Electromagnetismo Curso 2012/2013 Integrales x n +1 ∫ x dx = n + 1 n dx ∫ x +a dx 2 2 ∫ ; n ≠ −1 ( ) = ln x + x 2 + a 2 = sinh −1 x a x ∫ a 2 − x 2 = arcsin a ; x ≤ a dx 1 x ∫ x 2 + a 2 = a arctan a dx x ∫ x2 + a2 3 2 = a2 x2 + a2 dx 1 x ∫ x 2 + a 2 x 2 + 2a 2 = a 2 arctan x 2 + 2a 2 ( ) ( ) ∫ ln xdx = x ln x − x ln x ; 0 < x dx = = ln x x ln(− x) ; x < 0 xdx ∫ x2 + a2 ; x≠0 = x2 + a2 ( ) xdx 1 = ln x 2 + a 2 + a2 2 xdx −1 = 2 2 32 2 x +a x + a2 ∫x 2 ∫( ) dx 1 ax ∫ sin ax = 2 ln tan 2 ∫ ln(x 2 ) ( ) + a 2 dx = x ln x 2 + a 2 − 2 x − 2a arctan J.L. Fernández Jambrina x a 112 -1 Desarrollos en serie −1 2 i −1 2 0 −1 2 1 −1 2 2 1 3 x = x + x + x + L = 1 − x + x 2 + L 2 8 i i =0 0 1 2 (1 + x )−1 2 = ∑ ∞ J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 112 -2 1 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Cilíndricas (2) Vectores unitarios y factores de escala r r = ρ cosϕ xˆ + ρ sin ϕ yˆ + zzˆ 123 123 x y r ∂r ∂ρ = 1 ρˆ = = cosϕxˆ + sin ϕyˆ hρ r ∂r ∂ϕ = ρ ϕˆ = = − sin ϕxˆ + cos ϕyˆ hρ • De momento el vector de posición es: • Trabajando un poco: r r ∂r ∂r hρ = = cos ϕxˆ + sin ϕyˆ ∂ρ ∂ρ r r ∂r ∂r = ρ (− sin ϕxˆ + cos ϕyˆ ) hϕ = ϕ: ∂ϕ ∂ϕ r r ∂r ∂r z: hz = = zˆ =1 ∂z ∂z ρ: ρˆ cos ϕ ϕˆ = − sin ϕ zˆ 0 sin ϕ 0 xˆ 0 yˆ 1 zˆ cos ϕ 0 hρ = 1 hϕ = ρ zˆ = zˆ xˆ cos ϕ yˆ = sin ϕ zˆ 0 − sin ϕ cos ϕ 0 0 ρˆ 0 ϕˆ 1 zˆ hz = 1 112 -3 J.L. Fernández Jambrina Cilíndricas (3) Vector de posición y diferenciales • Vector de posición: r r r = ρ cos ϕ (cos ϕρˆ − sin ϕϕˆ ) + ρ sin ϕ (sin ϕρˆ + cos ϕϕˆ ) + zzˆ r = ρρˆ + zzˆ 123 1442443 123 1442443 x y xˆ yˆ r – La dependencia con ϕ está implícita dentro de ρ$ : r ( ρ , ϕ , z ) = ρρˆ (ϕ ) + zzˆ • Diferencial de longitud (vector): r dl = dρρˆ + ρdϕϕˆ + dzzˆ • Diferencial de longitud (escalar): dl = dρ 2 + ρ 2 dϕ 2 + dz 2 • Diferencial de volumen: dV = ρdρdϕdz J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 112 -4 2 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Esféricas (2) Vectores unitarios y factores de escala • De momento el vector de posición res: r = r sin θ cos ϕ xˆ + r sin θ sin ϕ yˆ + r1cos θ zˆ 23 14243 14243 z x y • Trabajando un poco: r ∂r r: = sin θ (cos ϕxˆ + sin ϕyˆ ) + cosθzˆ hr = 1 rˆ = sin θ (cos ϕxˆ + sin ϕyˆ ) + cosθzˆ ∂rr ∂r θ: = r [cosθ (cos ϕxˆ + sin ϕyˆ ) − senθzˆ ] hθ = r θˆ = cosθ (cosϕxˆ + sin ϕyˆ ) − sin θzˆ ∂θr ∂r ϕ: = r sin θ (− sin ϕxˆ + cos ϕyˆ ) hϕ = r