Subido por leoncortezfelix1998

2024 I PAO CUV Clase 15 1 Preliminares sobre antiderivadas

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CÁLCULO DE UNA VARIABLE (MATG1045)
LA ANTIDERIVADA
Reglas
Función constante
! 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ
𝑥 !"#
! 𝑥 ! 𝑑𝑥 = , 𝑛 + 1 + 𝐶 , 𝑛 ≠ −1
𝑙𝑛(|𝑥|) + 𝐶 , 𝑛 = −1
Función potencia
Función exponencial
natural
! 𝑒 $ 𝑑𝑥 = 𝑒 $ + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ
Función exponencial
𝑎$
! 𝑎 𝑑𝑥 =
+𝐶 ; 𝐶 ∈ℝ
𝑙𝑛(𝑎)
; 𝐶∈ℝ
$
! 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ
! 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ
! 𝑠𝑒𝑐 % (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥) + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ
Funciones
trigonométricas
! 𝑐𝑠𝑐 % (𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑡(𝑥) + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ
! 𝑠𝑒𝑐(𝑥)𝑡𝑎𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ
! 𝑐𝑠𝑐(𝑥)𝑐𝑜𝑡 (𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑐𝑠𝑐(𝑥) + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ
1
!
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ
√1 − 𝑥 %
1
𝑥
!
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 > ? + 𝐶 (𝑎 ≠ 0) ; 𝐶 ∈ ℝ
𝑎
√𝑎% − 𝑥 %
Funciones
trigonométricas
inversas y
logarítmicas
!
!
!
!
Elaborado por gbaqueri@espol.edu.ec
1
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥) + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ
1 + 𝑥%
1
1
𝑥
𝑑𝑥
=
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
>
? + 𝐶 (𝑎 ≠ 0) ; 𝐶 ∈ ℝ
𝑎% + 𝑥 %
𝑎
𝑎
1
𝑎% − 𝑥 %
1
E𝑥 % ± 𝑎%
𝑑𝑥 =
1
𝑎+𝑥
𝑙𝑛 BC
CD + 𝐶 (𝑎 ≠ 0) ; 𝐶 ∈ ℝ
2𝑎
𝑎−𝑥
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛(𝑥 + E𝑥 % ± 𝑎% ) + 𝐶 (𝑎 ≠ 0) ; 𝐶 ∈ ℝ
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PROPIEDAD DE LINEALIDAD
Múltiplo constante
! 𝑘𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 ! 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
Suma (resta) de funciones
!H𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)J 𝑑𝑥 = ! 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± ! 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
Actividad en clase # 1
Obtenga la familia de antiderivadas correspondiente a:
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
!K
+ 2𝑒 $ M 𝑑𝑥
𝑥
REGLA GENERALIZADA DE LA POTENCIA
Siempre que 𝑛 ≠ −1 y 𝑓 sea una función derivable:
![𝑓(𝑥)
]!
𝑓
& (𝑥)
[𝑓(𝑥)]!"#
𝑑𝑥 =
+𝐶 ; 𝐶 ∈ℝ
𝑛+1
Actividad en clase # 2
Obtenga la familia de antiderivadas correspondiente a:
! 4 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)(𝑠𝑒𝑛% (𝑥) − 𝜋)' 𝑑𝑥
Ejemplo # 1
La eficiencia 𝑬 (en porcentaje) del operador de una máquina, se ha definido como una
función del tiempo 𝑡 (en 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 de trabajo); y, está dada para 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟖, por la
siguiente integral indefinida:
𝑬(𝒕) = ! B−𝟖𝒕 +
𝟖𝟗
D 𝒅𝒕
𝟑
(a) Obtenga la expresión para 𝑬(𝒕), si se conoce que la eficiencia del operador,
cuando ha trabajado 𝟐 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔, es de 𝟕𝟔%; es decir, 𝑬(𝟐) = 𝟕𝟔.
(b) Calcule la eficiencia del operador, cuando ha trabajado 𝟑 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔. Aproxime su
respuesta con dos decimales.
Elaborado por gbaqueri@espol.edu.ec
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Solución:
Se aplica la PROPIEDAD DE LINEALIDAD:
𝐸(𝑡) = −8 ! 𝑡 𝑑𝑡 +
𝐸(𝑡) = −4𝑡 % +
89
! 𝑑𝑡
3
89
𝑡+𝐶 ; 𝐶 ∈ℝ
3
Pero:
𝐸(2) = −4(2)% +
89
(2) + 𝐶 = 76
3
𝐶 = 76 + 16 −
178
178 98
= 92 −
=
3
3
3
∴ 𝐸(𝑡) = −4𝑡 % +
89
98
𝑡+
; 0≤𝑡≤8
3
3
Se evalúa la función 𝐸, cuando 𝑡 = 3:
𝐸(3) = −4(3)% +
89
98
98
98 257
(3) +
= −36 + 89 +
= 53 +
=
≈ 85.67
3
3
3
3
3
∴ 𝐿𝑎 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟, 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 ℎ𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑑𝑜 3 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 85.67%.
Elaborado por gbaqueri@espol.edu.ec
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