Modelo Macrosc pico de Maxwell

Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Ecuaciones Generales:
Modelo de Maxwell
Contenido
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07/01/2009
Introducción.
Modelo macroscópico y densidad de carga.
Carga puntual y densidades superficiales y lineales de carga.
Intensidad de corriente.
Densidades volumétricas y superficiales de corriente.
Conservación de la carga. Ecuación de continuidad.
Ecuaciones de Maxwell. Fuentes rotacionales del campo EM.
Fuentes de tipo divergencia del campo EM.
Forma integral de las ecuaciones de Maxwell.
Relaciones constitutivas de los medios.
Conductividad. Ley de Ohm. Relajación.
Unidades y dimensiones. Sistema Internacional de unidades.
Definición de los campos. Energía EM. Teorema de Poynting.
Condiciones de discontinuidad o de salto.
Ejercicios.
EyM 2-1
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Ecuaciones Generales
• En este tema se va a tratar del estudio del campo electromagnético.
• En el capítulo anterior se ha definido el concepto de campo y se ha
visto algunos ejemplos: campo de temperaturas, de velocidades, etc.
en los que cierta característica física (la temperatura, la velocidad....) se
expresa como función de las coordenadas y posiblemente también del
tiempo.
• En los casos de campos de temperatura, presión, velocidad, etc. el
concepto de campo es una herramienta matemática útil pero de la que
se puede prescindir sin alterar el contenido físico de los fenómenos.
• Sin embargo en el caso del campo electromagnético, además de ser
una herramienta útil, posee también contenido físico del que no se
puede prescindir si se quiere comprender bien la naturaleza de los
fenómenos involucrados
Ecuaciones Generales
• Para comprender la anterior afirmación imaginemos dos antenas, una
emisora y otra receptora situadas en el vacío.
• Supóngase que una antena emite energía electromagnética durante un
breve instante de tiempo de forma que el tiempo que tarda la energía en
llegar al receptor es mucho mayor que el tiempo de emisión.
• De esta forma, cabe plantearse ¿quién es el portador de esta energía
durante el tiempo de "vuelo" de una antena a la otra?
• La respuesta es que la energía la transporta el campo
electromagnético, y por tanto, dicho campo tiene entidad física y la
noción del campo electromagnético es la base de la teoría moderna del
electromagnetismo.
07/01/2009
EyM 2-2
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Principio de Acción Próxima y a Distancia
A finales del siglo XVIII Coulomb formuló su conocida ley sobre la interacción
eléctrica. La Ley de Coulomb, y otras que surgieron posteriormente en relación
con la interacción magnética y que eran muy parecidas a dicha ley, eran a su
vez iguales en esencia a la ley de la gravitación de Newton y por tanto sujetas
a la misma interpretación que se daba a ésta en el siglo XVIII. A saber que "la
interacción entre objetos a distancia se produce instantáneamente y sin
participación alguna del medio", lo que se conoce como principio de acción a
distancia.
Ahora bien, de acuerdo con la Física moderna no existen interacciones
instantáneas; el papel del medio auxiliar no puede ser ignorado ya que es el
medio el que contiene precisamente la energía. La participación del medio en la
transmisión de interacciones electromagnéticas se conoce como "principio de
acción próxima".
M. Faraday fue el primero que sugirió la idea de la existencia de un campo
electro- magnético (y por tanto en acuerdo con el principio de acción próxima).
Finalmente fue J.C. Maxwell quien formuló las leyes fundamentales del
electromagnetismo que se conocen como Ecuaciones de Maxwell.
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07/01/2009
Introducción.
Modelo macroscópico y densidad de carga.
Carga puntual y densidades superficiales y lineales de carga.
Intensidad de corriente.
Densidades volumétricas y superficiales de corriente.
Conservación de la carga. Ecuación de continuidad.
Ecuaciones de Maxwell. Fuentes rotacionales del campo EM.
Fuentes de tipo divergencia del campo EM.
Forma integral de las ecuaciones de Maxwell.
Relaciones constitutivas de los medios.
Conductividad. Ley de Ohm. Relajación.
Unidades y dimensiones. Sistema Internacional de unidades.
Definición de los campos. Energía EM. Teorema de Poynting.
Condiciones de discontinuidad o de salto.
Ejercicios.
EyM 2-3
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Modelo Macroscópico y Carga
En los sucesivos apartados se va a desarrollar el modelo de Maxwell de las
interacciones electromagnéticas desde el punto de vista macroscópico, es
decir, que los objetos materiales considerados contienen un número
prácticamente infinito de partículas en cuyo caso no se considera la estructura
microscópica de la materia y ésta se supone como un medio continuo.
La carga es una propiedad fundamental de las partículas elementales que
forman la materia.
De hecho toda materia está compuesta fundamentalmente de protones,
neutrones y electrones, y dos de estas partículas tienen carga.
Sin embargo, aunque a escala microscópica la materia se componga de gran
número de partículas cargadas, las potentes fuerzas asociadas con estas
partículas quedan bastante ocultas a una observación macroscópica.
El motivo es que hay dos clases de carga: positiva y negativa, y un pedazo
ordinario de materia contiene aproximadamente cantidades iguales de cada
clase de carga.
Cuantificación y Conservación de la
Carga
Desde el punto de vista macroscópico la carga se refiere a la carga neta, o al
exceso de un tipo de carga sobre el otro.
Así que cuando decimos que un objeto está cargado, lo que queremos decir es
que tiene un exceso de carga, ya sea un exceso de electrones (negativos) o un
exceso de protones (positivos).
La unidad de carga es el Coulombio [Coul] en el sistema MKS. El símbolo
utilizado para representar la carga es "Q" o "q".
Una importante observación experimental en relación con la carga es que
ésta no puede crearse ni destruirse.
Dicho con otras palabras: la carga total de un sistema cerrado no puede
cambiar. Desde el punto de vista macroscópico las cargas pueden
reagruparse y combinarse en distintas formas, sin embargo "la carga neta en
un sistema cerrado se conserva ".
Este enunciado se conoce como el Principio de conservación de la carga y le
veremos con más detalle en un próximo apartado.
Es bien sabido que la carga esta cuantificada: se encuentra en múltiplos de una
carga básica que es la del electrón.
En otras palabras si se examina una carga con detalle, se verá que su magnitud
es un múltiplo entero de la magnitud de la carga electrónica.
07/01/2009
EyM 2-4
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Densidad de Carga
Para los fines de la física macroscópica, el que la carga sea discreta no plantea
problemas, simplemente porque la carga electrónica tiene una magnitud de
1.6019x10-19 Coul. que es extremadamente pequeña. De esta forma las cargas
macroscópicas están compuestas de un número muy grande de cargas
electrónicas.
Esto a su vez significa que cualquier volumen de una distribución de carga
macroscópica, por pequeño que sea, contiene una infinidad de electrones.
Entonces a efectos macroscópicos una distribución de carga se puede
describir en términos de una densidad de carga, definida como el límite de la
carga por unidad de volumen a medida que el volumen se vuelve infinitesimal.
r
∆q
dq
=
∆V ′→ 0 ∆V ′
dv ′
dq
ρ (r ′) = lim
O
r
r′
dv’
Desde luego este límite tiene sentido pues el volumen infinitesimal es muy
pequeño desde el punto de vista macroscópico pero aún muy grande desde
el punto de vista microscópico, conteniendo así gran número de partículas y,
por tanto, la naturaleza discreta de la carga no se percibe.
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07/01/2009
Introducción.
Modelo macroscópico y densidad de carga.
Carga puntual y densidades superficiales y lineales de carga.
Intensidad de corriente.
Densidades volumétricas y superficiales de corriente.
Conservación de la carga. Ecuación de continuidad.
Ecuaciones de Maxwell. Fuentes rotacionales del campo EM.
Fuentes de tipo divergencia del campo EM.
Forma integral de las ecuaciones de Maxwell.
Relaciones constitutivas de los medios.
Conductividad. Ley de Ohm. Relajación.
Unidades y dimensiones. Sistema Internacional de unidades.
Definición de los campos. Energía EM. Teorema de Poynting.
Condiciones de discontinuidad o de salto.
Ejercicios.
EyM 2-5
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Carga en una región. Carga Puntual
Conocida la densidad de carga en una región podemos calcular la carga
contenida en un cierto volumen V de la misma como:
r
q = ∫∫∫ dq = ∫∫∫ ρ (r ′)dv′
V′
dq
V′
r
r′
O
dv’
V’
Cualquier distribución de cargas finita, observada desde puntos muy alejados
de la misma, se “ve” como si fuera puntual.
Aparentemente solo hay carga en un punto rq .
Por tanto la densidad de carga será nula en todos los puntos salvo en rq y la
carga total en un volumen que contenga al punto deberá ser el valor de la carga
de la distribución: q.
La densidad de carga deberá manejarse matemáticamente usando la función δ
r
r r
de Dirac como:
ρ (r ′) = qδ (r ′ − rq )
r
r r
r r
δ (r ′ − rq )dv′ = q
∫∫∫V ′ ρ (r ′)dv′ = ∫∫∫V ′ qδ (r ′ − rq )dv′ = q ∫∫∫
′
V
14
42443
q
r
rq
1
V
O
Función δ de Dirac
Se define la función δ de Dirac en una dimensión δ(x-x´), como el ente
matemático que cumple:
⎧ 0 , , x′ ∉ C
∫ f (x )δ (x − x′)dx = ⎨⎩ f (x′) , ,
C
x′ ∈ C
donde f(x) es cualquier función.
Una propiedad importante de la de δ Dirac es que:
⎧0 , , x′ ∉ C
x′ ∈ C
∫ δ (x − x′)dx = ⎨⎩1 , ,
C
que puede obtenerse haciendo f(x)=1 en la definición de la δ.
Aunque δ(x) no es una función en sentido
ordinario y sólo tiene sentido bajo el signo
integral se la puede imaginar como límite de
una sucesión de funciones rectángulo Π de
base cada vez más estrecha y altura cada vez
mayor pero conservando el área unidad.
δ ( x ) = lim ∏ (ε )
ε →0
07/01/2009
⎧0 ,, x > ε
2
⎪
∏ (ε ) = ⎨ 1 , , x < ε
⎪
2
⎩ε
1
ε
−ε
2
ε
2
EyM 2-6
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Función δ de Dirac
La generalización a tres dimensiones conducirá a δ(r) cumpliendo:
∫∫∫
V
r
⎧0 , , r ′ ∉ V
r r r
f (r )δ (r − r ′)dv = ⎨ r
r
⎩ f (r ′) , , r ′ ∈ V
Finalmente como ejemplos de aplicación de la función se tiene la
representación de funciones singulares como cargas puntuales, densidades
superficiales, lineales, etc.
