Sobre el establecimiento

SOBRE EL ESTABLECIMIENTO DE ESTIMADORES E INDICADORES PARA LOS METOOOS DE
CONTORNO P-ADAPTABLES EN PROBLEMAS DE POTENCIAL.
E. ALARCON
Cátedra de Estructuras. E.T.S.I.I. Universidad Polit6cnica de Madrid.
El establecimiento de m~todos num~ricos capaces de garantizar una cota de
exactitud pr~viamente establecida y d~ autoadaptar la discretizaci6n inicial
hasta conseguirlo es una de 'las tendencias ~s atractivas en la actualidad.
En artículos previos se ha mostrado c6mo se puede conseguir ~sto con el m~todo de los elementos de contorno y aquí se desarrollan nuevas ideas, inspiradas en tratamientos paralelos con el m~todo de los elementos finitos, 'para fijar los criterios de adaptaci6n y estimaci6n.
1. INTROOUCCION
El desarrollo se realiza para problemas de potencial, donde la f6rmula de re ...
presentaci6n tpma el aspecto:
C
<P
(P)
l
+
<f¡(Q)
q*(P,Q)
=
Jan
J.
q(Q)
<P*(P,Q)
( 1)
an
donde$* y q* son los/campos de potencial y flujo, respectivamente, generados en un.
punto Q del contorno an al aplicar la soluci6n fundamental de la ecuaci6n de Laplacc en un punto P del contorno. e es una constante relacionada con las características de la geometría del contorno en el punto P.
El contorno an se considera, en general, dividido en dos partes
gún sean datos las condiciones de potencial o flujo (Condiciones tipo
tipo Neumann). Es decir:
En
an 1
En
an 2
<P
= <Po
q
::;:
?
=
qo
ar. 1 y a:. 2
Dir'ichle~
( 2)
<P
=?
q
Ex J?l ic i.tando estas condiciones la relaci6n 1 se escribe:
+
j
qo(Q) .$*(P,Q)
éH~
( 3)
2
que puede escribirse en forma condensada como:
L
1
q(P)
+ L
2
$ (P)
+ p(P)
o
( 4)
seo
.24.
SoSRE EL ESTABLECIMIENTO DE ESTIMADORES E INDICADORES PARA LOS METOOOS DE CONTORNO
P•AOAPTABLES h~ PROBLEMAS DE POTENCIAL.
si se acepta la siguiente
OEFINICION 1
• -
e
~ · f(O)~*(P,O)
an 1
f (P > +
J.an
f
(o> q* ( P , o>
2
(5)
2. APROXI.MACION
Flujo y potencial 1nc0gnitas son aproximadas en los contornos
pectivamente mediante expresiones del tipo:
en
an~
en
an 1
on 2 y an 1
res-
(6)
donde aj y b. son parámetros a determinar, mientras las Nj $On individuos de una
familia jeratquizada de funciones.
Con esta aproximaci6n se cometen los errores:
..
e, .. q - q
en
an 1
e,
o
en
an 2
e2
en
an 2
e2 = o
en
an1
(7)
==
<P
-
cp
y se define el residuo r como el resultado de sustituir en (4) la aproximaci6n (6),
es decir:
(8)
Debe observarse que en los puntos de colocac16n el residuo es cero y que, mediante la aplicaci6n de la r~gla (8), puede calcularse en cualquier otro punto del
contorno.
Es evidente que de (7) se deduce:
(9)
As1 pues, el residuo se puede expresar como:
( 1 0)
. 25.
r;. Alarc6n.
y, teniendo en cuenta (4):
(11)
o bien, reordenando:
( 12)
que hace aparecer los residuos corno las "cargas" que equilibran los errores.
Segdn se desprende de (7):
En
an 1
r
(, 3)
r
r2
3. ERROR ENERGETICO
Aunque el rn~todo de los elementos de contorno es un método de colocaci6n se
puede utilizar una t6cnica semejante a la de Galerkin para establecer un error energético. Se define as1:
DEFINICION 2
( 1.4)
que conviene explicitar para comprender su complejidad:
llell~
•
(
) an 1
e IP) [- (
1
)an 1
e
1
(Q) cf¡* (P ,Q)]
+
r (an
)
2
( 15)
donde el t~rmino ~del segundosurnando (en el segundo miembro) surge al interpretar
sobre trozos de eiementos con tangente continua.
