b. Si el espacio nulo de 𝐴 es un subespacio de ℝ𝑘 , ¿cuál es el valor de 𝑘?
Resolución:
a. Cada columna de 𝐴 tiene tres entradas, así que Col 𝐴 es un subespacio de ℝ𝑘 , donde 𝑘 = 3.
b. Un vector 𝐱 tal que 𝐴𝐱 esté definido debe tener cuatro entradas, así que 𝐍𝐮𝐥 𝐴 es un subespacio de ℝ𝑘 , donde 𝑘 = 4.
Ejercicio 35.
Establezca si el el espacio columna de una matriz A de 𝑚 × 𝑛 incógnitas un subespacio de ℝ𝑛 .
Resolución:
El teorema de espacio columna establece que el espacio columna de una matriz 𝐴 de 𝑚 × 𝑛 es un subespacio de ℝ𝑚 .
3
2
4 −2 1
3
−2
Ejercicio 36.
Con 𝐴 = [−2 −5 7 3], sean 𝐮 = [ ] y 𝐯 = [−1].
−1
3
7 −8 6
3
0
a. Encuentre un vector distinto de cero en Col 𝐴.
b. Encuentre un vector distinto de cero en 𝐍𝐮𝐥 𝐴.
c. Determine si 𝐮 está en 𝐍𝐮𝐥 𝐴. ¿Podría u estar en Col 𝐴?
d. Determine si 𝐯 está en Col 𝐴. ¿Podría v estar en 𝐍𝐮𝐥 𝐴?
Resolución:
2
a. Es fácil encontrar un vector distinto de cero en Col 𝐴. Cualquier columna de 𝐴 sirve, por ejemplo, [−2].
3
b. Para encontrar un vector distinto de cero en 𝐍𝐮𝐥 𝐴, es necesario trabajar un poco. Reduzca por filas la matriz aumentada
[𝐴 𝟎] para obtener
1
[𝐴
82
2
𝟎] → [−2
3
4
−5
7
−2
7
−8
1
3
6
𝑓1
0 𝑓2+𝑓 1
2 1
[0
0] →
0
3
2
−1
7
−1
5
−8
1/2
4
6
0 𝑓3−3𝑓1 1
[0
0] →
0
0
2
−1
1
−1
5
−5
1/2
4
9/2
0
0]
0
−𝑓2
𝑓−
17
𝑓
1
2 3 1 0
𝑥1 = −9𝑥3
1 0 9 17/2 0 2𝑓3 1 0 9 17/2 0 𝑓 +4𝑓
9 0 0
9
2
3
4
→
[0 −1 5
[0 1 −5 0 0] → 𝑥2 = 5𝑥3
0] → [0 1 −5 −4 0] →
𝑥4 = 0
0 0 0 9/2 0
0 0 0
0
0 0 0 1 0
1
Así que, si 𝐱 satisface 𝐴𝐱 = 𝟎, entonces 𝑥1 = −9𝑥3 , 𝑥2 = 5𝑥3 , 𝑥4 = 0, y 𝑥3 es libre. Al asignar un valor distinto de cero
a 𝑥3 - por ejemplo, 𝑥3 = 1 - se obtiene un vector en 𝐍𝐮𝐥 𝐴, a saber, 𝐱 = (−9, 5, 1, 0).
c. Para ello se calcula el producto 𝐴𝐮.
2
4 −2 1 3
0
0
𝐴𝐮 = [−2 −5 7 3] [−2] = [−3] ≠ [0]
−1
3
7 −8 6 0
3
0
Desde luego, 𝐮 no es solución de 𝐴𝐱 = 𝟎, así que 𝐮 no está en 𝐍𝐮𝐥 𝐴. Además, con cuatro entradas, 𝐮 no podría estar en
Col 𝐴, puesto que Col 𝐴 es un subespacio de ℝ3 .
d. Reduzca [𝐴 𝐯] a una forma escalonada.
𝑓1 +2𝑓2
𝑓3 +𝑓2
1
𝑓
1
3 𝑓2+𝑓 1 2 −1 1/2 3/2 𝑓3 −3𝑓1 1 2 −1 1/2 3/2
2 1
[𝐴
2 ]
4
[0 −1 5
[0 −1 5
−1] →
2 ]→
4
3
3 7 −8
0 1 −5 9/2 −3/2
3
6
2 −1 1/2 3/2
𝑓3 +𝑓2 1
2 ]
4
→ [0 −1 5
0 17/2 1/2
0 0
En este punto, resulta claro que la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐯 es consistente, así que 𝐯 está en Col 𝐴. Con sólo tres entradas, 𝐯 no
podría estar en 𝐍𝐮𝐥 𝐴, puesto que 𝐍𝐮𝐥 𝐴 es un subespacio de ℝ4 .
2
𝐯] = [−2
3
4
−5
7
−2
7
−8
1
3
6
Ejercicio 37.
Describa las diferencias entre el espacio nulo de una matriz A y el espacio Columna
Resolución:
Para describir mejor las diferencias se realiza un contraste mediante la tabla.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Contraste entre 𝐍𝐮𝐥 𝑨 y 𝐂𝐨𝐥 𝑨 para una matriz A de 𝒎 × 𝒏
𝐍𝐮𝐥 𝑨
𝐂𝐨𝐥 𝐴
𝐍𝐮𝐥 𝑨 es un subespacio de ℝ𝒏 .
1. Col 𝐴 es un subespacio de ℝ𝒎 .
𝐍𝐮𝐥 𝑨 está definido implícitamente; esto es, sólo se 2. Col 𝐴 está definido explícitamente; esto es, se
especifica cómo construir los vectores de
tiene una condición (𝑨𝐱 = 𝟎) que los vectores de
Col 𝐴.
𝐍𝐮𝐥 𝑨 deben satisfacer.
Se requiere tiempo para encontrar vectores en 3. Es fácil encontrar los vectores de Col 𝐴. Las
𝐍𝐮𝐥 𝑨. Son necesarias operaciones por fila con
columnas de 𝐴 se despliegan, y se forman otras
[𝑨 𝟎].
columnas a partir de ellas.
4. Hay una relación evidente entre Col 𝐴 y las entradas
No hay una relación evidente entre 𝐍𝐮𝐥 𝑨 y las
de 𝑨, puesto que cada columna de 𝑨 está en Col 𝐴.
entradas de 𝑨.
5. Un vector típico 𝐯 en Col 𝐴 tiene la propiedad de que
Un vector típico 𝐯 en 𝐍𝐮𝐥 𝑨 tiene la propiedad de
la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐯 es consistente.
que 𝑨𝐯 = 𝟎.
6. Dado un vector específico 𝐯, puede tomar algún
Dado un vector específico 𝐯, es fácil saber si 𝐯 está
tiempo decidir si 𝐯 está en Col 𝐴. Se necesitan
en 𝐍𝐮𝐥 𝑨. Sólo calcule 𝑨𝐯.
operaciones por fila sobre [𝑨 𝐯].
7. Col 𝐴 = ℝ𝑚 si, y sólo si, la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene
𝐍𝐮𝐥 𝑨 = {𝟎} si, y sólo si, la ecuación 𝑨𝐱 = 𝟎 tiene
solución para cada 𝐛 en ℝ𝑚 .
únicamente la solución trivial.
8. Col 𝐴 = ℝ𝑚 si, y sólo si, la transformación lineal
𝐍𝐮𝐥 𝑨 = {𝟎} si, y sólo si, la transformación lineal
𝐱 ↦ 𝑨𝐱 mapea ℝ𝒏 sobre ℝ𝑚 .
𝐱 ↦ 𝑨𝐱 es uno a uno.
Ejercicio 38.
1
3
Determine si 𝐰 = [ 3 ] está en 𝐍𝐮𝐥 𝐴, donde 𝐴 = [ 6
−4
−8
−5
−2
4
−3
0]
1
Resolución:
3 − 15 + 12
0
3 −5 −3 1
Se calcula el producto 𝐴𝐰 = [ 6 −2 0 ] [ 3 ] = [ 6 − 6 + 0 ] = [0].
−8 + 12 − 4
0
−8 4
1 −4
Como se obtiene el vector cero 𝐰 está en 𝐍𝐮𝐥 𝐴.
83
Ejercicio 39.
5
5
Determine si 𝐰 = [−3] está en 𝐍𝐮𝐥 𝐴, donde 𝐴 = [13
2
8
21
23
14
19
2]
1
Resolución:
5 − 63 + 38
−20
0
5 21 19 1
Se calcula el producto 𝐴𝐰 = [13 23 2 ] [−3] = [13 − 69 + 4] = [−52] ≠ [0].
2
8 − 42 + 2
−32
0
8 14 1
Como no se obtiene el vector cero 𝐰 no está en 𝐍𝐮𝐥 𝐴.
Ejercicio 40.
En los siguientes puntos, encuentre una descripción explícita de Nul 𝐴, para ello enliste los vectores que
generan el espacio nulo.
1 −2 0 4 0
1 3 5 0
a. 𝐴 = [
]
c. 𝐴 = [0 0 1 −9 0]
0 1 4 −2
0 0 0 0 1
1 5 −4 −3 1
1 −6 4 0
b. 𝐴 = [
]
d.
𝐴
=
[
0 1 −2 1 0]
0 0 2 0
0 0 0
0 0
Resolución:
a. Primero halle la solución general de 𝐴𝐱 = 𝟎 en términos de variables libres. Entonces
1 3 5 0 0 𝑓1 −3𝑓2 1 0 −7 6 0
[𝑨 𝟎] → [
]→
[
]
0 1 4 −2 0
0 1 4 −2 0
La solución general es 𝑥1 = 7𝑥3 − 6𝑥4 , 𝑥2 = −4𝑥3 + 2𝑥4 , con 𝑥3 y 𝑥4 libres. Entonces
𝑥1
7
−6
𝑥2
−4
𝐱 = [𝑥 ] = 𝑥3 [ ] + 𝑥4 [ 2 ]
1
3
0
𝑥4
0
1
7
−6
−4
Con lo cual el conjunto generador del espacio nulo es 𝐍𝐮𝐥 𝐴 = {[ ] , [ 2 ]}.
1
0
0
1
𝑓1 −2𝑓2
1
1 −6 4 0 0 2𝑓2 1 −6 0 0 0
]→
[
]
0 0 2 0 0
0 0 1 0 0
La solución general es 𝑥1 = 6𝑥2 − 4𝑥3 , 𝑥3 = 0, con 𝑥2 y 𝑥4 libres. Entonces
𝑥1
6
0
𝑥2
1
𝐱 = [𝑥 ] = 𝑥2 [ ] + 𝑥4 [0]
0
3
0
𝑥4
0
1
6 0
Con lo cual el conjunto generador del espacio nulo es 𝐍𝐮𝐥 𝐴 = {[1] , [0]}.
0 0
0 1
1 −2 0 4 0 0
c. [𝑨 𝟎] → [0 0 1 −9 0 0]
0 0 0 0 1 0
La solución general es 𝑥1 = 2𝑥2 − 4𝑥4 , 𝑥3 = 9𝑥4 , 𝑥5 = 0, con 𝑥2 y 𝑥4 libres. Entonces
𝑥1
2
−4
𝑥2
0
1
𝐱 = 𝑥3 = 𝑥2 0 + 𝑥4 9
𝑥4
0
1
[𝑥5 ]
[ 0]
[0]
2 −4
0
1
Con lo cual el conjunto generador del espacio nulo es 𝐍𝐮𝐥 𝐴 = 0 , 9 .
0
1
{[0] [ 0 ]}
1 5 −4 −3 1 0 𝑓1 −5𝑓2 1 0 6 −8 1 0
d. [𝑨 𝟎] → [0 1 −2 1 0 0] →
[0 1 −2 1 0 0]
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
La solución general es 𝑥1 = −6𝑥3 + 8𝑥4 − 𝑥5 , 𝑥2 = 2𝑥3 − 𝑥4 , con 𝑥3 , 𝑥4 y 𝑥5 libres. Entonces
b. [𝑨
84
𝟎] → [
𝑥1
−6
8
−1
𝑥2
2
−1
0
𝐱 = 𝑥3 = 𝑥3 1 + 𝑥4 0 + 𝑥5 0
𝑥4
0
1
0
[𝑥5 ]
[0]
[0]
[1]
−6
8
−1
2
−1
0
1 , 0 , 0 .
Con lo cual el conjunto generador del espacio nulo es 𝐍𝐮𝐥 𝐴 =
0
1
0
{[ 0 ] [ 0 ] [ 1 ]}
Ejercicio 41.
Encuentre una 𝐴 tal que el conjunto dado sea Col 𝐴.
2𝑠 + 3𝑡
𝑟
{[ + 𝑠 − 2𝑡] : 𝑟, 𝑠, 𝑡 reales}
4𝑟 + 𝑠
3𝑟 − 𝑠 − 𝑡
Resolución:
0
2
3
0 2
3 𝑟
1
1
−2
1
1
−2
Un elemento en este conjunto puede ser escrito como 𝑟 [ ] + 𝑠 [ ] + 𝑡 [ ] = [
] [𝑠 ]
4
4 1
1
0
0
𝑡
3
−1
−1
3 −1 −1
0 2
3
1
1
−2
Donde r, s y t son cualquier número real. Entonces el conjunto de Col 𝐴 es [
].
4 1
0
3 −1 −1
2 −6
Ejercicio 42.
Con 𝐴 = [−1 3 ] encuentre un vector distinto de cero en Nul 𝐴 y un vector distinto de cero en Col 𝐴.
−4 12
3 −9
Resolución:
−6
Cualquiera de las columnas de 𝐴 es un vector distinto de cero en Col 𝐴, por ejemplo [ 3 ]. Para encontrar un vector
12
−9
distinto de cero en Nul 𝐴, busque la solución de 𝐴𝐱 = 𝟎 en términos de las variables libres. Ya que
𝑓2 +𝑓1
2 −6 0
1 −3 0 𝑓3+4𝑓1 1 −3 0
𝑓1 +𝑓2 −1
3
0
3 0] 𝑓→4−3𝑓1 [0 0 0]
−1
[𝑨 𝟎] → [
]→
[
−4 12 0
−4 12 0
0 0 0
3 −9 0
3 −9 0
0 0 0
La solución general es 𝑥1 = 3𝑥2 , con 𝑥2 libre. Dejar que 𝑥2 sea un valor distinto de cero (digamos 𝑥2 = 1) da el vector
𝑥1
3
distinto de cero 𝐱 = [𝑥 ] = [ ] que está en 𝐍𝐮𝐥 𝐴.
2
1
1 3 5 0
Ejercicio 43.
Con 𝐴 = [
], encuentre un vector distinto de cero en 𝐍𝐮𝐥 𝐴 y un vector distinto de cero
0 1 4 −2
en Col 𝐴.
Resolución:
5
Cualquier columna de 𝐴 es un vector distinto de cero en la Col 𝐴, por ejemplo [ ]. Para encontrar un vector distinto de
4
cero en Nul A, busque la solución de 𝐴𝐱 = 𝟎 en términos de las variables libres. Ya que
1 3 5 0 0 𝑓1 −3𝑓2 1 0 −7 6 0
[𝑨 𝟎] → [
]→
[
]
0 1 4 −2 0
0 1 4 −2 0
la solución general es 𝑥1 = 7𝑥3 − 6𝑥4 , 𝑥2 = −4𝑥3 + 2𝑥4 , con 𝑥3 y 𝑥4 libres. Dejar que 𝑥3 y 𝑥4 sean valores distintos de
𝑥1
1
𝑥2
−2
cero (digamos 𝑥3 = 𝑥4 = 1) da el vector distinto de cero 𝐱 = [𝑥 ] = [ ] que está en 𝐍𝐮𝐥 𝐴.
3
1
𝑥4
1
−6 12
2
Ejercicio 44.
Sea 𝐴 = [
] y 𝐰 = [ ] . Determine si 𝐰 está en Col 𝐴. ¿Está 𝐰 en Nul 𝐴?
−3 6
1
Resolución:
Considere el sistema con la matriz aumentada [𝑨 𝐰]. Entonces
1
−6 12 2 −6𝑓1 1 −2 −1/3 𝑓2 +3𝑓1 1 −2 −1/3
[𝑨 𝐰] → [
]→ [
]→
[
]
−3 6 1
−3 6
0 0
1
0
El sistema es consistente, con lo cual 𝐰 está en Col 𝐴. Ahora, para determinar 𝐰 está en Nul 𝐴 se calcula el producto 𝐴𝐰
85
𝐴𝐰 = [
−6
−3
12 2
0
][ ] = [ ]
6 1
0
Con lo cual 𝐰 está en Nul 𝐴.
Ejercicio 45.
−8
[Octave] Sea 𝐴 = [ 6
4
−2
4
0
−9
2
8 ] y 𝐰 = [ 1 ] . Determine si 𝐰 está en Col 𝐴. ¿Está 𝐰 en Nul 𝐴?
4
−2
Resolución:
Considere el sistema con la matriz aumentada [𝑨 𝐰]. Entonces
1
−8 −2 −9 2 𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 1 0
−1/2
[𝑨 𝐰] → [ 6
[0 1 1/2
4
8
1 ]→
1 ]
4
0
4 −2
0 0
0
0
El sistema es consistente, con lo cual 𝐰 está en Col 𝐴. Ahora, para determinar 𝐰 está en Nul 𝐴 se calcula el producto 𝐴𝐰
−8 −2 −9 2
0
Usando Octave se tiene 𝐴𝐰 = [ 6
4
8 ] [ 1 ] = [0]
4
0
4 −2
0
Con lo cual 𝐰 está en Nul 𝐴.
Código en Octave
>> Aw=[-8 -2 -9 2; 6 4 8 1; 4 0 4 -2];
>> rref(Aw)
ans =
1.00000
0.00000
1.00000 -0.50000
0.00000
1.00000
0.50000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
>> A=[-8 -2 -9; 6 4 8; 4 0 4];
>> w=[2; 1;-2];
>> A*w
ans =
0
0
0
Ejercicio 46.
[Octave] Determine si 𝐰 está en el espacio columna de 𝐴, en el espacio nulo de 𝐴, o en ambos, donde
7
1
6
−4 1
−5
1
−1
0 −2]
𝐰=[ ]y𝐴=[
−1
9 −11 7 −3
−3
19 −9
7
1
Resolución:
Para saber si 𝐰 está en Col 𝐴 Considere el sistema con la matriz aumentada [𝑨 𝐰]. Entonces
1/95
7
6
−4 1
1
1 0 0 −1/95
𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 0 1 0
39/19
−20/19
−5
−1
0
−2
1
[𝑨 𝐰] → [
]→
[
]
9 −11 7 −3 −1
0 0 1 267/95 −172/95
19 −9
7
1 −3
0 0 0
0
0
El sistema es consistente, con lo cual 𝐰 está en Col 𝐴. Ahora, para determinar 𝐰 está en Nul 𝐴 se calcula el producto 𝐴𝐰
7
6
−4 1
1
14
0
−5
0
−1
0
−2
1
Usando Octave se tiene 𝐴𝐰 = [
] [ ] = [ ] ≠ [0 ]
9 −11 7 −3 −1
0
0
19 −9
7
1 −3
0
0
Con lo cual 𝐰 no está en Nul 𝐴.
Código en Octave
>> Aw=[7 6 -4 1 1; -5 -1 0 -2 1; 9 -11 7 -3 -1; 19 -9 7 1 -3];
>> C=rref(Aw)
C =
1.00000
0.00000
0.00000 -0.01053
0.01053
0.00000
1.00000
0.00000
2.05263 -1.05263
0.00000
0.00000
1.00000
2.81053 -1.81053
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
>> rats(C)
ans =
1
0
0
-1/95
1/95
0
1
0
39/19
-20/19
0
0
1
267/95
-172/95
0
0
0
0
0
A=[7 6 -4 1; -5 -1 0 -2; 9 -11 7 -3; 19 -9 7 1];
>> w=[1;1;-1;-3];
>> A*w
86
ans =
14
0
0
0
Ejercicio 47.
En los siguientes puntos, 𝐴 denota una matriz de 𝑚 × 𝑛. Señale cada enunciado como verdadero o falso.
Justifique sus respuestas.
a. El espacio nulo de 𝐴 es el conjunto solución de la ecuación 𝐴𝐱 = 0.
b. El espacio nulo de una matriz de 𝑚 × 𝑛 está en ℝ𝑚 .
c. El espacio columna de A es el rango de la función 𝐱 → 𝐴𝐱.
d. Si la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 es consistente, entonces Col 𝐴 es ℝ𝑚 .
e. El núcleo de una transformación lineal es un espacio vectorial.
f. Col 𝐴 es el conjunto de todos los vectores que pueden escribirse como 𝐴𝐱 para alguna 𝐱.
g. Un espacio nulo es un espacio vectorial.
h. El espacio columna de una matriz de 𝑚 × 𝑛 está en ℝ𝑚 .
i. Col 𝐴 es el conjunto de todas las soluciones de 𝐴𝐱 = 𝐛.
j. Nul 𝐴 es el núcleo de la función 𝐱 → 𝐴𝐱.
k. El rango de una transformación lineal es un espacio vectorial.
l. El conjunto de todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea es el núcleo de una transformación
lineal.
Resolución:
a. Verdadero. Por la definición de espacio nulo.
b. Falso. Por el teorema de espacio nulo.
c. Verdadero. La notación 𝐴𝐱 para vectores en Col 𝐴 también muestra que Col 𝐴 es el rango de la transformación lineal
𝐱 → 𝐴𝐱.
d. Falso. Col 𝐴 = ℝ𝑚 sí, y sólo si, la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene solución para cada 𝐛 en ℝ𝑚 .
e. Verdadero. Un subespacio suele surgir como el núcleo o el rango de una transformación lineal adecuada. Por ejemplo,
el conjunto de todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea resulta ser el núcleo de una
transformación lineal. De manera característica, una transformación lineal de este tipo se describe en términos de una o
más derivadas de una función.
f. Verdadero. Un vector típico en Col 𝐴 puede escribirse como 𝐴𝐱 para alguna 𝐱, porque la notación 𝐴𝐱 representa una
combinación lineal de columnas de 𝐴.
g. Verdadero. Por el teorema de espacio nulo.
h. Verdadero. Por el teorema de espacio columna.
i. Falso. Por que Col 𝐴 = {𝐛 ∶ 𝐛 = 𝐴𝐱 para alguna 𝐱 en ℝ𝑛 }
j. Verdadero. El núcleo (o espacio nulo) de una 𝑇 como la anterior es el conjunto de todos los 𝐮 en 𝑉 tales que 𝑇(𝐮) = 0
(el vector cero en 𝑊).
k. Verdadero. Vea la figura y justificación del punto (e).
l. Verdadero. El conjunto de todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea resulta ser el núcleo de
una transformación lineal.
Conjuntos linealmente independientes y bases
Ejercicio 48.
Describa que condiciones debe cumplir un conjunto de vectores para ser considerado linealmente
independientes.
Resolución:
Se dice que un conjunto indexado de vectores {𝐯1 , . . . , 𝐯𝑝 } en 𝑉 es linealmente independiente si la ecuación vectorial
87
𝑐1 𝐯1 + 𝑐2 𝐯2 + ⋯ + 𝑐𝑝 𝐯𝑝 = 𝟎
tiene solamente la solución trivial, 𝑐1 = 0, … , 𝑐𝑝 = 0.
Se dice que el conjunto {𝐯1 , . . . , 𝐯𝑝 } es linealmente dependiente es linealmente dependiente si esta ecuación tiene una
solución no trivial, esto es, si existen pesos 𝑐1 , … , 𝑐𝑝 , no todos cero, de modo que se cumpla dicha ecuación. En tal caso,
se afirma que es esta ecuación es una relación de dependencia lineal entre 𝐯1 , . . . , 𝐯𝑝 .
Ejercicio 49.
Describa que condiciones debe cumplir un conjunto de vectores para ser considerado una base.
Resolución:
Sea 𝐻 un subespacio de un espacio vectorial 𝑉. Un conjunto indexado de vectores 𝔅 = {𝐛1 , . . . , 𝐛𝑝 } en V es una base
para 𝐻 si
(i) 𝔅 es un conjunto linealmente independiente, y
(ii) el subespacio generado por 𝔅 coincide con 𝐻, esto es,
𝐻 = 𝐆𝐞𝐧 {𝐛1 , . . . , 𝐛𝑝 }
Ejercicio 50.
Sean 𝐞1 , … , 𝐞𝑛 en las columnas de la matriz identidad de 𝑛 × 𝑛, establezca como serían las columnas
para una base estándar de ℝ𝑛 .
Resolución:
Esto es, las columnas se representan por vectores con valor 1 en las columnas correspondientes al mismo orden 𝑛 en la
matriz, esto es
0
1
0
0
1
𝐞1 = [ ] ,
𝐞2 = [ ] , … ,
𝐞𝑛 = [ ⋮ ]
⋮
⋮
0
0
0
1
El conjunto {𝐞1 , . . . , 𝐞𝑛 } se denomina base estándar de ℝ𝑛 .
3
−4
−2
Ejercicio 51.
Sean 𝐯1 = [ 0 ], 𝐯2 = [ 1 ], 𝐯3 = [ 1 ]. Determine si {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 } es una base para ℝ3 .
−6
7
5
Resolución:
Dado que existen exactamente tres vectores en ℝ3 , puede usarse alguno de los diversos métodos para determinar si la
matriz 𝐴 = [𝐯1 𝐯3 𝐯3 ] es invertible. Por ejemplo, con dos reemplazos de fila se revela que 𝐴 tiene tres posiciones
pivote.
3 −4 −2 1 0 0 𝑓3 +2𝑓1 3 −4 −2 1 0 0 𝑓3 +𝑓2 3 −4 −2 1 0 0
[0
[0 1
[0 1
1
1 0 1 0] →
1 0 1 0] →
1 0 1 0] …
−6 7
5 0 0 1
0 −1 1 2 0 1
0 0
2 2 1 1
Entonces 𝐴 es invertible, con lo cual las columnas de 𝐴 forman una base para ℝ3 .
Ejercicio 52.
Sea 𝑆 = {1, 𝑡, 𝑡 2 , … , 𝑡 𝑁 }. Verifique que 𝑆 es una base para ℙ𝑛 . Esta base es llamada base estándar para
ℙ𝑛 .
Resolución:
Desde luego, 𝑆 genera ℙ𝑛 . Para mostrar que 𝑆 es linealmente independiente, suponga que 𝑐0 , . . . , 𝑐𝑛 satisfacen
𝑐0 . 1 + 𝑐1 𝑡 + 𝑐2 𝑡 2 + ··· +𝑐𝑛 𝑡 𝑛 = 𝟎(𝑡)
Esta igualdad significa que el polinomio de la izquierda tiene los mismos valores que el polinomio cero de la derecha. Un
teorema fundamental del álgebra establece que el único polinomio en ℙ𝑛 con más de 𝑛 ceros es el polinomio cero. Esto
es,
𝑐0 . 1 + 𝑐1 𝑡 + 𝑐2 𝑡 2 + ··· +𝑐𝑛 𝑡 𝑛 = 𝟎(𝑡) se aplica para toda 𝑡 sólo si 𝑐0 = . . . = 𝑐𝑛 = 0. Esto demuestra que 𝑆 es linealmente
independiente y, por lo tanto, es una base para ℙ𝑛 .
2
6
0
Ejercicio 53.
Sean 𝐯1 = [ 2 ], 𝐯2 = [2], 𝐯3 = [ 16 ], y 𝐻 = Gen{𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 }. Observe que 𝐯3 = 5𝐯1 + 3𝐯2 , y
−1
0
−5
muestre que Gen{𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 } = Gen{𝐯1 , 𝐯2 , }. Luego encuentre una base para el subespacio 𝐻.
Resolución:
Todo vector en 𝐆𝐞𝐧 {𝐯1 , 𝐯2 } pertenece a H porque
𝑐1 𝐯1 + 𝑐2 𝐯2 = 𝑐1 𝐯1 + 𝑐2 𝐯2 + 0𝐯3
Ahora sea 𝐱 cualquier vector en H -—por ejemplo, 𝐱 = 𝑐1 𝐯1 + 𝑐2 𝐯2 + 𝑐3 𝐯3. Como 𝐯3 = 5𝐯1 + 3𝐯2 , se puede sustituir
𝐱 = 𝑐1 𝐯1 + 𝑐2 𝐯2 + 𝑐3 (5𝐯1 + 3𝐯2 )
Entonces 𝐱 está en 𝐆𝐞𝐧 {𝐯1 , 𝐯2 }, y todo vector en 𝐻 pertenece ya a 𝐆𝐞𝐧 {𝐯1 , 𝐯2 }. Se concluye que 𝐻 y 𝐆𝐞𝐧 {𝐯1 , 𝐯2 } son
en realidad el mismo conjunto de vectores. Se deduce que {𝐯1 , 𝐯2 } es una base de 𝐻 pues resulta obvio que {𝐯1 , 𝐯2 } es
linealmente independiente.
Ejercicio 54.
Describa el teorema del conjunto generador
88
Resolución:
El teorema del conjunto generador establece: Sea 𝑆 = {𝐯1 , . . . , 𝐯𝑝 } un conjunto en 𝑉, y sea 𝐻 = 𝐆𝐞𝐧 {𝐯1 , . . . , 𝐯𝑝 }.
a. Si uno de los vectores de 𝑆 —por ejemplo, 𝐯𝑘 — es una combinación lineal de los vectores restantes de 𝑆, entonces el
conjunto que se forma a partir de 𝑆 al retirarle 𝐯𝑘 todavía genera 𝐻.
b. Si 𝐻 ≠ {𝟎}, algún subconjunto de S es una base para 𝐻.
Ejercicio 55.
Encuentre una base para Col 𝐵, donde
1 4 0 2 0
𝐵 = [𝐛1 𝐛2 … 𝐛5 ] = [0 0 1 −1 0]
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
Resolución:
Cada columna de 𝐵 que no es pivote es una combinación lineal de las columnas pivote. De hecho, 𝐛2 = 4𝐛1 y 𝐛4 =
2𝐛1 − 𝐛3 . Por el teorema del conjunto generador, se pueden desechar 𝐛2 y 𝐛4 , y el conjunto {𝐛1 , 𝐛3 , 𝐛5 } todavía generará
Col 𝐵. Sea
1 0 0
𝑆 = {𝐛1 , 𝐛3 , 𝐛5 } = {[0] , [1] , [0]}
0 0 1
0 0 0
Como 𝐛1 ≠ 0 y ningún vector de 𝑆 es una combinación lineal de los vectores que le preceden, 𝑆 es linealmente
independiente (teorema del conjunto generador). Entonces 𝑆 es una base para Col 𝐵.
2
−4
1
6
Ejercicio 56.
Sean 𝐯1 = [−3], 𝐯2 = [ 2 ], 𝐯3 = [−2] y 𝐯4 = [−8]. Encuentre una base para el subespacio 𝑊
9
4
−1
3
generado por {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 , 𝐯4 }.
Resolución:
Prepare una matriz 𝐴 cuyo espacio columna sea el espacio generado por {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 , 𝐯4 }, y luego reduzca por filas a 𝐴 para
encontrar sus columnas pivote
1
𝑓
20 2
1
𝑓3 →− 𝑓3
25
𝑓2 →
2 +3𝑓1 1
2
2
2 −4 𝑓𝑓2 →𝑓
6
2
−4
1 6
−4 𝑓3 →𝑓3+𝑓2 1 6
−4
1
6
3 →𝑓3 −4𝑓1
𝐴 = [−3 2 −2 −8] →
[0 20
[0 1 1/5 −1] →
[0 1 1/5 −1]
4 −20] →
9
0
4 −1 3
0 −25 −5 25
0 1 1/5 −1
0 0
0
Las primeras dos columnas de 𝐴 son las columnas pivote y, por lo tanto, forman una base para Col 𝐴 = 𝑊. Entonces
{𝐯1 , 𝐯2 } es una base para 𝑊. Observe que la forma escalonada reducida de 𝐴 no es necesaria para localizar las columnas
pivote.
Ejercicio 57.
Determine cuáles conjuntos de los siguientes puntos son bases para ℝ3 . De los conjuntos que no sean
bases, determine cuáles son linealmente independientes y cuáles generan ℝ3 . Justifique sus respuestas.
1 1 1
1
−2 0
0
a. [0] , [1] , [1]
e. [−3] , [ 9 ] , [0] , [−3]
0 0 1
0
0
0
5
1
−4
1 0 0
b. [0] , [0] , [1]
f. [ 2 ] , [−5]
6
1 0 0
−3
−2
6
1
3
−3
c. [ 0 ] , [ 2 ] , [−5]
g. [ 3 ] , [−1]
−2 −4
1
0
5
−7
2
1
1
0
3
0
d. [−2] , [−3] , [ 5 ]
h. [−4] , [ 3 ] , [−5] , [ 2 ]
1
2
4
3
−1
4
−2
Resolución:
1 1 1
a. Considere la matriz [0 1 1], cuyas columnas son el conjunto dado de vectores. Esta matriz de 3 × 3 está en forma
0 0 1
escalonada, y tiene 3 posiciones pivote. Así, según el teorema de la matriz invertible, sus columnas son linealmente
independientes y generan ℝ3 . Entonces, el conjunto dado de vectores es una base para ℝ3 .
b. Como el vector cero es un elemento del conjunto de vectores dado, el conjunto no puede ser linealmente independiente
1 0 0
y por lo tanto no puede ser una base para ℝ3 . Ahora considere la matriz [0 0 1] cuyas columnas son el conjunto dado
1 0 0
89
de vectores. Esta matriz 3 × 3 tiene solo 2 posiciones de pivote. Así, según el teorema de la matriz invertible, sus
columnas no generan ℝ3 .
c. Considere la matriz cuyas columnas son el conjunto dado de vectores. La forma escalonada reducida de esta matriz es
1
3 −3 𝑓3 →𝑓3 +2𝑓1 1 3 −3 𝑓2 →𝑓2 −𝑓3 1 3 −3
[0
[0 2 −5] →
[0 2 −5]
2 −5] →
−2 −4 1
0 2 −5
0 0 0
entonces la matriz tiene solo dos posiciones de pivote. Por lo tanto, sus columnas no forman una base para ℝ3 ; el conjunto
de vectores no es linealmente independiente ni genera ℝ3 .
d. Considere la matriz cuyas columnas son el conjunto dado de vectores. La forma escalonada reducida de esta matriz es
→𝑓2 +𝑓1
2 1 −7 𝑓3 →𝑓3 +3𝑓2 2 1 −7
2
1 −7 𝑓𝑓2→2𝑓
3
3 −𝑓1
2
[−2 −3 5 ] →
[0 −2 −2] →
[0 −2 −2]
1
2
4
0 3
1
0 0
2
entonces la matriz tiene tres posiciones de pivote. Por lo tanto, sus columnas forman una base para ℝ3 ; el conjunto de
vectores es linealmente independiente y por lo tanto genera ℝ3 .
e. Como el vector cero es un elemento del conjunto de vectores dado, el conjunto no puede ser linealmente independiente
y por lo tanto, no puede ser una base para ℝ3 . Ahora considere la matriz cuyas columnas son el conjunto dado de vectores.
La forma escalonada reducida de esta matriz es
1 −2 0 0 𝑓2 →𝑓2 +3𝑓1 1 −2 0 0
[−3 9 0 −3] →
[0 3 0 −3]
0
0 0 5
0 0 0 5
entonces la matriz tiene un pivote en cada fila. Así, el conjunto dado de vectores genera ℝ3 .
f. Considere la matriz cuyas columnas son el conjunto dado de vectores. Como la matriz no puede tener un pivote en cada
fila, sus columnas no pueden generar ℝ3 ; así, el conjunto dado de vectores no es una base para ℝ3 . La forma escalonada
reducida de la matriz es
2 −2𝑓1 1
1 −4 𝑓𝑓2 →𝑓
−4 𝑓3→𝑓3 +2𝑓2 1 −4
3 →𝑓3 +3𝑓1
[ 2 −5] →
[0 3 ] →
[0 3 ]
−3 6
0 −6
0 −6
entonces la matriz tiene un pivote en cada columna. Así, el conjunto dado de vectores es linealmente independiente.
g. Considere la matriz cuyas columnas son el conjunto dado de vectores. Como la matriz no puede tener un pivote en cada
fila, sus columnas no pueden generar ℝ3 ; así, el conjunto dado de vectores no es una base para ℝ3 . La forma escalonada
reducida de la matriz es
−2 6 𝑓2→2𝑓2 +𝑓1 −2 −4 𝑓3 →𝑓3+18𝑓2 1 −4
3
16
[ 3 −1] →
[ 0 16/3] →
[0 3 ]
0
5
0
0 0
−6
entonces la matriz tiene un pivote en cada columna. Así, el conjunto dado de vectores es linealmente independiente.
h. Considere la matriz cuyas columnas son el conjunto dado de vectores. Como la matriz no puede tener un pivote en cada
columna, el conjunto no puede ser linealmente independiente y, por lo tanto, no puede ser una base para ℝ3 . La forma
escalonada reducida de esta matriz es
2 +4𝑓1 1
1
3
0
3
0 𝑓𝑓2 →𝑓
0
0 𝑓3 →3𝑓3+𝑓2 1 0 3
0
3 →𝑓3 −3𝑓1
[−4 3 −5 2 ] →
[0 3
[0 3 7
7
2 ]→
2]
3 −1 4 −2
0 −1 −5 −2
0 0 −8 −4
entonces la matriz tiene un pivote en cada fila. Así, el conjunto dado de vectores abarca ℝ3 .
Ejercicio 58.
Encuentre una base para el conjunto de vectores en ℝ2 que están sobre la línea 𝑦 = 5𝑥.
Resolución:
Queremos encontrar una base para el conjunto de vectores en ℝ2 en la recta 5𝑥 − 𝑦 = 0. Sea 𝐴 = [5 −1]. Entonces
deseamos para encontrar una base para 𝐍𝐮𝐥 𝐴. Encontramos la solución general de 𝐴𝐱 = 0 en términos de las variables
libres: 𝑦 = 5𝑥 con 𝐱 libre. Entonces
𝑥
1
𝐱 = [𝑦 ] = 𝑥 [ ]
5
1
y una base para 𝐍𝐮𝐥 𝐴 es {[ ]}.
5
Ejercicio 59.
Suponga que 𝐴 es equivalente por filas a 𝐵. Encuentre bases para Nul 𝐴 y Col 𝐴.
−2 4 −2 −4
1 0 6 5
𝐴 = [ 2 −6 −3 1 ] , 𝐵 = [0 2 5 3]
−3 8
2 −3
0 0 0 0
Resolución:
Dado que 𝐵 es una forma escalonada por filas de 𝐴, vemos que la primera y segunda columnas de 𝐴 son sus columnas
pivote. Por lo tanto, una base para Col 𝐴 es
90
−2
4
{[ 2 ] , [−6]}
8
−3
Para encontrar una base para 𝐍𝐮𝐥 𝐴, encontramos la solución general de 𝐴𝐱 = 0 en términos de las variables libres:
𝑥1 + 6𝑥3 + 5𝑥4 = 0
1 0 6 5 0
[0 2 5 3 0] → 2𝑥2 + 5𝑥3 + 3𝑥4 = 0
0 0 0 0 0
0=0
𝑥1 = −6𝑥3 − 5𝑥4 , 𝑥2 = (−5 / 2)𝑥3 − (3/2)𝑥4 , con 𝑥3 y 𝑥4 libres. Entonces
𝑥1
−6
−5
𝑥2
−5/2
−3/2
𝐱 = [𝑥 ] = 𝑥3 [
] + 𝑥4 [
]
3
1
0
𝑥4
0
1
−6
−5
−5/2 −3/2
y una base para 𝐍𝐮𝐥 𝐴 es {[
],[
]}
1
0
0
1
Ejercicio 60.
[Octave] En los siguientes puntos, encuentre una base para el espacio generado por los vectores dados,
𝐯1 , … , 𝐯5 .
1
0
−3
1
2
−3
0
1
−4
a. [ ], [ ], [ ], [ ], [ 1 ]
2
1
−3
−8 −6
−3
6
9
2
7
1 −2
6
0
5
b. [0], [ 1 ], [−1], [−3], [ 3 ]
0 −1
2
−1
3
1
−1 −4
1
1
8
−1
4
6
−1
9
5
−4
8
4
c. −3 , 1 , −9 , 4 , 11
−6 −4
6
−7 −8
[ 0 ] [ 4 ] [−7] [ 10 ] [−7]
Resolución:
a. Este problema es equivalente a encontrar una base para Col 𝐴, donde 𝐴 = [𝐯1 𝐯2 𝐯3 𝐯4 𝐯5 ]. La forma escalonada
reducida de 𝐴 es
1
0 −3 1
2
1 0 −3 0 4
𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 0 1 −4 0 −5
−3
0
1
−4
1
[
]→
[
]
1 −8 −6
−3 2
0 0 0 1 −2
9
0 0 0 0 0
2 −3 6
7
Se ve que la primera, segunda y cuarta columna de 𝐴 son sus columnas pivote. Por lo tanto, una base para el espacio
abarcado por los vectores dados es
1
0
1
−3
0
1
{[ ] , [ ] , [ ]}
2
−3
−8
−3
2
7
b. Este problema es equivalente a encontrar una base para Col 𝐴, donde 𝐴 = [𝐯1 𝐯2 𝐯3 𝐯4 𝐯5 ]. La forma escalonada
reducida de 𝐴 es
1 −2 6
0
1 0 0 −1 −2
5
𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 0 1 0 −3
5]
0
1
−1
3
−3
[
]→
[
0 −1 2
0 0 1 0
2
3 −1
0 0 0 0
0
1 1 −1 −4 1
Se ve que la primera, segunda y tercera columna de 𝐴 son sus columnas pivote. Por lo tanto, una base para el espacio
abarcado por los vectores dados es
1 −2
6
0
1
−1
{[ ] , [ ] , [ ]}
0 −1
2
1
−1
1
c. Este problema es equivalente a encontrar una base para Col 𝐴, donde 𝐴 = [𝐯1 𝐯2 𝐯3 𝐯4 𝐯5 ]. La forma escalonada
reducida de 𝐴 es
91
8
1 0 0 −1/2 3
4 −1 6 −1
9
5 −4 8
4 𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 0 1 0 5/2 −7
−3 1 −9 4 11 →
0 0 1
−3
0
−6 −4 6 −7 −8
0 0 0
0
0
[0
[0 0 0
4 −7 10 −7]
0]
0
Se ve que la primera, segunda y tercera columna de 𝐴 son sus columnas pivote. Por lo tanto, una base para el espacio
abarcado por los vectores dados es
8
−1
4
9
5
−4
−3 , 1 , −9
−6 −4
6
{[ 0 ] [ 4 ] [−7]}
Código en Octave
Punto a.
>> A=[1 0 -3 1 2; 0 1 -4 -3 1;-3 2 1 -8 -6;2 -3 6 7 9];
>> rref(A)
ans =
1.00000
0.00000 -3.00000
0.00000
4.00000
0.00000
1.00000 -4.00000
0.00000 -5.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000 -2.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
Punto b.
>> A=[1 -2 6 5 0; 0 1 -1 -3 3; 0 -1 2 3 -1; 1 1 -1 -4 1];
>> rref(A)
ans =
1.00000
0.00000
0.00000 -1.00000 -2.00000
0.00000
1.00000
0.00000 -3.00000
5.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
2.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
Punto c.
>> A=[8 4 -1 6 -1; 9 5 -4 8 4; -3 1 -9 4 11; -6 -4 6 -7 -8; 0 4 -7 10 -7];
>> rref(A)
ans =
1.00000
0.00000
0.00000 -0.50000
3.00000
0.00000
1.00000
0.00000
2.50000 -7.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000 -3.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
7
4
1
4
−7
−5
Ejercicio 61.
Sean los vectores 𝐯1 = [ ] , 𝐯2 = [ ] , 𝐯3 = [ ]. Puede verificarse que 𝐯1 − 3𝐯2 + 5𝐯3 = 0. Use
−9
2
3
−5
5
4
esta información y encuentre una base para 𝐻 = 𝐆𝐞𝐧 {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 }.
Resolución:
Como 𝐯1 − 3𝐯2 + 5𝐯3 = 0, vemos que cada uno de los vectores es una combinación lineal de los demás. Por lo tanto, la
establece {𝐯1 , 𝐯2 }, {𝐯1 , 𝐯3 } y {𝐯2 , 𝐯3 } todos generan 𝐻. Dado que podemos confirmar que ninguno de los tres vectores es
un múltiplo de cualquiera de los otros, los conjuntos {𝐯1 , 𝐯2 }, {𝐯1 , 𝐯3 } y {𝐯2 , 𝐯3 } son linealmente independientes y, por
lo tanto, cada uno forma una base para 𝐻.
Ejercicio 62.
En los siguientes puntos señale cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas.
a. Un solo vector, por sí mismo, es linealmente dependiente.
b. Si 𝐻 = 𝐆𝐞𝐧 {𝐛1 , . . . , 𝐛𝑝 }, entonces {𝐛1 , . . . , 𝐛𝑝 } es una base para 𝐻.
c. Las columnas de una matriz invertible de 𝑛 × 𝑛 forman una base para ℝ𝑛 .
d. Una base es un conjunto generador lo más grande posible.
e. En algunos casos, las relaciones de dependencia entre las columnas de una matriz pueden resultar afectadas por
ciertas operaciones elementales de fila sobre la matriz.
f. Un conjunto linealmente independiente en un subespacio 𝐻 es una base para 𝐻.
g. Si un conjunto finito 𝑆 de vectores distintos de cero genera un espacio vectorial 𝑉, entonces algún subconjunto de 𝑆
es una base para 𝑉.
h. Una base es un conjunto linealmente independiente lo más grande posible.
i. El método estándar para producir un conjunto generador para 𝐍𝐮𝐥 𝐴, algunas veces no logra producir una base para
𝐍𝐮𝐥 𝐴.
92
j. Si 𝐵 es una forma escalonada de una matriz 𝐴, entonces las columnas pivote de 𝐵 forman una base para Col 𝐴.
Resolución:
a. Falso. El vector cero por sí mismo es linealmente dependiente.
b. Falso. El conjunto {𝐛1 , . . . , 𝐛𝑝 } también debe ser linealmente independiente por definición de base.
c. Verdadero. Porque si las columnas forman una matriz y esta tiene inversa, por el teorema de la matriz invertible
entonces las columnas forman una base para ℝ𝑛 .
d. Falso. Una base es un conjunto linealmente independiente lo más grande posible. Si 𝑆 es una base de 𝑉, y si 𝑆 se amplía
con un vector —por ejemplo, 𝐰— de 𝑉, entonces el nuevo conjunto ya no puede ser linealmente independiente, porque
𝑆 genera 𝑉, y entonces 𝐰 es una combinación lineal de los elementos de 𝑆.
e. Falso. Las operaciones elementales de fila aplicadas a una matriz no afectan las relaciones de dependencia lineal entre
las columnas de la matriz.
f. Falso. Por la definición de base, el subespacio que abarca el conjunto también debe coincidir con 𝐻.
g. Verdadero. Aplique el teorema del conjunto generador 𝑉 en lugar de 𝐻. El espacio 𝑉 no es cero porque el conjunto de
expansión utiliza vectores distintos de cero.
h. Verdadero. La respuesta es la misma al punto (d)
i. Falso. Ya se sabe cómo encontrar vectores que generen el espacio nulo de una matriz 𝐴. Ya se afirmó que el método
siempre produce un conjunto linealmente independiente. Entonces el método produce una base para 𝐍𝐮𝐥 𝐴.
j. Falso. Se debe tener cuidado de usar columnas pivote de la propia 𝐴 para la base de Col 𝐴. Las columnas de una forma
escalonada 𝐵 de 𝐴, a menudo no están en el espacio columna de 𝐴.
Ejercicio 63.
En el espacio vectorial de todas las funciones con valores reales, encuentre una base para el subespacio
generado por {sen 𝑡, sen 2𝑡, sen 𝑡 𝑐os 𝑡}.
Resolución:
Como sen 𝑡 𝑐os 𝑡 = (1/2)sen 𝑡, el conjunto {sen 𝑡, sen 2𝑡} abarca el subespacio. Por inspección notamos que este
conjunto es linealmente independiente, entonces {sen 𝑡, sen 2𝑡} es una base para el subespacio.
Ejercicio 64.
Los siguientes puntos muestran que toda base para ℝ𝑛 debe contener exactamente 𝑛 vectores.
a. Sea 𝑆 = {𝐯1 , . . . , 𝐯𝑘 } un conjunto de 𝑘 vectores en ℝ𝑛 , con 𝑘 < 𝑛. Explicar por qué 𝑆 no puede ser una base para
ℝ𝑛 .
b. Sea 𝑆 = {𝐯1 , . . . , 𝐯𝑘 } un conjunto de 𝑘 vectores en ℝ𝑛 , siendo 𝑘 > 𝑛. Explicar por qué 𝑆 no puede ser una base para
ℝ𝑛 .
Resolución:
a. Sea 𝐴 una matriz 𝑛 × 𝑘 [𝐯1 … 𝐯k ]. Como 𝐴 tiene menos columnas que filas, no puede haber una posición pivote en
cada fila de 𝐴. Por teoremas las columnas de 𝐴 no generan ℝ𝑛 , por lo tanto, no son una base para 𝑛.
b. Sea 𝐴 una matriz 𝑛 × 𝑘 [𝐯1 … 𝐯k ]. Como 𝐴 tiene menos filas que filas de columnas, no puede haber una posición
pivote en cada columna de 𝐴. Por teoremas, las columnas de 𝐴 no son linealmente independientes y por lo tanto no son
una base para 𝑛.
Ejercicio 65.
Suponga que 𝑇 es una transformación uno a uno, de modo que una ecuación 𝑇(𝐮) = 𝑇(𝐯) siempre
implica que 𝐮 = 𝐯. Muestre que si el conjunto de imágenes {𝑇(𝐯1 ), . . . , 𝑇(𝐯𝑝 )} es linealmente dependiente, entonces {𝐯1 ,
. . . , 𝐯𝑝 } es linealmente dependiente. Este hecho muestra que una transformación lineal uno a uno mapea un conjunto
linealmente independiente sobre un conjunto linealmente independiente (porque en este caso el conjunto de imágenes no
puede ser linealmente dependiente.)
Resolución:
Suponga que {𝑇(𝐯1 ), . . . , 𝑇(𝐯𝑝 )} es linealmente dependiente. Entonces existen escalares 𝑐1 , … , 𝑐𝑝 no todos cero con
𝑐1 𝑇(𝐯1 ) + ⋯ + 𝑐𝑝 𝑇(𝐯𝑝 ) = 𝟎
Como 𝑇 es lineal,
𝑇(𝑐1 𝐯1 + ⋯ + 𝑐𝑝 𝐯𝑝 ) = 𝑐1 𝑇(𝐯1 ) + ⋯ + 𝑐𝑝 𝑇(𝐯𝑝 ) = 𝟎 = 𝑇(𝟎)
Como 𝑇 es uno a uno
𝑇(𝑐1 𝐯1 + ⋯ + 𝑐𝑝 𝐯𝑝 ) = 𝑇(𝟎)
implica que
𝑐1 𝐯1 + ⋯ + 𝑐𝑝 𝐯𝑝 = 𝟎
Como no todos los 𝑐𝑖 son cero, {𝐯1 , … , 𝐯3 } linealmente dependiente.
Ejercicio 66.
Considere los polinomios 𝐩𝟏 (𝑡) = 1 + 𝑡 2 y 𝐩𝟐 (𝑡) = 1 − 𝑡 2. ¿Es {𝐩𝟏 , 𝐩𝟐 } un conjunto linealmente
independiente en ℙ3 ? ¿Por qué sí o por qué no?
Resolución:
93
Ninguno de los polinomios es un múltiplo del otro polinomio. Entonces {𝐩𝟏 , 𝐩𝟐 } es un conjunto linealmente independiente
en ℙ3 . Nota: {𝐩𝟏 , 𝐩𝟐 } también es un conjunto linealmente independiente en ℙ2 ya que 𝐩𝟏 y 𝐩𝟐 están en ℙ2 .
Ejercicio 67.
[Octave] Demuestre que {𝑡, sen 𝑡 , cos 2𝑡 , sen 𝑡 cos 𝑡} es un conjunto linealmente independiente de
funciones definidas en ℝ. Comience por suponer que
𝑐1 𝑡 + 𝑐2 sen 𝑡 + 𝑐3 cos 2𝑡 + 𝑐4 sen 𝑡 cos 𝑡 = 0
Esta ecuación debe ser válida para toda 𝑡 real, así que elija varios valores específicos de t (por ejemplo, 𝑡 = 0, 0.1, 0.2)
hasta obtener un sistema con las suficientes ecuaciones como para determinar que todas las 𝑐𝑗 deben ser cero.
Resolución:
Tomando valores de 𝑡 = 0, 0.1, 0.2, 0.3 da la siguiente matriz de coeficiente 𝐴 para el sistema homogéneo 𝐴𝐜 = 𝟎 (a
cinco lugares decimales):
0
sen 0
cos 0
sen 0 cos 0
0
0
1
0
0,1 sen 0,1 cos 0,2 sen 0,1 cos 0,1
0,1 0,09983 0,98007 0,09933
𝐴=[
]=[
]
0,2 sen 0,2 cos 0,4 sen 0,2 cos 0,2
0,2 0,19867 0,92106 0,19471
0,3 sen 0,3 cos 0,6 sen 0,3 cos 0,3
0,3 0,29552 0,82534 0,28232
Por Octave se calcula 𝐴−1 , existiendo esta, con lo cual la matriz es invertible, entonces el sistema 𝐴𝐜 = 𝟎 solo tiene la
solución trivial y {𝑡, sen 𝑡 , cos 2𝑡 , sen 𝑡 cos 𝑡} es un conjunto de funciones linealmente independientes.
Código en Octave
>> A=[0 sin(0) cos(0) sin(0)*cos(0);0.1 sin(0.1) cos(0.2) sin(0.1)*cos(0.1);0.2 sin(0.2) cos(0.4)
sin(0.2)*cos(0.2);0.3 sin(0.3 ) cos(0.6) sin(0.3)*cos(0.3)]
A =
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.10000
0.09983
0.98007
0.09933
0.20000
0.19867
0.92106
0.19471
0.30000
0.29552
0.82534
0.28232
>> Ainv=inv(A)
Ainv =
-49957.99227
123028.73068
-99165.98580
25104.41364
67112.82922 -165106.49632
132887.87007
-33556.41461
1.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-17167.05718
42092.78356
-33724.89863
8452.33790
Ejercicio 68.
[Octave] Muestre que {1, cos 𝑡 , cos 2 𝑡 , . . . , cos 6 𝑡} es un conjunto linealmente independiente de
funciones definidas en ℝ.
Resolución:
Por ejemplo, escribiendo
𝑐1 𝑡 + 𝑐2 cos 𝑡 + 𝑐3 cos 2 𝑡 + 𝑐4 cos 3 𝑡 + 𝑐5 cos 4 𝑡 + 𝑐6 cos 5 𝑡 + 𝑐7 cos 6 𝑡 = 0
Tomando valores de 𝑡 = 0, 0.1, 0.2, 0.3 da la siguiente matriz de coeficiente 𝐴 para el sistema homogéneo 𝐴𝐜 = 𝟎 (a
cinco lugares decimales):
cos 5 0
cos 2 0
cos 3 0
cos 6 0
cos 4 0
0
cos 0
5
2
3
6
4
cos
0,1
cos
0,1
cos
0,1
cos
0,1
cos 0,1
0,1 cos 0,1
5
2
3
6
4
0,2 cos 0,2 cos 0,2 cos 0,2 cos 0,2 cos 0,2 cos 0,2
𝐴 = 0,3 cos 0,3 cos 2 0,3 cos 3 0,3 cos 4 0,3 cos 5 0,3 cos 6 0,3
0,4 cos 0,4 cos 2 0,4 cos 3 0,4 cos 4 0,4 cos 5 0,4 cos 6 0,4
0,5 cos 0,5 cos 2 0,5 cos 3 0,5 cos 4 0,5 cos 5 0,5 cos 6 0,5
[0,6 cos 0,6 cos 2 0,6 cos 3 0,6 cos 4 0,6 cos 5 0,6 cos 6 0,6]
1
0
1
1
1
1
1
0,1 0,99500 0,99003 0,98509 0,98017 0,97527 0,97040
0,2 0,98007 0,96053 0,94138 0,92262 0,90423 0,88620
= 0,3 0,95534 0,91267 0,87190 0,83296 0,79576 0,76022
0,4 0,92106 0,84835 0,78139 0,71970 0,66289 0,61056
0,5 0,87758 0,77015 0,67587 0,59313 0,79576 0,76022
[0,6 0,82534 0,68118 0,56220 0,46400 0,38296 0,31607]
Por Octave se calcula 𝐴−1 , existiendo esta, con lo cual la matriz es invertible, entonces el sistema 𝐴𝐜 = 𝟎 solo tiene la
solución trivial y {𝑡, sen 𝑡 , cos 2𝑡 , sen 𝑡 cos 𝑡} es un conjunto de funciones linealmente independientes.
Código en Octave
>> A=[0 cos(0) (cos(0))^2 (cos(0))^3 (cos(0))^4 (cos(0))^5 (cos(0))^6;0.1 cos(0.1) (cos(0.1))^2
(cos(0.1))^3 (cos(0.1))^4 (cos(0.1))^5 (cos(0.1))^6;0.2 cos(0.2) (cos(0.2))^2 (cos(0.2))^3
94
(cos(0.2))^4 (cos(0.2))^5 (cos(0.2))^6;0.3 cos(0.3) (cos(0.3))^2 (cos(0.3))^3 (cos(0.3))^4
(cos(0.3))^5 (cos(0.3))^6;0.4 cos(0.4) (cos(0.4))^2 (cos(0.4))^3 (cos(0.4))^4 (cos(0.4))^5
(cos(0.4))^6;0.5 cos(0.5) (cos(0.5))^2 (cos(0.5))^3 (cos(0.5))^4 (cos(0.3))^5 (cos(0.3))^6;0.6
cos(0.6) (cos(0.6))^2
(cos(0.6))^3 (cos(0.6))^4 (cos(0.6))^5 (cos(0.6))^6]
A =
0.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.10000
0.99500
0.99003
0.98509
0.98017
0.97527
0.97040
0.20000
0.98007
0.96053
0.94138
0.92262
0.90423
0.88620
0.30000
0.95534
0.91267
0.87190
0.83296
0.79576
0.76022
0.40000
0.92106
0.84835
0.78139
0.71970
0.66289
0.61056
0.50000
0.87758
0.77015
0.67587
0.59313
0.79576
0.76022
0.60000
0.82534
0.68118
0.56220
0.46400
0.38296
0.31607
>> Ainv=inv(A)
Ainv =
-1.7983e+01
2.9886e+01 -1.6831e+01
5.9869e+00 -1.0830e+00 -1.1210e-06
2.4561e-02
-2.9025e+04
1.1768e+05 -1.8584e+05
1.3974e+05 -4.5038e+04
7.1805e-01
2.4871e+03
1.1619e+05 -4.6924e+05
7.3767e+05 -5.5131e+05
1.7613e+05 -3.8580e+00 -9.4442e+03
-1.5984e+05
6.4341e+05 -1.0072e+06
7.4830e+05 -2.3706e+05
8.2818e+00
1.2378e+04
7.0999e+04 -2.8520e+05
4.4515e+05 -3.2933e+05
1.0370e+05 -8.8793e+00 -5.3115e+03
1.8061e+04 -7.1700e+04
1.1018e+05 -7.9841e+04
2.4463e+04
4.7549e+00 -1.1691e+03
-1.6386e+04
6.5052e+04 -9.9968e+04
7.2445e+04 -2.2201e+04 -1.0175e+00
1.0601e+03
Sistemas de coordenadas
1
1
Considere una base 𝔙 = {𝐛1 , 𝐛2 } para ℝ2 , donde 𝐛1 = [ ] y 𝐛2 = [ ]. Suponga que una 𝐱 en ℝ2 tiene
0
2
−2
el vector de coordenadas [𝐱]𝔙 = [ ]. Encuentre 𝐱.
3
Resolución:
El teorema de representación única establece: Sea 𝔙 = {𝐛1 , … , 𝐛𝑛 } una base para un espacio vectorial V. Entonces, para
cada 𝐱 en V, existe un único conjunto de escalares 𝑐1 , … , 𝑐𝑛 tal que
𝐱 = 𝑐1 𝐛1 + ⋯ + 𝐛𝑛 𝑐𝑛
Entonces. Las 𝔙 -coordenadas de 𝐱 indican cómo construir 𝐱 a partir de los vectores en 𝔙. Esto es,
1
1
1
𝐱 = (−2)𝐛1 + 3𝐛2 = (−2) [ ] + 3 [ ] = [ ]
0
2
6
1
Ejercicio 70.
¿Las entradas del vector 𝐱 = [ ] son las coordenadas de 𝐱 relativas a la base estándar ℰ = {𝐞1 , 𝐞2 }?
6
Resolución:
Coordenadas de 𝐱 relativas a la base 𝔙
Suponga que el conjunto 𝔙 = {𝐛1 , … , 𝐛𝑛 } es una base para 𝑉 y que 𝐱 está en 𝑉. Las coordenadas de 𝐱 relativas a la base
𝖁 (o las 𝖁 -coordenadas de 𝐱) son los pesos 𝑐1 , … , 𝑐𝑛 tales que 𝐱 = 𝑐1 𝐛1 + ⋯ + 𝐛𝑛 𝑐𝑛 .
Si 𝑐1 , … , 𝑐𝑛 son las 𝔙 -coordenadas de 𝐱, entonces el vector en ℝ𝑛 .
𝑐1
[𝐱]𝔙 = [ ⋮ ]
𝑐𝑛
es el vector de coordenadas de 𝐱 (relativas a 𝖁) o el vector de 𝖁-coordenadas de 𝐱. La función 𝐱 ↦ [𝐱]𝔙 es la función de
coordenadas (determinada por 𝖁).
Ejercicio 69.
1
1
0
Entonces, el enunciado es correcto, puesto que [ ] = 1. [ ] + 6. [ ] = 1. 𝐞1 + 6. 𝐞2
6
0
1
Si ℰ = {𝐞1 , 𝐞2 }, entonces [𝐱]ℰ = 𝐱
Ejercicio 71.
Describa el concepto de matriz de cambio de coordenadas.
Resolución:
Sea
𝑃𝔙 = [𝐛1 … 𝐛𝑛 ]
Entonces la ecuación vectorial
𝐱 = 𝑐1 𝐛1 + 𝑐2 𝐛2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝐛𝑛
es equivalente a
𝐱 = 𝑃𝔙 [𝐱]𝔙
95
𝑃𝔙 se denomina matriz de cambio de coordenadas de 𝔙 a la base estándar en ℝ𝑛 . La multiplicación por la izquierda por
𝑃𝔙 transforma el vector de coordenadas [𝐱]𝔙 en 𝐱.
Como las columnas de 𝑃𝔙 forman una base para ℝ𝑛 , 𝑃𝔙 es invertible (según el teorema de la matriz invertible). La
multiplicación por la izquierda por 𝑃𝔙 −1 convierte a 𝐱 en su vector de 𝔙 -coordenadas:
𝑃𝔙 −1 𝐱 = [𝐱]𝔙
La correspondencia 𝐱 ↦ [𝐱]𝔙 , producida aquí por 𝑃𝔙 −1 , es la función de coordenadas mencionada con anterioridad. Como
𝑃𝔙 −1 es una matriz invertible, la función de coordenadas es una transformación lineal uno a uno de ℝ𝑛 sobre ℝ𝑛 , por el
teorema de la matriz invertible.
Ejercicio 72.
Describa el concepto de función de coordenadas.
Resolución:
Sea 𝔙 = {𝐛1 , … , 𝐛𝑛 } una base para un espacio vectorial 𝑉. Entonces la función de coordenadas 𝐱 ↦ [𝐱]𝔙 es una
transformación lineal uno a uno de 𝑉 sobre ℝ𝑛 .
Ejercicio 73.
2
−1
4
Sea 𝐛1 = [ ], 𝐛2 = [ ], 𝐱 = [ ] , y 𝔙 = {𝐛1 , 𝐛2 }. Encuentre el vector de coordenadas [𝐱]𝔙 de 𝐱
1
1
5
relativo a 𝔙.
Resolución:
Las 𝔙-coordenadas 𝑐1 , 𝑐2 de 𝐱 satisfacen
2
−1
4
𝑐1 𝐛1 + 𝑐2 𝐛2 = 𝐱 → 𝑐1 [ ] + 𝑐2 [ ] = [ ]
1
1
5
o bien, matricialmente
2 −1 𝑐1
4
][ ] = [ ]
1 1 𝑐2
5
Resolviendo mediante operaciones por fila con una matriz aumentada o aplicando la inversa de la matriz a la izquierda,
se tiene
[
1
2
2 −1 4 𝑓1 →2𝑓1 1 −1/2 2 𝑓2 →𝑓2−𝑓1 1 −1/2 2 𝑓2→3𝑓2 1
[
]→
[
]→
[
]→
[
0 3/2 3
1 1 5
5
1
1
0
En cualquier caso, la solución es 𝑐1 = 3, 𝑐2 = 2. Entonces 𝐱 = 3𝐛1 + 2𝐛2 , y
𝑐
3
[𝐱]𝔙 = [𝑐1 ] = [ ]
2
2
Como se observa en la figura
1
−1/2
1
2 𝑓1→𝑓1 +2𝑓2 1
]→
[
2
0
0
1
3
]
2
Ejercicio 74.
Sea 𝔙 la base estándar del espacio ℙ3 de los polinomios; esto es, sea 𝔙 = {1, 𝑡, 𝑡 2 , 𝑡 3 } ¿es ℙ3 un
isomorfismo sobre ℝ4 ?
Resolución:
Una función uno a uno (o inyectiva) de un espacio vectorial 𝑉 sobre un espacio vectorial 𝑊 se denomina isomorfismo de
𝑉 sobre 𝑊 (iso viene del griego y significa “lo mismo”, y morfos es la palabra griega para “forma” o “estructura”). La
notación y terminología para 𝑉 y 𝑊 difieren, pero los dos espacios son indistinguibles como espacios vectoriales. Todo
cálculo de espacios vectoriales en 𝑉 se reproduce exactamente en 𝑊, y viceversa.
Entonces, un elemento típico 𝐩 de ℙ3 tiene la forma
96
𝐩(𝑡) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 + 𝑎3 𝑡 3
Dado que 𝐩 ya se muestra como una combinación lineal de los vectores de la base estándar, se concluye que
𝑎0
𝑎
[𝐩]𝔙 = [𝑎1 ]
2
𝑎3
Entonces la función de coordenadas 𝐩 ↦ [𝐩]𝔙 es un isomorfismo de ℙ3 sobre ℝ4 . Todas las operaciones de espacio
vectorial en ℙ3 corresponden a operaciones en ℝ4 .
Ejercicio 75.
Use vectores de coordenadas para comprobar que los polinomios 1 + 2𝑡 2 , 4 + 𝑡 + 5𝑡 2 , y 3 + 2𝑡 son
linealmente dependientes en ℙ2 .
Resolución:
La función de coordenadas 𝐩(𝑡) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 produce los vectores de coordenadas (1, 0, 2), (4, 1, 5) y (3, 2, 0),
respectivamente. Si estos vectores se escriben como las columnas de una matriz 𝐴, es posible determinar su independencia
mediante la reducción por filas de la matriz aumentada para 𝐴𝐱 = 0:
3 0 𝑓3 →𝑓3 +3𝑓2 1 4 3 0
1 4 3 0 𝑓3 →𝑓3−2𝑓1 1 4
[0 1 2 0] →
[0 1
[ 0 1 2 0]
2 0] →
2 5 0 0
0 −3 −6 0
0 0 0 0
Las columnas de 𝐴 son linealmente dependientes, así que los polinomios correspondientes son linealmente dependientes.
De hecho, es fácil comprobar que la columna 3 de 𝐴 es dos veces la columna 2 menos cinco veces la columna 1. La
relación correspondiente para los polinomios es
3 + 2𝑡 = 2(4 + 𝑡 + 5𝑡 2 ) − 5(1 + 2𝑡 2 )
Ejercicio 76.
En los siguientes puntos, encuentre un vector 𝐱 determinado por el vector de coordenadas [𝐱]𝔙 y la base
𝔙 dados.
3
−4
5
a. 𝔙 = {[ ] , [ ]} , [𝐱]𝔙 = [ ]
−5
6
3
4 6
8
b. 𝔙 = {[ ] , [ ]} , [𝐱]𝔙 = [ ]
5 7
−5
1
4
3
5
c. 𝔙 = {[−4] , [ 2 ] , [−7]} , [𝐱]𝔙 = [ 0 ]
0
3
−1
−2
−1
4
−4
3
d. 𝔙 = {[ 2 ] , [−5] , [−7]} , [𝐱]𝔙 = [ 8 ]
3
0
2
−7
Resolución:
3
−4
3
a. 𝐱 = 5 [ ] + 3 [ ] = [ ]
−5
6
−7
4
6
2
b. 𝐱 = 8 [ ] + (−5) [ ] = [ ]
5
7
5
1
4
−1
5
c. 𝐱 = 3 [−4] + 0 [ 2 ] + (−1) [−7] = [−5]
0
3
9
−2
−1
4
0
3
d. 𝐱 = (−4) [ 2 ] + 8 [−5] + (−7) [−7] = [ 1 ]
3
0
2
−5
Ejercicio 77.
En los siguientes puntos, encuentre el vector de coordenadas [𝐱]𝔙 de 𝐱 relativo a la base dada 𝔙 =
{𝐛1 , … , 𝐛𝑛 }.
1
2
−2
a. 𝐛1 = [ ], 𝐛2 = [ ] , 𝐱 = [ ]
−3
−5
1
1
4
5
b. 𝐛1 = [ ], 𝐛2 = [ ] , 𝐱 = [ ]
−2
0
−6
1
−3
8
2
c. [Octave] 𝐛1 = [−1], 𝐛2 = [ 4 ] , 𝐛2 = [−2] , 𝐱 = [−9]
−3
9
4
6
1
2
1
3
d. [Octave] 𝐛1 = [0], 𝐛2 = [1] , 𝐛2 = [−1] , 𝐱 = [−5]
3
8
2
4
Resolución:
a. La matriz [𝐛1 𝐛2 𝐱] reduciendo por filas se tiene
1
2 −2 𝑓2 →𝑓2+3𝑓1 1 2 −2 𝑓1 →𝑓1−2𝑓2 1 0 8
[
]→
[
]→
[
]
−3 −5 1
0 1 −5
0 1 −5
97
8
Entonces [𝐱]𝔙 = [ ]
−5
b. La matriz [𝐛1 𝐛2 𝐱] reduciendo por filas se tiene
1
1
[
−2
−6
Entonces [𝐱]𝔙 = [ ]
2
c. La matriz [𝐛1 𝐛2 𝐛3
−1
Entonces [𝐱]𝔙 = [−1]
3
d. La matriz [𝐛1 𝐛2 𝐛3
−2
Entonces [𝐱]𝔙 = [ 0 ]
5
5
−6
4 𝑓2 →𝑓2+2𝑓1 1
]→
[
0
0
5
4
4 𝑓2 →4𝑓2 1
]→
[
8
0
𝐱] reduciendo por filas se tiene
1 −3 2
8 𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 1
[−1 4 −2 −9] →
[0
−3 9
4
6
0
𝐱] reduciendo por filas se tiene
1 2 1
3 𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 1
[0 1 −1 −5] →
[0
3 8 2
4
0
4 𝑓1→𝑓1 −5𝑓2 1
]→
[
2
0
5
1
0
1
0
0
1
0
−6
]
2
−1
−1]
3
0
0
1
0
0
1
0
1
−2
0]
5
Código en Octave
Punto c.
>> A=[1 -3 2 8; -1 4 -2 -9; -3 9 4 6];
>> rref(A)
ans =
1.00000
0.00000
0.00000 -1.00000
0.00000
1.00000
0.00000 -1.00000
0.00000
0.00000
1.00000
3.00000
Punto d.
>> A=[1 2 1 3; 0 1 -1 -5; 3 8 2 4];
>> rref(A)
ans =
1.00000
0.00000
0.00000 -2.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
5.00000
En los siguientes puntos, encuentre la matriz de cambio de coordenadas de 𝔙 a la base estándar en ℝ𝑛 .
2
1
a. 𝔙 = {[ ] , [ ]}
−9 8
2
8
3
b. 𝔙 = {[−1] , [ 0 ] , [−2]}
4
−5
7
Resolución:
a. La matriz de cambio de coordenadas de 𝔙 a la base estándar en ℝ2 es
2 1
𝑃𝔙 = [𝐛1 𝐛2 ] = [
]
−9 8
3
b. La matriz de cambio de coordenadas de 𝔙 a la base estándar en ℝ es
3
2
8
𝑃𝔙 = [𝐛1 𝐛2 𝐛3 ] = [−1 0 −2]
4 −5 7
Ejercicio 79.
En los siguientes puntos, use la matriz inversa para encontrar [𝐱]𝔙 para las 𝐱 y 𝔙 dadas.
3
−4
2
a. 𝔙 = {[ ] , [ ]}, 𝐱 = [ ]
−5
6
−6
4 6
2
b. 𝔙 = {[ ] , [ ]}, 𝐱 = [ ]
5 7
0
Resolución:
a. Si 𝑃𝔙 −1 convierte 𝐱 en un vector 𝔙-coordenadas, tenemos que, si reducimos por filas la matriz ampliada [𝑃𝔙 𝐼] →
[𝐼 𝑃𝔙 −1 ]
Ejercicio 78.
3
[
−5
98
−4
6
1
0
1
𝑓1 → 𝑓1
3
0
]→
1
1
[
−5
−4/3
6
1/3
0
0 𝑓2 →𝑓2 +5𝑓1 1
]→
[
0
1
−4/3
−2/3
1/3
5/3
𝑓1 →𝑓1 −2𝑓2
3
𝑓2 →− 𝑓2
2
0
]→
1
[
1
0
0
1
−3
−5/2
−2
]
−3/2
−3
Con lo cual 𝑃𝔙 −1 = [
−5/2
−2
], entonces
−3/2
−3
−2
2
6
][ ] = [ ]
−5/2 −3/2 −6
4
b. Si 𝑃𝔙 −1 convierte 𝐱 en un vector 𝔙-coordenadas, tenemos que, si reducimos por filas la matriz ampliada [𝑃𝔙
[𝐼 𝑃𝔙 −1 ]
[𝐱]𝔙 = 𝑃𝔙 −1 𝐱 = [
1
𝐼] →
𝑓1 →𝑓1 +3𝑓2
1/4 0 𝑓2→−2𝑓2 1 0 −7/2 3
0 𝑓1 →4𝑓1 1 3/2 1/4 0 𝑓2 →𝑓2 −5𝑓1 1 3/2
]→
[
]→
[
]→
[
]
0 −1/2 −5/4 1
1
0 1 5/2 −2
0
1
5
7
−7/2 3
Con lo cual 𝑃𝔙 −1 = [
], entonces
5/2 −2
−7/2 3 2
−7
[𝐱]𝔙 = 𝑃𝔙 −1 𝐱 = [
][ ] = [ ]
5/2 −2 0
5
Ejercicio 80.
En los siguientes puntos, señale cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas. A
menos que se especifique lo contrario, 𝔙 es una base para un espacio vectorial 𝑉.
a. Si 𝐱 está en 𝑉 y si 𝔙 contiene 𝑛 vectores, entonces el vector de 𝔙-coordenadas de 𝐱 está en ℝ𝑛 .
b. Si 𝑃𝔙 es la matriz de cambio de coordenadas, entonces [𝐱]𝔙 = 𝑃𝔙 𝐱 , para 𝐱 en 𝑉.
c. Los espacios vectoriales ℙ3 , y ℝ3 son isomorfos.
d. Si 𝔙 es la base estándar para ℝ𝑛 , entonces la 𝔙-coordenada de una x en ℝ𝑛 es la propia 𝐱.
e. La correspondencia [𝐱]𝔙 → 𝐱 se llama función de coordenadas.
f. En algunos casos, un plano en ℝ3 puede ser isomorfo a ℝ2 .
Resolución:
a. Verdadero. Por la definición del vector de 𝔙-coordenadas, si 𝐱 está en 𝑉 y si 𝔙 contiene 𝑛 vectores, entonces el vector
de 𝔙-coordenadas de 𝐱 está en ℝ𝑛 .
b. Falso. Dado que 𝐱 = 𝑃𝔙 [𝐱]𝔙 .
c. Falso. Serían isomorfismos si fuesen ℙ3 y ℝ4 .
d. Verdadero. Puesto que si ℰ = {𝐞1 , 𝐞2 }, entonces [𝐱]ℰ = 𝐱.
e. Falso. Por definición, el mapeo de coordenadas va en la dirección opuesta, es decir 𝐱 ↦ [𝐱]𝔙 .
f. Verdadero. Si el plano pasa por el origen, el plano es isomorfo a ℝ2 .
Ejercicio 81.
Los siguientes puntos se refieren a un espacio vectorial 𝑉, a una base 𝔙 = {𝐛1 , … , 𝐛𝑛 }, y a la función
de coordenadas 𝐱 → [𝐱]𝔙 .
a. Muestre que la función de coordenadas es uno a uno. [Sugerencia: Suponga que [𝐮]𝔙 = [𝐰]𝔙 para algunas 𝐮 y 𝐰
en 𝑉, y muestre que 𝐮 = 𝐰.]
b. Muestre que la función de coordenadas es sobre ℝ𝑛 . Esto es, dada cualquier 𝐲 en ℝ𝑛 , con entradas 𝑦1 , . . . , 𝑦𝑛 ,
encuentre 𝐮 en 𝑉 tal que [𝐮]𝔙 = 𝐲.
c. Muestre que un subconjunto {𝑢1 , . . . , 𝑢𝑝 } en V es linealmente independiente si, y sólo si, el conjunto de vectores de
4
[
5
6
7
1
0
{[𝐮𝟏 ]𝔙 , . . . , [𝐮𝒑 ] } es linealmente independiente en ℝ𝑛 . Indicación: Dado que la función de coordenadas es uno a
𝔙
uno, las siguientes ecuaciones tienen las mismas soluciones, 𝑐1 , . . . , 𝑐𝑝 .
𝑐1 𝐮𝟏 + . . . +𝑐𝑝 𝐮𝒑 = 0
El vector cero en 𝑉
El vector cero en ℝ𝑛
[𝑐1 𝐮𝟏 + . . . +𝑐𝑝 𝐮𝒑 ] = [0]𝔙
𝔙
Resolución:
a. Suponga que
𝑐1
[𝐮]𝔙 = [𝐰]𝔙 = [ ⋮ ]
𝑐𝑛
Por definición de vectores de coordenadas,
𝐮 = 𝐰 = 𝑐1 𝐛𝟏 + . . . +𝑐𝑛 𝐛𝒏 .
Como 𝐮 y 𝐰 eran elementos arbitrarios de 𝑉, el mapeo de coordenadas es uno a uno.
b. Dado 𝐲 = (𝑦1 , . . . , 𝑦𝑛 ) en ℝ𝑛 , sea 𝐮 = 𝑦1 𝐛𝟏 + . . . +𝑦𝑛 𝐛𝒏 . Entonces, por definición, [𝐮]𝔙 = 𝐲. Ya que era arbitrario, el
mapeo de coordenadas está en ℝ𝑛 .
c. Dado que el mapeo de coordenadas es uno a uno, las siguientes ecuaciones tienen las mismas soluciones 𝑐1 , . . . , 𝑐𝑝 :
𝑐1 𝐮𝟏 + . . . +𝑐𝑝 𝐮𝒑 = 0
El vector cero en 𝑉
[𝑐1 𝐮𝟏 + . . . +𝑐𝑝 𝐮𝒑 ] = [0]𝔙
𝔙
El vector cero en ℝ𝑛
99
Como el mapeo de coordenadas es lineal, [𝑐1 𝐮𝟏 + . . . +𝑐𝑝 𝐮𝒑 ] = [0]𝔙 es equivalente a
𝔙
0
𝑐1 [𝐮𝟏 ]𝔙 + ⋯ + 𝑐𝑝 [𝐮𝒑 ] = [ ⋮ ]
𝔙
0
Por lo tanto 𝑐1 𝐮𝟏 + . . . +𝑐𝑝 𝐮𝒑 = 0 solo tiene la solución trivial si y solo si 𝑐1 [𝐮𝟏 ]𝔙 + ⋯ + 𝑐𝑝 [𝐮𝒑 ] = 𝟎 tiene solo la
𝔙
solución trivial. Resulta que {𝐮𝟏 , . . . , 𝐮𝒑 } es linealmente independiente si y solo si {[𝐮𝟏 ]𝔙 , . . . , [𝐮𝟏 ]𝔙 } es linealmente
independiente.
Ejercicio 82.
En los siguientes puntos, use vectores de coordenadas para verificar la independencia lineal de los
siguientes conjuntos de polinomios. Explique las operaciones realizadas.
a. 1 + 𝑡 3 , 3 + 𝑡 − 2𝑡 2 , −𝑡 + 3𝑡 2 − 𝑡 3
b. 1 − 2𝑡 2 − 3𝑡 3 , 𝑡 + 𝑡 3 , 1 + 3𝑡 − 2𝑡 2
c. (𝑡 − 1)2 , 𝑡 3 − 2, (𝑡 − 2)3
d. (𝑡 − 1)3 , (2 − 3𝑡)2 , 3𝑡 2 − 4𝑡 3
Resolución:
a. La asignación de coordenadas produce los vectores de coordenadas (1, 0, 0, 1), (3, 1, – 2, 0) y (0, – 1, 3, – 1)
respectivamente. Probamos la independencia lineal de estos vectores escribiéndolos como columnas de una matriz y
reduciendo por filas:
1 3
0
1 3
0 𝑓3→𝑓3 +2𝑓2 1 3 0
1 3 0
4
𝑓4 →𝑓4 −𝑓1 0
𝑓4 →𝑓4 +3𝑓2 0 1 −1 𝑓4 →𝑓4 −5𝑓3 0 1 −1
0
1
−1
1
−1
[
]→
[
]→
[
]→
[
]
0 −2 3
0 −2 3
0 0 −5
0 0 −5
0 −3 −1
0 0 −4
0 0 0
1 0 −1
Como la matriz tiene un pivote en cada columna, sus columnas (y, por lo tanto, los polinomios dados) son linealmente
independientes.
b. La asignación de coordenadas produce los vectores de coordenadas (1, 0, −2, −3), (0, 1, 0, 1) y (1, 3, −2, 0)
respectivamente. Probamos la independencia lineal de estos vectores escribiéndolos como columnas de una matriz y
reduciendo por filas:
1 0 1 𝑓3 →𝑓3 +2𝑓1 1 0 1
1 0 1
𝑓4 →𝑓4 +3𝑓1 0 1 3 𝑓4 →𝑓4 −𝑓2 0 1 3
0
3
1
[
]→
[
]→
[
]
−2 0 −2
0 0 0
0 0 0
−3 1 0
0 1 3
0 0 0
Como la matriz no tiene un pivote en cada columna, sus columnas (y, por lo tanto, los polinomios dados) son linealmente
dependientes.
c. Teniendo en cuenta que (𝑡 − 1)2 = 𝑡 2 − 2𝑡 + 1 y (𝑡 − 2)3 = 𝑡 3 − 6𝑡 2 + 12𝑡 − 8, la asignación de coordenadas
produce los vectores de coordenadas (1, −2, 1, 0), (−2, 0, 0, 1) y (4, – 4, 1, 0) respectivamente. Probamos la
independencia lineal de estos vectores escribiéndolos como columnas de una matriz y reduciendo por filas:
1 −2 −8 𝑓2→𝑓2 +2𝑓1 1 −2 4 𝑓3 →2𝑓3+𝑓2 1 −2 4
1 −2 4
3
𝑓4 →𝑓4 − 𝑓3
𝑓3 →𝑓3 −𝑓1 0 −4
𝑓4 →4𝑓4 +𝑓2 0 −4
2
4
4
−2
0
12
[
]→
[
]→
[
]→
[0 −4 4 ]
1
0 −6
0 2 −3
0 0 −2
0 0 −2
0
1
0 1
0
0 0 −3
0 0
0
1
Como la matriz tiene un pivote en cada columna, sus columnas (y, por lo tanto, los polinomios dados) son linealmente
independientes.
d. La asignación de coordenadas produce los vectores de coordenadas (descomponiéndolos respectivamente a las formas
extendida) (1, 0, 0, 1), (3, 1, – 2, 0) y (0, – 1, 3, – 1) respectivamente. Probamos la independencia lineal de estos vectores
escribiéndolos como columnas de una matriz y reduciendo por filas:
1 3
0
1 3
0 𝑓3→𝑓3 +2𝑓2 1 3 0
1 3 0
4
𝑓4 →𝑓4 −𝑓1 0
𝑓4 →𝑓4 +3𝑓2 0 1 −1 𝑓4 →𝑓4 −5𝑓3 0 1 −1
0
1
−1
1
−1
[
]→
[
]→
[
]→
[
]
0 −2 3
0 −2 3
0 0 −5
0 0 −5
0 −3 −1
0 0 −4
0 0 0
1 0 −1
Como la matriz tiene un pivote en cada columna, sus columnas (y, por lo tanto, los polinomios dados) son linealmente
independientes.
Ejercicio 83.
[Octave] En los siguientes puntos se relacionan con la red cristalina del titanio, la cual tiene la estructura
2.6
0
0
hexagonal mostrada a la izquierda de la figura acompañante. Los vectores [−1.5] , [3] , [ 0 ] en ℝ3 forman una base para
0
0 4.8
la celda unitaria que se muestra a la derecha. Los números están dados en Angstrom (1Å=10 −8 cm). En aleaciones de
titanio, puede haber algunos átomos adicionales en la celda unitaria en los sitios octaédricos y tetraédricos (llamados así
por los objetos geométricos que forman los átomos en esas ubicaciones).
100
a.
b.
1⁄2
Uno de los sitios octaédricos es [1⁄4], con respecto a la base de la red. Determine las coordenadas de este sitio
1⁄6
relativas a la base estándar de ℝ3 .
1⁄2
Uno de los sitios tetraédricos es [1⁄2]. Determine las coordenadas de este sitio relativas a la base estándar de ℝ3 .
1⁄3
Resolución:
1⁄2
2.6
0
0
a. Se nos da que [𝐱]𝔙 = [1⁄4], donde 𝐵 = {[−1.5] , [3] , [ 0 ]} . Para encontrar las coordenadas de 𝐱 relativo a la base
1⁄6
0
0 4.8
estándar en ℝ3 , debemos encontrar 𝐱. En Octave calculamos que
2.6 0 0 1⁄2
1.3
[𝐱]
𝐱 = 𝑃𝔙 𝔙 = [−1.5 3 0 ] [1⁄4] = [ 0 ]
0
0 4.8 1⁄6
0.8
1⁄2
2.6
0
0
b. Se nos da que [𝐱]𝔙 = [1⁄2], donde 𝐵 = {[−1.5] , [3] , [ 0 ]} . Para encontrar las coordenadas de 𝐱 relativo a la base
1⁄3
0
0 4.8
estándar en ℝ3 , debemos encontrar 𝐱. En Octave calculamos que
2.6 0 0 1⁄2
1.3
𝐱 = 𝑃𝔙 [𝐱]𝔙 = [−1.5 3 0 ] [1⁄2] = [0.75]
0
0 4.8 1⁄3
1.6
Código en Octave
Punto a.
>> PB=[2.6 0 0; -1.5 3 0; 0 0 4.8];
>> xB=[1/2; 1/4; 1/6];
>> x=PB*xB
x =
1.30000
0.00000
0.80000
Punto b.
>> PB=[2.6 0 0; -1.5 3 0; 0 0 4.8];
>> xB=[1/2; 1/2; 1/3];
>> x=PB*xB
x =
1.30000
0.75000
1.60000
Dimensión de un espacio vectorial
Ejercicio 84.
Obtenga la dimensión de los siguientes espacios
a. ℝ3 con base estándar.
b. ℝ𝑛 cuya base estándar contiene 𝑛 vectores.
c. Polinomios de grado 3.
d. Polinomios de grado 𝑛.
e. El espacio de todos los polinomios.
101
3
−1
𝐻 = Gen {𝐯1 , 𝐯2 }, donde 𝐯1 = [6] y 𝐯2 = [ 0 ].
2
1
Resolución:
Dimensión de un Espacio Vectorial establece que: Si 𝑉 es generado por un conjunto finito, se dice que 𝑉 es de dimensión
finita, y la dimensión de 𝑉, que se escribe dim 𝑉, es el número de vectores en una base de 𝑉. La dimensión del espacio
vectorial cero {𝟎} se define como cero. Si 𝑉 no es generado por un conjunto finito, entonces se dice que 𝑉 es de dimensión
infinita. Además, se añade que:
1- Si un espacio vectorial 𝑉 tiene una base 𝔙 = {𝐛1 , … , 𝐛𝑛 }, entonces cualquier conjunto que contenga más de 𝑛 vectores
debe ser linealmente dependiente.
2- Si un espacio vectorial 𝑉 tiene una base con 𝑛 vectores, entonces toda base de 𝑉 debe consistir en exactamente 𝑛
vectores
Con estas bases fundamentadas se establecen las dimensiones.
a. La base estándar para ℝ3 contiene 3 vectores, entonces dim ℝ3 = 3.
b. La base estándar para ℝ𝑛 contiene 𝑛 vectores, entonces dim ℝ𝑛 = 𝑛.
c. La base polinomial estándar es 𝔙 = {1, 𝑡, 𝑡 2 , 𝑡 3 }, lo cual muestra que dim ℙ3 = 4.
d. La dimensión de los polinomios de grado 𝑛 es dim ℙ𝑛 = 𝑛 + 1.
e. El espacio ℙ de todos los polinomios es de dimensión infinita.
f. Una base para 𝐻 es {𝐯1 , 𝐯2 }, puesto que 𝐯1 y 𝐯2 no son múltiplos y, por lo tanto, son linealmente independientes.
Entonces dim 𝐻 = 2.
𝑎 − 3𝑏 + 6𝑐
Ejercicio 85.
