Boletín nº4

Universidad de Vigo
Departamento de Física Aplicada
Ampliación de Física. Año Académico 2008-2009.
E.T.S.I.Industriales
Boletín # 4. Vigo 17Abril del 2009
Problema 4.1.- Concéntricamente a una esfera dieléctrica de permitividad
ε y radio a se dispone una cáscara esférica metálica de radio interno b (b
>a). La esfera dieléctrica está cargada con una distribución de carga libre
dada por ρfv(r) = 5Qr2/4πa5 , siendo Q la carga total. Si el espacio
comprendido entre la esfera dieléctrica y la cáscara es el vacío, hallar la
expresión de la diferencia de potencial ∆V entre el centro de la esfera
dieléctrica y la cáscara metálica aplicando el teorema de Gauss
Solución: ∆V = Q/16πεa + Q/4πεo [(1/a) –(1/b)]
Problema 4.2.- Un condensador cilíndrico de radio interno a y externo c y
dieléctrico el vacío se carga a potencial Vo. Posteriormente se aísla y se
introduce entre sus armaduras un tubo de material dieléctrico ε de radio
interno b (b > a) y externo c. Calcular las densidades de carga de
polarización en ambas caras del dieléctrico.
Solución: ρps(b)= - [(εr-1)/εr][εoVo/bLn(c/a)] ; ρps(c)= [(εr-1)/εr][εoVo/cLn(c/a)]
Problema 4.3(Septiembre 2006).- Un condensador cilíndrico de radio
interno a y externo b y dieléctrico el vacío se somete a una diferencia de
potencial Vo , siendo el conductor interno el de mayor potencial.
Posteriormente se aísla y se introduce entre sus armaduras un material
dieléctrico de permitividad εr que ocupa todo el espacio.
a) Calcular las densidades de carga de polarización en ambas caras del
dieléctrico.
b) Comprobar que la carga total en el dieléctrico es nula.
Solución: ρps(a)= - [(εr-1)/εr][εoVo/aLn(b/a)] ; ρps(b)= [(εr-1)/εr][εoVo/bLn(b/a)]
Problema 4.4.- Se tienen dos placas gruesas doblemente infinitas de vidrio
de permitividad εv colocadas verticalmente según el plano YZ y paralelas
entre sí de modo que entre ellas queda una capa de espesor constante
ocupada por aire. Todo el espacio restante está lleno de un aceite de
permitividad εa. En el semiespacio lleno de aceite que está a la izquierda de
las placas existe un campo electrostático uniforme de magnitud E1 cuya
dirección está contenida en el plano XZ y forma un ángulo θ con la normal a
las placas y cuyo sentido es el del aceite hacia el vidrio. Calcúlese: a) El
campo eléctrico en los otros cuatro medios y b) La densidad superficial de
carga de polarización en cada una de las fronteras.
Solución: E2 = ( senθ1/senθ2 )E1 , E3 = (senθ1/senθ3 )E1 , E4 = E2 , E5 = E1
ρps12= εo E1cosθ1(εa/εv –1) , ρps23= εa/εv E1cosθ1(εv-εo) , ρps34= -ρps23 , ρps45= -ρps12
Problema 4.5(Junio 2003).- Se coloca una carga puntual q en un medio
indefinido e isótropo de constante dieléctrica variable εr =1+k/r , siendo k
una constante y r la distancia a la carga. Calcular : (a) el potencial
electrostático en un punto P genérico y (b) la densidad volumétrica de carga
de polarización.
Solución:
V= Ln(1+k/r) = [q/ (4πεok)] Ln(εr) ,
ρpv= qk/[ 4πr2 (r+k)2]
Problema 4.6(Diciembre 2003).- Una esfera metálica de radio R1 se
encuentra rodeada por una capa de dieléctrico de permitividad relativa εr y
radio R2. Sabiendo que la carga total de la esfera conductora es Q,
calcular:
a.-El campo eléctrico E(r) en función de la distancia r al centro de la esfera
metálica, para r<R1, R1<r<R2 y r>R2.
b.- Calcular el potencial electrostático del conductor.
Solución:
Zona 1.- r < R1 E = 0
Zona 2.- R1< r < R2 E = Q/(4πr2 εoεr) ar
Zona 3.- r > R2 E = Q/(4πr2εo) ar
VR1 = Q/(4πεo) [R2 + R1(εr-1)]1/(R1R2εr)
Problema 4.7(Septiembre 2004).- Un condensador esférico de radio
interno a y externo b y dieléctrico el vacío se somete a una diferencia de
potencial Vo. Posteriormente se aísla y se introduce entre sus armaduras un
amterial dieléctrico de permitividad εr que ocupa todo el espacio.
