Ternas Pitagóricas de Sucesiones

Rubén Darío Muñoz López
Catetos como sumatorias de sucesiones naturales consecutivas
TERNAS PITAGÓRICAS CUYOS CATETOS SON SUMATORIAS
DE SUCESIONES NATURALES CONSECUTIVAS
Se puede componer un triángulo rectángulo
de lados enteros, cuyos catetos son
sumatorias de sucesiones naturales.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
Como se afirmó, la terna Sn , Sn+1, z no es
primitiva, en consecuencia existe un factor
común 𝑓 = 𝑛 + 1 que es MCD de Sn , Sn+1 y
z.
212 + 282 = 352
EJERCICIO
Comprobar que los catetos de las siguientes
ternas pitagóricas enteras son sumatorios
consecutivos de sucesiones naturales y
como consecuencia se pueden reducir a
ternas primitivas de catetos consecutivos.
Aunque parezca una curiosidad numérica
particular, la cantidad de ternas pitagóricas
cuyos catetos son sumatorias de sucesiones
naturales de últimos términos consecutivo
son infinitas. Pero, lo realmente interesante
es que dichas ternas pueden reducirse a
ternas primitivas cuyos catetos son
consecutivos.
a) 8202 + 8612 = 11892
b) 284412 + 286802 = 403912
Solución
Después de verificar la veracidad de las
ternas con el teorema de Pitágoras, se debe
comprobar que los catetos son sumatorios
de las sucesiones naturales de n y n+1
términos.
Esta hermosa relación numérica
expone otra maravilla de las
matemáticas…
"las
sucesiones
naturales emparentadas con ternas
pitagóricas de lados consecutivos".
Cateto menor: 𝑆𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛
Cateto mayor: 𝑆𝑛+1 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + (𝑛 +
Dado un triángulo rectángulo de hipotenusa
entera z cuyos catetos son las sumatorias de
las sucesiones naturales Sn y Sn+1, tal que
cumple con el teorema de Pitágoras: 𝑠𝑛2 +
2
𝑠𝑛+1
= 𝑧 2 , dicho triángulo es reductible a
una terna pitagórica primitiva 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
de catetos a y b consecutivos, es decir 𝑏 =
𝑎 + 1.
1)
𝑆𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1 )⁄2 ∧ 𝑆𝑛+1 = (𝑛 + 1)(𝑛 + 2 )⁄2
Reemplazando valores y resolviendo las
ecuaciones en ambas ternas:
Para a:
820 =
1 de 9
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
𝑛(𝑛 + 1)
∧ 861 =
2
2
Rubén Darío Muñoz López
Catetos como sumatorias de sucesiones naturales consecutivas
𝑛 = 40 ∧ 𝑛 + 1 = 41
TERNAS PRIMITIVAS DE CATETOS
CONSECUTIVOS
Para b:
Dado un triángulo rectángulo de lados
enteros de hipotenusa c y cuyos catetos son
dos números consecutivos a y b; se cumple
que a, b y c conforman una terna pitagórica
primitiva, es decir a, b y c no tienen
factores comunes, por lo tanto, la terna es
irreductible.
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
𝑛(𝑛 + 1)
28441 =
∧ 28680 =
2
2
𝑛 = 238 ∧ 𝑛 + 1 = 239
A continuación se reducen las ternas a
primitivas, simplemente, extrayendo el
MCD.
