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Electricidad y Magnetismo
Problemas del Tema 3
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12. La densidad de carga en cada una de la caras de un disco conductor de radio a y espesor
despreciable es ρS =
K
4π a 2 − ρ 2
. Calcule:
a) La carga total del disco.
b) Su potencial.
c) Su capacidad.
Solución: a) Q = Ka b) V =
K
c) C = 8εa
8ε
13. Sean tres conductores cilíndricos de espesor
despreciable, longitud L y radios a, b y c (a<b<c), colocados,
según muestra la figura, de modo que entre el conductor
interior y el intermedio se tiene aire y entre el intermedio y el
exterior existen dos medios distintos: uno de longitud L1 y
permitividad ε1 y otro de longitud L-L1 y permitividad ε2. Si el
conductor intermedio queda aislado y descargado y se aplica
una diferencia de potencial de V voltios entre el interior y el L
exterior, calcular:
L1
a) Las distribuciones superficiales de carga en las dos
caras del conductor intermedio, . ρ = b .
b) La capacidad entre los conductores interior, ρ = a , y
exterior, ρ = c .
Solución: b) C =
c
b
a
ε2
ε0
ε1
2π
ln(c / b)
ln(b / a)
+
ε 2 (L - L1 )+ ε 1 L1
ε0 L
14. Calcular la energía electrostática del sistema de la figura sabiendo que
la carga de la esfera conductora interior es Q culombios., y el dieléctrico
tiene permitividad ε = ε 0 R 22 / r 2 F / m
A partir del resultado anterior calcule la capacidad del sistema y el potencial
de la esfera interior.
Q 2 R 2 - R1
Solución: W e =
8π ε 0 R22
;
C = 4π ε 0
R22
R 2 - R1
ε(r)
0
R1
R2
R3
15. Sea un condensador cilíndrico de radios a y b (b>a) y longitud L, relleno de un dieléctrico de
permitividad ε1, al que se conecta una batería de fuerza electromotriz V0 voltios; seguidamente, se
desconecta la batería y se deja el condensador aislado. Calcule la energía almacenada por el
condensador. Continuando el condensador aislado, se introduce en él un dieléctrico de permitividad
ε2 y longitud L2 (L2 < L), quedando la longitud L-L2 con dieléctrico de permitividad ε1. Calcular la
capacidad del sistema, la energía almacenada en él y comparar esta última con la del caso inicial en
que sólo existía el dieléctrico de ε1.
Solución:
W = 1+ L2  ε 2 - 1
W′
L  ε1 
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16. Sea un condensador de placas paralelas cuadradas de lado L y separadas una
distancia d entre las que existe un dieléctrico de permitividad relativa ε' . Se conecta
al condensador una batería de V0 voltios que se desconecta una vez que se ha
cargado, y se comienza a extraer el dieléctrico. Se pide calcular, en función de la
distancia x de la figura:
a) La capacidad del condensador.
b) La diferencia de potencial entre sus placas.
c) El campo eléctrico entre ellas.
d) El valor de V0 que hace saltar la chispa cuando se extrae totalmente el
dieléctrico. Se supone que la chispa se produce cuando el campo entre las
placas supera el valor de 30 kV/cm. Calcular para d=1 mm y ' = 100.
L
x
d
C(0)
ε0 L
[ε ′(l - x)+ x ] b) V(x) = V 0 C(x)
d
V(x)
d
c) E(x) =
d) V 0 = E max
d
ε′
a) C(x) =
Solución:
17. Un sistema está formado por tres semicilindros
coaxiales rígidamente unidos que pueden girar alrededor
de su eje, situado este último en la superficie de un
líquido dieléctrico de permitividad relativa εr. Los radios de
los semicilindros son los indicados en la figura y su
longitud es L. Si entre el conductor interior (R1) y el
exterior (R3) se aplica una diferencia de potencial de V0
voltios, hallar:
a) El esquema circuital del sistema y la capacidad total
del mismo.
b) El potencial de la placa intermedia (respecto de la
placa exterior).
c) La energía electrostática del sistema.
d) Si se desconecta la batería, razonar en qué
dirección tiende a girar el sistema. (supóngase
despreciable el efecto de la gravedad).
18. La figura muestra un condensador formado por
dos conductores troncocónicos. Asumiendo que el
potencial sólo depende del ángulo θ Calcule:
a) El potencial y el campo entre armaduras.
b) La carga de la armadura 1.
c) La capacidad del condensador.
d) Nota:
dθ

