GUIA Fluidos en movimiento(HIDRODINAMICA)

Fluidos en movimiento
Montoya.CONCEPTOS PREVIOS:
FLUJO O DESCARGA DE UN FLUIDO (Q) cuando un fluido que llena un tubo corre a lo largo de
este tubo con velocidad promedio v, el flujo o descarga, Q es
Q = Av
donde A es el área de la sección transversal del tubo. Las unidades en el SI son m3/s y en el sistema
inglés son pies 3 /s. Algunas veces Q es llamado rapidez (velocidad) de flujo o gasto.
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD supóngase un fluido incompresible (densidad constante) que llena un
tubo y fluye a través de él. Supóngase además que el área de la sección transversal del tubo es A1 en
un punto y A2 en otro. Ya que el flujo a través de A1 debe ser igual al flujo a través de A2 se tiene
Q = A1v1 = A2v2 = constante
donde v1 y v2 son las velocidades promedio del fluido en A1 y A2, respectivamente.
LA RAZÓN DE CORTE de un fluido es la razón con la cual la deformación de corte está cambiando
dentro del mismo. Puesto que la deformación no tiene unidades, en el SI la unidad para la razón de
corte es s-1.
LA VISCOSIDAD () de un fluido es la medida del esfuerzo constante requerido para producir una
unidad de razón de corte. Sus unidades están definidas como las del esfuerzo por unidad de razón de
corte, es decir, Pa · s en el SI. Otra unidad en SI es el N · s/m2 (o bien kg/m · s), llamado poiseuille
(PI): 1 PI = 1 kg/m · s = 1 Pa · s. Otras unidades utilizadas son: el poise (P), donde 1 P = o.1 PI, y el
centipoise (cP), donde 1 cP = 10-3 PI. Un fluido viscoso, como el alquitrán, tiene una  muy grande.
LEY DE POISEUILLE: El flujo de un fluido que corre a través de un tubo cilíndrico de longitud L y
sección transversal de radio r está dado por
r4 (p1 - p2)
8 L
Q= =
donde : - 2 es la diferencia de presiones entre los extremos del tubo.
EL TRABAJO EFECTUADO POR UN PISTÓN en forzar un volumen V de fluido dentro de un cilindro
contra una presión opuesta  está dado por V.
EL TRABAJO EFECTUADO POR UNA PRESIÓN p que actúa sobre una superficie de área A de tal
forma que la superficie se mueve una distancia x normal a ésta (con lo cual desplaza un volumen
A x = V) se define por
Trabajo = pA x = p V
ECUACION DE BERNUOLLI para un flujo estacionario de una corriente continúa de un fluido.
Considérense dos puntos diferentes a lo largo de la trayectoria de la corriente. Sea el punto 1 a una
h1 y sean v1 1 y 1 la velocidad, la densidad y la presión del fluido en ese punto. De igual manera se
denotan estas cantidades como h2, v2, 2 y 2 para el punto 2. Entonces, si se supone que el fluido es
incomprensible y que su viscosidad es apreciable.
FLUIDOS EN MOVIMIENTO
p1 + ½ 12 + h1g = p2 + 1/222 + h2g
Donde 1 = 2 =  y g es la aceleración debida a la gravedad.
TEOREMA DE TORRICELLI supóngase que un tanque contiene líquido y esta abierto a la atmósfera
en su parte superior. Si en el tanque existe un orificio (abertura) a una distancia h debajo de la capa
más alta del líquido, entonces, la velocidad de salida de éste por la perforación es 2gh,
considerando que el líquido satisface la ecuación de Bernoulli y que su capa superior está en reposo.
EL NÚMERO DE REYNOLS (NR) es un número adimensional que se aplica a un fluido de viscosidad
 y de densidad  y que corre con una velocidad v a través de un tubo (o pasando un obstáculo) con
diámetro D:
NR = D



Para sistemas con la misma simetría y flujos que pueden ser considerados similares, los números de
Reynolds son muy cercanos. Los flujos turbulentos se presentan cuando el NR del fluido es mayor que
2000 para un tubo y mayor que 10 para un obstáculo.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. A través de un tubo de 8 cm de diámetro fluye aceite a una velocidad promedio de 4 m/s. ¿Cuál
es el flujo Q en m3/s y m3/h?
Q = A =  (0.04m) 2(4m/s) = 0.020 m3/s
= (0.020m3/s) (3600 s/h) = 723m/h
2. Experimentalmente se encuentra que por un tubo cuyo diámetro interno es 7 mm salen 250 ml
en un tiempo 41s. ¿Cuál es la velocidad promedio del fluido en el tubo?
