E~EMENTOS OE CONTORNO ADAPTAB~ES E • de ALARCON E.T.S.de Ingenieros I ndustriales. MADRID Como e• bien sabido , en el ~•todo de los elementos finitos se suele hablar de do• ti~os de converc;¡encia La primera , o converoencia h , •• reflere a fa m•Jora del resultado que se obti~tne r•finando la malla • D~ido a la correspondencia ~tlemento -variables nodales -funciones d• interpolacion , ello implica un aJuste proc;¡resivo de los resultados en aquellas zonas donde se produce el r_ef inami'e,to • Se trata del metodo mas usado cuando , de forma pra.c;¡matic;a , se desea tener un• idea de la conv.rc;¡encla de los resultados • Su principal inconveniente radica en el hecho que cada refinamiento exiQe el calc,do de lll&trices de ric;¡ide: diferentes de las ~nteriores , de modo que la inforlllacion debe ser rehecha en cada caso y , por tanto , los costes son elevados • El seoundo metódo analiza la coriveroencia p , o refinamiento de la •Proximacion median·t e el incremento del orado del polinD<~~io definido sobre cada elemento • S• trata de ;abandonar la idea de asociar a cada nodo el valor físico de la va riable correspondiente en la aproMi~acíon típíca ~ ~ a+1 1 +a212 +a~ + ••• +a dond e las funcione• r:•ro •n •l r••·t o • 3 3 1 son 9 ••• ( 1) n n unidad en el nodo correspondiente y Por el contrario • se vuelve a la idea oric;¡inal de Ritz , &emeJ•nte al d• un des•rrollo ~ serie d& Fouríer , dende las funcione• ••tan definidas c;¡lobalmente y los coefici•ntes de ponderacion no tienen porque preseñtar un si;nificado fi•ico concreto • 9 1 se stouen manteni•ndo .J::vi dentemente , la vuelta no •• total elementos y den'tro de cada uno de ellos se establece una jerarquía de funciones i Con esta situacion int•rmedia entre la c;¡lobalida~ abs~luta d e Ritz y la correspondene:ia absol·uta de la disc:retizaciof\ con· las variables se consigue , por un lado , mantener una versatilidad ?. 3 para el ajuste por t~ozoa y , por ot~o , ~•fina~ la de form. intelio~te ya que , al igual que suce de en una seri e de Fouri...- , cada t~mino que se añade produ~e un efecto menor , lo que posibilita el t~uncamient~ ~uando se alcanza un dettl4"•in&do-·M ·vel de p,..~ist-on • · Ad-a• , puesto que cada ~ tiene un soporte p~fecta. .nte definido desd• un p~incipto, cada etapa del r.fina•iento aprovech• todoa los ~alculos ante~iores y solo •• necesita eval uar los nuevos t~minos de la -t~iz de ~igidez· • • sufi~iente ap~oMimacion p~imttra idea f .ue propu-t.a po~ Zienckiewi~z poste~iormente han desar~ollado el ••todo Szabo Babuska <197~ , 1978> , Peana <1978 > , etc a.<u , u b)Definicion de una Je~arquia dent~o de cada ele~nto • de funciones de c>Establecimiento de un 'tndic.ador' de las zonas adicion de nuevas funciones Je~•~quizadas. de un pre~ise analiza~. inte~polacion que precisen la 'estimador a posterior!' que evalue e l el momento en que pueda se~ detenido e l Un metodo que sigue los pasos .ant~io~es se autoadaptable y , como se puede comprende~ interesantísimo para problemas no triviales • denomina • >..11. • ••• <::S> , u >..11. b< • dA. • ( • , • . , . >o.n.otra. (f >d.n.