EL TEOREMA DE PITÁGORAS Y LA ELIPSE Por Rubén Darío Muñoz López 10-10-2020 RESUMEN En este artículo se presentan algunas relaciones entre el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos de lados enteros y la elipse. Y en especial la demostración de que, si los ejes de una elipse están conformados por triángulos rectángulos de lados enteros, la distancia focal no es un número natural; siendo la distancia focal 𝑑𝑓 en función del cateto menor x. Para toda terna pitagórica de la forma, x, y, z tal que z > y > x ≥ 3. Se cumple que la distancia 1 focal en función del cateto menor x y k = z – y está dada por: 𝑑𝑓 = 𝑘 √𝑥 4 − 6𝑥 2 𝑘 2 + 𝑘 4 ; tal que: 𝑑𝑓 ∉ 𝑍 + si y solo si 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑍 + . La magnitud de la suma de las distancias S de un punto cualquiera pi a los focos f1 y f2 es el doble de cateto mayor, es decir S = 2y. La demostración se basa en la aplicación de la formula general para la generación de ternas pitagóricas de números Z+, desarrollada por el autor de este artículo y presentada al XXXII coloquio de la asociación matemática del Perú en diciembre de 2014 llevada a cabo en la Pontificia Universidad católica del Perú, la cual puede revisarse en el libro Mas allá del Teorema de Pitágoras – Volumen I - 2° edición. Palabras claves: Elipse, Ternas pitagóricas y Triangulo rectángulo. Rubén Darío Muñoz López 1.1 INTRODUCCIÓN Una elipse es una curva plana cerrada. Se cumple que la suma de la distancia de cualquier punto pi de la elipse hacia dos puntos fijos f1 y f2 llamados focos es igual, que se hallan sobre el eje mayor es igual. Posee dos ejes de simetría ortogonales, denominados ejes de la elipse y cuyas magnitudes corresponden a la máxima y mínima distancia respectivamente entre dos puntos simétricos. La distancia entre los puntos focales es una distancia constante. Los elementos de una elipse pitagórica se pueden definir en función del cateto menor de un triangúlalo rectángulo de lados enteros tal que sus catetos sean semi ejes de la elipse. ÁREA DE UNA ELIPSE PITAGÓRICA El área de una elipse es: 𝐴 = 𝜋𝑥𝑦. Así, por ejemplo, si el semi eje menor de una elipse es 3, hallar el área de la elipse, si se puede inscribir perfectamente un triángulo rectángulo de lados enteros en uno de sus cuadrantes. 𝑥 = 3 ⟹ 𝑦 = 4 por tanto, el área es: 𝐴 = 12𝜋 PERÍMETRO DE UNA ELIPSE PITAGÓRICA El perímetro de una elipse que es determinada por un triángulo rectángulo de lados enteros es simplemente igual al producto de la hipotenusa por 𝜋 y la raíz de 2. 𝑥2 + 𝑦2 𝑃 ≈ 2𝜋√ = 𝑧𝜋√2 2 25 Ejemplo, cuando la hipotenusa de un T.R. es 5 el área es simplemente: 𝐴 = 2𝜋√ 2 Rubén Darío Muñoz López 1.2 ANÁLISIS Y DEMOSTRACIONES. 1.2.1 Antes de proceder con la demostración de que la distancia focal de una elipse cuyos ejes están compuestos por el duplo de los catetos de un triángulo rectángulo de lados enteros no pertenece al conjunto de números naturales, pasearemos a definir algunos conceptos previos. Sabemos que el teorema de Pitágoras relaciona los lados de un triángulo rectángulo, siendo de especial atención aquellos triángulos cuyos lados son enteros, generalmente designados por las letras x, y, z denominadas ternas pitagóricas. Por tanto, hay que considerar que en todo triangulo rectángulo de catetos x, y e hipotenusa z se cumple que: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 tal que x > 2. Por otro lado, dada la elipse E, tal que el eje mayor es 2y y el eje menos es 2x se cumple que la distancia de cualquier punto de la elipse E es igual a df y está determinada por la siguiente expresión: 𝑑𝑓 = 2√𝑦 2 − 𝑥 2 Veamos un ejemplo: Dada la elipse cuyo eje mayor y menor respectivamente es 8 y 6, determine la distancia focal. La solución es bastante elemental y se determina simplemente observando que los semi ejes corresponden a los catetos 4 y 3 de un triángulo rectángulo de lados enteros cuya hipotenusa es por supuesto 5. Aplicando la formula anterior se tiene que: 𝑑𝑓 = 2√42 − 32 = 2√7 El valor es un numero irracional, ahora quepa la pregunta: ¿existirá