ELC-30714 Líneas de Transmisión I Capitulo 3 Parámetro Capacitivo de Líneas de Transmisión Parte 2 Prof. Francisco M. Gonzalez-Longatt fglongatt@ieee.org http://www.giaelec.org/fglongatt/LT.htm LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 1. Capacitancia de un Conductor Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra • Imagínese un cilindro conductor de radio R, el cual se encuentra en el espacio suspendido paralelo sobre el plano de tierra a una altura h; sobre este cilindro se coloca una cierta carga positiva de valor Q. +Q r E h LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 1. Capacitancia de un Conductor Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra • En esta situación para determinar el parámetro capacitivo debe determinarse primeramente la diferencia de potencial entre el conductor cilíndrico y el plano de tierra; para ello se hace necesario aplicar la Teoría de Imágenes. Q +Q C an = + Van r Van E h − LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 1. Capacitancia de un Conductor Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra • Para ello, para simular el campo eléctrico que surge entre el conductor cilíndrico y el plano de tierra, se coloca una carga imagen que es otro conductor ficticio, que se ubica a una distancia h por debajo del plano de tierra, y al cual se le asigna carga opuesta a la del cilindro (-Q), de modo que el efecto del terreno es reemplazado por el conductor imagen, y el problema queda en condiciones semejantes a al anterior, con la única salvedad que se considera para efectos de la solución solo el efecto por encima del plano de tierra. LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 1. Capacitancia de un Conductor Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra +Q r E h h −Q LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 1. Capacitancia de un Conductor Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra +Q ρ =∞ h H h −Q LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT ρ =0 Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 1. Capacitancia de un Conductor Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra • Ahora bien si se define un punto “P” en el espacio, sobre el plano de tierra, se puede determinar el potencial en el mismo, tomando una referencia muy ρ =∞ +Q lejana (x→∞). .“P” h H h −Q LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT ρ =0 Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 1. Capacitancia de un Conductor Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra • El potencial eléctrico en el punto “P”, puede ser escrito como; como la combinación lineal de los potenciales eléctricos debido a la carga depositada sobre el cilindro conductor y su imagen. +Q ρ =∞ V p = V p1 + V p 2 h H h −Q LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT ρ =0 Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 1. Capacitancia de un Conductor Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra • El potencial que produce la el cilindro con carga por encima del plano de tierra, con respecto a la referencia remota queda dado por la siguiente expresión: V p1 +Q ⎛ x⎞ ln⎜ ⎟ = 2πε ⎝ r ⎠ • donde x es la distancia entre el centro del cilindro el punto de referencia remota (x→∞); LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 1. Capacitancia de un Conductor Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra • El potencial que produce la el cilindro con carga imagen por debajo del plano de tierra, con respecto a la referencia remota puede ser determinado de forma análoga. Vp 2 LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT −Q ⎛ x ⎞ Ln⎜ ´ ⎟ = 2πε ⎝ r ⎠ Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 1. Capacitancia de un