• , u >..o. (f, ) + b < u, u ,u >..fl + b<u a y &>Establecimiento de una malla amplia sobre el dominio a d>Estab l ecimiento er~or cometido y proceso • • et al • <1970> , y et al. <1978> , El p~oéeso op~attvo incluye asi < <f • Desarrollando el prime~ mieMbro a<u La u > <Au , es una • u • !.n. . . . (4) ,u~ forllla en el dominio ~ bilineal d .n • en su ~ontorno ope~ador las condiciones de simetría del Debido a sustraccion de ambas ioualdades permite obtener b(U o U •) an..:-:. b<u • ,u>• ' <f,. u d.Q • > - (f • • •• <:S> ,u ) -'1. ..n Si 2a ) es el pr.ob1ema original se observa que tan solo e l ultimo sumando del segundo mienbro incluye los valores de la variable en el dominio , lo que exigiría su discretizacion • Sin embargo , si s .e escoo• <2 b > de modo que ~•sulta • •• (ó) En lo que sigue vamos a contemplar la posibilid.ad de eMtender las ideas anterio~es al matado de los elementos de contorno • se obtiene inmediatamente 1.ELECCION DE LAS FUNCIONES ELEMENTOS NATURALES. DE INTERPOLACION EN EL M. E. C. (f • .. Como •• sabido , el metodo de los elementos de contorno esta basado en la existencia de una ~elacion de reci p r ocidad entre dos p~oblemas reoidos por un operador elipti~o • Au • - • •• (7) <• u b(t,l • u • f Au •• • b) f . . . (2) que se obtiene •1 for-r los productos <Au , u • ,..n.. ( f~ ,.. u • :..n. )• 4 inte~nos > o.n + b <u • ,u ) orz.. • • •• (8) + (f ,u que en elasti~id<1td , por eJemplo , se denomin• identidad . al , ,responde a la expresion S omioliana , y en Pot.ncl .. ~(&) (d~ /dn 1 ) , c.n. + ~ ,. <d9/dn> a.n. + f f ~ 5 p' de ... (9) a.o.n que indica que •• POSible ew r la suma de un potencial de c~p:sar el potencial en un punto co~o potencial volu. .trico • simple • otro de capa doble y un Si e: u ...a IL d..O.. 'el <a ... de <8> •e transforma en ••• ( 10) características geometricas ·; 1 L• tradicional utiliza para ~ y N ••• ( 11> y POlinomios definidos J J per• 1 te dar significado fisico a a y b e incorporar una fo~ 1 1 J J •IIIU ac on isepara~trica de represen tacion del contorno • Ast si por claridad 'f • j J . . • (13) 1,2,3, •••• N donde se ha hecho ••• <14> y N son las funciones de interpolacion tipicas de lineales parabolices etc. los elementos Como puede observar•• , el siste111a anterior se reduce a ... (15> . . . (1ó) que permite obtener las incognitas X , J• 1 , 2 , localmente , lo que J J ; Y. , tras la imposicion de las condiciones de contorno a dn "' b M.E.c. ,. J 2 j j El i,J j N KX •F d, q • • 1 1 11 d~ •••••• Jiq l 7 1 21 q • d~/dn Con la eodificacion (10> ' la ecuacion <S> coeo un proceso de d puede interpretarse formula <S> COM9 tal pon eracion de tipo Galerkin ' aunque la genera evidentemente un metodo d1 w co ocacion, Para crear un •e t 0 d o n~rfco con base proceder a interpolar la solucion en ~todos proyecttvos ' es decir J ·i C(Jr. +* d}•Jr NJ ter1111no =~d;o~t:;nou:~r::!