Ya que 1 ml = 10-6 m3, y que Q = Av.
 = Q = (250 x 10-6 m3)/ (41s) = 0.158 m/s
A
m

3. Un acueducto de 14 cm de diámetro interno (d.i.) surte agua (a través de una cañería) al tubo de
la llave de 1.00 cm de d.i. Si su velocidad promedio en el tubo de la llave es de 3 cm/s, ¿Cuál será la
velocidad promedio en el acueducto? Los dos flujos son iguales. De la ecuación de continuidad, se
sabe que
Q = A11 = A22
Sea 1 la llave y 2 el acueducto.
2 = 1 A1 = 1 r12 = (3 cm/s) (1/14)2 = 0.0153 cm/s
A2
r22
4. ¿Cuánta agua fluirá en 30 s por un tubo capilar de 200 mm de longitud y 1.5 mm de d.i., si la
diferencia de presiones a lo largo del tubo es de 5 cm de mercurio? La viscosidad del agua es de
0.801 cP y la densidad del mercurio es de 13.600 kg/m3.
Se aplicara la ley de Poiseuille con
P1 -- p2 =gh = (13600 kg/m3) (9.8 m/s2) (0.05 m)
Y
cPkg/m_· sx -4 kg/m · s
cP
Entonces se tiene:
Q =  r4 (p1 - p2) =  (7.5 x 10-4m) (6660 N/m2) = 5.2 mL/s
8 L
8(8.01 X 10-4 kg/m s) (0.2 m)
5. La arteria de una persona se reduce a la mitad de su diámetro inicial por depósitos en la pared
interior. ¿Cuál será el factor que disminuirá el flujo de sangre a través de la arteria si la diferencia de
presión a lo largo de ella permanece constante?
De la ley de Poiseuille, Q r4. Por lo tanto
Q final = (r final) = (1/2)4 =0.0625
Q original (r original)
6.
Bajo la misma diferencia de presión, compárese el flujo de agua a través de un tubo con el de
aceite SAE No. 10. Se sabe que  para el agua es 0.801 cP; y para el aceite es 200 cP.
De la ley de Poiseuille, Q Por lo tanto
Q agua = 200 cP =250
Q aceite 0.80 cP
Así que el flujo del agua es 250 veces mayor que el que corresponde al aceite bajo la misma
diferencia de precio.
7.
Calcúlese la potencia del corazón si por cada latido bombea 75 mL de sangre con una presión
promedio de 100 mm Hg. Considérese que se tienen 65 latidos por minuto.
El trabajo que realiza por el corazón es p V. El volumen en un minuto equivalga a
V = (65) (75 X 10-6 M3). Por otro lado
p = (100 mm Hg) 1.01 x 105 Pa = 1.33 x 104 Pa
760 mm Hg
por lo tanto
Potencia = trabajo = (1.33 x 104 Pa) [(65) (75 x 10-6 m3)] = 1.08 W
tiempo
60s
8. Un tanque abierto en su parte superior tiene una abertura de 3 cm de diámetro el cual se
encuentra m por debajo del nivel de agua contenida en el recipiente. ¿Qué volumen de líquido saldrá
por minuto a través de dicha abertura?
1
5m
2
Fig. 8-1
(Verse las Fig. 8-1)
En este caso puede aplicarse la ecuación de Bermoulli: 1 es la parte superior del nivel y 2 el orificio.
Entonces p1 = p2 y h1 = 5m, h2 = 0.
p1 + ½ pv12 + h1pg = p2 + ½ pv22 +h2pg
½ pv12 + h1pg = ½ pv22 + h2pg
Si el tanque es lo suficiente mente grande, v1 pude considerarse cero. Por lo tanto, al resolver para v2
se obtiene la ecuación de Torricelli:
v2 =
2g (h1 – h2)
=
2(9.8m/s2) (5m) = 9.9m/s
y el flujo esta dado por
Q = V2A2 = (9.9m/s) mx 10-3 m3/s = 0.42m3/min.


9. Un tanque de agua tiene una fuga en la posición 2 mostrada en la Fig. 9 -2, donde la presión del
agua es de 500 kPa. ¿Cuál es la velocidad de escape del fluido por el orificio?
1
2
Fig. 9-2
Utilizaremos la ley de Bemoulli con p1 – p2 = 5 x 105 N/m2, h1 = h2 y la aproximación de v1 = 0.
