EyM 1a-1 Gradiente Divergencia Rotacional Derivada temporal Combinación de operadores: Laplaciana Expresiones con operadores Teorema de Helmholtz: fuentes de los campos Operadores vectoriales. Cartesiano Curvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico. Concepto de campo Repaso de álgebra vectorial Sistemas de coordenadas Tema 1: Introducción J.L. Fernández Jambrina J.L. Fernández Jambrina EyM 1b-2 – se deben a cambios en la composición del medio. – Los puntos en los que no hay discontinuidades de los medios se denominan puntos ordinarios. • Comentarios sobre las discontinuidades – Expresiones integrales: circulaciones y flujos. » son más intuitivas. » permiten las discontinuidades de los campos. » requieren elementos adicionales: contornos, superficies y volúmenes – Expresiones diferenciales: gradientes, divergencias y rotacionales. » son más manejables. » requieren la continuidad y existencia de derivadas de los campos. » se basan en los operadores vectoriales. • Fundamentalmente hay dos formas de trabajar con campos: • Los operadores vectoriales describen el comportamiento de los campos en un entorno del punto en que se particularizan. Operadores Vectoriales J.L. Fernández Jambrina » Y si el incremento es infinitesimal: df df ( x ) = f ( x + dx ) − f ( x ) = dx dx EyM 1b-3 – En la práctica el punto alrededor del que se realiza el desarrollo se suele llamar x y el punto en el que se aplica x+∆x: ∆f = f ( x + ∆x ) − f ( x ) ≈ f ′( x )∆x f (a + ∆x ) ≈ f (a ) + f ′(a )∆x ⇔ ∆f = f (a + ∆x ) − f (a ) ≈ f ′(a )∆x – Si la diferencia ∆x=x-a es pequeña, se puede obtener una buena aproximación con sólo los dos primeros términos: – Para una función escalar de una variable: 2 ( n −1) f ′′(a )( x − a ) f (n −1) (a )( x − a ) f ( x ) = f (a ) + f ′(a )( x − a ) + + ⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅ (n − 1)! 2! • Conviene recordar como se aproxima una función en las proximidades de un punto, x=a, siempre que la función y sus derivadas sean continuas: Desarrollos en serie de Taylor 1 2 u3 (2) ∂U ∂U ∂U ∆u1 + ∆u2 + ∆u ∂u1 P ∂u 2 P ∂ u3 P ∂U ∂U ∂U du1 + du2 + du3 ∂u1 ∂u 2 ∂ u3 1 2 u3 J.L. Fernández Jambrina EyM 1b-4 • En el caso de funciones vectoriales, no sólo hay que considerar cada componente como una función escalar sino que también los vectores unitarios son susceptibles de cambio. dU = – Y si los incrementos son infinitesimales: U ( P + ∆P ) ≈ U ( P ) + – de forma más compacta: 1 2 u3 • Para funciones escalares de tres variables (las coordenadas) e incrementos pequeños alrededor de un punto P(u1,u2,u3): ∂U ∂U ∂U U (u1 + ∆u1 , u2 + ∆u2 , u3 + ∆u3 ) ≈ U (u1 , u2 , u3 ) + ∆u1 + ∆u 2 + ∆u3 u u u ∂u1 u ∂u 2 u ∂u3 u Desarrollos en serie de Taylor ∂U ∂U ∂U du1 + du2 + du ∂u1 ∂u 2 ∂ u3 3 J.L. Fernández Jambrina Gradiente de U 1 ∂U 1 ∂U 1 ∂U uˆ1 + uˆ2 + uˆ3 ⋅ (h1du1uˆ1 + h2 du2uˆ2 + h3du3uˆ3 ) = 42r44444 3 h u h u h u ∂ ∂ ∂ 2 2 3 3 1 1 14444 dl – Y con un poco de habilidad: 1 ∂U 1 ∂U 1 ∂U dU = h1du1 + h2 du2 + h3du3 = h1 ∂u1 h2 ∂u2 h3 ∂u3 – Recordando la expresión del diferencial de longitud: r dl = h1du1uˆ1 + h2 du2uˆ2 + h3du3uˆ3 dU = EyM 1b-5 – Suponiendo un entorno infinitesimal alrededor de un punto ordinario y suponiendo las derivadas particularizadas en dicho punto: • El gradiente caracteriza el comportamiento de un campo escalar en el entorno de un punto. • Expresión en curvilíneas generalizadas ortogonales: Gradiente ∇U ( ) J.L. Fernández Jambrina EyM 1b-6 El gradiente de un campo escalar es un campo ∂U vectorial cuya componente en cualquier dirección = ∇U ⋅ lˆ ∂l es la derivada del escalar en esa dirección. r – De la transparencia anterior: dU = ∇U ⋅ dl = ∇U ⋅ lˆ dl – Por otro lado, si l es una coordenada definida ∂U = dl dU a propósito en la dirección del desplazamiento: ∂l – Reuniendo ambas expresiones se obtiene la expresión que se utiliza para definir el gradiente: • Definición: – En estas transparencias se utilizará la segunda: ∇U – ∇ es un símbolo denominado nabla. grad(U ) • El gradiente de un campo escalar suele representarse por una de las dos expresiones siguientes: Definición de Gradiente J.L. Fernández Jambrina – Esféricas: – Cilíndricas: – Cartesianas: – Curvilíneas: ∂U ∂U ∂U xˆ + yˆ + zˆ ∂x ∂y ∂z 1 ∂U 1 ∂U 1 ∂U uˆ1 + uˆ2 + uˆ3 h1 ∂u1 h2 ∂u2 h3 ∂u3 ∇U = ∂U 1 ∂U ˆ 1 ∂U rˆ + θ+ ϕˆ ∂r r ∂θ r sen θ ∂ϕ 1 ∂U ∂U ∂U ρˆ + ∇U = ϕˆ + zˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ∇U = ∇U = hr = 1 hθ = r h = r sen θ ϕ hρ = hz = 1 hϕ = ρ EyM 1b-7 hx = hy = hz = 1 • Partiendo de la expresión general de curvilíneas y particularizando: Expresiones del Gradiente ∂U ∇U = max ∂l l J.L. Fernández Jambrina • Su sentido es el de máximo crecimiento del campo escalar. ∂U = ∇U ⋅ lˆ ⇒ ∂l • Su módulo coincide con la derivada direccional máxima del campo escalar. – Si el desplazamiento se realiza sobre una superficie isotímica, dU=0 y: r r 0 = dU = ∇U ⋅ dl ⇒ ∇U⊥dl • Es un campo vectorial. • Es normal a las superficies isotímicas del campo escalar. Propiedades del gradiente r dl U1 < U 2 < U 3 r dl ∇U EyM 1b-8 U1 U2 U3 P r Q ∇U ⋅ dl = ∫ dU = U (Q ) − U (P ) P Q Q Q J.L. Fernández Jambrina – El escalar queda determinado excepto una constante aditiva: r r U = ∫ A ⋅ dl + K O EyM 1b-9 • Si la circulación de un vector entre dos puntos cualesquiera es independiente del camino seguido, entonces existe