CÁLCULO DE PROBABILIDADES Estatı́stica (1o ADE) - Dep. de Estatı́stica e I.O. - 2024/2025 1. Sexan A, B, e C tres sucesos tales que P (A) = 0,4, P (B) = 0,2, P (C) = 0,3, P (A ∩ B) = 0,1 e (A ∪ B) ∩ C = ∅. Co apoio dun diagrama de Venn dos sucesos, calcula as probabilidades dos seguintes sucesos: a) só acontece A; b) os tres sucesos acontecen; c) acontecen A e B, pero non C; d) acontecen dous e non máis; e) como mı́nimo acontecen dous; f) non acontecen máis de dous; g) acontece polo menos un; h) acontece só un; i) non acontece ningún. 2. O 1,4 % das persoas traballadoras gaña máis de 30.000 euros ao ano, ten estudos superiores e posúe máis dunha vivenda. A probabilidade de que unha persoa traballadora con estudos superiores gañe máis de 30.000 euros é 0,7. Ademais, entre quen ten estudos superiores e gaña máis de 30.000 euros, a probabilidade de que posúa máis dunha vivenda é 0,1. Calcula a probabilidade de que unha persoa traballadora: a) Teña estudos superiores. b) Teña estudos superiores e gañe menos de 30.000 euros. 3. Nunha grande empresa, o 65 % das persoas traballadoras do turno de noite apoian un novo plan de primas, mentres que o 40 % das mulleres empregadas o apoian. Ademais, o 50 % das persoas empregadas pertencen ao turno de noite e o 30 % son mulleres. Por último, o 20 % das persoas traballadoras do turno de noite son mulleres. a) Cal é a probabilidade de que unha persoa empregada elixida ao azar sexa unha muller que apoia o plan? b) Cal é a probabilidade de que unha persoa empregada sexa muller ou traballe no turno de noite? c) É independente o sexo da persoa empregada de se traballa ou non no turno de noite? d) Cal é a probabilidade de que unha muller pertenza ao turno de noite? 4. Nun estudo realizado nunha universidade determı́nase que o 20 % do estudantado non utiliza o transporte público para ir ás clases, o 65 % de quen usa transporte público tamén emprega o comedor universitario e o 5 % do estudantado non usa transporte público pero si o comedor. Calcula: a) A porcentaxe de estudantes usuarias/os do comedor universitario. b) A probabilidade de que unha persoa estudante seleccionada ao azar non use transporte público nin comedor. c) A probabilidade de que unha persoa estudante sexa usuaria dalgún dos dous servizos. d) Se unha persoa estudante non usa o comedor, cal é a probabilidade de que use transporte público? 5. O exame dunha materia consta de dúas partes, unha teórica e outra práctica. Sábese que o 20 % do estudantado presentado supera ambas, mentres que o 50 % aproba o exame teórico e suspende o práctico. Por último, o 60 % do estudantado suspende o exame práctico. Calcula: a) A probabilidade de suspender o exame teórico. b) A probabilidade de aprobar o práctico sabendo que se aprobou o teórico. c) A probabilidade de aprobar algunha das dúas partes do exame. d) É independente aprobar a parte teórica de aprobar a práctica? E son incompatibles? 6. Nun estudo sobre os gustos cinematográficos dunha poboación, sábese que o 75 % das persoas ven pelı́culas comerciais, o 35 % son afeccionadas ao cine independente e o 20 % son seguidoras de ambos tipos de cine. a) Seleccionada unha persoa ao azar, calcula a probabilidade de que non sexa afeccionada a ningún tipo de cine. b) Calcula a probabilidade de que unha persoa afeccionada ao cine independente non vexa pelı́culas comerciais. c) Calcula a probabilidade de que unha persoa vexa pelı́culas comerciais pero non sexa afeccionada ao cine independente. d) Son independentes os sucesos ser afeccionada ao cine comercial e ao cine independente? E son incompatibles? 