∀𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖𝑁 ∧ 𝑏 = 𝑎 + 1 ∨ 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
Entonces la terna a, b, c es irreductible
a) 𝑀𝐶𝐷(820,861,1189) = 41
b) 𝑀𝐶𝐷(28441,28680,40391) = 239
EJEMPLO
Las cinco primeras ternas pitagóricas
primitivas de catetos consecutivos y cuyos
términos son coprimos:
Dividiendo las ternas entre el MCD
respectivo se obtienen las siguientes
resultados:
32 + 42 = 5 2
a) 41 → (202 + 212 = 292 )
b) 239 → (1192 + 1202 = 1692 )
202 + 212 = 292
1192 + 1202 = 1692
6962 + 6972 = 9852
40592 + 40602 = 57412
Como la diferencia pitagórica de una terna
entera de catetos consecutivos está dada por
la expresión:
𝑘′ = √2𝑎2 + 2𝑎 + 1 − (𝑎 + 1)
Se tiene que, dado un cateto menor de valor
admisible*, el cateto mayor y la hipotenusa
están dados por las siguientes expresiones.
𝑏 = 𝑎+1
𝑐 = 𝑏 + 𝑘′
a
3
20
119
696
4059
23660
2 de 9
k'
b
c
1
8
49
288
1681
9800
4
21
120
697
4060
23661
5
29
169
985
5741
33461
Rubén Darío Muñoz López
Catetos como sumatorias de sucesiones naturales consecutivas
DESCOMPOSICIÓN DE
HIPOTENUSA EN SEGMENTOS
PROPORCIONALES A SUS CATETOS
* Valor admisible es aquel número entero
mayor o igual que 3 tal que la suma de su
cuadrado con el cuadrado de su
consecutivo es cuadrado perfecto:
Si los elementos de una terna pitagórica
primitiva a, b, c de catetos consecutivos se
multiplica por la suma de sus catetos (a +
b) se obtiene otro triángulo rectángulo
semejante, tal que la hipotenusa del nuevo
triángulo se puede descomponer en dos
segmentos enteros m y n proporcionales a
los catetos.
√𝑎2 + (𝑎 + 1)2
TERNAS PITAGÓRICAS
SEMEJANTES
∀𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖𝑁 ∧ 𝑏 = 𝑎 + 1 ∨ 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
Para que dos triángulos rectángulos sean
semejantes, es suficiente que dos de sus
lados sean proporcionales. Para determinar
una terna pitagórica semejante a una terna
primitiva basta con afectar la terna
primitiva por un factor entero cualesquiera.
𝑥 = 𝑎(𝑎 + 𝑏)
𝑦 = 𝑏(𝑎 + 𝑏)
𝑧 = 𝑐(𝑎 + 𝑏)
Tal que : 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
Se cumple que : 𝑚 = 𝑎𝑐 ∧ 𝑛 = 𝑏𝑐
EJERCICIO
Determinar una terna pitagórica semejante a
la terna primitiva 3, 4, 5 afectándolo por el
factor resultante de sumar el valor de sus
catetos
Entonces, como la terna x, y, z es reductible
a la terna a, b, c se tiene como consecuencia
que los catetos de ambas ternas son
semejantes:
𝑚 𝑦 𝑏
= = ↔𝑏 =𝑎+1
𝑛 𝑥 𝑎
Solución:
1 + 2 + 3 + ⋯ + (𝑛 + 1) 𝑏 𝑎 + 1
= =
1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑛
𝑎
𝑎
32 + 42 = 52
2
2
2
(3(3 + 4)) + (4(3 + 4)) = (5(3 + 4))
𝑆𝑛 + (𝑛 + 1) 𝑎 + 1
=
𝑆𝑛
𝑎
32 + 42 = 52 → 212 + 282 = 352
1+
(𝑛 + 1)
1 (𝑛 + 1) 1
=1+ ⇒
=
𝑆𝑛
𝑎
𝑆𝑛
𝑎
(𝑛 + 1)
1
=
𝑛(𝑛 + 1 )⁄2 𝑎
2(𝑛 + 1) 1
= ⇒ 𝑛 = 2𝑎
𝑛(𝑛 + 1) 𝑎
3 de 9
Rubén Darío Muñoz López
Catetos como sumatorias de sucesiones naturales consecutivas
Cumpliéndose a sí mismo que la cantidad
de términos de Sn = 2(3).
