Rubén Darío Muñoz López – 2019
TERNAS PITAGÓRICAS Y LOS NÚMEROS DE TARTAGLIA
Caso: Trenas irreductibles para K = 1
Por Rubén Darío Muñoz López – 2019
RESUMEN
En este artículo se presenta otro método para la generación de ternas pitagóricas de números
enteros basados en la suma simple de tres números consecutivos, de la forma a, a+1 y a + 2.
El cateto menor es un numero de la forma 2n +1. Es decir corresponde al conjunto de
números impares y la diferencia entre hipotenusa y cateto mayor es 1. También es posible
extender este método a todos los casos de ternas pitagóricas pero que en este caso no es tema
del articulo presentado.
La demostración se basa en la aplicación de la teoría de sextales, desarrollada por el autor de
este artículo, la cual se presentó al XXXII coloquio de la asociación matemática del Perú en
diciembre de 2014 llevada a cabo en la Pontificia Universidad católica del Perú , así mismo
puede revisarse en el libro Mas allá del Teorema de Pitágoras – Volumen I - 2° edición.
Palabras claves: Ternas pitagóricas y Triangulo rectángulo, Números impares.
1.1 Introducción
Los números de Tartaglia son aquellos que se encuentran en diferentes ordenamientos dentro
del famoso triangulo numérico desarrollado por el matemático Tartaglia. Si se ordenan los
números naturales en tres columnas iniciando cada grupo en un numero perteneciente a la
serie de números impares, se obtiene tripletas consecutivas, la cuales permiten generar ternas
pitagóricas de cateto menor impar y diferencia pitagórica k = 1.
Rubén Darío Muñoz López – 2019
En este artículo se presenta la demostración y las tablas que permiten verificar el método. Sea
a, b, c tres números consecutivos de tal forma que para el caso en que k = 1 sea el menor
valor de a = 1 por tanto las tripletas de consecutivos serán 1, 2, 3; 3, 4, 5; 5, 6, 7; … etc.
Veamos la siguiente tabla que nos servirá para determinar un patrón de comportamiento y
cuyos indicios indican que dados tres números naturales x, y, z cumplen el teorema de
Pitágoras:
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 tal que x > 2 y x es de la forma 2n + 1. Se cumple que: y = a + c y z = b + c.
TABLA 1
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Tripletas naturales a, b, c
an = 2n + an-1
bn = a n + 1
cn = a + 3
1
2
3
5
6
7
11
12
13
19
20
21
29
30
31
41
42
43
55
56
57
71
72
73
89
90
91
109
110
111
131
132
133
TERNAS PITAGÓRICAS
x = (y + z)1/2
y=a+c
z=b+c
3
4
5
5
12
13
7
24
25
9
40
41
11
60
61
13
84
85
15
112
113
17
144
145
19
180
181
21
220
221
23
264
265
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1.2 DEMOSTRACIÓN.
El conjunto de los números 𝑎 = {1,5,11,19,29,41, … , 𝑛} que pertenecen a la primera columna “a”
presentan una secuencia que corresponde al doble de cada término sumando el anterior.
1
5
11
19
29
41
+4
+6
+8
+10
+12
2(2)
2(3)
2(4)
2(5)
2(6)
…
p
2(n)
Esto permite establecer una sucesión de números de diferencia aritmética progresiva para el “n esimo”
término de la forma:
𝑎𝑛 = 1 + 2(2) + 2(3) + 2(4) + ⋯ + 2(𝑛)
Y como bn y cn son consecutivos, los términos “n esimo” correspondientemente serán:
𝑏𝑛 = 1 + 2(2) + 2(3) + 2(4) + ⋯ + 2(𝑛) + 1
𝑐𝑛 = 1 + 2(2) + 2(3) + 2(4) + ⋯ + 2(𝑛) + 2
DEMOSTRACIÓN
𝑎1 = 𝑎
𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑍 +
𝑎2 = 𝑎 + 2(2)
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
𝑎3 = 𝑎 + 2(2) + 2(3)
Para la hipotenusa “z”
𝑎4 = 𝑎 + 2(2) + 2(3) + 2(4)
𝑧 = 𝑏𝑛 + 𝑐𝑛
…
𝑧 = 𝑛(𝑛 + 1) + 𝑛(𝑛 + 1) + 1
𝑎𝑛 = 𝑎 + 2(2) + 2(3) + 2(4) + ⋯ + 2(𝑛)
𝑧 = 2𝑛(𝑛 + 1) + 1
Pero a = 1, entonces:
Para el cateto mayor “y”
𝑎𝑛 = 1 + 2(2) + 2(3) + 2(4) + ⋯ + 2(𝑛)
𝑎𝑛 = 1 + 2(2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛)
Agregando y restando una unidad a la
𝑦 = 𝑎𝑛 + 𝑐𝑛
𝑦 = 𝑛(𝑛 + 1) − 1 + 𝑛(𝑛 + 1) + 1
𝑦 = 2𝑛(𝑛 + 1)
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sumatoria
𝑎𝑛 = 1 + 2(1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛 − 1)
Para el cateto menor “x”
Sabemos que el cateto menor es igual a:
Expresando la sumatoria como fórmula.
