Tema 4. Fonones. Vibraciones de la red. P 2 Ecuación de movimiento: m ddtu2n = p Cp (un+p − un ), soluciones: ModosPnormales: un (x, t) = u0 ei(kx−ωt) • Relación de dispersión: 1 ω 2 = p 2Cp m [1 − cos kpa] • Interacción a primeros vecinos, p = 1 • x = sa con s = 0, 1, ... • un+1 = un (x + q a) • d 2 us 1 • m dt2 = C(us+1 + us−1 − 2us ) ⇒ ω = 4C sin ka m 2 p a ωmax = ω(k = ±π/a) = 4C1 /m • 1 Zona de Brillouin: −π ≤ ka ≤ π • Condición de Bragg: kmax = ±k/a de q • Velocidad C1 a2 ka dω ~ cos • grupo: vg = (1D), vg = ∇~ ω(k) (3D). vg = tema 1. Estructura Cristalina. Posicion de un punto de la red: ~r= n1~a1 + n2~a2 + n3~a3 • Volumen de la celda unidad: V = ~a · ~b × ~c • Distancia entre planos (SC, BCC, FCC): dhkl = √ a • Red Ortorrómbica: h2 +k2 +l2 dhkl = 1 r h2 a2 2 2 • Estructuras cristalinas simples. i) NaCl + k2 + l 2 b c (FCC). Cl: 000, 12 12 0, 12 0 12 , 0 12 12 • Na: 12 12 12 , 00 12 , 0 12 0, 21 00 • ii) CsCl (SC) Cs: 000 • Cl: 21 12 12 • iii) hcp: Factor de empaquetamiento: c/a = (8/3)1/2 • iv) Estructura diamante (FCC). 000, 12 12 12 • v) ZnS (2FCC). Zn: 000, 0 12 12 , 12 0 12 , 12 12 0 • S: 14 14 14 , 14 34 34 , 34 14 34 , 34 34 14 • 3 3 k dk m 2 Aproximación de onda larga: ka 1 ⇒ sin ka ' ka . Ası́ pues, 2 2 C1 2 2 2 ω = m k a • Dos átomos por celda primitiva: Ecuaciones de Volúmenes celdas primitivas: i) SC: V = a ii) BCC: V = a /2 iii) FCC: V = a3 /4 • Coefiiente de dilatación lineal: L0 = L0 (1 + α∆T ) 2 movimiento: m1 ddtu2s = C(vs + vs−1 − 2us ), 2 m2 ddtv2s = C(us+1 + us − 2vs ). Soluciones (modos normales): us = u0 eiska e−iωt , vs =rv0 eiska e−iωt • Relación de dispersión: 2 m1 +m2 2 2 ω± = C mm11+m ±C − m14m2 sin2 ka . ω+ → Rama m2 m1 m2 2 tema 2. Difracción. Ley de Bragg: 2d sin θ = nλ, intensidad máxima n = 1 • Red Real → a, Red Recı́proca → 2π/a • Número de electrones en la red P ~ · ~r) con periódica: n(~r) = G nG exp(−iG R 1 ~ nG = Vc c dV n(~r) exp(−iG · ~r) • Vector de la red recı́proca: G = h~b1 + k~b2 + l~b3 con ~b1 = 2π ~a2 ×~a3 , ~b2 = 2π ~a3 ×~a1 , ~ a1 ·~ a2 ×~ a3 óptica, ω− → Rama acústica. • Aproximación de onda larga 2 2 2 (ka 1): ω+ ' 2C mm11+m . ω− ' 2(m1C+m2 ) k2 a2 • kmax = ± πa ⇒ m2 2 2 ω+ = 2C/m1 . ω− = 2C/m2 • Fonones: E = (n + 1/2)~ω • p ~ = ~~k • ~k0 = ~k + ~kf onón + G ~ • Energı́a total de los Scattering de P un fonón: P fonones: U = k p hnk,p i ~ωk,p • Número medio de fonones: P R 1 hni = e~ω/kB T −1 • U = p dωDp (ω) e~ω/k~ω • CV = ∂U • ∂T B T −1 Densidad de Un estado permitido por cada estados: (1D) dk intervalo 2π • D(ω) = L = dN • (2D) 1 estado por área π dω dω L 2π 2π L2 dk • D(ω) = 2π k dω • (3D) 1 estado por volumen Lx Ly 2 dk 2π 2π 2π V • D(ω) = 2π 2 k dω • Modelo de Debye: Lx Ly Lz R ωD V ω2 Dispersion lineal ω = vk ⇒ D(ω) = 2π D(ω)dω ⇒ 2 v3 • N = 0 ~ a1 ·~ a2 ×~ a3 ~b3 = 2π ~a1 ×~a2 • ~bi · ~aj = 2πδij • Amplitud de Scattering: ~ a ·~ a ×~ a P 1R 2 3 ~ ~ ~ ~ F = G dV ng ei(G−∆k)~r • Condición de difracción: ∆k = G, si ~ 2 ~ ~ ~ ~ elástica ⇒ 2kG = G • dhkl = 2π/ G. Si ∆k = G ⇒ R ~ FG = NPc dV n(~r)e−iG·~r =P N SG , con SG ≡ Factor de Esctructura • s n(~r) = j=1 nj (~r − ~rj ) = sj=1 nj (~ ρ) ⇒ P R ~ · ~r)= SG = j dV nj (~r − ~rj ) exp(−iG R P ~ rj ) dvnj (~ ~ ·ρ ρ) exp(−iG ~) • Factor atómico de forma: j exp(−iG · ~ R P ~ ~ · ~r) y también fj = dV nj (~ ρ) exp(−iG · ρ ~) ⇒ SG = j fj exp(−iG P SG = j fj exp{−i(hn1 + kn2 + ln3 ) • Anillos de difracción: dhkl = λ/2 ⇒ sin θmax = π/2, aparecen anillos para dhkl ≥ λ/2 • Factor atómico de forma, distribución esférica de carga: R∞ R∞ fj = 4π 0 drr2 nj (r) sinGrGr • 0 dxxn e−ax = Γ(n+1) • an+1 Γ(n + 1) = nΓ(n) = n! • BCC: SG,BCC = fBCC 1 + (−1)h+k+l • h+k k+l h+l FCC: SG,F CC = fF CC 1 + (−1) + (−1) + (−1) • ∗ Intensidad de difracción: I = SG · SG 2 3 3 Freciencia de Debye (frecuencia máx.): RωD = 6πV v N • kD = ωD /v • Energı́a térmica (1 polarización): Up = dωD(ω)f (ω)Eω • 3 R 3 xD U = Up × 3 ⇒ U = 9N kB T θTD dx exx−1 con x = β~ω, 0 2 3 R 4 x xD e θD = xD T = k~B v 6π • CV = 9N kB θTD dx (exx −1) 2 • Ley V 0 T 3 de Debye: i) Altas temperaturas: kB T ~ω ⇒ x 1 • U = 3N kB T , CV = 3N kB • ii) Bajas temperaturas: 12π 4 N kB 3 π4 T • kB T ~ω ⇒ x 1 • U = 9N kB T 4 15θ 3 • CV = 5 θ3 D D Modelo de Einstein: U = 3N e~ω/k~ω • B T −1 3N kB (~ω/kB T )2 ~ω/kB T e (e~ω/kB T −1)2 • i) Altas temperaturas: CV ' 3N kB • 3 − ~ω E ii) Bajas temp.: CV ' 3N kB k~ω e kB T • θE = ~ω • kB BT CV = tema 3. Enlace Cristalino. UT = Uatrac + Urepuls • Potenciales repulsivos: i) Potencial de Lenard-Jones: UR = B/R12 • ii) Potencial de Born-Mayer: 0 UR = λ exp(−R/ρ) • Cristales inertes (Van der Waals): Potencial de interacción de una pareja de átomos: 12 6 Uij = B/Rij − A/Rij = 4 (σ/Rij )12 − (σ/Rij )6 , con σ = (B/A)1/6 ≡ parámetro de distancia; = A2 /4B ≡ parámetro de energı́a • Energı́a total: hP i P 12 UT = 2N (σ/R − j6=i (σ/Rij )6 → Rij = ρij R. R ≡ ij ) j6=i distancia entre vecinos más próximos • UT (R) = 2N A12 (σ/R)12 − A6 (σ/R)6 ≡ Energı́a total de interacción o Energı́a de Cohesión. • FCC: A12 = 12.13188, A6 = 14.45392. HCP: A12 = 12.13229, A6 = 14.4589 • Parámetro de k 1/6 T (R) red: dUdR = 0 ⇒ R0 = 2 AA12 σ • Cristales iónicos: 6 R=R0 P ±Q2 Interacción electrostática: Uelec = j6=i 4π0 Rij (SI), P 2 (CGS) • Energı́a total: Uelec = j6=i ±Q Rij h i P Q2 P −R/ρ ±1 UT otal (R) = N − 4π con α = i6=j P±1 ≡ j6=i Pij + zλe 0R ij P α 1 Constante de Madelung, tb R = j rij ⇒ 3g 2 3 4 Expansión térmica: hxi = 4c 2 kB T , con U (x) = cx − gx − f x • 1 Conductividad térmica: K = 3 Cvl con C = CV /V , v = velocidad media, y l = recorrido libre medio. Tema 5. Gas de electrones libres de Fermi. ~2 nπ 2 Niveles de energı́a (1D): ψn = A sin 2πn • n = 2m • L L 2 2 ~ Nπ Energı́a de Fermi: F = 2m 2L , con 2nF = N • Distribución de 1 Fermi-Dirac: f (E) = e(−µ)/k . A T = 0K ⇒ µ = F • Gas B T −1 ~ de Electrones libres (3D): ψk (~r) = eik~r , con 2 1/3 2 2 k kx = 0, ±2π/L, ±4π/L... • k = ~2m •p ~ = ~~k • kF = 3πV N • 2 ~ Energı́a de Fermi: F = 2m kF •Velocidad de Fermi: 2 1/3 ~ 3π N V 2m 3/2 vF = m • Densidad de estados: N () = 3π2 • V ~2 dN V 2m 3/2 1/2 3N D() = d = 2π2 ~2 = 2 • Capacidad calorı́fica