DERIVADA USANDO LA REGLA DE LA CADENA

Derivadas Usando la Regla de la Cadena
DERIVADA USANDO LA REGLA DE LA CADENA
La gran mayoría de las funciones que se estudian en cálculo están construidas por una
composición de funciones, de aquí la importancia de conocer un método sencillo para
diferenciar dichas funciones; el método utilizado para hallar la derivada de una función
compuesta se conoce como "Regla de la cadena".
Regla de la cadena:
Si y = f (u ), u = g ( x), y es una función diferenciable de u y u es una función diferenciable de x,
dy
du
es decir,
y
existen, entonces la función compuesta definida como y = f ( g ( x) ) = f g
du
dx
tiene derivada definida así:
dy dy du
=
= f ´(u ).g´( x) = f ´( g ( x) ) . ( g´( x) )
dx du dx
Derivada externa Derivada interna
Recuerda entonces las reglas de derivación y extiéndelas a la regla de la cadena
Si
y = xn →
dy d n
= ( x ) = n.x n −1
dx dx
Si
y = un →
dy d n
du
= ( u ) = n.u n −1. u´= n.u n −1.
dx dx
dx
Hallar la derivada de cada una de las funciones usando la regla de la cadena
100
Ejemplo 1: f ( x ) = ( x 2 + 5 x )
Solución: Aplicando la regla de la cadena
100
f ´( x) = Dx ( x 2 + 5 x )
99
= 100 ( x 2 + 5 x ) Dx ( x 2 + 5 x )
= 100 ( x 2 + 5 x )
Ejemplo 2: f ( x ) =
99
( 2 x + 5)
1
( 3x − 1)
4
Solución: Aplicando la regla de la cadena
Lcdo. Eliezer Montoya
Página 1
Derivadas Usando la Regla de la Cadena


1
−4
f ´( x ) = Dx 
 = Dx ( 3 x − 1)
4
 ( 3 x − 1) 
= −4 ( 3 x − 1)
−4 −1
−5
.Dx ( 3 x − 1) = −4 ( 3 x − 1)
= −12 ( 3 x − 1) =
−5
( 3) =
−12
( 3x − 1)
5
Podemos ver en azul la función interna, por tanto al derivar una función compuesta,
calculamos la derivada de la función externa por la derivada de la función interna.
Ejemplo 3: y = ( x 2 + 5 x )
3
Solución: Aplicando la regla de la cadena
 du

= 2 x + 5
2



=
+
5
u
x
x
dx
y = ( x2 + 5x ) ⇒ 

⇒
3
y = u
  dy = 3u 2 
 du

2
dy dy du
=
= 3u 2 ( 2 x + 5 ) = 3 ( x 2 + 5 x ) ( 2 x + 5 ) = ( x 4 + 10 x 3 + 25 x 2 ) ( 6 x + 15 ) =
dx du dx
= 6 x5 + 60 x 4 + 150 x3 + 15 x 4 + 150 x 3 + 375 x 2 = 6 x 5 + 75 x 4 + 300 x 3 + 375 x 2
3
Ejemplo 4: y = x 2 + 1
Solución: Aplicando la regla de la cadena
 du

= 2x


u = x + 1

dx


⇒
y = x2 + 1 ⇒ 

1/ 2
 y = u = u   dy = 1 u −1/ 2 = 1 
 du 2
2 u 
2
dy dy du
1
2x
=
=
.2 x =
=
dx du dx 2 u
2 x2 + 1
Ejemplo 5: h( x ) = sin 3 x = ( sin x )
x
2
x +1
→ Dx u =
Dx u
2 u
3
Solución: Aplicando la regla de la cadena
3
h '( x ) = Dx ( sin x ) = 3 ( sin x )
Lcdo. Eliezer Montoya
3−1
Dx ( sin x ) = 3sin 2 x.cos x
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Derivadas Usando la Regla de la Cadena
Ejemplo 6: g ( x ) = sin x 3 = sin ( x 3 )
Solución: Aplicando la regla de la cadena
g´( x ) = Dx ( sin x 3 ) = cos x 3 Dx ( x 3 ) = 3 x 2 cos x 3
Con lo antes expuesto, podemos generalizar las siguientes reglas de derivación
Dx sin u = cos u.Dx u
Dx cos u = − sin u.Dx u
Dx tan u = sec 2 u.Dx u
Dx sec u = sec u.tan u.Dx u
2
Dx csc u = − csc u.cot u.Dx u
Dx cot u = − csc u.Dx u
10
Ejemplo 7: g (t ) = ( t 2 + 6t )
(1 − 3t )
4
Solución: Aplicando la regla de la cadena: -Recuerde la regla de la derivada de dos
funciones Dx ( u.v ) = ( Dx u ) .v + ( Dx v ) .u
g´(t ) = Dt ( t 2 + 6t )

10
(1 − 3t )
4


10
10
4
4
=  Dt ( t 2 + 6t )  . (1 − 3t ) +  Dt (1 − 3t )  . ( t 2 + 6t )




9
4
10
3
= 10 ( t 2 + 6t ) Dt ( t 2 + 6t ) . (1 − 3t ) + 4 (1 − 3t ) Dt (1 − 3t ) . ( t 2 + 6t )
9
4
9
4
10
3
= 10 ( t 2 + 6t ) ( 2t + 6 ) . (1 − 3t ) + 4 (1 − 3t ) ( −3) . ( t 2 + 6t )
3
10
= 10 ( t 2 + 6t ) ( 2t + 6 ) . (1 − 3t ) − 12 (1 − 3t ) . ( t 2 + 6t )
9
3
= 2 ( t 2 + 6t ) (1 − 3t ) 5 ( 2t + 6 ) (1 − 3t ) − 6 ( t 2 + 6t ) 
9
3
= 2 ( t 2 + 6t ) (1 − 3t )  −36t 2 − 116t + 30 
9
3
= −4 ( t 2 + 6t ) (1 − 3t ) 18t 2 + 58t − 15
Ejemplo 8: y = e x
2
+5 x + 6
Solución: Aplicando la regla de la cadena
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Derivadas Usando la Regla de la Cadena
 du