Otra forma:
𝑛(𝑛 + 1)
… (1)
2
(2𝑎 + 1)(𝑎 + 1)
(𝑛 + 1)(𝑛 + 1)
=
… (2)
2
(2𝑎 + 1)𝑎 =
DESCOMPOSICIÓN DE LA
HIPOTENUSA EN SUCESIONES
La hipotenusa se puede descomponer
también en una sucesión de t términos. Por
ejemplo, en caso de la terna 21, 28, 35 la
hipotenusa puede ser una sucesión de
números naturales de 5 y 7 términos:
Dividiendo (2) entre (1):
𝑎+1 𝑛+2
=
⇒ 𝑛 = 2𝑎
𝑎
𝑛
a
n
3
20
119
696
4059
23660
Sn
5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35
2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35
S n+1
6
21
28
40
820
861
238
28441
28680
1392
969528
970921
8118
32955021
32963140
47320 1119614860 1119662181
Como se observa en la tabla superior, la
cantidad de términos n de Sn es igual al
doble del valor del cateto admisible para
ternas consecutivas.
1. Todos los números impares pueden
descomponerse en una sucesión de dos
consecutivos.
2. Todos los múltiplos de 3 mayores que 3
se pueden descomponer en una sucesión
de tres consecutivos.
3. Sólo los números de la forma 6n+2,
6n+4, 6n pueden descomponerse en la
suma de una sucesión de 4 términos.
4. Todos los múltiplos de 5 mayores que 10
pueden descomponerse en una sumatoria
de 5 términos.
Es bueno recordar esto, ya que la
descomposición de la hipotenusa depende
de las características particulares de dicho
valor.
EJEMPLO
La terna 32 + 42 = 52 afectada por el factor
3+4 determina la terna semejante 212 +
282 = 352 de tal forma que 35 se puede
descomponer en la suma de 15 y 20 tales
que son proporcionales a los catetos 21 y
28.
CANTIDAD DE TÉRMINOS
Como ya se estableció la hipotenusa puede
descomponerse de varias formas, en este
artículo se usará la expresión:
𝑚 = 3 × 5 = 15 ∧ 𝑛 = 4 × 5 = 20
𝑐=
28 20
=
21 15
𝑧
=𝑛+1
𝑀𝐶𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑧)
PRIMER TÉRMINO
Si la cantidad de términos es impar,
entonces la suma de términos equidistantes
será igual al cociente de la hipotenusa entre
la cantidad de términos, por tanto:
Pudiéndose los catetos a su vez
descomponer en las sumatorias siguientes:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
𝑧 𝑐−1
1° = −
𝑐
2
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
4 de 9
Rubén Darío Muñoz López
Catetos como sumatorias de sucesiones naturales consecutivas
ÚLTIMO TÉRMINO
Él último término es igual al cociente de la
hipotenusa entre la cantidad de términos
más la mitad de los términos menos 1.
EJERCICIO
Hallar la diferencia pitagórica k de la terna
primitiva que resulta de reducir siguiente
terna.
𝑧 𝑐−1
𝑈° = +
𝑐
2
8202 + 8612 = 11892
Solución:
CATETOS COMO SUMATORIAS DE
SUCESIONES NATURALES
El MCD de 820, 861 y 1189 es 41 por
tanto, la terna se puede reducir a la
primitiva cuya diferencia pitagórica es 8:
∀𝑥, 𝑦, 𝑧𝜖𝑁 ∨ 𝑧 > 𝑦 > 𝑥 ≥ 3 ∧ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
41(202 + 212 = 29) → 𝑘 = 29 − 21 = 8
𝑥 = 1 + 2 + 3+. . . +𝑛 = 𝑠𝑛
𝑦 = 1 + 2 + 3+. . . +(𝑛 + 1) = 𝑠𝑛+1
Que también verifica para la relación f k.