Una interesante propiedad de la definici6n 2 se obtiene considerando que el
flujo es exacto y se mejora el potencial (el potencial es exacto y se mejora el flujo) mediante la adici6n de una nueva funci6n. Es decir:
(, 6)
. 26.
SOBRE EL ESTABLECIMIENTO DE ESTIMADORES E INDICADORES PARA LOS METODOS DE CONTORNO
P-ADAPTADLES EN PROBLENAS DE POTENCIAL.
de modo que:
( 17)
con ello, sustituyendo en (14);
llell~
( lle IIE~
== -
b
m+1
J
.
Cln
(18)
1
Es decir, se ve que el error energ,tico est! relácionado con la proyecci6n del residuo sobre la nueva funci6n de interpolaci6n. Este error sirve pues para indicar hasta qué punto es Qtil la introducciOn de la nueva funci6n pero no para estimar
valor del residuo. (Bastar1a que Nm 1 y r 1 fuesen ortogonales para anular 11 e 1 E por ejemplo).
+
Tl
Con los datos anteriores se puede establecer una expresión del error en funci6n del residuo, estiMado a partir de la hipótesis (16). As1, utilizando (17) y
( 13) :
( 19)
de modo que, sustituyendo en (18) se obtiene:
llell~
(
llell~
2
a n+1
2
bm+1
!,~2 Nn+1
1an,
L2 Nn+1
(20)
N
L
rn+1 1
N.
m+1
·)
Si ahora se compara la expresi6n (20) con la (18) se observa que:
( 21)
b n+ 1
=
!aQ,
Nm+ 1 r1
J'an,
Nm+ 1
L
Nm+1
y, sustituyendo de nuevo en (20) se llega a la expresión deseada para el indicador:
• 27.
E. Alarc6n.
llell~ =
,(
llell~
~an2
r
Nn+1 r2
[ar. 2 Nn+1 L2 Nn+1
r
[J~n 1
Nm+1
r1
/ar.,
N - L N
m+1
m+1
(22)
4. INDICADOR GENERALIZADO PE PEANO
La ecuaci6n (22) se corresponde estrechamente con el criterio de indicador establecido por Peano para el método de los elementos finitos adaptables, Para verlo conviene ponerlo en términos de los elementos de la matriz del sistema:
K X
=F
(23)
""""
de los "" elementos
a que se reduce el método
de contorno. Para ~yor facilidad supongamos que se trata de un problema de Dirichlet puro, de modo que el vector de inc6gnitas ~contiene los coeficientes bj de la ecuaci6n 6.
Cuando se aftade una nueva ecuaci6n m+1, resultado de incrementar el orden de
aproxirnaci6n en un elemento, la nueva ecuaci6n obtenida al colocar la soluci6n fundamental en el punto Pm+ 1 es:
o
d~
(24)
c;3.onde se puede despejar:
( 25)
y, por sustituciOn en (20), se obtiene la fOrmula de Peano generalizada:
llell~
m
( . ~ 1 Km+ 1, j
2
Xj
+ Pro+ 1)
Jan
1
Nm+1
r.,
Nm+1
(26)
Km+ 1 ,m+ 1
En el caso óe elementos finitos el segundo factor del segundo miembro es igual a la unidad, cosa que no sucede -en el método de los elementos de contorno,.
donde la expresiOn es más complicada.
. 28.
SObRE EL ESTABLECIMIENTO DE ESTIMADORES E INDICADORES PARA LOS METODOS DE CONTORNO
P-ADAPTABLES EN PROBLEMAS DE POTENCIAL.
En efecto:
- J~n 1
(
Jan 1
Nm+1 (P)
an
1
Nrn+1(Q)~*(P,Q)
( 27)
Nm+1(Q)~*(Pm+1'Q)
Obs~rvese que, mientras en el numerador tanto P como O son puntos rnOviles para la integración, en el denominador Pmtj es el punto utilizado para establecer
la ecuaci6n y por tanto tan sOlo Q es mOv~l en el elemento. En cualquier caso las
integraciones ~Olo se realizan en el elemento refinado.