Así la densidad de carga originada por una carga puntual situada en rq es
ρ (r ) = qδ (r − rq )
r
r r
Densidad Superficial
En muchas situaciones las cargas se distribuyen no en volumen sino sobre una
superficie. En tales casos conviene definir una función de densidad superficial
de carga como:
r
∆q dq
=
ρ s (r ′) = lim
dS’
∆S ′→0 ∆S ′
dS ′
dq
r
r′
De manera que la carga sobre la superficie es: O
S’
r
q = ∫∫ dq = ∫∫ ρ s (r ′)dS ′
S′
S′
Si la superficie es una superficie coordenada ui’ =cte entonces la densidad
superficial puede expresarse como una densidad volumétrica usando, la función
r
r δ u −u
δ de Dirac:
ρ (r ′) = ρ s (r ′) i i
hi
u3
r
r δ ui − ui,
ρ s (r ′)
∫∫∫V ′ ρdV ′ = ∫∫∫V ′ ρs (r ′) h dV ′ =
⎞
⎛
⎟
⎜ δ u − u,
r
r
i
i
u’2
hi dui ⎟dS ′ = ∫∫ ρ s (r ′)dS ′ = q
= ∫∫ ρ s (r ′)⎜ ∫
O
S′
u
S′
hi
⎟
⎜ i
⎜ 1442443 ⎟
u1
1
⎠
⎝
u2
(
(
(
07/01/2009
)
)
)
EyM 2-7
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Densidad Lineal
En algunas situaciones resulta útil el considerar que la carga se distribuye a lo
largo de una línea. En tales casos puede definirse una densidad lineal de carga
r
∆q dq
como:
λ (r ′) = lim
=
dl’ dq
∆l ′→0 ∆l ′
r
dl ′
O r′
C’
De manera que la carga sobre la línea es:
r
q = ∫ dq = ∫ λ (r ′)dl ′
C′
C′
Si la línea es una línea coordenada intersección de dos superficies coordenadas
ui’ =cte, uj’ =cte entonces la densidad lineal puede expresarse como una
,
,
densidad volumétrica usando la función δ de Dirac: ρ (rr′) = λ (rr′) δ ui − ui δ u j − u j
hi h j
u3
r
r
,
,
′
(
)
λ
r
′
′
(
)
ρ
d
V
=
λ
r
δ
u
−
u
δ
u
−
u
dV ′ =
u’
(
∫∫∫
1
u’3
u2
V′
i
i
)(
j
j
)
)
⎞
⎞⎛
⎛
⎟
⎟⎜ δ u − u ,
r ⎜ δ ui − ui,
r
j
j
hi dui ⎟⎜ ∫
h j du j ⎟dl ′ = ∫ λ (r ′)dl ′ = q
= ∫ λ (r ′)⎜ ∫
C′
C′
⎟
hi
hj
⎟⎜ u j
⎜ ui
⎜ 1442443 ⎟⎜ 144
42444
3⎟
1
⎠⎝
⎝
1
⎠
(
u1
(
∫∫∫
V′
)(
)
(
)
Ejercicios
a) Calcular la carga total de una distribución volumétrica de densidad
uniforme ρ0 en una esfera de radio R.
r
r
ρ (r ′) = ρ 0
dv′ = r ′2 senθ ′dr ′dθ ′dϕ ′
q=
dq =
ρ (r ′)dv′
∫∫∫
V′
∫∫∫
V′
r
4
q = ∫∫∫ ρ (r ′)dv′ = ρ 0 ∫∫∫ dv′ = πR 3 ρ 0
V′
V′
3
b) Calcular la carga total de una distribución superficial de densidad
uniforme σ0 en un disco circular de radio R.
r
q = ∫∫ dq = ∫∫ ρ s (r ′)dS ′
S′
S′
r
ρ s (r ′) = σ 0
dS ′ = ρ ′dρ ′dϕ ′
r
q = ∫∫ ρ s (r ′)dS ′ = σ 0 ∫∫ dS ′ = πR 2σ 0
S′
07/01/2009
S′
EyM 2-8
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Ejercicios
c) Calcular la carga total de una distribución lineal carga, de longitud
infinita sobre el eje z’, de densidad:
λo
λ=
2
1 + ( z′ a )
r
q = ∫ λ (r ′)dl ′ =
C′
∞
∞
λ0
⎛ z′ ⎞
dz′ =λ0 a tan −1 ⎜ ⎟ = λ0πa
′
⎝ a ⎠ −∞
z ′ =−∞ 1 + ( z a )
∫
2
d) Calcular la carga total de una distribución volumétrica indefinida de
densidad:
r
Q
ρ (r ′) = − 3 e−2r′ a
πa
dv′ = r ′2 senθ ′dr ′dθ ′dϕ ′
2π
π
∞
∞
Q −2 r ′ a 2
4πQ
e
r ′ senθ ′dr ′dθ ′dϕ ′ = − 3 ∫ e −2 r′ a r′2 dr ′ =
3
π
πa r′=0
a
′= 0 r ′= 0
∫ ∫ ∫
ϕ θ
q=−
′=0
∞
⎡
4Q ⎛ a ⎞
a 2 ⎛ 2r ′ ⎞⎤
= − 3 ⎜ − ⎟e−2 r′ a ⎢r ′2 − ⎜ −
− 1⎟⎥ = −Q
a ⎝ 2⎠
2⎝ a
⎠⎦ 0
⎣
Ejercicios
Calcular la densidad volumétrica de carga y la carga total de una
distribución superficial uniforme de densidad σ sobre una esfera de
radio R
ρ = σ δ (r − R ) (hr = 1)
q = ∫∫∫ ρdv =
V
2π
π R +ε
∫ ∫ ∫ σδ (r − R)r senθdrdθdϕ = σ (2π )(2)R
ϕ θ
2
2
= 4πR 2σ
=0 =0 r =0
Calcular la densidad volumétrica de carga y la carga total de una
distribución lineal uniforme de densidad λ sobre una circunferencia de
de radio R en el plano z=0
Cilíndricas
ρ =λ
δ (ρ − R )δ (z )
(h
ρ
= 1)(hz = 1)
Esféricas
q = ∫∫∫ ρdv =
V
07/01/2009
q = ∫∫∫ ρdv =
V
ρ = λδ (r − R )
2π
0 +ε
R +ε
∫ ∫ ∫ λδ (ρ − R)ρdρdϕdz = λ (2π )(1)R = 2πRλ
ϕ =0 z =0−ε ρ = R −ε
δ (θ − π 2)
(hθ = r )
(
δ θ − π 2) 2
∫ ∫ ∫ λδ (r − R) r r senθdrdθdϕ = λ (2π )(sen(π 2))R = 2πRλ
2π
π
R +ε
ϕ =0 θ =0 r = R −ε
EyM 2-9
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Contenido
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Introducción.
Modelo macroscópico y densidad de carga.
Carga puntual y densidades superficiales y lineales de carga.
Intensidad de corriente.
Densidades volumétricas y superficiales de corriente.
Conservación de la carga. Ecuación de continuidad.
Ecuaciones de Maxwell. Fuentes rotacionales del campo EM.
Fuentes de tipo divergencia del campo EM.
Forma integral de las ecuaciones de Maxwell.
Relaciones constitutivas de los medios.
Conductividad. Ley de Ohm. Relajación.
Unidades y dimensiones. Sistema Internacional de unidades.
Definición de los campos. Energía EM. Teorema de Poynting.
Condiciones de discontinuidad o de salto.
Ejercicios.
Intensidad de Corriente
La carga en movimiento constituye una corriente eléctrica y el proceso por el
que la carga se transporta se llama conducción. Para ser precisos la intensidad
de corriente I se define como la cantidad de carga que se transporta a través de
dq
una cierta sección por unidad de tiempo:
I=
dt
El sentido en el que se mueve el portador positivo se toma como sentido de la
corriente.
Sobre la naturaleza de la corriente cabe hacer las siguientes precisiones:
a) En un metal, la corriente es transportada completamente por los
electrones mas externos de los átomos, mientras que los iones positivos
pesados permanecen fijos en la estructura cristalina. En condiciones de estado
estacionario los electrones entran por un lado del metal y salen por el otro
produciendo una corriente, pero el metal en conjunto es eléctricamente neutro.
b) En un electrolito la conducción se lleva a cabo tanto por los iones
positivos como por los negativos pero predominará la conducción por el ión
más rápido. Ya que los iones con carga opuesta se mueven en sentidos
opuestos contribuirán a producir corriente en el mismo sentido (como se
deduce de la definición de corriente) .
07/01/2009
EyM 2-10
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Conducción en cuerpos metálicos y
electrolitos
Metales
Electrolitos
Red iónica fija
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
- Electrón libre
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
Cálculo de la Intensidad de Corriente
Sea un medio en el que solo hay un tipo de portadores con carga individual q y
con velocidad común de desplazamiento v.
Vamos a calcular la intensidad de corriente a través de un elemento de área dS’.
Sea N el número de portadores por unidad de volumen.
Entonces en el tiempo dt cada portador recorrerá una distancia vdt así que la
carga dQ que atraviesa dS’ durante el intervalo dt será q veces el número de
r
portadores en el volumen (v dt)·dS’.
r
′
r r
qN
v
dt
d
S
⋅
r
dI =
= Nqv ⋅ dS ′
v dt
+
+
+
dt
r
dS ′
Y si hubiese más de un tipo de portador de carga:
r
r
v dt ⋅ dS ′
r⎤ r
⎡
dI = ⎢∑ N i qi vi ⎥ ⋅ dS ′
⎣ i
⎦
La cantidad entre corchetes tiene dimensiones de corriente por unidad de área
y se llama densidad (volumétrica) de corriente, se mide en Amperios/metro
r
r
cuadrado [A/m2] y se escribe:
La corriente a través de cualquier superficie
finita S’ que corte a las líneas de flujo de J será:
07/01/2009
J = ∑ N i qi vi
i
r
r r
I = ∫∫ J (r ′, t ) ⋅ dS ′
S′
EyM 2-11
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Contenido
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Introducción.
Modelo macroscópico y densidad de carga.
Carga puntual y densidades superficiales y lineales de carga.
Intensidad de corriente.
Densidades volumétricas y superficiales de corriente.
Conservación de la carga. Ecuación de continuidad.
Ecuaciones de Maxwell. Fuentes rotacionales del campo EM.
Fuentes de tipo divergencia del campo EM.
Forma integral de las ecuaciones de Maxwell.
Relaciones constitutivas de los medios.
Conductividad. Ley de Ohm. Relajación.
Unidades y dimensiones. Sistema Internacional de unidades.
Definición de los campos. Energía EM. Teorema de Poynting.
Condiciones de discontinuidad o de salto.
Ejercicios.
Densidad Volumétrica de Corriente
Una distribución de corriente se caracteriza pues por un campo vectorial que
especifica en cada punto no solo la intensidad del flujo de corriente sino
también su dirección.
Se define la densidad volumétrica de corriente en un punto como un vector J
dirigido según la línea de flujo de corriente que pasa por el punto, de magnitud
igual a la carga que en la unidad de tiempo cruza la unidad de área de la
superficie ortogonal a la línea de flujo en un entorno del punto. El sentido es el
de movimiento de las cargas positivas.
I
S’
∆q
r
∆t = lim ∆I = dI
J = lim
∆S →0 ∆S
∆S →0 ∆S
dS
r r
J = J aˆ j
â j vector unitario tangente a la trayectoria de las
cargas en el sentido de movimiento de las
positivas.
r
r r
I = ∫∫ J (r ′, t ) ⋅ dS ′
S′
07/01/2009
EyM 2-12
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Ejercicio
Una corriente de intensidad I se distribuye uniformemente por un hilo
conductor cilíndrico de longitud infinita y radio R. Determinar su densidad
volumétrica de corriente.
z
r
J
r
dS
r
J = J zˆ
r r
I = ∫∫J ⋅ dS = ∫∫ J zˆ⋅ zˆdS= Jπ R2
S
S
r I
J = 2 zˆ
πR
R
Corriente Superficial
Imaginemos ahora una densidad de corriente cuyas líneas de flujo no estén
distribuidas en un volumen sino sobre una superficie laminar. Por tanto, al igual
que se definían densidades superficiales de carga, se podrá definir una densidad
superficial de corriente JS .
Se define la densidad superficial de corriente en un punto como un vector JS
dirigido según la línea de flujo de corriente que pasa por el punto, de magnitud
igual a la carga que en la unidad de tiempo cruza la unidad de longitud de la
línea ortogonal a la línea de flujo en un entorno del punto. El sentido es el de
movimiento de las cargas positivas.
