Teoría y problemas Formas cuadráticas

Clasificación de formas cuadráticas
Gloria Serrano Sotelo
Formas cuadráticas
Toda métrica simétrica T2 : Eä Eök tiene asociada una forma cuadrática Q : Eök definida por Q(e)= T2 (e, e) "
eœE . Recíprocamente, a toda forma cuadrática Q le corresponde una métrica simétrica T2 dada por:
T2 (e, e') =
1
2
[Q (e+e') - Q(e) - Q(e')]
Si gij son los coeficientes de la matriz de T2 en una base { e1 , e2 , ..., en } de E , la expresión en coordenadas, respecto
de esta base, de la forma cuadrática asociada es:
Q( x1 , x2 , ..., xn ) = g11 x1 2 + g22 x2 2 +...+ gnn xn 2 + 2 ⁄i< j ( gij xij )
Ejemplo 1
1 -1 0
Sea -1 2 3
0 3 0
la matriz de T2 respecto de una base 8e1 , e2 , e3 } de E. La expresión en coordenadas respecto de esta
base de la forma cuadrática asociada es Q(x, y, z) = x2 + 2 y2 - 2 x y +6 y z .
Ejemplo 2
Si Q es la forma cuadrática sobre R3 definida en coordenadas respecto de una base por la expresión Q(x, y, z) = 3 x2 - x y
3
-1 ê 2 3 ê 2
2
0
-1 .
+3 x z - 2 y z - z , la métrica simétrica asociada tiene por matriz en esa base -1 ê 2
3ê2
-1 -1
Los teoremas de clasificación y diagonalización de métricas simétricas son aplicables a las formas cuadráticas asociadas. En particular, el teorema de diagonalización para formas cuadráticas se puede enunciar en la forma:
Ley de Inercia de Sylvester. Conocida la expresión en coordenadas, Q( x1 , x2 , ..., xn ), de la forma cuadrática Q
respecto de una base { e1 , e2 , ..., en } de E, se puede encontrar otra base {u1 , u2 , ..., un } en la que la expresión de Q, en
las coordenadas { y1 , y2 , ..., yn } correspondientes, es :
Q( y1 , y2 , ..., yn ) = a1 y1 2 +...+ a p y p 2 + b p+1 y p+1 2 + ...+ b p+q y p+q 2
siendo a1 , ..., a p >0 las p raíces positivas de la ecuación secular de la métrica simétrica asociada y b p+1 , ..., b p+q <0 sus
q raíces negativas. Los números p = r+ y q = r- no dependen de la base inicial elegida.
En otras palabras, existen bases ortonormales (para la métrica euclídea auxiliar) en las que la forma cuadrática se expresa
como sumas y restas de cuadradados, siendo el nº de términos positivos y el nº de términos negativos de esta expresión
invariantes por cambios de base.
Ejemplo 3
Clasifiquemos las formas cuadráticas:
Q(x, y, z) = x2 - 3 y2 + 2 z2 - 2 x y + 4 x z - 5 y z
q (x, y, z) = 2 y2 - z2 + t2 + 4 x y - 2 x z + 2 x t - 4 y z - 3 z t
Ë Calculamos las matrices de las métricas simétricas asociadas, G y g , respectivamente:
1
5
G= - 1 - 3 - 2
2
0
2
-1 2
-
5
2
2
2
2
-1 1
-2 0
; g= - 1 - 2 - 1 - 3
2
1
0
3
-2 1
Ë Calculamos las raíces nulas, positivas y negativas de las ecuaciones seculares de G y g, y las correspondientes formas
reducidas.
detHxI - GL =
73
31
x3 - 4 x- 4
fl r0 =0 , r+ = 1 , r- = 2ïForma reducida
1 0 0
0 -1 0
0 0 -1
2
Formascuadráticas.nb
Calculamos las raíces nulas, positivas y negativas de las ecuaciones seculares de G y g, y las correspondientes formas
reducidas.
detHxI - GL = x3 -
73
31
x- 4
4
fl r0 =0 , r+ = 1 , r- = 2ïForma reducida
1 0 0
0 -1 0
0 0 -1
7 x 53 x2
detHxI - gL = 19 +
-2 x3 + x4 fl r0 =0 , r+ = 2 , r- = 2ïForma reducida
2
4
1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
-1
Ejemplo 4
Diagonalizar la forma cuadrática Q(x, y, z)= x 2 + y 2 - 2 x z + 2 y z, calculando una base ortonormal de diagonalización y la expresión de Q en el nuevo sistema de coordenadas que esta base define.
