ejercicio resuelto.

UNIDAD 6
Problema 9.- (EC) Un “yo-yo” está construido con un disco uniforme de masa

m=0,200 kg y radio R=5,0 cm, que tiene una cuerda enrollada en su borde.
Cuando la cuerda se desenrolla y el “yo-yo” desciende:
a) Mostrar que la aceleración hacia abajo del C.M. del “yo-yo” es
independiente de su masa y tamaño.
b) Calcular la fuerza T que ejerce la cuerda.
c) Calcular la energía cinética total del “yo-yo”, cuando ha descendido 0,80m
partiendo del reposo.
d)Calcular el impulso angular L0 ( “interno” o “spin”) del “yo-yo” cuando ha descendido 0,80 m.
e)Calcular el impulso angular total LT = Lorb + L0 respecto al punto de suspensión del hilo, cuando el yoyo ha descendido 0,80 m.
SOLUCIÓN:
a) Hacemos el diagrama de cuerpo libre del yo-yo :
Para analizar la traslación del “yo-yo”, usamos la Segunda Ley de Newton :
 Fy = m acm , que en el presente caso es igual a:
mg – T = macm
(1)
y
Para explicar la rotación del yo-yo, utilizamos la ecuación
 Mcm = Icm 
En el caso del yo-yo, la tensión T produce un momento resultante, respecto
al centro de masa:
Mcm = R T = Icm
Como R ┴ T , y la cuerda no patina en el borde del disco, vale la relación acm =  R.
La ecuación anterior puede escribirse entonces como :
RT = I = I acm / R
(2)
con Icm = ½ mR2
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1) y (2), se obtiene que la aceleración con que desciende el yo-yo
es de módulo igual a:
x
T
acm = mg/( m+I/R2) =
⅔g
b) De (1) y (2) resulta que la tensión T es de módulo:
T = ⅓ mg
(3)
(independiente de m y R)
(4)
c) Para calcular la energía cinética total del yo-yo cuando ha descendido una distancia h partiendo del
reposo, podemos hacerlo usando la definición de EcTotal.
Ec(Total) = Ec(traslación ) + Ec(rotación )= Ectras + Ecrot
Ec = ½ m vcm2 + ½ I 2
(5)
El el movimiento del centro de masa es rectilíneo uniformemente variado, por lo que la velocidad que
adquiere después de descender una distancia h se determina empleando la ecuación
vcm2 = v0cm2 + 2 acm h
(6)
donde
v0cm= 0
Notando además que vcm = R, la ecuación (5) puede escribirse entonces como:
Ec = ½ m vcm2 + ½ ½ mR2vcm2 /R2 = ¾ mvcm2
y usando las ecuaciones (3) y (6):
Ec = ¾ m 2 acm h = ¾ m x 2 x 2/3 x g x h = mgh (7)
Reemplazando los valores numéricos de m y g, y tomando h = 0,80 m, se obtiene.
Ec = 2,00 kg x 9,81 m/s2x 0,80 m = 1,57 J (8)
c`) Otra forma de obtener el valor de la Ec (total), es aplicar el principio de conservación de la energía
mecánica, pues todas las fuerzas que intervienen son conservativas (el peso y la tensión, ya que ambas
son fuerzas constantes en módulo y dirección). No hay tampoco cambios en la energía potencial interna
del cuerpo rígido, ya que éste es un “sólido indeformable”. Por lo anterior, la energía potencial
gravitatoria del yo-yo respecto a un nivel que se encuentra a una distancia por debajo del punto de partida,
se transforma íntegramente en Ec .
Ecfinal = Epinicial , o sea
½ m vcm2 + ½ I 2 = mgh, como ya calculamos en (7)
c``) También hubiéramos podido aplicar el teorema Trabajo-Energía:
WFneta + WMneto = ∆Ec = Ec ,
pues el yo-yo parte del reposo.
Wpeso + Wtensión + Wmomento = Ec
lo que equivale a:
Ph – Th + RT = ∆Ec = Ec - 0
pero el desplazamiento angular es igual a h/R, por lo que resulta, reemplazando P, T y :
mgh- 1/3mgh + R x1/3mg x h/R = mgh – 1/3mgh +1/3mgh = mgh
que es igual a la (7).
d) El impulso angular L0 ( “interno” o “spin”) del “yo-yo” , es igual a.
L0 = I0 
pero  = vcm/R,
L0 = ½ mR2 vcm/R = ½ mRvcm
reemplazando:
Por la (6), vcm = √2acmh
y si h=0,80 m, resulta:
L0 = ½ mR2 vcm/R = ½ mRvcm = 0,016 kgm2s-1
El vector L0 , de acuerdo al diagrama de cuerpo libre, es un vector que “sale” de la hoja.
e) El impulso angular total LT = Lorb + L0 respecto al punto de suspensión del hilo, es igual a:
LT = rcmmvcm + I0 
El módulo de LT es
LT = R m vcm + ½ Rmvcm = 3/2 R m vcm (9)
El valor numérico es
LT = 3/2 R m vcm = 0,048 kgm2s-1
Se debe notar que Lorb también es un vector que “sale” de la hoja del dibujo (tiene igual dirección y
sentido que L0).
e`) Otra manera de llegar al mismo resultado, es aplicando el teorema
Mneto = dLneto/dt
En este ejemplo, el momento de rotación respecto al punto de suspensión es producido por el peso del yoyo :
Mneto = rcm P
Como se da la situación que M = Rmg = constante, se puede igualar
dL/dt = ∆L/∆t,
Nos queda entonces :
∆L = M ∆t
Pero Linicial = 0, de modo que
Lneto = M ∆t = RP∆t (10)
El intervalo de tiempo que aparece en la ecuación (10), es el tiempo que tarda el yo-yo en descender la
distancia h y alcanzar la velocidad vcm dada por la ec. (6)
∆t = vcm/acm= 3vcm/2g
Reemplazando en la ecuación (10):
Lneto = Rmg∆t = Rmg x 3vcm/2g = 3/2 Rmvcm
tal como tenemos en la ecuación (9).