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UNIDAD 2: CINEMATICA II. ACELERACION.
Los conceptos de velocidad y aceleración están relacionados, pero muchas veces se hace
una interpretación incorrecta de esta relación. Muchas personas piensan que cuando un
cuerpo se mueve con una gran velocidad, su aceleración también es grande; que si se
mueve con velocidad pequeña es porque su aceleración es pequeña; y si su velocidad es
cero, entonces su aceleración también debe valer cero. ¡Esto es un error!
La aceleración relaciona los cambios de la velocidad con el tiempo en el que se producen,
es decir que mide que tan rápidos son los cambios de velocidad:



Una aceleración grande significa que la velocidad cambia rápidamente.
Una aceleración pequeña significa que la velocidad cambia lentamente.
Una aceleración cero significa que la velocidad no cambia.
La aceleración nos dice cómo cambia la velocidad y no cómo es la velocidad. Por lo tanto
un móvil puede tener un velocidad grande y una aceleración pequeña (o cero) y viceversa.
Aceleración media.
Lo normal es que la velocidad de una partícula en movimiento varíe en el transcurso del
tiempo, entonces se dice que la partícula tiene aceleración. Se define la aceleración media
am como el cambio de velocidad en un intervalo de tiempo, lo que se escribe como:
La aceleración media es un vector, su unidad de medida en el SI es el resultado de dividir
la unidad de medida de velocidad entre el tiempo, esto es (m/s)/s, que se lee m/s2.
Aceleración instantánea.
Es la aceleración a de la partícula en un instante determinado. De manera análoga a la
definición de la velocidad, se escribe:
(La aceleración se obtiene derivando a la velocidad en función del tiempo)
Como vector, si la aceleración es positiva, apunta en dirección positiva del eje x, (en el
movimiento en una dimensión. Si es negativa, apuntará en dirección negativa del eje x.
Puede existir una aceleración positiva o negativa y la partícula puede estar aumentando su
velocidad, o viceversa.
CASOS DE MOVIMIENTOS:
Velocidad constante, partícula sin aceleración, a=0, estamos hablando de un movimiento
uniforme. Si el movimiento es en línea recta se denomina M.R.U. (movimiento rectilíneo
uniforme), la velocidad no varia implicando que la aceleración es cero.
Velocidad no es uniforme, partícula con aceleración, es el caso del movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado (M.R.U.A.), donde la aceleración es constante, donde
la rapidez promedio (módulo de la velocidad) se puede calcular como el promedio
aritmético entre los distintos valores de rapidez de la forma:
VELOCIDAD PROMEDIO
Una interpretación geométrica de la aceleración se obtiene del gráfico rapidez versus
tiempo o gráfico v/t, donde la pendiente de la curva (inclinación) representa el valor de la
aceleración, (recordemos que la derivada de una función representa la pendiente de la
misma) como se ve en la figura 2.6.
En el gráfico se observa una curva con pendiente positiva que disminuye su valor hasta
cero, esto representa un movimiento con aceleración positiva. Al llegar a pendiente cero, la
aceleración es cero, el móvil posee velocidad constante. Luego va disminuyendo su valor,
la pendiente se hace negativa, esto representa un movimiento con aceleración negativa.
¿Qué creen Uds. Que signifique una aceleración negativa?
La aceleración también se puede escribir en función de la posición como:
Que corresponde a la segunda derivada de la posición respecto al tiempo.
La aceleración también puede variar en el tiempo, pero esa variación no tiene significado
físico de importancia, por lo que no se le da un nombre en particular. Aunque da/dt podría
representar o llamarse algo así como sacudón” o “empujón”. También puede existir un
d(empujón)/dt y así hasta el infinito.
Ejemplo1: Una partícula se mueve en dirección este durante 10 s con rapidez constante
de 18 Km. /h, luego acelera hasta 25 m/s durante 5 s. Calcular:
a) Su desplazamiento en los primeros 10 s, b) la aceleración media en cada intervalo de
tiempo, c) la rapidez media del movimiento.
