Corrientes Estacionarias

Electricidad y Magnetismo
Campo Estacionario
Campo Estacionario
EyM 4-1
Campos Estacionarios
Se denomina situación estacionaria a aquella en la que no hay variación con el
tiempo.
Existen sin embargo movimientos de carga formando corrientes denominadas
estacionarias porque no varían con el tiempo.
Las ecuaciones de Maxwell en situación estacionaria son:
r r
r r
∂B(r , t )
∇ × E (r , t ) = −
∂t
r r
r r
r r
∂D(r , t )
∇ × H (r , t ) = J (r , t ) +
∂t
r
∇⋅D = ρ
r
∇⋅B = 0
r
r
D = εE
r
r
B = µH
07/01/2009
∂
=0
∂t
r
J ≠0
r r
∇ × E (r ) = 0
r r
r
∇ × H (r ) = J (r )
r
∇⋅D = ρ
r
∇⋅B = 0
r
r
D = εE
r
r
B = µH
r
r
J = σE
r
∇⋅ J = 0
EyM 4-2
EyM 4-1
Electricidad y Magnetismo
Campo Estacionario
Campos Estacionarios
El campo eléctrico estacionario produce corrientes estacionarias y éstas
generan campo magnético estacionario.
Pero ambos campos se estudian de forma independiente.
r r
∇ × E (r ) = 0
r
∇⋅D = ρ
r
r
D = εE
r r
r
∇ × H (r ) = J (r )
r
∇⋅B = 0
r
r
B = µH
r
r
J = σE
r
∇⋅ J = 0
Primero hay que determinar E
A partir de E se determina J
A partir de J se obtienen H y B
EyM 4-3
Campo Eléctrico Estacionario
El conjunto de ecuaciones que gobiernan el campo eléctrico estacionario son:
r r
∇ × E (r ) = 0
r
∇⋅D = ρ
r
r
D = εE
que son idénticas a las de electrostática.
Por tanto puede definirse un potencial escalar estacionario
del que se obtiene el campo:
σ cu ≅ 58 ×106 S
r
E = −∇φ
σ grafito ≅ 500 S
Pero en el interior de los conductores J ≠ 0 y por tanto E ≠ 0 y estos ya no son
equipotenciales (salvo si σ=∞ , conductores perfectos o superconductores).
Teniendo en cuenta la ley de Ohm se requiere de un campo eléctrico para
r
r
producir una corriente estacionaria:
J = σE
El campo eléctrico estático producido por distribuciones de carga no es capaz
de mantener una corriente estacionaria.
En efecto, considerando que las armaduras de un condensador cargado se
conectasen con un conductor, aparecería una corriente de electrones libres
que se moverían desde la armadura negativa a la positiva.
Pero la carga de ambas armaduras decrecería progresivamente, en
consecuencia el campo y también la corriente, que desaparecería al
descargarse el condensador.
07/01/2009
EyM 4-4
EyM 4-2
Electricidad y Magnetismo
Campo Estacionario
Corriente Estacionaria
Las corrientes estacionarias son solenoidales y por tanto las cargas se
mueven describiendo un circuito cerrado.
Pero el campo electrostático es conservativo y no cede energía en un circuito
cerrado.
Sin embargo las cargas en movimiento chocan con la red iónica del medio
conductor cediéndole energía (efecto Joule) que debe provenir del campo.
Así pues un campo electrostático no es capaz de mantener una corriente
estacionaria.
Por tanto para mantener una corriente estacionaria se requiere un campo no
conservativo o sea no electrostático.
Para producir corrientes estacionarias se usan generadores, dispositivos que
aportan la energía que se pierde por efecto Joule.
La acción de estos generadores se pone de manifiesto a través de un campo
equivalente E’ no conservativo existente únicamente en el interior de los
generadores.
En general se producirá también un campo electrostático E debido a la
presencia de distribuciones de carga.
r
r r
El campo total será su suma.
E = E′ + E
EyM 4-5
t
Generadores
Un ejemplo de generador capaz de mantener la corriente estacionaria entre
dos armaduras es el de la figura.