Obtenga la dimensión del subespacio 𝐻 = {[ 5𝑎 + 4𝑑 ] : 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 en ℝ}
𝑏 − 2𝑐 − 𝑑
5𝑑
Resolución:
Se puede ver que 𝐻 es igual a
𝑎 − 3𝑏 + 6𝑐
1
−3
6
0
5𝑎
+
4𝑑
5
0
0
[
] = 𝑎[ ]+𝑏[ ]+𝑐[ ]+𝑑[ 4 ]
−1
0
1
−2
𝑏 − 2𝑐 − 𝑑
0
0
0
5
5𝑑
Con lo cual 𝐻 es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
1
−3
6
0
5
0
0
𝐯1 = [ ] , 𝐯2 = [ ] , 𝐯3 = [ ] , 𝐯4 = [ 4 ]
−1
0
1
−2
0
0
0
5
Es evidente, 𝐯1 ≠ 𝟎, 𝐯2 no es un múltiplo de 𝐯1 , pero 𝐯3 es un múltiplo de 𝐯2 . Según el teorema del conjunto generador,
es posible desechar 𝐯3 , y aún así tener un conjunto que genera 𝐻. Por último, 𝐯4 no es una combinación lineal de 𝐯1 y 𝐯2 .
Así que {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯4 } es linealmente independiente por teoremas y, por lo tanto, es una base para 𝐻. Entonces dim 𝐻 = 3.
Ejercicio 86.
Clasifique los subespacios de ℝ3 de acuerdo con su dimensión. (subespacios de dimensión 0, 1, 2 y 3).
Resolución:
- Subespacios de dimensión 0. Sólo el subespacio cero. Es decir, el vector cero: 𝟎. Figura (a)
- Subespacios de dimensión 1. Cualquier subespacio generado por un único vector distinto de cero. Tales subespacios son
líneas que pasan por el origen. Figura (a)
f.
- Subespacios de dimensión 2. Cualquier subespacio generado por dos vectores linealmente independientes. Tales
subespacios son planos que pasan por el origen. Figura (b)
- Subespacios de dimensión 3. Sólo el propio ℝ3 . Cualesquiera tres vectores linealmente independientes en ℝ3 generan
todo ℝ3 , de acuerdo con el teorema de la matriz invertible. Figura (b).
102
Ejercicio 87.
Encuentre las dimensiones del espacio nulo y del espacio columna de
−3 6 −1 1 −7
𝐴 = [ 1 −2 2 3 −1]
2 −4 5 8 −4
Resolución:
La dimensión de Nul 𝐴 es el número de variables libres incluidas en la ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎, y la dimensión de Col 𝐴 es el
número de columnas pivote de 𝐴. Entonces:
Reduzca por filas la matriz aumentada [𝐴 𝟎] a una forma escalonada:
2 +𝑓1 −3
6 −1 1
−7 0 𝑓3 →5𝑓3−𝑓2 −3 6 −1 1
−7 0
−3 6 −1 1 −7 0 𝑓𝑓2 →3𝑓
3 →𝑓3 −2𝑓2
[ 1 −2 2 3 −1 0] →
[ 0 0 5 10 −10 0] →
[ 0 0 5 10 −10 0]
0
2 −4 5 8 −4 0
0 0 1
2
−2 0
0 0 0
0
0
Existen tres variables libres —𝑥2 , 𝑥4 y 𝑥5 —. Por lo tanto, dim Nul 𝐴 = 3. También, dim Col 𝐴 = 2 porque 𝐴 tiene dos
columnas pivote.
Ejercicio 88.
Para cada subespacio de los puntos encuentre una base y establezca la dimensión.
𝑠 − 2𝑡
a. {[ 𝑠 + 𝑡 ] : 𝑠, 𝑡 en ℝ}
3𝑡
4𝑠
b. {[−3𝑠] : 𝑠, 𝑡 en ℝ}
−𝑡
2𝑐
𝑎
c. {[ − 𝑏 ] : 𝑎, 𝑏, 𝑐 en ℝ}
𝑏 − 3𝑐
𝑎 + 2𝑏
Resolución:
1
−2
a. Este subespacio es 𝐻 = 𝐆𝐞𝐧 {𝐯1 , 𝐯2 }, donde 𝐯1 = [1] y 𝐯2 = [ 1 ]. Como 𝐯1 y 𝐯2 no son múltiplos el uno del otro, el
0
3
conjunto {𝐯1 , 𝐯2 } es linealmente independiente y por lo tanto es una base para 𝐻. Por lo tanto, dim 𝐻 = 2.
4
0
b. Este subespacio es 𝐻 = 𝐆𝐞𝐧 {𝐯1 , 𝐯2 }, donde 𝐯1 = [−3] y 𝐯2 = [ 0 ]. Como 𝐯1 y 𝐯2 no son múltiplos el uno del otro,
0
−1
el conjunto {𝐯1 , 𝐯2 } es linealmente independiente y por lo tanto es una base para 𝐻. Por lo tanto, dim 𝐻 = 2.
0
0
2
1
−1
c. Este subespacio es 𝐻 = 𝐆𝐞𝐧 {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 }, donde 𝐯1 = [ ], 𝐯2 = [ ] y 𝐯3 = [ 0 ]. Recordando teoremas de bases se
0
1
−3
1
2
0
puede mostrar que este conjunto es linealmente independiente: 𝐯1 ≠ 𝟎, 𝐯2 no es un múltiplo de 𝐯1 , y (dado que su primera
entrada no es cero) 𝐯3 no es una combinación lineal de 𝐯1 y 𝐯2 . Así el conjunto {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 } es linealmente independiente
y, por lo tanto, es una base para 𝐻. Alternativamente, uno puede mostrar que este conjunto es linealmente independiente
por fila reduciendo la matriz [𝐯1 𝐯2 𝐯3 𝟎]. Por lo tanto, la dimensión del subespacio es 3.
2
−4 −3
Ejercicio 89.
Encuentre la dimensión del subespacio 𝐻 de ℝ2 generado por [ ] , [ ] , [ ]
−5 10
6
Resolución:
La matriz A con estos vectores como sus columnas mediante reducción por filas se reduce a
1
1
2 −4 −3 𝑓1 →2𝑓1 1 −2 −3/2 𝑓2 →5𝑓2+𝑓1 1 −2 −3/2
[
]→
[
]→
[
]
−5 10 6
−5 10
0 0 −3/10
6
Hay dos columnas pivote, por lo que la dimensión de dim Col 𝐴 = dim 𝐻 = 2.
Ejercicio 90.
[Octave] En los siguientes puntos, encuentre la dimensión del subespacio generado por los vectores
dados.
−7
1 3
9
a. [0] , [1] , [ 4 ] , [−3]
2 1 −2
1
1
−3 −8 −3
b. [−2] , [ 4 ] , [ 6 ] , [ 0 ]
0
1
5
7
Resolución:
a. La matriz A con estos vectores como sus columnas mediante reducción por filas se reduce a
103
1 3 9 −7 𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 1 0 −3 2
[0 1 4 −3] →
[0 1 4 −3]
2 1 −2 1
0 0 0
0
Hay dos columnas pivote, por lo que la dimensión de dim Col 𝐴 = dim 𝐻 = 2.
b. La matriz A con estos vectores como sus columnas mediante reducción por filas se reduce a
1 −3 −8 −3 𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 1 0 7 0
[−2 4
[0 1 5 0]
6
0 ]→
0
1
5
7
0 0 0 1
Hay tres columnas pivote, por lo que la dimensión de dim Col 𝐴 = dim 𝐻 = 3.
Código en Octave
Punto a.
>> A=[1 3 9 -7; 0 1 4 -3; 2 1 -2 1];
>> rref(A)
ans =
1
0 -3
2
0
1
4 -3
0
0
0
0
Punto b.
>> A=[1 -3 -8 -3; -2 4 6 0; 0 1 5 7];
>> rref(A)
ans =
1
0
7
0
0
1
5
0
0
0
0
1
Ejercicio 91.
Determine las dimensiones de Nul 𝐴 y Col 𝐴 para las matrices que se muestran en los siguientes puntos.
1 −1 0
1 −6 9 0 −2
c. 𝐴 = [0 4 7]
0
−4
5
1
2
a. 𝐴 = [
]
0 0 0 5
1
0 0 5
1 4 −1
0 0 0 0
0
1 3 −4 2 −1 6
d. 𝐴 = [0 7 0 ]
0]
0 0 0
b. 𝐴 = [0 0 1 −3 7
4 −3
0 0 0
1
0 0 0
0
0
0
Resolución:
a. La matriz 𝐴 está en forma escalonada. Hay tres columnas pivote, por lo que dim Col 𝐴 = 3. Hay dos columnas sin
pivotes, por lo que la ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎 tiene dos variables libres. Así, dim Nul 𝐴 = 2.
b. La matriz 𝐴 está en forma escalonada. Hay tres columnas pivote, por lo que la dim Col 𝐴 = 3. Hay tres columnas sin
pivotes, por lo que la ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎 tiene tres variables libres. Así, dim Nul 𝐴 = 3.
c. La matriz 𝐴 está en forma escalonada. Hay tres columnas pivote, por lo que la dim Col 𝐴 = 3. No hay columnas sin
pivotes, por lo que la ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎 solo tiene la solución trivial 0. Por lo tanto, Nul 𝐴 = {𝟎}, y dim Nul 𝐴 = 0.
d. La matriz 𝐴 está en forma escalonada. Hay dos columnas pivote, por lo que dim Col 𝐴 = 2. Hay es una columna sin
pivote, por lo que la ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎 tiene una variable libre. Así, dim Nul 𝐴 = 1.
Ejercicio 92.
En los siguientes puntos, 𝑉 es un espacio vectorial. Señale cada enunciado como verdadero o falso.
Justifique sus respuestas.
a. El número de columnas pivote de una matriz es igual a la dimensión de su espacio columna.
b. Un plano en ℝ3 es un subespacio de dos dimensiones de ℝ3 .
c. La dimensión del espacio vectorial ℙ4 es 4.
d. Si dim 𝑉 = 𝑛 y 𝑆 es un conjunto linealmente independiente en 𝑉, entonces 𝑆 es una base para 𝑉.
e. Si un conjunto {𝐯1 , . . . , 𝐯𝑝 } genera un espacio vectorial de dimensión finita 𝑉, y si 𝑇 es un conjunto con más de 𝑝
vectores en 𝑉, entonces 𝑇 es linealmente dependiente.
f. ℝ2 es un subespacio de dos dimensiones de ℝ3 .
g. El número de variables incluidas en la ecuación 𝐴𝐱 = 0 es igual a la dimensión de Nul 𝐴.
h. Un espacio vectorial es de dimensión infinita si es generado por un conjunto infinito.
i. Si dim 𝑉 = 𝑛 y 𝑆 genera 𝑉, entonces 𝑆 es una base para 𝑉.
j. El único subespacio tridimensional de ℝ3 es el propio ℝ3 .
Resolución:
a. Verdadero. La dimensión de Nul 𝐴 es el número de variables libres incluidas en la ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎, y la dimensión de
Col 𝐴 es el número de columnas pivote de 𝐴.
104
b. Falso. El plano debe pasar por el origen.
c. Falso. La dimensión de ℙ𝑛 es 𝑛 + 1, en este caso debería ser 5.
d. Falso. Por teoremas el conjunto 𝑆 también debe tener 𝑛 elementos.
e. Verdadero. Por teorema, si un espacio vectorial 𝑉 tiene una base 𝔙 = {𝐛1 , … , 𝐛𝑛 }, entonces cualquier conjunto que
contenga más de 𝑛 vectores debe ser linealmente dependiente
f. Falso. El conjunto ℝ2 ni siquiera es un subconjunto de ℝ3 .
g. Falso. El número de variables libres es igual a la dimensión de Nul 𝐴.
h. Falso. Una base todavía podría tener solo finitamente muchos elementos, lo que haría que el espacio vectorial sea finito
dimensionalmente.
i. Falso. El conjunto 𝑆 también debe tener 𝑛 elementos.
j. Verdadero. El mayor subespacio de un subespacio es el propio espacio.
Ejercicio 93.
Los primeros cuatro polinomios de Hermite son 1, 2𝑡, −2 + 4𝑡 2 , y −12𝑡 + 8𝑡 3 . Estos polinomios
surgen de manera natural al estudiar ciertas ecuaciones diferenciales importantes de la física matemática. Muestre que los
primeros cuatro polinomios de Hermite forman una base de ℙ3 .
Resolución:
La matriz cuyas columnas son los vectores de coordenadas de los polinomios de Hermite en relación con el estándar base
{1, 𝑡, 𝑡 2 , 𝑡 3 } de ℙ3 es
1 0 −2
0
0
0
2
−12
𝐴=[
]
0
0 0 4
0 0 0
8
Esta matriz tiene 4 pivotes, por lo que sus columnas son linealmente independientes. Dado que sus vectores de
coordenadas forman un conjunto linealmente independiente, los polinomios de Hermite son linealmente independientes
en ℙ3 . Desde allí son cuatro polinomios de Hermite y dim ℙ3 = 4, el teorema de la base establece que los polinomios de
Hermite forman una base para ℙ3 .
Ejercicio 94.
Sea 𝔙 la base de ℙ3 que consta de los polinomios de Hermite (1, 2𝑡, −2 + 4𝑡 2 , y −12𝑡 + 8𝑡 3 ) y sea
𝐩(𝑡) = 7 − 12𝑡 − 8𝑡 2 + 12𝑡 3 . Encuentre el vector de coordenadas de 𝐩 relativo a 𝔙.
Resolución:
Las coordenadas de 𝐩(𝑡) = 7 − 12𝑡 − 8𝑡 2 + 12𝑡 3 con respecto a 𝔙 satisfacen
𝑐1 (1) + 𝑐2 (2𝑡) + 𝑐3 (−2 + 4𝑡) + 𝑐4 (−12𝑡 + 8𝑡) = 7 − 12𝑡 − 8𝑡 2 + 12𝑡 3
La igualación de coeficientes de potencias similares de 𝑡 produce el sistema de ecuaciones
𝑐1 − 2𝑐3 = 7
2𝑐2 − 12𝑐4 = 12
4𝑐3 = −8
8𝑐4 = 12
3
3
Resolver este sistema da 𝑐1 = 3, 𝑐2 = 3, 𝑐3 = −2, 𝑐4 = 3/2, y [𝐩]𝔙 = [ −2 ]
3/2
Ejercicio 95.
Los primeros cuatro polinomios de Laguerre son 1, 1 − 𝑡, 2 − 4𝑡 + 𝑡 2 , 𝑦 6 − 18𝑡 + 9𝑡 2 − 𝑡 3 .
Muestre que estos polinomios forman una base de ℙ3 .
Resolución:
La matriz cuyas columnas son los vectores de coordenadas de los polinomios de Laguerre en relación con el estándar
base {1, 𝑡, 𝑡 2 , 𝑡 3 } de ℙ3 es
1 1
2
6
0
−1
−4
−18
𝐴=[
]
1
0 0
9
0 0
0
−1
Esta matriz tiene 4 pivotes, por lo que sus columnas son linealmente independientes. Dado que sus vectores de
coordenadas forman un conjunto linealmente independiente, los polinomios de Laguerre son linealmente independientes
en ℙ3 . Desde allí son cuatro polinomios de Hermite y dim ℙ3 = 4, el teorema de la base establece que los polinomios de
Laguerre forman una base para ℙ3 .
Ejercicio 96.
Sea 𝔙 la base de ℙ2 que consta de los tres primeros polinomios de Laguerre (1, 1 − 𝑡 y 2 − 4𝑡 + 𝑡 2 ),
y sea 𝐩(𝑡) = 7 − 8𝑡 + 3𝑡 2 . Encuentre el vector de coordenadas de 𝐩 relativo a 𝔙.
Resolución:
Las coordenadas de 𝐩(𝑡) = 7 − 12𝑡 − 8𝑡 2 + 12𝑡 3 con respecto a 𝔙 satisfacen
105
𝑐1 (1) + 𝑐2 (1 − 𝑡) + 𝑐3 (2 − 4𝑡 + 𝑡 2 ) = 7 − 8t + 3𝑡 2
La igualación de coeficientes de potencias similares de 𝑡 produce el sistema de ecuaciones
𝑐1 + 𝑐2 + 2𝑐3 = 7
−𝑐2 − 4𝑐3 = −8
𝑐3 = 3
5
Resolver este sistema da 𝑐1 = 5, 𝑐2 = −4, 𝑐3 = 3, y [𝐩]𝔙 = [−4].
3
Ejercicio 97.
En los siguientes puntos, 𝑉 es un espacio vectorial distinto de cero de dimensión finita, y los vectores
que se dan pertenecen a 𝑉. Señale cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas. (Estas preguntas son
más difíciles que las anteriores.)
a. Si existe un conjunto {𝐯1 , . . . , 𝐯𝑝 } que genera 𝑉, entonces dim 𝑉 ≤ 𝑝.
b. Si existe un conjunto linealmente independiente {𝐯1 , . . . , 𝐯𝑝 } en 𝑉, entonces dim 𝑉 ≥ 𝑝.
c. Si dim 𝑉 = 𝑝, entonces existe un conjunto generador con 𝑝 + 1 vectores en 𝑉.
d. Si existe un conjunto linealmente dependiente {𝐯1 , . . . , 𝐯𝑝 } en 𝑉, entonces dim 𝑉 ≤ 𝑝.
e. Si ningún conjunto de 𝑝 elementos en 𝑉 logra generar 𝑉, entonces dim 𝑉 > 𝑝.
f. Si 𝑝 ≥ 2 y dim 𝑉 = 𝑝, entonces todo conjunto de 𝑝 − 1 vectores distintos de cero es linealmente independiente.
Resolución:
Previamente se establece que:
Sea 𝐻 un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita V. Cualquier conjunto linealmente independiente en 𝐻
puede ampliarse, de ser necesario, hasta constituir una base para 𝐻. También, 𝐻 es de dimensión finita y
dim 𝐻 ≤ dim 𝑉
Teorema de la base: Sea 𝑉 un espacio vectorial de dimensión 𝑝, 𝑝 ≥ 1. Cualquier conjunto linealmente independiente
con exactamente 𝑝 elementos en 𝑉 es, de manera automática, una base para 𝑉. Cualquier conjunto de exactamente 𝑝
elementos que genere 𝑉 es automáticamente una base para 𝑉.
a. Verdadero. Aplique el teorema del conjunto de expansión al conjunto {𝐯1 , . . . , 𝐯𝑝 } y produzca una base para 𝑉. Esta
base
no tendrá más de 𝑝 elementos, entonces dim 𝑉 ≤ 𝑝.
b. Verdadero. Según el teorema 11, {𝐯1 , . . . , 𝐯𝑝 } se puede ampliar para encontrar una base para 𝑉. Esta base tendrá al
menos
𝑝 elementos en él, entonces dim 𝑉 ≥ 𝑝.
c. Verdadero. Tome cualquier base (que contendrá 𝑝 vectores) para 𝑉 y colóquele el vector cero.
d. Falso. Para un contraejemplo, dejemos que 𝐯 sea un vector distinto de cero en 3, y consideremos el conjunto {𝐯, 2𝐯}.
Esto es un conjunto linealmente dependiente en ℝ3 , pero dim ℝ3 = 3 > 2.
e. Verdadero. Si dim 𝑉 ≤ 𝑝, hay una base para 𝑉 con 𝑝 o menos vectores. Esta base sería un conjunto que abarca para 𝑉
con 𝑝 o menos vectores, lo que contradice la suposición.
f. Falso. Para un contraejemplo, dejemos que v sea un vector distinto de cero en ℝ3 , y consideremos el conjunto {𝐯, 2𝐯}.
Esto es un conjunto linealmente dependiente en ℝ3 con 3 − 1 = 2 vectores, y dim ℝ3 = 3.
Ejercicio 98.
Dados espacios vectoriales 𝑉 y 𝑊 de dimensión finita y a una transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊. Sea 𝐻
un subespacio de 𝑉 distinto de cero, y sea 𝑇(𝐻) el conjunto de imágenes de los vectores de 𝐻. Entonces 𝑇(𝐻) es un
subespacio de 𝑊. Demuestre que dim 𝑇(𝐻) ≤ dim 𝐻.
Resolución:
Dado que 𝐻 es un subespacio distinto de cero de un espacio vectorial de dimensión finita 𝑉, 𝐻 es de dimensión finita y
tiene una base. Sea {𝐮1 , . . . , 𝐮𝑝 } una base para H. Mostramos que el conjunto {𝑇(𝐮1 ), . . . , 𝑇(𝐮𝑝 )} genera 𝑇(𝐻). Si 𝐲 se
encuentra en 𝑇(𝐻). Entonces hay un vector 𝐱 en 𝐻 tal que 𝑇(𝐱) = 𝐲. Como 𝐱 está en 𝐻 y {𝐮1 , . . . , 𝐮𝑝 } es una base para
𝐻, 𝐱 puede escribirse como 𝐱 = 𝑐1 𝐮1 + ⋯ + 𝑐𝑝 𝐮𝑝 para algunos escalares 𝑐1 , … , 𝑐𝑝 . Como la transformación 𝑇 es lineal,
𝐲 = 𝑇(𝐱) = 𝑇(𝑐1 𝐮1 + ⋯ + 𝑐𝑝 𝐮𝑝 ) = 𝑐1 𝑇(𝐮1 ) + ⋯ + 𝑐𝑝 𝑇 (𝐮𝑝 )
Por lo tanto, 𝐲 es una combinación lineal de 𝑇(𝐮1 ), … , 𝑇 (𝐮𝑝 ) y {𝑇(𝐮1 ), … , 𝑇 (𝐮𝑝 )} abarca 𝑇(𝐻). Por el teorema de
conjuntos, este conjunto contiene una base para 𝑇(𝐻). Esta base no tiene más que 𝑝 vectores, y dim 𝑇(𝐻) ≤ 𝑝 = dim 𝐻.
Ejercicio 99.
[Octave] De acuerdo con el teorema de la base, un conjunto linealmente independiente {𝐯1 , . . . , 𝐯𝑘 } en
𝑛
ℝ puede ampliarse hasta constituir una base para ℝ𝑛 . Una forma de hacer esto es creando 𝐴 = [𝐯1 · · · 𝐯𝑘 𝐞1 · · · 𝐞𝑛 ],
con 𝐞1 · · · 𝐞𝑛 como las columnas de la matriz identidad. Las columnas pivote de 𝐴 forman una base para ℝ𝑛 .
a. Use el método descrito para ampliar los siguientes vectores y formar una base para ℝ5 :
106
−9
6
9
−7
7
4
𝐯1 = 8 , 𝐯2 = 1 , 𝐯3 = −8
6
−5
5
[−7]
[7]
[−7]
b. Explique por qué funciona el método en general: ¿Por qué los vectores originales 𝐯1 · · · 𝐯𝑘 están incluidos en la
base encontrada para Col 𝐴? ¿Por qué Col 𝐴 = ℝ𝑛 ?
Resolución:
a. Para encontrar una base para ℝ5 que contenga los vectores dados, reduciendo por filas
−9 9
6 1 0 0 0 0
−9 9
6 1 0 0 0 0
−7 4
7 0 1 0 0 0 𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 −7 4
7 0 1 0 0 0
8
8
1 −8 0 0 1 0 0 →
1 −8 0 0 1 0 0
−5 6
5 0 0 0 1 0
−5 6
5 0 0 0 1 0
[ 7 −7 −7 0 0 0 0 1]
[ 7 −7 −7 0 0 0 0 1]
Las columnas primera, segunda, tercera, quinta y sexta son columnas pivote, por lo que estas columnas de la matriz
original ({𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 , 𝐞2 , 𝐞3 }) forma una base para ℝ5 :
b. Los vectores originales son las primeras 𝑘 columnas de 𝐴. Dado que se supone que el conjunto de vectores originales
sea linealmente independiente, estas columnas de 𝐴 serán columnas pivote y el conjunto original de vectores será incluido
en la base. Como las columnas de 𝐴 incluyen todas las columnas de la identidad matriz, Col 𝐴 = ℝ𝑛 .
Código en Octave
>> C=[-9 9 6 1 0 0 0 0; -7 4 7 0 1 0 0 0; 8 1 -8 0 0 1 0 0; -5 6 5 0 0 0 1 0; 7 -7 -7 0 0 0 0 1];
>> D=rref(C)
D =
1.00000
0.00000
0.00000 -0.33333 -0.00000
0.00000
1.00000
0.42857
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.71429
0.00000
0.00000
1.00000 -0.33333 -0.00000 -0.00000 -0.00000 -0.42857
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
3.00000
3.14286
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000 -9.00000 -7.57143
>> rats(D)
ans =
1
0
0
-1/3
-0
0
1
3/7
0
1
0
0
0
0
1
5/7
0
0
1
-1/3
-0
-0
-0
-3/7
0
0
0
0
1
0
3
22/7
0
0
0
0
0
1
-9
-53/7
Ejercicio 100. [Octave] Sean 𝔙 = {1, cos 𝑡 , cos 2 𝑡 , . . . , cos 6 𝑡} y 𝒞 = {1, cos 𝑡 , cos 2𝑡 , . . . , cos 6𝑡}. Suponga las
siguientes identidades trigonométricas, (vea ejercicios anteriores similares).
cos 2𝑡 = −1 + 2 cos 2 𝑡
cos 3𝑡 = −3 cos 𝑡 + 4 cos 3 𝑡
cos 4𝑡 = 1 − 8 cos 2 𝑡 + 8 cos 4 𝑡
cos 5𝑡 = 5 cos 𝑡 − 20 cos 3 𝑡 + 16 cos 5 𝑡
𝑐𝑜𝑠 6𝑡 = −1 + 18 cos 2 𝑡 − 48 cos 4 𝑡 + 32 cos 6 𝑡
Sea 𝐻 el subespacio de funciones generado por las funciones en 𝔙. Entonces 𝔙 es una base para 𝐻, según lo visto en
ejercicios anteriores.
a. Escriba los vectores de 𝔙-coordenadas de los vectores en 𝒞, y úselos para demostrar que 𝒞 es un conjunto
linealmente independiente en 𝐻.
b. Explique por qué 𝒞 es una base para 𝐻.
Resolución:
a. Las 𝔙-coordenadas de los vectores en 𝒞 son las columnas de la matriz que operada por Octave nos da
1
1
1
1
1
1
[1
cos 0
cos 0,1
cos 0,2
cos 0,3
cos 0,4
cos 0,5
cos 0,6
−1 + 2 𝑐𝑜𝑠 2 0
−1 + 2 𝑐𝑜𝑠 2 0,1
−1 + 2 𝑐𝑜𝑠 2 0,2
−1 + 2 𝑐𝑜𝑠 2 0,3
−1 + 2 𝑐𝑜𝑠 2 0,4
−1 + 2 𝑐𝑜𝑠 2 0,5
−1 + 2 𝑐𝑜𝑠 2 0,6
−3 𝑐𝑜𝑠 0 + 4 𝑐𝑜𝑠 3 0
−3 𝑐𝑜𝑠 0,1 + 4 𝑐𝑜𝑠 3 0,1
−3 𝑐𝑜𝑠 0,2 + 4 𝑐𝑜𝑠 3 0,2
−3 𝑐𝑜𝑠 0,3 + 4 𝑐𝑜𝑠 3 0,3
−3 𝑐𝑜𝑠 0,4 + 4 𝑐𝑜𝑠 3 0,4
−3 𝑐𝑜𝑠 0,5 + 4 𝑐𝑜𝑠 3 0,5
−3 𝑐𝑜𝑠 0,6 + 4 𝑐𝑜𝑠 3 0,6
1 − 8 𝑐𝑜𝑠 2 0 + 8 𝑐𝑜𝑠 4 0
1 − 8 𝑐𝑜𝑠 2 0,1 + 8 𝑐𝑜𝑠 4 0,1
1 − 8 𝑐𝑜𝑠 2 0,2 + 8 𝑐𝑜𝑠 4 0,2
1 − 8 𝑐𝑜𝑠 2 0,3 + 8 𝑐𝑜𝑠 4 0,3
1 − 8 𝑐𝑜𝑠 2 0,4 + 8 𝑐𝑜𝑠 4 0,4
1 − 8 𝑐𝑜𝑠 2 0,5 + 8 𝑐𝑜𝑠 4 0,5
1 − 8 𝑐𝑜𝑠 2 0,6 + 8 𝑐𝑜𝑠 4 0,6
5 cos 0 − 20 𝑐𝑜𝑠 3 0 + 16 𝑐𝑜𝑠 5 0
5 cos 0,1 − 20 𝑐𝑜𝑠 3 0,1 + 16 𝑐𝑜𝑠 5 0,1
5 cos 0,2 − 20 𝑐𝑜𝑠 3 0,2 + 16 𝑐𝑜𝑠 5 0,2
5 cos 0,3 − 20 𝑐𝑜𝑠 3 0,3 + 16 𝑐𝑜𝑠 5 0,3
5 cos 0,4 − 20 𝑐𝑜𝑠 3 0,4 + 16 𝑐𝑜𝑠 5 0,4
5 cos 0,5 − 20 𝑐𝑜𝑠 3 0,5 + 16 𝑐𝑜𝑠 5 0,5
5 cos 0,6 − 20 𝑐𝑜𝑠 3 0,6 + 16 𝑐𝑜𝑠 5 0,6
−1 + 18 𝑐𝑜𝑠 2 0 − 48 𝑐𝑜𝑠 4 0 + 32 𝑐𝑜𝑠 6 0
−1 + 18 𝑐𝑜𝑠 2 0,1 − 48 𝑐𝑜𝑠 4 0,1 + 32 𝑐𝑜𝑠 6 0,1
−1 + 18 𝑐𝑜𝑠 2 0,2 − 48 𝑐𝑜𝑠 4 0,2 + 32 𝑐𝑜𝑠 6 0,2
−1 + 18 𝑐𝑜𝑠 2 0,3 − 48 𝑐𝑜𝑠 4 0,3 + 32 𝑐𝑜𝑠 6 0,3
−1 + 18 𝑐𝑜𝑠 2 0,4 − 48 𝑐𝑜𝑠 4 0,4 + 32 𝑐𝑜𝑠 6 0,4
−1 + 18 𝑐𝑜𝑠 2 0,5 − 48 𝑐𝑜𝑠 4 0,5 + 32 𝑐𝑜𝑠 6 0,5
−1 + 18 𝑐𝑜𝑠 2 0,6 − 48 𝑐𝑜𝑠 4 0,6 + 32 𝑐𝑜𝑠 6 0,6]
107
1
0
−1
0
1
0
−1
0
𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 0
→
0
0
0
1
0
0
2
−3
0
0
−8
5
0
0
18
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
8
0
−20
0
16
= 𝑃
0
−48
0
[0 0 0
0
0
0
32 ]
La matriz 𝑃 es invertible porque es triangular con entradas distintas de cero a lo largo de su diagonal principal. Por lo
tanto, sus columnas son linealmente independientes. Como el mapeo de coordenadas es un isomorfismo, esto muestra
que los vectores en 𝒞 son linealmente independientes.
b. Sabemos que dim 𝐻 = 7 porque B es una base para 𝐻. Ahora 𝒞 es un conjunto linealmente independiente, y los
vectores en 𝒞 se encuentran en 𝐻 por las identidades trigonométricas. Así, según el teorema de la base, 𝒞 es una base
para 𝐻.
Código en Octave
>> P=[1 cos(0) -1+2*(cos(0))^2 -3*cos(0)+4*(cos(0))^3 1-8*(cos(0))^2+8*(cos(0))^4 5*cos(0)20*(cos(0))^3+16*(cos(0))^5 -1+18*(cos(0))^2-48*(cos(0))^4+32*(cos(0))^6;
1 cos(0.1) -1+2*(cos(0.1))^2 -3*cos(0.1)+4*(cos(0.1))^3 1-8*(cos(0.1))^2+8*(cos(0.1))^4
5*cos(0.1)-20*(cos(0.1))^3+16*(cos(0.1))^5 -1+18*(cos(0.1))^2-48*(cos(0.1))^4+32*(cos(0.1))^6;
1 cos(0.2) -1+2*(cos(0.2))^2 -3*cos(0.2)+4*(cos(0.2))^3 1-8*(cos(0.2))^2+8*(cos(0.2))^4
5*cos(0.2)-20*(cos(0.2))^3+16*(cos(0.2))^5 -1+18*(cos(0.2))^2-48*(cos(0.2))^4+32*(cos(0.2))^6;
1 cos(0.3) -1+2*(cos(0.3))^2 -3*cos(0.3)+4*(cos(0.3))^3 1-8*(cos(0.3))^2+8*(cos(0.3))^4
5*cos(0.3)-20*(cos(0.3))^3+16*(cos(0.3))^5 -1+18*(cos(0.3))^2-48*(cos(0.3))^4+32*(cos(0.3))^6;
1 cos(0.4) -1+2*(cos(0.4))^2 -3*cos(0.4)+4*(cos(0.4))^3 1-8*(cos(0.4))^2+8*(cos(0.4))^4
5*cos(0.4)-20*(cos(0.4))^3+16*(cos(0.4))^5 -1+18*(cos(0.4))^2-48*(cos(0.4))^4+32*(cos(0.4))^6;
1 cos(0.5) -1+2*(cos(0.5))^2 -3*cos(0.5)+4*(cos(0.5))^3 1-8*(cos(0.5))^2+8*(cos(0.5))^4
5*cos(0.5)-20*(cos(0.5))^3+16*(cos(0.5))^5 -1+18*(cos(0.5))^2-48*(cos(0.5))^4+32*(cos(0.5))^6;
1 cos(0.6) -1+2*(cos(0.6))^2 -3*cos(0.6)+4*(cos(0.6))^3 1-8*(cos(0.6))^2+8*(cos(0.6))^4
5*cos(0.6)-20*(cos(0.6))^3+16*(cos(0.6))^5 -1+18*(cos(0.6))^2-48*(cos(0.6))^4+32*(cos(0.6))^6];
%%Aplicando la rutina Gelim.m se obtiene un sistema triangular y seleccionamos aquel que se dispone
como la banda.
>> Gelim(P)
números racionales? y/n: y
Contar operaciones? y/n: y
todas las etapas? y/n: y
…
…
1
0
-1
0
1
0
-1
0
1
0
-3
0
5
0
0
0
2
0
-8
0
18
0
0
0
4
0 -20
0
0
0
0
0
8
0
-48
0
0
0
0
0
16
0
0
0
0
0
0
0
32
Rango
Ejercicio 101.
Encuentre bases para el espacio fila, el espacio columna, y el espacio nulo de la matriz
−2 −5
8
0 −17
−5
5 ]
1
3
1
𝐴=[
3 11 −19 7
1
1
7 −13 5 −3
Resolución:
Si 𝐴 es una matriz de 𝑚 × 𝑛, cada fila de 𝐴 tiene 𝑛 entradas y así puede identificarse con un vector en ℝ𝑛 . El conjunto
de todas las combinaciones lineales de los vectores fila se denomina espacio fila de 𝐴 y se denota por Fil 𝐴. Cada fila
tiene 𝑛 entradas, así que Fil 𝐴 es un subespacio de ℝ𝑛 . Como las filas de 𝐴 se identifican con las columnas de 𝐴𝑇 , podría
escribirse también Col 𝐴𝑇 en lugar de Fil 𝐴.
El espacio fila de 𝐴 es el subespacio de ℝ5 generado por {𝐫1 , 𝐫2 , 𝐫3 , 𝐫4 }, donde
𝐫1 = (−2, −5, 8, 0, −17)
𝐫2 = (1, 3, −5, 1, 5)
𝐫3 = (3, 11, −19, 7, 1)
𝐫4 = (1, 7, −13, 5, −3)
108
Esto es, Fil 𝐴 = Gen {𝐫1 , 𝐫2 , 𝐫3 , 𝐫4 }. Es natural que los vectores fila se escriban en forma horizontal, pero se podrían escribir
como vectores columna si resultara más conveniente.
Ejercicio 102. Encuentre bases para el espacio fila, el espacio columna, y el espacio nulo de la matriz
−2 −5
8
0 −17
−5
5 ]
1
3
1
𝐴=[
3 11 −19 7
1
1
7 −13 5 −3
Resolución:
Para encontrar bases para el espacio fila y de columnas, reduzca por filas 𝐴 a una forma escalonada:
−2
𝐴 ∼ 𝐵: [ 1
3
1
8
−5
−19
−13
𝑓2 →𝑓2 +2𝑓1
0 −17
1
3
−5 1
5 𝑓3 →𝑓3−3𝑓1 1 3 −5 1
5
5 ] 𝑓→1⇆𝑓2 [−2 −5
1
8
0 −17] →𝑓4 →𝑓4−𝑓1 [0 1 −2 2 −7 ]
7
1
3 11 −19 7
0 2 −4 4 −14
1
5 −3
1
0 4 −8 4 −8
7 −13 5 −3
1
1 3 −5 1
5
5
𝑓3 →𝑓3 −2𝑓2 1 3 −5
𝑓4 →𝑓4 −4𝑓2 0 1 −2
2
−7 ] 𝑓→3 ⇆𝑓4 [0 1 −2 2 −7] = 𝐵
→
[
0 0 0
0
0 0 0 −4 20
0
0 0 0 −4 −20
0 0 0
0
0
Por el teorema de espacio fila, las primeras tres filas de 𝐵 forman una base para el espacio fila de 𝐴 (y para el espacio fila
de 𝐵). Entonces
Base para Fil 𝐴: {(1, 3, −5, 1, 5), (0, 1, −2, 2, −7), (0, 0, 0, −4, 20)}
Para el espacio columna, observe que en 𝐵 los pivotes están en las columnas 1, 2 y 4. Por lo tanto, las columnas 1, 2 y 4
de 𝐴 (no 𝐵) forman una base para Col 𝐴:
−2 −5 0
Base para Col 𝐴: {[ 1 ] , [ 3 ] , [1]}
3
11 7
1
5
7
Observe que cualquier forma escalonada de 𝐴 proporciona (con sus filas distintas de cero) una base para Fil 𝐴 y también
identifica las columnas pivote de 𝐴 para Col 𝐴. Sin embargo, para Nul 𝐴, se necesita la forma escalonada reducida. Al
realizar otras operaciones por fila sobre 𝐵, se obtiene
1 3 −5 1
1 0 1 −5 26
1 0 1 −5 26
5
1
𝑓3 →− 𝑓3
𝑓1 →𝑓1 −3𝑓2 0 1 −2
4
0
−7
1
2
−7
−2
2
𝐴 ∼ 𝐵 ∼ 𝐶: [
]→
[
]→
[0 1 −2 2 −7]
0 0 0 −4 20
0 0 0 −4 20
0 0 0
1 −5
0 0 0
0
0 0 0
0
0 0 0
0
0
0
0
𝑓1 →𝑓1 +5𝑓3 1 0
1 0 1
𝑓2 →𝑓2 −2𝑓2
→
→
[0 1 −2 0 3 ] = 𝐵
0 0 0 1 −5
0 0 0 0 0
La ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎 es equivalente a 𝐶𝐱 = 𝟎, esto es,
𝑥1 + 𝑥3 + 𝑥5 = 0
𝑥2 − 2𝑥3 + 3𝑥5 = 0
𝑥4 − 5𝑥5 = 0
Así 𝑥1 = −𝑥3 − 𝑥5 , 𝑥2 = 2𝑥3 − 3𝑥5 , 𝑥4 = 5𝑥5 , con 𝑥3 y 𝑥5 como variables libres. Los cálculos muestran que
−1 −1
2
−3
Base para Nul 𝐴:
1 , 0
0
5
{[ 0 ] [ 1 ]}
Observe que, a diferencia de la base para Col 𝐴, las bases para Fil 𝐴 y Nul 𝐴 no tienen ninguna relación simple con las
entradas de la propia 𝐴.
Ejercicio 103. Obtenga el rango de
a. Una matriz de 7 × 9 con un espacio nulo bidimensional, ¿cuál es el rango de 𝐴?
b. ¿Una matriz de 6 × 9 podría tener un espacio nulo bidimensional?
Resolución:
El rango de A es la dimensión del espacio columna de A
El teorema del rango establece que: Las dimensiones del espacio columna y del espacio fila para una matriz 𝐴 de 𝑚 × 𝑛
son iguales. Esta dimensión común, el rango de 𝐴, también es igual al número de posiciones pivote incluidas en 𝐴 y
satisface la ecuación
rango A + dim Nul 𝐴 = 𝑛
−5
3
11
7
109
Se puede demostrar que
{
número de
número de
número de
}+{
}={
}
columnas pivote
columnas no pivote
columnas
En este caso, para el ejercicio
a. Dado que 𝐴 tiene 9 columnas, (rango 𝐴) + 2 = 9 y, por lo tanto, rango 𝐴 = 7.
b. No. Si una matriz de 6 × 9, llámese 𝐵, tuviera un espacio nulo bidimensional, tendría rango 7, por el teorema del rango.
Pero las columnas de 𝐵 son vectores en ℝ6 , así que la dimensión de Col 𝐵 no puede ser mayor a 6; esto es, rango 𝐵 no
puede exceder de 6.
Ejercicio 104. Un científico ha encontrado dos soluciones para un sistema homogéneo de 40 ecuaciones con 42
variables. Las dos soluciones no son múltiplos, y todas las demás soluciones pueden estructurarse al sumar múltiplos
adecuados de estas dos soluciones. ¿Puede el científico estar seguro de que un sistema no homogéneo asociado (con los
mismos coeficientes) tiene una solución?
Resolución:
Sí. Sea 𝐴 la matriz de coeficientes de 40 × 42 del sistema. La información proporcionada implica que las dos soluciones
son linealmente independientes y generan Nul 𝐴. Así que dim Nul 𝐴 = 2. Según el teorema del rango, dim Col 𝐴 = 42 −
2 = 40. Como R40 es el único subespacio de ℝ40 cuya dimensión es 40, Col 𝐴 tiene que ser todo ℝ40 . Esto implica que
toda ecuación no homogénea 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene una solución.
Ejercicio 105. En los siguientes puntos, suponga que la matriz 𝐴 es equivalente por filas a 𝐵. Sin realizar cálculos,
enliste rango 𝐴 y dim Nul 𝐴. Después encuentre bases para Col 𝐴, Fil 𝐴, y Nul 𝐴.
1 −4 9 −7
1 0 −1 5
a. 𝐴 = [−1 2 −4 1 ] , 𝐵 = [0 −2 5 −6]
5 −6 10 7
0 0
0
0
1 −3 4 −1
9
1 −3 0 5 −7
b. 𝐴 = [−2 6 −6 −1 −10] , 𝐵 = [0 0 2 −3 8 ]
−3 9 −6 −6 −3
0 0 0 0
5
3 −9 4
9
0
0 0 0 0
0
2 −3 6
2
2 −3 6 2 5
5
c. 𝐴 = [−2 3 −3 −3 −4] , 𝐵 = [0 0 3 −1 1]
5
0 0 0 1 3
4 −6 9
9
−2 3
3 −4 1
0 0 0 0 0
9 −9
1 1 −3 7 9 −9
1 1 −3 7
0 1 −1 3 4 −3
1 2 −4 10 4 −3
d. 𝐴 = 1 −1 −1 1 −1 −2 , 𝐵 = 0 0 0 1 −1 −2
0
0
1 −3 1 −5 0
0 0 0 0 0
[1 −2 0
[0 0 0 0 0
0
0
0]
0]
Resolución:
El Teorema de espacio fila establece que: Si dos matrices 𝐴 y 𝐵 son equivalentes por filas, entonces sus espacios de fila
son iguales. Si 𝐵 está en forma escalonada, entonces las filas distintas de cero de 𝐵 constituyen una base para el espacio
fila de 𝐴 y para el de 𝐵.
a. La matriz 𝐵 está en forma escalonada. Hay dos columnas pivote, por lo que dim Col 𝐴 = 2. Hay dos filas de pivote,
por lo que dim Fil 𝐴 = 2. Hay dos columnas sin pivotes, por lo que la ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎 tiene dos variables libres. Por lo
tanto, dim Nul 𝐴 = 2. Una base para Col 𝐴 son las columnas pivote.
1
−4
{[−1] , [ 2 ]}
−6
5
−1
1 0 −1 5 𝑓2 →−1𝑓2 1 0
5
2
[0 −2 5 −6] →
[0 1 −5/2 3]
0 0
0
0 0
0
0
0
La solución a 𝐴𝐱 = 𝟎 en términos de variables libres es 𝑥1 = 𝑥3 − 5𝑥4 , 𝑥2 = (5/2)𝑥3 − 3𝑥4 con 𝑥3 y 𝑥4 libres. Por lo
tanto, una base para Nul 𝐴 es
1
−5
5/2 −3
{[
] , [ ]}
0
1
1
0
b. La matriz 𝐵 está en forma escalonada. Hay tres columnas pivote, por lo que dim Col 𝐴 = 3. Hay tres filas de pivote,
por lo que dim Fil 𝐴 = 3. Hay dos columnas sin pivotes, por lo que la ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎 tiene dos variables libres. Por lo
tanto, dim Nul 𝐴 = 2. Una base para Col 𝐴 son las columnas pivote.
110
1
4
9
−2
−10
−6
{[ ] , [ ] , [
]}
−3 −6
−3
3
4
0
Una base para la Fil 𝐴 son las filas pivote de 𝐵: {(1, −3, 0, 5, −7), (0, 0, 2, −3,8), (0, 0, 0, 0, 5)}. Para encontrar una base
para Nul 𝐴, reduzca por filas a la forma escalonada:
1
𝑓2 →− 𝑓2
2
1
𝑓3 →− 𝑓3
5
5
5
1 −3 0 5 −7
1 −3 0
−7 𝑓1→𝑓1 +7𝑓3 1 −3 0
0
𝑓2 →𝑓2 −4𝑓3 0
0
0
2
8
0
0
1
−3/2
4
0
1
−3/2
−3
0]
[
]→
[
]→
[
0 0 0 0
5
0 0 0
1
0 0 0
1
0
0
0 0 0 0
0
0 0 0
0
0 0 0
0
0
0
La solución a 𝐴𝐱 = 𝟎 en términos de variables libres es 𝑥1 = 3𝑥2 − 5𝑥4 , 𝑥3 = (3/2), 𝑥5 = 0 con 𝑥2 y 𝑥4 libres. Por lo
tanto, una base para Nul 𝐴 es
3 −5
0
1
0 , 3/2
0
1
{[0] [ 0 ]}
c. La matriz 𝐵 está en forma escalonada. Hay tres columnas pivote, por lo que dim Col 𝐴 = 3. Hay tres filas de pivote,
por lo que dim Fil 𝐴 = 3. Hay dos columnas sin pivotes, por lo que la ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎 tiene dos variables libres. Por lo
tanto, dim Nul 𝐴 = 2. Una base para Col 𝐴 son las columnas pivote.
2
6
2
−3
−2
−3
{[ ] , [ ] , [ ]}
9
5
4
−2
3
−4
Una base para la Fil 𝐴 son las filas pivote de 𝐵: {(2, −3, 6, 2, 5), (0, 0, 3, −1, 1), (0, 0, 0, 1, 3)}. Para encontrar una base
para Nul 𝐴, reduzca por filas a la forma escalonada:
2
[0
0
0
−3
0
0
0
6
3
0
0
2
−1
1
0
1
𝑓1 → 𝑓1
2
1
𝑓2 → 𝑓2
3
5
1] →
3
0
1
[0
0
0
−3/2
0
0
0
3
1
0
0
1
−1/3
1
0
𝑓1 →𝑓1 −3𝑓2
5/2
1
1
𝑓 →𝑓 + 𝑓
1/3] →2 2 3 3 [0
0
3
0
0
3
9
2
2
−3/2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
−9/2
4/3 ]
3
0
La solución a 𝐴𝐱 = 𝟎 en términos de variables libres es 𝑥1 = ( ) 𝑥2 + ( ) 𝑥5 , 𝑥3 = −(4/3)𝑥5 , 𝑥4 = −3𝑥5 con 𝑥2 y 𝑥5
libres. Por lo tanto, una base para Nul 𝐴 es
9/2
3/2
0
1
0 , −4/3
0
−3
{[ 0 ] [ 1 ]}
d. La matriz 𝐵 está en forma escalonada. Hay tres columnas pivote, por lo que dim Col 𝐴 = 3. Hay tres filas de pivote,
por lo que dim Fil 𝐴 = 3. Hay tres columnas sin pivotes, por lo que la ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎 tiene tres variables libres. Por lo
tanto, dim Nul 𝐴 = 3. Una base para Col 𝐴 son las columnas pivote.
7
1
1
10
2
1
1 , −1 , 1
1 −3 −5
{[1] [−2] [ 0 ]}
Una base para la Fil 𝐴 son las filas pivote de 𝐵: {(1, 1, −3, 7, 9, −9), (0, 1, −1, 3, 4, −3), (0, 0, 0, 1, −1, −2)}. Para
encontrar una base para Nul 𝐴, reduzca por filas a la forma escalonada:
1 1 −3 7 9 −9
1 0 −2 4 5 −6
1 0 −2 0 9
2
𝑓 →𝑓 −4𝑓
0 1 −1 3 4 −3 𝑓1 →𝑓1 −𝑓2 0 1 −1 3 4 −3 𝑓12 →𝑓12−3𝑓33 0 1 −1 0 7
3
0 0 0 1 −1 −2 →
0 0 0 1 −1 −2 →
0 0 0 1 −1 −2
0
0
0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
[0 0 0 0 0
[0 0 0 0 0
[0 0 0 0 0
0]
0]
0]
La solución a 𝐴𝐱 = 𝟎 en términos de variables libres es 𝑥1 = 2𝑥3 − 9𝑥5 − 2𝑥6 , 𝑥2 = 𝑥3 − 7𝑥5 − 3𝑥6 , 𝑥4 = 𝑥5 + 2𝑥6
con 𝑥3 , 𝑥5 y 𝑥6 libres. Por lo tanto, una base para Nul 𝐴 es
111
2 −9 −2
1 −7 −3
1 , 0 , 0
0
1
2
0
1
0
{[0] [ 0 ] [ 1 ]}
Si una matriz 𝐴 de 3 × 8 tiene rango 3, encuentre dim Nul 𝐴, dim Fil 𝐴, y rango 𝐴𝑇 .
Ejercicio 106.
Resolución:
Por el teorema del rango, dim Nul 𝐴 = 8 − rango 𝐴 = 8 − 3 = 5. Siendo dim Fil 𝐴 = rango 𝐴, dim Fil 𝐴 = 3. Dado
que el rango 𝐴𝑇 = dim Col 𝐴𝑇 = dim Fil 𝐴, el rango 𝐴𝑇 = 3.
Ejercicio 107. Si una matriz 𝐴 de 6 × 3 tiene rango 3, encuentre dim Nul 𝐴, dim Fil 𝐴, y rango 𝐴𝑇
Resolución:
Por el teorema del rango, dim Nul 𝐴 = 3 − rango 𝐴 = 3 − 3 = 0. Siendo dim Fil 𝐴 = rango 𝐴, dim Fil 𝐴 = 3. Dado
que el rango 𝐴𝑇 = dim Col 𝐴𝑇 = dim Fil 𝐴, el rango 𝐴𝑇 = 3
Ejercicio 108. Suponga que una matriz 𝐴 de 5 × 6 tiene cuatro columnas pivote. ¿Cuál es el valor de dim Nul 𝐴? ¿Es
Col 𝐴 = ℝ4 ? ¿Por qué sí o por qué no?
Resolución:
Como 𝐴 tiene cuatro columnas pivote, rango 𝐴 = 4 y dim Nul 𝐴 = 6 − rango 𝐴 = 6 − 4 = 2. No. Col 𝐴 ≠ 4. Es cierto
que dim Col 𝐴 = rango 𝐴 = 4, pero Col 𝐴 es un subespacio de ℝ5 .
Ejercicio 109. Si el espacio nulo de una matriz 𝐴 de 5 × 6 es de dimensión 4, ¿cuál es la dimensión del espacio
columna de 𝐴?
Resolución:
Si dim Nul 𝐴 = 4, rango 𝐴 = 6 − dim Nul 𝐴 = 6 − 4 = 2. Entonces dim Col 𝐴 = rango 𝐴 = 2.
Ejercicio 110. Si el espacio nulo de una matriz 𝐴 de 7 × 6 es de dimensión 5, ¿cuál es la dimensión del espacio
columna de 𝐴?
Resolución:
Si dim Nul 𝐴 = 5, rango 𝐴 = 6 − dim Nul 𝐴 = 6 − 5 = 1. Entonces dim Col 𝐴 = rango 𝐴 = 1.
Ejercicio 111. Si el espacio nulo de una matriz 𝐴 de 8 × 5 es de dimensión 2, ¿cuál es la dimensión del espacio fila de
𝐴?
Resolución:
Si dim Nul 𝐴 = 2, rango 𝐴 = 5 − dim Nul 𝐴 = 5 − 2 = 3. Entonces dim Fil 𝐴 = dim Col 𝐴 = rango 𝐴 = 3.
Ejercicio 112. Si el espacio nulo de una matriz 𝐴 de 5 × 6 es de dimensión 4, ¿cuál es la dimensión del espacio fila de
𝐴?
Resolución:
Si dim Nul 𝐴 = 2, rango 𝐴 = 6 − dim Nul 𝐴 = 6 − 4 = 2. Entonces dim Fil 𝐴 = dim Col 𝐴 = rango 𝐴 = 2.
Ejercicio 113. Si 𝐴 es una matriz de 7 × 5, ¿cuál es el mayor valor posible para el rango de 𝐴? Si 𝐴 es una matriz de
5 × 7, ¿cuál es el máximo valor posible para el rango de 𝐴? Explique sus respuestas.
Resolución:
El rango de una matriz 𝐴 es igual al número de posiciones de pivote que tiene la matriz. Si 𝐴 es una matriz de 7 × 5 o
una matriz 5 × 7, el mayor número de posiciones de pivote que podría tener 𝐴 es 5. Por lo tanto, el mayor valor posible
para el rango de 𝐴 es 5.
Ejercicio 114. Si 𝐴 es una matriz de 4 × 3, ¿cuál es la mayor dimensión posible para el espacio fila de 𝐴? Si 𝐴 es una
matriz de 3 × 4, ¿cuál es la mayor dimensión posible para el espacio fila de 𝐴? Explique sus respuestas.
Resolución:
La dimensión del espacio de fila de una matriz 𝐴 es igual al rango de 𝐴, que es igual al número de pivote posiciones que
tiene la matriz. Si 𝐴 es una matriz 4 × 3 o una matriz 3 × 4, el mayor número de pivote posiciones que podría tener 𝐴 es
3. Por lo tanto, el mayor valor posible para dim Fil 𝐴 = 3.
Ejercicio 115. En los siguientes puntos, 𝐴 es una matriz de 𝑚 × 𝑛. Señale cada enunciado como verdadero o falso.
Justifique sus respuestas.
a. El espacio fila de 𝐴 es lo mismo que el espacio columna de 𝐴𝑇 .
b. Si 𝐵 es cualquier forma escalonada de 𝐴 y tiene tres filas distintas de cero, entonces las primeras tres filas de 𝐴
forman una base para Fil 𝐴.
c. Las dimensiones del espacio fila y del espacio columna de 𝐴 son las mismas, aunque 𝐴 no sea cuadrada.
d. La suma de las dimensiones del espacio fila y del espacio nulo de 𝐴 es igual al número de filas incluidas en 𝐴.
112
Si 𝐵 es cualquier forma escalonada de 𝐴, entonces las columnas pivote de 𝐵 forman una base para el espacio columna
de 𝐴.
f. Las operaciones por fila preservan las relaciones de dependencia lineal entre las filas de 𝐴.
g. La dimensión del espacio nulo de 𝐴 es el número de columnas de 𝐴 que no son columnas pivote.
h. El espacio fila de 𝐴𝑇 es lo mismo que el espacio columna de 𝐴.
i. Si 𝐴 y 𝐵 son equivalentes por filas, entonces sus espacios de filas son iguales.
Resolución:
a. Verdadero. Las filas de 𝐴 se identifican con las columnas de 𝐴𝑇 .
b. Falso. Es erróneo concluir que las tres primeras filas de 𝐴 son linealmente independientes. Las operaciones por fila no
conservan las relaciones de dependencia lineal entre las filas de una matriz.
c. Verdadero. Por lo establecido en el teorema de rango.
d. Falso. No es lo que expresa la igualdad en el teorema de rango.
e. Falso. Se debe tener cuidado de usar columnas pivote de la propia 𝐴 para la base de Col 𝐴. Las columnas de una forma
escalonada 𝐵 de 𝐴, a menudo no están en el espacio columna de 𝐴.
f. Falso. Las operaciones por fila no conservan las relaciones de dependencia lineal entre las filas de una matriz.
g. Verdadero. Por lo establecido en el teorema de Rango.
h. Verdadero. Este hecho se observa fácilmente, ya que la transpuesta de dicha fila en la matriz es igual a una columna.
También se deduce del hecho de que las filas de 𝐴𝑇 son las columnas de (𝐴𝑇 )𝑇 = 𝐴.
i. Verdadero. Por lo expuesto en el teorema de espacio fila.
Ejercicio 116. Suponga que un sistema no homogéneo de seis ecuaciones con ocho incógnitas tiene una solución, con
dos variables libres. ¿Pueden cambiarse algunas constantes en los miembros derechos de las ecuaciones de tal manera
que el nuevo sistema resulte inconsistente? Explique su respuesta.
Resolución:
No. Considere el sistema 𝐴𝐱 = 𝐛, donde 𝐴 es una matriz de 6 × 8. El problema establece que dim Nul 𝐴 = 2. Por el
teorema del rango, rango 𝐴 = 8 − dim Nul 𝐴 = 6. Por lo tanto, dim Col 𝐴 = rango 𝐴 = 6, y dado que Col 𝐴 es un
subespacio de ℝ6 , Col 𝐴 = ℝ6 . Entonces, cada vector 𝐛 en ℝ6 también está en Col 𝐴, y 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene una solución para
todo 𝐛. Por lo tanto, es imposible cambiar las entradas en 𝐛 para convertir 𝐴𝐱 = 𝐛 en un sistema inconsistente.
Ejercicio 117. Suponga que un sistema no homogéneo de nueve ecuaciones lineales con diez incógnitas tiene una
solución para todas las posibles constantes de los miembros derechos de las ecuaciones. ¿Pueden encontrarse dos
soluciones distintas de cero del sistema homogéneo asociado que no sean múltiplos una de la otra? Analice el
planteamiento.
Resolución:
No. Considere el sistema 𝐴𝐱 = 𝐛, donde 𝐴 es una matriz de 9 × 10. Dado que el sistema tiene una solución para todos
los 𝐛 en ℝ9 , 𝐴 debe tener un pivote en cada fila y, por lo tanto, rango 𝐴 = 9. Según el teorema de rango, dim Nul 𝐴 =
10 − 9 = 1. Por lo tanto, es imposible encontrar dos vectores linealmente independientes en Nul 𝐴.
Ejercicio 118. Sea una matriz 𝐴𝑚×𝑛 y a lo que suele denominarse subespacios fundamentales determinados por 𝐴.
Suponga que 𝐴 es una matriz de 𝑚 × 𝑛 y 𝐛 está en ℝ𝑚 . ¿Qué debe ser cierto acerca de los dos números rango [𝐴 𝐛] y
rango 𝐴 para que la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 sea consistente?
Resolución:
La ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 es consistente si y solo si rango [𝐴 𝐛] = rango 𝐴 porque los dos rangos serán igual si y solo si 𝐛
no es una columna pivote de [𝐴 𝐛].
Ejercicio 119. Las matrices con rango 1 son importantes para muchos algoritmos de computadora y en varios contextos
teóricos, incluyendo la descomposición en valores singulares. Puede demostrarse que una matriz 𝐴 de 𝑚 × 𝑛 tiene rango
1 si, y sólo si, es un producto exterior; es decir, 𝐴 = 𝐮𝐯 𝑻 para algunas 𝐮 en ℝ𝑚 y 𝐯 en ℝ𝑛 . Compruebe que rango 𝐮𝐯 𝑻 ≤
𝑎
2
1 si 𝐮 = [−3] y 𝐯 = [𝑏].
𝑐
5
Resolución:
2
2𝑎
2𝑏
2𝑐
Calcule que 𝐮𝐯 𝑇 = [−3] [𝑎 𝑏 𝑐 ] = [−3𝑎 −3𝑏 −3𝑐 ].Cada columna de 𝐮𝐯 𝑇 es un múltiplo de 𝐮, entonces
5
5𝑎
5𝑏
5𝑐
dim Col 𝐮𝐯 𝑇 = 1, a menos que 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 0, en cuyo caso 𝐮𝐯 𝑇 es la matriz cero 3×3 y dim Col 𝐮𝐯 𝑇 = 0. En cualquier
caso, rango 𝐮𝐯 𝑇 = dim Col 𝐮𝐯 𝑇 ≤ 1.
e.
113
7 −9 −4 5
3 −3 −7
−4 6
7 −2 −6 −5 5
Ejercicio 120. [Octave] Sea 𝐴 = 5 −7 −6 5 −6 2
8
−3 5
8 −1 −7 −4 8
[ 6 −8 −5 4
4
9
3]
a. Obtenga el rango de 𝐴 por método computacional.
b. Construya matrices 𝐶 y 𝑁 cuyas columnas sean bases para Col 𝐴 y Nul 𝐴, respectivamente, y construya una matriz
𝑅 cuyas filas formen una base para Fil 𝐴.
c. Construya una matriz 𝑀 cuyas columnas formen una base para Nul 𝐴𝑇 , forme las matrices 𝑆 = [𝑅𝑇 𝑁] y 𝑇 =
[𝐶 𝑀], y explique por qué 𝑆 y 𝑇 deben ser cuadradas. Compruebe que tanto 𝑆 como 𝑇 son invertibles.
Resolución:
a. Aplicando Octave el rango es 4.
b. Comience reduciendo 𝐴 a una forma escalonada reducida:
5
7 −9 −4 5
3 −3 −7
1 0 13/2 0
0 −3
1/2
−4 6
7 −2 −6 −5 5 𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 0 1 11/2 0
0 2
5 −7 −6 5 −6 2
8 →
0 0
1 −11/2 0 7
0
−3 5
8 −1 −7 −4 8
0
0 0
1 1
0
0
[ 6 −8 −5 4
[0 0
4
9
3]
0
0 0]
0
0
Una base para Col 𝐴 son las columnas pivote de 𝐴, por lo que la matriz 𝐶 contiene estas columnas:
7 −9 5 −3
−4 6 −2 −5
𝐶 = 5 −7 5
2
−3 5 −1 −4
[ 6 −8 4
9]
Una base para la Fil 𝐴 son las filas pivote de la forma escalonada reducida de 𝐴, por lo que la matriz 𝑅 contiene estas
filas:
5
1 0 13/2 0
0 −3
1/2
0
1
0
0 2]
11/2
𝑅=[
0 0
1 −11/2 0 7
0
0 0
0
1 1
0
0
Para encontrar una base para Nul 𝐴 reduzca por filas a una forma escalonada, tenga en cuenta que la solución a 𝐴𝐱 = 𝟎
en
13
términos de variables libres es 𝑥1 = − ( ) 𝑥3 − 5𝑥5 + 3𝑥7 , 𝑥2 = −(11/2)𝑥3 − (1/2)𝑥5 − 2𝑥7 , 𝑥4 = (11/2)𝑥5 −
2
7𝑥7 , 𝑥6 = −𝑥7 , con 𝑥3 , 𝑥5 y 𝑥7 libres. Por lo tanto, la matriz 𝑁 es
−5
−13/2
3
−1/2
−2
−11/2
0
0
1
11/2 −7
𝑁=
0
0
0
1
−1
0
0
[ 0
1]
0
𝑇
c. La forma escalonada reducida para 𝐴 es
7 −4 5 −3 6
1 0 0 0 −2/11
−9 6 −7 5 −8
0 1 0 0 −41/11
0
−4 7 −6 8 −5 𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 0 0 1 0
0 0 0 1 28/11
5 −2 5 −1 4 →
0 0 0 0
3 −6 −6 −7 4
0
0 0 0 0
−3 −5 2 −4 9
0
[−7 5
[0 0 0 0
8
3]
8
0 ]
entonces la solución a 𝐴𝑇 𝐱 = 𝟎𝐴 en términos de variables libres es 𝑥1 = (2/11)𝑥5 , 𝑥2 = (41/11)𝑥5 , 𝑥3 = 0, 𝑥4 =
−(28/11)𝑥5 , con 𝑥5 libre. Por lo tanto, la matriz 𝑀 es
2/11
41/11
𝑀=
0
−28/11
[ 1 ]
La matriz 𝑆 = [𝑅𝑇 𝑁] es de 7 × 7 porque las columnas de 𝑅𝑇 y 𝑁 están en ℝ7 y dim Fil 𝐴 + dim Nul 𝐴 = 7. La matriz
𝑇 = [𝐶 𝑀] es 5 × 5 porque las columnas de 𝐶 y 𝑀 están en ℝ5 y dim Col 𝐴 + dim Nul 𝐴𝑇 = 5. Tanto 𝑆 como 𝑇 son
invertibles porque sus columnas son linealmente independientes.
114
Código en Octave
Punto a.
>> A=[7 -9 -4 5 3 -3 -7; -4 6 7 -2 -6 -5 5; 5 -7 -6 5 -6 2 8; -3 5 8 -1 -7 -4 8; 6 -8 -5 4 4 9 3]
A =
7 -9 -4
5
3 -3 -7
-4
6
7 -2 -6 -5
5
5 -7 -6
5 -6
2
8
-3
5
8 -1 -7 -4
8
6 -8 -5
4
4
9
3
>> rank(A)
ans = 4
Punto b.
>> rats(rref(A))
ans =
1
0
13/2
0
5
0
-3
0
1
11/2
0
1/2
0
2
0
0
0
1
-11/2
0
7
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
Punto c.
>> AT=transpose (A)
AT =
7 -4
5 -3
6
-9
6 -7
5 -8
-4
7 -6
8 -5
5 -2
5 -1
4
3 -6 -6 -7
4
-3 -5
2 -4
9
-7
5
8
8
3
>> rats(rref(AT))
ans =
1
0
0
0
-2/11
0
1
0
0
-41/11
0
0
1
0
0
0
0
0
1
28/11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Cambio de base
Considere dos bases 𝔙 = { 𝐛1 , 𝐛2 } y 𝒞 = {𝐜1 , c2 } para un espacio vectorial 𝑉, tales que
𝐛1 = 4𝐜1 + 𝐜2 y 𝐛2 = −6𝐜1 + 𝐜2
Suponga que 𝐱 = 3𝐛1 + 𝐛2
3
Esto es suponga que [𝐱]𝔙 = [ ]. Encuentre [𝐱]𝒞 .
1
Resolución:
Aplique la función de coordenadas determinada mediante 𝒞 a 𝐱 en 𝐱 = 3𝐛1 + 𝐛2 . Como la función de coordenadas es
una transformación lineal,
[𝐱]𝒞 = [3𝐛1 + 𝐛2 ]𝒞
3[𝐛1 ]𝒞 + [𝐛2 ]𝒞
Esta ecuación vectorial puede escribirse como una ecuación matricial, usando los vectores de la combinación lineal como
las columnas de una matriz:
3
[𝐱]𝒞 = [[𝐛1 ]𝒞 [𝐛2 ]𝒞 ] [ ]
1
De esta fórmula se obtiene [x]C, una vez que se conocen las columnas de la matriz. De 𝐛1 = 4𝐜1 + 𝐜2 y 𝐛2 = −6𝐜1 +
𝐜2 se tiene que
4
−6
[𝐛1 ]𝒞 = [ ]
[𝐛2 ]𝒞 = [ ]
1
1
3
]
[𝐛
]
[𝐱]
[[𝐛
]
Entonces 𝒞 =
1 𝒞
2 𝒞 [ ] proporciona la solución:
1
4 −6 3
6
[𝐱]𝒞 = [
][ ] = [ ]
1 1 1
4
Ejercicio 121.
115
Las 𝒞-coordenadas de 𝐱 coinciden con las de las de 𝐱 en la figura
Ejercicio 122. Describa el teorema de cambio de base
Resolución:
Sean 𝔙 = {𝐛1 , … , 𝐛𝑛 } y 𝒞 = {𝐜1 , … , 𝐜𝑛 } las bases de un espacio vectorial 𝑉. Entonces existe una sola matriz 𝑃C←𝔙 de
𝑛 × 𝑛 denominada matriz de cambio de coordenadas de 𝖁 a 𝓒 tal que
[𝐱]𝒞 = 𝑃C←𝔙 [𝐱]𝔙
Las columnas de 𝑃C←𝔙 son los vectores de 𝒞 -coordenadas de los vectores de la base 𝔙. Esto es,
𝑃C←𝔙 = [[𝐛1 ]𝒞 [𝐛2 ]𝒞 … [𝐛𝑛 ]𝒞 ]
Para dos sistemas de coordenadas para 𝑉 esto puede ilustrarse en la figura
Como 𝑃C←𝔙 es cuadrada, debe ser invertible, según el teorema de la matriz invertible. Al multiplicar por la izquierda
ambos lados de [𝐱]𝒞 = 𝑃C←𝔙 [𝐱]𝔙 por (𝑃C←𝔙 )−1 se obtiene
(𝑃C←𝔙 )−1 [𝐱]𝒞 = (𝑃C←𝔙 )−1 𝑃C←𝔙 [𝐱]𝔙
(𝑃C←𝔙 )−1 [𝐱]𝒞 = 𝐼[𝐱]𝔙
−1
Entonces (𝑃C←𝔙 ) es la matriz que convierte 𝒞-coordenadas en 𝔙-coordenadas. Esto es,
(𝑃C←𝔙 )−1 = 𝑃𝔙←𝒞
−9
1
3
−5
Ejercicio 123. Sean 𝐛1 = [ ], 𝐛2 = [ ], 𝐜1 = [ ], 𝐜2 = [ ], y considere las bases para ℝ2 dadas por 𝔙 =
1
−4
−5
−1
{ 𝐛1 , 𝐛2 } y 𝒞 = {𝐜1 , c2 }. Encuentre
a. La matriz de cambio de coordenadas de 𝔙 a 𝒞.
b. La matriz de cambio de coordenadas de 𝒞 a 𝔙.
Resolución:
𝑦1
𝑥1
a. La matriz 𝑃C←𝔙 incluye los vectores de 𝒞 -coordenadas de 𝐛1 y 𝐛2 . Sea [𝐛1 ]𝒞 = [𝑥 ] y [𝐛2 ]𝒞 = [𝑦 ]. Entonces, por
2
2
definición,
𝑦1
𝑥
[𝐜1 𝐜2 ] [𝑥1 ] = 𝐛1 y [𝐜1 𝐜2 ] [𝑦 ] = 𝐛2
2
2
Para resolver simultáneamente ambos sistemas, aumente la matriz de coeficientes con 𝐛1 y con 𝐛2 y reduzca por filas:
1
[𝐜1
𝐜2
𝐛1
1
𝐛2 ] = [
−4
3
−5
−5 𝑓2 →𝑓2+4𝑓1 1 3 −9
]→
[
0 7 −35
−1
𝑓1 →𝑓1 −3𝑓2 1 0
6
4
→
[
]
0 1 −5 −3
−9
1
Entonces
6
4
] y [𝐛2 ]𝒞 = [ ]
−5
−3
La matriz de cambio de coordenadas deseada es, por lo tanto,
6
4
𝑃𝔙←𝒞 = [[𝐛1 ]𝒞 [𝐛2 ]𝒞 ] = [
]
−5 −3
[𝐛1 ]𝒞 = [
116
−5 𝑓2 →7𝑓2 1
]→
[
0
−21
3
1
−9
−5
−5
]
−3
b. Se puede obtener la inversa por cualquier método, como determinantes
1
1
1 −3/2 5/2
−3 5
−3 5
𝑃C←𝔙 = (𝑃𝔙←𝒞 )−1 =
[
]=
[
]= [
]
3
det 𝑃𝔙←𝒞 −4 6
−18 + 20 −4 6
2 −2
Ejercicio 124. Sean 𝔙 = { 𝐛1 , 𝐛2 } y 𝒞 = {𝐜1 , 𝐜2 } bases para un espacio vectorial 𝑉, y suponga que 𝐛𝟏 = 6𝐜𝟏 − 2𝐜𝟐
y 𝐛𝟐 = 9𝐜𝟏 − 4𝐜𝟐 .
a. Encuentre la matriz de cambio de coordenadas de 𝔙 a 𝒞.
b. Encuentre [𝐱]𝒞 para 𝐱 = −3𝐛𝟏 + 2𝐛𝟐 . Use el inciso a.
Resolución:
6
9
6
9
a. Ya que 𝐛𝟏 = 6𝐜𝟏 − 2𝐜𝟐 y 𝐛𝟐 = 9𝐜𝟏 − 4𝐜𝟐 , [𝐛1 ]𝒞 = [ ], [𝐛2 ]𝒞 = [ ], y 𝑃C←𝔙 = [
]
−2
−4
−2 −4
−3
b. Como 𝐱 = −3𝐛𝟏 + 2𝐛𝟐 , [𝐱]𝔙 = [ ] y
2
6
9 −3
0
[𝐱]𝒞 = 𝑃C←𝔙 [𝐱]𝔙 = [
][ ] = [ ]
−2 −4 2
−2
Ejercicio 125. Sean 𝔙 = { 𝐛1 , 𝐛2 } y 𝒞 = {𝐜1 , c2 } bases para un espacio vectorial 𝑉, y suponga que 𝐛𝟏 = −𝐜𝟏 + 4𝐜𝟐
y 𝐛𝟐 = 5𝐜𝟏 − 3𝐜𝟐 .
a. Encuentre la matriz de cambio de coordenadas de 𝔙 a 𝒞.
b. Encuentre [𝐱]𝒞 para 𝐱 = 5𝐛𝟏 + 3𝐛𝟐 .
Resolución:
−1
−1 5
5
a. Ya que 𝐛𝟏 = −𝐜𝟏 + 4𝐜𝟐 y 𝐛𝟐 = 5𝐜𝟏 − 3𝐜𝟐 , [𝐛1 ]𝒞 = [ ], [𝐛2 ]𝒞 = [ ], y 𝑃C←𝔙 = [
]
4
4 −3
−3
5
b. Como 𝐱 = 5𝐛𝟏 + 3𝐛𝟐 , [𝐱]𝔙 = [ ] y
3
−1 5 5
10
[𝐱]𝒞 = 𝑃C←𝔙 [𝐱]𝔙 = [
][ ] = [ ]
4 −3 3
11
Ejercicio 126. Sean 𝒰 = { 𝐮1 , 𝐮2 } y 𝒲 = { w1 , w2 } bases para 𝑉, y sea 𝑃 una matriz cuyas columnas son [ 𝐮1 ]𝒲 y
[ 𝐮2 ]𝒲 . ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es satisfecha por 𝑃 para toda 𝐱 en 𝑉?
(i) [𝐱]𝒰 = 𝑃[𝐱]𝒲
(ii) [𝐱]𝒲 = 𝑃[𝐱]𝒰
Resolución:
La ecuación (ii) es satisfecha por 𝑃 para todo 𝐱 en 𝑉.
Ejercicio 127. Sean 𝒜 = { 𝐚𝟏 , 𝐚𝟐 , 𝐚𝟑 } y 𝒟 = { 𝐝𝟏 , 𝐝𝟐 , 𝐝𝟑 } bases para 𝑉, y sea 𝑃 = [[ 𝐝𝟏 ]𝒜 [ 𝐝𝟐 ]𝒜 [ 𝐝𝟑 ]𝒜 ]. ¿Cuál
de las siguientes ecuaciones es satisfecha por 𝑃 para toda 𝐱 en 𝑉?
(i) [𝐱]𝒜 = 𝑃[𝐱]𝒟
(ii) [𝐱]𝒟 = 𝑃[𝐱]𝒜
Resolución:
La ecuación (i) es satisfecha por 𝑃 para todo 𝐱 en 𝑉.
Ejercicio 128. Sean 𝒜 = { 𝐚𝟏 , 𝐚𝟐 , 𝐚𝟑 } y ℬ = { 𝐛𝟏 , 𝐛𝟐 , 𝐛𝟑 } bases para un espacio vectorial 𝑉, y suponga que 𝐚𝟏 =
𝟒𝐛𝟏 − 𝐛𝟐 , 𝐚𝟐 = −𝐛𝟏 + 𝐛𝟐 + 𝐛𝟑 y 𝐚𝟑 = 𝐛𝟐 − 𝟐𝐛𝟑 .
a. Encuentre la matriz de cambio de coordenadas de 𝒜 a ℬ.
b. Encuentre [𝐱]ℬ para 𝐱 = 3𝐚𝟏 + 4𝐚𝟐 + 𝐚𝟑 .
Resolución:
4
−1
0
a. Siendo que 𝐚𝟏 = 𝟒𝐛𝟏 − 𝐛𝟐 , 𝐚𝟐 = −𝐛𝟏 + 𝐛𝟐 + 𝐛𝟑 y 𝐚𝟑 = 𝐛𝟐 − 𝟐𝐛𝟑 , [𝐚𝟏 ]ℬ = [−1], [𝐚𝟐 ]ℬ = [ 1 ], [𝐚𝟑 ]ℬ = [ 1 ] y
0
1
−2
4 −1 0
𝑃𝔙←𝒜 = [−1 1
1 ].
0
1 −2
3
b. Siendo que 𝐱 = 3𝐚𝟏 + 4𝐚𝟐 + 𝐚𝟑 , [𝐱]𝒜 = [4] entonces
1
4 −1 0 3
8
[𝐱]ℬ = 𝑃𝔙←𝒜 [𝐱]𝒜 = [−1 1
1 ] [4] = [2]
0
1 −2 1
2
Ejercicio 129. [Octave] Sea ℬ = { 𝐱 𝟎 , . . . , 𝐱 𝟔 } y 𝒞 = { 𝐲𝟎 , . . . , 𝐲𝟔 } donde 𝐱 𝒌 es la función cos 𝑘 𝑡 y 𝐲𝑘 es la función
cos 𝑘𝑡. Tanto ℬ como 𝒞 son bases para el espacio vectorial 𝐻 = Gen{ 𝐱 𝟎 , . . . , 𝐱 𝟔 }.
a. Establezca 𝑃 = [[𝐲0 ]ℬ … [𝐲6 ]ℬ ] y calcule 𝑃 −1 .
b. Explique por qué las columnas de 𝑃 −1 son los vectores de 𝒞-coordenadas de 𝐱 𝟎 , . . . , 𝐱 𝟔 . Después use estos vectores
de coordenadas para escribir identidades trigonométricas que expresen potencias de cos 𝑡 en términos de las
funciones en 𝒞.
117
Resolución:
a. En el ejercicio 318 se obtuvo la 𝑃 dada,
1
0
0
𝑃= 0
0
0
[0
0
1
0
0
0
0
0
−1 0
0 −3
2
0
0
4
0
0
0
0
0
0
1
0
−8
0
8
0
0
0
−1
5
0
0
18
−20
0
0
−48
16
0
0
32 ]
con lo cual en Octave podemos obtener la inversa.
5/16
0
0
3/8
1 0 1/2
32 0 16 0 12 0 10
0
5/8
3/4
0
0
0 1
0 32 0 24 0 20 0
15/32
0
0
1/2
0 0 1/2
0 16 0 16 0 15
1 0
5/16
1/4
𝑃 −1 = 0 0
=
0
0
0
0
8
0 10 0
0
0
32 0
0 0
0
0
0
4
0
6
3/16
0
0
0
1/8
0 0
0
0
0
0
0
2
0
0
1/16
0
0
0
[0
0
0
0
0
0
1]
[0 0
1/32 ]
0
0
0
0
b. Como 𝑃 es la matriz de cambio de coordenadas de 𝒞 a ℬ, 𝑃 −1 será el cambio de coordenadas matriz de ℬ a 𝒞. Por el
teorema, las columnas de 𝑃 −1 serán los vectores de coordenadas C de los vectores de base en ℬ. Así
1
(32 cos 𝑡) = cos 𝑡
cos 𝑡 =
32
1
1
(16 + 16 cos 2𝑡) = (1 + cos 2𝑡)
cos 2 𝑡 =
32
2
1
1
3
(24 cos 𝑡 + 8 cos 3𝑡) = (3 cos 𝑡 + cos 3𝑡)
cos 𝑡 =
32
4
1
1
4
cos 𝑡 =
(12 + 16 cos 2𝑡 + 4 cos 4𝑡) = (3 + 4 cos 2𝑡 + cos 4𝑡)
32
8
1
1
5
cos 𝑡 =
= (20 cos 𝑡 + 10 cos 3𝑡 + 2 cos 5𝑡) =
(10 cos 𝑡 + 5 cos 3𝑡 + cos 5𝑡)
32
16
1
cos 6 𝑡 =
(10 + 15 cos 2𝑡 + 6 cos 4𝑡 + cos 6𝑡)
32
Código en Octave
>> P=[1 0 -1 0 1 0 -1; 0 1 0 -3 0 5 0; 0 0 2 0 -8 0 18; 0 0 0 4 0 -20 0; 0 0 0 0 8 0 -48; 0 0 0 0 0
16 0; 0 0 0 0 0 0 32]
P =
1
0
-1
0
1
0
-1
0
1
0
-3
0
5
0
0
0
2
0
-8
0
18
0
0
0
4
0 -20
0
0
0
0
0
8
0 -48
0
0
0
0
0
16
0
0
0
0
0
0
0
32
>> Pinv=inv(P)
Pinv =
1.00000 -0.00000
0.50000 -0.00000
0.37500 -0.00000
0.31250
0.00000
1.00000 -0.00000
0.75000 -0.00000
0.62500 -0.00000
0.00000
0.00000
0.50000 -0.00000
0.50000 -0.00000
0.46875
0.00000
0.00000
0.00000
0.25000 -0.00000
0.31250 -0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.12500 -0.00000
0.18750
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.06250 -0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.03125
>> PINV=rats(Pinv)
PINV =
1
-0
1/2
-0
3/8
-0
5/16
0
1
-0
3/4
-0
5/8
-0
0
0
1/2
-0
1/2
-0
15/32
0
0
0
1/4
-0
5/16
-0
0
0
0
0
1/8
-0
3/16
0
0
0
0
0
1/16
-0
0
0
0
0
0
0
1/32
Ejercicio 130.
[Octave] (Se requiere cálculo). Recuerde del cálculo que las integrales como
∫(5𝑐𝑜𝑠 3 𝑡 − 6𝑐𝑜𝑠 4 𝑡 + 5𝑐𝑜𝑠 5 𝑡 − 12𝑐𝑜𝑠 6 𝑡)𝑑𝑡
118
son tediosas de calcular. (El método acostumbrado es aplicar repetidamente integración por partes y utilizar la fórmula
para la mitad del ángulo.) Use las matrices 𝑃 o 𝑃−1 del ejercicio anterior para transformar la integral; luego determine la
integral.
Resolución:
0
0
0
El vector de coordenadas 𝒞 del integrando es 5 . Usando 𝑃 −1 del anterior ejercicio, el vector de coordenadas ℬ del
−6
5
[−12]
integrando será
−6
0 16 0 12 0 10 0
55/8
32 0 24 0 20 0
0
−69/8
0 16 0 16 0 15 0
0
0
8
0 10 0
5 = 45/16
0
0
0
4
0
6 −6
−3
5
5/16
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
1 ] [−12] [ −3/8 ]
Por lo tanto, la integral puede reescribirse como
55
69
45
5
3
∫ −6 +
cos 𝑡 −
cos 2𝑡 +
cos 3𝑡 − 3 cos 4𝑡 + cos 5𝑡 − cos 6𝑡 𝑑𝑡
8
8
16
16
8
Que es igual a
55
69
15
3
1
1
−6𝑡 +
sen 𝑡 −
sen 2𝑡 +
sen 3𝑡 − sen 4𝑡 +
sen 5𝑡 −
sen 6𝑡 + 𝐶
8
16
16
4
16
16
32
0
0
0
0
1 0
𝑃 −1 5 =
0
32 0
−6
5
0
[−12]
[0
Código en Octave
>> P=[1 0 -1 0 1 0 -1; 0 1 0 -3 0 5 0; 0 0 2 0 -8 0 18; 0 0 0 4 0 -20 0; 0 0 0 0 8 0 -48; 0 0 0 0 0
16 0; 0 0 0 0 0 0 32]
P =
1
0
-1
0
1
0
-1
0
1
0
-3
0
5
0
0
0
2
0
-8
0
18
0
0
0
4
0 -20
0
0
0
0
0
8
0 -48
0
0
0
0
0
16
0
0
0
0
0
0
0
32
>> vC=[0; 0; 0; 5; -6; 5; -12]
vC =
0
0
0
5
-6
5
-12
>> vB=inv(P)*vC
vB =
-6.00000
6.87500
-8.62500
2.81250
-3.00000
0.31250
-0.37500
>> rats(vB)
ans =
-6
55/8
-69/8
45/16
-3
5/16
-3/8
119
1
2 −1
−2
−7
−8
[Octave] Sean 𝑃 = [−3 −5 0 ], 𝐯1 = [ 2 ], 𝐯2 = [ 5 ], 𝐯3 = [ 2 ]
6
4
6
1
3
2
a. Encuentre una base {𝐮1 , 𝐮2 , 𝐮3 } para ℝ3 tal que 𝑃 sea la matriz de cambio de coordenadas de {𝐮1 , 𝐮2 , 𝐮3 } a la
𝑃
base {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 }. [Pista: ¿Qué representan las columnas de
?]
𝒞←𝔙
3
b. Encuentre una base {𝐰1 , 𝐰2 , 𝐰3 } para ℝ tal que 𝑃 sea la matriz de cambio de coordenadas de {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 } a la
base {𝐰1 , 𝐰2 , 𝐰3 }.
Resolución:
a. Si 𝒞 es la base {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 }, entonces las columnas de 𝑃 son [𝐮1 ]𝒞 , [𝐮2 ]𝒞 , y [𝐮3 ]𝒞 . Entonces 𝐮j = [𝐯1 𝐯2 𝐯3 ][𝐮1 ]𝒞 ,
y [𝐮1 𝐮2 𝐮3 ] = [𝐯1 𝐯2 𝐯3 ]𝑃. En el siguiente ejercicio,
−2 −8 −7 1
2 −1
−6 −6 −5
[𝐮1 𝐮2 𝐮3 ] = [ 2
5
2 ] [−3 −5 0 ] = [−5 −9 0 ]
3
2
6
4
6
1
21 32 3
b. Análogamente al punto a, [𝐯1 𝐯2 𝐯3 ] = [𝐰1 𝐰2 𝐰3 ]𝑃, entonces [𝐰1 𝐰2 𝐰3 ] = [𝐯1 𝐯2 𝐯3 ]𝑃 −1 , entonces
−2 −8 −7 1
2 −1 −1
−2 −8 −7 5
28 38 21
8
5
[𝐰1 𝐰2 𝐰3 ] = [ 2
5
2 ] [−3 −5 0 ] = [ 2
5
2 ] [−3 −5 −3] = [−9 −13 −7]
3
2
6
4
6
1
3
2
6 −2 −2 −1
−3
2
3
Ejercicio 131.
Código en Octave
>> V=[-2 -8 -7; 2 5 2; 3 2 6];
>> P=[1 2 -1; -3 -5 0; 4 6 1];
>> U=V*P
U =
-6
-6
-5
-5
-9
0
21
32
3
>> Pinv=inv(P)
Pinv =
5
8
5
-3 -5 -3
-2 -2 -1
>> W=V*Pinv
W =
28
38
21
-9 -13
-7
-3
2
3
[Octave] Sean 𝔙 = { 𝐛1 , 𝐛2 } y 𝒞 = {𝐜1 , c2 } bases para un espacio vectorial bidimensional.
𝑃
𝑃
𝑃
a. Escriba una ecuación que relacione las matrices
,
y
. Justifique el resultado.
𝒞←𝔙 𝒟←𝒞 𝒟←𝔙
b. Use Octave para encontrar la ecuación con mayor facilidad o para comprobar la que usted haya escrito. Trabaje con
tres bases para ℝ2 creadas a libertad.
Resolución
𝑃
𝑃
𝑃
𝑃
a.
=
.
. Sea 𝐱 cualquier vector en el espacio vectorial bidimensional. Si
es el cambio de
𝒟←𝔙 𝒟←𝒞 𝒞←𝔙
𝒞←𝔙
𝑃
coordenadas matriz de 𝔙 a 𝒞 y
es la matriz de cambio de coordenadas de 𝒞 a 𝒟, entonces
𝒟←𝒞
𝑃
𝑃
𝑃
𝑃
[𝐱]𝒞 =
[𝐱] y [𝐱]𝒟 =
[𝐱] =
[𝐱]
.
𝒞←𝔙 𝔙
𝒞←𝔙 𝒞 𝒟←𝒞 𝒞←𝔙 𝔙
𝑃
Pero si
es la matriz de cambio de coordenadas de 𝔙 a 𝒟,
𝒟←𝔙
𝑃
[𝐱]𝒟 =
[𝐱]
𝒟←𝔙 𝔙
Entonces
𝑃
𝑃
𝑃
[𝐱] =
[𝐱]
.
𝒟←𝔙 𝔙 𝒟←𝒞 𝒞←𝔙 𝔙
Para cualquier vector [𝐱]𝔙 en ℝ2 , y
𝑃
𝑃
𝑃
[𝐱] =
.
𝒟←𝔙 𝔙 𝒟←𝒞 𝒞←𝔙
7 −3
1
−2
−1
1
b. Por ejemplo, sean 𝔙 = {[ ] , [ ]}, 𝒞 = {[ ] , [ ]} y 𝒟 = {[ ] , [ ]}. Entonces podemos calcular las matrices
5 −1
−5
2
8
−5
de cambios de coordenadas:
Ejercicio 132.
120
𝑃
1 −2 7 −3 𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 1 0 −3 1
−3 1
[
]→
[
]→
=[
]
𝒞←𝔙
−5 2 5 −1
0 1 −5 2
−5 2
0 −8/3
−1 1
1 −2 𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 1 0 0 −8/3
𝑃
[
]→
[
]→
=[
]
1 −14/3
𝒟←𝒞
8 −5 −5 2
0 1 1 −14/3
40/3 −16/3
𝑃
−1 1 7 −3 𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 1 0 40/3 −16/3
[
]→
[
]→
=[
]
61/3 −25/3
𝒟←𝔙
8 −5 5 −1
0 1 61/3 −25/3
Se confirma fácilmente que
40/3 −16/3
0 −8/3 −3 1
𝑃
𝑃
𝑃
=[
]=[
][
]=
.