∆q
r
J S = lim
∆l ′→0
n$
∆t = lim ∆I = dI
∆l ′→0 ∆l ′
∆l ′
dl ′
Si la corriente superficial circula por la superficie
r r
ru´irpuede
definirse una densidad volumétrica como J (r ′) = J S (r ′)δ ui − ui,
(
S’
dl’
)
La corriente total será
C’
r
r r
⎡ r δ (ui − ui′ )
⎤
I = ∫∫ J (r ′) ⋅ dS ′ = ∫ ⎢ ∫ J S
hi dui ⎥ ⋅ nˆh j du j =
′
S
uj
u
hi
⎣ i
⎦
r r
= ∫ J S (r ′) ⋅ nˆdl ′
C′
07/01/2009
EyM 2-13
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Ejercicio
Sobre una semiesfera (r=a, z>0) se tiene una distribución volumétrica de
carga ρ constante. Si a dicha distribución se le hace girar a una velocidad
angular ω constante alrededor del eje z, determinar: a) la densidad de
corriente generada, b) la corriente total.
a) Aparecerá
una densidad volumétrica de corriente J. La corriente total será
r
J ⋅ dl dl φˆ por lo que la densidad superficial de corriente en módulo será:
I =∫
∫
r
lr lθ
z
θ
ω
r
v
θ
r
ϕ
x
dQ
dI
dt = ρdV = ρdlr dlθ dlϕ = ρ dlϕ = ρv
=
dtdlr dlθ
dt
dlr dlθ dlr dlθ dtdlr dlθ
r
r
J = ρv = ρvϕˆ = ρωr sin θϕˆ
r
J =
b) La corriente total será:
y
I =∫
∫
a
π
2
r =0 θ =0
=
ρωa 3
3
r
a
J ⋅ dlr dlθ ϕˆ = ∫
π
∫ (ρωr sin θϕˆ )⋅ϕˆdrrdθ =
2
r =0 θ =0
(− cosθ ) 0
π
2
=
ρωa 3
3
Ejercicio
Calcule la densidad de corriente y la corriente asociada a un anillo de carga
superficial ρs cul/m2 con radio a y altura h, que rota a una velocidad angular ω0
rad/s
z
ω0 rad/s
a
ρs cul/m2
h
r
r
J s = ρ s v = ρ s aω0ϕˆ A / m
r
⎧Superficie : ϕ = cte⎫ h
I = ∫ J s ⋅ nˆ dl = ⎨
⎬ = ∫0 J s dz = ρ s aω0 h
C
nˆ = ϕˆ
⎩
⎭
07/01/2009
A
EyM 2-14
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Ejercicio
Calcule la densidad de corriente en régimen estacionario que aparece sobre la
superficie de una esfera de radio R centrada en el origen del sistema de la figura
cuando por el hilo situado en el eje z de la figura circula una corriente I que
intersecta a la superficie esférica.
z
I
x
R
y
Por la simetría esférica de la figura, la densidad de corriente en la superficie de
la esfera debe ser de la forma
r
J = J (θ )θˆ
Para que la corriente total sea I
J (θ )2πR sin (θ ) = I
⇒
J (θ ) = I 2πR sin (θ )
Ejercicio
La figura muestra una corriente estacionaria de intensidad I0 que primero circula
por un hilo de espesor despreciable y después por la superficie lateral de un
cono conductor cuyo eje coincide con el hilo. El ángulo del eje con la generatriz
es α. Calcule cuánto vale el módulo de la densidad de corriente superficial en el
cono en función de z.
07/01/2009
EyM 2-15
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Contenido
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Introducción.
Modelo macroscópico y densidad de carga.
Carga puntual y densidades superficiales y lineales de carga.
Intensidad de corriente.
Densidades volumétricas y superficiales de corriente.
Conservación de la carga. Ecuación de continuidad.
Ecuaciones de Maxwell. Fuentes rotacionales del campo EM.
Fuentes de tipo divergencia del campo EM.
Forma integral de las ecuaciones de Maxwell.
Relaciones constitutivas de los medios.
Conductividad. Ley de Ohm. Relajación.
Unidades y dimensiones. Sistema Internacional de unidades.
Definición de los campos. Energía EM. Teorema de Poynting.
Condiciones de discontinuidad o de salto.
Ejercicios.
Ecuación de Continuidad
La densidad de corriente J y la densidad de carga ρ no son cantidades
independientes, sino que están relacionadas en cada punto por una ecuación
diferencial llamada ecuación de continuidad.
La ecuación de continuidad expresa la ley de conservación de la carga, o
sea, el hecho de que la carga ni se crea ni se destruye a nivel macroscópico.
Consideremos una superficie S’ cerrada. Tomemos el convenio habitual de
que el sentido de la normal es hacia el exterior del volumen V’ encerrado por
S’.
El flujo de J a través de S’ mide la disminución de la carga en el interior de S’.
Por tanto puede escribirse:
r
r
r
r
dQ
d
∫∫ J (r ′, t )⋅ dS ′ = − dt = − dt ∫∫∫ ρ (r ′, t )dV ′
r
J
dq
O
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r
r
dV
S′
n$
V’
V′
Si S’ no cambia con t entonces:
r
r
r r
r
d
∂ρ (r , t )
ρ (r , t )dV = − ∫∫∫ ′
dV
S’ ∫∫S ′ J (r , t ) ⋅ dS = −
V
∂t
dt ∫∫∫V ′
EyM 2-16
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Ecuación de Continuidad
Si aplicamos el teorema de Gauss podemos reescribir el primer miembro de la
ecuación anterior como:
r
r
r
∫∫ J (r ′, t ) ⋅ dS ′
S′
=
Gauss
∫∫∫
V′
r r
∇ ⋅ J (r ′, t )dV ′
Por tanto podrá reescribirse la ecuación como:
r
∂ρ (r , t ) ⎤
⎡ r r
∫∫∫V ′ ⎢⎣∇ ⋅ J (r , t ) + ∂t ⎥⎦ dV ′ = 0
Dado que el volumen V’ es arbitrario la ecuación anterior implica que la función
subintegral sea idénticamente nula. Por tanto:
r
r r
∂ρ (r , t )
∇ ⋅ J (r , t ) +
=0
∂t
Contenido
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07/01/2009
Introducción.
Modelo macroscópico y densidad de carga.
Carga puntual y densidades superficiales y lineales de carga.
Intensidad de corriente.
Densidades volumétricas y superficiales de corriente.
Conservación de la carga. Ecuación de continuidad.
Ecuaciones de Maxwell. Fuentes rotacionales del campo EM.
Fuentes de tipo divergencia del campo EM.
Forma integral de las ecuaciones de Maxwell.
Relaciones constitutivas de los medios.
Conductividad. Ley de Ohm. Relajación.
Unidades y dimensiones. Sistema Internacional de unidades.
Definición de los campos. Energía EM. Teorema de Poynting.
Condiciones de discontinuidad o de salto.
Ejercicios.
EyM 2-17
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Ecuaciones de Maxwell
Se denomina punto ordinario del espacio a todo aquel en un entorno del cual las
propiedades físicas del medio son continuas.
En una región del espacio existe un campo electromagnético cuando las
acciones y efectos mutuos entre una ρ y una J, en todo punto ordinario del
mismo, estén descritos por cuatro campos vectoriales:
E (Intensidad de campo Eléctrico),
D (Inducción Eléctrica),
B (Inducción Magnética) y
H (Intensidad de campo Magnético)
tales que cumplen las siguientes relaciones, denominadas ecuaciones de
Maxwell:
r
r
r r
∂B(r , t )
∇ × E (r , t ) = −
∂t
r r
r r
r r
∂D(r , t )
∇ × H (r , t ) = J (r , t ) +
∂t
Las ecuaciones anteriores establecen las fuentes de tipo rotacional del
campo E-M.
Contenido
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Introducción.
Modelo macroscópico y densidad de carga.
Carga puntual y densidades superficiales y lineales de carga.
Intensidad de corriente.
Densidades volumétricas y superficiales de corriente.
Conservación de la carga. Ecuación de continuidad.
Ecuaciones de Maxwell. Fuentes rotacionales del campo EM.
Fuentes de tipo divergencia del campo EM.
Forma integral de las ecuaciones de Maxwell.
Relaciones constitutivas de los medios.
Conductividad. Ley de Ohm. Relajación.
Unidades y dimensiones. Sistema Internacional de unidades.
Definición de los campos. Energía EM. Teorema de Poynting.
Condiciones de discontinuidad o de salto.
Ejercicios.
EyM 2-18
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Divergencia de los vectores de Campo
Las fuentes tipo divergencia del campo pueden obtenerse de las ecuaciones de
Maxwell (fuentes rotacionales).
Se ha visto en los ejercicios que la divergencia del rotacional de cualquier
campo vectorial es idénticamente cero. Calculamos la divergencia de los dos
miembros de la primera ecuación de Maxwell:
r r
⎛ ∂B(r , t ) ⎞
⎜
⎟
0 = −∇ ⋅ ⎜
⎟
t
∂
⎝
⎠
r r
r r
⎛ ∂B (r , t ) ⎞
⎜
⎟
∇ ⋅ ∇ × E (r , t ) = −∇ ⋅ ⎜
⎟
∂
t
⎝
⎠
(
)
En los puntos ordinarios B y sus derivadas son continuas por lo que
podemos aplicar el teorema de Schwarz e intercambiar el orden de derivación
r
respecto al espacio y al tiempo. Por tanto:
∂
− ∇⋅B = 0
∂t
r
E integrando respecto al tiempo:
∇ ⋅ B = cte en el tiempo
(
)
La evidencia experimental indica que el valor de la constante en el tiempo es
nula (las líneas de B son cerradas y no hay fuentes ni sumideros) por lo que:
r
∇⋅B = 0
Divergencia de los vectores de Campo
Aplicando la divergencia a los dos miembros de la segunda ecuación se obtiene:
r r
r r
r r
r ∂
r
⎛ ∂D (r , t ) ⎞
⎟
∇ ⋅ ∇ × H (r , t ) = ∇ ⋅ J (r , t ) + ∇ ⋅ ⎜⎜
0 = ∇⋅J +
∇⋅D
⎟
∂t
r
⎝ ∂t ⎠
∂
∇⋅D − ρ = 0
r
∂ρ
∂t
Si se tiene en cuenta la ecuación de continuidad: ∇ ⋅ J = −
∂t
r
Integrando respecto al tiempo: ∇ ⋅ D − ρ = cte en el tiempo
(
)
(
)
(
)
La evidencia experimental indica que la cte en el tiempo es nula (Las líneas de
r
D salen de las cargas) por lo que:
∇⋅D = ρ
Por tanto no existen fuentes de tipo divergencia de la Inducción magnética, ésta
es solenoidal y sus líneas de campo son cerradas.
Las fuentes tipo divergencia de la Inducción eléctrica son las densidades
volumétricas de carga, por lo que las líneas de inducción eléctrica son
abiertas, empezando y terminando en las cargas.
07/01/2009
EyM 2-19
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Contenido
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Introducción.
Modelo macroscópico y densidad de carga.
Carga puntual y densidades superficiales y lineales de carga.
Intensidad de corriente.
Densidades volumétricas y superficiales de corriente.
Conservación de la carga. Ecuación de continuidad.
Ecuaciones de Maxwell. Fuentes rotacionales del campo EM.
Fuentes de tipo divergencia del campo EM.
Forma integral de las ecuaciones de Maxwell.
Relaciones constitutivas de los medios.
Conductividad. Ley de Ohm. Relajación.
Unidades y dimensiones. Sistema Internacional de unidades.
Definición de los campos. Energía EM. Teorema de Poynting.
Condiciones de discontinuidad o de salto.
Ejercicios.
Forma Integral de las Ec. de Maxwell
Considerando una superficie regular S apoyada sobre un contorno cerrado C,
puede calcularse el flujo sobre S de los dos miembros de la primera
r
ecuación:
r r
⎛ ∂B ⎞ r
n$
⎜
⎟
∫∫ (∇ × E )⋅ dS = ∫∫ ⎜⎝ − ∂t ⎟⎠ ⋅ dS
S
dS
S
C
S
Aplicando el teorema de Stokes al primer
r r
r r
miembro:
∫∫ (∇ × E )⋅ dS = ∫ E ⋅ dl
S
C
En el caso de que la superficie S no se mueva (no cambie con el tiempo) puede
r
reescribirse el segundo miembro como:
⎛ ∂B ⎞
r r
r r
∂
∂Φ B
B
⋅ dS = −
Por tanto: ∫ E ⋅ dl = −
∫∫
C
S
∂t
∂t
S
que es la Ley de Inducción de Faraday:
f .e.m. = −
07/01/2009
r
∂
r
r
∫∫ ⎜⎜⎝ ∂t ⎟⎟⎠ ⋅ dS = ∂t ∫∫ B ⋅ dS =
S
∂Φ B
∂t
∂Φ B
∂t
EyM 2-20
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Forma Integral de las Ec. de Maxwell
Considerando de nuevo una superficie regular S apoyada sobre un contorno
cerrado C, puede calcularse el flujo sobre S de los dos miembros de la
r
segunda ecuación:
r
r
r r
⎛ ∂D ⎞ r
n$
⎜
⎟ ⋅ dS
∇ × H ⋅ dS = J ⋅ dS +
∫∫ (
)
S
dS
∫∫
∫∫ ⎜⎝ ∂t ⎟⎠
S
S
Aplicando el teorema de Stokes al primer
r
r r
r
miembro:
S
∫∫ (∇ × H )⋅ dS = ∫ H ⋅ dl
C
S
C
En el caso de que la superficie S no se mueva (no cambie con el tiempo) puede
reescribirse el segundo término del segundo miembro como:
r
r r
⎛ ∂D ⎞ r ∂
∫∫S ⎜⎜⎝ ∂t ⎟⎟⎠ ⋅ dS = ∂t ∫∫SD ⋅ dS
Por tanto:
r r
r r
∂
H
⋅
d
l
=
I
+
D
⋅ dS
∫C
∂t ∫∫S
que es la Ley de Ampere generalizada.