sin θ ϕˆ = − sin ϕxˆ + cos ϕyˆ ∂ϕ rˆ sin θ cosϕ sin θ sin ϕ θˆ = cosθ cos ϕ cosθ sin ϕ ϕˆ − sin ϕ cosϕ cosθ xˆ − sin θ yˆ 0 zˆ hr = 1 hθ = r xˆ senθ cos ϕ yˆ = sen θ sen ϕ zˆ cosθ cosθ cos ϕ cosθ sen ϕ − sen θ − sen ϕ rˆ cos ϕ θˆ 0 ϕˆ hϕ = r sen θ 112 -5 J.L. Fernández Jambrina Esféricas (3) Vector de posición y diferenciales • Vector de posición: r r = r [sin θ (cosϕxˆ + sin ϕyˆ ) + cosθzˆ ] 1444442444443 r r = rrˆ rˆ – La dependencia con θ y ϕ está implícita dentro de r$ • Diferencial de longitud (vector): r dl = drrˆ + rdθθˆ + r sin θdϕϕˆ • Diferencial de longitud (escalar): dl = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdϕ 2 • Diferencial de volumen: dV = r 2 sin θdrdθdϕ J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 112 -6 3 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Expresiones del Gradiente • Partiendo de la expresión general de curvilíneas y particularizando: – Curvilíneas: – Cartesianas: – Cilíndricas: ∇U = 1 ∂U 1 ∂U 1 ∂U uˆ1 + uˆ2 + uˆ3 h1 ∂u1 h2 ∂u2 h3 ∂u3 ∇U = ∂U ∂U ∂U xˆ + yˆ + zˆ ∂x ∂y ∂z hx = hy = hz = 1 ∇U = ∂U ∂U 1 ∂U ρˆ + ϕˆ + zˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z hρ = hz = 1 hϕ = ρ ∇U = ∂U 1 ∂U ˆ 1 ∂U rˆ + ϕˆ θ+ ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ hr = 1 hθ = r h = r sen θ ϕ – Esféricas: 112 -7 J.L. Fernández Jambrina Expresiones de la Divergencia • Curvilíneas: • Cartesianas: • Cilíndricas: • Esféricas: J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 r ∇⋅ A= 1 ∂A1h2 h3 ∂A2 h3h1 ∂A3h1h2 + + h1h2 h3 ∂u1 ∂u2 ∂u3 r ∂A ∂A ∂A ∇⋅ A= x + y + z ∂x ∂y ∂z r 1 ∂ρAρ 1 ∂Aϕ ∂A ∇⋅ A= + + z ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z r 1 ∂r 2 A 1 ∂Aθ sin θ 1 ∂Aϕ r ∇⋅ A= 2 + + r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ 112 -8 4 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Expresiones del rotacional • Curvilíneas: r ∇× A = h1uˆ1 1 ∂ h1h2h3 ∂u1 A1h1 h2uˆ2 h3uˆ3 A2 h2 A3h3 ∂ ∂u 2 ∂ ∂u3 • Cartesianas: xˆ r ∂ ∇× A = ∂x Ax yˆ zˆ ∂ ∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az ∂Ay ∂Ax xˆ + zˆ = − − − yˆ + ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ∂ ∂y Ay Az • Cilíndricas ρˆ r 1 ∂ ∇× A = ρ ∂ρ Aρ Esféricas ρϕˆ ∂ ∂ϕ ρAϕ zˆ ∂ ∂z r ∇× A = Az rˆ 1 ∂ r 2 sin θ ∂r Ar rθˆ ∂ ∂θ rAθ r sin θϕˆ ∂ ∂ϕ r sin θAϕ 112 -9 J.L. Fernández Jambrina Laplaciana de un escalar: Definición y expresiones • Es la divergencia del gradiente