61/3 −25/3
1 −14/3 −5 2
𝒟←𝔙
𝒟←𝒞 𝒞←𝔙
Código en Octave
>> IPBC=rats(rref([1 -2 7 -3; -5 2 5 -1]))
IPBC =
1
0
-3
1
0
1
-5
2
>> IPCD=rats(rref([-1 1 1 -2; 8 -5 -5 2]))
IPCD =
1
0
0
-8/3
0
1
1
-14/3
>> IPBD=rats(rref([-1 1 7 -3; 8 -5 5 -1]))
IPBD =
1
0
40/3
-16/3
0
1
61/3
-25/3
%%Comprobación
>> PCD=[0 -8/3; 1 -14/3];
>> PBC=[-3 1; -5 2];
>> PBD=rats(PCD*PBC)
PBD =
40/3
-16/3
61/3
-25/3
Aplicaciones a cadenas de Markov
Ejercicio 133. Dado un modelo del movimiento de la población entre una ciudad y sus suburbios. (Vea la figura). La
migración anual entre estas dos partes de la región metropolitana estaba gobernada por la matriz de migración 𝑀:
𝐷𝑒
𝐴:
𝐶𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝑆𝑢𝑏𝑢𝑟𝑏𝑖𝑜𝑠
𝑀=
𝐶𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑
. 95 . 03
[
]
𝑆𝑢𝑏𝑢𝑟𝑏𝑖𝑜𝑠
. 05 . 97
Esto es, cada año el 5% de la población de la ciudad se muda a los suburbios y el 3% de la población de los suburbios se
muda a la ciudad. Las columnas de 𝑀 son vectores de probabilidad, así que 𝑀 es una matriz estocástica. Suponga que la
población de la región en el año 2000 es de 600000 habitantes en la ciudad y 400000 en los suburbios. Entonces la
distribución inicial de la población en la región está dada por 𝐱 0 en. ¿Cuál es la distribución de la población en 2001?
¿En 2002?
Resolución:
Un vector con entradas no negativas que suman 1 se llama vector de probabilidad. Una matriz estocástica es una matriz
cuadrada cuyas columnas son vectores de probabilidad. Una cadena de Markov es una sucesión de vectores de
probabilidad 𝐱 0 , 𝐱1 , 𝐱 2 , ... , junto con una matriz estocástica 𝑃, tal que
𝐱1 = 𝑃𝐱 0 , 𝐱 2 = 𝑃𝐱1 ,
𝐱 3 = 𝑃𝐱 2 , …
Entonces la cadena de Markov se describe mediante la ecuación en diferencias de primer orden
𝐱 𝑘+1 = 𝑃𝐱 𝑘 , para 𝑘 = 0, 1, 2, …
121
Cuando una cadena de Markov de vectores en ℝ𝑛 describe un sistema o una sucesión de experimentos, las entradas en
𝐱 𝑘 enumeran, respectivamente, las probabilidades de que el sistema esté en cada uno de 𝑛 estados posibles o que el
resultado de un experimento sea uno de los 𝑛 posibles resultados. Por esta razón, frecuentemente se llama a 𝐱 𝑘 vector de
estado.
Entonces, comenzando con el problema:
600000
Después de un año el vector inicial de población 𝐱 0 = [
] cambió a
400000
0,95 0,03 600000
582000
𝐱1 = 𝑃𝐱 0 = [
][
]=[
]
0,05 0,97 400000
418000
Al dividir ambos lados de esta ecuación entre la población total de un millón, y utilizar el hecho que 𝑘𝑀𝐱 = 𝑀(𝑘𝐱), se
tiene
0,95 0,03 0,600
0,582
[
][
]=[
]
0,05 0,97 0,400
0,418
0,582
El vector 𝐱1 = [
] proporciona la distribución de población en 2001. Esto es, el 58.2% de la población de la región
0,418
vivía en la ciudad y el 41.8% vivía en los suburbios. De manera similar, la distribución de la población en 2002 se describe
mediante un vector 𝐱 2 , donde
0,95 0,03 0,582
0,565
𝐱 2 = 𝑀𝐱1 = [
][
]=[
]
0,05 0,97 0,418
0,435
Ejercicio 134. Suponga que los resultados de la votación en una elección al congreso estadounidense en cierto distrito
electoral están representados mediante un vector 𝐱 en ℝ3 :
porcentaje que vota por los democratas (D)
𝐱 = [porcentaje que vota por los repulicanos (R)]
porcentaje que vota por los libertarios (L)
Suponga que se registran los resultados de la elección al congreso cada
dos años mediante un vector de este tipo y que el resultado de una
elección depende solamente de los resultados de la elección anterior.
Entonces la sucesión de vectores que describe los votos cada dos años
puede ser una cadena de Markov. Como ejemplo de matriz estocástica
𝑃 para esta cadena, se toma
De:
𝑁
𝐴:
D
R
L
𝐷
𝑃 = . 70 . 10 . 30
[. 20 . 80 . 30] 𝑅
𝐿
. 10 . 10 . 40
Las entradas incluidas en la primera columna, etiquetada como D, describen lo que las personas que votan por demócratas
en una elección harán en la siguiente elección. Aquí se ha supuesto que el 70% de las personas votará D nuevamente, el
20% votará R, y un 10% votará L. Para las demás columnas de P se proporciona una interpretación similar. En la figura
de arriba se presenta un diagrama para esta matriz. Si los porcentajes de “transición” permanecen constantes durante
muchos años, de una elección a la siguiente, entonces la sucesión de vectores que proporcionan los resultados de las
votaciones forma una cadena de Markov. Suponga que en una elección los resultados están dados por
. 55
𝐱 0 = [. 40]
. 05
Determine el resultado probable para la siguiente elección y para la elección sucesiva.
Resolución:
Los resultados de la siguiente elección se describen mediante el vector de estado 𝐱1 y los de la elección posterior por
medio de 𝐱 2 , donde
0,70 0,10 0,3 0,55
0,440
44,0% votarán D.
𝐱1 = 𝑃𝐱 0 = [0,20 0,80 0,3] [0,40] = [0,445] 44,5% votarán R.
0,10 0,10 0,4 0,05
0,115
11,5% votarán L.
0,70 0,10 0,3 0,440
0,3870
38,7% votarán D.
𝐱 2 = 𝑃𝐱1 = [0,20 0,80 0,3] [0,445] = [0,4785] 47,8% votarán R.
0,10 0,10 0,4 0,115
0,1345
13,5% votarán L.
Para entender por qué 𝐱1 proporciona realmente los resultados de la siguiente elección, suponga que 1000 personas
votaron en la “primera” elección, con 550 votantes a favor de D, 400 a favor de R, y 50 a favor de L. (Vea los porcentajes
en 𝐱 0 .) En la siguiente elección, el 70% de los 550 votará D de nuevo, el 10% de los 400 cambiará de R a D, y el 30% de
los 50 cambiará de L a D. Entonces el total de votos para D será
122
0,70. (550) + 0,10. (400) + 0,30. (50) = 385 + 40 + 15 = 440
Así que el 44% de los votos en la próxima elección será para el candidato D. El cálculo de arriba es, esencialmente, el
mismo que se usó para determinar la primera entrada de 𝐱1 . Pueden realizarse cálculos análogos para las otras entradas
de 𝐱1 , para las entradas de 𝐱 2 , y así sucesivamente.
0,5 0,2 0,3
1
Ejercicio 135. [Octave] Sea 𝑃 = [0,3 0,8 0,3] y 𝐱 0 = [0]. Considere un sistema cuyo estado se describe mediante
0,2 0 0,4
0
la cadena de Markov 𝐱 𝑘+1 = 𝑃𝐱 𝑘 para 𝑘 = 0, 1, 2 … . ¿Qué le sucede al sistema con el paso del tiempo? Para encontrar
la respuesta, determine los vectores de estado 𝐱1 , … , 𝐱15.
Resolución:
Si 𝑃 es una matriz estocástica, entonces un vector de estado estacionario (o vector de equilibrio) para 𝑃 es un vector
de probabilidad q tal que
𝑃𝐪 = 𝐪
Puede mostrarse que cada matriz estocástica tiene un vector de estado estacionario.
Utilizando Octave para los cálculos se tiene
0,5 0,2 0,3 1
0,5
𝐱1 = 𝑃𝐱 0 = [0,3 0,8 0,3] [0] = [0,3]
0,2 0 0,4 0
0,2
0,37
0,5 0,2 0,3 0,5
𝐱 2 = 𝑃𝐱1 = [0,3 0,8 0,3] [0,3] = [0,45]
0,18
0,2 0 0,4 0,2
0,329
0,5 0,2 0,3 0,37
𝐱 3 = 𝑃𝐱 2 = [0,3 0,8 0,3] [0,45] = [0,525]
0,146
0,2 0 0,4 0,18
Los resultados de los cálculos posteriores se presentan enseguida, con entradas redondeadas a cuatro o cinco cifras
significativas. Con lo cual
0,3133
0,3064
0,3032
0,3016
𝐱 4 = [0,5625] , 𝐱 5 = [0,5813] , 𝐱 6 = [0,5906] , 𝐱 7 = [0,5953]
0,1242
0,1123
0,1062
0,1031
0,3008
0,3004
0,3002
0,3001
𝐱 8 = [0,5977] , 𝐱 9 = [0,5988] , 𝐱10 = [0,5994] , 𝐱11 = [0,5997]
0,1016
0,1008
0,1004
0,1002
0,30002
0,30001
0,30001
0,30005
𝐱12 = [0,59985] , 𝐱13 = [0,59993] , 𝐱14 = [0,59996] , 𝐱15 = [0,59998]
0,10005
0,10002
0,10001
0,10010
0,3
Estos vectores parecen tender a 𝐪 = [0,6]. Las probabilidades apenas cambian de un valor de 𝑘 al próximo. Observe que
0,1
el cálculo siguiente es exacto (sin error de redondeo):
0,3
0,5 0,2 0,3 0,3
0,15 + 0,12 + 0,3
𝑃𝐪 = [0,3 0,8 0,3] [0,6] = [0,09 + 0,48 + 0,03] = [0,6] = 𝐪
0,1
0,2 0 0,4 0,1
0,06 + 0 + 0,04
Cuando el sistema está en estado 𝐪, no hay cambio en el sistema de una medición a la siguiente. Se observa entonces que
𝐪 es el vector estacionario.
Código en Octave
>> P=[0.5 0.2 0.3; 0.3 0.8 0.3; 0.2 0 0.4]
P =
0.50000
0.20000
0.30000
0.30000
0.80000
0.30000
0.20000
0.00000
0.40000
>> x0=[1;0;0]
x0 =
1
0
0
>> x1=P*x0
x1 =
0.50000
0.30000
0.20000
123
>> x2=P*x1
x2 =
0.37000
0.45000
0.18000
>> x3=P*x2
x3 =
0.32900
0.52500
0.14600
>> x4=P*x3
x4 =
0.31330
0.56250
0.12420
>> x5=P*x4
x5 =
0.30641
0.58125
0.11234
>> x6=P*x5
x6 =
0.30316
0.59062
0.10622
>> x7=P*x6
x7 =
0.30157
0.59531
0.10312
>> x8=P*x7
x8 =
0.30078
0.59766
0.10156
>> x9=P*x8
x9 =
0.30039
0.59883
0.10078
>> x10=P*x9
x10 =
0.30020
0.59941
0.10039
>> x11=P*x10
x11 =
0.30010
0.59971
0.10020
>> x12=P*x11
x12 =
0.30005
0.59985
0.10010
>> x13=P*x12
x13 =
0.30002
0.59993
0.10005
>> x14=P*x13
x14 =
0.30001
0.59996
0.10002
>> x15=P*x14
x15 =
0.30001
0.59998
124
0.10001
1
Ejercicio 136.
Sea 𝑃 = [
0,6
0,4
0,3
]. Encuentre un vector de estado estacionario para 𝑃.
0,7
Resolución:
Primero, resuelva la ecuación 𝑃𝐱 = 𝐱.
𝑃𝐱 − 𝐱 = 𝟎
𝑃𝐱 − 𝐼𝐱 = 𝟎
(𝑃 − 𝐼)𝐱 = 𝟎
Para la P mencionada,
0,6 0,3
−0,4 0,3
1 0
]−[
]=[
]
0,4 0,7
0,4 −0,3
0 1
Para encontrar las soluciones de (𝑃 − 𝐼)𝐱 = 𝟎, reduzca por filas la matriz aumentada [𝑃 − 𝐼
𝑃−𝐼 =[
−0,4
[
0,4
0,3
−0,3
0 𝑓1 =𝑓1 −𝑓2 −0,4
]→
[
0
0
5
𝑓1 =− 𝑓1
2
0,3 0
]→
0 0
3
3/4
Entonces 𝑥1 = 𝑥2 y 𝑥2 es libre. La solución general es 𝑥2 = [
].
4
1
[
1
0
−3/4
0
Enseguida, elija una base sencilla para el espacio solución. Una selección evidente es [
𝟎]:
0
]
0
3/4
], pero una mejor elección sin
1
3
fracciones es 𝐰 = [ ] (la cual corresponde a 𝑥2 = 4).
4
Por último, encuentre un vector de probabilidad en el conjunto de todas las soluciones de 𝑃𝐱 = 𝐱. Este proceso es fácil,
puesto que cada solución es un múltiplo de la 𝐰 anterior. Divida 𝐰 entre la suma de sus entradas y obtenga
3/7
𝐪=[
]
4/7
Como comprobación, calcule
6/10 3/10 3/7
18/70 + 12/70
30/70
𝑃𝐪 = [
][
]=[
]=[
]=𝐪
4/10 7/10 4/7
12/70 + 28/70
40/70
Ejercicio 137. Un animal de laboratorio puede comer cualquiera de tres alimentos cada día. Los registros del
laboratorio muestran que, si el animal elige un alimento en un ensayo, hay una probabilidad del 50% de que prefiera el
mismo alimento en el siguiente ensayo, y elegirá los otros alimentos con probabilidades iguales del 25%.
a. ¿Cuál es la matriz estocástica para esta situación?
b. Si el animal elige el alimento #1 en un ensayo inicial, ¿cuál es la probabilidad de que prefiera el alimento #2 en el
segundo ensayo después del ensayo inicial?
Resolución:
a. Sean los alimentos denominados “1”, “2” y “3”. Entonces el comportamiento de los animales se representa por la tabla
1
2
3
A:
0,5
0,25
0,25
1
0,25
0,5
0,25
2
0,25
0,25
0,5
3
Con lo cual la matriz estocástica es
0,5 0,25 0,25
𝑃 = [0,25 0,5 0,25]
0,25 0,25 0,5
1
b. Hay dos pruebas después de la prueba inicial, por lo que calculamos 𝑥2 . El vector de estado inicial es [0].
0
0,5 0,25 0,25 1
0,5
𝐱1 = 𝑃𝐱 0 = [0,25 0,5 0,25] [0] = [0,25]
0,25 0,25 0,5 0
0,25
0,5 0,25 0,25 0,5
0,375
𝐱 2 = 𝑃𝐱1 = [0,25 0,5 0,25] [0,25] = [0,3125]
0,25 0,25 0,5 0,25
0,3125
Entonces, la probabilidad de que el animal escoja el alimento #2 es del 31,25%. (0,3125)
Ejercicio 138. En un día determinado, un estudiante está sano o enfermo. De los estudiantes que están sanos hoy, el
95% lo estará mañana. De los que están enfermos hoy, el 55% seguirá enfermo mañana.
a. ¿Cuál es la matriz estocástica para esta situación?
125
b.
Suponga que el lunes el 20% de los estudiantes está enfermo. ¿Qué fracción o porcentaje de los estudiantes es
probable que siga enfermo el martes? ¿El miércoles?
c. Si un estudiante está bien hoy, ¿cuál es la probabilidad de que siga bien dentro de dos días?
Resolución:
a. Sea 𝑆 la representación "Saludable" y 𝐿 la representación para "Lo estará". Se representa la tabla
2
3
A:
0,25
0,25
1
0,5
0,25
2
0,95 0,45
Entonces la matriz estocástica es 𝑃 = [
]
0,05 0,55
0,8
b. Como el 20% de los estudiantes están enfermos el lunes, el vector de estado inicial es 𝐱 0 = [ ]. Para los porcentajes
0,2
del martes, calculamos 𝐱1 ; para los porcentajes del miércoles, calculamos 𝐱 2 :
0,95 0,45 0,8
0,85
𝐱1 = 𝑃𝐱 0 = [
][ ] = [
]
0,05 0,55 0,2
0,15
0,95 0,45 0,85
0,875
𝐱 2 = 𝑃𝐱1 = [
][
]=[
]
0,05 0,55 0,15
0,125
Así, el 15% de los estudiantes estarán enfermos el martes y el 12.5% estarán enfermos el miércoles.
1
c. Como el estudiante está bien hoy, el vector de estado inicial es 𝐱 0 = [ ]. Calculamos 𝐱 2 :
0
0,95 0,45 1
0,95
𝐱1 = 𝑃𝐱 0 = [
][ ] = [
]
0,05 0,55 0
0,05
0,95 0,45 0,95
0,925
𝐱 2 = 𝑃𝐱1 = [
][
]=[
]
0,05 0,55 0,05
0,075
Por lo tanto, la probabilidad de que el estudiante esté bien dentro de dos días es del 92,5% (0,925).
Ejercicio 139. En los siguientes puntos encuentre el vector estacionario para las matrices estocásticas dadas
0,1 0,6
a. [
]
0,9 0,4
0,8 0,5
b. [
]
0,2 0,5
0,7 0,1 0,1
c. [0,2 0,8 0,2]
0,1 0,1 0,7
0,7 0,2 0,2
d. [ 0 0,2 0,4]
0,3 0,6 0,4
Resolución:
0,1 0,6
1 0
a. Resolvemos 𝑃𝐱 = 𝐱 reescribiendo la ecuación como (𝑃 − 𝐼)𝐱 = 𝟎, donde 𝑃 − 𝐼 = [
]−[
]=
0,9 0,4
0 1
−0,9 0,6
[
]. Reduciendo por filas la matriz aumentada para el sistema homogéneo (𝑃 − 𝐼)𝐱 = 𝟎 da
0,9 −0,6
−0,9 0,6 0
1 −2/3 0
[
]→[
]
0,9 −0,6 0
0
0
0
𝑥1
2/3
2
2
Por lo tanto 𝐱 = [𝑥 ] = 𝑥2 [
], y una solución es [ ]. Desde las entradas en [ ] suman 5, multiplicando por 1/5 para
2
3
3
1
2/5
0,4
obtener el vector de estado estacionario 𝐪 = [
] = [ ].
3/5
0,6
0,8 0,5
1 0
b. Resolvemos 𝑃𝐱 = 𝐱 reescribiendo la ecuación como (𝑃 − 𝐼)𝐱 = 𝟎, donde 𝑃 − 𝐼 = [
]−[
]=
0,2 0,5
0 1
−0,2 0,5
[
]. Reduciendo por filas la matriz aumentada para el sistema homogéneo (𝑃 − 𝐼)𝐱 = 𝟎 da
0,2 −0,5
−0,2 0,5 0
1 −5/2 0
[
]→[
]
0,2 −0,5 0
0
0
0
𝑥1
5/2
5
5
Por lo tanto 𝐱 = [𝑥 ] = 𝑥2 [
], y una solución es [ ]. Desde las entradas en [ ] suman 7, multiplicando por 1/7 para
2
2
2
1
5/7
0,714
obtener el vector de estado estacionario 𝐪 = [
]=[
].
2/7
0,286
126
0,7 0,1 0,1
1 0 0
c. Resolvemos 𝑃𝐱 = 𝐱 reescribiendo la ecuación como (𝑃 − 𝐼)𝐱 = 𝟎, donde 𝑃 − 𝐼 = [0,2 0,8 0,2] − [0 1 0] =
0,1 0,1 0,7
0 0 1
−0,3 0,1
0,1
[ 0,2 −0,2 0,2 ]. Reduciendo por filas la matriz aumentada para el sistema homogéneo (𝑃 − 𝐼)𝐱 = 𝟎 da
0,1
0,1 −0,3
−0,3 0,1
0,1 0
1 0 −1 0
[ 0,2 −0,2 0,2 0] → [0 1 −2 0]
0,1
0,1 −0,3 0
0 0 0 0
𝑥1
1
1
1
Por lo tanto 𝐱 = [𝑥2 ] = 𝑥3 [2], y una solución es [2]. Desde las entradas en [2] suman 4, multiplicando por 1/4 para
𝑥3
1
1
1
1/4
0,25
obtener el vector de estado estacionario 𝐪 = [1/2] = [ 0,5 ].
0,25
1/4
0,7 0,2 0,2
1 0 0
d. Resolvemos 𝑃𝐱 = 𝐱 reescribiendo la ecuación como (𝑃 − 𝐼)𝐱 = 𝟎, donde 𝑃 − 𝐼 = [ 0 0,2 0,4] − [0 1 0] =
0,3 0,6 0,4
0 0 1
−0,3 0,2
0,2
−0,8 0,4 ]. Reduciendo por filas la matriz aumentada para el sistema homogéneo (𝑃 − 𝐼)𝐱 = 𝟎 da
[ 0
0,3
0,6 −0,6
−0,3 0,2
0,2 0
1 0
−1
0
−0,8 0,4 0] → [0 1 −1/2 0]
[ 0
0,3
0,6 −0,6 0
0
0 0
0
𝑥1
1
2
2
Por lo tanto 𝐱 = [𝑥2 ] = 𝑥3 [1/2], y una solución es [1]. Desde las entradas en [1] suman 5, multiplicando por 1/5 para
𝑥3
2
2
1
2/5
0,4
obtener el vector de estado estacionario 𝐪 = [1/5] = [0,2].
0,4
2/5
127
128
UNIDAD 3 – TRANSFORMACIONES LINEALES
Introducción a las transformaciones lineales
Ejercicio 72.
Sea 𝑇 una transformación lineal, establezca que propiedades debe cumplir para poder pasar de un
espacio 𝑉 a un espacio 𝑊.
Resolución:
Una transformación lineal 𝑇 de un espacio vectorial 𝑉 a un espacio vectorial 𝑊 es una regla que asigna a cada vector 𝐱
en 𝑉 un único vector 𝑇(𝐱) en W, de modo que
(i) 𝑇(𝐮 + 𝐯) = 𝑇(𝐮) + 𝑇(𝐯)
para todos 𝐮, 𝐯 en 𝑉, y
(ii) 𝑇(𝑐𝐮) = 𝑐𝑇(𝐮)
para todo 𝐮 en 𝑉 y todos los escalares 𝑐.
Ejercicio 73.
Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal de un espacio vectorial 𝑉 en un espacio vectorial 𝑊.
Demuestre que el rango de 𝑇 es un subespacio de 𝑊. [Sugerencia: Los elementos típicos del rango tienen la forma 𝑇(𝐱)
y 𝑇(𝐰) para algunas 𝑥, 𝑤 en 𝑉.]
Resolución:
Como 𝑇(𝟎𝑉 ) = 𝟎𝑊 , el vector cero 𝟎𝑊 de 𝑊 está en el rango de 𝑇. Considere que 𝑇(𝐱) y 𝑇(𝐰) sean elementos típicos en
el rango de 𝑇. Entonces, dado que 𝑇(𝐱) + 𝑇(𝐰) = 𝑇(𝐱 + 𝐰), 𝑇(𝐱) + 𝑇(𝐰) está en el rango de 𝑇 y el rango de 𝑇 es
cerrado bajo adición de vectores. Considere a 𝑐 como cualquier escalar. Entonces, dado que 𝑐𝑇(𝐱) = 𝑇(𝑐𝐱), 𝑐𝑇(𝐱) está
en el rango de 𝑇 y el rango de 𝑇 es cerrado bajo multiplicación por escalar. Entonces, el rango de 𝑇 es un subespacio de
𝑊.
𝐩(0)
Ejercicio 74.
Defina 𝑇: ℙ2 → ℝ2 por medio de 𝑇(𝐩) = [
] . Por ejemplo, si 𝐩(𝑡) = 3 + 5𝑡 + 7𝑡 2 , entonces
𝐩(1)
3
𝑇(𝐩) = [ ]
15
a. Muestre que 𝑇 es una transformación lineal. [Sugerencia: Para polinomios arbitrarios 𝐩 y 𝐪 en ℙ2 ,
calcule 𝑇(𝐩 + 𝐪) y 𝑇(𝑐𝐩).]
b. Encuentre un polinomio 𝑝 en ℙ2 que genere el núcleo de 𝑇, y describa el rango de 𝑇.
Resolución:
a. Supongamos que 𝐩 y 𝐪 son polinomios arbitrarios en ℙ2 , y que 𝑐 es cualquier escalar. Entonces
(𝐩 + 𝐪)(0)
𝐩(0) + 𝐪(0)
𝐩(0)
𝐪(0)
𝑇(𝐩 + 𝐪) = [
]=[
]=[
]+[
] = 𝑇(𝐩) + 𝑇(𝐪)
(𝐩 + 𝐪)(1)
𝐩(1) + 𝐪(1)
𝐩(1)
𝐪(1)
y
(𝑐𝐪)(0)
𝐩(0)
𝑇(𝑐𝐩) = [
] = 𝑐[
] = 𝑐𝑇(𝐩)
(𝑐𝐪)(1)
𝐩(1)
entonces 𝑇 es una transformación lineal.
b. Cualquier polinomio cuadrático 𝐪 para el que 𝐪(0) = 0 y 𝐪(1) = 0 estarán en el núcleo de 𝑇. El polinomio 𝐪 debe ser
𝑥1
un múltiplo de 𝐩(𝑡) = 𝑡(𝑡 − 1). Dado cualquier vector [𝑥 ] en ℝ2 , el polinomio 𝐩 = 𝑥1 + (𝑥2 − 𝑥1 )𝑡 tiene 𝐩(0) = 𝑥1 y
2
𝐩(1) = 𝑥2 . Por lo tanto, el rango de 𝑇 es todo ℝ2 .
𝐩(0)
Ejercicio 75.
Defina una transformación lineal 𝑇: ℙ2 → ℝ2 por medio de 𝑇(𝐩) = [
]. Encuentre los polinomios
𝐩(0)
𝐩1 y 𝐩2 en ℙ2 que generen el núcleo de 𝑇, y describa el rango de 𝑇.
Resolución:
Cualquier polinomio cuadrático 𝐪 para el cual 𝐪(0) = 𝟎 estará en el núcleo de 𝑇. El polinomio 𝐪 deberá ser 𝐪 = 𝑎𝑡 +
𝑏𝑡 2 . Así, los polinomios 𝐩1 (𝑡) = 𝑡 y 𝐩2 (𝑡) = 𝑡 2 abarca el núcleo de 𝑇. Si un vector está en el rango de 𝑇, debe ser de la
𝑎
forma [ ]. Si un vector es de esta forma, es la imagen del polinomio 𝐩(𝑡) = 𝑎 en ℙ2 . Por lo tanto, el rango de 𝑇 es
𝑎
𝑎
{[ ] : 𝑎 real}.
𝑎
Ejercicio 76.
Sea 𝑀2×2 el espacio vectorial de todas las matrices de 2 × 2, y defina 𝑇: 𝑀2×2 → 𝑀2×2 como 𝑇(𝐴) =
𝑎 𝑏
𝑇
𝐴 + 𝐴 , donde 𝐴 = [
].
𝑐 𝑑
c. Muestre que 𝑇 es una transformación lineal.
d. Sea 𝐵 cualquier elemento de 𝑀2×2 tal que 𝐵𝑇 = 𝐵. Encuentre una 𝐴 en 𝑀2×2 tal que 𝑇(𝐴) = 𝐵.
e. Muestre que el rango de 𝑇 es el conjunto 𝐵 en 𝑀2×2 con la propiedad de que 𝐵𝑇 = 𝐵.
129
f. Describa el núcleo de 𝑇.
Resolución:
a. Para cualquier 𝐴 y 𝐵 en 𝑀2×2 y para cualquier escalar 𝑐,
𝑇(𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 = (𝐴 + 𝐴𝑇 ) + (𝐵 + 𝐵𝑇 ) = 𝑇(𝐴) + 𝑇(𝐵)
y
𝑇(𝑐𝐴) = (𝑐𝐴)𝑇 = 𝑐(𝐴𝑇 ) = 𝑐𝑇(𝐴)
entonces 𝑇 es una transformación lineal.
1
b. Sea 𝐵 un elemento de 𝑀2×2 con 𝐵𝑇 = 𝐵, y sea 𝐴 = 𝐵. Entonces
2
1
1 𝑇 1
1
1
1
1
𝑇(𝐴) = 𝐴 + 𝐴𝑇 = 𝐵 + ( 𝐵) = 𝐵 + 𝐵𝑇 = 𝐵 + 𝐵 = 𝐵 = 𝐵 + 𝐵𝑇 = 𝐵 + 𝐵 = 𝐵
2
2
2
2
2
2
2
c. Se mostró que el rango de 𝑇 contiene el conjunto de todos 𝐵 en 𝑀2×2 con 𝐵𝑇 = 𝐵. También se muestra que cualquier
𝐵 en el rango de 𝑇 tiene esta propiedad. Deje 𝐵 estar en el rango de 𝑇. Entonces 𝐵 = 𝑇(𝐴) para algo de 𝐴 en 𝑀2×2 .
Entonces 𝐵 = 𝐴 + 𝐴𝑇 , y
𝐵𝑇 = (𝐴 + 𝐴𝑇 )𝑇 = 𝐴𝑇 + (𝐴𝑇)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐴 = 𝐴 + 𝐴𝑇 = 𝐵
entonces 𝐵 tiene la propiedad de que 𝐵𝑇 = 𝐵.
𝑎 𝑏
d. Sea 𝐴 = [
] parte del núcleo de T. Entonces 𝑇(𝐴) = 𝐴 + 𝐴𝑇 =0, entonces
𝑐 𝑑
𝑎 𝑐
2𝑎
𝑏+𝑐
0 0
𝑎 𝑏
𝐴 + 𝐴𝑇 = [
]+[
]=[
]=[
]
𝑏 𝑑
𝑏+𝑐
2𝑑
0 0
𝑐 𝑑
0 𝑏
Resolviendo se encuentra que 𝑎 = 𝑑 = 0 y 𝑐 = −𝑏. Así, el núcleo de 𝑇 es {[
] : 𝑎 real}.
−𝑏 0
Ejercicio 77.
Sean 𝑉 y 𝑊 dos espacios vectoriales, y sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal. Dado un subespacio
𝑈 de 𝑉, denote con 𝑇(𝑈) el conjunto de imágenes de la forma 𝑇(𝐱), donde 𝐱 está en 𝑈. Demuestre que 𝑇(𝑈) es un
subespacio de 𝑊.
Resolución:
Como 𝑈 es un subespacio de 𝑉, 𝟎𝑉 está en 𝑈. Como 𝑇 es lineal, 𝑇(𝟎𝑉 ) = 𝟎𝑊 . Entonces 𝟎𝑊 está en 𝑇(𝑈). Deje 𝑇(𝐱) y
𝑇(𝐲) serán elementos típicos en 𝑇(𝑈). Entonces x e y están en 𝑈, y dado que 𝑈 es un subespacio de V, x + y también en
𝑈. Como T es lineal, 𝑇(𝐱) + 𝑇(𝐲) = 𝑇(𝐱 + 𝐲). Entonces 𝑇(𝐱) + 𝑇(𝐲) está en 𝑇(𝑈), y 𝑇(𝑈) está cerrado bajo la suma
de vectores. Sea 𝑐 cualquier escalar. Entonces, dado que 𝐱 está en 𝑈 y 𝑈 es un subespacio de 𝑉, 𝑐𝐱 está en 𝑈. Dado que
𝑇 es lineal, 𝑇(𝑐𝐱) = 𝑐𝑇(𝐱) y 𝑐𝑇(𝐱) está en 𝑇(𝑈). Por lo tanto, 𝑇(𝑈) se cierra bajo multiplicación escalar, y 𝑇(𝑈) es un
subespacio de 𝑊.
Ejercicio 78.
Una transformación lineal 𝑇 ∶ ℝ2 → ℝ2 se define como
−𝑥2
0 −1 𝑥1
𝑇(𝐱) = [
][ ] = [ 𝑥 ]
1 0 𝑥2
1
4
2
6
Encuentre las imágenes bajo 𝑇 de 𝐮 = [ ], 𝐯 = [ ] y 𝐮 + 𝐯 = [ ]
1
3
4
Resolución:
Se realiza el reemplazo correspondiente para el producto matricial
0 −1 4
−1
𝑇(𝐮) = [
][ ] = [ ]
1 0 1
4
0 −1 2
−3
𝑇(𝐯) = [
][ ] = [ ]
1 0 3
2
Por propiedades 𝑇(𝐮 + 𝐯) = 𝑇(𝐮) + 𝑇(𝐯), con lo cual
−1
−3
−4
𝑇(𝐮 + 𝐯) = 𝑇(𝐮) + 𝑇(𝐯) = [ ] + [ ] = [ ]
4
2
6
Lo cual coincide con
0 −1 6
−4
𝑇(𝐮 + 𝐯) = [
][ ] = [ ]
1 0 4
6
1 −3
3
3
2
Ejercicio 79.
Sea 𝐴 = [ 3
5 ], 𝐮 = [ ], 𝐛 = [ 2 ], 𝐜 = [2], y defina una transformación 𝑇 ∶ ℝ2 → ℝ3 por
−1
−1 7
−5
5
medio de 𝑇(𝐱) = 𝐴𝐱, tal que
𝑥1 − 3𝑥2
1 −3 𝑥
1
𝑇(𝐱) = 𝐴𝐱 = [ 3
5 ] [𝑥 ] = [ 3𝑥1 + 5𝑥2 ]
2
−𝑥1 + 7𝑥2
−1 7
a. Encuentre 𝑇(𝐮), la imagen de 𝐮 bajo la transformación 𝑇.
b. Encuentre una 𝐱 en ℝ2 cuya imagen bajo 𝑇 sea 𝐛.
c. ¿Existe más de una 𝐱 cuya imagen bajo 𝑇 sea 𝐛?
130
d. Determine si 𝐜 está en el rango de la transformación 𝑇.
Resolución:
a. Se realiza el producto matricial correspondiente a dicha transformación
1.2 − 3. (−1)
1 −3
5
2
𝑇(𝐮) = 𝐴𝐮 = [ 3
5 ] [ ] = [ 3.2 + 5. (−1) ] = [ 1 ]
−1
−1 7
−9
−1.2 + 7. (−1)
b. Esto es resolver el sistema 𝐴𝐱 = 𝐛, con lo cual se forma la matriz ampliada [𝐴 𝐛] y se reduce obteniendo 𝑥1 y 𝑥2 .
3
1 −3 3
1 −3 3
1 −3
1 0 3/2
[𝐴 𝐛] = [ 3
5
2 ] → [0 14 −7] → [0 1 −1/2] → [0 1 −1/2]
−1 7 −5
0 4 −2
0 0
0 0
0
0
2
Se obtiene que 𝑥1 = 3/2 y 𝑥2 = −12/2, con lo cual 𝐱 = [ ].
−1
c. Cualquier 𝐱 cuya imagen bajo 𝑇 sea b debe satisfacer 𝑇 (𝐱) = 𝐴𝐱. A partir del punto b., queda claro que el sistema
tiene una solución única. Así que existe exactamente una 𝐱 cuya imagen es 𝐛.
d. El vector 𝐜 está en el rango de 𝑇 si 𝐜 es la imagen de alguna 𝐱 enℝ2 , esto es, si 𝐜 = 𝑇(𝐱) para alguna 𝐱. Ésta es sólo
otra manera de preguntarse si el sistema 𝐴𝐱 = 𝐜 es consistente. Para encontrar la respuesta, reduzca por filas la matriz
aumentada:
3
1 −3 3
1 −3 3
1 −3
1 0 3/2
[𝐴 𝐜] = [ 3
5 2] → [0 14 −7] → [0 1 −1/2] → [0 1 −1/2]
−1 7 5
0 4
8
0 4
0 0
8
10
Se observa que el sistema es inconsistente ya que 0 ≠ 10, por lo tanto 𝐜 no está en el rango de 𝑇.
1 3
Ejercicio 80.
Sea 𝐴 = [
]. La transformación T: ℝ2 → ℝ2 definida por 𝑇(𝐱) = 𝐴𝐱 se llama transformación de
0 1
trasquilado. Demuestre que si 𝑇 actúa en cada punto de un cuadrado de 2 × 2 como se muestra en la figura, entonces el
conjunto de imágenes forma el paralelogramo sombreado. Demostrar que 𝑇 mapea segmentos de línea sobre segmentos
de línea y compruebe luego que las esquinas del cuadrado se mapean sobre los vértices del paralelogramo.
Resolución:
Los puntos definidos del cuadrado son (0,0), (0,2), (2,0) y (2,2), a los cuales se realizan la transformación lineal
1 3 0
0
𝑇(0,0) = [
][ ] = [ ]
0 1 0
0
1 3 0
6
𝑇(0,2) = [
][ ] = [ ]
0 1 2
2
1 3 2
2
𝑇(2,0) = [
][ ] = [ ]
0 1 0
0
1 3 2
8
𝑇(2,2) = [
][ ] = [ ]
0 1 2
2
Se observa que todos los puntos obtenidos de la transformación corresponden a la gráfica presentada, con lo cual 𝐴 mapea
𝑇
Ejercicio 81.
Una compañía fabrica dos productos, 𝐵 y 𝐶. Para $1.00 obtenido del producto 𝐵, la compañía gasta
$.45 en materiales, $.25 en mano de obra, y $.15 en gastos generales. Para $1.00 obtenido del producto C, la compañía
gasta $.40 en materiales, $.30 en mano de obra, y $.15 en gastos generales. Sea 𝐱 = (𝑥1 , 𝑥2 ) un vector de “producción”,
correspondiente a 𝑥1 dólares del producto B y 𝑥2 dólares del producto C defina una transformación T: ℝ2 → ℝ3 que
convierta una lista de cantidades de producción (medida en dólares, o en otra moneda) en una lista de costos totales.
Resolución:
Se construye una matriz de “costo unitario”, 𝑈 = [𝐛 𝐜], cuyas columnas describen los “costos de producción por dólar”
para los distintos productos:
131
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜
𝐵 𝐶
. 45 . 40
𝑈 =[. 25 . 35]
. 15 . 15
𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑀𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑟𝑎
𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑙𝑒𝑠
. 45 . 40 𝑥
1
La transformación 𝑇(𝐱) puede ser definida como 𝑇(𝐱) = 𝑈𝐱 = [. 25 . 35] [𝑥 ], con lo cual
2
. 15 . 15
. 40
. 45
𝑇(𝐱) = 𝑥1 [. 25] + 𝑥2 [. 35]
. 15
. 15
El mapeo 𝑇 transforma una lista de cantidades de producción (medida en dólares, o en otra moneda) en una lista de costos
totales.
.5
Sea 𝐴 = [ 0
0
Encuentre 𝑇(𝐮) y 𝑇(𝐯).
Resolución:
Ejercicio 82.
𝑎
1
0 0
. 5 0 ], 𝐮 = [ 0 ], y 𝐯 = [𝑏]. Defina 𝑇: ℝ3 → ℝ3 mediante 𝑇(𝐱) = 𝐴𝐱.
𝑐
−4
0 .5
.5
𝑇(𝐮) = 𝐴𝐮 = [ 0
0
.5
𝑇(𝐮) = 𝐴𝐮 = [ 0
0
1
1/2
0 0
.5 0][ 0 ] = [ 0 ]
0 . 5 −4
−2
0 0 a
. 5a
. 5 0 ] [b] = [. 5b]
0 .5 𝑐
. 5c
Ejercicio 83.
En los siguientes puntos, con T definida como 𝑇(𝐱) = 𝐴𝐱 encuentre un vector 𝐱 cuya imagen bajo 𝑇
sea 𝐛, y determine si esta 𝐱 es única.
1
0 −2
−1
−2
1 −5 −7
c. 𝐴 = [
], 𝐛 = [ ]
a. 𝐴 = [−2 1
6 ], 𝐛 = [ 7 ]
−2
−3 7
5
1 −2 1
1
3 −2 −5
−3
1 −3 2
6
d. 𝐴 = [ 3 −4 5 ], 𝐛 = [ 9 ]
0 1 1
3
b. 𝐴 = [0 1 −4], 𝐛 = [−7]
−3 5 −4
−6
3 −5 −9
−9
Resolución:
Para cada uno de estos puntos se realiza la matriz ampliada [𝐴 𝐛], se resuelve y se estudia la solución.
1
0 −2 −1
1 0 −2 −1
1 0 −2 −1
1 0 −2 −1
1 0 0 3
a. [−2 1
6
7 ] → [0 1
2
5 ] → [0 1 2
5 ] → [0 1 2
5 ] → [0 1 0 1] → 𝐱 =
3 −2 −5 −3
0 −2 1
0
0 0 5 10
0 0 1
2
0 0 1 2
3
[1]
2
Como el sistema es compatible determinado el valor de 𝐱 es único.
1 −3 2
6
1 −3
2
6
1 0 −10 −15
b. [0 1 −4 −7] → [0 1
−4
−7 ] → [0 1 −4
7 ]
3 −5 −9 −9
0 4 −15 −27
0 4 −15 −27
1 0 −10 −15
1 0 0 −5
3
→ [0 1 −4
−7 ] → [0 1 0 −3] → 𝐱 = [1]
0 0
1
0 0 1 1
2
1
Como el sistema es compatible determinado el valor de 𝐱 es único.
1 0 3 3
1 −5 −7 −2
1 −5 −7 −2
1 −5 −7 −2
c. [
]→ [
]→ [
]→ [
]
1
0 1 2 1
−3 7
5 −2
0 −8 −16 −8
0 1
2
El sistema tiene solamente dos pivotes dando como resultado las ecuaciones 𝑥1 + 3𝑥3 = 3 y 𝑥2 + 2𝑥3 = 1, despejando
𝑥1 = 3 − 3𝑥3 , 𝑥2 = 1 − 2𝑥3 y 𝑥3 es libre, con lo cual se tiene que
𝑥1
3 − 3𝑥3
3
−3
−3
𝐱 = [𝑥2 ] = [1 − 2𝑥3 ] = [1] + 𝑥3 [−2], un valor puede ser 𝐱 = [−3] con 𝑥3 = 2
𝑥3
𝑥3
0
1
2
La solución de x no es única dado que es sistema compatible indeterminado correspondiente a una solución general.
1 −2 1
1
1 −2 1 1
1 −2 1 1
1 −2 1 1
1 −2 1 1
3
−4
5
9
0
2
2
6
0
1
1
3
0
1
1
3
d. [ 0 1 1
]→[
]→[
]→[
] → [0 1 1 3] →
3
0 1 1 3
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 −2 0
−3 5 −4 −6
0 1 −1 3
0 1 −1 3
0 0 −2 0
0 0 0 0
132
7
1 0 3 7
1 0 0 7
0
1
1
3
0
1
0
3
[
]→[
] → 𝐱 = [ 3]
0 0 1 0
0 0 1 0
0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
Como el sistema es compatible determinado el valor de 𝐱 es único.
Ejercicio 84.
¿Cuántas filas y columnas debe tener una matriz 𝐴 para que defina un mapeo de ℝ4 en ℝ5 mediante la
regla 𝑇(𝐱) = 𝐴𝐱?
Resolución:
Debe tener 5 filas y 4 columnas, con lo cual. Por regla el dominio de 𝑇 es ℝ4 y su codominio es ℝ5 , con lo cual la
dimensión de 𝐴 debe ser de 5 × 4.
−1
1 −4 7 −5
Ejercicio 85.
Sean 𝐛 = [ 1 ], y 𝐴 = [0 1 −4 3 ].
0
2 −6 6 −4
a. Encuentre todas las 𝐱 en ℝ4 que se mapeen en el vector cero mediante la transformación 𝑇(𝐱) = 𝐴𝐱 para la matriz
A dada.
b. ¿Está 𝐛 en el rango de la transformación lineal 𝐱 → 𝐴𝐱? ¿Por qué sí o por qué no?
Resolución:
𝑥1 − 9𝑥3 + 7𝑥4 = 0
1 −4 7 −5 0
1 −4 7 −5 0
1 0 −9 7 0
a. [0 1 −4 3 0] → [0 1 −4 3 0] → [0 1 −4 3 0] → 𝑥2 − 4𝑥3 + 3𝑥4 = 0
2 −6 6 −4 0
0 2 −8 6 0
0 0 0 0 0
0=0
Con lo cual se tiene que 𝑥1 = 9𝑥3 − 7𝑥4 , 𝑥2 = 4𝑥3 − 3𝑥4 , 𝑥3 es libre y 𝑥4 es libre. Los valores posibles de 𝐱 son
𝑥1
9𝑥3 − 7𝑥4
9𝑥3
−7𝑥4
9
−7
𝑥2
4𝑥3 − 3𝑥4
4𝑥3
−3𝑥
4
4
𝐱=[ ]=[
]=[
]+[
] = 𝑥3 [ ] + 𝑥4 [−3]
𝑥3
𝑥3
𝑥3
1
0
0
𝑥4
𝑥4
𝑥4
0
1
0
𝑥1 − 9𝑥3 + 7𝑥4 = −1
1 −4 7 −5 −1
1 −4 7 −5 −1
1 0 −9 7 −1
b. [0 1 −4 3
1 ] → [0 1 −4 3
1 ] → [0 1 −4 3 1 ] → 𝑥2 − 4𝑥3 + 3𝑥4 = 1
2 −6 6 −4 0
0 2 −8 6
2
0 0 0 0 0
0=0
Se tienen dos pivotes en un sistema compatible determinado, con lo cual 𝐛 está en el rango de la transformación.
−2
5
Ejercicio 86.
En los siguientes puntos, use un sistema de coordenadas rectangulares para graficar 𝐮 = [ ], 𝐯 = [ ],
4
2
y sus imágenes bajo la transformación 𝑇 dada. (Trace un bosquejo razonablemente grande para cada uno de los ejercicios.)
Proporcione una descripción geométrica de lo que 𝑇 hace a un vector 𝐱 en ℝ2 .
−1 0 𝑥1
0 0 𝑥1
a. 𝑇(𝐱) = [
] [𝑥 ]
c. 𝑇(𝐱) = [
][ ]
0 −1 2
0 1 𝑥2
0 1 𝑥1
0.5 0 𝑥1
d. 𝑇(𝐱) = [
][ ]
b. 𝑇(𝐱) = [
][ ]
1 0 𝑥2
0 0.5 𝑥2
Resolución:
−1 0 5
−5
a. 𝑇(𝐮) = [
][ ] = [ ]
0 −1 2
−2
−1 0 −2
2
𝑇(𝐯) = [
][ ] = [ ]
0 −1 4
−4
Se obtiene una reflexión a través del origen de coordenadas.
También se lo puede denotar como un giro de 𝜋 radianes con respecto al vector y el origen
de coordenadas.
b. 𝑇(𝐮) = [
0.5
0
0 5
2.5
][ ] = [ ]
0.5 2
0.2
−1
0.5 0 −2
][ ] = [ ]
2
0 0.5 4
Se obtiene una contracción de 0,5 hacia del origen de coordenadas.
𝑇(𝐯) = [
133
0 0 5
−5
c. 𝑇(𝐮) = [
][ ] = [ ]
0 1 2
−2
0 0 −2
0
𝑇(𝐯) = [
][ ] = [ ]
0 1 4
4
Se obtiene una proyección sobre el eje 𝑥2 .
0 1 5
2
][ ] = [ ]
1 0 2
5
0 1 −2
4
𝑇(𝐯) = [
] [ ] = [ ],
1 0 4
−2
Se obtiene una reflexión a través de la recta 𝑥2 = 𝑥1 .
d. 𝑇(𝐮) = [
1
0
2
−1
Sea 𝐞1 = [ ], 𝐞2 = [ ], 𝐲1 = [ ], y 𝐲2 = [ ] , y sea 𝑇: ℝ2 → ℝ2 una transformación lineal que mapea
0
1
5
6
𝑥1
5
𝐞1 en 𝐲1 y 𝐞2 en 𝐲2 . Encuentre las imágenes de [ ] y [𝑥 ].
2
−3
Resolución:
1
0
5
5
Si 𝐱 = [ ] entonces [ ] = 5 [ ] + (−3) [ ], con lo cual 𝐱 = 5𝐞1 − 3𝐞2 . Si 𝑇(𝐱) = 𝑇(5𝐞1 − 3𝐞2 ) por propiedades
0
1
−3
−3
se tiene que
2
−1
13
𝑇(𝐱) = 𝑇(5𝐞1 − 3𝐞2 ) = 𝑇(𝐱) = 𝑇(5𝐞1 ) + 𝑇(−3𝐞2 ) = 5𝑇(𝐞1 ) − 3𝑇(𝐞2 ) = 5𝐲1 − 3𝐲2 = 5 [ ] − 3 [ ] = [ ]
5
6
7
𝑥1
−2
7
2
2
Ejercicio 88.
Sea 𝐱 = [𝑥 ], 𝐯1 = [ ], 𝐯2 = [ ], y sea 𝑇: ℝ → ℝ una transformación lineal que mapea 𝐱 en
−3
2
5
𝑥1 𝐯1 + 𝑥2 𝐯2 . Encuentre una matriz tal que 𝑇(𝐱) sea 𝐴𝐱 para cada 𝐱.
Resolución:
Usando la definición de 𝐴𝐱 para construir 𝐴 se tiene
𝑥1
−2 7
−2 7
𝑇(𝐱) = 𝑥1 𝐯𝟏 + 𝑥2 𝐯𝟐 = [𝐯𝟏 𝐯𝟐 ] [𝑥 ] = [
]𝐱 → 𝐴 = [
]
2
5 −3
5 −3
Ejercicio 89.
En los siguientes puntos, señale cada enunciado como verdadero o falso. Justifique cada una de sus
respuestas.
a. Una transformación lineal es un tipo especial de función.
b. Si 𝐴 es una matriz de 3 × 5 y 𝑇 una transformación definida por 𝑇(𝐱) = 𝐴𝐱, entonces el dominio de 𝑇 es ℝ3 .
c. Si 𝐴 es una matriz de 𝑚 × 𝑛, entonces el rango de la transformación 𝐱 → 𝐴𝐱 es ℝ2 .
d. Toda transformación lineal es una transformación matricial.
e. Una transformación lineal 𝑇 es lineal si, y sólo si, 𝑇(𝑐1 𝐯1 + 𝑐2 𝐯2 ) = 𝑐1 𝑇(𝐯1 ) + 𝑐2 𝑇(𝐯2 ) para toda 𝐯1 y 𝐯2 en el
dominio de 𝑇 y para todos los escalares 𝑐1 y 𝑐2 .
f. Toda transformación matricial es una transformación lineal.
g. El codominio de la transformación 𝐱 → 𝐴𝐱 es el conjunto de todas las combinaciones lineales de las columnas de
𝐴.
h. Si 𝑇: ℝn → ℝm es una transformación lineal y 𝐜 está en ℝm , entonces una pregunta de unicidad es: “¿Está 𝐜 en el
rango de 𝑇?”
i. Una transformación lineal conserva las operaciones de suma de vectores y de multiplicación por escalares.
j. El principio de superposición es una descripción física de una transformación lineal.
Resolución:
a. Verdadero. Una transformación lineal es un tipo especial de función que va de ℝn a ℝm con ciertas propiedades.
b. Falso. El dominio es ℝ5 , el dominio de una transformación lineal coincide con el número de columnas de la matriz de
transformación.
c. Falso. El rango es el conjunto de todas las combinaciones lineales de las columnas de 𝐴.
d. Falso. Cualquier transformación matricial es una transformación lineal pero no viceversa, existen ejemplos importantes
de transformaciones lineales que no son transformaciones matriciales.
e. Verdadero. Ya que cumple con las propiedades elementales de una transformación lineal.
f. Verdadero. Toda transformación matricial es una transformación lineal.
Ejercicio 87.
134
g. Falso. Si 𝐴 es una matriz de 𝑚 × 𝑛 el codominio es ℝm .
h. Falso. La pregunta es una pregunta de existencia.
i. Verdadero. Ya que estas propiedades definen a una transformación lineal.
j. Verdadero. En física e ingeniería, 𝑇(𝑐1 𝐯1 + ⋯ + 𝑐p 𝐯p ) = 𝑐1 𝑇(𝐯1 ) + ⋯ + 𝑐p 𝑇(𝐯p ) se denomina principio de
superposición. Piense en 𝐯1 , … , 𝐯p como señales que entran en un sistema o proceso, y en 𝑇(𝐯1 ), … , 𝑇(𝐯p ) como las
respuestas de ese sistema o proceso a dichas señales. El sistema satisface el principio de superposición si al expresar una
entrada como una combinación lineal de tales señales, la respuesta del sistema es la misma combinación lineal de
respuestas a las señales individuales.
Ejercicio 90.
Una transformación afín 𝑇: ℝn → ℝm tiene la forma 𝑇(𝐱) = 𝐴𝐱, donde A es una matriz de 𝑚 × 𝑛 y 𝐛
está en ℝm . Muestre que 𝑇 no es una transformación lineal cuando 𝐛 ≠ 0. (Las transformaciones afines son importantes
en la graficación por computadora.)
Resolución:
Sea 𝑇(𝐱) = 𝐴𝐱 + 𝐛 para 𝐱 en ℝn . Si 𝐛 no es cero, 𝑇(𝟎) = 𝐴𝟎 + 𝐛 = 𝐛 ≠ 𝟎. De hecho, 𝑇 falla ambas propiedades de una
transformación lineal. Por ejemplo, 𝑇(𝟐𝐱) = 𝐴(2𝐱) + 𝐛 = 2𝐴𝐱 + 𝐛, Que no es lo mismo que 2𝑇(𝐱) = 2(𝐴𝐱 + 𝐛) =
2𝐴𝐱 + 2𝐛. También, 𝑇(𝐱 + 𝐲) = 𝐴(𝐱 + 𝐲) + 𝐛 = 𝐴𝐱 + 𝐴𝐲 + 𝐛 que no es lo mismo que 𝑇(𝐱) + 𝑇(𝐲) = 𝐴𝐱 + 𝐛 + 𝐴𝐲 +
𝐛.
Ejercicio 91.
Sean 𝑇: ℝn → ℝm una transformación lineal y {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 } un conjunto linealmente dependiente en ℝn .
Explique por qué el conjunto {𝑇(𝐯1 ), 𝑇(𝐯2 ), 𝑇(𝐯3 )} es linealmente dependiente.
Resolución:
Suponga que el conjunto {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 } es linealmente dependiente y existen escalares 𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 no todos cero tales que
𝑐1 𝐯1 + 𝑐2 𝐯2 + 𝑐3 𝐯3 = 𝟎
Entonces 𝑇(𝑐1 𝐯1 + 𝑐2 𝐯2 + 𝑐3 𝐯3 ) = 𝑇(𝟎) = 𝟎. Si 𝑇 es lineal, 𝑐1 𝑇(𝐯1 ) + 𝑐2 𝑇(𝐯2 ) + 𝑐3 𝑇(𝐯3 ) = 𝟎. Si no todos los pesos
son cero {𝑇(𝐯1 ), 𝑇(𝐯2 ), 𝑇(𝐯3 )} es un conjunto linealmente dependiente.
Ejercicio 92.
Muestre que la transformación 𝑇 definida por 𝑇(𝑥1 , 𝑥2 ) = (4𝑥1 – 2𝑥2 , 3|𝑥2 |) no es lineal.
Resolución:
Tomando cualquier vector (𝑥1 , 𝑥2 ) con 𝑥2 , y use un escalar negativo. Si realiza 𝑇(0,1), pero (−2,3), pero 𝑇(−1. (0,1)) =
𝑇(0, −1) = (2,3) ≠ (−1). 𝑇(0,1).
Ejercicio 93.
Muestre que la transformación 𝑇 definida por 𝑇(𝑥1 , 𝑥2 ) = (2𝑥1 – 3𝑥2 , 𝑥1 + 4, 5𝑥2 ) no es lineal.
Resolución:
Una posibilidad es mostrar que 𝑇 no mapea el cero en el vector cero, algo que debería hacer toda transformación lineal.
Se observa que 𝑇(0,0) = (0,4,0) ≠ (0,0,0).
Ejercicio 94.
Sea 𝑇: ℝn → ℝm una transformación lineal. Muestre que si 𝑇 mapea dos vectores linealmente
independientes sobre un conjunto linealmente dependiente, entonces la ecuación 𝑇(𝐱) = 0 tiene una solución no trivial.
[Sugerencia: Suponga que 𝐮 y 𝐯 en ℝn son linealmente independientes, pero que 𝑇(𝒖) y 𝑇(v) son linealmente
dependientes. Entonces 𝑐1 𝑇(𝐮) + 𝑐2 𝑇(𝐯) para algunos pesos 𝑐1 y 𝑐2 , donde al menos uno de ellos no es cero. Use esta
ecuación.]
Resolución:
Suponga que {𝐮, 𝐯} es un conjunto linealmente independiente en ℝn y que 𝑇(𝐮) y 𝑇(𝐯) son linealmente dependiente.
Entonces no existen pesos 𝑐1 , 𝑐2 no todos cero, tal que 𝑐1 𝑇(𝐮) + 𝑐2 𝑇(𝐮) = 𝟎.
Debido a que 𝑇 es lineal 𝑇(𝑐1 𝐮 + 𝑐2 𝐯) = 𝟎. Esto es, el vector 𝐱 = 𝑐1 𝐮 + 𝑐2 𝐯 satisface 𝑇(𝐱) = 𝟎. Además 𝐱 no puede ser
el vector cero, ya que eso significaría que una combinación lineal no trivial de 𝐮 y 𝐯 es cero, lo cual es imposible porque
𝐮 y 𝐯 son linealmente independientes. Por lo tanto, la ecuación 𝑇(𝐱) = 𝟎 tiene una solución no trivial.
Ejercicio 95.
Sea 𝑇: ℝ3 → ℝ3 la transformación que refleja cada vector 𝐱 = (𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3 ) a través del plano 𝑥3 = 0
sobre 𝑇(𝐱) = (𝑥1, 𝑥2 , −𝑥3 ). Muestre que 𝑇 es una transformación lineal.
Resolución:
Se toman dos vectores genéricos 𝐮 y 𝐯 en ℝ3 y se toman los escalares 𝑐 y 𝑑 entonces:
𝑐𝐮 + 𝑑𝐯 = (𝑐𝑢1 + 𝑑𝑣1 , 𝑐𝑢2 + 𝑑𝑣2 , 𝑐𝑢3 + 𝑑𝑣3 )
La transformación 𝑇 es lineal porque
𝑇(𝑐𝐮 + 𝑑𝐯) = (𝑐𝑢1 + 𝑑𝑣1 , 𝑐𝑢2 + 𝑑𝑣2 , −(𝑐𝑢3 + 𝑑𝑣3 )) = (𝑐𝑢1 + 𝑑𝑣1 , 𝑐𝑢2 + 𝑑𝑣2 , −𝑐𝑢3 − 𝑑𝑣3 )
= (𝑐𝑢1 , 𝑐𝑢2 , −𝑐𝑢3 ) + (𝑑𝑣1 , 𝑑𝑣2 , −𝑑𝑣3 ) = 𝑐(𝑢1 , 𝑢2 , −𝑢3 ) + 𝑑(𝑣1 , 𝑣2 , −𝑣3 ) = 𝑐𝑇(𝐮) + 𝑑𝑇(𝐯)
Ejercicio 96.
Sea 𝑇: ℝ3 → ℝ3 la transformación que proyecta cada vector 𝐱 = (𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3 ) sobre el plano 𝑥3 = 0, de
modo que 𝑇(𝐱) = (𝑥1, 0, 𝑥3 ). Muestre que 𝑇 es una transformación lineal.
135
Resolución:
Se toman dos vectores genéricos 𝐮 y 𝐯 en ℝ3 y se toman los escalares 𝑐 y 𝑑 entonces:
𝑐𝐮 + 𝑑𝐯 = (𝑐𝑢1 + 𝑑𝑣1 , 𝑐𝑢2 + 𝑑𝑣2 , 𝑐𝑢3 + 𝑑𝑣3 )
La transformación 𝑇 es lineal porque
𝑇(𝑐𝐮 + 𝑑𝐯) = (𝑐𝑢1 + 𝑑𝑣1 , 0, 𝑐𝑢3 + 𝑑𝑣3 ) = (𝑐𝑢1 + 𝑑𝑣1 , 𝑐𝑢2 + 𝑑𝑣2 , −𝑐𝑢3 − 𝑑𝑣3 ) = (𝑐𝑢1 , 0, 𝑐𝑢3 ) + (𝑑𝑣1 , 0, 𝑑𝑣3 )
= 𝑐(𝑢1 , 0, 𝑢3 ) + 𝑑(𝑣1 , 0, 𝑣3 ) = 𝑐𝑇(𝐮) + 𝑑𝑇(𝐯)
Ejercicio 97.
[Octave] En los siguientes puntos, la matriz dada determina una transformación lineal 𝑇. Encuentre
todas las 𝐱 que satisfagan 𝑇(𝐱) = 0.
−9 −4 −9 4
4 −2 5 −5
−9
−8
7
0
b. [ 5 −8 −7 6 ]
a. [
]
7 11 16 −9
−6 4
3
5
9 −7 −4 5
5 −3 8 −4
Resolución:
Se busca satisfacer la ecuación 𝑇(𝐱) = 0, con lo cual
𝑥1 = 3,5𝑥4
7/2
4 −2 5 −5 0
1 0 0 −3.5 0
𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆
𝑥
9/2
−9
−8
0
0
0
0
7
1
−4.5
0
2 = 4,5𝑥4
a. [
]→
[
]→
→ 𝐱 = 𝑥4 [
]
−6 4
0 0 1
0
𝑥3 = 0
3 0
0
5
0
5 −3 8 −4 0
0 0 0
0
0
𝑥4 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒
1
𝑥1 = −0,75𝑥4
−3/4
−9 −4 −9 4 0
1 0 0 0.75 0
𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 0 1 0
𝑥2 = −1,25𝑥4
−5/4
−8
6
0
1.25
0
5
−7
b. [
]→
[
]→
→ 𝐱 = 𝑥4 [
]
7 11 16 −9 0
0 0 1 −1.75 0
𝑥3 = 1,75𝑥4
7/4
9 −7 −4 5 0
0 0 0
0
0
𝑥4 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒
1
Código en Octave
Punto a.
>> Tx=[4 -2 5 -5 0; -9 7 -8 0 0; -6 4 5 3 0; 5 -3 8 -4 0];
>> x=rref(Tx)
x =
1.00000
0.00000
0.00000 -3.50000 -0.00000
0.00000
1.00000
0.00000 -4.50000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000 -0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
Punto b.
>> Tx=[-9 -4 -9 4 0; 5 -8 -7 6 0; 7 11 16 -9 0; 9 -7 -4 5 0];
>> x=rref(Tx)
x =
1.00000
0.00000
0.00000
0.75000 -0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
1.25000 -0.00000
0.00000
0.00000
1.00000 -1.75000 -0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
7
4 −2 5 −5
5
−9
7 −8 0 ]. ¿Está 𝐛 en el rango de la transformación 𝐛 →
Ejercicio 98.
[Octave] Dados 𝐛 = [ ] y 𝐴 = [
−6 4
9
3
5
7
5 −3 8 −4
𝐴𝐱? Si es así, encuentre una 𝐱 cuya imagen bajo la transformación sea 𝐛.
Resolución:
Se busca satisfacer la ecuación 𝑇(𝐱) = 𝐛, con lo cual
𝑥1 = 4 − 3,5𝑥4
7/2
4 −2 5 −5 7
1 0 0 −3.5 4
4
𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆 0 1 0 −4.5 7
𝑥2 = 7 − 4,5𝑥4
9/2
−9
−8
5
7
7
0
[
]→
[
]→
→ 𝐱 = [ ] + 𝑥4 [
]
−6 4
1
1
0 0 1
𝑥3 = 1
3 9
0
5
0
5 −3 8 −4 7
0 0 0
0
0
0
𝑥4 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒
1
Si, b se encuentra en el rango de la transformación porque se tiene un sistema compatible, cuya solución general es 𝐱 =
7/2
4
4
9/2
7
[ ] + 𝑥4 [
] y una solución particular cuando 𝑥4 = 0 es 𝐱 = [7].
1
1
0
0
0
1
Código en Octave
>> Tx=[4 -2 5 -5 7; -9 7 -8 0 5; -6 4 5 3 9; 5 -3 8 -4 7];
>> x=rref(Tx)
x =
1.00000
0.00000
0.00000 -3.50000
4.00000
0.00000
1.00000
0.00000 -4.50000
7.00000
0.00000
0.00000
1.00000 -0.00000
1.00000
136
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
−7
−9 −4 −9 4
−7
Ejercicio 99.
[Octave] Dados 𝐛 = [ ] y 𝐴 = [ 5 −8 −7 6 ]. ¿Está 𝐛 en el rango de la transformación 𝐛 →
13
7 11 16 −9
−5
9 −7 −4 5
𝐴𝐱? Si es así, encuentre una 𝐱 cuya imagen bajo la transformación sea 𝐛.
Resolución:
Se busca satisfacer la ecuación 𝑇(𝐱) = 𝐛, con lo cual
𝑥1 = −0,75𝑥4
−3/4
−9 −4 −9 4 −7
1 0 0 0.75 0
𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆
𝑥
−5/4
−8
6
−7
0
0
1.25
0
5
−7
1
2 = −1,25𝑥4
[
]→
[
]→
→ 𝐱 = 𝑥4 [
]
7 11 16 −9 13
0 0 1 −1.75 0
𝑥3 = 1,75𝑥4
7/4
9 −7 −4 5 −5
0 0 0
0
0
𝑥4 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒
1
Si, b se encuentra en el rango de la transformación porque se tiene un sistema compatible, cuya solución general es 𝐱 =
7/2
4
4
9/2
7
[ ] + 𝑥4 [
] y una solución particular cuando 𝑥4 = 0 es 𝐱 = [7].
1
1
0
0
0
1
Código en Octave
>> Tx=[-9 -4 -9 4 -7; 5 -8 -7 6 -7; 7 11 16 -9 13; 9 -7 -4 5 -5];
>> x=rref(Tx)
x =
1.00000
0.00000
0.00000
0.75000 -1.25000
0.00000
1.00000
0.00000
1.25000 -2.75000
0.00000
0.00000
1.00000 -1.75000
3.25000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
La matriz de una transformación lineal y condiciones de existencia y unicidad
Ejercicio 100. Establezca las condiciones bajo las cuales una aplicación lineal o función 𝑇: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 es inyectiva.
Resolución:
Una aplicación lineal o función 𝑇: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 es inyectiva o uno a uno (inyectiva) si cada 𝐛 en ℝ𝑚 es la imagen de cuanto
mucho una 𝐱 en ℝ𝑛 .
De manera equivalente, 𝑇 es uno a uno si para cada 𝐛 en ℝ𝑚 la ecuación 𝑇(𝐱) = 𝐛 tiene o una solución única o ninguna
solución. La pregunta “¿𝑇 es uno a uno?”, es una pregunta de unicidad. La función 𝑇 no es uno a uno cuando alguna 𝐛
presente en ℝ𝑚 es la imagen de más de un vector presente en ℝ𝑛 . Si no existe una 𝐛 con esta característica, entonces 𝑇
es uno a uno.
Algunos teoremas relevantes:
• Teorema: Sea 𝑇: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 una transformación lineal. Entonces 𝑇es inyectiva si, y sólo si, la ecuación 𝑇(𝐱) =0
tiene únicamente la solución trivial.
• Teorema: Sean 𝑇: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 una transformación lineal y A la matriz estándar para T. Entonces:
a. T mapea ℝ𝑛 sobre ℝ𝑚 si, y sólo si, las columnas de 𝐴 generan ℝ𝑚 ;
b. T es inyectiva si, y sólo si, las columnas de 𝐴 son linealmente independientes.
Ejercicio 101. Establezca las condiciones bajo las cuales una aplicación lineal o función 𝑇: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 es suprayectiva.
Resolución:
Una aplicación lineal o mapeo 𝑇: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 es suprayectiva (o sobreyectiva) o “sobre” ℝ𝑚 si cada 𝐛 en ℝ𝑚 es la imagen
de al menos una 𝐱 en ℝ𝑛 .
De manera equivalente, 𝑇 es sobre ℝ𝑚 cuando todo el rango de 𝑇 es todo el codominio ℝ𝑚 . Esto es, 𝑇 mapea ℝ𝑛 sobre
ℝ𝑚 si, para cada 𝐛 en el codominio ℝ𝑚 , existe por lo menos una solución de 𝑇(𝐱) = 𝐛. La pregunta “¿mapea ℝ𝑛 sobre
ℝ𝑚 ?” es una pregunta de existencia. La función 𝑇 no es suprayectiva cuando existe alguna 𝐛 en ℝ𝑚 tal que la ecuación
𝑇(𝐱) = 𝐛 no tenga solución.
137
Ejercicio 102. Establezca las condiciones bajo las cuales una aplicación lineal o función 𝑇: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 es biyectiva.
Resolución:
Una aplicación lineal o mapeo 𝑇: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 es biyectiva cuando es inyectiva y suprayectiva a la vez.
1 0
1
0
Ejercicio 103. Las columnas de 𝐼2 = [
] son 𝐞1 = [ ] y 𝐞2 = [ ]. Suponga que T es una transformación lineal de
0 1
0
1
ℝ2 en ℝ3 de tal modo que
−3
5
𝑇(𝐞1 ) = [−7] y 𝑇(𝐞2 ) = [ 8 ]
0
2
Sin más información, encuentre una fórmula para la imagen de una 𝐱 arbitraria en ℝ2 .
Resolución:
Se puede escribir
𝑥1
1
0
𝐱 = [𝑥 ] = 𝑥1 [ ] + 𝑥2 [ ] = 𝑥1 𝐞1 + 𝑥2 𝐞2
2
0
1
Dado que 𝑇 es una transformación lineal, se tiene
5𝑥1 − 3𝑥2
−3
5
𝑇(𝐱) = 𝑥1 𝑇(𝐞1 ) + 𝑥2 𝑇(𝐞2 ) = 𝑥1 𝑇 [−7] + 𝑥2 [ 8 ] = [−7𝑥1 + 8𝑥2 ]
2𝑥1
0
2
Ejercicio 104. Sea 𝑇: ℝ2 → ℝ2 la transformación que gira cada punto en
ℝ2 un ángulo 𝜑, el cual es positivo si va en dirección contraria al movimiento
de las manecillas del reloj. Se podría mostrar geométricamente que dicha
transformación es lineal. Observando la figura, encuentre la matriz estándar
𝐴 para esta transformación.
Resolución:
cos 𝜑
− sen 𝜑
1
0
Aplicando teoremas se tiene que 𝐞1 = [ ] gira con [sen 𝜑] y que 𝐞2 = [ ] gira con [ cos 𝜑 ], como se observa en la
0
1
figura.
cos 𝜑 − sen 𝜑
Con lo cual 𝐴 = [sen 𝜑
cos 𝜑 ].
Ejercicio 105. Sea 𝑇(𝑥1, 𝑥2 ) = (3𝑥1 + 𝑥2 , 5𝑥1 + 7𝑥2 , 𝑥1 + 3𝑥2 ). Demuestre que 𝑇 es
una transformación lineal inyectiva. ¿T mapea ℝ2 sobreℝ3 ?
Resolución:
Cuando 𝐱 y 𝑇(𝐱) se escriben como vectores columna, la matriz estándar de 𝑇 puede
determinarse por inspección al visualizar el cálculo fila-vector de cada entrada en 𝐴𝐱.
3𝑥1 + 𝑥2
3 1 𝑥
𝑥1
1
𝑇(𝐱) = [5𝑥1 + 7𝑥2 ] = 𝐴 [𝑥 ] = [5 7] [𝑥 ]
2
2
𝑥1 + 3𝑥2
1 3
3 1
Entonces 𝑇 es, de hecho, una transformación lineal, y su matriz estándar es [5 7]. Como
1 3
las columnas de A son linealmente independientes, por teorema, 𝑇 es inyectiva. Para decidir
si 𝑇 es sobre ℝ3 , examine el espacio generado por las columnas de 𝐴. Como 𝐴 es de 3 × 2,
las columnas de 𝐴 generan ℝ3 si, y sólo si, 𝐴 tiene 3 posiciones pivote, pero esto es
imposible, porque 𝐴 tiene sólo 2 columnas. Por lo tanto, las columnas de 𝐴 no generan ℝ3 ,
y la transformación lineal asociada no es sobre ℝ3 .
Ejercicio 106. Sea 𝑇 la transformación lineal cuya matriz estándar es
1 −4 8 1
𝐴 = [0 2 −1 3]
0 0
0 5
138
¿𝑇 mapea ℝ4 sobre ℝ3 ? ¿T es una función inyectiva?
Resolución:
Como 𝐴 está en forma escalonada, puede verse de inmediato que tiene una posición de pivote en cada fila. Por teorema,
para cada 𝐛 en ℝ3 la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 es consistente. En otras palabras, la transformación lineal 𝑇 mapea ℝ4 (su dominio)
sobre ℝ3 . Sin embargo, como la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene una variable libre (ya que existen cuatro variables y sólo tres
variables básicas), cada b es la imagen de más de una 𝐱. Esto es, 𝑇 no es inyectiva.
Ejercicio 107. En los siguientes puntos, suponga que 𝑇 es una transformación lineal. Encuentre la matriz estándar para
𝑇.
a. 𝑇: ℝ2 → ℝ4 , 𝑇(𝐞1 ) = (3, 1, 3, 1) y 𝑇(𝐞2 ) = (−5, 2, 0, 0), donde 𝐞1 = (1, 0) y 𝐞2 = (0, 1).
b. 𝑇: ℝ3 → ℝ2 , 𝑇(𝐞1 ) = (1, 3), 𝑇(𝐞2 ) = (4, −7), y 𝑇(𝐞3 ) = (−5, 4), donde 𝐞1 , 𝐞2 , 𝐞3 son las columnas de la matriz
identidad de 3 × 3.
Resolución:
Como se tienen las transformaciones de los elementos de base canónica la matriz correspondiente es
3 −5
a. 𝐴 = [𝑇(𝐞1 ) 𝑇(𝐞2 )] = [1 2 ]
3 0
1 0
1 4 −5
b. 𝐴 = [𝑇(𝐞1 ) 𝑇(𝐞2 ) 𝑇(𝐞3 )] = [
].
3 −7 4
Ejercicio 108. 𝑇: ℝ2 → ℝ2 gira puntos (alrededor del origen) a través de 3𝜋/2 radianes (en sentido contrario al de las
manecillas del reloj).
Resolución:
Si se toma la base canónica donde 𝐞1 = (1, 0) y 𝐞2 = (0, 1) se tiene que si 𝐞1 gira 3𝜋/2 radianes se encontrará en el
punto (0, −1) y 𝐞2 gira a el punto (1, 0), con lo cual las transformaciones correspondientes son 𝑇(𝐞1 ) = (1,0) y 𝑇(𝐞2 ) =
(0,1).
Como se tienen las transformaciones de los elementos de base canónica la matriz de transformación correspondiente es
0 1
𝐴 = [𝑇(𝐞1 ) 𝑇(𝐞2 )] = [
]
−1 0
Ejercicio 109. Sea 𝑇: ℝ2 → ℝ2 la transformación lineal tal que 𝑇(𝐞1 ) y 𝑇(𝐞2 ) son los vectores mostrados en la figura.
Utilice la figura para trazar el vector 𝑇(2, 1).
Resolución:
Si (2, 1) = 2𝐞1 + 𝐞2 , la imagen de (2, 1) bajo 𝑇 es 2𝑇(𝐞1 ) + 𝑇(𝐞2 ) debido a la linealidad de 𝑇. En la figura del ejercicio
se grafican 2𝑇(𝐞1 ) y 𝑇(𝐞2 ) para mediante el método del paralelogramo hallar el vector 𝑇(2, 1).
Sea 𝑇: ℝ2 → ℝ2 una transformación lineal con matriz estándar 𝐴 = [𝐚1 𝐚2 ], donde 𝐚1 y 𝐚2 se
−1
muestran en la figura. Utilice la figura para dibujar la imagen de [ ] bajo la transformación 𝑇.
3
Ejercicio 110.
Resolución:
139
Si 𝑇(𝐱) = 𝐴𝐱 = [𝐚1 𝐚2 ]𝐱 = 𝑥1 𝐚1 + 𝑥2 𝐚2 = −𝐚1 + 3𝐚2 , cuando 𝐱 = (1,3), la imagen de x se localiza formando el
paralelogramo de la figura.
Ejercicio 111. En los siguientes puntos, muestre que 𝑇 es una transformación lineal encontrando una matriz que
implemente la función. Observe que 𝑥1, , 𝑥2 ,… no son vectores sino entradas de vectores.
a.
𝑇(𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3, 𝑥4 ) = (0, 𝑥1, + 𝑥2 , 𝑥2 + 𝑥3 , 𝑥3 + 𝑥4 )
𝑇(𝑥1, 𝑥2 ) = (2𝑥2 − 3𝑥1 , 𝑥1 − 4𝑥2 , 0, 𝑥2 )
c. 𝑇(𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3 ) = (𝑥1 − 5𝑥2 + 4𝑥3 , 𝑥2 − 6𝑥3 )
Resolución:
a. Para expresar 𝑇(𝐱) como 𝐴𝐱, escriba 𝑇(𝐱) y 𝐱 como vectores columna, y luego inspeccione las entradas de 𝐴. Se nota
que 𝑇(𝐱) y 𝐱 tienen 4 entradas, 𝐴 debe ser una matriz de 4 × 4.
𝑥1
0
0 0 0 0 𝑥1
𝑥2
𝑥
𝑥1 + 𝑥2
𝑇(𝐱) = [
] = 𝐴 [𝑥 ] = [1 1 0 0] [𝑥2 ]
𝑥2 + 𝑥3
0 1 1 0
3
3
𝑥4
𝑥3 + 𝑥4
0 0 1 1 𝑥4
b. Se escribe 𝑇(𝐱) y 𝐱 como vectores columna, como 𝐱 tiene 2 entradas 𝐴 tiene 2 columnas. Dado que 𝑇(𝐱) tiene 4
entradas, 𝐴 tiene 4 filas.
2𝑥2 − 3𝑥1
−3 2
𝑥1
𝑥1
𝑥1 − 4𝑥2
𝑇(𝐱) = [
] = 𝐴 [𝑥 ] = [ 1 −4] [𝑥 ]
0
0
0
2
2
0
1
𝑥2
c. Como 𝑇(𝐱) tiene 2 entradas, 𝐴 tiene 2 filas y dado que 𝐱 tiene 3 entradas, A tiene 3 columnas.
𝑥1
𝑥1
𝑥 − 5𝑥2 + 4𝑥3
1 −5 4 𝑥
𝑇(𝐱) = [ 1
] = 𝐴 [𝑥2 ] = [
] [ 2]
𝑥2 − 6𝑥3
0 1 −6 𝑥3
𝑥3
Ejercicio 112. En los siguientes puntos, señale cada enunciado como verdadero o falso. Justifique cada una de sus
respuestas.
a. Una transformación lineal 𝑇: ℝn → ℝm está completamente determinada por su efecto sobre las columnas de la
matriz identidad 𝑛 × 𝑛.
b. Si 𝑇: ℝ2 → ℝ2 gira vectores alrededor del origen en un ángulo 𝜙, entonces 𝑇 es una transformación lineal.
c. Cuando se realizan dos transformaciones lineales una después de la otra, el efecto combinado puede no ser siempre
una transformación lineal.
d. Una función 𝑇: ℝn → ℝm es sobre ℝm si cada vector 𝐱 en ℝn se mapea sobre algún vector en ℝm .
e. Si 𝐴 es una matriz de 3 × 2, entonces la transformación 𝐱 → 𝐴𝐱 no puede ser uno a uno.
f. No toda transformación lineal de ℝn a ℝm es una transformación matricial.
g. Las columnas de la matriz estándar para una transformación lineal de ℝn a ℝm son las imágenes de las columnas de
la matriz identidad 𝑛 × 𝑛.
h. La matriz estándar de una transformación lineal de ℝ2 a ℝ2 que refleja puntos a través del eje horizontal, el eje
𝑎 0
vertical o el origen tiene la forma [
] , donde 𝑎 y 𝑑 son ±1.
0 𝑑
n
m
i. Una función 𝑇: ℝ → ℝ es inyectiva si cada vector en ℝn se mapea sobre un único vector en ℝm .
j. Si 𝐴 es una matriz de 3 × 2, entonces la transformación 𝐱 → 𝐴𝐱 no puede mapear ℝ2 sobre ℝ3 .
Resolución:
a. Verdadero. Sea 𝑇: ℝn → ℝm una transformación lineal. Entonces existe una única matriz 𝐴 tal que 𝑇(𝐱) = A𝐱 para
toda 𝐱 en ℝn . De hecho, 𝐴 es la matriz de 𝑚 × 𝑛 cuya 𝑗-ésima columna es el vector 𝑇(𝐞𝑗 ), donde 𝐞𝑗 es la 𝑗-ésima columna
de la matriz identidad en ℝn 𝐴 = [𝑇(𝐞1 ) … 𝑇(𝐞𝑛 )].
b. Verdadero. Toda transformación que se realice alrededor del origen es una transformación lineal.
c. Falso. Se pueden construir distintas transformaciones, siempre y cuando se aplique una transformación después de otra.
Por ejemplo, una transformación de trasquilado horizontal puede ir seguida de una reflexión sobre el eje 𝑥2 .
b.
140
d. Falso. Por definición, se dice que un mapeo 𝑇: ℝn → ℝm es sobre ℝm (suprayectiva) si cada 𝐛 en ℝm es la imagen de
al menos una 𝐱 en ℝn .
e. Falso. Si 𝑇 es, de hecho, una transformación lineal, y tiene su matriz estándar, las columnas de 𝐴 son linealmente
independientes ya que no son múltiplos, por ello 𝑇 es inyectiva.
f. Falso. Toda transformación lineal de ℝn a ℝm es una transformación matricial, y viceversa.
g. Verdadero. Si 𝑇: ℝn → ℝm una transformación lineal. Entonces existe una única matriz 𝐴 tal que 𝑇(𝐱) = A𝐱 para toda
𝐱 en ℝn . De hecho, 𝐴 es la matriz de 𝑚 × 𝑛 cuya 𝑗-ésima columna es el vector 𝑇(𝐞𝑗 ), donde 𝐞𝑗 es la 𝑗-ésima columna de
la matriz identidad en ℝn 𝐴 = [𝑇(𝐞1 ) … 𝑇(𝐞𝑛 )]
h. Verdadero. Observe la figura
i. Falso. Sea 𝑇: ℝn → ℝm una transformación lineal. Entonces 𝑇 es inyectiva si, y sólo si, la ecuación 𝑇(𝐱) = 0 tiene
únicamente la solución trivial. Si 𝑇 es inyectiva, entonces la ecuación 𝑇(𝐱) = 0 tiene cuando mucho una solución y, por
lo tanto, únicamente la solución trivial. Si 𝑇 no es inyectiva, entonces existe una b que es la imagen de al menos dos
vectores diferentes en ℝn .
j. Verdadero. Para decidir si 𝑇 es sobre ℝ3 , examine el espacio generado por las columnas de 𝐴. Como 𝐴 es de 3 × 2, las
columnas de 𝐴 generan ℝ3 sí, y sólo si, 𝐴 tiene 3 posiciones pivote. En este caso, esto es imposible, porque 𝐴 tiene sólo
2 columnas. Por lo tanto, las columnas de 𝐴 no generan ℝ3 , y la transformación lineal asociada no es sobre ℝ3 . Por lo
tanto, las columnas de 𝐴 no generan ℝ3 , y la transformación lineal asociada no es sobre ℝ3 .
Ejercicio 113. En los siguientes ejercicios, describa las posibles formas escalonadas de la matriz estándar para una
transformación lineal 𝑇.
a. 𝑇: ℝ3 → ℝ4 es inyectiva.
b. 𝑇: ℝ4 → ℝ3 es suprayectiva.
c. Sea 𝑇: ℝn → ℝm m una transformación lineal con matriz estándar 𝐴. Complete el siguiente enunciado para hacerlo
verdadero: “𝑇 es inyectiva si, y sólo si, 𝐴 tiene _____ columnas pivote”. Explique por qué el enunciado es verdadero.
d. Sea 𝑇: ℝn → ℝm una transformación lineal con matriz estándar 𝐴. Complete el siguiente enunciado para hacerlo
verdadero: “𝑇 mapea ℝn sobre ℝm si, y sólo si, 𝐴 tiene ______ columnas pivote”. Encuentre algunos teoremas que
expliquen por qué el enunciado es verdadero.
Resolución:
a. Por teorema, la columna de la matriz estándar 𝐴 debe ser linealmente independiente y debe darse que la ecuación A𝐱 =
0 no tenga variables libres. Para cada columna de 𝐴 debe haber una columna pivote, con lo cual una descripción estándar
es:
∎ ∗ ∗
0 ∎ ∗
[0 0 ∎
]
0
0 0
Note que 𝑇 no puede ser sobreyectiva por la forma de 𝐴 .
b. Las columnas de la matriz estándar A deben generar ℝ3 . Para ello la matriz debe tener un pivote en cada fila. Existen
cuatro posibilidades de matriz
∎ ∗ ∗ ∗ ∎ ∗ ∗ ∗ ∎ ∗ ∗ ∗ 0 ∎ ∗ ∗
[ 0 ∎ ∗ ∗ ] , [ 0 0 ∎ ∗ ] , [ 0 ∎ ∗ ∗ ] , [0 0 ∎ ∗ ]
0 0 0 ∎ 0 0 0 ∎ 0 0 0 ∎ 0 0 0 ∎
141
Note que 𝑇 no puede ser sobreyectiva por la forma de 𝐴.
c. “𝑇 es inyectiva si, y sólo si, 𝐴 tiene n columnas pivote”. 𝑇 es inyectiva si y solo si las columnas de 𝐴 son linealmente
independientes.
d. “𝑇 mapea ℝn sobre ℝm si, y sólo si, 𝐴 tiene m columnas pivote”. La transformación 𝑇 mapea ℝn en ℝm si y solo si
las columnas de 𝐴 generan ℝm .
Ejercicio 114. En los siguientes puntos, 𝑇 es una transformación lineal de ℝ2 en ℝ2 . Demuestre que 𝑇 es invertible y
encuentre una fórmula para 𝑇 −1 .
a. 𝑇(𝑥1 , 𝑥2 ) = (−5𝑥1 + 9𝑥2 , 4𝑥1 − 7𝑥2 )
b. 𝑇(𝑥1 , 𝑥2 ) = (6𝑥1 − 8𝑥2 , −5𝑥1 + 7𝑥1 )
Resolución:
−5 9
a. La matriz estándar de 𝑇 es 𝐴 = [
], la cual se busca si es invertible mediante el algoritmo, con lo que se obtiene
4 −7
7 9
que 𝐴−1 = [
]. Entonces la transformación 𝑇 es invertibles y su matriz estándar es 𝑇 −1 que es igual a 𝐴−1 . Por lo
4 5
cual
7 9 𝑥1
𝑇 −1 (𝑥1 , 𝑥2 ) = [
] [ ] = (7𝑥1 + 9𝑥2 , 4𝑥1 + 5𝑥2 )
4 5 𝑥2
6 −8
b. La matriz estándar de 𝑇 es 𝐴 = [
], la cual se busca si es invertible mediante el algoritmo, con lo que se obtiene
−5 7
1 7 8
que 𝐴−1 = [
]. Entonces la transformación 𝑇 es invertibles y su matriz estándar es 𝑇 −1 que es igual a 𝐴−1 . Por lo
2 5 6
cual
1 7 8 𝑥1
7
5
𝑇 −1 (𝑥1 , 𝑥2 ) = [
] [𝑥 ] = ( 𝑥1 + 4𝑥2 , 𝑥1 + 3𝑥2 )
2 5 6 2
2
2
Aplicaciones a los gráficos por computadora
Ejercicio 115. La letra N mayúscula de la figura está determinada por ocho puntos o vértices. Las coordenadas de los
puntos pueden almacenarse en una matriz de datos 𝐷.
Además de 𝐷, es necesario especificar cuáles vértices están conectados mediante líneas, pero aquí se omite este detalle.
La principal razón para describir los objetos gráficos por medio de segmentos de líneas rectas es que las transformaciones
estándar en los gráficos de computadora mapean segmentos de línea sobre otros segmentos de línea. Una vez
transformados los vértices que describen un objeto, se pueden conectar sus imágenes con las líneas rectas apropiadas para
producir la imagen completa del objeto original.
1 . 25
a. Dada 𝐴 = [
], describa el efecto de la transformación de trasquilado 𝐱 → 𝛥𝐱 sobre la letra N. (Bosqueje la
0 1
transformación estimada)
b. Encuentre la matriz de la transformación que realiza una transformación de trasquilado, como en el punto (a), y que
después modifica todas las coordenadas x mediante un factor a escala de 0.75. (Bosqueje la transformación estimada)
Resolución:
a. Por la definición de multiplicación de matrices, las columnas del producto 𝐴𝐷 contienen las imágenes de los vértices
de la letra N.
0 0.5 2.105 6 8 7.5 5.895 2
1 . 25 0 0.5 0.5 6 6 5.5 5.5 0
𝐴𝐷 = [
][
]=[
]
0 0 6.420 0 8 8 1.580 8
0 1 0 0 6.42 0 8 8 1.58 8
Los vértices transformados se grafican en la figura, junto con los segmentos de línea conectores que corresponden a los
de la fi gura original
0.75
b. La matriz que multiplica la coordenada x de un punto por 0.75 es 𝑆 = [
0
142
0
]
1
Así que la matriz de transformación compuesta es
0.75 0 1 0.25
0.75
𝑆𝐴 = [
][
]=[
0
1 0
1
0
El resultado de esta transformación compuesta se muestra en la figura
0.1875
]
1
Ejercicio 116. Encuentre la matriz de 3 × 3 que corresponde a la transformación compuesta de aplicar un escalamiento
por 0.3, una rotación de 90° y, por último, una traslación que suma (−0.5, 2) a cada punto de una figura.
