DESCOMPOSICIÓN DE UNA TERNA PITAGÓRICA EN SUMATORIAS QUE CONFORMAN OTRA TERNA PITAGÓRICA

Por Rubén Darío Muñoz López – 2019
DESCOMPOSICIÓN DE LOS TÉRMINOS DE UNA TERNA
PITAGÓRICA EN SUMATORIAS QUE CONFORMAN OTRA TERNA
PITAGÓRICA
Por Rubén Darío Muñoz López – 2019
RESUMEN
Los términos de una terna pitagórica primitiva (x, y, z) que cumplen el teorema de Pitágoras,
tal que la suma de los cuadrados de dos de ellos es igual al cuadrado del tercero: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 ,
no puede descomponerse en la suma correspondiente a cada termino de tal forma que
conformen dos ternas pitagóricas de números enteros.
Entonces sí:
Es decir, para todo
𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑍
+
𝑥12 + 𝑦12 = 𝑧12
𝑥22 + 𝑦22 = 𝑧22
Tal que:
No existe solución dentro de conjunto de
números Z+ si (x, y, z) es una terna pitagórica
primitiva.
𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2
𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2
𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2
Salvo que las ternas pitagóricas (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2) tal que la suma de sus términos
correspondientes: (x1 + y1), (x2 + y2) y (z1 + z2); conforman una terna pitagórica reductible o
que contiene factores comunes (nx, ny, n z). Es decir una terna compuesta de la forma:
(𝑥1 + 𝑥)2 + (𝑦1 + 𝑦2 )2 = (𝑧1 + 𝑧2 )2
Así las siguientes ternas pitagóricas irreductibles no pueden descomponer sus términos en dos
ternas pitagóricas.
82 + 152 = 172
132 + 842 = 852
Por Rubén Darío Muñoz López – 2019
En cambio las ternas reductibles siguientes pueden descomponer sus términos en dos ternas
pitagóricas, incluso primitivas
162 + 302 = 342
(8 + 8)2 + (15 + 15)2 = (17 + 17)2
Luego:
512 + 4322 = 4352
(17 + 34)2 + (144 + 288)2 = (145 + 290)2
Luego:
2
2
2
8 + 15 = 17
82 + 152 = 172
172 + 1442 = 1452
342 + 2882 = 2902
PALABRAS CLAVES: Teorema de Pitágoras, ternas pitagóricas, triángulo rectángulo.
1.1 INTRODUCCIÓN
En este artículo se demostrará que la suma de los términos correspondientes de dos ternas
pitagóricas de números enteros no conforma una terna pitagórica irreductible o primitiva.
Dicho de otro modo “los términos correspondientes una terna pitagórica primitiva de
números enteros no pueden descomponerse en la suma de dos términos que a su vez
conformen otras ternas pitagóricas de números naturales”.
Si 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 ∈ 𝑍 + entonces dadas las Se cumple que:
(𝑎 + 𝑑)2 + (𝑏 + 𝑒)2 = (𝑐 + 𝑓)2
ternas pitagóricas de números enteros:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
𝑑2 + 𝑒 2 = 𝑓 2
Es una terna pitagórica no primitiva.
Por ello, es imposible descomponer los términos de una terna pitagórica irreductible como por
ejemplo 5, 12, 13 en dos ternas pitagóricas de tal forma que: a + d = 5, b + e = 12 y c + f = 13
tal que, a, b, c, d, e, f sean números enteros positivos, es decir no existe solución entera para:
(𝑎 + 𝑏 → 5)2 + (𝑏 + 𝑐 → 12)2 = (𝑐 + 𝑓 → 13)2
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La demostración se basa en la aplicación de las fórmulas para la generación de ternas
pitagóricas que resultaron como consecuencia del desarrollo de la teoría de sextales,
desarrollada por el autor de este artículo, la cual se presentó al XXXII coloquio de la
asociación matemática del Perú en diciembre de 2014 llevada a cabo en la Pontificia
Universidad católica del Perú, que puede revisarse en el libro Mas allá del Teorema de
Pitágoras – Volumen II.
