Unidad 5 problemas 17_20_23 explicados

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Unidad 5
Problemas explicados
Problema 17 explicado
14) Los tres resistores de la figura son idénticos. En primera instancia la llave está abierta y
después cerrada. Luego de cerrar el interruptor la indicación del voltímetro respecto de su
valor original:
a) Aumenta en un 50%
b) disminuye en un 50%
c) disminuye en un 33%
d) disminuye en un 67%
e) aumenta en un 33%
f) no se modifica.
(i) Mientras la llave está abierta, R3 está desconectada y por lo tanto la R del circuito es R1 + R2.
Como todos los resistores son idénticos se cumple que R1 = R2 = R3 y por lo tanto, con la llave abierta
R = 2R1.
La corriente, según la ley de Ohm, es I = E/R = E /2R1.
El voltímetro está conectado en paralelo con R 1, por lo tanto mide la d.d.p en R 1. Nuevamente aplicando la ley de Ohm, resulta
V1= IR1= (E /2R1)R1 = E /2
Es decir, la indicación del voltímetro es igual a la mitad de la f.e.m de la batería. Esto es válido si consideramos a la batería y al
voltímetro como ideales: Es decir la resistencia interna de la batería es nula y la resistencia interna del voltímetro es infinita 1.
(ii) Cuando se cierra la llave, R3 queda conectada en paralelo con R2. Como veremos en seguida esto significa una disminución
en la resistencia total del circuito. Es decir, en esta nueva situación R` < R. Esto implica un aumento en la intensidad de
corriente que entrega la fuente, I` > I, y por lo tanto un aumento en la caída de potencial en R1. Entonces la indicación del
voltímetro aumentará.
¿Por qué disminuye la resistencia? Al cerrar la llave queda disponible para la corriente un nuevo camino (R 3) y por lo tanto esto
permite el pasaje de mayor cantidad de carga por unidad de tiempo.
Matemáticamente resulta Rparalelo= R3 R2/( R3 + R2) = (R1)2/2 R1 = R1/2
Por lo tanto la resistencia del circuito en esta nueva situación es R`= R1/2 + R1 = 3R1/2
Como habíamos anticipado R` < R, ya que 3R1/2 < 2R1
Entonces la corriente aumenta respecto a la situación anterior. Aplicando la ley de Ohm, I` = E / R`
Es decir, I`= 2 E / 3R1. [2/3 > 1/2]
El voltímetro indica el valor de la d.d.p en R1:
V`1= I`R1 = 2 E / 3
Por lo tanto la indicación del voltímetro es dos tercios de la f.e.m. con la llave cerrada, y es un medio de la f.e.m con la llave
abierta.
El aumento corresponde a un factor 4/3, es decir 1,3333... Que es lo mismo que un incremento del 33,33%.
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En realidad alcanza con que la resistencia interna de la batería sea mucho menor que R 1 y que la resistencia interna del voltímetro sea mucho mayor
que R1
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Unidad 5 problema 20 explicado
20) Entre los bornes de una batería se conecta un cable de muy pequeña resistencia. Un voltímetro conectado entre los
bornes a y b de la batería mide una d.d.p mucho menor que la f.e.m de la batería. ¿Cómo es esto posible?
En primer lugar dibujaremos el circuito que corresponde a la situación planteada.
En el circuito dibujado E es la f.e.m de la batería, ri es su resistencia interna, R
es la resistencia de “muy bajo valor” que se conecta entre los bornes de la
batería. El voltímetro V está también conectado entre los bornes de la batería.
Por lo tanto la indicación del voltímetro es la diferencia de potencial entre
bornes de la pila y también la caída de potencial en la resistencia R. Como es
natural supondremos que la resistencia interna del voltímetro es mucho mayor
que R y por lo tanto la corriente que circula por él es despreciable.
Entonces la corriente circula por la batería (por supuesto también por su resistencia interna) y por la resistencia R.
Llamaremos V a la indicación del voltímetro. Por lo tanto: V = RI = E  riI
La corriente tiene una intensidad I = E/(R+ri)
La d.d.p que mide el voltímetro es V = R E/(R+ri)
Analicemos el valor de esta diferencia de potencial para distintos valores de R:
a) Si R >> ri resulta aproximadamente igual a la f.e.m de la batería
b) Si R = ri entonces el voltímetro indica un valor igual a la mitad de la f.e.m de la batería.
c) Si R << ri entonces resulta V notablemente menor que la f.e.m de la batería.
Resumiendo: si la resistencia conectada entre los bornes de la batería es pequeña comparada con la resistencia
interna de la batería circula una corriente suficientemente grande como para hacer que la caída de potencial en dicha
resistencia no resulte despreciable respecto a la f.e.m. Por lo tanto la d.d.p entre bornes de la batería es
apreciablemente menor que la f.e.m.
Un ejemplo numérico. Supongamos que la batería es una pila Duracell2 AA cuya f.e.m es de 1,5 Volt y su resistencia
interna es 120 m. Le conectamos un cable de cobre de 10 centímetros de longitud de cobre de 1mm de diámetro.
La resistividad del cobre es de 1,70 x 10-8 m. Entonces la resistencia R se puede calcular multiplicando la
resistividad por la longitud y dividiendo por el área de la sección transversal.