Resolución:
Si 𝜙 = 𝜋/2, entonces sen 𝜙 = 1 y cos 𝜙 = 0. A partir de los ejemplos se tiene que
𝑥 𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 0.3 0 0 𝑥
[𝑦 ] →
[ 0 0.3 0] [𝑦]
1
0
0 1 1
0 0 𝑥
𝑅𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 0 −1 0 0.3
→
[1 0 0] [ 0 0.3 0] [𝑦]
0 0 1 0
0 1 1
0
−1
0
0.3 0 0 𝑥
1
0
−0.5
𝑇𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
→
[0 1
2 ] [1 0 0] [ 0 0.3 0] [𝑦]
0 0 1 0
0 1 1
0 0
1
La matriz para la transformación compuesta es:
1 0 −0.5 0 −1 0 0.3 0 0
0 −1 −0.5 0.3 0 0
0 −0.3 −0.5
[0 1
2 ] [1 0 0] [ 0 0.3 0] = [1 0
2 ] [ 0 0.3 0] = [0.3
0
2 ]
0 0 1 0
0 1
0
0 1
0 0
1
0 0
1
0
0
1
El progreso de las transformaciones puede observarse en las figuras
Figura original
Después del escalamiento
Después de la rotación
Después de la traslación
Ejercicio 117. Construya matrices de 4 × 4 para las siguientes transformaciones:
a. Rotación con respecto al eje y en un ángulo de 30°. (Por convención, un ángulo positivo está en sentido contrario al
de las manecillas del reloj cuando se ve hacia el origen desde la mitad positiva del eje de rotación, en este caso, el
eje 𝑦.)
b. Traslación mediante el vector 𝐩 = (−6, 4, 5).
Resolución:
Primero, construya la matriz de 3 × 3 para la rotación. El vector 𝐞1 gira hacia abajo en la dirección del eje 𝑧 negativo,
deteniéndose en (cos 30°, 0, −sen 30°) = ( √3/2, 0, −0.5). El vector 𝐞2 sobre el eje 𝑦 no se mueve, pero 𝐞3 sobre el eje
𝑧 gira hacia abajo en dirección del eje 𝑥 positivo, deteniéndose en (sen 30°, 0, cos30°) = (0.5, 0, √3/2). Vea la figura.
La matriz estándar para esta rotación es
0.5
√3/2 0
𝐴=[ 0
1
0 ]
−0.5 0 √3/2
Por lo tanto, la matriz de rotación para las coordenadas homogéneas es
√3/2 0 0.5 0
0
1
0]
𝐴=[ 0
0
√3/2 0
−0.5
0
1
0
0
Se desea que (𝑥, 𝑦, 𝑧, 1) mapee a (𝑥 − 6, 𝑦 + 4, 𝑧 + 5, 1). La matriz que hace esto
es
143
1 0 0 −6
[0 1 0 4 ]
0 0 1 5
0 0 0 1
Ejercicio 118. ¿Qué matriz de 3 × 3 tendrá el mismo efecto sobre las coordenadas homogéneas para ℝ2 que el de la
1 . 25
matriz de trasquilado 𝐴 = [
]?
0 1
Resolución:
𝐴 0
La representación en coordenadas homogéneas se puede escribir como una matriz particionada de la forma [ 𝑇
],
𝐴 1
1 . 25
donde 𝐴 es la matriz de la transformación lineal. Ya que en este caso 𝐴 = [
], la representación de la transformación
0 1
1 0.25 0
con respecto a las coordenadas homogéneas es [0
1
0].
0
0
1
Ejercicio 119. Use la multiplicación de matrices para encontrar la imagen del triángulo con matriz de datos 𝐷 =
5 2 4
[
] bajo la transformación que refleja los puntos sobre el eje 𝑦. Bosqueje tanto el triángulo original como su
0 2 3
imagen.
Resolución:
−1 0
La matriz de la transformación es 𝐴 = [
], entonces la matriz de datos transformada es
0 1
−1 0 5 2 4
−5 −2 −4
𝐴𝐷 = [
][
]=[
]
0 1 0 2 3
0
2
3
Tanto el triángulo original como el triángulo transformado se muestran en el siguiente boceto.
Ejercicio 120. En los siguientes puntos, y usando coordenadas homogéneas, encuentre las matrices de 3 × 3 que
producen las transformaciones bidimensionales compuestas descritas.
a. Trasladar mediante (3, 1), y luego girar en 45° alrededor del origen.
b. Trasladar mediante (−2, 3), y luego escalar la coordenada 𝑥 por 0.8 y la coordenada 𝑦 por 1.2.
c. Reflejar puntos a través del eje 𝑥, y luego girar en 30° alrededor del origen.
d. Rotar puntos en 30°, y luego reflejarlos a través del eje 𝑥.
e. Rotar puntos en 60° alrededor del punto (6, 8).
f. Rotar puntos en 45° alrededor del punto (3, 7).
Resolución:
0 1 0 3
√2/2 −√2/2
]
[
]
=
[
0
1
1
0
√2/2
√2/2 √2/2
0
0
1 0 0 1
0
0
0.8 0 0 1 0 −2
0.8 0 −1.6
b. [ 0 1.2 0] [0 1 3 ] = [ 0 1.2 3.6 ]
0
0 1 0 0 1
0
0
1
1/2
√3/2 −1/2 0 1 0 0
√3/2
c. [ 1/2 √3/2 0] [0 −1 0] = [ 1/2 −√3/2
0
0
1 0 0 1
0
0
1 0 0 √3/2 −1/2 0
√3/2 −1/2
d. [0 −1 0] [ 1/2 √3/2 0] = [−1/2 −√3/2
0 0 1
0
0
1
0
0
√2/2
a. [√2/2
−√2/2
√2
2√2]
1
0
0]
1
0
0]
1
1/2
e. La matriz da una rotación de 60 ° alrededor del origen en coordenadas homogéneas es [√3/2
−√3/2 0
1/2
0]. Para rotar
0
0
1
sobre el punto (6, 8), primero traduzca por (–6, –8), luego gire sobre origen, luego traduzca de nuevo por (6, 8). Una
rotación de 60 ° aproximadamente (6, 8) se da así en coordenadas homogéneas por la matriz
144
1
[0
0
0
−1
0
0 1/2
0] [√3/2
1
0
−√3/2
1/2
0
0 1
0] [0
1 0
0
1
0
1/2
−6
−8] = [√3/2
1
0
−√3/2
3 + 4√3
1/2
0
4 − 3√3]
1
√2/2 −√2/2
0
√2/2 0]. Para rotar
0
0
1
sobre el punto (3, 7), primero traduzca por (–3, –7), luego gire sobre origen, luego traduzca de nuevo por (3, 7) (vea el
Problema de práctica en esta sección). Una rotación de 45 ° aproximadamente (3, 7) se da así en coordenadas homogéneas
por la matriz.
f. La matriz que da una rotación de 45 ° sobre el origen en coordenadas homogéneas es [√2/2
1
[0
0
0
1
0
√2/2
3
7] = [√2/2
1
0
−√2/2
√2/2
0
0 1
0] [ 0
1 0
0
1
0
√2/2
−3
−7] = [√2/2
1
0
−√2/2
3 + 2√2
√2/2
0
7 − 5√2]
1
Subespacios de ℝ𝒏
Ejercicio 121. Verifique los siguientes enunciados:
a. Si 𝐯𝟏 y 𝐯𝟐 están en ℝ𝑛 y 𝐻 = 𝐆𝐞𝐧{𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 }, entonces 𝐻 es un subespacio de ℝ𝑛 .
b. Una línea 𝐿 que no pasa por el origen no es un subespacio, porque no contiene al origen.
c. Para 𝐯𝟏 , … . . , 𝐯𝒑 en ℝ𝑛 , el conjunto de todas las combinaciones lineales de 𝐯𝟏 , … . . , 𝐯𝒑 es un subespacio de ℝ𝑛 .
Resolución:
a. Para verificar este enunciado, observe que el vector cero está en 𝐻 (porque 0𝐯 + 0𝐮 es una combinación lineal de 𝐮 y
𝐯). Ahora tome dos vectores arbitrarios en 𝐻, por ejemplo,
𝐮 = 𝑠1 𝐯𝟏 + 𝑠2 𝐯𝟐 y 𝐮 = 𝑡1 𝐯𝟏 + 𝑡2 𝐯𝟐
Entonces
𝐮 + 𝐯 = (𝑠1 + 𝑡1 )𝐯𝟏 + (𝑠2 + 𝑡2 )𝐯𝟐
Lo cual muestra que 𝐮 + 𝐯 es una combinación lineal de 𝐯𝟏 y 𝐯𝟐 y, por lo tanto, está en 𝐻.
Asimismo, para cualquier escalar 𝑐, el vector 𝑐𝐮 está en 𝐻, porque 𝑐𝐮 = 𝑐(𝑠1 𝐯𝟏 + 𝑠2 𝐯𝟐 ) = (𝑐𝑠1 )𝐯𝟏 + (𝑐𝑠2 )𝐯𝟐 .
b. Una línea 𝐿 que 𝑛𝑜 pasa por el origen 𝑛𝑜 es un subespacio, porque no contiene al origen, como se requiere. También,
la figura muestra que 𝐿 no es cerrada bajo la suma ni bajo la multiplicación escalar.
c. La verificación de este enunciado es similar al argumento dado en el punto a. Ahora es necesario hacer referencia a
𝐆𝐞𝐧{𝐯𝟏 , … , 𝐯𝐩 } como el subespacio generado por 𝐯𝟏 , … , 𝐯𝐩 .
1 −3 −4
3
Ejercicio 122. Sea 𝐴 = [−4 6 −2] y 𝐛 = [ 3 ]. Determine si 𝐛 está en el espacio columna de 𝐴.
−3 7
6
−4
Resolución:
El vector 𝐛 es una combinación lineal de las columnas de 𝐴 si, y sólo si, 𝐛 puede escribirse como 𝐴𝐱 para alguna 𝐱, esto
es, si, y sólo si, la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene una solución. Al reducir por filas la matriz aumentada[𝐴 𝐛], se tiene se
concluye que 𝐴𝐱 = 𝐛 es consistente, y 𝐛 está en 𝐂𝐨𝐥 𝐴.
145
Ejercicio 123.
Encuentre una base para el espacio nulo de la matriz
−3 6 −1 1 −7
𝐴 = [ 1 −2 2 3 −1]
2 −4 5 8 −4
Resolución:
Primero, escriba la solución de 𝐴𝐱 = 𝟎 en forma vectorial paramétrica:
1 −2 0 −1 3 0 𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥4 + 3𝑥5 = 0
𝐴 = [0 0 1 2 −2 0], 𝑥3 + 2𝑥4 − 2𝑥5 = 0
0 0 0 0
0 0
0=0
La solución general es 𝑥1 = 2𝑥2 + 𝑥4 − 3𝑥5 , 𝑥3 = −2𝑥4 + 2𝑥5 , con 𝑥2 , 𝑥4 y 𝑥5 libres.
𝑥1
2𝑥2 + 𝑥4 − 3𝑥5
2
1
−3
𝑥2
𝑥2
1
0
0
𝑥3 = −2𝑥4 + 2𝑥5 = 𝑥2 0 + 𝑥4 −2 + 𝑥5 2 = 𝑥2 𝐮 + 𝑥4 𝐯 + 𝑥5 𝐰
𝑥4
𝑥4
0
1
0
[1]
[𝑥5 ] [
[0]
[0]
𝑥5
]
La ecuación (1) muestra que Nul 𝐴 coincide con el conjunto de todas las combinaciones lineales de 𝐮, 𝐯 y 𝐰. Esto es,
{𝐮, 𝐯, 𝐰} genera Nul 𝐴. De hecho, esta construcción de u, v y w las vuelve, de manera automática, linealmente
independientes, porque (1) muestra que 0 = 𝑥2 𝐮 + 𝑥4 𝐯 + 𝑥5 𝐰 solamente si los pesos 𝑥2 , 𝑥4 y 𝑥5 son todos cero.
(Examine las entradas 2, 4 y 5 del vector 𝑥2 𝐮 + 𝑥4 𝐯 + 𝑥5 𝐰.) Por lo tanto, {𝐮, 𝐯, 𝐰} es una base para Nul 𝐴.
Ejercicio 124. Encuentre una base para el espacio columna de la matriz
1 0 −3 5 0
𝐵 = [0 1 2 −1 0]
0 0 9
0 1
0 0 9
0 0
Denote las columnas de 𝐵 mediante 𝐛𝟏 , … , 𝐛𝟓 y observe que 𝐛𝟑 = −𝟑𝐛𝟏 + 𝟐𝐛𝟐 , y que 𝐛𝟒 = 𝟓𝐛𝟏 − 𝐛𝟐 . El que 𝐛𝟑 y 𝐛𝟒
sean combinaciones de las columnas pivote implica que cualquier combinación de 𝐛𝟏 , … , 𝐛𝟓 es en realidad sólo una
combinación de 𝐛𝟏 , 𝐛𝟐 y 𝐛𝟓 . En efecto, si 𝒗 es cualquier vector en Col B, por ejemplo,
𝐯 = 𝑐1 𝐛𝟏 + 𝑐2 𝐛𝟐 + 𝑐3 𝐛𝟑 + 𝑐4 𝐛𝟒 + 𝑐5 𝐛𝟓
entonces, sustituyendo 𝐛𝟑 y 𝐛𝟒 , se puede escribir 𝐯 en la forma
𝐯 = 𝑐1 𝐛𝟏 + 𝑐2 𝐛𝟐 + 𝑐3 (−𝟑𝐛𝟏 + 𝟐𝐛𝟐 ) + 𝑐4 (𝟓𝐛𝟏 − 𝐛𝟐 ) + 𝑐5 𝐛𝟓
lo cual es una combinación lineal de 𝐛𝟏 , 𝐛𝟐 y 𝐛𝟓 . Así que {𝐛𝟏 , 𝐛𝟐 , 𝐛𝟓 } genera Col 𝐵. También, 𝐛𝟏 , 𝐛𝟐 y 𝐛𝟓 son linealmente
independientes, porque son columnas de una matriz identidad. Por lo tanto, las columnas pivote de 𝐵 forman una base
para Col 𝐵.
Ejercicio 125. En los siguientes puntos se muestran conjuntos en ℝ2 . Suponga que los conjuntos incluyen las líneas
de frontera. En cada caso, proporcione una razón específica por la cual el conjunto 𝐻 no es un subespacio de ℝ2 . (Por
ejemplo, encuentre dos vectores en 𝐻 cuya suma no esté en 𝐻, o encuentre un vector en 𝐻 con un múltiplo escalar que
no esté en 𝐻. Trace un esquema.)
a.
146
b.
d.
c.
Resolución:
a. El conjunto está cerrado por sumas, pero no por multiplicación por un escalar negativo. Un contraejemplo al subespacio
La condición se muestra a la derecha.
b. El conjunto se cierra bajo múltiplos escalares, pero no sumas. Por ejemplo, la suma de los vectores 𝐮 y 𝐯 mostrados
aquí no está en 𝐻.
c. No. El conjunto no está cerrado bajo sumas o múltiplos escalares. El subconjunto que consiste en los puntos en la línea
𝑥2 = 𝑥1 es un subespacio, entonces cualquier "Contraejemplo" debe usar al menos un punto que no esté en esta línea.
Aquí hay dos contraejemplos para las condiciones del subespacio:
d. No. El conjunto está cerrado por sumas, pero no por multiplicación por escalar negativo
Ejercicio 126.
2
−4
8
Sean 𝐯1 = [ 3 ], 𝐯2 = [−5], y 𝐰 = [ 2 ]. Determine si 𝐰 está en el subespacio de ℝ3 generado por 𝐯1
8
−5
−9
y 𝐯2 .
Resolución:
El vector 𝐰 está en el subespacio generado por 𝐯1 y 𝐯2 si y solo si la ecuación del vector 𝑥1 𝐯1 + 𝑥2 𝐯2 = 𝐰 es consistente.
Las siguientes operaciones de fila muestran que 𝐰 no está en el subespacio generado por 𝐯1 y 𝐯2 .
147
2 −4 8
2 −4
8
2 −4
8
𝐰] → [ 3 −5 2 ] → [0 1 −10] → [0 1 −10]
−5 8 −9
0 −2 11
0 0
−9
1
4
−4
5
Ejercicio 127. Sean 𝐯1 = [−2], 𝐯2 = [−7], 𝐯3 = [−8] y 𝐮 = [ 10 ]. Determine si 𝐮 está en el subespacio de ℝ4
4
9
−7
6
3
7
−5
5
generado por {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 }.
Resolución:
El vector 𝐮 está en el subespacio generado por 𝐯1 ,𝐯2 y 𝐯3 si y solo si la ecuación del vector 𝑥1 𝐯1 + 𝑥2 𝐯2 + 𝑥3 𝐯3 = 𝐮 es
consistente. Las siguientes operaciones de fila muestran que 𝐮 no está en el subespacio generado por 𝐯1 ,𝐯2 y 𝐯3 .
1
4
1 4
−4
1 4 5 −4
5 −4
5
−7
10
0
−2
−8
1
2
2
[𝐯𝟏 𝐯𝟐 𝐯𝟑 𝐰] → [
]→[
] → [0 1 2 2 ]
4
9
0 −7 −14 9
0 0 0 23
6 −7
3
7
0 −5 −10 7
0 0 0 17
5 −5
2
−3
−4
6
Ejercicio 128. Sean 𝐯1 = [−8], 𝐯2 = [ 8 ], 𝐯3 = [ 6 ], 𝐩 = [−10] y 𝐴 = [𝐯1 𝐯2 𝐯3 ].
6
−7
−7
11
a. ¿Cuántos vectores hay en {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 }?
b. ¿Cuántos vectores hay en Col 𝐴?
c. ¿Está 𝐩 en Col 𝐴? ¿Por qué sí o por qué no?
Resolución:
a. Hay tres vectores: 𝐯1 ,𝐯2 y 𝐯3 en el conjunto {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 }.
b. Hay infinitos vectores en 𝐆𝐞𝐧{𝒗1 , 𝒗2 , 𝒗3 } = 𝐂𝐨𝐥 𝐴.
c. Decidir si 𝐩 está en 𝐂𝐨𝐥 𝐴 requiere cálculo:
2 −3 −4
2 −3 −4
6
2 −3 −4
6
6
[𝐴 𝐩] → [−8 8
6 −10] → [0 −4 −10 14 ] → [0 −4 −10 14]
6 −7 −7 11
0 2
5
−7
0 0
0
0
La ecuación 𝐴𝐱 = 𝐩 tiene una solución, entonces 𝐩 está en 𝐂𝐨𝐥 𝐴.
−3
−2
0
1
Ejercicio 129. Sean 𝐯1 = [ 0 ], 𝐯2 = [ 2 ], 𝐯3 = [−6] y 𝐩 = [ 14 ]. Determine si 𝐩 está en Col 𝐴, donde 𝐴 =
6
3
3
−9
[𝐯1 𝐯2 𝐯3 ].
Resolución:
2 −3 −4
2 −3 −4
6
2 −3 −4
6
6
[𝐴 𝐩] → [−8 8
6 −10] → [0 −4 −10 14 ] → [0 −4 −10 14]
6 −7 −7 11
0 2
5
−7
0 0
0
0
Sí, la matriz aumentada [𝐴 𝐩] corresponde a un sistema consistente, por lo que 𝐩 está en Col A.
2 −3 −4
6
Ejercicio 130. Con 𝐴 = [−8 8
6 ] y 𝐩 = [−10], determine si 𝐩 está en Nul 𝐴.
6 −7 −7
11
Resolución:
Para determinar si p está en Nul A, simplemente calcule Ap.
2 −3 −4
−2
6
𝐴𝐩 = [−8 8
6 ] [−10] = [−62]. Como 𝐴𝐩 ≠ 𝟎, 𝐩 no está en Nul 𝐴.
6 −7 −7 11
29
−3 −2 0
Ejercicio 131. Con 𝑢 = (−2, 3, 1) y 𝐴 = [ 0
2 −6], determine si 𝐮 está en Nul 𝐴.
6
3
3
Resolución:
Para determinar si u está en Nul A, simplemente calcule Au. Usando A como en el ejercicio 7 y 𝐮 = (– 2, 3, 1),
−3 −2 0 −2
0
𝐴𝐮 = [ 0
2 −6] [ 3 ] = [0]. Si, 𝐮 está en Nul 𝐴.
6
3
3
1
0
Ejercicio 132. En los siguientes puntos, proporcione enteros 𝑝 y 𝑞 tales que Nul 𝐴 sea un subespacio de ℝ𝑝 y Col 𝐴 un
subespacio de ℝ𝑞 .
1
3
1 −5
2
3
2
a. 𝐴 = [−9 −4 1
4
5
7]
7]
b. 𝐴 = [
−5 −1 0
9
2 −5 1
2
7 11
Resolución:
[𝐯𝟏
148
𝐯𝟐
a. 𝐩 = 𝟒 y 𝐪 = 𝟑. Nul 𝐴 es un subespacio de ℝ4 porque las soluciones de 𝐴𝐱 = 𝟎 deben tener 4 entradas, para que
coincida con las columnas de A. Col 𝐴 es un subespacio de ℝ3 porque cada vector de columna tiene 3 entradas.
b. 𝐩 = 𝟑 y 𝐪 = 𝟒. Nul 𝐴 es un subespacio de ℝ3 porque las soluciones de 𝐴𝐱 = 𝟎 deben tener 3 entradas, para que
coincida con las columnas de A. Col 𝐴 es un subespacio de ℝ4 porque cada vector de columna tiene 4 entradas.
3
1 −5
2
Ejercicio 133. Para 𝐴 = [−9 −4 1
7 ], encuentre un vector diferente de cero en Nul 𝐴 y un vector diferente
9
2 −5 1
de cero en Col 𝐴.
Resolución:
Para producir un vector en Col 𝐴, seleccione cualquier columna de A. Para Nul 𝐴, resuelva la ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎. (Incluya
una columna aumentada de ceros, para evitar errores).
3
1 −5 0
3 2
1 −5 0
3 2 1 −5 0
3 2 1 −5 0
2
[−9 −4 1
4 −8 0] → [0 2 4 −8 0] → [0 1 2 −4 0]
7 0] → [0 2
9
2 −5 1 0
0 −4 −8 16 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
𝑥1 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
1 0 −1 1 0
→ [0 1 2 −4 0] , 𝑥2 − 2𝑥3 − 4𝑥4 = 0
0 0 0
0 0
0=0
La solución general es 𝑥1 = 𝑥3 − 𝑥4 y 𝑥2 = 2𝑥3 + 4𝑥4 =, con 𝑥3 y 𝑥4 libres. La solución general en la forma vectorial
paramétrica no es necesaria. Todo lo que se requiere aquí es un vector distinto de cero. Así que elige cualquier valor para
𝑥3 y 𝑥4 (no ambos cero). Por ejemplo, establezca 𝑥3 = 1 y 𝑥4 = 0 para obtener el vector (1, – 2, 1, 0) en Nul 𝐴.
Ejercicio 134.
1
Para 𝐴 = [ 4
−5
2
2
5
−1
7
3
7 ], encuentre un vector diferente de cero en Nul 𝐴 y un vector diferente de cero
0
11
en Col 𝐴.
Resolución:
Para producir un vector en Col 𝐴, seleccione cualquier columna de A. Para Nul 𝐴 , resuelva la ecuación 𝐴𝐱 = 𝟎:
3
1
3 0
2
3 0
1 2
1 2
0
1 1 −1/3 0
5/3 0
5/3 0
−5
4
5
0
0
−3
0
0
7
1
[
]→[
]→[
] → [0 1
]
0 9 15 0
0 0
0
0 0
0
−5 −1 0 0
0
0
0 3
0 0
0
0 0
0
2
7 11 0
5 0
0
0
La solución general es 𝑥1 = (1/3) 𝑥3 y 𝑥2 = (– 5/3)𝑥3 , con 𝑥3 libre. La solución general no necesita forma vectorial
paramétrica. Todo lo que se requiere aquí es un vector distinto de cero. Entonces elija cualquier valor de 𝑥3 y 𝑥4 (no
ambos cero). Por ejemplo, establezca 𝑥3 = 3 para obtener el vector (1, –5, 3) en Nul 𝐴.
Dimensión y rango
3
3
−1
Sea 𝐯1 = [6], 𝐯2 = [ 0 ], 𝐱 = [12] y 𝔙 = {𝐯1 , 𝐯2 }. Entonces 𝔙 es una base de 𝐻 = Gen{𝐯1 , 𝐯2 } porque
2
1
7
𝐯1 y 𝐯2 son linealmente independientes. Determine si 𝐱 está en 𝐻 y, si lo está, encuentre el vector de coordenadas de 𝐱
relativo a 𝔙.
Resolución:
Si 𝐱 está en 𝐻, entonces la siguiente ecuación vectorial es consistente:
3
3
−1
𝑐1 [6] + 𝑐2 [ 0 ] = [12]
2
1
7
Los escalares 𝑐1 , 𝑐2 si existen, son las 𝔙 -coordenadas de 𝐱. Al aplicar operaciones por fila, se tiene que
3 −1 3
1 0 2
[6 0 12] → [0 1 3]
2 1
7
0 0 0
2
Entonces 𝑐1 = 2, 𝑐2 = 3, y [𝐱]𝔙 = [ ]. La base 𝔙 determina un “sistema de coordenadas” en 𝐻, lo cual puede visualizarse
3
por medio de la red mostrada en la figura.
Ejercicio 135.
149
Ejercicio 136.
Determine el rango de la matriz
2
𝐴 = [4
6
0
5
7
9
−9
−3
−4
−5
6
−4
−3
2
5
8
9]
4
−6
Resolución:
Reduzca 𝐴 a la forma escalonada
2 5 −3 −4 8
2 5 −3 −4 8
−4
−3
9
5 −7]
4
7
𝐴=[
] → [0 −3 2
6 9 −5 2
4
0
4 −6
0 0
0 −9 6
5 −6
0 0
0
0
0
La matriz 𝐴 tiene tres columnas pivote, así que rango 𝐴 =3.
Ejercicio 137. En los siguientes puntos, encuentre el vector 𝐱 determinado por el vector de coordenadas [𝐱]𝖁 dado y
la base 𝔙 dada. Ilustre cada respuesta con una figura.
1
2
3
a. 𝔙 = {[ ] , [ ]} , [𝐱]𝖁 = [ ]
1 −1
2
−2 3
−1
b. 𝔙 = {[ ] , [ ]} , [𝐱]𝖁 = [ ]
1
1
3
Resolución:
3
a. Si [𝐱]𝖁 = [ ], entonces 𝐱 se forma a partir de 𝐛1 y 𝐛2 usando los pesos 3 y 2:
2
1
2
7
𝐱 = 𝟑𝐛1 + 2𝐛2 = 3 [ ] + 2 [ ] = [ ]
1
−1
1
b. Si [𝐱]𝖁 = [
−1
], entonces 𝐱 se forma a partir de 𝐛1 y 𝐛2 usando los pesos -1 y 3:
3
−2
3
11
𝐱 = (−𝟏)𝐛1 + 3𝐛2 = (−𝟏) [ ] + 3 [ ] = [ ]
1
1
2
Ejercicio 138. En los siguientes puntos, el vector 𝐱 está en un subespacio 𝐻 que tiene una base 𝔙 = {𝐛1 , 𝐛2 }. Encuentre
el vector de 𝔙-coordenadas de 𝐱.
1
−2
−3
a. 𝐛1 = [ ], 𝐛2 = [ ], 𝐱 = [ ]
−4
7
7
150
1
−3
−7
𝐛1 = [ ], 𝐛2 = [ ], 𝐱 = [ ]
5
−3
5
Resolución:
a. Para hallar 𝑐1 y 𝑐2 se debe satisfacer 𝐱 = 𝑐1 𝐛1 + 𝑐2 𝐛2 , reduciendo por filas la matriz aumentada
1 −2 −3
1 −2 −3
1 0 7
[𝐛𝟏 𝐛𝟐 𝐱] = [
]→[
]→[
]
−4 7
7
0 −1 −5
0 1 5
𝑐1
7
También se puede escribir la ecuación matricial y hallar su inversa, en este caso [𝐱]𝖁 = [𝑐 ] = [ ].
5
2
b. Para hallar 𝑐1 y 𝑐2 se debe satisfacer 𝐱 = 𝑐1 𝐛1 + 𝑐2 𝐛2 , reduciendo por filas la matriz aumentada
1 −3 −7
1 −3 −7
1 0 5
[𝐛𝟏 𝐛𝟐 𝐱] = [
]→[
]→[
]
−3 5
5
0 −4 −16
0 1 4
𝑐1
5
También se puede escribir la ecuación matricial y hallar su inversa, en este caso [𝐱]𝖁 = [𝑐 ] = [ ].
2
4
Ejercicio 139. En los siguientes puntos, encuentre una base para el subespacio que generan los vectores dados. ¿Cuál
es la dimensión del subespacio?
1
−3
2
−4
−3
9
−1
a. [ ] , [ ] , [ ] , [ 5 ]
4
2
−6
−3
2
7
−4
12
1
2
0
−1
3
−3
−8
−1
2
4
b. [ ] , [ ] , [ ] , [ ] , [ ]
−2
−6
−7
−1
9
5
6
8
7
−5
Resolución:
a. Los cuatro vectores abarcan el espacio de columna 𝐻 de una matriz que puede reducirse a la forma escalonada:
1 −3 2 −4
1 −3 2 −4
1 −3 2 −4
1 −3 2 −4
−7
−7
5
0
0
5
0
0
5
−3
9
−1
[
]→[
]→[
] → [0 0 5 −7]
2 −6 4 −3
0 0
0
5
0 0 0 5
0 0 0 5
7
0 0 10 −9
0 0 0 5
0 0 0 0
−4 12 2
Las columnas 1, 3 y 4 de la matriz original forman una base para 𝐻, así que dim 𝐻 = 3.
b. Los cinco vectores abarcan el espacio de columna 𝐻 de una matriz que puede reducirse a la forma escalonada:
3
1
2
0 −1 3
1 2
0 −1
1 2 0 −1 3
−5
−3
−8
0
−1
2
4
−1
2
3
[
]→[
] → [0 −1 2 3 −5]
−2 −1 −6 −7 9
0 3 −6 −9 15
0 0 0 0
0
5
6
8
7 −5
0 −4 8 12 −20
0 0 0 0
0
Las columnas 1 y 2 de la matriz original forman una base para 𝐻, así que dim 𝐻 = 2.
Ejercicio 140. Suponga que una matriz 𝐴 de 3 × 5 tiene tres columnas pivote. ¿Es Col 𝐴 = ℝ3? ¿Es Nul 𝐴 = ℝ2 ?
Explique sus respuestas.
Resolución:
Col 𝐴 = ℝ3 , porque 𝐴 tiene un pivote en cada fila y las columnas de 𝐴 abarcan ℝ3 . Nul 𝐴 no puede ser igual a ℝ2 , porque
Nul 𝐴 es un subespacio de ℝ5 . Sin embargo, es cierto que Nul 𝐴 es bidimensional. Motivo: La ecuación 𝐴𝐱 = 0 tiene dos
variables libres, porque 𝐴 tiene cinco columnas y solo tres de ellas son pivote columnas
Ejercicio 141. Suponga que una matriz 𝐴 de 4 × 7 tiene tres columnas pivote ¿Es Col 𝐴 = ℝ3 ? ¿Cuál es la dimensión
de Nul 𝐴? Explique sus respuestas.
Resolución:
Col 𝐴 no puede ser ℝ3 porque las columnas de 𝐴 tienen cuatro entradas. (De hecho, Col 𝐴 es un subespacio tridimensional
de ℝ4 , porque las 3 columnas pivote de 𝐴 forman una base para Col 𝐴). Dado que A tiene 7 columnas y 3 columnas
pivote, la ecuación 𝐴𝐱 = 0 tiene 4 variables libres. Entonces, dim Nul 𝐴 = 4.
Ejercicio 142. En los siguientes puntos, señale cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas. Aquí
𝐴 es una matriz 𝑚 × 𝑛.
a. Si 𝖁 = {𝐯1 , … . , 𝐯𝑝 } es una base para un subespacio 𝐻, y si 𝐱 = 𝑐1 𝐯1 + ⋯ + 𝑐𝑝 𝐯𝑝 , entonces 𝑐1 , … , 𝑐𝑝 son las
coordenadas de 𝐱 relativas a la base 𝔙.
b. Cada línea en ℝ𝑛 es un subespacio unidimensional de ℝ𝑛 .
c. La dimensión de Col 𝐴 es el número de columnas pivote de 𝐴.
d. Las dimensiones de Col 𝐴 y Nul 𝐴 suman el número de columnas de 𝐴.
e. Si un conjunto de 𝑝 vectores genera un subespacio 𝑝-dimensional 𝐻 de ℝ𝑛 , entonces estos vectores forman una base
para 𝐻.
b.
151
Si 𝖁 es una base para un subespacio 𝐻, entonces cada vector en 𝐻 puede escribirse sólo de una forma como
combinación lineal de los vectores en 𝔙.
g. Si 𝖁 = {𝐯1 , … . , 𝐯𝑝 } es una base para un subespacio 𝐻 de ℝ𝑛 , entonces la correspondencia 𝐱 → [𝑥]𝔙 hace que 𝐻 se
vea y actúe igual que ℝ𝑝 .
h. La dimensión de Nul 𝐴 es el número de variables en la ecuación 𝐴𝐱 = 0.
i. La dimensión del espacio columna de 𝐴 es rango 𝐴.
j. Si 𝐻 es un subespacio 𝑝-dimensional de ℝ𝑛 , entonces un conjunto linealmente independiente de 𝑝 vectores en 𝐻 es
una base para 𝐻.
Resolución:
a. Verdadero. Esta es la definición de un vector de coordenadas 𝐵.
b. Falso. La dimensión se define solo para un subespacio. Una línea debe pasar por el origen en ℝ𝑛 para ser un
subespacio de ℝ𝑛 .
c. Verdadero. El número de columnas pivote de 𝐴 es el rango de 𝐴 , que es la dimensión de Col 𝐴 por definición.
d. Verdadero. Esto es equivalente al teorema del rango porque el rango 𝐴 es la dimensión de la columna 𝐴.
e. Verdadero, según el teorema de la base. En este caso, el conjunto de expansión es automáticamente un conjunto
linealmente independiente.
f. Verdadero. Este hecho está justificado en el segundo párrafo de esta sección.
g. Verdadero. En general, si 𝖁 = {𝐯1 , … . , 𝐯𝑝 } es una base para 𝐻, entonces la función 𝐱 → [𝑥]𝔙 es una correspondencia
uno a uno que permite a 𝐻 verse y funcionar igual que ℝ𝑝 (aunque los propios vectores de 𝐻 puedan tener más de 𝑝
entradas).
h. Falso. La dimensión de Nul 𝐴 es el número de variables libres en la ecuación 𝐴𝐱 = 0.
i. Verdadero, por la definición de rango.
j. Verdadero, según el teorema de la base. En este caso, el conjunto linealmente independiente es automáticamente un
conjunto de expansión.
Ejercicio 143. En los siguientes puntos justifique cada respuesta o construcción.
a. Si el subespacio de todas las soluciones de 𝐴𝐱 = 0 tiene una base que consiste en tres vectores, y si 𝐴 es una matriz
de 5 × 7, ¿cuál es el rango de 𝐴?
b. ¿Cuál es el rango de una matriz de 4 × 5 cuyo espacio nulo es tridimensional?
c. Si el rango de una matriz 𝐴 de 7 × 6 es 4, ¿cuál es la dimensión del espacio solución de 𝐴𝐱 = 0?
Resolución:
a. El hecho de que el espacio de solución de 𝐴𝐱 = 0 tenga una base de tres vectores significa que dim Nul 𝐴 = 3. Dado
que la matriz 𝐴 de 5 × 7 tiene 7 columnas, el teorema del rango muestra que el rango 𝐴 = 7 − dim Nul 𝐴 = 4.
b. Una matriz 𝐴 de 4 × 5 tiene 5 columnas. Por el teorema del rango, rango 𝐴 = 5 − dim Nul 𝐴. Dado que el espacio
nulo es tridimensional, rango 𝐴 = 2.
c. Una matriz de 7 × 6 tiene 6 columnas. Por el teorema del rango, dim Nul 𝐴 = 6 − rango 𝐴. Dado que el rango es
cuatro, dim Nul 𝐴 = 2. Es decir, la dimensión del espacio de solución de 𝐴𝐱 = 0 es dos
Ejercicio 144. Sean 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 números fijos. La matriz siguiente, llamada matriz de Vandermonde, aparece en
aplicaciones como procesamiento de señales, códigos correctores de errores, e interpolación de polinomios.
𝑛−1
2
1 𝑥1 𝑥1 ⋯ 𝑥1
𝑛−1
2
𝑥2
𝑉 = 1 ⋮ 𝑥2 ⋯ 𝑥2
⋮
⋮
⋮
⋯
[1 𝑥𝑛 𝑥𝑛2
𝑥𝑛𝑛−1 ]
Dado 𝐲 = (𝑦1 , . . . , 𝑦𝑛 ) en ℝ𝑛 , suponga que 𝐜 = (𝑐0 , . . . , 𝑐𝑛−1 ) en ℝ𝑛 satisface 𝑉𝐜 = 𝐲, y defina el polinomio
𝑝(𝑡) = 𝑐0 + 𝑐1 𝑡 + 𝑐2 𝑡 2 + · · · +𝑐𝑛−1 𝑡 𝑛−1
a. Demuestre que 𝑝(𝑥1 ) = 𝑦1 , … , 𝑝(𝑥𝑛 ) = 𝑦𝑛 . Se llama a 𝑝(𝑡) un polinomio de interpolación para los puntos
(𝑥1 , 𝑦1 ), … , (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) porque la gráfica de 𝑝(𝑡) pasa por estos puntos.
b. Suponga que 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 son números distintos. Muestre que las columnas de 𝑉 son linealmente independientes.
[Sugerencia: ¿Cuántos ceros puede tener un polinomio de grado 𝑛 − 1?]
c. Demuestre que: “Si 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 son números distintos y 𝑦1 , . . . , 𝑦𝑛 son números arbitrarios, entonces hay un polinomio
de interpolación de grado ≤ 𝑛 − 1 para (𝑥1 , 𝑦1 ), … , (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ).”
Resolución:
𝑐0
a. Para 𝑖 = 1, … , 𝑛, 𝑝(𝑥𝑖 ) = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥𝑖 + ⋯ + 𝑐𝑛−1 𝑥𝑖 𝑛−1 = 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑖 (𝑉). [ ⋮ ] = 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑖 (𝑉)𝐜.
𝑐𝑛−1
f.
152
Por una propiedad de la multiplicación de matrices, que se muestra después del Ejemplo 6 en la Sección 2.1, y el hecho
de que 𝐜 era elegido para satisfacer 𝑉𝐜 = 𝐲,
𝑓𝑖𝑙𝑎𝑖 (𝑉). 𝐜 = 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑖 (𝑉𝐜) = 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑖 (𝐲) = 𝑦𝑖
Por lo tanto, 𝑝(𝑥𝑖 ) = 𝑦𝑖 p. Para resumir, las entradas en 𝑉𝐜 son los valores del polinomio 𝑝(𝑥) en 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 .
b. Supongamos que 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 son distintos, y supongamos que 𝑉𝐜 = 0 para algún vector 𝐜. Entonces las entradas en 𝐜
son los coeficientes de un polinomio cuyo valor es cero en los puntos distintos 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 . Sin embargo, un polinomio no
cero de grado 𝑛 − 1 no puede tener 𝑛 ceros, por lo que el polinomio debe ser idénticamente cero. Es decir, las entradas
en 𝐜 deben ser todas cero. Esto muestra que las columnas de 𝑉 son linealmente independientes.
c. Cuando 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 son distintos, las columnas de 𝑉 son linealmente independientes, por (b). Según el teorema de la
matriz invertible, 𝑉 es invertible y sus columnas abarcan ℝ𝑛 . Entonces, por cada 𝐲 = (𝑦1 , . . . , 𝑦𝑛 ) en ℝ𝑛 , hay un vector 𝐜
tal que 𝐜 𝑉𝐜 = 𝐲. Sea 𝑝 el polinomio cuyos coeficientes se enumeran en 𝐜. Entonces, por (a), 𝑝 es un polinomio
interpolador para (𝑥1 𝑦1 , … , 𝑥n 𝑦𝑛 ).
Ejercicio 145. Dado 𝐮 en ℝ𝑛 con 𝐮𝑻 𝐮 = 1, sea 𝑃 = 𝐮𝐮𝑇 (un producto exterior) y 𝑄 = 𝐼 − 2𝑃. Justifique los
enunciados (a), (b) y (c).
a. 𝑃2 = 𝑃
b. 𝑃𝑇 = 𝑃
c. 𝑄2 = 𝐼
La transformación 𝐱 → 𝑃𝐱 es una proyección, y 𝐱 → 𝑄𝐱 se llama reflexión de Householder. Tales reflexiones se usan en
programas de computadora para crear múltiples ceros en un vector (por lo general, una columna de una matriz).
Resolución:
a. 𝑃2 = (𝐮𝐮𝑇 )(𝐮𝐮𝑇 ) = 𝐮(𝐮𝐮𝑇 )𝐮𝑇 = 𝐮(𝟏)𝐮𝑇 = 𝑃, porque 𝐮 satisface 𝐮𝐮𝑇 = 1.
b. 𝑃𝑇 = (𝐮𝐮𝑇 )𝑇 = 𝐮𝑇𝑇 𝐮𝑇 = 𝐮𝐮𝑇 = 𝑃
c. 𝑄2 = (𝐼 − 2𝑃)(𝐼 − 2𝑃) = 𝐼 − 𝐼(2𝑃) − 2𝑃𝐼 + 2𝑃(2𝑃) = 𝐼 − 4𝑃 + 4𝑃2 = 𝐼.
153
154
UNIDAD 4 – DETERMINANTES Y SISTEMAS LINEALES
Determinante de una matriz
Ejercicio 1.
Describa la definición de determinante de una matriz, considerando los distintos órdenes y el desarrollo
por cofactores.
Resolución:
Un determinante es un número que se asigna de cierto modo a una formación cuadrada de números. El cálculo de dicho
número varía en complejidad a medida que aumenta el tamaño de la matriz cuadrada.
Sea 𝐴 = [𝑎], el determinante de una matriz de 1 × 1 es igual al valor del único elemento de dicha matriz, esto es
det 𝐴 = |𝑎| = 𝑎
𝑎 𝑏
Sea 𝐴 = [
], el determinante de una matriz de 2 × 2 se obtiene como la suma de los productos de los elementos de
𝑐 𝑑
la diagonal principal con los de la diagonal secundaria, esto es
𝑎 𝑏
det 𝐴 = |
| = 𝑎𝑑 − 𝑐𝑏
𝑐 𝑑
Para 𝑛 ≥ 2, el determinante de una matriz 𝐴 de 𝑛 × 𝑛 = [𝑎𝑖𝑗 ] es la suma de los 𝑛 términos de la forma ±𝑎1𝑗 det𝐴𝑖𝑗 , con
los signos más y menos alternándose, donde las entradas 𝑎11 , 𝑎12 , … , 𝑎1𝑛 son de la primera fila de A. En forma simbólica,
det 𝐴 = 𝑎11 det 𝐴11 − 𝑎12 det 𝐴12 + ⋯ + (−1)1+𝑛 𝑎1𝑛 det 𝐴1𝑛
Como se observa, también es oportuno definir el determinante de 𝐴 de una manera un poco diferente. Dada 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ], el
cofactor (i,j) de 𝐴 es el número 𝐶𝑖𝑗 dado por
𝐶𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 det 𝐴𝑖𝑗
Entonces
det 𝐴 = 𝑎𝑖1 𝐶𝑖1 + 𝑎𝑖2 𝐶𝑖2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝐶𝑖𝑛
Esta fórmula se llama desarrollo por cofactores a lo largo de la i-ésima fila de A. Análogamente
det 𝐴 = 𝑎1𝑗 𝐶1𝑗 + 𝑎2𝑗 𝐶2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗 𝐶𝑛𝑗
Es la fórmula se llama desarrollo por cofactores a lo largo de la j-ésima columna de A.
Los signos más o menos del cofactor (i,j) dependen de la posición de 𝑎𝑖𝑗 en la matriz, sin importar el signo de 𝑎𝑖𝑗 en sí
mismo. El factor (−1)𝑖+𝑗 determina la tabla siguiente para el patrón de signos:
+ − + …
…
[ − + − …]
+ − +
⋮ ⋮ ⋮ ⋱
3 1 0
4 −2
Ejercicio 2.
Calcule el determinante de 𝐹 = [5], 𝐺 = [
] y 𝐻 = [−2 4 −1]
1 6
0 7 0
Resolución:
Para 𝐹 = [5], al ser una matriz de 1 × 1, se tiene
det 𝐹 = det [5] = |5| = 5
4 −2
Para 𝐺 = [
], al ser una matriz de 2 × 2, se tiene
1 6
4 −2
4 −2
det 𝐺 = det [
]=|
| = 4.6 − 1. (−2) = 24 − (−2) = 26
1 6
1 6
3 1 0
Para 𝐻 = [−2 4 −1], calcule det 𝐻 = ℎ11 det 𝐻11 − ℎ12 det 𝐻12 + ℎ13 det 𝐻13 :
0 7 0
3 1 0
4 −1
−2 −1
−2 4
det 𝐻 = det [−2 4 −1] = 3 . det [
] − 1 . det [
] + 0 . det [
]
7 0
0
0
0 7
0 7 0
= 3(0 − (−7)) − 1(0 − 0) + 0(−14 − 0) = 21 − 0 + 0 = 21
Ejercicio 3.
Use un desarrollo por cofactores a lo largo de la tercera fila para calcular det 𝐻, donde 𝐻 es la matriz
del ejercicio anterior
3 1 0
𝐻 = [−2 4 −1]
0 7 0
Resolución:
155
Se observa que la tercera fila tiene varios ceros, con lo cual reduce el desarrollo del cálculo, para ello se calcula
det 𝐻 = ℎ31 det 𝐻31 − ℎ32 det 𝐻32 + ℎ33 det 𝐻33
1 0
3
0
3 1
det 𝐻 = 0 . |
| −7 .|
| + 0.|
|
4 −1
−2 −1
−2 4
= 0 − 7 . (−3 − (−2)) + 0 = 21
Ejercicio 4.
Describa el cálculo de determinante de una matriz, considerando desarrollo por la regla de Sarrus.
Resolución:
La regla de Sarrus es un método alternativo de cálculo de determinantes para matrices de orden 3. Para analizar este
método consideremos la matriz 𝐴, de 3 × 3
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎
𝐴 = [ 21 𝑎22 𝑎23 ]
𝑎31 𝑎32 𝑎33
Para ejecutar este método primero se debe expandir dicha matriz ya sea por medio de replicación de sus filas o por medio
de replicación de sus columnas, repitiendo las primeras filas o primeras columnas en cuestión dado el caso. Luego a esta
forma ampliada se le procede a realizar el la sumatoria de los productos de los elementos de las diagonales principales
menos la sumatoria de los productos de los elementos de las diagonales secundarias, obteniendo así el valor del
determinante.
Para el caso de la expansión por filas se tiene:
+
𝑎11 𝑎12 𝑎13
+
𝑎11 𝑎12 𝑎13
|𝑎21 𝑎22 𝑎23 |
+
𝑎31 𝑎32 𝑎33 det 𝐴 = det [𝑎21 𝑎22 𝑎23 ] =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|𝑎
𝑎22 𝑎23 |
21
= 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎21 𝑎32 𝑎13 + 𝑎31 𝑎12 𝑎23 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎23 𝑎32 𝑎11 − 𝑎33 𝑎12 𝑎21
Para el caso de la expansión por columnas se tiene:
𝑎11
𝑎
det 𝐴 = det [ 21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
+
+
+
𝑎13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
+
+
𝑎23 ] = |𝑎21 𝑎22 𝑎23 |
𝑎33
𝑎+31 𝑎32 𝑎33
-
𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22 |
𝑎32
= 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎31 𝑎22 𝑎13 − 𝑎32 𝑎23 𝑎11 − 𝑎33 𝑎21 𝑎12
La regla de Sarrus solo puede aplicarse a determinantes de matrices de orden 3.
3 1 0
Ejercicio 5.
Use un desarrollo por regla de Sarrus para calcular el determinante de 𝐴 = [−2 4 −1]
0 7 0
Resolución:
Se aplica el desarrollo
++
++ 3 1 0 3 1 0
++ |−2 4 −1| det 𝐴 = det [−2 4 −1] =
0 7 0
3 1 0
0 7 0
|
|
−2 4 −1
= 3.4.0 + (−2). 7.0 + 0.1. (−1) − 0.4.0 − (−1). 7.3 − 0.1. (−2)
= 0 + 0 + 0 − 0 − (−21) − 0 = 21
3 −7 8
9 −6
0 2 −5 7
3
Ejercicio 6.
[Octave] Calcule el det 𝐴, donde 𝐴 = 0 0
1
0 de las siguientes formas:
5
2
0 0
4 −1
[0 0
0 −2 0 ]
a. Utilizando el menor número de pasos en desarrollo por cofactores.
b. Utilizando la regla de Sarrus
c. Aplicando Octave
Resolución:
a. Aplicando cofactores a la primera columna se tiene
2 −5 7
3
0
5
0|
1
det 𝐴 = 3 . |
4 −1
0 2
0 0 −2 0
Aplicando cofactores a la primera columna del nuevo cofactor se tiene
156
1 5
0
det 𝐴 = 3 . (2 . |2 4 −1|)
0 −2 0
Aplicando cofactores a la última columna del nuevo cofactor se tiene
1 5
det 𝐴 = 3 . [2 . (−(−1). |
|)]
0 −2
= 3 .2. 1. (−2) = −12
b. No puede aplicarse la regla de Sarrus dado que está limitada a cálculo de determinantes de orden 3 y la matriz en
cuestión es de orden 5.
c.
Código en Octave
>> A=[3 -7 8 9 -6; 0 2 -5 7 3; 0 0 1 5 0; 0 0 2 4 -1; 0 0 0 -2 0];
>> det(A)
ans = -12
Ejercicio 7.
En los siguientes puntos a. a d., calcule el determinante utilizando un desarrollo por cofactores a lo
largo de la primera fila. En los puntos e. a h., calcule también el determinante aplicando un desarrollo por cofactores y
bajando por la segunda columna.
3 0 4
2 3 −4
a. |2 3 2 |
e. |4 0 5 |
0 5 −1
5 1 6
5 −2 4
0 5 1
b. |4 −3 0|
f. |0 3 −5|
2 4 1
2 −4 7
4 3 0
2 −4 3
c. |3 1
g. |6 5 2|
2|
1 4 −1
9 7 3
8 1 6
1 3 5
d. |2 1 1|
h. |4 0 3|
3 −2 5
3 4 2
Resolución:
3 0 4
3 2
2 2
2 3
a. |2 3 2 | = 3 . |
| − 0.|
| + 4.|
| = 3 . (−3 − 10) − 0 + 4 . (10 − 0) = −39 + 0 + 40 = 1
5 −1
0 −1
0 5
0 5 −1
0 5 1
−3 0
4 0
4 −3
b. |4 −3 0| = 0. |
| −5 .|
| + 1 .|
| = 0 − 5 . (4 − 0) + 1 . (16 − (−6)) = −20 + 0 + 22 = 2
4 1
2 1
2 4
2 4 1
2 −4 3
1 2
3 2
3 1
c. |3 1
| − (−4) . |
| + 3.|
| = 2 . (−1 − 8) + 4 . (−3 − 2) + 3 . (12 − 1)
2 | = 2.|
4 −1
1 −1
1 4
1 4 −1
= −18 − 20 + 33 = −5
1 3 5
1 1
2 1
2 1
d. |2 1 1| = 1 . |
| − 3 .|
| + 5 .|
| = 1 . (2 − 4) − 3 . (4 − 3) + 5 . (8 − 3) = −2 − 3 + 25 = 20
4 2
3 2
3 4
3 4 2
2 3 −4
4 0
0 5
4 5
e. |4 0 5 | = 2 . |
| − 3.|
| + (−4) . |
| = 2 . (0 − 5) − 3 . (24 − 25) − 4 . (4 − 0)
5 1
1 6
5 6
5 1 6
= −10 + 3 − 16 = −23
5 −2 4
0 3
3 −5
0 −5
f. |0 3 −5| = 5 . |
| − (−2) . |
| + 4.|
| = 5 . (21 − 20) + 2 . (0 + 10) + 4 . (0 − 6)
2 −4
−4 7
2 7
2 −4 7
= 5 + 20 − 24 = 1
4 3 0
6 2
5 2
6 5
g. |6 5 2| = 4 . |
| − 3 .|
| + 0 .|
| = 4 . (15 − 14) − 3 . (18 − 18) + 0 . (42 − 45)
9 3
7 3
9 7
9 7 3
=4−0−0= 4
8 1 6
0 3
4 3
4 0
h. |4 0 3| = 8 . |
| − 1.|
| + 6.|
| = 8 . (0 + 6) − 1 . (20 − 9) + 6 . (−8 − 0)
−2 5
3 5
3 −2
3 −2 5
= 48 − 11 − 48 = −11
Ejercicio 8.
Describa las principales propiedades de los determinantes y cite los teoremas más relevantes.
Resolución:
157
Sean 𝐴 y 𝐵 matrices de 𝑛 × 𝑛, se cumplen las siguientes propiedades:
a. 𝐴 es invertible si, y sólo si, det 𝐴 ≠ 0.
b. det 𝐴𝐵 = (det 𝐴)(det 𝐵).
c. det 𝐴𝑇 = det 𝐴.
d. Si 𝐴 es triangular, entonces det 𝐴 es el producto de las entradas que están en la diagonal principal de 𝐴.
e. Una operación de reemplazo de fila en 𝐴 no cambia el determinante.
f. Un intercambio de fila cambia el signo del determinante.
g. Un escalamiento de fila también escala el determinante por el mismo factor escalar.
Ejercicio 9.
Encuentre los determinantes de las matrices elementales dadas en los siguientes puntos.
1 0 0
1 0 0
a. [0 1 0]
d. [0 𝑘 0]
0 𝑘 1
0 0 1
1 0 0
0 1 0
b. [0 1 0]
e. [1 0 0]
𝑘 0 1
0 0 1
0 0 1
𝑘 0 0
f. [0 1 0]
c. [0 1 0]
1 0 0
0 0 1
Resolución:
a. Como la matriz es diagonal, por teorema, el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal.
1 0 0
| 0 1 0| = 1 . 1 . 1 = 1
0 𝑘 1
b. Como la matriz es diagonal, por teorema, el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal.
1 0 0
| 0 1 0| = 1 . 1 . 1 = 1
𝑘 0 1
c. Como la matriz es diagonal, por teorema, el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal.
𝑘 0 0
| 0 1 0| = 𝑘 . 1 . 1 = 𝑘
0 0 1
d. Como la matriz es diagonal, por teorema, el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal.
1 0 0
| 0 𝑘 0| = 1 . 𝑘 . 1 = 𝑘
0 0 1
e. Por teorema, si se intercambian dos filas, el resultado es equivalente al opuesto del nuevo determinante.
0 1 0 𝑓1 ⇆𝑓2
1 0 0
| 1 0 0| →
− |0 1 0| = −(1 . 1 . 1) = −1
0 0 1
0 0 1
f. Por teorema, si se intercambian dos filas, el resultado es equivalente al opuesto del nuevo determinante.
0 0 1 𝑓1 ⇆𝑓3
1 0 0
| 0 1 0| →
− |0 1 0| = −(1 . 1 . 1) = −1
1 0 0
0 0 1
Ejercicio 10.
Use los puntos del ejercicio anterior para contestar las siguientes preguntas. Proporcione las razones de
sus respuestas.
a. ¿Cuál es el determinante de una matriz elemental de reemplazo por fila?
b. ¿Cuál es el determinante de una matriz elemental escalonada con 𝑘 en la diagonal?
Resolución:
a. Una matriz de reemplazo de fila elemental 3 × 3 se parece a una de las seis matrices
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 𝑘 1 𝑘 0
[𝑘 1 0], [0 1 0], [0 1 0] , [0 1 𝑘 ] , [0 1 0] , [0 1 0]
0 0 1 𝑘 0 1 0 𝑘 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
En cada uno de estos casos, la matriz es triangular y su determinante es el producto de sus entradas diagonales, que es 1.
Por lo tanto, el determinante de una matriz de reemplazo de fila elemental de 3 × 3 es 1.
b. Una matriz de escala primaria de 3 × 3 con 𝑘 en la diagonal parece una de las tres matrices
𝑘 0 0 1 0 0 1 0 0
[0 1 0], [0 𝑘 0], [0 1 0]
0 0 1 0 0 1 0 0 𝑘
En cada uno de estos casos, la matriz es triangular y su determinante es el producto de sus entradas diagonales, que es 𝑘.
Por lo tanto, el determinante de una matriz de escalamiento elemental 3 × 3 con 𝑘 en la diagonal es 𝑘.
158
Ejercicio 11.
En los siguientes puntos, 𝐴 es una matriz 𝑛 × 𝑛. Señale cada afirmación como verdadera o falsa.
Justifique sus respuestas.
a. Un determinante 𝑛 × 𝑛 está definido por determinantes de submatrices de (𝑛 − 1) × (𝑛 — 1).
b. El cofactor (𝑖, 𝑗) de una matriz 𝐴 es la matriz 𝐴𝑖𝑗 que se obtiene al eliminar de 𝐴 su 𝑖-ésima fila y su 𝑗-ésima columna.
c. El desarrollo por cofactores de 𝑑𝑒𝑡 𝐴 bajando por una columna es el negativo del desarrollo por cofactores a lo largo
de una fila.
d. El determinante de una matriz triangular es la suma de las entradas sobre la diagonal principal.
Resolución:
a. Verdadero. En general, un determinante 𝑛 × 𝑛 se define mediante determinantes de submatrices (𝑛 − 1) × (𝑛 − 1).
b. Falso. Dada 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ], el cofactor (𝒊, 𝒋) de 𝐴 es el número 𝐶𝑖𝑗 dado por 𝐶𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 det 𝐴𝑖𝑗
Entonces 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎11 𝐶11 + 𝑎12 𝐶12 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝐶1𝑛 .
c. Falso. El determinante de una matriz 𝐴 de 𝑛 × 𝑛 puede calcularse mediante un desarrollo por cofactores a lo largo de
cualquier fila o descendiendo por cualquier columna
d. Falso. El determinante de una matriz triangular es el múltiplo de las entradas sobre la diagonal principal.
1 −4 2
Ejercicio 12.
Calcule det 𝐴, donde 𝐴 = [−2 8 −9] mediante operaciones por filas reduciendo a la forma
−1 7
0
triangular.
Resolución:
La estrategia es reducir A a la forma escalonada y utilizar luego el hecho de que el determinante de una matriz
triangular es el producto de las entradas diagonales. Los primeros dos reemplazos de fila en la columna 1 no alteran el
determinante.
1 1
1 −4 2 𝑓𝑓2 +2𝑓
−4 2 𝑓2⇆𝑓3
1 −4 2
3 +𝑓1
det 𝐴 = |−2 8 −9| →
|0 0 −5| →
− |0 3
2 | = −[1 . 3 . (−5)] = 15
−1 7
0
0 3
2
0 0 −5
Ejercicio 13.
En los siguientes puntos, encuentre los determinantes mediante reducción por filas hasta la forma
escalonada.
1
5 −6
1 −1 −3 0
a. |−1 −4 4 |
1
5 4|
e. | 0
−1 2
8 5
−2 −7 9
3 −1 −2 3
1 5 −3
1
3 −1 0 −2
b. |3 −3 3 |
0
2 −4 −1 −6
2 13 −7
f. ||−2 −6 2
3
9 ||
3 0 2
1
3
7
−3
−7
8
c. |−2 −5 7 4 |
3
5
5
7
2
3
5 2 1
1 −1 2 −3
3
1
3 −4
0
1
2 −5|
d. |
4 −3
2
5
−3 −7 −5 2
Resolución:
+𝑓1
1
5 −6 𝑓𝑓2+2𝑓
1 5 −6 𝑓3 −3𝑓2 1 5 −6
3
1
a. |−1 −4 4 | →
|0 1 −2| →
|0 1 −2| = 1 . 1 . 3 = 3
−2 −7 9
0 3 −3
0 0 3
𝑓2 −3𝑓1
1 5 −3 𝑓 −2𝑓 1
5
−3
1 5 −3 𝑓3+𝑓2 1 5 −3
3
1
b. |3 −3 3 | →
|0 −18 12 | = 6 |0 −3 2 | →
6 |0 −3 2 | = 6[1 . (−3) . 1] = 6(−3) = −18
2 13 −7
0
3
−1
0 3 −1
0 0
1
3
1
−5
−2
c. |
3
5
1 −1
3
1
0
1
d. |
2
5
−3 −7
𝑓2 +2𝑓1
0 2 𝑓3 −3𝑓1 1 3 0 2 𝑓3+4𝑓2 1 3 0
7 4 | →𝑓4 −𝑓1 |0 1 7 8 | →𝑓4−𝑓3 |0 1 7
2 1
0 −4 2 −5
0 0 30
0 −4 2 −5
0 0 0
2 −3
−4 𝑓3 +𝑓2 1 3
3 −4 𝑓3 −2𝑓1 1 3
3
−5 | 𝑓→4 −2𝑓1 |0 1
2 −5| 𝑓→4 +3𝑓1 |0 1
2
4 −3
0 −1 −2
0 0
5
−5 2
0 2
4 −10
0 0
2
8 | = 1 . 1 . 20 . 0 = 0
27
0
3 −4
2 −5| = 1 . 1 . 0 . 0 = 0
0 0
0 0
159
−3 0 𝑓3 +𝑓1 1 −1 −3 0 𝑓3−𝑓2 1 −1 −3 0
1 −1 −3 0
5 4| 𝑓→4−2𝑓2 |0 1
5
5
4 | = −(−3) = 3
5 4| 𝑓→4 −3𝑓1 |0 1
4 | 𝑓→2 ⇆𝑓3 − |0 1
1
8 5
0 1
0 0
0
0 0 −3 −5
5 5
0 2
0 0 −3 −5
0 0
0
−2 3
1
7 3
−1 0 −2 𝑓3+2𝑓1 1 3 −1 0 −2 𝑓2 +2𝑓1 1 3 −1 0 −2
𝑓 −3𝑓
𝑓 −3𝑓
−4 −1 −6 𝑓45 −3𝑓11 0 2 −4 −1 −6 𝑓34−𝑓11 0 2 −4 −1 −6
|0 0
|0 0
2
3
0
3
5 || →
0
3
5 ||
9 || →
|
|
−3 8 −7
0 −2 0
8 −1
0 −2 0
8 −1
5
7
0 −4 8
0 −4 8
2
2 13
2 13
1 3 −1 0 −2
1 3 −1 0 −2
𝑓4 +𝑓2
0 2 −4 −1 −6 𝑓3 ⇆𝑓4
0 2 −4 −1 −6
𝑓4 +2𝑓2
|0 0 −4 7 −7| = −[1 . 2 . (−4) . 3 . 1] = −24
|0 0 0
|→
→
−
3
5
|
|
|
|
3
0 0 −4 7 −7
0 0 0
5
0 0 0
0
1
0 0 0
0
1
𝑎 𝑏 𝑐
Ejercicio 14.
Encuentre los determinantes en los siguientes puntos, donde |𝑑 𝑒 𝑓 | = 7
𝑔 ℎ 𝑖
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎 𝑏 𝑐
𝑒
𝑓|
a. | 𝑑
c. |𝑔 ℎ 𝑖 |
5𝑔 5ℎ 5𝑖
𝑑 𝑒 𝑓
𝑎
𝑏
𝑐
𝑔 ℎ 𝑖
b. |3𝑑 3𝑒 3𝑓 |
d. |𝑎 𝑏 𝑐 |
𝑔
ℎ
𝑖
𝑑 𝑒 𝑓
Resolución:
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎 𝑏 𝑐
𝑒
𝑓 | = 5 |𝑑 𝑒 𝑓| = 5 . 7 = 35
a. | 𝑑
5𝑔 5ℎ 5𝑖
𝑔 ℎ 𝑖
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎 𝑏 𝑐
b. |3𝑑 3𝑒 3𝑓| = 3 |𝑑 𝑒 𝑓| = 3 . 7 = 21
𝑔
ℎ
𝑖
𝑔 ℎ 𝑖
𝑎 𝑏 𝑐
𝑎 𝑏 𝑐
c. |𝑔 ℎ 𝑖 | = − |𝑑 𝑒 𝑓| = − 7
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
𝑔 ℎ 𝑖
𝑎 𝑏 𝑐
𝑎 𝑏 𝑐
𝑔
ℎ
𝑖
𝑑
𝑒 𝑓|) = −(−7) = 7
𝑎
𝑏
𝑐
d. |
| = −|
| = − (− |
𝑑 𝑒 𝑓
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
Ejercicio 15.
Use un determinante para decidir si 𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 y 𝐯𝟑 son linealmente independiente cuando
−3
2
5
𝐯𝟏 = [−7], 𝐯𝟐 = [ 3 ] y 𝐯𝟑 = [−7]
−5
5
9
Resolución:
5 −3 2
3 −7
−7 −7
−7 3
det [𝐯𝟏 𝐯𝟐 𝐯𝟑 ] = |−7 3 −7| = 5 |
| − (−3) |
| + 2|
|
9
5
−5 5
9 −5
−5
5
9
= 5(15 − 35) + 3(−35 + 63) + 2(35 − 27) = 0
Como el determinante es igual a 0, la matriz de vectores no tiene inversa, y por lo tanto no los vectores son linealmente
dependientes.
Ejercicio 16.
En los siguientes puntos, utilice determinantes para averiguar si el conjunto de vectores es linealmente
independiente.
4
−7 −3
a. [ 6 ] , [ 0 ] , [−5]
−7
2
6
7
−8
7
b. [−4] , [ 5 ] , [ 0 ]
−6
−5
7
3
2
−2
0
−6
5
−1
c. [ ] , [ ] , [ ] , [ 0 ]
3
−6
0
0
0
−3
4
7
Resolución:
1 −1
1
e. | 0
−1 2
3 −1
1
3
0
2
f. ||−2 −6
3
7
3
5
160
a. det [𝐯𝟏
𝐯𝟐
4
𝐯𝟑 ] = | 6
−7
−7
0
2
−3
0
−5| = 4 |
2
6
−5
6
| − (−7) |
6
−7
6
−5
| + (−3) |
−7
6
0
| = 4(10) + 7(1) − 3(12) =
2
11
Como 11 ≠ 0 la matriz de columnas es invertible, y por lo tanto los vectores que la conforman son linealmente
independientes.
7 −8 7
−4 0
5 0
−4 5
b. det [𝐯𝟏 𝐯𝟐 𝐯𝟑 ] = |−4 5
| − (−8) |
| + 7|
| = 7(−25) + 8(20) + 7(2) =
0 | = 7|
−6 −5
7 −5
−6 7
−6 7 −5
−1
Como −1 ≠ 0 la matriz de columnas es invertible, y por lo tanto los vectores que la conforman son linealmente
independientes.
3
2 −2 0
3
2 −2
−6
5
−1 0 | = (−3) | 5 −6 −1|
c. det [𝐯𝟏 𝐯𝟐 𝐯𝟑 𝐯𝟒 ] = |
3
−6 0
0
−6 0
3
0 −3
4
7
−6 −1
5 −1
5 −6
= (−3) [3 |
| − 2|
| + (−2) |
|] = (−3)[3(−18) − 2(9) − 2(36)]
0
3
−6 3
−6 0
= [3(−18) − 2(9) − 2(−36)] = 0
Como det [𝐯𝟏 𝐯𝟐 𝐯𝟑 𝐯𝟒 ] = 0 la matriz de columnas no es invertible, y por lo tanto los vectores que la conforman no
son linealmente independientes.
Ejercicio 17.
En los siguientes puntos, 𝐴 y 𝐵 son matrices 𝑛 × 𝑛. Señale cada enunciado como verdadero o falso.
Justifique sus respuestas.
a. Una operación de reemplazo de filas no afecta el determinante de una matriz.
b. El determinante de 𝐴 es el producto de los pivotes presentes en cualquier forma escalonada 𝑈 de 𝐴, multiplicado
por (−1)𝑟 , donde 𝑟 es el número de intercambios de fila realizados durante la reducción por filas de 𝐴 a 𝑈.
c. Si las columnas de 𝐴 son linealmente dependientes, entonces det 𝐴 = 0.
d. det(𝐴 + 𝐵) = det 𝐴 + det 𝐵.
e. Si se realizan dos intercambios sucesivos de fila, entonces el nuevo determinante es igual al determinante antiguo.
f. El determinante de 𝐴 es el producto de las entradas diagonales de 𝐴.
g. Si det 𝐴 es cero, entonces dos filas o dos columnas son iguales, o una fila o una columna es cero.
h. det 𝐴𝑇 = (−1) det 𝐴.
Resolución:
a. Verdadero. Las múltiples operaciones entre filas no modifican el determinante de una matriz.
b. Verdadero. Suponga que una matriz cuadrada 𝐴 se ha reducido a una forma escalonada 𝑈 mediante el reemplazo e
intercambio de filas. Si hay 𝑟 intercambios, entonces por teorema se tiene que 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = (−1)𝑟 𝑑𝑒𝑡 𝑈.
c. Verdadero. Si las columnas de 𝐴 son linealmente dependientes entonces 𝐴 no tiene inversa. Si A no tiene inversa es
porque su determinante es cero.
d. Falso. El det (𝐴 + 𝐵) ≠ det 𝐴 + det 𝐵, es un error común confundirlo con la propiedad det(𝐴. 𝐵) = det 𝐴 . det 𝐵.
e. Verdadero. Cada intercambio corresponde a un cambio de signo en el determinante, con lo cual, dos cambios sucesivos
vuelven el determinante a la normalidad.
f. Falso. Esto solo se aplica específicamente a las matrices triangulares.
g. Falso. No necesariamente, también se puede dar que una fila o columna sea múltiplo de otra, entre otros casos.
h. Falso. Si 𝐴 es una matriz 𝑛 × 𝑛, entonces det 𝐴𝑇 = det 𝐴.
1 0 1
Ejercicio 18.
Calcule det 𝐵5 , donde 𝐵 = [1 1 2]
1 2 1
Resolución:
1 0 1
1 2
1 1
det 𝐵 = |1 1 2| = 1 |
|− 0+ 1|
| = 1(−3) + 0 + 1(1) = −2
2 1
1 2
1 2 1
Por teorema, det 𝐵5 = (det 𝐵)5 = (−2)5 = −32.
Ejercicio 19.
Sean 𝐴 y 𝐵 matrices cuadradas. Muestre que, aunque 𝐴𝐵 y 𝐵𝐴 no sean iguales, siempre es cierto que
det 𝐴𝐵 = det 𝐵𝐴.
Resolución:
Por teoremas det 𝐴𝐵 = (det 𝐴)(det 𝐵) = (det 𝐵)(det 𝐴) = det 𝐵𝐴.
Ejercicio 20.
Sea 𝑈 una matriz cuadrada tal que 𝑈 𝑇 𝑈 = 𝐼. Muestre que det 𝑈 = ±1.
161
Resolución:
Siendo 𝑈 una matriz cuadrada Por teoremas, det 𝑈 𝑇 𝑈 = (det 𝑈 𝑇 )(det 𝑈) = (det 𝑈)2 . Si 𝑈 𝑇 𝑈 = 𝐼, det 𝑈 𝑇 𝑈 = det 𝐼 =
1, entonces (det 𝑈)2 = 𝐼. Con lo cual det 𝑈 = ±1.
Regla de Cramer, Superficie y Volumen
Ejercicio 21.
Describa la regla de Cramer.
Resolución:
Sea 𝐴 una matriz invertible 𝑛 × 𝑛. Para cualquier 𝐛 en ℝ𝑛 , la solución única 𝐱 de 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene entradas dadas por
det 𝐴𝑖 (𝐛)
𝑥𝑖 =
,
𝑖 = 1, 2, … , 𝑛
det 𝐴
Ejercicio 22.
Use la regla de Cramer para resolver el sistema
3𝑥1 − 2𝑥2 = 6
−5𝑥1 + 4𝑥2 = 8
Resolución:
Representando el sistema como 𝐴𝐱 = 𝐛, Se tiene que
3 −2
6 −2
3 6
𝐴=[
],
𝐴1 (𝐛) = [
],
𝐴2 (𝐛) = [
]
−5 4
8 4
−5 8
Los respectivos determinantes son:
3 −2
det 𝐴 = |
| = 12 − 10 = 2
−5 4
6 −2
det 𝐴1 (𝐛) = |
| = 24 + 16 = 40
8 4
3 6
det 𝐴2 (𝐛) = |
| = 24 + 30 = 54
−5 8
Entonces
det 𝐴1 (𝐛) 40
𝑥1 =
=
= 20
det 𝐴
2
det 𝐴2 (𝐛) 54
𝑥2 =
=
= 27
det 𝐴
2
Con lo cual la solución al sistema es 𝑆 = {20, 27}.
Ejercicio 23.
Considere el siguiente sistema, en el cual 𝑠 es un parámetro no especificado. Determine los valores de
𝑠 para los cuales el sistema tiene una solución única, y use la regla de Cramer para describir la solución.
3𝑠𝑥1 − 2𝑥2 = 4
−6𝑥1 + 𝑠𝑥2 = 1
Resolución:
Representando el sistema como 𝐴𝐱 = 𝐛, Se tiene que
3𝑠 −2
4 −2
3𝑠 4
𝐴=[
],
𝐴1 (𝐛) = [
],
𝐴2 (𝐛) = [
]
−6 𝑠
1 𝑠
−6 1
Los respectivos determinantes son:
3𝑠 −2
det 𝐴 = |
| = 3𝑠 2 − 12 = 3(𝑠 + 2)(𝑠 − 2)
−6 𝑠
4 −2
det 𝐴1 (𝐛) = |
| = 4𝑠 + 2 = 2(𝑠 + 2)
1 𝑠
3𝑠 4
det 𝐴2 (𝐛) = |
| = 3𝑠 + 24 = 3(𝑠 + 8)
−6 1
Entonces
det 𝐴1 (𝐛)
2(𝑠 + 2)
2
𝑥1 =
=
=
det 𝐴
3(𝑠 + 2)(𝑠 − 2) 3(𝑠 − 2)
(𝑠 + 8)
det 𝐴2 (𝐛)
3(𝑠 + 8)
𝑥2 =
=
=
det 𝐴
3(𝑠 + 2)(𝑠 − 2) (𝑠 + 2)(𝑠 − 2)
Con lo cual la solución al sistema es 𝑆 = {
2
,
(𝑠+8)
}.
3(𝑠−2) (𝑠+2)(𝑠−2)
Ejercicio 24.
Describa el cálculo del área de un paralelogramo o el volumen de un paralelepípedo utilizando
determinantes.
Resolución:
Si 𝐴 es una matriz de 2 × 2, conformada por los vectores columna 𝐴 = [𝐯1 𝐯2 ] como se observa en la figura
162
Área
el área del paralelogramo determinado por las columnas de 𝐴 es el valor absoluto del determinante.
Á𝑟𝑒𝑎 = | det 𝐴 |
Si 𝐴 es una matriz de 3 × 3, conformada por los vectores columna 𝐴 = [𝐯1 𝐯2 𝐯3 ] como se observa en la figura
Volumen
el volumen del paralelepípedo determinado mediante las columnas de 𝐴 es el valor absoluto del determinante.
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = | det 𝐴 |
Ejercicio 25.
Calcule el área del paralelogramo determinado por los puntos (−2, −2), (0, 3), (4, −1) y (6, 4). Vea la
figura.
Resolución:
Primero traslade el paralelogramo a uno que tenga el origen como vértice. Por ejemplo, reste el vértice (−2, −2) de cada
uno de los cuatro vértices. Para ello se seleccionan puntos de a pares y se restan para obtener vectores:
𝐯𝟏 = (0, 3) − (−2, −2) = (2, 5)
𝐯𝟐 = (4, −1) − (−2, −2) = (6, 1)
El nuevo paralelogramo tiene la misma área, y sus vértices son (0, 0), (2, 5), (6, 1) y (8, 6).
2 6
Sin embargo, el nuevo paralelogramo está determinado por las columnas de 𝐴 = [
]. Por teorema, el aérea del
5 1
paralelogramo es:
2 6
Á𝑟𝑒𝑎 = |det 𝐴| = ‖
‖ = |2 − 30| = |−28| = 28
5 1
Ejercicio 26.
En los siguientes puntos, encuentre el área del paralelogramo cuyos vértices son los que se enlistan.
a. (0, 0), (5, 2), (6, 4), (11, ,6)
b. (0, 0), (−1, 3), (4, −5), (3, −2)
Resolución:
5 6
a. El paralelogramo está determinado por las columnas de 𝐴 = [
], con lo cual
2 4
5 6
Á𝑟𝑒𝑎 = |det 𝐴| = ‖
‖ = |20 − 12| = |8| = 8
2 4
−1 4
b. El paralelogramo está determinado por las columnas de 𝐴 = [
]
3 −5
163
−1 4
‖ = |5 − 12| = |−7| = 7
3 −5
Ejercicio 27.
Encuentre el volumen del paralelepípedo que tiene un vértice en el origen y vértices adyacentes en
(1, 0, −2), (1, 2, 4) y (7, 1, 0).
Resolución:
El volumen del paralelepípedo se determina mediante las columnas de 𝐴
1 1 7
2 1
1 7
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = |det 𝐴| = ‖ 0 2 1‖ = |1 |
| − 0 + (−2) |
|| = |1. (−4) − 2. (−13)| = |22| = 22
4 0
2 1
−2 4 0
Á𝑟𝑒𝑎 = |det 𝐴| = ‖
Matriz inversa y determinante
Ejercicio 28.
Describa matriz adjunta.
Resolución:
La matriz adjunta de una matriz A, es la traspuesta de su matriz de cofactores, esto es
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝐶11 𝐶12 ⋯ 𝐶1𝑛 𝑇
𝐶11 𝐶21 ⋯ 𝐶𝑛1
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
𝐶21 𝐶22 ⋯ 𝐶2𝑛
𝐶
𝐶22 ⋯ 𝐶𝑛2
adj (𝐴) = adj ([ ⋮
] = [ 12
]
⋮
⋱
⋮ ]) = [ ⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛
𝐶𝑛1 𝐶𝑛2 … 𝐶𝑛𝑛
𝐶1𝑛 𝐶2𝑛 … 𝐶𝑛𝑛
Para el caso de una matriz de orden 3, esto es
𝑎22 𝑎23
𝑎21 𝑎23
𝑎21 𝑎22 𝑇
+ |𝑎
| − |𝑎
| + |𝑎
𝑎
𝑎
𝑎32 |
𝑇
32
33
31
33
31
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝐶11 𝐶12 𝐶13
𝑎12 𝑎13
𝑎11 𝑎13
𝑎11 𝑎12
adj (𝐴) = adj ([𝑎21 𝑎22 𝑎23 ]) = [𝐶21 𝐶22 𝐶23 ] = − |𝑎
𝑎33 | + |𝑎31 𝑎33 | − |𝑎31 𝑎32 |
32
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝐶31 𝐶32 𝐶33
𝑎12 𝑎13
𝑎11 𝑎13
𝑎11 𝑎12
[+ |𝑎22 𝑎23 | − |𝑎21 𝑎23 | + |𝑎21 𝑎22 |]
𝑎22 𝑎23
𝑎12 𝑎13
𝑎12 𝑎13
+ |𝑎
| − |𝑎
| + |𝑎
𝑎23 |
32 𝑎33
32 𝑎33
22
𝑎21 𝑎23
𝑎11 𝑎13
𝑎11 𝑎13
= − |𝑎
| + |𝑎
| − |𝑎
𝑎23 |
31 𝑎33
31 𝑎33
21
𝑎21 𝑎22
𝑎11 𝑎12
𝑎11 𝑎12
[+ |𝑎31 𝑎32 | − |𝑎31 𝑎32 | + |𝑎21 𝑎22 |]
2 1
3
Ejercicio 29.
Encuentre la adjunta de la matriz 𝐴 = [1 −1 1 ]
1 4 −2
Resolución:
Se calcula la inversa de la matriz de cofactores, esto es
−1 1
1 1
1 −1 𝑇
+|
| −|
| +|
|
4 −2
1 −2
1 4
−2 14 4
2 1
3
−2 3
5 𝑇
1 3
2 3
2 1
adj (𝐴) = adj ([1 −1 1 ]) = − |
| +|
| −|
| = [ 14 −7 −7] = [ 3 −7 1 ]
4 −2
1 −2
1 4
1 4 −2
5 −7 −3
4
1 −3
1 3
2 3
2 1
−|
| +|
|]
[ + |−1 1|
1 1
1 −1
Ejercicio 30.
Describa el teorema del cálculo de una matriz inversa mediante determinantes.
Resolución:
Sea 𝐴 una matriz invertible de 𝑛 × 𝑛, entonces:
1
𝐴−1 =
adj 𝐴
det 𝐴
𝐶11 𝐶21 ⋯ 𝐶𝑛1
1
𝐶12 𝐶22 ⋯ 𝐶𝑛2
𝐴−1 = 𝑎
]
𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 [ ⋮
⋮
⋱
⋮
11
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 𝐶1𝑛 𝐶2𝑛 … 𝐶𝑛𝑛
| ⋮
⋮
⋱
⋮ |
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛
2 1
3
Ejercicio 31.
Encuentre el inverso de la matriz 𝐴 = [1 −1 1 ]
1 4 −2
Resolución:
Los cofactores de la matriz son
−1 1
1 1
1 −1
𝐶11 = + |
| = −2, 𝐶12 = − |
| = 3, 𝐶13 = + |
|=5
4 −2
1 −2
1 4
164
1
𝐶21 = − |
4
3
2 3
2 1
| = 14, 𝐶22 = + |
| = −7, 𝐶23 = − |
| = −7
−2
1 −2
1 4
1 3
2 3
2 1
𝐶31 = + |
| = 4, 𝐶32 = − |
| = 1, 𝐶33 = + |
| = −3
−1 1
1 1
1 −1
Con lo cual la matriz adjunta o transpuesta de cofactores es
−2 14 4
adj 𝐴 = [ 3 −7 1 ]
5 −7 −3
El determinante de 𝐴 es
2 1
3
−1 1
1 1
1 −1
det 𝐴 = |1 −1 1 | = 2 |
| − 1|
| + 3|
| = 2. (−2) − 1. (−3) + 3. (5) = 14
4 −2
1 −2
1 4
1 4 −2
Entonces
−1/7
1
2/7
1 −2 14 4
𝐴−1 =
[ 3 −7 1 ] = [ 3/14 −1/2 1/14 ]
14
5/14 −1/2 −3/14
5 −7 −3
Ejercicio 32.
En los siguientes puntos, calcule la adjunta de la matriz dada, y luego utilice el teorema 𝐴−1 =
1
det 𝐴
adj 𝐴
para encontrar el inverso de la matriz.
0 −2 −1
3 5 4
a. [ 3
c. [1 0 1]
0
0]
−1 1
1
2 1 1
1 1 3
3 6 7
b. [2 −2 1]
d. [0 2 1]
0 1 0
2 3 4
Resolución:
En todos los casos, antes de calcular los cofactores siempre es mejora calcular de antemano el determinante, ya que si
este es cero significa que no existe inversa de la matriz.
0 −2 −1
−2 −1
0 −1
0 −2
a. det 𝐴 = | 3
| + 0|
| − 0|
|= 3+0−0=3
0
0 | = −3 |
1
1
−1 1
−1 1
−1 1
1
0 0
−2 −1
−2 −1
+|
| −|
| +|
|
1 1
1
1
0
0
0
1
0
3 0
0 −1
0 −1
adj 𝐴 = − |
| +|
| −|
| = [−3 −1 −3]
−1 1
−1 1
3 0
3
2
6
0 −2
3 0
0 −2
+
|
|
−
|
|
+
|
|
[ −1 1
−1 1
3 0 ]
0
1/3
0
0
1
0
1
𝐴−1 = [−3 −1 −3] = [−1 −1/3 −1]
3
1
2/3
2
3
2
6
1 1 3
1 3
1 3
1 1
b. det 𝐴 = |2 −2 1| = 0 |
| − 1|
| + 0|
|= 0+5+0 =5
−2 1
2 1
2 −2
0 1 0
−2 1
1 3
1 3
+|
| −|
| +|
|
1 0
1 0
−2 1
−1 3
7
2 1
1 3
1 3
adj 𝐴 = − |
| +|
| −|
| =[ 0
0
5]
0 0
0 0
2 1
2
−1
−4
2 −2
1 1
1 1
[+ |0 1 | − |0 1| + |2 −2|]
−1/5 3/5
7/5
7
1 −1 3
0
1 ]
𝐴−1 = [ 0
0
5 ]=[ 0
5
2/5 −1/5 −4/5
2 −1 −4
3 5 4
3 4
5 4
3 5
c. det 𝐴 = |1 0 1| = −1 |
| +0|
| − 1|
| = −1 + 0 + 7 = 6
2 1
1 1
2 1
2 1 1
0 1
5 4
5 4
+|
| −|
| +|
|
1 1
1 1
0 1
−1 −1 5
1 1
3 4
3 4
adj 𝐴 = − |
| +|
| −|
| = [ 1 −5 1 ]
2 1
2 1
1 1
1
7 −5
1 0
3 5
3 5
[ + | 2 1| − | 2 1| + | 1 0| ]
165
𝐴−1 =
3
d. det 𝐴 = |0
2
6
2
3
7
6
1| = −0 |
3
4
1 −1
[1
6
1
7
3
| + 2|
4
2
−1
−5
7
7
3
| −1|
4
2
−1/6
5
1 ] = [ 1/6
1/6
−5
−1/6
−5/6
7/6
5/6
1/6 ]
−5/6
6
| = 0 − 4 + 3 = −1
3
2
3
0
adj 𝐴 = − |
2
0
[ + |2
1
6 7
6 7
| −|
| +|
|
4
3 4
2 1
5 −3 −8
1
3 7
3 7
| +|
| −|
| = [ 2 −2 −3]
4
2 4
0 1
−4 3
6
2
3 6
3 6
| −|
| +|
|]
3
2 3
0 2
5
−3
−8
−5 3
8
1
𝐴−1 =
[ 2 −2 −3] = [−2 2
3]
−1
−4 3
6
4 −3 −6
Establezca la fórmula para el área del triángulo cuyos vértices son 𝟎, 𝐯1 y 𝐯2 en ℝ2 .
+|
Ejercicio 33.
Resolución:
Ejercicio 34.
1
Á𝑟𝑒𝑎 = |det [𝐯𝟏 𝐯𝟐 ]|
2
Sea 𝑇 el triángulo con vértices en (𝑥1 , 𝑦1 ), (𝑥2 , 𝑦2 ), y (𝑥3 , 𝑦3 ). Muestre que
𝑥1 𝑦1 1
1
{área del triángulo} = |det [𝑥2 𝑦2 1]|
2
𝑥3 𝑦3 1
Resolución:
Traslade R a un nuevo triángulo de igual área restando (𝑥3 , 𝑦3 ) de cada vértice. El nuevo triángulo tiene vértices
(0, 0), (𝑥1 − 𝑥3 , 𝑦1 − 𝑦3 ) y (𝑥2 − 𝑥3 , 𝑦2 − 𝑦3 ).
1
𝑥1 − 𝑥3 𝑥2 − 𝑥3
|det [𝑦 − 𝑦 𝑦 − 𝑦 ]|
1
3
2
3
2
Ahora considere usar operaciones de fila y una expansión de cofactor para calcular el determinante en la fórmula, a la
primera y segunda filas se le resta la tercera:
𝑥1 𝑦1 1
𝑥1 − 𝑥3 𝑦1 − 𝑦3 0
𝑥1 − 𝑥3 𝑥2 − 𝑥3
det [𝑥2 𝑦2 1] = det [𝑥2 − 𝑥3 𝑦2 − 𝑦3 0] = det [𝑦 − 𝑦 𝑦 − 𝑦 ]
1
3
2
3
𝑥3 𝑦3 1
𝑥3
𝑦3
1
Entonces, la observación anterior nos permite establecer que el área del triángulo será
1
𝑥1 − 𝑥3 𝑥2 − 𝑥3
{área del triángulo} = |det [𝑦 − 𝑦 𝑦 − 𝑦 ]|
1
3
2
3
2
Ejercicio 35.
Señale cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas. Suponga que todas las
matrices son cuadradas.
a. Si 𝐴 es una matriz de 2 × 2 con determinante cero, entonces una columna de 𝐴 es múltiplo de la otra columna.
b. Si dos filas de una matriz 𝐴 de 3 × 3 son iguales, entonces det 𝐴 = 0.
c. Si 𝐴 es una matriz de 3 × 3, entonces det 5𝐴 = 5 det 𝐴.
d. Si 𝐴 y 𝐵 son matrices de 𝑛 × 𝑛, con det 𝐴 = 2 y det 𝐵 = 3, entonces det(𝐴 + 𝐵) = 5.
e. Si 𝐴 es de 𝑛 × 𝑛 y det 𝐴 = 2, entonces det 𝐴3 = 6.
f. Si 𝐵 se produce al intercambiar dos filas de 𝐴, entonces det 𝐵 = det 𝐴.
g. Si 𝐵 se produce al multiplicar la fila 3 de 𝐴 por 5, entonces det 𝐵 = 5 det 𝐴.
h. Si 𝐵 se forma al sumar a una fila de 𝐴 una combinación lineal de las otras filas, entonces det 𝐵 = det 𝐴 .
i. det 𝐴𝑇 = − det 𝐴.
j. det(−𝐴) = − det 𝐴.
k. det 𝐴𝑇 𝐴 ≥ 0_
Resolución:
a. Verdadero. Las columnas de 𝐴 son linealmente dependientes.
b. Verdadero. Si las filas de una matriz son iguales o múltiplos el determinante de dicha matriz es cero.
c. Falso. En este caso det 5𝐴 = 53 det 𝐴.