del escalar: ∇ ⋅ (∇U ) = ∇ 2U = ∆U • Curvilíneas: 1 ∂U 1 ∂U 1 ∂U uˆ1 + uˆ2 + uˆ3 h1 ∂u1 h2 ∂u2 h3 ∂u3 1 ∂ h2h3 ∂U ∂ h3h1 ∂U ∂ h1h2 ∂U ⇒ ∆U = + + r 1 ∂A1h2h3 ∂A2 h3h1 ∂A3h1h2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ h h h u h u u h u u3 h3 ∂u3 1 2 3 1 1 1 2 2 2 ∇⋅ A = + + ∂u2 ∂u3 h1h2h3 ∂u1 ∇U = • Cartesianas: ∆U = ∂ U2 + ∂ U2 + ∂ U2 • Cilíndricas: • Esféricas: J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 2 2 2 ∂x ∂y ∂z 1 ∂ ∂U 1 ∂ 2U ∂ 2U ∆U = ρ + + ρ ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ2 ∂z 2 1 ∂ ∂U 1 ∂ 2U ∂ 2U = ρ ∂ρ ρ ∂ρ + ρ2 ∂ϕ2 + ∂z 2 ∆U = ∂U ∂ ∂U 1 ∂ 2 1 ∂ 2U r sin θ + sin θ + ∂r ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ 2 r sin θ ∂r = ∂ ∂U ∂ 2U 1 ∂ 2 ∂U 1 1 r + 2 sin θ + 2 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ 2 2 = 112 -10 5 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Laplaciana de un vector. • Definición: ( ) r r r ∆A = ∇ ∇ ⋅ A − ∇ × ∇ × A • Su expresión es complicada, salvo en cartesianas: r ∆A = ∆Ax xˆ + ∆Ay yˆ + ∆Az zˆ 112 -11 J.L. Fernández Jambrina Laplaciana de un vector. (2) • Repitiendo el cálculo para las componentes y y z: r ∆A = ∆Ax xˆ + ∆Ay yˆ + ∆Az zˆ – La laplaciana de un campo vectorial es otro campo vectorial cuyas componentes en coordenadas cartesianas (y sólo en cartesianas) son las laplacianas (escalares) de las componentes del campo original. • Interpretación: complicada. J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 112 -12 6 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Expresiones varias r r r r A × B = −B × A r r r r r r r r r A × (B × C ) = B( A ⋅ C ) − C ( A ⋅ B ) r v r r r v v r r A ⋅ (B × C ) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ ( A × B ) r r r r r r r r r r r r ( A × B ) ⋅ (C × D ) = (A ⋅ C )(B ⋅ D ) − (A ⋅ D )(B ⋅ C ) ∇ ⋅ ∇ U = ∆U ∇ × ∇U = 0 r r r r ∇ ⋅∇× A = 0 ∇ × ∇ × A = ∇∇ ⋅ A − ∆A ∇(U + V ) = ∇U + ∇V ∇UV = V∇U + U∇V r r r r r r r r ∇ ⋅ (A + B ) = ∇ ⋅ A + ∇ ⋅ B ∇ × (A + B) = ∇ × A + ∇ × B r r r r r r ∇ ⋅ (UA) = ∇U ⋅ A + U∇ ⋅ A ∇ × (UA) = ∇U × A + U∇ × A r r r r r r r r r r ∇( A ⋅ B ) = ( A ⋅ ∇ )B + A × (∇ × B ) + (B ⋅ ∇ )A + B × (∇ × A) r r r r r r ∇ ⋅ (A × B ) = B ⋅ ∇ × A − A ⋅ ∇ × B r r r r r r r r r r ∇ × ( A × B ) = A(∇ ⋅ B ) − B(∇ ⋅ A) + (B ⋅ ∇ )A − ( A ⋅ ∇ )B r r r r r ( A ⋅ ∇ )B = Ax ∂B + Ay ∂B + Az ∂B ∂x ∂y ∂z J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 112 -13 7