5. ESTIMADOR
La fijación de un buen estimador global es todav1a un problema abierto. Exis
te no obstante un caso particular en que es posible obtener una expresiOn sencilla
del estimador. As! en los casos tipo Neümann:
(28)
si los elementos son rectos y, como es usual, el punto de colocación est& contenido dentro del propio elemento:
g* CP,Q)
o
( 29)
y, por tanto,
(30)
Sustituyendo en (14):
( 31)
1
y como C= 2 al integrar dentro de un elemento cuya tangente es continua se tiene:
(32)
o sumando para cada elemento:
(33)
La ecuaci6n 33 puede utilizarse también en el caso de elementos curvos, mientras no se disponga de una mejor alternativa.
.29.
t. ALARCON.
La figu~a 1 muestra los resultados obtenidos en un cuadrado para el caso de
potencial plano y sucesivos reflnarnientos de la malla, observándose el buen compo,;:
tamiento del indic~dor mencionado.
a•
... .s
•. $
-·S
-'·
"'l
EVOlUCICN D[ LM RES 1DUO!'.
ELEI.IENTO ·1
1
ntMENTO Z
0.11'1$,
1. ,~.
llER.O.CION 1
5.3'1. u)'
3.
ll[R.O.CION 2
!.i'.Z
SOUJC ION LINE.O.l
• t6'
u. IOJ
"· '15 ...
Figura 1
IOJ
REFERENCIAS
1.- Jaswon, M.A.
(1963): "Integra,! equations rnethods in potential theory I". Proc.
Roy. Soc. (A) 275, 23 ... 32.
·
2.- Rizzc;>, F.J. ( 1967): "An integral equation approach to boundary value problerns
of clas$ical elastostatics". Quart. Appl. Math. 25(1) 83-95.
3,-
T .A. ( 1969) : "Numerical sol,.utions in threedimensional elastostatics".
Int. J. Solid & Struct. 5~ 1259-1274.
Cr1,1s~,
4.- ¡,achat, J.C. (1973): "A further developrnent of the :Soundary Integral Technigue
for Elastostatics". PhD Thesis. University of Southarnpton, U.K.
5.- ¡.achat, J.C. & Watson, .;r.o. (1974): "('. second geneJ;ation integral equation prograrn for three ... dirnensional elastic analysis" in "Boundary-Integral equation method: Cornputational applications in Applied rnechanics". (T.A. Cruse and F.J.
Rizzo, Eds.). ASME, NY.
6.- Brebbia, c. (Ed.) (1978): "Recent advances in boundax:y elernent methods". Sout-:
hampton, Pentech Press.
7.- Crouch, S.A.
nics~.
& StaX"field, A.M. (1983): "Boundary elernent rnethods in solid
George Allen & Unwin.
mech~
. 30.
SOBRE EL ESTABLECIMIENTO DE ESTIMADORES E INDICADORE;S PARA LOS METODOS DE.CONTORNO
p ...ADAP'l'ABLES eN PROBLEMAS DE POTENCIAL.
8.- Jaswon, M.A. and Synun, G.T. (1977): "Integral equation methods in potential
theory and elastostatics". Academic Press.
9.- Brebbia, C.A. (1978): "The boundary element for ehgineers". Pentech Press.
10.- Banerjee, P.K. & Butterfield, R.
(1981):
"Boundary element methods in enginee-
(1979):
"Developments in boundary element me-
ring Science". McGraw Hill.
11.- Banerjee, P.K. & Butterfield, R.
thods 1". Applied Science Pub.
12.- Banerjee, P.K. & Shaw, R.P.
(1982): "Developments in boundary element methods
2". Applied Science Pub.
13.- Ligget, J.A. &
Liu~ P.L. (1983): "The boundary integral equation method for porous media flow". George Allen and Unwin.
14.- Alarc6n, E. & Reyero; P. (1984): "An introductory guide to the boundary element
method" (in Spanish). Polytech. Uniyersity Press.
15.- Brebbia, C.A., Telles, J
ques". Springer-Verlag.
.e .F.,
Wrobel, L.C. ( 1984): ''Boundary Element Techni-
16.- Cruse, T.A.
