SISTEMA DE ECUACIONES 2 VARIABLES1

a1 x  b1 y  c1
a2 x  b2 y  c2
PROF: JAIME QUISPE CASAS
I.E.P.Nº 2874 Ex 451
2010
1

a1x  b1 y  c1
a 2x  b2 y  c2
4x  3y  23
12x  2 y  14
2
 METODOS DE RESOLUCION DE SISTEMA
DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON DOS VARIABLES
Existen diversos procedimientos que permiten hallar el conjunto
solución de un sistema de dos ecuaciones con dos variables
• Entre ellas tenemos :
•
•
1.-Método de eliminación
a) Reducción
b) Sustitución
c) Igualación
•
2.- Método de determinantes
•
3.- Método gráfico
3
a) Igualación
Por este método, se obtiene de las dos ecuaciones del sistema una
tercera ecuación de una sola variable, aplicando los siguientes pasos:
•
•
1.- Se despeja una misma variable en las dos ecuaciones, luego
se igualan ambos resultados. Se obtienen de esta forma la tercera
ecuación.
•
2.- Se resuelve esta ultima ecuación y se obtiene el valor de una
variable, el valor de la otra se halla por sustitución en cualquier
ecuación del sistema.
•
Ejemplo Nº 1
7 x  4 y  13
(I)
5x  2 y  19
(II)
•
Despejamos una cualquiera de las incógnitas; por ejemplo x, en ambas
ecuaciones. Por ejemplo x en ambas ecuaciones
4
Despejamos x en (I)
•
7x  13 - 4y  x 
•
13 - 4y
7
•
Despejamos x en (II)
5x  19  2y  x 
19  2y
5
Ahora se igualan entre si los dos valores de x que hemos obtenido
13 - 4y 19  2y

7
5
Luego
multiplicamos
extremos con los medios
los
5(13 - 4y)  7(19  2y)
65 - 20y  133  14y
65 - 133  14y  20y
- 68  34y
y  -2
El valor y = -2 ; reemplazamos en cualquiera de las
ecuaciones dadas, por ejemplo en I ( generalmente
se sustituye en la mas sencilla)
7x  4y  13
7x  4(2)  13
7x  8  13
7x  21
x3
cs  3;2
5
b) Sustitución
Por este método, se trata de obtener una tercera ecuación a partir de
las dos ecuaciones del sistema, aplicando los siguientes pasos:
•
1.- Se despeja una de las variables en una de las ecuaciones
•
2.- La expresión así obtenida se sustituye en la otra ecuación
del sistema.
• 3.- Se resuelve la tercera ecuación, hallando de esta forma el valor de
una de las variables. El valor de la otra variable se halla también por
sustitución en cualquier ecuación.
•
•
Ejemplo Nº 1
2x  5y  24
8x  3y  19
(I)
(II)
6
•
Despejamos una cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x,en
una de las ecuaciones. Vamos a despejarla en la ecuación (I)
- 24 - 5y

x

2x  24 - 5y
2
•
Este valor de x se sustituye en la ecuación (II)
 - 24 - 5y 
8
  -3y  19
2


Y ya tenemos una ecuación con una
incógnita; hemos eliminado la «x»
Resolvamos esta ecuación ,simplificando 8
y 2, queda
4(-24 - 5y) - 3y  19
- 96 - 20y - 3y  19
- 115  23y
y  -5
El valor y = -5 ; reemplazamos en cualquiera de las
ecuaciones dadas, por ejemplo en I ( generalmente
se sustituye en la mas sencilla)
2x  5y  24
2x  5(5)  24
2x  25  24
2x  1
1
x
2
1 
cs   ;5
2 
7
c) Reducción
• Por este método, se trata de obtener de las dos ecuaciones del
sistema, eliminando una de sus variables, una tercera ecuacion de tan
solo una incógnita:
•
Se resuelve la tercera ecuación de una variable; el valor de la otra
variable se halla por sustitución en cualquiera ecuación del sistema.
•
Ejemplo Nº 1
2x  3y  14
(I)
x  y  3
(II)
•
Decidimos eliminar la variable y
•
Multiplicamos la ecuación (II) por 3 y obtenemos el
sistema equivalente con la ecuación (I)
2x  3y  14
x  y  3
(3)

2x  3y  14
(I)
3x  3y  9
(III)
8
•
Sumamos la ecuación (I) y (III)
2x  3y  14
(I)
3x  3y  9
(III)
5x 
0
5
5x  5
x 1
Sustituyendo; x = 1 en cualquiera de las
ecuaciones dadas por ejemplo en (I)
2x  3y  14
2(1)  3y  14
2  3y  14
3y  12
y 4
cs  1;4
9
•
EJERCICIOS:
2x  3y  13  RPTA 2;3


3
x


2
y

12


x  2 y  26 


7 x  5y  22
4x  y  24 


5x  3y  37
x  2 y  9 

 RPTA  3;3
4
x

3
y


3


RPTA 5;4
x  4 y  16 

 RPTA 0;4
3
x

2
y


8


5x  y  10 

 RPTA  2;0
3
x

2
y


6


4x  3( x  y)  24 

RPTA 3;1
3
(
x

1
)

(
x

y
)

10


RPTA
 6;4
5( x  2)  2 y  5
 RPTA


3
(
x

y
)

8

2
(
y

2
)


3;5
x  5( y  1)  2( x  4)  9 

RPTA  4;0
4( x  2)  3( y  3)  33  0
 x  y  1 3( x  y) 17 




 RPTA
2
4
4


2
(
x

y
)
x

y
11






3
2
6


4;1
10
11