7. Para analizar a influencia que as/os proxenitoras/es fumadoras/es teñen sobre o hábito de fumar das súas fillas/os, realizouse un estudo sobre o estudantado dunha determinada universidade. A partir dos resultados obtidos, estı́mase que a probabilidade de que unha persoa estudante fume se algún dos seus proxenitores/as tamén fuma é dúas veces maior que se ningún/ha deles/as fuma. Ademais, atópase que o 25 % do estudantado fuma e que tres de cada catro teñen algún proxenitor/a fumador/a. Calcula a probabilidade de que un/ha estudante elixida ao azar: a) Fume se ningunha das súas persoas proxenitoras fuma. b) Teña algunha persoa proxenitora fumadora se a persoa estudante non fuma. 1 8. Recentemente informouse ao concello dun vertido no rı́o Lagares. Para analizar as mostras utilizouse un novo test que dá positivo cunha probabilidade de 0.92 se está presente dito contaminante. Se non está presente o contaminante, o test dá negativo cunha probabilidade de 0.86. Por outra banda, sábese que a probabilidade de que unha mostra conteña contaminante é de 0.15. a) Calcula a probabilidade de que realmente haxa presenza de contaminante se o test deu positivo. b) Se o test deu negativo, cal é a probabilidade de que non sexa necesario tratar o rı́o? c) Calcula a probabilidade de que non haxa contaminante e o test dea negativo. d) É independente o resultado do test da presenza do contaminante? Xustifica a túa resposta matematicamente. 9. Un banco dispón dun sistema con tres alarmas, a, b e c, e sábese que: 1) se a falla, entón falla b; 2) se b falla, nunca falla c; e 3) o sistema falla cando falla algún dos seus compoñentes. Se as probabilidades de fallo de a, b e c son do 2 %, 4 % e 3 %, respectivamente, determina: a) A probabilidade de que falle o sistema, representando graficamente os sucesos involucrados. b) A probabilidade de que o sistema funcione (fiabilidade). c) A probabilidade de que falle o sistema se se consegue que non falle a. 10. Na sala de embarque dun aeroporto, a persoa encargada de facturar as equipaxes equivócase cunha probabilidade do 4 %. Se non se equivoca, o 90 % das veces a equipaxe chega ao seu destino. A probabilidade de que se equivoca e a equipaxe chegue ao destino é do 1 %. a) Cal é a probabilidade de que unha maleta chegue ao seu destino? b) Cal é a probabilidade de que houbese un erro na facturación sabendo que a maleta non chegou ao seu destino? c) Os sucesos ”erro na facturación”e .a maleta chega ao seu destino”, son independentes? E son incompatibles? 11. Nun grupo de 80 persoas hai 37 mulleres, 43 homes e 16 persoas con ollos azuis, das cales 10 son mulleres. a) Se seleccionamos unha persoa ao azar, cal é a probabilidade de que non teña os ollos azuis? b) Cal é a probabilidade de que a persoa elixida sexa un home e non teña os ollos azuis? c) Cal é a probabilidade de que a persoa elixida teña os ollos azuis se sabemos que é muller? d) Son independentes os sucesos ”ser home”e ”ter os ollos azuis¿ E son incompatibles? Razoar matematicamente a túa resposta. 12. Observouse que a probabilidade de que unha persoa estudante realice correctamente un exercicio de estatı́stica descritiva se estudou e sabe manexar funcións avanzadas da calculadora é do 90 %. Esta probabilidade baixa ao 80 % cando a persoa estudou pero non sabe manexar as funcións avanzadas da calculadora. Por outra banda, a probabilidade de realizar correctamente o exercicio se non estudou é do 10 %. Sábese que o 20 % do estudantado estudou e manexa as funcións avanzadas da calculadora, un 50 % estudou pero non manexa ditas funcións e finalmente un 30 % non estudou a materia. a) Cal é a probabilidade de realizar correctamente o exercicio de descritiva? b) Se se selecciona unha persoa estudante ao azar, cal é a probabilidade de que estudase e realizase o exercicio correctamente? c) Se sabemos que a persoa estudante realizou correctamente o exercicio, cal é a probabilidade de que estudase? 