Electricidad y Magnetismo Curso 2010/2011 Variación Temporal Lenta • • • • • Definición El campo magnético en variación temporal lenta El campo eléctrico en variación temporal lenta Expresión Integral de la Ley de Faraday T. Circuitos versus T. Electromagnética – Primer Lema de Kirchoff – Segundo Lema de Kirchoff. • Fuerzas Magnéticas entre distribuciones de corriente – Fuerza de Lorentz – Desplazamientos virtuales. » Sin generadores » Con generadores – Fuerzas en campos casi constantes J.L. Fernández Jambrina EyM 6a-1 Definición. • La variación temporal lenta se caracteriza porque en las ecuaciones de Maxwell se desprecia el término: r r ∂D(r , t ) ∂t – Las condiciones concretas que diferencian la variación lenta de la variación arbitraria son difíciles de definir cuando sólo se conoce la variación lenta: Se pospone su explicación hasta que se aborde la variación arbitraria. • Con la simplificación de la variación lenta las ecuaciones de Maxwell quedan de la siguiente forma: r r r r ∂ B (r , t ) r r ∇ × E (r , t ) = − r r ∂ B (r , t ) r r ∂t ( ) ∇ × E r , t = − ∂D(r , t ) r r ∂t =0 r r r r ∂D(r , t ) r r r r ∂t ∇ × H (r , t ) = J (r , t ) + ∇ × H ( r , t ) = J ( r ,t) ∂t r r r r r r r r r r ∇ ⋅ D(r , t ) = ρ (r , t ) ∇ ⋅ B(r , t ) = 0 ∇ ⋅ D(r , t ) = ρ (r , t ) ∇ ⋅ B(r , t ) = 0 r r r r r r r r r r r r r r r r D(r , t ) = εE (r , t ) B(r , t ) = µH (r , t ) D(r , t ) = εE (r , t ) B(r , t ) = µH (r , t ) r r r r r ∂ρ (r , t ) ∇ ⋅ J (r , t ) = 0 ∇ ⋅ J (r , t ) + =0 ∂t J.L. Fernández Jambrina Tema 6a: Variación Temporal Lenta Introducción – Faraday - Kirchoff EyM 6a-2 Eym 6a-1 Electricidad y Magnetismo Curso 2010/2011 El campo magnético. • El campo magnético queda definido como función únicamente de las corrientes, se especifican su divergencia y su rotacional: r r r r r r r r r r ∇ × H (r , t ) = J (r , t );∇ ⋅ B(r , t ) = 0;B(r , t ) = µH (r , t ) – Son las mismas ecuaciones que las del campo magnético estacionario: Se pueden aplicar las mismas técnicas para resolverlas. – La diferencia es que las corrientes y los campos son función del tiempo. r r – Simplificando, donde antes se ponía ( r ) , ahora se pone: ( r , t ) • Como ejemplo la expresión del campo en función de la corriente para un medio lineal, isótropo, homogéneo e indefinido, queda de la siguiente forma: Situación estacionaria r r r r r r µ J (r ′)× (r − r ′) B(r ) = dV ′ r r 3 ∫∫∫ 4π V ′ r − r′ Variación lenta r r r r r r J (r ′, t ) × (r − r ′) µ B (r , t ) = dV ′ r r 3 4π ∫∫∫ r − r′ V′ • Equivale a asumir que el efecto de un cambio en las fuentes se transmite de forma instantánea a todo el espacio. EyM 6a-3 J.L. Fernández Jambrina El campo eléctrico. • El campo eléctrico queda como función de las cargas y del campo magnético: r r r r r r r r r r r ∂B(r , t ) ;∇ ⋅ D(r , t ) = ρ (r , t );D(r , t ) = εE (r , t ) ∇ × E (r , t ) = − ∂t – Ahora el rotacional del campo eléctrico no es nulo. – Recordando la definición del potencial vector: r r r r r r ∂ B (r , t ) r r (1) r r ∇ × E (r , t ) = − ∂ ∂A(r , t ) ∂t ⇒ ∇ × E (r , t ) = − ∇ × A(r , t ) = − ∇ × r r r r ∂t ∂t B(r , t ) = ∇ × A(r , t ) – El paso (1) se puede hace siempre que se trate de puntos ordinarios. r r r r ∂A(r , t ) – Reordenando la última expresión: ∇ × E (r , t ) + =0 ∂t – Con lo que resulta posible definir r r un potencial escalar de la forma: r r ∂A(r , t ) r E (r , t ) + = −∇Φ (r , t ) EyM 6a-4 ∂t J.L. Fernández Jambrina Tema 6a: Variación Temporal Lenta Introducción – Faraday - Kirchoff Eym 6a-2 Electricidad y Magnetismo Curso 2010/2011 El campo eléctrico (2) – Este potencial escalar sigue recibiendo el nombre de potencial eléctrico. » Aunque ahora el campo eléctrico es también función del potencial vector magnético: r r r r r ∂A(r , t ) E (r , t ) = −∇Φ (r , t ) − ∂t – La ecuación que liga el potencial vector con las cargas es: r r (1) r r r ρ (r , t ) = ∇ ⋅ εE (r , t ) = ε∇ ⋅ E (r , t ) = r r r r r r r ∂A(r , t ) r ∂A(r , t ) E (r , t ) = −∇Φ (r , t ) − = −ε∇ ⋅ ∇Φ (r , t ) + = ∂t ∂t r r r r r r D(r , t ) = εE (r , t ) ⇒ ∂A(r , t ) ( 2) r r r r ( ) ε ε = − ∆Φ r , t − ∇ ⋅ = ∇ ⋅ D (r , t ) = ρ (r , t ) ∂t r r ( 2) ∂∇ ⋅ A(r , t ) r = − ε∆Φ(r , t ) − ε ∂t » El paso (1) requiere que el medio sea homogéneo. » El paso (2) requiere que se trate de puntos ordinarios. EyM 6a-5 J.L. Fernández Jambrina El campo eléctrico (3) – Recordando que la divergencia del potencial vector se escogió como nula: ¡¡¡ La ecuación de Poisson !!! r r r r ∂∇ ⋅ A(r , t ) r ρ (r , t ) = −ε∆Φ(r , t ) − ε r ρ (r , t ) ⇒ ∆Φ(r , t ) = − ∂t r r ε ∇ ⋅ A(r , t ) = 0 – A pesar de esta similitud, existe una diferencia substancial: r r r r ∂A(r , t ) r E (r , t ) = −∇Φ (r , t ) − ∂t J.L. Fernández Jambrina Tema 6a: Variación Temporal Lenta Introducción – Faraday - Kirchoff EyM 6a-6 Eym 6a-3 Electricidad y Magnetismo Curso 2010/2011 Circulación del campo eléctrico en variación temporal lenta. • La circulación del campo eléctrico a lo largo de un contorno cerrado no es nula: r r r r r r r ∂A r ∂A r ∂A r ∂ E ⋅ d l = − ∇ Φ + ⋅ d l = − ⋅ d l = − ∇ × ⋅ dS = − ∫∫ ∇ × A ⋅ dS ∫C ∫C ∫ ∫∫ ∂t ∂t ∂t ∂t C S S ( ) r r • Y recordando la definición del potencial vector: B = ∇ × A r r r ∂B r ∫ E ⋅ dl = − ∫∫S ∂t ⋅ dS C r – Expresión que se parece mucho a la ley de Faraday: r ∫ E ⋅ dl =− C r r d B ⋅ dS dt ∫∫ S – Para transformarla en la ley de Faraday hay que invertir el orden de la derivada y de la integral, cosa que sólo se puede hacer en el caso de que el contorno permaneciera fijo en el espacio. » En negativo: que ni se desplace ni se deforme. EyM 6a-7 J.L. Fernández Jambrina Revisión del concepto Fuerza electromotriz. r r r r r f .e.m.i. = ∫ E ⋅ dl + ∫ (v × B ) ⋅ dl C C • Considerando sólo fuerzas de origen electromagnético: r r r r r r r F r r r F r = E + v × B ⇒ f .e.m.i. = ∫ ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ v × B ⋅ dl q q C C C ( ) • Al admitir variación temporal, los dos términos de la f.e.m.i. pueden ser no nulos: – Si varía el campo magnético: r r r ∂B r E ⋅ d l = − ∫ ∫∫S ∂t ⋅ dS C – Si varía el contorno (se mueve o cambia de forma): » la velocidad transversal de las cargas respecto del contorno no es nula. r r r r r r r r v = vl lˆ + vt ⇒ ∫ v × B ⋅ dl = ∫ vt × B ⋅ dl C ( ) C ( ) – El primer término refleja exclusivamente el efecto de la variación temporal del campo. – El segundo término refleja exclusivamente el efecto del movimiento. EyM 6a-8 J.L. Fernández Jambrina Tema 6a: Variación Temporal Lenta Introducción – Faraday - Kirchoff