ESTUDIO COMPUTACIONAL DE LA SOLIDIFICACI N Y FUSI NDE UNA ALEACI N EN UNA MATRIZ CUBICA POROSA

CONGRESO CONAMET/SAM 2004
ESTUDIO COMPUTACIONAL DE LA SOLIDIFICACIÓN Y FUSIÓN
DE UNA ALEACIÓN EN UNA MATRIZ CUBICA POROSA
(1)
(2)
(2)
Mauricio Godoy S., (2) Nelson Moraga B.
Departamento de Ingeniería Mecánica – Universidad de La Serena
Benavente 980 – La Serena – CHILE
email: mgodoy@userena.cl
. Departamento de Ingeniería Mecánica - Universidad de Santiago dc Chile
Av. Lib. Bdo. O’Higgins 3363 - Santiago – CHILE
email: nmoraga@lauca.usach.cl
RESUMEN
Se presenta un estudio computacional de la solidificación y fusión de un metal, infiltrado de forma no reactiva en
una matriz porosa de geometría cúbica. Se considera que toda la cavidad cúbica porosa esta saturada con el metal
y tiene cuatro paredes adiabáticas y dos paredes verticales opuestas a diferentes temperaturas. La modelación se
basa en las ecuaciones de continuidad, Navier Stokes y de energía. En la descripción del medio poroso, se utiliza
el modelo de Darcy-Binkman-Forchheimer. Las ecuaciones discretizadas, mediante Volúmenes Finitos. Se
resuelven empleando el algoritmo SIMPLE. El objetivo es estudiar el cambio de fase, solidificación y fusión, en
el medio poroso de la cavidad cúbica, considerando convección natural en la fase líquida, porosidad constante de
la matriz y porosidad variable en la zona pastosa. Finalmente se construye un modelo adimensional, se
determinan las distribuciones de velocidad, U, V, W y de temperatura θ, además se determinan los frentes de
cambio de fase en el tiempo. La validación se realiza utilizando datos disponibles en la literatura para modelos
2D y experimentales (Beckermann, 1988).
Palabras claves: SolidiHeaeion. fusion, medio poroso, material compuesto
1. INTRODUCCIÓN
En el desarrollo de nuevas piezas y
componentes, mediante tecnología de materiales
compuestos producidos por solidificación de molde,
se desea normalmente que la estructura tenga una
composición lo más homogénea posible ya que esto
tendrá correlación con sus propiedades termo
mecánicas. Un ejemplo puede ser el metal infiltrado,
de una matriz cerámica porosa. En este tipo de casos
existen muchos factores propios de solidificación, que
contribuyen a la desviación de la homogeneidad del
producto final. Al respecto muchos procedimientos y
relaciones empíricas se han desarrollado en
laboratorios para lograr mejorar estos procesos, sin
embargo se presentan dificultades al tratar de
escalarlos a procesos industriales. De ahí que destinar
esfuerzos para modelar la solidificación en una
material compuesto y sus variables resulta atractivo,
ya que con esto se pretende obtener herramientas que
permitan predecir y controlarlas inhomogeneidades a
escalas industriales. En este sentido, durante los
últimos años diferentes estrategias computacionales y
modelos han sido investigados. Las estrategias más
prominentes han incluido: (i) niveles dispares de
convección y difusiones [1] (ii) configuraciones
geométricas complejas [2] (iii) solidificación con
incorporación de convección natural en un medio
poroso, tanto en la zona pastosa como en una matriz
[3]. Esta última estrategia y modelo se emplea en este
trabajo para modelar, en forma adimensional, tanto el
proceso de solidificación como de fusión, de un metal
que satura y solidifica en una matriz porosa sólida. Se
modela una cavidad cúbica de lado 1 que representa a
una matriz porosa que está saturada por un metal que
solidifica o se funde, según las condiciones iniciales y
de borde. Los objetivos que se persiguen son estudiar
el cambio de fase, solidificación y fusión, en el medio
poroso de la cavidad cúbica 3D, considerando
convección natural en la fase líquida, porosidad
constante de la matriz y porosidad variable en la zona
pastosa. Para ello se construye un modelo
adimensional, se determina las distribuciones de
velocidad U, V, W y de temperatura θ, además se
determinan los frentes de cambio de fase en el tiempo.