Ejemplo2: Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t3 - 4t2 + 5 m. Hallar la
expresión de la velocidad y la aceleración del móvil en función del tiempo.
Ahora es posible hallar la aceleración de un móvil si conocemos la velocidad del mismo en
función del tiempo….
Ejemplo3: La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene
dada por la expresión. a=4-t2 m/s2. Sabiendo que en el instante t0=3 s, la velocidad del
móvil vale v0=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del móvil en cualquier
instante.
Resultado: 4t – t 3 /3 - 1
DESCRIPCIÓN CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN CON
ACELERACIÓN CONSTANTE. (M.R.U.A.)
E1 movimiento de una partícula se describe por completo si se conoce su posición en
cualquier instante. Para encontrar leyes que expliquen los diferentes cambios de los cuerpos
en el tiempo, se deben registrar los cambios y describirlos.
Describir el movimiento significa poder responder a la pregunta ¿en que posición se
encuentra el cuerpo en movimiento en cualquier instante de tiempo? Si la aceleración
varía en el tiempo el movimiento puede ser muy complejo y difícil de analizar. Un caso
simple de movimiento es aquel que se realiza en una dirección con aceleración constante.
Si la aceleración es constante, entonces la
cambia de manera uniforme en todo el movimiento.
, lo que significa que la velocidad
Consideremos primero el caso de una partícula que se mueve en dirección del eje x con la
magnitud de la aceleración a constante. Si v0 es el valor de la velocidad o rapidez en el
instante inicial t0, y v su valor en el instante t, de la definición de a se tiene:
La ecuación 2.7 permite determinar la velocidad v = v (t) de una partícula que se mueve en
una dirección con aceleración
constante, para cualquier instante t > t0. Como v0, a y t0
son valores conocidos, se observa que v es una función lineal del tiempo t, por lo tanto el
gráfico rapidez versus tiempo o gráfico v/t es de la forma que se muestra en la figura 2.7ª,
para valores de aceleración positivos; para valores de aceleración negativos (a < 0), caso de
una partícula que está disminuyendo su rapidez, los gráficos v/t y a/t se muestran en la
figura 2.7b.
El valor de la pendiente o tangente a la curva v (t) en el gráfico es igual al valor de la
aceleración. Para el movimiento con aceleración constante, v (t) es la ecuación de una recta.
Conocida v = v (t) se puede usar la definición de la velocidad para obtener la posición de la
partícula en cualquier instante.
Si inicialmente, para t = to, la partícula se encuentra en la posición xo y en cualquier
instante t se encuentra en la posición x, la velocidad en función del tiempo es
, reemplazando en la integral, con los límites de integración
correspondientes queda:
Escrita en forma vectorial, se obtiene:
Como xo, vo y a son los valores conocidos para t = to, se deduce que x es sólo función del
tiempo, así la ecuación que describe la posición de una partícula en movimiento en función
del tiempo x = x (t) es:
2.8
La ecuación 2.8 es la expresión que permite determinar el valor de la posición de la
partícula en cualquier instante, conocido los valores iniciales. El gráfico posición/tiempo es
una parábola, ya que la ecuación x = x (t) es cuadrática en t. La pendiente de la tangente a
la curva en cualquier instante t representa el valor numérico de la velocidad de la partícula
(figura 2.8)
Las ecuaciones x = x (t), v = v (t) y a = cte., forman el conjunto de ecuaciones cinemáticas,
que permiten describir el movimiento simple de una partícula que se mueve con aceleración
constante en una dirección, y como con esas ecuaciones se pueden determinar los valores
de esas variables para la partícula en cualquier instante, el movimiento queda
completamente descrito. Para el caso particular de un movimiento con rapidez constante, o
sea M.R.U., la aceleración de la partícula es cero, y las ecuaciones del movimiento 2.7 y
2.8 se reducen a:
Si se despeja de
, la variación del tiempo
Y se reemplaza en la ecuación 2.8 se obtiene:
Esta es una expresión escalar independiente del tiempo, no es una ecuación general, por lo
que no se puede usar en cualquier problema, es de utilidad restringida ya que sólo permite
obtener la magnitud de las variables que contiene.
