Introducci n a la Variaci n Temporal Arbitraria

Electricidad y Magnetismo
Variación temporal arbitraria
Electrodinámica
Variación temporal arbitraria
Variación temporal arbitraria
• Si no se impone ninguna restricción a la variación con el
tiempo hay que utilizar las ecuaciones de Maxwell al
r r
completo:
r
r r
∂B(r , t )
∇ × E (r , t ) = −
∇⋅D = ρ
∂t r r
r r
r r
r
∂D(r , t )
∇ × H (r , t ) = J (r , t ) +
∇⋅B = 0
∂t
r
r
r r
r
r ∂ρ
D = εE B = µH J = σE ∇ ⋅ J +
=0
∂t
• En muchos casos, por ejemplo el estudio de líneas de
transmisión, no es necesario recurrir a la definición de
potenciales. En otros sí es conveniente, por ejemplo en el
estudio de la radiación.
• En este curso se van a utilizar los potenciales
electrodinámicos porque permiten una mejor interpretación
de las limitaciones de la variación lenta.
16/01/2008
EyM 6-1
Electricidad y Magnetismo
Variación temporal arbitraria
Potenciales electrodinámicos
• En general se puede seguir definiendo un potencial vector
magnético electrodinámico:
r
∇⋅B = 0
r
r
⎪⎫
r
B = ∇× A
⎬⇒
∇ ⋅ ∇ × A = 0⎪⎭
r
donde de nuevo queda el grado de libertad de definir la
∇⋅ A
(
)
• Llevando esta definición a la ley de Faraday:
r r
r r
r r
r r
∂B(r , t )
∂
∂A(r , t )
∇ × E (r , t ) = −
= − ∇ × A(r , t ) = −∇ ×
∂t
∂t
∂t
donde se ha supuesto que al tratarse de un punto ordinario del
espacio, existen todas la derivadas y son continuas y por ello se
r r
puede intercambiar el orden de las mismas.
⎛r r
∂A(r , t ) ⎞⎟
⎜
(
)
,
=0
∇
×
E
r
t
+
• Colocando ambos términos a un lado de la igualdad,
⎜
∂t ⎟⎠
⎝
resulta que es posible definir un potencial escalar
electrodinámico:
r r
r r
r r
r r
r
r
∂A(r , t )
∂A(r , t )
= −∇Φ (r , t ) ⇔ E (r , t ) = −∇Φ (r , t ) −
E (r , t ) +
∂t
∂t
Ecuaciones de los potenciales
• Para obtener de forma simple las ecuaciones que relacionan
los potenciales con las fuentes de campo suponemos que el
medio es homogéneo, lineal e isótropo.
r
• Bajo estas condiciones:
r r ∂D ⎫
r
r
r
∇× H = J +
∂E
⎪
⇒
∇
×
=
+
B
J
µ
µε
∂t ⎬
r
r r
r
∂t
B = µH ; D = εE ⎪⎭
• Considerando
rahora que:
r
⎫
B = ∇× A
r
r
r
r
r
⎪ ⎧∇ × B = ∇ × ∇ × A = ∇ ∇ ⋅ A − ∆A
r
∂A
⎪ ⎪
r
r
E = −∇Φ −
r
r
r
⎬⇒ ⎨
∂E
∂∇Φ
∂ 2A
∂t
r
r
r ⎪ ⎪∇ × B = µJ + µε ∂t = µJ − µε ∂t − µε ∂t 2
∇ × ∇ × A = ∇ ∇ ⋅ A − ∆A⎪ ⎩
⎭
(
(
)
)
• Reagrupando términos:
r
r
r
r
∂ 2A
∂Φ ⎞
⎛
∆A − µε 2 − ∇⎜ ∇ ⋅ A + µε
⎟ = − µJ
∂t
∂t ⎠
⎝
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EyM 6-2
Electricidad y Magnetismo
Variación temporal arbitraria
Ecuaciones de los potenciales
• Realizando un proceso similar sobre la ecuación de Gauss:
⎫
r
⎪
∇⋅D = ρ
r
r
r
r r
r ⎪⎪
r
r
⎛ ∂A ⎞
∂
ρ
⎜
B = µH ; D = εE ⎬ ⇒ ρ = ∇ ⋅ D = ε∇ ⋅ E = −ε∆Φ − ε∇ ⋅ ⎜ ⎟⎟ ⇔ ∆Φ + ∇ ⋅ A = −
t
t
∂
∂
ε
r ⎪
⎝ ⎠
r
∂A ⎪
E = −∇Φ −
∂t ⎪⎭
• Recordando de la transparencia anterior que:
r
r
r
r
∂ 2A
∂Φ ⎞
⎛
∆A − µε 2 − ∇⎜ ∇ ⋅ A + µε
⎟ = − µJ
∂t
∂t ⎠
⎝
r
∂Φ
∇ ⋅ A + µε
=0
• Resulta conveniente escoger:
∂t
expresión conocida como contraste de Lorentz (o condición de separabilidad).