La fusión se modela para un Ra=8.4x105 y Ste=0.1241
y la solidificación para un Ra=6.727x105 ySte=0.0993
Finalmente los resultados son comparados con otros
experimentales y numéricos obtenidos [3]en una
cavidad cuadrada de 4.76cnx4.76cm, en la cual se
solidifica y se funde Galio. Se utiliza un Δθ=0.02, para
la formulación del Cp aparente, y un paso de tiempo
adimensional de Δt=0.006.
2. SITUACIÓN FÍSICA
Modelo geométrico: Se estudia una cavidad
tridimensional cúbica, compuesta por una matriz
porosa la cual está saturada con una aleación metálica.
La geometría posee los lados adimensionales L=1 y
sus condiciones de borde son 4 caras aisladas y 2 caras
con temperaturas impuestas como se muestran en la
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figura 1. El medio poroso lo constituye todo el
dominio, con excepción de las paredes, que son
delgadas y contienen las condiciones de borde.
Consideraciones físicas: En el interior de la cavidad
se considera que la matriz porosa esta saturada con la
aleación y se tiene tres zonas importantes, una zona
sólida donde la difusión de calor es el mecanismo de
transporte de energía, una zona donde el metal esta
líquido, en la cual la convección y difusión de calor
inciden y una tercera zona que es la zona pastosa o de
cambio de fase, donde existe una interfase sólido
líquido caracterizada por un medio poroso variable
según el grade de solidificación logrado. Esto se
muestra en la figura 2.
fase se utilizó el modelo de calor especifico aparente.
La convección natural se modelo según la
aproximación de Bousinesq. La matriz se considera
con porosidad constante, no así la porosidad dada por
el grado de solidificación en la zona pastosa, sin
embargo para ambas porosidades se consideró el
modelo complete de Darcy-Brinkman-Forchheiner.
Las relaciones de porosidad empleadas fueron las
siguiente:
ε=
Vf
V
; Porosidad de matriz: Fracción de metal por
unidad de volumen.
V t (t )
= ε ⋅ γ (t ) ; Fracción de líquido por
V
unidad de volumen. Nota: 0 < γ < 1 : 0 < δ < ε
γ (t ) =
Las propiedades efectivas (ef) en un volumen fueron
obtenidas según: Para el calor específico y la
conductividad
ρ ⋅ C = ε ⋅ ρ P ⋅ [γ ⋅ C l + (1 − γ ) ⋅ C S ] + (1 − ε ) ⋅ ρ P ⋅ C P
k f = γ ⋅ k l ⋅ +(1 − γ ) ⋅ k S
Donde los subíndices l, s, p son de metal líquido,
metal sólido y matriz porosa respectivamente.
Para determinar kef
Figura n°1: Geometría modelada
⎡kP − k f
k ef + ε ⋅ ⎢
1/ 3
⎢⎣ k f
⎤
1/ 3
⎥ ⋅ k f − kP = 0
⎥⎦
Otras relaciones definidas para construir el modelo
matemático fueron:
Razón de capacidad térmica Ω = ρ ⋅ C
ρ l ⋅ Cl
Razón de conductividad térmica Λ =
Número de Stefan S te =
k ef
kl
C l ⋅ (TH − TC )
Δh
Temperatura adimensional de fusión θ = Tm − TC
m
TH − TC
Para δ
θ ≥ θ m + Δθ
⎧ε
⎪
⎪ ⎛ θ − θ m + Δθ ⎞
δ = ⎨ε ⎜
⎟
⎠
⎪ ⎝ 2 ⋅ Δθ
⎪⎩0
Figura n°2: Zonas físicas interiores
Consideraciones para el Modelo Matemático. El
modelo es transiente, debido a la interfaz móvil del
frente de cambio de fase. El metal líquido se supone
laminar, incompresible y newtoniano. En el cambio de
θ m − Δθ < θ < θ m + Δθ
θ ≤ θ m − Δθ
Condiciones de Borde: Las condiciones de borde
térmicas, corresponden a dos temperaturas impuestas,
distintas a cada lado, en las paredes verticales
paralelas al plano yz, las paredes restantes son
adiabáticas. Las condiciones de borde fluídicas son
velocidad cero en las paredes de la cavidad. La
gravedad actúa en sentido y dirección -Z
En X = 0, 0 ≤ Y ≤ 1;0 ≤ Z ≤ 1
U = 0; V = 0; W = 0; θ = 0
En X = 1, 0 ≤ Y ≤ 1;0 ≤ Z ≤ 1
U = 0; V = 0; W = 0; θ = 1
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En Y = 0, 0 ≤ X ≤ 1;0 ≤ Z ≤ 1
La solución numérica de las ecuaciones de
conservación gobernantes es obtenida con el método
de volúmenes finitos de control a través del algoritmo
SIMPLE (Método Semi Implícito de Ecuaciones
Ligadas por la Presión), desarrollado por Patankar [4].