Conductor Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra V p = V p1 + V p 2 ⎡ ⎛ x⎞ ⎛ x ⎞⎤ ⎢ Ln⎜ r ⎟ − Ln⎜ r ´ ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎠ Q ⎡ ⎛ x ⎞ ⎛ x V p = V12 = Ln⎜ ⎟ − Ln⎜ ⎢ 2πε ⎣ ⎝ R ⎠ ⎝H Q Vp = 2πε LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT ⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦ Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 1. Capacitancia de un Conductor Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra • La diferencia de potencia entre el conductor cilíndrico y el plano de tierra (V12). • Este resultado era fácilmente deducible teóricamente, debido a que por teoría de imágenes, la diferencia de potencial entre el conductor y el plano conductor paralelo de tierra es la mitad de la obtenida entre la de dos conductores donde uno es la imagen. Q ⎛H⎞ V12 = Ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ R ⎠ LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 1. Capacitancia de un Conductor Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra • La capacitancia por unidad de longitud, del conductor paralelo al plano de tierra; puede ser calculado, como el cociente de la carga involucrada, y la tensión entre el cilindro y el plano de tierra. Q C1T = V12 2πε C1T = ⎛H⎞ Ln⎜ ⎟ ⎝R⎠ LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 2. Capacitancia de Dos Conductores Cilíndricos Paralelos al Plano de Tierra • Imagínese dos cilindros conductores de radio R, los cuales se encuentran paralelos entre sí y con respecto al plano de tierra. Q1 d12 Q2 h1 h2 LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 2. Capacitancia de Dos Conductores Cilíndricos Paralelos al Plano de Tierra • La solución de la capacitancia de dos conductores cilíndricos, sobre un plano semi-infinito, puede ser encontrada por medio de la teoría de imágenes, de modo que se reemplaza el plano conductor, por dos cilindros ficticios situados simétricos, por debajo del plano de tierra, y con carga de signos opuesto a las de los cilindros por encima del plano de tierra. +Q1 d12 ρ =∞ +Q2 h1 h2 H 12 H11 H 22 h2 h1 d12 −Q1 LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT −Q2 ρ =0 Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 2. Capacitancia de Dos Conductores Cilíndricos Paralelos al Plano de Tierra +Q1 d12 ρ =∞ +Q2 h1 h2 H 12 H11 H 22 h2 h1 d12 −Q1 LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT −Q2 ρ =0 Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 2. Capacitancia de Dos Conductores Cilíndricos Paralelos al Plano de Tierra • Ahora bien, la tensión del conductor 1, respecto a un punto muy alejado (x→∞), puede ser calculado, bajo esta configuración de la teoría de imágenes, como la combinación lineal de las contribuciones de los cuatro cuerpos cargados: V1 = V11 + V12 + V13 + V14 • V11; la tensión entre el conductor 1 y un punto de referencia remoto producido por el conductor 1; V12; la tensión entre el conductor 1 y un punto de referencia remoto producido por el conductor 2; V13; la tensión entre el conductor 1 y un punto de referencia remoto producido por el conductor 1 imagen; V14, la tensión entre el conductor 1 y un punto de referencia remoto producido por el conductor 2 imagen. LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 2. Capacitancia de Dos Conductores Cilíndricos Paralelos al Plano de Tierra +Q1 d12 ρ =∞ +Q2 h1 h2 H 12 H11 H 22 h2 h1 d12 −Q1 −Q2 ρ =0 V1 = V11 + V12 + V13 + V14 Q1 ⎛ x ⎞ Q2 ⎛ x ⎞ Q1 ⎛ x ⎞ Q2 ⎛ x ⎞ ⎟⎟ − ⎟⎟ − ⎟⎟ V1 = ln⎜ ⎟ + ln⎜⎜ ln⎜⎜ ln⎜⎜ 2πε ⎝ R ⎠ 2πε ⎝ d12 ⎠ 2πε ⎝ H 11 ⎠ 2πε ⎝ H 12 ⎠ LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 2. Capacitancia de Dos Conductores Cilíndricos Paralelos al Plano de Tierra • Se procede a aplicar propiedades de logaritmos. Q1 ⎛ H 