13. Unha empresa do sector TIC realiza operacións en 3 paı́ses (A, B e C). O 31 % das operacións da empresa corresponden ao paı́s A, o 31 % ao paı́s B e o 38 % ao C. Ademais, dependendo do paı́s, a probabilidade de que se produzan atrasos nos pagos é de 0.49, 0.31 e 0.58 nos paı́ses A, B e C, respectivamente. a) Calcula a probabilidade de que non haxa atrasos no pago. b) Se se escolle unha operación ao azar, calcula a probabilidade de que non estea atrasada no pago e proveña dos paı́ses A ou C. c) Se se escolle unha operación ao azar, calcula a probabilidade de que se realice no paı́s C ou se atrase o seu pago. 14. A policı́a planea reforzar os controis de velocidade nas horas punta polas mañás. Para iso, os radares poñerán multas nas rutas A, B e C. Se se conduce pola ruta A, a probabilidade de multa é de 0,34, mentres que se se conduce polas rutas B ou C, as probabilidades correspóndense con 0,3 e 0,49, respectivamente. Xoán sempre vai ao traballo con exceso de velocidade. A probabilidade de que use as rutas A, B e C é de 0,32, 0,45 e 0,23, respectivamente. a) Cal é a probabilidade de que lle poñan unha multa? b) Se un dı́a recibe un aviso de multa, cal é a probabilidade de que escollese a ruta C? 2 c) Se un dı́a se libra da multa, cal é a probabilidade de que non escollese a ruta C? d) Calcula a probabilidade de que lle poñan a multa e escollese a ruta A. 15. O 60 % da clientela dunha entidade bancaria posúe unha conta corrente e o 30 % dispón á vez de conta corrente e dunha tarxeta de crédito. Ademais, sábese que unha de cada catro persoas con tarxeta de crédito non ten conta corrente. a) Calcula a porcentaxe de clientela con tarxeta de crédito. b) Obtén a probabilidade de que un/ha cliente/a teña unha conta corrente se non dispón de tarxeta. 16. Unha persoa desexa mercar un billete de avión para irse de vacacións a Sri Lanka. A probabilidade de que o compre por Internet é de 0,46, a probabilidade de que o compre a través dunha axencia de viaxes é de 0,44, e a probabilidade de que o compre no aeroporto é de 0,1. Se o compra por Internet, a probabilidade de que a persoa cancele a viaxe (por algún imprevisto) é de 0,31, mentres que se o compra por medio dunha axencia de viaxes ou no propio aeroporto, esta probabilidade correspóndese con 0,25 e 0,15, respectivamente. a) Cal é a probabilidade de que cancele a viaxe? b) Se a persoa finalmente vai de viaxe, cal é a probabilidade de que non mercase o billete no aeroporto? c) Calcula a probabilidade de que cancele a viaxe e o mercase por Internet. d) É independente o feito de cancelar a viaxe do medio de compra? Razoamento matemático. 3 Solucións: 1. (a) 0,3; (b) 0; (c) 0,1; (d) 0,1; (e) 0,1; (f) 1; (g) 0,8; (h) 0,7; (i) 0,2 9. (a) 0.07 (b) 0.93 (c) 0.051 2. (a) 0,2 (b) 0,06 10. (a) 0.874 (b) 0.2380 (c) No son independentes. No son incompatibles. 3. (a) 0,12 (b) 0,7 (c) Non é independente. (d) 0,3333 11. (a) 0.8 (b) 0.4625 (c) 0.2703 (d) No son independentes. No son incompatibles. 4. (a) 0,57 (b) 0,15 (c) 0,85 (d) 0,6512 12. (a) 0.61 (b) 0.58 (c) 0.9508 5. (a) 0,3 (b) 0,2857 (c) 0,9 (d) Non son independentes nin incompatibles. 13. (a) 0.5316 (b) 0.3177 (c) 0.6280 6. (a) 0,1 (b) 0,4286 (c) 0,55 (d) Non é independente. Non é incompatible. 14. (a) 0.3565 (b) 0.3161 (c) 0.8177 (d) 0.1088 7. (a) 0,1429 (b) 0,7142 15. (a) 0.4 (b) 0.5 8. (a) 0.5369 (b) 0.9838 (c) 0.731 (d) Non é independente porque P (T /C) = 0,92 ̸= 0,257 = P (T ). 16. (a) 0.2676 (b) 0.8839 (c) 0.1426 (d) Non é independente. 4