~!; ~~;~~ea ~aa ... a rq , • N Es inm&diato observar que debido a la diferencia entre funciones de interpolacion y funciones de ponderacion , las matrices resultantes son asimetricas , lo que ewige eL calculo de todas y cada una de las integrales que forman sus elementos , Tambien , aunque las funciones de interpolacion sean locales , las de ponde rac i on resultan al re s olver el problema <2 bl y , por lo tanto , estan definidas globalmente • Ademas de asimetricas las matrices son , pues , llenas j ... <12) • q d;, ..... ~~ o J l; ~ 21 l • 6 l 11 j La propiedad mas atractiva del me todo , es l a r-e duccion en dimensiones geometricas , pero el calculo de las integrales exige un tiempo que a veces desequilibra la ventaja anterior • No es pues extraño que tras los prime~os años de adquirir confianza en los resultados del •etodo se pretenda ahora e n contrar soluciones que permitan reducir el esfuerzo de calculo citado , En este sentido , la idea de funciones jerarquizadas se presenta como una ewcitante posibilidad En efecto , la filosofia isoparametrica expuesta anteriqrmente ha servido para automatizar el metodo mejorando intentos anteriores No obstante es artificial la , creacion de elemento• m.diante funciones de forma locales cuando con ello no se consigue la estructura en banda típica del M.E.F. 7 Para fiJar ideas piensese en los e ases d • po t encial bidimensional q~e se croquizan en la fio~ra 1 • Si •• prescinde de COMO cons-ouir un •odelo gea.etrico del cantor q,.r . t e -+ - .... AS , BC , CD , DE ,EA • elementos naturales Un ejemplo de como se estudia la c onvergencia mediante un metodo en este cas o puede verse en Alarcon et al. 11979> • La sencillez de la geometria indica clara~ente lo absurdo que. resulta un tratamiento local en este caso cuando unas pocas funciones globales y jerarquizada s sobre cada el~ento < mas la posible adicion de algun a que represente la singularidad de q ) permitirían obtener resultados aceptables con un esfuerzo incomparablemente men o r 1 en efec to , hay d~inios f1jo5 de integracion y el · numero de func iones esta provocado por 1• complejidad del potencial y no por la geo•etrta • h 2.JERARQUIA DE FUNCIONES DE INTERPOLACION En los casos planos , las f unciones que se precisan son monodimensionales • Si se sigue con la idea de un desarrollo en FIGURA 1 ~1 ~\ .. ·- ... • •l no , lo que no es mas ~ ~·e un p•oble-a ' ., de i n t erpolacion , se observa la e>cistencia de elementos • naturales • definidos bien por la e><istencia de esquinas , bien por singularidad•• o cambio en las condiciones de borde • ••• 1 -1 . ~ . ..... -1~ -1 .. ~.~ ~~' ~ -1 Es evidente que en el caso 1 a. tanto el fluJo como el potencial evolu7ion~n regularmente dentro de cada uno de los trozos AB,BC, CA !f1gura 2 > que son , por tanto , los elementos logicos en lo• fLlJJ'O ~~.. t ~~ - ~ _, t:J ~;;a~~ ~ e:;> 1FIGURA ::S de Fourier , la jerarquí a ser i a l a indicada en la fiou ra ::Sa donde Una serie popular, es la pro puesta por Peano et a1.<1979l figura ::S b. que esta compuesta por las dos funciones lineales mas p FIGUR~ N 2 p que debe inte ntarse la interpol;acion de las variables o y q • Por su parte , en el ejemplo 1 b. las esquinas ACDE introducen flujos discontinuos que provocan la conv•ni~nci;a de subdividir el contorno e n esos trozos , pero , adem;as , el · cambio de condiciones en B sugiere inmediatamente la eleccion de los 8 p! (' - b ) ••• ( 17) con si p es par b • b • ~ si p es icnpar 9 En estas funciones , el sinnificado ~e las • "' coeficientes de la ecuacion 11 pasaria a ser el de derivadas funcion en el centro del intervalo •p+1 • a y J + • • • •••• + b s uc:esivas de la provoca la Matriz p ,., d ; r b • p+l d ~< J fq:J ~ 11 2 : rq:J +~ rq:J 12 p ,., d ••• ( 19) J q 1 1 ~p • • • ( 18) como puede comprobarse in~edtatamente • En problemas 3 D se necesitan funciones bidimensionales que se ¡ Jq: ~1 J fq: J • A ..... +2 . L • •• 120) la adicion d e a . i A ,... 