Entonces 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 es reductible a una
terna pitagórica primitiva de la forma 𝑎2 +
𝑏 2 = 𝑐 2 donde a y b son números naturales
consecutivos y:
𝑘=
𝑥 = 𝑠𝑛 = 𝑎𝑓
𝑦 = 𝑠𝑛+1 = 𝑏𝑓
𝑧 = 𝑐𝑓
(1189 − 861)
=8
41
ALGORITMO PARA HALLAR
CATETOS QUE SON SUMAS DE
SUCESIONES
Siendo 𝑓 = 𝑀𝐶𝐷(𝑠𝑛 , 𝑠𝑛+1 , 𝑧)
A continuación se expone el método para
hallar ternas pitagóricas enteras cuyos
catetos son sumatorios de sucesiones
naturales.
Por otro lado, sí k es la diferencia pitagórica
de la terna primitiva 𝑘 = 𝑐 − 𝑏, entonces la
diferencia pitagorica de la terna por
sucesiones será 𝑓𝑐 − 𝑓𝑏 = 𝑓(𝑐 − 𝑏) es decir
f k.
Paso 1: elegir una terna pitagórica de lados
consecutivos 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 ∧ 𝑏 = 𝑎 + 1.
Paso 2: hallar la suma de los catetos 𝑎 + 𝑏.
De lo cual se deduce que la terna x, y, z se
puede reducir a una primitiva de la forma a,
b, c dividiéndola por el MCD = (n + 1).
Paso 3: Multiplicar cada término de la terna
primitiva por el factor (𝑎 + 𝑏).
Paso 4: la nueva terna 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 tal que
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
= 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
𝑀𝐶𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑛 + 1
𝑥 = 𝑎(𝑎 + 𝑏)
𝑦 = 𝑏(𝑎 + 𝑏)
𝑧 = 𝑐(𝑎 + 𝑏)
Paso 5: Se determinan las sucesiones
extrayendo MCD (x, y, z) = n + 1, siendo la
cantidad de términos de la sucesión para x
= n y de y = n+1.
5 de 9
Rubén Darío Muñoz López
Catetos como sumatorias de sucesiones naturales consecutivas
EXPLICACIONES
EJEMPLO
1. Terna primitiva: 202 + 212 = 292
2.
3.
Lados del muevo triángulo rectángulo
𝑦=
(𝑛 + 1)2 (𝑛 + 2)2
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
⇒ 𝑦2 =
2
4
𝑥 = 20 × 41 = 820
Para z, aplicando el teorema de Pitágoras.
𝑦 = 21 × 41 = 861
𝑛2 (𝑛 + 1)2 (𝑛 + 1)2 (𝑛 + 2)2
𝑧=√
+
4
4
𝑀𝐶𝐷(860,861,1189) = 41
(𝑛 + 1)2 (𝑛2 + (𝑛 + 2)2 )
𝑧=√
4
𝑛 = 40 ∧ 𝑛 + 1 = 41
(𝑛 + 1)
√(𝑛2 + (𝑛 + 2)2 )
2
𝑛+1
√2(𝑛2 + 2𝑛 + 2)
𝑧=
2
𝑆𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 40 = 860
𝑧=
𝑆𝑛+1 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 41 = 861
5.
𝑛(𝑛 + 1)
𝑛2 (𝑛 + 1)2
⇒ 𝑥2 =
2
4
Suma de Catetos: 20 + 21 = 41
𝑧 = 29 × 41 = 1189
4.