α
ε0
R3
εr
R1
R2
(Nota: desprecie el efecto de bordes).
Solución: C =
ε 0 L[α + ε r ( π - α )]
ln R3 R1
Z
θ1
V1
θ2
V2
θ
∫ sen θ = ln tg 2  + C
2πεL
Solución: c) C =
ln (tg θ 2 2 ) − ln (tgθ1 2 )
L
O
a
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19. En la figura se muestra la sección recta de un sistema
de tres conductores cuadrados de lado L. Asumiendo que
el potencial sólo depende de ϕ entre los conductores 2 y 3,
y de y entre el 1 y el 2, calcule:
a) El coeficiente de capacidad C23 .
b) El potencial del conductor 2 cuando está descargado, el
1 puesto a tierra y el 3 a un potencial V.
c) La densidad superficial de carga sobre el conductor 2 en
la misma situación anterior.
d) Solución: a) C23 =
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3
Y
α
ε2
2
ε1
d
X
h
1
L
εL  L + d 
ln

α  d 
20. Una esfera conductora de radio R1 tiene en su interior una cavidad
excéntrica de radio R2 según se muestra en la figura. En el interior de la
cavidad y concéntrica con ella se encuentra otra esfera conductora de
radio R3. Si la esfera de radio R3 se pone a V0 voltios y la otra a 0 voltios,
calcular:
a) el potencial en todos los puntos del espacio
b) la capacidad del condensador así formado
R1
ε
V0
σ
R3
σ
R2
Solución: b) C = 4πε R 3 R 2
R3 - R 2
21. La figura muestra dos segmentos de dimensiones iguales y cargados
con densidades de carga λ 1 y λ 2 . Calcule:
a) El potencial creado por λ 1 sobre el eje z.
b) La energía de interacción entre ambas distribuciones.
Solución:
 λ1
z+d
 4πε ln z

a) Φ 1 ( z ) = 
∞
 λ1
z
 4πε ln z + d

λ1λ2
d ln 2
b) WI =
2πε
;
0<z
Z
d
ρL = λ2
X
d
ρL = λ1
; −d < z <0
;
z < −d
!
22. Un dipolo eléctrico de momento p se encuentra en una región del espacio en la que el
!
!
potencial electrostático vale Φ( r ) .Calcular en función de p y en primera aproximación la energía
0
necesaria para girar el dipolo 180 respecto de su centro.
!
Solución: W I = -2p ⋅ ∇Φ
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23. Sea una cáscara esférica de permitividad ε y radios interior a y exterior b. Dicha cáscara está
centrada en el origen de coordenadas donde además existe una carga puntual de valor q culombios.
Suponiendo que inicialmente la cáscara está en el infinito y después se lleva a su posición final,
calcule:
a) El campo eléctrico y el desplazamiento eléctrico en todos los puntos en ambas situaciones.
b) El incremento de energía electrostática al pasar de la situación inicial a la final.
c) El trabajo requerido para realizar dicho cambio, razonando el signo.
2
Solución: b) ∆ W e =
q
8π
 1 1  1 1 
 -  - 
 ε ε 0  a b 
24. Una distribución volumétrica de carga tiene forma de esfera de radio R y carga total Q
uniformemente distribuida. En su centro hay una carga puntual de valor -Q y la constate dieléctrica
de todo el espacio es la del vacío. Calcular el trabajo necesario para llevar la carga puntual del
centro de la distribución hasta el infinito y la fuerza a que dicha carga está sometida cuando se
encuentra a distancia r del centro de la distribución.
2
!
Q2
3Q
; F=−
r"
Solución: W =
8π ε 0 R
4π ε 0 r 2
25. Se tiene una distribución volumétrica de carga uniforme de densidad ρ C/m (ρ>0) en forma de
esfera de radio R, hallándose a distancia 4R de su centro una carga puntual de Q culombios.
¿Cuál es la energía de interacción del sistema? ¿Qué energía habrá de aportarse para llevar dicha
carga puntual hasta el centro de la distribución?
3
Solución: W in =
2
Qρ R2
5 Qρ R
; W=
12ε
12 ε
26. Un cable coaxial muy largo contiene un dieléctrico
concéntrico homogéneo de permitividad ε como se muestra en
la figura. El aire llena las regiones restantes entre conductores.
Suponiendo cargas superficiales positivas y negativas de valor
±Q0 por unidad de longitud axial en los conductores, determinar,
haciendo uso !de las
en todas las regiones entre
! simetrías,
!
conductores D , E y P . Encontrar ρs en los conductores. Si
-2
a=1cm, b=2cm, c=3cm, d=4cm,! e=4.2cm,
!
! Q0=10 µC/m y
ε=2.1ε0, encontrar los valores de D , E y P en la superficie
ρ=b justo dentro del dieléctrico.

Q 
!  0  1 - ε 0  ρ" ; b < ρ < c
Solución: P =  2πρ 
ε

0
;
resto
a
ε0
ε ε0
b
c
d
e
Versión: 13 07/11/2001