+
+
+
+
r r
+ J = σE
+
-
Las armaduras del condensador están
conectadas mediante unos flejes metálicos a
una cinta transportadora dieléctrica que se
mueve con un motor o mediante una manivela.
-
+
+ ++ + + + +
+
Las cargas positivas transportadas por la
corriente a través del conductor son conducidas
a la cinta y transportadas de nuevo a la
armadura positiva por aquella.
La resistencia que opone el campo a la
incorporación de estas cargas en la armadura
positiva es vencida por la fuerza del motor o de
la manivela que mueve la cinta.
EyM 4-6
07/01/2009
EyM 4-3
Electricidad y Magnetismo
Campo Estacionario
Fuerza Electro Motriz
La circulación a lo largo de una línea de corriente del campo será
∫ E ⋅ dl = ∫ (E′ + E )⋅ dl = ∫ E′ ⋅ dl = ∫ E ′ ⋅ dl = ε = fem
r
r
r
r
r
r
r
r
t
r
generador
Donde ε se denomina fuerza electromotriz del generador y es el trabajo
aportado por el mismo para mover la unidad de carga entre sus bornes.
La circulación del campo total sobre una línea cerrada ya no es cero y por
tanto el campo total no es conservativo.
(
r
r
r r
J = σEt = σ E ′ + E
La densidad de corriente será
)
Cuando el generador esta en circuito abierto no hay corriente y por tanto en
r
r r
su interior:
′
J =0 ⇒
2 +
r
E
E +E=0
2 r
2 r
r
r 2
r
fem = ε = ∫ E ′ ⋅ dl = − ∫ E ⋅ dl = ∫ ∇φ ⋅ dl = φ2 − φ1
- 1
1
r
E′
1
1
Y por tanto la fuerza electromotriz de un generador es la
diferencia de potencial entre sus bornes en circuito abierto.
EyM 4-7
Condiciones de Continuidad
Cuando se presenta un cambio abrupto de conductividad entre dos medios
las condiciones de salto son las siguientes:
(
)
(
)
r
r
r
r r r
r
∇ ⋅ J = 0 ⇒ n ⋅ J 2 − J1 = 0 ⇒ n ⋅ σ 2 E2 − σ 1 E1 = 0
r
r r
n × E2 − E1 = 0
(
)
φ 2 = φ1
r
(
r
r
)
r
r ⎛
ρ s = n ⋅ ε 2 E2 − ε 1 E1 = n ⋅ ε 2 E2 ⎜⎜1 −
⎝
ε1 σ 2 ⎞
⎟
ε 2 σ 1 ⎟⎠
Por tanto en general hay una densidad superficial de carga.
En el caso de la superficie entre un conductor perfecto (1) y un conductor (2):
r
r
r
σ 1 = ∞ ⇒ E1 = 0 ⇒ φ1 = cte = φ2 S ; J 2T = 0 ; ρ s = n ⋅ ε 2 E2
S
En el caso de la superficie entre un conductor (1) y un dieléctrico (2), (σ2=0):
r
r r
r
r
σ 2 = 0 ⇒ J 2 = 0 ⇒ n ⋅ J1 = n ⋅ σ 1 E1 = 0 ⇒
07/01/2009
∂φ1
=0
∂n
EyM 4-8
EyM 4-4
Electricidad y Magnetismo
Campo Estacionario
Resistencia
Integrando a lo largo de una línea de corriente se había
r rencontrado que:
r r
J ⋅ dl
fem = ε = φ2 − φ1 = ∫ Et ⋅ dl = ∫
σ
Admitiendo que la densidad de corriente se distribuyese uniformemente en la
sección transversal del circuito y que J || dl resulta:
r r
r r r
I
J ⋅ dl = J dl = dl
S
φ2 − φ1 = ∫
J ⋅ dl
σ
= I∫
dl
σS
= IR
Es decir que la fuerza electromotriz del generador y la corriente están
relacionadas mediante un parámetro esencialmente geométrico, y
dependiente de la conductividad del medio, que se denomina Resistencia.
En general, dado un volumen conductor V
conectado a un circuito a través de dos electrodos
conductores perfectos S1 y S2, la resistencia será:
V
C
St
r
r
∫ Er⋅ dl r
∫∫ σE ⋅ dS
C
St
r
E
S2
V φ −φ
R= 0 = 2 1 =
I
I
Siendo St una sección transversal y C un
trayecto entre S2 y S1.