2 0
1 0
3 0
d. Falso. Considere el caso 𝐴 = [
], 𝐵 = [
], y 𝐴 + 𝐵 = [
]. Donde det 𝐴 = 2, det 𝐵 = 3 y det 𝐴 + 𝐵 =
0 1
0 3
0 4
12.
e. Falso. Por teorema, det 𝐴3 = 23 .
f. Falso. En este caso, det 𝐵 = − det 𝐴
166
g. Verdadero. Si toda una fila de una matriz se multiplica por un número entonces el determinante de la una matriz es
múltiplo del mismo número por el determinante de la matriz anterior.
h. Verdadero. Por teorema, si una matriz 𝐵 se forma al sumar a una fila de 𝐴 una combinación lineal de las otras filas,
entonces det 𝐵 = det 𝐴.
i. Falso. Debido a que por teorema det 𝐴𝑇 = det 𝐴.
j. Falso. esta afirmación es falsa para matrices invertibles de 𝑛 × 𝑛 con 𝑛 un número entero par.
k. Verdadero. Dado que por teorema det 𝐴𝑇 𝐴 = (det 𝐴)2 .
Rango de una matriz y determinantes – Teorema de Rouché - Frobenius
Ejercicio 36.
Describa la obtención del rango de una matriz por medio de determinantes.
Resolución:
El rango de una matriz cualquiera es la dimensión de la mayor sub-matriz cuadrada no nula o el número de filas o de
columnas que son linealmente independientes. Se comienza determinando el determinante de la mayor matriz cuadrada
posible, ya sea filtrando filas o columnas, una vez filtrada si el determinante es cero se pasa a la siguiente sub-matriz,
hasta hallar la primera cuyo determinante sea distinto de cero, la dimensión de dicha sub-matriz será igual al rango de la
matriz.
Ejercicio 37.
Obtenga el rango de la siguiente matríz utilizando determinantes.
1 3 4 −1
𝐴 = [0 2 1 −1]
3 −1 7 2
Resolución:
En este caso, se trata de una matriz de dimensión 3 × 4. Por tanto, como máximo será de rango 3, ya que no podemos
hacer ningún determinante de orden 4. Así que escogemos cualquier submatriz 3×3 y miramos si su determinante es 0.
Por ejemplo, resolvemos el determinante de las 3 primeras columnas:
1 3 4 −1
[0 2 1 −1]
3 −1 7 2
1 3 4
| 0 2 1| = 0
3 −1 7
El determinante de las columnas 1, 2 y 3 es 0. Así que ahora tenemos que probar con otro determinante, por ejemplo el
de las columnas 1, 2 y 4:
1 3 4 −1
[0 2 1 −1]
3 −1 7 2
1 3 −1
|0 2 −1| = 0
3 −1 2
También nos ha dado 0. Así que seguimos probando determinantes de orden 3 para ver si hay alguno distinto de 0.
Probamos ahora el determinante formado por las columnas 1, 3 y 4:
1 3 4 −1
[0 2 1 −1]
3 −1 7 2
1 4 −1
|0 1 −1| = 0
3 7 2
De determinantes de orden 3 solo nos queda por intentar el determinante compuesto por las columnas 2, 3 y 4:
1 3 4 −1
[0 2 1 −1]
3 −1 7 2
3 4 −1
| 2 1 −1| = 0
−1 7 2
Ya hemos probado todos los determinantes 3 × 3 posibles de la matriz 𝐴, y como ninguno de esos es diferente de 0, la
matriz no es de rango 3. Por tanto, como máximo, será de rango 2.
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) < 3
Ahora vamos a ver si la matriz es de rango 2. Para ello, tenemos que encontrar una sub-matriz cuadrada de orden 2 cuyo
determinante sea diferente de 0. Probaremos con la sub-matriz 2 × 2 de la esquina superior izquierda:
167
1
3 4 −1
[0
2 1 −1]
3 −1 7 2
1
3
|
|=2≠0
0
2
Hemos encontrado un determinante de orden 2 diferente de 0 dentro de la matriz. Por tanto
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 2
Ejercicio 38.
Describa el teorema de Rouché-Frobenius para determinar el tipo de solución de un sistema.
Resolución:
Sea un sistema representado por la forma 𝐴𝐱 = 𝐛, donde 𝐴 representa a la matriz de coeficientes de 𝑛 × 𝑛 y [𝐴
matriz ampliada a 𝐛 el vector de términos independientes, el teorema de Rouché – Frobenius establece que:
• Si 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜([𝐴 𝐛]) = 𝑛 entonces el sistema es compatible determinado.
• Si 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜([𝐴 𝐛]) < 𝑛 entonces el sistema es compatible indeterminado.
• Si 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) ≠ 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜([𝐴 𝐛]) entonces el sistema es incompatible.
Ejercicio 39.
Halle el tipo de solución para los siguientes sistemas mediante Rouché-Frobenius
𝑥2 − 3𝑥3 = 8
𝑥2 + 4𝑥3 = −5
𝑥1 − 3𝑥2 + 4𝑥3 = −4
a. 2𝑥1 + 2𝑥2 + 9𝑥3 = 7
b. 3𝑥1 + 9𝑥2 + 15𝑥3 = −4
c. 3𝑥1 − 7𝑥2 + 7𝑥3 = −8
−4𝑥1 + 6𝑥2 − 𝑥3 = 7
𝑥2 + 5𝑥3 = −2
3𝑥1 + 7𝑥2 + 7𝑥3 = 6
𝐛] es la
Resolución:
a. Se representa el sistema en la forma 𝐴𝐱 = 𝐛:
𝑥2 − 3𝑥3 = 8
0 1 −3
8
2𝑥1 + 2𝑥2 + 9𝑥3 = 7 → [2 2 9 | 7 ]
𝑥2 + 5𝑥3 = −2
0 1 5
−2
donde 𝐴 representa a la matriz de coeficientes de 3 × 3 y [𝐴 𝐛] es la matriz ampliada a los términos independientes
0 1 −3
0 1 −3 8
[𝐴 𝐛] = [2 2 9
𝐴 = [2 2 9 ]
7]
0 1 5
0 1 5 −2
Ahora se debe hallar el rango de la matriz 𝐴, para ello, observamos si el determinante de la matriz es diferente de 0
1 1 3
, det 𝐴 = |2 −2 1| = −16 ≠ 0
0 1 0
Como la matriz tiene un determinante de tercer orden distinto de 0, entonces el rango de A es 3.
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 (𝐴) = 3
Una vez que sabemos el rango de 𝐴, calculamos el rango de [𝐴 𝐛]. Esta será como mínimo de rango 3, porque acabamos
de ver que dentro tiene un determinante de orden 3 diferente de 0. A parte, no puede ser de rango 4, ya que no podemos
hacer ningún determinante de 4 × 4. Por lo tanto,
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜( [𝐴 𝐛]) = 3
Por lo tanto, gracias al teorema de Rouché-Frobenius sabemos que se trata de un Sistema Compatible Determinado
(SCD), dado que
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜([𝐴 𝐛]) = 𝑛 = 3
b. Se representa el sistema en la forma 𝐴𝐱 = 𝐛:
𝑥2 + 4𝑥3 = −5
0 1 4
−5
3𝑥1 + 9𝑥2 + 15𝑥3 = −4 → [3 9 15 |−4]
3𝑥1 + 7𝑥2 + 7𝑥3 = 6
3 7 7
6
donde 𝐴 representa a la matriz de coeficientes de 3 × 3 y [𝐴 𝐛] es la matriz ampliada a los términos independientes
0 1 4
0 1 4 −5
[𝐴 𝐛] = [3 9 15 −4]
𝐴 = [3 9 15]
3 7 7
3 7 7
6
Ahora se debe hallar el rango de la matriz 𝐴, para ello, observamos si el determinante de la matriz es 0
0 1 4
det 𝐴 = |3 9 15| = 0
3 7 7
Como la matriz tiene un determinante de tercer orden igual a 0, entonces el rango de A es menor a 3. Calculamos un
determinante de orden 2 desde la esquina superior izquierda
0 1
det 𝐴 = |
| = −3 ≠ 0
3 9
Como la matriz tiene un determinante de segundo orden distinto de 0, entonces el rango de A es 2.
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 (𝐴) = 2
168
Una vez que sabemos el rango de 𝐴, calculamos el rango de [𝐴 𝐛]. El determinante de las tres primeras columnas
sabemos que es 0. Así que comprobamos los otros tres determinantes
0 1 −5
0 4 −5
1 4 −5
|3 9 −4| = 0
|3 15 −4| = 0
|9 15 −4| = 0
3 7 6
3 7
6
7 7
6
Todos los determinantes de 3 × 3 son iguales a cero, por lo tanto, el rango de [𝐴 𝐛] tampoco será 3. Sin embargo, dentro
de ellos si tiene determinantes de orden 2 diferentes de 0
0 1
0 4
1 4
|
| = −3 ≠ 0
|
| = −12 ≠ 0
|
| = −21 ≠ 0
3 9
3 15
9 15
Como la matriz [𝐴 𝐛] tiene determinantes de segundo orden distinto de 0, entonces el rango de [𝐴 𝐛] es 2.
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 ([𝐴 𝐛]) = 2
Como el rango de ambas matrices es 2, pero el orden de la matriz original es 3. Por lo tanto, gracias al teorema de RouchéFrobenius sabemos que se trata de un Sistema Compatible Indeterminado (SCI).
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜([𝐴 𝐛]) < 𝑛
2=2<3
c. Se representa el sistema en la forma 𝐴𝐱 = 𝐛:
𝑥1 − 3𝑥2 + 4𝑥3 = −4
1 −3 4
−4
3𝑥1 − 7𝑥2 + 7𝑥3 = −8 → [ 3 −7 7 |−8]
−4𝑥1 + 6𝑥2 − 𝑥3 = 7
−4 6 −1
7
donde 𝐴 representa a la matriz de coeficientes de 3 × 3 y [𝐴 𝐛] es la matriz ampliada a los términos independientes
1 −3 4
1 −3 4 −4
[𝐴 𝐛] = [ 3 −7 7 −8]
𝐴 = [ 3 −7 7 ]
−4 6 −1
−4 6 −1 7
Ahora se debe hallar el rango de la matriz 𝐴, para ello, observamos si el determinante de la matriz es 0
1 −3 4
det 𝐴 = | 3 −7 7 | = 0
−4 6 −1
Como la matriz tiene un determinante de tercer orden igual a 0, entonces el rango de A es menor a 3. Calculamos un
determinante de orden 2 desde la esquina superior izquierda
1 −3
det 𝐴 = |
|=2≠0
3 −7
Como la matriz tiene un determinante de segundo orden distinto de 0, entonces el rango de A es 2.
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 (𝐴) = 2
Una vez que sabemos el rango de 𝐴, calculamos el rango de [𝐴 𝐛]. El determinante de las tres primeras columnas
sabemos que es 0. Así que comprobamos los otros tres determinantes
1 −3 −4
1
4 −4
−3 4 −4
| 3 −7 −8| = 6
|3
|−7 7 −8| = −14
7 −8| = −8
−4 6
7
−4 −1 7
6 −1 7
Todos los determinantes restantes de 3 × 3 son distintos de cero, por lo tanto, el rango de [𝐴 𝐛] es 3.
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜( [𝐴 𝐛]) = 3
Por lo tanto, gracias al teorema de Rouché-Frobenius sabemos que se trata de un Sistema Incompatible (SI), dado que
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) ≠ 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜([𝐴 𝐛])
2≠3
169
170
UNIDAD 5 – AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
Valores y vectores propios (Autovalores y Autovectores)
Ejercicio 1.
Defina autovalores y autovectores de una matriz 𝐴.
Resolución:
Un vector propio de una matriz 𝐴 de 𝑛 × 𝑛 es un vector x diferente de cero tal que
𝐴𝐱 = 𝜆𝐱
para algún escalar 𝜆. Un escalar 𝜆 se llama valor propio de 𝐴 si existe una solución no trivial 𝐱 de 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱; una 𝐱 como
ésta se denomina vector propio correspondiente a 𝜆.
3 −2
−1
2
Sean 𝐴 = [
], 𝐮 = [ ], y 𝐯 = [ ]. Calcule 𝐴𝐮 y 𝐴𝐯, y represéntelos junto con los vectores 𝐮 y
1 0
1
1
𝐯. ¿Qué interpretación obtiene de la gráfica?
Resolución:
Calculando los múltiplos 𝐴𝐮 y 𝐴𝐯 se tiene
3 −2 −1
−5
𝐴𝐮 = [
][ ] = [ ]
1 0
1
−1
3 −2 2
4
𝐴𝐯 = [
][ ] = [ ]
1 0 1
2
Las imágenes de 𝐮 y 𝐯 bajo la multiplicación por 𝐴 se muestran en la figura.
Ejercicio 2.
Como se observa, en realidad, 𝐴𝐯 es justamente 2𝐯. Así que 𝐴 sólo “estira” o dilata 𝐯, con lo cual v es un autovector. El
producto 𝐴𝐮 en cambio, no es justamente un múltiplo de 𝐮, con lo cual u no es un autovector de 𝐴.
1 6
6
3
Ejercicio 3.
Sean 𝐴 = [
], 𝐮 = [ ], y 𝐯 = [ ]. ¿Son 𝐮 y 𝐯 vectores propios de 𝐴?
5 2
−5
−2
Resolución:
Calculando los múltiplos 𝐴𝐮 y 𝐴𝐯 se tiene
1 6 6
−24
6
𝐴𝐮 = [
][ ] = [
] = −4 [ ] = −4𝐮
5 2 −5
20
−5
1 6 3
−9
3
𝐴𝐯 = [
][ ] = [ ] ≠ 𝜆[ ]
5 2 −2
11
−2
Entonces 𝐮 es un vector propio correspondiente a un valor propio (−4), pero 𝐯 no es un vector propio de 𝐴 porque 𝐴𝐯 no
es un múltiplo de 𝐯.
1 6
Ejercicio 4.
Sea 𝐴 = [
] muestre que 7 es un valor propio, de serlo halle los vectores propios correspondientes.
5 2
Resolución:
El escalar 7 es un valor propio de A si, y sólo si, la ecuación 𝐴𝐱 = 7𝐱 tiene una solución no trivial. Pero esta ecuación
por despeje es equivalente a
𝐴𝐱 = 7𝐱
𝐴𝐱 − 7𝐱 = 𝟎
171
(𝐴 − 7𝐼)𝐱 = 𝟎
Para resolver esta ecuación homogénea, forme la matriz
1 6
7 0
−6 6
𝐴 − 7𝐼 = [
]−[
]=[
]
5 2
0 7
5 −5
Desde luego, las columnas de 𝐴 − 7𝐼 son linealmente dependientes, así que (𝐴 − 7𝐼)𝐱 = 𝟎 tiene soluciones no triviales.
Entonces 7 es un valor propio de 𝐴. Para encontrar los vectores propios correspondientes, use operaciones por fila:
−6 6 0
1 −1 0
[
]→[
]
5 −5 0
0 0 0
1
La solución general tiene la forma 𝑥2 [ ]. Cada vector de esta forma con 𝑥2 ≠ 0 es un vector propio correspondiente a
1
𝜆 = 7.
Ejercicio 5.
4
Sea 𝐴 = [2
2
−1
1
−1
6
6]. Un valor propio de 𝐴 es 2. Encuentre una base para el espacio correspondiente.
8
Resolución:
4 −1 6
2 0 0
2 −1 6
Se calcula 𝐴 − 2𝐼 = [2 1 6] − [0 2 0] = [2 −1 6]
2 −1 8
0 0 2
2 −1 6
Reduciendo por filas la matriz aumentada (𝐴 − 2𝐼)𝐱 = 𝟎
2 −𝑓1 2
2 −1 6 0 𝑓𝑓2 →𝑓
−1 6 0
3 →𝑓3 −𝑓1
[2 −1 6 0] →
[0 0 0 0]
2 −1 6 0
0 0 0 0
En este punto se tiene la seguridad de que 2 sí es un valor propio de A porque la ecuación (𝐴 − 2𝐼)𝐱 = 𝟎 tiene variables
libres. La solución general es
𝑥1
1/2
−3
[𝑥2 ] = 𝑥2 [ 1 ] + 𝑥3 [ 0 ], 𝑥2 y 𝑥3 son libres
𝑥3
1
0
1 −3
El espacio propio, mostrado en la figura, es un subespacio bidimensional de ℝ3 . Una base es {[2] , [ 0 ]}.
0
1
172
Ejercicio 6.
Describa el teorema de autovalores para matrices triangulares.
Resolución:
El teorema de autovalores para matrices triangulares establece que: Los valores propios de una matriz triangular son las
entradas de su diagonal principal. Si 𝐴 es triangular superior entonces
𝐴𝐱 = 𝜆𝐱
𝐴𝐱 − 𝐼𝜆𝐱 = 𝟎
(𝐴 − 𝐼𝜆)𝐱 = 𝟎
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎11 − 𝜆
𝑎12
𝑎13
𝜆 0 0
𝑎22 − 𝜆
𝑎23 ]
𝐴 − 𝐼𝜆 = [ 0 𝑎22 𝑎23 ] − [0 𝜆 0] = [ 0
0
0 𝑎33
0
0
𝑎33 − 𝜆
0 0 𝜆
El escalar λ es un valor propio de 𝐴 si, y sólo si, la ecuación (𝐴 − 𝐼𝜆)𝐱 = 𝟎 tiene una solución no trivial; esto es, si, y
sólo si, la ecuación tiene una variable libre. Debido a las entradas cero en 𝐴 − 𝐼𝜆, es fácil ver que (𝐴 − 𝐼𝜆)𝐱 = 𝟎 tiene
una variable libre si, y sólo si, por lo menos una de las entradas en la diagonal de 𝐴 − 𝐼𝜆 es cero. Esto pasa si, y sólo si,
𝜆 es igual a alguna de las entradas 𝑎11 , 𝑎22 , 𝑎33 de 𝐴.
Ejercicio 7.
Describa el teorema de independencia lineal de autovectores
Resolución:
Si 𝐯𝟏 , … , 𝐯𝐫 son vectores propios que corresponden a distintos valores propios 𝜆𝟏 , … , 𝜆𝐫 de una matriz 𝐴 de 𝑛 × 𝑛, entonces
el conjunto {𝐯𝟏 , … , 𝐯𝐫 } es linealmente independiente.
3 6 −8
4 0 0
Ejercicio 8.
Sean 𝐴 = [0 0 6 ] y 𝐵 = [−2 1 0]. ¿Cuáles son los valores propios de 𝐴 y de 𝐵? ¿Qué
0 0 2
5 3 4
significa que la matriz 𝐴 tenga un valor propio de 0?
Resolución:
Se observa que la matriz 𝐴 es una matriz triangular, entonces, por el teorema de autovalores en matrices triangulares se
tiene que los valores propios de 𝐴 son 3, 0 y 2. Los valores propios de 𝐵 son 4 (doble) y 1.
Que una matriz 𝐴 tenga un valor propio de 0 significa que satisface la ecuación:
𝐴𝐱 = 𝟎𝐱
Esto sucede si y solo si tiene una solución no trivial. Pero 𝐴𝐱 = 𝟎𝐱 es equivalente a 𝐴𝐱 = 𝟎, la cual tiene una solución
no trivial si, y sólo si, 𝐴 es no invertible. Entonces 0 es un valor propio de 𝐴 si, y sólo si, 𝐴 es no invertible.
3 2
Ejercicio 9.
¿𝜆 = 2 es un valor propio de 𝐴 = [
] ? ¿Por qué sí o por qué no?
3 8
Resolución:
El Teorema de independencia lineal de Autovectores establece que: Si 𝐯𝟏 , . . . , 𝐯𝐫 son vectores propios que corresponden
a distintos valores propios λ𝟏 , . . . , λ𝐫 de una matriz A de 𝑛 × 𝑛, entonces el conjunto {𝐯𝟏 , . . . , 𝐯𝐫 } es linealmente
independiente.
El numero 2 es un autovalor de 𝐴 si y sólo si la ecuación 𝐴𝐱 = 2𝐱 tiene una solución no trivial. Esta ecuación es
equivalente a (𝐴 − 2𝐼)𝐱 = 𝟎. Calculando
3 2
2 0
1 2
𝐴 − 2𝐼 = [
]−[
]=[
]
3 8
0 2
3 6
Las columnas de 𝐴 son linealmente dependientes ya que son múltiplos, entonces (𝐴 − 2𝐼)𝐱 = 𝟎 tiene una solución no
trivial y por ello 2 es un autovalor de 𝐴.
7 3
Ejercicio 10.
¿𝜆 = −2 es un valor propio de [
] ? ¿Por qué sí o por qué no?
3 −1
Resolución:
El número −2 es un autovalor de 𝐴 si y sólo si la ecuación 𝐴𝐱 = −2𝐱 tiene una solución no trivial. Esta ecuación es
equivalente a (𝐴 + 2𝐼)𝐱 = 𝟎. Calculando
7 3
2 0
9 3
𝐴 + 2𝐼 = [
]+[
]=[
]
3 −1
0 2
3 1
Las columnas de 𝐴 son linealmente dependientes ya que son múltiplos, entonces (𝐴 + 2𝐼)𝐱 = 𝟎 tiene una solución no
trivial y por ello −2 es un autovalor de 𝐴.
1
−3 1
Ejercicio 11.
¿[ ] es un vector propio de [
]? Si lo es, encuentre el valor propio.
4
−3 8
Resolución:
Si 𝐴𝐱 es un múltiplo de 𝐱 entonces existe un autovalor 𝜆 y consecuentemente 𝐱 es un autovector.
−3 1 1
1
1
[
][ ] = [ ] ≠ 𝜆[ ]
−3 8 4
29
4
173
1
Entonces [ ] no es un autovector de 𝐴.
4
2 1
Ejercicio 12.
¿[−1 + √2] es un vector propio de [
]? Si lo es, encuentre el valor propio.
1 4
1
Resolución:
Si 𝐴𝐱 es un múltiplo de 𝐱 entonces existe un autovalor 𝜆 y consecuentemente 𝐱 es un autovector. Calculamos
2 1 −1 + √2
−1 + 2√2
[
][
]=[
] ≠ 𝜆 [−1 + √2]
1 4
1
1
3 + √2
Las segundas entradas de 𝐱 y 𝐴𝐱 muestran que si 𝐴𝐱 es un múltiplo de 𝐱, entonces ese múltiplo debe ser 3 + √2. Verifique
3 + √2 veces la primera entrada de 𝐱:
2
(3 + √2)(−1 + √2) = −3 + (√2) + 2√2 = −1 + 2√2
Esto coincide con la primera entrada de 𝐴𝐱, entonces [−1 + √2] es un vector propio de 𝐴, y el correspondiente el valor
1
propio es 3 + √2.
4
3
7 9
Ejercicio 13.
¿[−3] es un vector propio de [−4 −5 1]? Si lo es, encuentre el valor propio.
1
2
4 4
Resolución:
0
4
3
7 9 4
Si calculamos el producto 𝐴𝐱 se tiene que [−4 −5 1] [−3] = [0]. Entonces [−3] es un autovector de 𝐴 y su autovalor
2
4 4 1
0
1
es 0.
3 6 7
1
Ejercicio 14.
¿ [−2] es un vector propio de [3 3 7]? Si lo es, encuentre el valor propio.
1
5 6 5
Resolución:
3 6 7 1
−2
1
1
Si calculamos el producto 𝐴𝐱 se tiene que [3 3 7] [−2] = [ 4 ] = (−2) [−2]. Entonces [−2] es un autovector de 𝐴
5 6 5 1
−2
1
1
y su autovalor es −2.
3 0 −1
Ejercicio 15.
¿𝜆 = 4 es un valor propio de [ 2 3 1 ]? Si lo es, encuentre el vector propio correspondiente.
−3 4 5
Resolución:
Para determinar si 4 es un valor propio de 𝐴, se averigua si 𝐴 − 4𝐼 es invertible.
3 0 −1
3 0 −1
−1 0 −1
𝐴 − 4𝐼 = [ 2 3 1 ] − [ 2 3 1 ] = [ 2 −1 1 ]
−3 4 5
−3 4 5
−3 4
1
Se puede verificar por cualquier método que A tiene inversa, pero dado que se necesita un vector propio en el caso de que
uno existe, la mejor estrategia es reducir la matriz aumentada para (𝐴 − 4𝐼)𝐱 = 𝟎:
2 +2𝑓1 −1
1 →−𝑓1
−1 0 −1 0 𝑓𝑓2 →𝑓
0 −1 0 𝑓 𝑓→𝑓
1 0
1 0
3 →𝑓3 −3𝑓1
3
3 +4𝑓2
[ 2 −1 1 0] →
[ 0 −1 −1 0] →
[0 −1 −1 0]
−3 4
1 0
0
4
4 0
0 0
0 0
La ecuación (𝐴 − 4𝐼)𝐱 = 𝟎 tiene una solución no trivial, por lo que 4 es un valor propio. Cualquier solución distinta de
cero
(𝐴 − 4𝐼)𝐱 = 𝟎 es un vector propio correspondiente. Las entradas en una solución satisfacen 𝑥1 + 𝑥3 = 0 y −𝑥2 − 𝑥3 =
0, con 𝑥3 libre. No se solicita la solución general, así que, para ahorrar tiempo, simplemente tome cualquier valor distinto
de cero para 𝑥3 para producir un vector propio. Si 𝑥3 = 1, entonces 𝐱 = (−1, −1,1).
1 2 2
Ejercicio 16.
¿𝜆 = 3 es un valor propio de [3 −2 1]? Si lo es, encuentre el vector propio correspondiente.
0 1 1
Resolución:
Para determinar si 3 es un valor propio de 𝐴, se averigua si 𝐴 − 3𝐼 es invertible.
1 2 2
3 0 0
−2 2
2
𝐴 − 3𝐼 = [3 −2 1] − [0 3 0] = [ 3 −5 1 ]
0 1 1
0 0 3
0
1 −2
Reduciendo por filas la matriz aumentada para (𝐴 − 3𝐼)𝐱 = 𝟎:
174
𝑓1 →𝑓1 +𝑓3
1
𝑓2 →− 𝑓2
2
𝑓3 →2𝑓3 +𝑓2
−2 2
2 0 𝑓1 →−1/2𝑓1 1 −1 −1 0 𝑓2 →𝑓2−3𝑓1 1 −1 −1 0
1 0 −3 0
[ 3 −5 1 0] →
[3 −5 1 0] →
[0 −2 4 0] →
[0 1 −2 0]
0
1 −2 0
0 1 −2 0
0 1 −2 0
0 0 0 0
La ecuación (𝐴 − 3𝐼)𝐱 = 𝟎 tiene una solución no trivial, por lo que 3 es un valor propio. Cualquier solución distinta de
cero para (𝐴 − 3𝐼)𝐱 = 𝟎 es un vector propio correspondiente. Las entradas en una solución satisfacen 𝑥1 − 3𝑥3 = 0 y
𝑥2 − 2𝑥3 = 0, con 𝑥3 libre. No se solicita la solución general, así que, para ahorrar tiempo, simplemente tome cualquier
valor distinto de cero para 𝑥3 para producir un vector propio. Si 𝑥3 = 1, entonces 𝐱 = (3, 2,1).
Ejercicio 17.
En los siguientes puntos, encuentre una base para el espacio propio correspondiente a cada valor propio
enlistado.
5 0
a. 𝐴 = [
] , 𝜆 = 1, 𝜆 = 5.
2 1
10 −9
b. 𝐴 = [
] , 𝜆 = 4.
4 −2
4 0 1
c. 𝐴 = [−2 1 0] , 𝜆 = 1, 𝜆 = 2, 𝜆 = 3.
−2 0 1
3 0 2 0
d. 𝐴 = [1 3 1 0] , 𝜆 = 4.
0 1 1 0
0 0 0 4
4 0 1
e. [Octave] 𝐴 = [−2 1 0] , 𝜆 = 1, 𝜆 = 2, 𝜆 = 3.
−2 0 1
3 0 2 0
f. [Octave] 𝐴 = [1 3 1 0] , 𝜆 = 4.
0 1 1 0
0 0 0 4
Resolución:
1 0
4 0
4 0 0
5 0
a. Para 𝜆 = 1 se tiene que 𝐴 − 1𝐼 = [
]−[
]=[
]. La matriz aumentada (𝐴 − 𝐼)𝐱 = 𝟎 es [
].
0 1
2 0
2 0 0
2 1
0
Entonces 𝑥1 = 0 y 𝑥2 es libre. La solución general de (𝐴 − 𝐼)𝐱 = 𝟎 es 𝑥2 𝐞2 donde 𝐞2 = [ ], entonces 𝐞2 es la base
1
correspondiente al autovalor 1.
0 0
5 0
5 0
Para 𝜆 = 5 se tiene que 𝐴 − 5𝐼 = [
]−[
]=[
]. La ecuación resultante es 2𝑥1 − 4𝑥2 = 0, entonces 𝑥1 =
2 −4
2 1
0 5
𝑥1
2𝑥
2
2
2𝑥2 y 𝑥2 es libre. La solución general es [𝑥 ] = [ 2 ] = 𝑥2 [ ]. Entonces [ ], es la base correspondiente al autovalor 5.
𝑥2
2
1
1
10 −9
4 0
6 −9
b. Para 𝜆 = 4 se tiene que 𝐴 − 4𝐼 = [
]−[
]=[
]. Reduciendo por filas la matriz aumentada
4 −2
0 4
4 −6
(𝐴 − 𝐼)𝐱 = 𝟎 se tiene
6
[
4
−9
−6
1
𝑓1 → 𝑓1
3
3
𝑓2 →𝑓2 − 𝑓1
2
0
]→
0
[
2
0
−3
0
0
]
0
𝑥1
3/2𝑥2
3
3/2
Entonces 2𝑥1 − 3𝑥2 = 0 con lo cual 𝑥1 = 𝑥2 y 𝑥2 es libre. La solución general es [𝑥 ] = [
] = 𝑥2 [
]. Entonces
2
𝑥2
2
1
3/2
[
], es la base correspondiente al autovalor 4.
1
4 0 1
1 0 0
3 0 1
c. Para 𝜆 = 1 se tiene que 𝐴 − 1𝐼 = [−2 1 0] − [0 1 0] = [−2 0 0]. Las ecuaciones para (𝐴 − 𝐼)𝐱 = 𝟎 son
−2 0 1
0 0 1
−2 0 0
3𝑥1 − 𝑥3 = 0
fáciles de resolver: {
}. Las operaciones de fila apenas parecen necesarias. Obviamente, 𝑥1 = 0, por lo tanto,
2𝑥1 = 0
𝑥3 también es cero. Existen tres variables, entonces 𝑥2 es libre. La solución general de (𝐴 − 𝐼)𝐱 = 𝟎 es 𝑥2 𝐞2 donde 𝐞2 =
0
[1], entonces 𝐞2 proporciona una base para el espacio propio.
0
175
4
Para 𝜆 = 2 se tiene que 𝐴 − 2𝐼 = [−2
−2
[(𝐴 − 2𝐼) 𝟎] se tiene
0
1
0
1
2
0] − [0
1
0
0
2
0
0
2
0] = [−2
2
−2
0
−1
0
1
0 ] reduciendo por filas la matriz ampliada
−1
2 +𝑓1 2
0 𝑓𝑓2→𝑓
0 1 0
3 →𝑓3 +𝑓1
[(𝐴 − 2𝐼)
[0 −1 1 0]
0] →
0
0 0 0 0
2𝑥1 + 𝑥3 = 0
1
Las ecuaciones para (𝐴 − 𝟐𝐼)𝐱 = 𝟎 son fáciles de resolver: {
}. Entonces, 𝑥1 = − 𝑥3 , 𝑥2 = 𝑥3 por lo
2
−𝑥2 + 𝑥3 = 0
𝑥1
−1/2𝑥3
−1/2
tanto, 𝑥3 es libre. La solución general de (𝐴 − 𝟐𝐼)𝐱 = 𝟎 es [𝑥2 ] = [ 𝑥3 ] = 𝑥3 [ 1 ]. Un buen vector de base para
𝑥3
𝑥3
1
1
el espacio propio es [−2].
−2
4 0 1
3 0 0
1
0
1
Para 𝜆 = 3 se tiene que 𝐴 − 3𝐼 = [−2 1 0] − [0 3 0] = [−2 −2 0 ] reduciendo por filas la matriz ampliada
−2 0 1
0 0 3
−2 0 −2
[(𝐴 − 3𝐼) 𝟎] se tiene
2 +2𝑓1 1
1
0
1 0 𝑓𝑓2→𝑓
0 1 0
3 →𝑓3 +2𝑓1
[(𝐴 − 3𝐼) 𝟎] = [−2 −2 0 0] →
[0 −2 2 0]
−2 0 −2 0
0 0 0 0
𝑥1 + 𝑥3 = 0
Las ecuaciones para (𝐴 − 𝟑𝐼)𝐱 = 𝟎 son fáciles de resolver: {
}. Entonces, 𝑥1 = −𝑥3 , 𝑥2 = 𝑥3 por lo
−2𝑥2 + 2𝑥3 = 0
−𝑥3
𝑥1
−1
tanto, 𝑥3 es libre. La solución general de (𝐴 − 𝟑𝐼)𝐱 = 𝟎 es [𝑥2 ] = [ 𝑥3 ] = 𝑥3 [ 1 ]. Un buen vector de base para el
𝑥3
𝑥3
1
−1
espacio propio es [ 1 ].
1
2
𝟎] = [−2
−2
0
−1
0
1
0
−1
4 0 0 0
3 0 2 0
−1 0
2 0
3
0
0
1
1
0
4
0
1
−1
1 0] reduciendo por filas la
d. Para 𝜆 = 4 se tiene que 𝐴 − 𝟒𝐼 = [
]−[
]=[
0 1 1 0
0 0 4 0
0
1 −3 0
0 0 0 4
0 0 0 4
0
0
0 0
matriz ampliada [(𝐴 − 4𝐼) 𝟎] se tiene
−1 0
2 0 0
−1 0
2 0 0
−1 0 2 0 0
𝑓2 →𝑓2 +𝑓1 0
𝑓3 →𝑓3 +𝑓2 0
0
0
3
0
0
1
−1
1
−1
−1 3 0 0]
[(𝐴 − 4𝐼) 𝟎] = [
]→
[
]→
[
0
1 −3 0 0
1 −3 0 0
0 0 0 0
0
0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0 0 0 0
Entonces, 𝑥1 = 2𝑥3 y 𝑥2 = 3𝑥3 por lo tanto, 𝑥3 y 𝑥4 son libres. La solución general de (𝐴 − 𝟒𝐼)𝐱 = 𝟎 es
𝑥1
2𝑥3
2
0
2 0
𝑥2
𝐱 = [𝑥 ] = [3𝑥3 ] = 𝑥3 [3] + 𝑥4 [0]. Los vectores bases para el espacio propio de 𝜆 = 4 son {[3] , [0]}.
𝑥3
3
1
0
1 0
𝑥4
𝑥4
0
0 1
1
e. Se utiliza [V,D]=eig(A)donde V corresponde a la matriz columnas de autovectores y las entradas de la matriz
diagonal D corresponden a los valores de los autovalores. Entonces para 𝜆 = 1 la base de autovectores correspondiente
2911/5042
0
son los múltiplos de [1]. Para 𝜆 = 3 la base de autovectores correspondiente son los múltiplos de [−780/1351] =
−780/1351
0
−1/3
−1
−1
−1
1351
1
−
[ 1 ], es decir [ 1 ]. Para 𝜆 = 2 la base de autovectores correspondiente son los múltiplos de [ 2/3 ] = [ 2 ],
780
3
2/3
1
1
2
−1
es decir [ 2 ].
2
f. Ídem punto c. Para 𝜆 = 4 se tienen dos autovectores posibles, ya que se repite dos veces 𝜆 = 4. La base de cada uno de
−929/1738
0
2
2
−3476 3
−809/1009
0
los autovectores correspondiente son los múltiplos de [ ], y los múltiplos de [
]=
[ ], es decir [3].
929
−929/3476
0
1
1
0
0
1
0
176
Código en Octave
Punto c.
>> A=[4 0 1; -2 1 0; -2 0 1];
>> [V,D]=eig(A)
V =
0.00000
0.57735 -0.33333
1.00000 -0.57735
0.66667
0.00000 -0.57735
0.66667
D =
Diagonal Matrix
1
0
0
0
3
0
0
0
2
>> rats(V)
ans =
0 2911/5042
-1/3
1 -780/1351
2/3
0 -780/1351
2/3
Punto d.
>> A=[3 0 2 0;1 3 1 0; 0 1 1 0; 0 0 0 4];
>> [V,D]=eig(A)
V =
-0.53452
0.81650 -0.70711
0.00000
-0.80178 -0.40825 -0.00000
0.00000
-0.26726 -0.40825
0.70711
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
D =
Diagonal Matrix
4.0000
0
0
0
0
2.0000
0
0
0
0
1.0000
0
0
0
0
4.0000
>> rats(V)
ans =
-929/1738 3920/4801 -985/1393
-809/1009 -881/2158
0
-929/3476 -881/2158 5741/8119
0
0
0
0
0
0
1
Ejercicio 18.
Encuentre los valores propios de las matrices dadas
0 0 0
4
a. [0 2 5 ].
b. [0
0 0 −1
1
Resolución:
0
0
0
0
0 ].
−3
0 0 0
a. Por el teorema de autovalores para matrices triangulares, se tiene que para [0 2 5 ] los valores propios
0 0 −1
corresponden a las entradas de la diagonal, entonces 𝜆 = 0, 2 y −1.
4 0 0
b. Por el teorema de autovalores para matrices triangulares, se tiene que para [0 0 0 ] los valores propios
1 0 −3
corresponden a las entradas de la diagonal, entonces 𝜆 = 4, 0 y −3.
Ejercicio 19.
Sin hacer cálculos, encuentre un autovalor y dos autovectores linealmente independientes de 𝐴 =
1 2 3
[1 2 3]. Justifique su respuesta.
1 2 3
Resolución:
1 2 3
La matriz [1 2 3] no es invertible porque sus columnas son linealmente dependientes, entonces el numero 0 es un
1 2 3
autovalor de la matriz.
Ejercicio 20.
Sin hacer cálculos, encuentre un autovalor y dos autovectores linealmente independientes de 𝐴 =
5 5 5
[5 5 5]. Justifique su respuesta.
5 5 5
177
Resolución:
5 5 5
La matriz [5 5 5] no es invertible porque sus columnas son linealmente dependientes, entonces el numero 0 es un
5 5 5
autovalor de la matriz. Los vectores propios para el valor propio 0 son soluciones de 𝐴𝐱 = 𝟎 y, por lo tanto, tienen
entradas que producen una relación de dependencia lineal entre las columnas de 𝐴. Cualquier vector distinto de cero (en
ℝ3 ) cuyas entradas suman 0 funcionarán. Encuentra cualquiera de estos dos vectores que no son múltiplos; por ejemplo,
(1,1, − 2) y (1, −1, 0).
Ejercicio 21.
En los siguientes puntos, 𝐴 es una matriz de 𝑛 × 𝑛. Señale cada enunciado como verdadero o falso.
Justifique sus respuestas.
a. Si 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱 para algún vector 𝐱, entonces 𝜆 es un valor propio de 𝐴.
b. Una matriz 𝐴 es no invertible si, y sólo si, 0 es un valor propio de 𝐴.
c. Un número 𝑐 es un valor propio de 𝐴 si, y sólo si, la ecuación (𝐴 − 𝑐𝐼)𝐱 = 𝟎 tiene una solución no trivial.
d. Puede ser difícil encontrar un vector propio de 𝐴, pero es fácil comprobar si un vector dado es un vector propio.
e. Para encontrar los valores propios de 𝐴, reduzca 𝐴 a su forma escalonada.
f. Si 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱 para algún escalar 𝜆, entonces 𝐱 es un vector propio de 𝐴.
g. Si 𝐯1 y 𝐯2 son vectores propios linealmente independientes, entonces corresponden a diferentes valores propios.
h. Un vector de estado estacionario para una matriz estocástica es en realidad un vector propio.
i. Los valores propios de una matriz están en su diagonal principal.
j. Un espacio propio de 𝐴 es un espacio nulo de cierta matriz.
Resolución:
a. Falso. La ecuación 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱 debe tener una solución no trivial.
b. Verdadero. 0 es un valor propio de 𝐴 si y solo si 𝐴 es no invertible.
c. Verdadero. 𝑐 es un valor propio de 𝐴 si, y sólo si, la ecuación (𝐴 − 𝑐𝐼)𝐱 = 𝟎 tiene una solución no trivial.
d. Verdadero. Es correcto, ya que si el vector propio se multiplica por la matriz 𝐴 se tendrá como resultado un vector
múltiplo del vector propio cuya proporción es el valor del autovalor.
e. Falso. Una forma escalonada de una matriz 𝐴 generalmente no exhibe los valores propios de 𝐴.
f. Falso. Esto es si y solo si el vector 𝐱 en 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱 no es el vector cero.
g. Falso. Se pueden dar casos en los cuales para dos autovalores iguales se tengan distintos autovectores.
h. Verdadero. Si 𝐴 es una matriz estocástica, entonces el vector 𝐪 de estado estacionario para 𝐴 satisface la ecuación
𝐴𝐱 = 𝐱. Esto es, 𝐴𝐪 = 1. 𝐪.
i. Falso. Esto solo se da en las matrices triangulares, por el teorema de autovalores para matrices triangulares.
j. Verdadero. El espacio propio de 𝐴 corresponde a un 𝜆 en el espacio nulo de la matriz 𝐴 − 𝜆𝐼.
Ejercicio 22.
𝑇 es la transformación en ℝ2 que refleja puntos sobre alguna línea que pasa por el origen. Sin escribir
𝐴, encuentre un valor propio de 𝐴 y describa el espacio propio.
Resolución:
Suponga que 𝑇 refleja puntos a través (o a través) de una línea que pasa a través del origen. Esa línea consta de todos
múltiplos de algún vector distinto de cero 𝐯. Los puntos en esta línea no se mueven bajo la acción de 𝐴. Entonces 𝑇(𝐯) =
𝐯. Si 𝐴 es la matriz estándar de 𝑇, entonces 𝐴𝐯 = 𝐯. Por lo tanto, 𝐯 es un vector propio de 𝐴 correspondiente al valor
propio 1. El espacio propio es 𝐆𝐞𝐧 {𝐯}. Otro espacio propio es generado por cualquier vector distinto de cero 𝐮 que es
perpendicular a la línea dada. (La perpendicularidad en ℝ2 debería ser un concepto familiar, aunque la ortogonalidad en
ℝ𝑛 aún no se ha discutido.) Cada vector 𝐱 en la línea a través de 𝐮 u se transforma en el vector −𝐱. El valor propio es −1.
Ejercicio 23.
[Octave] En los siguientes puntos use un comando para encontrar los valores propios de la matriz y los
autovectores correspondientes.
4
−9 −7 8
8 −10 −5
2
a. [ 2
−7 −9
0
7
14
17
2]
c.
10
5
5 −5 −10
−9 −18 4
3
4
−2
7
0
[−3 −13 −7 10 11 ]
−4
9
−2
−4
−4 −4 20 −8 −1
b. [−56 32 −28 44 ]
14 12 46 18 2
−14
−14 −14
6
d.
6
4 −18 8
1
42 −33 21 −45
11 7 −37 17 2
[ 18 12 −60 24 5 ]
Resolución:
178
La resolución se muestra en las siguientes líneas de código. Se utiliza [V,D]=eig(A)donde V corresponde a la matriz
columnas de autovectores y las entradas de la matriz diagonal D corresponden a los valores de los autovalores.
Código en Octave
>> A=[8 -10 -5; 2 17 2; -9 -18 4];
>> [V,D]=eig(A)
V =
0.47673
0.47673 -0.75485
0.19069 -0.19069
0.55343
-0.85812
0.85812 -0.35201
D =
Diagonal Matrix
13
0
0
0
3
0
0
0
13
>> rats(V)
ans =
1721/3610 1721/3610
-311/412
1721/9025
-168/881 1129/2040
-756/881 3526/4109
-289/821
>> A=[9 -4 -2 -4; -56 32 -28 44; -14 -14 6 -14;42 -33 21 -45]
A =
9
-4
-2
-4
-56
32 -28
44
-14 -14
6 -14
42 -33
21 -45
>> [V,D]=eig(A)
V =
0.20711365 -0.21836519
0.28221626 -0.44740844
0.07185576 -0.57724796 -0.75257669
0.00097596
0.72489778 -0.76427818 -0.18814417
0.89432891
0.65304203 -0.18703022
0.56443252 -0.00073197
D =
Diagonal Matrix
-12.000
0
0
0
0 -12.000
0
0
0
0
13.000
0
0
0
0
13.000
>> rats(V)
ans =
658/3177
-195/893 1579/5595 -587/1312
817/11370
-411/712
-73/97
11/11271
3191/4402
-736/963
-73/388 4731/5290
6247/9566 -199/1064 3158/5595 -11/15028
>> A=[4 -9 -7 8 2; -7 -9 0 7 14; 5 10 5 -5 -10; -2 3 7 0 4; -3 -13 -7 10 11];
>> [V,D]=eig(A)
V =
0.320021 -0.575841 -0.368136
0.852955 -0.744743
0.650919
0.024992 -0.444312 -0.410363
0.374094
-0.464942 -0.017851
0.490454
0.288697
0.110844
-0.041055
0.586552
0.046142 -0.121666
0.484939
0.505998 -0.568701 -0.651451
0.076948 -0.240747
D =
Diagonal Matrix
-2.0000
0
0
0
0
0 -2.0000
0
0
0
0
0
5.0000
0
0
0
0
0
5.0000
0
0
0
0
0
5.0000
>> rats(V)
ans =
1843/5759
-205/356 -543/1475 1775/2081
-248/333
2549/3916 467/18686
-375/844
-396/965 1704/4555
-809/1740 -111/6218 1156/2357 1535/5317
277/2499
-14/341 4161/7094 583/12635 -698/5737 2769/5710
464/917
-149/262
-157/241
239/3106 -761/3161
>> A=[-4 -4 20 -8 -1; 14 12 46 18 2; 6 4 -18 8 1; 11 7 -37 17 2; 18 12 -60 24 5]
A =
179
-4
-4
20
-8
-1
14
12
46
18
2
6
4 -18
8
1
11
7 -37
17
2
18
12 -60
24
5
>> [V,D]=eig(D)
V =
-1.2355e-01 -2.2399e-01
9.3702e-16 -3.9322e-02
6.1127e-01
8.8619e-01 -5.4262e-01 -8.9443e-01 -2.1577e-01 -1.4937e-01
1.2355e-01
2.2399e-01
1.7943e-16
8.9951e-17 -2.8015e-16
2.1622e-01
3.9199e-01
4.4721e-01
2.5509e-01 -4.6190e-01
3.7066e-01
6.7198e-01 -9.1708e-16 -9.4172e-01
6.2505e-01
D =
Diagonal Matrix
21.6898
0
0
0
0
0 -16.6898
0
0
0
0
0
3.0000
0
0
0
0
0
2.0000
0
0
0
0
0
2.0000
>> rats(V)
ans =
-235/1902 -323/1442
0
-51/1297 2593/4242
5357/6045 -713/1314
-305/341
-52/241
-95/636
235/1902 1320/5893
0
0
0
1685/7793 2310/5893 1292/2889 1253/4912
-297/643
235/634 3960/5893
0
-307/326 2989/4782
>> rats(D)
ans =
Diagonal Matrix
4056/187
0
0
0
0
0 -3121/187
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
2
La ecuación característica
Ejercicio 24.
Describa a la ecuación característica.
Resolución:
En virtud de que una matriz 𝐴 es invertible si y solo si det 𝐴 ≠ 0, puede utilizarse un determinante para decidir cuándo
una matriz 𝐴 − 𝜆𝐼 no es invertible. La ecuación escalar det (𝐴 − 𝜆𝐼 ) = 0 es la ecuación característica de A. Un escalar
λ es un valor propio de una matriz 𝐴 de 𝑛 × 𝑛 si, y sólo si, λ satisface la ecuación característica
det (𝐴 − 𝜆𝐼 ) = 0
Para una matriz 𝐴 de 2 × 2 se tiene
𝑎 𝑏
𝜆 0
𝑎−𝜆
𝑏
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = det ([
]−[
]) = det [
]=0
𝑐 𝑑
0 𝜆
𝑐
𝑑−𝜆
(𝑎 − 𝜆)(𝑑 − 𝜆) − 𝑐𝑏 = 0
𝑎𝑑 − 𝑎𝜆 − 𝑑𝜆 + 𝜆2 − 𝑐𝑏 = 0
𝜆2 − (𝑎 + 𝑑)𝜆 + (𝑎𝑑 − 𝑐𝑏) = 0
A esta última expresión se la denomina polinomio característico. Resolviendo el mismo se obtienen los autovalores
correspondientes:
2
(𝑎 + 𝑑) + √(−(𝑎 + 𝑑)) − 4.1. (𝑎𝑑 − 𝑐𝑏)
𝜆1 =
2.1
2
(𝑎 + 𝑑) − √(−(𝑎 + 𝑑)) − 4.1. (𝑎𝑑 − 𝑐𝑏)
𝜆2 =
2.1
Para matrices A con 𝑛 ≥ 3 se debe recurrir a los distintos métodos posibles que permitan la descomposición del polinomio
característico correspondiente, el cual será de orden 𝑛.
2 3
Ejercicio 25.
Encuentre los valores propios de 𝐴 = [
].
3 −6
Resolución:
180
Deben encontrarse tolos los escalares 𝜆 tales que la ecuación matricial (𝐴 − 𝜆𝐼)𝐱 = 𝟎 tenga solución no trivial. De
acuerdo con el teorema de la matriz invertible, este problema es equivalente a encontrar todas las 𝜆 tales que la matriz
𝐴 − 𝜆𝐼 no sea invertible, donde
2 3
𝜆 0
2−𝜆
3
𝐴 − 𝜆𝐼 = [
]−[
]=[
]
3 −6
0 𝜆
3
−6 − 𝜆
Por teoremas de determinantes sabemos que una matriz no es invertible cuando su determinante es ceo, con lo cual,
podemos deducir que
2−𝜆
3
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = det [
]=0
3
−6 − 𝜆
Como la matriz es de 2 × 2 podemos calcular su determinante como el producto de la diagonal principal menos el
producto de la diagonal secundaria, con lo cual
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = (2 − 𝜆)(−6 − 𝜆) − (3)(3)
= −12 + 6𝜆 − 2𝜆 + 𝜆2 − 9
= 𝜆2 + 4𝜆 − 21 = 0
2
Al establecer 𝜆 + 4𝜆 − 21 = 0, se tiene que factorizando nos da (𝜆 − 3)(𝜆 + 7) = 0, con lo cual los valores propios
son 𝜆 = 3 y 𝜆 = −7.
5 −2 6 −1
Ejercicio 26.
Encuentre la ecuación característica de 𝐴 = [0 3 −8 0 ]
4
0 0
5
0 0
0
1
Resolución:
Un escalar 𝜆 es un valor propio de una matriz 𝐴 de 𝑛 × 𝑛 si, y sólo si, 𝜆 satisface la ecuación característica
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0
Si realizamos la ecuación se tiene
5 −2 6 −1
𝜆 0 0 0
−8
3
𝜆 0 0]) = 0
0
0
0
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = det ([
]−[
4
0 0
5
0 0 𝜆 0
0 0
0
1
0 0 0 𝜆
6
−2
−1
5−𝜆
−8
3−𝜆
0 ]) = 0
det ([ 0
4
0
0
5−𝜆
0
1−𝜆
0
0
Como la matriz es triangular su determinante es igual al producto de las entradas de la diagonal principal, entonces
(5 − 𝜆)(3 − 𝜆)(5 − 𝜆)(1 − 𝜆) = 0
Si desarrollamos este producto tenemos que se escribe como
𝜆4 − 14𝜆3 + 68𝜆2 − 130𝜆 + 75 = 0
Ejercicio 27.
El polinomio característico de una matriz de 6 × 6 es 𝜆6 − 4𝜆5 − 12𝜆4 . Encuentre los valores propios
y su multiplicidad.
Resolución:
Factorizando el polinomio se tiene
𝜆6 − 4𝜆5 − 12𝜆4 = 𝜆4 (𝜆2 − 4𝜆 − 12) = 𝜆4 (𝜆 − 6)(𝜆 + 2)
Los valores propios son 0 (multiplicidad 4), 6 (multiplicidad 1) y −2 (multiplicidad 1).
0,95 0,03
Ejercicio 28.
Sea 𝐴 = [
] . Analice el comportamiento a largo plazo del sistema dinámico definido por
0,05 0,97
.6
𝐱 𝑘+1 = 𝐴𝐱 𝒌 (𝑘 = 0, 1, 2, . . . ), con 𝐱 0 = [ ].
.4
Resolución:
El primer paso es encontrar los valores propios de 𝐴 y una base para cada espacio propio. La ecuación característica de 𝐴
es
0,95 − 𝜆
0,03
det [
]=0
0,05
0,97 − 𝜆
(0,95 − 𝜆)(0,97 − 𝜆) − (0,03)(0,05) = 0
𝜆2 − 1,92𝜆 + 0,92 = 0
Por la fórmula resolvente
1,92 ± √(1,92)2 − 4. (0,92) 1,92 ± √0,0064 1,92 ± 0,08
𝜆 =1
=
=
={ 1
𝜆2 = 0,92
2
2
2
Se obtienen los vectores propios correspondientes a 𝜆 = 1 y 𝜆 = 0,92.
𝜆1 , 𝜆2 =
181
0,95 0,03
−0,05 0,03
1 0
]−[
]=[
]. La matriz aumentada (𝐴 − 𝐼)𝐱 = 𝟎 es
0,05 0,97
0,05 −0,03
0 1
−0,05 0,03 0
3
−5 3 0
−5 3 0
[
]→[
]→[
]. Entonces 𝑥1 = 𝑥2 y 𝑥2 es libre. La solución general de
5
0,05 −0,03 0
5 −3 0
0 0 0
𝑥1
3/5𝑥2
3
3
(𝐴 − 𝐼)𝐱 = 𝟎 es [𝑥 ] = [
] = 𝑥2 [ ]. Entonces [ ] es la base correspondiente al autovalor 1.
𝑥2
2
5
5
0,92
0
0,03 0,03
0,95 0,03
Para 𝜆 = 0,92 se tiene que 𝐴 − 0,92𝐼 = [
]−[
]=[
]. La matriz aumentada
0
0,92
0,05 0,05
0,05 0,97
0,03 0,03 0
3 3 0
3 3 0
(𝐴 − 𝟎, 𝟗𝟐𝐼)𝐱 = 𝟎 es [
]→[
]→[
]. Entonces 𝑥1 = −𝑥2 y 𝑥2 es libre. La solución
0,05 0,05 0
5 5 0
0 0 0
𝑥1
−𝑥2
1
1
general de (𝐴 − 𝟎, 𝟗𝟐𝐼)𝐱 = 𝟎 es [𝑥 ] = [ 𝑥 ] = 𝑥2 [ ]. Entonces [ ] es la base correspondiente al autovalor 0,92.
2
2
−1
−1
Los vectores propios correspondientes a 𝜆 = 1 y 𝜆 = 0,92 son
3
1
𝐯1 = [ ] y 𝐯2 = [ ]
5
−1
respectivamente.
El siguiente paso es escribir la 𝐱 0 dada en términos de 𝐯1 y 𝐯2 . Esto puede hacerse porque {𝐯1 , 𝐯2 } es, evidentemente, una
base para ℝ2 . (¿Por qué?) Así, existen pesos 𝑐1 y 𝑐2 tales que
𝑐1
𝐱 0 = 𝑐1 𝐯1 + 𝑐2 𝐯2 = [𝐯1 𝐯2 ] [𝑐 ]
2
De hecho,
1 −1 −1 0,6
𝑐1
0,125
3 1 −1 0,6
[𝑐 ] = [𝐯1 𝐯2 ]−1 𝐱 0 = [
] [ ]=− [
][ ] = [
]
0,4
0,4
0,225
2
5 −1
−5
3
8
𝑐1
Como 𝐯1 y 𝐯2 en 𝐱 0 = 𝑐1 𝐯1 + 𝑐2 𝐯2 = [𝐯1 𝐯2 ] [𝑐 ] son vectores propios de 𝐴, con 𝐴𝐯1 = 𝐯1 y 𝐴𝐯2 = 0,92𝐯2 , se calcula
2
fácilmente cada 𝐱 𝑘 :
𝐱1 = 𝐴𝐱 0 = 𝑐1 𝐴𝐯1 + 𝑐2 𝐴𝐯2 = 𝑐1 𝜆1 𝐯1 + 𝑐2 𝜆2 𝐯2
= 𝑐1 𝐯1 + 𝑐2 (0,92)𝐯2
𝐱 2 = 𝐴𝐱1 = 𝑐1 𝐯1 + 𝑐2 (0,92)𝐴𝐯2
= 𝑐1 𝐯1 + 𝑐2 (0,92)2 𝐯2
y así sucesivamente. En general,
𝐱 𝑘 = 𝑐1 𝐯1 + 𝑐2 (0,92)𝑘 𝐯2
para 𝑘 = 0, 1, 2, 3, …
Al usar los valores de 𝑐1 y 𝑐2 se tiene
3
1
𝐱 𝑘 = 0,125 [ ] + 0,225(0,92)𝑘 [ ]
para 𝑘 = 0, 1, 2, 3, …
5
−1
Esta fórmula explícita para 𝐱 𝑘 proporciona la solución de la ecuación en diferencias 𝐱 𝑘+1 = 𝐴𝐱 𝑘 . Cuando 𝑘 → ∞,
0,375
(0,92)𝑘 tiende a cero y 𝐱 𝑘 tiende a [
] = 0,125𝐯1 .
0,625
Ejercicio 29.
En los siguientes puntos, encuentre el polinomio característico y los valores propios de las matrices
dadas.
2 7
5 −3
a. [
]
d. [
]
7 2
−4 3
5 3
2 1
b. [
]
e. [
]
3 5
−1 4
3 −2
3 −4
c. [
]
f. [
]
1 −1
4 8
Resolución:
2 7
2 7
𝜆 0
2−𝜆
7
a. Para 𝐴 = [
], det(𝐴 − 𝜆𝐼) = ([
]−[
]) = ([
]), con lo cual su polinomio característico es
7 2
7 2
0 𝜆
7
2−𝜆
2
2
2
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = (2 − 𝜆) − 7 = 4 − 4𝜆 + 𝜆 − 49 = 𝜆2 − 4𝜆 − 45
Factorizando el polinomio mediante resolvente
Para 𝜆 = 1 se tiene que 𝐴 − 1𝐼 = [
−(−4) ± √(−4)2 − 4.1. (−45) 4 ± √196 4 ± 14
𝜆 =9
=
=
={ 1
𝜆2 = −5
2
2
2
la ecuación característica es (𝜆 − 9)(𝜆 + 5) = 0, entonces los autovalores son 𝜆 = 9 y 𝜆 = −5.
5 3
5 3
𝜆 0
5−𝜆
3
b. Para 𝐴 = [
], det(𝐴 − 𝜆𝐼) = ([
]−[
]) = ([
]), con lo cual su polinomio característico es
3 5
3 5
0 𝜆
3
5−𝜆
2
2
2
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = (5 − 𝜆) − 3 = 25 − 10𝜆 + 𝜆 − 9 = 𝜆2 − 10𝜆 + 16
Factorizando el polinomio mediante resolvente
𝜆1 , 𝜆2 =
182
−(−10) ± √(−10)2 − 4.1. (16) 10 ± √36 10 ± 6
𝜆 =8
=
=
={ 1
𝜆2 = 2
2
2
2
la ecuación característica es (𝜆 − 8)(𝜆 − 2) = 0, entonces los autovalores son 𝜆 = 8 y 𝜆 = 2.
3 −2
3 −2
𝜆 0
3−𝜆
−2
c. Para 𝐴 = [
], det(𝐴 − 𝜆𝐼) = ([
]−[
]) = ([
]), con lo cual su polinomio
1 −1
1 −1
0 𝜆
1
−1 − 𝜆
característico es
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = (3 − 𝜆)(−1 − 𝜆) − 1. (−2) = −3 − 2𝜆 + 𝜆2 + 2 = 𝜆2 − 2𝜆 − 1
Factorizando el polinomio mediante resolvente
𝜆1 , 𝜆2 =
𝜆1 , 𝜆2 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4.1. (−1) 2 ± √8 2 ± 2√2
𝜆 = 1 + √2
=
=
= 1 ± √2 = { 1
2
2
2
𝜆2 = 1 − √2
la ecuación característica es (𝜆 − 1 − √2)(𝜆 − 1 + √2) = 0, entonces los autovalores son 𝜆 = 1 + √2 y 𝜆 = 1 − √2.
5 −3
5 −3
𝜆 0
5−𝜆
−3
d. Para 𝐴 = [
], det(𝐴 − 𝜆𝐼) = ([
]−[
]) = ([
]), con lo cual su polinomio
−4 3
−4 3
0 𝜆
−4
3−𝜆
característico es
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = (5 − 𝜆)(3 − 𝜆) − (−4). (−3) = 15 − 8𝜆 + 𝜆2 − 12 = 𝜆2 − 8𝜆 + 3
Factorizando el polinomio mediante resolvente
𝜆1 , 𝜆2 =
8 ± √(−8)2 − 4.1. (3) 8 ± √52 10 ± 2√13
𝜆 = 4 + √13
=
=
={ 1
2
2
2
𝜆2 = 4 − √13
la ecuación característica es (𝜆 − 4 − √13)(𝜆 − 4 + √13) = 0, entonces los autovalores son 𝜆 = 4 + √13 y 𝜆 = 4 −
√13.
2
e. Para 𝐴 = [
−1
es
1
2
], det(𝐴 − 𝜆𝐼) = ([
4
−1
1
𝜆
]−[
4
0
0
2−𝜆
]) = ([
𝜆
−1
1
]), con lo cual su polinomio característico
4−𝜆
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = (2 − 𝜆)(4 − 𝜆) − (−1). (1) = 8 − 6𝜆 + 𝜆2 + 1 = 𝜆2 − 6𝜆 + 9
Factorizando el polinomio mediante resolvente
−(−6) ± √(−6)2 − 4.1. (9) 6 ± √0 6 ± 0
𝜆 =3
=
=
={ 1
𝜆2 = 3
2
2
2
la ecuación característica es (𝜆 − 3)(𝜆 − 3) = 0, entonces los autovalores son 𝜆 = 3 por multiplicidad 2.
3 −4
3 −4
𝜆 0
3−𝜆
−4
f. Para 𝐴 = [
], det(𝐴 − 𝜆𝐼) = ([
]−[
]) = ([
]), con lo cual su polinomio característico
4 8
4 8
0 𝜆
4
8−𝜆
es
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = (3 − 𝜆)(8 − 𝜆) − (4). (−4) = 24 − 11𝜆 + 𝜆2 + 16 = 𝜆2 − 11𝜆 + 40
Factorizando el polinomio mediante resolvente
𝜆1 , 𝜆2 =
−(−11) ± √(−11)2 − 4.1. (40) 11 ± √−39
=
2
2
Estos valores son números complejos, no números reales, por lo que 𝐴 no tiene valores propios reales. No existe vector
no cero 𝐱 en ℝ2 tal que 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱, porque un vector real 𝐴𝐱 no puede ser igual a un múltiplo complejo de 𝐱.
Ejercicio 30.
Los siguientes puntos, encuentre el polinomio característico de cada matriz, usando ya sea un desarrollo
por cofactores o la fórmula especial para los determinantes 3 × 3. [Nota: No es fácil encontrar el polinomio característico
de una matriz de 3 × 3 sólo con operaciones por fila, porque interviene la variable 𝜆.]
1 0 −1
0 3 1
a. [2 3 −1]
b. [3 0 2]
0 6 0
1 2 0
Resolución:
1−𝜆
0
−1
a. det(𝐴 − 𝜆𝐼) = det [ 2
3−𝜆
−1 ]. Calculando el determinante de 3 × 3, el polinomio característico es
0
6
0−𝜆
2 −1
3 − 𝜆 −1
2 3−𝜆
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = (1 − 𝜆) |
| −0|
| + (−1) |
|
0 −𝜆
6
−𝜆
0
6
= (1 − 𝜆)[(3 − 𝜆)(−𝜆) − 6(−1)] − 0 + (−1)[2 . 6 − 0(3 − 𝜆)]
= (1 − 𝜆)[(−3𝜆 + 𝜆2 ) + 6] − [12 − 0]
= (1 − 𝜆)(−3𝜆 + 𝜆2 + 6) − 12
= −3𝜆 + 𝜆2 + 6 + 3𝜆2 − 𝜆3 − 6𝜆 − 12
= −𝜆3 + 4𝜆2 − 9𝜆 − 6
Este polinomio tiene un cero irracional y dos ceros imaginarios.)
𝜆1 , 𝜆2 =
183
0−𝜆
b. det(𝐴 − 𝜆𝐼) = det [ 3
1
3
0−𝜆
2
1
2 ]. Calculando el determinante de 3 × 3, el polinomio característico es
0−𝜆
3
2
0−𝜆
2
3 0−𝜆
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = (0 − 𝜆) |
|− 3|
| +1|
|
1 0−𝜆
2
0−𝜆
1
2
= (−𝜆)[(−𝜆)(−𝜆) − 2 . 2] − 3[3(−𝜆) − 1 . 2] + 1[3 . 2 − 1(−𝜆)]
= (−𝜆)(𝜆2 − 4) − 3[−3𝜆 − 2] + [6 + 𝜆]
= −𝜆3 + 4𝜆 + 9𝜆 + 6 + 6 + 𝜆
= −𝜆3 + 14𝜆 + 12
Ejercicio 31.
Puede mostrarse que la multiplicidad algebraica de un valor propio 𝜆 siempre es mayor que, o igual a,
la dimensión del espacio propio correspondiente a 𝜆. Encuentre ℎ en la matriz 𝐴 siguiente de manera que el espacio propio
para 𝜆 = 5 sea bidimensional:
5 −2 6 −1
𝐴 = [0 3 ℎ 0 ]
0 0 5 4
0 0 0 1
Resolución:
Reduciendo por filas la matriz aumentada de la ecuación (𝐴 − 𝟓𝐼)𝐱 = 𝟎 se tiene:
𝑓2 →𝑓2 −𝑓1
1
𝑓3 → 𝑓3
4
𝑓4 →𝑓4 +𝑓3
1
1
0 −2 6 −1 0
0 −2
6
−1 0 𝑓1→−2𝑓1−2𝑓3 0 1
−3
0 0
𝑓2 →𝑓2 −𝑓3
0
ℎ
0
0
0
ℎ
−
6
0
0
0
ℎ
−
6
0 0]
−2
0
1
[
]→
[
]→
[
1 0
0 0 0 4 0
0 0
0
0 0
0
1 0
0 0 0 −4 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
Para un espacio propio bidimensional, el sistema anterior necesita dos variables libres. Esto sucede si y solo si ℎ = 6.
Ejercicio 32.
En los siguientes puntos, 𝐴 y 𝐵 son matrices de 𝑛 × 𝑛. Señale cada enunciado como verdadero o falso.
Justifique sus respuestas.
a. El determinante de 𝐴 es el producto de las entradas diagonales de 𝐴.
b. (det 𝐴)(det 𝐵) = det 𝐴𝐵.
c. Si 𝜆 + 5 es un factor del polinomio característico de 𝐴, entonces 5 es un valor propio de 𝐴.
d. Si 𝐴 es de 3 × 3, con columnas 𝐚𝟏 , 𝐚𝟐 , 𝐚𝟑 , entonces det 𝐴 es igual al volumen del paralelepípedo determinado por
𝐚𝟏 , 𝐚𝟐 , 𝐚𝟑 .
e. det 𝐴𝑇 = (−1) det 𝐴.
f. La multiplicidad de una raíz 𝑟 de la ecuación característica de 𝐴 es la multiplicidad algebraica de 𝑟 como valor
propio de 𝐴.
g. Una operación de reemplazo de filas con 𝐴 no cambia los valores propios.
Resolución:
a. Falso. Esto solo se da cuando 𝐴 es triangular.
b. Verdadero. Por teorema (det 𝐴)(det 𝐵) = det 𝐴𝐵.
c. Falso. En este caso −5 es un valor propio de 𝐴.
d. Falso. Solo si 𝐚𝟏 , 𝐚𝟐 , 𝐚𝟑 son linealmente independientes.
e. Falso. Por que det 𝐴𝑇 = det 𝐴.
f. Verdadero. En general, la multiplicidad (algebraica) de un valor propio 𝜆 es su multiplicidad como una raíz de la
ecuación característica.
g. Falso. Las operaciones por fila normalmente suelen cambiar los valores propios.
3⁄7
0,6 0,3
0,5
Ejercicio 33.
Sean 𝐴 = [
], 𝐯 = [
], 𝐱 = [ ].
0,4 0,7 1
0,5
4⁄7 0
a. Encuentre una base para 𝑐 que consista en 𝐯1 y otro vector propio 𝐯2 de 𝐴.
b. Demuestre que 𝐱 0 puede escribirse como una combinación lineal de la forma 𝐱 0 = 𝐯1 + 𝑐𝐯2 .
c. Para 𝑘 = 1, 2, . .. , defina 𝐱 𝑘 = 𝐴𝑘 𝐱 𝟎 . Calcule 𝐱1 y 𝐱 2 , y escriba una fórmula para 𝐱 𝑘 . Luego muestre 𝐱 𝑘 → 𝐯1
conforme 𝑘 aumenta.
Desarrollo:
a. Como 𝐴 es una matriz de 2 × 2, los valores propios son fáciles de encontrar, y factorizar el polinomio característico es
fácil cuando se conoce uno de los dos factores.
0,6 − 𝜆
0,3
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = det [
] = (0,6 − 𝜆)(0,7 − 𝜆) − (0,3)(0,4)
0,4
0,7 − 𝜆
= 𝜆2 − 1,3𝜆 + 0,3 = (𝜆 − 1)(𝜆 − 0,3)
Los valores propios son 1 y 0,3. Para el valor propio 0,3, se resuelve (𝐴 − 0,3𝐼)𝐱 = 𝟎:
184
0,6 − 0,3
0,3
0,3 0,3 0
1 1 0
[
]=[
]→[
]
0,4
0,7 − 0,3
0,4 0,4 0
0 0 0
Aquí 𝑥1 − 𝑥2 = 0, con 𝑥2 libre. La solución general no es necesaria. Establezca 𝑥2 = 1 para encontrar un vector propio
−1
𝐯𝟐 = [ ] Una base adecuada para ℝ2 es {𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 }.
1
1/2
3/7
−1
b. Escriba 𝐱 0 = 𝐯1 + 𝑐𝐯2 : [
]=[
] + 𝑐 [ ]. Si calculamos, tendremos que 𝑐 = 1/14. (El valor de 𝑐 depende de
1/2
4/7
1
cuál sea la escala de 𝐯2 .)
c. Para 𝑘 = 1, 2, … , defina 𝐱 𝑘 = 𝐴𝑘 𝐱 0. Entonces 𝐱1 = 𝐴(𝐯1 + 𝑐𝐯2 ) = 𝐴𝐯1 + 𝑐𝐴𝐯2 = 𝐯1 + 𝑐(0,3)𝐯2 , porque 𝐯1 y 𝐯2 son
autovectores. Otra vez
𝐱 2 = 𝐴𝐯1 = 𝐴(𝐯1 + 𝑐(0,3)𝐯2 ) = 𝐴𝐯1 + 𝑐(0,3)𝐴𝐯2 = 𝐯1 + 𝑐(0,3)(0,3)𝐯2
Continuando, el patrón general es 𝐱 k = 𝐯1 + 𝑐(0,3)𝑘 𝐯2 . Como k se incrementa, el segundo término tiende a 0 entonces
𝐱 k tiende a 𝐯1 .
Ejercicio 34.
Para un estudio de sistema dinámico se ha logrado establecer la proporción anual de estudiantes que
deciden estudiar ingeniería en su propia ciudad en comparación con aquellos que deciden hacerlo en otra ciudad. En este
aspecto particular, se ha observado que, de todos los estudiantes oriundos de la ciudad de Posadas que deciden estudiar
ingeniería, sólo el 5% decide migrar a la ciudad de Oberá, en cambio, de la totalidad de los estudiantes oriundos de la
ciudad de Oberá que deciden estudiar ingeniería, solo el 3% migra a la Ciudad de Posadas a realizar sus estudios. Este
comportamiento puede ser representado mediante la siguiente matriz de intercambio
0,95 0,03
𝐴=[
]
0,05 0,97
Como se observa, cada columna corresponde al 100% del estudiantado de la ciudad de origen, correspondiendo la primera
columna a la ciudad de Posadas y la segunda a la ciudad de Oberá. En cambio, en las filas, se observa la proporción del
estudiantado que originalmente se encuentra realizando estudios en dichas ciudades, la primera fila corresponde a la
ciudad de Posadas y la segunda a la ciudad de Oberá. Si se suma el total de estudiantes en el año cero, la proporción entre
los mismos revela que el 60% pertenece a la ciudad de Posadas y el 40% restante a la ciudad de Oberá, lo cual puede ser
representado por el vector
.6
𝐱0 = [ ]
.4
Analice el comportamiento a largo plazo del sistema dinámico definido por 𝐱 𝑘+1 = 𝐴𝐱 𝒌 (𝑘 = 0, 1, 2, . . . ), y conteste
lo siguiente:
Inicialmente se cuenta con un promedio de 680 estudiantes de ingeniería entre ambas ciudades, asumiendo dicha cifra se
estima crecerá a razón de un 3% anual encuentre:
a. Los autovalores y autovectores correspondientes a la matriz A.
b. La cantidad de estudiantes de ingeniería distribuidos en cada ciudad el primer año.
c. La cantidad de estudiantes de ingeniería distribuidos en cada ciudad el segundo año.
d. La cantidad de estudiantes de ingeniería distribuidos en cada ciudad el séptimo año.
e. La proporción de estudiantes de ingeniería distribuidos a lo largo de muchos años.
Resolución:
a. El primer paso es encontrar los valores propios de 𝐴 y una base para cada espacio propio. La ecuación característica de
𝐴 es
0,95 − 𝜆
0,03
det [
]=0
0,05
0,97 − 𝜆
(0,95 − 𝜆)(0,97 − 𝜆) − (0,03)(0,05) = 0
𝜆2 − 1,92𝜆 + 0,92 = 0
Resolviendo la ecuación cuadrática
1,92 ± √(1,92)2 − 4. (0,92) 1,92 ± √0,0064 1,92 ± 0,08
𝜆 =1
=
=
={ 1
𝜆2 = 0,92
2
2
2
Se obtienen los vectores propios correspondientes a𝜆1 = 1 y 𝜆2 = 0,92.
0,95 0,03
−0,05 0,03
1 0
Para 𝜆1 = 1 se tiene que 𝐴 − 1𝐼 = [
]−[
]=[
]. La matriz aumentada (𝐴 − 𝐼)𝐱 = 𝟎 es
0,05 0,97
0,05 −0,03
0 1
−0,05 0,03 0
3
−5 3 0
−5 3 0
[
]→[
]→[
]. Entonces 𝑥1 = 𝑥2 y 𝑥2 es libre. La solución general de
5
0,05 −0,03 0
5 −3 0
0 0 0
𝑥1
3/5𝑥2
3
3
(𝐴 − 𝐼)𝐱 = 𝟎 es [𝑥 ] = [
] = 𝑥2 [ ]. Entonces [ ] es la base correspondiente a 𝜆1 = 1.
𝑥2
2
5
5
𝜆1 , 𝜆2 =
185
0,92
0
0,03 0,03
0,95 0,03
Para 𝜆2 = 0,92 se tiene que 𝐴 − 0,92𝐼 = [
]−[
]=[
]. La matriz aumentada
0
0,92
0,05 0,05
0,05 0,97
0,03 0,03 0
3 3 0
3 3 0
(𝐴 − 𝟎, 𝟗𝟐𝐼)𝐱 = 𝟎 es [
]→[
]→[
]. Entonces 𝑥1 = −𝑥2 y 𝑥2 es libre. La solución
0,05 0,05 0
5 5 0
0 0 0
𝑥1
−𝑥2
1
1
general de (𝐴 − 𝟎, 𝟗𝟐𝐼)𝐱 = 𝟎 es [𝑥 ] = [ 𝑥 ] = 𝑥2 [ ]. Entonces [ ] es la base correspondiente a 𝜆2 = 0,92.
2
2
−1
−1
Los vectores propios correspondientes a los valores propios son
3
𝜆1 = 1
𝑐𝑜𝑛 𝐯1 = [ ]
5
1
𝜆2 = 0,92 𝑐𝑜𝑛 𝐯2 = [ ]
−1
respectivamente.
b. Para hallar la distribución de estudiantes, primero es necesario escribir la 𝐱 0 dada en términos de 𝐯1 y 𝐯2 . Esto puede
hacerse porque {𝐯1 , 𝐯2 } es, evidentemente, una base para ℝ2 , con lo cual existen los pesos 𝑐1 y 𝑐2 tales que
𝑐1
𝐱 0 = 𝑐1 𝐯1 + 𝑐2 𝐯2 = [𝐯1 𝐯2 ] [𝑐 ]
2
Despejándolos se tiene
1 −1 −1 0,6
𝑐1
0,125
3 1 −1 0,6
[𝑐 ] = [𝐯1 𝐯2 ]−1 𝐱 0 = [
] [ ]=− [
][ ] = [
]
0,4
0,225
2
5 −1
8 −5 3 0,4
𝑐1
Como 𝐯1 y 𝐯2 en 𝐱 0 = 𝑐1 𝐯1 + 𝑐2 𝐯2 = [𝐯1 𝐯2 ] [𝑐 ] son vectores propios de 𝐴, con 𝐴𝐯1 = 𝐯1 y 𝐴𝐯2 = 0,92𝐯2 , se calcula
2
fácilmente la distribución de estudiantes correspondiente al primer año 𝐱1 ,
𝐱1 = 𝐴𝐱 0 = 𝑐1 𝐴𝐯1 + 𝑐2 𝐴𝐯2 = 𝑐1 𝜆1 𝐯1 + 𝑐2 𝜆2 𝐯2
𝐱1 = 𝑐1 (1)𝐯1 + 𝑐2 (0,92)𝐯2
3
1
𝐱1 = 0,125(1) [ ] + 0,225(0,92) [ ]
5
−1
0,582
𝐱1 = [
]
0,418
De esta manera se observa que, en el primer año, la distribución de estudiantes entre ambas ciudades corresponderá a un
58,2% en la ciudad de Posadas y un 41,8% en la ciudad de Oberá, lo cual, distribuyendo la cantidad de alumnos el primer
año se tiene
0,582
395,76
680𝐱1 = 680 [
]=[
]
0,418
284,24
Con lo cual se observa que en la ciudad de Posadas se encuentren en promedio 396 estudiantes de ingeniería y en Oberá
otros 284 estudiantes.
c. Lo mismo se realiza para el segundo año
𝐱 2 = 𝐴𝐱1 = 𝐴(𝑐1 𝐴𝐯1 + 𝑐2 𝐴𝐯2 ) = 𝑐1 𝐴2 𝐯1 + 𝑐2 𝐴2 𝐯2 = 𝑐1 𝜆21 𝐯1 + 𝑐2 𝜆22 𝐯2
= 𝑐1 (1)2 𝐯1 + 𝑐2 (0,92)2 𝐯2
3
1
𝐱 2 = 0,125(1)2 [ ] + 0,225(0,92)2 [ ]
5
−1
0,565
𝐱2 = [
]
0,435
De esta manera se observa que, en el segundo año, la distribución de estudiantes entre ambas ciudades corresponderá a
un 56,5% en la ciudad de Posadas y un 43,5% en la ciudad de Oberá, lo cual, distribuyendo la cantidad de alumnos el
segundo año y recordando el crecimiento del 3% anual, se tiene
0,565
395,73
680.1,03. 𝐱 2 = 700,4 [
]=[
]
0,435
304,67
Con lo cual se observa que en la ciudad de Posadas se encuentren en promedio 396 estudiantes de ingeniería y en Oberá
otros 305 estudiantes.
d. Si se realizan los mismos cálculos de manera sucesiva, se tiene para un k-ésimo año
𝐱 𝑘 = 𝑐1 𝐴𝑘 𝐯1 + 𝑐2 𝐴𝑘 𝐯2 = 𝑐1 𝜆𝑘1 𝐯1 + 𝑐2 𝜆𝑘2 𝐯2
𝐱 𝑘 = 𝑐1 (1)𝑘 𝐯1 + 𝑐2 (0,92)𝑘 𝐯2
para 𝑘 = 0, 1, 2, 3, …
Al usar los valores de 𝑐1 y 𝑐2 se tiene
3
1
𝐱 𝑘 = 0,125(1)𝑘 [ ] + 0,225(0,92)𝑘 [ ]
para 𝑘 = 0, 1, 2, 3, …
5
−1
Con lo cual, para el séptimo año (k=7) se tendrá
3
1
𝐱 7 = 0,125(1)7 [ ] + 0,225(0,92)7 [ ]
5
−1
186
0,501
]
0,499
De esta manera se observa que, en el segundo año, la distribución de estudiantes entre ambas ciudades corresponderá a
un 50,1% en la ciudad de Posadas y un 49,9% en la ciudad de Oberá, lo cual, distribuyendo la cantidad de alumnos al
séptimo año y recordando el crecimiento del 3% anual, se tiene
406,81
0,501
680. (1,03)6 . 𝐱 2 = 812 [
]=[
]
405,19
0,499
Con lo cual se observa que en la ciudad de Posadas se encuentren en promedio 407 estudiantes de ingeniería y en Oberá
otros 405 estudiantes.
e. Como ya se observó, si se realizan los mismos cálculos de manera sucesiva, se tiene para un k-ésimo año
𝐱 𝑘 = 𝑐1 𝐴𝑘 𝐯1 + 𝑐2 𝐴𝑘 𝐯2 = 𝑐1 𝜆𝑘1 𝐯1 + 𝑐2 𝜆𝑘2 𝐯2
𝐱 𝑘 = 𝑐1 (1)𝑘 𝐯1 + 𝑐2 (0,92)𝑘 𝐯2
para 𝑘 = 0, 1, 2, 3, …
Al usar los valores de 𝑐1 y 𝑐2 se tiene
3
1
𝐱 𝑘 = 0,125(1)𝑘 [ ] + 0,225(0,92)𝑘 [ ]
para 𝑘 = 0, 1, 2, 3, …
5
−1
Esta fórmula explícita para 𝐱 𝑘 proporciona la solución de la ecuación en diferencias 𝐱 𝑘+1 = 𝐴𝐱 𝑘 . Cuando 𝑘 → ∞,
(0,92)𝑘 tiende a cero y en aproximación
∞
𝐱 ∞ = 𝑐1 𝜆∞
1 𝐯1 + 𝑐2 𝜆2 𝐯2
∞
𝐱 ∞ = 0,125(1) 𝐯1 + 0,225(0,92)∞ 𝐯2
3
1
3
1
= 0,125(1)∞ [ ] + 0,225(0,92)∞ [ ] ≈ 0,125(1)∞ [ ] + 0 [ ] ≈ 0,125𝐯1
5
−1
5
−1
0,375
Con lo cual se observa que 𝐱 𝑘 tiende a 0,125𝐯1 = [
].
0,625
Esto significa que a muy largo plazo, de la totalidad de estudiantes de ingeniería entre ambas ciudades, el 37,5% se
encontrará en la ciudad de Posadas y el 62,5% en la ciudad de Oberá.
𝐱7 = [
Diagonalización
Ejercicio 35.
Describa cuando una matriz 𝐴 es diagonalizable.
Resolución:
Se dice que una matriz cuadrada 𝐴 es diagonalizable si 𝐴 es semejante a una matriz diagonal, esto es, si 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1 para
alguna matriz 𝑃 invertible y alguna matriz diagonal 𝐷. El siguiente teorema proporciona una caracterización de las
matrices diagonalizables e indica la forma de estructurar una factorización adecuada
7 2
1
1
Ejercicio 36.
Sea 𝐴 = [
] . Encuentre una fórmula para 𝐴𝑘 , dado que 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 −1 , donde 𝑃 = [
]y
−4 1
−1 −2
5 0
𝐷=[
].
0 3
Resolución:
1
1 −2 −1
2
1
Se calcula primero 𝑃−1 =
adj 𝑃 = [
]=[
]
det 𝑃
−1 1
1
−1 −1
Recurriendo a la asociatividad de la multiplicación de matrices,
𝐴2 = 𝐴𝐴 = (𝑃𝐷𝑃 −1 )(𝑃𝐷𝑃−1 ) = 𝑃𝐷(𝑃−1 𝑃)𝐷𝑃 −1 = 𝑃𝐷𝐷𝑃 −1
1
1 52 0
2
1
= 𝑃𝐷2 𝑃−1 = [
][
][
]
−1 −2 0 32 −1 −1
De nuevo
𝐴3 = 𝐴𝐴2 = (𝑃𝐷𝑃 −1 )𝐴2 = (𝑃𝐷𝑃−1 )(𝑃𝐷2 𝑃 −1 ) = 𝑃𝐷(𝑃 −1 𝑃)𝐷2 𝑃 −1 = 𝑃𝐷3 𝑃 −1
En general, para 𝑘 ≥ 1,
𝑘
𝑘
1
1 5𝑘 0
2
1
5𝑘 − 3𝑘 ]
𝐴𝑘 = 𝑃𝐷 𝑘 𝑃 −1 = [
][
][
] = [ 2. 5𝑘 − 3 𝑘
𝑘
−1 −2 0 3 −1 −1
2. 3 − 2. 5 2. 3𝑘 − 5𝑘
1
3
3
Ejercicio 37.
Diagonalice la matriz 𝐴 = [−3 −5 −3], si es posible.
3
3
1
Resolución:
Una matriz 𝐴 de 𝑛 × 𝑛 es diagonalizable si, y sólo si, 𝐴 tiene 𝑛 vectores propios linealmente independientes.
De hecho, 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1 , con 𝐷 como una matriz diagonal, si, y sólo si, las columnas de 𝑃 son 𝑛 vectores propios de 𝐴
linealmente independientes. En este caso, las entradas diagonales de 𝐷 son valores propios de 𝐴 que corresponden,
respectivamente, a los vectores propios de 𝑃.
187
Para resolver esto primero se deben resolver los siguientes pasos:
1er paso: encontrar los valores propios de 𝐴. Para ello calculamos
1−𝜆
3
3
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = det [ −3 −5 − 𝜆
−3 ] = 0
3
3
1−𝜆
En el presente caso, resulta que la ecuación característica contiene un polinomio cúbico al cual se puede factorizar:
= −𝜆3 − 3𝜆2 + 4 = −(𝜆 − 1)(𝜆 + 2)2
Con lo cual los valores propios son 𝜆 = 1 y 𝜆 = −2 (por multiplicidad 2).
Paso 2. Encontrar tres vectores propios de 𝐴 linealmente independientes. Se necesitan tres vectores porque 𝐴 es una matriz
de 3 × 3. (Éste es el paso crítico, ya que, si falla, entonces por teorema 𝐴 no puede diagonalizarse.)
1
Base para 𝜆 = 1:
𝐯1 = [−1]
1
−1
−1
Base para 𝜆 = −2:
𝐯2 = [ 1 ]
y
𝐯3 = [ 0 ]
0
1
Puede comprobarse que {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 } es un conjunto linealmente independiente.
Paso 3. Estructurar 𝑃 a partir de los vectores del paso 2. El orden de los vectores no tiene importancia. Al usar el orden
elegido en el paso 2, forma
1 −1 −1
𝑃 = [𝐯1 𝐯2 𝐯3 ] = [−1 1
0]
1
0
1
Paso 4. Estructurar 𝐷 a partir de los valores propios correspondientes. En este paso, resulta esencial que el orden de los
valores propios corresponda al orden elegido para las columnas de 𝑃. Utilice el valor propio 𝜆 = −2 dos veces, una para
cada uno de los vectores propios correspondientes a 𝜆 = −2:
1 0
0
𝐷 = [0 −2 0 ]
0 0 −2
Es recomendable comprobar que 𝑃 y 𝐷 realmente funcionen. Para evitar calcular 𝑃 −1, simplemente verifique si 𝐴𝑃 =
𝑃𝐷. Esto equivale a 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 −1 cuando 𝑃 es invertible. (Sin embargo, ¡compruebe que P sea invertible!) Se calcula
1
3
3
2
1 −1 −1
1
2
𝐴𝑃 = [−3 −5 −3] [−1 1
0 ] = [−1 −2 0 ]
3
3
1
1
0
1
1
0 −2
2
1 −1 −1 1 0
0
1
2
𝑃𝐷 = [−1 1
0 ] [0 −2 0 ] = [−1 −2 0 ]
1
0
1 0 0 −2
1
0 −2
5 −8 1
Ejercicio 38.
Determine si 𝐴 = [0 0
7 ] es diagonalizable.
0 0 −2
Resolución:
El teorema de diagonalización y autovalores distintos establece que si una matriz de 𝑛 × 𝑛 con 𝑛 valores propios distintos
es diagonalizable.
Dado que la matriz es triangular, sus valores propios son, evidentemente 5, 0 y −2. Puesto que A es una matriz de 3 × 3
con tres valores propios distintos 𝐴 es diagonalizable.
Ejercicio 39.
En los siguientes puntos, sea 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1 y calcule 𝐴4 .