DEFINICIÓN PREVIA
una terna pitagórica de números enteros es el conjunto de una tripleta de números enteros que
cumplen el teorema de Pitágoras, “la suma de los cuadrados de dos números es igual al
cuadrado del tercer número”. Es decir a2 + b2 = c2; donde k = c – b.
Según las fórmulas desarrolladas por el autor de este artículo, en todo triangulo rectángulo de
lados enteros, el cateto mayor y la hipotenusa de una terna pitagórica de números enteros
depende exclusivamente del cateto menor y de la diferencia pitagórica, según las siguientes
expresiones:
𝑏=
𝑎2 − 𝑘 2
𝑏2 + 𝑘 2
∧𝑐 =
=𝑏+𝑘
2𝑘
2𝑘
1.2 DEMOSTRACIÓN
Las
ternas
pitagóricas
irreductibles Para:
𝑥12 + 𝑦12 = 𝑧12
corresponden a aquellas cuya diferencia
𝑥12 − 𝑘12
𝑥12 + 𝑘12
𝑦1 =
𝑧1 =
pitagórica es: para ternas de cateto menor
2𝑘1
2𝑘1
impar (λ) k = 1 y para las ternas de cateto Para:
𝑥22 + 𝑦22 = 𝑧22
menor (ρ) par k = 2.
𝑥22 − 𝑘22
𝑥22 + 𝑘22
𝑦2 =
2𝑘2
𝑧2 =
2𝑘2
Así mismo, las expresiones para determinar
Para:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
el cateto mayor y la hipotenusa en función
𝑥2 − 1
𝑥2 + 1
de los catetos menores están dadas por las
𝑦=
𝑧=
2
2
siguientes expresiones.
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TERNAS IRREDUCTIBLES CATETO MENOR IMPAR, k = 1
Dada la terna irreductible de cateto menor 𝑘 = 𝑧 − 𝑦 = (𝑧1 + 𝑧2 ) − (𝑦1 + 𝑦2 )
𝑘 = (𝑧1 −𝑦1 ) + (𝑧2 + 𝑦2 )
impar se cumple que:
𝑘 = 𝑘1 + 𝑘2 , pero k = 1
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 ⟹ 𝑘 = 𝑧 − 𝑦 = 1
Tal que
Luego es absurdo que siendo k = 1 sea:
𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2
𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2
𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2
Entonces se cumple que:
𝑥12 + 𝑦12 = 𝑧12 ⟹ 𝑘1 = 𝑧1 − 𝑦1
𝑥22 + 𝑦22 = 𝑧22 ⟹ 𝑘2 = 𝑧2 − 𝑦2
𝑘 = 𝑘1 + 𝑘2
Ya que:
𝑘1 + 𝑘2 > 1
Ratificándose de este modo la preposición
fundamental de este artículo para ternas de
cateto menor impar.
TERNAS IRREDUCTIBLES CATETO MENOR PAR, k = 2
Dada la terna irreductible de cateto menor 𝑘 = 2, cumpliéndose entonces que:
𝑘 = 𝑘1 + 𝑘2
par se cumple que el cateto menor es de la
Pero
es
absurdo
que siendo k = 2, sea z
forma x = 2n por lo cual, al menos uno de
los otros lados es impar. Así que dada la impar, pues no podría descomponerse en la
suma de dos impares por lo cual:
expresión:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 ⟹ 𝑘 = 𝑧 − 𝑦 = 2
Entonces se debe cumplir que:
𝑥12 + 𝑦12 = 𝑧12 ⟹ 𝑘1 = 𝑧1 − 𝑦1 = 1
𝑥22 + 𝑦22 = 𝑧22 ⟹ 𝑘2 = 𝑧2 − 𝑦2 = 1
𝑧1 + 𝑧2 ≠ 𝑧
Pues el estado de paridad de los términos de
las ternas pares tiene una estructura:
𝑥 →𝜌 ⟹𝑦 →𝜆∧𝑧 →𝜆
En conclusión queda ratificada y demostrada fehacientemente la parte propositiva de la
preposición fundamental de este artículo.
