Realizado por: Grupo4:-Ricardo Bermejo, Francisco Caballero, Ezequiel Martí y Juan Pedro Tortosa Trabajo1 ERRORES PARA METODOS NUMÉRICOS Apartado a: Cuando hacemos medidas podemos llegar a cometer un cierto error. Este error puede ser vital para la obtención de ciertos resultados. Dado este hecho, calculamos el error que hemos cometido. Con esto vamos a definir conceptos que nos ayudaran a comprender los distintos tipos de errores: Precisión: Se refiere al número de cifras significativas que representan una cantidad dependiendo del error de la medida o de la máquina que estemos utilizando. Dígitos Significativos: Son aquellos números diferentes de cero, en una cifra, leyendo de izquierda a derecha; empiezan con el primer dígito diferente de cero y terminan con el tamaño que permitan las celdas que guardan la mantisa. Ahora pasaremos a definir los distintos tipos de errores: 1) Error absoluto 2) Error relativo 3) Error de redondeo y aritmético de la computadora 4) Error por redondeo 5) Error por truncamiento 1 Error absoluto Si x* es una aproximación de x, y si x es el valor real, entonces: Error Absoluto = |x-x*| o sea el valor absoluto de x menos x*. Debido a que la ecuación se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo. Así pues, una colección de errores siempre se incrementan juntos, sin reducirse. Ejemplo1: x=0.3x10-3 x*=0.31x10-3 error absoluto=|0.0003-0.00031|=0.00001 2 Error relativo El Error relativo se define como: Error relativo = |x-x*|/|x| con la condición de x 0. Generalmente el denominador es una de tres elecciones; la magnitud del valor exacto o real, la magnitud del valor calculado o aproximado o el promedio de estas dos cantidades. La mayoría de las veces se usa como el valor real, por lo que se usará esta opción. Ejemplo: x=0.3x10-3 x*=0.31x10-3 Aquí usaremos el resultado del ejemplo 1 error relativo = 0.00001/0.0003=0.0333 3 Error de redondeo y aritmético de computadora El error de redondeo se origina porque una máquina muestra un número finito de dígitos; por lo tanto, los cálculos se realizan con representaciones aproximadas de los números verdaderos. Dicho de otra manera, el error de redondeo se debe a la discreción del sistema numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de caracteres finitos. Cada número se reemplaza por el número de máquina más cercano. Esto significa que todos los números en un intervalo local están representados por un solo número en el sistema numérico de punto flotante. Ejemplo en la IBM 370: 1 dígito binario (bit) indica el signo. 7 dígitos binarios (7 bits) indican el exponente en base 16. 24 dígitos binarios (24 bits) indican la mantisa. El exponente de 7 bits da un rango de 0 a 127. Sin embargo, debido a los exponentes usados, el rango es de -64 a 63, o sea que, se resta automáticamente 64 del exponente listado. 127-64=63 0-64=-64 4 Error de redondeo Es el que resulta de reemplazar un número por su forma de punto flotante. Cualquier número real positivo puede ser normalizado para que adquiera la forma: Y =X1X2……..XkXk+1Xk+2……*10ª 1<=X1<=92 1<=Xi<=9 con i=2,3,4,….k La forma de punto flotante fl(y), se obtiene terminando (recortando) la mantisa de y en k dígitos decimales. Existen dos métodos de terminar: a) Cortando los dígitos xk+1xK+2·.. fl(y)=0.x1x2··xk*10n b) Redondeando el número Si xk+1>= 5 se agrega uno a xk para obtener fl(y) Si xk+1< 5 se cortan todos excepto los primeros k dígitos. Ejemplo 1 Utilizar k=5 METODO DE REDONDEO como el sexto dígito de la expansión decimal de es un 9: fl( )=(0.314159+0.00001)*101 fl( )=0.31416*101 =3.1416 5 Error de truncamiento Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número infinito de pasos se detiene en un número finito de pasos. Generalmente se refiere al error involucrado al usar sumas finitas o truncadas para aproximar la suma de una serie infinita. Note que el error de truncamiento, a diferencia del error de redondeo, no depende directamente del sistema numérico que se emplee. Que es el polinomio de Taylor de grado n para la función f alrededor de xo. Que es el residuo o error de truncamiento asociado con Pn. f(x)=Pn(x)+Rn(x) En el caso específico de que xo=0 el polinomio de Taylor se conoce como el polinomio de Maclaurin y la serie de Taylor se conoce como la serie de Maclaurin. . Ejemplo 2: Sea f(x)=x3 a) Encontrar el polinomio de Taylor de segundo grado para xo=0 y el error de truncamiento para cuando x=0.5. Solución: Nota: (x) en el nº que no conozco y que tiene que escribir si hay x R2(x)=6/6 R2=6/6x3 R2=x3 Con X =0,5x3 R2(x)=(0,5) 3 R2(x)=0,125 R2 es el residuo o error F(x)=P2(x)+R2(x) F(x)=x*x*x*=0+ 0,125 x3 =0,125 |x3 -0|<=0,125 0,125 es el Error de truncamiento Estos 5 errores que acabamos de describir, son errores de los que podemos predecir un resultado, pero a veces podemos cometer errores de los cuales nunca no nos damos cuenta que hayan sucedido: Errores Inherentes o Heredados: Son errores en los valores numéricos con que se va a operar, pueden deberse a dos causas: sistemáticos o accidentales. Errores Sistemáticos: Debidos a la imprecisión de los aparatos de medición. Errores Accidentales: Debidos a la apreciación del observador y otras causas. Apartado b: El Error Relativo es una mejor medida del error que el error absoluto, en especial cuando se utilizan sistemas numéricos de punto flotante. Puesto que los elementos de un sistema de punto flotante no están distribuidos de manera uniforme, la cantidad de redondeos posibles depende de la magnitud de los números que se redondean. A demás como una medida de precisión de el error absoluto puede ser más engañoso debido a que el valor exacto y el de aproximación pueden variar de alguna manera diríamos que el error significativo es más significativo. Bibliografía: -”Errores experimentales. Criterios para su determinación y control” Colombo de Cudmani,L., U.N.T.1997 -“Breve diccionario Sirvent” Sirvent M.T., UBA, Marzo de 1997 -“Metodos Numéricos”, Rey Cabezas, J.M.,Infante del Rio,J.A., Paginas web: mailweb.udlap.mx/~ccastane/Analisis_Numerico_html/ Unidad6_html/Sub6_4/Sub6-4.html . luda.azc.uam.mx/curso2/tema5/integ02.html .