area entre curvas-Volumen de un sólido

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA
NÚCLEO BARINAS
Contenido: Integral definida: (1º) Aplicación: Área entre dos curvas.
Matemática II –Sección F –Semestre 2 Lcdo Eliezer Montoya
En los problemas 1 al 12 .Representar la gráfica de cada función y hallar el área entre
la gráfica y el eje x con respecto las rectas x = a y x = b
1. f ( x) = 1 − x 2 ;
a = −1, b = −1
Sol:A=4/3ua
5. G ( x ) = x 3
a = −2, b = 2
Sol.A = 8ua
2. g ( x) = x 2 − 2 ;
a = 0, b = 1
6. H ( x) = x 2 − 6 x + 5
a = 1, b = 3
(x − x ) ;
f ( x) =
3
9.
a = −1, b = 2
3
10. f ( x) = x n ;
a = 0, b = 1
donde n ≥ 1
3. h( x) = x 3 − x
a = −1, b = 1
Sol. A=1/2 ua
7.
f ( x) = x 3 − 4 x 2 + 3 x
a = 0, b = 2
Sol. A=3/2 ua
11. f ( x) = sin 2 x ;
a = 0, b =
π
2
Sol. A= 1 ua
4. F ( x) = x 2 − 9
a = −3, b = 3
Sol. A =36 ua
8. g ( x) = x3 − 6 x 2 + 8 x
a = 0, b = 4
Sol.A = 8 ua
x
12. g ( x) = cos ;
3
a = 0, b = π
En los problemas 13 al 21 (a) Hallar los puntos de intersección de las dos graficas. (b)
Trazar la gráfica de las dos ecuaciones (c) Hallar el área de la región formada por las
dos gráficas
13. f ( x) = x 2 y g ( x) = 2 x + 5
4
2
15. f ( x) = − x − 4 y g ( x) = −8
17. f ( x) = − x 2 + 4 x y g ( x) = x 2
19. y 2 = 3 x
y y=x
14. y = x
y 7 x − 2 y = 20
4
16. f ( x) = x3 y g ( x) = x
18. x = ( y − 2) 2 y x = y
20 x = 6 y 2 − 3 y x + 3 y = 0
21. f ( x) = cos ( x ) y g ( x) = 1 − cos ( x ) para −
Lcdo. Eliezer Montoya
2
π
3
≤x≤
π
3
ver grafico adjunto
Aplicaciones de la Integral Definida
Mayo 2010
En los problemas del 22 al 26. (a) Representar la grafica de la función f (conocida como
función por partes o a trozos) (b) Hallar el área entra la gráfica de f el eje x desde
x= a hasta x = b y hallar
∫
b
a
f ( x)dx
 x3
para − 2 ≤ x ≤ 1

 x
para 1 < x ≤ 4
22. f ( x) = 
; a = −2 y b = 12
10 − 2 x para 4 < x ≤ 7
2 x − 18 para 7 < x ≤ 12

∫
Sol.A= 323/12 unidades de área y
− x − 3

23. f ( x ) =  x 2 + 2 x − 1
2

 x2 + 6 x − 7

24.- f ( x ) = − x 2 − 4 x + 5
 x−5

a
f ( x)dx =35/12
para − 5 ≤ x < −2
para -2 ≤ x ≤ 1
para 1 < x ≤ 4
; a = −5 y b = 4
para − 7 ≤ x ≤ −6
para - 6 < x ≤ 0
∫
b
a
f ( x)dx =130/3
para − 3 ≤ x ≤ −2
para -2 < x ≤ 0
para 0 < x ≤ 4
; a = −3 y b = 6
para 4 < x ≤ 6

x3
2
+
para − 2 ≤ x ≤ 0

 2 4
26.- f ( x) =  x − x − 2
para 0 < x ≤ 3
16 − 4 x
para 3 < x ≤ 5


Sol A = 73/6 unidades de área y
Lcdo. Eliezer Montoya
; a = −7 y b = 8
para 0 < x ≤ 8
Sol. A= 34/6 unidades de área y
 x x2 − 4
 2
− x
25.- f ( x ) = 
3 − x