S1
V0
Se necesita E para calcular R
EyM 4-9
Campo Eléctrico Estacionario
Para determinar la distribución de corrientes estacionarias basta con
determinar la distribución del campo eléctrico estacionario.
Supóngase en primer lugar una región V de conductor homogéneo con
conductividad σ limitado por la superficie Slat + S1 + S2 , donde las superficies
S1 y S2 son equipotenciales (formadas por conductores perfectos).
En el conductor, bajo condiciones de
Slat
campo estacionario, no hay densidades
r
V
volumétricas de carga. En efecto:
0
E
S2
r
r ε }r
S1
ρ = ∇ ⋅ D = ε∇ ⋅ E = ∇ ⋅ J = 0
St
σ
V0
Por tanto el potencial deberá satisfacer la
ecuación de Laplace:
∆φ = 0
Las c-c sobre S1 y S2 serán:
r
n
r
J
V
07/01/2009
Slat
φ S = 0 , , φ S = V0
1
2
Sobre Slat hay que considerar que todas las líneas de
corriente deben estar contenidas en V. Por tanto:
r r
r r
∂φ
r
=0
J ⋅ n S = 0 ⇒ σE ⋅ n S = − σ∇φ ⋅ n S = −σ
lat
lat
lat
∂EyM
n Slat4-10
EyM 4-5
Electricidad y Magnetismo
Campo Estacionario
Conductor Cilíndrico
x
Sea un conductor cilíndrico de sección transversal
constante y área S, de longitud L y con
conductividad σ. Las superficies z=0 y z=L están a
potenciales V y 0 respectivamente. La c-c sobre la
superficie lateral se cumple si
L
z
S
∂φ ∂φ
∂φ
=
=0 ⇒
∂x ∂y
∂n
y
Por tanto el potencial será solución de:
=0
S lat
0
647
48
V
∆φ =
Aplicando c-c se obtiene:
∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ
+
+
=
= 0 ⇒ φ = Az + B
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂z 2
φ=
V
(L − z ) ⇒
L
r V
E = zˆ
L
La corriente total que atraviesa cualquier sección transversal será:
r r
r
V
I = ∫∫ J ⋅ dS = ∫∫ σE ⋅ zˆdS = σS
St
St
L
1 L
V
V
Y la resistencia:
=
R= =
I (V L )σS σ S
EyM 4-11
Resistencia de una Espira
Sea una espira semicircular de radio interior R y sección transversal
rectangular de dimensiones axb como se indica en la figura. Si el potencial es
constante en ϕ = 0 y en ϕ = π la condición sobre la superficie lateral se cumple
si:
∂φ ∂φ
∂φ
=
=0 ⇒
=0
z
∂ρ ∂z
∂n
S lat
Por tanto el potencial será solución de:
b
R
a
∆φ =
x
Y aplicando el resto de c-c:
φ ϕ =0
1 ∂ 2φ
= 0 ⇒ φ = Aϕ + B
ρ 2 ∂ϕ 2
= V , φ ϕ =π = 0
El campo eléctrico estacionario es:
se obtiene:
φ=
r
1 ∂φ
V 1
ϕˆ =
ϕˆ
E = −∇φ = −
ρ ∂ϕ
V
π
(π − ϕ )
π ρ
r r
R+a b
V 1
σV
⎛R+a⎞
La corriente total: I = σE ⋅ dS =
∫∫St
∫r = R ∫z =0 σ π ρ ϕˆ ⋅ (ϕˆdρdz ) = π b ln⎜⎝ R ⎟⎠
π
V 1
1 πR
⎛ a⎞ a
=
La resistencia: R =
I σ
⎛ a ⎞ ln⎜1 + R ⎟ ≅ R + L ⇒ R ≅ σ ab
b ln⎜1 + ⎟
⎠
⎝
EyM 4-12
⎝ R⎠
07/01/2009
EyM 4-6
Electricidad y Magnetismo
Campo Estacionario
Dualidad Resistencia-Capacidad
Sean dos electrodos a potenciales 0 y V como se indica en la figura.