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1.3 OTRAS RELACIONES
Dadas dos ternas pitagóricas de números
enteros (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ).
La suma de sus términos correspondientes
conforma la terna pitagórica de números
enteros: (𝑥1 + 𝑥2 ), (𝑦1 + 𝑦2 )𝑦(𝑧1 + 𝑧2 )
𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 . . . (1)
𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 . . . (2)
𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2 . . . (3)
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 ⟹ 𝑘 = 𝑧 − 𝑦
𝑥12 + 𝑦12 = 𝑧12 ⟹ 𝑘1 = 𝑧1 − 𝑦1
𝑥22 + 𝑦22 = 𝑧22 ⟹ 𝑘2 = 𝑧2 − 𝑦2
(𝑥1 + 𝑥2 )2 + (𝑦1 + 𝑦2 )2 = (𝑧1 + 𝑧2 )2
k > k1 > 0 y k > k2 > 0 ;
Se cumple que k = k1 + k2
𝑥12 − 𝑘12
𝑥12 + 𝑘12
𝑧1 =
2𝑘1
2𝑘1
𝑥22 − 𝑘22
𝑥22 + 𝑘22
𝑦2 =
𝑧2 =
2𝑘2
2𝑘2
2
2
2
𝑥 −𝑘
𝑥 + 𝑘2
𝑦=
𝑧=
2𝑘
2𝑘
𝑘 = (𝑧1 −𝑦1 ) + (𝑧2 + 𝑦2 ) = 𝑘1 + 𝑘2
𝑦1 =
Para catetos mayores: en (2)
𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2
𝑦=
𝑥 2 − 𝑘 2 𝑥12 − 𝑘12 𝑥22 − 𝑘22
=
+
2𝑘
2𝑘1
2𝑘2
Multiplicando toda la expresión por 2k1k2 y eliminando denominadores.
2𝑦𝑘1 𝑘2 =
𝑘1 𝑘2 (𝑥 2 − 𝑘 2 )
= 𝑘2 (𝑥12 − 𝑘12 ) + 𝑘1 (𝑥22 − 𝑘22 ). . . (4)
𝑘
Para hipotenusas: en (3)
𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2
𝑧=
𝑥 2 + 𝑘 2 𝑥12 + 𝑘12 𝑥22 + 𝑘22
=
+
2𝑘
2𝑘1
2𝑘2
Multiplicando toda la expresión por 2k1k2 y eliminando denominadores.
2𝑧𝑘1 𝑘2 =
𝑘1 𝑘2 (𝑥 2 + 𝑘 2 )
= 𝑘2 (𝑥12 + 𝑘12 ) + 𝑘1 (𝑥22 + 𝑘22 ). . . (5)
𝑘