Forma Integral de las Ec. de Maxwell
Si se considera ahora una superficie regular cerrada S que encierra un
volumen V y se integra en dicho volumen la ecuación de la divergencia de la
r
inducción eléctrica D se obtiene:
∫∫∫ ∇ ⋅ DdV = ∫∫∫ ρdV
r
D
dV
V
y aplicando el teorema de Gauss:
r
dS
V
V
n$
S
r
∫∫ D ⋅ dS = ∫∫∫ ρdV = Q
S
V
que es la Ley de Gauss que indica que el flujo total
de D sobre una superficie cerrada S es igual a la
carga total encerrada por dicha superficie.
De forma análoga, considerando la ecuación de la divergencia de la
inducción magnética B se obtiene:
r
∇
⋅
B
∫∫∫ dV =
V
Gauss
r r
B
∫∫ ⋅ dS = 0
S
que indica que el flujo total de B sobre una superficie cerrada es cero, o lo
que es lo mismo, que no existen cargas magnéticas que puedan crear el
campo.
07/01/2009
EyM 2-21
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Contenido
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Introducción.
Modelo macroscópico y densidad de carga.
Carga puntual y densidades superficiales y lineales de carga.
Intensidad de corriente.
Densidades volumétricas y superficiales de corriente.
Conservación de la carga. Ecuación de continuidad.
Ecuaciones de Maxwell. Fuentes rotacionales del campo EM.
Fuentes de tipo divergencia del campo EM.
Forma integral de las ecuaciones de Maxwell.
Relaciones constitutivas de los medios.
Conductividad. Ley de Ohm. Relajación.
Unidades y dimensiones. Sistema Internacional de unidades.
Definición de los campos. Energía EM. Teorema de Poynting.
Condiciones de discontinuidad o de salto.
Ejercicios.
Relaciones constitutivas de los medios
Las ecuaciones de Maxwell establecen dos relaciones independientes entre
los vectores del campo electromagnético.
Para tener un sistema de ecuaciones que permitan obtener los campos se
requieren dos ecuaciones adicionales entre los vectores de campo.
Las relaciones adicionales del modelo expresan la influencia del medio en las
relaciones entre los campos y se denominan relaciones constitutivas del
medio.
La forma general de estas relaciones es:
( )
( )
r r r r
D = D E, B
r r r r
H = H E, B
Cuando los campos no son muy intensos estas relaciones se simplifican
de forma que D es solo función de E y H solo de B.
()
()
r r r
D=DE
r r r
H =H B
07/01/2009
EyM 2-22
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Relaciones constitutivas de los medios
La naturaleza de estas relaciones depende de las características del medio.
A este respecto los medios se clasifican en:
• isótropos o anisótropos,
• homogéneos o inhomogéneos
•lineales o no lineales.
Un medio es homogéneo si sus propiedades físicas son iguales en todos sus
puntos.
Un medio es isótropo si las propiedades físicas del mismo son iguales en
todas las direcciones de observación.
El medio es lineal si las relaciones constitutivas correspondientes lo son.
Esto último implica p.e. que D sea función de E pero no de E2, E3 etc.
Relaciones constitutivas de los medios
Espacio Vacío (lineal, isótropo y homogéneo): Los vectores solo
difieren en una constante
Los valores de las constantes dependen del sistema de
unidades adoptado. Se denominan permitivad dieléctrica y
permeabilidad magnética del vacío respectivamente.
r
r
D = ε0E
r 1 r
H=
B
µ0
Medios Isótropos: D es paralelo a E y H es paralelo a B siempre.
Homogéneos: las relaciones entre los vectores son
constantes en todos los puntos.
Las relaciones ke = εr= ε / ε0 y km =µr=µ / µ0 son
independientes del sistema de unidades empleado y
se denominan permitividad dieléctrica relativa y
permeabilidad magnética relativa. Dependen solo del
medio
Inhomogeneos: las relaciones entre los vectores, la
permitivad y permeabilidad, son función del punto
considerado.
07/01/2009
r
r
D = εE
r 1 r
H= B
µ
r
r r
D = ε (r )E
r
1 r
H= r B
µ (r )
EyM 2-23
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Relaciones constitutivas de los medios
Medios Anisótropos: Los vectores D y E y B y H son solo paralelos a lo largo
de ciertas direcciones. Puede en general suponerse que cada componente
de D es función de las componentes de E.
Dx = ε 11 E x + ε 12 E y + ε 13 E z
D y = ε 21 E x + ε 22 E y + ε 23 E z
Dz = ε 31 E x + ε 32 E y + ε 33 E z
Las componentes εjk lo son de un tensor.
r
r
D = εE
r
r
B = µH
Homogéneos: los tensores ε y µ son constantes.
r
r r
D = ε (r )E
r
r r
B = µ (r )H
Inhomogéneos: las componentes de los tensores
son función del punto considerado.
Polarización y Magnetización
En general los procesos electromagnéticos internos en los medios
materiales están tan equilibrados que de por si no crean campo, a nivel
macroscópico.
La excepción son los materiales ferromagnéticos cuyos campos se generan
precisamente por procesos internos espontáneos.
Bajo la acción de campos externos se altera el equilibrio de los campos
internos.
Se produce una reorientación de los átomos y moléculas lo que produce un
campo adicional que se superpone al exterior aplicado.
Este fenómeno se denomina polarización del medio.
Un proceso análogo en el campo magnético exterior se denomina magnetización.
-
07/01/2009
+
+
+
-
+
+
+
-
+
+
+
-
+
+
+
-
+
+
+
-
+
+
+
r
E
-
+ nucleo
electron
-
+
+
+
+
-
+
+
-
+
+
r
B
EyM 2-24
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Polarización y Magnetización
Sea E la intensidad de campo eléctrico. La inducción eléctrica en el vacío será:
r
r
D0 = ε 0 E
Pero en un medio material se observa una inducción distinta D de manera que
se define la polarizabilidad o polarización eléctrica del medio P como:
r r r
P = D − D0
Por tanto la polarizabilidad tiene la misma dimensión que la inducción
eléctrica.
Del mismo modo se introduce el concepto de magnetización o polarización
magnética. Si para una intensidad H la inducción en el vacío es
r
r
B0 = µ 0 H
y en el medio material es B, llamamos magnetización a la diferencia
r r r
M = B − B0
La magnetización tiene pues la misma dimensión que la inducción magnética.
Susceptibilidad
En general los procesos de polarización y magnetización transcurren
independientemente, es decir el primero no depende del campo magnético ni
el segundo del campo eléctrico, por lo que:
()
()
r r r
P=PE
r
r r
M =M B
En los medios isótropos los vectores P, E y D (asi como los M, H y B) son
colineales (paralelos) por lo rque se puede
escribir
r
P = χ eε 0 E
r
r
M = χ m µ0 B
donde los coeficientes adimensionales χe y χm se denominan susceptibilidad
eléctrica y susceptibilidad magnética del medio.
Pueden escribirse por tanto las relaciones:
ε = ε 0 (1 + χ e ) = ε r ε 0
µ = µ0 (1 + χ m ) = µ r µ0
07/01/2009
EyM 2-25
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Contenido
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Introducción.
Modelo macroscópico y densidad de carga.
Carga puntual y densidades superficiales y lineales de carga.
Intensidad de corriente.
Densidades volumétricas y superficiales de corriente.
Conservación de la carga. Ecuación de continuidad.
Ecuaciones de Maxwell. Fuentes rotacionales del campo EM.
Fuentes de tipo divergencia del campo EM.
Forma integral de las ecuaciones de Maxwell.
Relaciones constitutivas de los medios.
Conductividad. Ley de Ohm. Relajación.
Unidades y dimensiones. Sistema Internacional de unidades.
Definición de los campos. Energía EM. Teorema de Poynting.
Condiciones de discontinuidad o de salto.
Ejercicios.
Ley de Ohm. Conductividad
Si hay cargas libres en el seno del campo electromagnético existirá una
corriente de conducción que en cada punto se caracterizará por el vector
densidad de corriente J.
Experimentalmente se observa que la densidad de corriente que se establece
en un cierto medio material como resultado de un campo eléctrico es
proporcional al propio campo eléctrico. Esto se expresa mediante la relación:
r
r
J =σ E
que se conoce como Ley de Ohm.
A σ se le conoce como conductividad del medio.
Formalmente la conductividad σ del medio material caracteriza a éste frente a
los fenómenos de conducción al igual que ε y µ lo caracterizan frente a
fenómenos de polarización y magnetización respectivamente.
Esa es la razón por la cual a la ley de Ohm junto con las ecuaciones D = D(E)
y B = B(H) se les llame ecuaciones constitutivas o de estado.
07/01/2009
EyM 2-26
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Relajación
Teorema: En una región del espacio con una conductividad no nula ni
infinita no puede existir una distribución de carga permanentemente.
Este teorema es consecuencia de las leyes de Ohm y de conservación de carga.
A partir de la ecuación de continuidad y teniendo en cuenta la ley de Ohm:
r ∂ρ
⎫
r ∂ρ
∇⋅ J +
= 0⎪
⇒ ∇⋅ σ E +
=0
t
∂
⎬
r
r
∂t
⎪
J = σE ⎭
( )
Si el medio es homogéneo σ y ε serán constantes por lo que:
∂ρ
⎫
= 0 ⎪ ∂ρ σ
+ ρ =0
∂ tr
⎬⇒
r
∂t ε
∇ ⋅ D = ε ∇ ⋅ E = ρ ⎪⎭
r
σ ∇⋅E +
Integrando respecto al tiempo se obtiene:
r
r
r
⎛ σ ⎞
⎛ t⎞
t ⎟ = ρ 0 (r ) exp⎜ − ⎟
⎝ ε ⎠
⎝ τ⎠
ρ (r , t ) = ρ 0 (r ) exp⎜ −
donde ρ0 es la densidad de carga en t=0 y τ = ε/σ se denomina tiempo de
relajación.
Caracterización de los Materiales
El tiempo de relajación es el tiempo transcurrido hasta que la densidad de
carga cae a 1/e su valor inicial.
La carga disminuye en el interior de la región, apareciendo en la
superficie que limita esta con un medio con σ = 0, donde τ = ∞ .
Las constantes ε, µ y σ de los materiales dependen generalmente de la
temperatura y de la frecuencia de los campos alternos con los que se trabaje.
También pueden depender de la presión, especialmente si se trata de gases.
Siendo εr y µr las permitividades y permeabilidades relativas de las sustancias,
para el vacío se tiene que εr = 1 mientras que para el aire εr =1,0006 ≅ 1. Ocurre
que para cualquier material εr > 1 siempre. El rango de variación de la mayoría
de los materiales con aplicaciones electromagnéticas varía entre 1 < εr < 10. En
los buenos conductores εr = 1 al igual que en el vacío.