Entonces
(p1 – p2) + (h1 – h2) pg = ½ pv22
de donde
v2 =
2(p1 – p2)
=
2(5 x 105 N/m2) = 32 m/s
p
1000 kg/m3
10. El agua fluye con una rapidez de 30mL/s a través de una abertura que se encuentra en el fondo
de un tanque en el cual el líquido tiene una profundidad de 4m. Calcúlese la rapidez con que escapa
el agua si se le acondiciona en la superficie una presión de 50 kPa.
La ecuación de Bermoulli para el caso en que esencialmente v1 es cero es,
(p1 – p2) + (h1 – h2) pg = ½ pv22
Esta ecuación puede escribirse dos veces, antes de que se le agréguela presión y después.
(p1 – p2) antes + (h1 – h2) pg = ½ p (v22) antes
(p1 – p2) antes + 5 X 104 N/m2 + (h1 – h2) pg = ½ p (v22) después
Si la abertura y la parte superior del tanque estaban inicialmente en la presión atmosférica,
(p1 – p2) antes = 0
Entonces, al dividir la segunda ecuación entre la primera, se consigue
(2/2 ) después = 5 x 104 N/m2 + (h1 – h2) pg
( 2/2) antes
(h1 – h2) pg
Pero
8.9 x 104 N/m2 = 1.51
3.9 x 104N/m2
(v2) después =
(v2) antes
Puesto que Q = Av., esta puede escribirse como
Q después = 1.51 o
Q antes
Q después = (30 mL /s)
11. ¿Cuánto trabajo realiza una bomba para elevar 5m3 de agua hasta una altura de 20m e impulsa
dentro de un acueducto a una presión de 150kPa?
W = (trabajo para elevarla) + (trabajo para impulsarla) = mgh + p v
= (53) (1000 kg/m3) (9.8m/s2) (20m) + (1.5 x 102 N/m2) (5m3) = 1.73 x 106 J
12. Un tubo horizontal tiene la forma que se presenta en la Fig. 3. En el punto 1 el diámetro es de
6cm, mientras que en el punto dos, es sólo de 2cm. En el punto 1, v1 = 2 n/s y p1 = 180kPa. Calcúlese
v2 y p2.
Luego de aplicar la ecuación de continuidad establece que
P1 + ½ pv22 o
p1 + ½ p (v12 – v22) = p2
Sin embargo, v1 = 2 m/s y la ecuación de continuidad establece que
v2 = v1 A1 = (2 m/s) (r1)2 = (2 m/s) (9) = 18 m/s
A2
(r2)
6cm
2cm
2
1
Fig. 3
Sustituyendo
1.8x 10 5 N/m2 + ½ (1000 kg/m3) [(2m/s)2 – (18m/s)2] = p2
de donde p2 = 0.20x 105 N/m2 = 20kPa.
13. ¿Cuál debe ser la presión manométrica en una manguera larga de bombero si se quiere que el
agua lanzada por la boquilla alcance una altura de 30m?
Para que un proyectil alcance una altura h, debe ser lanzado con una velocidad inicial
2gh.
(Esto se obtiene por la conversión de ½ m o2 a mgh). Podemos determinar la rapidez en
términos de la diferencia de presiones entre la presión interna y la externa de la manguera
(presión manométrica) escribiendo la ecuación de Bernoulli para los puntos justamente
adentro (1) y externo (2) de la manguera:
P entrada + ½ pv2 entrada + h entrada pg = p salida + ½ pv2 salida + h salida pg
3
Ya que h salida = h entrada y v entrada = o, tenemos
P entrada – p salida = ½ pv2salida
Sustituyendo v salida por
¿Podría
2gh
, obtenemos
P entrada – p salida = phg = (1000 kg/m3) (9.8 m/s2)(30m) = 294 kPak
obtenerse esta ultima ecuación directamente del teorema de Torricelli?
14. ¿Con que rapidez fluye el agua desde una llave de 0.80 cm de d.i. si la presión del agua es de
200 kPa?
Utilizando la ecuación de Bermoulli para los puntos justamente dentro (1) y fuera (2) de la llave:
P entrada + ½ v2 entrada + h entrada g = p salida + ½ v2 salida + h salida g
Tomando en cuenta: h salida = h entrada y P entrada - p salida = 200 kPa, tenemos
2sal – 2ent = (200x 103 Pa) 2/
Considerando v entrada << v salida, resolvemos para obtener v salida = 20 m/s1. Así pues la
rapidez del flujo es:
Q = A = (20m/s) (r2) = (20m/s) (r2) (0.16x 10-4 m2) = 1 x 10-3 m3/s
2
2
15. El tubo mostrado en la Fig. 4 tiene un diámetro de 16 cm. en la sección 1 y 10 cm. en la sección
2. En la sección 1 la presión es de 200 kPa. El punto 2 esta 6 cm. más alto que el punto 1. Si un
aceite de densidad 800kg/m3 fluye con una rapidez de 0.03 m3/s, encuéntrese la presión en el punto 2
si los efectos de la viscosidad son despreciables.
