IV° - Números imaginarios y complejos.pdf

Números imaginarios y
complejos
1. Números Imaginarios
¿Cuál será la solución de la ecuación x2 + 6 = – 10?
x 2  6  10
x 2   16
x   16
¿Existe un número real, que multiplicado por sí mismo
de como resultado -16?
Si no existe tal número, entonces… ¿  16 es imaginario?
Analicemos:
- 16  16- 1  4  1
Si i   1 , entonces
 16  4i
¿Qué tipo de números serán
¿Tienen algo en común?
 25, - 49 , 4 - 81...?
1. Números Imaginarios
Unidad imaginaria
La unidad imaginaria es el número
 1 y se designa por la letra i.
Potencias de i:
i  1
i5  i
i9  i
i2  1
i3  i
i6  1
i10  1
i7  i
i11  i
i 1
i12  1...
i 1
4
8
¿Observas alguna regularidad?
Cada cierto intervalo de números, se repite el resultado para la
potencia de i.
1. Números Imaginarios
Unidad imaginaria
Todas las potencias de i cuyos exponentes son:
•
múltiplos de 4, son iguales a 1
Ejemplo:
•
múltiplos de 4 más 1, darán i
Ejemplo:
42 1
1 i42  i1  1 i  i
i12  1  ii4(3)
i9  i  i4(2)1  i
• múltiplos de 4 más 2, darán -1
Ejemplo: i14  1  i4(3) 2  -1
•
Ejemplo: i19  i  i4(4)3  -i
múltiplos de 4 más 3, darán –i.
1. Números Imaginarios
Número imaginario
Un número imaginario puede describirse como el producto de un
número real b (distinto de cero) por la unidad imaginaria i.
- 4  4  -1  2 - 1  2i
Ejemplos:
3i
-i
-0,6i
2
i
3
- 4...
Los números imaginarios se pueden operar como términos
algebraicos.
Ejemplos: 3i + 12i = 15i
2 1
6i  i
5i
i - i 

3 9
9
9
- 121  2i  121 -1  2i  11 - 1  2i  11i  2i  9i
- 4i  3i  - 12i2  - 12(-1)  12
2. Números Complejos: C
Definición
Un número complejo es todo número de la forma a + bi, siendo a y
b números reales, e i la unidad imaginaria (i  - 1 ).
a es la parte real de z
Re(z) = a
z = a + bi
b es la parte imaginaria de z
Im(z) = b
Ejemplo: Si z es un número complejo tal que z = 5 + 3i, entonces
5 es la parte real de z
Re(z) = 5
z = 5 + 3i
3 es la parte imaginaria de z
Im(z) = 3
2. Números Complejos: C
Representación
Un número complejo se puede representar al menos de tres maneras:
•
Canónica o binómica: a + bi
•
Par ordenado : (a, b)
•
Gráficamente: Como vector
Ejemplo:
Si z es un número complejo, tal que su parte real es 2 y su parte
imaginaria es 5, entonces se puede representar como:
binomio
par ordenado
z = 2 + 5i
z = (2,5)
Re(z)
Im(z)
Re(z)
Im(z)
2. Números Complejos: C
Representación
Dado que los números complejos se componen de una parte real y otra
imaginaria, es posible representarlos en un “plano complejo”, donde el
eje x representa al eje real (Re) y el eje y al eje imaginario (Im).
Ejemplo:
Si z es un número complejo, tal que su parte real es 3 y su parte
imaginaria 4, entonces se puede representar de la siguiente manera:
Im
z = 3 + 4i
5
z = (3,4)
4
3
(3,4)
2
1
Re
1
2
3
4
5
6
2. Números Complejos: C
Módulo o valor absoluto de un número complejo |z|
El módulo de un complejo z = (a,b), es la longitud del vector que
representa, es decir, la distancia entre el (0,0) y (a,b).
z  a2  b2
Ejemplo:
El módulo de z = (5, 2) es:
z  5 2  22
z  25  4
Im
5
z  29
4
3
(5,2)
2
1
Re
1
2
3
4
5
6
2. Números Complejos: C
Conjugado de un número complejo z
El conjugado de un complejo z se denota por z , y es el simétrico de z
respecto al eje real.
Algebraicamente, el conjugado de z solo difiere de este en el signo de su
parte imaginaria, es decir, si z = a + bi entonces z  a  bi.
Ejemplo:
El conjugado de z = 4 + 5i es:
z  4  5i.
Im
(4,5)
5
4
3
2
1
Re
-1
1
2
3
4
5
6
-2
-3
-4
-5
(4,-5)
2. Números Complejos: C
Inverso aditivo de un número complejo
El inverso aditivo del complejo z = a + bi es -z = -a –Elbineutro
ya que
z + (-z)= a + bi + -a – bi = 0 + 0i
aditivo es (0,0)
Ejemplo: El inverso aditivo de z = -2 + 4i es –z = 2 – 4i
Im
(-2,4)
5
4
3
2
1
Re
-4 -3 -2 -1 -1
-2
-3
-4
1
2
3
4
(2,-4)
Geométricamente, el inverso
aditivo de z es el simétrico
de z respecto al origen.
2. Números Complejos: C
Inverso multiplicativo de un número complejo
El inverso multiplicativo un número complejo z es igual al cociente
Neutro
entre su conjugado y el cuadrado de su módulo.
multiplicativo
Es decir:
z 
1
z
z
2
2
z  a2  b2
z  z 1  1  0i  (1,0)
Ejemplo: El inverso multiplicativo de z = 1 + 2i es:
z 
1
z
z
2
1 2i
1 2i 1 2i 1 2i 1 2
de 