• Con esta elección se separan las ecuaciones de ambos
r
potenciales:
r
r
∂ 2A
∂ 2Φ
ρ
∆A − µε 2 = − µJ ; ∆Φ − µε 2 = −
∂t
∂t
ε
Ecuaciones de los potenciales
r
r
r
∂ 2Φ
ρ
∂ 2A
∆A − µε 2 = − µJ ; ∆Φ − µε 2 = −
∂t
ε
∂t
• Puede comprobarse fácilmente que las soluciones de estas ecuaciones
para el caso de medios indefinidos son:
⎛v
1
v
Φ(r , t ) =
4πε
∫∫∫
V′
v v
r − r′ ⎞
⎟
c ⎟⎠
dV ′ ;
v v
r − r′
ρ ⎜⎜ r , t −
⎝
v v
r⎛ v
r − r′ ⎞
⎟
J ⎜⎜ r , t −
r v
c ⎟⎠
1
⎝
dV ′
A(r , t ) =
v v
4πε ∫∫∫
r − r′
V′
• Se observará que estas expresiones son similares las obtenidas para situaciones
estacionarias. La diferencia estriba en que el efecto de un cambio en las fuentes
no se hace notar de forma instantánea, si no que se produce un cierto instante de
v v
tiempo más tarde:
r − r′
t′ = t −
c
r r
c = 1 µε
• La perturbación viaja de r ′a r a una velocidad:
que en caso del vacío corresponde al valor 3·108 m/s, es decir, a la velocidad de la
luz en el vacío.
16/01/2008
EyM 6-3
Electricidad y Magnetismo
Variación temporal arbitraria
Variación Sinusoidal
Las ecuaciones de los potenciales reciben el nombre de ecuaciones de D´Alembert y
se puede definir un operador, denominado operador dalambertiano □, como:
r
r
r
r
⎛
∂ 2A ⎛
∂2 ⎞r
∂ 2Φ
ρ
∂2 ⎞
∆A − µε 2 = ⎜⎜ ∆ − µε 2 ⎟⎟ A = [ ]A = − µJ ; ∆Φ − µε 2 = [ ] Φ = −
; [ ] ≡ ⎜⎜ ∆ − µε 2 ⎟⎟
∂t
∂t ⎠
∂t
ε
∂t ⎠
⎝
⎝
Para integrar las ecuaciones anteriores conviene recurrir a variaciones temporales
de tipo sinusoidal.
El análisis de Fourier permite expresar una variación temporal arbitraria como una
superposición de variaciones temporales sinusoidales. Por tanto se recurre a
encontrar la solución en el caso de una variación sinusoidal y, aplicando la
superposición adecuada, obtener posteriormente la solución a la variación temporal
bajo análisis.
Las variaciones temporales sinusoidales son del tipo
cos(ωt ) = cos(2πft )
donde ω es la pulsación y f la frecuencia de la oscilación.
El manejo de las funciones sinusoidales se realiza con mayor comodidad utilizando
variable compleja, teniendo en cuenta que:
cos(ωt ) = Re e jωt
[ ]
siendo Re[ ] el operador “parte real de” que es un operador lineal.