Considérense dos situaciones, en la primera de las cuales el medio es un
dieléctrico de permitividad ε y en la segunda es un medio conductor con
conductividad σ.
Considerando que la superficie S1 envuelve
totalmente al conductor, la expresión de la
capacidad en la primera situación es:
ε ,σ
r r
r r
0
V
D ⋅ dS ε E ⋅ dS
ρ dS
C=
S1
Q
=
V
∫∫
s
S1
=
V
∫∫
=
S1
V
∫∫
S1
V
La expresión de la resistencia en la segunda
situación:
V
V
V
R=
I
=
r=
r
∫∫ J ⋅ dS
S1
RC =
Multiplicando ambas expresiones se obtiene:
r
r
σ ∫∫ E ⋅ dS
S1
ε
σ
Esta analogía entre capacidad y resistencia permite métodos indirectos de
medida de capacidades a partir de medidas (más simples) de resistencias.
EyM 4-13
Problema 4-1
Dos medios homogéneos e isótropos caracterizados por las constantes ε1, σ1
y ε2, σ2 están separados por una superficie S. Una corriente estacionaria
atraviesa S de un medio al otro. Si los ángulos que forma una línea de
corriente con la normal en el punto de transición son ϕ1 y ϕ2 probar que
σ2 cot ϕ2 =σ1 cot ϕ1 y calcular la densidad de carga que aparece en S.
r
n
J2N
r
J1
ϕ1 J
1N
J1T
ε1, σ1
ϕ2
(
)
r
r r r
∇ ⋅ J = 0 ⇒ n ⋅ J 2 − J1 = 0 ⇒
r
r r
J 2T J1T
n × E2 − E1 = 0 ⇒
=
J 2T
(
r
J2
)
σ2
J 2 N = J1N
σ1
Y dividiendo ambas expresiones:
ε2, σ2
σ2
J2N
J
= σ 1 1N
J 2T
J1T
⇒ σ 2 cot gϕ 2 = σ 1cot gϕ1
Por otra parte la densidad superficial de carga será:
r
(
r
r
)
r
r ⎛
ρ s = n ⋅ ε 2 E2 − ε 1 E1 = n ⋅ ε 2 E2 ⎜⎜1 −
07/01/2009
⎝
ε1 σ 2 ⎞
⎟
ε 2 σ 1 ⎟⎠
EyM 4-14
EyM 4-7
Electricidad y Magnetismo
Campo Estacionario
Problema 4-2
Una cuba electrolítica cilíndrica de radio interior a y de radio exterior b se llena
de un electrolito hasta una altura h, y se aplica a los electrodos una diferencia
de potencial de V voltios, midiéndose una corriente de I amperios. Calcular la
conductividad del electrolito. Obtener su valor para los siguientes datos: a = 6
cm, b = 12 cm, h = 20 cm, V = 20 V, I = 70 mA.
b
a
Debe determinarse la resistencia. El campo en
el electrolito es como el del condensador
cilíndrico sin efecto de bordes o del cable
coaxial:
1 ∂ ⎛ ∂φ ⎞
⎜ρ
⎟ = 0 ⇒ φ = A ln ρ + B
ρ ∂ρ ⎜⎝ ∂ρ ⎟⎠
V
r
∂φ
A
V ρˆ
E=−
ρˆ = − ρˆ =
∂ρ
ρ
⎛b⎞ ρ
ln⎜ ⎟
⎝a⎠
σ 2πhV
I
⎛b⎞
⇒ σ=
I = 2πahσE (a ) =
ln⎜ ⎟
b
2πhV ⎝ a ⎠
⎛ ⎞
ln⎜ ⎟
a⎠
−3
⎝
70 ×10
⎛ 12 ⎞
σ=
× ln⎜ ⎟ = 1.93 ×10 −3 siemens
−2
EyM 4-15
2π × 20 ×10 × 20
⎝6⎠
I
∆φ =
Problema 4-3
La figura muestra un sistema de conductores semiesféricos por el que circula
una corriente I0. El conductor interior 0<r<a, y el exterior c<r<d son conductores
perfectos (σ = ∞ ) y están conectados a través de dos conductores reales cuyas
características son: el primero (medio 1), a<r<b, σ = σ1, ε = ε1 , el segundo (medio
2), b<r<c, σ = σ2, ε = ε2. Calcular: a) la densidad de corriente volumétrica en los
conductores reales. b) El campo eléctrico en todos los conductores. c) El
potencial eléctrico en todos los conductores. d) La densidad de carga en la
interfase entre los conductores reales. e) La resistencia de cada uno de los
conductores reales y la total del sistema.