1 A ,... 1 q "'n+1 1· 1 N implica orlar A en la forma r~J . J J o "'J . rq . n+l J l o -\----- 1- :L r • 4 n+l n+l 1 N+ll 1 1 o 1 n+11 r-- k f 1 r ••• 121) Observes• que , para que esto sea posible ' se el eccion de un nuevo punto de colocacion que escritura de la nueva ecuacion • FIGURA 4 obtinen simplemente CORO productos de las anteriores !Figura 4). 3.JERARQUIZACION DE LAS MATRICES DE INFLUENCIA !~tus~ de las funciones de interpolacion indicadas en el apartado infelrlor. proovoca la deseada Jerarqul%acíon de las Matrices de uenc1a • bservemos un elemento • precisa permita la la Al respecto existen varias alternativas , como es la eleccion de puntos de integracion utilizados en las cuadraturas de Gauss previas o la utiliz~cion de loa puntos correspondientes a los maximos de las funciones de interpolacion • Asi las funciones lineales se corresponderian con los extremos de los elementos y , si se utiliza la familia de senos se puede di sponer de los puntos ~ • 1/2j donde j • 1, 2,3 , •••• etc. Aunque es evidente conviene observar tambien que los refinamientos sucesivos se refieren exclusivamente a la variable incognita dentro de cada elemento , siendo el dato interpolado desde el principio segun las indicaciones del usuario , tal cOMO ' - sucede con la Qeometria • Si el desarrollo 10 11 La jerarqui~acion inducida en las eatrices A y 8 se trans•ite inteqra-.nte al sist . .a final 1161 , consigui~ose -trices de riQide~ anidadas il< 11 1 131 1 -¡ 1 1N 1 K l. ... !K : 1 1 23• K 1 _:2___:s.:_! : K • • • 1 2N ', K ::S 1 _ o 1 l. ... 'K 1< ~····~K o :SN 1 K L N1 K Nl N2 1 1 1 1 X 1 2 ,-- ~: 1 L X 1 N J NN _1 nuevo F 1 - u - u Ae • Au - Au • - f - r + f • ••• (26) -r 1 1 1 1 1 1 1 1 Por si fuera poco , cada r 1 X • 1 3 1 1-•• "1 1 • ·-·--··..1.----. l K K r x , ••• ( 2:5) • Se define el error •enerQetico' como 1 F 1 2 1 • fe Ae : : • 11 F 1 1 3 1 1 • 1 1 I 2 1--- 1 •• • (27) e ,. que , con funciones jerarqui~adas , se aprol<ima tasi 1 1 F L termino N l ••• <221 va disminuyendo en K u - u • a u u N 1.+1 i+1 por lo que N+1 ,. 2 importancia respecto al ant~ior , lo que ~ace que se debiliten los acoplamientos y se obtenqa una matriz meJor cond,cionada • t 1•11 Observase tamb1en que e l anidado y sucesiva evanesc,ncia de las contribuciones suQiere la utilizacion de metodo• iterativos tras la primera resolucton del problema , manteniendo coao tanteo inicial la solucion anterior a cada paso • Oe las nuevas ecuac¡iones de equilibrio • - • f a a + K "'i+l,i+1 "'1+1 "'l+l,J "'j K ••• (29 ' "'1+1 es decir 4.CRITERIO OE PARADA SeQun se dijo mas arriba , para que un sistema pueda ser llamado adaptable se precisa un indicador de la importancia de l os terminas a •~adir ast como un estimador del error implícito en la so lucion • La labor desarrollada por S~buska y otros ewiste todavia en el H.E.C. y por