Uso de la Variable Compleja
Utilizando variable compleja se puede expresar una variación espacial arbitraria
y sinusoidal en el tiempo en la forma:
[
]
[
]
[
r
r
r
r
r
r
r
r
Φ(r , t ) = Φ(r ) cos(ωt −ψ (r )) = Re Φ(r )e j (ωt −ψ (r )) = Re Φ(r )e − jψ (r )e jωt = Re Φ c (r )e jωt
]
Teniendo en cuenta que el operador Re[ ] es lineal, la ecuación de D´Alembert para
el potencial escalar puede reescribirse como:
r
r
r
r
r
r jωt
∂ 2 Re Φ c (r )e jωt
∂ 2 Φ (r , t )
ρ (r , t )
Re ρ c (r )e jωt
(
)
∆Φ(r , t ) − µε
=
−
µε
r
e
Re
∆
Φ
−
=
−
c
∂t 2
ε
∂t 2
ε
[
]
[
]
[
]
r
r
⎡ ρ c (r )e jωt ⎤
⎡
r
∂ 2 (Φ c (r )e jωt )⎤
Re ⎢∆Φ c (r )e jωt − µε
Re
=
−
⎥
⎥
⎢
∂t 2
ε
⎦
⎦
⎣
⎣
r
r
r
⎤
⎡ ρ (r )
Re (∆Φ c (r ) + ω 2 µεΦ c (r ))e jωt = Re ⎢− c e jωt ⎥
ε
⎦
⎣
[
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]
r
r
r
ρ (r )
∆Φ c (r ) + ω 2 µεΦ c (r ) = − c
ε
EyM 6-4
Electricidad y Magnetismo
Variación temporal arbitraria
Número de Onda y Longitud de Onda
Por tanto, a cambio de utilizar variable compleja, se ha eliminado la variación
temporal en la integración de la ecuación. Una vez realizada la integración espacial
de la ecuación se habrá obtenido Φc(r). Para encontrar su variación completa
espacio-temporal bastará con multiplicar por ejωt y tomar la parte real del resultado.
r
r
Φ(r , t ) = Re Φ c (r )e jωt
[
]
Si la variación temporal es arbitraria, una vez obtenida la solución en función de ω
habrá que realizar la superposición armónica de los términos de la serie de Fourier
de dicha variación temporal.
El procedimiento se aplica también a la ecuación del potencial vector obteniéndose:
r r
r r
r r
∆Ac (r ) + ω 2 µεAc (r ) = − µJ c (r )
En el manejo práctico se sobreentiende el carácter complejo de las magnitudes y
suele suprimirse el subíndice c.
Por otra parte:
ω 2 µε = k 2 ⇒ k = ω µε = ω c = 2πf c = 2π λ ⇒ λ = c f
donde k se denomina número de onda y λ es la longitud de onda siendo c la
velocidad de propagación de la luz en el medio.
Potencial Vector de una Fuente Puntual
Veamos ahora como se obtiene la solución para la ecuación del potencial vector
complejo:
r r
r r
r r
∆A(r ) + k 2 A(r ) = − µJ (r )
Supóngase una corriente elemental (las corrientes ya no son estacionarias y las
líneas de corriente no tienen porqué ser cerradas) en el origen de coordenadas con
dirección z tal como :
r r
r
J (r ) = zˆδ (r ) ⇒
r
(∆ + k )A(rr ) = − µzˆδ (rr )
2
Dado que la fuente solo tiene componente z el potencial solo tendrá componente z.
Por otra parte la fuente solo existe en el origen por lo que el problema tiene simetría
esférica, y el potencial solo variará con r pero no con θ ni con ϕ.
16/01/2008
EyM 6-5
Electricidad y Magnetismo
Variación temporal arbitraria
Potencial Vector de una Fuente Puntual
Por tanto la ecuación para la componente z del potencial vector será, usando la
expresión del laplaciano en esféricas:
r
1 d ⎛ 2 dAz ⎞ 2
⎜r
⎟ + k Az = − µδ (r )
r 2 dr ⎝ dr ⎠
La ecuación homogénea correspondiente a la ecuación diferencial anterior (con el
segundo miembro igual a cero) se denomina ecuación esférica de Bessel y su
solución es:
Az (r ) = C1
e − jkr
e jkr
+ C2
r
r
como puede verificarse fácilmente sustituyendo en la ecuación. C1 y C2 son
constantes a determinar.