Las funciones de interpolación son del tipo ley de
potencia, basado en el método de la potencia. El
método de solución de las ecuaciones algebraicas
considera: TDMA (Algoritmo Tri Diagonal
de
Thomas) + Gauss Seidel + Subrelajacion Sucesiva.
Finalmente se procesa en un programa Fortran.
En Y = 1, 0 ≤ X ≤ 1;0 ≤ Z ≤ 1
Z = 0, 0 ≤ X ≤ 1;0 ≤ Y ≤ 1
En Z = 1, 0 ≤ X ≤ 1;0 ≤ Y ≤ 1
En
U = 0; V = 0; W = 0;
∂θ
∂θ
= 0;
=0
∂Y
∂Z
Condiciones iniciales:
⎧0 fusión
para τ ≤ 0
θ =⎨
⎩1 solidificación
5. IMPLEMENTACION COMPUTACIONAL
3. MODELO MATEMATICO
Las ecuaciones que gobiernan el problema son la
ecuación general de continuidad (conservación de
masa en fluido), momento lineal (2a ley de Newton o
ecuaciones de Navier Stokes en fluido)
y la
conservación de energía. Estos principios, en forma
adimensional, se presentan resumidamente en las
siguientes ecuaciones.
Ecuación de continuidad:
∂U ∂V ∂W
=0
+
+
∂X ∂Y ∂Z
Ecuación de momento en x
∂U ∂U ⎤ ∂P
1 ∂U
1 ⎡ ∂U
⋅
+ 2
U⋅
+V
+
=− +
⎢
∂Y ∂Z ⎥⎦ ∂X
δ ⋅ Pr ∂τ δ ⋅ Pr ⎣ ∂X
1 ⎡∂2U ∂2U ∂2U ⎤ ⎡ κ 1 κ
+
+
−⎢ +
⋅ C ⋅ U 2 +V 2 +W 2
δ ⎢⎣∂X 2 ∂Y 2 ∂Z 2 ⎥⎦ ⎣ Da Pr Da
⎤
⎥U
⎦
Ecuación de momento en y
1 ∂V
1 ⎡ ∂V
∂V ∂V ⎤ ∂P
⋅ + 2
U ⋅ +V + ⎥ = − +
⎢
δ ⋅ Pr ∂τ δ ⋅ Pr ⎣ ∂X
∂Y ∂Z ⎦ ∂Y
2
2
2
⎤
1 ⎡∂ V ∂ V ∂ V ⎤ ⎡ κ 1 κ
+
+
⋅ C ⋅ U 2 +V 2 +W 2 ⎥V
⎢
⎥−⎢ +
δ ⎣∂X 2 ∂Y 2 ∂Z 2 ⎦ ⎣⎢ Da Pr Da
⎦⎥
Ecuación de momento en z
1 ∂W
1 ⎡ ∂W
∂W ∂W ⎤ ∂P
=− +
⋅
+ 2
U⋅
+V
+
⎢
δ ⋅ Pr ∂τ δ ⋅ Pr ⎣ ∂X
∂Y ∂Z ⎥⎦ ∂Z
1 ⎡∂ W ∂ W ∂ W ⎤
+ 2 + 2⎥
⎢
∂Y ∂Z ⎦
2
2
2
δ ⎣ ∂X 2
⎤
⎡κ 1 κ
−⎢ +
⋅ C ⋅ U 2 +V 2 +W 2 ⎥W + Ra⋅θ
⎥⎦
⎣⎢ Da Pr Da
Malla: Se consideró una malla uniforme 3D dc
32x32x32 nodos
Criterio de convergencia (tolerancias): Se verifico
la convergencia en las velocidades U, V, W y la
temperatura θ. El criterio de convergencia se evaluó
según la tolerancia
Tolerancia =
φ n − φ n −1
φn
max imo
donde φ es la variable y n el nivel de iteración.