 2 Producto

  i
2
2
1  2binomios
1 4
5
5 5
1  2i
1 2 
z  z 1  (1  2i)    i   1  2 i  2 i  4 i2  1  4  ( 1)  1  4  5  1
5 5  5 5 5 5
5 5
5 5 5
3. Operatoria en C
Igualdad entre complejos
Sean z1  a  bi y z 2  c  di dos números complejos entonces:
z1  z 2  (a, b)  (c, d)  a  c y b  d
Ejemplo:
Sean z1 = -4 + 3i y z2 = 2x + 9yi, dos números complejos tal que
z1 = z2 , ¿cuál es el valor de x e y?
Si z1  z 2  (-4,3)  (2x, 9y)  - 4  2x y 3  9y
 x
-4
e
2
 x  -2
e
3
9
1
y
3
y
3. Operatoria en C
Suma y resta entre complejos
Sean z1  a  bi  (a, b) y z 2  c  di ( c, d) dos números complejos,
entonces:
z1  z 2  (a  c, b  d)  (a  c)  (b  d)i
z1  z 2  (a  c, b  d)  (a  c)  (b  d)i
Ejemplo:
Sean z1 = -4 + 3i y z2 = 12 + 7i, dos números complejos,
entonces:
z1  z 2  (-4  12, 3  7)  (8, 10)  8  10i
z1  z 2  (-4  12, 3  7)  (-16, - 4)  - 16  4i
3. Operatoria en C
Ponderación por un escalar
Sea z  a  bi = (a, b) un número complejo y k  R entonces:
k  z  k a , b   (k  a, k  b) ó k  z  k a  bi  k  a  k  bi
Ejemplo 1:
Sean z = -3 + 2i entonces -5z es: -5(-3, 2) = (15, -10)
Ejemplo 2:
Sean z1 = 1 + 4i y z2 = 8 + 6i, entonces (2z1 - z2) = 2(1,4) – (8,6)
= (2,8) – (8,6)
= (-6,2)
3. Operatoria en C
Multiplicación entre complejos
Sean z1  a  bi = (a, b) y z 2  c  di = (c, d) dos números
complejos, entonces:
z1  z 2  (a, b)  (c, d)  (ac - bd, ad  bc)
Al multiplicar los binomios resulta:
i2  - 1
2
z1  z 2  (a  bi)  (c  di)  ac  adi  bci  bdi  ac - bd  (ad  bc)i
Ejemplo:
Si z1 = 1 + 4i y z2 = 3 + 2i, entonces z1  z 2  (1,4)  (3,2)
 (1 3 - 4  2, 1 2  4  3)
 (3 - 8, 2  12)
 (- 5, 14)
-5 + 14i
3. Operatoria en C
División entre complejos
Sean z1  a  bi = (a, b) y z 2  c  di = (c, d) dos números
complejos, entonces la división entre z1 y z2 es igual al producto
entre z1 y el inverso multiplicativo de z2 . Es decir:
z1
1 z1  z 2
 z1  
2
z2
z2
z2
z1 (ac  bd, bc  ad)