𝑥=
8202 + 8612 = 11892
(1 + 2 + ⋯ 40)2 + (1 + 2 + ⋯ 41)2 = 11892
Del mismo modo:
𝑛 = 2𝑎 → 𝑎 =
EJERCICIO
Hallar otra terna tal que sus catetos sean
sumatorios
de sucesiones naturales
utilizando la terna primitiva: 6962 + 6972 =
985
𝑛
𝑛+2
⇒𝑏=
2
2
𝑧 = 𝑐(𝑛 + 1)
𝑧 2 = 𝑐 2 (𝑛 + 1)2 pero 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
𝑧 2 = (𝑎2 + 𝑏 2 )(𝑛 + 1)2
2
𝑧2 = (
𝑛2 (𝑛 + 2)2
+
) (𝑛 + 1)2
4
4
1
𝑧 2 = (𝑛2 + (𝑛 + 2)2 )(𝑛 + 1)2
4
1
𝑧 = (𝑛 + 1)√𝑛2 + (𝑛 + 2)2
2
1
𝑧 = (𝑛 + 1)√(2𝑛2 + 4𝑛 + 4)
2
Es suficiente que 2(𝑛2 + 2𝑛 + 2) sea un
cuadrado perfecto para que existan
sumatorias que sean catetos de triángulos
pitagóricos. En el siguiente cuadro se
observa que si la determinante es un
cuadrado perfecto entonces existe un valor
n entero.
LISTA DE LOS PRIMEROS VALORES
ENTEROS DE n:
6 de 9
n
determinante
Raíz
6
100
10
Rubén Darío Muñoz López
Catetos como sumatorias de sucesiones naturales consecutivas
EJEMPLO
40
3364
58
238
114244
338
𝑠6 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 6 = 21
1392
3880900
1970
𝑠7 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 6 = 28
8118
131836324
11482
47320
4478554084
66922
275806
152139002500
390050
1607520
5168247530884
2273378
9369318
175568277047524
13250218
𝑠62 + 𝑠72 = 352
54608392
5.96415317208E+15
77227930
212 + 282 = 352
93222357
1.738081606216E+16
31836323
(1 + 2 + ⋯ + 6)2 + (1 + 2 + ⋯ + 7)2
= 352
El siguiente código en Basic facilita la
obtención de valores n menore a 100
millones.
Sub cuadrado ()
Dim n As Integer
For n = 1 To 100000000
R = sqr(2*(n + 1)*(n + 1) + 2)
If R = Int(R) Then
Debug.Print n, R*R, R
Else
End If
Next n
End Sub
𝑧7 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35
Como el MCD de 21, 28, 35 es 7 se tiene
que la terna es semejante a la terna
primitiva 3, 4, 5.
EJEMPLO
𝑠40 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 40 = 820
𝑠41 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 41 = 861
(1 + 2 + ⋯ 40)2 + (1 + 2 + ⋯ 41)2
= 11892
2
2
𝑠40
+ 𝑠41
= 11892
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Catetos como sumatorias de sucesiones naturales consecutivas
8202 + 8612 = 11892
𝑧239 = 50 + 51 + 52 + 53 + ⋯ + 288
= 40391
𝑧41 = 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + ⋯ + 49
= 1189
Como el MCD de 28441, 28680, 40391 es
239 la es semejante a la terna primitiva 119,
120, 169.
Como el MCD de 820, 861, 1189 es 41 la
terna es semejante a la terna primitiva 20,
21, 29.
EJEMPLO
EJEMPLO
𝑠1392 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 1392 = 969528
𝑠238 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 238 = 28441
𝑠1393 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 1393 = 970921
𝑠239 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 239 = 28680
(1 + 2 + ⋯ 1392)2 + (1 + 2 + ⋯ 1393)2
= 13721052
(1 + 2 + ⋯ 238)2 + (1 + 2 + ⋯ 239)2
= 403912
2
2
𝑠1392
+ 𝑠1393
= 13721052
2
2
𝑠238
+ 𝑠239
= 403912
9695282 + 9709212 = 13721052
284412 + 286802 = 403912
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Catetos como sumatorias de sucesiones naturales consecutivas
𝑧1393 = 289 + 290 + 291 + ⋯ 1681
= 1372105
Como el MCD de 969528, 970921,
1372105 es 1393 se tiene que la terna es
semejante a la terna primitiva 696, 697,
985.
Los lectores más avispados se habrán
dado cuenta de las sucesiones en que
se han descompuesto las hipotenusas
de los ejemplos anteriores: inician
después de donde termina la sucesión
anterior.