Eym 6a-4 Electricidad y Magnetismo Curso 2010/2011 Ley de Faraday • Propuesta: r r r r r ∂B r ∂ dΦ E ⋅ d l = − ∫C ∫∫S ∂t ⋅ dS = − ∂t ∫∫SB ⋅ dS vr = 0 = − dt B – ya que: ∫ (v × B )⋅ dl = − r – sería interesante comprobar si: r r C r v =0 dΦ B dt r ∂B ∂t = 0 dΦ B dt r ∂B ∂t = 0 – ya que entonces: ( ) r r r r r dΦ B f .e.m.i. = ∫ E ⋅ dl + ∫ v × B ⋅ dl = − C dt C − r v =0 =− dΦ B dt – Expresión conocida como ley de Faraday: f .e.m.i. = − dΦ B dt EyM 6a-9 J.L. Fernández Jambrina Ley de Faraday (2) C (t ) • Demostración: C (t + ∆t ) n$ – Partiendo de la posición de un contorno variable (móvil) en los instantes t y t+∆t, y considerando el campo magnético independiente del tiempo, se va evaluar: dΦ B dt r ∂B ∂t = 0 n$ S ( t + dt ) S (t ) r dl t + ∆t r ∫ vdt ∂B ∂t = 0 – La superficie generada por los puntos del contorno al moverse y las dos superficies utilizadas para calcular Φ B (t ) y Φ (t + ∆t ) B definen una superficie cerrada, S0: r r r r r r r r 0 = ∫∫ B ⋅ dS = ∫∫ B ⋅ dS − ∫∫ B ⋅ dS + ∫∫ B ⋅ dS S0 r dl n$ Φ (t + ∆t ) − Φ B (t ) = lim B ∆tr→ 0 ∆t t S (t + ∆t ) Sl S( t ) SL » donde el cambio de signo procede de la relación entre la normal saliente a la superficie cerrada y los definidos en la figura para cada superficie por separado. r r r r r r – Por tanto: Φ B (t + ∆t ) − Φ B (t ) = B ⋅ dS − B ⋅ dS = − B ⋅ dS ∫∫ S ( t + dt ) J.L. Fernández Jambrina Tema 6a: Variación Temporal Lenta Introducción – Faraday - Kirchoff ∫∫ S (t ) ∫∫ SL EyM 6a-10 Eym 6a-5 Electricidad y Magnetismo Curso 2010/2011 Ley de Faraday (3) r r Φ B (t + ∆t ) − Φ B (t ) = − ∫∫ B ⋅ dS SL – Observando la figura, el diferencial de superficie de la superficie lateral puede definirse como: r r r C (t + ∆t ) n$ dS = dl × v dt – Con ello: r r n$ ∆Φ B = − ∫∫ B ⋅ dS = SL r n$ dl t + ∆t t + ∆t r r r r r r t + ∆t = − ∫ ∫ B ⋅ dl × v dt = − ∫ ∫ v × B ⋅ dl dt r t C t C ∫t v dt – por tanto: r r r dΦ ∫C v × B ⋅ dl = − dt B dBr =0 ( ( ) ( C (t ) r dl ) ) S (t + ∆t ) dt f .e.m.i. = − ∂Φ B dΦ B − ∂t vr = 0 dt r dB =0 dt =− ∂Φ B ∂t EyM 6a-11 J.L. Fernández Jambrina Ley de Faraday: • Expresiones: f .e.m.i. = − (4) r r r r r r dΦ B d d r r ∂B r = − ∫∫ B ⋅ dS = − ∫ A ⋅ dl = − ∫∫ ⋅ dS + ∫ v × B ⋅ dl dt dt S dt C ∂t S C – Los sentidos de la circulación y del flujo se relacionan de la forma habitual: La regla del tornillo. • Interpretación: S( t ) Sl – Agrupando resultados: ( r B↑ I ind ) ∂Φ B >0 ∂t n$ – Si se produce una variación del flujo del campo magnético a través de un contorno, C+ aparece una una f.e.m. sobre el mismo. » A esta f.e.m. se la denomina f.e.m. inducida, f.e.m.i. – El signo menos implica que, si dicho contorno permite la circulación de una corriente, el sentido de la corriente inducida será el que se oponga a la variación del flujo. » La propia corriente inducida dará lugar a una nueva f.e.m.i. » Si el contorno es un conductor perfecto, no pueden existir fuerzas sobre sus cargas, so pena de corriente infinita, luego la corriente que circulará por el mismo deberá ser tal que la f.e.m.i. sea nula y por tanto no se produzca variación de flujo. EyM 6a-12 J.L. Fernández Jambrina Tema 6a: Variación Temporal Lenta Introducción – Faraday - Kirchoff Eym 6a-6 Electricidad y Magnetismo Curso 2010/2011 T. Circuitos versus