11 ⎞ Q2 ⎛ H 12 ⎞ ⎟⎟ V1 = ln⎜ ln⎜⎜ ⎟+ 2πε ⎝ R ⎠ 2πε ⎝ d12 ⎠ • Se procede al cálculo de la tensión del conductor 2, respecto al punto de referencia remoto. V2 = V21 + V22 + V23 + V24 Q1 ⎛ x ⎞ Q2 ⎛ x ⎞ Q1 ⎛ x ⎞ Q2 ⎛ x ⎟⎟ + ⎟⎟ − ln⎜⎜ ln⎜ ⎟ − ln⎜⎜ ln⎜⎜ V2 = 2πε ⎝ d12 ⎠ 2πε ⎝ R ⎠ 2πε ⎝ H 12 ⎠ 2πε ⎝ H 22 ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎛ H12 ⎞ Q2 Q1 ⎛ H 22 ⎞ ⎟⎟ + V2 = Ln⎜⎜ Ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ d12 ⎠ 2πε ⎝ R ⎠ LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 2. Capacitancia de Dos Conductores Cilíndricos Paralelos al Plano de Tierra • El potencial sobre el plano de tierra es cero, de modo que la diferencia de potencia entre los conductores y el plano de tierra: Q1 ⎛ H 11 ⎞ Q2 ⎛ H 12 ⎞ ⎟⎟ V1 = ln⎜ ln⎜⎜ ⎟+ 2πε ⎝ R ⎠ 2πε ⎝ d12 ⎠ Q1 ⎛ H 12 ⎞ Q2 ⎛ H 22 ⎞ ⎟⎟ + ln⎜⎜ ln⎜ V2 = ⎟ 2πε ⎝ d12 ⎠ 2πε ⎝ R ⎠ LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 2. Capacitancia de Dos Conductores Cilíndricos Paralelos al Plano de Tierra • Estas ecuaciones pueden ser escritas en notación matricial. ⎡ ⎛ H 11 ⎞ ⎛ H 12 ⎞ ⎤ ⎟⎟ ⎥ ⎟ ln⎜⎜ ⎢ln⎜ ⎡V1 ⎤ d12 ⎠ ⎥ ⎡ Q1 ⎤ 1 ⎢ ⎝ R ⎠ ⎝ ⎢V ⎥ = ⎢Q ⎥ ⎥ ⎢ ⎛ ⎞ ⎣ 2 ⎦ 2πε ⎢ln⎜ H 12 ⎟ ln⎛⎜ H 22 ⎞⎟⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎜d ⎟ ⎝ R ⎠⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ 12 ⎠ • La ecuación matricial anterior puede ser escrita en forma más compacta. ⎡V1 ⎤ 1 ⎡ B11 ⎢B ⎢V ⎥ = ⎣ 2 ⎦ 2πε ⎣ 21 LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT B12 ⎤ ⎡ Q1 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ B22 ⎦ ⎣Q2 ⎦ Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 2. Capacitancia de Dos Conductores Cilíndricos Paralelos al Plano de Tierra r r 1 [B]Q V= 2πε • La matriz [B], recibe el nombre de matriz de potenciales de Maxwell; cuyos términos son definidos como logaritmos de distancias. ⎡ B11 [B] = ⎢ ⎣ B21 LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT B12 ⎤ ⎥ B22 ⎦ ⎛ H ij Bij = Ln⎜ ⎜ dij ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 2. Capacitancia de Dos Conductores Cilíndricos Paralelos al Plano de Tierra • En forma matricial, resulta sencillo, conocer la carga a partir de la tensión en los conductores y la matriz de potenciales de Maxwell. r r −1 Q = 2πε [B] V • Si se toma el hecho de que la relación entre carga y tensión en un capacitor es la capacitancia, entonces resulta fácil decir que la matriz de capacitancia de la línea de transmisión es: [C ] = 2πε [B ] −1 r r Q = [C ]V LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar Considerando el Efecto de Tierra • Supóngase que se tiene una cierta sección de una línea de transmisión de longitud I (x + Δx ) I (x ) V [C ] Δx LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar Considerando el Efecto de Tierra • El vector de carga eléctrica; para el segmento de línea, queda dado por: r r ΔQ = [C ]VT Δx • Si se procede a derivar con respecto al tiempo a la r r expresión: dΔQ dVT = [C ] Δx dt dt • Por otra parte la ecuación de corriente según la ecuación de Kirchoff r dVT I (x, t ) − I (x + Δx, t ) = [C ] Δx dt LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar Considerando el Efecto de Tierra • Si se divide la expresión por el incremento Δx: r I ( x , t ) − I ( x + Δx , t ) dVT = [C ] dt Δx • Si se hace que la longitud de la sección de la línea Δx; el extremo derecho de la ecuación, se transforma en el negativo de la derivada del vector corriente en función de la posición. r r dI dVT − = [C ] dx dt LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar Considerando el Efecto de Tierra • En el caso de las líneas de transmisión de tipo comercial, se trabaja con campos cuasi-estacionarios, con señales armónicas en el tiempo; de modo que se puede definir la admitancia capacitiva como: [Y ] = jω[C ] r r dI − = [Y ]VT dx LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar Considerando el Efecto de Tierra • Si es expande la forma matricial de este sistema, se tiene que se generan dos ecuaciones con dos incógnitas dI1 = −Y11V1 − Y12V2 dx dI 2 = −Y21V1 − Y12V2 dx LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar Considerando el Efecto de Tierra • Este sistema demuestra el acople capacitivo entre conductores; que se evidencia con los términos Y12 y Y12. Estos términos se pueden demostrar que son iguales lo que hace a la matriz de potenciales de Maxwell, [B], simétrica, por lo que evidentemente las matrices capacitancia [C] y admitancia [Y] también lo sean; y se extiende a sus inversas. LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar Considerando el Efecto de Tierra • El conjunto de ecuaciones M, no posee una representación sencilla, pero se puede pseudo explicar por un elemento de línea, con elementos concentrados I (x + Δx, t ) I (x + Δx, t ) que lo relacionan. 2 1 V12 I 1 ( x, t ) LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT V1T I 2 ( x, t ) V2T Δx Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar Considerando el Efecto de Tierra dI1 = −Y11V1 − Y12V2 dx dI 2 = −Y21V1 − Y22V2 dx I 2 (x + Δx, t ) I 1 (x + Δx, t ) V12 I 1 ( x, t ) LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT V1T I 2 ( x, t ) V2T Δx Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar Considerando el Efecto de Tierra • Este sistema de ecuaciones solo puede ser solo modelado por medio de admitancias, pero se debe hacer la salvedad muy clara que este modelo no existe físicamente, solo es una representación circuital I 1 (x + Δx, t ) I '12 I 2 (x + Δx, t ) I '12 y12 I '1 I '2 V12 y11 I 1 ( x, t ) y22 V1T V2T I 2 ( x, t ) Δx LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar Considerando el Efecto de Tierra • Este modelo trata (y de hecho lo hace) de explicar el comportamiento físico de las variaciones de tensión y corriente respecto al plano de tierra, pero se debe ser cauteloso en el valor de estas admitancias (y11, y12, y22). • Es relevante acotar que no existe relación física entre los elementos {Yij} de la matriz [Y], y los presentados en el modelo y11, y12, y22; estos últimos representan una ficticia relación para el modelo circuital. • Por otra parte los {Yij} son reales e indican la relación de variación de tensión y corriente respecto al terreno. LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar Considerando el Efecto de Tierra I 1 (x + Δx, t ) I 2 (x + Δx, t ) ´ I1 (x, t ) − I1 (x + Δx, t ) = I1´ + I12 ´ I 2 (x, t ) − I 2 (x + Δx, t ) = I 2´ − I12 I '12 I '12 y12 I '1 I '2 I ´12 = y12 (V1 − V2 )Δx V12 y11 I 1 ( x, t ) y 22 V1T I ´2 = y 22V2 Δx I ´1 = y11V1Δx V2T I 2 ( x, t ) Δx I 1 ( x , t ) − I 1 ( x + Δx , t ) = ( y11 + y12 )V1 − y12V2 Δx I 2 ( x , t ) − I 2 ( x + Δx , t ) = y12V1 + ( y12 + y 22 )V2 Δx dI1 (x, t ) = −( y11 + y12 )V1 + y12V2 dx dI 2 (x, t ) = y12V1 − ( y12 + y22 )V2 dx cuando la longitud del segmento de la línea se hace muy pequeño (Δx→0) LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar Considerando el Efecto de Tierra dI1 dI1 (x, t ) = −Y11V1 − Y12V2 = −( y + y )V + y V dx dI 2 = −Y21V1 − Y22V2 dx 11 12 1 12 2 dx dI 2 (x, t ) = y12V1 − ( y12 + y 22 )V2 dx − ( y11 + y12 ) = −Y11 y12 = −Y12 − ( y22 + y12 ) = −Y22 y21 = −Y21 y11 = Y11 + Y12 y12 = −Y12 y 22 = Y22 + Y12 y 21 = −Y21 LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar Considerando el Efecto de Tierra I 1 (x + Δx, t ) I '12 I '1 I 2 (x + Δx, t ) I '12 −Y12 I '2 V12 Y12 + Y11 I 1 ( x, t ) Y12 + Y22 V1T V2T I 2 ( x, t ) Δx LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 4. Matriz de admitancia Capacitiva para N Conductores paralelos