2
2
z2
c d
Ejemplo:
z1
Si z1 = 1 + 4i y z2 = 3 + 2i, entonces
es
z2
(11, 10) 11 10
z1 (1 3  4  2, 4  3  1 2) (3  8, 12  2)



 i

2
2
13
13 13
94
z2
3 2
3. Operatoria en C
Aplicaciones
1. Si z = -1 + 3i, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) El inverso aditivo de z es -1 – 3i.
II) 5z = -5 +15i
III) z  z
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
3. Operatoria en C
Resolución:
I)
Falsa. El inverso aditivo de z es 1 – 3i. Tanto la parte
real como la imaginaria cambian de signo.
II)
Verdadera, ya que 5z = 5(-1 + 3i) = -5 +15i.
III)
Verdadera. Como z  a2  b2 y z  - 1 3i entonces:
z
- 12  32
z
- 12  (-3)2
 1 9  10
zz
 1 9  10
D
3. Operatoria en C
Aplicaciones
2. ¿Cuál de las siguientes expresiones numéricas es imaginaria?
A)
2, 3
B)
2
C)
- 32
D) (5  3i)(5 - 3i)
2
E) - 3i
3. Operatoria en C
Resolución:
A)
2, 3
es un decimal periódico, un racional, por lo tanto un real.
B)
2
C)
- 32 es imaginario, ya que: - 32  16  2  (-1)  4 2  - 1  4 2  i
es un irracional, por lo tanto es real.
D) (5  3i)(5 - 3i) es real, ya que: (5  3i)(5 - 3i)  5 2  3i2
E) - 3i2 es real ya que: - 3i2  - 3(-1)  3
 25  9i2
 25  9
 34
C
3. Operatoria en C
Aplicaciones
3.
(1 - i)i =
A)
B)
C)
D)
E)
0
1
i
1+i
1-i
3. Operatoria en C
Resolución:
i2  - 1
(1 - i)i = i – i2 = i – (-1) = i +1
D
3. Operatoria en C
Aplicaciones
4. Si 6i(x + iy) = 9, entonces (x + y) es igual a
A)
-6
B)
-3
2
C)
0
D)
3
2
E)
6
3. Operatoria en C
Resolución:
Si 6i(x + iy) = 9, entonces:
2
i
1 0i
6i(x + iy) =9-+
6xi + 6i2y = 9 + 0i
6xi - 6y = 9 + 0i
Al ordenar los términos, resulta ser una expresión imaginaria, donde
-6y sería la parte real y 6x la parte imaginaria.
- 6y + 6xi = 9 + 0i
(- 6y, 6x) = (9,0)
Al igualar se tiene que: - 6y = 9 y que 6x = 0
entonces y 
-3
Por lo tanto x + y =
2
-3
, x0
2
B
3. Operatoria en C
Aplicaciones
5.
-i

1 i
A)
i -1
2
B)
i 1
2
C)
i
2
D) 1- i
E) - 1 - i
2
3. Operatoria en C
Resolución:
-i
- i (1 i)


1 i 1 i (1 i)
 i  i2

1  i2

 i 1
1 1

 1 i
2
E
Síntesis de la clase
Números Imaginarios
Números Complejos
bi, b real ≠ 0
z = a + bi, a y b reales
i  - 1 : unidad imaginaria
Módulo
z  a2  b2
Potencias de i:
Conjugado
z  a  bi.
i  1
i
i2  1
i4n1  i
4n
4n  2
1
Inverso aditivo
i  i
i
i4  1...
i4n3  -i
3
 1
-z = -a – bi
Operatoria
Sean: z1  a  bi y z 2  c  di
dos números complejos, entonces:
Suma y resta
z1  z 2  (a  c, b  d)  (a  c)  (b  d)i
z1  z 2  (a  c, b  d)  (a  c)  (b  d)i
Inverso multiplicativo
z 1 
z
z
2
Igualdad entre complejos
z1  z 2  (a, b)  (c, d)  a  c y b  d
Multiplicación
z1  z 2  (a, b)  (c, d)  (ac - bd, ad  bc)
División z1  (ac  bd, bc  ad)
2
2
z2
c d
Ponderación por un escalar
k  z  k a , b   (k  a, k  b)