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Por diferencia pitagórica
𝑘 = 𝑘1 + 𝑘2
𝑥 2 + 𝑘 2 𝑥 2 − 𝑘 2 𝑥12 + 𝑘12 𝑥12 − 𝑘12 𝑥22 + 𝑘22 𝑥22 − 𝑘22
−
=
−
+
−
2𝑘
2𝑘
2𝑘1
2𝑘1
2𝑘2
2𝑘2
𝑥 2 + 𝑘 2 𝑥 2 − 𝑘 2 𝑥12 + 𝑘12 𝑥12 − 𝑘12 𝑥22 + 𝑘22 𝑥22 − 𝑘22
−
=
−
+
−
𝑘
𝑘
𝑘1
𝑘1
𝑘2
𝑘2
2𝑘 2 2𝑘12 2𝑘22
𝑘12 𝑘22
𝑘2 𝑘12 + 𝑘1 𝑘22
=
+
⟹𝑘=
+ ó𝑘 =
𝑘
𝑘1
𝑘2
𝑘1 𝑘2
𝑘1 𝑘2
Sumando miembro a miembro: (4) + (5)
2𝑦𝑘1 𝑘2 + 2𝑧𝑘1 𝑘2 =
2𝑘1 𝑘2 (𝑦 + 𝑧) =
2(𝑦 + 𝑧) =
𝑘1 𝑘2 (𝑥 2 − 𝑘 2 ) 𝑘1 𝑘2 (𝑥 2 + 𝑘 2 )
+
𝑘
𝑘
𝑘1 𝑘2 (𝑥 2 − 𝑘 2 ) + 𝑘1 𝑘2 (𝑥 2 + 𝑘 2 ) 𝑘1 𝑘2 (𝑥 2 − 𝑘 2 + 𝑥 2 + 𝑘 2 )
=
𝑘
𝑘
2𝑥 2
𝑥2
⟹ 𝑦 + 𝑧 = . . . (6)
𝑘
𝑘
Esto nos conduce a pensar, que para el caso de ternas no primitivas existen al menos una terna
que pueda descomponerse en dos ternas cuya suma de sus términos correspondientes cumplan
en constituir otra terna pitagórica de valores enteros. Por tanto, sumamos los extremos de las
expresiones (4) y (5) miembro a miembro se obtiene otra interesante relación.
2𝑦𝑘1 𝑘2 = 𝑘2 (𝑥12 − 𝑘12 ) + 𝑘1 (𝑥22 − 𝑘22 ). . . (4)
2𝑧𝑘1 𝑘2 = 𝑘2 (𝑥12 + 𝑘12 ) + 𝑘1 (𝑥22 + 𝑘22 ). . . (5)
2𝑦𝑘1 𝑘2 + 2𝑧𝑘1 𝑘2 = 𝑘2 (𝑥12 − 𝑘12 ) + 𝑘1 (𝑥22 − 𝑘22 ) + 𝑘2 (𝑥12 + 𝑘12 ) + 𝑘1 (𝑥22 + 𝑘22 )
2𝑘1 𝑘2 (𝑦 + 𝑧) = 𝑘2 (𝑥12 − 𝑘12 + 𝑥12 + 𝑘12 ) + 𝑘1 (𝑥22 − 𝑘22 + 𝑥22 + 𝑘22 )
2𝑘1 𝑘2 (𝑦 + 𝑧) = 2𝑘2 𝑥12 + 2𝑘1 𝑥22
𝑘1 𝑘2 (𝑦 + 𝑧) = 𝑘2 𝑥12 + 𝑘1 𝑥22 ⟹ 𝑦 + 𝑧 =
𝑥12 𝑥22
+ . . . (7)
𝑘1 𝑘2
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Se verifica la validez de la expresión cuando se aplica la misma definición a las fracciones
parciales del segundo miembro.