Ejemplo 4. Un móvil parte desde el reposo en el instante t = 5 s y acelera hacia la
derecha a razón de 2 m/s2 hasta t = 10 s. A continuación mantiene su velocidad constante
durante 10 s. Finalmente frena hasta detenerse, lo que logra hacer 3 segundos más
tarde. a) Determinar a qué distancia del punto de partida se encuentra en t = 10 s.
b) ¿Con qué velocidad se mueve en ese instante?
c) ¿A qué distancia de la partida se encuentra cuando empieza a frenar?
d) ¿Dónde se detiene respecto al punto de partida?
e) Escriba las ecuaciones correspondientes a: a(t), v(t), x(t) para cada etapa del
movimiento.
a) Se pide evaluar x (t) para t = 10 s, con las condiciones xo = 0, vo = 0, ao
=2m/s2, to = 5s, t1 = 10s, en el tramo A
Ejemplo 5: En la figura 2.13 se muestra el gráfico rapidez/tiempo para una partícula que
se mueve en dirección positiva del eje x. b) hacer el gráfico aceleración/tiempo, c)
calcular su posición en los instantes 5, 10 y 20 segundos.
Solución:
c) La posición en los instantes pedidos (y en cualquier otro tiempo) se puede calcular con
la ecuación de movimiento
Donde:
Ejercicio: calcular la posición en los instantes 2.5, 8 y 15 segundos.
ACELERACIÓN NORMAL Y TANGENCIAL
La aceleración es una magnitud vectorial que relaciona los cambios en la velocidad con el
tiempo que tardan en producirse. Un móvil está acelerando mientras su velocidad cambia.
En Física solemos distinguir ambos tipos de cambios con dos clases de aceleración:
tangencial y normal.
La aceleración tangencial para relacionar la variación de la rapidez con el tiempo y la
aceleración normal (o centrípeta) para relacionar los cambios de la dirección con el
tiempo. Normalmente, cuando hablamos de aceleración nos referimos a la aceleración
tangencial y olvidamos que un cuerpo también acelera al cambiar su dirección, aunque su
rapidez permanezca constante. Ejemplo de ello encontramos en los movimientos circulares,
tema que trataremos en la unidad 5.
Como estas páginas están dedicadas al estudio de los movimientos rectilíneos, y en ellos no
cambia la dirección, sólo vamos a referirnos a la aceleración tangencial. Pero recuerda: ¡si
el movimiento es curvilíneo, no podemos olvidarnos de la aceleración normal!
Dirección de la aceleración
Como la aceleración es una magnitud vectorial, siempre tendrá asociada una dirección. La
dirección del vector aceleración depende de dos cosas:


de que la rapidez esté aumentando o disminuyendo
de que el cuerpo se mueva en la dirección positiva + o negativa - .
Según lo anterior:
1. Si un móvil está disminuyendo su rapidez (está frenando), entonces su
aceleración va en el sentido contrario al movimiento.
2. Si un móvil aumenta su rapidez, la aceleración tiene el mismo sentido que la
velocidad.
Este acuerdo puede aplicarse para determinar cuándo el signo de la aceleración es positivo
o negativo, derecha o izquierda, arriba o abajo, etc.
EJERCICIOS:
1. Las ecuaciones paramétricas de un punto material que se desplaza en el espacio, son
en unidades SI. X= t 3 , Y=t 2 -2, Z=t, según eso se podrá decir que la aceleración
instantánea en dicho punto para t=1 segundo es:
1. NO TIENE COMPONENTE Z
2. VALE 6i+2j
3. ES IGUAL QUE PARA t=2s.
4. TIENE POR MÓDULO
(Solución: 2)
2. La trayectoria de un móvil viene descrita por las ecuaciones x=3+t2, y=6t.
Determinar el módulo aceleración en el instante t=4 (t se expresa en segundos, x e y
en metros). SOLUCION: a=2 m/seg. 2
3. Una partícula se mueve en el plano con una aceleración constante a=4i+3j. En el
instante inicial se encuentra en el punto de coordenadas (4,3) y su velocidad en
dicho instante es v=2i-9j. Determinar la posición y la velocidad de la partícula al
cabo de 4 segundos. (Todas las coordenadas vienen expresadas en unidades del SI)
SOLUCION vector posición= 44 i – 9 j
Vector velocidad= 18 i + 3 j
4. Un auto que se mueve con aceleración constante, recorre una distancia de 180 m,
(desde el punto A al punto B). Su velocidad al pasar por el punto B es de 45 m/seg.