Ondas Esféricas Progresivas
El primer término de la solución representa una onda esférica que se desplaza en
dirección radial hacia el infinito desde la fuente (en el origen de coordenadas). En
efecto:
− jkr
⎡ e
⎤ C
Az1 (r , t ) = Re ⎢C1
e jωt ⎥ = 1 cos(ωt − kr )
r
⎣
⎦ r
(salvo una fase constante en el caso en que C1 fuese complejo). La figura representa
la variación con r de la función (C1=1 y k=2π) para valores sucesivos en el tiempo.
2
ωt=0 ωt=π/2
ωt=π
ωt=3π/2
1
Puede verse como los picos de la
función oscilatoria (fase cero) están
equiespaciados (para cada instante
ωt) en 1 unidad (λ = 1) y se
desplazan hacia valores crecientes
de r (onda progresiva) en instantes
sucesivos de tiempo.
λ=1
0
1
2
0
1
2
3
4
5
r
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EyM 6-6
Electricidad y Magnetismo
Variación temporal arbitraria
Ondas Esféricas Regresivas
El segundo término de la solución representa una onda esférica que se desplaza en
dirección radial desde el infinito hacia la fuente (en el origen de coordenadas). En
efecto:
⎡ e jkr
⎤ C
Az 2 (r , t ) = Re ⎢C2
e jωt ⎥ = 2 cos(ωt + kr )
r
⎣
⎦ r
(salvo una fase constante en el caso en que C2 fuese complejo). La figura representa
la variación con r de la función (C2=1 y k=2π) para valores sucesivos en el tiempo.
2
Az2( r , 0 )
Az2 r ,
1
π
2
Az2( r , π )
Az2 r ,
Puede verse como los picos de la
función oscilatoria (fase cero) están
equiespaciados (para cada instante
ωt) en 1 unidad (λ = 1) y se desplazan
hacia valores decrecientes de r (onda
regresiva) en instantes sucesivos de
tiempo.
ωt=3π/2
ωt=π ωt=π/2
ωt=0 λ = 1
0
3. π
2
1
2
0
1
2
3
4
5
r
Video clips
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EyM 6-7
Electricidad y Magnetismo
Variación temporal arbitraria
Principio de Causalidad
El principio de causalidad establece que la causa debe preceder al efecto que produce.
Si el campo se genera en la fuente la onda regresiva no tiene sentido como solución
e − jkr
física del problema. Por tanto la solución del potencial vector será:
Az (r ) = C1
r
Para calcular C1 considérese un volumen esférico V centrado en el origen. Integrando
la ecuación del potencial en dicho volumen:
r
e − jkr
2
∫V (∆ + k )C1 r dv = ∫V − µδ (r )dv = − µ
Tomando el limite cuando r→ 0:
r
2π π
⎡ − jke − jkr r − e − jkr ⎤
2
lim ∫ ∆Az dv = lim ∫∫ ∇Az ⋅ dS = lim ∫ ∫ C1 ⎢
⎥rˆ ⋅ rˆr senθdθdϕ =
S
r →0 V
r →0
r →0 ϕ = 0 θ = 0
r2
⎣
⎦
= −C1 ∫
2π
∫
π
ϕ =0 θ =0
lim ∫ k 2C1
r →0 V
senθdθdϕ = −C1 4π
e − jkr 2
r senθdrdθdϕ = 0
r
Por lo tanto será: C1 =
µ
4π
y el potencial vector:
r r
µ e − jkr
A(r ) =
zˆ
4π r
Solución del Potencial Vector
Si la fuente puntual en el origen en lugar de estar dirigida según z lo estuviera según
a es evidente que el potencial vector que crearía será:
r r
µ e − jkr r
a
A(r ) =
4π r
r r
′
r r
µ e − jk r − r r
Y si la fuente puntual en lugar de estar en el origen estuviese en r’: A(r ) =
r r a
4π r − r ′
Y por superposición, en el caso de una distribución de corrientes:
r r − jk rr − rr′
r r
µ
J (r ′)e
dv′
A(r ) =
r r
4π ∫V ′
r − r′
Multiplicando por ejωt y tomando la parte real:
r r
r r
r r
J (r ′) cos(ωt − k r − r ′ )
µ
µ
dv′ =
A(r , t ) =
r
r
4π ∫V ′
4π
r − r′
r r
⎛ ⎛ k r r ⎞⎞
J (r ′) cos⎜ ω ⎜ t − r − r ′ ⎟ ⎟
⎠⎠ ′
⎝ ⎝ ω
dv
r r
∫V ′
r − r′
Y para una variación arbitraria con el tiempo:
r⎛ r
k r r ⎞
J ⎜ r ′, t − r − r ′ ⎟
r r
µ
ω
⎝
⎠ dv′ = µ
A(r , t ) =
r r
r − r′
4π ∫V ′
4π
16/01/2008
r r
r⎛ r
r − r′ ⎞
⎟
J ⎜⎜ r ′, t −
c ⎟⎠
⎝
dv′
r
r
∫V ′
r − r′
EyM 6-8
Electricidad y Magnetismo
Variación temporal arbitraria
Retardo
El potencial producido en ( r,t ) es el que producerla rfuente situada en r’ pero con el
r − r′
valor que tenia en el instante anterior :
t′ = t −
r r
c
r − r′
se denomina retardo.