𝑧7 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35
𝑧41 = 9 + 10 + 11 + 12 + ⋯ + 49 = 1189
𝑧239 = 50 + 51 + 52 + 53 + ⋯ + 288
= 40391
𝑧1393 = 289 + 290 + 291 + ⋯ + 1681
= 1372105
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Rubén Darío Muñoz López
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Catetos como sumatorias de sucesiones naturales consecutivas
Esto no es coincidencia, pues las ternas de
los ejemplos son triángulos rectángulos
sucesivos, es decir no existen otros casos
intermedios que cumplan el enunciado
principal de este artículo: Triángulos
rectángulos de lados enteros cuyas
hipotenusas pueden descomponerse en
sucesiones naturales consecutivas.
Pero aún hay otras propiedades comunes
más interesantes como: Si se factoriza la
hipotenusa y se divide cada uno de los
términos de la terna entre el factor común
que a la vez es MCD de dichos términos se
obtienen ternas primitivas de catetos
consecutivos.
EJERCICIO
Si se cumple que las siguientes expresiones
están compuestas por ternas cuyos catetos
son sucesiones naturales. Determine los
factores f1,
35 = 5 × 7
f2 y f3 para que los catetos de las siguientes
ternas resultantes sean sucesiones naturales.
a) 𝑓1 (6962 + 6972 = 9852 )
41(202 + 212 = 29)
b) 𝑓2 (40592 + 40602 = 57412 )
1189 = 29 × 41
40391 = 132 × 239
7(32 + 42 = 52 )
239(1192 + 1202 = 1692 )
Y a su vez, estas primitivas tienen un
término múltiplo de 3 que es otra sucesión
natural.
c) 𝑓3 (236602 + 236612 = 334612 )
RETO
Que tienen en común estas tres ternas
pitagóricas:
1+2=3
1 + 2 + 3 + ⋯ + 6 = 21
1 + 2 + 3 + ⋯ + 15 = 120
212 + 282 = 352
8202 + 8612 = 11892
284412 + 286802 = 403912
A parte de que los catetos son sumatorios
de sucesiones naturales, No existen otras
ternas intermedias entre ellas que cumplan
dicha condición.
(1 + 2 + ⋯ + 6)2 + (1 + 2 + ⋯ + 7)2 = 352
Debido a que n = 2a se tiene que:
𝑧=
𝑧 = (2𝑎 + 1)√𝑎2 + (𝑎 + 1)2
2
(1 + 2 + ⋯ 238) + (1 + 2 + ⋯ 239)
= 403912
Lo cual puede verificarse en el siguiente
objeto incrustado, si es que tiene la versión
original del documento.
1
2
3
3
6
4
10
5
15
6
21
7
28
8
36
9
45
10
55
𝑛+1
√2(𝑛2 + 2𝑛 + 2)
2
𝑧 = (2𝑎 + 1)√2𝑎2 + 2𝑎 + 1
(1 + 2 + ⋯ 40)2 + (1 + 2 + ⋯ 41)2 = 11892
2
Por último, se anexa algunas aclaraciones
que son necesarias para comprender mejor
el artículo.
11
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Catetos como sumatorias de sucesiones naturales consecutivas
DIFERENCIAS PITAGÓRICAS
Por otro lado, de las expresiones
desarrolladas anteriormente se tiene que la
diferencia pitagórica de la terna compuesta
por catetos que son sumatorios de
sucesiones naturales:
𝑘′ = −(𝑎 + 1) ± √(𝑎 + 1)2 + 𝑎2
𝑛+1
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
√2(𝑛2 + 2𝑛 + 2) −
2
2
𝑛+1
𝑘=(
) (√2(𝑛2 + 2𝑛 + 2) − (𝑛 + 2))
2
𝑐 = 𝑏 + 𝑘′
𝑥 = 𝑆𝑛 ∧ 𝑦 = 𝑆𝑛 + 𝑛 + 1
La siguiente publicación se hizo en la
pagina Más allá del teorema de Pitágoras
con la finalidad de mostrar el conjunto de
relaciones entre las ternas de cateto
consecutivo y las sucesiones naturales.