a) Cuál es la velocidad al pasar por el punto A? b) Cual es la aceleración?
Solución: a) 15 m/seg. b) 5 m/seg. 2
5. Un móvil que se desplaza con velocidad constante aplica los frenos durante 25 s y
recorre 400 m hasta detenerse. Calcular: a) ¿Qué velocidad tenia el móvil antes de
aplicar los frenos? b) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?
Solución: a) 32 m/seg. b) -1.28 m/seg. 2
6. Un móvil se desplaza con MUV (mov. Uniforme. Variado) partiendo del reposo con
una aceleración de 51840 km/h ², calcular: a) ¿Qué velocidad tendrá a los 10 s? b)
¿Qué distancia habrá recorrido a los 32 s de la partida? c) Representar gráficamente la
velocidad en función del tiempo. Solución: a) 40 m/seg. b) 2048m
7. Un móvil se desplaza sobre el eje "x" con movimiento uniformemente variado. La
posición en el instante t0 = 0 s es x0 = 10 m; su velocidad inicial es v0 = 8 m/s y su
aceleración a = -4 m/s ². Escribir las ecuaciones del movimiento; graficar la posición,
velocidad y aceleración en función del tiempo; y calcular (a) la posición, (b) velocidad
y (c) aceleración para t = 2 s.
8. En la figura se indica la posición de un móvil en función del tiempo, hallar la
velocidad media durante los intervalos de tiempo a, b, c y d indicados.
PD: el inicio de la curva en t=0 es de 3m
9. Un cuerpo se mueve sobre una recta, la posición está determinada por X (t) = 8t – 3t 2
(cm.). A) Calcular la velocidad media del cuerpo en el intervalo comprendido entre t=0 y t=
1 (seg.) b) Calcular la velocidad instantánea en t= 1 seg. y t=4seg. c) Encontrar los instantes
en los cuales el cuerpo está en reposo. D) determinar la aceleración en t=0 y t=4 (seg.) e)
construir las graficas con respecto al tiempo de la posición y la velocidad entre t=0 y
t=4seg.
10. ¿Cuánto le toma a un automóvil recorrer 30 m si acelera partiendo del reposo a una tasa
de 2 m/s2 ?
Caída Libre o caída de los cuerpos
Si permitimos que un cuerpo caiga en vacío, de modo que la resistencia del aire no afecte
su movimiento, encontraremos un hecho notable: todos los cuerpos independientemente de
su tamaño, forma o composición, caen con la misma aceleración. Esta aceleración,
2
denotada por el símbolo g, se llama aceleración de gravedad. (9.8 m/seg. )
Las ecuaciones vistas en la sección anterior para un movimiento rectilíneo con aceleración
constante pueden ser aplicadas a la caída libre, con las siguientes variaciones:
Establecemos la dirección de la caída libre como el eje Y, en lugar del eje X;
Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado a la
aceleración por g, si suponemos un movimiento hacia abajo la aceleración del cuerpo
será positiva ya que actúa en la misma dirección que la gravedad y si es el movimiento
hacia arriba, significa que la aceleración es negativa, ya que es contrario a la acción de la
gravedad.
En caso de movimientos en donde se deja caer o se lanza un objeto hacia abajo, todas
las variables: aceleración, velocidad, y altura son negativas. Si tomamos como origen el
sistema de coordenadas entonces podemos asumirlas positivas.