De Q = v1A1 = v2A2 tenemos
1 = Q = 0.03m3 /s = 1.49m/s
A1 8 x 10-2 m


2 = Q = 0.03m3 /s = 3.82 m/s
A2 5 x 10-2
)2
Ahora puede utilizarse la ecuación de Bernoulli:
P1 + ½ 12 + g (h1 – h2) = p2 + 1/2 22
u2
2
u1
1
2
10 cm
6m
y
22cm
16 cm
a
b
Dadas p1 = 2x 105 N/m2, h2 – h1 = 6m, y p = 800 kg/m3 se obtiene
P2 = 2x105 N/m3 + ½ (800 kg/m3) [(1.49 m/s)2 – (3,82 m/s)2 ] – ( 800kg/m3) (9,8 m/s2 ) (6 m)
= 1, 48 *105N/m2 = 148 KPa
16. Se muestra en la Fig. 5 un medidor Ventura equipado con un manómetro diferencial de
mercurio. En la toma, punto 1, el diámetro es de 12 cm mientras que en la garganta, punto 2, el
diámetro es 6 cm ¿Cuál es flujo Q del agua a través del medidor, si la lectura en el manómetro es de
22 cm? La densidad del mercurio es de 13.6 g/cm2.
De la lectura del manómetro se obtiene
p1 – p2 = pgh= (13600 kg/m3 ) ( 9,8m/s2) (0,22 m) = 2,93 x 104 N/m3
ya que Q es = v1 A1 = v2 A2 se obtiene v1 = Q/A1 y v2 = Q/A2 . al utilizar la ecuación de Berneulli,
con h1-h2 = 0 se consigue
(p1 – p2) + 1/2p (v12- v22) = 0
2, 93 * 104N/m2 + ½(1000Kg/m3) ( 1 - 1 )Q2 = 0
A12 A22
2
2 2
Donde A1 = πr1 = π (6,06) m = 0.01131 m2
y A2= πr22 = π (0.03)2 m2 =0.0028 m2
Sustituyendo se encuentra que Q = 0.022 m3/s
17. Se utiliza un túnel de viento con un modelo de automóvil de 20 cm. de altura para reproducir
aproximadamente las situaciones que tiene un automóvil de 550 cm de altura moviéndose a 15 m/s.
¿Cuál debe ser la rapidez del viento en el túnel? ¿Es el flujo turbulento?.
Se desea que NR sea el mismo para ambos casos, así que las situaciones tienen que ser similares.
Esto es, se quiere que:
NR = (D) = (D)
(  ) Túnel (  ) viento
En virtud de que  y  son iguales para los dos casos, tenemos
tDt = a Da
de donde
t = a Da = (15m/s) (550/20) = 413m/s
Para investigar la turbulencia, evaluemos NR utilizando los valores para el aire:
 = 1.29 kg/m3 y  = 1.8 x 10 Pa sustituyendo obtenemos NR = 5.9 x 106, un valor mucho mayor que
el requerido para flujo turbulento. Obviamente el flujo es turbulento.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIO
18. A través de un tubo de 4 cm d.i. fluye aceite a una velocidad promedio de 2.5 m/s. Encuéntrese
el flujo en m3/s y cm3/.(sol 3.14 x 10 m3/s = 3140 cm3/s).
19. Calcúlese la velocidad promedio del agua que circula por un tubo d.i. es de 5 cm y su gasto es
de 2.5 m3 de agua por ahora. (sol 0.350 m/s).
20. La velocidad de la glicerina en un tubo de 5 cm de d.i. es de 0.54 m/s. Encuéntrese la velocidad
en un tubo de 3 cm d.i. que se une a él. El fluido llena ambos tubos. (sol 1.50 m/s)
21. ¿Cuánto tiempo necesitarán 500 mL de agua para fluir a través de una tubería de 15 cm de
largo y 3 mm de d.i., si la diferencia de presión a lo largo del tubo es de 4 kPa? La viscosidad del
agua es de 0.80 cP. (sol 7.5 s).