S   r 2   0,5  103 m
R  1,70  108   m

2
 0,785 106 m 2
L  0,10 m
0,10 m
 0,002 
0,785 10 6 m 2
Es decir un cable de cobre de 1 mm de diámetro y 10 cm de longitud tiene una resistencia de tan sólo 2 m.
Entonces calculemos la d.d.p entre bornes de la batería. Es decir la caída de potencial en el cable de cobre:
V 
2
2 m
 1,5 V  0,025V
2 m  120 m
http://www.duracell.com/oem/Pdf/new/1500_US_CT.pdf
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Unidad 5. Problema 23 explicado
23) El circuito de la figura consta de una fuente, cuya f.e.m es Vp= 12 V, y dos
resistencias en paralelo e iguales que pueden tomar los valores: 1 kΩ, 100 Ω, 10 Ω y 1
Ω. Un amperímetro de 1 Ω de resistencia de entrada mide la corriente que circula a
través de una de las resistencias. El valor mínimo de su escala es 1 mA.
a) Calcular la lectura del amperímetro en cada caso.
b) ¿Cuáles serían las intensidades de corriente por cada resistencia si el amperímetro
no estuviera conectado?
c) ¿Cuál es el error relativo porcentual en cada una de las mediciones?
En este problema se ha designado con Vp a la fuerza electromotriz de la batería, que usualmente se indica con la letra E.
Además a la resistencia del amperímetro se la llama “de entrada”, cuando también se la denomina “resistencia interna”.
El circuito consta de dos ramas en paralelo, ambas conectadas a una d.d.p de 12 V. Una rama contiene sólo al resistor R y la
otra tiene una resistencia R + rA. Por lo tanto podemos calcular la intensidad de la corriente que circula por el amperímetro y
también (aunque el problema no lo pide) la corriente por la rama que contiene sólo a R. Ambos cálculos se realizan con la ley
de Ohm:
IA 
IA 
Vp
R  rA
12V
R  1
I1 
Vp
I1 
R
12V
R
Para mayor claridad vamos a tabular los resultados para los distintos valores de R que propone el enunciado. Además los
valores calculados de IA los vamos a redondear en el 3er decimal después de la coma, ya que el amperímetro, supuestamente
digital, no muestra valores menores a 1 mA (es decir 0,001 A):
IA
I1
Ampère
Ampère
0,012
0,012
0,119
0,120
1,091
1,200
6,000
12,000
b) Obviamente si no estuviera el amperímetro por las dos ramas circula la misma corriente, que en nuestro caso ya hemos
calculado. Son los valores que figuran en la columna I 1.
I2
I1
Ampère
Ampère
0,012
0,012
0,120
0,120
1,200
1,200
12,000
12,000
c) Esto significa que insertar el amperímetro en el circuito permite medir que es lo que deseamos. Pero a la vez introduce un
error en la medición. Este error depende de la relación entre la resistencia interna del instrumento y la resistencia en serie
conectada con él.
I2 (“verdadero”)
IA (medido)
r /R
I I / I
I I
A
2
(error absoluto)
A
2
A
A
(error relativo)
Ampère
Ampère
Ampère
0,012
0,012
0
0
0,001
0,120
0,119
0,001
0,84 %
0,01
1,200
1,091
0,109
10 %
0,1
12,000
6,000
6
100 %
1
Como se puede apreciar, cuánto mayor es la relación entre la resistencia del amperímetro y la resistencia en serie conectada con
él, mayor es el error en la medición. Si el amperímetro es ideal, es decir rA = 0, no existe error. En los casos reales los
amperímetros deben tener una resistencia interna lo más pequeña que sea posible para minimizar el error.