Según el valor de µr los medios se dividen en diamagnéticos (µr < 1) o
paramagnéticos (µr > 1) pero en ambas clases de materiales con valores muy
cercanos a la unidad. Si µr >> 1 el material se llama ferromagnético. Los
materiales ferromagnéticos, además, no son lineales.
07/01/2009
EyM 2-27
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Caracterización de los Materiales
El tiempo de relajación nos sirve para caracterizar a los materiales frente al
proceso de conducción. Según esto la materia se divide en conductores de
electricidad y aislantes. Los conductores son sustancias que, como los metales,
contienen gran cantidad de carga libre (electrones) que son los responsables del
proceso de conducción.
Para los conductores se cumple que τ << 1 o bien que σ >> ε lo que quiere decir
que las cargas se difunden rápidamente hacia la superficie.
Los aislantes o (dieléctricos) son sustancias en que los electrones están
fuertemente ligados a las moléculas constituyentes de forma que el proceso de
conducción está muy restringido (y predomina mas bien el proceso de
polarización).
En los aislantes resulta que τ >> 1 o bien que ε >> σ, y las cargas se difunden
con mucha lentitud.
Aún hay otros materiales en que ε y σ son comparables y por tanto τ ≅ 1, tal es
el caso de los semiconductores y los electrolitos. En estos materiales las
propiedades son intermedias entre conductores y aislantes.
Caracterización de los Materiales
A título comparativo se da la siguiente tabla de valores de σ, ε, µ para algunos
materiales.
εr
τ
MATERIAL
µr
Agua destilada
Tierra arenosa
Cuarzo fundido
Polietileno
Teflon
Mica
Cobre
Plata
Aluminio
Hierro
Ferrita Ni-Zn
Mumetal
1
1
1
1
1
1
0.9999
0.9999
1.0002
5.5
2.5
100
81
3.45
3.8
2.26
2.04
7
1
1
1
1
1
1
10-6 s
10 días
1.5 10-19 s
1.3 10-19 s
2.5 10-19 s
Se puede ver que µr ≅ 1 para todos los materiales excepto los
ferromagnéticos y que εr = 1 para los buenos conductores.
07/01/2009
EyM 2-28
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Ejercicio
La figura muestra la variación con el tiempo de la densidad volumétrica de
carga para diversos valores de σ. Escriba los valores extremos de σ
correspondientes
ρ0
σ =0
σ
σ= ∞
t
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07/01/2009
Introducción.
Modelo macroscópico y densidad de carga.
Carga puntual y densidades superficiales y lineales de carga.
Intensidad de corriente.
Densidades volumétricas y superficiales de corriente.
Conservación de la carga. Ecuación de continuidad.
Ecuaciones de Maxwell. Fuentes rotacionales del campo EM.
Fuentes de tipo divergencia del campo EM.
Forma integral de las ecuaciones de Maxwell.
Relaciones constitutivas de los medios.
Conductividad. Ley de Ohm. Relajación.
Unidades y dimensiones. Sistema Internacional de unidades.
Definición de los campos. Energía EM. Teorema de Poynting.
Condiciones de discontinuidad o de salto.
Ejercicios.
EyM 2-29
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Unidades y Dimensiones
La realización de medidas exige la necesidad de fijar unidades para realizarlas.
La dificultad del establecimiento de unidades y dimensiones en
Electromagnetismo surge del hecho, a diferencia de lo que ocurre p.e. en
Mecánica, de que en la formulación de las leyes aparecen constantes
fundamentales con dimensiones. Así de las ecuaciones de Maxwell se deduce
que las magnitudes ε0 y µ0 están relacionadas como:
1
µ0ε 0 =velocidad luz vacio ≅ 3 ×108 m seg
Por tanto no solo existe una relación numérica entre µ0 y ε0 sino también
dimensional ya que 1 µ 0ε 0 ha de tener dimensiones de velocidad. El valor
de esta velocidad que hemos adelantado es precisamente el de la luz en el
vacío. Las primeras medidas realizadas para determinar esta relación lo fueron
por Weber y Kohlrausch y significaron un puente de unión entre la luz y el
electromagnetismo.
Los fenómenos electromagnéticos van ligados a efectos mecánicos y térmicos
tales como fuerzas, disipación de potencia, etc. A este respecto son bien
conocidas las fuerzas entre dos cargas q1 y q2 y por unidad de longitud entre
dos corrientes paralelas I1 e I2, separadas r en el vacío:
F=
1
q1q2
4πε 0 r 2
F = µ 0 I1 I 2
l 2π r
Unidades y Dimensiones
En vista a las relaciones anteriores pueden seguirse dos caminos:
1) Se escoge un valor cómodo y sin dimensiones para ε0 o para µ0. El otro se
obtiene de c = 1 µ 0ε 0 . Y de las expresiones de la fuerza se obtienen las
dimensiones de q o I según los casos. Con esta forma de proceder se
originaron los sistemas de unidades electrostático y electromagnético según
se escogiese el valor fácil para ε0 o µ0 respectivamente.
2) Se escogen dimensiones para ε0 y µ0 con lo que queda un grado de
libertad para elegir una magnitud electromagnética q o I como fundamental,
junto con las magnitudes mecánicas.
El segundo camino es el adoptado internacionalmente por acuerdo de la
Comisión Electrotécnica Internacional de 1935. Allí se adoptó la carga como
magnitud fundamental y el Culombio como unidad para medirla. Con ello se
adopta en definitiva el sistema MKSQ.
Además no suelen referirse las unidades directamente a las fundamentales
sino que se van definiendo unidades prácticas de utilización técnica con
referencia a otras ya derivadas.
07/01/2009
EyM 2-30
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Unidades y Dimensiones
La relación entre las unidades de carga y de corriente es inmediata ya que:
Por tanto:
1 Amperio =
1 Culombio
1 segundo
I = dQ dt
Para µ0 se ha adoptado el valor µ0 = 4π 10-7 , siendo sus unidades:
F ][r ] Kg ⋅ m
[
seg
[µ ] = r =
0
[I ]
2
cul
2
2
=
seg 2
Kg ⋅ m
cul 2
1
1
=
10 −9
−7
c µ 0 9 ⋅10 ⋅ 4π ⋅10
36π
1
cul 2 ⋅ seg 2
[ε 0 ] = 2 1 =
=
2
Kg ⋅ m 3
c [µ 0 ] ⎡ m ⎤ ⎡ Kg ⋅ m ⎤
⎢ seg ⎥ ⎢ cul 2 ⎥
⎦
⎣
⎦ ⎣
2
De la ecuación W = I R obtenemos:
[R ] = [W2 ] ⇒ 1Ω = 1Wat 2
I
1Amp
1 m mho
1 l
De la ecuación R =
obtenemos: 1 unidadσ =
=
= Siemens
Ω m2
m
σ S
Inmediatamente se obtiene para ε0 :
ε0 =
1
2
=
16
[ ]
[ ]
Unidades y Dimensiones
De la ecuación V = IR se obtiene:
r r r
De I = ∫∫ J (r ) ⋅ dS se deduce:
S
De la ley de Ohm
r
r
J =σ E
:
1 unidad V = Amp ⋅ Ω = Voltio
r
1 unidad J = Amp 2
m
r Amp
Volt
1 unidad E = 2 Ω ⋅ m =
m
m
dΦ B
:
dt
1 unidad Φ B = Volt ⋅ seg = Weber
r r
r Weber
Por tanto como Φ B = ∫∫ B ⋅ dS : 1 unidad B =
S
m2
r r
r Amp
De la ley de Ampere ∫ H ⋅ dl = I : 1 unidad H =
C
m
r r
r Cul
De la ley de Gauss ∫∫ D ⋅ dS = Q : 1 unidad D = 2
S
m
De la ley de inducción de Faraday
07/01/2009
f .e.m.i. = −
EyM 2-31
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Unidades y Dimensiones
Q
:
V
Cul
1 unidad C =
= Faradio
Volt
Cul Amp
Cul 2
Cul 2
Cul 2
Cul 2 ⋅ seg 2
1 Faradio =
=
=
=
=
Volt Amp Wat ⋅ seg Julio Newton ⋅ m
Kg ⋅ m 2
Teniendo en cuenta la expresión de la capacidad
Y las unidades de ε0 :
C=
⋅ seg 2 Faradio
=
Kg ⋅ m 3
m
[ε 0 ] = cul
2
Weber
= Henrio
Amp
Weber Volt ⋅ seg Wat ⋅ seg Julio ⋅ seg 2 Kg ⋅ m 2
Henrio =
=
=
=
=
Amp
Amp
Amp 2
Cul 2
Cul 2
Kg ⋅ m Henrio
Y las unidades de µ0 : [µ 0 ] =
=
Cul 2
m
Análogamente de la ecuación
Φ B = LI : 1 unidad L =
Contenido
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
07/01/2009
Introducción.
Modelo macroscópico y densidad de carga.
Carga puntual y densidades superficiales y lineales de carga.
Intensidad de corriente.
Densidades volumétricas y superficiales de corriente.
Conservación de la carga. Ecuación de continuidad.
Ecuaciones de Maxwell. Fuentes rotacionales del campo EM.
Fuentes de tipo divergencia del campo EM.
Forma integral de las ecuaciones de Maxwell.
Relaciones constitutivas de los medios.
Conductividad. Ley de Ohm. Relajación.
Unidades y dimensiones. Sistema Internacional de unidades.
Definición de los campos. Energía EM. Teorema de Poynting.
Condiciones de discontinuidad o de salto.
Ejercicios.
EyM 2-32
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Definición de los Campos E y B
Al postular las ecuaciones de Maxwell no se ha dado una definición de los
vectores sino que solo se han establecido las relaciones entre ellos.
Las relaciones entre E y D por una parte y entre H y B por otra han sido fijadas
completamente al determinar los valores y dimensiones de ε0 y µ0. Ello permite
tener que definir solo dos de los vectores, que van a ser E y B.
La naturaleza física de E y B se determina a través de experimentos que
permitan su medida en relación con efectos mecánicos (en particular fuerzas).
Es fácil comprobar que las dimensiones de ρE son las de una fuerza por
unidad de volumen:
Volt Amp ⋅ seg ⋅ Volt Wat ⋅ seg Julios Newton
[ρEr ] = Cul
=
=
=
=
m m
m
m
m
m
3
4
4
4
3
Por tanto si se introduce una densidad de carga ρ, distribuida en un volumen
V, en el seno de un campo E sobre la carga se ejercerá una fuerza:
r
r
F = ∫∫∫ ρEdV
V
Definición de los Campos E y B
Por tanto, al introducir una carga puntual q en el seno de un campo E la fuerza
r
r r
sobre dicha carga será:
r r r
F = ∫∫∫ qδ (r − rq )EdV = qE (rq )
V
Así, si se introduce una carga q en el seno de un campo E sobre aquella
r
aparece una fuerza F de manera que se define E como: r
E = lim
q →0
F
q
donde el límite indica que la carga de prueba debe ser lo más pequeña
posible para que no altere el campo que se desea medir.
Análogamente se puede comprobar que las dimensiones de JxB son de fuerza
por unidad de volumen:
Weber Amp ⋅ Volt ⋅ seg Newton
[Jr × Br ] = Amp
=
=
m
m
m
m
2
2
4
3
Por tanto si consideramos una distribución de corriente J en el seno de un
campo B este ejercerá una fuerza sobre la distribución:
[
]
r
r r
F = ∫∫∫ J × B dV
V
07/01/2009
EyM 2-33
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Definición de los Campos E y B
Si consideramos una carga puntual q que se mueve con velocidad v en el
seno del campo aparecerá una fuerza sobre la carga de valor:
[
]
r
r r r r
r rr
F = ∫∫∫ qδ (r − rq )v × B dV = qv × B(rq )
V
y se puede definir B como el vector que satisface la anterior ecuación. Es
por tanto la fuerza que actúa sobre la unidad de carga debida al movimiento
de la misma.