Parámetros de subrelajacion: Los factores de
subrelajacion considerados, según cada variable, son
αi= 0.5 en cada ecuación
Posprocesamiento: Los resultados para posproceso
fueron generados en dos formatos distintos. Un
formato que permite ver valores de isovariables (ej:
isotermas, isovelocidades, etc.) mediante el
posprocesador TECPLOT y otro formato tabulado, el
cual permite ser reconocido por MICROSOFT
EXCEL para graficar.
Capacidad computacional: Se utilizó para realizar
los cálculos un computador Pentium III de 750MHz
con 12SMB Ram.
6. RESULTADOS Y DISCUSION
La figura 3 muestra el tipo de resultados obtenidos, en
el cual se observa el avance del frente de
solidificación y la curvatura en las isotermas debido a
la confección natural en el líquido
Ecuación de la energía
∂θ
∂θ
∂θ ⎤ ⎡ ∂2θ ∂2θ ∂2θ ⎤ 1 ∂δ
⎡ ∂θ
⎢Ω ∂τ +U ∂X +V ∂Y +W ∂Z ⎥ = Λ⎢∂X 2 + ∂Y 2 + ∂Z 2 ⎥ − S ∂τ
⎣
⎦ ⎣
⎦ te
4. METODOLOGIA
Se emplea el método de Volúmenes Finitos para
discretizar las ecuaciones, expresadas como una única
ecuación de transporte, para la conservación de masa,
el momento lineal y la energía. Las ecuaciones que
definen el problema, se ordenan de manera que tomen
la forma
ρ
div(ρ ⋅ v ⋅ φ ) = div(Γ ⋅ gradφ ) + Sc + Sp ⋅ φ
Donde: φ: Variable dependiente ; ρ: Densidad ;
ρ
v Campo de velocidad ; Γ: Coeficiente de difusión ;
Sc: Fuente constante ; Sp: Fuente variable.
Figura 3: Desplazamiento de isotermas según avanza
la solidificación
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La Figura 4, también para la solidificación, muestra
las curvas de isovelocidad por componente U y W,
que reflejan claramente el avance del frente como
también la distorsión producida por la convección en
el medio poroso.
Figura 6: Perfil de temperatura en solidificación, esta
modelación y la de Beckermann, para diferentes
alturas Z y tiempos adimensionales de 7.1 y 7.3.
Figura 4: Isovelocidades U(dirección X) y W
(dirección Z) según la solidificación.
La figura 5 presenta una comparación de posición de
frentes dc solidificación para esta modelación (5 a) y
la obtenida en [3] (5 b)
Figura 7: Perfil de temperatura en fusión, esta
modelación y la de Beckermann, para diferentes
alturas Z y tiempos adimensionales de 1.28 y 1.8
7. CONCLUSIONES
•
•
5 a) Esta modelación
La metodología empleada es adecuada para
calcular problemas de solidificación de aleaciones
en un medio poroso. como por ejemplo en
materiales compuestos.
Se considera apropiada la implementación de los
modelos completos de Darcy - Brinkman –
Forchheimer, para el cálculo del medio poroso,
tanto con porosidad constante como en porosidad
variable.
8. REFERENCIAS
[1] W. Shyy and H. S. Udaykumar. Multi-Scale
Modeling for Solidification Processing. B.
Sunden and G. Comini (editors): Computational
Analysis of Convection Heat Transfer, WIT
Press, Southampton. U.K. (2000)pp.141 "19S.
5 b) Modelación y datos experimentales [3]
Figura 5: Comparación de frentes de solidificación en
diferentes tiempos.
Las figuras 6 y 7 muestran gráficos comparativos,
para la solidificación y fusión respectivamente, en
forma de perfiles térmicos en X, en el plano medio
Y=0.5 y diversas alturas Z. A la vez se comparan con
los resultados numéricos y experimentales obtenidos
por Beckemnann [3].
[2] Reddyt A.V., Kotheq D.B.. Beckermann C.,
Ferrell R. C., Lam K.L.High Resolution Finite
Volume Parallel Simulations Of Mould Fillingand
Binary Alloy Solidification On Unstructured 3-D
Meshes.
[3] Beckermann C., Viskanta R., Natural Convection
Soli/Liquid Phase Change in Porous Media. Int. J.
Heat Mass Transfer, Vol.31, ?1, pp35-46. 1988
[4] Patankar S. V. Numerical Heat Transfer And
Fluid Flow. Hemisphere Publishing Corporation.
1980