Calcular las densidades de carga de polarización en ambas caras del
dieléctrico.
Solución:
ρps(r=a) = -[ (εr –1)/ εr ][ εo Vo/a2((1/a)-(1/b))]
ρps (r=b)= -[ (εr –1)/ εr ][ εo Vo/b2((1/a)-(1/b))]
Problema 4.8(Junio 2005).- Entre dos esferas conductoras de radios a y b
ε1
ocupa el espacio a<r<c con (c<b) y el segundo dieléctrico de permitividad ε2
(b>a) existen dos capas de dieléctrico. La primera capa de permitividad
ocupa el espacio c<r<b. Mediante una batería se aplica una d.d.p. entre las
esferas conductoras de tal forma que la esfera de radio a está a potencial
nulo y la de radio b a potencial Vo.
a.- Determinar el potencial para un punto genérico en la región que ocupa
cada dieléctrico.
b.- Calcular la carga libre total acumulada en la esfera interior conductora.
Solución:
V1(r)= [Vo(1/a - 1/r)]/[(1/a - 1/c)- (ε1/ε2)(1/b - 1/c)]
V2(r)= Vo +[Vo (ε1/ε2) (1/b - 1/r)]/[(1/a - 1/c)- (ε1/ε2)(1/b - 1/c)]
Q=- Vo 4π/ [[1/ε1 (1/a – 1/c)]+[ 1/ε2 (1/c – 1/b)]]
Problema 4.9(Diciembre 2005).- Considerar una cierta carga puntual Q
situada en el centro de una esfera dieléctrica de radio R y constante
dieléctrica εr . Calcular en función de los datos del problema:
a.- El campo eléctrico tanto dentro como fuera de la esfera dieléctrica.
b.- Las densidades de carga de polarización tanto superficial como
volumétrica.
Solución:
r<R E = Q/(4πr2 εoεr) ur
r>R E = Q/(4πr2 εo) ur
ρps (r=R) = [(εr-1)/ εr] [Q/4πR2]
ρps (superficie que rodea a la carga Q ) = -[(εr-1)/ εr] [Q/4πr2]
ρpv=0 para r≠0 y ρpv=-∝ para r=0
Problema 4.10(Junio 2007).- Un condensador esférico está formado por
dos cáscaras concéntricas de radios a y b (a < b). La esfera interior, de
radio a, se recubre de una capa de un material de constante dieléctrica ε1 y
espesor d (siendo a+d < b). Mediante una batería se aplica una diferencial de
potencial entre las placas, de tal forma que la placa interna está a potencial
máximo Vo y la externa a potencial nulo. Calcular el potencial electrostático
en cualquier punto en el interior del condensador y la capacidad del sistema.
Solución:
C= 4π(a+d)/[(d/aε1)+(b-a-d/εo b)]
V1(r) = Vo – (Q/4πε1)(1/a - 1/r)
V2(r) = Q/4πεo(1/r - 1/b)
Con Q = (4πVo ) / [(1/ε1)(1/a - 1/(a+d)) + (1/εo)(1/(a+d) - 1/b)]
Problema 4.11(Junio 2008).- Un hilo conductor muy largo posee una
densidad de carga lineal ρfl y se encuentra rodeado por el vacío hasta una
distancia r = a, alrededor de la cual están situadas dos capas cilíndricas
concéntricas de material dieléctrico. La primera de ellas, de radio interno a
y externo 2a, tiene permitividad constante εr1 = 2 , mientras que la segunda,
de radio interno 2a y externo 3a, tiene una permitividad variable según la
función εr2 = k/r siendo k una constante. Determine:
1.- El campo eléctrico en las diferentes zonas del espacio
2.- La densidad superficial de carga de polarización en cada una de las
fronteras
3.- La densidad volumétrica de carga de polarización en ambos dieléctricos.
Solución:
E = E (r )u r
ρ1 ps ( r = a ) = −
⎧ ρ fl
⎪
⎪ 2πrε o
⎪ ρ fl
E (r ) = ⎨
⎪ 4πrε o
⎪ ρ fl
⎪ 2πkε
o
⎩
0≤r ≤a
a ≤ r ≤ 2a
2a ≤ r ≤ 3a
⎧
⎪ 0 0≤r ≤a
⎪
ρ pv (r ) = ⎨ 0 a ≤ r ≤ 2a
⎪ ρ fl
2a ≤ r ≤ 3a
⎪⎩ 2πrk
(k − 2a )ρ fl
(k − 3a )ρ fl
ρ fl
ρ fl
; ρ1 ps ( r = 2 a ) =
; ρ 2 ps ( r = 2 a ) = −
; ρ 2 ps ( r =3a ) =
4πa
8πa
4πak
6πak