22. Cierto plástico fundido fluye hacia el exterior de un tubo de 8 cm de largo a la razón de 13
cm3/min, cuando la diferencia de presión entre los dos extremos del tubo es de 18 cm de mercurio.
Encuéntrese la viscosidad del plástico. El d.i. del tubo es de 1.30 mm. La densidad del mercurio es de
13.6 g/cm3 (sol 0.097 kg/m · s = 97 cP).
23. En un sistema horizontal de tubos, uno de ellos (d.i. = 4 mm) de 20 cm de largo se conecta en
línea con otro (d.i. = 5mm) de 30 cm de largo. Cuando a un fluido viscoso se le aplica una presión a
régimen estable o estacionario, ¿cuál es la relación de la caída de presión en la aguja es de 80 cnHg,
¿Cuánto tiempo tomará sacar 15 mL? (sol 16.3 s).
24. Una aguja hipodérmica de 3cm de longitud y d.i. de 0.45 se utiliza para extraer sangre ( = 4
mPl). Supongamos que la diferencia de presión en la aguja es de 80 cmHg, ¿Cuánto tiempo tomara
sacar 15 mL? (sol 16.8 s).
25. En una transfusión de sangre, ésta fluye desde una botella a presión atmosférica hasta el interior
de la vena de un paciente donde la presión es 20 mmHg superior a la atmosférica. La botella esta 95
cm más arriba que la vena, en la cual se encuentra la aguja que tiene una longitud de 3 cm y un d.i.
de 0.45 mm. ¿Qué cantidad de sangre fluye al interior de la vena por minuto? Para la sangre, =
0.004 Pa · s y = 1005 kg/m3. (sol 3.37 cm3).
26. ¿Cuánto trabajo realiza el pistón de un sistema hidráulico durante un carrera de 2 cm, se el área
del extremo del pistón es de 0,75 cm2 y la presión en el fluido del sistema es 50 kPa?
(Sol 75 mJ).
27. A un tanque grande que contiene un liquido no viscoso se le hace una perforación 4.5 m abajo
en relación del nivel del liquido. Si el área de abertura es de 0.25 cm2, ¿cual es la velocidad teórica
de salida a través de orificio? ¿cuanto liquido saldrá en un minuto? (sol 9.4 m/s, 0,0141 m3).
28. Determínese el flujo en litros/s de un liquido no viscoso a través de un orificio de 0.5 cm2 de
área y que se encuentra 2.5 m por debajo del nivel del líquido de un tanque abierto. (sol 0.35 litros/s).
29. Calcúlese la velocidad teórica del derrame de agua desde una abertura que está a 8 m por
debajo de la superficie del agua en un gran tanque, si se adiciona una presión de 140 kPa, aplicada
sobre la superficie del agua. (sol 21 m/s).
30. ¿Cuántos caballos de fuerza (hp) se requiere para impulsar 8 m3 de agua por minuto dentro de
un acueducto con una presión de 220 kPa? (sol 39 hp).
31. A través de un tubo horizontal de sección transversal variable se establece un flujo de agua
estacionario. En un lugar la presión es de 130 kPa y la velocidad es 0.60 m/s. Determine la presión en
otro punto del mismo tubo donde la velocidad es 9.0 m/s. (sol kPa).
32. Un tubo de diámetro interno variable transporta agua. En el punto 1 el diámetro es de 20 cm y la
presión de 1.30 kPa En el punto 2, el cual esta 4 m más arriba que el primer punto 1, el diámetro es
de 30 cm. Si el flujo es de 0.080 m3/s, ¡cual es la presión en el segundo punto? (sol 93 kPa).
33. Un combustible de densidad 820 kg/m3 fluye a través de un medidor Ventura que tiene un
diámetro de garganta de 4 cm y un diámetro de entrada de 8 cm. La caída de presión entre la entrada
y la garganta es de 16 cm de mercurio. Encuéntrese el flujo. La densidad del mercurio es 13600
kg/m3. (sol 9.3 x 10-3m3/s)
34. Determínese la máxima cantidad de agua que puede pasar por minuto a través de 3 cm de d.i.
sin que sea un flujo turbulento. Considérese que el máximo número de Reynolds para un flujo no
turbulento debe ser 2000. Para el agua,  = 1 x 10-3 Pa · s. (sol 0.00283 m3).
35. ¿Qué tan rápido puede caer una gota de lluvia (r = 1.5 mm) a través del aire, se si flujo está
cercano a ser considerado turbulento, es decir, para NR cercano a 10?. Para el aire,
 = 1.8 x 10-5 Pa · s y  = 1.29 kg/m3. (sol 4.6 cm/s).