Gráfico Nº 1: Proyección de ventas

Instituto Profesional de Chile
Ingeniería Industrial
Administración de Operaciones
Módulo de Aprendizaje Nº 9
OBJETIVOS:
-
Conocer y aplicar el método de regresión lineal para pronósticos de demanda.
Métodos de Pronósticos II
1. Series de tiempo
1.1. Regresión lineal
La regresión se puede definir como una relación funcional entre dos o más variables
correlacionadas. Se utiliza para predecir una variable dada la otra. La relación se basa
normalmente en datos observados
La regresión lineal se refiere a tipo especial de regresión en la cual la relación entre las
variables forma una línea recta. La línea de regresión lineal tiene la forma de Y = a + bX,
donde Y es el valor de la variable dependiente que se está resolviendo, a es la ordenada en
el origen de Y, b es la inclinación y X es la variable independiente (en el análisis de la serie
de tiempo, X es siempre el tiempo)
La principal restricción para el uso de la proyección de regresión lineal s, como su nombre
lo indica, que los datos anteriores y las proyecciones futuras se asume que recaen en una
línea recta. Aunque esto limita su aplicación, si se emplea un período de tiempo más corto,
el análisis de regresión lineal algunas veces puede ser utilizado. Por ejemplo, pueden existir
segmentos cortos del período más largo que son más o menos lineales.
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La regresión lineal se utiliza tanto para la proyección de la serie de tiempos como para la
proyección de relación casual. Cuando la variable dependiente (usualmente el eje vertical
de una gráfica) cambia como resultado del tiempo (eje horizontal) se trata de la serie de
tiempos. Si una variable cambia debido a la variación de otra variable, se trata de una
relación causal.
1.1.1. Ajuste manual de una línea de tendencia
Las ventas de una empresa fueron las siguientes (ver cuadro Nº 1):
Trimestre
Ventas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
600
1.550
1.500
1.500
2.400
3.100
2.600
2.900
3.800
4.500
4.000
4.900
Cuadro Nº 1: Ventas de la empresa
La firma desea proyectar cada trimestre del cuarto año, esto es, en los trimestres 13, 14, 15
y 16. Los datos se representan en una curva ajustada manualmente, y se utiliza simplemente
la vista o la AHO (aproximación heurística ocular).
Solución: El procedimiento es sencillo. Se coloca una regla de un lado a otro de los puntos
de los datos y se traza una raya. Esta es la línea de regresión. El paso siguiente es
determinar la ordenada en el origen a y la inclinación b.
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El grafico Nº 1 muestra la representación de los datos y la línea recta que se traza a través
de los puntos. La ordenada en el origen a, donde la línea corta al eje vertical, pareces ser en
400. La inclinación b es la razón entre dos puntos de la ordenada y dos puntos de la abscisa
respectivamente. Cualquier punto sirve, pero se sugiere usar por los puntos más lejanos
entre sí.
Proyección de ventas
6.000
5.000
Ventas
4.000
Ventas
3.000
( 4.950 – 750 )
Lineal (Ventas)
2.000
1.000
( 12 – 1 )
0
0
10
5
15
Trimestre
Gráfico Nº 1: Proyección de ventas
Según la grafica 1, en los puntos de la línea, los valores Y para el trimestre 1 y el 12 son
aproximadamente 750 y 4.950. En consecuencia,
b  (4.950  750) /(12  1)  382
La ecuación ajustada manualmente es,
Y  400  382 X
Por tanto las proyecciones para los trimestres 13, 14, 15 y 16 son (ver cuadro 2):
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Trimestre
13
14
15
16
Ventas
5.366
5.748
6.130
6.512
Cuadro 2: Proyecciones de ventas
1.1.2. Método de los mínimos cuadrados
La ecuación de los mínimos cuadrados para la regresión lineal es la misma a que se utilizó
en el ejemplo ajustado manualmente:
Y  a  bX
donde,
Y = Variable dependiente calculada por la ecuación
y = Punto de los datos variables dependientes y reales
a = La ordenada de origen Y
b = Inclinación de la línea
x = Periodo de tiempo
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Y
Yn
y2
Y1
yn
Y2
y1
X
Grafico Nº 2: Línea de regresión para mínimos cuadrados
El método de los mínimos cuadrados trata de ajustar la línea a los datos que minimizan la
suma de los cuadrados de la distancia local entre cada uno de los puntos de los datos y su
punto correspondiente a los de la línea. El grafico 2 (página 4) muestra indica algunos
puntos de datos. Si se traza una línea recta a través del área general de los puntos, la
diferencia entre el punto y la línea es (y - Y ). El gráfico 2 (página 4) muestra estas
diferencias. La suma de los cuadrados de las diferencias entre los puntos de los datos
representados y los puntos de la línea es la siguiente:
( y1  Y1 ) 2  ( y2  Y2 ) 2  ............  ( yn  Yn ) 2
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Previamente se había determinado a y b con base en la gráfica. En el método de los
mínimos cuadrados se hace analíticamente, es decir:
a  y  bx
b
 xy  n x  y
 x  nx
2
2
donde,
a = Ordenada en el origen y.