(197"i): "Boundary Integral E;quations •. Fundamentals. Class ... notes".
Edited as "Mathematical Found~tioris of the BIEM in Solid Mechanics". AFOSR-TR-
77-1002.
17.- Garc1a-Ben1tez, F. (1981): "The BIEM in 3-D elastoplasticity" (in Spanish). PhD
Thesis. ETSII. Universidad Pol. Madrid.
18.- GOmez-Lera, S.
(1982): "BIEM in Axisymmetric plasticity" (in Spanish). PhD The-
sis. Univ. Pol. Madrid.
19.- Alarc6n, E., Mart1n, A., Par1s, F.
(1979): "Sorne minor problems with BJ;:M", in
"Applied Nuroerical Modelling". Ed. E. Alarc6n et al. Pentech Press.
20.- Arnold, D.N.
& \\1 endland, W.L. (r982): On the asymptotic Convergence of Colloca ...
tion Methods. Preprint 665, TH Darmstadt. Dept. of Mathematics, Fed. Rep. Germany.
21.- Rank, E.
(1984): "A posteriori error estimates and adaptive refineroent {or sorne
Boundary Integral Equations" in "ARFEC Conference", Ed. Babuska Oliveira, Zien~
kiewicz, Lisbon.
22.- Zienckiewicz, O.C., Irons, B.M., Scott, F.E. & Campbell, J.S.
(1970): "High-
Speed Computing of Elastic Structures". Proc. IUTAM, Liege.
23.- Peano, A.G. (1975).: "Hierarchies of conforming finite elements", Doctoral Dissertation, Washington University, St. Louis.
24 . ..,. Babuska, K. & Rheinboldt, w.c. (1978) :. A posteriori error estimates for theF.E.M. lnt. Journ. Num. Meth. Eng. Vol. 12, 1597-1615.
25.-
I., Oliveira, E~R.A., Zienckiewicz, o.c. (1984): "Accuracy estimates
and adaptive refinements in Finite Element Computations" (1\.RFEC). Lisbon.
)3ab~ska,
26.- Peano, A.G.
(1984): "General. purpose systems based on adaptive finite elements.
Software design considerations". ISMES leaflet.
·
27.- Babuska, I.
(1975): "The selfadaptive approach in the F.E.M. in J.R. Whiteman"
(Ed.) Mathem. of Fin. El. and Appl. Academic Press.
28.- Szabo, B.A., ~asu, P.K., Rosow, M.P. (1978): "Adaptive Finite Element based on
P-convergence". Nasa Conf. Pub. 2059, pp. 43-50.
E. ALARCON.
29.- Kelly, D.W., Gago¡ J., Zienckiewicz, o.c. & Babuska, I, (1983): "A-posterior!
er'ror analysis and adaptive processes in the f inite element method": parts I
& II. Int. Journ. num. meth. eng. 19. 1593-1619.
30.- Alarc6n, E., Abia, L., Reverter, A., (1984): "On the possibility of Adaptive
Boundary Elements", Int. Conf. on Accuracy Estimates and Adaptive Refinements
in Finite Element Computations". (ARFEC). Lisbon, June.
31.- Alarc6n, E·r Reverter, A.;.Molina, J. (1985): "Hierarchical boundary elements".
Computers and Structures. Vol. 20, no's. 1-3, pp. 151-156.
32.- Alarc6n, E. (1983): Letter to the editor. Internat. Journ. Num. Meth. in Eng.
Vol. 19. No• 7, p. 1105.
33.- Alarc6n, E., Gl Suárez, c., Reverter, A. (1984): "Improvements for BEM imple-·
mentation in mic;ros". In Lewis & Odorizi. Pineridge Press.
34.- Gago, J.P.S.R. (1982): "A-posterior! error analysis. And adaptivity for thefinite element method". PhD Thesis. University of Wales.
35.- Reverter, A• (1984): "Adaptive boundary elements in 2-D potential theory" (in
Spanish). Masters' Thesis. Polytechnical University of Madrid. Spain.
36.- Tuerteltaub, M.J. & Paluszyn, G. (1977): "Polynornial approximations in the direct potential method for plane elastostatics". In "Innovative numerical analysis j,.n applied engineering scierice" CE'l'IM, Versailles, France.