entre sí y al plano de tierra • Imagínese N conductores cilíndricos de radio R, paralelos entre sí y con el plano de tierra; suponga que cada uno posee una altura diferentes medida desde el plano de tierra (h1, h2, h3, ..., hN). ρ =∞ 1 h1 2 h2 3 h3 N hN ρ =0 LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 4. Matriz de admitancia Capacitiva para N Conductores paralelos entre sí y al plano de tierra • Para estudiar este problema se hace uso de la teoría de imágenes, es decir, se considera que cada conductor posee una imagen por debajo del plano de tierra simétrico. +Q N +Q1 +Q2 +Qj +Qi ViT Hii dij ρ=∞ Hij Hjj ρ=0 -Qi -Q2 -Q1 LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT -Qj -QN Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 4. Matriz de admitancia Capacitiva para N Conductores paralelos entre sí y al plano de tierra • El mecanismo empleado para el caso de dos conductores sobre el plano de tierra, puede ser generalizado en este caso para los N conductores. ⎛ H 1i ⎞ ⎛ H 2i ⎞ ⎜ ⎟ ⎟⎟ + K ViT = (l1 Ln⎜ + Q2 ln⎜⎜ ⎟ 2πε ⎝ d1i ⎠ ⎝ d 2i ⎠ ⎛ H i +1,i ⎛ H i −1,i ⎞ ⎛ H ii ⎞ ⎜ ⎟ + Qi ln⎜ K + Qi −1 ln⎜ ⎜ R ⎟⎟ + Qi +1 ln⎜ d ⎟ ⎜d ⎝ i ⎠ ⎝ i +1,i ⎝ i −1,i ⎠ 1 ⎛ H n ,i ⎞ ⎟ + K + Qn ln⎜ ⎜d ⎟ ⎝ n ,i ⎠ ⎞ ⎟) ⎟ ⎠ • De modo que realizando este procedimiento para los N conductores se tiene que en forma matricial se r r puede escribir 1 [B ]Q VT = 2πε LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 4. Matriz de admitancia Capacitiva para N Conductores paralelos entre sí y al plano de tierra r r 1 [B]Q VT = 2πε • donde la matriz de potenciales de Maxwell es ahora una matriz de NxN elementos; definidos como: ⎛ H ij ⎞ ⎟ para i,j = 1,2, ... , N Bij = Ln⎜ ⎜ d ij ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ H ii ⎞ ⎟ Bii = Ln⎜⎜ ⎟ R ⎝ i ⎠ LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 4. Matriz de admitancia Capacitiva para N Conductores paralelos entre sí y al plano de tierra ⎛ H ij ⎞ ⎟ para i,j = 1,2, ... , N Bij = Ln⎜ ⎜ d ij ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ H ii ⎞ ⎟ Bii = Ln⎜⎜ ⎟ R ⎝ i ⎠ • Es importante recordar que las alturas {Hii}, son las distancias propias entre un cilindro conductor y su respectiva imagen, mientras que {Hij}, son las alturas entre el conductor i y la imagen del conductor j. • Por otra parte las distancias {dij} son medidas entres los conductores sobre el plano de tierra i y j. LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 4. Matriz de admitancia Capacitiva para N Conductores paralelos entre sí y al plano de tierra • La matriz de capacitancia de este sistema puede ser definida a partir de la matriz de potenciales de Maxwell. −1 [C ] = 2πε [B ] [Y ] = jω [C ] r r dI − = [Y ]VT dx r r ⎡ dI ⎤ = −[Y ]N × N VT ⎢ ⎥ ⎢⎣ dx ⎥⎦1× N [ ] LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT 1× N Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 5. Matriz de Admitancia Capacitiva en Líneas de Transmisión Trifásica • Imagínese que se tiene una línea de transmisión trifásica, con la disposición que se muestra en la figura; donde se asume que cada conductor posee igual radio; 1 2 2 h2 d12 d13 d23 3 h1 h3 • En este caso, la disposición de los conductores es asimétrica entre ellos (d12 ≠ d23 ≠ d13), y poseen alturas diferentes medidas respecto al plano de tierra (h1, h2, h3). LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 5. Matriz de Admitancia Capacitiva en Líneas de Transmisión Trifásica 1 2 2 h2 d12 d13 d23 3 h1 LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT h3 Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 5. Matriz de Admitancia Capacitiva en Líneas de Transmisión Trifásica • Para eliminar el efecto asimétrico que genera esta disposición de los conductores sobre los parámetros eléctricos de la línea, se emplea una transposición perfecta, en la cual cada conductor se ubica en cada una las posibles disposiciones, a intervalos regulares a de la línea. 