lOMoARcPSD|4268517 Práctico - ejercicios formas cuadraticas Álgebra (Universidad de Las Palmas de Gran Canaria) StuDocu no está patrocinado ni avalado por ningún colegio o universidad. Descargado por Perico Lopez Garcia (pericolopezgarciaaa@gmail.com) lOMoARcPSD|4268517 ÁLGEBRA ESCUELA DE INGENIERÍA INFORMÁTICA Hoja de ejercicios Formas Cuadráticas Diagonalización Clasi…cación 1. Se considera la siguiente familia de formas cuadráticas wa : R3 ! R, de…nida por: wa (x; y; z) = ax2 + 13 a 4 2 y 2 + (6a 10) z 2 + 3axy 2axz + (a 8) yz; 8a 2 R (a) Diagonalizar la forma cuadrática por la búsqueda de una base de vectores conjugados. (b) Clasi…car la forma cuadrática según los valores de a. (c) Para a = 4 , calcular, si es posible, el ángulo que forman los vectores v 1 = (1; 0; 1) y v 2 = (2; 1; 1). (d) Para a = 4, diagonalizar por congruencia. 2. Se considera la siguiente familia de formas cuadráticas wa : R3 ! R, de…nida por: wa (x; y; z) = 2x2 + ay 2 + 10z 2 4xy + 8xz 20yz; 8a 2 R (a) Diagonalizar la forma cuadrática encontrando una base de vectores conjugados. (b) Clasi…car la forma cuadrática según los valores de a. (c) Para a = 8, diagonalizar por congruencia. (d) Para a = 0. Diagonalizar por búsqueda de cuadrados perfectos. 3. Se considera la siguiente familia de formas cuadráticas wa : R3 ! R, de…nida por: wa (x; y; z) = x2 + 2xy + 2axz + 2y 2 + 2yz + az 2 ; 8a 2 R (a) Diagonalizar la forma cuadrática encontrando una base de vectores conjugados. (b) Determinar para que valores de a de…ne un producto escalar. (c) Para a = 0. Diagonalizar por búsqueda de cuadrados perfectos y clasi…carla según el resultado. (d) Para a = 2. Diagonalizar por congruencia o matrices elementales. (e) Para a = 43 . Comprobar que los vectores v = (1; 1; 1) y w = (2; 2; 1) son ortogonales. Descargado por Perico Lopez Garcia (pericolopezgarciaaa@gmail.com) lOMoARcPSD|4268517 4. Se considera la siguiente familia de formas cuadráticas wa : R3 ! R, de…nida por: wa (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2 + 2axy + 2axz + 2ayz; 8a 2 R (a) Diagonalizar la forma cuadrática encontrando una base de vectores conjugados. (b) Determinar para que valores de a se de…ne un producto escalar. (c) Para a = 1 2 , calcular el ángulo que forman los vector v 1 = (1; 0; 1) y v 2 = (0; 1; 1). (d) Para a = 2. Diagonalizar por búsqueda de cuadrados perfectos y clasi…carla. 5. Se considera la siguiente familia de formas cuadráticas wa : R3 ! R, de…nida por: wa (x; y; z) = x2 + (2a + 1) y 2 + (a + 1) z 2 + 2axy + 2xz; 8a 2 R (a) Diagonalizar la forma cuadrática encontrando una base de vectores conjugados. (b) Determinar para que valores de a de…ne un producto escalar. (c) Para a = 1, calcular el ángulo que forman los vectores v 1 = (1; 1; 1) y v 2 = (2; 3; 2). (d) Para a = 2. Diagonalizar por congruencia y clasi…carla. 6. Se considera la siguiente familia de formas cuadráticas wa : R3 ! R, de…nida por: wa (x; y; z) = x2 + 2xy + 2xz + ay 2 + 2ayz + 3z 2 ; 8a 2 R (a) Diagonalizar la forma cuadrática encontrando una base de vectores conjugados. (b) Clasi…car la forma cuadrática según los valores de a. (c) Para a = 2. Diagonalizar por búsqueda de cuadrados perfectos. 7. Se considera la siguiente familia de formas cuadráticas w w ; ; : R4 ! R, de…nida por: (x; y; z; t) = x2 + 3y 2 + 4z 2 + t2 + 2 xy; 8 ; 2R (a) Diagonalizar la forma cuadrática por la búsqueda de una base de vectores conjugados. (b) Clasi…car la forma cuadrática según los valores de ; . (c) Para =1y = 1 , calcular, si es posible, el ángulo que forman los vectores v 1 = (1; 1; 1; 1) y v 2 = (1; 1; 1; 2). Descargado por Perico Lopez Garcia (pericolopezgarciaaa@gmail.com)