El termino
c
Si el retardo es despreciable la solución se denomina cuasi estacionaria.
Para que el retardo sea despreciable deberá serlo la fase equivalente:
r r
r r
r − r′
r − r′
r r
r r
= k r − r ′ << 1 ⇔ 2π
ω
<< 1 ⇔ r − r ′ << λ
c
λ
lo que implica que el tamaño de la fuente sea pequeño frente a λ y que la distancia
del punto de observación es pequeña frente a λ.
λ
30 10000000
3000
100000
30000
10000
300000
1000
3000000
100
3E+ 08
1
3E+ 09
0.1
f(Hz)
La tabla adjunta presenta los valores de la longitud
de onda en metros para diversas frecuencias en Hz.
T. Circuitos - T. Electromagnética
En teoría de circuitos se trabaja con elementos de circuito concentrados (resistencias,
inductancias y condensadores), las tensiones entre sus bornes y la corriente total
que los atraviesa.
En teoría de campos se utilizan los vectores de campo y la densidad de corriente como
funciones de punto y del tiempo.
Considérese en primer lugar una barra de longitud l y sección S con conductividad s.
En teoría de circuitos la barra se describe en términos de
I
una cantidad que es su resistencia R. La longitud de la
r
barra, sección transversal, etc. tienen una importancia
σ
J
totalmente secundaria. La diferencia de potencial entre los
S
l
extremos de la barra esta relacionada con la corriente que
V = IR
la atraviesa mediante la ley de Ohm:
Desde el punto de vista de la teoría electromagnética se maneja el campo E en un
punto arbitrario de la barra, que se relaciona con la densidad de corriente en el mismo
punto mediante: E = J / σ. Para obtener la diferencia de potencial entre extremos de la
r
barra se calcula:
r r
J r
V = ∫ E ⋅ dl = ∫ ⋅ dl
σ
16/01/2008
EyM 6-9
Electricidad y Magnetismo
Variación temporal arbitraria
T. Circuitos - T. Electromagnetica
Si la barra es uniforme y lleva una densidad de corriente uniforme entonces:
V=J
l
Sl
=J
=I
l
σ
σS
σS
donde se ve que l/ σS es una característica propia del material (de su geometría l, S y
de su conductividad σ) que se denominamos su resistencia R. Se llega pues también
a la relación:
V = IR
Históricamente las relaciones de circuitos fueron postuladas y verificadas antes que
las relaciones de campo. Posteriormente fueron modificadas para aplicarlas a
situaciones de campo mas generales, de manera que las relaciones circuitales son
una especialización de las relaciones de campo y pueden obtenerse de aquellas.
Sin embargo, aunque las relaciones de campo son mas generales, las relaciones
circuitales son mas simples y deben usarse siempre que ello sea posible.