1 c b 2 b a c c b a 3 ρ =0 L 3 LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT L 3 L 3 Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 5. Matriz de Admitancia Capacitiva en Líneas de Transmisión Trifásica • De modo que los conductores de las fases a,b,c, ocupan las tras posibles posiciones de la disposición sobre las torres (1, 2, 3), una longitud equivalente a un tercio del trayecto total de la línea (L). 1 a c b b a c c b a 2 3 ρ =0 L 3 LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT L 3 L 3 Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 5. Matriz de Admitancia Capacitiva en Líneas de Transmisión Trifásica Tramo I Tramo II 1 1 1 a b c 2 2 2 b a 3 c a 3´ 3´ 2’ 2’ 1´ 1´ ⎞ ⎛ H ⎞⎤ ⎟⎟ ln⎜⎜ ac ⎟⎟⎥ ⎠ ⎝ d ac ⎠⎥ ⎛ H ⎞⎥ ⎞ ⎟ ln⎜⎜ bc ⎟⎟ ⎥ B ⎠ ⎝ d bc ⎠ ⎥ ⎛ H ⎞⎥ ln⎜ cc ⎟ ⎥ ⎝ R ⎠ ⎥⎦ 3×3 LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT 3 b 2’ ⎡ ⎛ H aa ⎞ ⎛H ⎟ ln⎜⎜ ab ⎢ln⎜ ⎝ d ab ⎢ ⎝ R ⎠ ⎢ ⎛H =⎢ ln⎜ bb ⎝ R ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣ c 3 3´ [B ]TramoI Tramo III [ ]TramoII 1´ ⎡ ⎛ H cc ⎞ ⎛ H ca ⎞ ⎛ H cb ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ H bb ⎞ ⎛H ⎞ ⎛ H ⎞⎤ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ln ln ln ⎟ ⎢ ⎜ ⎜d ⎟ ⎟ ln⎜⎜ bc ⎟⎟ ln⎜⎜ ba ⎟⎟ ⎥ ⎢ln⎜ R d ⎝ ⎠ ⎝ ca ⎠ ⎝ ac ⎠ ⎥ ⎢ ⎝ d ab ⎠ ⎝ d ac ⎠ ⎥ ⎢ ⎝ R ⎠ ⎢ ⎢ ⎛ H ⎞⎥ ⎛ H ⎞⎥ ⎛H ⎞ ⎛H ⎞ ln⎜ aa ⎟ ln⎜⎜ ab ⎟⎟⎥ [B ]TramoIII = ⎢ =⎢ ln⎜ cc ⎟ ln⎜⎜ ca ⎟⎟ ⎥ ⎝ R ⎠ ⎢ ⎝ d bc ⎠ ⎥ ⎝ R ⎠ ⎝ d ab ⎠⎥ ⎢ ⎢ ⎛ H aa ⎞⎥ ⎢ ⎛ H bb ⎞ ⎥ ln ⎜ ⎟⎥ ⎢ ln⎜ ⎟⎥ R ⎠⎥ ⎢ ⎝ ⎢ ⎣ ⎦ 3×3 ⎝ R ⎠ ⎥⎦ 3×3 ⎢⎣ Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 5. Matriz de Admitancia Capacitiva en Líneas de Transmisión Trifásica Tramo I Tramo II 1 1 1 a 2 2 b a 3 c 1´ LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT a 3´ 3´ 2’ 2’ 1´ B13 ⎤ B23 ⎥⎥ B33 ⎥⎦ 3 b 2’ B12 B22 B32 c 3 3´ [B]TramoI b c 2 ⎡ B11 = ⎢⎢ B21 ⎢⎣ B31 Tramo III [B]TramoII 3×3 ⎡ B33 = ⎢⎢ B13 ⎢⎣ B23 B13 B11 B12 1´ B23 ⎤ ⎡ B22 B23 B21 ⎤ TramoIII = ⎢⎢ B23 B33 B13 ⎥⎥ B12 ⎥⎥ [B ] ⎢⎣ B21 B13 B11 ⎥⎦ 3×3 B22 ⎥⎦ 3×3 Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 5. Matriz de Admitancia Capacitiva en Líneas de Transmisión Trifásica • Una vez que se tienen las matrices de potencial de Maxwell en cada tramo de transposición; se puede asociar a cada uno de estos una variación de la corriente en función de la longitud. r TramoI r TramoI ⎡ dI ⎤ TramoI = −[Y ] V ⎢ ⎥ ⎢⎣ dx ⎥⎦ r TramoII r TramoII ⎡ dI ⎤ TramoII = −[Y ] V ⎢ ⎥ ⎣ dx ⎦ r TramoIII r ⎡ dI ⎤ TramoIII TramoIII = −[Y ] V ⎢ ⎥ ⎢⎣ dx ⎥⎦ LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 5. Matriz de Admitancia Capacitiva en Líneas de Transmisión Trifásica • donde las matrices [Y]; son calculadas a partir de la inversa de la matriz de potencial de Mawell de cada TramoI TramoI −1 Tramo. [Y ] = 2 jωπε [B ] [Y ] [Y ]TramoIII TramoII ( ) ) = 2 jωπε ([B ] ) = 2 jωπε ([B ] TramoII −1 TramoIII −1 • Si se procede a tomar las ecuaciones de variación longitudinal de la corriente de la fase a, en cada dI tramo, se tiene = −Y V − Y V − Y V I a I I aa a I I ab b I I ac c dx dI aII = −YaaII VaII − YabII VbII − YacII VcII dx dI aIII = −YaaIII VaIII − YabIII VbIII − YacIII VcIII dx LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 5. Matriz de Admitancia Capacitiva en Líneas de Transmisión Trifásica • En el juego de ecuaciones, los superíndices I, II y III, en las variables lo que indican es la ubicación en los tramos de transposición. Para el tramo J; r dI TramoJ dx ( r TramoJ V =− VaI = − LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT ) = −2 jωπε [B ] 1 2 jπεω 1 2 jπεω [B11 TramoJ −1 [B]TramoJ B12 r TramoJ V r TramoJ dI ⎡ dI aI ⎢ ⎢ dxI dI B13 ]⎢ b ⎢ dx ⎢ dI I ⎢ c ⎢⎣ dx dx ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 5. Matriz de Admitancia Capacitiva en Líneas de Transmisión Trifásica ⎡ dI aI dI bI dI cI ⎤ V =− + B12 + B13 ⎢ B11 ⎥ dx dx dx ⎦ 2 jπεω ⎣ dI aII dI bII dI cII ⎤ 1 ⎡ II Va = − + B13 + B23 ⎢ B33 ⎥ dx dx ⎦ dx 2 jπεω ⎣ III III III ⎡ ⎤ dI dI dI 1 III a b c + B23 + B21 Va = − ⎢ B22 ⎥ 2 jπεω ⎣ dx dx dx ⎦ 1 I a • Ahora bien, debido a que la línea de transmisión es transpuesta, se debe extraer una promedio de la variación longitudinal de la tensión y la corriente: r V= ( r TramoI r TramoII r TramoIII V +V +V ) r TramoI 3r TramoII r TramoIII r dI dI dI 1 ⎛⎜ dI = + + ⎜ dx 3 ⎝ dx dx dx LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 5. Matriz de Admitancia Capacitiva en Líneas de Transmisión Trifásica dI a 1 ⎛ dI aI dI aII dI aIII ⎞ ⎟ = ⎜⎜ + + dx 3 ⎝ dx dx dx ⎟⎠ dI b 1 ⎛ dI bI dI bII dI bIII ⎞ ⎟ = ⎜⎜ + + dx 3 ⎝ dx dx dx ⎟⎠ dI c 1 ⎛ dI cI dI cII dI cIII ⎞ ⎟ = ⎜⎜ + + dx 3 ⎝ dx dx dx ⎟⎠ • Si se supone que en cada tramo de la transposición la variación longitudinal de la corriente es la misma se cumple: dI aI dI aII dI aIII dI a = = = dx dx dx dx LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 5. Matriz de Admitancia Capacitiva en Líneas de Transmisión Trifásica • La tensión de la fase a, puede ser escrita como sigue: ⎡⎛ B11 + B22 + B33 ⎞ dI a ⎛ B12 + B23 + B13 ⎞ dI b ⎤ + ...⎥ +⎜ ⎟ ⎟ ⎢⎜ 3 3 − 1 ⎢⎝ ⎠ dx ⎠ dx ⎝ ⎥ Va = ⎥ 2πεjω ⎢ ⎛ B13 + B23 + B12 ⎞ dI c ⎟ ⎢... + ⎜ ⎥ 3 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎠ dx ⎝ ⎡ ⎛ 3 H H H ⎞ dI ⎛ 3 H ab H bc H ac aa bb cc ⎟ a + ln⎜ ⎢ln⎜ ⎜ ⎟ dx ⎜ 3d d d R ab bc ac −1 ⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎢ Va = 2πεjω ⎢ ⎛ 3 H ab H bc H ac ⎞ dI ⎟ c ⎢... + ln⎜ ⎜ 3 d d d ⎟ dx ⎢⎣ ab bc ac ⎠ ⎝ LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT ⎤ ⎞ dI ⎟ b + ...⎥ ⎟ dx ⎥ ⎠ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 5. Matriz de Admitancia Capacitiva en Líneas de Transmisión Trifásica • Un tratamiento semejante para las fases b y c, arrojan valores que puede escribir que en cualquier línea se cumple: ⎡Va ⎤ ⎢V ⎥ = − 1 ⎢ b ⎥ 2πεjω ⎢⎣Vc ⎥⎦ LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT ⎡B p ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ Bm Bp ⎡ dI a ⎤ ⎢ dx ⎥ ⎤ Bm ⎢ ⎥ ⎢ dI b ⎥⎥ Bm ⎥ dx ⎢ ⎥ ⎥ B p ⎦ ⎢ dI c ⎥ ⎢ dx ⎥ ⎣ ⎦ Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 5. Matriz de Admitancia Capacitiva en Líneas de Transmisión Trifásica • Si se supone: Va + Vb + Vc = 0 dI a dI b dI c = = =0 dx dx dx dI b dI c dI a Va = B p + Bm + Bm dx dx dx dI a dI b dI c − = + dx dx dx dI a dI a − Bm Va = B p dx dx LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 5. Matriz de Admitancia Capacitiva en Líneas de Transmisión Trifásica • Similar desarrollo se puede realizar para las otras fases y se emplea la notación matricial y resulta: ⎡Va ⎤ ⎢V ⎥ = − 1 ⎢ b ⎥ 2πεjω ⎢⎣Vc ⎥⎦ LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT ⎡ B p − Bm ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 B p − Bm ⎡ dI a ⎤ ⎢ dx ⎥ ⎤ 0 ⎥ ⎢ dI b ⎥⎥ 0 ⎥⎢ dx ⎥ ⎢ ⎥ B p − Bm ⎦ ⎢ dI c ⎥ ⎢ dx ⎥ ⎦ ⎣ Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 5. Matriz de Admitancia Capacitiva en Líneas de Transmisión Trifásica • Finalmente la reactancia capacitiva de secuencia positiva resulta: −1 X = B p − Bm 2πεjω + ( ) • Sustituyendo la definición de los términos, se tiene: −1 ⎛ HPG × DMG ⎞ X = ln⎜ ⎟ 2πεjω ⎝ HMG × R ⎠ + LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 5. Matriz de Admitancia Capacitiva en Líneas de Transmisión Trifásica ⎛ HPG × DMG ⎞ X = ln⎜ ⎟ 2πεω ⎝ HMG × R ⎠ + 1 HPG = 3 H aa H bb H cc HMG = 3 H ab H ac H bc DMG = 3 d ab d bc d ac LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 6. Efecto del Cable de Guarda sobre