I0
1
2
07/01/2009
a) Por simetría la corriente será
r radial y solo
variara con r. Por tanto
J = J (r )rˆ
a
b
c d
r
4πr 2
I 0 = ∫∫ J (r )rˆ ⋅ dS = J (r )
r
2
⇒
J (r ) =
I0
2πr 2
b) El campo eléctrico es:
r
r
I
J
rˆ
= 0 2
E1 =
σ 1 2πσ 1 r
r
r
I
J
rˆ
= 0
, , E2 =
σ 2 2πσ 2 r 2
EyM 4-16
EyM 4-8
Electricidad y Magnetismo
Campo Estacionario
Problema 4-3
c) El potencial será cero en el conductor perfecto exterior y constante en el
interior.
I dr
I 1
+ C2
φ2 = −∫ E2dr = −∫ 0 2 = 0
En el medio 2 será:
2πσ2 r
2πσ2 r
I 1
I 1
+ C2 ⇒ C2 = − 0
Como el potencial debe ser cero en r=c: 0 = 0
2πσ 2 c
2πσ 2 c
I ⎛1 1⎞
φ2 = 0 ⎜ − ⎟
Por tanto:
2πσ2 ⎝ r c ⎠
I 1
φ1 = −∫ E1dr = 0 + C1
En el medio 1 será:
2πσ1 r
I0 ⎛ 1 1 ⎞
I 1
φ2 (b) = φ1 (b) ⇒
+ C1
y el potencial será continuo en r=b
⎜ − ⎟= 0
2πσ 2 ⎝ b c ⎠ 2πσ1 b
I
I
1 1
1 1
y por tanto: φ1 = 0 ⎛⎜ − ⎞⎟ + 0 ⎛⎜ − ⎞⎟
2πσ1 ⎝ r b ⎠ 2πσ 2 ⎝ b c ⎠
d) La densidad superficial de carga en el interfaz es:
r
r
r
I 1⎛ ε σ ⎞
ρs = n ⋅ ε 2 E2 − ε1E1 = rˆ ⋅ rˆε 2 0 2 ⎜⎜1 − 1 2 ⎟⎟
2πσ2 b ⎝ ε 2 σ1 ⎠
e) Dado que se conoce la corriente y la diferencia de potencial (como φ2) serán:
φ (b)
1 c −b
1 b−a
1 c −b
1 b−a
R = R1 + R2 =
+
R2 = 2 =
R1 =
2
πσ
ab
2
πσ
I0
2πσ2 bc
2πσ1 ab
1
2 bc EyM 4-17
(
)
Ejercicio
R2
h
R1
Debe determinarse la resistencia. El campo en
el disco es como el del condensador cilíndrico sin
efecto de bordes o del cable coaxial:
1 ∂ ⎛ ∂φ ⎞
⎜ρ
⎟ = 0 ⇒ φ = A ln ρ + B
ρ ∂ρ ⎜⎝ ∂ρ ⎟⎠
r
A
V
∂φ
ρˆ
E=−
ρˆ = − ρˆ =
∂ρ
ρ
⎛R ⎞ ρ
ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ R1 ⎠
⎛R ⎞
V
1
σ 2πhV
⇒ R= =
ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
I = 2πR1hσE (R1 ) =
I 2πhσ ⎝ R1 ⎠
⎛R ⎞
ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ R1 ⎠
∆φ =
EyM 4-19
07/01/2009
EyM 4-9
Electricidad y Magnetismo
Campo Estacionario
Ejercicio
EyM 4-20
Ejercicio
EyM 4-21
07/01/2009
EyM 4-10
Electricidad y Magnetismo
Campo Estacionario
Ejercicio
EyM 4-22
07/01/2009
EyM 4-11