La fuerza neta que aparece sobre la carga puntual se debe tanto al campo E
como al B , si la carga se mueve, resultando la conocida ecuación de la fuerza
de Lorentz:
r r
r r
r rr
F = Fe + Fm = qE (rq ) + qv × B (rq )
Ejercicio
Calcular la fuerza que ejerce una carga puntual Q en el origen de
coordenadas sobre una distribución superficial de carga uniforme de
densidad ρs0 sobre un casquete esférico de radio r y θ≤θ0. ¿Para que valor
de θ0>0 se anula la fuerza?. Represente su variación con θ0.
v
E
ρ s0 dS
El campo creado por la carga puntual se obtiene
aplicando el Teorema de Gauss a una esfera de radio r
y centro en la carga
r
r
r
∫∫ D ⋅ dS = Q = ∫∫ ε E (r )rˆ ⋅ rˆdS =ε E (r )∫∫ dS =4πε r E (r )
2
0
Q
r
E (r ) =
Esf
Q
4πε 0 r 2
Esf
0
0
Esf
rˆ
La fuerza sobre la carga asociada a la diferencial de superficie será:
r r
Qρ s 0 r 2 senθdθdϕ
dF = E (r )dq =
rˆ
4πε 0 r 2
r
r
Qρ s 0
F = ∫∫ E (r )dq =
S
4πε 0
∫∫ senθdθdϕrˆ
S
Para hacer la integral hay que expresar el vector en componentes cartesianas.
Las integrales de las componentes x e y se anulan por simetría (verificar
haciendo las integrales). La componente z resulta:
07/01/2009
EyM 2-34
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Ejercicio
r
Qρ s 0 2π θ 0
Qρ s 0 sen 2θ
F =
zˆ ∫ ∫ senθ cos θdθdϕ =
zˆ
z
4πε 0 ϕ =0 θ =0
2ε 0
2
r
Qρ s 0 2π θ 0
F =
xˆ
sen 2θ cos ϕdθdϕ =0
x
4πε 0 ∫ϕ =0 ∫θ =0
r
Qρ s 0 2π θ 0
F =
yˆ
sen 2θsenϕdθdϕ =0
y
4πε 0 ∫ϕ =0 ∫θ =0
θ0
=
0
Qρ s 0
sen 2θ 0 zˆ
4ε 0
La fuerza vale cero para θ0 = π
La representación gráfica del módulo de la fuerza es:
sen 2θ 0
F
0
π
θ0
Energía Electromagnética
Debe recordarse que los experimentos de Joule pusieron de manifiesto una
relación entre la corriente que circula por un conductor, la resistencia del
mismo y la potencia que se disipa en forma de calor. El resultado, conocido
como ley de Joule, es:
P = I 2R
d
Conviene formular la ley en forma puntual válida para pequeños elementos.
Consideraremos elementos de volumen un forma de pequeños cilindros
tales que la dirección de la corriente coincida con el eje del cilindro.
r
J
r
∆S
∆l
R=
1 l
1 ∆l
⇒R=
σ S
σ ∆S
Por lo tanto:
∆S
Pd = (J∆S )
r r
Pd
J2 J ⋅J r r
=
=
= J ⋅ E = σE 2
∆V σ
σ
07/01/2009
r
r r r r
r
I = ∫∫ J ⋅ dS = J ⋅ ∆S = J∆S , , J || ∆S
2
1 ∆l J 2
=
∆V
σ ∆S σ
teniendo en cuenta la ley de Ohm
EyM 2-35
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Energía Electromagnética
Consideremos un volumen V rodeado por una superficie S. Suponemos que
en V hay un campo electromagnético, que el medio tiene una conductividad σ
y que de acuerdo con la ley de Joule se disipará una potencia:
r r
Pd = ∫∫∫ J ⋅ EdV
Para definir la energía electromagnética admitimos como
fundamental el principio de conservación de la energía. Aplicado
d
aquí será:
Perdidas = −
V
(Energia )
r
r
r ∂D
Por la 2ª ecuación de Maxwell será: J = ∇ × H −
σ
r ∂t
dV
r r
∂D r
dS
Y por tanto:
n̂
Pd = ∫∫∫ ∇ × H ⋅ EdV − ∫∫∫
⋅EdV
V
r r
r
r Vr ∂t
r
Como además: ∇ ⋅ E × H = H ⋅ ∇ × E − E ⋅ ∇ × H
V
S
r
r r
r r
∂D r
Pd = ∫∫∫ ∇ × E ⋅ HdV − ∫∫∫ ∇ ⋅ E × H dV − ∫∫∫
⋅EdV =
V
V
V ∂t
r
r
r r
∂B r
∂D r
= − ∫∫∫
⋅HdV − ∫∫∫
⋅EdV − ∫∫∫ ∇ ⋅ E × H dV
V ∂t
V ∂t
V
r r r
Llamamos vector de Poynting a: P = E × H
(
(
)
dt
(
(
)
)
)
(
)
Energía Electromagnética
Podemos reescribir la ecuación anterior de la potencia disipada como:
()
r
r
⎛ ∂D r ∂B r ⎞
⎜
E
⋅
+
⋅ H ⎟⎟dV
V ⎜ ∂t
∂t
⎠
⎝
r
r r
Pd + ∫∫∫ ∇ ⋅ P dV = Pd + ∫∫ P ⋅ dS = − ∫∫∫
V
S
r
r
r ∂D r ∂E 1 ∂ r r ∂ ⎛ 1 r r ⎞
Teniendo en cuenta que: E ⋅
= E ⋅ε
=
εE ⋅ E = ⎜ E ⋅ D ⎟
∂t
∂t 2 ∂t
∂t ⎝ 2
⎠
r
r ∂B ∂ ⎛ 1 r r ⎞
y
H⋅
= ⎜ H ⋅ B⎟
∂t ∂t ⎝ 2
⎠
r r
r
r
r
r
d
dW
denominado teorema de Poynting
Pd + ∫∫ P ⋅ dS = − ∫∫∫ 12 E ⋅ D + H ⋅ B dV = −
S
dt V
dt
r r r r
1
donde llamamos energía electromagnética W a: W = ∫∫∫ 2 E ⋅ D + H ⋅ B dV
(
(
)
)
V
(
)
El teorema de Poynting expresa la ley de conservación de la energía
estableciendo que la disminución de energía electromagnética en un región
se debe a disipación de potencia en forma de calor (efecto Joule) y al flujo
hacia el exterior del vector de Poynting. Ello implica transferencia de energía
hacia el exterior asociada al flujo del vector de Poynting.
07/01/2009
EyM 2-36
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Energía Electromagnética
Comprobemos que dimensionalmente la definición anterior de energía
electromagnética es correcta, así como que las dimensiones del vector de
Poynting son de densidad de energía:
Cul
[Er ⋅ Dr dV ] = Volt
m
m m
2
3
= Volt ⋅ Amp ⋅ seg = Wat ⋅ seg = Julios
Weber
[Hr ⋅ BrdV ] = Amp
m
m
m
2
3
= Amp ⋅ Volt ⋅ seg = Wat ⋅ seg = Julios
Amp Wat
[Pr ] = [Er × Hr ] = Volt
=
m m
m
2
Ejercicio
Por el interior de un hilo conductor cilíndrico de radio a y longitud infinita
circula una corriente estacionaria I uniformemente distribuida por su sección
transversal. Obtenga el valor de la densidad volumétrica de corriente y el de la
intensidad de campo eléctrico si la conductividad es σ. Calcule la intensidad
de campo magnético sobre la superficie del cilindro. Calcule el flujo del vector
de Poynting por unidad de longitud sobre la superficie del cilindro. Compruebe
que es igual a las pérdidas que se producen por efecto Joule.
z
r
J
a
r
E
07/01/2009
C
r
H
r
r
r J
I
I
J = J z zˆ = 2 zˆ
E = = 2 zˆ
πa
σ πa σ
r
r r
r r
∂D r
∫CH ⋅ dl = ∫∫SJt ⋅ dS + ∫∫St ∂t ⋅ dS = I
r
r
2π
H = H ϕϕˆ ⎫
I
r
ϕˆ
⎬ ⇒ ∫0 H ϕ adϕ = I ⇒ H =
2πa
dl = adϕϕˆ ⎭
r
r r r J r
I2
(− ρˆ )
P = E×H = ×H =
2π 2 a 3σ
σ
EyM 2-37
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Ejercicio
r r
1
∫∫ P ⋅ dS = FlujoSup + FlujoInf + ∫
I2
(− ρˆ ) ⋅ρˆρdϕdz =
z = 0 ∫ϕ = 0 2π 2 a 3σ
S
= 0+0−
2π
I2
1 1
= −I 2
= −I 2R
2
2
πa σ
σ πa
Y la potencia disipada por efecto Joule es
Pd = I 2 R = I 2
1 1
σ πa 2
r r
d
Pd + ∫∫ P ⋅ dS =0 = − ∫∫∫
S
dt V
1
2
(E ⋅ D + H ⋅ B )dV = − dW
dt
r r
r r
Ya que E, D, H y B no dependen de t no hay variación de W dentro del
cilindro.
Contenido
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
07/01/2009
Introducción.
Modelo macroscópico y densidad de carga.
Carga puntual y densidades superficiales y lineales de carga.
Intensidad de corriente.
Densidades volumétricas y superficiales de corriente.
Conservación de la carga. Ecuación de continuidad.
Ecuaciones de Maxwell. Fuentes rotacionales del campo EM.
Fuentes de tipo divergencia del campo EM.
Forma integral de las ecuaciones de Maxwell.
Relaciones constitutivas de los medios.
Conductividad. Ley de Ohm. Relajación.
Unidades y dimensiones. Sistema Internacional de unidades.
Definición de los campos. Energía EM. Teorema de Poynting.
Condiciones de discontinuidad o de salto.
Ejercicios.
EyM 2-38
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Condiciones de salto (discontinuidad)
Las ecuaciones de Maxwell se postularon en los puntos ordinarios del espacio.
En general se tendrán conductores y dieléctricos de distinta naturaleza por lo
que será frecuente tener discontinuidades con el consiguiente cambio de los
parámetros que caracterizan al medio.
Al haber puntos no ordinarios la validez de las ecuaciones no queda garantizada,
cabe esperar que los campos presenten discontinuidades
Se pretende por tanto formular matemáticamente las discontinuidades que
pueden presentar los vectores del campo electromagnético.
Si bien desde el punto de vista macroscópico cada medio se caracteriza por sus
propios parámetros, y por tanto la superficie de separación implica un cambio
brusco de los mismos, vamos a imaginar una zona de transición en la que los
parámetros cambian rápidamente pero de forma continua.
Con esta idea las Ecs.Maxwell serán validas en dicha región y podremos
averiguar que ocurre en el límite cuando la hacemos desaparecer al comprimirla.
ε 1 µ 1σ 1
(1)
ε 2 µ 2σ 2
ε 1 µ 1σ 1
ε 2 µ 2σ 2
(1)
(2)
(2)
Condiciones de salto de B
Integramos la ecuación
n̂
(1) ε 1 µ 1σ 1
en el volumen diferencial indicado en la figura.
Por convenio la normal a la superficie se
toma desde el medio 1 hacia el medio 2.
Aplicando el teorema de Gauss:
n̂ 2
dS
(2) ε 2 µ 2σ 2
r
∇⋅B = 0
r
r r
r r r
B
⋅
d
S
=
0
=
B
⋅
d
S
+
B
⋅
d
S
1
1
2
2 + Flujo Lateral
∫∫S
r
r
dS1 = dSnˆ1 = dS (− nˆ ) , , dS 2 = dSnˆ 2 = dS (nˆ )
r r
Por lo tanto: B − B ⋅ nˆ dS + FlujoLateral = 0
2
1
∆h
n̂1
(
)
Tomando el límite, haciendo tender ∆h → 0
el volumen tenderá a la superficie de separación.
El flujo lateral tenderá a cero (salvo que B se hiciese infinito).
Por lo tanto:
(B
r
2
)
r
− B1 ⋅ nˆ dS = 0
(B
r
2
r
− B1
)
S
⋅ nˆ = 0
B1N = B2 N
Las componentes normales de B son continuas a través de la superficie de
separación de dos medios.
07/01/2009
EyM 2-39
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Condiciones de salto de D
Integramos la ecuación
n̂
r
∇ ⋅ D = ρ en el volumen diferencial indicado en la figura.