2 0
5 7
a. 𝑃 = [
], 𝐷 = [
]
0 1
2 3
1
0
2 −3
b. 𝑃 = [
], 𝐷 = [
]
0 1⁄2
−3 5
Resolución:
2 0
3 −7
16 0
5 7
a. 𝑃 = [
], 𝐷 = [
], 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 −1 y 𝐴4 = 𝑃𝐷4 𝑃 −1 . Calculando 𝑃−1 = [
], 𝐷4 = [
] se tiene que
0 1
−2 5
0 1
2 3
5 7 16 0 3 −7
226 −525
𝐴4 = 𝑃𝐷4 𝑃 −1 = [
][
][
]=[
]
2 3 0 1 −2 5
90 −209
1
0
1
0
2 −3
5 3
a. 𝑃 = [
], 𝐷 = [
], 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 −1 y 𝐴4 = 𝑃𝐷4 𝑃 −1 . Calculando 𝑃−1 = [
], 𝐷4 = [
] se tiene
0 1/16
0 1⁄2
−3 5
3 2
que
1 151
0
2 −3 1
5 3
90
𝐴4 = 𝑃𝐷4 𝑃 −1 = [
][
][
]=
[
]
0
1/16
−3 5
3 2
16 −225 −134
188
Ejercicio 40.
En los siguientes puntos, utilice la factorización 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 −1 para calcular 𝐴𝑘 , donde 𝑘 representa un
entero positivo arbitrario.
𝑎
0
1 0 𝑎 0 1 0
a. [
]=[
][
][
]
3(𝑎 − 𝑏) 𝑏
3 1 0 𝑏 −3 1
−2 12
3 4 2 0 −1 4
b. [
]=[
][
][
]
−1 5
1 1 0 1 1 −3
Resolución:
𝑘
1 0 𝑎𝑘 0
1 0
0]
a. 𝐴𝑘 = 𝑃𝐷𝑘 𝑃 −1 = [
][
][
] = [ 𝑘𝑎
𝑘
3 1 0 𝑏 −3 1
3𝑎 − 3𝑏 𝑘 𝑏 𝑘
𝑘
3 4 2𝑘 0 −1 4
12. 2𝑘 − 12]
b. 𝐴𝑘 = 𝑃𝐷𝑘 𝑃−1 = [
][
][
] = [4 − 3. 2𝑘
𝑘
1 1 0 1
1 −3
1−2
4. 2𝑘 − 3
Ejercicio 41.
En los siguientes puntos, la matriz 𝐴 está factorizada en la forma 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 −1 . Use el teorema de la
diagonalización para encontrar los valores propios de 𝐴 y una base para cada espacio propio.
1⁄4
1 1
2 5 0 0 1⁄4 1⁄2
2 2 1
a. [1 3 1] = [1 0 −1] [0 1 0] [1⁄4 1⁄2 −3⁄4]
1 2 2
1 −1 0 0 0 1 1⁄4 −1⁄2 1⁄4
4 0 −2
−2 0 −1 5 0 0 0 0 1
b. [2 5 4 ] = [ 0 1 2 ] [0 5 0] [ 2 1 4 ]
0 0 5
1 0 0 0 0 4 −1 0 −2
Resolución:
a. Por el teorema de diagonalización, los vectores propios forman las columnas de la izquierda, y ellas corresponden
respectivamente a los valores propios de la matriz diagonal del medio. Entonces
1
Para 𝜆 = 5:
𝐯1 = [1]
1
2
1
Para 𝜆 = 1:
𝐯2 = [ 0 ]
y
𝐯3 = [−1]
−1
0
b. Por el teorema de diagonalización, los vectores propios forman las columnas de la izquierda, y ellas corresponden
respectivamente a los valores propios de la matriz diagonal del medio. Entonces
−1
Para 𝜆 = 4:
𝐯1 = [ 2 ]
0
0
−2
Para 𝜆 = 5:
𝐯2 = [ 0 ]
y
𝐯3 = [1]
1
0
Ejercicio 42.
En los siguientes puntos, 𝐴, 𝐵, 𝑃 y 𝐷 son matrices de 𝑛 × 𝑛. Señale cada enunciado como verdadero o
falso. Justifique sus respuestas.
a. 𝐴 es diagonalizable si 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 −1 para alguna matriz 𝐷 y alguna matriz invertible 𝑃.
b. Si ℝ𝑛 tiene una base de vectores propios de 𝐴, entonces 𝐴 es diagonalizable.
c. 𝐴 es diagonalizable si, y sólo si, tiene 𝑛 valores propios, contando las multiplicidades.
d. Si 𝐴 es diagonalizable, entonces es invertible.
e. 𝐴 es diagonalizable si tiene n vectores propios.
f. Si 𝐴 es diagonalizable, entonces tiene 𝑛 valores propios distintos.
Resolución:
a. Falso. El símbolo 𝐷 no denota automáticamente una matriz diagonal.
b. Verdadero. 𝐴 es diagonalizable si, y sólo si, hay suficientes vectores propios para formar una base de ℝ𝑛 . 𝐴 una base
de este tipo se le denomina base de vectores propios.
c. Falso. Se pueden dar casos en los cuales, aun contando multiplicidades se dé que 𝐴 no sea diagonalizable
d. Falso. La invertibilidad depende de que 0 no sea un valor propio. Una matriz diagonalizable puede o no tener 0 como
valor propio.
e. Falso. Los 𝑛 vectores propios deben ser linealmente independientes.
f. Falso. Puede darse que la matriz sea diagonalizable y que no todos los valores propios sean distintos. Muestre que si 𝐴
es tanto diagonalizable como invertible, entonces también lo es 𝐴−1 .
Ejercicio 43.
Muestre que si 𝐴 tiene 𝑛 vectores propios linealmente independientes, también los tiene 𝐴𝑇 .
[Sugerencia: Use el teorema de la diagonalización.]
Resolución:
189
Si 𝐴 tiene 𝑛 vectores propios linealmente independientes, entonces por el teorema de diagonalización, 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 −1 para
algunos 𝑃 invertible y diagonal 𝐷. Usando propiedades de transposiciones,
𝐴𝑇 = (𝑃𝐷𝑃 −1 )𝑇 = (𝑃 −1 )𝑇 𝐷𝑇 𝑃𝑇
= (𝑃𝑇 )−1 𝐷𝑃𝑇 = 𝑄𝐷𝑄 −1
donde 𝑄 = (𝑃𝑇 )−1 . Por lo tanto, 𝐴𝑇 es diagonalizable. Por el teorema de la diagonalización, las columnas de 𝑄 son 𝑛
vectores propios linealmente independientes de 𝐴𝑇 .
7 2
Ejercicio 44.
Una factorización 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 −1 no es única. Demuestre esto para la matriz 𝐴 = [
]. Con 𝐷1 =
−4 1
3 0
1
1
5 0
[
], donde 𝑃 = [
]y𝐷=[
] use esta información para encontrar una matriz 𝑃1 tal que 𝐴 = 𝑃1 𝐷1 𝑃1−1 .
0 5
−1 −2
0 3
Resolución:
Las entradas diagonales en 𝐷1 se invierten de las de 𝐷. Entonces intercambie las columnas (vector propio) de 𝑃 para que
se correspondan correctamente con los valores propios en 𝐷1 . En este caso,
1
1
3 0
𝑃1 = [
] y 𝐷1 = [
]
−2 −1
0 5
Aunque la primera columna de 𝑃 debe ser un vector propio correspondiente al valor propio 3, hay nada que nos impida
1
−3
−3 1
seleccionar un múltiplo de [ ], digamos [ ], y dejando 𝑃2 = [
]. Ahora tenemos tres factorizaciones o
−2
6
6 −1
"diagonalizaciones" diferentes de 𝐴:
𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1 = 𝑃1 𝐷1 𝑃1 −1 = 𝑃2 𝐷1 𝑃2 −1
Ejercicio 45.
Con 𝐴 y 𝐷 como en el ejercicio anterior, encuentre una 𝑃1 invertible distinta de la 𝑃 del ejercicio
anterior, de modo que 𝐴 = 𝑃2 𝐷2 𝑃2−1 .
Resolución:
Un múltiplo distinto de cero de un vector propio es otro vector propio. Para producir 𝑃2 , simplemente multiplique uno o
ambas columnas de 𝑃 por un escalar distinto de cero desigual a 1.
1/3
3
3 3 0 2/3
𝐴 = 𝑃2 𝐷2 𝑃2−1 = [
][
][
]
−3 −6 0 5 −1/3 −1/3
Ejercicio 46.
[Octave] Diagonalice las matrices de los siguientes puntos. Use el comando de valores propios de un
programa de matrices para encontrar los valores propios, y luego determine las bases para los espacios propios.
−6 4 0 9
11 −6
4 −10 −4
0
6
−3
1
−3
5
−2
4
1
a. [
]
c. −8 12 −3 12
−1 −2 1 0
4
1
6
−2
3
−1
−4 4 0 7
[ 8 −18 8 −14 −1]
4
4
2
3 −2
0 13 8
4
0
1
−2
2
−2
8
4]
b. [4 9
d.
6 12 11 2 −4
8 6 12 8
9 20 10 10 −6
0 5
0 −4
[15 28 14 5 −3]
Resolución:
Usando comandos de octave podemos crear las matrices 𝑃 y 𝐷 correspondientes
Código en Octave
Punto a.
>> A=[-6 4 0 9; -3 0 1 6; -1 -2 1 0; -4 4 0 7];
>> [P D]=eig(A)
P =
-0.632456
0.262613 -0.868199
0.396021
-0.316228 -0.131306 -0.078836 -0.701702
0.316228 -0.919145 -0.341957 -0.335794
-0.632456
0.262613 -0.350828
0.487877
D =
Diagonal Matrix
5.0000
0
0
0
0
1.0000
0
0
0
0 -2.0000
0
0
0
0 -2.0000
>> P=rats(P)
P =
-456/721
989/3766
-415/478 3026/7641
-228/721 -596/4539 -149/1890
-701/999
1405/4443 -989/1076
-304/889
-91/271
190
-456/721
989/3766
-127/362
825/1691
Punto b.
>> A=[0 13 8 4; 4 9 8 4; 8 6 12 8; 0 5 0 -4];
>> [P D]=eig(A)
P =
-5.2094e-01 -8.6164e-01
3.7796e-01 -8.4530e-01
-5.2094e-01 -4.1277e-17
3.7796e-01
1.5963e-16
-6.6977e-01
4.9237e-01 -7.5593e-01
1.6926e-01
-9.3024e-02 -1.2309e-01
3.7796e-01
5.0677e-01
D =
Diagonal Matrix
24.00000
0
0
0
0
-4.00000
0
0
0
0
1.00000
0
0
0
0
-4.00000
>> P=rats(P)
P =
-423/812
-137/159
765/2024 -989/1170
-423/812
0
765/2024
0
-862/1287 4160/8449 -765/1012 1217/7190
-4/43 -129/1048
765/2024 4302/8489
Punto c.
>> A=[11 -6 4 -10 -4; -3 5 -2 4 1; -8 12 -3 12 4; 1 6 -2 3 -1; 8 -18 8 -14 -1];
>> [P D]=eig(A)
P =
5.6695e-01
3.2444e-01 -7.4880e-02 -3.7733e-01 -7.6633e-01
-1.8898e-01 -1.6222e-01
2.2847e-01
1.0022e-01
8.2105e-02
-5.6695e-01 -6.4889e-01 -3.0719e-01
5.5423e-01
2.4632e-01
1.0171e-16 -1.6222e-01 -6.1054e-01
7.6671e-02 -5.2001e-01
5.6695e-01
6.4889e-01
6.8925e-01 -7.3112e-01
2.7370e-01
D =
Diagonal Matrix
5.00000
0
0
0
0
0
3.00000
0
0
0
0
0
1.00000
0
0
0
0
0
1.00000
0
0
0
0
0
5.00000
>> P=rats(P)
P =
4319/7618
888/2737 -265/3539
-283/750
-305/398
-765/4048 -444/2737
865/3786
363/3622
39/475
-271/478 -961/1481 -701/2282 3286/5929 2290/9297
0 -444/2737
-475/778
187/2439
-13/25
4319/7618 6289/9692 1597/2317
-242/331 2076/7585
Punto d.
>> A=[4 4 2 3 -2; 0 1 -2 -2 2; 6 12 11 2 -4; 9 20 10 10 -6; 15 28 14 5 -3];
>> [P D]=eig(A)
P =
Columns 1 through 4:
0.22942 + 0.00000i -0.76359 + 0.00000i
0.63803 + 0.00000i -0.38517 - 0.24862i
0.00000 + 0.00000i
0.53973 + 0.00000i -0.52888 + 0.00000i
0.11372 + 0.24862i
0.00000 + 0.00000i -0.09203 + 0.00000i
0.31057 + 0.00000i
0.54290 + 0.00000i
0.68825 + 0.00000i -0.31588 + 0.00000i
0.41973 + 0.00000i -0.38517 - 0.24862i
0.68825 + 0.00000i
0.13183 + 0.00000i
0.20142 + 0.00000i
0.38517 + 0.24862i
Column 5:
-0.38517 + 0.24862i
0.11372 - 0.24862i
0.54290 - 0.00000i
-0.38517 + 0.24862i
0.38517 - 0.24862i
D =
Diagonal Matrix
7.0000 + 0.0000i
0
0
0
0
0
3.0000 + 0.0000i
0
0
0
0
0
3.0000 + 0.0000i
0
0
0
0
0
5.0000 + 0.0000i
0
0
0
0
0
5.0000 - 0.0000i
191
Vectores propios y transformaciones lineales
Ejercicio 47.
Describa como asociar una matriz con 𝑇, seleccione bases (ordenadas) 𝔅 y 𝒞 para 𝑉 y 𝑊,
respectivamente
Resolución:
Sean 𝑉 un espacio vectorial 𝑛-dimensional, 𝑊 un espacio vectorial 𝑚-dimensional, y 𝑇 cualquier transformación lineal
de 𝑉 a 𝑊. Para asociar una matriz con 𝑇, seleccione bases (ordenadas) 𝔅 y 𝒞 para 𝑉 y 𝑊, respectivamente. Dado cualquier
𝐱 en 𝑉, el vector de coordenadas [𝐱]𝒞 está en ℝ𝑛 y el vector de coordenadas de su imagen, [𝑇(𝐱)]𝒞 , está en ℝ𝑚 , como
indica la figura.
La conexión entre [𝐱]𝔅 y [𝑇(𝐱)]𝒞 es fácil de encontrar. Sea {𝐛1 , … , 𝐛𝑛 } la base 𝔅 para 𝑉. Si 𝐱 = 𝑟1 𝐛1 + ··· +𝑟𝑛 𝐛𝑛 ,
entonces
𝑟1
[𝐱]𝔅 = [ ⋮ ]
𝑟𝑛
y
(1)
𝑇(𝐱) = 𝑇(𝑟1 𝐛1 + ··· +𝑟𝑛 𝐛𝑛 ) = 𝑟1 𝑇(𝐛1 ) + ··· +𝑟𝑛 𝑇(𝐛𝑛 )
porque 𝑇 es lineal. Al usar la base 𝒞 en 𝑊, es posible reescribir (1) en términos de vectores de 𝒞-coordenadas:
[𝑇(𝐱)]𝒞 = 𝑟1 [𝑇(𝐛1 )]𝒞 + ⋯ + 𝑟𝑛 [𝑇(𝐛𝑛 )]𝒞
(2)
Como los vectores de 𝒞-coordenadas están en ℝ𝑚 , la ecuación vectorial (2) puede escribirse como una ecuación de
matrices, a saber,
[𝑇(𝐱)]𝒞 = 𝑀[𝐱]𝔅
(3)
donde
(4)
𝑀 = [[𝑇(𝐛1 )]𝒞 [𝑇(𝐛2 )]𝒞 … [𝑇(𝐛𝑛 )]𝒞 ]
La matriz 𝑀 es una representación matricial de 𝑇, llamada matriz para 𝑇 relativa a las bases 𝔅 y 𝒞. Vea la figura.
La ecuación (3) postula que, en lo concerniente a los vectores de coordenadas, la acción de 𝑇 sobre 𝐱 puede verse como
una multiplicación izquierda por 𝑀.
Ejercicio 48.
Suponga que 𝔙 = {𝐛1 , 𝐛2 } es una base para 𝑉 y 𝒞 = {𝐛1 , 𝐛2 , 𝐛3 } es una base para 𝑊. Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊
una transformación lineal con la propiedad de que
𝑇(𝐛1 ) = 3𝐜1 − 2𝐜2 + 5𝐜3 y 𝑇(𝐛2 ) = 4𝐜1 + 7𝐜2 − 𝐜3
Encuentre la matriz 𝑀 para 𝑇 relativa a 𝐵 y 𝐶.
Resolución:
Los vectores de 𝒞-coordenadas de las imágenes 𝐛1 y 𝐛2 son
3
4
[𝑇(𝐛1 )] 𝒞 = [−2] y [𝑇(𝐛2 )] 𝒞 = [ 7 ]
5
−1
Por lo tanto
192
3
4
𝑀 = [−2 7 ]
5 −1
Ejercicio 49.
La función 𝑇: ℙ2 → ℙ2 definida por 𝑇(𝐚0 + 𝐚1 𝑡 + 𝐚2 𝑡 2 ) = 𝐚1 + 2𝐚2 𝑡 es una transformación lineal.
(Los estudiantes de cálculo reconocerán a T como el operador de diferenciación.)
a. Encuentre la 𝔙-matriz para 𝑇, cuando 𝔙 es la base {1, 𝑡, 𝑡 2 }.
b. Verifique si [𝑇(𝐩)]𝔙 = [𝑇]𝔙 [𝐩]𝔙 para cada 𝐩 en ℙ2 .
Resolución:
En el caso común donde W es igual a 𝑉 y la base 𝒞 es igual a 𝔅, la matriz 𝑀 presentada en la ecuación (4) se denomina
matriz para 𝑇 relativa a 𝔅, o simplemente 𝔅 -matriz para T, y se denota mediante [𝑇]𝔅 . Vea la figura.
La 𝔅 -matriz de 𝑇: 𝑉 → 𝑉 satisface
[𝑇(𝐱)]𝔅 = [𝑇]𝔅 [𝐱]𝔅 , para toda 𝐱 en 𝑉
a. Determine las imágenes de los vectores de base:
𝑇(1) = 0
𝑇(𝑡) = 1
𝑇(𝑡 2 ) = 2𝑡
Luego escriba los vectores de 𝔅-coordenadas 𝑇(1), 𝑇(𝑡), y 𝑇(𝑡 2 ) (que en este ejercicio se encuentran mediante
inspección) y colóquelos como 𝔅-matriz para 𝑇:
0
1
0
[𝑇(1)]𝔅 = [0] ,
[𝑇(𝑡)]𝔅 = [0] ,
[𝑇(𝑡 2 )]𝔅 = [2]
0
0
0
0 1 0
[𝑇]𝔅 = [0 0 2]
0 0 0
b. En general, para una 𝐩(𝑡) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 , calculando [𝑇(𝐩)]𝔙 = [𝑇]𝔙 [𝐩]𝔙
𝑎1
[𝑇(𝐩)]𝔙 = [𝑎1 + 𝑎2 𝑡]𝔅 = [2𝑎2 ]
0
Entonces
0 1 0 𝑎0
[𝑇(𝐩)]𝔙 = [𝑇]𝔙 [𝐩]𝔙 = [0 0 2] [𝑎1 ]
0 0 0 𝑎2
7 2
Ejercicio 50.
Defina 𝑇: ℝ2 → ℝ2 como 𝑇(𝐱) = 𝐴𝐱, donde 𝐴 = [
]. Encuentre una base 𝔙 para ℝ2 con la
−4 1
propiedad de que la 𝔙-matriz de 𝑇 es una matriz diagonal.
Resolución:
Suponga que 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1 , donde 𝐷 es una matriz diagonal de 𝑛 × 𝑛. Si 𝔙 es la base para ℝ𝑛 formada a partir de las
columnas de 𝑃, entonces 𝐷 es la 𝔙 -matriz para la transformación 𝐱 ↦ 𝐴𝐱.
Para ello hallamos la matriz diagonal de 𝐴, empezamos obteniendo los autovalores correspondientes
7−𝜆
2
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = det [
] = (7 − 𝜆)(1 − 𝜆) + 8 = 15 − 8𝜆 + 𝜆2 = 0
−4 1 − 𝜆
Resolviendo la ecuación se tiene que 𝜆 = 5 y 𝜆 = 3, con lo cual se calculan autovectores correspondientes
𝑥1
4
2 0
4 2 0
2 1 0
1
Para 𝜆 = 3, [
]→[
]→[
], esto implica que −2𝑥1 = 𝑥2 , entonces 𝐯1 = [−2𝑥 ] = 𝑥1 [ ],
−4 −2 0
0 0 0
0 0 0
−2
1
1
con lo cual una base es 𝐯1 = [ ]
−2
193
2
Para 𝜆 = 5, [
−4
2
−4
0
2 2
]→[
0
0 0
1
con lo cual una base es 𝐯2 = [ ]
−1
Con esto armamos las matrices
0
1
]→[
0
0
𝑃=[
Calculando 𝑃 −1 =
1
det 𝑃
1
0
𝑥1
0
1
], esto implica que −𝑥1 = 𝑥2 , entonces 𝐯2 = [−𝑥 ] = 𝑥1 [ ],
0
1
−1
1
−2
1
3
] y 𝐷=[
−1
0
0
]
5
adj 𝑃
1 −1
]
2 −1
Las columnas de 𝑃, llamadas 𝐛1 y 𝐛2 , son vectores propios de 𝐴. Según el teorema de matrices diagonales, 𝐷 es la 𝔙 matriz de 𝑇 cuando 𝔙 = {𝐛1 , 𝐛2 }. Las funciones 𝐱 ↦ 𝐴𝐱 y 𝐮 ↦ 𝐷𝐮 describen la misma transformación lineal, relativa a
bases diferentes.
4 −9
3
2
Ejercicio 51.
Sean 𝐴 = [
] , 𝐛1 = [ ], y 𝐛2 = [ ]. El polinomio característico de 𝐴 es (𝜆 + 2)2 , pero el espacio
4 8
2
1
propio para el valor propio −2 es solamente unidimensional; de modo que 𝐴 no es diagonalizable. Sin embargo, la
base 𝔙 = {𝐛1 , 𝐛2 } tiene la propiedad de que la 𝔙 -matriz para la transformación 𝐱 → 𝐴𝐱 es una matriz triangular llamada
la forma Jordan de 𝐴. Encuentre esta 𝔙-matriz.
Resolución:
Si 𝑃 = [𝐛1 𝐛2 ], entonces la 𝔙-matriz es 𝑃 −1 𝐴𝑃. Calcule
4 −9 3 2
−6 −1
𝐴𝑃 = [
][
]=[
]
4 8 2 1
−4 0
−1 2 −6 −1
−2 1
𝑃−1 𝐴𝑃 = [
][
]=[
]
2 −3 −4 0
0 −2
Observe que el valor propio de 𝐴 está sobre la diagonal.
Ejercicio 52.
Sean 𝔙 = {𝐛1 , 𝐛2 , 𝐛3 } y 𝒟 = {𝐝1 , 𝐝2 } bases para los espacios vectoriales 𝑉 y 𝑊, respectivamente. Sea
𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal con la propiedad de que 𝑇(𝐛1 ) = 3𝐝1 − 5𝐝2 , 𝑇(𝐛2 ) = −𝐝1 + 6𝐝2 , 𝑇(𝐛3 ) = 4𝐝2
Encuentre la matriz para 𝑇 relativa a 𝔙 y 𝒟.
Resolución:
3
Partiendo de 𝑇(𝐛1 ) = 3𝐝1 − 5𝐝2 , [𝑇(𝐛1 )]𝒟 = [ ], del mismo modo 𝑇(𝐛2 ) = −𝐝1 + 6𝐝2 , implica que [𝑇(𝐛2 )]𝒟 =
−5
−1
0
[ ] y 𝑇(𝐛3 ) = 4𝐝2 , implica que [𝑇(𝐛3 )]𝒟 = [ ]. Entonces la matriz para 𝑇 relativa a 𝔙 y 𝒟 es
6
4
)]
[𝑇(𝐛
[𝑇(𝐛3 )]𝒟 ] = [ 3 −1 0]
[[𝑇(𝐛1 𝒟
2 )]𝒟
−5 6 4
Ejercicio 53.
Sean 𝒟 = {𝐝1 , 𝐝2 } y 𝔙 = {𝐛1 , 𝐛2 } bases para los espacios vectoriales 𝑉 y 𝑊, respectivamente. Sea
𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal con la propiedad de que
𝑇(𝐝1 ) = 2𝐛1 − 3𝐛2 , 𝑇(𝐝2 ) = −4𝐛1 + 5𝐛2
Encuentre la matriz para 𝑇 relativa a 𝒟 y 𝔙.
Resolución:
2
Partiendo de 𝑇(𝐝1 ) = 2𝐛1 − 3𝐛2 , [𝑇(𝐝1 )]𝔙 = [ ], del mismo modo 𝑇(𝐝2 ) = −4𝐛1 + 5𝐛2 , implica que [𝑇(𝐝2 )]𝔙 =
−3
−4
[ ]. Entonces la matriz para 𝑇 relativa a 𝒟 y 𝔙 es
5
2 −4
[[𝑇(𝐝1 )]𝔙 [𝑇(𝐝2 )]𝔙 ] = [
]
−3 5
3
Ejercicio 54.
Sean ℰ = {𝐞1 , 𝐞2 , 𝐞3 } la base canónica para ℝ , 𝔙 = {𝐛1 , 𝐛2 , 𝐛3 } una base para un espacio vectorial
3
𝑉, y 𝑇: ℝ → 𝑉 una transformación lineal con la propiedad de que 𝑇 = {𝐱1 , 𝐱 2 , 𝐱 3 } = (𝐱 3 − 𝐱 2 )𝐛1 − (𝐱1 + 𝐱 3 )𝐛2 +
(𝐱1 − 𝐱 2 )𝐛3
a. Calcule 𝑇(𝐞1 ), 𝑇(𝐞2 ) y 𝑇(𝐞3 ).
b. Calcule [𝑇(𝐞1 )]𝔙 , [𝑇(𝐞2 )]𝔙 y [𝑇(𝐞3 )]𝔙 .
c. Encuentre la matriz para 𝑇 relativa a ℰ y 𝔙.
Resolución:
a. 𝑇(𝐞1 ) = (0 − 0)𝐛1 − (1 + 0)𝐛2 + (1 − 0)𝐛3 = 0𝐛1 − 𝐛2 + 𝐛3
𝑇(𝐞2 ) = (0 − 1)𝐛1 − (0 + 0)𝐛2 + (0 − 1)𝐛3 = −𝐛1 − 0𝐛2 − 𝐛3
𝑇(𝐞3 ) = (1 − 0)𝐛1 − (0 + 1)𝐛2 + (0 − 0)𝐛3 =𝐛1 − 𝐛2 + 0𝐛3 .
1
0
−1
b. [𝑇(𝐞1 )]𝔙 = [−1] , [𝑇(𝐞2 )]𝔙 = [ 0 ] , [𝑇(𝐞3 )]𝔙 = [−1]
1
−1
0
𝑃 −1 = [
194
c. La matriz para 𝑇 relativa a ℰ y 𝔙 es
0 −1 1
[𝑇(𝐞3 )]𝔙 ] = [−1 0 −1]
1 −1 0
Ejercicio 55.
Sean 𝔙 = {𝐛1 , 𝐛2 , 𝐛3 } una base para un espacio vectorial 𝑉 y 𝑇: 𝑉 → ℝ2 una transformación lineal con
la propiedad de que
2𝑥 − 4𝑥2 + 5𝑥3
𝑇(𝑥1 𝐛1 + 𝑥2 𝐛2 + 𝑥3 𝐛3 ) = [ 1
]
−𝑥2 + 3𝑥3
2
Encuentre la matriz para 𝑇 relativa a 𝔙 y la base canónica para ℝ .
Resolución:
2
−4
Sea ℰ = {𝐞1 , 𝐞2 } una base canónica para ℝ2 . Entonces [𝑇(𝐛1 )]ℰ = 𝑇(𝐛1 ) = [ ], [𝑇(𝐛2 )]ℰ = 𝑇(𝐛2 ) = [ ], y
0
−1
[𝑇(𝐛3 )]ℰ = 𝑇(𝐛3 ) = [5], la matriz para 𝑇 relativa a 𝔙 y ℰ es
3
2 −4 5
[[𝑇(𝐛1 )]ℰ [𝑇(𝐛2 )]ℰ [𝑇(𝐛3 )]ℰ ] = [
]
0 −1 3
Ejercicio 56.
Sea 𝑇: ℙ2 → ℙ3 la transformación que mapea un polinomio 𝐩(𝑡) en el polinomio (𝑡 + 5)𝐩(𝑡).
a. Encuentre la imagen de 𝐩(𝑡) = 2 − 𝑡 + 𝑡 2 .
b. Muestre que 𝑇 es una transformación lineal.
c. Encuentre la matriz para 𝑇 relativa a las bases {1, 𝑡, 𝑡 2 } y {1, 𝑡, 𝑡 2 , 𝑡 3 }.
Resolución:
a. 𝑇(𝐩) = (𝑡 + 5)(2 − 𝑡 + 𝑡 2 ) = 10 − 3𝑡 + 4𝑡 2 + 𝑡 3
b. Para comprobar que 𝑇 es una transformación lineal, sean 𝐩 y 𝐪 polinomios en ℙ2 , y 𝑐 cualquier escalar entonces
𝑇(𝐩(𝑡) + 𝐪(𝑡)) = (𝑡 + 5)[𝐩(𝑡) + 𝐪(𝑡)] = (𝑡 + 5)𝐩(𝑡) + (𝑡 + 5)𝐪(𝑡)
[[𝑇(𝐞1 )]𝔙
[𝑇(𝐞2 )]𝔙
= 𝑇(𝐩(𝑡)) + 𝑇(𝐪(𝑡))
𝑇(𝑐. 𝐪(𝑡)) = (𝑡 + 5)[𝑐. 𝐪(𝑡)] = 𝑐. (𝑡 + 5)𝐩(𝑡)
= 𝑐. 𝑇[𝐩(𝑡)]
y 𝑇 es una transformación lineal.
5
c. Sean 𝔅 = {1, 𝑡, 𝑡 } y 𝒞 = {1, 𝑡, 𝑡 , 𝑡 }. Entonces 𝑇(𝐛1 ) = 𝑇(1) = (𝑡 + 5)(1) = 𝑡 + 5, [𝑇(𝐛1 )]𝒞 = [1], de igual
0
0
0
manera para 𝑇(𝐛2 ) = 𝑇(𝑡) = (𝑡 + 5)(𝑡) = 𝑡 2 + 5𝑡, [𝑇(𝐛2 )]𝒞 = [5] y 𝑇(𝐛3 ) = 𝑇(𝑡 2 ) = (𝑡 + 5)(𝑡 2 ) = 𝑡 3 + 5𝑡 2 ,
1
0
0
[𝑇(𝐛1 )]𝒞 = [0].
5
1
Entonces la matriz para 𝑇 relativa a 𝔙 y 𝒞 es
5 0 0
[[𝑇(𝐛1 )]𝒞 [𝑇(𝐛2 )]𝒞 [𝑇(𝐛3 )]𝒞 ] = [1 5 0]
0 1 5
0 0 1
Ejercicio 57.
Sea 𝑇: ℙ2 → ℙ4 la transformación que mapea un polinomio 𝐩(𝑡) en el polinomio 𝐩(𝑡) + 𝑡 2 𝐩(𝑡).
a. Encuentre la imagen de 𝐩(𝑡) = 2 − 𝑡 + 𝑡 2 .
b. Muestre que 𝑇 es una transformación lineal.
c. Encuentre la matriz para 𝑇 relativa a las bases {1, 𝑡, 𝑡 2 } y {1, 𝑡, 𝑡 2 , 𝑡 3 𝑡 4 }.
Resolución:
a. 𝑇(𝐩) = (2 − 𝑡 + 𝑡 2 ) + 𝑡 2 (2 − 𝑡 + 𝑡 2 ) = 2 − 𝑡 + 3𝑡 2 − 𝑡 3 + 𝑡 4
b. Para comprobar que 𝑇 es una transformación lineal, sean 𝐩 y 𝐪 polinomios en ℙ2 , y 𝑐 cualquier escalar entonces
𝑇(𝐩(𝑡) + 𝐪(𝑡)) = [𝐩(𝑡) + 𝐪(𝑡)] + 𝑡 2 [𝐩(𝑡) + 𝐪(𝑡)]
= [𝐩(𝑡) + 𝑡 2 𝐩(𝑡)] + [𝐪(𝑡) + 𝑡 2 𝐪(𝑡)]
= (𝑡 + 5)𝐩(𝑡) + (𝑡 + 5)𝐪(𝑡)
= 𝑇(𝐩(𝑡)) + 𝑇(𝐪(𝑡))
𝑇(𝑐. 𝐪(𝑡)) = [𝑐. 𝐪(𝑡)] + 𝑡 2 [𝑐. 𝐩(𝑡)]
2
2
3
195
= 𝑐. [𝐩(𝑡) + +𝑡 2 𝐩(𝑡)]
= 𝑐. 𝑇[𝐩(𝑡)]
y 𝑇 es una transformación lineal.
1
0
c. Sean 𝔅 = {1, 𝑡, 𝑡 2 } y 𝒞 = {1, 𝑡, 𝑡 2 , 𝑡 3 }. Entonces 𝑇(𝐛1 ) = 𝑇(1) = 1 + 𝑡 2 (1) = 𝑡 2 + 1, [𝑇(𝐛1 )]𝒞 = 1 , de igual
0
[0]
manera para
0
1
𝑇(𝐛2 ) = 𝑇(𝑡) = 𝑡 + ( 𝑡 2 )(𝑡) = 𝑡 3 + 𝑡, [𝑇(𝐛2 )]𝒞 = 0 y 𝑇(𝐛3 ) = 𝑇( 𝑡 2 ) = 𝑡 2 + ( 𝑡 2 )( 𝑡 2 ) = 𝑡 4 + 𝑡 2 , [𝑇(𝐛3 )]𝒞 =
1
[0]
0
0
1.
0
[1]
Entonces la matriz para 𝑇 relativa a 𝔙 y 𝒞 es
1 0 0
0 1 0
[[𝑇(𝐛1 )]𝒞 [𝑇(𝐛2 )]𝒞 [𝑇(𝐛3 )]𝒞 ] = 1 0 1
0 1 0
[ 0 0 1]
Ejercicio 58.
Suponga que la función 𝑇: ℙ2 → ℙ2 definida por 𝑇(𝐚0 + 𝐚1 𝑡 + 𝐚2 𝑡 2 ) = 3𝐚0 + (5𝐚0 − 2𝐚1 )𝑡 +
(4𝐚1 + 𝐚2 )𝑡 2 es lineal. Encuentre la representación matricial de 𝑇 relativa a la base 𝔙 = {1, 𝑡, 𝑡 2 }.
Resolución:
3
Partiendo de 𝑇(𝐛1 ) = 𝑇(1) = 3 + 5𝑡, [𝑇(𝐛1 )]𝔅 = [5], de igual manera para 𝑇(𝐛2 ) = 𝑇(𝑡) = −2𝑡 + 4𝑡 2 , [𝑇(𝐛2 )]𝔅 =
0
0
0
[−2] y 𝑇(𝐛3 ) = 𝑇( 𝑡 2 ) = 𝑡 2, [𝑇(𝐛3 )]𝔅 = [0].
4
1
Entonces la matriz para 𝑇 relativa a 𝔙 es
3 0 0
[[𝑇(𝐛1 )]𝔅 [𝑇(𝐛2 )]𝔅 [𝑇(𝐛3 )]𝔅 ] = [5 −2 0]
0 4 1
𝐩(−3)
𝐩(−1)
Ejercicio 59.
Defina 𝑇: ℙ3 → ℝ4 como 𝑇(𝐩) =
𝐩(1)
[ 𝐩(3) ]
a. Muestre que 𝑇 es una transformación lineal.
b. Encuentre la matriz para 𝑇 relativa a la base {1, 𝑡, 𝑡 2 , 𝑡 3 } para ℙ3 y la base canónica para ℝ4 .
Resolución:
a. Sea p y q polinomios en ℙ3 , y sea 𝑐 cualquier escalar. Entonces
(𝐩 + 𝐪)(−3)
𝐩(−3) + 𝐪(−3)
𝐩(−3)
𝐪(−3)
(𝐩 + 𝐪)(−1)
𝐩(−1) + 𝐪(−1)
𝐩(−1)
𝐪(−1)
𝑇(𝐩 + 𝐪) =
=
=
+
= 𝑇(𝐩) + 𝑇(𝐪)
(𝐩 + 𝐪)(1)
𝐩(1) + 𝐪(1)
𝐩(1)
𝐪(1)
[ (𝐩 + 𝐪)(3) ] [ 𝐩(3) + 𝐪(3) ] [ 𝐩(3) ] [ 𝐪(3) ]
𝑐. (𝐩(−3))
(𝑐. 𝐩)(−3)
𝐩(−3)
𝑇(𝑐. 𝐩) =
𝑐. (𝐩(−1))
(𝑐. 𝐩)(−1)
𝐩(−1)
=
= 𝑐.
= 𝑐. 𝑇(𝐩)
(𝑐. 𝐩)(1)
𝐩(1)
𝑐. (𝐩(1))
[ (𝑐. 𝐩)(3) ]
[ 𝐩(3) ]
[ 𝑐. (𝐩(3)) ]
y 𝑇 es una transformación lineal.
b. Sea 𝔅 = {1, 𝑡, 𝑡 2 , 𝑡 3 } y ℰ = {𝐞1 , 𝐞2 , 𝐞3 , 𝐞4 } una base estándar para ℝ4 . Entonces
1
−3
1
[𝑇(𝐛1 )]ℰ = 𝑇(𝐛1 ) = 𝑇(1) = [ ] ,
[𝑇(𝐛2 )]ℰ = 𝑇(𝐛2 ) = 𝑇(𝑡) = [−1]
1
1
1
3
196
9
[𝑇(𝐛3 )]ℰ = 𝑇(𝐛3 ) = 𝑇(𝑡 2 ) = [1] , 𝑦
1
9
La matriz para 𝑇 reltiva a 𝔅 y ℰ es
−27
[𝑇(𝐛4 )]ℰ = 𝑇(𝐛4 ) = 𝑇(𝑡 3 ) = [ −1 ]
1
27
1 −3 9 −27
[[𝑇(𝐛1 )]ℰ [𝑇(𝐛2 )]ℰ [𝑇(𝐛3 )]ℰ [𝑇(𝐛4 )]ℰ ] = [1 −1 1 −1 ]
1 1 1
1
1 3 9 27
[Octave] En los siguientes puntos, encuentre la 𝔅-matriz para la transformación 𝐱 ↦ 𝐴𝐱 cuando 𝔅 =
Ejercicio 60.
{𝐛1 , 𝐛2 , 𝐛3 }.
−1
−14 4 −14
−1
−1
a. 𝐴 = [−33 9 −31], 𝐛1 = [−2], 𝐛2 = [−1], 𝐛3 = [−2]
11 −4 11
1
1
0
−7 −48 −16
−3
−2
3
b. 𝐴 = [ 1
14
6 ], 𝐛1 = [ 1 ], 𝐛2 = [ 1 ], 𝐛3 = [−1]
−3 −45 −19
−3
−3
0
Resolución:
a. Si 𝑃 es la matriz cuyas columnas provienen de 𝐵, entonces la matriz 𝐵 de la transformación 𝐱 ↦ 𝐴𝐱 es 𝐷 = 𝑃 −1 𝐴𝑃.
De los datos en el texto,
−14 4 −14
−1 −1 −1
𝐴 = [−33 9 −31] , 𝑃 = [𝐛1 𝐛2 𝐛3 ] = [−2 −1 −2],
11 −4 11
1
1
0
2 −1 1
Calculando 𝑃 −1 por Octave, se tiene 𝑃 −1 = [−2 1
0]
−1 0 −1
Con lo cual
8 3 −6
2 −1 1 −14 4 −14 −1 −1 −1
𝐷 = 𝑃 −1 𝐴𝑃 = [−2 1
0 ] [−33 9 −31] [−2 −1 −2] = [0 1 3 ]
−1 0 −1 11 −4 11
1
1
0
0 0 −3
b. Si 𝑃 es la matriz cuyas columnas provienen de 𝐵, entonces la matriz 𝐵 de la transformación 𝐱 ↦ 𝐴𝐱 es 𝐷 = 𝑃−1 𝐴𝑃.
De los datos en el texto,
−7 −48 −16
−3 −2 3
𝐴=[ 1
14
6 ] , 𝑃 = [𝐛1 𝐛2 𝐛3 ] = [ 1
1 −1],
−3 −45 −19
−3 −3 0
−1 −3 −1/3
0 ]
Calculando 𝑃 −1 por Octave, se tiene 𝑃 −1 = [ 1
3
0
1 −1/3
Con lo cual
−1 −3 −1/3 −7 −48 −16 −3 −2 3
−7 −2 −6
0 ][ 1
𝐷 = 𝑃 −1 𝐴𝑃 = [ 1
3
14
6 ][ 1
1 −1] = [ 0 −4 −6]
0
0
1 −1/3 −3 −45 −19 −3 −3 0
0 −1
Código en Octave
Punto a.
>> A=[-14 4 -14; -33 9 -31; 11 -4 11];
>> P=[-1 -1 -1; -2 -1 -2; 1 1 0];
>> Pinv=inv(P)
Pinv =
2 -1
1
-2
1 -0
-1
0 -1
>> D=Pinv*A*P
D =
8
3 -6
0
1
3
0
0 -3
Punto b.
>> A=[-14 4 -14; -33 9 -31; 11 -4 11];
>> A=[-7 -48 -16; 1 14 6; -3 -45 -19];
>> P=[-3 -2 3; 1 1 -1; -3 -3 0];
>> Pinv=inv(P)
Pinv =
197
-1.00000 -3.00000 -0.33333
1.00000
3.00000
0.00000
0.00000 -1.00000 -0.33333
>> D=Pinv*A*P
D =
-7.00000 -2.00000 -6.00000
0.00000 -4.00000 -6.00000
-0.00000 -0.00000 -1.00000
>> Pinv=rats(Pinv)
Pinv =
-1
-3
-1/3
1
3
0
0
-1
-1/3
Ejercicio 61.
Verifique los siguientes enunciados. Las matrices son cuadradas.
a. Si A es invertible y semejante a 𝐵, entonces 𝐵 es invertible y 𝐴−1 es semejante a 𝐵−1 . [Sugerencia:𝑃 −1 𝐴𝑃 = 𝐵 para
alguna 𝑃 invertible. Explique por qué 𝐵 es invertible. Luego encuentre una 𝑄 invertible tal que 𝑄 −1 𝐴−1 𝐵 = 𝐵 −1 .]
b. Si 𝐴 es semejante a 𝐵, entonces 𝐴2 es semejante a 𝐵2 .
c. Si 𝐵 es semejante a 𝐴 y 𝐶 es semejante a 𝐴, entonces 𝐵 es semejante a 𝐶.
d. Si 𝐴 es diagonalizable y 𝐵 es similar a 𝐴, entonces 𝐵 también es diagonalizable.
e. Si 𝐵 = 𝑃 −1 𝐴𝑃 y 𝐱 es un vector propio de 𝐴 correspondiente a un valor propio 𝜆, entonces 𝑃 −1 𝐱 es un vector propio
de 𝐵 también correspondiente a 𝜆.
f. Si 𝐴 y 𝐵 son semejantes, entonces tienen el mismo rango.
Resolución:
a. Si 𝐴 es semejante a 𝐵, entonces existe una matriz 𝑃 invertible tal que 𝑃 −1 𝐴𝑃 = 𝐵. Así 𝐵 es invertible porque es el
producto de matrices invertibles. Por un teorema sobre inversos de productos, 𝐵 −1 = 𝑃 −1 𝐴(𝑃 −1 )−1 = 𝑃−1 𝐴𝑃, lo que
muestra que 𝐴−1 es similar a 𝐵 −1 .
b. Si 𝐴 = 𝑃𝐵𝑃 −1 , entonces 𝐴2 = (𝑃𝐵𝑃−1 )(𝑃𝐵𝑃 −1 ) = 𝑃𝐵(𝑃−1 𝑃)𝐵𝑃 −1 = 𝑃𝐵. 𝐼. 𝐵𝑃−1 = 𝑃𝐵2 𝑃−1 . Entonces 𝐴2 es
semejante a 𝐵2 .
c. Por hipótesis, existen 𝑃 y 𝑄 invertibles tales que 𝑃 −1 𝐵𝑃 = 𝐴 y 𝑄 −1 𝐶𝑄 = 𝐴. Entonces 𝑃 −1 𝐵𝑃 = 𝑄−1 𝐶𝑄. Multiplicando
a la izquierda por 𝑄 a la derecha por 𝑄 −1 para obtener 𝑄𝑃 −1 𝐵𝑃𝑄 −1 = 𝑄𝑄 −1 𝐶𝑄𝑄 −1 . Entonces 𝐶 = 𝑄𝑃 −1 𝐵𝑃𝑄 −1 =
(𝑃𝑄 −1 )−1 𝐵(𝑃𝑄 −1 ), lo cual demuestra que 𝐵 es semejante a 𝐶.
d. Si 𝐴 es diagonalizable, entonces 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 −1 para alguna 𝑃. Entonces, si 𝐵 es semejante a 𝐴, entonces 𝐵 = 𝑄𝐴𝑄 −1
para algún 𝑄. Entonces 𝐵 = 𝑄(𝑃𝐷𝑃−1 )𝑄−1 = (𝑄𝑃)𝐷(𝑃−1 𝑄 −1 ) = (𝑄𝑃)𝐷(𝑄𝑃)−1 . Entonces 𝐵 es diagonalizable.
e. Si 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱, 𝐱 ≠ 0, entonces 𝑃 −1 𝐴𝐱 = 𝜆𝑃 −1 𝐱. Si 𝐵 = 𝑃 −1 𝐴𝑃, entonces 𝐵(𝑃 −1 𝐱) = 𝑃−1 𝐴𝑃(𝑃 −1 𝐱) = 𝑃 −1 𝐴𝐱 =
𝜆𝑃−1 𝐱 por el primer calculo. Note que 𝑃−1 𝐱 ≠ 0, porque 𝐱 ≠ 0 y 𝑃 −1 es invertible. Esta ultima ecuación muestra que
𝑃 −1 𝐱 es un autovector de 𝐵 correspondiente a 𝜆.
f. Si 𝐴 = 𝑃𝐵𝑃 −1 , entonces rango 𝐴 = rango 𝑃(𝐵𝑃 −1 ) = rango 𝐵𝑃−1 , y a su vez rango 𝐵𝑃 −1 = rango 𝐵, mientras 𝑃 −1
sea invertible rango 𝐴 = rango 𝐵.
Sistemas dinámicos discretos
𝑂
Denote a la población de búhos y ratas de bosque en el tiempo 𝑘 mediante 𝐱 𝑘 = [ 𝑘 ], donde 𝑘 es el
𝑅𝑘
tiempo en meses, 𝑂𝑘 es la cantidad de búhos presentes en la región estudiada, y 𝑅𝑘 la cantidad de ratas (medidas en miles).
Suponga que
𝑂𝑘+1 = (0,5)𝑂𝑘 + (0,4)𝑅𝑘
𝑅𝑘+1 = −𝑝. 𝑂𝑘 + (1.1)𝑅𝑘
donde 𝑝 es un parámetro positivo por especificar. El (.5) 𝑂𝑘 de la primera ecuación establece que, sin ratas de bosque
para alimentarse, sólo sobrevivirá la mitad de los búhos cada mes, mientras el (1.1) 𝑅𝑘 de la segunda ecuación señala que
sin búhos como depredadores, la población de ratas aumentará en un 10% cada mes. Si hay abundancia de ratas, el (.4) 𝑅𝑘
tenderá a propiciar un aumento en la población de búhos, mientras que el término negativo − 𝑝· Ok mide las muertes de
ratas debidas a la depredación de los búhos. (De hecho, 1000𝑝 es la cantidad promedio de ratas que un búho come en un
mes.) Determine la evolución de este sistema cuando el parámetro de depredación 𝑝 es . 104.
Resolución:
Cuando 𝑝 = 0,104, los valores propios de la matriz de coeficientes 𝐴 para (3) resultan ser 𝜆1 = 1,02 y 𝜆2 = 0,58. Los
vectores propios correspondientes son
Ejercicio 62.
198
10
5
𝐯1 = [ ] ,
𝐯2 = [ ]
13
1
Se puede escribir una 𝐱 𝟎 inicial como 𝐱 𝟎 = 𝑐1 𝐯1 + 𝑐2 𝐯2 . Entonces, para 𝑘 ≥ 0,
𝐱 𝒌 = 𝑐1 (1,02)𝑘 𝐯1 + 𝑐2 (0,58)𝑘 𝐯2
10
5
= 𝑐1 (1,02)𝑘 [ ] + 𝑐2 (0,58)𝑘 [ ]
13
1
Cuando 𝑘 → ∞, (0,58)𝑘 se aproxima rápidamente a cero. Suponga que 𝑐1 > 0. Entonces, para toda 𝑘 suficientemente
grande, 𝐱 𝒌 es aproximadamente igual a 𝑐1 (1,02)𝑘 𝐯1 , y se escribe
10
𝐱 𝒌 ≈ 𝑐1 (1,02)𝑘 [ ]
13
Esta aproximación mejora al aumentar 𝑘, así que para una 𝑘 grande:
10
10
𝐱 𝑘+1 ≈ 𝑐1 (1,02)𝑘+1 [ ] = (1,02)𝑐1 (1,02)𝑘 [ ] ≈ 1,02𝐱 𝒌
13
13
Esta aproximación establece que tarde o temprano ambas entradas de 𝐱 𝑘 (las cantidades de búhos y ratas) aumentarán
10
cada mes por un factor de casi 1,02, un índice de crecimiento mensual del 2%. Según 𝐱 𝒌 ≈ 𝑐1 (1,02)𝑘 [ ] , 𝐱 𝑘 es
13
aproximadamente un múltiplo de (10, 13), de este modo, las entradas en 𝐱 𝑘 tienen casi la misma proporción que 10 a 13.
Esto es, por cada 10 búhos hay aproximadamente 13 mil ratas.
0,80
0
Ejercicio 63.
Grafique varias trayectorias del sistema dinámico 𝐱 𝑘+1 = 𝐴𝐱 𝑘 , cuando 𝐴 = [
]
0
0,64
Resolución:
1
0
Los valores propios de 𝐴 son 0,8 y 0,64, con vectores propios 𝐯1 = [ ] y 𝐯2 = [ ]. Si 𝐱 𝟎 = 𝑐1 𝐯1 + 𝑐2 𝐯2 , entonces
0
1
1
0
𝑘
𝑘
𝑘
𝐱 𝒌 = 𝑐1 (0,8) 𝐯1 + 𝑐2 (0,648) 𝐯2 = 𝑐1 (0,8) [ ] + 𝑐2 (0,64)𝑘 [ ]
0
1
Por supuesto, 𝐱 𝒌 tiende a 𝟎 porque tanto (0,8)𝑘 como (0,64)𝑘 se aproximan a 0 cuando 𝑘 → ∞. Pero el camino recorrido
por 𝐱 𝒌 hacia 𝟎 resulta interesante. La figura muestra los primeros términos de varias trayectorias que comienzan en
algunos puntos situados en los límites de la caja cuyas esquinas están en (±3, ±3).
Los puntos de cada trayectoria están conectados mediante una curva delgada, para que la trayectoria sea más fácil de
apreciar.
1,44 0
Ejercicio 64.
Grafique varias soluciones típicas de la ecuación 𝐱 𝑘+1 = 𝐴𝐱 𝑘 , cuando 𝐴 = [
]
0
1,2
Resolución:
𝑐1
Los valores propios de 𝐴 son 1,44 y 1,2. Si 𝐱 0 = [𝑐 ], entonces
2
1
0
𝐱 𝒌 = 𝑐1 (1,44)𝑘 [ ] + 𝑐2 (1,2)𝑘 [ ]
0
1
Ambos términos aumentan de tamaño, pero el primero crece más rápido. Así que el sentido de mayor repulsión es la línea
que pasa por 𝟎 y por el vector propio con el valor propio de mayor magnitud. En la figura se muestran varias trayectorias
que empiezan en puntos muy cercanos a 𝟎.
199
Ejercicio 65.
El circuito de la figura se puede describir por medio de la ecuación diferencial
𝑣 ′ (𝑡)
−(1/𝑅1 + 1/𝑅2 )/𝐶1
1/(𝑅2 𝐶1 ) 𝑣1 (𝑡)
[ ′1 ] = [
][
]
1/(𝑅2 𝐶2 )
−1/(𝑅2 𝐶2 ) 𝑣2 (𝑡)
𝑣 2 (𝑡)
donde 𝑣1 (𝑡) y 𝑣2 (𝑡) son los voltajes que pasan por dos condensadores en el tiempo 𝑡. Suponga que el
resistor 𝑅1 es de 1 ohm y el 𝑅2 de 2 ohms, que el capacitor 𝐶1 es de 1 farad y 𝐶2 de .5 faradios, y asuma
una carga inicial de 5 volts en el capacitor 𝐶1 y de 4 volts en el capacitor 𝐶2 . Encuentre las fórmulas
para 𝑣1 (𝑡) y 𝑣2 (𝑡) que describan cómo cambian los voltajes con el tiempo.
Resolución:
𝑣1
−1,5 0,5
5
Para los datos dados, establezca 𝐴 = [
], 𝐱 = [𝑣 ], y 𝐱 0 = [ ]. El vector 𝐱 0 enlista los valores iniciales de 𝐱. A
2
1
−1
4
partir de 𝐴, se obtienen los valores propios 𝜆1 = −0,5 y 𝜆2 = −2, con los correspondientes vectores propios
1
−1
𝐯1 = [ ] y 𝐯2 = [ ]
2
1
Las funciones propias 𝐱1 (𝑡) = 𝐯1 𝑒 𝜆1𝑡 y 𝐱 2 (𝑡) = 𝐯2 𝑒 𝜆2𝑡 satisfacen ambas 𝐱´ = 𝐴𝐱, y también lo hace cualquier
combinación lineal de 𝐱1 y 𝐱 2 . Sea
1
−1
𝐱(𝑡) = 𝑐1 𝐯1 𝑒 𝜆1𝑡 + 𝑐2 𝐯2 𝑒 𝜆2𝑡 = 𝑐1 [ ] 𝑒 −0,5𝑡 + 𝑐2 [ ] 𝑒 −2𝑡
2
1
y observe que 𝐱(0) = 𝑐1 𝐯1 + 𝑐2 𝐯2 . Puesto que resulta obvio que 𝐯1 y 𝐯2 son linealmente independientes y, por lo tanto,
generan ℝ2 , se pueden encontrar 𝑐1 y 𝑐2 tales que vuelvan
1
−1
5
𝑐1 [ ] + 𝑐2 [ ] = [ ]
2
1
4
𝐱(0) igual a 𝐱 0 . De hecho, la ecuación conduce fácilmente a 𝑐1 = 3 y 𝑐2 = −2. Entonces la solución deseada de la
ecuación diferencial 𝐱´ = 𝐴𝐱 es
1
−1
𝐱(𝑡) = 3 [ ] 𝑒 −0,5𝑡 − 2 [ ] 𝑒 −2𝑡
2
1
O bien
−0,5𝑡
−2𝑡
𝑣 (𝑡)
[ 1 ] = [3𝑒 −0,5𝑡 + 2𝑒 −2𝑡 ]
𝑣2 (𝑡)
6𝑒
− 2𝑒
En la figura se muestra la gráfica, o trayectoria, de 𝐱(𝑡), para 𝑡 ≥ 0, junto con las trayectorias ara otros puntos iniciales.
Las trayectorias de las dos funciones propias 𝐱1 y 𝐱 2 están en los espacios propios de 𝐴.
Ambas funciones 𝐱1 y 𝐱 2 tienden a cero conforme 𝑡 → ∞, pero los valores de 𝐱 2 decaen más rápidamente porque su
exponente es más negativo. Las entradas en el vector propio correspondiente 𝐯2 muestran que los voltajes a través de los
capacitores caerán a cero tan rápidamente como sea posible si los voltajes iniciales son iguales en magnitud, pero de signo
opuesto.
200
Ejercicio 66.
Suponga que una partícula se mueve en un campo de fuerzas plano y que su vector de posición 𝐱
satisface 𝐱′ = 𝐴𝐱 y 𝐱(0) = 𝐱 0 , donde
2,9
4 −5
𝐴=[
],
𝐱0 = [ ]
2,6
−2 1
Resuelva este problema de valor inicial, y trace la trayectoria de la partícula para 𝑡 ≥ 0.
Resolución:
Los valores propios de A resultan ser 𝜆1 = 6 y 𝜆2 = −1, con los correspondientes vectores propios 𝐯1 = (−5, 2) 𝐯1 y
𝐯2 = (1, 1). Para cualesquiera constantes 𝑐1 y 𝑐2 , la función
1
−5
𝐱(𝑡) = 𝑐1 𝐯1 𝑒 𝜆1𝑡 + 𝑐2 𝐯2 𝑒 𝜆2𝑡 = 𝑐1 [ ] 𝑒 6𝑡 + 𝑐2 [ ] 𝑒 −𝑡
1
2
es una solución de 𝐴𝐱´ = 𝐱. Se desea que 𝑐1 y 𝑐2 satisfagan 𝐱(0) = 𝐱 0, esto es,
2,9
2,9
1
−5
4 −5 𝑐1
𝑐1 [ ] + 𝑐2 [ ] = [ ] o bien [
] [𝑐 ] = [ ]
2,6
2,6
1
2
2
−2 1
Los cálculos muestran que 𝑐1 = −3/70 y 𝑐2 = 188/70, y entonces la función deseada es
−3 −5 6𝑡 188 1 −𝑡
𝐱(𝑡) =
[ ]𝑒 +
[ ]𝑒
70 2
70 1
Las trayectorias de 𝐱 y otras soluciones se muestran en la figura
Estimaciones iterativas para valores propios
1,8 0,8
4
−0,5
Sean 𝐴 = [
], 𝐯 = [ ], y 𝐱 = [
] . Entonces 𝐴 tiene valores propios 2 y 1, y el espacio
0,2 1,2 1
1
1
propio para 𝜆1 = 2 es la línea que pasa por 𝟎 y 𝐯𝟏 . Para 𝑘 = 0, . . . , 8, calcule 𝐴𝑘 𝐱 y construya la línea que pasa por 𝟎
𝐴𝑘 𝐱. ¿Qué ocurre al aumentar 𝑘?
Ejercicio 67.
201
Resolución:
Los primeros cálculos son
1,8
𝐴𝐱 = [
0,2
0,8 −0,5
−0,1
][
]=[
]
1,2
1,1
1
1,8 0,8 −0,1
0,7
𝐴2 𝐱 = 𝐴(𝐴𝐱) = [
][
]=[ ]
0,2 1,2 1,1
1,3
1,8 0,8 0,7
2,3
3
2
𝐴 𝐱 = 𝐴(𝐴 𝐱) = [
][ ] = [ ]
0,2 1,2 1,3
1,7
1,8 0,8 2,3
5,5
4
3
𝐴 𝐱 = 𝐴(𝐴 𝐱) = [
][ ] = [ ]
0,2 1,2 1,7
2,5
1,8 0,8 5,5
11,9
5
4
𝐴 𝐱 = 𝐴(𝐴 𝐱) = [
][ ] = [
]
0,2 1,2 2,5
4,1
1,8 0,8 11,9
24,7
𝐴6 𝐱 = 𝐴(𝐴5 𝐱) = [
][
]=[
]
0,2 1,2 4,1
7,3
1,8 0,8 24,7
50,3
𝐴7 𝐱 = 𝐴(𝐴6 𝐱) = [
][
]=[
]
0,2 1,2 7,3
13,7
1,8 0,8 50,3
101,5
𝐴8 𝐱 = 𝐴(𝐴7 𝐱) = [
][
]=[
]
0,2 1,2 13,7
26,5
Los vectores 𝐱, 𝐴𝐱, … , 𝐴4 𝐱 se muestran en la figura. Los otros vectores se vuelven demasiado largos como para exhibirlos.
No obstante, se han trazado segmentos de línea que muestran las direcciones de esos vectores. De hecho, lo que realmente
se desea observar es el sentido de los vectores, no los vectores mismos. Las líneas parecen estar aproximándose a la línea
que representa el espacio propio generado por 𝐯1 . Con mayor precisión, el ángulo entre la línea (subespacio) determinada
por 𝐴𝑘 𝐱 y la línea (espacio propio) determinada por 𝐯1 tiende a cero conforme 𝑘 → ∞.
0
6 5
Ejercicio 68.
Aplique el método de potencias a 𝐴 = [
] con 𝐱 0 = [ ]. Debe aplicarse el método hasta 𝑘 = 5 y
1
1 2
estimar el valor propio dominante y un correspondiente vector propio de 𝐴.
Resolución:
Los cálculos se hicieron con 𝑶𝒄𝒕𝒂𝒗𝒆, que calcula con una precisión de 16 dígitos, aunque aquí se muestran sólo unas
cuantas cifras significativas. Para comenzar, calcule 𝐴𝐱 𝟎 e identifique la entrada más grande 𝜇0 en 𝐴𝐱 𝟎 :
6 5 0
5
𝐴𝐱 𝟎 = [
][ ] = [ ],
𝜇0 = 5
1 2 1
2
Escale 𝐴𝐱 𝟎 mediante 1/𝜇0 para obtener 𝐱 𝟏 , calcule 𝐴𝐱, e identifique la máxima entrada en 𝐴𝐱 𝟏:
1
1 5
1
𝐱 𝟏 = 𝐴𝐱 𝟎 = [ ] = [ ]
0,4
𝜇0
5 2
8
6 5 1
𝐴𝐱 𝟏 = [
][ ] = [ ],
𝜇1 = 8
1,8
1 2 0,4
Escale 𝐴𝐱 𝟏 mediante 1/𝜇1 para obtener 𝐱 𝟐 , calcule 𝐴𝐱 𝟐 , e identifique la máxima entrada en 𝐴𝐱 𝟐:
1
1 8
1
𝐱 𝟐 = 𝐴𝐱 𝟏 = [ ] = [
]
1,8
0,225
𝜇1
8
1
7,125
6 5
𝐴𝐱 𝟐 = [
][
]=[
],
𝜇2 = 7,125
1,450
1 2 0,225
Escale 𝐴𝐱 𝟐 mediante 1/𝜇2 para obtener 𝐱 𝟑 , y así sucesivamente. Los resultados de los cálculos efectuados en Octave para
las primeras cinco iteraciones están acomodados como se muestra en la tabla.
𝑘
0
1
2
3
4
5
1
1
1
1
1
0
[ ]
[
]
[
]
[
]
[
]
𝐱𝒌
[ ]
0,4
0,225
0,2035
0,2005
0,20007
1
8
7,00036
7,125
7,0175
7,0025
5
𝐴𝐱 𝒌
[ ]
[ ]
[
]
[
]
[
]
[
]
1,8
1,40014
1,450
1,4070
1,4010
2
𝜇𝑘
5
8
7,125
7,0175
7,0025
7,00036
La evidencia expuesta en la tabla claramente sugiere que {𝐱 𝒌 } se aproxima a (1, 0,2) y que {𝜇𝑘 } se aproxima a 7. Si esto
es así, entonces (1, 0,2) es un vector propio y 7 es el valor propio dominante. Lo cual se verifica fácilmente al calcular
1
7
1
6 5 1
𝐴[ ] = [
][ ] = [ ] = 7[ ]
1,4
0,2
0,2
1 2 0,2
Ejercicio 69.
En todos estos ejercicios, A y B representan matrices cuadradas del tamaño apropiado. Señale cada
enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas.
a. Si 𝐴 es invertible y 1 es un valor propio de 𝐴, entonces 1 también es valor propio de 𝐴−1 .
b. Si 𝐴 es equivalente por filas a la matriz identidad 𝐼, entonces 𝐴 es diagonalizable.
c. Si 𝐴 contiene una columna o una fila de ceros, entonces 0 es un valor propio de 𝐴.
d. Cada valor propio de 𝐴 también es un valor propio de 𝐴2 .
202
Cada vector propio de 𝐴 también es un vector propio de 𝐴2 .
Cada vector propio de una matriz invertible 𝐴 también es un vector propio de 𝐴−1 .
Los valores propios deben ser escalares diferentes de cero.
Los vectores propios deben ser vectores diferentes de cero.
Dos vectores propios, correspondientes al mismo valor propio, siempre son linealmente dependientes.
Las matrices semejantes siempre tienen exactamente los mismos valores propios.
Las matrices semejantes siempre tienen exactamente los mismos vectores propios.
La suma de dos vectores propios de una matriz 𝐴 también es un vector propio de 𝐴.
Los valores propios de una matriz triangular superior 𝐴 son exactamente las entradas diferentes de cero sobre la
diagonal de 𝐴.
n. Las matrices 𝐴 y 𝐴𝑇 tienen los mismos valores propios, contando las multiplicidades.
o. Si una matriz 𝐴 de 5 × 5 tiene menos de 5 valores propios distintos, entonces 𝐴 no es diagonalizable.
p. Existe una matriz de 2 × 2 que no tiene vectores propios en ℝ2 .
q. Si 𝐴 es diagonalizable, entonces las columnas de 𝐴 son linealmente independientes.
r. Un vector diferente de cero no puede corresponder a dos diferentes valores propios de 𝐴.
s. Una matriz (cuadrada) A es invertible si, y sólo si, hay un sistema de coordenadas en el cual la transformación 𝐱 →
𝐴𝐱 esté representada por una matriz diagonal.
t. Si cada vector 𝐞𝑗 en la base estándar para ℝ𝑛 es un vector propio de 𝐴, entonces 𝐴 es una matriz diagonal.
u. Si 𝐴 es semejante a una matriz diagonalizable 𝐵, entonces 𝐴 también es diagonalizable.
v. Si 𝐴 y 𝐵 son matrices invertibles de 𝑛 × 𝑛, entonces 𝐴𝐵 es similar a 𝐵𝐴.
w. Una matriz de 𝑛 × 𝑛, con 𝑛 vectores propios linealmente independientes, es invertible.
x. Si 𝐴 es una matriz diagonalizable de 𝑛 × 𝑛, entonces cada vector en ℝ𝑛 puede escribirse como una combinación
lineal de vectores propios de 𝐴.
Resolución:
a. Verdadero. Si 𝐴 es invertible y si 𝐴𝐱 = 1 ⋅ 𝐱 para alguna 𝐱 distinta de cero, entonces multiplique a la izquierda por 𝐴−1
para obtener 𝐱 = 𝐴−1 𝐱, que puede reescribirse como 𝐴−1 𝐱 = 1 ⋅ 𝐱. Como 𝐱 no es cero, esto muestra que 1 es un valor
propio
de 𝐴−1 .
b. Falso. Si 𝐴 es una fila equivalente a la matriz de identidad, entonces 𝐴 es invertible. En algunos casos se puede probar
que una matriz invertible no necesita ser diagonalizable.
c. Verdadero. Si 𝐴 contiene una fila o columna de ceros, entonces 𝐴 no es una fila equivalente a la matriz de identidad y
por lo tanto, no es invertible. Según el teorema de la matriz invertible, 0 es un valor propio de 𝐴.
d. Falso. Considere una matriz diagonal 𝐷 cuyos valores propios son 1 y 3, es decir, sus entradas diagonales son 1 y 3.
Entonces 𝐷2 es una matriz diagonal cuyos valores propios (entradas diagonales) son 1 y 9. En general, los valores propios
de 𝐴2 son los cuadrados de los valores propios de 𝐴.
e. Verdadero. Supongamos que un vector distinto de cero 𝐱 satisface 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱, entonces
𝐴2 𝐱 = 𝐴(𝐴𝐱) = 𝐴(𝜆𝐱) = 𝜆𝐴𝐱 = 𝜆2 𝐱
Esto muestra que 𝐱 también es un vector propio para 𝐴2
f. Verdadero. Suponga que un vector distinto de cero 𝐱 satisface 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱, luego multiplique a la izquierda por 𝐴−1 para
obtener 𝐱 = 𝐴−1 (𝜆𝑥) = 𝜆𝐴−1 𝐱. Como A es invertible, el valor propio 𝜆 no es cero. Entonces 𝜆−1 𝐱 = 𝐴−1 𝐱, que muestra
que 𝐱 también es un vector propio de 𝐴−1 .
g. Falso. Cero es un valor propio de cada matriz cuadrada singular.
h. Verdadero. Por definición, un vector propio debe ser distinto de cero.
i. Falso. Sea 𝐯 un vector propio para 𝐴. Entonces 𝐯 y 2𝐯 son vectores propios distintos para el mismo valor propio (porque
el espacio propio es un subespacio), pero 𝐯 y 2𝐯 son linealmente dependientes.
j. Verdadero. Esto se desprende del teorema de matrices semejantes.
k. Falso. Sea 𝐴 por ejemplo una matriz de 3 × 3. Entonces 𝐴 es similar a una matriz diagonal 𝐷. Los vectores propios de
𝐷 son las columnas de 𝐼3 , pero los vectores propios de 𝐴 son completamente diferentes.
2 0
1
0
l. Falso. Deje que 𝐴 = [
]. Entonces 𝐞𝟏 = [ ] y 𝐞𝟐 = [ ] son vectores propios de 𝐴, pero 𝐞𝟏 + 𝐞𝟐 no lo son. (En
0 3
0
1
realidad, se puede demostrar que si dos autovectores de 𝐴 corresponden a distintos autovalores, entonces su suma no
puede ser un autovector).
m. Falso. Todas las entradas diagonales de una matriz triangular superior son los valores propios de la matriz, por teorema.
Una entrada diagonal puede ser cero.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
203
n. Verdadero. Las matrices 𝐴 y 𝐴𝑇 tienen el mismo polinomio característico, porque det(𝐴𝑇 − 𝜆𝐼) = det(𝐴 − 𝜆𝐼)𝑇 =
det(𝐴 − 𝜆𝐼), por la propiedad de transposición determinante.
o. Falso. Contraejemplo: Sea 𝐴 la matriz de identidad 5 × 5.
p. Verdadero. Por ejemplo, deje que 𝐴 sea la matriz que rota vectores a través de 𝜋/2 radianes sobre el origen. Entonces
𝐴𝐱 no es un múltiplo de 𝐱 cuando 𝐱 no es cero.
q. Falso. Si 𝐴 es una matriz diagonal con 0 en la diagonal, entonces las columnas de 𝐴 no son linealmente independientes.
r. Verdadero. Si 𝐴𝐱 = 𝜆1 𝐱 y 𝐴𝐱 = 𝜆2 𝐱, luego 𝜆1 𝐱 = 𝜆2 𝐱 y (𝜆1 − 𝜆2 )𝐱 = 𝟎. Si 𝐱 ≠ 0 entonces 𝜆1 debe ser igual a 𝜆2 .
s. Falso. Sea 𝐴 una matriz singular que es diagonalizable. (Por ejemplo, que 𝐴 sea una matriz diagonal con 0 en la
diagonal.) Luego, por teorema, la transformación 𝐱 ↦ 𝐴𝐱 está representada por una matriz diagonal relativa a un sistema
de coordenadas determinado por vectores propios de 𝐴.
t. Verdadero. Por definición de multiplicación matricial,
𝐴 = 𝐴𝐼 = 𝐴[𝐞𝟏 𝐞𝟐 … 𝐞𝐧 ] = [𝐴𝐞𝟏 𝐴𝐞𝟐 … 𝐴𝐞𝑛 ]
Si 𝐴𝐞𝑗 = 𝑑𝐞𝑗 para 𝑗 = 1, … , 𝑛, entonces 𝐴 es una matriz diagonal con entradas diagonales 𝑑1 , . . . , 𝑑𝑛 .
u. Verdadero. Si 𝐵 = 𝑃𝐷𝑃 −1 , donde 𝐷 es una matriz diagonal, y si 𝐴 = 𝑄𝐵𝑄 −1 , entonces
𝐴 = 𝑄(𝑃𝐷𝑃 −1 )𝑄 −1 = (𝑄𝑃)𝐷(𝑃𝑄)−1 , que muestra que 𝐴 es diagonalizable.
v. Verdadero. Como 𝐵 es invertible, 𝐴𝐵 es similar a 𝐵(𝐴𝐵)𝐵 −1 , lo que equivale a 𝐵𝐴.
w. Falso. Tener 𝑛 vectores propios linealmente independientes hace que una matriz 𝑛 × 𝑛 sea diagonalizable (por el
Teorema de Diagonalización), pero no necesariamente invertible. Uno de los valores propios de la matriz podría ser cero.
x. Verdadero. Si 𝐴 es diagonalizable, entonces por el Teorema de Diagonalización, 𝐴 tiene 𝑛 vectores propios linealmente
independiente 𝐯1 , . . . , 𝐯𝑛 en ℝ𝑛 . Según el teorema de la base, {𝐯1 , . . . , 𝐯𝑛 } abarca ℝ𝑛 . Esto significa que cada el vector en
ℝ𝑛 se puede escribir como una combinación lineal de 𝐯1 , . . . , 𝐯𝑛 Muestre que si 𝐱 es un vector propio del producto de
matrices 𝐴𝐵 y 𝐵𝐱 ≠ 0, entonces 𝐵𝐱 es un vector propio de 𝐵𝐴.
Ejercicio 70.
Suponga que 𝐱 es un vector propio de 𝐴 correspondiente a un valor propio 𝜆.
a. Muestre que 𝐱 es un vector propio de 5𝐼 − 𝐴. ¿Cuál es el valor propio correspondiente?
b. Muestre que 𝐱 es un vector propio de 5𝐼 − 3𝐴 + 𝐴2 . ¿Cuál es el valor propio correspondiente?
Resolución:
a. Suponga 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱, con 𝐱 ≠ 𝟎. Entonces (5𝐼 − 𝐴)𝐱 = 5𝐱 − 𝐴𝐱 = 5𝐱 − 𝜆𝐱 = (5 − 𝜆)𝐱. El valor propio es 5 − 𝜆.
b. (5𝐼 − 3𝐴 + 𝐴2 )𝐱 = 𝟓𝐱 − 3𝐴𝐱 + 𝐴(𝐴𝐱) = 5𝐱 − 3(𝜆𝐱) + 𝜆2 𝐱 = (5 − 3𝜆 + 𝜆2 )𝐱. El valor propio es 5 − 3𝜆 + 𝜆2 .
Ejercicio 71.
Use inducción matemática para mostrar que si 𝜆 es un valor propio de una matriz 𝐴 de 𝑛 × 𝑛, con 𝐱
como el correspondiente vector propio, entonces, para cada entero positivo 𝑚, 𝜆𝑚 es un valor propio de 𝐴𝑚 , siendo 𝐱 un
vector propio correspondiente.
Resolución:
Suponga que 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱 para algún vector distinto de cero 𝐱. La declaración deseada es verdadera para 𝑚 = 1, por la
suposición sobre 𝜆. Suponga que para algunos 𝑘 ≥ 1, la afirmación se cumple cuando 𝑚 = 𝑘. Es decir, supongamos que
𝐴𝑘𝐱 = 𝜆𝑘𝐱. Entonces 𝐴𝑘+1 𝐱 = 𝐴( 𝐴𝑘 𝐱) = 𝐴(𝜆𝑘 𝐱) por la hipótesis de inducción. Continuando, 𝐴𝑘+1 𝐱 = 𝜆𝑘 𝐴𝐱 = 𝜆𝑘+1 𝐱,
porque 𝐱 es un vector propio de 𝐴 correspondiente a 𝐴. Dado que 𝐱 es distinto de cero, esta ecuación muestra que 𝜆𝑘+1
es un valor propio de 𝐴𝑘+1 , con el vector propio correspondiente 𝐱. Así lo deseado declaración es verdadera cuando 𝑚 =
𝑘 + 1. Por el principio de inducción, la afirmación es verdadera para cada positivo entero 𝑚.
Ejercicio 72.
Si 𝐩(𝑡) = 𝑐0 + 𝑐1 𝑡 + 𝑐2 𝑡 2 + · · · +𝑐𝑛 𝑡 𝑛 , defina 𝐩(𝐴) como la matriz formada al reemplazar cada
potencia de 𝑡 en 𝐩(𝑡) por la potencia correspondiente de 𝐴 (con 𝐴0 = 𝐼). Es decir,
𝐩(𝐴) = 𝑐0 𝐼 + 𝑐1 𝐴 + 𝑐2 𝐴2 + · · · +𝑐𝑛 𝐴𝑛
Muestre que si 𝜆 es un valor propio de 𝐴, entonces un valor propio de 𝑝(𝐴) es 𝑝(𝜆).
Resolución:
Supongamos que 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱, con 𝐱 ≠ 𝟎. Entonces
𝐩(𝐴)𝐱 = ( 𝑐0 𝐼 + 𝑐1 𝐴 + 𝑐2 𝐴2 + · · · +𝑐𝑛 𝐴𝑛 )𝐱
= 𝑐0 𝐱 + 𝑐1 𝐴𝐱 + 𝑐2 𝐴2 𝐱 + · · · +𝑐𝑛 𝐴𝑛 𝐱
= 𝑐0 𝐱 + 𝑐1 𝜆𝐱 + 𝑐2 𝜆2 𝐱 + · · · +𝑐𝑛 𝜆𝑛 𝐱 = 𝐩(𝜆)𝐱
Entonces 𝐩(𝜆) es un valor propio de 𝐩(𝐴).
2 0
Ejercicio 73.
Suponga que 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1 , donde 𝑃 es de 2 × 2 y 𝐷 = [
].
0 7
a. Sea 𝐵 = 5𝐼 − 3𝐴 + 𝐴2 . Muestre que 𝐵 es diagonalizable encontrándole una factorización adecuada.
b. Dadas 𝑝(𝑡) = 𝑐0 + 𝑐1 𝑡 + 𝑐2 𝑡 2 + · · · +𝑐𝑛 𝑡 𝑛 , y 𝑝(𝐴) = 𝑐0 𝐼 + 𝑐1 𝐴 + 𝑐2 𝐴2 + · · · +𝑐𝑛 𝐴𝑛 , muestre que 𝑝(𝐴) es
diagonalizable.
Resolución:
204
a. Si 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 −1 , entonces 𝐴𝑘 = 𝑃𝐷𝑘 𝑃−1 , y
𝐵 = 5𝐼 − 3𝐴 + 𝐴2 = 5𝑃𝐼𝑃 −1 − 3𝑃𝐷𝑃 −1 + 𝑃𝐷2 𝑃 −1
= 𝑃(5𝐼 − 3𝐷 + 𝐷2 )𝑃 −1
Como 𝐷 es diagonal, también lo es 5𝐼 − 3𝐷 + 𝐷2 . Por lo tanto, 𝐵 es similar a una matriz diagonal.
b. 𝑝(𝐴) = 𝑐0 𝐼 + 𝑐1 𝐴 + 𝑐2 𝐴2 + · · · +𝑐𝑛 𝐴𝑛
= 𝑐0 𝐼 + 𝑐1 𝑃𝐷𝑃−1 + 𝑐2 𝑃𝐷2 𝑃 −1 + · · · +𝑐𝑛 𝑃𝐷𝑛 𝑃−1
= 𝑃(𝑐0 𝐼 + 𝑐1 𝐷 + 𝑐2 𝐷 2 + · · · +𝑐𝑛 𝐷𝑛 )𝑃 −1
= 𝑃𝑝(D)𝑃 −1
Esto muestra que 𝑝(𝐴) es diagonalizable, porque 𝑝(𝐷) es una combinación lineal de matrices diagonales y por lo tanto
es diagonal. De hecho, debido a que 𝐷 es diagonal, es fácil ver que
𝑝(2)
0
𝑝(𝐷) = [
]
0
𝑝(7)
Ejercicio 74.
Suponga que 𝐴 es diagonalizable y que 𝑝(𝑡) es el polinomio característico de 𝐴. Defina (𝐴) = 𝑐0 𝐼 +
𝑐1 𝐴 + 𝑐2 𝐴2 + · · · +𝑐𝑛 𝐴𝑛 , y muestre que 𝑝(𝐴) es la matriz cero. Este hecho, que es cierto para cualquier matriz cuadrada,
se llama teorema de Cayley-Hamilton.
Resolución:
Si 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 −1 , entonces 𝑝(𝐴) = 𝑃𝑝(𝐷)𝑃 −1 , como se muestra en el ejercicio anterior. Si la entrada (𝑗, 𝑗) en 𝐷 es 𝜆,
entonces el (𝑗, 𝑗) la entrada en 𝐷 𝑘 es 𝜆𝑘 , por lo que la entrada (𝑗, 𝑗) en 𝑝(𝐷) es 𝑝(𝜆). Si 𝑝 es el polinomio característico
de 𝐴, entonces 𝑝(𝜆) = 0 para cada entrada diagonal de 𝐷, porque estas entradas en 𝐷 son los valores propios de 𝐴. Por
lo tanto, 𝑝(𝐷) es la matriz cero. Así 𝑝(𝐴) = 𝑃 ⋅ 0 ⋅ 𝑃 −1 = 0.
Ejercicio 75.
a. Sea 𝐴 una matriz diagonalizable de 𝑛 × 𝑛. Muestre que si la multiplicidad de un valor propio 𝜆 es
3 1
𝑛, entonces 𝐴 = 𝜆𝐼. b. Use el resultado en (a) para mostrar que la matriz 𝐴 = [
] no es diagonalizable.
0 3
Resolución:
a. Si 𝜆 es un valor propio de una matriz 𝐴 diagonalizable 𝑛 × 𝑛, entonces 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1 para una matriz invertible 𝑃 y una
matriz diagonal 𝐷 de 𝑛 × 𝑛 cuyas entradas diagonales son los valores propios de 𝐴. Si la multiplicidad de 𝜆 es 𝑛, entonces
𝜆 debe aparecer en cada entrada diagonal de 𝐷. Es decir, 𝐷 = 𝜆𝐼. En este caso,
𝐴 = 𝑃(𝜆 𝐼)𝑃 −1 = 𝜆 𝑃𝐼𝑃−1 = 𝜆𝑃𝑃 −1 = 𝜆𝐼.
3 1
b. Si la matriz 𝐴 = [
] es triangular, sus valores propios están en diagonal. Así 3 es un valor propio con multiplicidad
0 3
2. Si la matriz 𝐴 de 2 × 2 fuera diagonalizable, entonces 𝐴 sería 3𝐼, por parte (a). Este no es el caso, por lo que 𝐴 no es
diagonalizable.
Ejercicio 76.
Muestre que 𝐼 − 𝐴 es invertible cuando todos los valores propios de 𝐴 son de magnitud menor que 1.
[Sugerencia: ¿Qué sería cierto si 𝐼 − 𝐴 no fuera invertible?]
Resolución:
Si 𝐼 − 𝐴 no fuera invertible, entonces la ecuación (𝐼 − 𝐴)𝐱 = 𝟎. tendría una solución no trivial 𝐱. Entonces 𝐱 − 𝐴𝐱 = 𝟎
y 𝐴𝐱 = 1 ⋅ 𝐱, que muestra que 𝐴 tendría 1 como valor propio. Esto no puede suceder si todos los valores propios son
menores que 1 en magnitud. Entonces 𝐼 − 𝐴 debe ser invertible.
Ejercicio 77.
Demuestre que si 𝐴 es diagonalizable, con todos los valores propios de magnitud menor que 1, entonces
𝐴𝑘 tiende a la matriz cero cuando 𝑘 → ∞. [Sugerencia: Considere 𝐴𝑘 𝐱 donde 𝐱 representa cualesquiera de las columnas
de 𝐼.]
Resolución:
Para mostrar que 𝐴𝑘 tiende a la matriz cero, es suficiente mostrar que cada columna de 𝐴𝑘 puede hacerse como cerca del
vector cero como se desee tomando 𝑘 suficientemente grande. La 𝑗 −ésima columna de 𝐴 es 𝐴𝐞𝑗 , donde 𝐞𝑗 es la 𝑗 −ésima
columna de la matriz de identidad. Como 𝐴 es diagonalizable, hay una base para ℝ𝑛 que consiste en vectores propios
𝐯1 , … , 𝐯𝑛 , correspondientes a los valores propios 𝜆1 , … , 𝜆𝑛 . Entonces existen escalares 𝑐1 , … , 𝑐𝑛 , de modo que
𝐞𝑗 = 𝑐1 𝐯1 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝐯𝑛 (una descomposición de vector propio de 𝐞𝑗 )
Entonces, para 𝑘 = 1, 2, …,
𝐴𝑘 𝐞𝑗 = 𝑐1 (𝜆1 )𝑘 𝐯1 + ⋯ + 𝑐𝑛 (𝜆𝑛 )𝑘 𝐯𝑛 (∗)
Si los valores propios son todos menores que 1 en valor absoluto, entonces sus 𝑘 −ésimas potencias tienden a cero.
Entonces (∗) muestra que 𝐴𝑘 𝐞𝑗 tiende al vector cero, como se desee.
205
Producto interior, longitud y ortogonalidad
Ejercicio 78.
Describa producto interior de un espacio vectorial 𝑉.
Resolución:
Si 𝐮 y 𝐯 son vectores en ℝ𝑛 , entonces 𝐮 y 𝐯 se consideran como matrices de 𝑛 × 1. La transpuesta 𝐮𝑇 es una matriz de
1 × 𝑛 y el producto matricial 𝐮𝑇 𝐯 es una matriz de 1 × 1, la cual se escribe como un solo número real (un escalar) sin
corchetes. Al número 𝐮𝑇 𝐯 se le llama producto interior de 𝐮 y 𝐯, y se escribe a menudo como 𝐮 · 𝐯. Este producto
interior también se conoce como producto punto. Si
𝑢1
𝑣1
𝑢2
𝑣2
𝐮=[ ⋮ ]
y
𝐯=[⋮]
𝑢𝑛
𝑣𝑛
entonces el producto interior de 𝐮 y 𝐯 es
𝑣1
𝑣2
[𝑢1 𝑢2 … 𝑢𝑛 ] [ ⋮ ] = 𝑢1 𝑣1 + 𝑢2 𝑣2 + ⋯ + 𝑢𝑛 𝑣𝑛
𝑣𝑛
Este producto interior dentro de un espacio vectorial V es una función que asocia a cada par de vectores u y v en 𝑉 un
número u.v, y satisface los siguientes axiomas para todos u, v, w en V y para todo escalar c:
1. 𝐮 · 𝐯 = 𝐯 · 𝐮
2. (𝐮 + 𝐯) · 𝐰 = 𝐮 · 𝐰 + 𝐯 · 𝐰
3. (𝑐𝐮) · 𝐯 = 𝑐(𝐮 · 𝐯) = 𝐮 · (𝑐𝐯)
4. 𝐮 · 𝐮 ≥ 0 y 𝐮 · 𝐮 = 0 si, y sólo si, 𝐮 = 0.
Un espacio vectorial con un producto interior se llama espacio con producto interior. Las propiedades 2 y 3 pueden
combinarse también para obtener
(𝑐1 𝐮𝟏 + ⋯ + 𝑐𝑝 𝐮𝒑 ) · 𝐰 = (𝑐1 𝐮𝟏 ) · 𝐰 + ⋯ + (𝑐𝑝 𝐮𝒑 ) · 𝐰
3
2
Ejercicio 79.
Calcule 𝐮 · 𝐯 y 𝐯 · 𝐮 cuando 𝐮 = [−5] y 𝐯 = [ 2 ].
−1
−3
Resolución:
Realizando el producto interno correspondiente se tiene
3
𝐮 · 𝐯 = 𝐮𝑇 · 𝐯 = [2 −5 −1] [ 2 ] = (2)(3) + (−5)(2) + (−1)(−3) = −1
−3
2
𝐯 · 𝐮 = 𝐯 𝑇 · 𝐮 = [3 2 −3] [−5] = (3)(2) + (2)(−5) + (−3)(−1) = −1
−1
Con lo cual resulta claro que 𝐮 · 𝐯 = 𝐯 · 𝐮.
Ejercicio 80.
Describa la longitud o norma de un vector mediante producto interno
Resolución:
Sea un vector 𝐯 perteneciente a ℝ𝑛 , con entradas 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 , entonces la raíz cuadrada de 𝐯 · 𝐯 está definida porque 𝐯 · 𝐯
no es negativo. La longitud (o norma) de 𝐯 es el escalar no negativo ‖𝐯‖ definido mediante
‖𝐯‖ = √𝐯 · 𝐯 = √𝑣1 2 + 𝑣2 2 + ⋯ + 𝑣𝑛 2 y ‖𝐯‖2 = 𝐯 · 𝐯
𝑎
Suponga que v está en ℝ2 , por ejemplo, 𝐯 = [ ]. Si se identifica a 𝐯 con un punto geométrico en el plano, como siempre,
𝑏
entonces ‖𝐯‖ coincide con la noción estándar de la longitud del segmento de línea que va desde el origen hasta 𝐯. Esto se
deriva del teorema de Pitágoras aplicado a un triángulo como el de la figura.
Un cálculo similar con la diagonal de una caja rectangular muestra que la definición de la longitud de un vector 𝐯 en ℝ3
coincide con la noción usual de longitud.
Para cualquier escalar 𝑐, la longitud de 𝑐𝐯 es |𝑐| veces la longitud de 𝐯. Esto es,
‖𝑐𝐯‖ = |𝑐|‖𝐯‖
206
Ejercicio 81.
Encuentre la longitud del vector 𝐯 = (−3, 1, 4).
Resolución:
Aplicando el cálculo del módulo al vector correspondiente se tiene
‖𝐯‖ = √(−3, 1, 4) · (−3, 1, 4) = √(−3)2 + 12 + 42 = √26
Describa vector unitario
Ejercicio 82.
Resolución:
Un vector cuya longitud o norma es 1 se llama vector unitario. Si se divide un vector 𝐯 diferente de cero entre su longitud
—esto es, se multiplica por 1/‖𝐯‖ — se obtiene un vector unitario 𝐮
̂ , como se muestra
𝟏
𝐮
̂ = ‖𝐯‖ 𝐯
El proceso de crear a 𝐮
̂ a partir de 𝐯 en ocasiones se denomina normalización de 𝐯, y se dice que 𝐮
̂ está en la misma
𝟐
dirección que 𝐯. Se puede corroborar que ‖𝐮
̂ ‖ = 1, simplemente se debe calcular ‖𝐮
̂‖ = 𝐮
̂·𝐮
̂ = 1.
Ejercicio 83.
Sea 𝐯 = (1, −2, 2, 0). Encuentre un vector unitario 𝐮
̂ en la misma dirección de 𝐯.
