Enderezar una circunferencia

Rubén Darío Muñoz López
CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS DE NÚMEROS
TRASCENDENTALES
A continuación se mostrará algunas construcciones geométricas que permiten
aproximar con bastante exactitud las constantes universales de las matemáticas. Similares a
la mundialmente construcción de desarrollo aproximado de un circunferencia. Cuyo
descubrimiento desde hace cientos de años facilitó el diseño y construcción a arquitectos e
ingenieros. Por no ser un descubrimiento del autor no se consigna mayor información, la
cual puede ser revisada en textos especializados de construcciones geométricas propios de
la arquitectura.
Método para desarrollar o enderezar una circunferencia y el desarrollo de una formula
Rubén Darío Muñoz López
Cálculo aproximado de pi basado en la
(𝑅 + 𝑅𝑐𝑜𝑠𝛼)2 + 36𝑅 2
construcción geométrica
= 𝐶 2 𝑅2 (1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼)2 + 36𝑅 2
= (2𝜋𝑅)2 𝑅 2 (1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼)2 + 36𝑅2
(𝑅 + 𝐵)2 + 36𝑅 2
√3
= 𝐶 2 (𝑅 + 𝑅 )2
2
+ 36𝑅2
= 4𝜋 2 (1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼)2
= 4𝜋 2 − 36(1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼)2
= 𝐶 2 𝑅2 (1 +
+ 36𝑅
= 4𝜋 2 𝑅2 (1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼)2 + 36
√3 2
)
2
2
2 + √3 2
= 𝐶 2 𝑅2 (
)
2
= 4(𝜋 2 − 9)(1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼)
= √4(𝜋 2 − 9)(1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼)
= ±2√(𝜋 2 − 9)𝑐𝑜𝑠𝛼
= ±2√(𝜋 2 − 9) − 1𝑐𝑜𝑠𝛼
+ 36𝑅2
= ±2√0.8696044 − 1𝑐𝑜𝑠𝛼
2 + √3 2
= 𝐶 2 𝑅2 ((
)
2
= ±2(0.9325258) − 1𝑐𝑜𝑠𝛼
= ±1.8650516 − 1
+ 36)
Considerando el valor positivo
4√3 + 151
= 𝐶 2 𝑅2 (
)
4
= 𝐶 2 𝑅√(
4√3 + 151
)
4
= 𝐶𝑅√√3 + 37.75
= 𝐶 = 6.283474422
Basado en la formula se puede
aproximar, incluso pi.
𝜋∴
√√3 + 37.75
= 3.14173721. ..
2
0°6'41.03'' ≅ 30°
El ángulo que se aproxima al valor de
pi es.
𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0.8650516𝑐𝑜𝑠 −1 = 30.11139°
Rubén Darío Muñoz López
EL VERSÁTIL TRIANGULO RECTÁNGULO 30° - 60°
Muchas constantes numéricas como , e, número de oro , la constante de Euler entre
otras constantes matemáticas universales son números racionales imposibles de expresarse
como números racionales, sin embargo se hizo un descubrimiento que permite la
construcción geométrica con sorprendente aproximación.
NÚMERO e, BASE DE LOS LOGARITMOS NEPERIANOS
El numero e, es uno de los números irracionales más importantes de las matemáticas y cuya
1 𝑛
definición y valor aproximado a 31 cifras decimales es: 𝑒 = 𝑙𝑖𝑚 (1 + 𝑛) =
𝑛→∞
2,7182818284590452353602874713527 …
1
1
1
Algunos investigadores también la definen como: 𝑒 = 0! + 1! + 2! + ⋯
𝑒 2 = 22 + (1 +
2 + √3 2
√3 2
) → 𝑒2 = 4 + (
)
2
2
Rubén Darío Muñoz López
𝑒2 =
√23 + 4√3
23 + 4√3
→𝑒=
= 2,7353337652960885594 …
4
2
NUMERO DE PI
PI es uno de los números más conocidos por matemáticos y no matemáticos, sabemos que
es la relación de dividir la longitud de la circunferencia entre su diámetro, Y su valor
aproximado es:
π=3,1415926535897932384626433832795…
NUMERO ÁUREO
El número áureo conocido por artistas y arquitectos como el número de la belleza. Es la
razón perfecta constituida por la relación que resulta de dividir un segmento en dos partes
de tal manera que siempre existe la misma proporción entre ellos y su totalidad.
Matemáticamente tiene la siguiente estructura y su aproximación es:
∅=
1 + √5
= 1,6180339887498948482045868343656 …
2
Rubén Darío Muñoz López
CONSTANTE DE EULER- MASCHERONI
También conocida como la constante gamma, muy útil en la rama de teoría de números. Y
está definida como la diferencia de la serie armónica y el logaritmo neperiano de e. Y cuya
expresión y aproximación es:
𝑛
1
𝛾 = 𝑙𝑖𝑚 [∑ − 𝑙𝑛(𝑛)] = 0.577215664901532 …
𝑛→∞
𝑖
𝑖=1
2
2√3
1
𝛾 =(
) − 12 → 𝛾 = √ = 0,57735026918 …
3
3
2
A continuación se presenta un resumen general de estas construcciones aproximadas.
Rubén Darío Muñoz López
En conclusión, se presentó el siguiente gráfico que puede utilizarse para aproximar los
valores de pi, e, número de oro Phi, constante de Euler entre otras constantes matemáticas
y todo como una curiosidad matemática encerrado en un área de 7u2
En el caso del método de la circunferencia y su desarrollo lineal se puede apreciar en la
siguiente tabla el grado de aproximación para distintos radios.
Radio en
metros
(1)
2.00
Diámetro en
metros
(2)
4.00
Circunferencia por
formula en metros
(3)
12.56637
1.00
2.00
6.28318
0.50
1.00
3.14159
0.20
0.40
1.25663
0.10
0.20
0.62831
0.05
0.10
0.31415
Circunferencia por
método de 30° y error
(4)
12.56694884
0.00057
6.283474422
0.00028
3.141737211
0.00014
1.256694884
0.00005
0.628347442
0.00002
0.314173721
0.00001
Rubén Darío Muñoz López
En la columna (3) se ha realizado el cálculo utilizando la formula general con un valor de pi
de 12 decimales.
Y en la columna (4) utilizando el método grafico del ángulo de 30° observe la gran
aproximación con respecto al método analítico, que tampoco es un método preciso.
El siguiente cuadro esta elaborado en una hoja de cálculo, utilizando una aproximación
también interesante para pi que se aproxima al valor de la raíz cuadrada de 10 y a 4/5 de
radio en el gráfico.
Rubén D Muñoz L - 2014