Por convenio la normal a la superficie se
toma desde el medio 1 hacia el medio 2.
Aplicando el teorema de Gauss:
n̂ 2
r
r
+ D2 ⋅ dS 2 + FlujoLateral = q
S
r
dS1 = dSnˆ1 = dS (− nˆ ), ,dS 2 = dSnˆ 2 = dS (nˆ )
ε
µ
σ
(2) 2 2 2
n̂1
r
r
Por lo tanto: D − D ⋅ nˆ dS + FlujoLateral = q
(1) ε 1 µ 1σ 1
2
1
Tomando el límite haciendo tender ∆h → 0 el volumen tenderá a la superficie
dS
r
r
r
r
∫∫ D ⋅ dSr = D ⋅ dS
∆h
1
1
(
)
de separación. La carga volumétrica encerrada se hará cero. Pero si hubiese
una distribución superficial ρs la carga encerrada, en el limite, será ρsdS.
El flujo lateral tenderá a cero (salvo que D se hiciese infinito).
Por lo tanto:
(D
r
2
)
r
− D1 ⋅ nˆ dS = ρ s dS
(D
r
2
r
− D1
)
S
⋅ nˆ = ρ s
D2 N − D1N = ρ s
Las componentes normales de D son continuas a través de la superficie de
separación de dos medios, a no ser que en dicha superficie exista una
densidad superficial de carga, en cuyo caso dichas componentes son
discontinuas en el valor de dicha densidad superficial.
Condiciones de salto de E
Considérese un camino de integración sobre una espira rectangular
infinitesimal como la de la figura. Dos lados dl caen en cada una de las caras de
la capa de transición. Los lados que penetran en la capa de transición son
iguales en longitud a la anchura ∆h de dicha capa. Como siempre la normal a la
superficie de separación se toma del medio 1 hacia el 2.
Se toma un sentido de recorrido sobre la espira y
(2 ) ε 2 µ 2σ 2
∆h
acorde con el se define la normal a la espira n0. El
dl
r
n̂
tercer vector del triedro será: τˆ = nˆ0 × nˆ
(1) ε 1 µ1σ 1
r r
∂B r
⋅
=
−
E
d
l
∫C r r ∫∫S ∂t ⋅ dS
τˆ
r r r r
∂B
n̂0
⋅ dS
E1 ⋅ dl1 + E2 ⋅ dl2 + CirculaciónLateral = −
r
r
r ∂t
dl1 = (− τˆ )dl = (− nˆ0 × nˆ )dl , , dl2 = (τˆ )dl = (nˆ0 × nˆ )dl , , drS = dSnˆ0 = (dl∆h )nˆ0
r
r
∂B
Por tanto:
E2 − E1 ⋅ (nˆ0 × nˆ )dl + CirculaciónLateral = − ⋅ nˆ0 dl∆h
∂t
Tomando el límite haciendo tender ∆h → 0 la circulación lateral se hará cero.
Además el segundo miembro de larecuación también se hace cero siempre
que no se haga infinito
∂B
∂t
Aplicando a la espira la ecuación:
(
07/01/2009
)
EyM 2-40
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Condiciones de salto de E
(E
r
r
− E1
)
⋅ (nˆ0 × nˆ ) = 0
r
r
r
r
Reordenando el producto mixto:
E2 − E1 ⋅ (nˆ0 × nˆ ) = nˆ0 ⋅ nˆ × E2 − E1 = 0
Quedará por tanto:
2
S
(
[ (
)
)]
La orientación de la espira es arbitraria y por tanto lo es la orientación de n0. En
consecuencia para que la ecuación anterior se verifique cualquiera que sea n0
r
r
deberá ser:
(
nˆ × E2 − E1
)
S
=0
E1T = E2T
Las componentes tangenciales de E son continuas a través de la superficie
de separación de dos medios.
Condiciones de salto de H
Considérese un camino de integración sobre una espira rectangular infinitesimal
como la de la figura. Dos lados dl caen en cada una de las caras de la capa de
transición. Los lados que penetran en la capa de transición son iguales en
longitud a la anchura ∆h de dicha capa. Como siempre la normal a la superficie
de separación se toma del medio 1 hacia el 2.
Se toma un sentido de recorrido sobre la espira y
(2 ) ε 2 µ 2σ 2
∆h
dl
acorde con el se define la normal a la espira n0. El
n̂
(1) ε 1 µ1σ 1
tercer vector del triedro será: τˆ = nˆ0 × nˆ r
r r
r r
∂D r
⋅ dS
Aplicando a la espira la ecuación: ∫ H ⋅ dl = ∫∫ J ⋅ dS + ∫∫
C
S
S ∂t
τˆ
r
r
r
r
r
r
n̂0
∂D
H1 ⋅ dl1 + H 2 ⋅ dl2 + CirculaciónLateral = J ⋅ nˆ0 dS +
⋅ nˆ0 dS
∂t
r
r
r
dl1 = (− τˆ )dl = (− nˆ0 × nˆ )dl , , dl2 = (τˆ )dl = (− nˆ0 × nˆ )dl , , dS = dSnˆ0 = (dl∆h )nˆ0
r
r
r
⎛r
∂D ⎞
Por tanto:
H 2 − H1 ⋅ (nˆ0 × nˆ )dl + CirculaciónLateral = ⎜⎜ J ⋅ nˆ0 +
⋅ nˆ ⎟dl∆h
∂t 0 ⎟⎠
⎝
Tomando el límite haciendo tender ∆h → 0 la circulación lateral se
hará cero. Además el segundo término del segundo miembro de la r
∂D
ecuación también se hace cero siempre que no se haga infinito
(
)
∂t
07/01/2009
EyM 2-41
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Condiciones de salto de H
(H
r
2
r
− H1
)
(
)
r
⋅ (nˆ0 × nˆ ) = lim J ⋅ nˆ0 ∆h
S
∆h →0
r
r
r
Reordenando el producto mixto:
nˆ0 ⋅ nˆ × H 2 − H1 − lim J∆h = 0
Quedará por tanto:
[ (
)
∆h → 0
]
La orientación de la espira es arbitraria y por tanto lo es la orientación de n0.
En consecuencia para que la ecuación anterior se verifique cualquiera que
r
r
r
sea n0 deberá ser: nˆ × H − H − lim J∆h = 0
(
Si J es finito resultará:
2
1
)
r ∆h →
r0
nˆ × H 2 − H1
(
)
S
=0
H1T = H 2T
J es infinito en el caso de tener una densidad superficial de corriente Js sobre
la superficie de separación. El limite resultará Js
(
r
r
nˆ × H 2 − H1
)
S
r
= Js
Las componentes tangenciales de H son continuas a través de la superficie de
separación de dos medios salvo en el caso en que exista una densidad
superficial de corriente Js.
Contenido
•
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07/01/2009
Introducción.
Modelo macroscópico y densidad de carga.
Carga puntual y densidades superficiales y lineales de carga.
Intensidad de corriente.
Densidades volumétricas y superficiales de corriente.
Conservación de la carga. Ecuación de continuidad.
Ecuaciones de Maxwell. Fuentes rotacionales del campo EM.
Fuentes de tipo divergencia del campo EM.
Forma integral de las ecuaciones de Maxwell.
Relaciones constitutivas de los medios.
Conductividad. Ley de Ohm. Relajación.
Unidades y dimensiones. Sistema Internacional de unidades.
Definición de los campos. Energía EM. Teorema de Poynting.
Condiciones de discontinuidad o de salto.
Ejercicios.
EyM 2-42
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Fuentes de E, D
( )
r
r
ρ = ∇ ⋅ D = ∇ ⋅ εE
1) Densidades volumétricas de carga:
2) Densidades superficiales de carga: debe haber cambio discontinuo del
campo entre dos regiones (separadas por una superficie S)
n̂
(
r
r
ρ s = nˆ ⋅ D2 − D1
)
S
(2) ε 2 µ 2σ 2
S
(1) ε 1 µ 1σ 1
3) Cargas puntuales: el campo se hace ∞ en los puntos donde puede haber
cargas puntuales.
Para averiguar el valor de la carga la rodeamos de una esfera, calculamos el
flujo de D y tomamos el límite cuando el radio de la esfera tiende a cero.
r
q
n$
dS
r r
r r
q = ∫∫ D ⋅ dS = lim r →0 ∫∫ D ⋅ dS
Esf r →0
Esf
S
Fuentes de E, D
3) Densidades lineales de carga: el campo se hace ∞ en las líneas donde
puede haber densidades lineales de carga.
Para averiguar el valor de la densidad lineal de carga la rodeamos de una
superficie cerrada, calculamos el flujo de D y tomamos el límite cuando la
superficie tienda a la línea.
Una vez obtenida la carga Q sobre una longitud L, y si suponemos que se
distribuye uniformemente, la densidad será Q/L
Ejemplo en cillíndricas.
ρ
r r
r r
Q = λL = ∫∫ D ⋅ dS = lim ρ →0 ∫∫ D ⋅ dS
Cil ρ →0
Cil
L
07/01/2009
EyM 2-43
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Fuentes de H, B
1) Densidades volumétricas de corriente:
r
r
r ∂D
J = ∇× H −
∂t
r
r
, , B = µH
2) Densidades superficiales de corriente: debe haber cambio discontinuo del
campo entre dos regiones (separadas por una superficie S)
n̂
(
r
r
r
J s = nˆ × H 2 − H 1
)
(2) ε 2 µ 2σ 2
S
S
(1) ε 1 µ 1σ 1
3) Corrientes filiformes: el campo se hace ∞ en las líneas donde puede haber
corrientes filiformes.
Para averiguar el valor de la corriente la rodeamos de una curva cerrada,
calculamos la circulación de H y tomamos el límite cuando la curva se cierre
sobre la línea.
z
n̂
r r
I = lim ρ →0 ∫ H ⋅ dl
Cρ
ρ
r
dl
Cρ
Ejercicio
¿Cual es la densidad de carga que, en un determinado recinto con
r
permitividad dada por ε=4r2, genera un campo dado por: E = rˆ ?
r2
Densidades volumétricas de carga.
De la ecuación de Maxwell sabemos que:
( )
r
r
rˆ ⎞
1⎛d 2 ⎞ 1
8
⎛
r 4 ⎟ = 2 (8r ) =
ρ = ∇ ⋅ D = ∇ ⋅ εE = ∇ ⋅ ⎜ 4r 2 2 ⎟ = ∇ ⋅ (4rˆ ) = 2 ⎜
r ⎝ dr
r
r ⎠
⎝
⎠ r
1⎛d 2 ⎞
∇ ⋅ (Dr rˆ ) = 2 ⎜
r Dr ⎟
r ⎝ dr
⎠
( )
(
)
Densidades superficiales de carga:
r
(
r
r
ρ s = n ⋅ D2 − D1
)
S
(
r
r
r
= n ⋅ ε 2 E2 − ε 1 E1
)
No hay discontinuidades de campo
S
Densidades lineales de carga y cargas puntuales: ¿se hace E infinito?