una distancia focal cuya magnitud es un numero entero para elipses cuyos semi ejes pertenecen a un triángulo rectángulo de lados enteros? Nota: En este articulo no se estudian las fórmulas de área y perímetro de la elipse, considerando que existen suficiente material bibliográfico al respecto. Por lo tanto, no centraremos nuestro estudio en ello. Rubén Darío Muñoz López A continuación, se presenta dos tablas que muestran la distancia focal para algunas elipses, cuyos ejes están determinados por los catetos de triángulos rectángulos. x 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 y 4 12 24 40 60 84 112 144 180 220 264 312 z 2√(𝑦^2− 𝑥^2 ) 5 5.291502622 13 21.81742423 25 45.91296113 41 77.94870108 61 117.966097 85 165.975902 113 221.981981 145 285.986014 181 357.988827 221 437.990867 265 525.992395 313 621.993569 x 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 y 8 15 24 35 48 63 80 99 120 143 168 195 z 2√(𝑦^2− 𝑥^2 ) 10 10.58300524 17 25.37715508 26 43.63484846 37 65.75712889 50 91.82592227 65 121.8687819 82 155.897402 101 193.9175082 122 235.9321936 145 281.9432567 170 331.951804 197 385.958547 Ejercicio para el lector: Utilizando software de programación se sugiere determinar al menos una terna pitagórica cuyos duplos de sus catetos corresponden a los ejes de una elipse. Se presenta un código en VB, aunque el lector es libre de desarrollar su propio código. Sub elipse_pitagoras() Dim x As Integer Dim k As Integer For x = 3 To 750 For k = 1 To 1000 y = (x ^ 2 - k ^ 2) / (2 * k) If y > x And y = Int(y) Then Df = 2*(y ^ 2 - x ^ 2) ^ (0.5) If Df = Int(Df) Then z=y+k Debug.Print x, y, z, Df Else End If End If Next k Next x End Sub Rubén Darío Muñoz López 1.2.1 DISTANCIA FOCAL Ahora se procederá a la demostración de que (𝑥 2 − 𝑘 2 )2 − 4𝑘 2 𝑥 2 la distancia focal de una elipse cuyos ejes 𝑑𝑓 = 2√ 4𝑘 2 están compuesto por el duplo de los catetos de un triángulo rectángulo no es entero. 𝑥 4 − 2𝑥 2 𝑘 2 + 𝑘 4 − 4𝑘 2 𝑥 2 𝑑𝑓 = 2√ Para todo: 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑍 + tal que: 2 2 𝑥 +𝑦 =𝑧 2 La distancia focal de una elipse está dada por la expresión: 𝑑𝑓 = 2√𝑦 2 − 𝑥 2 … (1) 𝑑𝑓 = 4𝑘 2 1 √𝑥 4 − 6𝑥 2 𝑘 2 + 𝑘 4 … (2) 𝑘 Por otro lado, se tiene que: (𝑥 2 − 𝑘 2 + 2𝑘𝑥)(𝑥 2 − 𝑘 2 − 2𝑘𝑥) 𝑑𝑓 = 2√ 4𝑘 2 1 𝑑𝑓 = √(𝑥 2 + 2𝑘𝑥 − 𝑘 2 )(𝑥 2 − 2𝑘𝑥 − 𝑘 2 ) 𝑘 Dada que los factores dentro del radical no son cantidades enteras, esto determina que no existe solución entera. Quedando demostrado en todos sus términos lo afirmado y como consecuencia de lo Aplicando las fórmulas de generación de estudiado, se desprende el siguiente ternas pitagóricas se tiene que el cateto corolario. mayor de una triangulo rectángulo de lados enteros en función del cateto menor esta COROLARIO dado por la expresión: 2 2 Si la distancia focal de una elipse es una 𝑥 −𝑘 𝑦= magnitud entera, entonces el rombo que 2𝑘 Reemplazando en (1): puede construirse con sus ejes conforma 2 cuatro triángulos rectángulos no pitagóricos, 𝑥2 − 𝑘2 𝑑𝑓 = 2√( ) − 𝑥2 es decir no son triángulos rectángulos de 2𝑘 lados enteros. (𝑥 2 − 𝑘 2 )2 𝑑𝑓 = 2√ − 𝑥2 4𝑘 2 Rubén Darío Muñoz López Lima, 10 -10 - 2020 Rubén Darío Muñoz López 1.2.2 SUMA DE DISTANCIAS DE UN PUNTO A LOS FOCOS La suma de las distancias de cualquier punto pi de la elipse hacia los focos es una magnitud constante S y está dada por la suma de las distancias de dicho punto pi hacia los focos f1 y f2 que están sobre el eje mayor. Por lo tanto, como la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse hacia los focos es constante, es suficiente con calcular dicho valor para cualquiera de los puntos p0 ó p3. Siendo entonces S igual a: 𝑆 = 2𝑦 S = 2b + df. Donde b es la diferencia del semi eje mayor y menos la mitad de la longitud de la distancia focal df, es decir: b = y – df/2. 