𝑦 + 𝑧 = (𝑦1 + 𝑧1 ) + (𝑦2 + 𝑧2 ) ⟹ 𝑦 + 𝑧 = (𝑦1 + 𝑦2 ) + (𝑧1 + 𝑧2 )
CASO ESPECIAL – TERNAS IGUALES
Para catetos menores iguales, que involucra 𝑥12 + 2𝑥1 𝑥2 + 𝑥22 + 𝑦12 + 2𝑦1 𝑦2 + 𝑦22
ternas parentales (catetos menores idénticos),
= 𝑧12 + 2𝑧1 𝑧2 + 𝑧22
tenemos, de la expresión de (6) en (7) :
𝑘1 𝑘2
𝑥2
= 𝑘2 𝑥12 + 𝑘1 𝑥22
𝑘
Si x1 = x2 y k1 = k2 entonces k = 2 k1
𝑘12
𝑥2
= 𝑘1 𝑥12 + 𝑘1 𝑥12
2𝑘1
𝑘12 𝑥 2 = 4𝑘12 𝑥12
𝑥12 + 𝑦12 + 2𝑥1 𝑥2 + 𝑥22 + 𝑦22 + 2𝑦1 𝑦2
= 𝑧12 + 𝑧22 + 2𝑧1 𝑧2
𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 = 𝑧1 𝑧2
Pero: 𝑥1 𝑥2 ∧ 𝑦1 𝑦2 =∧ 𝑧1 𝑧2
𝑥 2 = 4𝑥12 ⟹ 𝑥 = 2𝑥1
Entonces: 𝑥12 + 𝑦12 = 𝑧12
Vamos a verificar para:
También se puede verificar así
x1 = x2 = x, y k1 = k2 = k,
Entonces sí:
(𝑥1 + 𝑥2 )2 + (𝑦1 + 𝑦2 )2 = (𝑧1 + 𝑧2 )2
Desarrollando
(𝑥1 + 𝑥1 )2 + (𝑦1 + 𝑦1 )2 = (𝑧1 + 𝑧1 )2
(2𝑥1 )2 + (2𝑦1 )2 = (2𝑧1 )2
4𝑥12 + 4𝑦12 = 4𝑧12
𝑥12 + 𝑦12 = 𝑧12
Demostrando que dos ternas iguales constituyen otra terna no primitiva si se suman sus
términos correspondientes.
Ejemplos:
32 + 42 = 52
32 + 42 = 52
(3 + 3)2 + (4 + 4)2 = (5 + 5)2
62 + 82 = 102
62 + 82 = 102
62 + 82 = 102
(6 + 6)2 + (8 + 8)2 = (10 + 10)2
122 + 162 = 202
Por Rubén Darío Muñoz López – 2019
𝑘1 = 1
𝑘2 = 1
𝑘𝑠 = 2
𝑘1 = 2
𝑘2 = 2
𝑘𝑠 = 4
1.4 ANALISIS FINAL Y CONCLUSIONES
Si una terna de la forma (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) es irreducible, entonces k =1 por tanto, el
cateto menor primo (teorema fundamental de las ternas pitagóricas de números enteros, que
indica que una terna pitagórica es primitiva cuando al menos uno de sus términos es un
número primo). En conclusión es imposible descomponer sus términos en parejas de enteros y
que a su vez esta correspondientemente conforme otras ternas pitagóricas de números enteros.
En conclusión, no existen dos ternas iguales o diferentes ternas que al sumar sus términos
correspondientes conformen una terna pitagórica irreductible.
Como consecuencia de este estudio, el 21 de diciembre de 2019 se publicó la “conjetura” en
la página Más allá del teorema de Pitágoras, bajo el nombre Darío Lanni, en forma de un reto
matemático, con la finalidad de presentar de forma atractiva la demostración.
Por Rubén Darío Muñoz López – 2019
RETO:
Dadas dos ternas pitagóricas de números enteros (a, b, c) y (x, y, z); hallar otra terna
pitagórica de números enteros cuya suma de sus términos correspondientes (a + x), (b + y) y
(c + z) conforma otra terna pitagórica, caso contrario presentar un contra ejemplo.
(𝑎 + 𝑥)2 + (𝑏 + 𝑦)2 = (𝑐 + 𝑧)2
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
1.5 ANEXO: SUMA n-esima DE TÉRMINOS CORRESPONDIENTES DE TERNAS PITAGÓRICAS
𝑥12 + 𝑦12 = 𝑧12 ⟹ 𝑘1 = 𝑧1 − 𝑦1
𝑥22 + 𝑦22 = 𝑧22 ⟹ 𝑘2 = 𝑧2 − 𝑦2
𝑥32 + 𝑦32 = 𝑧32 ⟹ 𝑘3 = 𝑧3 − 𝑦3
𝑥12 − 𝑘12
2𝑘1
𝑥22 − 𝑘22
𝑦2 =
2𝑘2
𝑥32 − 𝑘32
𝑦3 =
2𝑘3
𝑥12 + 𝑘12
2𝑘1
𝑥22 + 𝑘22
𝑧2 =
2𝑘2
𝑥32 + 𝑘32
𝑧3 =
2𝑘3
...