Resolución:
Para ello primero obtenemos ‖𝐯‖ con lo cual
‖𝐯‖ = √(1)2 + (−2)2 + (2)2 + (0)2 = √9 = 3
Ahora realizamos el producto escalar por vector para obtener el vector unitario
1/3
1
𝟏
1 −2
−2/3
𝐮
̂=
𝐯= [ ]=[
]
‖𝐯‖
3 2
2/3
0
0
Para comprobar ‖𝐮
̂ ‖, basta con demostrar que ‖𝐮‖𝟐 = 1
1 2
2 2
2 2
1 4 4
‖𝐮
̂ ‖𝟐 = 𝐮
̂·𝐮
̂ = ( ) + (− ) + ( ) + (0)2 = + + + 0 = 1
3
3
3
9 9 9
2/3
Ejercicio 84.
Sea W el subespacio de ℝ2 generado por 𝐱 = [
]. Encuentre un vector unitario 𝐮
̂ que sea una base
1
de 𝑊.
Resolución:
2/3
Como este espacio está generado por el vector por 𝐱 = [
]. podemos usarlo para hallar un vector unitario tomando sus
1
componentes y normalizándolas, para ello calculamos
2 2
15
√15
‖𝐯‖ = √( ) + (1)2 = √
=
3
9
3
Ahora realizamos el producto escalar por vector para obtener el vector unitario
𝟏
3 2/3
2/√15
𝐮
̂=
𝐯=
[
]=[
]
‖𝐯‖
1
√15
3/√15
También se debe tener claro que existen dos vectores unitarios en este espacio, donde cada uno de ellos apunta en sentido
contrario al otro, pero la norma de ambos es uno, en este caso el otro vector es
𝐮
̂=[
−2/√15
−3/√15
Describa el cálculo de distancia entre vectores.
]
Ejercicio 85.
Resolución:
Para 𝐮 y 𝐯 en ℝ𝑛 , la distancia entre 𝐮 y 𝐯, escrita como dist (𝐮, 𝐯), es la longitud del vector 𝐮 − 𝐯. Esto es,
dist (𝐮, 𝐯) = ‖𝐮 − 𝐯‖
2
3
En ℝ y ℝ , esta definición de distancia coincide con las fórmulas usuales para la distancia euclidiana entre dos puntos.
Ejercicio 86.
Encuentre la distancia entre los vectores 𝐮 = (7,1) y 𝐯 = (3,2).
Calcule
𝟕
𝟑
𝟒
𝐮−𝐯= [ ]−[ ]= [ ]
𝟏
𝟐
−𝟏
‖𝐮 − 𝐯‖ = √42 + (−1)2 = √17
Los vectores 𝐮, 𝐯 y 𝐮 − 𝐯 se muestran en la figura.
207
Cuando se suma el vector 𝐮 − 𝐯 a 𝐯, el resultado es 𝐮. Observe que el paralelogramo de la figura muestra que la distancia
de 𝐯 a 𝐮 es la misma que de 𝐮 − 𝐯 a 0.
Ejercicio 87.
Determine la distancia entre los vectores 𝐮 = (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) y 𝐯 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ).
Resolución:
Procediendo aplicar el cálculo correspondiente
dist (𝐮, 𝐯) = ‖𝐮 − 𝐯‖ = √(𝐮 − 𝐯) ∙ (𝐮 − 𝐯)
= √(𝑢1 − 𝑣1 )2 + (𝑢2 − 𝑣2 )2 + (𝑢3 − 𝑣3 )2
Describa la definición de ortogonalidad entre vectores.
Ejercicio 88.
Resolución:
Gráficamente, en los espacios ℝ2 y ℝ3 dos vectores se consideran ortogonales (o perpendiculares) entre si cuando, entre
𝜋
ellos, se describe un ángulo de 90° ( 𝑟𝑎𝑑. ). Analíticamente, dos vectores 𝐮 y 𝐯 en ℝ𝑛 son ortogonales entre sí cuando
2
su producto punto es cero, esto es
Ejercicio 89.
𝐮·𝐯=0
3
−1
Determine si 𝐮 = [−5] y 𝐯 = [ 1 ] son ortogonales entre sí.
4
2
Resolución:
Para determinar si son ortogonales se debe cumplir que 𝐮 · 𝐯 = 𝟎
3
−1
𝐮 · 𝐯 = [−5] · [ 1 ] = 3. (−1) + (−5). 1 + 4.2 = 0
4
2
𝐮 y 𝐯 son ortogonales entre sí.
Ejercicio 90.
En los siguientes puntos, determine las cantidades usando los vectores
3
6
−1
4
𝐮 = [ ],
𝐯 = [ ],
𝐰 = [−1] ,
𝐱 = [−2]
2
6
−5
3
𝐯∙𝐮
𝟏
a. 𝐮 ∙ 𝐮, 𝐯 ∙ 𝐮, y
d.
𝐮
𝐮∙𝐮
𝐰 ∙ 𝐰, 𝐱 ∙ 𝐰, y
b.
𝟏
c.
𝐰∙𝐰
𝐱∙𝐰
e.
𝐰∙𝐰
𝐰
Resolución:
−1 −1
a. 𝐮 ∙ 𝐮 = [ ] . [ ] = (−1). (−1) + 2.2 = 5
2
2
4 −1
𝐯 ∙ 𝐮 = [ ] . [ ] = 4. (−1) + 6.2 = 8
6
2
𝐯∙𝐮
𝐮∙𝐮
4 −1
[ ].[ ]
4.(−1)+6.2
6 2
= −1
−1 = (−1).(−1)+2.2 =
[
2
].[
2
]
8
5
3
3
b. 𝐰 ∙ 𝐰 = [−1] . [−1] = 3.3 + (−1). (−1) + (−5). (−5) = 35
−5 −5
6
3
𝐱 ∙ 𝐰 = [−2] . [−1] = 6.3 + (−2). (−1) + 3. (−5) = 5
3
−5
6
3
[−2].[−1]
𝐱∙𝐰
6.3+(−2).(−1)+3.(−5)
1
= 33 −5
3 = 3.3+(−1).(−1)+(−5).(−5) = 7
𝐰∙𝐰
[−1].[−1]
−5 −5
208
𝐮∙𝐮
𝐮∙𝐯
( )𝐯
𝐯∙𝐯
3/35
3
3
1
c.
𝐰 = 3 3 [−1] = [−1] = [−1/35]
𝐰∙𝐰
35
[−1].[−1] −5
−1/7
−5
𝟏
𝟏
−5
−5
−1/5
−1
d. 𝐮 = . [ ] = [
]
𝐮∙𝐮
5
2/5
2
𝟏
𝐮∙𝐯
1
e. ( ) 𝐯 =
𝐯∙𝐯
[
−1 4
].[ ]
8/13
(−1).4+2.6
8
4
4
2 6
4 4 = ( 4.4+6.6 ) . [ ] = 52 . [ ] = [12/13]
[ ].[ ]
6
6
6 6
Ejercicio 91.
𝑥
𝑎
Sea 𝐯 = [ ]. Describa el conjunto 𝐻 de vectores [𝑦 ] que son ortogonales a 𝐯. [Sugerencia: Considere
𝑏
𝐯 = 𝟎 y 𝐯 ≅ 𝟎.]
Resolución:
𝑥
𝑎
Cuando 𝐯 = [ ] el conjunto 𝐻 de todos los vectores [𝑦] que son ortogonales a es el subespacio de vectores cuyas entradas
𝑏
𝑏
satisfacen 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0. Si 𝑎 ≠ 0, entonces 𝑥 = − ( ) . 𝑦 con 𝑦 como una variable libre, y 𝐻 es una línea a través de
𝑎
−𝑏
origen. Una elección natural para una base de 𝐻 en este caso es {[ ]}. Si 𝑎 = 0 y 𝑏 ≠ 0, entonces 𝑏𝑦 = 0. Dado que
𝑎
𝑏 ≠ 0, 𝑦 = 0 y 𝑥 es una variable libre. El subespacio 𝐻 es nuevamente una línea a través del origen. Una elección natural
1
−𝑏
para una base de 𝐻 en este caso es {[ ]}, pero es {[ ]} sigue siendo una base para 𝐻 ya que 𝑎 = 0 y 𝑏 ≠ 0. Si 𝑎 = 0 y
0
𝑎
𝑏 = 0, entonces 𝐻 = ℝ2 ya que la ecuación 0𝑥 + 0𝑦 = 0 no impone restricciones a 𝑥 o 𝑦.
a
b
Ejercicio 92.
Sea 𝐮 = [ ], y sea 𝑊 el conjunto de todos los 𝐱 en ℝ3 tales que 𝐮 · 𝐱 = 𝟎. ¿Qué teorema puede usarse
c
para demostrar que 𝐻 es un subespacio de ℝ3 ? Describa 𝑊 en lenguaje geométrico.
Resolución:
Se puede utilizar el teorema de espacio nulo para demostrar que 𝑊 es un subespacio de ℝ3 , porque 𝑊 es el espacio nulo
de la matriz de 1 × 3 de 𝐮𝑇 . Geométricamente, 𝑊 es un plano a través del origen.
Ejercicio 93.
Suponga que un vector 𝐲 es ortogonal a los vectores 𝐮 y 𝐯. Muestre que 𝐲 es ortogonal al vector 𝐮 + 𝐯.
Resolución:
Si 𝐲 es ortogonal a 𝐮 y 𝐯, entonces 𝐲 · 𝐮 = 𝐲 · 𝐯 = 0, y por lo tanto por una propiedad del producto interno, 𝐲 · (𝐮 + 𝐯) =
𝐲 · 𝐮 + 𝐲 · 𝐯 = 𝟎 + 𝟎 = 𝟎. Por lo tanto, 𝐲 es ortogonal a 𝐮 + 𝐯.
Ejercicio 94.
Suponga que 𝐲 es ortogonal a 𝐮 y 𝐯. Muestre que 𝐲 es ortogonal a todo 𝐰 en Gen{𝐮, 𝐯}. [Sugerencia:
Un 𝐰 arbitrario en Gen{𝐮, 𝐯} tiene la forma 𝐰 = 𝑐1 𝐮 + 𝑐2 𝐯. Muestre que 𝐲 es ortogonal a tal vector 𝐰.]
Resolución:
Una 𝐰 arbitraria en 𝐆𝐞𝐧 {𝐮, 𝐯} tiene la forma 𝐰 = 𝑐1 𝐮 + 𝑐2 𝐯. Si 𝐲 es ortogonal a 𝐮 y 𝐯, entonces 𝐮 · 𝐲 = 𝐯 · 𝐲 = 0. Por
teoremas,
𝐰 · 𝐲 = (𝑐1 𝐮 + 𝑐2 𝐯) · 𝐲 = 𝑐1 (𝐮 · 𝐲) + 𝑐2 (𝐯 · 𝐲) = 0 + 0 = 0
Ejercicio 95.
Sea 𝑊 = 𝐆𝐞𝐧 {𝐯𝟏 , . . . , 𝐯𝒑 }. Muestre que si 𝐱 es ortogonal a todo 𝐯𝑗 , para 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑝, entonces 𝐱 es
ortogonal a todo vector de 𝑊.
Resolución:
209
Un vector típico en 𝑊 tiene la forma 𝐰 = 𝑐1 𝐯1 + ⋯ + 𝑐𝑝 𝐯𝑝 . Si 𝐱 es ortogonal a cada 𝐯𝑗 entonces por teoremas
𝐰 · 𝐱 = (𝑐1 𝐯𝟏 + ⋯ + 𝑐𝑝 𝐯𝐩 ) · 𝐱 = 𝑐1 (𝐯𝟏 · 𝐱) + ⋯ + 𝑐𝑝 (𝐯𝐩 · 𝐱) = 0
Entonces 𝐱 es ortogonal a cada 𝐰 en 𝑊.
Ejercicio 96.
Sea 𝑊 un subespacio de ℝ𝑛 , y sea 𝑊 ⊥ el conjunto de todos los vectores ortogonales a 𝑊. Muestre que
⊥
𝑊 es un subespacio de ℝ𝑛 usando los siguientes pasos:
a. Tome 𝐳 en 𝑊 ⊥ , y sea 𝐮 tal que represente a cualquier elemento de 𝑊. Entonces 𝐳 ∙ 𝐮 = 𝟎. Tome cualquier escalar
𝑐 y muestre que 𝑐𝐳 es ortogonal a 𝐮. (Puesto que 𝐮 era un elemento arbitrario de 𝑊, esto mostrará que 𝑐𝐳 está en
𝑊 ⊥ .)
b. Tome 𝐳1 y 𝐳2 de 𝑊 ⊥ , y sea u cualquier elemento de W. Muestre que 𝐳1 + 𝐳2 es ortogonal a 𝐮. ¿Qué puede concluirse
acerca de 𝐳1 + 𝐳2 ? ¿Por qué?
c. Termine la demostración de que 𝑊 ⊥ es un subespacio de ℝ𝑛 .
Resolución:
a. Si 𝐳 está en 𝑊 ⊥ , 𝐮 está en 𝑊 y 𝑐 es cualquier escalar, entonces (𝑐𝐳) · 𝐮 = 𝑐(𝐳 · 𝐮) − 𝑐0 = 0. Dado que 𝐮 es cualquier
elemento de 𝑊, 𝑐𝐳 está en 𝑊.
b. Si 𝐳1 y 𝐳2 están en 𝑊 ⊥ . Entonces para cualquier 𝐮 en 𝑊, (𝐳1 + 𝐳2 ) · 𝐮 = 𝐳1 · 𝐮 + 𝐳2 · 𝐮 = 0 + 0 = 0. 𝐳1 y 𝐳2 están
en 𝑊 ⊥ .
c. Como 𝟎 es ortogonal a cada vector, 𝟎 está en 𝑊. Así 𝑊 ⊥ es un subespacio.
Ejercicio 97.
Muestre que si 𝐱 está en 𝑊 y en 𝑊 ⊥ , entonces 𝒙 = 𝟎.
Resolución:
Supongamos que 𝐱 está en 𝑊 y 𝑊 ⊥ . Dado que 𝐱 está en 𝑊 ⊥ , 𝐱 es ortogonal a cada vector en 𝑊, incluida 𝐱 sí mismo.
Entonces 𝐱 · 𝐱 = 𝟎, que ocurre solo cuando 𝐱 = 𝟎.
Ejercicio 98.
[Octave] Dados los vectores 𝐱 = (−1, 3, 4, 2), 𝐲 = (3, 0, 4, −2) y 𝐯 = (1, 0, −5, 3) determine las
cantidades
(𝐱 + 𝐲) ∙ 𝐯
(10𝐱) ∙ 𝐯
𝐱∙𝐯
𝐲∙𝐯
(
) 𝐯,
(
) 𝐯,
𝐯,
𝐯
𝐯∙𝐯
𝐯∙𝐯
𝐯∙𝐯
𝐯∙𝐯
𝐱∙𝐯
¿Qué conjetura obtiene de 𝐱 ↦ 𝑇(𝐱) = (𝐯∙𝐯) 𝐯 (para 𝐯 ≠ 𝟎)?
Resolución:
Se obtiene la conjetura de que todas las cantidades son múltiplos de 𝐯.
Código en Octave
>> x=[-1; 3; 4; 2];
>> y=[3; 0; 4;-2];
>> v=[1; 0; -5; 3];
>> rats(((transpose(x)*v)/(transpose(v)*v))*v)
ans =
-3/7
-0
15/7
-9/7
>> rats(((transpose(y)*v)/(transpose(v)*v))*v)
ans =
-23/35
-0
23/7
-69/35
>> rats(((transpose(x+y)*v)/(transpose(v)*v))*v)
ans =
-38/35
-0
38/7
-114/35
>> rats(((transpose(10*x)*v)/(transpose(v)*v))*v)
ans =
-30/7
-0
150/7
-90/7
210
Conjuntos ortogonales
Ejercicio 99.
Muestre que {𝐮1 , 𝐮2 , 𝐮3 } es un conjunto ortogonal, donde
3
𝐮1 = [1] ,
1
−1
𝐮2 = [ 2 ] ,
1
− 1⁄2
𝐮3 = [ −2 ]
7⁄2
Resolución:
Se dice que un conjunto de vectores {𝐮𝟏 , . . . , 𝐮𝒑 } en ℝ𝑛 es un conjunto ortogonal si cada par de vectores distintos en el
conjunto es ortogonal, esto es, si 𝐮𝟏 · 𝐮𝑗 = 0 siempre que 𝑖 ≠ 𝑗.
Considere los tres pares posibles de vectores, es decir, {𝐮1 , 𝐮2 }, {𝐮1 , 𝐮3 }, y {𝐮2 , 𝐮3 }.
𝐮1 · 𝐮2 = 3. (−1) + 1. (2) + 1. (1) = 0
1
7
𝐮1 · 𝐮3 = 3. (− ) + 1. (−2) + 1. ( ) = 0
2
2
1
7
𝐮2 · 𝐮3 = (−1). (− ) + 2. (−2) + 1. ( ) = 0
2
2
Cada par de vectores distintos es ortogonal, así que {𝐮1 , 𝐮2 , 𝐮3 } es un conjunto
ortogonal. Esto se observa en la figura, los tres segmentos de línea que se muestran son
mutuamente perpendiculares.
Ejercicio 100. Describa si un conjunto de vectores ortogonales es una base.
Resolución:
Si 𝑆 = {𝐮𝟏 , . . . , 𝐮𝒑 } es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero en ℝ𝑛 , entonces S es linealmente
independiente y, por lo tanto, es una base del subespacio generado por 𝑆. Esto es, sea {𝐮𝟏 , . . . , 𝐮𝒑 } una base ortogonal
para un subespacio 𝑊 de ℝ𝑛 . Para cada 𝐲 en 𝑊, los pesos en la combinación lineal
𝐲 = 𝑐1 𝐮𝟏 + . . . +𝑐𝑝 𝐮𝒑
están dados por
𝐲 · 𝐮𝐣
(𝑗 = 1, … , 𝑝)
𝑐𝑗 =
𝐮𝐣 · 𝐮𝐣
También, una base ortogonal para un subespacio 𝑊 de ℝ𝑛 es una base para 𝑊 que también es un conjunto ortogonal.
Ejercicio 101. El conjunto 𝑆 = {𝐮1 , 𝐮2 , 𝐮3 } del ejercicio anterior es una base ortogonal para ℝ3 . Exprese el vector
6
𝐲 = [ 1 ] como una combinación lineal de los vectores en 𝑆.
−8
Resolución:
Calcule
𝐲 · 𝐮1 = 11,
𝐲 · 𝐮2 = −12,
𝐲 · 𝐮3 = −33
𝐮1 · 𝐮1 = 11,
𝐮2 · 𝐮2 = 6,
𝐮3 · 𝐮3 = 33/2
De acuerdo con el teorema de base ortogonal,
𝐲 · 𝐮1
𝐲 · 𝐮2
𝐲 · 𝐮3
𝐲=
𝐮 +
𝐮 +
𝐮
𝐮1 · 𝐮1 1 𝐮2 · 𝐮2 2 𝐮3 · 𝐮3 3
11
−12
−33
=
𝐮1 +
𝐮2 +
𝐮
11
6
33/2 3
= 𝐮1 − 2𝐮2 − 2𝐮3
Ejercicio 102. Describa la proyección ortogonal de un vector y su descomposición como la suma de dos vectores
ortogonales, uno en Gen{𝐮} y otro ortogonal a 𝐮.
Resolución:
Dado un vector 𝐮 diferente de cero en ℝn , considere el problema de descomponer un vector 𝐲 de ℝn en la suma de dos
vectores, uno un múltiplo de 𝐮 y el otro ortogonal a 𝐮. Se desea escribir
𝐲 = 𝐲̂ + 𝐳
donde 𝐲̂ = 𝛼𝐮 para algún escalar 𝛼 y 𝐳 es algún vector ortogonal a 𝐮. Vea la figura.
211
Dado cualquier escalar 𝛼, sea 𝐳 = 𝐲 − 𝛼𝐮, de manera que 𝐲 = 𝐲̂ + 𝐳 se cumple. Entonces 𝐲 − 𝐲̂ es ortogonal a 𝐮 si, y
sólo si,
0 = (𝐲 − 𝛼𝐮) · 𝐮 = 𝐲 · 𝐮 − (𝛼𝐮) · 𝐮 = 𝐲 · 𝐮 − 𝛼(𝐮 · 𝐮)
𝐲·𝐮
𝐲·𝐮
Esto es, 𝐲 = 𝐲̂ + 𝐳 se cumple con 𝐳 ortogonal a 𝐮 si, y sólo si, 𝛼 =
y 𝐲̂ =
𝐮. El vector 𝐲̂ es la proyección ortogonal
𝐮·𝐮
𝐮·𝐮
de y sobre u, y el vector 𝐳 es la componente de y ortogonal a u.
Si 𝑐 es cualquier escalar diferente de cero y se reemplaza 𝐮 por 𝑐𝐮 en la definición de 𝐲̂, entonces la proyección ortogonal
de y sobre 𝑐𝐮 es exactamente la misma proyección ortogonal de 𝐲 sobre 𝐮. De aquí que esta proyección esté determinada
por el subespacio 𝐿 generado mediante 𝐮 (la línea que pasa por 𝐮 y 0). Algunas veces 𝐲̂ se denota con proy𝐿 𝐲 y se le
llama proyección ortogonal de y sobre 𝐿. Esto es,
𝐲·𝐮
𝐲̂ = proy𝐿 𝐲 =
𝐮
𝐮·𝐮
Donde 𝐲̂ es se puede considerar como la primera descomposición del vector 𝐲, y 𝐳 es la segunda descomposición
representada por
𝐳 = 𝐲 − 𝐲̂
7
4
Ejercicio 103. Sean 𝐲 = [ ] y 𝐮 = [ ]. Encuentre la proyección ortogonal de 𝐲 sobre 𝐮. Luego escriba 𝐲 como la suma
6
2
de dos vectores ortogonales, uno en Gen{𝐮} y otro ortogonal a 𝐮.
Resolución:
Se calcula
7 4
𝐲 · 𝐮 = [ ] · [ ] = 40
6 2
4 4
𝐮 · 𝐮 = [ ] · [ ] = 20
2 2
La proyección ortogonal de 𝐲 sobre 𝐮 es
𝐲·𝐮
40
4
8
𝐲̂ = proy𝐿 𝐲 =
𝐮=
𝐮 = 2[ ] = [ ]
2
4
𝐮·𝐮
20
Y la componente de 𝐲 ortogonal a 𝐮 es
7
8
−1
𝐲 − 𝐲̂ = [ ] − [ ] = [ ]
6
4
2
La suma de estos dos vectores es 𝐲. Es decir
𝐲 = 𝐲̂ + (𝐲 − 𝐲̂)
7
8
−1
[ ]=[ ]+[ ]
6
4
2
Con esto se deduce {𝐲̂, 𝐲 − 𝐲̂ } que es un conjunto ortogonal. Se puede demostrar mediante comprobación:
8 −1
𝐲̂ · (𝐲 − 𝐲̂) = [ ] · [ ] = −8 + 8 = 0
4
2
Ejercicio 104. Encuentre la distancia de 𝐲 a 𝐿 en la figura.
Resolución:
La distancia de 𝐲 a 𝐿 es la longitud del segmento de línea perpendicular que va desde 𝐲 hasta la proyección ortogonal 𝐲̂.
Esta longitud es igual a la longitud de 𝐲 − 𝐲̂. Entonces la distancia es el módulo o longitud del vector 𝐲 − 𝐲̂, el cual,
−1
llevado al origen tiene por coordenadas [ ], entonces
2
‖𝐲 − 𝐲̂‖ = √(−1)2 + 22 = √5
212
Ejercicio 105.
Muestre que {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 } es una base ortonormal de ℝ3 , donde
3⁄√11
−1⁄√6
−1⁄√66
𝐯1 = [1⁄√11] ,
𝐯2 = [ 2⁄√6 ] ,
𝐯3 = [−4⁄√66]
1⁄√11
1⁄√6
7⁄√66
Resolución:
Un conjunto {𝐮1 , … , 𝐮p } es un conjunto ortonormal si es un conjunto ortogonal de vectores unitarios. Si 𝑊 es el
subespacio generado por un conjunto de este tipo, entonces {𝐮1 , … , 𝐮p } es una base ortonormal para 𝑊, puesto que el
conjunto es, de manera automática, linealmente independiente.
El conjunto ortonormal más sencillo es la base estándar {𝐞1 , … , 𝐞n } para ℝ𝑛 . Cualquier subconjunto no vacío de
{𝐞1 , … , 𝐞n } también es ortonormal.
En este caso, calcule
3
2
1
𝐯1 · 𝐯2 = −
+
+
=0
√66 √66 √66
3
4
7
𝐯1 · 𝐯3 = −
−
+
=0
√726 √726 √726
1
8
7
𝐯2 · 𝐯3 =
−
+
=0
√396 √396 √396
Entonces {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 } es un conjunto ortogonal. También
9
1
1
𝐯1 · 𝐯1 =
+
+
=1
11 11 11
1 4 1
𝐯2 · 𝐯2 = + + = 1
6 6 6
1 16 49
𝐯3 · 𝐯3 =
+
+
=1
66 66 66
lo cual muestra que 𝐯1 , 𝐯2 y 𝐯2 son vectores unitarios. Entonces {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 } es un conjunto ortonormal. Como el conjunto
es linealmente independiente, sus tres vectores forman una base para ℝ3 .
Ejercicio 106. Describa el teorema de la matriz ortonormal.
Resolución:
Una matriz 𝑈 de 𝑚 × 𝑛 tiene columnas ortonormales si, y sólo si
𝑈𝑇 𝑈 = 𝐼
Esto se puede demostrar fácilmente, para simplificar la notación, se supone que 𝑈 tiene sólo tres columnas, y cada
columna un vector en ℝ𝑚 . La demostración del caso general es esencialmente la misma. Sea 𝑈 = [𝐮𝟏 𝐮𝟐 𝐮𝟑 ] y
calculando se obtiene
𝐮1𝑇
𝐮1𝑇 𝐮𝟏 𝐮1𝑇 𝐮𝟐 𝐮1𝑇 𝐮𝟑
𝑇
𝑇 [𝐮
𝑈 𝑈 = [𝐮2 ] 𝟏 𝐮𝟐 𝐮𝟑 ] = [𝐮𝑇2 𝐮𝟏 𝐮𝑇2 𝐮𝟐 𝐮𝑇2 𝐮𝟑 ]
𝐮𝑇3
𝐮𝑇3 𝐮𝟏 𝐮𝑇3 𝐮𝟐 𝐮𝑇3 𝐮𝟑
Las entradas de la matriz situada a la derecha son productos interiores, usando notación transpuesta. Las columnas de U
son ortogonales si, y sólo si,
𝐮𝑻𝟏 𝐮𝟐 = 𝐮𝑻𝟐 𝐮𝟏 = 0 ; 𝐮𝑻𝟏 𝐮𝟑 = 𝐮𝑻𝟑 𝐮𝟏 = 0 ; 𝐮𝑻𝟐 𝐮𝟑 = 𝐮𝑻𝟑 𝐮𝟐 = 0
Las columnas de 𝑈 son todas de longitud unitaria si, y sólo si,
𝐮𝑻𝟏 𝐮𝟏 = 1 ; 𝐮𝑻𝟐 𝐮𝟐 = 1 ; 𝐮𝑻𝟑 𝐮𝟑 = 1
El teorema se deriva inmediatamente de estas ecuaciones, con lo cual
𝐮1𝑇 𝐮𝟏 𝐮1𝑇 𝐮𝟐 𝐮1𝑇 𝐮𝟑
1 0 0
𝑈 𝑇 𝑈 = [𝐮𝑇2 𝐮𝟏 𝐮𝑇2 𝐮𝟐 𝐮𝑇2 𝐮𝟑 ] = [0 1 0]
0 0 1
𝐮𝑇3 𝐮𝟏 𝐮𝑇3 𝐮𝟐 𝐮𝑇3 𝐮𝟑
Ejercicio 107. Describa las propiedades de las matrices ortonormales.
Resolución:
Sea 𝑈 una matriz de 𝑚 × 𝑛 con columnas ortonormales, y sean 𝐱 e y vectores en ℝ𝑛 . Entonces
a. ‖𝑈𝐱‖ = ‖𝐱‖
b. (𝑈𝐱) · (𝑈𝐲) = 𝐱 · 𝐲
c. (𝑈𝐱) · (𝑈𝐲) = 0 si, y sólo si, 𝐱 · 𝐲 = 0
213
1⁄√2 2⁄3
Sean 𝑈 = [1⁄√2 − 2⁄3] y 𝐱 = [√2]. Determine si 𝑈 tiene columnas ortonormales, y de ser así
3
0
1⁄3
verifique si ‖𝑈𝐱 ‖ = ‖𝐱 ‖.
Resolución:
Para determinar si las columnas son ortonormales se calcula;
1⁄√2 2⁄3
1 0
⁄
⁄
0 ][
𝑈 𝑇 𝑈 = [1 √2 1 √2
⁄√2 − 2⁄3] = [0 1]
1
2⁄3 − 2⁄3 1⁄3
0
1⁄3
Como se obtiene una matriz identidad las columnas son ortonormales. Ahora verificamos
1⁄√2 2⁄3
3
𝑈𝐱 = [1⁄√2 − 2⁄3] [√2] = [−1]
3
1
0
1⁄3
Ejercicio 108.
‖𝑈𝐱‖ = √9 + 1 + 1 = √11
‖𝐱‖ = √2 + 9 = √11
Ejercicio 109. En los siguientes puntos, determine cuáles conjuntos de vectores son ortogonales
2
0
4
−1 5
3
d. [−5] , [0] , [−2]
a. [ 4 ] , [2] , [−4]
6
−3 0
−3 1 −7
3
−1 3
1
0 −5
e. [−2] , [ 3 ] , [8]
1
−3 7
b. [−2] , [1] , [−2]
3
0
4
1
2
1
3
−4
5
1
−4
f. [ ] , [ ] , [ 3 ]
−6
2
3
−3
0
5
c. [−7] , [−3] , [ 1 ]
8
3
−1
−1
9
−1
Resolución:
−1
5
a. [ 4 ] · [2] = (−1). 5 + 4.2 + (−3). 1 = 0
−3
1
−1
3
[ 4 ] · [−4] = (−1). 3 + 4. (−4) + (−3). (−7) = 2 ≠ 0
−3
−7
3
5
[2] · [−4] = 5.3 + 2. (−4) + 1. (−7) = 0
−7
1
Como dos de los vectores no son ortogonales entre sí, el conjunto de vectores no es ortogonal.
1
0
b. [−2] · [1] = 1.0 + (−2).1 + 1.2 = 0
1
2
1
−5
[−2] · [−2] = 1. (−5) + (−2). (−2) + 1.1 = 0
1
1
0
−5
[1] · [−2] = 0. (−5) + 1. (−2) + 2.1 = 0
2
1
El conjunto de vectores es ortogonal.
−6
2
c. [−7] · [−3] = 2. (−6) + (−7). (−3) + (−1). 9 = 0
−1
9
2
3
[−7] · [ 1 ] = 2.3 + (−7). 1 + (−1). (−1) = 0
−1
−1
−6
3
[−3] · [ 1 ] = (−6). 3 + (−3). 1 + 9. (−1) = −30 ≠ 0
9
−1
Como dos de los vectores no son ortogonales entre sí, el conjunto de vectores no es ortogonal.
214
2
0
d. [−5] · [0] = 2.0 + (−5). 0 + (−3). 0 = 0
−3
0
2
4
[−5] · [−2] = 2.4 + (−5). (−2) + (−3). 6 = 0
6
−3
0
4
[0] · [−2] = 0.4 + 0. (−2) + 0.6 = 0
6
0
El conjunto de vectores es ortogonal.
3
−1
−2
e. [ ] · [ 3 ] = 3. (−1) + (−2). 3 + 1. (−3) + 3.4 = 0
1
−3
3
4
3
3
[−2] · [8] = 3.3 + (−2). 8 + 1.7 + 3.0 = 0
1
7
3
0
−1
3
3
[ ] · [8] = (−1). 3 + 3.8 + (−3). 7 + 4.0 = 0
7
−3
0
4
El conjunto de vectores es ortogonal.
−4
5
−4
f. [ ] · [ 1 ] = 5. (−4) + (−4). 1 + 0. (−3) + 3.8 = 0
−3
0
8
3
3
5
[−4] · [ 3 ] = 5.3 + (−4). 3 + 0.5 + 3. (−1) = 0
0
5
3
−1
3
−4
1
[ ] · [ 3 ] = (−4). 3 + 1.3 + (−3). 5 + 8. (−1) = −32 ≠ 0
−3
5
8
−1
Como dos de los vectores no son ortogonales entre sí, el conjunto de vectores no es ortogonal.
Ejercicio 110. En los siguientes puntos, muestre que {𝐮1 , 𝐮2 } o {𝐮1 , 𝐮2 , 𝐮3 } es una base ortogonal para ℝ2 o ℝ3 ,
respectivamente. Después exprese 𝐱 como una combinación lineal de las 𝐮.
2
6
9
a. 𝐮1 = [ ] , 𝐮2 = [ ] , 𝐱 = [ ]
−3
4
−7
3
−2
−6
b. 𝐮1 = [ ] , 𝐮2 = [ ] , 𝐱 = [ ]
1
6
3
8
1
−1
2
c. 𝐮1 = [0] , 𝐮2 = [ 4 ] , 𝐮3 = [ 1 ] , 𝐱 = [−4]
1
1
−2
−3
3
2
1
5
d. 𝐮1 = [−3] , 𝐮2 = [ 2 ] , 𝐮3 = [1] , 𝐱 = [−3]
0
−1
4
1
Resolución:
2
6
a. Como 𝐮1 · 𝐮2 = [ ] · [ ] = 12 − 12 = 0, {𝐮1 , 𝐮2 } es un conjunto ortogonal. Como los vectores no son cero, 𝐮1 y
−3 4
𝐮2 son linealmente independientes. Dos de esos vectores en ℝ2 forman automáticamente una base para ℝ2 . Entonces
{𝐮1 , 𝐮2 } es una base ortogonal para ℝ2 . Según el teorema de base ortogonal,
9
2
9
6
[ ]·[ ]
[ ]·[ ]
𝐱 · 𝐮1
𝐱 · 𝐮2
−7
−3
−7
4 𝐮 = 3𝐮 + 1 𝐮
𝐱=
𝐮 +
𝐮 =
𝐮 +
2
1
6 6
𝐮1 · 𝐮1 1 𝐮2 · 𝐮2 2 [ 2 ] · [ 2 ] 1
2 2
[ ]·[ ]
−3 −3
4 4
3 −2
b. Como 𝐮1 · 𝐮2 = [ ] · [ ] = −6 + 6 = 0, {𝐮1 , 𝐮2 } es un conjunto ortogonal. Como los vectores no son cero, 𝐮1 y 𝐮2
1
6
son linealmente independientes. Dos de esos vectores en ℝ2 forman automáticamente una base para ℝ2 . Entonces
{𝐮1 , 𝐮2 } es una base ortogonal para ℝ2 . Según el teorema de base ortogonal,
215
−6 3
−6 −2
[ ]·[ ]
[ ]·[ ]
𝐱 · 𝐮1
𝐱 · 𝐮2
3
6 𝐮 = −3𝐮 + 3𝐮
1
𝐱=
𝐮 +
𝐮 =
𝐮1 + 3
3 3
−2 −2 2
𝐮1 · 𝐮1 1 𝐮2 · 𝐮2 2
2 1 4 2
[ ]·[ ]
[ ]·[ ]
1 1
6
6
1
−1
1
2
−1
2
c. Como 𝐮1 · 𝐮2 = [0] · [ 4 ] = −1 + 0 + 1 = 0, 𝐮1 · 𝐮3 = [0] · [ 1 ] = 2 + 0 − 2 = 0, 𝐮2 · 𝐮3 = [ 4 ] · [ 1 ] =
1
1
1
−2
1
−2
−2 + 4 − 2 = 0, {𝐮1 , 𝐮2 , 𝐮3 } es un conjunto ortogonal. Como los vectores no son cero, 𝐮1 , 𝐮2 y 𝐮3 son linealmente
independientes. Tres de esos vectores en ℝ3 forman automáticamente una base para ℝ3 . Entonces {𝐮1 , 𝐮2 , 𝐮3 } es una
base ortogonal para ℝ3 . Según el teorema de base ortogonal,
8
1
8
−1
8
2
[−4] · [0]
[−4] · [ 4 ]
[−4] · [ 1 ]
𝐱 · 𝐮1
𝐱 · 𝐮2
𝐱 · 𝐮3
1 𝐮 + −3
1 𝐮 + −3
−2 𝐮 = 5 𝐮 − 3 𝐮 + 2𝐮
𝐱=
𝐮1 +
𝐮2 +
𝐮3 = −3
1
2
3
3
1
1
−1
−1
2
2
𝐮1 · 𝐮1
𝐮2 · 𝐮2
𝐮3 · 𝐮3
2 1 2 2
[0] · [0]
[ 4 ]·[ 4 ]
[ 1 ]·[ 1 ]
1
1
1
1
−2
−2
3
3
2
1
2
1
d. Como 𝐮1 · 𝐮2 = [−3] · [ 2 ] = 6 − 6 + 0 = 0, 𝐮1 · 𝐮3 = [−3] · [1] = 3 − 3 + 0 = 0, 𝐮2 · 𝐮3 = [ 2 ] · [1] = 2 +
0
−1
0
4
−1
4
2 − 4 = 0, {𝐮1 , 𝐮2 , 𝐮3 } es un conjunto ortogonal. Como los vectores no son cero, 𝐮1 , 𝐮2 y 𝐮3 son linealmente
independientes. Tres de esos vectores en ℝ3 forman automáticamente una base para ℝ3 . Entonces {𝐮1 , 𝐮2 , 𝐮3 } es una
base ortogonal para ℝ3 . Según el teorema de base ortogonal,
3
2
1
5
5
5
[−3] · [−3]
[−3] · [ 2 ]
[−3] · [1]
𝐱 · 𝐮1
𝐱 · 𝐮2
𝐱 · 𝐮3
0 𝐮 + 1
−1 𝐮 + 1
4 𝐮 = 4𝐮 +1𝐮 + 1𝐮
𝐱=
𝐮1 +
𝐮2 +
𝐮3 = 1
1
2
3
3
3
2
2
1
1
𝐮1 · 𝐮1
𝐮2 · 𝐮2
𝐮3 · 𝐮3
3 1 3 2 3 3
[−3] · [−3]
[ 2 ]·[ 2 ]
[1] · [1]
0
0
−1
−1
4
4
1
−4
Ejercicio 111. Determine la proyección ortogonal de [ ] sobre la línea que pasa por [ ] y el origen.
7
2
Resolución:
1
−4
Sea 𝐲 = [ ] y 𝐮 = [ ]. La proyección ortogonal de 𝐲 sobre la línea a través de 𝐮 y el origen es la proyección ortogonal
7
2
de 𝐲 sobre 𝐮, y este vector es
1 −4
[ ]·[ ]
𝐲·𝐮
2 [−4] = 1 [−4] = [−2]
𝐲̂ = proy𝐿 𝐲 =
𝐮= 7
−4 −4 2
1
𝐮·𝐮
2 2
[ ]·[ ]
2
2
1
−1
Ejercicio 112. Determine la proyección ortogonal de [ ] sobre la línea que pasa por [ ] y el origen.
−1
3
Resolución:
1
−1
Sea 𝐲 = [ ] y 𝐮 = [ ]. La proyección ortogonal de 𝐲 sobre la línea a través de 𝐮 y el origen es la proyección ortogonal
−1
3
de 𝐲 sobre 𝐮, y este vector es
1 −1
[ ]·[ ]
𝐲·𝐮
3 [−1] = − 2 [−1] = [ 2/5 ]
𝐲̂ = proy𝐿 𝐲 =
𝐮= 7
−1 −1
−6/5
𝐮·𝐮
5 3
[ ]·[ ] 3
3
3
2
4
Ejercicio 113. Sea 𝐲 = [ ] y 𝐮 = [ ]. Escriba y como la suma de dos vectores ortogonales, uno en Gen{𝐮} y otro
3
−7
ortogonal a 𝐮.
Resolución:
2
4
Sea 𝐲 = [ ] y 𝐮 = [ ]. La proyección ortogonal de 𝐲 sobre la línea a través de 𝐮 y el origen es la proyección ortogonal
3
−7
de 𝐲 sobre 𝐮, y este vector es
2
4
[ ]·[ ]
𝐲·𝐮
13 4
−4/5
4
3
−7
𝐲̂ = proy𝐿 𝐲 =
𝐮=
[ ]=− [ ]=[
]
4
4
7/5
𝐮·𝐮
65 −7
[ ] · [ ] −7
−7 −7
Ejercicio 114. En los siguientes puntos, todos los vectores están en ℝ𝑛 . Señale cada enunciado como verdadero o falso.
Justifique sus respuestas.
a. No todo conjunto linealmente independiente en ℝ𝑛 es un conjunto ortogonal.
216
Si 𝐲 es una combinación lineal de vectores diferentes de cero a partir de un conjunto ortogonal, entonces los pesos
de la combinación lineal pueden calcularse sin aplicar operaciones por fila sobre una matriz.
c. Si los vectores de un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero se normalizan, entonces puede ser que algunos
de los nuevos vectores no sean ortogonales.
d. Una matriz con columnas ortonormales es una matriz ortogonal.
e. Si 𝐿 es una línea que pasa por 𝟎 y si 𝐲̂ es la proyección ortogonal de 𝐲 sobre 𝐿, entonces ‖𝐲̂‖ proporciona la distancia
de 𝐲 a 𝐿.
f. No todo conjunto ortogonal en ℝ𝑛 es linealmente independiente.
g. Si un conjunto 𝑆 = {𝐮1 , … , 𝐮𝑝 } tiene la propiedad de que 𝐮𝑖 · 𝐮𝑗 = 0 siempre que 𝑖 ≠ 𝑗, entonces 𝑆 es un conjunto
ortonormal.
h. Si las columnas de una matriz 𝐴 de 𝑚 × 𝑛 son ortonormales, entonces la función lineal 𝐱 → 𝐴𝐱 conserva las
longitudes.
i. La proyección ortogonal de 𝐲 sobre 𝐯 es la misma que la proyección ortogonal de 𝐲 sobre 𝑐𝐯 siempre que 𝑐 ≠ 0.
j. Una matriz ortogonal es invertible.
Resolución:
a. Verdadero. La única condición de independencia lineal es que los vectores no sean múltiplos o combinación lineal de
los demás, sin embargo, la ortogonalidad establece que formen un ángulo recto entre sí.
b. Verdadero. Es lo que establece el teorema de proyección ortogonal.
c. Falso. Cuando los vectores de un conjunto ortogonal se normalizan para tener una longitud unitaria, los nuevos vectores
siguen siendo ortogonales, y, por lo tanto, el nuevo conjunto será un conjunto ortonormal.
d. Falso. También se debe cumplir que la matriz sea cuadrada.
e. Falso. La distancia de 𝐲 a 𝐿 está dada por ‖𝐲 − 𝐲̂‖.
f. Verdadero. Pero cada conjunto ortogonal de vectores distintos de cero es linealmente independiente.
g. Falso. Adicionalmente se debe cumplir que cada uno de los vectores sea unitario.
h. Verdadero. Se cumple que ‖𝑈𝐱‖ = ‖𝐱‖.
i. Verdadero. La proyección ortogonal sobre cualquier vector es la misma que sobre un múltiplo distinto de cero de dicho
vector.
j. Verdadero. Una matriz ortogonal es una matriz 𝑈 cuadrada invertible tal que 𝑈 −1 = 𝑈 𝑇 . De acuerdo con el teorema de
base ortogonal, una matriz de este tipo tiene columnas ortonormales. Resulta fácil advertir que cualquier matriz cuadrada
con columnas ortonormales es una matriz ortogonal.
Ejercicio 115. Dado 𝐮 ≠ 𝟎 en ℝ𝑛 , sea 𝐿 = Gen{𝐮}. Muestre que la función 𝐱 → proj𝐿 𝐱 es una transformación lineal.
Resolución:
𝐱·𝐮
Sea 𝐿 = Gen{𝐮}, donde 𝐮 no es cero, y sea 𝑇(𝐱) =
𝐮. Para cualquier vector 𝐱 e 𝐲 en ℝ𝑛 y cualesquiera escalares 𝑐 y
b.
𝐮·𝐮
𝑑, las propiedades del producto interno muestran que
(𝑐𝐱 + 𝑑𝐲) · 𝐮
𝐮
𝐮·𝐮
(𝑐𝐱 + 𝑑𝐲) · 𝐮
=
𝐮
𝐮·𝐮
𝑐𝐱 · 𝐮 + 𝑑𝐲 · 𝐮
=
𝐮
𝐮·𝐮
𝑐𝐱 · 𝐮
𝑑𝐲 · 𝐮
=
𝐮+
𝐮
𝐮·𝐮
𝐮·𝐮
= 𝑐𝑇(𝐱) + 𝑑𝑇(𝐲)
Por lo tanto, 𝑇 es una transformación lineal. Otro enfoque es ver 𝑇 como la composición de lo siguiente tres asignaciones
lineales: 𝑥 ↦ 𝑎 = 𝐱 · 𝐯, 𝑎 ↦ 𝑏 = 𝑎/𝐯 · 𝐯, y 𝑏 ↦ 𝑏𝐯.
Ejercicio 116. Dado que 𝐮 ≠ 𝟎 en ℝ𝑛 , sea 𝐿 = Gen{𝐮}. Para 𝐲 en ℝ𝑛 , la reflexión de 𝐲 en 𝐿 es el punto refl𝐿 𝐲 definido
mediante refl𝐿 𝐲 = 2 ∙ proy𝐿 𝐲 − 𝐲. Vea la figura, la cual muestra que refl𝐿 𝐲 es la suma de 𝐲̂ = proy𝐿 𝐲 y 𝐲̂ = 𝐲. Muestre
que la función 𝐲 → refl𝐿 𝐲 es una transformación lineal.
𝑇(𝑐𝐱 + 𝑑𝐲) =
217
Resolución:
Sea 𝐿 = 𝐆𝐞𝐧{𝐮}, donde 𝐮 no es cero, y sea 𝑇(𝐱) = proy𝐿 𝐲 = 2proy𝐿 𝐲 − 𝐲. El mapeo 𝐲 ↦ proy𝐿 𝐲 es lineal. Por lo tanto,
para cualesquiera vectores 𝐲 y 𝒛 en ℝ𝑛 y cualesquiera escalares 𝑐 y 𝑑,
𝑇(𝑐𝐲 + 𝑑𝐳) = 2proy𝐿 (𝑐𝐲 + 𝑑𝐳) − (𝑐𝐲 + 𝑑𝐳)
= 2(𝑐 proy𝐿 𝐲 + 𝑑 proy𝐿 𝐳) − 𝑐𝐲 − 𝑑𝐳
= 2𝑐 proy𝐿 𝐲 − 𝑐𝐲 + 2𝑑 proy𝐿 𝐳 − 𝑑𝐳
= 𝑐(2 proy𝐿 𝐲 − 𝐲) + 𝑑(2 proy𝐿 𝐳 − 𝐳)
= 𝑐𝑇(𝐲) + 𝑑𝑇(𝐳)
Por lo tanto, 𝑇 es una transformación lineal.
Ortogonalidad y mininos cuadrados
Ejercicio 117. Sea {𝐮1 , … , 𝐮5 } una base ortogonal para ℝ5 y sea 𝐲 = c1 𝐮1 + · · · +c5 𝐮5 . Considere el subespacio
W = 𝐆𝐞𝐧 {𝐮1 , 𝐮2 }, y escriba y como la suma de un vector 𝐳1 en W y un vector 𝐳2 en W ⊥ .
Resolución:
Escriba
𝐲=⏟
c1 𝐮1 + c2 𝐮2 + ⏟
c 3 𝐮3 + c 4 𝐮4 + c 5 𝐮5
𝐳1
𝐳2
Donde 𝐳1 = c1 𝐮1 + c2 𝐮2
está en 𝐆𝐞𝐧 {𝐮1 , 𝐮2 }
y
𝐳2 = c3 𝐮3 + c4 𝐮4 + c5 𝐮5
está en 𝐆𝐞𝐧 {𝐮3 , 𝐮4 , 𝐮5 }
⊥
Para mostrar que 𝐳2 está en 𝑊 , basta con probar que 𝐳2 es ortogonal a los vectores de la base {𝐮1 , 𝐮2 } para 𝑊. Utilice
las propiedades del producto interior para calcular
𝐳2 · 𝐮1 = (c3 𝐮3 + c4 𝐮4 + c5 𝐮5 ) · 𝐮1
= c3 𝐮3 · 𝐮1 + c4 𝐮4 · 𝐮1 + c5 𝐮5 · 𝐮1
=0
porque 𝐮1 es ortogonal a 𝐮3 , 𝐮4 y 𝐮5 . Un cálculo semejante muestra que 𝐳2 · 𝐮1 = 0. Entonces 𝐳2 está en 𝑊 ⊥ .
Ejercicio 118. Describa el teorema de la descomposición ortogonal.
Resolución:
Sea 𝑊 un subespacio de ℝ𝑛 . Entonces toda y en ℝ𝑛 puede escribirse únicamente en la forma
𝐲 = 𝐲̂ + 𝐳
donde 𝐲̂ está en 𝑊 y 𝐳 en 𝑊 ⊥ . De hecho, si {𝐮1 , . . . , 𝐮𝑝 } es cualquier base ortogonal de W, entonces
𝐲̂ =
𝐲·𝐮1
𝐮1 ·𝐮1
𝐮1 + ⋯ +
𝐲·𝐮𝑝
𝐮𝑝 ·𝐮𝑝
𝐮𝑝
y
𝐳 = 𝐲 − 𝐲̂
El vector 𝐲̂ de 𝐲 = 𝐲̂ + 𝐳 es la proyección ortogonal de 𝐲 sobre 𝑊 y a menudo se escribe como proy𝑊 𝐲
218
1
2
−2
Sean 𝐮1 = [ 5 ], 𝐮2 = [ 1 ] y 𝐲 = [2]. Observe que {𝐮1 , 𝐮2 }, es una base ortogonal para 𝑊 =
−1
1
3
𝐆𝐞𝐧 {𝐮1 , 𝐮2 }. Escriba 𝐲 como la suma de un vector en 𝑊 y un vector ortogonal a 𝑊.
Resolución:
Si resolvemos el ejercicio tenemos que, la proyección ortogonal de 𝐲 sobre 𝑊 es
1
2
1
−2
[2] · [ 5 ]
[ 2] · [ 1 ]
−2/5
2
−2
2
−2
𝐲 · 𝐮1
𝐲 · 𝐮2
−1 [ 5 ] + 3
1 [ 1 ] = 3 [ 5 ]+ 1[ 1 ] = [ 2 ]
𝐲̂ =
𝐮1 +
𝐮2 = 3
2
2
−2
−2
𝐮1 · 𝐮1
𝐮2 · 𝐮2
10
2
1/5
−1
1
[ 5 ] · [ 5 ] −1
[ 1 ]·[ 1 ] 1
−1
−1
1
1
También
−2/5
7/5
1
𝐲 − 𝐲̂ = [2] − [ 2 ] = [ 0 ]
1/5
14/5
3
El teorema de la descomposición ortogonal asegura que 𝐲 − 𝐲̂ está en 𝑊 ⊥ . Sin embargo, para comprobar los cálculos, es
buena idea verificar que 𝐲 − 𝐲̂ es ortogonal tanto a 𝐮1 como a 𝐮2 y, por lo tanto, a
−2/5
7/5
1
𝐲 = [ 2] = [ 2 ] + [ 0 ]
1/5
14/5
3
Ejercicio 120. Describa el teorema de la mejor aproximación.
Resolución:
Sean 𝑊 un subespacio de ℝ𝑛 , y cualquier vector en ℝ𝑛 , y 𝐲̂ la proyección ortogonal de 𝐲 sobre 𝑊. Entonces 𝐲̂ es el punto
de 𝑊 más cercano a 𝐲, en el sentido que
‖𝐲 − 𝐲̂‖ < ‖𝐲 − 𝐯‖
para todo 𝐯 en 𝑊 distinto de 𝐲̂.
1
2
−2
Ejercicio 121. Si 𝐮1 = [ 5 ], 𝐮2 = [ 1 ], 𝐲 = [2] y 𝑊 = 𝐆𝐞𝐧 {𝐮1 , 𝐮2 }. Halle el punto más cercano a 𝐲 en 𝑊 es.
−1
1
3
Resolución:
La proyección ortogonal de 𝐲 sobre 𝑊 es
1
2
1
−2
[2] · [ 5 ]
[ 2] · [ 1 ]
−2/5
2
−2
2
−2
𝐲 · 𝐮1
𝐲 · 𝐮2
−1 [ 5 ] + 3
1 [ 1 ] = 3 [ 5 ]+ 1[ 1 ] = [ 2 ]
𝐲̂ =
𝐮1 +
𝐮2 = 3
2
2
−2
−2
𝐮1 · 𝐮1
𝐮2 · 𝐮2
10
2
1/5
−1
1
[ 5 ] · [ 5 ] −1
[ 1 ]·[ 1 ] 1
−1
−1
1
1
Ejercicio 119.
Ejercicio 122. La distancia desde un punto y en ℝ𝑛 hasta un subespacio 𝑊 se define como la distancia desde y hasta
el punto más cercano de 𝑊. Encuentre la distancia de 𝐲 a 𝑊 = 𝐆𝐞𝐧 {𝐮1 , 𝐮2 }, donde
−1
1
5
𝐲 = [−5], 𝐮1 = [−2], 𝐮2 = [ 2 ]
10
−1
1
Resolución:
El teorema de la mejor aproximación establece que sean 𝑊 un subespacio de ℝ𝑛 , y cualquier vector en ℝ𝑛 , y 𝐲̂ la
proyección ortogonal de 𝐲 sobre 𝑊. Entonces 𝐲̂ es el punto de 𝑊 más cercano a 𝐲, en el sentido que
‖𝐲 − 𝐲̂‖ < ‖𝐲 − 𝐯‖
para todo 𝐯 en 𝑊 distinto de 𝐲̂.
Entonces, de acuerdo con este teorema, la distancia desde 𝐲 hasta 𝑊 es ‖𝐲 − 𝐲̂‖, donde 𝐲̂ = proy𝑊 𝐲. Puesto que {𝐮1 , 𝐮2 }
es una base ortogonal para 𝑊,
−1
1
−21
1 5
7 1
𝐲̂ = 𝐮1 +
𝐮2 = [−2] − [ 2 ] = [−8]
2
6
2
2
−1
4
1
−1
0
−1
𝐲 − 𝐲̂ = [−5] − [−8] = [3]
10
4
6
‖𝐲 − 𝐲̂‖ = √32 + 62 = √45 = 3√5
219
La distancia de 𝐲 a 𝑊 es 3√5.
Ejercicio 123. En los siguientes puntos, compruebe que {𝐮1 , 𝐮2 }, es un conjunto ortogonal, y después encuentre la
proyección ortogonal de y sobre 𝐆𝐞𝐧 {𝐮1 , 𝐮2 }.
−1
1
−1
a. 𝐲 = [ 4 ], 𝐮1 = [1], 𝐮2 = [ 1 ]
3
0
0
3
−4
6
b. 𝐲 = [ 3 ], 𝐮1 = [4], 𝐮2 = [ 3 ]
0
−2
0
−1
3
1
c. 𝐲 = [ 2 ], 𝐮1 = [−1], 𝐮2 = [−1]
6
2
−2
−4
6
0
d. 𝐲 = [4], 𝐮1 = [−1], 𝐮2 = [1]
1
1
1
Resolución:
1
−1
a. Si 𝐮1 · 𝐮2 = [1] · [ 1 ] = −1 + 1 + 0 = 0, {𝐮1 , 𝐮2 } es un conjunto ortogonal. La proyección ortogonal de 𝐲 en
0
0
𝐆𝐞𝐧 {𝐮1 , 𝐮2 } es
−1
1
−1
−1
[ 4 ] · [1]
[ 4 ]·[ 1 ]
1
−1
1
−1
−1
𝐲 · 𝐮1
𝐲 · 𝐮2
0 [ ]+ 3
0 [ ] = 3[ ]+ 5[ ] = [ ]
𝐲̂ =
𝐮1 +
𝐮2 = 3
1
1
1
1
4
1
1
−1
−1
𝐮1 · 𝐮1
𝐮2 · 𝐮 2
2
2
0
0
0
0
0
[1] · [1]
[ 1 ]·[ 1 ]
0
0
0
0
3
−4
b. Si 𝐮1 · 𝐮2 = [4] · [ 3 ] = −12 + 12 + 0 = 0, {𝐮1 , 𝐮2 } es un conjunto ortogonal. La proyección ortogonal de 𝐲 en
0
0
𝐆𝐞𝐧 {𝐮1 , 𝐮2 } es
6
3
6
−4
[ 3 ] · [ 4]
[ 3 ]·[ 3 ]
3
−4
3
−4
6
𝐲 · 𝐮1
𝐲 · 𝐮2
0 [ ] + −2
0 [ ] = 6[ ] −3[ ] = [ ]
𝐲̂ =
𝐮1 +
𝐮2 = −2
4
3
4
3
3
−4
−4
3
3
𝐮1 · 𝐮1
𝐮2 · 𝐮 2
5
5
0
0
0
0
0
[4] · [4]
[ 3 ]·[ 3 ]
0
0
0
0
3
1
c. Si 𝐮1 · 𝐮2 = [−1] · [−1] = 3 + 1 − 4 = 0, {𝐮1 , 𝐮2 } es un conjunto ortogonal. La proyección ortogonal de 𝐲 en
2
−2
𝐆𝐞𝐧 {𝐮1 , 𝐮2 } es
−1
3
−1
1
[ 2 ] · [−1]
[ 2 ] · [−1]
−1
3
1
3
1
𝐲 · 𝐮1
𝐲 · 𝐮2
2 [−1] + 6
−2 [−1] = 1 [−1] − 𝟓 [−1] = [ 2 ]
𝐲̂ =
𝐮1 +
𝐮2 = 6
3
3
1
1
𝐮1 · 𝐮1
𝐮2 · 𝐮2
2
2
2
−2
6
[−1] · [−1] 2
[−1] · [−1] −2
2
2
−2
−2
−4
0
d. Si 𝐮1 · 𝐮2 = [−1] · [1] = 0 − 1 + 1 = 0, {𝐮1 , 𝐮2 } es un conjunto ortogonal. La proyección ortogonal de 𝐲 en
1
1
𝐆𝐞𝐧 {𝐮1 , 𝐮2 } es
−4
6
6
0
[4] · [−1]
[4] · [1]
−4
−4
0
0
6
𝐲 · 𝐮1
𝐲 · 𝐮2
1 [−1] + 1
1 [1] = − 𝟑 [−1] + 5 [1] = [4]
𝐲̂ =
𝐮1 +
𝐮2 = 1
−4
−4
0
0
𝐮1 · 𝐮1
𝐮2 · 𝐮 2
2
2
1
1
1
[−1] · [−1] 1
[1] · [1] 1
1
1
1
1
Ejercicio 124. En los siguientes puntos, sea W el subespacio generado por los 𝐮’s, y escriba a 𝐲 como la suma de un
vector en 𝑊 y un vector ortogonal a 𝑊.
1
1
5
a. 𝐲 = [3], 𝐮1 = [ 3 ], 𝐮2 = [1]
5
−2
4
220
−1
𝐲 = [ 4 ],
3
Resolución:
b.
1
−1
𝐮1 = [1], 𝐮2 = [ 3 ]
1
−2
1
5
a. Si 𝐮1 · 𝐮2 = [3] · [1] = −12 + 12 + 0 = 0, {𝐮1 , 𝐮2 } es un conjunto ortogonal. La proyección ortogonal de 𝐲 en
5
4
𝐆𝐞𝐧 {𝐮1 , 𝐮2 } es
1
1
1
5
[3] · [1]
[3] · [3]
10/3
1
1
5
5
𝐲 · 𝐮1
𝐲 · 𝐮2
5 [ ]+ 5
4 [ ] = 0 [3] + 2 [ ] = [ 2/3 ]
𝐲̂ =
𝐮1 +
𝐮2 = 5
3
1
1
1
1
5
5
𝐮1 · 𝐮1
𝐮2 · 𝐮2
3
8/3
5
4
[3] · [3] 5
[1] · [1] 4
5
5
4
4
10/3
−7/3
1
𝐳 = 𝐲 − 𝐲̂ = [3] − [ 2/3 ] = [ 7/3 ]
8/3
7/3
5
y 𝐲 = 𝐲̂ + 𝐳, donde 𝐲̂ está en 𝑊 y 𝐳 está en 𝑊 ⊥ .
1
−1
b. Si 𝐮1 · 𝐮2 = [1] · [ 3 ] = −1 + 3 − 2 = 0, {𝐮1 , 𝐮2 } es un conjunto ortogonal. La proyección ortogonal de 𝐲 en
1
−2
𝐆𝐞𝐧 {𝐮1 , 𝐮2 } es
−1
1
−1
−1
[ 4 ] · [1]
[ 4 ]·[ 3 ]
3/2
1
−1
1
−1
𝐲 · 𝐮1
𝐲 · 𝐮2
1 [ 1] + 3
−2 [ 3 ] = 2 [1] + 1 [ 3 ] = [
𝐲̂ =
𝐮1 +
𝐮2 = 3
7/2]
1
1
−1
−1
𝐮1 · 𝐮1
𝐮2 · 𝐮2
2
1
−2
1
−2
1
[1] · [1]
[ 3 ]·[ 3 ]
1
1
−2
−2
3/2
−5/2
−1
𝐳 = 𝐲 − 𝐲̂ = [ 4 ] − [7/2] = [ 1/2 ]
3
1
2
y 𝐲 = 𝐲̂ + 𝐳, donde 𝐲̂ está en 𝑊 y 𝐳 está en 𝑊 ⊥ .
Ejercicio 125. En los siguientes puntos, encuentre el punto más cercano a 𝐲 en el subespacio 𝑊 generado por 𝐯1 y 𝐯2 .
3
3
1
1
1
−1
a. 𝐲 = [ ], 𝐯1 = [ ], 𝐯2 = [ ]
−1
1
5
1
−1
1
3
1
−4
−1
−2
b. 𝐲 = [ ], 𝐯1 = [ ], 𝐯2 = [ 1 ]
1
0
−1
13
2
3
Resolución:
a. Tenga en cuenta que 𝐯1 y 𝐯2 son ortogonales. El teorema de la mejor aproximación dice que 𝐲̂, que es la proyección
ortogonal de 𝐲 en 𝑊 = 𝐺𝑒𝑛 {𝐯1 , 𝐯2 }, es el punto más cercano a 𝐲 en 𝑊. Este vector es
3
3
3
1
1
1
1
−1
[ ]·[ ]
[ ]·[ ]
−1
1
5
5
3
𝐲 · 𝐯1
𝐲 · 𝐯2
1
3
1
−1
1
1
−1
𝐲̂ =
𝐯 +
𝐯 =
𝐯 +
𝐯 = 𝐯 + 𝐯 =[ ]
3
3 1
1
1 2 2 1 2 2
1
𝐯1 · 𝐯1 1 𝐯2 · 𝐯2 2
1
1
−1
−1
−1
[ ]·[ ]
[ ]·[ ]
−1
−1
1
1
1
1
−1
−1
a. Tenga en cuenta que 𝐯1 y 𝐯2 son ortogonales. El teorema de la mejor aproximación dice que 𝐲̂, que es la proyección
ortogonal de 𝐲 en 𝑊 = 𝐺𝑒𝑛 {𝐯1 , 𝐯2 }, es el punto más cercano a 𝐲 en 𝑊. Este vector es
3
1
3
−4
−1
−2
−1
[ ]·[ ]
[ ]·[ 1 ]
0
1
−1
1
−1
𝐲 · 𝐯1
𝐲 · 𝐯2
13
13
3
2
𝐲̂ =
𝐯 +
𝐯 =
𝐯 +
𝐯 = 𝟑𝐯1 + 𝟏𝐯2 = [−5]
−4
−4 2
1
1 1
−3
𝐯1 · 𝐯1 1 𝐯2 · 𝐯2 2
−2
−2
1
1
9
[ ]·[ ]
[ ]·[ ]
−1
−1
0
0
3
3
2
2
221
Ejercicio 126. En los siguientes puntos, todos los vectores y los subespacios están en ℝn . Señale cada enunciado como
verdadero o falso. Justifique sus respuestas.
a. Si 𝐳 es ortogonal a 𝐮1 y a 𝐮2 y si 𝑊 = Gen{u1 , u2 }, entonces 𝐳 debe estar en 𝑊 ⊥ .
b. Para cada 𝐲 y cada subespacio 𝑊, el vector 𝐲 − proy𝑊 𝐲 es ortogonal a 𝑊.
c. La proyección ortogonal 𝐲̂ de 𝐲 sobre un subespacio 𝑊 puede depender a veces de la base ortogonal para 𝑊 usada
al calcular 𝐲̂.
d. Si 𝐲 está en un subespacio 𝑊, entonces la proyección ortogonal de 𝐲 sobre 𝑊 es 𝐲 misma.
e. Si 𝑊 es un subespacio de ℝn , y si 𝐯 está en 𝑊 y en 𝑊 ⊥ , entonces 𝐯 debe ser el vector cero.
f. Si 𝐲 = 𝐳1 + 𝐳𝟐 , donde 𝐳1 está en un subespacio 𝑊 y 𝐳𝟐 está en 𝑊 ⊥ , entonces 𝐳1 debe ser la proyección ortogonal
de 𝐲 sobre 𝑊.
g. La mejor aproximación a 𝐲 con los elementos de un subespacio 𝑊 está dada por el vector 𝐲 − proy𝑊 𝐲.
Resolución:
a. Verdadero. Si 𝐮1 y 𝐮2 están en el espacio 𝑊, y si 𝐳 es ortogonal a 𝐮1 y a 𝐮2 entonces 𝐳 también es ortogonal a 𝑊, con
lo cual 𝐳 esta en 𝑊 ⊥ .
b. Verdadero. Por la definición del teorema de descomposición ortogonal.
c. Falso. La unicidad de la descomposición muestra que la proyección ortogonal 𝐲̂ depende sólo de 𝑊 y no de la base.
d. Verdadero. Si 𝐲 está en un subespacio 𝑊, entonces la proyección ortogonal de 𝐲 sobre 𝑊 es la propia 𝐲.
e. Verdadero. El único 𝐯 capaz de existir en 𝑊 y en 𝑊 ⊥ es el vector cero.
f. Verdadero. La descomposición ortogonal es única, y dado que 𝐲 = 𝐳1 + 𝐳𝟐 , y 𝐳1 y 𝐳𝟐 son ortogonales entonces 𝐳1 es
la proyección ortogonal de 𝐲 sobre 𝑊.
g. Falso. El teorema de la mejor aproximación dice que la mejor aproximación a 𝐲 es proy𝑊 𝐲.
Ejercicio 127. Sea 𝑊 un subespacio de ℝ𝑛 con una base ortogonal {𝐰1 , . . . , 𝐰𝑝 }, y sea {𝐯1 , . . . , 𝐯𝑞 } una base ortogonal
para 𝑊 ⊥ .
a. Explique porqué {𝐰1 , . . . , 𝐰𝑝 , 𝐯1 , . . . , 𝐯𝑞 } es un conjunto ortogonal.
b. Explique por qué el conjunto de la parte (a) genera ℝ𝑛 .
c. Demuestre que dim 𝑊 + dim 𝑊 ⊥ = 𝑛.
Resolución:
a. Por hipótesis, los vectores 𝐰1 , . . . , 𝐰𝑝 son ortogonales por pares, y los vectores 𝐯1 , . . . , 𝐯𝑞 son por pares ortogonales.
Como 𝐰𝑖 está en 𝑊 para cualquier 𝑖 y 𝐯𝑗 está en 𝑊 ⊥ para cualquier 𝑗, 𝐰𝑖 · 𝐯𝑗 = 0 para cualquier 𝑖 y 𝑗. Así,
{𝐰1 , . . . , 𝐰𝑝 , 𝐯1 , . . . , 𝐯𝑞 } forma un conjunto ortogonal.
b. Para cualquier y en ℝ𝑛 , escriba 𝐲 = 𝐲̂ + 𝐳 como en el Teorema de descomposición ortogonal, con 𝐲̂ en 𝑊 y 𝐳 en 𝑊 ⊥ .
Entonces existen los escalares 𝑐1 , … , 𝑐𝑝 , y 𝑑1 , … , 𝑑𝑞 tales que 𝐲 = 𝐲̂ + 𝐳 = 𝑐1 𝐰1 + ⋯ + 𝑐𝑝 𝐰p + 𝑑1 𝐯1 + ⋯ + 𝑑𝑞 𝐯q . Por
lo tanto, el conjunto {𝐰1 , . . . , 𝐰𝑝 , 𝐯1 , . . . , 𝐯𝑞 } genera ℝ𝑛 .
c. El conjunto {𝐰1 , . . . , 𝐰𝑝 , 𝐯1 , . . . , 𝐯𝑞 } es linealmente independiente por (a) y genera ℝ𝑛 por (b), y por lo tanto es una
base para ℝ𝑛 . Por lo tanto, dim 𝑊 + dim 𝑊 ⊥ = 𝑝 + 𝑞 = dim ℝ𝑛 .
El proceso Gram-Schmidt
3
1
Sea 𝑊 = 𝐆𝐞𝐧 {𝐱1 , 𝐱 2 }, donde 𝐱1 = [6] y 𝐱 2 = [2]. Construya una
0
2
base ortogonal {𝐯1 , 𝐯2 } para 𝑊.
Resolución:
El subespacio 𝑊 se muestra en la figura, junto con 𝐱1 , 𝐱 2 y la proyección 𝐩 de 𝐱 2 sobre
𝐱1 . La componente de 𝐱 2 ortogonal a 𝐱1 es 𝐱 2 − 𝐩, la cual está en 𝑊 porque se forma a
partir de 𝐱 2 y de un múltiplo de 𝐱1 . Sea 𝐯1 = 𝐱1 y
1
3
[ 2] · [ 6]
3
3
1
1
0
𝐱 2 · 𝐱1
0 [ ] = [ ]− 1[ ] = [ ]
𝐯2 = 𝐱 2 − 𝐩 = 𝐱 2 −
𝐱 1 = [ 2] − 2
6
2
6
0
3
3
𝐱1 · 𝐱1
3
2
0
2
0
2
[ 6] · [ 6]
0
0
Entonces {𝐯1 , 𝐯2 } es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero en 𝑊. Como dim 𝑊 = 2, el conjunto {𝐯1 , 𝐯2 }
es una base para 𝑊.
Ejercicio 128.
222
1
0
0
1
1
Ejercicio 129. Sean 𝐱1 = [ ], 𝐱 2 = [ ], 𝐱 3 = [0]. Entonces, resulta claro que {𝐱1 , 𝐱 2 , 𝐱 3 } es linealmente
1
1
1
1
1
1
independiente y, por lo tanto, es una base para un subespacio 𝑊 de ℝ4 . Estructure una base ortogonal para 𝑊.
Resolución:
Paso 1. Sean 𝐯1 = 𝐱1 y 𝑊1 = 𝐆𝐞𝐧 {𝐱1 } = 𝐆𝐞𝐧 {𝐯1 }.
Paso 2. Sea 𝐯2 el vector producido al restar de 𝐱 2 su proyección sobre el subespacio 𝑊1 . Esto es, sea
𝐯2 = 𝐱 2 − proy𝑊1 𝐱 2
𝐱 2 · 𝐯1
= 𝐱2 −
𝐯
𝐯1 · 𝐯1 1
Puesto que 𝐯1 = 𝐱1
−3/4
0
1
3 1
1/4
1
=[ ]− [ ]= [
]
1
1/4
4 1
1
1
1/4
𝐯2 es la componente de 𝐱 2 ortogonal a 𝐱1 , y {𝐯1 , 𝐯2 } es una base ortogonal para el subespacio 𝑊2 generado por 𝐱1 y 𝐱 2 .
Paso 2´ (opcional). Si es apropiado, escale 𝐯2 para simplificar los cálculos posteriores. Como 𝐯2 tiene entradas
fraccionarias, es conveniente escalarlo mediante un factor de 4 y reemplazar a {𝐯1 , 𝐯2 } empleando la base ortogonal
1
−3
1
𝐯1 = [ ] ,
𝐯´2 = [ 1 ]
1
1
1
1
Paso 3. Sea 𝐯3 el vector producido al restar de 𝐱 3 su proyección sobre el subespacio 𝑊2 . Utilice la base ortogonal {𝐯1 , 𝐯´2 }
para calcular la proyección sobre 𝑊2 :
proy𝑊1 𝐱 3 = proy𝐯1 𝐱 3 + proy𝐯´2 𝐱 3
𝐱 3 · 𝐯1
𝐱 3 · 𝐯´2
proy𝑊1 𝐱 3 =
𝐯 +
𝐯´
𝐯1 · 𝐯1 1 𝐯´2 · 𝐯´2 2
0
1
0
−3
0
1
0
[ ]·[ ]
[ ]·[ 1 ]
0
1
1 1
1
1
−3
1
−3
1
1
2/3
1 [ 1] + 1
1 [ 1 ] = [ 1] + [ 1 ] = [
proy𝑊1 𝐱 3 = 1
]
2/3
1
1 1
−3
−3 1
2 1
6 1
1
1
2/3
[ 1] · [ 1] 1
[ 1 ]·[ 1 ] 1
1
1
1
1
1
1
1
1
Entonces 𝐯3 es la componente de 𝐱 3 ortogonal a 𝑊2 , a saber,
0
0
0
2/3
−2/3
𝐯3 = 𝐱 3 − proy𝑊2 𝐱 3 = [0] − [
]=[
]
2/3
1/3
1
1
2/3
1/3
En la figura, vea un diagrama de esta construcción. Observe que 𝐯3 está en 𝑊, porque tanto 𝐱 3 como proy𝑊2 𝐱 3 están en
𝑊. Entonces {𝐯1 , 𝐯´2 , 𝐯3 } es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero y, por lo tanto, un conjunto linealmente
independiente en 𝑊. Observe que 𝑊 es tridimensional, pues fue definido con una base de tres vectores. Por lo tanto,
según el teorema de la base, {𝐯1 , 𝐯´2 , 𝐯3 } es una base ortogonal para 𝑊.
Ejercicio 130. Describa el proceso Gram-Schmidt
Resolución:
Dada una base {𝐱1 , … , 𝐱 𝑝 } para un subespacio 𝑊 de ℝ𝑛 , defina
𝐯1 = 𝐱1
223
𝐱 ·𝐯
𝐯2 = 𝐱 2 − 2 1 𝐯1
𝐯1 ·𝐯1
𝐱 ·𝐯
𝐱 ·𝐯
𝐯1 ·𝐯1
𝐯2 ·𝐯2
𝐱 ·𝐯
𝐱 ·𝐯
𝐯1 ·𝐯1
𝐯2 ·𝐯2
𝐯3 = 𝐱 3 − 3 1 𝐯1 − 3 2 𝐯2
⋮
𝐯𝑝 = 𝐱 𝑝 − 𝑝 1 𝐯1 − 𝑝 2 𝐯2 − ⋯ −
𝐱𝑝 ·𝐯𝑝−1
𝐯
𝐯𝑝−1 ·𝐯𝑝−1 𝑝−1
Entonces {𝐯1 , … , 𝐯𝑝 } es una base ortogonal para 𝑊. Además
𝐆𝐞𝐧 {𝐯1 , … , 𝐯𝑘 } = 𝐆𝐞𝐧 {𝐱1 , … , 𝐱 𝑘 }
Para 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑝
Ejercicio 131.
3
0
Obtenga una base ortonormal de la base ortogonal 𝐯1 = [6], 𝐯2 = [0]
0
2
Resolución:
Una base ortonormal es
1/√5
3
1
1
1 3
𝐯1 =
[6] =
[6] = [2/√5]
‖𝐯1 ‖
√32 + 62 + 02 0
√45 0
0
0
0
1
1
1 0
𝐮2 =
𝐯 =
[0] = [0] = [0]
‖𝐯2 ‖ 2 √02 + 02 + 22
2
2
2
1
Describa la factorización QR.
𝐮1 =
Ejercicio 132.
Ejercicio:
Si 𝐴 es una matriz de 𝑚 × 𝑛 con columnas linealmente independientes, entonces puede factorizarse como
𝐴 = 𝑄𝑅
donde 𝑄 es una matriz de 𝑚 × 𝑛 cuyas columnas forman una base ortonormal para Col 𝐴, y 𝑅 es una matriz invertible
triangular superior de 𝑛 × 𝑛 con entradas positivas en su diagonal.
Las columnas de 𝐴 forman una base {𝐱1 , … , 𝐱 𝑝 } para Col 𝐴. Empleando el proceso Gram-Schmidt o de algunas otras
formas. Sea
𝑄 = [𝐮𝟏 𝐮𝟐 · · · 𝐮𝟑 ]
Para 𝑘 = 1, . . . , 𝑛, 𝐮𝐤 está en 𝐆𝐞𝐧 {𝐱1 , … , 𝐱 k } = 𝐆𝐞𝐧 {𝐮1 , … , 𝐮k }. Por lo tanto, existen constantes, 𝑟1𝑘 , … , 𝑟𝑘𝑘 , tales que
𝐱 k = 𝑟1𝑘 𝐮1 + … + 𝑟𝑘𝑘 𝐮𝑘 + 0 · 𝐮𝑘+1 + ⋯ + 0 · 𝐮𝑛
Puede suponerse que 𝑟𝑘𝑘 ≥ 0. (Si 𝑟𝑘𝑘 < 0, multiplique tanto 𝑟𝑘𝑘 como 𝐮𝑘 por −1.) Esto muestra que 𝐱 𝑘 es una
combinación lineal de las columnas de 𝑄 utilizando como pesos las entradas del vector
𝑟1𝑘
⋮
𝑟𝑘𝑘
𝐱k =
0
⋮
[0]
Es decir, 𝐱 k = 𝑄𝐫𝑘 para 𝑘 = 1, . . . , 𝑛. Sea 𝑅 = [𝐫1 · · · 𝐫𝑛 ]. Entonces
𝐴 = [𝐱1 · · · 𝐱 𝑛 ] = [𝑄𝐫1 · · · 𝑄𝐫𝑛 ] = 𝑄𝑅
El que R sea invertible se deduce fácilmente del hecho de que las columnas de 𝐴 son linealmente. Como resulta evidente
que 𝑅 es triangular superior, sus entradas diagonales no negativas deben ser positivas.
1 0 0
Ejercicio 133. Encuentre una factorización 𝑄𝑅 de 𝐴 = [1 1 0], si la base ortogonal calculada previamente es
1 1 1
1 1 1
0
1 −3
−2/3
𝐆𝐞𝐧 {[1] , [ 1 ] , [
]}.
1/3
1
1
1
1
1/3
Resolución:
Entonces, resolviendo el ejercicio, las columnas de 𝐴 son los vectores 𝐱1 , 𝐱 2 , 𝐱 3 calculados en ejercicios anteriores. En
ese ejercicio se encontró una base para Col 𝐴 = 𝐆𝐞𝐧 {𝐱1 , 𝐱 2 , 𝐱 3 }
224
0
1
−3
−2/3
𝐯1 = [1] ,
𝐯´2 = [ 1 ] ,
𝐯3 = [
]
1/3
1
1
1
1
1/3
Escale 𝐯3 haciendo 𝐯´3 = 3𝐯3 . Luego normalice los tres vectores para obtener 𝐮1 , 𝐮2 , 𝐮3 , y utilice estos vectores como
las columnas de 𝑄.
1/2
1
1
1
1
1
1/2
𝐮1 =
𝐯1 =
[ 1] = [ 1] = [
]
2
2
2
2
1
1
1/2
‖𝐯1 ‖
2
√1 + 1 + 1 + 1
1
1
1/2
−3
−3
1
1
1
1
𝐮2 =
𝐯´ =
[ ]=
[ 1 ]=
‖𝐯´2 ‖ 2 √(−3)2 + 12 + 12 + 12 1
√12 1
1
1
−3/√12
1/√12
1/√12
[ 1/√12 ]
0
−2/√6
0
0
1
1
1 −2
−2
𝐮3 =
𝐯´ =
[ ]=
[ ]=
1/√6
‖𝐯´3 ‖ 3 √02 + (−2)2 + 12 + 12 1
√6 1
1
1
[ 1/√6 ]
0
1/2 −3/√12
−2/√6
1/2 1/√12
𝑄=
1/2 1/√12
1/√6
1/2
1/√6 ]
[
1/√12
Por construcción, las primeras 𝑘 columnas de 𝑄 son una base ortonormal de 𝐆𝐞𝐧 {𝐱1 , … , 𝐱 𝑘 }. Por teorema, 𝐴 = 𝑄𝑅 para
alguna 𝑅. Para encontrar 𝑅, observe que 𝑄𝑇 𝑄 = 𝐼, porque las columnas de 𝑄 son ortonormales. Por lo tanto,
𝑄𝑇 𝐴 = 𝑄𝑇 (𝑄𝑅) = 𝐼𝑅 = 𝑅
y
1 0 0
1/2
1/2
1/2
2
3/2
1
1/2
1
1
0
𝑅 = [−3/√12 1/√12 1/√12 1/√12] [
] = [0 3/√12 2/√12]
1 1 1
0
−2/√6 1/√6
1/√6 1 1 1
0
0
2/√6
Ejercicio 134. En los siguientes puntos, las columnas de 𝑄 se obtuvieron aplicando el proceso Gram-Schmidt a las
columnas de 𝐴. Encuentre una matriz triangular superior 𝑅 tal que 𝐴 = 𝑄𝑅. Verifique su trabajo.
5⁄6 −1⁄6
9
5
1 ⁄6
5⁄6
7
1
a. 𝐴 = [
], 𝑄 = [
]
−3 −5
−3⁄6 1⁄6
1
5
1 ⁄6
3⁄6
−2⁄7 5⁄7
−2 3
2⁄7
7 ], 𝑄 = [ 5⁄7
b. 𝐴 = [ 5
]
2 −2
2⁄7 −4⁄7
6
4
4 ⁄7
2⁄7
Resolución:
a. Como 𝐴 = 𝑄𝑅, y se tienen 𝐴 y 𝑄. entonces 𝑅 = 𝑄𝑇 𝐴
−2 3
5/6 1/6 −3/6 1/6 5
7 ] = [6 12]
𝑇
𝑅=𝑄 𝐴=[
][
−1/6 5/6 1/6 3/6 2 −2
0 6
6
4
b. Como 𝐴 = 𝑄𝑅, y se tienen 𝐴 y 𝑄. entonces 𝑅 = 𝑄𝑇 𝐴
−2 3
−2/7 5/7 2/7 4/7 5
7 ] = [7 7]
𝑇
𝑅=𝑄 𝐴=[
][
5/7 2/7 −4/7 2/7 2 −2
0 7
6
4
1
2
5
−1 1 −4
Ejercicio 135. Encuentre una base ortogonal para el espacio de columnas de −1 4 −3 .
1 −4 7
[1
2
1]
Resolución:
225
Llame a las columnas de la matriz 𝐱1 , 𝐱 2 y 𝐱 3 y realice el proceso de Gram-Schmidt en estos vectores:
1
−1
𝐯1 = 𝐱1 = −1
1
[1]
2
1
1
−1
4 · −1
3
2
1
−4
1
0
1
−1
𝐱 2 · 𝐯1
[ ] [1]
𝐯2 = 𝐱 2 −
𝐯1 = 4 − 2
−1 = 3
1
1
𝐯1 · 𝐯1
−4
1
−3
−1 −1 [ ] [ ]
[2]
1
3
−1 · −1
1
1
[1] [1]
3
1
5
5
0
−4 −1
−4
−3 · −1
−3 · 3
3
1
2
5
1
7
7
−3
0
−4
𝐱 3 · 𝐯1
𝐱 3 · 𝐯2
[ 1 ] [ 1 ] −1
[1] [3] 0
𝐯3 = 𝐱 3 −
𝐯1 −
𝐯2 = −3 −
−1 −
3 = 2
1
1
3
3
𝐯1 · 𝐯1
𝐯2 · 𝐯2
1
−3
2
7
−1 −1 [ ]
0
0 [ ] [ ]
[1]
1
3
−2
−1 · −1
3 · 3
1
1
−3 −3
[1] [1]
[3] [3]
3
1
2
0
0
−1
Entonces la base ortogonal de 𝑊 es −1 , 3 , 2
1
−3
2
{[ 1 ] [ 3 ] [−2]}
1
2
5
−1 1 −4
Ejercicio 136.
Encuentre la factorización 𝑄𝑅 de −1 4 −3 .
1 −4 7
[1
2
1]
Resolución:
Las columnas de 𝑄 serán versiones normalizadas de los vectores 𝐯1 , 𝐯2 y 𝐯3 que se encuentran en el ejercicio anterior.
Así
1/√5
1
1
−1/√5
−1
1
1
1 −1
𝐮1 =
𝐯1 =
−1 =
−1 = −1/√5
‖𝐯1 ‖
√5 1
√12 + (−1)2 + (−1)2 + 12 + 12 1
1/√5
[1]
[1]
[ 1/√5 ]
1/2
3
3
0
0
1
1
1 0
𝐮2 =
𝐯´2 =
3 =
3 = 1/2
‖𝐯´2 ‖
6 −3
√32 + 02 + 32 + (−3)2 + 32 −3
−1/2
[3]
[ 3 ] [ 1/2 ]
1/2
2
2
0
0
1
1
1 0
𝐮3 =
𝐯´3 =
2 =
2 = 1/2
‖𝐯´3 ‖
4 2
√22 + 02 + 22 + 22 + (−2)2 2
1/2
[−2]
[−2] [−1/2]
𝑄=
Entonces
226
1/√5
1/2
1/2
−1/√5
0
0
−1/√5
1/2
1/2
1/√5
−1/2
1/2
[ 1/√5
1/2
−1/2]
1
2
5
1/√5 −1 1 −4
√5 −√5 4√5
1/2 ] −1 4 −3 = [ 0
6
−2 ]
−1/2 1 −4 7
0
0
4
[1
2
1]
Ejercicio 137. En los siguientes puntos, todos los vectores y subespacios están en ℝn . Señale cada enunciado como
verdadero o falso. Justifique sus respuestas.
a. Si 𝑊 = Gen{𝐱1 , 𝐱 2 , 𝐱 3 } con {𝐱1 , 𝐱 2 , 𝐱 3 } linealmente independiente, y si {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 } es un conjunto ortogonal en 𝑊,
entonces {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 } es una base de 𝑊.
b. Si 𝐱 no está en un subespacio 𝑊, entonces 𝐱 − proy𝑊 𝐱 no es cero.
c. En una factorización 𝑄𝑅, por ejemplo 𝐴 = 𝑄𝑅 (cuando 𝐴 tiene las columnas linealmente independientes), las
columnas de 𝑄 forman una base ortonormal del espacio de columnas de 𝐴.
Resolución:
a. Falso. Adicionalmente debe cumplirse que los tres vectores ortogonales sean distintos de cero para ser la base de un
subespacio tridimensional.
b. Verdadero. Si 𝐱 no está en un subespacio 𝑊, entonces 𝐱 no puede ser igual a proy𝑊 𝐱, porque proy𝑊 𝐱 está en 𝑊.
c. Verdadero. Por la definición de factorización QR.
Ejercicio 138. Suponga que 𝐴 = 𝑄𝑅, donde 𝑄 es de 𝑚 × 𝑛 y R es de 𝑛 × 𝑛. Demuestre que si las columnas de 𝐴 son
linealmente independientes, entonces ℝ debe ser invertible. [Sugerencia: Estudie la ecuación 𝑅𝐱 = 𝟎 y utilice el hecho
de que 𝐴 = 𝑄𝑅.]
Resolución:
Supongamos que 𝐱 satisface 𝑅𝐱 = 𝟎; entonces 𝑄𝑅𝐱 = 𝑄𝟎 = 𝟎 y 𝐴𝐱 = 𝟎. Dado que las columnas de 𝐴 son linealmente
independientes, 𝐱 debe ser 𝟎. Este hecho, a su vez, muestra que las columnas de 𝑅 son linealmente independientes. Desde
𝑅 es cuadrado, es invertible por el teorema de la matriz invertible.
Ejercicio 139. [Octave] Utilice el proceso Gram-Schmidt para producir una base ortogonal del espacio de columnas
de
7 −11
−10 13
−5
3
2
1
𝐴 = −6
3
13 −3
16 −16 −2
5
[ 2
1
−5 −7 ]
Resolución:
3
6
0
−10
2
3
0
5
Con Octave se tiene que la base ortogonal para W es
−6 , −3 , 6 , 0
16
0
6
0
{[ 2 ] [ 3 ] [0] [−5]}
1/√5
𝑅 = 𝑄𝑇 𝐴 = [ 1/2
1/2
−1/√5
0
0
−1/√5
1/2
1/2
1/√5
−1/2
1/2
Código en Octave
>> A=[-10 13 7 -11; 2 1 -5 3; -6 3 13 -3; 16 -16 -2 5; 2 1 -5 -7];
>> x1=A(:,1)
x1 =
-10
2
-6
16
2
>> x2=A(:,2)
x2 =
13
1
3
-16
1
>> x3=A(:,3)
x3 =
7
-5
13
-2
-5
227
>> x4=A(:,4)
x4 =
-11
3
-3
5
-7
>> v1=x1
v1 =
-10
2
-6
16
2
>> v2=x2-(x2'*v1)/(v1'*v1)*v1
v2 =
3
3
-3
0
3
>> v3=x3-(x3'*v1)/(v1'*v1)*v1-(x3'*v2)/(v2'*v2)*v2
v3 =
6
0
6
6
0
>> v4=x4-(x4'*v1)/(v1'*v1)*v1-(x4'*v2)/(v2'*v2)*v2-(x4'*v3)/(v3'*v3)*v3
v4 =
0
5
0
0
-5
Ejercicio 140. Describa la solución por mínimos cuadrados de un sistema inconsistente 𝐴𝐱 = 𝐛.