𝑛(𝑛 + 1)
𝑎𝑛 = 1 + 2 (
− 1)
2
Determinando de este modo los tres números
consecutivos a, b, c en función de la sumatoria
de la serie natural.
𝑎𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1) − 1
𝑏𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)
𝑥2 = 𝑦 + 𝑧
𝑥 2 = 2𝑛(𝑛 + 1) + 2𝑛(𝑛 + 1) + 1
𝑥 2 = 4𝑛(𝑛 + 1) + 1
𝑥 = √4𝑛(𝑛 + 1) + 1 → “Cuadrado perfeto”
Definiendo las relaciones en función de Sn que
es la sumatoria de la serie natural para un
término enesimo.
𝑐𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1) + 1
𝑛(𝑛 + 1)
⇒ 2𝑆𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)
2
Ahora estamos en condiciones de definir la 𝑧 = 4𝑆𝑛 + 1
relación pitagórica basada en tres números 𝑦 = 4𝑆
𝑛
consecutivos de Tartaglia.
𝑥 = √8𝑆𝑛 + 1 → “Cuadrado perfecto”
𝑆𝑛 =
Quedando demostrado en todos sus términos lo afirmado y como consecuencia de lo estudiado, se
desprende el siguiente corolario.
COROLARIO
El óctuplo de la suma de la serie natural más uno es un cuadrado perfecto.
A continuación se amplia el corolario expresado líneas arriba.
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CORRELACIÓN DE LA SUMA DE LA SUCESIÓN DE NÚMEROS NATURALES Y EL
CUADRADO DE LOS NÚMEROS IMPARES
Efectivamente si Sn es la sumatoria de la sucesión natural, 8Sn +1 es un cuadrado perfecto.
8(Sn) + 1 = b2
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8(1) + 1 = 9
8(1 + 2) + 1 = 25
8(1 + 2 + 3) + 1 = 49
8(1 + 2 + 3 + 4) + 1 = 81
8(1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 1 = 121
...
...
Sn
0
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
8 Sn + 1
1
9
25
49
81
121
169
225
289
361
441
8(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … + n ) + 1 = b2
Donde: Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n
También es posible establecer que la
expresión 8Sn +1 tal que Sn es la sumatoria
de los n primeros números naturales es un
cuadrado perfecto de un cuadrado impar.
Existe una distribución modular en cada
etapa del desarrollo, como es evidente la
serie natural presenta una distribución sextal
cíclica desde w6 para cero. La sumatoria
natural cada 12 términos repite un ciclo, en la
que no aparecen los sextales II y V; lo que
implica que jamás existirá una potencia
impar de 2 ni ninguna potencia de 5. Lo cual
es verificable por las propiedades estudiadas
en el capítulo sobre potencia de sextales.
La expresión 8Sn +1 tiene una distribución
cíclica para tres términos, y en la que no
aparece el sextal impar V por lo cual no
nα
0
11
22
33
44
55
60
71
82
93
10 4
11 5
12 0
13 1
14 2
15 3
Sα
0
11
33
60
10 4
15 3
21 3
28 4
36 0
45 3
55 1
66 0
78 0
91 1
105 3
120 0
8 Sα + 1
1
93
25 1
49 1
81 3
121 1
169 1
225 3
289 1
361 1
441 3
529 1
625 1
729 3
841 1
961 1
Raiz cuadrada
1
33
55
71
93
11 5
13 1
15 3
17 5
19 1
21 3
23 5
25 1
27 3
29 5
31 1
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existirá jamás una potencia impar de 5.
372 −1
8
172 −1
𝑏2 −1
de los 8 primeros números naturales es igual a 𝑆8 =
hallar ”b” para 𝑆3 =
8
8
Ejercicio: Si la sumatoria de los 18 primeros números naturales es igual a 𝑆18 =
y la sumatoria
1.3 ANALISIS FINAL Y CONCLUSIONES
Como se desprende de la demostración para x > 2 dados tres números consecutivos de
Tartaglia se cumple que:
𝑧 = 𝑏𝑛 + 𝑐𝑛 → 𝑧 = 2𝑛(𝑛 + 1) + 1
𝑦 = 𝑎𝑛 + 𝑐𝑛 → 𝑦 = 2𝑛(𝑛 + 1)
𝑥 2 = 𝑦 + 𝑧 → 𝑥 = √4𝑛(𝑛 + 1) + 1
Tal que decir 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
Expresando las fórmulas en función de Sn que es la sumatoria de la serie natural tal que 𝑆𝑛 =
tiene:
𝑧 = 4𝑆𝑛 + 1
𝑦 = 4𝑆𝑛
𝑥 = √8𝑆𝑛 + 1 → “Cuadrado perfecto”
BIBLIOGRAFÍA
𝑛(𝑛+1)
se
2
Rubén Darío Muñoz López – 2019
[1] Rubén D. Muñoz L. (2014) Más allá del teorema de Pitágoras – Volumen I y Volumen II
2° edición.