un escalar tal que el vector es su gradiente: r P r – Escogiendo un punto de referencia, O: U (P ) − U (O ) = ∫ A ⋅ dl C – La circulación de un gradiente sólo depende de los puntos extremos: Es independiente del P camino seguido. – La circulación de un gradiente a lo largo de un camino cerrado es nula. P r r P r Q ∫ ∇U ⋅ dl = ∫ ∇U ⋅ dl + ∫ ∇U ⋅ dl = [U (Q ) − U (P )] + [U (P ) − U (Q )] = 0 P ∫ Q • La circulación entre dos puntos P y Q del gradiente de un campo escalar es el valor del campo escalar en Q menos su valor en P: Circulación de un Gradiente J.L. Fernández Jambrina – El flujo de un vector a través de una superficie cerrada mide si las líneas de campo tienen su origen o su fin en el volumen encerrado: • Interpretación: S r r – Si la superficie es cerrada, el ∫∫SA ⋅ dS flujo se representa como: r » Por convenio dS es saliente del volumen encerrado por la superficie. s r ∫∫ A ⋅ dS > 0 S r dS S s r A ∫∫ ⋅ dS = 0 S r r – El flujo de un campo vectorial a A ⋅ dS ∫∫ S través de una superficie se define como: r » dS es un vector de módulo dS y dirección normal a la superficie. Sentido por convenio. • Definiciones: EyM 1b-10 S s r A ∫∫ ⋅ dS < 0 r dS Flujo de un vector a través una superficie () S →0 V →0 r r div A = ∇ ⋅ A = lim S V r r ∫∫ A ⋅ dS J.L. Fernández Jambrina EyM 1b-11 – Si es positiva, el punto es origen de líneas de campo. – Si es negativa, el punto es sumidero, final, de líneas de campo. – Si es nula, el punto no es ni principio ni final de líneas de campo. • La divergencia caracteriza el comportamiento punto a punto del campo vectorial respecto del flujo del mismo a través de superficies cerradas: – V es el volumen encerrado por la superficie cerrada S. – La normalización respecto de V es necesaria para obtener resultados finitos. • Definición: Divergencia J.L. Fernández Jambrina S (u 3 + ∆u 3 2 ) r r ∫∫ A ⋅ dS = A3 (u1 , u2 , u3 + ∆u3 2)S3 (u3 + ∆u3 2 ) – Si la superficie es pequeña, se puede suponer constante A3 sobre ella y tomando el valor en su centro: S (u 3 + ∆u 3 2 ) P EyM 1b-12 ∆u3 – Al calcular el flujo a través de la superficie superior, como corresponde a u3=cte y nˆ ≡ uˆ3 , resulta que sólo contribuye la componente A3: n$ ≡ u$3 r r r ∆u2 ∆u ∫∫SA(u3⋅+d∆Su3 2 ) = ∫∫S (u3 + ∆u3 2 ) A ⋅ uˆ3dS3 = ∆u1 = ∫∫ A3 (u1 , u2 , u3 + ∆u3 2)dS3 • Tomando un volumen muy pequeño limitado por superficies del tipo ui=cte y cuyo centro es el punto de estudio, P(u1,u2,u3), ver figura, el flujo será la suma del flujo a través de las caras. Expresión en curvilíneas ... ∂A h h ∆u = A3h1h2 + 3 1 2 3 ∆u1∆u2 2) ∂u3 2 P ∆u1 J.L. Fernández Jambrina – Trabajando con la cara inferior se obtendría: r r ∂A3h1h2 ∆u3 ∫∫SA(u3⋅−d∆Su3 2 ) = − A3h1h2 − ∂u3 2 ∆u1∆u2 P – Y sumando estas dos contribuciones: r r r r ∂A3h1h2 A ⋅ d S + A ⋅ d S = ∫∫S (u3 + ∆u3 2 ) ∫∫S (u3 − ∆u3 2 ) ∂u3 ∆u1∆u2∆u3 P ∆u1 donde todos los términos están particularizados en P. S (u 3 + ∆u 3 r r ∫∫ A ⋅ dS es posible realizar la siguiente aproximación: S (u 3 ) ∆u1 = A3 (u1 , u2 , u3 + ∆u3 2 )S3 (u3 + ∆u3 2 ) – Partiendo del valor del flujo a través de la superficie u3=cte que contiene el punto P: r r ∫∫ A ⋅ dS = A3 (u1, u2 , u3 )S3 (u3 ) = A3h1h2∆u1∆u2 S (u 3 + ∆u 3 2 ) r r ∫∫ A ⋅ dS Expresión en curvilíneas ... P P P ∆u3 ∆u3 ∆u3 EyM 1b-13 n$ ≡ − u$3 ∆u2 ∆u2 n$ ≡ u$3 ∆u2 n$ ≡ u$3 (2) S (u 2 − ∆u 2 r r + ∫∫ A ⋅ dS ∂A h h = 2 3 1 ∆u1∆u2 ∆u3 2) ∂u2 P J.L. Fernández Jambrina S →0 V →0 r ∇ ⋅ A = lim S V r r ∫∫ A ⋅ dS • Y la divergencia: = ∆u1 P P ∆u2 ∆u2 ∆u3 ∆u3 EyM 1b-14 ∆V = h1 h2 h3 ∆u1∆u2 ∆u3 1 ∂A1h2 h3 ∂A2 h3h1 ∂A3h1h2 + + h1h2 h3 ∂u1 ∂u2 ∂u3 r r ∂A h h ∂A h h ∂A h h 1 2 3 2 3 1 3 1 2 ∆u1∆u2 ∆u3 A ⋅ d S = + + ∫∫S ∂u ∂u2 ∂u3 P 1 • Combinando los resultados: S (u 2 + ∆u 2 2 ) r r ∫∫ A ⋅ dS • Y con las dos restantes, u2=cte: r r r r ∂A1h2 h3 A ⋅ d S + A ⋅ d S = ∫∫S (u1 + ∆u1 2 ) ∫∫S (u1 − ∆u1 2 ) ∂u1 ∆u1∆u2∆u3 P • Repitiendo el proceso con las dos caras de la figura, ∆u1 u1=cte: Expresión en curvilíneas ...(3) J.L. Fernández Jambrina • Esféricas: • Cilíndricas: • Cartesianas: • Curvilíneas: 1 ∂A1h2 h3 ∂A2 h3h1 ∂A3h1h2 + + h1h2 h3 ∂u1 ∂u2 ∂u3 EyM 1b-15 r 1 ∂r 2 A 1 ∂Aθ sen θ 1 ∂Aϕ r ∇⋅ A = 2 + + r ∂r r sen θ ∂θ r sen θ ∂ϕ r 1 ∂ρAρ 1 ∂Aϕ ∂A ∇⋅ A = + + z ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z r ∂A ∂A ∂A ∇⋅ A = x + y + z ∂x ∂y ∂z r ∇⋅ A = Expresiones de la Divergencia J.L. Fernández Jambrina S V r r r ∫∫ A ⋅ dS = ∫∫∫∇ ⋅ AdV S V r dS EyM 1b-16 El flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada S es igual a la integral de la divergencia del campo extendida al volumen V encerrado por S, suponiendo que el volumen V contenga únicamente puntos ordinarios. • Enunciado: Teorema de Gauss i Si J.L. Fernández Jambrina – Por tanto: ) S N →∞ i V N r r r r ∫∫ A ⋅ dS = lim ∑ ∇ ⋅ AVi = ∫∫∫∇ ⋅ AdV i ( – Si las Si son suficientemente pequeñas (N→∞), a partir de la definición de divergencia: r r A ⋅ dS r r r r ∫∫ S ∇ ⋅ A = lim ⇒ lim ∫∫ A ⋅ dS = ∇ ⋅ A Vi Si S →0 S →0 V V →0 V →0 S + – El volumen se puede dividir en un número arbitrario, N, de subvolúmenes. – El flujo a través de la cara común de dos subvolúmenes contiguos se cancela: la suma de los flujos a través de las superficies asociadas, Si, a los subvolúmenes es el flujo a través de la superficie externa. r r N r r ∫∫ A ⋅ dS = ∑ ∫∫ A ⋅ dS • Demostración: Teorema de Gauss (2) S EyM 1b-17 = V n$