Ë Matriz G de la métrica simétrica en la base 8e1 , e2 , e3 } en la que se expresan las coordenadas (x, y, z)
1 0 -1
G= 0 1 1
-1 1 0
Ë Diagonalización de G
Valores propios {-1, 1, 2}
Base de vectores propios {v1 =(1,-1,2), v2 =(1,1,0), v3 =(-1,1,1)}
Base ortonormal de diagonalización {u1 =
v1
6
, u2 =
v2
2
, u3 =
v3
3
}. Matriz de cambio de base B=
1
1
-1
6
-1
2
1
3
1
6
2
2
3
1
6
Forma diagonal D =
-1 0 0
0 1 0
0 0 2
0
.
3
. ( Recuerda: Bt ÿG·B=D y además como B es ortogonal, pues transforma una
base ortonormal en otra ortonormal, Bt =B-1 )
Ë Expresión de Q en el nuevo sistema de coordenadas {X, Y, Z}
Q( X, Y, Z )= -X 2 + Y 2 + 2 Z 2 ,
X
donde Y =B-1
Z
X=
x
y ï Y=
z
Z=
1
6
1
2
1
3
Hx - y + 2 zL
Hx + yL
son las expresiones que dan explícitamente el cambio de referencia; se
H-x + y +zL
pasa de la referencia ortonormal {x, y, z} a la referencia ortonormal {X, Y, Z} en la que la forma cuadrática se expresa
como suma y resta de cuadrados.
Ë
Formascuadráticas.nb
3
ü Ejercicios
1. Diagonalizar las formas cuadráticas:
(a) Q(x, y, z)=x2 + y2 - z2
(b) Q(x, y, z)=2 x2 - 2 x y + y2 + x z - y z
(c) Q(x, y, z)=2 x2 - 8 x y + 3 y2 + 4 x z + 2 y z - z2
2. Averiguar cuáles de las siguientes formas cuadráticas definen un producto escalar euclídeo:
Q1 (x, y, z)=x y+2 x z-y z
Q5 (x, y, z)=x2 + 2 x y + y2 - 2 y z + z2
Q2 (x, y, z)=x2 + y2 + 2 x z - z2
Q6 (x, y, z)=x2 + 6 x y - 2 x z + z2
Q3 (x, y, z)=x2 + x y + y2 + x z + y z + z2 Q7 (x, y, z)=2 x2 + 2 x y + y2 - 2 x z - 2 y z + 2 z2
Q4 (x, y, z)=3 x2 + y2 + 2 y z + z2
3. Dada la forma cuadrática Q(x, y, z)=x2 + 2 x y + y2 + 2 x z + 2 y z + z2 , calcular el radical de la métrica asociada y
clasificarla.
4. Diagonalizar la forma cuadrática Q(x, y)=x 2 + 4 x y - y 2
aX 2 + b Y 2 para ciertos a, bœ
y encontrar el cambio de variables tal que Q(X, Y)=
5. Poner en forma diagonal la forma cuadrática Q(x, y, z)=x 2 - 2 x y + y 2 + 4 x z + z2 , dando explícitamente las
coordenadas en las que diagonaliza.
6. Diagonalizar las siguientes formas cuadráticas, calculando para cada una de ellas una base ortonormal de diagonalización:
(a) Q(x, y, z)=4 x2 + 4 y2 + 5 z2 - 4 x z - 8 y z
(b) Q(x, y, z)=2 x y+2 x z+2 y z
(c) Q(x, y, z)=x2 + y2 - 2 x z + 2 y z
7. Clasificar según los valores del parámetro real a la forma cuadrática:
Q(x, y, z)=2 x2 + a y2 + 2 a x z + 2 z2