la Capacitancia de la Línea de Transmisión sin Transposición • El cable de guarda modifica el parámetro capacitivo de la línea, debido a que se asume que posee el potencial de tierra, aunque en la realidad no es totalmente cierto. k a b g c • Modifica la matriz de potencial de Maxwell; agregando tantas las filas como tantas filas y columnas como cables de guarda LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 6. Efecto del Cable de Guarda sobre la Capacitancia de la Línea de Transmisión sin Transposición k g [B] fg a b c ⎡ Baa ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ Bab Bbb Bac Bbc Bcc Bak Bbk Bck Bkk Bag ⎤ Bbg ⎥⎥ Bcg ⎥ ⎥ Bkg ⎥ B gg ⎥⎦ • En este caso la matriz de potenciales de Maxwell, deja de ser 3x3, como hasta ahora se ha estudiado y resulta de 5x5, debido a la incorporación de dos filas y columnas por los cables de guarda k y g. [Y ] fg = 2 jπωε [B] −1 fg LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 6. Efecto del Cable de Guarda sobre la Capacitancia de la Línea de Transmisión sin Transposición [Y ] fg = 2 jπωε [B] −1 fg • La tensión y la variación longitudinal de la corriente resulta: ⎡ dI a ⎤ ⎢ dx ⎥ ⎢ dI ⎥ ⎡Yaa b ⎢ ⎥ ⎢ dx ⎢ ⎥ ⎢ dI ⎢ c⎥ ⎢ ⎢ dx ⎥ = − ⎢ ⎢ dI ⎥ ⎢ ⎢ k⎥ ⎢ ⎢ dx ⎥ ⎣ ⎢ dI g ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ dx ⎦ LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Yab Ybb Yac Ybc Ycc Yak Ybk Yck Ykk Yag ⎤ ⎡Va ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ Ybg ⎥ ⎢Vb ⎥ Ycg ⎥ ⎢Vc ⎥ ⎥⎢ ⎥ Ykg ⎥ ⎢Vk ⎥ Ygg ⎥⎦ ⎢⎣Vg ⎥⎦ Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 6. Efecto del Cable de Guarda sobre la Capacitancia de la Línea de Transmisión sin Transposición • Notece que este sistema matricial puede ser reescrito a partir de submatrices: r dI f dx r dI g dx r ⎡ dI f ⎢ ⎢ dx r ⎢ dI g ⎢ ⎣ dx ⎤ ⎥ ⎡[Y ] ff ⎥ = −⎢ ⎥ ⎣[Y ]gf ⎥ ⎦ r [Y ] fg ⎤ ⎡V f ⎤ ⎢r ⎥ ⎥ [Y ]gg ⎦ ⎢⎣Vg ⎥⎦ es el vector de variación longitudinal de la corrientes de fase, la de los cables de guarda; y [Yff] es la submatriz de fases, [Yfg] la que relaciona las variaciones longitudinales de la corrientes de fase con , [Yfg] relaciona con . [Ygg] es la submatriz de valores propios de guarda. LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 6. Efecto del Cable de Guarda sobre la Capacitancia de la Línea de Transmisión sin Transposición • Los cables de guarda se encuentran conectados a tierra en cada una de las estructuras de la línea, de modo que se puede afirmar que el potencial de los mismos en teoría es el de tierra Vg = Vk = 0. r ⎡ dI f ⎢ ⎢ dx r ⎢ dI g ⎢ ⎣ dx LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT ⎤ ⎥ ⎡[Y ] ff ⎥ = −⎢ [⎣ Y ]gf ⎥ ⎥ ⎦ r [Y ] fg ⎤ ⎡V f ⎤ ⎢r⎥ ⎥ [Y ]gg ⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 6. Efecto del Cable de Guarda sobre la Capacitancia de la Línea de Transmisión sin Transposición r ⎡ dI f [X ] fg ⎤ ⎢⎢ dx r ⎥ [X ]gg ⎦ ⎢ dI g ⎢ ⎣ dx • En formas de reactancias se escribe: r ⎡V f ⎤ ⎡[X ] ff ⎢ r ⎥ = −⎢ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎣[X ]gf r r r dI f dI g − V f = [X ] ff + [X ] fg dx dx r r r dI f dI g 0 = −[X ]gf . − [X ]gg dx dx LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT r dI g dx = −[X ]gg [X ]gf −1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ r dI f dx r r dI f −1 V f = [X ] ff + [X ] fg [X ]gg X fg dx ( [ ]) Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007 6. Efecto del Cable de Guarda sobre la Capacitancia de la Línea de Transmisión sin Transposición ( r dI f [ ]) dx r −1 V f = [X ] ff + [X ] fg [X ]gg X fg [X ] = ([X ] ff + [X ] fg [X ] [X fg ]) r V f = [X ] −1 gg r dI f dx donde la matriz [X], es una matriz de 3x3. LINEAS DE TRANSMISION Parametro Capacitivo en LT Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org Copyright © 2007