 2x +1
b
∫
b
a
; a = −2 y b = 5
f ( x)dx =3/2
Aplicaciones de la Integral Definida
Mayo 2010
Ayuda para el estudiante , graficas elaborada con un software funciones para Windows
y graphmatics
Para el problema 20-Ver problema J Larson de calculo con geometría analítica) (466467) tomo I
20. x = 6 y 2 − 3 y x + 3 y = 0
18. x = ( y − 2) 2 y
x=y
Lcdo. Eliezer Montoya
Aplicaciones de la Integral Definida
Mayo 2010
14.- y = x
2
4
y
7 x − 2 y = 20
16. f ( x) = x 3 y g ( x) = x
Lcdo. Eliezer Montoya
Aplicaciones de la Integral Definida
Mayo 2010
15. f ( x) = − x 2 − 4 y g ( x) = −8
17. (a) y 2 = 3x ⇒ y = 3 x
Lcdo. Eliezer Montoya
y
y=x
Aplicaciones de la Integral Definida
Mayo 2010
(b) y 2 = 3 x ⇒ x =
y2
y
3
x =y
13 f ( x) = x 2 y g ( x) = 2 x + 5
Lcdo. Eliezer Montoya
4
Aplicaciones de la Integral Definida
Mayo 2010
Ejemplo 01
Con la ayuda grafica, calcula el área limitada por y = x 2 − 7 x + 10 y el eje x
Verifiquemos las raíces vistas en el gráfico
x 2 − 7 x + 10 = 0
x = 5
( x − 5)( x − 2) = 0 ⇒ Las raices son:  1
 x2 = 2
Son los límites de integración a usar, por tanto la integral a desarrollar es:
5
5
x3 7 2
53 − 23 7(52 − 22 )
2
A = ∫ ( x − 7 x + 10 ) dx = − x + 10 x =
−
+ 10 ( 5 − 2 ) =
3 2
3
2
2
2
117 147
234 − 441 + 180 −27 −9
−
+ 30 =
=
=
= −4,5u.a
3
2
6
6
2
5
−9
∴ ∫ ( x 2 − 7 x + 10 ) dx =
u.a
2
2
=
Ejemplo 2
Calcular el área entre la parábola y = 2 x − x 2 y la recta y = − x
(3ptos)
Analíticamente la intersección entre las dos curvas viene dada por:
Lcdo. Eliezer Montoya
Aplicaciones de la Integral Definida
Mayo 2010
2 x − x 2 = − x ⇒ 2 x − x 2 + x = 0 ⇒ 3 x − x 2 = 0 ⇒ x(3 − x) = 0
 x = 0 ⇒ y1 = 0
donde las raices son  1
 x2 = 3 ⇒ y2 = −3
3
3
Área = ∫ ( 2 x − x 2 ) − ( − x )  dx = ∫ 3 x − x 2  dx =
0
0
2
=
3 3
3x
x
−
2
3
=
0
3(3) 2 33 27 27 81 − 54 27 9
− =
−
=
=
= u.a
2
3
2
3
6
6 2
Ejemplo 3
Calcular el área entre la parábola x = y 2 − y y el eje y
y = 0
x = y 2 − y,si x = 0 ⇒ 0 = y 2 − y = y ( y − 1) ∴ las raices son 
y =1
1
y3 y 2
Área : ∫ ( y 2 − y )  dy =
−
3
2
0
1
=
0
1 1 2−3
1
− =
= − u.a.
3 2
6
6
El área es 1/ 6
Lcdo. Eliezer Montoya
Aplicaciones de la Integral Definida
Mayo 2010
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA
NÚCLEO BARINAS
Contenido: (2º) Aplicación de Integral definida: Calcular el Volumen formado por la
región de una curva al girar sobre una recta, formando un sólido de revolución
usando el método de discos circulares y/o el método de anillos circulares o arandelas
Matemática II –Sección F –Semestre 2 Lcdo Eliezer Montoya
En los problemas 1 al 8, Encuentre el volumen del sólido generado girando la región
bajo curva o grafica de cada función sobre el intervalo indicado sobre el eje de x
1. f ( x) = 3 x 2 ; [ −1, 3]
2. g ( x) = 3 x ; [1, 4]
3. h( x) = 9 − x 2 ; [ −1, 3]
4. G ( x ) = x ; [ −2,1]
5. F ( x) = 2 + x 2 ; [1, 4]
6. f ( x) = a 2 − x 2 [ − a, a ] *
7. g ( x) = sec x ; [ 0, π 4]
8. f ( x) = tan x ; [ 0, π 3]
En los problemas 9 al 16, hallar el volumen del sólido generado girando la región
limitada por los gráficos de las ecuaciones dadas sobre el eje y.
9.- y = x 3 , y = 8 y x = 0 10. y 2 = x, y = 4 y x = 0
12. y = x 2 + 2, y = 8 y x = 0 (I cuadrante)
14. y = 2 x 3 , y = 2 y x = 0
11. y 2 = 4 x, y = 4 y x = 0
13. y 2 = x3 , y = 8 y x = 0
15. x = cos (π y 4 ) , y = 0 y y = 1
16. x = csc (π y 6 ) , y = 1 y y = 2
En los problemas 17 al 30, encuentre el volumen del sólido generado girando la región
limitada por los gráficos de las curvas dadas sobre el eje indicado. Use el método de
discos o el de arandelas.
17. y = x 2 , y = 2 x sobre el eje x
19. y = x 2 , y = x sobre el eje y
18. y = x3 , y 2 = x sobre el eje x
20 y = x 2 + 4, y = 2 x 2 sobre el eje y
21 y = x 3 , x = 2 y el eje x sobre el eje y
23. y 2 = 4 x + 16, y el eje y sobre el eje y
22. y = 2 x, y = x y x+ y = 6 sobre el eje x
24. y = 3x, y = x y x+ y = 8 sobre el eje y
25 y = x 2 , y 2 = x sobre la recta x = −1
26. y = x 3 , x = 0 y y = 8 sobre la recta y =8
27. y = 4 x − x 2 y y = x sobre la recta x =3 28 y = x 2 − x y y = 3 − x 2 sobre la recta y=4
29. y = cos x y y = sin x, x = 0 y x = π 4 sobre el eje x.
1
1
Recuerde que: cos 2 x = (1 + cos 2 x ) y sin 2 x = (1 − cos 2 x )
2
2
30. x = cos y + sin y y x = cos y − sin y, y = 0 y y = π 2 sobre el eje y
Lcdo. Eliezer Montoya
Aplicaciones de la Integral Definida
Mayo 2010
Lcdo. Eliezer Montoya
Aplicaciones de la Integral Definida
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