En la gráfica anterior podemos observar la dirección de los vectores aceleración y
velocidad de un objeto que ha sido lanzado hacia arriba con una velocidad inicial; en el
primer instante (pelota a la izquierda) notamos que el vector velocidad apunta hacia arriba,
en el sentido positivo del eje Y, mientras el vector aceleración (g) tiene una dirección hacia
abajo, en el sentido negativo del eje Y. En el segundo instante cuando el objeto cae (bola a
la derecha) la dirección de la velocidad es hacia abajo en el mismo sentido del
desplazamiento y el vector aceleración (g) mantiene su misma dirección, en el sentido
negativo del eje Y.
Cuando la pelota sube resultan ser:
a =-g
V (t) = v0 - g. t
Siendo: Yo la altura inicial de lanzamiento
Vo la velocidad inicial de lanzamiento
V (t) la velocidad final del objeto en cualquier instante; cuando el objeto alcanza la
altura máxima, éste se detiene momentáneamente siendo la velocidad en ese punto igual a
cero. ( ¿la aceleración en ese punto será igual a?)
Cuando la pelota baja:
- V (t) = - v0 - g. t
pudiendo escribirla como
V (t) = v0 + g. t
- Y (t)= -Vot - 1/2g t 2 pudiendo escribirla como Y (t)= Vot + 1/2g t 2
Ejemplo: Una persona arroja una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 15
m/s. Calcule a) La altura que la pelota alcanza b) tiempo que permanece en el aire antes
de regresar a la mano.
Tomaremos como positiva el desplazamiento hacia arriba, Y= + lo que implica que la
aceleración es negativa. Al subir la pelota en el punto más alto, su velocidad es cero.
Teniendo como datos:
V o= 15 m/s
a= -9.8 m/s2
V
f = 0 m/s
Asumiendo que en t=0 la posición inicial Yo=0, aplicamos la ecuación Vf2 = Vo2 + 2 ay,
sustituyendo y despejando Y que es nuestra altura tenemos:
Y= Vf2 - Vo2 / 2 a = 0 – (15)2 / 2 - (-9.8)2 = 11.5 m
El tiempo que tarda en regrasar a la mano es lo que se llama tiempo de vuelo y se calcula
tomando la ecuación de Y(t) e igualándola a cero ya que cuando regresa a la mano la altura
es cero, despejamos de esa ecuación el tiempo quedando
Tv(tiempo de vuelo) = Vo/2a recordando que a = -g , sustituyendo queda T= 3.06 s
Ejercicios:
1. Un cuerpo se deja caer libremente. Determinar la posición y la velocidad a t=1 seg.
t= 2seg y t=3 seg.
Sol: Recuerden que la velocidad inicial es cero
V (1seg.) = 9.8 m/seg. h= 4.9m
V (2seg.) = 19.6 m/seg. h= 19.6m
V (3seg.) = 29.4 m/seg. h=44.1m
2. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo desde una altura de 30 m,
con
cierta velocidad, de modo que choca contra el suelo 2 segundos después de soltarlo.
Hallar: a) Velocidad inicial Vo b) ¿Con que velocidad choca contra el suelo?
Sol: a) Vo= 5.2 m/seg.
b) V= 25 m/seg.
3. Se lanza una pelota desde el suelo verticalmente hacia arriba con Vo=24.4m/seg.
Hallar: a) Cuanto tarda en alcanzar la altura máxima. (recuerda que al llegar a la
máxima altura la velocidad es cero) b) ¿Hasta que altura sube la pelota? (utiliza el
tiempo que tarda en llegar arriba) c) ¿En cuanto tiempo la pelota estará a la altura de
29m?
Sol: a) t=2.5 seg.
b) h= 30.3m
c) t= 1.95seg.
4. Se deja caer desde un trampolín que está a 16 m por encima de la superficie de un
lago, una esfera de plomo. La esfera cae en el agua con cierta velocidad y se hunde
hasta el fondo con la misma velocidad con la que entró en el agua (v=ctte). El
tiempo transcurrido desde que se deja caer hasta que llega al fondo es de t=5seg.
Hallar a) velocidad con la que entra en el agua b) profundidad del lago.