T. Electromagnética • Las relaciones de circuitos fueron postuladas y verificadas antes que las relaciones de campo. • Sin embargo, son un caso particular de las ecuaciones de Maxwell. • Son mucho más eficientes que las ecuaciones de Maxwell para estudiar los circuitos, pero conviene conocer sus limitaciones. • En las próximas transparencias se van a justificar los lemas de Kirchoff a la luz de las ecuaciones de Maxwell particularizadas para variación lenta. Los Lemas de Kirchoff son un caso particular de las ecuaciones de Maxwell para variación temporal lenta. EyM 6a-13 J.L. Fernández Jambrina Primer Lema de Kirchoff • En una unión de varios conductores, nudo, no debe producirse acumulación de cargas. n ∑I i =0 i =1 – En general, si se rodea el nudo por una superficie cerrada S y aplicando la forma integral de la ecuación de continuidad: I1 r r dq r r d r r 0 = ∫∫ J ⋅ dS + = J ⋅ dS + ∫∫ D ⋅ dS = I2 S dt ∫∫S dt S r r ∂D r ⋅ dS = ∑ I i + I D = ∫∫ J + S S In ∂t i Ii – El primer lema de Kirchoff es una particularización de la ecuación de continuidad válida cuando las corrientes de desplazamiento son pequeñas frente a las de conducción. r – Ello depende de ∂D ∂t . r » En los casos habituales de la teoría de circuitos, D es muy pequeño por la proximidad de los conductores. » Si la variación es muy rápida o se aplica lejos del nudo puede dejar de cumplirse el lema. J.L. Fernández Jambrina Tema 6a: Variación Temporal Lenta Introducción – Faraday - Kirchoff EyM 6a-14 Eym 6a-7 Electricidad y Magnetismo Curso 2010/2011 Segundo Lema de Kirchoff L 1 • A lo largo de una malla cerrada, la f.e.m. del generador es igual a la suma de las caídas de tensión f.e.m. a lo largo de la ramas. R 2 C 3 4 + r E′ I – Suponiendo que los elementos del circuito son puros: r r r » El generador únicamente aporta energía: σ = ∞⇒ET = E ′ + E r » La inducción únicamente almacena E=0 energía en forma de campo magnético: r » El condensador únicamente almacena B=0 energía en forma de campo eléctrico: r r » La resistencia únicamente convierte J = σE energía electromagnética en otro tipo: » Las conexiones se realizan con hilo conductor perfecto. – Suponiendo que el circuito no se desplaza: r r r 3r r 4r r 1 r r r r r r 2 r ∫C ET ⋅ dl = ∫C E + E′ ⋅ dl = ∫1 E ⋅ dl + ∫2 E ⋅ dl + ∫3 E ⋅ dl + ∫4 E + E′ ⋅ dl = r r r r = ∫ E ⋅ dl + ∫ E ′ ⋅ dl C C EyM 6a-15 J.L. Fernández Jambrina ( ) ( ) Segundo Lema de Kirchoff (2) r r r r r r r r r r r r r ∫ E ⋅ dl + ∫ E ′ ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl + ∫ (E + E′)⋅ dl 2 C C 1 3 4 1 2 3 4 – Los valores de los diferentes términos son: r r dΦ dI 1 ∫C E ⋅ dl = − dt B = − L dt + r r r E′ ∫ E′ ⋅ dl = f .e.m.g. L 2 r r 3 1 4 r r ∫ E ⋅ dl 3 + = t Q 1 = I C C ∫0 r r ∫ E ⋅ dl R 3 C 4 I C σ = ∞⇒ ∫ E ⋅ dl = 0 2 = RI 2 ( ) r r r dt σ = ∞ ⇒∫ E + E ′ ⋅ dl = 0 – Sustituyendo y ordenando: 1 4 t f .e.m.g . = + RI + 1 dI I dt + L C ∫0 dt • Los elementos reales no son perfectos: – puede que haya que utilizar circuitos equivalentes de los mismos. – Esta necesidad se agudiza a medida que se sube en frecuencia y la aproximación de variación lenta deja de ser válida. EyM 6a-16 J.L. Fernández Jambrina Tema 6a: Variación Temporal Lenta Introducción – Faraday - Kirchoff Eym 6a-8