𝑥2 − 𝑘2 ) 2𝑘 𝑥2 − 𝑘2 𝑆= 𝑘 𝑆 = 2( También se llega al mismo resultado cuando la magnitud de s está en función de la distancia focal df: 𝑆 = 2𝑏 + 𝑑𝑓 ∧ 𝑏 = 𝑦 − 𝑆 = 2 (𝑦 − 𝑑𝑓 2 𝑑𝑓 ) + 𝑑𝑓 2 𝑆 = (2𝑦 − 𝑑𝑓 ) + 𝑑𝑓 𝑆 = 2𝑦 𝑥2 − 𝑘2 𝑆 = 2( ) 2𝑘 𝑥2 − 𝑘2 𝑆= 𝑘 Para el caso de ternas primas de cateto menor impar tal que k = 1 se tiene entonces que la magnitud de s esta dado por: 𝑆 = 𝑥 2 − 1 Por lo tanto, la magnitud de s en función de y determina que: 𝑆 = 2𝑦 Reemplazando valores por la formula general de generación de ternas pitagóricas se tiene que: CONCLUSIÓN La magnitud constante s determinada por la suma de las distancias de cualquier punto pi hacia los focos f1 y f2 es simplemente el doble del cateto mayor y; por lo tanto, siempre es una cantidad entera. Rubén Darío Muñoz López 1.2.3 EJES DE ELIPSE POR CATETOS CONSECUTIVOS Uno de los procedimientos para construir gráficamente una elipse consiste en graficar dos circunferencias concéntricas de radios diferentes. Se trazan radios que corten a ambas circunferencias desde el centro. De los puntos de intersección de los radios con las circunferencias se trazan líneas horizontales de la circunferencia más pequeña y líneas verticales, de la mayor. La intersección de los segmentos horizontales y verticales se generan triángulos rectángulos, que es lo que interesa en este artículo. Cuando los semiejes de una elipse corresponden a los catetos consecutivos de un triángulo rectángulo a, b, c; el triángulo rectángulo que se construye sobre la elipse son triángulos rectángulos unitarios, por lo tanto, las dimensiones tanto verticales como horizontales de dichos triángulos corresponden a la función seno y coseno del ángulo entre el radio trazado y el eje horizontal. Esto significa que las hipotenusas de dichos triángulos sobre la elipse es 1. Rubén Darío Muñoz López Por lo tanto, el área de los triángulos rectángulos sobre la elipse es el semiproducto del seno y coseno del radio central sobre el eje mayor. La demostración es bastante simple: si los catetos a y b son consecutivos, la diferencia entre los radios de las circunferencias concéntricas es, evidentemente, 1 ya que la elipse está construida sobre la base de dichos radios. Todo triangulo rectángulo construido la elipse utilizando el método descrito líneas arriba tiene por tanto una hipotenusa igual a la unidad; lo cual significa que los catetos correspondientes son funciones trigonométricas de un círculo trigonométrico unitario. En consecuencia, el área de dichos triángulos es el producto de su base por su altura entre 2. Quedando demostrado de esta manera lo afirmado previamente. Rubén Darío Muñoz López 1.3 ANÁLISIS FINAL Y CONCLUSIONES Como se desprende de la demostración para toda terna pitagórica cuyo cateto menor x > 2 se cumple que no existe una elipse que tenga por semi ejes a un triángulo rectángulo de lados enteros, debido a que la diferencia de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo de lados enteros es irracional. Para el caso en que k=1, es decir cuando la terna pitagórica es irreductible de cateto menor impar se tiene que: 𝑑𝑓 = √𝑥 4 − 6𝑥 2 + 1 Para el caso en que k=2, es decir cuando la terna pitagórica es de cateto menor par se tiene que: 1 𝑑𝑓 = √𝑥 4 − 24𝑥 2 + 16. Evidentemente dependiendo de k, se podrá calcular para cualquier 𝑘 1 caso, utilizándose la fórmula general: 𝑑𝑓 = 𝑘 √𝑥 4 − 6𝑥 2 𝑘 2 + 𝑘 4 Así mismo, la sumatoria de las distancias de cualquier punto de la elipse hacia los focos es: s = 2y, y para el caso de ternas co-primas irreductibles de cateto menor impar se da que k = 1 por tanto, la magnitud de la distancia de cualquier punto de la elipse a los focos es: s = x2 – 1. En la tabla se puede apreciar algunos valores para ternas irreductibles. x y z df b s x1 y1 z1 3 4 5 5.2915 1.35425 8 6 8 10 5 12 13 21.8174 1.09129 24 7 24 25 7 24 25 45.9130 1.04352 48 14 48 50 9 40 41 77.9487 1.02565 80 18 80 82 11 60 61 117.966097 1.01695 120 22 120 122 13 84 85 165.975902 1.01205 168 26 168 170 Si se observa con detenimiento el valor de s corresponde perfectamente con los catetos mayores de otras ternas pitagóricas enteras, en algunos casos ternas irreductibles, expresadas por x1, y1, z1. Pero en general es una terna proporcional a la terna original. BIBLIOGRAFÍA [1] Rubén D. Muñoz L. (2014) Más allá del teorema de Pitágoras – Volumen I y Volumen II 2° edición.