Tema II: Análisis

Tema II: Análisis
Límites
En matemáticas, se usa el concepto del límite para describir la tendencia de una sucesión o una
función. La idea es que en una sucesión o una función, decimos que existe el límite si se puede
acercar a un cierto número (o sea, el límite) tanto como queramos.
Se usa el límite en cálculo (por lo que también se usa en el análisis matemático) para definir
convergencia, continuidad, derivación, integración, y muchas otras cosas.
Límite de una función: El límite de la función f(x), cuando x tiende a p es un número L, con la
propiedad de que al acercarse x a p, entonces f(x) se acerca a L, se escribe:
Ejemplos:
Gráficamente:
El límite L puede no coincidir con f(p), f(p) ≠ L, o incluso no estar definido f(p) por no pertenecer p
al dominio de definición de la función f. Para hablar de límite es preciso que f esté definida en un
entorno “perforado” de p.
Ejemplos: Una función típica en análisis es :
Esta función no está definida en el punto x=1 . Para este valor de x, el denominador de la función
es 0 , y no tiene sentido en matemáticas dividir por 0. El valor al que esta función se aproxima,
cuando x tiende a 1 por la izquierda o por la derecha, es 2. Luego la función tiene límite cuando x
se aproxima a 1 ; el límite es 2. Escribimos:
Límites laterales: El límite de una función en un punto existe si y sólo si existen los límites
laterales y son iguales.
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El límite lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x = a es el valor al que se
aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores menores que a. El límite lateral por
la derecha de una función y = f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x
se aproxima al valor de a por valores mayores que a, Se representan por:
Ejemplo: Sea la función f(x) en el punto x=2 no existe el límite, ya que ambos límites laterales no
coinciden:
Ejemplos:
f(x)= x-[x] , la variable menos su parte entera, f(5.46)=5.46-5=0.46; f(10.25)=10.25-10=0.25, luego
lim f(x)=1 pero lim f(x)=0, hacer el gráfico.
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Propiedades de los límites




Límite de una función en el infinito: Cuando x se hace tan grande o tan pequeña como se
quiera, tanto los valores de x como los de la función f(x) pueden ser finitos o infinitos.
Ejemplo : Analizar la función cuando x tiende a +∞ ó -∞, también cuando x tiende a 1:
Ejemplos : Analizar el comportamiento de las funciones 1/x2 y 1/x en el punto x=0, que es una
asíntota vertical en ambos casos.
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Indeterminaciones: Hay varios tipos:
,
,
,
, ,
,
Ejemplo: 0/0 es una indeterminación pues límites de cocientes donde los límites de dividendo y
divisor separadamente son cero, pueden terminar dando cualquier cosa, como los siguientes:
Si los límites no los obtenemos directamente al sustituir, hay que analizar cada caso para evitar
las indeterminaciones, para las funciones racionales con polinomios descomponemos en factores
y simplificamos, con raíces multiplicamos y dividimos por el conjugado de la raíz, en general:
1. Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador el resultado nos
da +∞ ó -∞.
2. Cuando ambos tienen el mismo grado, la solución es el cociente de los coeficientes del
mismo grado.
3. Cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador, la solución es 0.
4. Indeterminación 1∞ son funciones del tipo potencial-exponencial
Ejemplos
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Continuidad de una función: Una función
es continua en el punto
si
Si una función
es continua en el punto
implica que
y
ambos
existen y son iguales.
Los valores que toma la función f(x) en puntos próximos a x0 deben estar próximos a f(x0), lo cual
implica que la gráfica no salta bruscamente en x=x0, ni toma valores sensiblemente espaciados
cuando x se aproxima suficientemente a x0.
Una función es continua en un intervalo si es continua en todos los puntos del intervalo. Una
función es continua en todo su dominio cuando lo es en todos los puntos que lo componen.
Discontinuidades: Una función es discontinua en un punto
dicho punto.
si
no es continua en
Tipos de discontinuidades
Discontinuidad evitable: Una función
tiene una discontinuidad evitable en un punto
cuando existe el límite de la función en dicho punto.
Ejemplo La función f(x) definida por:
no es continua en el punto
Como
porque
mientras que
existe, la discontinuidad que
tiene en el punto
, es decir:
es evitable.
Una función presenta una discontinuidad de primera especie o inevitable de salto finito en el
punto
si los limites laterales de
en
existen (son finitos) pero son distintos, es
decir:
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Ejemplo: La función f(x) definida por:
no es continua en el punto
distintos:
porque
no existe, al ser ambos límites laterales
Como ambos límites laterales existen, la discontinuidad que tiene la función
es de primera especie.
en el punto
Una función
presenta una discontinuidad de segunda especie o inevitable de salto
infinito en el punto
si no existe alguno de los límites laterales de
en dicho punto.
Ejemplo: La función
definida por:
no es continua en el punto
izquierda de
cuando
especie:
,
porque
tiene en el punto
no existe, al no existir el límite por la
una discontinuidad de segunda
Ejemplo: Calcular los valores de a y de b para que la siguiente función sea continua:
Continuidad en x = 0, calcular los límites laterales en x = 0
Continuidad en x = 1, calcular los límites laterales en x = 1
Si a = 3 y b = -1 la función es continua para todos los números reales.
Aparte de los libros de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales de 2º año de Bachillerato,
se recomiendan las siguientes páginas sobre estos temas para estudiar y resolver problemas:
http://matematicasies.com
www.vadenumeros.es
http://www.matematicasbachiller.com
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Asíntotas
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos
una de las variables (x o y) tienden al infinito. Son límites de las funciones.
Asíntotas Verticales: Nos indican a que tiende la función cuando la x no está definida, son rectas
paralelas al eje OY. Se escriben x = valor de la asíntota horizontal. El número máximo de asíntotas
verticales que puede tener una función es dos.
Asíntotas Horizontales: Nos indican a que tiende la función cuando la x es muy grande o muy pequeña,
son rectas paralelas al eje OX. Se escriben y = valor de la asíntota horizontal. Las funciones racionales
tienen asíntota horizontal cuando el numerador y el denominador son del mismo grado y cuando el grado
del denominador es mayor que el grado del numerado.
Asíntotas oblicuas: una función racional tiene asíntotas oblicuas cuando el grado del numerador
es una unidad mayor que el grado del denominador. Las asíntotas horizontales y oblicuas son
incompatibles. Si hay unas no puede haber de las otras.
Función : Es una relación entre los elementos de dos conjuntos, de forma que a determinados elementos
del primer conjunto se asocian elementos del segundo conjunto de manera unívoca, es decir que a un
elemento del primer conjunto no le podemos asociar más de un elemento del segundo conjunto. A un
elemento cualquiera del primer conjunto lo representamos con la letra x, que denominamos variable
independiente y al único elemento que le corresponde en el segundo conjunto lo representamos por la
letra y, a la que denominamos variable dependiente. A la relación la representamos por la letra f y
escribimos y=f(x).
Dominio de definición de una función f : Es el conjunto de valores de x para los que la función f(x)
existe. Lo representamos por Dom(f).
Recorrido o imagen de una función f : Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y. Lo
representamos por Img(f).
Según la expresión analítica clasificamos las funciones de variable real, de la siguiente forma:
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