...
...
...
𝑦1 =
...
...
𝑥𝑛2 + 𝑦𝑛2 = 𝑧𝑛2 → 𝑘𝑛 = 𝑧𝑛 − 𝑦𝑛
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 → 𝑘 = 𝑧 − 𝑦
𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑧1 =
𝑦𝑛 =
𝑥𝑛2 − 𝑘𝑛2
2𝑘𝑛
𝑧𝑛 =
𝑥𝑛2 + 𝑘𝑛2
2𝑘𝑛
𝑦=
𝑥2 − 𝑘2
2𝑘
𝑧=
𝑥2 + 𝑘2
2𝑘
𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + ⋯ + 𝑦𝑛
𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 + ⋯ + 𝑧𝑛
(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛 )2 + (𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + ⋯ + 𝑦𝑛 )2 = (𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 + ⋯ + 𝑧𝑛 )2
Por Rubén Darío Muñoz López – 2019
PARA CATETOS MAYORES
𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + ⋯ + 𝑦𝑛 =
2𝑦 =
𝑥 2 − 𝑘 2 𝑥12 − 𝑘12 𝑥22 − 𝑘22 𝑥32 − 𝑘32
𝑥𝑛2 − 𝑘𝑛2
=
+
+
+. . . +
2𝑘
2𝑘1
2𝑘2
2𝑘3
2𝑘𝑛
𝑥 2 − 𝑘 2 𝑥12 − 𝑘12 𝑥22 − 𝑘22 𝑥32 − 𝑘32
𝑥𝑛2 − 𝑘𝑛2
=
+
+
+. . . +
2𝑘
𝑘1
𝑘2
𝑘3
𝑘𝑛
PARA HIPOTENUSAS
𝑧=
𝑥2 + 𝑘2
𝑥12 + 𝑘12 𝑥22 + 𝑘22 𝑥32 + 𝑘32
𝑥𝑛2 + 𝑘𝑛2
= 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 + ⋯ + 𝑧𝑛 =
+
+
+. . . +
2𝑘
2𝑘1
2𝑘2
2𝑘3
2𝑘𝑛
2𝑧 =
𝑥 2 + 𝑘 2 𝑥12 + 𝑘12 𝑥22 + 𝑘22 𝑥32 + 𝑘32
𝑥𝑛2 + 𝑘𝑛2
=
+
+
+. . . +
𝑘
𝑘1
𝑘2
𝑘3
𝑘𝑛
PARA DIFERENCIAS PITAGÓRICAS
𝑥2 + 𝑘2 𝑥2 − 𝑘2
−
2𝑘
2𝑘
𝑥12 + 𝑘12 𝑥22 + 𝑘22
𝑥𝑛2 + 𝑘𝑛2
𝑥12 − 𝑘12 𝑥22 − 𝑘22
𝑥𝑛2 − 𝑘𝑛2
2𝑘 = (
+
+. . +
+
+. . . +
)−(
)
𝑘1
𝑘2
𝑘𝑛
𝑘1
𝑘2
𝑘𝑛
2𝑘12 2𝑘22
2𝑘𝑛2
2𝑘 = (
+
+. . +
) = 𝑘 = 𝑘1 + 𝑘2 +. . +𝑘𝑛
𝑘1
𝑘2
𝑘𝑛
𝑘=
La última expresión define que sólo ternas reductibles pueden descomponerse en ternas cuya suma de sus
términos correspondientes son iguales a los términos de la terna y cumplen el teorema de Pitágoras. Pues si k > 2
entonces la terna es reductible o generadora de ternas parentales.
BIBLIOGRAFÍA
[1] Rubén D. Muñoz L. (2014) Más allá del teorema de Pitágoras – Volumen I y Volumen II