de un gas R∞ d d de electrones: Ce− = dT hU i = dT dD()f () ⇒ 0 3N 2 Ce− ' 13 π 2 2 k T ⇒ Capacidad calorı́fica experimental: B F C = γT (e− libres)+αT 3 (Debye) • Ley de Ohm: ~ = m d~v = ~ dk = −e(E ~ + ~v ∧ B) ~ • Desplazamiento de la esfera de F dt dt ~ −e E ~ • Fermi: δ~k = t • Densidad de corriente: ~j = nq~v = σ E 2 Q α + zN λe−R/ρ • Energı́a de Cohesión: UT OT (R) = − N 4π0 R 2 NQ α U (R0 ) = − 4π [1 − ρ/R0 ] • N a + P I → N a+ + e− • 0 R0 − − e + Cl → Cl +hAE • N a + i Cl → N aCl + Ecohesión • Cristal iónico 2 lineal: UT ot = N RAN − αq • Cristales covalentes: R Singlete-Enlazante. Triplete-Antienlazante. • Cristales Metálicos. ~ 2 Conductividad eléctrica: σ = nem τ , con τ ≡ tiempo medio entre choques. • Resistividad eléctrica: ρ = 1/σ • Recorrido libre medio: l = vF τ • Resisitividad experimental: ρ = ρf onón + ρdef ectos • 1 2 Movimiento en un CEM: Ecuación de movimiento: d ~ tb: m d + 1 ~v = −e(E ~ + ~v ∧ B). ~ Soluciones: ~ dt + τ1 δ~k = F dt τ eτ eτ −eτ vx = − m E x − ω c τ vy , vy = − m E y − ω c τ vx , vz = m E z • eB • Efecto Hall: Campo Hall: Frecuencia de ciclotrón: ωc = mc E eBτ 1 • Ey = −ωc τ Ex = − m Ex • Coeficiente Hall: RH = jxyB = − ne B Resistencia Hall: ρH = − ne = metales: K = L= k σT π 2 nkB T τ 3m Ey jx • Conductividad térmica en 2 2 • Número de Lorenz: σk = π3 keB T , 2 = 2.44 × 10−8 K 2J·C 2 Tema 6. Bandas de energı́a. Potencial periódico. Modelo de e− cuasilibres. Gap en • Ondas en 1a zona de Brillouin: ψ+ = 2 cos πx , k = ±π/a = ± 1G 2 a πx ψ− = 2i sin a • Magnitud del gap de Energı́a: U (x) = U cos 2πx • a R1 Eg = 0 dxU (x) |ψ+ |2 − |ψ− |2 = U • Funciones de Bloch. ~ ψ~k (~r) = u~k (~r)eik~r con u~k (~r) = u~k (~r + T~ ) • Modelo de Kronig-Penney. Potencial periódico (PP): función escalón. Condiciones de contorno periódicas. Aprox: funciones δ • Ecuación − de Schrödinger: h 2 ondas del i e en un PP. Ec. deP p iGx + U (x) ψ(x) = ψ(x) • U (x) = • G UG e 2m P ikx 2πn ψ(x) = k C(k)e con k = L , L longitud del cristal. • Ecuación de ondas (Fourier) (Ecuación central): P (λk − )C(k) + G UG C(k − G) = 0 con λk = ~2 k2 /2m • P P ψk (x) = G C(k − G)ei(k−g)x • uk (x) ≡ G C(k − G)e−iGx Invariante bajo traslaciones de cristal T • ~k ≡ Momento cristalino del ~ • Energı́a del e− libre: e− : ~k + ~ q = ~k0 + G ~ 2 • Solución aprox. en la frontera: (kx , ky , kz ) = (~2 /2m)(~k + G) 2 ~ k = ± 12 G ⇒ = λ ± U = 2m ( 12 G)2 ± U ⇒ 1 1/2 1 = 2 (λk−G + λk ) ± 4 (λk−G − λk )2 + U 2 • No de orbitales en o una banda. 2N con N = n de celdas primitivas de parámetro a. Tema 7. Cristales semiconductores. Gap. Transiciones directas: Eg = ~ωg • Transiciones indirectas: Eg = ~ω − ~Ω • Ecuaciones de movimiento. Velodidad de grupo: d vg = dω = ~1 dk • ~v = ~1 ∇~k (~k) • Fuerza externa aplicada sobre el e− : dk ~ ~ = ~ dk • Campo magnético: ~ d~k = −e~v × B ~ • huecos: ~kh = −K ~e • F dt dt ~ kh ~ + ~vh × B) ~ • h (~kh ) = −e (~ke ) • ~vh = ~ve • mh = −me • ~ ddt = e(E 2 2 d ~ k 1 1 1 1 d ~ Masa efectiva: m∗ = ~2 dk2 • m∗ µν = ~2 dkµ dkν • Frecuencia de ciclotrón: ωc = eB m∗