𝑘=
𝑧 = √𝑆𝑛2 + (𝑆𝑛 + 𝑛 + 1)2
𝑘′ = −(𝑎 + 1) ± √𝑎2 + 2𝑎 + 1 + 𝑎2
𝑘′ = √2𝑎2 + 2𝑎 + 1 − (𝑎 + 1)
𝑏 = 𝑎+1
Siendo la diferencia pitagórica de la terna
original el producto de k por el MCD.
𝑘 = √𝑆𝑛2 + (𝑆𝑛 + 𝑛 + 1)2 − 𝑆𝑛 + 𝑛 + 1
𝑘 + 𝑆𝑛 + 𝑛 + 1 = √𝑆𝑛2 + (𝑆𝑛 + 𝑛 + 1)2
(𝑘 + 𝑆𝑛 + 𝑛 + 1)2 = 𝑆𝑛2 + (𝑆𝑛 + 𝑛 + 1)2
𝑘 2 + 2𝑘(𝑆𝑛 + 𝑛 + 1) = 𝑆𝑛2
𝑘 2 + 2𝑘𝑆𝑛+1 − 𝑆𝑛2 = 0
𝑘=
2
−2𝑆𝑛+1 ± √4𝑆𝑛+1
+ 4𝑆𝑛2
2
2
𝑘 = √𝑆𝑛+1
+ 𝑆𝑛2 − 𝑆𝑛+1
Y como 𝑘 = 𝑘′(𝑛 + 1), entonces:
𝑘 = [√2𝑎2 + 2𝑎 + 1 − (𝑎 + 1)] (𝑛 + 1)
La diferencia pitagórica de la primitiva es:
𝑎2 + (𝑎 + 1)2 = (𝑎 + 1 + 𝑘′)2
𝑎2 + (𝑎 + 1)2 = (𝑎 + 1)2 + 2(𝑎 + 1)𝑘′
+ (𝑘′)2
𝑎2 = 2(𝑎 + 1)𝑘′ + (𝑘′)2
𝑘 2 + 2(𝑎 + 1)𝑘′ − 𝑎2 = 0
𝑘′ =
−2(𝑎 + 1) ± √4(𝑎 + 1)2 + 4𝑎2
2
11 de 9
Catetos como sumatorias de sucesiones naturales consecutivas
COMPORTAMIENTO EXPONENCIAL DE
LAS TERNAS DE ESTUDIO
x=Sn
y = S n+1
21
820
28441
969528
32955021
1119614860
38034612721
1292061078960
43892064577221
1491038265717028
28
861
28680
970921
32963140
1119662181
38034888528
1292062686481
43892073946540
1491038320325421
z
f=n+1
a
b
c
k
35
7
3
4
5
1
1189
41
20
21
29
8
40391
239
119
120
169
49
1372105
1393
696
697
985
288
46611179
8119
4059
4060
5741
1681
1583407981
47321
23660
23661
33461
9800
53789260175
275807
137903
137904
195025
57121
1827251437969 1607521
803760
803761 1136689
332928
62072759630771 9369319 4684659 4684660 6625109 1940449
2108646576008245 54608393 27304196 27304197 38613965 11309768
Título del gráfico
Título del gráfico
12000000
60000000
f(x) = 0.210160208 exp( 1.78615584 x )
f(x) = 1.12185059061 exp( 1.77262623047 x )
R² = 0.999944623677635
50000000
40000000
10000000
R² = 0.999695852481053
8000000
6000000
30000000
4000000
20000000
2000000
0
10000000
0
0
2
4
6
8
10
12
0
2
4
6
8
10
12
Columna K
Exponencial (Columna K)
12 de 9
Rubén Darío Muñoz López