b = Inclinación de la recta.
y = Promedio de todas las y.
x = Promedio de todas las x.
x = Valor x en cada punto de los datos.
y = Valor de y en cada punto de los datos.
n = Cantidad de los puntos de los datos
Y = Valor de la variable dependiente calculada con la ecuación de regresión.
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El cuadro Nº 3 indica los cálculos realizados para los 12 puntos de la tabla de datos del
cuadro Nº 1.
x
y
xy
x^2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
600
1.550
1.500
1.500
2.400
3.100
2.600
2.900
3.800
4.500
4.000
4.900
600
3.100
4.500
6.000
12.000
18.600
18.200
23.200
34.200
45.000
44.000
58.800
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
y^2
360.000
2.402.500
2.250.000
2.250.000
5.760.000
9.610.000
6.760.000
8.410.000
14.440.000
20.250.000
16.000.000
24.010.000
78
33.350
268.200
650
112.502.500
Y
801,3
1.160,9
1.520,5
1.880,1
2.239,7
2.599,4
2.959,0
3.318,6
3.678,2
4.037,8
4.397,4
4.757,1
Cuadro Nº 3: Descomposición de la regresión lineal
x  6.5
y  2.779,17
Y por tanto a, b son:
b
268 .200  12 * 6.5 * 2.779 ,17
 359 ,6153
650  12 * 6.5 2
a  2.779,17  359,6153* 6.5  441,6666
Reemplazando estos valores en la ecuación, queda:
Y  441,6666 359,6153* X
Así se reemplaza para las proyecciones solicitadas, es decir:
Y13  441,6  359,6 *13  5.116,4 Se pronostica una venta para el trimestre 13, de 5.116,4
unidades; en variable discreta sería 5.116 unidades.
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Y14  441,6  359,6 *14  5.476,0 Se pronostica una venta para el trimestre 14, de 5.476,0
unidades.
Y15  441,6  359,6 *15  5.835,6 Se pronostica una venta para el trimestre 15, de 5.835,6
unidades; en variable discreta sería 5.836 unidades.
Y16  441,6  359,6 *16  6.195,2 Se pronostica una venta para el trimestre 16, de 6.195,2
unidades; en variable discreta sería 6.195 unidades.
El error estándar del cálculo o qué tan bien se ajusta la línea a los datos sería:
n
S xy 
(y
i 1
i
 Yi ) 2
n2
El error estándar del cálculo se despeja con base en la segunda y última columnas del
cuadro Nº 3.
Entonces:
S xy 
(600 801,3) 2  (1.550 1.160,9) 2  (1.500 1.520,5) 2  ................. (4.900 4.757,1) 2
12  2
S xy  363,9
Esto quiere decir que puede existir un error estándar en las proyecciones de 363,9 unidades.
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EVALUACIÓN:
Se tienen los datos históricos para la demanda de un producto resumidos en la siguiente
tabla:
Semana
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
-
Demanda
800
1.400
1.000
1.500
1.500
1.300
1.800
1.700
1.300
1.700
1.700
1.500
2.300
2.300
2.000
Calcule el pronóstico de demanda para las semanas 16, 17 y 18 por el método de
regresión lineal.
BIBLIOGRAFÍA:
Chase R., Aquilano N. “Dirección y Administración de la Producción y de las
Operaciones”, Addison. Wesley, Sexta edición, 1994.
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