Universidad del Valle Departamento de Matemáticas Ecuaciones diferenciales Examen final T enero 13 de 2006 Duración 2 horas. No se permite el uso de calculadoras. No se permiten preguntas. La opción NA indica ninguna de las anteriores. Nombre: Código: 5. La solución general de la ecuación diferencial (3x2 + 4x y) dx + (2x2 + 2y) dy = 0 está dada implicitamente por 1. La función t Z x(t) = 2 e−s ds 0 a) 2x2 + y 3 + x = c, es solución de la ecuación diferencial b) x3 + 2x2 y + y 3 = c, c) x3 + 2x2 y + y 3 = 0, a) x00 + 2t x0 + x = 0 b) x00 − 2t x0 = 0 c) x00 + 2t x0 =0 d) x00 d ) x3 + 2x2 y + y 2 = c, + 2t x = 0 e) x3 + 3x2 y + y 2 = c e) x00 + 2t x0 − x = 0 f ) N.A. f ) N. A. 2. Una de las siguientes afirmaciones sobre la solución y del problema de valor inicial y 0 − y 2 = 0, y(0) = 1, no es cierta a) c1 cos 4t+c2 sen 4t+c3 t cos 4t+c4 t sen 4t, a) y(−1) = 2 b) y 00 (0) = 2 c) y es decreciente d ) lı́mx→−∞ y(x) = 0 b) c1 cos 4t + c2 sen 4t + c3 t e4t + c4 t e−4t , e) c1 e2t + c2 e−2t + c3 t e4t + c4 t e−4t , f ) c1 e2t + c2 e−2t + c3 cos 2t + c4 sen 2t. 3. Si x = x(t) es la solución de 1 0 x = 1, t x(1) = 1, x0 (1) = Las preguntas 7 y 8 se refieren a la ecuación 1 2 t2 x00 − tx0 + x = 0. entonces x (2) es igual a a) 0 d) 3−2 ln 2 4 b) 1 c) e) c) c1 e4t + c2 e−4t + c3 t e4t + c4 t e−4t , d ) c1 e2t + c2 e−2t + c3 sen 4t + c4 cos 4t, e) y no está derfinida en (1, ∞) x00 + 6. Si c1 , c2 , c3 y c4 indican constantes arbitrarias, 4 entonces la solución general x(t) de ddt4x −16 x = 0 es Tenga en cuenta que x(t) = t es una solución de esta ecuación. 3 4 3+2 ln 2 4 4. Sobre un cuerpo en caı́da vertical actúan el peso y una fuerza de fricción viscosa con magnitud directamente proporcional a la rapidez. Suponga que la velocidad v(t) con que cae satisface lı́mt→∞ v(t) = −5 m/s. Si el cuerpo se deja caer del reposo, y g es valor numérico de la gravedad en unidades apropiadas, entonces su velocidad al cabo de 15 segundos es de 2g 7. La función x = t u(t) es una solución de la ecuación dada siempre que la función u = u(t) satisfaga a) u00 + u0 = 0 b) tu00 + u0 = 0 c) u00 − 2tu0 = 0 d ) u00 + tu0 = 0 e) tu00 − 2u = 0 8. Si x = x(t) es la solución que satisface x(1) = 0, x0 (1) = 1, entonces x(2) es igual a g a) −5 + 5e−3 gb) −5 + 5e− 5 c) −5 + 5e− 5 a) e − 2 b) ln 2 d ) −5 + 5e−2 ge) −5 + 5e−g f ) N.A. d) 2 e) 2 e c) 2 ln 2 e) c1 et + c2 e−t + t2 et + et 9. Si x(t) = e−t cos 2t es solución de la ecuación f ) N. A. x00 + ax0 + bx = 0 2 12. Si x(t) satisface dd tx2 − 4x(t) = t e−t , x(0) = 0, x0 (0) = 1, entonces la transformada de Laplace x̂(s) de x(t) está dada por entonces a y b son respectivamente iguales a a) 2 y 5 b) 4 y 4 d) 0 y 4 e) 2 y −3 a) 1+s+2s2 +s3 (1−s)(s2 −4) b) 1+s+2s2 +s3 (1−s)(s2 +4) 10. Un resorte atado a un techo tiene una longitud de 15 cm. Cuando se le cuelga una masa de 20 gr se alarga, quedando en reposo con una longitud de 17 cm. Si se desplaza la misma masa 2 cm debajo de su posición de equilibrio y se suelta; despreciando la fricción, la constante del resorπ te y la posición de la masa a los t∗ = 14 √ s 10 están dadas respectivamente por: c) 1+s+2s2 −s3 (1−s)(s2 +4) d) 1+s+2s2 −s3 (1−s)(s2 −4) e) 1−s+2s2 +s3 (1−s)(s2 −4) f ) N. A. a) 2450 y 1 2 d ) 9,8 y −1 c) 2 y 1 13. La serie de potencias ecuación diferencial b) 9800 y −2 c) 4900 y −2 e) 980 y − 12 c) x00 (t) + x(t) = 0 b) x00 (t) − x(t) = 0 d ) x0 (t) − x(t) = 0 14. Al aplicar el método de Frobenius a d2 x 1 dx t − 3 − + 2 x(t) = 0 dt2 t dt t 11. Si c1 y c2 indican constantes arbitrarias, enton2 ces la solución general de dd tx2 − x = 4 t et es: produce una solución de la forma P n con un valor positivo de m dado a t tm ∞ n=0 n por : a) c1 et + c2 e−t + t2 et − t et , et 2, √ c) c1 et + c2 e−t − t2 et − t et , a) m = 3 c) m = d ) c1 et + c2 e−t + t2 et + t et − et , b) m = 9 d) m = 1 1 a b c d e f 2 3 4 5 6 7 satisface la a) x0 (t) + x(t) = 0 f ) N.A. b) c1 et + c2 e−t + t2 et − t et + t2n n=0 (2n)! P∞ 8 9 10 11 12 13 14 15 3 e) m = 2 f ) N. A.