ello procedido a utili~ar el criterio de Peana continuac:ion • para vl H.E.F. no hasta .ahora •• ha que se describe a -1 a (f -K • K a "'1+1,i+1 "'i+1 ""i + 1' J "'J "'1+1 , , , C:SO J Pero - (N , l • [N r l i +1 A<u- :, "' a i +1 i+1 IN i+l AN 1+1 a K i +1"" i+1,i+1 ... <31> sivmpre que N i N sean ortoQon.ales en la norma enerqetica para j ••• <231 Utili~anda <:SO> y <31> en <29> ·~obtiene se produce un residuo 2 A u - f • ••• <241 r ::e~: • -1 K "'i+1 , i+1 2 f "'i+1 - K "'i+1,J a l ""J que •• el indicador de Peano a que haciamos referencia mas arriba. debido .al error 12 13 aquellos grados de ¡¡·b t •• p __. er ad roe.,.. a una resolucion Por •1 momento no •• dispone P~mita asegurar la prectsicn obtenida de ntnoun • estimador a POs t ert~ri que e :S.EJEI'1PLO En la fioura aioutente se recoge f!, •1 problema del cuarto de elipse . :=-.._ .f/--- ~ t n·r! f r lr¡1 J ', /;·" c. 1 q, :0 ' / / "' . . . O.l¡ !o 3 A ~:o ~ 1 1¡ FIGURA b ~ el lado AC , mas el valor del potencial en el centro O de 9C • La curva llena es la solucion teorica de este problema , mientras que la de guiones da la solucion de este primer paso \ La siguiente aproximacion consiste en la suma de un sen en la zona BC y la colocacion en el punto E (ftg. 6) • \ 1 \ 1!1 í. ¡/. 1 \ 1 ;¡ -Tfo~IC-4, 1 :..--~~o. 5'~3 ~ 1(~ o.sqzs <~e..c 11S _ -o. lo"!<; v.. .. ~ L 1 FIGURA :S croquizado en 1 a, La Prim~a pasada corresponde •n los lados AB y Ae y en una ; en 8 y - ----- -- - - e proscr ibe el J---· -e a incognitas con funciones N Y N ~ 1 2 N para en Be puesto que el valor u~ r de las N lineales • Observese que las variables son :S post~ior a O ' el flujo en 8 en •1 7 , como b. CONCLUSIONES La idea de jerarquias de funciones de interpolacion permite discretizar el contorno en elementos naturales de acuerdo con las discontinuidades previsibles en las variables del problema • \\1 B solucion , que 2n ~ El problema •• ha resuelto aai con solo ó incognitas , mientras que una aproxi.-c:ion comparable exige 12 elementos lineales • \\,, _l /A La linea de punto y raya indica la nueva puede apreciarse , es excelente • \\\\ L.. ... o.< • O B A ' los dos fluJos anterior Y lado AB • el fluJo en e en ' -~ .... Se puede mejorar de una forma independiente y a u tomatica la aproximac:ion tanto en diferentes elementos como en las variables esenciales y naturales del problema • Se puede reduci r el calculo de inteorales ( la del H.E.e.> al minimo imprescindible • parte mas costosa Se produce un mejor condicionamiento d e la matrit los acoplamientos sucesivos • y se debilitan Toda la informacion precisa es aprovechada al maKimo al pasar' de una aproximac:ion a la siouiente , lo que facilita el uso de soluciones iterativas • 14 15 7.REFE~ENCIAS. 1.Ztenak~ewicz J.s. C1""70> 1 T IUTAM l..iene • • oC ' ' ' ' Irons ,S.M. , Scott F.,. Htg~ Speea ~--• ·~· ~uting of Elasttc St -~ Ca.pbell ructures • Proc,• 2.B&buska • I. C197!5 in J.~.Whit-..n CEd) ',..' The selfadaptive Approach in the F.E.M. • athe., of Fin . El. and Appl. Acad. .tc P. 3.Szabo , B.A. Fintte element baB~su • P.K. • Rosow M.P. (1978> 1 Adaptive • on P-conv.,.gence • NASA pp 43 -!50 Conf. 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