Si, en r=0 -> posible carga puntual en el origen:
q=
r r
∫∫ D.dS = lim R→0
R →0
07/01/2009
π
2π
∫ ∫ 4R
θ ϕ
=0 =0
2
rˆ
⋅ rˆR 2 senθdθdϕ = lim R →0 16πR 2 = 0
R2
EyM 2-44
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Ejercicio
Un conductor perfecto de forma esférica y radio R está rodeado de una
densidad volumétrica de carga ρ(r) en el vacío. Si para r>R el campo eléctrico
r r a(br + 2 ) −br
E (r ) =
e rˆ calcule: a) ρ(r); b) ρs en la superficie de
viene dado por
r3
la esfera; c) la carga total.
r
r
a (br + 2 ) −br ⎞
a) ρ(r) será: ρ = ∇ ⋅ D = ∇ ⋅ εE = ∇ ⋅ ⎛⎜ ε 0
e rˆ ⎟ =
ε0
ρ (r )
r3
⎝
⎠
R
2
ε ⎛ d ⎛ a(br + 2 ) −br ⎞ ⎞
a
⎛ 2 2b
⎞
= 02 ⎜⎜ ⎜ r 2 ⋅
+ b2 ⎟
e ⎟ ⎟⎟ = − 2 e −br ⎜ 2 +
1
r ⎝ dr ⎝
r3
r
r
⎠⎠
⎝r
⎠
σ =∞
2
b) Si σ=∞ entonces E1=0 pues sino la potencia disipada σE
seria ∞. Por tanto ρs será:
a(bR + 2 ) −bR
a(br + 2 ) −br
= ε0
ρ s = (D2 N − D1N ) r = R = D2 N r = R − 0 = ε 0
e
e
r3
R3
r=R
( )
c) La carga total encerrada por cualquier superficie de radio r>R será :
r r
r r r
2π π
a (br + 2) −br 2
a(br + 2 ) −br
Q(r ) = ∫∫ D ⋅ dS = ∫∫ ε 0 E (r ) ⋅ dS = ∫ ∫ ε 0
e ⋅ r sin θdθdφ = 4πε 0
e
3
Esf . r
Esf .r
φ =0 θ =0
r
r
a(br + 2 ) −br ⎞
⎛
e ⎟=0
Por tanto la carga total será: QTotal = lim ⎜ 4πε 0
r
⎠
r →∞ ⎝
Ejercicio
Dada la distribución de campo electrostático en el vacío:
4
⎧1 ⎛
⎛r⎞ ⎞
⎪ 2 ⎜ k0 + k1 ⎜ ⎟ ⎟rˆ 0 ≤ r ≤ a
⎝ a ⎠ ⎟⎠
⎪ r ⎜⎝
r r ⎪⎪ 1
(k0 + k1 )rˆ a ≤ r ≤ b
E (r ) = ⎨
2
⎪ r
0 r >b
⎪
⎪
⎪⎩
Obtener a) las distribuciones de carga que lo producen, b) la carga total del
sistema y c) la energía electrostática en la región a < r < b.
a) Las distribuciones de carga podrán ser volumétricas, superficiales, lineales
y/o puntuales. Las volumétricas serán:
4
4
1 ∂ ⎡ 2 1 ⎛⎜
1 ∂ ⎛ ⎛ r ⎞ ⎞ 4k ε
⎛ r ⎞ ⎞⎤
⎢r 2 k0 + k1 ⎜ ⎟ ⎟⎥ = ε 0 2 ⎜ k1 ⎜ ⎟ ⎟ = 14 0 r
2
a
r ∂r ⎜⎝ ⎝ a ⎠ ⎟⎠
r ∂r ⎢⎣ r ⎜⎝
⎝ a ⎠ ⎟⎠⎥⎦
en la región r <a y valdrán cero en las otras dos regiones.
r
r
ρ = ∇ ⋅ D = ε 0∇ ⋅ E = ε 0
07/01/2009
EyM 2-45
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Ejercicio
Las densidades superficiales en las superficies de separación r=a y r=b serán:
r
r r
ρ s = n ⋅ D2 − D1
(
ρ s r =a
)
s
4
⎛ 1
1⎛
⎛ r ⎞ ⎞⎞
= rˆ ⋅ rˆ⎜ ε 0 2 (k0 + k1 ) − ε 0 2 ⎜ k0 + k1 ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ = 0
⎜ r
r ⎜⎝
⎝ a ⎠ ⎟⎠ ⎟⎠
⎝
r =a
⎛
⎝
ρ s r =b = rˆ ⋅ rˆ⎜ 0 − ε 0
1
(k0 + k1 )⎞⎟ = − k0 +2 k1 ε 0
2
r
b
⎠ r =b
No hay densidades lineales de carga porque el campo no se hace infinito a lo
largo de ninguna línea.
El campo se hace infinito en r=0. La posible carga puntual en r=0 se obtiene
aplicando la Ley de Gauss:
r r
q = lim r →0 ∫∫ D ⋅ dS = lim r →0 ∫∫
Esf r
Esf r
ε0
4
1 ⎛⎜
⎛ r ⎞ ⎞⎟
2
k
k
+
⎟ ⎟rˆ ⋅ rˆr senθdθdϕ = 4πε 0 k0
0
1⎜
r 2 ⎜⎝
a
⎝ ⎠ ⎠
Ejercicio
b) La carga total puede obtenerse aplicando la Ley de Gauss en r>b (todas las
cargas están encerradas dentro de esta superficie). Como en esta región E es
cero D también es cero y su flujo es cero por lo que la carga total es cero.
También se puede comprobar calculando las contribuciones y sumando:
Qt = q + ∫∫ ρ s dS + ∫∫∫ ρdv = 4πε 0 k0 −
= 4πε 0 k0 − 4πε 0 (k0 + k1 ) +
2π
π
4k ε
k0 + k1
ε 0 4πb 2 + 14 0 ∫ ∫ ∫ rr 2 senθdrdθdϕ =
a ϕ =0 θ =0 r =0
b2
a
4k1ε 0
a4
4
π
=0
a4
4
c) La energía electromagnética, supuesto sólo el campo electrostático, es:
2π π b
(k + k )2
1 r r
1
WE = ∫∫∫ E ⋅ Ddv = ∫ ∫ ∫ ε 0 0 4 1 r 2 senθdrdθdϕ =
2
2 ϕ =0 θ =0 r = a
r
b
1
1⎞
⎛ −1 ⎞
2
2⎛ 1
= ε 0 (k0 + k1 ) 4π ⎜ ⎟ = 2πε 0 (k0 + k1 ) ⎜ − ⎟ > 0 ( pues a < b )
2
r
a
b
⎝ ⎠a
⎝
⎠
07/01/2009
EyM 2-46
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Ejercicio
r r
Dado el campo eléctrico E (r ) =
k ˆ
θ , expresado en coordenadas esféricas,
r sin θ
localice y calcule las cargas que lo crean.
Por la dirección que tienen las líneas de campo se ve que salen de puntos en el
semieje z>0 y que terminan en puntos en el semieje z<0.
El valor del campo en el semieje z>0 (θ=0) y en el semieje z<0 (θ= π ) es ∞. Por
tanto en dichos puntos debe existir una distribución lineal de carga.
Aplicando el Teorema de Gauss al volumen
encerrado por el cono de ángulo θ y cerrado
por el casquete esférico de radio r=L vemos
r r
k ˆ
que el flujo sobre el casquete esférico es nulo
θ
E (r ) =
y por tanto el flujo total es
r sin θ
r r
∫∫ D ⋅ dS =
S
L
2π
∫ ϕ∫ ε rsenθ θˆ ⋅θˆdr (rsenθdϕ ) = 2πεkL
k
r =0 =0
Si la densidad lineal de carga es constante valdrá:
2πεkL = λL ⇒ λ = 2πεk
Ejercicio
En el interior de una esfera conductora hueca de radio b, existe una esfera
concéntrica de material dieléctrico
de permitividad ε y radio a en el rcual la
r
inducción eléctrica vale D = D0 r 2 a 2 rˆ . Entre a y b la inducción es D = D0 a 2 r 2 rˆ
Caracterice el tipo y densidad de las distribuciones de carga del problema
en situación estática.
En el dieléctrico (r < a) la densidad
r
n ≡ rˆ
volumétrica de carga es:
r
r 1 ∂ ⎛
r2 ⎞
4r
D=0
ρ = ∇ ⋅ D = 2 ⎜⎜ r 2 D0 2 ⎟⎟ = D0 2
a
b
r ∂r ⎝
a ⎠
a
ρ =0
ε
σ ≠0
Entre r=a y r=b la densidad volumétrica es:
ε0
r 1 ∂ ⎛
a2 ⎞
ρ = ∇ ⋅ D = 2 ⎜⎜ r 2 D0 2 ⎟⎟ = 0
r ∂r ⎝
r ⎠
En el interior del conductor (r>b) D es cero
(sino habría corrientes) y ρ=0.
(
)
En r=a y r=b las densidades superficiales son:
r
⎛
⎞
r r
a2
r2
⎟=0
ρ sa = n ⋅ D2 − D1
= rˆ ⋅ ⎜ rˆD0 2
− rˆD0 2
⎜
r =a
r r = a ⎟⎠
a r =a
⎝
(
07/01/2009
)
(
⎛
ρ sb = rˆ ⋅ ⎜⎜ 0 − rˆD0
⎝
a2
r2
)
2
⎞
⎟ = − D0 a
2
⎟
b
r =b ⎠
EyM 2-47
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Ejercicio
Determinar, usando la ley de Ampere generalizada, si existe corriente de
desplazamiento en una región en la que la densidad de corriente de conducción
viene dada por: r
3r 2
J=
r3 + 2
rˆ
r
r r ∂D
Dada la ley de Ampere generalizada: ∇ × H = J +
calculamos la divergencia.
∂t
r
r
r
r
r
⎛ ∂D ⎞
⎛ ∂D ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟ = −∇ ⋅ J
∇ ⋅∇× H = ∇ ⋅ J + ∇ ⋅⎜
∇
⋅
=
0
⎜ ∂t ⎟
⎟
⎝
⎠
⎝ ∂t ⎠
r 1 d ⎛ 2 3r 2 ⎞
⎜r ⋅
⎟ ≠ 0 por lo que
En este caso: ∇ ⋅ J = 2
⎟
r dr ⎜⎝
r3 + 2 ⎠
r
r
⎛ ∂D ⎞
∂D
⎟≠0
∇ ⋅ ⎜⎜
≠0
⎟
∂t
⎝ ∂t ⎠
O sea que existe corriente de desplazamiento.
Ejercicio
Obtener las fuentes del campo estacionario dado por:
Las fuentes volumétricas serán:
rˆ
2
r senθ
r
r
∂
ˆ
J = ∇ × H = ∇ × krθ =
∂r
0
θˆ
rsenθ
∂
∂θ
rkr
r ⎧krθˆ r < a
H =⎨
⎩ 0 r>a
ϕˆ
r
∂
=
∂ϕ
0
ϕˆ ∂
= rˆ0 + θˆ0 +
kr 2 = 2kϕˆ , , r < a
r ∂r
( )
Fuentes superficiales: en r=a hay discontinuidad del campo por lo que
(
r
r
r
J s = nˆ × H 2 − H1
07/01/2009
)
s
(
= rˆ × 0 − krθˆ
)
r =a
= −kaϕˆ , , r = a
EyM 2-48
Electricidad y Magnetismo
Modelo de Maxwell
Ejercicio
r ⎧⎪ I 0 ϕˆ
H = ⎨ 2πρ
⎪⎩ 0
Obtener las fuentes del campo estacionario dado por:
ρ ≤a
ρ >a
Las fuentes volumétricas serán 0 en ρ>a y:
ρˆ
ρ
ϕˆ
r
r
∂
J = ∇× H =
∂ρ
∂
∂ϕ
I
ρ 0
2πρ
0
zˆ
ρ
zˆ ∂ ⎛ I 0 ⎞
∂
=
⎟ = 0 ,, ρ < a
⎜
∂z ρ ∂ρ ⎝ 2π ⎠
0
Fuentes superficiales: en ρ=a hay discontinuidad del campo por lo que
(
r
r
r
J s = nˆ × H 2 − H1
)
s
⎞
⎛
I
I
= − 0 zˆ , , ρ = a
= ρˆ × ⎜⎜ 0 − 0 ϕˆ ⎟⎟
2πρ ⎠ ρ = a
2πa
⎝
Ejercicio
Se sabe que en una región cilíndrica ρ≤R la inducción magnética viene dada
r
B = 2 B0 (t )ρϕˆ . Si en el exterior de dicha región el campo magnético es
por
nulo, determine el vector densidad de corriente en la superficie cilíndrica ρ=R.
z
R
Basta con aplicar las condiciones de salto de H
(
r
r
r
J s = nˆ × H 2 − H1
y
x
07/01/2009
=−
s
= − ρˆ ×
µ
=
ρ =R
(ρˆ × ϕˆ ) = − 2 B0 (t )R zˆ
2 B0 (t )ρ
µ
)
r
B
ρ =R
µ
EyM 2-49