unidad 1 - analisis numericos

ALFREDO GONZALEZ HERNANDEZ
INGENIERIA PETROLERA
ANALISIS NUMERICO
UNIDAD1
UNIDAD 1
METODOS NUMERICO
1.1
1.2
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
1.3
1.4
INTRODUCCION A LOS METODOS NUMERICOS
TIPOS DE ERRORES
DEFINICION DE ERROR
ERROR POR RODENDEO
ERROR POR TRUNCAMIENTO
ERROR POR TRUNCAMIENTO TOTAL
ERRORES HUMANOS
TEORIA DE METODO ITERATIVO
RAIZ DE UNA ECUACION
INTRODUCCION A LOS METODOS NUMERICOS
Son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos
De tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas”
Los métodos numéricos se utilizan para:
• Solución de sistemas de ecuaciones lineales
• Solución de ecuaciones no lineales y trascendentales
• Encontrar un valor por medio de tablas: interpolación
• Encontrar un comportamiento (un modelo) a partir de datos ajustando
una curva: ajuste de curvas
• Integración numérica de una función
• Solución numérica de ecuaciones diferenciales
DEFINICION DE ERROR
Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las
operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen de truncamiento que resultan
de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores
de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para los
tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está
dado por:
E = P* - P
Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula)
existe un tratamiento de los errores de medida.
TIPOS DE ERRORES
Existen varios tipos de errores.






Error absoluto
Error relativo
Error porcentual
Error de redondeo
Error de truncamiento
Error de suma y resta
ERROR POR REDONDEO
Error de redondeo. La casi totalidad de los números reales requieren, para su
representación decimal, de una infinidad de dígitos. En la práctica, para su
manejo sólo debe considerarse un número finito de dígitos en su
representación, procediéndose a su determinación mediante un adecuado
redondeo.
Los errores de redondeo se deben a que las computadoras sólo guardan un
número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras
realizan esta función de maneras diferentes.
Por ejemplo, si sólo se guardan siete cifras significativas, la computadora
puede almacenar y usar "pi" como "pi" = 3.141592, omitiendo los términos
restantes y generando un error de redondeo.
ERROR POR TRUNCAMIENTO
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en
lugar de un procedimiento matemático exacto. Además para obtener conocimiento
de las características de estos errores se regresa a la formulación matemática
usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar Funciones en forma
polinomio.
ERROR POR TRUNCAMEINTO TOTAL
El error numérico total es la suma de los errores de redondeo y de truncamiento. (Los
errores de truncamiento decrecen conforme el número de cálculos aumenta, por lo
que se encara el siguiente problema: la estrategia de disminuir un componente del
error total lleva al incremento del otro).
EJEMPLO:
Valor del error por truncamiento = 5,25.
Valor del erro por redondeo = 5,25.
Valor número total= 5.25 + 5.25= 10.5 error numérico total.
ERRORES HUMANOS
el error humano que pueden ocurrir cuando se toman datos estadísticos o muestras, si
estos datos son mal recopilados los errores al utilizarlos serán obvios. Cuando se
calibran mal los equipos donde de harán lecturas de algunas propiedades de los
compuestos o resultados de un experimentos. Cuando se desarrollan modelos
matemáticos y estos son mal formulados y no describen correctamente el fenómeno o
equipo en estudio. Todos los tipos de errores pueden contribuir a un error mayor, sin
embargo el error numérico total, es la suma de los errores de truncamiento y
redondeo.
TEORIA DE METODO ITERATIVO
Un método iterativo trata de resolver un problema matemático (como una ecuación o
un sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la solución,
empezando desde una estimación inicial. Esta aproximación contrasta con los métodos
directos, que tratan de resolver el problema de una sola vez (como resolver un sistema
de ecuaciones Ax=b encontrando la inversa de la matriz A). Los métodos iterativos son
útiles para resolver problemas que involucran un número grande de variables (a veces
del orden de millones), donde los métodos directos tendrían un coste prohibitivo
incluso con la potencia del mejor computador disponible.
Puntos fijos atractivos
Si una ecuación puede ponerse en la forma f(x) = x, y una solución x es un punto
fijo atractivo de la función f, entonces puede empezar con un punto x1 en la base de
atracción de x, y sea xn+1 = f(xn) para n ≥ 1, y la secuencia {xn}n ≥ 1 convergerá a la
solución x.
Sistemas lineales
En el caso de un sistema lineal de ecuaciones, las dos clases principales de métodos
iterativos son los métodos iterativos estacionarios y los más generales métodos
delsubespacio de Krylov
Métodos iterativos estacionarios
Los métodos iterativos estacionarios resuelven un sistema lineal con un operador que
se aproxima al original, y basándose en la medida de error (el residuo), desde una
ecuación de corrección para la que se repite este proceso. Mientras que estos
métodos son sencillos de derivar, implementar y analizar, la convergencia
normalmente sólo está garantizada para una clase limitada de matrices.
Métodos del subespacio de Krylov
Los métodos del subespacio de Krylov forman una base ortogonal de la secuencia de
potencias de la matriz por el residuo inicial (la secuencia de Krylov). Las
aproximaciones a la solución se forman minimizando el residuo en el subespacio
formado. El método prototípico de esta clase es el método de gradiente conjugado.
Otros métodos son elmétodo del residuo mínimo generalizado y el método del
gradiente biconjugado.
RAIZ DE UNA ECUACION
En matemática, se conoce como raíz (o cero) de un polinomio o de
una función (definida
sobre
un
cierto cuerpo
algebraico) f(x) a
todo
elemento x perteneciente al dominio de dicha función tal que se cumpla:
.
Dada una función f que tiene una raíz r entonces se puede escribir dicha función
como:
Entonces se dice que:

La raíz es simple si

La raíz es múltiple si
, en este último caso la raíz se dice de orden n,
siendo
, cuando se puede escribir:
Con la definición anterior, pueden existir ceros múltiples de orden no finito. Por
ejemplo la función definda como:
Tiene un cero múltiple en x=0, ya que:
Como n puede tomarse tan grande como se quiera en la expresión anterior, se
sigue que esa función no tiene un cero de orden finito.