Resolución:
Si 𝐴 es de 𝑚 × 𝑛 y b está en ℝ𝑚 , una solución por mínimos cuadrados de 𝐴𝐱 = 𝐛 es una 𝐱̂ en ℝ𝑛 tal que
‖𝐛 − 𝐴𝐱̂‖ ≤ ‖𝐛 − 𝐴𝐱‖
para toda x en ℝ𝑛 .
El aspecto más importante del problema de mínimos cuadrados es que no importa cuál x se elija, el vector 𝐴𝐱
necesariamente estará en el espacio de columnas. Así que se busca un 𝐱 adecuado para convertir a 𝐴𝐱 en el punto de Col 𝐴
más cercano a b. Vea la figura. (Por supuesto, si sucede que b está en Col 𝐴, entonces b es 𝐴𝐱 para algún 𝐱, y tal 𝐱 es una
“solución por mínimos cuadrados”.
Dados estos A y b anteriores, si se aplica el teorema de la mejor aproximación al subespacio Col A. Sea
̂ = proyCol 𝐴 𝐛
𝐛
̂ está en el espacio de columnas de 𝐴, la ecuación 𝐴𝐱 = 𝐛
̂ es consistente, y existe un 𝐱̂ en ℝ𝑛 tal que
Puesto que 𝐛
̂
𝐴𝐱̂ = 𝐛
̂
Puesto que 𝐛 es el punto de Col 𝐴 más cercano a 𝐛, un vector 𝐱̂ es una solución por mínimos cuadrados de 𝐴𝐱 = 𝐛 si, y
̂ a partir de las columnas de 𝐴. Vea la figura.
sólo si, 𝐱̂ satisface. Un 𝐱̂ tal en ℝ𝑛 es una lista de pesos que estructurará 𝐛
[Existen muchas soluciones de (1) si la ecuación tiene variables libres.]
228
Suponga que 𝐱̂ satisface 𝐴𝐱̂ = 𝐛. De acuerdo con el teorema de la descomposición ortogonal, la proyección 𝐛 tiene la
̂ es ortogonal a Col A, entonces 𝐛 − 𝐴𝐱̂ es ortogonal a cualquier columna de A. Si 𝐚𝑗 es cualquier
propiedad de que 𝐛 − 𝐛
columna de 𝐴, entonces 𝐚𝑗 · (𝐛 − 𝐴𝐱̂) = 0, y 𝐚𝑗𝑇 (𝐛 − 𝐴𝐱̂) = 0. Puesto que cualquier 𝐚𝑗𝑇 es una fila de 𝐴𝑇 ,
𝐴𝑇 (𝐛 − 𝐴𝐱̂) = 0
Entonces
𝐴𝑇 𝐛 − 𝐴𝑇 𝐴𝐱̂ = 0
𝐴𝑇 𝐴𝐱̂ = 𝐴𝑇 𝐛
Estos cálculos muestran que cada solución por mínimos cuadrados de 𝐴𝐱 = 𝐛 satisface la ecuación
𝐴𝑇 𝐴𝐱 = 𝐴𝑇 𝐛
Esta ecuación matricial representa un sistema de ecuaciones lineales llamadas ecuaciones normales para 𝐴𝐱 = 𝐛. Una
solución de esta ecuación se denota frecuentemente como 𝐱̂.
Ejercicio 141. Describa el teorema de mínimos cuadrados.
Resolución:
El teorema de mínimos cuadrados establece que el conjunto de soluciones por mínimos cuadrados de 𝐴𝐱 = 𝐛 coincide
con el conjunto no vacío de soluciones de las ecuaciones normales
𝐴𝑇 𝐴𝐱 = 𝐴𝑇 𝐛
Ejercicio 142. Encuentre una solución por mínimos cuadrados del sistema inconsistente 𝐴𝐱 = 𝐛 para
4 0
2
𝐴 = [0 2] , 𝐛 = [ 0 ]
1 1
11
Resolución:
Para utilizar 𝐴𝑇 𝐴𝐱 = 𝐴𝑇 𝐛 calcule
4 0
4 0 1
17 1
𝐴𝑇 𝐴 = [
] [0 2] = [
]
0 2 1
1 5
1 1
2
4 0 1
19
𝐴𝑇 𝐛 = [
][ 0 ] = [ ]
0 2 1
11
11
Entonces resolvemos la ecuación 𝐴𝑇 𝐴𝐱 = 𝐴𝑇 𝐛
17 1 𝑥1
19
[
][ ] = [ ]
1 5 𝑥2
11
Pueden usarse operaciones por fila para resolver este sistema, pero como 𝐴𝑇 𝐴 es invertible y 2 × 2, probablemente sea
más fácil calcular
1 5 −1
(𝐴𝑇 𝐴)−1 =
[
]
84 −1 17
𝑇
𝑇
y luego resolver 𝐴 𝐴𝐱 = 𝐴 𝐛 como
𝐱̂ = (𝐴𝑇 𝐴)−1 𝐴𝑇 𝐛
1 5 −1 19
1 84
1
=
[
][ ] =
[
]=[ ]
2
84 −1 17 11
84 168
Ejercicio 143. Describa el teorema del error por mínimos cuadrados.
Resolución:
La matriz 𝐴𝑇 𝐴 es invertible si, y sólo si, las columnas de 𝐴 son linealmente independientes. En este caso, la ecuación
𝐴𝐱 = 𝐛 tiene solamente una solución por mínimos cuadrados 𝐱̂, y está dada por
𝐱̂ = (𝐴𝑇 𝐴)−1 𝐴𝑇 𝐛
Ejercicio 144. Dados 𝐴 y 𝐛 del ejercicio anterior, determine el error de mínimos cuadrados en la solución por mínimos
cuadrados de 𝐴𝐱 = 𝐛.
229
Resolución:
Del ejercicio anterior
2
𝐛=[0]
11
4
y 𝐴𝐱̂ = [0
1
4
0
1
2] [ ] = [4]
2
3
1
De aquí
4
−2
2
𝐛 − 𝐴𝐱̂ = [ 0 ] − [4] = [−4]
3
11
8
y
‖𝐛 − 𝐴𝐱̂‖ = √(−2)2 + (−4)2 + 82 = √84
El error de mínimos cuadrados es √84. Para cualquier 𝐱 en ℝ2 , la distancia entre 𝐛 y
el vector 𝐴𝐱 es de al menos √84. Véase la figura. Observe que la solución por mínimos
cuadrados 𝐱̂ no aparece en la figura.
Ejercicio 145. Encuentre la solución por mínimos cuadrados de 𝐴𝐱 = 𝐛 para
−3
1 1 0 0
1 1 0 0
−1
0
1
1
0
𝐴=
,
𝐛= 0
1 0 1 0
2
1 0 0 1
5
[1 0 0 1]
[1]
Resolución:
1 1 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
6 2 2 2
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
𝑇
𝐴 𝐴=[
]
= [ 2 2 0 0]
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0
2 0 2 0
0 0 0 0 1 1 1 0 0 1
2 0 0 2
[1 0 0 1]
−3
1 1 1 1 1 1 −1
4
0
0
−4
1
1
0
0
0
𝑇
𝐴 𝐛=[
]
=[ ]
0 0 1 1 0 0 2
2
0 0 0 0 1 1 5
6
[1]
La matriz aumentada para 𝐴𝑇 𝐴𝐱 = 𝐴𝑇 𝐛 es
6 2 2 2 4
1 0 0 1
1
0
−4
0
0
−5
2
2
0
1
−1
[
]→[
]
2 0 2 0 2
0 0 1 −1 −2
2 0 0 2 6
0 0 0 0
0
La solución general es 𝑥1 = 3 − 𝑥4 , 𝑥2 = −5 + 𝑥4 , 𝑥3 = −2 + 𝑥4 , y 𝑥4 es libre. Así que la solución general por mínimos
cuadrados de 𝐴𝐱 = 𝐛 tiene la forma
3
−1
−5
𝐱̂ = [ ] + 𝑥4 [ 1 ]
−2
1
0
1
Ejercicio 146. Encuentre la solución por mínimos cuadrados de 𝐴𝐱 = 𝐛 para
1 −6
−1
1
−2
𝐴=[
],
𝐛=[ 2 ]
1
1 1
1 7
6
Resolución:
Una forma de resolución alternativa es cuando las columnas de la matriz 𝐴 son ortogonales. Como las columnas 𝐚𝟏 y 𝐚𝟐
de 𝐴 son ortogonales, la proyección ortogonal de 𝐛 sobre Col 𝐴 está dada por
−3
−1
2
𝐛 · 𝐚1
𝐛 · 𝐚2
8
45
−1
1
2
̂𝐛 =
𝐚 +
𝐚 = 𝐚 +
𝐚 = [ ] + [1/2] = [ 5/2 ]
2
𝐚1 · 𝐚1 1 𝐚2 · 𝐚2 2 4 1 90 2
7/2
11/2
2
̂
̂
Ahora que se conoce 𝐛, puede resolverse 𝐴𝐱̂ = 𝐛. Pero esto es trivial, pues ya se sabe qué pesos colocar en las columnas
̂ . A partir del cálculo de 𝐛
̂ resulta claro que
de 𝐴 para producir 𝐛
230
8/4
2
]=[
]
1/2
45/90
Describa el teorema de mínimos cuadrados mediante factorización 𝑄𝑅.
𝐱̂ = [
Ejercicio 147.
Resolución:
Aplicando el teorema de mínimos cuadrados mediante factorización QR se tiene que dada una matriz 𝐴 de 𝑚 × 𝑛 con
columnas linealmente independientes, sea 𝐴 = 𝑄𝑅 una factorización 𝑄𝑅 de 𝐴. Entonces, para cada 𝐛 en ℝ𝑚 , la ecuación
𝐴𝐱 = 𝐛 tiene una solución única por mínimos cuadrados, dada por
𝐱̂ = 𝑅 −1 𝑄𝑇 𝐛
Ejercicio 148. Encuentre la solución por mínimos cuadrados de 𝐴𝐱 = 𝐛 para
1 3 5
3
1
1
0
𝐴=[
],
𝐛=[ 5 ]
7
1 1 2
1 3 3
−3
Resolución:
Puede obtenerse la factorización QR de 𝐴 como
1/2 1/2
1/2
1/2 −1/2 −1/2 2 4 5
𝐴 = 𝑄𝑅 = [
] [0 2 3]
1/2 −1/2 1/2
0 0 2
1/2 1/2 −1/2
Entonces
3
1/2 1/2
1/2
1/2
6
𝑇
𝑄 𝐛 = [1/2 −1/2 −1/2 1/2 ] [ 5 ] = [−6]
7
1/2 −1/2 1/2 −1/2
4
−3
La solución por mínimos cuadrados 𝐱̂ satisface 𝑅𝐱 = 𝑄𝑇 𝐛, esto es
2 4 5 𝑥1
6
[0 2 3] [𝑥2 ] = [−6]
4
0 0 2 𝑥3
10
Esta ecuación se resuelve fácilmente y produce 𝐱̂ = [−6]
2
Aplicaciones de mínimos cuadrados a modelos lineales
Ejercicio 149. Describa la aplicación de mínimos cuadrados a modelos lineales.
Resolución:
Una tarea común en ciencias e ingeniería es analizar y comprender las relaciones presentes entre diversas cantidades que
varían. Para facilitar la aplicación del análisis a problemas reales que se podrán encontrar posteriormente en el desarrollo
profesional de su carrera, se elige la notación que suele utilizarse en el análisis estadístico de datos científicos y de
ingeniería. En lugar de 𝐴𝐱 = 𝐛, se escribe 𝑋𝜷 = 𝐲 y se llama a 𝑋 matriz de diseño, 𝜷 es el vector parámetro y 𝐲 el vector
de observación.
Ejercicio 150. Describa la utilización de líneas de mínimos cuadrados.
Resolución:
La relación más sencilla entre dos variables 𝑥 y 𝑦 es la ecuación lineal 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥.1 Los datos experimentales a menudo
producen puntos (𝑥1 , 𝑦1 ), . . . , (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) que, al graficarse, parecen quedar cerca de una línea. Se desea determinar los
parámetros 𝛽0 y 𝛽1 que dejen a la línea tan “cercana” a los puntos como sea posible.
Suponga que 𝛽0 y 𝛽1 están fijos, y considere la línea 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥 que aparece en la figura. Para cada punto de los datos
(𝑥𝑗 , 𝑦𝑗 ) hay un punto correspondiente (𝑥𝑗 , 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑗 ) sobre la línea con la misma coordenada 𝑥. A 𝑦𝑗 se le llama el valor
observado de y, y a 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑗 el valor pronosticado de 𝑦 (determinado mediante la línea). La diferencia entre un valor de
𝑦 observado y uno pronosticado se denomina 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑎𝑙.
231
Existen varias maneras de medir qué tan “cercana” está la línea a los datos. La elección acostumbrada (que se elige
principalmente por la sencillez de los cálculos matemáticos) es sumar los cuadrados de los residuales. La línea de mínimos
cuadrados es la línea 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥 que minimiza la suma de los cuadrados de los residuales. Esta línea también se conoce
como línea de regresión de y sobre x, porque se supone que cualquier error en los datos está únicamente en las
coordenadas de 𝑦. Los coeficientes 𝛽0 , 𝛽1 de la línea se llaman coeficientes de regresión (lineal)
Si los puntos de datos estuvieran sobre la línea, los parámetros 𝛽0 y 𝛽0 satisfarían las ecuaciones
Valor de y
pronosticado
Valor de y
observado
𝛽0 + 𝛽1 𝑥1 = 𝑦1
𝛽0 + 𝛽1 𝑥2 = 𝑦2
⋮
⋮
𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑛 = 𝑦𝑛
Este sistema puede escribirse como
𝑦1
1 𝑥1
𝑦2
𝛽0
1 𝑥2
𝑋𝜷 = 𝐲, donde 𝑋 = [
], 𝜷 = [ ], 𝐲 = [ ⋮ ]
⋮ ⋮
𝛽1
𝑦𝑛
1 𝑥𝑛
Por supuesto, si los puntos de datos no están sobre una línea, entonces no hay parámetros 𝛽0 , 𝛽1 para los cuales los valores
de 𝐲 pronosticados en 𝑋𝜷 sean iguales a los valores de 𝑦 observados en 𝐲, y 𝑋𝜷 = 𝐲 no tiene solución. ¡Éste es un
problema de mínimos cuadrados, 𝐴𝐱 = 𝐛, con una notación diferente!
El cuadrado de la distancia entre los vectores 𝑋𝜷 y 𝐲 es precisamente la suma de los cuadrados de los residuales. El 𝜷
que minimiza esta suma también minimiza la distancia entre 𝑋𝜷 y 𝐲. El cálculo de la solución por mínimos cuadrados
de 𝑋𝜷 = 𝐲 equivale a encontrar el 𝜷 que determina la línea de mínimos cuadrados de la figura.
Ejercicio 151. Encuentre la ecuación 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥 de la línea de mínimos cuadrados que se ajuste mejor a los puntos
de datos (2, 1), (5, 2), (7, 3), (8, 3).
Resolución:
Utilice las coordenadas 𝑥 de los datos para estructurar la matriz 𝑋 y las coordenadas 𝑦 para estructurar el vector 𝐲:
1 2
1
1
5
𝑋=[
], 𝐲 = [2]
3
1 7
1 8
3
Para la solución por mínimos cuadrados de 𝑋𝜷 = 𝐲, obtenga las ecuaciones normales (con la notación nueva):
𝑋 𝑇 𝑋𝜷 = 𝑋 𝑇 𝐲
Es decir, calcule
1 2
1
1
1
1
4
22
𝑋𝑇𝑋 = [
] [ 1 5] = [
]
2 5 7 8 1 7
22 142
1 8
1
1 1 1 1 2
9
𝑇
𝑋 𝐲=[
][ ] = [ ]
2 5 7 8 3
57
3
Las ecuaciones normales son
4
22 𝛽0
9
[
][ ] = [ ]
22 142 𝛽1
57
De donde
1 142 −22 9
1 24
𝛽
2/7
4
22 −1 9
[ 0] = [
] [ ]=
[
] [ ]=
[ ]=[
]
𝛽1
5/14
22 142
57
4
57
84 −22
84 30
Entonces la línea de mínimos cuadrados tiene la ecuación
232
𝑦=
2 5
+
𝑥
7 14
Vea la figura.
Ejercicio 152. La pérdida de peso de una persona que sigue una determinada dieta, en el transcurso del tiempo, viene
dada por la siguiente tabla:
Tiempo (meses)
Pérdida de peso (kg)
1
9
2
7,5
3
4,2
4
3
5
2,1
Con el objetivo de estudiar la pérdida de peso en función del tiempo, ajuste a dichos datos una recta. ¿Qué pérdida de
peso se tenía cuando habían pasado 2 meses y medio?
Resolución:
Se utilizan las coordenadas 𝑥 de la tabla para estructurar la matriz 𝑋 y las coordenadas 𝑦 para estructurar el vector 𝐲:
9
1 1
7,5
1 2
𝑋 = 1 3 , 𝐲 = 4,2
1 4
3
[ 1 5]
[2,1]
Para la solución por mínimos cuadrados de 𝑋𝜷 = 𝐲, se obtienen las ecuaciones normales 𝑋 𝑇 𝑋𝜷 = 𝑋 𝑇 𝐲, con lo cual se
calcula
1 1
1 1 1 1 1 1 2
5 15
𝑋𝑇𝑋 = [
] 1 3 =[
]
1 2 3 4 5 1 4
15 55
[1 5]
9
7,5
25,8
1 1 1 1 1
𝑋𝑇𝐲 = [
] 4,2 = [
]
59,1
1 2 3 4 5
3
[2,1]
Las ecuaciones normales son
25,8
5 15 𝛽0
[
][ ] = [
]
𝛽
59,1
15 55 1
De donde
1 11 −3 25,8
1 106,5
𝛽
10,65
5 15 −1 25,8
[ 0] = [
] [
]=
[
][
]=
[
]=[
]
𝛽1
59,1
59,1
−1,83
15 55
10 −3 1
10 −18,3
Entonces la línea de mínimos cuadrados tiene la ecuación
𝑦 = 10,65 − 1,83𝑥
Si se desea averiguar que perdida de peso se tendrá a los dos meses y medio (𝑥 = 2,5) se realiza el reemplazo
𝑦 = 10,65 − 1,83(2,5) = 6,075
Con lo cual se esperará una pérdida de peso de 6,075 kilogramos.
Ejercicio 153. La ecuación de Boyle-Mariotte establece que, a temperatura constante se verifica que 𝑃𝑉 = 𝑐𝑡𝑒. Halle
el valor de la constante para un sistema en el que se han obtenido las siguientes mediciones:
Presión (Kg/m2)
Volumen (L)
0,10
2,24
0,15
1,5
0,20
1,13
0,25
0,92
Resolución:
Se utilizan las coordenadas 𝑥 de la tabla para estructurar la matriz 𝑋 y las coordenadas 𝑦 para estructurar el vector 𝐲:
1 0,10
2,24
1 0,15
1,5
𝑋=[
], 𝐲 = [
]
1 0,20
1,13
1 0,25
0,92
Para la solución por mínimos cuadrados de 𝑋𝜷 = 𝐲, se obtienen las ecuaciones normales 𝑋 𝑇 𝑋𝜷 = 𝑋 𝑇 𝐲, con lo cual se
calcula
233
1
𝑋 𝑋=[
0,10
𝑇
1
0,15
1
𝑋𝑇𝐲 = [
0,10
1
0,20
1
0,15
1
1
1
][
0,25 1
1
1
0,20
0,10
4
0,7
0,15
]=[
]
0,20
0,7 0,135
0,25
2,24
1
5,79
1,5
][
]=[
]
0,25 1,13
0,905
0,92
Las ecuaciones normales son
4
[
0,7
0,7 𝛽0
5,79
][ ] = [
]
0,135 𝛽1
0,905
De donde
𝛽
4
0,7 −1 5,79
2,963
2,7 −14 5,79
[ 0] = [
] [
]=[
][
]=[
]
𝛽1
0,7 0,135
−8,66
0,905
0,905
−14 80
Entonces la línea de mínimos cuadrados tiene la ecuación
𝑦 = 2,963 − 8,66𝑥
Con lo cual la constante buscada es −8,66
𝐾𝑔𝐿
𝑚2
.
Espacios con producto interior
Ejercicio 154. Defina el producto interior y enuncie sus axiomas
Resolución:
Un producto interior dentro de un espacio vectorial 𝑉 es una función que asocia a cada par de vectores 𝐮 y 𝐯 en 𝑉 un
número real ⟨𝐮, 𝐯⟩, y satisface los siguientes axiomas para todos 𝐮, 𝐯, 𝐰 en 𝑉 y para todo escalar 𝑐:
1. ⟨𝐮, 𝐯⟩ = ⟨𝐯, 𝐮⟩
2. ⟨𝐮 + 𝐯, 𝐰⟩ = ⟨𝐮, 𝐰⟩ + ⟨𝐯, 𝐰⟩
3. ⟨𝑐𝐮, 𝐯⟩ = 𝑐 ⟨𝐮, 𝐯⟩
4. ⟨𝐮, 𝐯⟩ ≥ 0 y ⟨𝐮, 𝐮⟩ = 0 si, y sólo si, 𝐮 = 𝟎
Un espacio vectorial con un producto interior se llama espacio con producto interior
Ejercicio 155. Fije cualesquiera dos números positivos —por ejemplo, 4 y 5— y, para los vectores 𝐮 = (𝐮1 , 𝐮2 ) y 𝐯 =
(𝐯1 , 𝐯2 )en ℝ2 , sea
⟨𝐮, 𝐯⟩ = 4𝑢1 𝑣1 + 5𝑢2 𝑣2
Muestre que dicha ecuación define un producto interior.
Resolución:
Desde luego que se satisface el axioma 1, pues ⟨𝐮, 𝐯⟩ = 4𝑢1 𝑣1 + 5𝑢2 𝑣2 = 4𝑣1 𝑢1 + 5𝑣2 𝑢2 = ⟨𝐯, 𝐮⟩. Si 𝐰 = (𝑤1 , 𝑤2 ),
entonces
⟨𝐮 + 𝐯, 𝐰⟩ = 4(𝑢1 + 𝑣1 )𝑤1 + 5(𝑢2 + 𝑣2 )𝑤2
= 4𝑢1 𝑤1 + 5𝑢2 𝑤2 + 4𝑣1 𝑤1 + 5𝑣2 𝑤2
= ⟨𝐮, 𝐰⟩ + ⟨𝐯, 𝐰⟩
Esto verifica el axioma 2. Para el axioma 3, se tiene que
⟨𝑐𝐮, 𝐯⟩ = 4(𝑐𝑢1 )𝑣1 + 5(𝑐𝑢2 )𝑣2 = 𝑐(4𝑢1 𝑣1 + 5𝑢2 𝑣2 ) = 𝑐 ⟨𝐮, 𝐯⟩
Para el axioma 4, observe que ⟨𝐮, 𝐯⟩ = 4𝑢12 + 5𝑢22 ≥ 0, y que 4𝑢12 + 5𝑢22 = 0 sólo si 𝑢1 = 𝑢2 = 0, esto es, si 𝐮 = 𝟎.
Asimismo, ⟨𝟎, 𝟎⟩ = 0. Por lo tanto, (1) define un producto interior en ℝ2 .
Ejercicio 156. Sean 𝑡0 , . . . , 𝑡𝑛 números reales distintos. Para 𝑝 y 𝑞 en ℙ𝑢 , defina
⟨𝑝, 𝑞⟩ = p(𝑡0 )q(𝑡1 ) + p(𝑡1 )q(𝑡1 ) + · · · +p(𝑡𝑛 )q(𝑡𝑛 )
Resolución:
Los axiomas 1, 2 y 3 del producto interior se comprueban fácilmente. Para el axioma 4, observe que
⟨𝑝, 𝑝⟩ = [𝑝(𝑡0 )]2 + [𝑝(𝑡1 )]2 +··· +[𝑝(𝑡𝑛 )]2 ≥ 0
También, ⟨𝟎, 𝟎⟩ = 0. (Se seguirá usando un cero en negritas para identificar el polinomio cero, el vector cero en ℙ𝑛 ). Si
⟨𝑝, 𝑝⟩ = 0, entonces 𝑝 debe desaparecer en 𝑛 + 1 puntos: 𝑡0 , . . . , 𝑡𝑛 . Esto sólo es posible si 𝑝 es el polinomio cero, porque
el grado de 𝑝 es menor que 𝑛 + 1. Entonces (2) define a un producto interior en ℙ𝑛 .
Ejercicio 157.
12𝑡 2 y 𝑞(𝑡) = 2𝑡 − 1. Calcule ⟨𝑝, 𝑞⟩ y ⟨𝑞, 𝑞⟩.
Resolución:
234
1
Sea V ℙ2 , con el producto interior del ejercicio anterior, donde 𝑡0 = 0, 𝑡1 = , y 𝑡2 = 1. Sean 𝑝(𝑡) =
2
Ejercicio 158.
1
1
⟨𝑝, 𝑞⟩ = 𝑝(0)𝑞(0) + 𝑝 ( ) 𝑞 ( ) + 𝑝(1)𝑞(1)
2
2
= (0)(−1) + (3)(0) + (12)(1) = 12
1 2
⟨𝑞, 𝑞⟩ = [𝑞(0)]2 + [𝑞 ( )] + [𝑞(1)]2
2
= (−1)2 + (0)2 + (1)2 = 2
Sea ℙ2 tal que tenga el producto interior
⟨𝑝, 𝑞⟩ = p(𝑡0 )q(𝑡1 ) + p(𝑡1 )q(𝑡1 ) + · · · +p(𝑡𝑛 )q(𝑡𝑛 )
Encuentre las longitudes de los vectores 𝑝(𝑡) = 12𝑡 2 y 𝑞(𝑡) = 2𝑡 − 1
Resolución:
1 2
‖𝑝‖2 = ⟨𝑝, 𝑝⟩ = [𝑝(0)]2 + [𝑝 ( )] + [𝑝(1)]2
2
= 0 + [3]2 + [12]2 = 153
‖𝑝‖ = √153
Y
1 2
‖𝑞‖2 = ⟨𝑞, 𝑞⟩ = [𝑞(0)]2 + [𝑞 ( )] + [𝑞(1)]2
2
= (−1)2 + (0)2 + (1)2 = 2
‖𝑞‖ = √2
Ejercicio 159. Sea 𝑉 en ℙ4 con el producto interior
⟨𝑝, 𝑞⟩ = p(𝑡0 )q(𝑡1 ) + p(𝑡1 )q(𝑡1 ) + · · · +p(𝑡𝑛 )q(𝑡𝑛 )
que implica la evaluación de polinomios en −2, −1, 0, 1 y 2, y tome a ℙ2 como un subespacio de 𝑉. Produzca una base
ortogonal para ℙ2 aplicando el proceso Gram-Schmidt a los polinomios 1, 𝑡 y 𝑡 2 .
Resolución:
El producto interior depende sólo de los valores de un polinomio en −2, ..., 2, así que se enlistan los valores de cada
polinomio como un vector en ℝ5 , bajo el nombre del polinomio:
Polinomio:
1
𝑡
𝑡2
1 −2 4
1 −1 1
Vector de valores: 1 , 0 , 0
1
1
1
[1] [ 2 ] [4]
El producto interior de dos polinomios en 𝑉 es igual al producto interior (estándar) de sus vectores correspondientes en
ℝ5 . Observe que 𝑡 es ortogonal a la función constante 1. Así que tome a 𝑝0 (𝑡) = 1 y 𝑝1 (𝑡) = 𝑡. Para 𝑝2 , use los vectores
en ℝ5 para calcular la proyección de 𝑡2 sobre 𝐆𝐞𝐧 {𝑝0 , 𝑝1 }:
⟨𝑡 2 , 𝑝0 ⟩ = ⟨𝑡 2 , 1⟩ = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
⟨𝑝0 , 𝑝0 ⟩ = 5
⟨𝑡 2 , 𝑝1 ⟩ = ⟨𝑡 2 , 𝑡⟩ = −8 + (−1) + 0 + 1 + 8 = 0
10
La proyección ortogonal de 𝑡 2 sobre 𝐆𝐞𝐧 {1, 𝑡} es 𝑝0 + 0𝑝1 . Así que
5
𝑝2 (𝑡) = 𝑡 2 − 2𝑝0 (𝑡) = 𝑡 2 − 2
Una base ortogonal para el subespacio ℙ2 de V es:
Polinomio:
𝑝0 𝑝1 𝑝2
1 −2
2
1 −1 −1
Vector de valores: 1 , 0 , −2
1
1
−1
[1] [ 2 ] [ 2 ]
Ejercicio 160. Sea 𝑉 en ℙ4 con el producto interior del ejercicio anterior, y sean 𝑝0 , 𝑝1 y 𝑝2 la base ortogonal
1
encontrada en el ejercicio anterior para el subespacio ℙ2 . Encuentre la aproximación óptima a 𝑝(𝑡) = 5 − 𝑡 4 mediante
2
polinomios en ℙ2 .
Resolución:
Los valores de 𝑝0 , 𝑝1 y 𝑝2 en los números −2, −1, 0, 1 y 2 se enumeran en vectores de ℝ5 en la última ecuación del
ejercicio anterior. Los valores correspondientes para 𝑝 son −3, 9/2, 5, 9/2 y −3. Se calcula
⟨𝑝, 𝑝0 ⟩ = 8,
⟨𝑝, 𝑝1 ⟩ = 0,
⟨𝑝, 𝑝2 ⟩ = −31
⟨𝑝0 , 𝑝0 ⟩ = 5,
⟨𝑝2 , 𝑝2 ⟩ = 14
235
Entonces la mejor aproximación a 𝑝 en 𝑉 por medio de polinomios en ℙ2 es
⟨𝑝, 𝑝0 ⟩
⟨𝑝, 𝑝1 ⟩
⟨𝑝, 𝑝2 ⟩
𝑝̂ = proyℙ2 𝑝 =
𝑝 +
𝑝 +
𝑝
⟨𝑝0 , 𝑝0 ⟩ 0 ⟨𝑝1 , 𝑝1 ⟩ 1 ⟨𝑝2 , 𝑝2 ⟩ 2
8
−31
8 31
= 𝑝0 +
𝑝2 = − (𝑡 2 − 2)
5
14
5 14
Este polinomio es el más cercano a 𝑝 de todos los polinomios en ℙ2 , cuando la distancia entre los polinomios se mide
únicamente en −2, −1, 0, 1 y 2.
Ejercicio 161. Para 𝑓, 𝑔 de 𝐶[𝑎, 𝑏], sea
𝑏
⟨𝑓, 𝑔⟩ = ∫ 𝑓(𝑡)𝑔(𝑡)𝑑𝑡
𝑎
Muestre que la integral define un producto interior en 𝐶[𝑎, 𝑏].
Resolución:
Los axiomas 1, 2 y 3 del producto interior se derivan de las propiedades elementales de integrales definidas. Para el
axioma 4, observe que
𝑏
⟨𝑓, 𝑓⟩ = ∫ [𝑓(𝑡)]2 𝑑𝑡 ≥ 0
𝑎
La función [ f(t)]2 es continua y no negativa en [a, b]. Si la integral definida de [𝑓(𝑡)]2 es cero, entonces [𝑓(𝑡)]2 debe ser
idénticamente cero en [𝑎, 𝑏], de acuerdo con un teorema de cálculo avanzado, en cuyo caso f es la función cero. Entonces
𝑏
⟨𝑓, 𝑓⟩ = 0 implica que 𝑓 es la función cero en [𝑎, 𝑏]. Así que ⟨𝑓, 𝑔⟩ = ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑔(𝑡)𝑑𝑡 define un producto interior en
𝐶[𝑎, 𝑏].
Ejercicio 162. Sea 𝑉 el espacio 𝐶[0, 1] con el producto interior del ejercicio anterior, y sea 𝑊 el subespacio generado
por los polinomios 𝑝1 (𝑡) = 1, 𝑝2 (𝑡) = 2𝑡 − 1, y 𝑝3(𝑡) = 12𝑡 2 . Use el proceso Gram-Schmidt para encontrar una base
ortogonal para 𝑊
Resolución:
Sea 𝑞1 = 𝑝1 , y calcule
1
⟨𝑝2 , 𝑞1 ⟩ = ∫ (2𝑡 − 1)(1)𝑑𝑡 = (𝑡 2 − 𝑡)|10 = 0
0
Entonces 𝑝2 ya es ortogonal a 𝑞1 , y puede tomarse 𝑞2 = 𝑝2 . Para la proyección de 𝑝3 sobre 𝑊2 = 𝐆𝐞𝐧 {𝑞1 , 𝑞2 }, se calcula
1
⟨𝑝3 , 𝑞1 ⟩ = ∫ (12𝑡 2 )(1)𝑑𝑡 = 4𝑡 3 |10 = 4
0
1
⟨𝑞1 , 𝑞1 ⟩ = ∫ (1)(1)𝑑𝑡 = 𝑡|10 = 1
0
1
⟨𝑝3 , 𝑞2 ⟩ = ∫ (12𝑡 2 )(1)𝑑𝑡 = 4𝑡 3 |10 = 4
0
1
⟨𝑝3 , 𝑞1 ⟩ = ∫
1
(12𝑡 2 )(2𝑡
− 1)𝑑𝑡 = ∫ (24𝑡 3 − 12𝑡 2 )𝑑𝑡 = 2
0
0
1
1
1
⟨𝑞2 , 𝑞2 ⟩ = ∫ (2𝑡 − 1)2 𝑑𝑡 = (2𝑡 − 1)3 | =
6
3
0
0
1
Entonces
proy𝑊2 𝑝3 =
⟨𝑝3 , 𝑞1 ⟩
⟨𝑞 1 , 𝑞 1 ⟩
𝑞1 +
⟨𝑝3 , 𝑞2 ⟩
𝑞 = 4𝑞1 + 6𝑞2
⟨𝑞 2 , 𝑞 2 ⟩ 2
Y
2
𝑞3 = 𝑝3 − proy𝑊2 𝑝3 = 𝑝3 − 4𝑞1 − 6𝑞2
Como función, 𝑞3 (𝑡) = 12𝑡 − 4 − 6(2𝑡 − 1) = 12𝑡2 − 12𝑡 + 2. La base ortogonal para el subespacio 𝑊 es
{𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 }.
Ejercicio 163.
𝑏
Sea 𝐶[0, 2𝜋] con el producto interior ⟨𝑓, 𝑔⟩ = ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑔(𝑡)𝑑𝑡, y sean 𝑚 y 𝑛 enteros positivos diferentes.
Muestre que cos 𝑚𝑡 y cos 𝑛𝑡 son ortogonales
Resolución:
Se utiliza una identidad trigonométrica. Cuando 𝑚 ≠ 𝑛,
2𝜋
⟨cos 𝑚𝑡 , cos 𝑛𝑡⟩ = ∫ cos 𝑚𝑡 cos 𝑛𝑡 𝑑𝑡
0
236
2𝜋
= ∫ [cos(𝑚𝑡 + 𝑛𝑡) + cos(𝑚𝑡 − 𝑛𝑡)]𝑑𝑡
0
2𝜋
1 sen(𝑚𝑡 + 𝑛𝑡) sen(𝑚𝑡 − 𝑛𝑡)
= [
+
]| = 0
2
𝑚+𝑛
𝑚−𝑛
0
Matrices simétricas
Ejercicio 164. Describa a una matriz simétrica.
Resolución:
Una matriz simétrica es una matriz 𝐴 tal que 𝐴𝑇 = 𝐴. Una matriz de este tipo es necesariamente cuadrada. Sus entradas
en la diagonal principal son arbitrarias, pero sus otras entradas ocurren en pares — en lados opuestos de la diagonal
principal. Por ejemplo, para una matriz 𝐴 de 3 × 3, se tiene
𝑎 𝑏 𝑐
𝐴 = [𝑏 𝑑 𝑒 ]
𝑐 𝑒 𝑓
Ejercicio 165. Identifique cuales de las siguientes matrices son simétricas.
1 0
𝑎 𝑏 𝑐
a. [
]
0 −3
e. [𝑏 𝑑 𝑒 ]
1 −3
𝑐 𝑒 𝑓
b. [
]
3 0
5 4 3 2
1 −4 0
f. [4 3 2 1]
c. [−6 1 −4]
3 2 1 0
0 −6 1
0 −1 0
d. [−1 5
8]
0
8 −7
Resolución:
Identificando las matrices por definición:
𝑎 𝑏 𝑐
0 −1 0
1 0
Son simétricas: [
], [−1 5
8 ], [𝑏 𝑑 𝑒 ]
0 −3
𝑐 𝑒 𝑓
0
8 −7
1 −4 0
5 4 3 2
1 −3
Son no simétricas: [
], [−6 1 −4], [4 3 2 1]
3 0
0 −6 1
3 2 1 0
6 −2 −1
Ejercicio 166. De ser posible, diagonalice la matriz 𝐴 = [−2 6 −1]
−1 −1 5
Resolución:
La ecuación característica de 𝐴 es
0 = −𝜆3 + 17𝜆 2 − 90𝜆 + 144 = −(𝜆 − 8)(𝜆 − 6)(𝜆 − 3)
Los cálculos estándar producen una base para cada espacio propio;
−1
−1
1
𝜆 = 8: 𝐯𝟏 = [ 1 ] ; 𝜆 = 6: 𝐯𝟐 = [−1] ; 𝜆 = 3: 𝐯𝟑 = [1]
0
2
1
Estos tres vectores conforman una base para ℝ3 , y pueden usarse como columnas para una matriz 𝑃 que diagonalice 𝐴.
Sin embargo, puede advertirse fácilmente que {𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 , 𝐯𝟑 } es un conjunto ortogonal, y 𝑃 resultará más útil si sus columnas
son ortonormales. Dado que un múltiplo diferente de cero de un vector propio sigue siendo un vector propio, es posible
normalizar a 𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 y 𝐯𝟑 para producir los vectores propios unitarios.
−1/√6
−1/√2
1/√3
𝐮𝟏 = [ 1/√2 ] ; 𝐮𝟐 = [−1/√6] ; 𝐮𝟑 = [1/√3]
0
2/√6
1/√3
Sean
−1/√2
−1/√6
1/√3
𝑃 = [ 1/√2
−1/√6
1/√3] ,
2/√6
1/√3
0
8
𝐷 = [0
0
0
6
0
0
0]
3
237
Entonces 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 −1 , como de costumbre. Pero esta vez, dado que 𝑃 es cuadrada y tiene columnas ortonormales, 𝑃 es
una matriz ortogonal, y 𝑃−1 es simplemente 𝑃𝑇 .
3 −2 4
Ejercicio 167. Diagonalice ortogonalmente la matriz 𝐴 = [−2 6 2], cuya ecuación característica es
4
2 3
0 = −𝜆3 + 12𝜆2 − 21𝜆 − 98 = −(𝜆 − 7)2 (𝜆 + 2)
Resolución:
El teorema de matriz simétrica establece:
- Si 𝐴 es simétrica, entonces cualesquiera dos vectores propios de espacios propios diferentes son ortogonales.
- Una matriz 𝐴 de 𝑛 × 𝑛 es diagonalizable ortogonalmente si, y sólo si, 𝐴 es una matriz simétrica.
Entonces, Los cálculos usuales producen bases para los espacios propios:
−1
1
−1
𝜆 = 7: 𝐯𝟏 = [0] ; 𝐯𝟐 = [−1] ; 𝜆 = −2: 𝐯𝟑 = [−1/2]
1
2
1
𝐯 ·𝐯
Aunque 𝐯𝟏 y 𝐯𝟐 son linealmente independientes, no son ortogonales. Recuerde que la proyección de 𝐯𝟐 sobre 𝐯𝟏 es 𝟐 𝟏 𝐯𝟏 ,
𝐯𝟏 ·𝐯𝟏
y la componente de 𝐯𝟐 ortogonal a 𝐯𝟏 es
−1/4
−1/2
𝐯𝟐 · 𝐯𝟏
−1/2 1
𝐯𝟏 = [ 1 ] −
[0] = [ 1 ]
𝐯𝟏 · 𝐯𝟏
2
1/4
1
0
Entonces {𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 } es un conjunto ortogonal en el espacio propio para 𝜆 = 7. (Observe que 𝐳𝟐 es una combinación lineal
de los vectores propios 𝐯𝟏 y 𝐯𝟐 , así que 𝐳𝟐 está en el espacio propio. Esta estructuración de 𝐳𝟐 es precisamente el proceso
Gram-Schmidt.) Puesto que el espacio propio es bidimensional (con bases 𝐯𝟏 y 𝐯𝟐 ), El conjunto ortogonal {𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 } es una
base ortogonal para el espacio propio, de acuerdo con el teorema de la base. Al normalizar 𝐯𝟏 y 𝐳𝟐 se obtiene la siguiente
base ortonormal para el espacio propio con 𝜆 = 7:
𝐳𝟐 = 𝐯𝟐 −
−1/√18
1/√2
𝐮𝟏 = [ 0 ] ; 𝐮𝟐 = [ 4/√18 ]
1/√2
1/√18
Una base ortonormal para el espacio propio con 𝜆 = −2 es
−2/3
1
1 −2
2𝐯𝟑 = [−1] = [−1/3]
‖2𝐯𝟑 ‖
3
2/3
2
De acuerdo con el teorema 1, 𝐮𝟑 es ortogonal a los otros vectores propios 𝐮𝟏 y 𝐮𝟐 . Por lo tanto {𝐮𝟏 , 𝐮𝟐 , 𝐮𝟑 } es un conjunto
ortonormal. Sean
𝐮𝟑 =
𝑃 = [𝐮𝟏
𝐮𝟐
1/√2
𝐮𝟑 ] = [ 0
−1/√18
−2/3
4/√18
−1/3]
1/√2 1/√18
2/3
Entonces 𝑃 diagonaliza ortogonalmente a 𝐴, y 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 .
Ejercicio 168. Describa las propiedades de matrices simétricas según el teorema espectral
Resolución:
Una matriz simétrica 𝐴 de 𝑛 × 𝑛 tiene las siguientes propiedades:
a. 𝐴 tiene 𝑛 valores propios reales, contando multiplicidades.
b. La dimensión del espacio propio para cada valor propio 𝜆 es igual a la multiplicidad de 𝜆 como raíz de la ecuación
característica.
c. Los espacios propios son mutuamente ortogonales, en el sentido de que los vectores propios correspondientes a valores
propios diferentes son ortogonales.
d. 𝐴 es diagonalizable ortogonalmente.
Ejercicio 169. Describa el teorema de descomposición espectral para matrices simétricas.
Resolución:
Suponga que 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1 , donde las columnas de 𝑃 son vectores propios ortonormales 𝐮𝟏 , . . . , 𝐮𝑛 de 𝐴 y los valores
propios correspondientes 𝜆1 , . . . , 𝜆𝑛 están en la matriz diagonal 𝐷. Entonces, como 𝑃 −1 = 𝑃𝑇 ,
𝜆1
0 𝐮1𝑇
𝑇
𝐮
…
𝐮
⋱
𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 = [ 𝟏
][ ⋮ ]
𝑛] [
0
𝜆𝑛 𝐮𝑇𝑛
−1
238
𝐮1𝑇
= [𝜆1 𝐮𝟏 … 𝜆𝑛 𝐮𝑛 ] [ ⋮ ]
𝐮𝑇𝑛
A partir del desarrollo de columna-fila de un producto, puede escribirse
𝐴 = 𝜆1 𝐮𝟏 𝐮𝑻𝟏 + 𝜆1 𝐮𝟐 𝐮𝑻𝟐 + ⋯ + 𝜆𝑛 𝐮𝑛 𝐮𝑻𝑛
Esta representación de 𝐴 se llama descomposición espectral de 𝐴 porque divide a 𝐴 en fragmentos determinados por el
espectro (valores propios) de 𝐴. Cada término de esta ecuación es una matriz de 𝑛 × 𝑛 de rango 1. Por ejemplo, cada
columna de 𝜆1 𝐮1 𝐮1𝑻 es un múltiplo de 𝐮1 . Más aún, cada matriz 𝜆1 𝐮𝟏 𝐮𝑻𝟏 es una matriz de proyección en el sentido de
que para cada 𝐱 en ℝ𝑛 , el vector (𝐮𝐣 𝐮𝑻𝒋 )𝐱 es la proyección ortogonal de 𝐱 sobre el subespacio generado por 𝐮𝑗 .
Ejercicio 170.
Estructure una descomposición espectral de la matriz A que tiene la diagonalización ortogonal
7
𝐴=[
2
2/√5
2
]=[
4
1/√5
−1/√5 8
][
2/√5 0
0 2/√5
][
3 −1/√5
1/√5
2/√5
]
Resolución:
En este ejercicio, denote las columnas de P mediante 𝐮𝟏 y 𝐮𝟐 . Entonces
𝐴 = 8𝐮𝟏 𝐮𝑻𝟏 + 3𝐮𝟏 𝐮𝑻𝟏
Para verificar esta descomposición de 𝐴, calcule
𝐮𝟏 𝐮𝑻𝟏 = [
𝐮𝟐 𝐮𝑻𝟐 = [
2/√5
] [2/√5
4/5
1/√5] = [2/5
] [−1/√5
1/5
2/√5] = [−2/5
1/√5
−1/√5
2/√5
2/5
]
1/5
−2/5
]
4/5
y
32/5 16/5
3/5 −6/5
7 2
8𝐮𝟏 𝐮𝑻𝟏 + 3𝐮𝟏 𝐮𝑻𝟏 = [
]+[
]=[
]=𝐴
16/5 8/5
−6/5 12/5
2 4
Ejercicio 171. Diagonalice ortogonalmente las matrices de los siguientes puntos, proporcione una matriz ortogonal 𝑃
y una matriz diagonal 𝐷.
3 1
1 1 3
a. [
]
d. [1 3 1] con 𝜆 = 5, 2 𝑦 − 2
1 3
1 5
3 1 1
b. [
]
4 1 3 1
5 1
16 −4
c. [
]
e. [1 4 1 3] con 𝜆 = 9, 5 𝑦 1
3 1 4 1
−4 1
1 3 1 4
Resolución:
3 1
a. Sea 𝐴 = [
]. Entonces el polinomio característico de 𝐴 es (3 − 𝜆)2 − 1 = 𝜆2 − 6𝜆 + 8 = (𝜆 − 4)(𝜆 − 2),
1 3
1
entonces los valores propios de 𝐴 son 4 y 2. Para 𝜆 = 4, se calcula que una base para el espacio propio es [ ], el cual
1
1/√2
−1
puede ser normalizado para obtener 𝐮𝟏 = [
]. Para 𝜆 = 2, uno calcula que una base para el espacio propio es [ ],
1
1/√2
−1/√2
]. Sea
1/√2
1/√2 −1/√2
4 0
𝑃 = [𝐮𝟏 𝐮𝟐 ] = [
]y𝐷=[
]
0 2
1/√2 1/√2
Entonces 𝑃 diagonaliza ortogonalmente a 𝐴, y 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 −1 .
1 5
b. Sea 𝐴 = [
]. Entonces el polinomio característico de 𝐴 es (1 − 𝜆)2 − 25 = 𝜆2 − 2𝜆 − 24 = (𝜆 − 6)(𝜆 + 4),
5 1
1
entonces los valores propios de 𝐴 son 6 y -4. Para 𝜆 = 6, se calcula que una base para el espacio propio es [ ], el cual
1
1/√2
−1
puede ser normalizado para obtener 𝐮𝟏 = [
]. Para 𝜆 = −4, uno calcula que una base para el espacio propio es [ ],
1
1/√2
−1/√2
que se puede normalizar para obtener 𝐮𝟐 = [
]. Sea
1/√2
1/√2 −1/√2
6 0
𝑃 = [𝐮𝟏 𝐮𝟐 ] = [
]y𝐷=[
]
0 −4
1/√2 1/√2
que se puede normalizar para obtener 𝐮𝟐 = [
239
Entonces 𝑃 diagonaliza ortogonalmente a 𝐴, y 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 −1 .
16 −4
c. Sea 𝐴 = [
]. Entonces el polinomio característico de 𝐴 es (16 − 𝜆)(1 − 𝜆) − 16 = 𝜆2 − 17𝜆 = (𝜆 − 17)𝜆,
−4 1
−4
entonces los valores propios de 𝐴 son 17 y 0. Para 𝜆 = 17, se calcula que una base para el espacio propio es [ ], el cual
1
−4/√17
1
puede ser normalizado para obtener 𝐮𝟏 = [
]. Para 𝜆 = 0, uno calcula que una base para el espacio propio es [ ],
4
1/√17
1/√17
]. Sea
4/√17
−4/√17 1/√17
17 0
𝑃 = [𝐮𝟏 𝐮𝟐 ] = [
]y𝐷=[
]
0 −4
1/√17 4/√17
Entonces 𝑃 diagonaliza ortogonalmente a 𝐴, y 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 −1 .
1 1 3
d. Sea 𝐴 = [1 3 1]. Entonces los valores propios de 𝐴 son 5, 2 y -2. Para 𝜆 = 5, se calcula que una base para el
3 1 1
1/√3
1
espacio propio es [1], el cual puede ser normalizado para obtener 𝐮𝟏 = [1/√3]. Para 𝜆 = 2, uno calcula que una base
1
1/√3
que se puede normalizar para obtener 𝐮𝟐 = [
1/√6
1
para el espacio propio es [−2], que se puede normalizar para obtener 𝐮𝟐 = [−2/√6]. Para 𝜆 = −2, uno calcula que una
1
1/√6
−1/√2
−1
base para el espacio propio es [ 0 ], que se puede normalizar para obtener 𝐮𝟑 = [ 0 ] . Sea
1
1/√2
1/√6 −1/√2
5 0 0
−2/√6
0 ] y 𝐷 = [0 2 0 ]
0 0 −2
1/√3 1/√6
1/√2
Entonces 𝑃 diagonaliza ortogonalmente a 𝐴, y 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 −1 .
4 1 3 1
e. Sea 𝐴 = [1 4 1 3]. Entonces los valores propios de 𝐴 son 9, 5 y 1. Para 𝜆 = 9, se calcula que una base para el
3 1 4 1
1 3 1 4
1/2
1
1/2
1
espacio propio es [ ], el cual puede ser normalizado para obtener 𝐮𝟏 = [
]. Para 𝜆 = 5, uno calcula que una base para
1/2
1
1
1/2
−1/2
−1
1/2
1
el espacio propio es [ ], que se puede normalizar para obtener 𝐮𝟐 = [
]. Para 𝜆 = 1, uno calcula que una base
−1/2
−1
1
1/2
−1
0
para el espacio propio es {[ 0 ] , [−1]}. Esta base es ortogonal a la base del espacio propio, y estos vectores pueden
1
0
0
1
0
−1/√2
−1/√2
normalizarse para obtener 𝐮𝟑 = [ 0 ] y 𝐮𝟒 = [
]. Sea
0
1/√2
1/√2
0
0
1/2 −1/2 −1/√2
9 0 0 0
1/2 1/2
−1/√2
0
𝑃 = [𝐮𝟏 𝐮𝟐 𝐮𝟑 𝐮𝟒 ] = [
] y 𝐷 = [ 0 5 0 0]
0
1/2 −1/2 1/√2
0 0 1 0
0 0 0 1
1/2 1/2
1/√2
0
−1
Entonces 𝑃 diagonaliza ortogonalmente a 𝐴, y 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 .
1
−2
5 −4 −2
Ejercicio 172. Sean 𝐴 = [−4 5
2 ], 𝐯𝟏 = [ 2 ], y 𝐯𝟐 = [1]. Compruebe que 𝐯𝟏 y 𝐯𝟐 son vectores propios de
1
0
−2 2
2
𝐴. Después, diagonalice ortogonalmente a 𝐴.
𝑃 = [𝐮𝟏
240
𝐮𝟐
1/√3
𝐮𝟑 ] = [1/√3
Resolución:
5
Sea 𝐴 = [−4
−2
−4
5
2
−2
2 ]. Se puede calcular
2
5
𝐴𝐯𝟏 = [−4
−2
−4
5
2
−20
−2
−2 −2
2 ] [ 2 ] = [ 20 ] = 10 [ 2 ]
1
10
1
2
−2
Entonces [ 2 ] es un autovector de 𝐴 con el autovalor asociado 𝜆1 = 10. Igualmente se puede calcular
1
1
1
5 −4 −2 1
𝐴𝐯𝟐 = [−4 5
2 ] [1] = [1] = 1 [1]
0
0
−2 2
2 0
1
Entonces [1] es un autovector de 𝐴 con el autovalor asociado 𝜆2 = 1. Para 𝜆2 = 1, se puede calcular que la base para el
0
1 1
espacio propio es {[1] , [0]} . Esta base se puede convertir mediante proyección ortogonal a una base ortogonal para el
0 2
1
1
espacio propio: {𝐯𝟐 , 𝐯𝟑 } = {[1] , [−1]}. Los autovectores 𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 , y 𝐯𝟑 pueden normalizarse para obtener los vectores 𝐮𝟏 =
0
4
1/√18
−2/3
1/√2
[ 2/3 ], 𝐮𝟐 = [1/√2] y 𝐮𝟑 = [1/√18]. Sea
1/3
0
4/√18
1/√2 1/√18
10 0 0
]
y
𝐷
=
[
0 1 0]
1/√2 −1/√18
0 0 1
1/3
0
4/√18
Entonces 𝑃 diagonaliza ortogonalmente a 𝐴, y 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 −1 .
Ejercicio 173. En los siguientes puntos, señale cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas.
a. Una matriz de 𝑛 × 𝑛 que es diagonalizable ortogonalmente debe ser simétrica.
b. Si 𝐴𝑇 = 𝐴, y si los vectores 𝐮 y 𝐯 satisfacen 𝐴𝐮 = 3𝐮 y 𝐴𝐯 = 4𝐯, entonces 𝐮 ∙ 𝐯 = 𝟎.
c. Una matriz simétrica de 𝑛 × 𝑛 tiene 𝑛 valores propios reales distintos.
d. Para un 𝐯 diferente de cero en ℝ𝑛 , la matriz 𝐯𝐯 𝑇 se denomina matriz de proyección.
e. Toda matriz simétrica es diagonalizable ortogonalmente.
f. Si 𝐵 = 𝑃𝐷𝑃𝑇 , donde 𝑃𝑇 = 𝑃 −1 y D es una matriz diagonal, entonces 𝐵 es una matriz simétrica.
g. Una matriz ortogonal es diagonalizable ortogonalmente.
h. La dimensión de un espacio propio de una matriz simétrica equivale a la multiplicidad del valor propio
correspondiente.
Resolución:
a. Verdadero. Toda matriz diagonalizable ortogonalmente es simétrica.
b. Verdadero. Este es un caso particular de la declaración en el teorema de la matriz simétrica, donde 𝐮 y 𝐯 no son cero.
c. Falso. Hay 𝑛 valores propios reales (Teorema espectral), pero no necesitan ser distintos.
d. Falso. Debe darse que 𝐯 sea un vector unitario.
e. Verdadero. Por el teorema de la matriz simétrica diagonalizable.
f. Verdadero. Dado que si 𝑃𝑇 = 𝑃 −1 y D es una matriz diagonal, entonces 𝐵 = 𝑃𝐷𝑃𝑇 y consecuentemente 𝐵 es una
matriz simétrica.
g. Falso. Una matriz ortogonal puede ser simétrica (y, por lo tanto, diagonalizable ortogonalmente), pero no toda matriz
ortogonal es simétrica.
h. Verdadero. Es lo que enuncia el teorema espectral en el punto (b).
6 −2 −1
Ejercicio 174. Construya una descomposición espectral de la 𝐴 = [−2 6 −1].
−1 −1 5
Resolución:
En ejercicios anteriores se halló que 𝐴 esta diagonalizada ortogonalmente por 𝑃, donde
𝑃 = [𝐮𝟏
𝐮𝟐
−2/3
𝐮𝟑 ] = [ 2/3
241
𝑃 = [ 𝐮𝟏
𝐮𝟐
−1/√2
𝐮𝟑 ] = [ 1/√2
0
−1/√6
1/√3
−1/√6
1/√3] y
2/√6
1/√3
8
𝐷 = [0
0
0
6
0
0
0]
3
Entonces la descomposición espectral de 𝐴 es
𝐴 = 𝜆1 𝐮𝟏 𝐮𝑻𝟏 + 𝜆1 𝐮𝟐 𝐮𝑻𝟐 + 𝜆3 𝐮𝟑 𝐮𝑻3 = 8𝐮𝟏 𝐮𝑻𝟏 + 6𝐮𝟐 𝐮𝑻𝟐 + 3𝐮𝟑 𝐮𝑻3
1/6
1/6 −2/6
1/3 1/3 1/3
1/2 −1/2 0
1/6 −2/6] + 3 [1/3 1/3 1/3]
= 8 [−1/2 1/2 0] + 6 [ 1/6
−2/6 −2/6 4/6
1/3 1/3 1/3
0
0
0
3 −2 4
Ejercicio 175. Construya una descomposición espectral de la 𝐴 = [−2 6 2].
4
2 3
Resolución:
En ejercicios anteriores se halló que 𝐴 es diagonalizable ortogonalmente por 𝑃, donde
𝑃 = [𝐮𝟏
𝐮𝟐
1/√2
𝐮𝟑 ] = [ 0
1/√2
−1/√18
4/√18
−2/3
−1/3] y
2/3
7
𝐷 = [0
0
0
7
0
0
0]
−2
1/√18
Entonces la descomposición espectral de 𝐴 es
𝐴 = 𝜆1 𝐮𝟏 𝐮𝑻𝟏 + 𝜆1 𝐮𝟐 𝐮𝑻𝟐 + 𝜆3 𝐮𝟑 𝐮𝑻3 = 7𝐮𝟏 𝐮𝑻𝟏 + 𝟕𝐮𝟐 𝐮𝑻𝟐 − 2𝐮𝟑 𝐮𝑻3
1/18 −4/18 −1/18
4/9
2/9 −4/9
1/2 0 1/2
1/9 −2/9]
0 ] + 7 [−4/18 16/18 4/18 ] − 2 [ 2/9
= 7[ 0
0
1/2 0 1/2
−1/18 4/18
1/18
−4/9 −2/9 4/9
Ejercicio 176. Sea 𝐮 un vector unitario en ℝ𝑛 , y sea 𝐵 = 𝐮𝐮𝑇 .
a. Dado cualquier 𝐱 en ℝ𝑛 , calcule 𝐵𝐱 y muestre que 𝐵𝐱 es la proyección ortogonal de 𝐱 sobre 𝐮.
b. Muestre que 𝐵 es una matriz simétrica y que 𝐵2 = 𝐵.
c. Muestre que 𝐮 es un vector propio de 𝐵. ¿Cuál es el valor propio correspondiente?
Resolución:
a. Dado 𝐱 en ℝ𝑛 , 𝑏𝐱 = (𝐮𝐮𝑇 )𝐱 = 𝐮(𝐮𝑇 𝐱) = (𝐮𝑇 𝐱)𝐮, porque 𝐮𝑇 𝐱 es un escalar. Entonces 𝐵𝐱 = (𝐱 ⋅ 𝐮)𝐮. Ya que 𝐮 es un
vector unitario, 𝐵𝐱 es la proyección ortogonal de 𝐱 sobre 𝐮.
b. Como 𝐵𝑇 = (𝐮𝐮𝑇 )𝑇 = 𝐮𝑇𝑇 𝐮𝑇 = 𝐮𝐮𝑇 = 𝐵, 𝐵 es una matriz simétrica. También,
𝐵2 = (𝐮𝐮𝑇 )(𝐮𝐮𝑇 ) = 𝐮(𝐮𝑇 𝐮)𝐮𝑇 = 𝐮𝐮𝑇 = 𝐵 porque 𝐮𝑇 𝐮 = 1.
c. Como 𝐮𝑇 𝐮 = 1, 𝐵𝒖 = (𝐮𝐮𝑇 )𝐮 = 𝐮(𝐮𝑇 𝐮) = 𝐮(1) = 𝐮, entonces 𝐮 es un vector propio de 𝐵 con el correspondiente
valor propio 1.
9 −6
2
5
5
−6
9 ]. Para practicar los métodos
2
Ejercicio 177. [Octave] Diagonalice ortogonalmente la matriz [
9 −6 5
2
5
−6 9
2
correspondientes a este tema, no use una rutina de vectores propios del programa de matrices. En vez de eso, utilice
Octave para encontrar los valores propios, y, para cada valor propio 𝜆, encuentre una base ortonormal para Nul (𝐴 − 𝜆𝐼).
Resolución:
9 −6
2
5
5
−6
9 ]. Los autovalores de 𝐴 son 18, 10, 4 y -12. Para 𝜆 = 18, una base para el espacio propio
2
Sea 𝐴 = [
9 −6 5
2
5
−6 9
2
−1/2
−1
1
1/2
1
es [ ], que puede ser normalizado para obtener 𝐮1 = [
]. Para 𝜆 = 10, una base para el espacio propio es [1], que
−1
1
−1/2
1
1
1/2
1/2
1
1/2
puede ser normalizado para obtener 𝐮2 = [
]. Para 𝜆 = 4, una base para el espacio propio es [ 1 ], que puede ser
−1
1/2
−1
1/2
1/2
1
1/2
−1
normalizado para obtener 𝐮3 = [
]. Para 𝜆 = −12, una base para el espacio propio es [ ], que puede ser
−1
−1/2
1
−1/2
242
1/2
−1/2
normalizado para obtener 𝐮4 = [
]. Sea 𝑃 = [𝐮𝟏
−1/2
1/2
18 0 0
0
0 ]
[ 0 10 0
0
0 4
0
0
0 0 −12
Entonces 𝑃 diagonaliza ortogonalmente a 𝐴, y 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 −1 .
𝐮𝟐
𝐮𝟑
−1/2
1/2
𝐮𝟒 ] = [
−1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
−1/2
−1/2
1/2
−1/2
] y 𝐷=
−1/2
1/2
Código en Octave
>> [v, d]=eig(A)
v =
-0.50000 -0.50000
0.50000 -0.50000
0.50000
0.50000
-0.50000
0.50000
d =
Diagonal Matrix
-12.0000
0
0
4.0000
0
0
0
0
0.50000
0.50000
0.50000
0.50000
-0.50000
0.50000
-0.50000
0.50000
0
0
10.0000
0
0
0
0
18.0000
243
244
UNIDAD 6 – FORMAS CUADRATICAS
Introducción a las formas cuadráticas
Ejercicio 1.
Describa a una forma cuadrática
Resolución:
Una forma cuadrática en ℝ𝑛 es una función 𝑄 definida en ℝ𝑛 cuyo valor en un vector 𝐱 en ℝ𝑛 puede calcularse mediante
una expresión de la forma
𝑄(𝐱) = 𝐱 𝑇 𝐴𝐱
donde 𝐴 es una matriz simétrica de 𝑛 × 𝑛. La matriz 𝐴 se denomina matriz de la forma cuadrática.
𝑥1
Ejercicio 2.
Sea 𝐱 = [𝑥 ]. Calcule la forma cuadrática mediante 𝐱 𝑇 𝐴𝐱 para las siguientes matrices:
2
4 0
a. 𝐴 = [
]
0 3
3 −2
b. 𝐴 = [
]
−2 7
Resolución:
4𝑥
4 0 𝑥1
a. 𝐱 𝑇 𝐴𝐱 = [𝑥1 𝑥2 ] [
] [𝑥 ] = [𝑥1 𝑥2 ] [ 1 ] = 4𝑥12 + 3𝑥22 .
3𝑥
0 3 2
2
b. Existen dos entradas -2 en 𝐴. Observe cómo aparecen en los cálculos. La entrada (1, 2) de 𝐴 está en negritas.
3𝑥 − 𝟐𝑥2
3 −𝟐 𝑥1
𝐱 𝑇 𝐴𝐱 = [𝑥1 𝑥2 ] [
] [ ] = [𝑥1 𝑥2 ] [ 1
]
−2𝑥1 + 7𝑥2
−2 7 𝑥2
= 𝑥1 (3𝑥1 − 𝟐𝑥2 ) + 𝑥2 (−2𝑥1 + 7𝑥2 )
= 3𝑥12 − 𝟐𝑥1 𝑥2 − 2𝑥2 𝑥1 + 7𝑥22
= 4𝑥12 − 4𝑥1 𝑥2 + 7𝑥22
3
Ejercicio 3.
Para 𝐱 en ℝ , sea 𝑄(𝑥) = 5𝑥12 + 3𝑥22 + 2𝑥32 − 𝑥1 𝑥2 + 8𝑥2 𝑥3 . Escriba esta forma cuadrática como
𝐱 𝑇 𝐴𝐱.
Resolución:
Los coeficientes de 𝑥12 , 𝑥22 , 𝑥32 van en la diagonal de 𝐴. Para hacer simétrica a 𝐴, el coeficiente de 𝑥𝑖 𝑥𝑗 para 𝑖 ≠ 𝑗 debe
dividirse uniformemente entre las (𝑖, 𝑗)-ésimas y (𝑗, 𝑖)-ésimas entradas de 𝐴. El coeficiente de 𝑥1 𝑥3 es cero. Se comprueba
fácilmente que
5
−1/2 0 𝑥1
𝑄(𝐱) = 𝐱 𝑇 𝐴𝐱 = [𝑥1 𝑥2 𝑥3 ] [−1/2
3
4] [𝑥2 ]
0
4
2 𝑥3
−3
2
1
2
2
Ejercicio 4.
Sea 𝑄(𝑥) = 𝑥1 − 8𝑥1 𝑥2 − 5𝑥2 . Calcule el valor de 𝑄(𝑥) para 𝐱 = [ ], [ ], y [ ].
1
−2
−3
Resolución:
𝑄(−3, 1) = (−3)2 − 8(−3)(1) − 5(1)2 = 28
𝑄(2, −2) = (2)2 − 8(2)(−2) − 5(−2)2 = 16
𝑄(1, −3) = (1)2 − 8(1)(−3) − 5(−3)2 = −20
Ejercicio 5.
Efectúe un cambio de variable que transforme la forma cuadrática del ejercicio anterior en una forma
cuadrática sin términos de producto cruzado.
Resolución:
La matriz de la forma cuadrática del ejercicio anterior es
1 −4
𝐴=[
]
−4 −5
El primer paso consiste en diagonalizar ortogonalmente a 𝐴. Sus valores propios resultan ser 𝜆 = 3 y 𝜆 = −7. Los
vectores propios unitarios asociados son
𝜆 = 3: [
2/√5
2/5
−1/√5
1/√5
𝜆 = −7: [
1/√5
]
−1/√5
2/√5
Estos vectores son automáticamente ortogonales (porque corresponden a valores propios distintos) y, por lo tanto,
proporcionan una base ortonormal para ℝ2 . Sean
𝑃=[
];
3
], 𝐷 = [
0
2/√5
0
]
−7
245
Entonces 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 −1 y 𝐷 = 𝑃−1 𝐴𝑃 = 𝑃𝑇 𝐴𝑃, como fue señalado antes. Un cambio de variable apropiado es
𝑦1
𝑥1
𝐱 = 𝑃𝐲,
donde 𝐱 = [𝑥 ] y 𝐲 = [𝑦 ]
2
2
Entonces
𝑥12 − 8𝑥1 𝑥2 − 5𝑥22 = 𝐱 𝑇 𝐴𝐱 = (𝑃𝐲)𝑇 𝐴(𝑃𝐲)
= 𝐲 𝑇 𝑃𝑇 𝐴𝑃𝐲 = 𝐲 𝑇 𝐷𝐲
= 3𝑦12 − 7𝑦22
Para ilustrar el significado de la igualdad de formas cuadráticas dado en este ejercicio, se puede calcular 𝑄(𝐱) para 𝐱 =
(2 , −2) usando la nueva forma cuadrática. Primero, como 𝐱 = 𝑃𝐲, se tiene que
𝐲 = 𝑃 −1 𝐱 = 𝑃𝑇 𝐱
así que
𝐲=[
2/5
−1/√5
1/√5
2/√5
][
6/√5
2
]=[
]
−2
−2/√5
Por lo tanto,
6 2
2 2
36
4
80
3𝑦12 − 7𝑦22 = 3 ( ) − 7 (− ) = 3 ( ) − 7 ( ) =
= 16
5
5
5
√5
√5
Éste es el valor de 𝑄(𝐱) cuando 𝐱 = (2 , −2). Vea la figura.
Ejercicio 6.
Determine la forma cuadrática 𝐱 𝑇 𝐴𝐱, cuando 𝐴 = [
𝑥1
a. 𝐱 = [𝑥 ]
2
6
b. 𝐱 = [ ]
1
5
1/3
1/3
]y
1
1
c. 𝐱 = [ ]
3
Resolución:
1/3 𝑥1
] [ ] = 5𝑥12 + (2/3)𝑥1 𝑥2 + 𝑥22
1 𝑥2
5
1/3 6
6
b. Cuando 𝐱 = [ ], 𝐱 𝑇 𝐴𝐱 = [6 1] [
] [ ] = 5(6)2 + (2/3)(6)(1) + (1)2 = 185
1/3
1 1
1
5
1/3 1
1
c. Cuando 𝐱 = [ ], 𝐱 𝑇 𝐴𝐱 = [1 3] [
] [ ] = 5(1)2 + (2/3)(1)(3) + (3)2 = 16
1/3
1 3
3
4 3 0
Ejercicio 7.
Determine la forma cuadrática 𝐱 𝑇 𝐴𝐱, cuando 𝐴 = [3 2 1] y
0 1 1
1/√3
𝑥1
2
𝑥
a. 𝐱 = [ 2 ]
b. 𝐱 = [−1]
c. 𝐱 = [1/√3]
𝑥3
5
1/√3
a. 𝐱 𝑇 𝐴𝐱 = [𝑥1
𝑥2 ] [
5
1/3
Resolución:
0 𝑥1
1] [𝑥2 ] = 4𝑥12 + 2𝑥22 + 𝑥32 + 6𝑥1 𝑥2 + 2𝑥2 𝑥3
1 𝑥3
2
4 3 0 2
b. Cuando 𝐱 = [−1], 𝐱 𝑇 𝐴𝐱 = [2 −1 5] [3 2 1] [−1] = 4(2)2 + 2(−1)2 + (5)2 + 6(2)(−1) + 2(−1)(5) = 21
5
0 1 1 5
a. 𝐱 𝑇 𝐴𝐱 = [𝑥1
246
𝑥2
4
𝑥3 ] [3
0
3
2
1
1/√3
c. Cuando 𝐱 = [1/√3], 𝐱 𝑇 𝐴𝐱 = [1/√3
1/√3
2
1/√3
2
4
1/√3] [3
0
3
2
1
0 1/√3
1] [1/√3]
1 1/√3
2
= 4(1/√3) + 2(1/√3) + (1/√3) + 6(1/√3)(1/√3) + 2(1/√3)(1/√3) = 5
Ejercicio 8.
Encuentre la matriz de la forma cuadrática. Suponga que 𝐱 está en ℝ2 .
2
a. 10𝑥1 − 6𝑥1 𝑥2 − 3𝑥22
b. 5𝑥12 + 3𝑥1 𝑥2
c. 20𝑥12 + 15𝑥1 𝑥2 − 10𝑥22
d. 𝑥1 𝑥2
Resolución:
10 −3
a. La matriz de la forma cuadrática es [
]
−3 −3
5
3/2
b. La matriz de la forma cuadrática es [
]
3/2
0
20
15/2
c. La matriz de la forma cuadrática es [
]
15/2 −10
0
1/2
d. La matriz de la forma cuadrática es [
]
1/2
0
Ejercicio 9.
Encuentre la matriz de la forma cuadrática. Suponga que 𝐱 está en ℝ3 .
2
2
a. 8𝑥1 + 7𝑥2 − 3𝑥32 − 6𝑥1 𝑥2 + 4𝑥1 𝑥3 − 2𝑥2 𝑥3
b. 4𝑥1 𝑥2 + 6𝑥1 𝑥3 − 8𝑥2 𝑥3
c. 5𝑥12 − 𝑥22 + 7𝑥32 + 5𝑥1 𝑥2 − 3𝑥1 𝑥3
d. 𝑥32 − 4𝑥1 𝑥2 + 4𝑥2 𝑥3
Resolución:
8 −3 2
a. La matriz de la forma cuadrática es [−3 7 −1]
2 −1 −3
0 2
3
b. La matriz de la forma cuadrática es [2 0 −4]
3 −4 0
5
5/2 −3/2
−1
0 ]
c. La matriz de la forma cuadrática es [ 5/2
−3/2
0
7
0 −2 0
d. La matriz de la forma cuadrática es [−2 0 2]
0
2 1
247
248
ANEXO – COMANDOS Y FUNCIONES DE GNU OCTAVE
Construcción de matrices
Para definir una matriz en GNU Octave se determina el número de filas y de columnas en función del número de
elementos que se proporcionan (o se utilizan). En el programa las matrices se definen por filas; todos los elementos se
colocan dentro de corchetes cerrados; los elementos de una misma fila están separados por espacios (con la barra
espaciadora) o por caracteres coma (,) mientras que las filas están separadas por caracteres punto y coma (;) o por
3 0
pulsaciones enter o. Tomando como ejemplo la matriz de 2×2 definida como 𝐴 = [
]:
5 2
En la ventana de comandos se introduce:
>> A=[3 0; 5 2]
Cuya salida es
A =
3
5
0
2
A partir de este momento la matriz A está disponible para hacer cualquier tipo de operación con ella (además de valores
numéricos, en la definición de una matriz o vector se pueden utilizar expresiones y funciones matemáticas). Por ejemplo,
una sencilla operación con A es hallar su matriz traspuesta. En GNU Octave, el apóstrofo (') es el símbolo de trasposición
matricial. Para calcular A’ (traspuesta de A) basta teclear lo siguiente (se añade a continuación la respuesta del programa):
>> A'
ans =
3
0
5
2
Otra alternativa es usar el comando transpose(A), como se observa
>> transpose(A)
ans =
3
5
0
2
Como el resultado de la operación no ha sido asignado a ninguna otra matriz, GNU Octave utiliza un nombre de variable
por defecto (ans, de answer), que contiene el resultado de la última operación. La variable ans puede ser utilizada como
operando en la siguiente expresión que se introduzca. También podría haberse asignado el resultado a otra matriz llamada
B.
GNU Octave puede operar con matrices por medio de operadores y por medio de funciones. Los operadores matriciales
de GNU OCTAVE son los siguientes:
+
adición o suma
\
división-izquierda
–
sustracción o resta
/
división-derecha
*
multiplicación
.*
producto elemento a elemento
'
traspuesta
/ y .\ división elemento a elemento
^
potenciación
.^
elevar a una potencia elemento a elemento
Estos operadores se aplican también a las variables o valores escalares, aunque con algunas diferencias. Todos estos
operadores son coherentes con las correspondientes operaciones matriciales: no se puede por ejemplo sumar matrices que
no sean del mismo tamaño. Si los operadores no se usan de modo correcto se obtiene un mensaje de error.
249
𝑥+𝑦 =1
Veamos un ejemplo del uso del divisor, vamos a resolver un sistema de ecuaciones: {
, para resolverlos
2𝑥 + 5𝑦 = 0
construimos una matriz de coeficientes y una de constantes, la primera corresponde a las variables ordenadas, la otra a
los elementos constantes de la igualdad.
>> A=[1 1;2 5];
>> b=[1;0];
>> x=A\b
x =
1.66667
-0.66667
Ahora vamos a definir una matriz B diferente para hacer operaciones básicas junto con la matriz A definida previamente:
>> B=[-2 4;6 9]
B =
-2
4
6
9
Con una segunda operación definida podemos realizar operaciones, las más básicas que podemos encontrar, la suma y la
resta de matrices:
>> A + B
ans =
1
4
11
11
>> B - A
ans =
-5
4
1
7
Para la multiplicación de matrices con el operando *, se debe tener cuidado con que el número de columnas de la primera
matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda:
>> A * B
ans =
-6
12
2
38
También podemos utilizar una multiplicación elemento a elemento, que, aunque no tiene demasiado sentido como
multiplicación de matrices, sí que es muy utilizable en el caso de que la matriz no sea más que un conjunto ordenado de
valores.
>> A .* B
ans =
-6
0
30
18
A continuación, vamos a definir una nueva matriz C a partir de una función que genera valores aleatorios entre 0 y 1.
>> C = rand (3)
C =
0.47669784
0.00033436
0.34558528
0.94413614
0.10523246
0.00063687
0.28797951
0.00838063
0.07579729
Vamos ahora a crear una matriz 3×3 para realizar nuevos cálculos a partir de una matriz más manejable si queremos
comprobar a mano los datos que creamos.
>> A = [-1 4 2; 0 8 0; -2 -1 5]
A =
-1
4
2
0
8
0
-2 -1
5
A partir de esta matriz A calculamos su inversa con el comando inv(A):
>> B = inv(A)
B =
250
-5.00000
0.00000
-2.00000
2.75000
0.12500
1.12500
2.00000
0.00000
1.00000
Podemos comprobar multiplicando una por la otra que el cálculo es correcto corroborando 𝑨. 𝑩 = 𝑰:
>> A * B
ans =
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Del mismo modo en que definimos una matriz definimos un vector, considerando al mismo como una matriz de una
columna y las filas que sean definidas de acuerdo a la dimensión del vector. Por ejemplo, el vector 𝐮 = (6, 4, 0, 5)
>> u = [6; 4; 0; 5]
̀
u =
6
4
0
5
O en forma de fila o como
>> u'
ans =
6
4
0
5
Como podemos observar, podemos definir vectores fila y vectores columna, con sólo hacer la traspuesta del vector en la
definición.
En GNU Octave se accede a los elementos de un vector poniendo el índice entre paréntesis (por ejemplo A(3) ó A(i)).
Como ejemplo, para el vector 𝐮 = (5, 6, 7, −3) sus segundo y cuarto elementos son:
>> u = [5; 6; 7 ; -3]
u =
5
6
7
-3
>> u(2)
ans = 6
>> u(4)
ans = -3
Los elementos de las matrices se acceden poniendo los dos índices entre paréntesis, separados por una coma (por ejemplo
A(1,2) ó A(i,j)).
Las matrices se almacenan por columnas (aunque se introduzcan por filas, como se ha dicho antes), y teniendo en cuenta
esto puede accederse a cualquier elemento de una matriz con un sólo subíndice. Por ejemplo, si A es una matriz (3×3)
3 4 2
definida como 𝐴 = [5 3 7], los elementos A(2, 2), A(3, 3) y A(2, 3) son:
8 9 0
>> A=[3 4 2; 5 3 7; 8 9 0]
A =
3
4
2
5
3
7
8
9
0
>> A(2, 2)
ans = 3
>> A(3, 3)
ans = 0
>> A(2, 3)
ans = 7
251
Funciones matemáticas elementales
Estas funciones elementales actúan sobre cada elemento de la matriz como si se tratase de un escalar. Se aplican de la
misma forma a escalares, vectores y matrices. Algunas de las funciones de este grupo son las siguientes:
• exp(x) : función exponencial. Por ejemplo: 5e-6
>> 5*exp(-6)
ans = 0.012394
• sqrt(x) : raíz cuadrada. Por ejemplo: √16
>> sqrt(16)
ans = 4
• log(x) : logaritmo natural. Por ejemplo: ln 5
>> log(5)
ans = 1.6094
• log10(x) : logaritmo decimal. Por ejemplo: log10 8 = log 8
>> log10(8)
ans = 0.90309
Para logaritmos con base distinta de 10 se debe recurrir a la propiedad de logaritmo: log 𝑎 𝑏 =
log 𝑏
log 𝑎
. Por ejemplo: log 5 25
>> log10(25)/log10(5)
ans = 2
Al igual que las funciones elementales, las funciones trigonométricas se aplican de la misma forma a escalares, vectores
y matrices. Se debe tener en cuenta que el GNU Octave tiene definido por omisión el sistema radián, con lo cual los
valores resultados deben esperarse en este sistema.
También, al tratarse de radianes se debe definir el numero 𝜋, como: pi, esto es:
>> pi
ans = 3.1416
Las funciones trigonométricas se citan como:
• sin(x) : seno
• cos(x) : coseno
• tan(x) : tangente
• asin(x) : arco seno
• acos(x) : arco coseno
• atan(x) : arco tangente (devuelve un ángulo entre -90º y 90º)
• sinh(x) : seno hiperbólico
• cosh(x) : coseno hiperbólico
• tanh(x) : tangente hiperbólica
• asinh(x) : arco seno hiperbólico
• acosh(x) : arco coseno hiperbólico
• atanh(x) : arco tangente hiperbólica
3
Como ejemplo se tiene: sen ( 𝜋)
2
>> sin(3/2*pi)
ans = -1
Matrices predefinidas
Existen en GNU OCTAVE varias funciones orientadas a definir con gran facilidad matrices de tipos particulares. Algunas
de estas funciones son las siguientes:
Matriz identidad: la matriz identidad se define mediante el comando eye(n), donde n corresponde a la dimensión de la
matriz cuadrada, en este caso de n×n. Por ejemplo, una matriz identidad de 3×3 se define como
>> eye(3)
ans =
Diagonal Matrix
1
0
0
0
1
0
0
0
1
>> A = eye (3)
A =
252
Diagonal Matrix
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Matriz nula: la matriz nula tiene todos sus elementos cero, con lo cual, dependiendo de su dimensión se define como
zeros(m, n), donde m y n corresponden a la dimensión de la matriz de m×n, es decir, de m filas por n columnas. Por
ejemplo, la matriz nula de 4×3 se define como
>> zeros(4,3)
ans =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
En caso de que la matriz sea cuadrada, de dimensión n, se define como zeros(n), en este caso, una matriz cuadrada de
4×4 se define como
>> zeros(4)
ans =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Matriz de unos: una matriz en la cual todos sus elementos sean unos se puede expresar mediante el comando ones(m,n)
o bien ones(n) en caso de ser cuadrada. Por ejemplo, una matriz de unos de 4×2 se define como:
>> ones(4, 2)
ans =
1
1
1
1
1
1
1
1
Para una matriz cuadrada de orden 2 se tiene:
>> ones(2)
ans =
1
1
1
1
Vector con elementos equidistantes: se puede generar un vector con sus elementos igualmente espaciados mediante el
comando linspace(a,b,n) genera un vector con n valores igualmente espaciados entre a y b.
>> linspace(2, 18, 6)
ans =
2.0000
5.2000
8.4000
11.6000
14.8000
18.0000
El comando logspace(a,b,n) genera un vector con n valores espaciados logarítmicamente entre 10^a y 10^b
>> logspace(2, 18, 6)
ans =
1.0000e+02
1.5849e+05
2.5119e+08
3.9811e+11
6.3096e+14
1.0000e+18
Matrices aleatorias: existen diversos comandos para generar matrices aleatorias, entre estos se tienen los comandos
rand(n), que forma una matriz cuadrada de n×n de números aleatorios entre 0 y 1, con distribución uniforme.
>> rand(3)
ans =
0.6055126
0.3442414
0.5253614
0.7074247
0.0041206
0.8157823
0.7957667
0.6914648
0.4444357
De igual forma, rand(m,n) genera una matriz aleatoria de tamaño m×n
>> rand(5,4)
253
ans =
0.80999
0.78987
0.44624
0.16325
0.48231
0.30956
0.83998
0.20767
0.87376
0.76859
0.87546
0.38144
0.24881
0.65391
0.37994
0.88440
0.10842
0.49724
0.65060
0.74296
randn(n) forma una matriz de números aleatorios de tamaño (n×n), con distribución normal, de valor medio 0 y varianza
1.
>> randn(4)
ans =
0.718791
0.825347
1.304405
0.055792
0.206575
1.196208
-0.470138
-0.055997
-0.139939
0.657629
-1.822464
0.620270
-0.251602
0.682980
-0.821341
-1.010230
magic(n) crea una matriz (n×n) con los números 1, 2, ... 3*3, con la propiedad de que todas las filas y columnas suman
lo mismo.
>> magic(3)
ans =
8
3
4
1
5
9
6
7
2
compan(pol) construye una matriz cuyo polinomio característico tiene como coeficientes los elementos del vector pol
(ordenados de mayor grado a menor).
>> compan([1 2 1])
ans =
-2 -1
1
0
Funciones aplicadas al Álgebra
GNU Octave ofrece también la posibilidad de crear una matriz a partir de matrices previas ya definidas, por varios posibles
caminos:
– recibiendo alguna de sus propiedades (como por ejemplo el tamaño),
– por composición de varias submatrices más pequeñas,
– modificándola de alguna forma.
A continuación, se describen algunas de las funciones que crean una nueva matriz a partir de otra o de otras, comenzando
por dos funciones auxiliares:
• [m,n]=size(A) devuelve el número de filas y de columnas de la matriz A. Por ejemplo, para una matriz de 4×3, se
tiene:
>> A=[1 4 -5; 3 0 5; 4 0 -2; -1 9 -2];
>> [m, n]=size(A)
m = 4
n = 3
• d = det(A) devuelve el determinante d de la matriz cuadrada A.
>> A=[1 1 1 1; 1 1 2 4; 1 2 1 2; 1 2 2 3];
>> d=det(A)
d = 2
•
E = rref(A) reducción a forma de escalón (mediante la eliminación de Gauss con pivotamiento por columnas) de
una matriz rectangular A. Sólo se utiliza la diagonal y la parte triangular superior de A. El resultado es una matriz
triangular superior tal que A = U'*U.
>> A=[1 1 1 1 5; 1 1 2 4 8 ; 1 2 1 2 0; 1 2 2 3 -3];
>> E=rref(A)
E =
1
0
0
0
16
254
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
-8
-6
3
Funciones de Factorización y/o Descomposición Matricial
A su vez este grupo de funciones se puede subdividir en 4 subgrupos:
– Funciones basadas en la factorización triangular (eliminación de Gauss):
• [L,U] = lu(A) descomposición de Crout (A = LU) de una matriz. La matriz L es una permutación de una matriz
triangular inferior (dicha permutación es consecuencia del pivotamiento por columnas utilizado en la factorización)
y la matriz U una triangular .
>> A=[3 0 5; 4 0 -2; -1 9 -2];
A =
3
0
5
4
0 -2
-1
9 -2
>> [L, U]=lu(A)
L =
0.75000
0.00000
1.00000
1.00000
0.00000
0.00000
-0.25000
1.00000
0.00000
U =
4.00000
0.00000 -2.00000
0.00000
9.00000 -2.50000
0.00000
0.00000
6.50000
•
A=diag(x) forma una matriz diagonal A cuyos elementos diagonales son los elementos de un vector ya existente
x. Por ejemplo:
>> x=[4; 5; -7; 0; 5];
>> A=diag(x)
A =
Diagonal Matrix
4
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0 -7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
•
x=diag(A) forma un vector x a partir de los elementos de la diagonal de una matriz ya existente A. Por ejemplo:
>> A= [3 0 0; 0 9 0; 0 0 3];
>> x=diag(A)
x =
3
9
3
[Q,R] = qr() descomposición QR de una matriz rectangular. Se utiliza para sistemas con más ecuaciones que
incógnitas.
>> A=[1 1 1 1; 1 1 2 4; 1 2 1 2; 1 2 2 3];
>> [Q,R]=qr(A)
Q =
-0.50000 -0.50000
0.50000
0.50000
-0.50000 -0.50000 -0.50000 -0.50000
-0.50000
0.50000
0.50000 -0.50000
-0.50000
0.50000 -0.50000
0.50000
R =
-2.00000 -3.00000 -3.00000 -5.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000 -1.00000 -2.00000
255
0.00000
0.00000
0.00000
-1.00000
B = null(A) devuelve una base ortonormal del subespacio nulo (kernel, o conjunto de vectores x tales que Ax = 0) de la
matriz rectangular A.
>> A=[1 1; 2 1];
>> B=null(A)
B = [](2x0)
Q = orth(A) las columnas de Q son una base ortonormal del espacio vectorial de las columnas de A, y el número de
columnas de Q es el rango de A .
>> A=[1 1; 2 1];
>> Q=orth(A)
Q =
0.52573
0.85065
0.85065
-0.52573
Funciones basadas en el cálculo de valores y vectores propios:
•
[V,D] = eig(A) valores propios (diagonal de D) y vectores propios (columnas de X) de una matriz cuadrada A.
Con frecuencia el resultado es complejo (si A no es simétrica).
>> A=[3 0 2 0;1 3 1 0; 0 1 1 0; 0 0 0 4];
>> [V,D]=eig(A)
V =
-0.53452
0.81650 -0.70711
0.00000
-0.80178 -0.40825 -0.00000
0.00000
-0.26726 -0.40825
0.70711
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
D =
Diagonal Matrix
4.0000
0
0
0
0
2.0000
0
0
0
0
1.0000
0
0
0
0
4.0000
•
[V,D] = eig(A,B) valores propios (diagonal de D) y vectores propios (columnas de X) de dos matrices cuadradas
A y B (Ax = λBx).
>> A=[3 0 2 0; 1 3 1 0; 0 1 1 0; 0 0 0 4];
>> B=[-3 0 2 1; 8 4 -6 0; 0 2 2 1; 8 0 0 3];
>> [V,D]=eig(A,B)
V =
0.608942 -0.144468 -0.437180
0.069774
-0.266539
1.000000 -1.000000
1.000000
0.671744 -0.030057
0.940651 -0.244832
-1.000000 -0.901587 -0.193706
0.100862
D =
Diagonal Matrix
-2.13728
0
0
0
0
0.93417
0
0
0
0
0.18998
0
0
0
0
0.46870
256
Fuentes consultadas
Alberts, Cristopher; Dorofee, Audrey; Stevens, James; Woody, Carol. OCTAVE®-S Implementation
Guide, Version 1.0. Handbook CMU/SEI-2003-HB-003. Carnegie Mello Software Engineering
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GNU Octave (version 8.3.0). Copyright © 1996-2023 The Octave Project Developers. URL:
https://docs.octave.org/latest/.
Grossman, Stanley I. Álgebra Lineal. 7ma edición. Editorial McGraw Hill. México, 2012. ISBN:
978-607-15-0760-0.
Lay, David C. Álgebra lineal y sus aplicaciones. 3era edición. Editorial Pearson Educación.
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Matiauda, Mario E. Elementos de Álgebra Lineal. Argentina, 2020. PDF. Creative Commons 4.0.
Molina, Manuel Calixto. Modelización Matemática de Sistemas Dinámicos. Cartagena, 2006.
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257
Universidad Nacional
de Misiones
258