= 2 x + 5
u = x + 5 x + 6   dx
→

→
u

y = e
  dy = eu
 du

2
y = ex
2
+5 x + 6
Dx eu = eu Dx u
Como:
2
dy dy du
=
= eu ( 2 x + 5 ) = ( 2 x + 5 ) e x + 5 x + 6
dx du dx
Problemas Propuestos
En los problemas 1 al 4, hallar las derivadas requeridas usando la regla de la
cadena:
1.- y = u , u = x 2 + x + 1, hallar
dy
dx
3.- y = u −5 , u = x 4 + 1, hallar
dy
dx
2.- y = u 3 − 2u1/ 2 , u = x 2 + 2 x, hallar
dy
dx
−1
4.- y = u , u = ( 7 − x 2 )( 7 + x 2 ) , hallar Dx y
En los problemas 5 al 68, encontrar la derivada de cada función con la ayuda de la
regla de la cadena:
10
5.- f ( x ) = ( 5 − 2 x )
7.- f ( y ) =
6.- f ( x ) = ( 2 x − 3)
1
( 4 y + 1)
8
8.- f (t ) = ( 2t 4 − t + 1)
5
2
9.- g ( x ) = ( 3 x 2 + 7 ) ( 5 − 3 x )
−4
2
3
10.- g (t ) = ( 5t 2 + 1) ( 3t 4 + 2 )
4
2
1
5

11.- f ( x) =  3 x +  ( 6 x − 1)
x

13.- g ( y ) = ( 7 y + 3)
−2
 x2 + x 
15.- f ( x) = 

 1− 2x 
 3x + 1 
17.- f ( x) =  2 
 x 
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4
3
( 2t + 5 )
−3
12.- f ( t ) = ( 3t − 1)
−1
1

14.- f (u ) =  6u + 
u

1+ t2 
16.- f (t ) = 
2 
 1− t 
( 2t + 5 )
−3
−5
( 2u − 2 )
7
5
 16 x 
18. f ( x) =  2

 x −7
−3
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Derivadas Usando la Regla de la Cadena
1
19.- f ( x ) =
=
x
( x)
1
−1
20.- f ( x ) =
x2 + 1
21.- g ( x ) = x 2 + 2 x − 1
22.- f ( x) =
x = x1/ 4
23.- f (t ) = t 4 − t 2 + 3
24.- g ( y ) =
y3 − y + y
(
25.- f ( x ) = x − x
)
3
4
26.- Q( s) =
1 + s3
s
27.- f ( x ) = 5sin 7 x
28.- f ( x) = 8cos ( 3x + 5)
29.- g ( x ) = 4sin 6 x 2
30.- g (t ) = 3sin ( 5t 2 + t )
31.- h( x ) = sin x
32.- h( s ) = s 2 sin s 3
33.- g (t ) = sin 4 3t
34.- g ( x ) = cos 2 5 x − sin 2 5 x
35.- h( x) = cos ( sin x )
36.- f (t ) = (1 − 2sin 3t )
37.- f ( x ) = cos 5 x
38.- g ( x ) =
4 − cos 3 x
x2
sin x − x cos x
cos x
39.- h( x) =
sin x
1 + cos 5 x
40.- g ( x) =
41.- h(t ) =
27
35
+
sin 2t cos 2t
42. g (r ) = tan 5r 4
(
5
)
43.- g (t ) = cot ( 3t 5 )
44.- h(r ) = sec
45.- f (u ) = csc u 2 + 1
7
46.- g ( s ) = cot  
s
47.- h( x) = 1 + sec x
 t 
48.- g (t ) = tan 

t+2
49.- h(t ) = sec 2 7t − tan 2 7t
50.- g ( x) = csc 2 15 x − cot 2 15 x
51.- h( s ) = sec 4 13s − tan 4 13s
52.- g ( x) = ( tan x + sec x )
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r −r
3
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53.- g ( x) = x 3 tan 5 2 x
54.- f (t ) =
cot 3t
t2 +1
55.- h( x) =
2x
1 + sec 5 x
56.- g (t ) = tan ( 3t ) sec ( 3t )
57.- f ( x) =
1 2
x − cot 3 2 x
3
58.- g (r ) =
59.- g (t ) =
sec 2 3t
t3
 θ 
60.- f (θ ) = 

 tan θ 
61.- f ( x) = sin ( tan 5 x 2 )
63.- g ( x) = e x
3
3
62.- g ( x) = sec ( csc7 7 x )
 2x 
64.- h( x) = exp 

 x+4
/2
65.- f (t ) = ( t 2 + 6t − 10 ) e − t
67.- h(t ) = ( cos t ) 2
3 2
r csc5 3r
2
sin ( 5 / t )
66.- f ( x) = exp ( sin 2 x )
68.- f ( x) = ( tan x + cot x ) esec x
Referencias Bibliográficas
[1] LARSON
R. ,HOSTETLER R y EDWARDS B . (
) Cálculo y
Geometría Analítica, (Sexta Edición -Volumen 1 ) México: Edit Mc
Graw Hill
[ 2] LEITHOLD , L. (1998) El cálculo 7. México Edit Oxford University Press
[3]
MUNEN & FOULIS (1984) Calculus with Analytic Geometry (Second
Edition) U.S.A -New York Edit Worth Publishers, Inc...1048 Pág.
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