Primer Lema de Kirchoff
Establece que en una unión de varios conductores no debe producirse acumulación
n
de cargas por lo que:
Ii = 0
∑
i =1
I1
Si se rodea el nudo por una superficie cerrada S, en todos los
I2
puntos del volumen V encerrado por la misma deberá cumplirse
r ∂ρ
la ecuación de continuidad de manera que:
∇⋅J +
=0
∂t
S
In
r
Teniendo en cuenta que ∇r⋅ D = ρ puede escribirse:
r ∂
r
⎛ r ∂D ⎞
Ii
⎟=0
∇⋅J +
∇ ⋅ D = ∇ ⋅ ⎜⎜ J +
∂t
∂t ⎟⎠
⎝
r
r
r
r r
⎛ r ∂D ⎞
⎛ r ∂D ⎞ r
∂D r
⎜
⎟
⎜
⎟
∫∫∫V ∇ ⋅ ⎜⎝ J + ∂t ⎟⎠dv = ∫∫S ⎜⎝ J + ∂t ⎟⎠ ⋅ dS = ∫∫SJ ⋅ dS + ∫∫S ∂t ⋅ dS = ∑i I i + I D = 0
Integrando en V:
(
)
Por tanto el primer lema de Kirchoff es una particularización de la ecuación de
continuidad valida si las corrientes
r de desplazamiento son pequeñas frente a las de
conducción. Ello depende de ∂D
. Si la variación es muy rápida puede dejar de
cumplirse el lema.
∂t
16/01/2008
EyM 6-10
Electricidad y Magnetismo
Variación temporal arbitraria
Segundo Lema de Kirchoff
La tensión aplicada a una malla por un generador es igual a la suma de las caídas de
tensión a lo largo de malla. Admitiendo el circuito constituido por elementos
concentrados R, L y C será (de acuerdo con la figura):
dI 1
f .e.m. = RI + L + ∫ Idt
dt C
l
Φ B = LI
R=
L
Desde
el
punto
de
vista
de
teoría
electromagnética
se
σS
puede decir que el campo eléctrico total
es
la
suma
r
r
εS
r
I r
del campo impuesto por el generador E′ y el campo E
C=
D
d
E′
inducido por las cargas y corrientes del circuito.
r
r r
r
r
r
Etotal = E ′ + E , , E ′ = Etotal − E
r
r
J
=
E
f.e.m.
El campo total satisfará la ley de
Ohm
de
manera
que:
total
r
σ
r
∂A
El campo inducido será expresable como: E = −∇φ −
∂t
Si los elementos son concentrados toda la disipación tiene lugar en la resistencia, el
almacenamiento de campo magnético en la inductancia y el almacenamiento de campo
eléctrico en el condensador. Será:
r
r
r
r
r r
r
r
J r
∂A r
∂A
′
⋅
=
⋅
+
∇
⋅
+
E
d
l
d
l
d
l
φ
E ′ = Etotal + ∇φ +
∫
∫σ
∫
∫ ∂t ⋅ d l
∂t
Segundo Lema de Kirchoff
f .e.m. =
Por tanto
Pero:
JS
l
σS
= IR
r
r
r r
∂A r
∂A r
l
+ ∫ − E ⋅ dl + ∫
⋅ dl = JS
+ Ed + ∫
⋅ dl
σ
∂t
σS
∂t
Jl
Ed = D
d
ε
r
∂A r d r r d
∫ ∂t ⋅ dl = dt ∫ A ⋅ dl = dt
Y por tanto:
f .e.m. = RI + L
=
Q d Q ∫ Idt
= =
S ε C
C
∫∫ (∇ × A)⋅ dS = dt ∫∫ B ⋅ dS =
r
S
r
r
d
S
r
dΦ B d (LI )
dI
=
=L
dt
dt
dt
dI 1
+
Idt
dt C ∫
El problema surge al intentar ver como es un elemento real y como se comporta en
función de la frecuencia. Salvo en estática no se puede hablar de elementos
concentrados puros y conforme se aumenta la frecuencia hay que ir añadiendo mas y
mas elementos al circuito equivalente para tener en cuenta su comportamiento real
(resistencias que representen pérdidas, capacidades que representen
almacenamiento de energía eléctrica e inductancias que representen almacenamiento
de energía magnética).
16/01/2008
EyM 6-11
Electricidad y Magnetismo
Variación temporal arbitraria
Ejercicio
Razone, si analizando el funcionamiento interno de un circuito integrado de
dimensión máxima 1 cm a 30 MHz, es posible utilizar las leyes de Kirchoff.
La longitud de onda es mucho mayor que 1 cm por lo que el retardo
introducido por la propagación de la onda electromagnética es
despreciable y es posible utilizar los lemas de Kirchoff.
16/01/2008
EyM 6-12