sistemas de ecuaciones lineales / Cramer con parámetros Ejemplo nivel 4 hoja 1 Ayudas Discutir según los valores de k y resolver el sistema: 3y + 2 z = −2 x− 5 y + ( k − 5) z = 4 − 2 x + x + (k − 3) y − 4z = k Pasos: 1º ) Operar como con números, calculando los determinantes ∆ y ∆ x, ∆ y, ∆ z. 2º ) Analizar los resultados según los valores del parámetro. 3º ) Resolver los casos posibles. Solución: 1 −3 2 3 1 ± 1 + 24 ∆= −2 5 k − 5 = −k 2 + k + 6 = 0 ⇒ k = = −2 2 1 k −3 −4 Se puede resolver, también por el Método de Gauss Estudio: * Si k ≠ 3 : ∆ = A ≠ 0 ⇒ SCD La solución es: −2 −2 −3 2 − (k + 2)(k + 1) k + 1 k − 5 = −k 2 − 2k − 3 = −(k + 2)(k + 1) ⇒ x = ∆x = 4 = 5 − (k + 2)(k − 3) k − 3 k k −3 −4 1 −2 2 − (k + 2)(k − 1) k − 1 ∆ y = − 2 4 k − 5 = −k 2 − k + 2 = −(k + 2)(k − 1) ⇒ y = = − (k + 2)(k − 3) k − 3 k −4 1 −3 −2 1 − (k + 2) 1 ∆z = − 2 5 4 = −k − 2 = −(k + 2) ⇒ z = = − (k + 2)(k − 3) k − 3 1 k −3 k * Si k = 3 : ∆ = A = 0 y ∆ x ≠ 0 ⇒ SI : No hay solución * Si k = –2 : ∆ = A = 0 y ∆ x = ∆ y = ∆ z = 0 ⇒ SCI , pues no hay dos filas proporcionales, por lo que rang A = rang (A|B) = 2. (−2 − 11λ , − 3λ , λ ) Las soluciones Nº 1 2 son: Discutir y resolver los sistemas: a) x + 3 y = 6 2 x + my = 2m a) 2 kx + t 3 x = 1 x + 2ky = 0 b) mx − y = 1 x − my = 2m − 1 b) x + y + z = 2 2 x + 3 y + z = 3 kx + 10 y + 4 z = 11 Soluciones Comprob. · · · à curso nombre fecha / / puntos xms/algebra/sistemas/cramer/ejer41 sistemas de ecuaciones lineales / Cramer · · · à con parámetros b) z= 5 x− y + kx + y + 2k z = 1 2k x + 2 y − 3 z = 5k + 1 b) kx+ y+ z= 1 x+ k y + z = 1 x + y +kz = 1 a) x + ky + (k − 1) z = 2k − 1 ( k − 1) y + z = k x + y = 1 a) x + ky + z = k + 2 x + y + kz = −2(k + 1) kx + y + z = k a) 2 y + kz = k y + 3z = 0 b) ( k − 2 ) x + = 1− k ( k − 1) y ax − y + z = 2 z x + 2ay − az = y x + ay − z = 0 a) x + y + z = m + 1 mx + y + (m − 1) z = m x + my + z = 1 b) (m + 2) x + y + z = m − 1 mx + (m − 1) y + z = m − 1 (m + 1) x + (m − 1) z = m − 1 a) x + y + kz = k kx + ky + z = 1 x + ky + z = k b) (7 + k ) x − 6 y + 6 z = 0 − 3 x + ( 2 − k ) y + 3 z = 0 − 6 x + 6 y + (5 − k ) z = 0 8 a) x + y = 7t y − z = 3 − 2t x − z = 3 + 5t b) ax + 20 y + 7 z = 1 3 y + z = 0 x − ay = 1 9 a) x + y + z = 1 x − 2 y + 2 z = a b) x + 2 y + z − m = 0 2 x − y − z + 2 = 0 10 a) ax + y + z = a x + ay + z = a x + y + az = a b) y + 2z = 0 3 y + z = 0 my + z = 0 11 a) − 2 x + 3 y + 4 z = 12 ax − (a + 4) y − 2az = 3a b) x + 2 y + z = 3 ax + (a + 3) y + 3 z = 1 a) 3 x − ay + 2 z − (a − 1) = 0 b) 2 x − 5 y + 3 z − 1 = 0 x + 3 y − (a − 1) z = 0 3 4 5 6 7 12 curso nombre nivel 3 hoja 1 x + ay = 1 ay − z = 1 x − z = b fecha / / puntos xms/algebra/sistemas/cramer/ejer41